¿en qué condiciones se pueden analizar...
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¿En qué condiciones se pueden analizar las
oscilaciones de dos cuerpos como si fuera uno solo?
¿Qué magnitudes describen las oscilaciones de
una molécula diatómica?
¿Cuál es la diferencia principal entre el oscilador
clásico y el oscilador cuántico?
¿Qué parámetro sirve para comparar la rigidez
del enlace molecular en una molécula diatómica?
¿Qué propiedades de la molécula se pueden
conocer a partir de la espectroscopía infrarroja?
A nivel microscópico, existen varias oscilaciones que se pueden aproximar con un movimiento armónico simple.
En el caso de una molécula diatómica, se puede considerar como dos masas unidas por un resorte con constante de fuerza k. Este movimiento se puede considerar armónico simple cuando las oscilaciones son pequeñas alrededor de la posición de equilibrio:
La energía potencial se aproxima a una parábola. La aceleración y la posición son opuestas en dirección en todo momento.
http://www.cleonis.nl/physics/coupling_img/rotational_vibrational_coupling2.gif
Resnick, Hslliday, Krane, “Física”, Volunen 1, 4ª Edición, CECSA, México, pg 355 http://physics-animations.com/Physics/English/mech.htm
Este análisis sólo es válido cuando el centro de masa no
experimenta aceleración Sistema inercial
Si L es la longitud del resorte sin estirar, el cambio en su
longitud se puede expresar como:
La fuerza ejercida sobre cada partícula es:
Si el resorte ejerce una fuerza –F sobre m2, entonces la fuerza
sobre m1 es +F.
Lxxx 12
k
x1
0
x2
+F -F
Una forma de analizar el
movimiento de este sistema es
analizando el movimiento de
cada una de las masas por
separado.
xkF
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Coupled_Harmonic_Oscillator.svg
Aplicando la segunda ley de Newton por separado tenemos: y
Multiplicando la primera ecuación por m1 y la segunda por m2 y luego restando se obtiene:
La cual se reduce a:
Definimos la masa reducida como: Por lo tanto, la ecuación a resolver es:
¡¡¡Esta es la ecuación de movimiento del oscilador armónico simple!!! La frecuencia natural del oscilador para una molécula diatómica es:
En una molécula diatómica, lo que define el movimiento es la masa reducida y la separación relativa de los núcleos.
xkmxkmxmmxmm 21121221
21
21
mm
mm
xkxxdt
d
mm
mm
122
2
21
21
0 xx k
xkxm 22 xkxm 11
k0
Como se trata de una molécula diatómica, se debe utilizar la aproximación del oscilador armónico cuántico para describirla adecuadamente. La ecuación de Schröedinger para un oscilador es:
Proponemos una solución de la forma: La elección de este tipo de función tiene varias razones:
La segunda derivada genera un término con x2 multiplicando a la función. La función converge para -∞ y +∞ que es necesario para que tenga significado físico.
Tomando la primera y segunda derivada de Ψ, se tiene que:
Exm
xmExm
m
p 22
2
2222
2
2
1
22
1
2
2exp)(
2xCx
2exp
2xxC
dx
d
2exp
2exp
222
2
2
2 xxC
xC
dx
d
Sustituyendo en la ecuación de Schröedinger: Para que se cumpla esta ecuación se debe tener que los coeficientes que multiplican a x2Ψ y Ψ, sean iguales para toda x: Entonces: Y por otro lado: Esto tiene como consecuencia que para el estado base del oscilador cuántico:
La energía en el estado base NO ES CERO!!! Esto significa que aún en el cero absoluto las moléculas tienen energía para oscilar.
Exmxm
22222
2
1
2
mm
m 0
2
1
2
222
Em
2
2
E
mxm
m 22
1
2
222
22
20
E
El procedimiento anterior es sólo cualitativamente correcto. Para una solución exacta del problema se deben tomar en cuenta las condiciones a la frontera (como que la función converja en el infinito).
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/molecule/vibspe.html#c1
A partir de estas condiciones a la frontera se obtiene que la energía del oscilador está cuantizada:
Si se quiere conocer en detalle la solución de la ecuación de Schröedinger del oscilador cuántico, se puede consultar: http://physics.gmu.edu/~dmaria/590%20Web%20Page/public_html/qm_topics/harmonic/ http://physicspages.com/2011/02/08/harmonic-oscillator-series-solution/
2
1vEv
La energía potencial del oscilador es parabólica. Los estados del oscilador son confinados por el potencial. La partícula que oscila no puede moverse a una distancia infinita de su posición de equilibrio. La energía del sistema es continua. Se pueden tomar todos los valores de E. La energía del estado base es cero.
La energía potencial del oscilador es parabólica. Los estados del oscilador son confinados por el potencial. La partícula que oscila no puede moverse a una distancia infinita de su posición de equilibrio. La energía está cuantizada. Los estados permitidos tienen un espaciamiento uniforme de ħω/2. La energía del estado base es positiva distinta de cero incluso en el cero absoluto de temperatura.
Oscilador clásico: Oscilador cuántico:
La frecuencia ω de los osciladores cuántico y clásico es la misma. Por lo tanto para una molécula diatómica: La rigidez del enlace se puede estimar a partir del valor de la constante de fuerza de enlace k:
http://users.hartwick.edu/hartleyc/springs/springs.html Para observar gráficamente:
Molécula Frecuencia
x1013 Hz
Constante
de Fuerza
N/m
HF 12.4 970
HCl 8.66 480
HBr 7.68 410
HI 6.69 320
CO 6.42 1860
NO 5.63 1530
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/molecule/vibspe.html#c1
k
Los diferentes modos de vibración de un mismo compuesto tienen una frecuencia característica cada uno. El análisis de las frecuencias de vibración permite la identificación de un compuesto Espectroscopía de absorción infrarroja (IR). Las masas reducidas ocasionadas por la presencia de diferentes isótopos ocasionan variaciones en las frecuencias de vibración de un mismo compuesto.
http://science.widener.edu/svb/ftir/ir_co2.html http://www.phy.davidson.edu/stuhome/sethvc/laser-final/co2.htm
1. Asumiendo que la vibración de una molécula de HCl puede considerarse como un oscilador armónico, calcule:
(1 u.m.a. =1.66 x 10-27 kg) a) ¿Cuál es la masa reducida del HCl? b) En un experimento se mide la frecuencia de vibración
como se muestra en la figura. ¿Cuál sería la constante de fuerza del oscilador correspondiente?
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/molecule/vibrot.html#c1
2. Por medio de cálculos de mecánica cuántica se obtiene que la constante de fuerza del oscilador correspondiente a las vibraciones del HBr es 410 N/m. a) ¿Cuál es la frecuencia natural de este oscilador? b) En general, los espectros de IR se miden en números de
onda entre 400 y 4000 cm-1. ¿Cuál sería la frecuencia de vibración de la molécula en cm-1? ¿Y en eV?
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/molecule/vibrot3.html#c1
Conversión de unidades: http://physics.nist.gov/Pubs/AtSpec/node01.html
http://www.shimadzu.com/an/ftir/support/ftirtalk/talk13/intro.html
3. Tomando en cuenta la transición central del espectro de IR del monóxido de nitrógeno, NO, ¿cuál es la constante de fuerza de enlace de esta molécula?