energía
DESCRIPTION
Fórmulas de energíaTRANSCRIPT
ENERGÍA
La energía del sistema con lagrangiano (14.21) vale
E=12∑r . s (M rs q̇r q̇s )=
12
(q̇ tM q̇+q t Kq ) .
Sustituyendo (14.41), se tiene
E=12Q̇t [S−1 tM S−1 ] ˙
Q+ 12Qt [ S−1 t K S−1 ]Q .
Insertando M S−1SM−1 en el segundo término, se tiene
S−1 t K S−1=S−1 tM S−1 (SM−1K S−1)=S−1 tM S−1ω2
Por (14.42), y teniendo en cuenta que, según (14.43) S−1M S−1=1 , (14.45) toma la forma
E=12
[Q̇tQ+Qtω2Q ]=∑k
(Q̇t2+ωk2Qk2 )
E k12ωk2Qk
2 .
Lagrangiano
A esta descomposición de la energía E=T+U en modos normales corresponde la del lagrangiano L=T−U
L=∑k
Lk=12∑k (Q̇t2−ωk2Qk2 ) . (14.48)
Es decir, que el sistema es completamente equivalente a una colección de n osciladores armónicos independientes cuyas frecuencias son las normales ωk y cuyas coordenadas son las coordenadas normales Qk.
Conviene advertir que, aunque hemos hecho uso de la matriz M 1/2 para obtener el desarrollo en modos normales, no suele ser necesario calcularla en la resolución de casos prácticos.
Conviene ahora resumir los resultados obteniendo hasta aquí.
1. La solución general del problema de un oscilador con n grados de libertad, con ecuación del movimiento
M q̈+Kq=0 . (14.24)
Donde q es un vector de n dimensiones y M .K son matrices simétricas y positivas definidas, se puede expresar como una suma de modos normales
q (t )=∑k
C k cos (ωk t+δk ) Ak , k=1,…,n (14.36)
Donde C k y δ k son constantes de integración, ωk son n frecuencias llamadas normales y Ak son n vectores llamados forma de los modos, cuyas componentes Akj dan las amplitudes con que oscilan las coordenadas q t en el modo K .
2. Las ωk y Ak se obtienen mediante el problema de valores propios
M−1K Ak=ωk2 Ak , (14.28)
Que también pueden conseguir como
K Ak=ωk2M Ak . (14.26)
Aunque la matriz M−1K no es simétrica, existen n valores propios positivos ωk2 y n
vectores propios Ak. Los cuadrados de las frecuencias normales ωk2 son las raíces de la
ecuación secular (14.27)
det (K−ωk2M )=0. (14.27)
La idea de modo normal tiene una gran importancia. Juega en los sistemas discretos el mismo papel que la de componente de Fourier de una onda (electromagnética o sonora, por ejemplo). En efecto, la descomposición en modos (14.36) es análoga a la expresión de una onda como suma de componentes monocromáticas. Por ello se podría hablar del color de cada modo y se puede decir que las componentes monocromáticas de una onda.