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UNIDAD 3
CinemáticaEn una y dos dimensiones
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Conceptos Introductorios
Velocidad media e instantánea
Velocidad Variable. Aceleración
Movimiento en una dimensión con aceleración constante
Caída libre. Ecuaciones de movimiento
Movimiento en un plano con aceleración constante
Movimiento de proyectiles
Movimiento circular
Hoja de ruta
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Sistemas de Referencia
Conceptos Introductorios
Cualquier medida de posición, distancia o velocidad debe ser hecha con respecto a un Sistema de Referencia.
El estudio del movimiento se basa en medidas de Posición, Velocidad, y Aceleración.Determinada la Posición de un cuerpo respecto a un sistema de referencia, entendemos por movimiento al cambio continuo en la posición del cuerpo.Consideramos sólo movimientos de traslación: cada parte del objeto se mueve en la misma dirección (no hay rotación).
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Movimiento rectilíneoEl movimiento se lleva a cabo sobre una línea recta.El Sistema de Referencia adecuado consiste en un eje coordenado, sobre el cuál se indica la posición del cuerpo en un tiempo determinado:
Conceptos Introductorios
x1 posición en t = t1x2 posición en t = t2
Δx = x2 – x1 es el desplazamiento
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La velocidad media es: Δt
xΔv m
rr
=
La velocidad instantánea es:dtdx
ΔtΔxLímvv
0ti ===
→Δ
Velocidad media e instantánea
Un objeto tiene Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) cuando su trayectoria es recta y su velocidad constante.
Consecuencias:a) La velocidad media, para cualquier intervalo de tiempo, es igual a la
instantánea.b) El desplazamiento es proporcional al tiempo empleado en recorrerlo.c) La gráfica posición-tiempo (x vs. t) es una recta cuya pendiente
es igual al módulo de la velocidad.d) La gráfica velocidad-tiempo (v vs. t) es una recta horizontal (paralela al
eje t).
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tiempo (s) distancia (m)
0 1 2 3 40
2
4
6
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tiempo (s)
dist
anci
a (m
)
0 1 2 3 40
1
2
3
4
tiempo (s)
velo
cida
d (m
/s)
Aceleración es el cambio de la velocidad con el tiempo.
Velocidad Variable. Aceleración
Velocidad media e instantánea
aceleración media:tv
t-t v - va
0
0 = m
ΔΔ
=rrrr
aceleración instantánea: a = Lí mvtt 0Δ
ΔΔ→
7Movimiento en una dimensión con aceleración constante
Un objeto tiene Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV) cuando su trayectoria es recta y su aceleración es constante
La aceleración media, para cualquier intervalo de tiempo, coincide con la aceleración instantánea. La gráfica a vs. t es una recta horizontal.
La velocidad es proporcional al tiempo. La gráfica v vs. t es una recta cuya pendiente coincide con el valor numérico de la aceleración.
La velocidad media, en cualquier intervalo de tiempo, es la semisuma de las velocidades inicial y final en dicho intervalo.
La relación entre el desplazamiento y el tiempo es cuadrática. La gráfica x vs. t es una parábola.
Consecuencias:
8Movimiento en una dimensión con aceleración constante
v = v0 + a t
x = x0 + v0 t + ½ a t2
v2 = v02 + 2a(x-x0)
9Caída libre. Ecuaciones de movimiento
Un objeto se mueve en caída libre si la grave-dad es el único factor que interviene en su movimiento.
Ejemplos de aceleraciones gravitatorias (m s-2)Asteroide Vesta 0,3
Luna 1,6
Marte 3,7
Tierra 9,8
Jupiter 26
Sol 270
Agujero negro 1052
-La aceleración gravitatoria, g, es la misma para todos los objetos que caen, sea cual sea su tamaño o su composición.
-La aceleración gravitatoria es constante.-Cerca de la superficie terrestre, el modulo de la aceleración gravitatoria es: g=9.8 m/s2.
-En el estudio de la caída libre de los cuerpos, podemos utilizar las ecuaciones del MRUV.
v = v0 ± g t
y = y0 + v0 t ± ½ g t2
v2 = v02 ± 2g(x-x0)
10Movimiento en un plano con aceleración constante
-La componente x de la aceleración es cero, por lo tanto en esta dirección el movimiento es uniforme.
-La componente x de la velocidad permanece constante
-Según la dirección y, la aceleración es -g. En esta dirección el movimiento es uniformemente variado.
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Dirección x Dirección y (módulos)
v0x = v0 cosθ v0y = v0 senθ
v0x = x/t vy = v0y - gt
vy2 = v0y
2 - 2g(h-h0)
h = h0 + v0yt - 1/2 gt2
Tiempo total de vuelo: tT = 2 v0 senθ/g
Alcance máximo: R = v02 sen(2θ)/g
Altura máxima: hm = (v0 senθ)2/(2g)
Movimiento en un plano con aceleración constante
Ecuaciones del Movimiento de Proyectiles
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Variables AngularesLas variables angulares sirven para representar en forma mas simple e idónea al movimiento de rotación.La posición angular θ se define en radianes de la siguiente manera:
θ = s/r1 giro = 2π rad = 360o
Velocidad angular media: ωθ θ
m = tΔθΔ =
−−
f if it t
Velocidad angular instantánea: ωθ
=ddt
ω es un vector cuya dirección es la del eje de rotación y sentido (regla del tornillo) como el indicado en la figura:
Movimiento circular
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Foto de los Anillos de Saturno (Voyager 1. en 1980)
El desplazamiento de un punto situado a una distancia r del eje de rotación es:
s r= θ
La velocidad tangencial se define como:
dsdt
rddt
v r= ⇒ =θ
ω
La aceleración angular media es:
tm
ΔΔ
=ωαr
r
La aceleración angular instantánea es:
αω
=ddt
Movimiento circular
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La aceleración tangencial es la variación con respecto al tiempo de la velocidad tangencial. Es un vector tangente a la trayectoria cuyo módulo verifica la relación:
v rdvdt
rddt
a r= → = → =ωω
α
Movimiento Circular Uniforme (MCU). Movimiento Circular Uni-formemente Variado (MCVU)
Un objeto tiene MCU cuando la velocidad angular es constante:
0constante =→= αωUn objeto tiene MCUV cuando la aceleración angular es constante:
constante=α
Ecuaciones del MCUVr r rω ω α
θ θ ω α
ω ω α θ θ
= +
= + +
= + −
o
o o
o o
t
t t1 2
2 22
2 ( )
Movimiento circular
15Movimiento circular
Aceleración Centrípeta: originada en el permanente cambio en la direcciónde la velocidad tangencial
rvar
2
=
Síntesis de aceleraciones en el movimiento circular
rr
αω
α
=
=
=
ΔΔt
angular
a r tangencial
avr
radial
t
r
( )
( )
( )2