L A TEORIA DE CONJUNTOS

EN SENTIDO COLECTlVO

In memóriam Boleslaw Sobocinski

M eriología, la teoría de conjuntos en sentido colectivo, junto con Prototética y Ontología 1 , for- man los llamados "sistemas lógicos de Lesniewski". Tales sistemas pueden servir de fundamento de la matemática. Así, por ejemplo, si al sistema de Ontología se le agrega el axioma de la infini- tud podemos deducir los análogos de los axiomas de Peano y, por ende, toda la matemática clá- sica. Por otro lado, el sistema de Meriología se ha usado como fundamento de la geometría 2.

Dado lo poco conocido que es el sistema de Meriología y la importancia que posee en la fundamen- tación de la matemática, expondré en este artículo, con el menor tecnicismo posible, tal sistema. Los siste- masde Prototética y Ontología serán tocados aquí muy brevemente y la intención es de exponerlos más extensamente en otros art iculos.

DOS SENTIDOS DEL TERMINO "CLASE"

Lesniewski llegó a construir el sistema de Meriolog ía, en 191 6, como resultado de sus investigaciones

en la paradoja de Rússell. Estas investigaciones lo llevaron a tres osoluciones de la paradoja, de las cuales la última constituye la determinante en la construcción de sus teorias Ibgicas 3.

El origen de la paradoja en su último análisis lo encontró en la confusidn de dossentidosdel término "clase". Se confundía, según él, "clase" en sentido diWibutivo con el de "clase" en sentido colectivo. La dferencia de estos das sentidos puede ser aclarada mediante el sigubi%t@ ejemplo: si tomamos la clase de los pai@s.-l e~qwI*@anns en sentido distributivo, entonces G u a t e W ~ v Argentina serdn elementos de esa c l d f d - 6 ~ht?~&í'~uenos Aires y Antigua Guatemala; sin wnbsrg~l sl tomamos esa clase en sentido mi lectivo eRtonces Buenos Aires y Antigua Guatemala serán eimmmdeesa clase y así mismo sus habi- t a nten3 iasnios. . J

L a D ~ r i q de /la 61am ep *-do Jistribultko S wLMtuy6 más t&e*en el sistema llamado "Ontolo- gía", Iti de la clase en' sentido colectivo en el sentido' l iaddo "Merlología"'.

II. ONTETLlDQlA Y PRDTOTETICA

El sistema de Meriúlog ía está basado sobre el de Ontología y este a la vez err al de Ptototética.

Prototétíca es un &lculo generalizado de proposiciones. En él hay varidbles ~ - i s i d o n a l e s y de funciones, las cuales pueden ser ligadas por cuarrtificadores. De este sistema es'poS@k deducir todo el cál- culo proposicional de tunrsiün veritativa y la teoría de la cuantificaeibn 4.

Por otro lado; el sisrema de Optología es un cálculo de nombres. Se obtiene a partir de Protot&ica agregándole a 6ste una nueva categoría semántica 5, la de los nombres 6, un simbolo primitivo " " que es un functor formador de proposiciones que toma nombres como argumentos y cwya intei"pr&ción intuiti- va es la siguiente: A b (se lee es un b) es una proposición que es verdadera s%I&&~&e cuat-ido A existe, es Única y es b. Esta interpretación intuitiva es expresada en el axioma siguiente 6i'aiEterístim de Ontología (¡.e. el axioma que se le agrega Prototéttca para obtener los axiomas de Ontología):

Más tarde este axioma fue simplificado a:

III. LA AXIOMATIZACION DEL SISTEMA DE MERlOLOGlA

Históricamente, Meriología fue el primer sistema rpnstruiqh m r Lmhtdsi, Se QbBkne este sistema ag~egando un nuevo símbolo prirnitiv~ y uno o vario~axiomes dd 8k$@vua ds @ntollqj%. El sistema axio- nlátitm'de l@t&itenía como s ído lq primitivo a "pt", lel m1 wjnmpret&~ intuitiwmentq csomo "es parte de"; así, "A pt(0)" se interprsf~ In~i~$iwments mmq A J ~ I parte da 61. Tal W8m constaba, ade- mlis, (con algunas 'm& Himcb&%@it$* d@l e msay dw QUhi~imm: : i .

, i *~?;<I:,Z jlc ' I d<~;? i r l , ie - , , J - - , 1 2 , .

A l [ABC] :AEpt4B):Ept(c)r3iA~~id , - N y t j i,, (isiri* m

D2 [Aa].:A€A:[D]:D€a3DEel(A):[D]:D€el(A)>[ 3f F]. E~,F€ellD)FGelE:=.AEkC(a). r '

1

todo constituyen los elementos de esa clase (dada la defi?icihn L i de "el"),

, . El pjoma A3 ex)&era la unicided d. una clase y, por. Úlfinw), elaxioma A4 afirma que cuando quie- ra que exista algo que: sea a entonces existe la clase de los a%.

El sistema axiomático de 1916 fue cambiado posteriokmente,ya sea por Lesniewski mismo o por sus discfpulos. En 1920 Lesniewski construyó un sistema axiomático que constaba de cuatro axiomas y que tomaba a "elf1 como functor primitivo. Más tarde, er) 194& ba&nciss$-e~ un resultado de Grzegorczyk, Boleslaw Sob~pinski construyó un sigema axiódtia, con 'lql"tc<)mo functor primitivo. que constaba de un sqlo,axioina y curnplia con los criterios metodolágicos de Lssniew&k l. Este único axioma es 81 si- guientp:

En l S 4 y 1955 C. Lejewski condruy6 sistemas axiomáticosque &nmban de un solo axioma para los functbres "KI", "extr" (¡.e. interptetando intukivarnente cerrno "'fu~radb"), "bv" y "el"; amos mais tarde construy8 'rafnbih uno para el functor "pr" 8. Sin embargo, en bsaxiornas de Sobocinski y Le- iewski se cuantifica sobre variables nominales y de funciones. De ahC que surgiera el problema de enwn- trar'$st%mas agíomáticos, con un solo axioma, en el cual se 6uanrt.fI.ca db sobre variables mominales. Es- te problema lo solucionó liejwslri en 1960 para el funcror "el Ki" ". Por otro lab, en 1M1, Sobocinski planteo, en su seminario de lógica en la Universidad de Notre Dame, el problema de encontrar un sistema axiom4ti.w &n un'&í6 kX'iom pgra el functor "el", en el cual se cuantificara &lo sobre mrhbles nami- nales. Este problema también fue solucionado dos años más tarde por el mismo LejwJki 1 al construir el siguiente axioma:

Adémzjs de los axiomas y las definiciones, hay en el sistema de Meriologh reglas de definición, de e~ensionalWad, de substitución y de seprairián. Las reglas de definldldh brt#&: la regla para introducir definiciones proposicionales (i.e. regh de definiciones protot6tica~) y 18 r@$d pari'introducir definiciones nominales (¡.e. regla de definiciones ontoldgicas). La regla nos permite definir functores formadores de proposiciones y proposiciones constantes; la segunda nos permite ddtnk fud&res formadores de nom- bres y nombres ocynstantes. , . e , I J P J I

La regla de definiciones protot6ticas pude ser descrita del siguiente modo:

Sea T la última tesis en determinado momento de desarrollo del sistema, podemos agregar al sistema una nueva tesis de la forma

E I . , '*-i 'Jd':.

1. . .]: ff.=.*f3~.-'. .) .- 1 ' , k t l t l . , . *

'en el supuestode que Se dmplah ías !&irihted m~íciones: el definiens (¡.e. e l lado iizquierdo de la equivalencia, rqresmWrr"~for "$) es con mspeeto a T una exprbd6n proposic'ional significativa (¡.e. toda comante que apai-e& Bt'l rtudbbe aparecer en T o en und tesis anterior a T) y toda variable

en a debe pertenecer a una categoría semántica introducida anteriormente en el sistema. El definién- dum, ¡.e. el lado derecho de la equivalencia, representado por "P(. . .)" eqo bien (a) una proposición constante que no aparece en T ni en tesis anteriores a T, o (b) es una función formadora de proposi- ciones o una función multiligadora cuyos functores representados por "r no aparecen en T mi en tesis alguna que preceda a T; los argumentos del functor "r deben ser variables, las cuales no deben aparecer más de una vez en el definiens como variables libres; b s variables que aparecen en el defi- niens y en el definiéndum deben ser ligadas por el cuantificador a la izquierda de la equivalencia.

La regla de definiciones ontológicas puede ser enunciada del siguiente modo:

Sea T la última tesis de determinado momento de desarrollo del sistema, podemos agregar una nueva tesis de la forma

[A. . .] : ~ (A€P) .= .AE~(. . .) 1

en el supuesto de que se cumplan las siguientes condiciones: el definiens, ¡.e. la expresión represen- tada por "a(AE0 ") es con respecto a T una expresión proposicional significativa; es o bien una ex- presión de la forma AEP o una conjunción ta l que uno de sus miembros es de la forma AQ o una conjunción igual a esta última y precedida de un cuantificador existencial. Todo término constante en el def iniens aparece en T o en una tesis anterior a T en el sistema. La expresión "a (. . .)" (i) un nombre constante que no aparece en T ni en tesis alguna que preceda a Ten el sistema; o (ii) una sim- ple función nominal o una función nominal multiligadora. El functor representado por "d' no apa- rece en T ni en tesis alguna que preceda a T en el sistema, y sus argumentos son variables que no aparecen más de una vez en el definiéndum ni son equiformes con "A". Toda variable que aparece en el definiens como variable libre y toda variable libre del definiens aparece en el definiéndum; un cuantificador universal debe ligar todas las variables libres que aparecen en la equivalencia.

Por otro lado, las reglas de extensionalidad son dos, a saber: la regla de extensionalidad proposicio- nal y la de extensionalidad nominal. La primera puede ser expresada del siguiente modo:

Sea T última tesis en determinado momento de desarrollo del sistema, podemos agregar al sistema una tesis de la forma:

en el supuesto de que toda variable en esta tesis pertenezca a una categoría semántica introducida anteriormente en el sistema y de que se cumplan las siguientes condiciones: las expresiones proposi- cionales por "q(. . .)" y "Y (. . .)" son funciones proposicionales simples o funciones multiligadoras proposicionales; son equiformes excepto por los f unctores "tp" y "Y "; sus argumentos son variables, ninguno de los cuales aparece en cualquiera de las funciones más de una vez.

La regla de extensionalidad nominal puede ser enunciada así:

Sea T la Última tesis en determinado momento de desarrollo del sistema, podemos agregar a l sistema una nueva tesis de la forma: i

i .)

[a6].:[A. . .]:AEa(. . .).%.AE6 (. . .):E:[@]: @ (6 )F@ ( a )

en el supuesto de que toda variable en esta tesis pertenezca a una categoría semántica introducida anteriormente en el sistema y de que se cumplan las siguientes condiciones: las expresiones represen- tadas por "a(. . .)" y "6 (. . .)" son (i) variables nominales diferentes de "A" y entre ellas mismas; o (ii) simples funciones nominales o funciones nominales multiligadoras las cuales son equiformes en- tre ellas excepto por los functores "a" y "6 "; los argumentos de las dos funciones son todos varia- bles, los cuales no son equiformes con "A" ni aparecen en cualquiera de las funciones más de una vez.

_ . 2 .

. .I

> - . . q A - d e - 7

Por último, los teoreriasdel6fiobgia ron pro os en orma suposicional y usando las reglas de deducción natural. Para ilustrar esto, probaré un teorema usando el siguiente sistema axiomático basado en el functor "el".

1) Prototdtica o, el cálculo proposicional y la teoría de la cuantifimción.

2) Las reglas de definición y extensionalidad mencionadas anteriormente; las reglas de substitución y separación.

3) 1. [A]:AEA.>.AEel (A) , i 1 f

2. [AB]:AE~I(B!).BE~I(A).>.A= B

3. [ABC]:AEel(B).BEeI(c).3.A€el (c)

4. [AB] :AEel(B) .>.BEB

Teorema:

[ ABa] :AEel(B).BEa>.AEel kl(a)

Prueba: hibb.t&ls ('1 ) AEel(B) [ ABa] : 3.

hipótesis (2) BEa

3) [ 3C]CEkl(a) [Hip. (2) y 3.71

[Hip. (2) y 41

6) Aeel(c) [Hip. (1 ),5 y 3.5.1

7) [FD]:DEkl(a).F€kl(a) .>.FED[2 y la definici5n ontológica [AB]= ~ACB.BEA]

8) kl(a)EC [De un teorema de ontología, 3 y 71

[O6 un teorema de ontología y $1

10) kl(a)Eel(kl(a)) l ~ i '

[%11

11 CEel(kl(a) 1 . í c , [De un teorema de omologfa, 10,3] AE.el(kl(a) ) [11,6,3.3.]

- 3 -

IV. LA CONSISTENCIA DEL SISTEMA DE MERlOLOGlA q De acuerdo con Sobocinski, la consistencia de Meriología fue probada por Lesniews I usando la teo-

ría de los números reales. Sin embargo, esta prueba nunca fue publicada. Más tarde Róbert Clay en su te- sis doctoral, presentada en la Universidad de Notre Dame, logró reconstruir tal prueba, Esta consiste en mostrar aue si e l sistema de Ontología con la adición de los axiomas de fbs números reales es consistente. ,El problima de la prueba de Clay Gque hacía depender la consistencia $e una teorb simple en una teo- ría que no es tan obvia como la primera.

Años mis tarde, en 1968, C. Lejewski publicó una prueba de la consistencia de la Meriología ba- sándose en la consistencia de Prototética. Esto es, probó que si el sistema de Prototética es consistente, entonces Meriología también lo es. Esta prueba posee la ventaja sobre la.de Chy de haer depender la consistencia de Meriología sobre la base de una teoría más obvia y cuya consistencia ya ha sido proba- da 1 2 .

V. LA PARADOJA DE RUSSELL

Dado que el sistema de Meriología es consistente, la paradoja de RÚssell no se puede producir en es- t e sistema. Intuitivamente la paradoja no se puede presentar en este sistema debido aque todo objeto es elemento de sí mismo, como lo afirma el axioma 3.1 ., y toda clase es un objeto como lo afirma la def ini- ción rneriológica de ciase (1 .e. Df. 5). Sobre estos dos supuestos no existe una clase de clases que no sean elementos de sí mismas (pues en Meriología no existen las clases vacías) l 3.

VI. EXTENSIONES DE LA MERlOLOGlA

Partiendo del sistema de Meriología se pueden construir-dos sistemas mutuamente excluyentes, a sa- ber: la Meriología atómica y la no atómica. El primer caso se obtiene agregarkld el supuesto, al sistema de Meriología, de que todo objeto es un átomo meriológico (¡.e. un objeto que no tiene partes) o una clase construida a partir de átomos, los cuales constituyen sus elementos. El segundo caso se logra mediante la adición a la Meriología del supuesto de que no existen átomos meriológicos. En términos más formales, se puede obtener un sistema de Meriología atómica agregando el siguiente axioma o sus equivalentes a cualquier sistema de Meriolog ía:

y agregando el siguiente axioma o sus equivalentes a cualquier sistema de Meriología obtenemos un siste- ma de Meriología no atómica:

[A]:AEA>.[3B]:.BEpt (A).

Cabe agregar que el sistema de Meriología es neutral con respecto a la existencia de átomos.

V. F. R ichey definió la noción de átomo meriológíco y la noción ser átomo de algo del siguiente mo- I I

do respectivamente:

[B]:BEB:[C].CEel (B)>C=B.=.BEatm i

[CAC]:.AEA:[B].BEel(A)3.B=A:=.A

La primera definición permite reducir el axioma mracteristim de Meriología atómica a: [A]:A€A>. [ 3 B].BEel (A). BEatm; y la segunda defini~ir5n.a: [AJ:AEA3r[ 3B]B-t (A).

Ahora bien, el sistema axiornátiw citado, de Meriología atómica, toma a "el" como functor prirniti-

b vo. Sin embargo, Sobocinski construyó un sistema axiodtioo de Meriologla atómica 1 "sando a "atm"

44

oomo f unctor primitivo. A estos resultados se agr*, h gonstrucción por parte de C. Lejewski de los pri- meros sistemas axiomáticos de Meriología y no atómicacon un solo axioma. Mds tarde, Róbert Clay ofre- ció sistemas con un solo axioma, axiomas que eran más wrtos que los de Lejewski 1 5 .

Por último, la con$,istencia de la Meriología atómica fue probada por Sobocinski; para ello us6 una i n t e r m i 6 n en Protalea andloga a la de Leiewski para Meriolqfa 1 8-

$5.4 ,. > 2 - : I ,+ 0 - - ~kn&od& im phrdmn O,y! g5jp@9

1 1. No se debe entender aquf "Q~tgO&la" gn &Fk#~?~,jw I I

los6fico. Ver apartado 1 1 2 , ,

2. Cfr. (2). (4).

5. En las teorías l6gím da Lmyik~weki m adapta una 9. Cfr. (8).

10. Cfr. (9). - 1 '& > l 4 - 1 1.

11. w, ( I I I , ~ ~ . , ! ! ) 5 z o 4 - +

, - 1

~ 2 . Cfr. (221. , , -

13: Ck. E2;o.j.

{Lo SEguW fM@w mMWpre3bna tales que 14. Cfr. (24). al sustituir ws variahks por constantes se convierten sn4raombr@- E$@r&yn~J@& QM m pmenpesn a 15. Cfr, 43), 11% -,

fiqfllyy ;J qqmbr? de "f umt~re~" . bgs qlamF$q&gry lF~g$jn?esif nO pwteneaen a 16. Cfr. (2h): "

l t i p i )

'4

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