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Empoderamiento docente desde una visión Socioepistemológica: Estudio de los

factores de cambio en las prácticas del profesor de matemáticas.

Data · November 2011

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Daniela Reyes-Gasperini

Center for Research and Advanced Studies of the National Polytechnic Institute

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CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DE ESTUDIOS AVANZADOS

DEL INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

Unidad Distrito Federal

Departamento de Matemática Educativa

Empoderamiento docente desde una visión Socioepistemológica:

Estudio de los factores de cambio en las prácticas del profesor de matemáticas.

Tesis que presenta

Daniela Reyes

Para obtener el Grado de

Maestra en Ciencias

En la especialidad de Matemática Educativa

Director de Tesis

Dr. Ricardo Arnoldo Cantoral Uriza

México, Distrito Federal Noviembre, 2011

Buscar la democratización del saber, no es una tarea sencilla y somos consciente de eso, sin embargo,

los socioepistemólogos, desde la comunidad

de matemáticos educativos, nos lo proponemos a diario.

Agradezco muy especialmente al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (Conacyt)

quien, a través de su apoyo, me ha permitido como estudiante extranjera

realizar mis estudios de maestría en tan prestigiosa institución.

Esto es una evidencia más de su compromiso con el desarrollo y

la construcción del conocimiento científico del país y de nuestro continente latinoamericano.

Daniela Reyes

N° de Becaria: 290575

Esta tesis se la dedico a quienes conforman la esencia de mi vida:

Fer, por enseñarme a vivir y ser mi ejemplo de ser humano,

Her, por enseñarme a luchar por la justicia y creer en mí,

Mamuna, por ser la razón de mi existencia en todo su sentido,

Viejo, por enseñarme a creer en las utopías y a ser libre,

Fausto, Alba y Vicky, por hacerme la tía más feliz del mundo,

Nonna, por ser el ejemplo de la lealtad, el amor y la bondad,

Vuelo, por impulsarme a volar y enseñarme a amar, a amarte.

Lo esencial, es invisible a los ojos.

Antoine de Saint-Exupéry

Agradecimientos

Agradecer es sentir y manifestar gratitud por algo recibido, por tanto, quienes nombre aquí, me han entregado algo, seguramente, no material.

Cecilia, Nora, Patricia, Liliana, Ponte, gracias por confiar en mí e incentivarme a venir hasta acá.

Lulita (un codazo me cambió la vida), Naty, Marucha, Rivka, Ale, Pasto, Javi, gracias por compartir la formación y la convicción de la docencia, he aprendido de ustedes lo que los libros no me han sabido contar y en especial, gracias, por su amistad.

Lulita y Naty, gracias por su amistad incondicional, lo mejor que me han dejado: la felicidad de vernos sonreír.

Natu, gracias por alegrar todas mis mañanas y estar al pendiente de mi vida mexicana, fuiste un gran sostén para mí y sé, que lo seguirás siendo, porque “una noche bastó” para la eternidad.

Lau, gracias por cada plática y cada palabra de aliento, empezando desde el empuje para llamar a preguntar por un pasaje a México.

Cin, siempre hemos tenido una amistad atípica, la coincidencia para nosotras es algo natural, coincidir en esta amistad, fue una de las mejores cosas que me pasaron en la vida. No en vano, las carátulas de esta tesis, tienen tu arte… sabés qué es lo que pienso en cada caso. ¡Gracias amiga!

Ju, Luca, Pato, Seba, Guadita porque en mis regresos a Argentina ustedes marcan la diferencia.

Enana, Vale… gracias por el aguante, el apoyo y la energía que siempre me brindaron cuando quise bajar los brazos, porque su confianza incondicional me daba fuerza para seguir; por su amistad única, por su esencia, por ser parte íntegra de mi vida… 22 años de amistad. ¡GRACIAS AMIGAS!

A los integrantes del seminario de Métodos y Fundamentos de la Socioepistemología: porque en ese seminario construí mis mayores saberes sobre la Socioepistemología.

Aleph (Eli, José, Lesly, Victor, Arturo y Sergio), porque sus preguntas, sus reflexiones, sus cuestionamientos, tan profundos, fueron faros en el mar para guiar las conclusiones de mi trabajo…

Agradezco a todo el personal de Cinvestav – Matemática Educativa: Jadde (una más de nosotros), a Nancy y a todo el equipo por hacer del Departamento, un hogar.

En especial, quiero agradecer a Adri Parra. Adri, sos un ángel que cayó en la Tierra, no hay duda. Y a Martiux, a vos Martiux, gracias por tantos buenos momentos compartidos y por tu calidad y calidez de persona.

A mi generación: Clau, Lupita, Tati, Thela, Rubén y Ady, por compartir los primeros pasos de un largo camino hacia el futuro.

A las otras generaciones, por hacer de Matedu una comunidad y construir conocimientos a la par.

Gracias Jo, María Elena, Paty, Lalo, Enrique, por hacer los días más placenteros.

Agradezco a los profesores que han impartido los seminarios durante el comienzo de mi formación: Claudia Acuña, Asuman Oktac. En especial a Rosa María Farfán, Marta Valdemoros, Francisco Cordero y Ricardo Cantoral, por haberme enseñado a investigar, investigando. Asimismo, quiero agradecer todo el apoyo técnico y profesional brindado para la realización de esta tesis y durante nuestra formación como investigadores a la Ing. Martha Maldonado Rosales, Auxiliar de Investigación del DME.

Quiero agradecer a mis sinodales, Gisela Montiel y Rosa María Farfán, por haber aceptado discutir intelectualmente este proyecto y brindar sus aportaciones.

Muy especialmente, quiero agradecer a quienes con el ejemplo, la convicción y la dedicación me han enseñado y apoyado en este trabajo de investigación:

Gisela, gracias por todo, en todo momento. Porque con vos he crecido académica, emocional y personalmente de manera incomparable, porque sos, para mí, un ejemplo a seguir… ¡GRACIAS!

Ricardo, gracias por haber confiado en mí para cada uno de los proyectos emprendidos a la par, por dejarme e impulsarme a crecer, por escuchar lo que tenía para decir… gracias por mostrarme con tu ejemplo que la lucha es válida y que las utopías de hoy no son más que el comienzo de una realidad futura. ¡GRACIAS!

Quiero agradecer muy especialmente al profesor con quien realicé el estudio de caso y a toda su familia, por abrirme las puertas y dejarme ver de manera transparente la realidad docente. Estaré infinitamente agradecida con ustedes.

Agradezco a todos y cada uno de los docentes que participaron de la Especialización, quienes me permitieron ver su realidad y acrecentar mi creencia de que la docencia es profesión y convicción. Ustedes son los principales protagonistas de esta historia.

También a Rebeca, quien ha leído el trabajo y ha contribuido para la consolidación de este proyecto.

Hoy puedo asegurar, sin ninguna duda: la tesis se escribe a solas, en una lap… pero se hace en Cinves, en comunidad… Gracias a la comunidad, por ser parte de este proyecto.

Agradezco a Clau Balam, a Jaso, a Clau Méndez, a Jano, a May, a Pame… por compartir conmigo la experiencia de una nueva amistad.

En particular, quiero agradecer a esas personas que han marcado mi vida… Como siempre dije, vine a México con el objetivo de formarme como investigadora, de buscar herramientas para hacer de la educación un derecho y no un privilegio, porque concibo a la educación como motor social… Y México me dio más que eso, me dio personas que me cambiaron la vida, para mejor, me dio a tres nuevos hermanos:

Me dejó conocerte hermano, me dejó aprender de lo precioso que es luchar por la libertad y la igualdad, aprender lo que es ser “buena gente”, con todo lo que eso conlleva, me dejó conocerte Lian…

Me dejó aprender lo maravilloso que es compartir la vida y ser parte una de la otra, tu calidez ha hecho de mis días algo incomparable, me dejó conocer a alguien que eternamente, será parte de mi vida, me dejó conocerte Kar; me dejó conocerte, hermana…

Y de vos, ¿qué decir de vos, Da? Las palabras no alcanzan, mujer, para explicar lo que significás para mí… y sí hermana, esta tesis también es nuestra, porque ¡la lucha es compartida!

A los tres, les agradezco con el alma su amistad sincera e invalorable, porque esta tesis tiene algo de cada uno de ustedes: ¡GRACIAS!

A mi familia: Tío, Mica, Lean, Lau, Jor, Madrina, Javi, Malala, José y Ale, gracias por el apoyo constante.

Titi, la distancia nos ha unido de una manera incomparable, gracias por ser parte de cada uno de los avances de esta tesis.

Por último, y sobre todas las cosas, a quienes fue dedicado este trabajo, a: Fer, Her, Mamuna, Viejo, Fausto, Alba, Vicky, Nonna, Vuelo… ¡GRACIAS POR APOYARME A BUSCAR MI PROPIO CAMINO!

Esta tesis, aunque ha sido escrita en México, tiene sabor a mate; aroma a carbón; textura a río; sonido pastillero, damianezco (gracias Dami por teletransportarme a Argentina en cada una de tus canciones), folklórico, cubano y silviero… y sobre todas las cosas, tiene mirada latinoamericanista. ¡Gracias Argentina! ¡Gracias México!

A todos, ¡GRACIAS! Por haberme dado, aquello que no se puede palpar.

GRACIAS.

i

Índice Página

Índice ............................................................................................................... i

Resumen ........................................................................................................... v

Abstract ........................................................................................................... vii

Introducción .................................................................................................... ix

Capítulo I: La problemática ................................................................................ 1

I. 1. Motivación ......................................................................................... 5

I. 2. Problema ........................................................................................... 7

I. 3. Contextualización ............................................................................. 14

I. 4. Objetivo de investigación .................................................................. 17

Capítulo II: Marco teórico .................................................................................. 19

II. 1. La Matemática Educativa ............................................................... 23

II. 2. La Socioepistemología ..................................................................... 26

Principios de la Socioepistemología .............................................. 28

El principio normativo de la práctica social ................................. 28

El principio de racionalidad contextualizada ............................... 29

El principio del relativismo epistemológico .................................. 30

El principio de la resignificación progresiva o apropiación .......... 31

II. 3. El discurso matemático escolar (dME) ........................................... 32

II. 4. Cambio de centración: de los objetos a las prácticas ...................... 40

Construcción social del conocimiento matemático ....................... 42

Situación de aprendizaje .............................................................. 43

II. 5. Una síntesis necesaria ..................................................................... 45

ii

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento docente ..................................... 47

III. 1. Distintas interpretaciones de Empoderamiento ........................... 51

III. 2. Contribución de la Especialización en el fenómeno de Empoderamiento Docente ........................................................... 60

III. 3. El fenómeno de empoderamiento docente según la

Socioepistemología. ........................................................................ 62

III. 3.a. El fenómeno de empoderamiento y la exclusión del dME 63

III. 3.b. El fenómeno de empoderamiento y el fenómeno de Reproducibilidad ............................................................... 66

III. 3.c. El fenómeno de empoderamiento y su relación al saber . 70

III. 3.d. El fenómeno de empoderamiento y su relación al saber: El caso de la proporcionalidad .......................................... 75

Dimensión cognitiva .......................................................... 77

Dimensión epistemológica ................................................. 84

Dimensión didáctica .......................................................... 86

Dimensión social ................................................................ 90

Capítulo IV: Marco Metodológico ........................................................................ 93

IV. 1. Método: Estudio de caso ................................................................. 97

IV. 2.1. Vía de inferencia ......................................................................... 101

IV. 2.2. Selección del caso ........................................................................ 102

Consideraciones de la evolución matemática respecto a los Exámenes de admisión y egreso ................................................... 103

Consideración de la participación en la etapa presencial ............ 103

Consideración de la participación en la reproducibilidad ............ 104

Consideración pragmática ............................................................ 105

iii

Consideración del trabajo en la reproducción .............................. 105

IV. 2.3. Determinación de la unidad de análisis y de la unidad de información

Información. ................................................................................ 106

IV. 2.4. Las técnicas e instrumentos para la recolección de datos .......... 106

IV. 2.5. Las técnicas de análisis ............................................................... 107

IV. 2.6. Criterios de la investigación ....................................................... 107

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos ........................................... 109

V. 1. Descripción del docente observado .................................................. 113

V.2. Actitudes de liderazgo ...................................................................... 114

Episodio 1, interacciones durante la fase de reproducibilidad .... 115

Episodio 2, primera interacción de Santiago con los colegas, 4 de mayo de 2011......................................................................... 119

Episodio 3, segunda interacción de Santiago con los colegas, 12 de mayo de 2011 ........................................................................ 122

Síntesis de actitudes de liderazgo ................................................ 127

V. 3. Desempeño matemático ................................................................... 127

Episodio 1, primer año, curso D, 6 de junio de 2011 .................... 130

Episodio 2, primer año, curso A, 7 de junio de 2011 .................... 132

Episodio 3, primer año, curso A, 7 de junio de 2011 ..................... 135

Episodio 4, primer año, curso C, 7 de junio de 2011 ..................... 138

Episodio 5, primer año, curso C, 7 de junio de 2011 ..................... 143

Episodio 6, problematización del saber con Santiago,

8 de junio de 2011 ......................................................................... 152

Episodio 7, primer año, curso A, 8 de junio de 2011 .................... 155

Episodio 8, primer año, curso A, 8 de junio de 2011 .................... 160

iv

Síntesis de desempeño matemático .............................................. 162

V. 4. Desempeño profesional .................................................................... 163

Episodio 1: las clases en sus comienzos ........................................ 163

Episodio 2: los lazos entre sus profesiones ................................... 164

Episodio 3: su experiencia en la Especialización ......................... 165

Episodio 4: su relación con el saber antes de la problematización Del mismo ................................................................. 166

Episodio 5: su interacción con el saber matemático ..................... 168

Episodio 6: la incidencia en su práctica docente .......................... 170

Episodio 7: lo que sigue ................................................................ 171

Síntesis de desempeño profesional ............................................... 172

V. 5. Una síntesis necesaria ..................................................................... 172

Capítulo VI: Conclusiones .................................................................................... 175

Referencias bibliográficas ................................................................................... 195

v

Resumen

En esta investigación se analiza y caracteriza el fenómeno de empoderamiento docente desde una visión teórica particular: la Socioepistemología. Reconocemos la figura de Docente como intelectuales profesionales que se ocupan de la formación académica, ética y ciudadana de los jóvenes de nuestra sociedad.

Partimos de una base conceptual respecto del aprendizaje en matemáticas. La apropiación del conocimiento matemático precisa de argumentaciones diversas con racionalidades puestas en contexto, de promover una resignificación progresiva de las nociones y procesos matemáticos que consideren varios marcos de referencia, todo ello sobre la base de asumir a las prácticas sociales como generadoras del conocimiento; esto es, que se acepte un rediseño del discurso matemático escolar (dME), como el que plantea la teoría Socioepistemológica, labor compleja, no trivial. No basta para la mejora educativa, con ofrecer al docente talleres o cursos en los que se discutan herramientas didácticas o metodologías pedagógicas.

La formación habitual que han tenido los docentes excluye este tipo de reflexiones a causa directa del papel que juega el dME como enfoque legítimo y hegemónico en los sistemas educativos: impone argumentaciones, significados y procedimientos sobre los saberes matemáticos según refiere Soto (2010) y ante la implementación de las propuestas didácticas que desde la investigación se ofrecen, se evidencia una fragilidad considerable como señala Lezama (2005).

Concebimos al empoderamiento como el proceso social vivido por el docente, en conjunción con colegas e investigadores, con el objeto de comprender, asimilar, asumir, aceptar y adherirse a las nuevas propuestas del dME. Asimismo, este proceso de empoderamiento le permite al docente apropiarse del saber que enseña mediante su problematización. Son estas variables quienes, en conjunto, brindan las condiciones que potencian una actitud de liderazgo, que le dan confianza y fortalecen su autonomía con el fin de abrir caminos a la innovación, no sólo de diseños o implementaciones didácticas, las situaciones de aprendizaje, que la investigación ofrezca, sino también, en la generación de cuestionamientos, debates y reflexiones con sus estudiantes que hagan emerger los distintos significados del saber matemático. Todo ello, como uno de los mecanismos didácticos que acompañe al rediseño del dME. Esta participación novedosa ante el saber que desarrolla el docente, potencia el aprendizaje basado en procesos de construcción social del conocimiento, y de este modo, atiende y evita el fenómeno de exclusión educativa que provoca la matemática escolar bajo el cobijo del dME.

En síntesis, con esta investigación se postula que es indispensable que el docente vivencie un proceso de empoderamiento para poder lograr modificaciones en su práctica y en consecuencia lograr el aprendizaje de sus alumnos.

vi

vii

Abstract

In this investigation, is analyzed and characterized the teacher empowerment phenomenon from a certain theoric vision: the Socioepistemology. We recognize teachers roll as professional intellectuals who deal with academic training, ethics and citizen young people in our society.

We set up from the a conceptual core of mathematics learning. The ownership of mathematical knowledge need different arguments with rationales context, to promote progressive resignification of knowledge and mathematics process considering multiple frames of reference, all of them about to assume the social practices such as knowledge generators, that is, accepting a redesign of school mathematical discourse (dME), such as proposing the Socioepistemology, is not trivial. It’s not sufficient for improving education with to offer workshops or courses to teachers in which to discuss teaching tools and teaching methodologies.

The habitual teacher formation don´t have this kind of reflexions, it’s a direct cause of dME like said Soto (2010) is legitimized by the educational system, which requires arguments, meanings and procedures over mathematical knowledge and above all the implementation of educational proposals from research to offer, there is evidence of considerable fragility by Lezema (2005).

We conceive of empowerment as the social process lived by the teacher, in conjunction with colleagues and researchers, in order to understand, to assimilate, to assume, to agree and to adhere to the new proposal of dME. Furthermore, this process of empowerment allows the teacher to appropriate of knowledge that it teaches through of his problematization. They are these variables who, together, provide the conditions to foster a leadership attitude, which gives confidence and strengthen their autonomy in order to open ways for the innovation, not only of designs or implementations didactic, the learning situations, which the research offers, but also, in generating questions, discussions and reflections with their students who make emerge the different meanings of mathematical knowledge. This, as one of the learning mechanisms accompanying the redesign of the dME. All this, as one of the didactic mechanisms that he accompanies on the redesign of the dME. This new involvement with the knowledge that the teacher develops, fosters the learning based on process of social construction of knowledge, and thus, attends and avoids the phenomenon of educational exclusion that provokes the school mathematics under the shelter of dME.

In summary, whit this research is postulated that it is essential that the teacher lives a process of empowerment to be able to make changes in his practice and thereby achieve learning of his students.

viii

Introducción

x

Introducción

xi

Aunque pueda parecer utópico, “Los sueños de hoy

serán realidades de mañana.” José Martí

La profesión docente es una de las más cuestionadas en la sociedad contemporánea. Es usual que se ponga en duda el desempeño de los docentes desde cualquier ámbito social: la familia, el periodismo, el gobierno y desde muchos otros ámbitos profesionales. Nosotros en cambio, para hacer esta investigación, partimos del reconocimiento del docente como intelectual profesional que se ocupa de la formación académica, ética y ciudadana de los jóvenes de nuestra sociedad. Reivindicamos por tanto, y respetamos sobre manera su labor, no sólo porque también somos docentes, sino porque estamos convencidos de la relevancia que tiene su labor en el progreso y desarrollo social. Entender y atender su realidad para nosotros es más que un trabajo de investigación, es una profunda convicción.

Introducción

xii

En esta investigación estudiaremos y caracterizaremos el fenómeno de empoderamiento docente, concebido como un proceso que vive el individuo en colectivo y que tiene como objetivo principal generar una actitud de liderazgo, confianza y autonomía que se traduzca en una mejora en el desempeño profesional. Hacerse dueño del saber que enseña, brinda a un docente la posibilidad de abrir caminos a la innovación de diseños y a la implementación de situaciones de aprendizaje que ofrece la investigación. Así también, permite atender la diversidad de pensamientos matemáticos que surgieran por parte de los estudiantes durante el desarrollo de una situación, con base en interacciones de naturaleza dialéctica, que hagan emerger los distintos significados de los saberes matemáticos mediante retroalimentaciones sucesivas entre el individuo y su medio ambiente próximo, tanto físico como cultural (Cantoral, Farfán, Lezama & Martínez Sierra, 2006).

Sostenemos que la formación que hasta hoy reciben los docentes – en los procesos de formación continua – los excluye de este tipo de reflexiones a causa del discurso Matemático Escolar (dME) que está legitimado por los sistemas educativos, que impone argumentaciones, significados y procedimientos sobre los saberes matemáticos. El dME actual posee un carácter utilitario y hegemónico, carece de marcos de referencia para la resignificación, está compuesto de conocimientos acabados y continuos, y posee una atomización en los conceptos (Soto, 2010), exento por completo de una visión de la construcción social del conocimiento matemático, por tanto, excluyente de ella.

Con las investigaciones que la Teoría Socioepistemológica realiza, se ha demostrado la necesidad de lograr un aprendizaje elocuente en Matemáticas, que privilegie entre las situaciones de aprendizaje, las prácticas sociales en su papel de generadoras del conocimiento; con la investigación de Soto (2010) se logró despersonificar el problema del aprendizaje de las matemáticas, dejando en claro que el fracaso escolar en matemáticas no es debido a fallas o culpas ni del docente ni del estudiante, sino que es el dME el que excluye a los actores didácticos de una construcción social del conocimiento matemático. Pero… ¿Cómo podríamos solicitarle a los docentes que se cuestionen el saber, ante un dME que impone y legitima esa imposición?

Introducción

xiii

En el haber de la investigación educativa hay una enorme cantidad de investigaciones que se replantean el tipo de metodologías pedagógicas o herramientas didácticas que los docentes deben aprehender para mejorar sus clases. Sin embargo, creemos que eso no basta para que exista un cambio profundo en la educación de la matemática. Desde la Teoría Socioepistemológica, replanteamos, primeramente, el qué se enseña a nuestros estudiantes, además de preguntarnos cómo se enseña. Este matiz produce una reorganización de la perspectiva teórica: el qué y el cómo.

La comunidad ha brindado numerosas e interesantes propuestas didácticas que privilegian y reconocen a las prácticas sociales como generadoras del conocimiento matemático, atendiendo al qué se enseña en las clases de matemática. Digamos que al acudir a la noción de práctica social tendemos un puente entre el qué enseñar y cómo enseñar. Sin embargo, al estudiar el fenómeno de reproducibilidad, en donde se analiza aquello que ocurre cuando estas propuestas son llevadas al aula y busca los factores que posibilitan el logro de los propósitos didácticos de éstas una vez que hayan sido aplicadas en distintos escenarios (Farfán & Lezama, 2001), nos damos cuenta que existe una fragilidad considerable en la reproducibilidad. Se reconoce el fracaso a causa de las distorsiones que se producían al aplicar las actividades en el aula, producto de las interpretaciones que hacían los docentes sobre ellas y a las características del grupo. En esta investigación se asume que se hicieron las adaptaciones pertinentes a las situaciones y que se trabajó estrechamente con los docentes… pero no bastó para generar el aprendizaje esperado en los estudiantes.

Asimismo, Salazar y Díaz, (2009), Iturbe y Ruiz (2011) y Valdemoros (2010), han evidenciado que aun trabajando con docentes, diseños que tenían como fin superar dificultades respecto al aprendizaje, si bien reconocen que han “avanzado como maestros” y tienen acceso a la información que la investigación aporta según el proceso de enseñanza-aprendizaje, ellos no han podido producir modificaciones en su práctica.

Al respecto, nosotros nos hicimos la siguiente pregunta: si el dME, legitimado por el sistema educativo, es el que excluye de la construcción del conocimiento matemático (Soto, 2010) y los docentes que actualmente están a cargo de las clases de Matemática de cualquier nivel, y secundaria en particular, fueron y son formados con base en este

Introducción

xiv

mismo dME (Reyes Gasperini, 2010; Reyes Gasperini & Crespo, 2011), ¿es posible que ellos favorezcan la construcción social del conocimiento matemático si han sido excluidos también? De igual manera, desde la investigación se proponen situaciones de aprendizaje que propicien la construcción del conocimiento con base en la problematización del saber matemático. Los docentes, apropiándose de ella mediante el rediseño de la situación, se estima, sean quienes puedan llevar al aula estas discusiones, reflexiones y acompañar en el proceso de aprendizaje (Lezama, 2005), pero… ¿Podrán ellos favorecer la problematización del saber si no lo han hecho durante su formación, ni inicial ni continua?

Es por esto, que nuestra investigación, más que discutir los aspectos pedagógicos, se replantea la problematización del saber como camino para incidir en la práctica docente. Postula que los docentes deben ser conocedores de esta nueva mirada de las Matemáticas y deben vivir el proceso de construcción del conocimiento para, posteriormente, poder generar espacios propicios con sus propios estudiantes. Es evidente, que este trabajo no es trivial y mucho menos, individual de partida. La legitimidad del dME (Soto, 2010), es sumamente imponente como para que los docentes, por cuenta propia, se lo cuestionen. Entender, estudiar y atender estas problemáticas que de la comunidad educativa emergen, es uno de los quehaceres de los matemáticos educativos, ya que la investigación nos da evidencia de cómo podrían llevarse a cabo estos procesos (Reyes Gasperini, Gutiérrez & Moreno, 2011).

En nuestra investigación se da evidencia de que el proceso de empoderamiento, mediante la transición de la problematización del saber matemático a la construcción de herramientas para el saber didáctico, genera en el docente una actitud de liderazgo, confianza y autonomía que se traduce en una mejora en el desempeño profesional. Es decir, apoyándonos en el diseño y desarrollo de un Proyecto Nacional para docentes de secundaria fundado sobre la Teoría Socioepistemológica y en particular mediante el estudio de casos, mostramos que es a través de la problematización del saber que se puede incidir en el cambio de visión hacia las Matemáticas por parte de los docentes, en un mejoramiento en su práctica y, por tanto, en un mejoramiento el aprendizaje de los estudiantes. Esto le permite al docente diseñar sus propias situaciones de

Introducción

xv

aprendizaje como herramientas didácticas para generar escenarios propicios en el que se atienda al aprendizaje con base en la construcción social del conocimiento.

En el capítulo I planteamos, en primer lugar, las motivaciones que nos llevaron a realizar esta investigación; luego, exponemos el problema de investigación y la contextualización donde se lleva a cabo la misma. Por último, damos a conocer el objetivo de nuestra investigación.

En el capítulo II nos adentramos en los principios y fundamentos de la Teoría Socioepistemológica, que fungirán como herramienta principal para analizar el fenómeno observado; retomaremos y explicaremos un constructo teórico que de esta teoría se desprende: el discurso Matemático Escolar y, por último, reflexionamos sobre el cambio de centración de “los objetos a las prácticas”, particularizando en la construcción social del conocimiento como sustento del aprendizaje y las situaciones de aprendizaje como herramientas didácticas.

Dado que el constructo teórico de empoderamiento es nuevo en Matemática Educativa, en el tercer capítulo , nos vimos en la tarea de realizar el estado del arte sobre las caracterizaciones existentes en otras áreas de investigación, en particular, en aquellas que refieren a la educación. Con ello, pudimos detectar elementos transversales a todas los contextos en los que se hizo la revisión de la literatura, a saber:

1. es un proceso del individuo en colectivo; 2. no es un suceso que se otorga, sino que se produce desde el individuo; 3. parte de la reflexión y se consolida en la acción; 4. transforma la realidad.

Estas consideraciones, sirvieron como punto de partida para la caracterización del

empoderamiento docente desde la Socioepistemología, analizándolo en relación al fenómeno de la exclusión del dME (Soto, 2010), al fenómeno de la reproducibilidad (Lezama, 2005) y, en particular, al saber matemático.

En el último apartado mencionado, el fenómeno de empoderamiento y su relación al saber, postulamos un modelo conceptual del desarrollo del conocimiento matemático

Introducción

xvi

(ver figura i), basado en los principios de la Teoría Socioepistemológica, como acompañamiento de las reflexiones que se realicen entre docentes e investigadores, docentes y estudiantes, y sus combinaciones, como posible guía para problematizar el saber. Es decir, ante la inminencia de la necesidad del rediseño del dME actual, nos hemos dado a la tarea de explicar cuál y cómo podría ser el proceso que podría vivir el docente, para que acompañe y sea parte del cambio de concepción sobre el aprendizaje de la matemática, basada en los conocimientos matemáticos como emergentes de la construcción social.

Figura i: Modelo dinámico conceptual del desarrollo del conocimiento matemático, basado en los principios de la Teoría Socioepistemológica.

Posterior a ello, hemos realizado la problematización del saber matemático conocido como proporcionalidad, en cuando a su dimensión cognitiva, epistemológica, didáctica y social; ya que la proporcionalidad ha sido el tema abordado por el docente con quien hemos realizado el estudio a profundidad.

Hemos elegido utilizar el método de estudio de caso, explicado en el Capítulo IV, como una valiosa herramienta de exploración y hallazgo para contribuir a la ampliación, especificación y puntualización de la caracterización del fenómeno de empoderamiento docente, considerando que la mayor fortaleza de este tipo de

Introducción

xvii

metodología cualitativa es: “que a través del mismo, se mide y registra la conducta de las personas involucradas en el fenómeno estudiado” (Martínez Carazo, 2006, p. 167).

La evidencia empírica recabada del estudio de caso y su respectivo análisis, lo realizamos en el capítulo V, dividiéndolo en cuatro grandes apartados: en primer lugar, realizamos una descripción del docente participante contemplando tanto su vida personal como la dimensión académica con el fin de entender su contexto. En un segundo momento, hemos analizado aquellos elementos que permitieron evidenciar la actitud de liderazgo que expresó el docente durante su proceso de empoderamiento. En tercer lugar, revisamos la relación que ha tenido el docente con el saber, en cuanto a su desempeño matemático, tomando como evidencia principal las interacciones que tuvo con los estudiantes previa y posteriormente a la problematización del saber de la proporcionalidad. En cuarto y último lugar, hicimos evidentes los progresos en su desempeño profesional, producto de esta problematización del saber, tomando como evidencia su práctica y los cambios que se hubieran provocado en ella, como así también, su reflexión posterior a las clases.

Para finalizar, en el capítulo VI, se desarrollan las conclusiones de esta investigación. Allí mostramos una articulación de los elementos teóricos con las evidencias empíricas ubicadas en tiempo y espacio, en donde exponemos que nuestra originalidad radica en que dicha articulación se sustenta en el contexto y en las circunstancias sociales y culturales que caracterizan al acto educativo en el México contemporáneo. Toda conclusión por su parte, cierra, a la vez que abre, una reflexión y una problemática. Intentaremos por ese motivo, dejar planteados los hilos a seguir en investigaciones futuras. Es aquí, en las conclusiones finales donde mostraremos la fuerza y amplitud de la teoría socioepistemológica.

Introducción

xviii

Capítulo I: La problemática

3

Dime y lo olvido, enséñame y lo recuerdo,

involúcrame y lo aprendo. Benjamín Franklin

Al momento de plantear el tema de investigación, resulta inevitable considerar tres aspectos fundamentales de nuestra realidad: en primer sitio, el aspecto más subjetivo, que es el conformado por las motivaciones en las que se encierran las vivencias personales, las experiencias como miembro de una sociedad y los relatos como miembro de una comunidad en particular; en segundo término, esta vez sí, en un sentir más objetivo, la problemática que será abordada por la investigación a través de los fenómenos que estudia y atiende la sociedad y la comunidad educativa, lo que favorece el que la investigación sea relevante para la mejora del sistema educativo actual; y, por último, la contextualización sobre la cual se ha detectado y analizado el fenómeno que, al comienzo de las hipótesis, se ha considerado para la investigación. Todos estos aspectos, en su conjunto, permiten conformar y consolidar el objetivo de la investigación.

Capítulo I: La problemática

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I. 1. MOTIVACIÓN

Siendo estudiante de secundaria comencé a replantearme cuál era el motivo por el cual la Matemática que conocía se reducía a algoritmos de todos los tipos, buscando en ese entonces alguna manera de entender la materia más allá de ellos. No fue que la comencé a comprender hasta llegar a mis estudios de Profesorado de Matemática. Allí nos replanteamos cuáles eran las mejores vías para introducir cualquier tema académico, mientras que analizábamos sus dificultades, sus obstáculos didácticos, sus obstáculos epistemológicos y se pretendía poner en conflicto el saber del estudiante, donde se provocara que él reflexionara sobre las actividades dentro del área y pudiera acceder más fácilmente al conocimiento. La experiencia de las prácticas en el colegio fue con base en estas maneras de abordar los contenidos matemáticos, sin embargo, una vez inmersa en el Sistema Educativo, como profesora, el currículo no acompañaba a este tipo de diseños. La cantidad de temas resultaba exhaustiva y provocaba la reducción, nuevamente, a los algoritmos; claro está, dependiendo de la libertad con la cual contaba el docente por parte de las autoridades del colegio para poder modificarlas según sus convicciones y creencias. Esta libertad dista de ser amplia en la mayoría de los colegios.

Sin embargo, ante cualquier intención de modificación de la manera de abordar los contenidos matemáticos dentro de un curso, se debe tener la precaución de ser conscientes de que en el siguiente curso, quizás su manera de abordar la materia sea distinta, induciendo al estudiante – quien todavía está en formación – a un potencial desconcierto. Recuerdo una plática de un colega, Doctor en Ciencias especialidad en Matemática Educativa, quien visitó Argentina, en la cual contaba una historia similar a ésta; sin entrar en detalles, la moraleja es la siguiente: en su curso los estudiantes habían trabajado de una forma con la cual habían salido sumamente conformes y reconocían haber pensado matemáticamente, sin embargo, cuando ingresaron al curso siguiente, se sentían con falencias para abordarlo ya que la manera de enseñanza era tradicional y ellos ya habían cambiado su forma de relacionarse con el saber matemático.

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He aquí, mi primera motivación: la personal. La formación que había recibido durante mis estudios para Profesora de Matemática de nivel Secundario y Terciario 1, distaban mucho de lo que realmente se podía hacer una vez inmersa en el Sistema Educativo y lo que hiciera como individuo -de individualidad- no iba a ser útil para la sociedad toda.

Aunado a esto, desde una perspectiva más social y menos individualista, la comunidad educativa es consciente de las problemáticas existentes en las clases de Matemática: del bajo rendimiento de los estudiantes en los exámenes, de la deserción estudiantil tanto en colegios secundarios como en institutos de formación de profesores (Reyes Gasperini & Crespo, 2011), la necesidad de cursos de formación continua para profesores, entre muchos otros fenómenos; que conllevan a un replanteo constante de qué camino tomar para lograr el mejoramiento progresivo de la educación en el área de Matemática. Es así, que la investigación en Matemática Educativa – concebida como la disciplina del conocimiento que se ocupa del estudio de fenómenos didácticos ligados al saber matemático (Cantoral & Farfán, 2003) – se encuentra en la búsqueda continua de trazar los caminos oportunos que procuren la mejora en el proceso de enseñanza-aprendizaje de los saberes matemáticos.

Por último, y no por ello menos importante, dentro de esta disciplina se encuentra el grupo de investigadores que, desde hace mucho tiempo atrás, con base en la Teoría Socioepistemológica, se replantean las posibles causas de los fenómenos anteriormente mencionados, bajo la premisa de que problematizar el saber, focalizar nuestra atención en la construcción social del conocimiento matemático por encima del discurrir sobre conceptos matemáticos en sí, y replantear el aprendizaje con base en las prácticas sociales que le dieron origen a esos conocimientos, permitirá encontrar los posibles caminos de mejora.

Desde el Departamento de Matemática Educativa del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (DME del Cinvestav-IPN) se impulsó el Proyecto Nacional bajo convenio con la Secretaría de Educación Pública de México (SEP), llamado Especialización de Alto Nivel en la Profesionalización Docente en las Matemáticas de Secundaria. Estudio de reproducibilidad de situaciones didácticas. Con él, la Teoría Socioepistemológica incidió sobre y en el Sistema, luego de muchos años de investigaciones tanto empíricas como teóricas que validaron los fundamentos teóricos en los cuales se basó 1 Lo que refiere a la formación de educación media (11-17 años) y Formador de Formadores, entre otras.

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el Proyecto, del cual tuve la oportunidad de ser parte, como miembro del equipo académico. Esta participación me ha dejado ver cómo los profesores eran parte de un proceso de reflexión profundo respecto a los saberes matemáticos que ellos ponen en juego con sus estudiantes, es decir, encontrar los porqués de sus resultados, los fundamentos que se esconden detrás de los algoritmos, entre otras cuestiones. Las distintas argumentaciones que iban robusteciéndose con la interacción conjunta permitían a los docentes, a su vez, robustecer la amplitud de sus conocimientos.

En síntesis, dada mi condición de Profesora de Matemática y las reflexiones que mi profesión me ha generado desde mis estudios, por ejemplo: ¿cómo lograr, desde la comunidad educativa, modificar y/o mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática?; dada la necesidad social de entender y atender a los fenómenos didácticos en el contexto escolar que tenga como objeto el mejoramiento de la educación; y dada la oportunidad de participar de un Proyecto Nacional basado en la Teoría Socioepistemológica, lo cual le brinda a la misma resultados del proceso de enseñanza-aprendizaje en el aula a través de un discurso centrado en la investigación; es que emergió la motivación para realizar el presente estudio del fenómeno de empoderamiento docente de Matemáticas basado en la Teoría Socioepistemológica.

I. 2. PROBLEMA

Es sabido que el proceso de enseñanza-aprendizaje que rige los currículos de Matemática en los Sistemas Educativos se centra en los objetos matemáticos más que en la construcción del conocimiento matemático; es decir, se concibe que las matemáticas tratan con objetos abstractos, anteriores por tanto a la praxis social y en consecuencia externas al individuo, siendo el profesor quien comunica “verdades preexistentes” a sus alumnos normado por el discurso Matemático Escolar (Cantoral, 2003).

Es la Teoría Socioepistemológica, que surge como una escuela de pensamiento en el campo de la Matemática Educativa, la que plantea la construcción social del saber como fundamento del aprendizaje. En primer lugar, esta teoría estudia la naturaleza del saber, entendiendo a éste desde el posicionamiento del ser humano como actor de la construcción de sus sistemas conceptuales; en segundo lugar, se ocupa de las prácticas sociales como

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normativas de la actividad humana y como base de la construcción de los sistemas conceptuales por parte del ser humano, problematizando las causas que lo conducen a hacer lo que hace (Covián, 2005); en tercer y último lugar, se ocupa de caracterizar las articulaciones con evidencia empírica, de nociones y términos del modelo socioepistemológico (Cantoral, 2006); todo esto con el fin de poder incidir en el Sistema Educativo y mejorar los procesos que en él se esconden.

Es claro que para incidir en el Sistema Educativo, en este caso el mexicano, es necesario considerar a un eslabón fundamental de la cadena educativa: el profesor, la autoridad pedagógica dentro del aula. El conocimiento de sus creencias y concepciones, como así también, entender cómo es el profesor de secundaria en todos sus sentidos, deja relucir que él también tiene una centración en los objetos matemáticos, distando de la reflexión sobre la construcción social del conocimiento; esto como resultado de la legitimidad que se le ha dado al dME. La reciente investigación de Soto (2010) evidencia que “el dME es caracterizado como un sistema de razón (SR), que excluye a los actores del sistema didáctico (estudiante y docente) de la construcción del conocimiento matemático a través de una violencia simbólica (VS)” (p. 91). Con ello, se despersonifica la problemática del fracaso en matemáticas -no es culpable el docente por “enseñar de manera inadecuada”, ni el estudiante por “no estudiar lo suficiente”-, postulando al dME como generador de la exclusión de la construcción del conocimiento matemático. En este sentido, es preciso aclarar que:

(…) la estructuración de dichos discursos no se reduce a la organización de los contenidos matemáticos, ni a su función declarativa en el aula (el discurso escolar), sino que se extiende un tanto más allá, al llegar al establecimiento de bases de comunicación para la formación de consensos y la construcción de significados compartidos. (Cantoral, Farfán, Lezama & Martínez-Sierra, 2006, p. 86)

Una característica importante a destacar del plantel de profesores mexicanos es la diversidad de estudios y de carreras matriz que poseen, las cuales pueden ser muy variadas: en primer lugar, encontraremos a aquellos que han estudiado en la Escuela Normal2 para devenir Profesores de Matemática; en segundo lugar, el estudio de aquellas carreras que son

2 Se entiende como Escuela Normal a las Instituciones que forman a los futuros profesores.

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afines con la Matemática: Arquitectura, Ingeniería, Economía, Contaduría, Actuaría, entre otras; y, por último, carreras que poco tienen que ver con ella: Odontología, Profesorado de Inglés, Profesorado de Biología, Corte y Confección, entre muchas otras.

Ahora bien, el hecho de que la planta docente esté conformada por profesionales de distintas áreas del conocimiento, sin la necesidad de una formación como educadores, no ocurre únicamente en México. La Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura (OEI), hace referencia al mismo hecho en países de la región: asegura que todavía acceden a la docencia profesionales que no poseen formación pedagógica, especialmente en escuelas secundarias (OEI, 2010).

Esta circunstancia, conlleva a que cuando hablemos de formación docente en Matemática, no se reduzca la interpretación a la formación durante la carrera para ejercer como Profesor de Matemática, sino también sobre la formación continua que recibe un profesor durante su labor docente. Actualmente, son varios los cursos que se dictan en distintos países que tienen como fin, por ejemplo, promover metodologías facilitadoras del proceso de enseñanza- aprendizaje; la actualización de cuadros académicos, o bien, ofrecer conocimientos y herramientas para ayudar a educar (a continuación, los extractos de los cursos mencionados).

Figura 1: Universidad del Mar, Chile. (“Programa de Perfeccionamiento…”, n.d.)

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Figura 2: Dirección de Formación y Perfeccionamiento Docente, Uruguay. (“Departamento de Matemática

Dirección…”, n.d.)

Figura 3: Diario argentino, La Nación. (Esperanza, 2009)

Nemiña, García Ruso y Montero (2009), en una reflexión que realizan sobre las relaciones entre la formación de profesores, su desarrollo profesional y la profesionalización docente, afirman que es el desarrollo profesional uno de los procesos de construcción de una

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nueva cultura profesional para el cambio educativo, superando la idea clásica de la adquisición de nuevas habilidades.

Aunado a esto, bajo la afirmación que hemos realizado unos párrafos atrás, en donde dijimos que el dME excluye a los actores del sistema didáctico (estudiante y docente) de la construcción del conocimiento matemático (Soto, 2010; Soto & Reyes Gasperini, 2011), nos hacemos la siguiente pregunta: si el dME, legitimado por el sistema educativo, es el que excluye de la construcción social del conocimiento, y los docentes que actualmente están a cargo de las clases de Matemática de cualquier nivel, y secundaria en particular, fueron y son formados con base en este mismo dME, ¿es posible que ellos favorezcan la construcción social del conocimiento matemático si han sido excluidos también? De igual manera, desde la investigación se proponen situaciones de aprendizaje que propicien la construcción del conocimiento con base en la problematización del saber matemático y los docentes, apropiándose de ella mediante el rediseño de la situación, se estima, sean quienes puedan llevar al aula estas discusiones, reflexiones y acompañar en el proceso de aprendizaje (Lezama, 2005), pero… ¿podrán ellos favorecer la problematización del saber si no lo han hecho durante su formación, ni inicial ni continua? Parece imposible creer que un docente puede provocar, bajo estas circunstancias, situaciones que propicien dicha construcción.

Ante estos cuestionamientos, Montiel (2010) asegura que la interacción entre la investigación y la práctica, no es meramente poner en juego las propuestas didácticas que en la investigación se avalen, sino reflexionar sobre los procesos por los cuales debe transitar el docente para poder llevarla a la práctica:

(…)llevar al aula propuestas didácticas que rediseñen dicho discurso3 no se limita a secuencias que el profesor debe seguir como algoritmos, sino que debe reconocer en ellas cómo se problematiza un saber, el tipo de interacción que se genera en el sistema didáctico, los momentos de construcción de conocimiento, cuándo se logran los objetivos de aprendizaje, cómo se generan construcciones personales y colectivas, cómo pasar del consenso a la institucionalización del saber, reconocer los momentos de intervención para provocar respuestas del alumno, etc. Es decir, la comprensión de aquello que fundamenta la propuesta didáctica se torna más importante que la propuesta misma. (Montiel, 2010, p. 71).

3 La autora se refiere al discurso matemático escolar.

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Por tanto, es explícito que la puesta en práctica, como una herramienta cotidiana, de las propuestas de investigación, por ejemplo las situaciones de aprendizaje, no es algo trivial para los docentes (Lezama & Mariscal, 2008; Montiel, 2010). Respecto a esto, Montero (2001, citada en Nemiña et al., 2009), asegura la existencia de esta separación entre la teoría y la práctica, como así también, el fracaso de los docentes ante la intención de interiorizar la teoría y la investigación disponible.

De aquí se desprende nuevamente, otra pregunta: entendiendo que el dME excluye de la construcción del conocimiento (Soto, 2010), que los docentes también han sido excluidos de ésta (Reyes Gasperini, 2010; Reyes Gasperini & Crespo, 2011) y que la puesta en práctica de las herramientas que de la investigación surgen, aun con la apropiación de ellas (Lezama, 2005), no es un hecho trivial ¿cuál es el proceso que debe vivenciar el docente para lograr la comprensión de aquello que fundamenta la propuesta didáctica, en términos de Montiel (2010), como así también, cualquier saber matemático que se le presente en su labor? ¿Qué podemos hacer, desde la investigación, con el fin de que el docente logre favorecer en los estudiantes el aprendizaje que emerge de la construcción social del conocimiento?

En esta ocasión, desde el Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav, se impulsó el Proyecto Nacional llamado Especialización de Alto Nivel en la Profesionalización Docente en las Matemáticas de Secundaria. Estudio de reproducibilidad de situaciones didácticas, con base en los fundamentos de la Teoría Socioepistemológica, que como se dijo anteriormente, estudia la construcción social del conocimiento pasando de la centración en los objetos matemáticos a privilegiar una epistemología de prácticas asociadas a su construcción (Cantoral, 2003; Montiel, 2011, entre otras).

Bajo esta postura se llevó a cabo una posibilidad de la disciplina de incidir en el Sistema Educativo de forma directa, ya que al mismo asistieron profesoras y profesores de matemática de secundaria en servicio de los 32 (treinta y dos) Estados del país. Esto, sin duda, permite interactuar con los principales agentes de la educación: los docentes.

Numerosas son las investigaciones en las que se ha problematizado el saber, es decir, se hizo del saber un problema localizando y analizando su uso y su razón de ser (Montiel, 2011), rompiendo con el paradigma de centrarse en los objetos matemáticos y procurando

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considerar las prácticas socialmente compartidas como aquellas que le dan origen a la construcción del conocimiento matemático (Buendía, 2004; Cabrera, 2009; Cantoral, 2001, 2003; Molfino, 2010; Montiel, 2011; Soto, 2010, entre otras). Asimismo, existen investigaciones que reportan los resultados obtenidos de estudios empíricos en los cuales se ponen en práctica los resultados teóricos, como por ejemplo, poner en situación a estudiantes y/o profesores mediante la puesta en escena de una situación de aprendizaje, o bien, estudiar el escenario áulico (Flores, 2010; Lezama & Mariscal, 2008; Montiel, 2010, entre otras). Éstas y muchas otras investigaciones, desde la Teoría Socioepistemológica, sustentaron teóricamente el Proyecto que ha mostrado, a través del trabajo con situaciones de aprendizaje y la continua reflexión sobre la práctica docente, una nueva manera de abordar la educación matemática.

Por tanto, con el fin de ampliar la visión respecto a la educación matemática, en donde se privilegien las prácticas sociales como base de la construcción social del conocimiento matemático por encima del objeto matemático, se considera al empoderamiento docente, estimulado a través de los cursos de profesionalización docente, fundamentados en la Teoría Socioepistemológica, como un factor clave de este objetivo. Se entiende al fenómeno de empoderamiento como un proceso social que vive el docente, en conjunto con sus colegas e investigadores, con el objeto de comprender, asimilar, asumir, aceptar y adherirse a la nueva propuesta del dME, en donde se privilegie la validación de las distintas argumentaciones, se permita la emergencia de las diversas racionalidades contextualizadas, se posea un carácter funcional del saber, se favorezca una resignificación progresiva considerando varios marcos de referencia, sobre la base de considerar a las prácticas sociales como las generadoras de dicho conocimiento. Asimismo, este proceso le permite al docente hacerse dueño del saber que enseña mediante la problematización del mismo, lo cual le brindará confianza y autonomía para abrir caminos a la innovación, no sólo de diseños o implementaciones de situaciones de aprendizaje, sino también, en la generación de cuestionamientos, debates y reflexiones con sus estudiantes. Todo ello, como uno de los mecanismos didácticos que acompañe al rediseño del dME, para potenciar el aprendizaje con base en la construcción social del conocimiento, y así, atender a la exclusión que provoca el dME actual. Por último, permite reconocer e incorporase al campo académico de la Matemática Educativa y así, conformar una identidad profesional.

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Con base en un estudio cualitativo e interpretativo de las observaciones realizadas a un docente participante del mencionado proyecto, se estudiará el fenómeno de empoderamiento docente.

I. 3. CONTEXTUALIZACIÓN

La presente investigación tiene sus raíces en la Especialización de Alto Nivel en la Profesionalización Docente en las Matemáticas de Secundaria. Estudio de reproducibilidad de situaciones didácticas, que estuvo dirigida a docentes que impartieran asignaturas de matemáticas en secundarias públicas de los 32 Estados de la República, que tuvieran interés en profundizar sobre el papel que juegan las matemáticas en el tratamiento escolar del saber científico, en el desarrollo de competencias, habilidades y valores. Se requería de un conocimiento del contenido matemático, al menos de aquel que tiene que ser enseñado a sus alumnos. Los profesores tenían una experiencia en el servicio con un mínimo de 5 años en el nivel secundaria e impartición de la asignatura de matemáticas.

Quienes ingresan como partícipes del proyecto, fueron seleccionados mediante un examen de admisión. Éste cuenta con 75 reactivos confeccionados con base en las matemáticas de secundaria que son abordadas por ellos durante su práctica. Los profesores han participado de tres fases académicas durante el Proyecto, a saber: fase presencial, fase de reproducibilidad y fase de reproducción (Figura 4).

Figura 4. Fases de la Especialización.

Los profesores fueron divididos en grupos de entre 15 y 20 personas. El criterio que se siguió para realizar los grupos fue el siguiente: lograr la interacción entre profesores de

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distintos estados, distintas modalidades, contextos y que tuvieran una equidad en cuanto a la cantidad de hombres y mujeres.

Se explicará cada una de las fases, especificando lo abordado respecto al saber matemático: en la primera, la fase presencial, los profesores comienzan enfrentándose a situaciones problema, las cuales abordan y argumentan de manera libre, sin ninguna restricción de registro ni necesidad de rigor matemático, es decir, se pone énfasis en la profundización de los saberes matemáticos que en cada una de las situaciones se ponen en juego. Una vez que cada quien o cada grupo considera que resolvió la situación, se comienza a reflexionar sobre ella respecto a sus objetivos didácticos, los conocimientos matemáticos que en ellas se potencian y el tipo de intervenciones que pudiera hacer el docente con base en las intervenciones que realizaron los tutores4 del Cinvestav durante la situación. Este mismo proceso, se realiza todos los días durante la estancia en las instalaciones del Cinvestav (de una a dos semanas, dependiendo la generación5), del cual se observan sus avances tanto en el tipo de discusiones que sugieren, como así también, en las argumentaciones y profundidad que hacen respecto a los saberes matemáticos en las situaciones. Al finalizar, los profesores junto al tutor, realizan una caracterización general de la situación de aprendizaje, en las que surgen, por ejemplo: conflicto, conceptos y lenguaje base, problematizar la matemática, objetivos y errores. Como cierre de esta etapa, los profesores realizan un examen de egreso, en donde se puede medir la evolución general a nivel matemático, como así también, reactivo por reactivo.

Posteriormente, durante la fase de reproducibilidad, a distancia, los profesores junto a un tutor de Cinvestav, diseñan o rediseñan una situación de aprendizaje para luego ponerla en escena en sus distintas escuelas. Esta situación tiene como base las reflexiones realizadas durante la fase presencial y busca que se reconozcan en ella algunos de los elementos que la caracterizan. Se reconoce que la puesta en práctica, como una herramienta cotidiana de las propuestas de investigación, por parte de los profesores, como es lo que fundamenta a las situaciones de aprendizaje, como herramientas didácticas para la

4 Los tutores son investigadores o investigadores en formación, que acompañan a los docentes durante esta fase. 5 El Proyecto se realizó en tres episodios distintos y a cada una de los grupos de profesores que formaron parte de cada uno de ellos, se le llamó Generación. Las dos primeras, tuvieron un período de dos semanas presenciales, mientras que la tercera, una semana.

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construcción del conocimiento matemático, no es algo trivial para los docentes (Lezama & Mariscal, 2008; Montero, 2001, citada en Nemiña, García y Herminia, 2009; Montiel, 2010), por lo que durante esta fase, el tutor acompañó a los profesores con el fin de que ellos fortalecieran aquellas contribuciones que se habían generado en la primera fase, así como también, guiarlos en las producciones correspondientes. Las interacciones durante esta fase, se realizan en una plataforma llamada Moodle, la cual ha sido adaptada para que los docentes puedan interactuar.

Para finalizar el ciclo, en la fase de reproducción, los profesores realizaron la reproducción de la experiencia en Cinvestav, con colegas de sus respectivos Estados. Aquí, el profesor funge como tutor y reflexiona junto a los colegas sobre la situación confeccionada durante la fase previa, con base en las reflexiones de la primera fase.

Estas tres fases tienen una relación intrínseca ya que están ligadas por la problematización y construcción del saber matemático, como así también, la evolución del docente en cuanto a su posibilidad de discutir, profundizar y guiar una reflexión respecto a la problematización y construcción del saber matemático.

En este ciclo de fases, se realizó la tutoría de un grupo en particular de la tercera generación. Posteriormente, se observaron las interacciones y participaciones durante la fase de reproducibilidad, en donde se seleccionó a uno de los profesores integrantes del grupo. El profesor seleccionado es del Estado de Tijuana, Baja California. Tiene 17 años en el servicio, 15 años en Matemática en particular. Su formación es de Ingeniero Civil en Obras Urbanas y realizó una Maestría en Pedagogía.

A este profesor se lo ha observado en sus prácticas de servicio como docente, durante una semana, realizando una inmersión en su vida profesional y personal, con el fin de conocer cuál es la realidad que lo caracteriza. Para ello se realizaron observaciones no participantes de sus clases, entrevistas, video-grabaciones y cuestionarios.

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I. 4. OBJETIVO DE LA INVESTIGACIÓN

El objetivo de nuestra investigación es caracterizar el empoderamiento docente a través del estudio cualitativo e interpretativo del desempeño de un profesor partícipe del proceso de profesionalización docente en matemáticas basado en la Teoría Socioepistemológica y la posterior observación de su práctica y discusión sobre ella; como así también, conjeturar las potenciales estrategias a seguir con el fin de contribuir a dicho empoderamiento, entendiendo que éste le permitirá al docente apropiarse del saber que enseña mediante la problematización del mismo y generar interacciones dialécticas con los estudiantes que permitan hacer emerger los significados del saber matemático abordado. Asimismo, le brindará confianza y autonomía para abrir caminos a la innovación, no sólo de diseños o implementaciones de situaciones de aprendizaje, sino también, en la generación de cuestionamientos, debates y reflexiones con sus estudiantes que proporcionen la construcción social del conocimiento a través de cuestionamientos, reflexiones y la validación argumentativa, considerando a las situaciones de aprendizaje como las herramientas didácticas para ello. Todo lo anterior, bajo la lógica de que tanto al docente, al estudiante o a cualquier individuo que tenga como fin construir conocimiento -aprender- debe ser involucrado en un contexto en el que se reconozcan sus diversas racionalidades contextualizadas, se consideren como válidas sus diferentes argumentaciones y se acompañe, mediante distintos escenarios, la resignificación del conocimiento puesto en juego en su práctica.

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Capítulo II: Marco Teórico

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La Socioepistemología no es sólo una teoría académica para la publicación de artículos y la recreación intelectual,

sino que es también y sobre todo, una herramienta para la intervención en el sistema educativo,

actualmente, el mexicano... y al tratarse de un movimiento latinoamericanista,

este es el primer paso de un gran camino... Ricardo Cantoral Uriza

Es posible que muchos investigadores, sobre todo en su proceso de formación, nos preguntemos sobre la elección del marco teórico, ¿se elige primero el marco teórico y después observo o viceversa? Partiendo de la base que observamos con frecuencia los acontecimientos educativos, al analizarlos, elegimos herramientas de análisis, es decir: asumimos un marco teórico. En este momento, la elección del tema a estudiar, la consideración de la posición epistemológica respecto del aprendizaje, el tipo de objetivo y resultado buscado, los principios teóricos sobre los cuales apoyamos nuestra investigación y el contexto en el cual fue registrado y analizado el hecho, serán, no sólo el fundamento del análisis de nuestra investigación, sino la esencia del marco teórico que sustentará toda la investigación.

Capítulo II: Marco Teórico

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Capítulo II: Marco Teórico

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II. 1. LA MATEMÁTICA EDUCATIVA

Dado que nuestra intención es investigar sobre un fenómeno didáctico de naturaleza social, en el cual, el eslabón principal es el saber matemático puesto en juego, como así las interacciones efectuadas entre los actores del sistema didáctico, es que se concibe a la Matemática Educativa como la disciplina ad hoc desde la que debe hacerse esta investigación.

Conocer cómo, cuándo, dónde y por qué ha surgido esta disciplina científica, nos permite comprender que la Matemática Educativa atiende a aquellos fenómenos didácticos contemporáneos, como así también, nos permitirá evidenciar el avance constante, consistente y concordante del movimiento latinoamericano de Matemática Educativa. Para obtener este panorama haremos una breve reseña desde sus orígenes.

Durante la década de los ´70s, en México y con el apoyo de la Secretaría de Educación Pública, se impulsó la Reforma Educativa mediante la cual se solicitó a un grupo de investigadores del Departamento de Matemática del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, que elaboraran los siguientes materiales: “(a) el currículum nacional de primaria requerido para la enseñanza de las matemáticas, (b) los planes y programas para el ciclo educativo de primaria y para cada uno de sus grados, (c) la redacción de los textos para ese ciclo escolar.” (Hitt, 2001, p.17). Estos materiales fueron innovadores ya que surgieron con base en cuestionamientos sobre cuáles eran los problemas de aprendizaje de los conceptos específicos de la matemática y la necesidad del estudio de los mismos.

Posterior a este trabajo, el profesor a cargo del mismo, Carlos Ímaz, y dos de sus discípulos Eugenio Filloy y Juan José Rivaud, impulsaron la creación de una Sección dentro del Cinvestav que se ocupara de la investigación y el estudio de los problemas de la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática del Sistema Educativo, partiendo de la aseveración de que la educación en México tenía grandes problemas, sobre todo, en el área de Matemática.

Es en 1975, en México, cuando se funda la Sección de Matemática Educativa (SME) en el Cinvestav, como sección del Departamento de Investigaciones Educativas (DIE). Aun

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siendo prácticamente autónoma la SME del DIE, es recién, a principios de 1995 que la SME se convierte en Departamento de Matemática Educativa (DME). Cabe mencionar que el nombre de “Matemática Educativa” se fundamenta en el enfrentar la problemática de la enseñanza y aprendizaje de la matemática desde la matemática misma (Matemática Educativa…, 2009). Desde sus comienzos, este grupo de investigadores buscaba una aproximación a la solución del problema nacional sobre la enseñanza de las matemáticas, lo cual refleja que el interés radicaba en la mejora del Sistema Educativo Nacional a nivel matemático, bajo la lógica que la intervención en el Sistema a través, en este caso, de libros de texto con base en investigación al respecto, fue fundamental.

Esta disciplina que “se ocupa de los fenómenos didácticos ligados al saber matemático” (Cantoral & Farfán, 2003, p. 29), es decir, que estudia todos aquellos fenómenos que tengan como fin el aprendizaje ligado a saberes matemáticos1, busca entender, atender y, luego, predecir las potenciales problemáticas existentes en los procesos educativos, contextualizándose en el continente latinoamericano. Esto no significa que no considere, reconozca, discuta y/o se retroalimente con las teorías ya conocidas por la comunidad, como la Mathematics Educations -anglosajona- o la Didactique des Mathématiques -europea-, entre otras, sino que rompe con la tradición de importar conocimiento (Silva, 2010) y comienza a generar uno propio y contextualizado. Es importante aclarar que, desde un tiempo a esta parte, nos reconocemos todos miembros de una misma comunidad.

La Matemática Educativa considera al aprendizaje en función del área de conocimiento, por lo cual, a fines del siglo XX, se separa de la Pedagogía tradicional, la Psicología y la Psicopedagogía, cuyos objetos de estudio respectivamente son: la educación en general; los procesos cognitivos del individuo y los procesos socio-cognitivos que se producen en el entorno social, involucrando a la cultura; y la conducta humana en situaciones socioeducativas, respectivamente; para especializarse en el estudio del conocimiento matemático.

La evolución de la Matemática Educativa que es desarrollada y comentada por Cantoral y Farfán (2003), apunta que en sus comienzos, la problemática de la disciplina se centró en 1 En la actualidad podemos considerar escenarios de estudio como el cotidiano, el aula, una cultura indígena, un programa de títeres o un taller de modelación, entre otros ejemplos, producto del surgimiento de la Teoría Socioepistemológica y la Etnomatemática.

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el diseño de libros de texto y material didáctico para profesores y estudiantes que fueran más accesible que los tradicionales, a cargo de los profesionales de matemática, sin estudiar profundamente la cultura escolar (lo que se comentó anteriormente). En ese momento, se soslayaron los aspectos cognitivos, afectivos y socioculturales que involucraban a los agentes del sistema didáctico. Luego, se incluyó explícitamente el aprendizaje del estudiante como factor central de los diseños realizados, como así también, el papel desempeñado por el docente. Aunado a esto, Hans Freudenthal se pregunta ¿Cómo aprenden las personas? ¿Cómo podemos aprender a observar procesos de aprendizaje? Lo que conduce a la incorporación de investigaciones de observación y descripciones sistemáticas de los procesos de aprendizaje.

Luego, dentro de la misma Matemática Educativa, comienzan a surgir distintas corrientes de investigación (algunas retoman teorías ya existentes, otras crean nuevas teorías) cuya diferencia principal es la manera de entender y atender al conocimiento matemático según la posición epistemológica respecto a él, lo cual se refleja, dentro de la comunidad, ante la existencia de diversas teorías de conocimiento, a manera de ejemplo:

• la Teoría de Situaciones Didácticas, iniciada por el colega francés Guy Brousseau, cuyo estudio se centra en los fenómenos didácticos escolares, en particular, en el estudio sistemático de experiencias de clase francesa. Estudia los procesos ligados a la adquisición y a la transmisión del conocimiento matemático, desde donde se reconoce la necesidad de encontrar caminos que faciliten la adquisición del conocimiento, ubicándolo a éste como algo pre-existente.

• la Teoría Antropológica de lo Didáctico, iniciada en Francia por Yves Chevallard, quien afirma que su centración está en la relación entre la persona y el objeto (de conocimiento, en general; matemático, en particular). En esta teoría, lo esencial es la actividad de las personas frente a la resolución de problemas, de la cual emergen los objetos (conceptos, términos, enunciados, relaciones, teorías, etc.), los cuales son relativos a los contextos institucionales y personales. (D´Amore, 2005)

• la Teoría de Representaciones Semióticas, iniciada por el francés Raymond Duval, en la cual se asegura que la construcción de los conceptos matemáticos dependen de la capacidad de usar diversos registros de representación semióticas de dichos

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conceptos: “de representarlos en un dado registro; de tratar tales representaciones al interior de un mismo registro; y de convertir tales representaciones de un dado registro en otro registro.” (D´Amore, 2005, p. 33)

• la Teoría APOE, Acción, Proceso, Objeto y Esquema, iniciada por el estadounidense Ed Dubinsky, en donde se privilegia la existencia de una relación cercana entre la naturaleza de los conceptos matemáticos y su desarrollo en la mente del individuo, lo que hace que sus explicaciones sean de orden epistemológico y psicológico, concluyendo en modelos de la construcción mental de un conocimiento.

• la Teoría Socioepistemológica, iniciada por el mexicano Ricardo Cantoral, la cual, en primer lugar, modela y estudia la naturaleza del saber, entendiendo a éste desde el posicionamiento del ser humano como actor de la construcción de sus sistemas conceptuales; en segunda lugar, se ocupa de las prácticas sociales como base del conocimiento y normativas de la actividad humana, procesos que en conjunto son la base de la construcción de los sistemas conceptuales de la especie humana, problematizando las causas que lo conducen a hacer lo que hace; y por último, se ocupa de caracterizar las articulaciones, con evidencia empírica, de nociones y términos del modelo socioepistemológico (Cantoral, 2006, 2010, 2011).

Ahora bien, dadas estas distintas maneras de entender y atender al conocimiento matemático dentro de la Matemática Educativa, aquella que nos brinda los elementos para analizar de manera exhaustiva nuestra problemática, es la Teoría Socioepistemológica. En el siguiente apartado daremos las explicaciones del porqué.

II. 2. LA SOCIOEPISTEMOLOGÍA

La Teoría Socioepistemológica nace a fines de los ´80 y uno de sus primeros cuestionamientos fue que “la forma en la que vive una situación de enseñanza y sus producciones matemáticas en ese contexto son condicionadas por las características de la costumbre didáctica” (Cantoral & Farfán, 2003, p. 33), es decir, que la manera de enseñar que se tiene es estructurada a causa de la institución en la cual se está inmerso (considerando a la institución como la familia, la clase, la escuela o el sistema educativo, entre otros) y esa circunstancia provoca matizar los procesos de pensamiento. Es por esto

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que comienzan a estudiar los fenómenos didácticos de manera sistémica, considerando los tres polos: el del saber (saber), el de quien aprende (alumno) y el de quien enseña (profesor) en un medio determinado. Así reconocieron que aun pensando en situaciones que signifiquen aquello que le dio origen al conocimiento matemático, éste puede no ser propicio para ser introducido en el aula. Posteriormente, se planteó el estudio sistémico de la formación del conocimiento desde una perspectiva social, es decir, se puso énfasis en la construcción social del conocimiento.

En esta época, también, comienzan a cuestionarse, no sólo cómo se deberían enseñar los contenidos matemáticos de ese entonces, sino que se plantean, qué es lo que deben enseñar (Farfán & Cantoral, 1990). Para ello, fue necesario cambiar la centración: dejar de observar al concepto matemático en sí y comenzar a observar las prácticas que producían o favorecían la necesidad de ellos. De aquí surge que, por un lado, la Socioepistemología incorpora una nueva componente a la investigación en Matemática Educativa: la componente social; y por el otro, integra las cuatro componentes de manera tal que obtiene una mirada sistémica de los fenómenos a abordar: componente epistemológica, componente didáctica, componente cognitiva y componente social (Cantoral & Farfán, 2003).

Actualmente, la nueva mirada de la Socioepistemología, postula que se tomará en cuenta la complejidad de la naturaleza del saber y su funcionamiento a nivel cognitivo, didáctico, epistemológico y social en la vida de los seres humanos (Cantoral, 2011). En otras palabras, se problematizará el saber en el sentido más amplio del término2, y también, se tomará como centro de partida la vida del individuo o grupo desde donde se analizará el funcionamiento de ese saber a nivel cognitivo, didáctico, epistemológico y social, dando la posibilidad de proponer, con base en evidencia empírica de las investigaciones, nuevas propuestas para rediseñar el dME.

Las investigaciones que desde la Socioepistemología se llevan a cabo, cuyo objeto de estudio es la construcción social del conocimiento matemático, y cuyos objetivos son -de acuerdo al objetivo de la misma teoría- dar evidencia y sustento para las propuestas de

2 Nos referimos a la problematización del saber como la integración entre las dimensiones del saber y las componentes de la construcción social; en tanto se analiza: la naturaleza del saber (dimensión epistemológica); uso del saber (dimensión social); apropiación del saber (dimensión cognitiva) y la difusión del saber (dimensión didáctica).

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intervención en el sistema educativo que de ellas derivan, se fundamentan en los principios de la teoría, que a continuación enunciaremos.

Principios de la Socioepistemología Si entendemos como principio, a aquello inherente a una disciplina como el reflejo de las

características esenciales de un sistema, que los investigadores asumen y sin el cual no es posible trabajar, comprender o usar dicho sistema, considerado como el punto de partida y el fundamento (Abbagnano, 2010; Wikipedia, 2009), la Socioepistemología descansa en cuatro principios fundamentales (Cantoral, 2011), a saber: el principio normativo de la práctica social, el principio de la racionalidad contextualizada, el principio del relativismo epistemológico y el principio de resignificación progresiva o apropiación.

El principio normativo de la práctica social

El primero de ellos, el principio normativo de la práctica social es el eslabón fundamental de nuestra teoría: las prácticas sociales son las generadoras del conocimiento. Esta premisa, lo que nos indica es que si se tiene la intención de que cualquier individuo a grupo aprenda, considerando que aprender es construir conocimiento, inevitablemente, serán las prácticas sociales las que sustentarán esa construcción. Estas prácticas sociales, son normativas de la actividad humana en tanto su función identitaria -que dota de identidad cultural al individuo o al grupo-, su función reflexiva-discursiva -que construye argumentaciones de acción- y su función pragmática -que organiza la acción- regulan los comportamientos de los individuos (Ver figura 5). Las prácticas sociales se caracterizan por ser permanentes mas no estáticas, es decir, para poder afirmar que la predicción es una práctica social se tuvo que realizar un estudio documental sobre su evolución en el tiempo, en donde se denota que desde la antigüedad la predicción fue una práctica que se usaba, tanto en la predicción del paso de un cometa, hasta la predicción para cazar un animal. En la actualidad, la predicción se usa desde la toma de decisión para cruzar una calle, hasta los futuros terremotos que pueden ocurrir; es decir, es una práctica permanente. Sin embargo, no es estática, ya que sus funciones identitaria, reflexiva-discursiva y pragmática podrán provocar variaciones en sus acciones a través de las argumentaciones, mas no dejará de existir su normatividad. Siguiendo con el ejemplo de la predicción, aunque varíen ciertos

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comportamientos, continuaremos teniendo la imposibilidad de adelantar o retroceder el tiempo, por lo cual, la predicción será algo inevitable para la sociedad, seguirá existiendo.

Figura 5: Esquema de la Práctica Social.

El principio de la racionalidad contextualizada

Este principio, enuncia que la racionalidad con la que se actúa depende del contexto en el que el individuo se encuentre en un momento y lugar determinado (Espinoza Ramírez, 2009). Para explicar este principio, retomaremos la idea de escenario sociocultural propuesto por Crespo (2007), en donde se afirma que es este escenario el que “influye no sólo en las conductas, sino en la manera de actuar y de pensar de los miembros de la sociedad que lo habita, modelando, de cierta manera sus acciones y pensamientos, condicionándoles sustancialmente” (Crespo, 2007, p. 38). La esencia de esta idea radica en entender que la construcción del conocimiento es un producto sociocultural, es decir, “representativo de la sociedad en la que se gesta” (Crespo, 2007, p. 38).

Asimismo, estas racionalidades contextualizadas serán influenciadas también por los contextos en los que se encuentre un individuo, por ejemplo, contexto familiar, escolar, laboral, callejero, entre otros. Este hecho tiene que ver con el pensamiento del individuo, por ejemplo: un estudiante que se encuentra en la clase de Matemática si se le dice que 5 caramelos cuestan 5 pesos y se le pregunta “¿cuánto dinero necesitas para comprar 500 caramelos?”, en un ámbito escolar, producto del contrato didáctico, el estudiante contestará,

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realizando una regla de tres siempre, que necesita 500 pesos; o bien agrega dos ceros a la derecha del 5. Sin embargo, si se encuentra en un contexto extra escolar, seguramente ese estudiante pensará en averiguar cuánto cuesta una bolsa de caramelos y cuántos trae. Por tanto, nuestra manera de pensar, es decir, nuestra racionalidad, es contextualizada. Esto mismo ocurre con la relación que uno tiene con el saber: el saber es una función del contexto.

El principio del relativismo epistemológico

Como contraposición al absolutismo epistemológico que afirma “esto es verdad… esto no lo es” la asunción de universales, la teoría Socioepistemológica concibe que la matemática escolar no tiene una sola manera de verse, trabajarse, construirse y desarrollarse, sino que la validez del saber es relativa al individuo y al grupo cultural en el cual éste ha emergido y respecto a la racionalidad contextualizada que éste posea.

Por ejemplo, en la investigación de Yojcom (2011), él comenta cómo realizan las proporciones entre distanciamientos y los granos de maíz:

Figura 6: Proporción utilizada por la comunidad Tz‘utujil. (Yojcom, 2011, p.52)

Para cualquier otro individuo que no pertenezca a la comunidad puede no encontrarle

sentido a esta proporción, o bien, asegurar que esa no es la manera más productiva de cosechar ya

que ciertas teorías demuestran que es otra la correcta. Otro ejemplo, puede ser en el ámbito

escolar: una visión determinista de la matemática escolar, no aceptaría como válidas más de una respuesta a un problema, sin embargo, las situaciones de aprendizaje propuestas por la Socioepistemología, privilegian la diversidad de las argumentaciones y considera a la Matemática como la herramienta que ayuda a la toma de decisiones, en donde la respuesta

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depende de la interpretación y argumentación del estudiante, considerándose, todas como válidas. Por tanto, se entiende que la validez del saber es relativa al individuo y al grupo (contextual), y particularmente, la Socioepistemología, acepta que dentro de aquellas argumentaciones que sean “erradas” existe un pensamiento matemático que debe ser estudiado y considerado, para de allí, construir conocimiento.

El principio de la resignificación progresiva o apropiación

Una vez que el individuo se ha relacionado con el objeto y construido un significado del mismo (Inhelder & Piaget, 1972) – significado que dependerá en gran medida del escenario contextual – produciendo conocimientos que al momento de ponerlos en uso se pueden denominar saber, este saber puede considerarse como el nuevo punto de partida para comenzar una nueva etapa de significación, en donde, este saber se enriquecerá con la resignificación, en la cual se construirán más argumentaciones, espacios de uso, procedimientos y todo aquello que rodea a un saber. Asimismo, como ejemplo, podemos considerar a un constructo teórico dentro de la misma teoría y su resignificación progresiva: al ser una teoría en permanente evolución e innovación, cuyos constructos que en su momento se han caracterizado, al pasar del tiempo son resignificados con base en los nuevos descubrimientos y son empleados en función al contexto en el que se desarrolle la investigación planteada.

En síntesis, la Teoría Socioepistemológica sostiene que las prácticas sociales son los cimientos de la construcción del conocimiento (normatividad de las prácticas sociales), y que el contexto determinará el tipo de racionalidad con la cual un individuo o grupo -como miembro de una cultura- construye conocimiento en tanto lo signifique y ponga en uso (racionalidad contextualizada). Una vez que este conocimiento es puesto en uso, es decir, se consolida como un saber, su validez será relativa al individuo o al grupo, ya que de ellos emergió su construcción y sus respectivas argumentaciones, lo cual dota a ese saber de un relativismo epistemológico. Así, a causa de la propia evolución de la vida del individuo o grupo y su interacción con los diversos contextos, se resignificarán esos saberes enriqueciéndolos de nuevos significados hasta el momento construidos (resignificación progresiva).

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II. 3. EL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR

Es aceptado en la comunidad educativa que la matemática que vive en el sistema escolar es producto de una transposición didáctica que lleva al saber sabio hacia el saber enseñado (Chevallard, 1999), es decir, el saber de la obra matemática sufre modificaciones adaptativas progresivas con el fin de seleccionar, organizar y estructurar los conocimientos matemáticos que serán incluidos en las unidades temáticas de la escuela y la universidad (matemática escolar). Asimismo, es sabido que el proceso de enseñanza-aprendizaje que acompaña a los currículos de Matemáticas en los sistemas educativos se centra en los objetos matemáticos más que en la construcción del conocimiento matemático por parte del estudiante, es decir, se entiende a la matemática escolar como un cúmulo de objetos abstractos o definiciones, anteriores por tanto a la praxis social y en consecuencia externas al individuo, en donde el docente es quien comunica “verdades preexistentes” a los estudiantes, normado por el discurso Matemático Escolar (Cantoral, 2003). En varias ocasiones, esas “verdades preexistentes” carecen de significado tanto para el estudiante como para el docente.

Es la Socioepistemología, la teoría que emerge de la comunidad de los matemáticos educativos con el afán de estudiar y potenciar la construcción social del conocimiento matemático, en donde el triángulo didáctico – conocido y al cual hacemos referencia todos los docentes inmersos en un ámbito educativo – es ampliado, incorporando una dimensión imprescindible para nosotros, los socioepistemólogos: el contexto. (Ver figura 7)

Figura 7: El Sistema Didáctico – Unidad mínima de análisis. (Cantoral, 2011)

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Este sistema didáctico, según Cantoral (2011), está compuesto por tres polos y un contexto, donde al considerar este sistema en un sentido ampliado, se conciben a los polos de la siguiente manera: como profesor (p), se concibe al individuo o a la institución; como alumno (a), al niño o a la comunidad; y como saber (s), al concepto o conocimiento en uso; todos ellos inmersos en un escenario contextual, esta idea de contexto es fundamental para la teoría. Esta caracterización del triángulo didáctico es la que permite que se pueda reflexionar sobre el aprendizaje más allá del contexto áulico. Para su fortalecimiento, la Socioepistemología utiliza a la transversalidad del conocimiento como herramienta vital de la construcción integral del conocimiento matemático, es decir, no sólo se tienen en cuenta los conceptos que en la institución escolar se privilegien, sino que se reconoce y reivindican los conocimientos previos que tienen los estudiantes, como por ejemplo, los emergentes de su contexto familiar y cultural; asimismo, el enfrentarse con situaciones en donde los saberes matemáticos subyazcan en contextos diversos (cotidiano, educativo, físico, químico, biológico, etc.), permite la resignificación de los mismos y por tanto, un enriquecimiento de sus argumentaciones y procedimientos, potenciando su apropiación. (Ver Figura 8)

Figura 8: La integración de conceptos emergentes de la institución y conocimientos en uso.

(Cantoral, 2011)

Este reconocimiento, le permite a la Socioepistemología, replantearse el rediseño del dME, con el fin de que, ahora sí, éste potencie la construcción social del conocimiento matemático.

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Cuando el dME aparece en escena, es inevitable hacer referencia instantánea al discurso hablado o escrito por el docente, sin embargo, es preciso hacer una reflexión al respecto.

Tomaremos como ejemplo el cuestionamiento que realiza Espinoza Ramírez (2009) en su investigación, sobre la edición de la obra Theorie de Fonctions Analytiques de Lagrange. La fundación de la École Polytechnique surge como consecuencia de la Revolución Francesa, ante la necesidad de formar científicos e ingenieros. Al carecer de libros de texto de apoyo, se le otorga a Lagrange la responsabilidad de sintetizar -en una obra- la matemática, elaborando un discurso matemático escolar para esta formación a un nivel masivo sobre la Teoría de Funciones Analíticas, motivado todo esto por la coyuntura que existía a nivel sociopolítico y la situación específica de Lagrange3. ¿Por qué este ejemplo para discutir el dME? La fundación de la École Polytechnique es una estrategia política para atender una necesidad nacional, en donde la función de la escuela es formar a los futuros ciudadanos que Francia necesitaba. Así el dME no se reduce a las páginas, las frases y las letras que ha escrito Lagrange, sino a los conocimientos matemáticos y las maneras de abordar los mismos que posee su obra.

Aquí, será oportuno hablar del ciudadano ya que, según lo enunciado anteriormente, es a éste, a quien el dME pretende atender y formar.

Cuando se enuncia el término ciudadano dependiendo el contexto en el cual estemos hablando se pueden interpretar distintas consideraciones, por ejemplo, legalmente, es aquel que es miembro de una comunidad y tiene derechos y deberes, o bien, coloquialmente, es aquel que habita y pertenece a un lugar en particular. Sin embargo, es necesario cuestionarnos qué entendemos por ciudadano cuando decimos que la educación tiene como principal objetivo “la formación de un ciudadano”. Es decir, si consideramos que los ciudadanos son distintos dependiendo la Nación, es evidente pensar que cada nacionalidad debe recibir una educación particular, a saber: los programas de Historia, si bien tienen un apartado que se dedica a la historia mundial, profundiza sobre la Historia de su país; en Geografía, ocurre igual, si bien poseemos todos el mismo mapamundi, los estudios específicos refieren a la economía de la geografía específica, por ejemplo; de Lengua y 3 Para mayor detalle, ver Espinoza Ramírez, 2009.

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Literatura, cada ciudadano recibirá las reglas ortográficas y la literatura específica correspondientes a cada país, como parte del bien cultural, siendo a veces similar en ciertas regiones. Ahora bien, ¿en la educación Matemática se tiene esta misma concepción? ¿Se tienen ciertos contenidos específicos para cada ciudadano? ¿En la educación matemática hay diferencia en la formación dependiendo la Nación del ciudadano? ¿En la educación matemática hay diferencia entre las culturas a las cuales pertenecen los ciudadanos? O, ¿simplemente es una generalización? Si se entendiera que la Matemática es universal, pero su enseñanza, no… estas preguntas serían sencillas de contestar.

Regresando al tema del ejemplo de la Theorie de Fonctions Analytiques de Lagrange, allí, se ve nítidamente que el dME se entiende como aquello que un sistema educativo decide que los ciudadanos deberán aprender.

A través de una decisión intelectual y burocrática por parte de los sistemas educativos, el dME estructuró un mecanismo de educación masiva que provocaría la alfabetización como ingenieros de los futuros ciudadanos. Asimismo, dotó de una nueva identidad a los docentes de ese entonces, ya que deberían educar pensando, en específico, en futuros ingenieros. Entonces, como se dijo anteriormente, los conocimientos matemáticos y las maneras de abordar los mismos que poseyó ese discurso, normó el comportamiento de esa comunidad. Es decir, el diseño del dME es una decisión intelectual y burocrática por parte de los sistemas educativos; por lo cual, a diferencia de la creencia generalizada de que el dME es un ente que no puede alterarse, es evidente que sí es accesible a modificaciones, sin embargo, cualquiera sea su modificación, nunca perderá su estatus de normativo y hegemónico.

Por todo lo anterior, nos atrevemos a postular al dME como una práctica social, sin embargo, su validación deberá estudiarse a través de investigación documental y profunda que, en esta investigación, no realizaremos, simplemente, nos ha permitido poder hacer esa conjetura: el dME es una forma específica de práctica social.

Hasta aquí, podemos afirmar que el dME, si bien se estudia e infiere a través del discurso hablado o escrito, en realidad, su fundamentación se encuentra en la legitimidad de esos saberes a enseñarse que los sistemas didácticos establecen, de manera normativa y hegemónica. Sabemos, también, que el dME es factible de sufrir modificaciones, por tanto,

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nosotros, socioepistemólogos, bajo la concepción de que la esencia de la educación matemática es la construcción social del conocimiento matemático, y a sabiendas de que el dME actual no la proporciona, es que creemos indispensable el rediseño del dME. Este rediseño radica, principalmente, en el cambio de centración, de los objetos a las prácticas, focalizando en él, los principios de la Socioepistemología, es decir, su carácter contextualizado, pragmático, relativista y funcional.

Algunas de las investigaciones que evidenciaron la centración en objetos de ciertos saberes matemático y/o hicieron propuestas que podrían abordarse como parte del rediseño del dME, como así también, evidenciaron empíricamente la normatividad de las prácticas sociales, son las siguientes:

• Cantoral (2003) mediante los ejemplos del cero entre los antiguos mexicanos y la presentación del binomio de Newton, muestra cómo los procesos de construcción del conocimiento matemático avanzado tienen un carácter social.

• Buendía (2004) propone una epistemología de las prácticas sobre lo periódico que se fundamenta en la relación predicción-periodicidad y propone el ingreso al sistema didáctico a través de una situación, en la cual resignifica lo periódico a través de la predicción.

• Montiel (2011) realiza un estudio en el cual comienza buscando los usos y significados primarios de la función trigonométrica en el que concluye que dicha función se presenta en la escuela “como una extensión de las razones y que su única explicación sobre la unidad de medida radica en la equivalencia entre grados y radianes en el círculo trigonométrico” (p. 134) y, con base en la confrontación teórica a esta manera absolutista de abordar la trigonometría y favoreciendo la construcción social del conocimiento, realiza una propuesta que articula la actividad del estudiante con una práctica de referencia específica y realista -en y para la vida del estudiante- en donde se planteó que ambas estaban reguladas por tres prácticas sociales, a saber: anticipación, predicción y formalización.

• Covián (2005) estudia los mecanismos de construcción social del conocimiento matemático en las prácticas de la cultura maya, preguntándose sobre la naturaleza del conocimiento matemático que se encuentra en la construcción de una vivienda

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tradicional, la cual responde a ciertos contextos y cultura en la que está inmerso y la función normativa de la práctica social es la que lo induce. Se hace énfasis, por ejemplo, en la noción de proporción: “el largo de la hamaca determina el largo de la casa, la casa es para el habitante y estará en cierta proporción a su altura” (p.164).

• García (2008) estudia las prácticas en Ingeniería Biomédica, sobre la existencia de procesos de institucionalización, entendidas como aquellos procesos que, normadas por la práctica social, permitirían explicar la construcción y difusión de conocimiento matemático por parte de la sociedad.

• Tuyub (2008) evidencia cómo se pone en uso el concepto de función en las prácticas profesionales de los toxicólogos. En su investigación, muestra cómo los toxicólogos aprecian a la función en cuanto a sus magnitudes, en los procesos de cambio, qué ocurrió en la confección de las tablas, más que, la función vista como una fórmula o una regla de correspondencia como se ve en los libros. La mirada particular de estos científicos, expresan en el discurso y en la práctica, las funciones, de manera funcional.

• Espinoza Ramírez (2009) realizó un estudio histórico que tuvo como objetivo entender la evolución de la analiticidad de las funciones, de manera de encontrar una línea conceptual que permitiera vincular los conceptos del Cálculo y el Análisis Matemático con los inicios de la Topología Matemática, para lo cual, construyó un modelo para explicar el contexto de significación para cierto conocimiento, definiendo a este como un ámbito en el cual cierta persona o institución sitúa la significación de cierto conocimiento.

• Cabrera (2009) estudió los elementos didácticos y metodológicos provenientes del pensamiento y lenguaje variacional bajo los cuales se diseñaron situaciones de aprendizaje con el fin de mostrar que éstas favorecerían al desarrollo de competencias.

• Gómez (2009) reconoce una construcción social del conocimiento científico, en particular de la matemática, en tanto se logre una socialización del conocimiento. Esta socialización se da a través de la relación dialéctica entre un dominio científico, donde su centración se encuentra en las justificaciones razonadas, impera la sistematicidad, la estructura, el pensamiento lógico, la deducción, y el dominio

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cotidiano, donde por el contrario, no se tiene en un a priori la intencionalidad de generar conocimiento y predominan los usos, las intuiciones, el sentido común, la funcionalidad.

• Molfino (2010) problematiza la enseñanza actual del límite bajo la pregunta de investigación: “¿por qué enseñamos hoy el concepto de límite de la forma que lo hacemos?” (p. 30). Lejos de centrarse en el límite como objeto preexistente en un cuerpo de conocimientos matemáticos aceptados socialmente, su estudio trató los fenómenos de producción, adquisición y difusión de ese conocimiento matemático, lo cual, desde la Socioepistemología, implicó el análisis de las prácticas sociales que generan el conocimiento y norman su constitución, como así también la resignificación de los saberes.

• Soto (2010), puso en evidencia a través de la construcción de un modelo de exclusión que “el dME es caracterizado como un sistema de razón SR, que excluye a los actores del sistema didáctico (estudiantes y docentes) de la construcción del conocimiento matemático a través de una violencia simbólica VS” (p. 91), mediante la identificación, caracterización y ejemplificación, a través del análisis del dME del Teorema de L´Hopital. Asimismo, confeccionó un mapa del dME, que delinea lo que queda fuera y dentro de “lo normal”. En él se evidencia el carácter hegemónico del dME, la atomización en los conceptos, la concepción de que la Matemática es un conocimiento acabado y continuo, el carácter utilitario y no funcional del conocimiento y la falta de marcos de referencia para resignificar la matemática escolar.

Los ejemplos mencionados, entre muchos otros, dan evidencia tanto de la necesidad de un rediseño del dME, como así también, en algunos casos, la posibilidad de hacerlo, al proponer situaciones de aprendizaje para el aula que privilegien las prácticas sociales como normativas de la acción humana y como base de la construcción social del conocimiento matemático por encima del objeto matemático en sí.

Con la investigación de Soto (2010) se despersonifican los problemas relacionados con el proceso de enseñanza-aprendizaje inhibiendo la afirmación de que éstos, únicamente, radican en el docente o el estudiante, es decir, se evidencia que la responsabilidad no cae

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sobre el docente por “enseñar de manera inadecuada”, ni sobre el estudiante por “no estudiar lo suficiente”, sino que se postula que es el dME –producto de las adaptaciones que se le realizan al saber de la obra matemática con el fin de convertirlo en un saber enseñado, centrándose en los objetos matemáticos– lo que excluye a los estudiantes de esta construcción del conocimiento.

Respecto a las propuestas didácticas que se realizan desde la investigación, Farfán y Lezama (2001) estudiaron aquello que ocurre cuando estas propuestas son llevadas al aula, es decir, cuando ocurre el fenómeno de reproducibilidad. Lezama (2003, 2005) ha estudiado la reproducibilidad de una situación de aprendizaje, lo que significa buscar y determinar los factores que posibilitan el logro de los propósitos didácticos de ésta, una vez que ha sido puesta en práctica en distintos escenarios (Farfán & Lezama, 2001). De este estudio, se concluye que “el fenómeno de la reproducibilidad se presenta como frágil, ya que la repetición del efecto didáctico está determinado por múltiples factores, siendo los más complejos e incontrolables los humanos” (Lezama, 2005, p.357), dejando abiertas las preguntas de ¿cómo solventar esta fragilidad? ¿Cuáles son las causas que la originan? Entre otras.

Aunando la argumentación de la elección de la disciplina, comentada en el apartado anterior, y la del marco teórico diremos:

Nuestra intención es investigar sobre un fenómeno didáctico de naturaleza social que, a nuestro criterio, su identificación, estudio y caracterización permitirán conjeturar caminos de mejora de la educación, mediante favorecer, desde la figura docente, retos intelectuales entre los estudiantes, que propicie la construcción social del conocimiento, con la misma importancia que la escuela tradicional le da a los conceptos, con base en la problematización del saber por parte de los actores del sistema didáctico (estudiantes y docentes). La

problematización del saber, radica en buscar las causas que conducen a los individuos a “hacer lo que hacen” con el conocimiento en juego, es decir, hacer del saber matemático un problema “localizando y analizando su uso y su razón de ser” (Montiel, 2011, p. 128), para lo cual, es necesario un rediseño del dME que privilegie estas características, como así también, dotar al docente de espacios de reflexión y cuestionamiento de los saberes que acompañen su proceso de reconstrucción de la concepción de la educación matemática. Por

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todo esto, se concibe a la Matemática Educativa como la disciplina ad hoc para hacer esta investigación y a la Teoría Socioepistemológica como aquella que fungirá como herramienta para analizar el fenómeno.

Por tanto, habiendo explicitado cuáles son las características de la teoría y dada la naturaleza de nuestra problemática, se elige a la Socioepistemológica como marco teórico para el análisis del fenómeno detectado, ya que la presente investigación necesita de una teoría que considere como un campo de investigación a la realidad -concreta y viva-, es decir, que pueda estudiar un fenómeno que derivara de un hecho empírico, con el fin de caracterizarlo y conjeturar potenciales caminos a seguir; que favorecieran la construcción social del conocimiento y pensamiento matemático en ambientes didácticos, privilegiando las prácticas sociales como normativas de la acción humana y como base de la construcción social del conocimiento matemático por encima del objeto matemático en sí. El estudio, la clasificación, organización y el posterior análisis objetivo, caracterización y explicación del fenómeno, permitirán la innovación de un constructo teórico, a saber: el empoderamiento docente.

II. 4. CAMBIO DE CENTRACIÓN: DE LOS OBJETOS A LAS PRÁCTICAS

Durante el transcurso de todo este capítulo, como así también del anterior, hemos mencionado incesantemente que es necesario que sea con base en la construcción social del conocimiento matemático desde donde se lleven a cabo las clases de Matemática. Esta nueva concepción del objetivo de la matemática escolar, radica en una idea más profunda que es el cambio de centración del dME, de los objetos matemáticos propiamente dichos, a las prácticas que hacen emerger los conocimientos matemáticos.

Cuando nos referimos a objeto matemático, pensamos en el conocimiento matemático en sí, acompañado de sus definiciones, sus métodos, sus ejemplos, sus algoritmos y sus procedimientos, concibiendo a este como un ente preexistente al individuo y acabado, el cual debe transmitirse al estudiante. Es decir, en la actualidad, con base en las recientes investigaciones, podemos afirmar que se enuncia la definición de un conocimiento matemático, luego se ejemplifican algunos de sus procedimientos o algoritmos y, para concluir, se ejercita. Sólo para ejemplificar, la enseñanza de las derivadas y las integrales,

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distan de ser una reflexión sobre el pensamiento variacional, reduciendo su esencia al hallazgo de derivadas o integrales de ciertas funciones.

Veamos una diferencia interesante…

Mientras que en un libro de texto que se edita y usa en Argentina, llamado Logikamente, al cual se puede tener acceso vía internet, aparecen ejercicios como los que se muestran a continuación, para abordar el concepto de derivada (ver figura 8), lo cual deja ver la centración en el objeto matemático de la derivada; en una propuesta realizada por Cabrera (2009), se privilegian las prácticas asociadas a este conocimiento (ver figura 9).

Figura 8: Contenidos temáticos del concepto de Derivada e Integral del libro de texto Logikamente.

Matemática (Logikamente…, 2011, p. 6)

Cabrera (2009), hace una propuesta cuyos datos generales son los siguientes:

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Figura 9: Datos generales de una propuesta didáctica basada en las prácticas. (Cabrera, 2009, p. 92)

En estas actividades se estima desarrollar las competencias de utilizar, representar e interpretar modelos matemáticos, la comprensión de situaciones reales y formales, la comparación entre variables con el fin de establecer relaciones entre ellas, potenciar la estimación y aproximación de los comportamientos de ciertos fenómenos del entorno social o natural. En esta situación, se evidencia el carácter funcional, la pluralidad de prácticas de referencia, la potenciación de las diversas racionalidades conceptuales y la validación, en conjunto, de los saberes construidos; es decir, esta propuesta responde al nuevo planteamiento que se pretende del dME.

Construcción social del conocimiento matemático

Para poder trabajar sobre este tema en particular, es indispensable dejar en claro qué es lo que se cuestiona, replantea y pretende modificar a través de la investigación, la Teoría Socioepistemológica: esta teoría se cuestiona qué se enseña, además del cómo se enseña. Por tanto, cuando afirmamos que se privilegie la construcción social del conocimiento matemático por sobre la centración en los objetos matemáticos, lo que queremos decir, es que la Socioepistemología en vez de hablar de objetos matemáticos como conceptos acabados y preexistentes a la praxis humana, construye un camino alternativo a esta concepción que es el juego de prácticas: prácticas socialmente compartidas, prácticas sociales y prácticas de referencias; en donde los conocimientos matemáticos emergerán como herramienta para la respuesta efectiva a una situación de la cual no conocían su respuesta.

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En síntesis, cuando la Socioepistemología hable de la construcción social del conocimiento matemático, más que hablar del cómo aprender matemáticas, refiere al qué aprender en matemáticas. Es por eso, que al considerarse a las prácticas sociales como las generadoras de conocimiento, y por tanto considerar al conocimiento como una construcción social, se estima sean éstas contempladas para realizar diseños de aprendizajes. De esto se desprende que la construcción social del conocimiento matemático y las prácticas sociales, tienen una relación simbiótica.

Situación de aprendizaje

La obra de teatro

no es el libreto…

Varios son los elementos que deben tenerse en cuenta cuando se habla de una situación de aprendizaje (SA), si habláramos únicamente del diseño de la SA, estaríamos cometiendo un error. Éste radica en que una SA es un proceso, por tanto, el diseño es un eslabón, necesario mas no suficiente, del mismo.

En la nueva Guía para el maestro de los programas de estudio 2011 de la SEP (Secretaría de Educación Pública, 2011), se reflexiona sobre la transición de una situación problema a una situación de aprendizaje de la siguiente manera:

Un diseño didáctico constituye una situación problema si plantea un conflicto para quien lo aborda, pero lo encamina en un proceso de pensamientos de resolución que permitan superar el conflicto y construir nuevos conocimientos. Hacer de ésta una situación de aprendizaje requiere de la intervención de quien, intencionalmente, busca la construcción de conocimiento por parte de quien la enfrenta. Una situación de aprendizaje puede caracterizarse como la articulación de una situación problema y un contrato didáctico (Montiel, 2005), es decir, exige la consideración de la interacción del sistema didáctico como una unidad indivisible, a la luz de las actividades que demande la situación problema. Esto presupone que la intervención del profesor, desde el diseño y la planeación, hasta el momento en que se lleva a cabo la experiencia de aula, está presente para potenciar los aprendizajes que lograrán las y los estudiantes, es decir para tener control de la actividad didáctica y del conocimiento que se construye (Alanís et al, 2008). (Secretaría de Educación Pública, 2011, p. 74)

Capítulo II: Marco Teórico

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Este planteamiento, realizado por especialistas en Matemática Educativa ayuda a entender cuál es la esencia de la situación de aprendizaje. Un individuo no se encuentra en situación de aprender en cualquier circunstancia, ésta hay que propiciarla. Los elementos que colaboran a ello es que el diseño sea contextualizado a la cotidianidad de la persona, se parta de su propia realidad (calcular la estatura promedio de las personas involucradas en el momento, calcular la cantidad de mujeres y hombres que pertenecen a la Cámara de Diputados de la Nación con el fin de conocer cuál es la proporción de género en la Cámara, por ejemplo) proponiéndole un enunciado situado -situación problema- que la enfrente a un reto que pueda ser abordado y ponga en juego los saberes que se quieren. Una vez abordado el mismo, la respuesta que sea brindada por el individuo se espera que, de ser errónea, el propio diseño sea el proveedor de que se dé cuenta de la equivocación. En este momento, la persona está en conflicto y se reconoce que está en “situación de aprendizaje”.

Estas situaciones de aprendizajes promueven la construcción social del conocimiento con base en la racionalidad contextual, el relativismo epistemológico y el fomento de una resignificación de los conocimientos previos de los estudiantes. Por ejemplo, una situación4 que fue diseñada por colegas del DME del Cinvestav-IPN, plantea lo siguiente:

“David quiere trabajar para reunir dinero y comprarse unos patines en línea que cuestan $400 pesos. Él tiene tres amigos que ya trabajan, y ellos le dijeron que le podían echar la mano para encontrar trabajo donde ellos laboran. Para decidir en qué trabajar, él les pregunto cuánto ganan. Las respuestas de sus amigos fueron las siguientes: Mayra: … pues lo que gano depende del número de periódicos que venda. A mí me dan $30 pesos por cada día que voy a trabajar y me dan 40 centavos por cada periódico que venda. Por lo general vendo entre 55 y 63 periódicos. Nunca he venido menos, pero sí más… Luis: … pues lo que yo gano también depende únicamente de lo que venda, a mí me pagan 90 centavos por cada helado. En un día yo vendo entre 57 y 65 helados. Y a diferencia de Mayra yo nunca he vendido más, pero tampoco he vendido menos… Erika: … pues yo trabajo en la tienda de mi mamá y ella me paga $45 pesos cada día que asisto… Si David quiere reunir el dinero lo antes posible ¿en qué le conviene trabajar?, ¿vendiendo periódicos?, ¿vendiendo helados? o ¿en la tienda de la mamá de Erika?”

4 Esta situación de aprendizaje fue una de las que se utilizaron para reflexionar con los docentes durante la “Especialización…”, cuyo enunciado lo confeccionó un colega del Cinvestav-IPN como producto de un seminario de investigación. Sin embargo, el análisis y objetivo que se le da es completamente distinto al que en su momento le había adjudicado quien escribió el enunciado. Este, es un nuevo ejemplo de que la situación de aprendizaje, no se reduce al mero enunciado.

Capítulo II: Marco Teórico

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Bajo el principio de que todo conocimiento es generado por prácticas sociales que norman los comportamientos, encontramos específicamente en la situación:

• Racionalidad contextualizada: puede abordarse a través de promedios, estadísticas, gráficas, decisión personal (“es menos cansador…”, “es más divertido”), decisión contextual (“vivo en Mérida, convienen los helados”, “aquí, en Baja California, no se comen helados, convienen los periódicos”, “lo más seguro es lo de la mamá de Erika”) dependiendo cada individuo y contexto.

• Relativismo epistemológico: cualquiera de las respuestas será válida, mientras que sus argumentaciones respondan a una coherencia en el contexto desde donde surgieran.

• Resignificación progresiva: la puesta en común de todas las propuestas, genera la reflexión y resignificación de las otras argumentaciones y contextualizaciones planteadas.

Con esto, podemos afirmar que, las situaciones de aprendizaje, desde la teoría Socioepistemológica, se sustentan en la nueva propuesta del dME y que son consideradas las herramientas didácticas que utilizaremos para generar el escenario para que se potencie la construcción social del conocimiento; y asimismo, la figura del docente, los estudiantes y su contexto, son indispensables en el éxito de una situación.

En síntesis, así como la obra de teatro no es el libreto, la situación de aprendizaje no es sólo el enunciado, sino que debemos considerar todos los factores que a ella le competen: estudiantes, docentes, contexto, entre otros.

II. 5. UNA SÍNTESIS NECESARIA

En este capítulo, hemos comentado sobre el surgimiento de la disciplina Matemática Educativa; hemos reflexionado sobre los principios de la Teoría Socioepistemológica; hemos reflexionado sobre el dME y la necesidad de su rediseño con base un cambio de centración de los objetos matemáticos a las prácticas sociales como generadoras del conocimiento matemático y hemos reflexionado sobre éste tipo de construcción; hemos reflexionado sobre las situaciones de aprendizaje como herramientas que potencien esta construcción, de

Capítulo II: Marco Teórico

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manera somera ya que no es el meollo de esta investigación, qué es lo que se debe considerar para potenciar la resignificación progresiva de dicho conocimiento.

Ahora bien, este cambio de centración, en donde se comienzan a privilegiar las prácticas por encima de los objetos matemáticos en sí, no sólo produce una necesidad de rediseño del dME, sino que también produce una necesidad en los docentes -tanto de formación inicial como docentes en servicio con formación continua- de hacer propia esta concepción de la enseñanza de la matemática. Es decir, de hacer propio el conocimiento matemático en el sentido hasta ahora analizado, ya que en la actualidad, es la centración en los objetos la que rige en los sistemas didácticos. Esta apropiación del conocimiento matemático en donde se privilegia la validación de las distintas argumentaciones, se permite la emergencia de las diversas racionalidades contextualizadas, se favorece una resignificación progresiva considerando varios marcos de referencia, sobre la base de considerar a las prácticas sociales como las generadoras dicho conocimiento, no es algo trivial. Es aquí, en donde, la Teoría Socioepistemológica, como herramienta de análisis y para la intervención en el sistema educativo, postula que el empoderamiento docente es lo que debe propiciarse para que esto ocurra…

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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"-¿Cómo quieres que volemos como vuelas tú? -intervino otra voz-. Tú eres especial y dotado y divino, superior a cualquier pájaro. -¡Mirad a Pedro, a Terrence, a Carlos Rolando, a María Antonio! ¿Son también ellos especiales y dotados y divinos? -No más que vosotros, no más que yo. La única diferencia, realmente la única, es que ellos han empezado a comprender lo que de verdad son y han empezado a ponerlo en práctica.” Juan Salvador Gaviota, por Richard Bach

La Socioepistemología tiene la peculiaridad de acuñar constructos teóricos cuya caracterización emerja de la observación sistemática de la realidad, es decir, con fuerte sustento empírico. En el caso de esta investigación, la noción de empoderamiento proviene del análisis de procesos observados en el proyecto de la Especialización de Alto Nivel en la Profesionalización Docente en las Matemáticas de Secundaria. Estudio de reproducibilidad de situaciones didácticas. Ello nos ha permitido, mediante la participación y observación activa, cuestionarnos, profundizar y caracterizar el proceso que viven los docentes para problematizar el saber matemático puesto en juego en su práctica docente, explorar la creación de espacios propicios que provoquen en los estudiantes retos intelectuales que permitan hacer emerger los significados de los saberes matemáticos, al potenciar los distintos tipos de razonamientos y reconocer la validez de diversos saberes. La esencia de este proceso radica en la concepción de que la manera de lograr aprendizajes funcionales a la vida de los estudiantes, es a través de que el aprendizaje se fundamente en la construcción social del conocimiento matemático con base en los principios teóricos de la Socioepistemología. Con base en todo esto, hemos diseñado y propuesto un modelo conceptual novedoso que puede servir para acompañar el proceso del docente en su construcción del saber y de la toma de conciencia de su capacidad de intervención sobre el sistema didáctico, el empoderamiento docente.

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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III.1. DISTINTAS INTERPRETACIONES DE EMPODERAMIENTO

Al colocar la palabra empoderamiento en el diccionario de la Real Academia Española, nos encontramos con que no es una palabra aceptada hasta el momento. Sin embargo, sí lo es la acción empoderar, pero está ligada a la acción apoderar, de la cual se infiere lo siguiente (Real Academia Española, 2011):

1. tr. Dicho de una persona: Dar poder a otra para que la represente en juicio o fuera

de él.

2. tr. ant. Poner algo en poder de alguien o darle la posesión de ello.

3. prnl. Hacerse dueño de algo, ocuparlo, ponerlo bajo su poder. U. t. en sent. fig. El

pánico se apoderó de los espectadores.

4. prnl. ant. Hacerse poderoso o fuerte; prevenirse de poder o de fuerzas.

Asimismo, Wikipedia caracteriza empoderamiento de la siguiente manera:

El término empoderamiento humano abarca una extensa gama de

significados, interpretaciones, definiciones, disciplinas que van desde la

psicología y la filosofía hasta la muy comercializada industria de

automotivación y las ciencias de la motivación.

El diccionario panhispánico de dudas define empoderar como conceder

poder a un colectivo desfavorecido socioeconómicamente para que,

mediante su autogestión, mejore sus condiciones de vida. Este añade: El

verbo empoderar ya existía en español como variante desusada de apoderar.

Su resucitación con este nuevo sentido tiene la ventaja, sobre apoderar, de

usarse hoy únicamente con este significado específico. (Wikipedia, 2011)

Esta acepción, para nosotros, se aleja de lo que se estima que el empoderamiento pueda lograr; sobre todo, cuando enuncia: “conceder poder a un colectivo”. En contraposición a esto, Montero (2006) nos cuenta cómo fue que se acuñó el término inglés de empowerment, desde el campo de la psicología comunitaria, a principios de la década de los 80, como aquel proceso que es necesario para lograr transformaciones a nivel comunitario y es reconocido como uno de los aportes fundamentales. En su escrito, la autora deja en claro su postura en contra de utilizar el término de empoderamiento, considerándolo un “uso horrible de un neologismo innecesario en la lengua castellana” (Montero, 2006, p.61) proponiendo el

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término fortalecimiento ya que puede producir confusiones en tanto considerar que empoderarse significa adquirir poder. Sin embargo, esta última interpretación, dista no sólo de nuestra postura, sino de las que veremos en momentos más.

El fortalecimiento1, refiere al fortalecimiento de las personas de una comunidad, en donde “el poder es un logro de la reflexión, conciencia y acción de las personas interesadas, y no un regalo o donación de otro poderoso” (Montero, 2006, p. 62) y se reconoce como un proceso en colectivo, cuya participación procura el beneficio para el grupo y para sus miembros.

Por otra parte, en la actualidad, el libro titulado Innovación para el empoderamiento ciudadano a través de las TIC (Cibervoluntarios.org, 2011), editado desde una Organización No Gubernamental (ONG), llamados Cibervoluntarios.org, versa sobre las redes sociales, las redes de comunicación y todo aquello que tenga que ver con la tecnología, y cómo la apropiación de éstas por parte de los ciudadanos de todas las condiciones, se puede convertir en un elemento de cambio social. Si bien, este enfoque, en comparación con el de la psicología comunitaria, varía ya que este retoma a las TIC´s como potencialidades, ambos tienen al cambio social como eje.

En este libro, podemos encontrar más caracterizaciones del empoderamiento y una nueva evidencia de que no tenemos – ni tendremos – una definición, sino que podremos hablar de interpretaciones de ello y sus caracterizaciones:

Ante la pregunta ¿qué es el empoderamiento para ti? Encontramos las siguientes respuestas:

It’s enabling an encouraging people to actively participate rather than just consume things passively, becoming an actor instead of just a spectator. It’s giving tools and knowledge to people so that they can act, but also letting them know than they can act. It’s actually encouraging people to act, stand up, and take their destiny in their own hands, in order to live the life they want, and shape the world they want. (Ninot, 2011, p. 161)

1 Utilizaremos fortalecimiento cuando nos refiramos al término descrito por Maritza Montero, con el fin de respetar su postura ante la terminología.

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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Cuya traducción dice:

Es lo que permite alentar a las personas para que participen activamente en lugar de consumir pasivamente las cosas, convirtiéndose en un actor en vez de un simple espectador. Se están dando las herramientas y conocimientos a las personas para que puedan actuar, pero también hacerles saber que ellos pueden actuar. De hecho, es animar a la gente a actuar, de pie, y tomar su destino en sus propias manos, con el fin de vivir la vida que quieren, y dan forma al mundo que ellos quieren.

Asimismo, Blanco enuncia:

(…) Aparte de la definición, el empoderamiento es casi un estado del ser humano en el que sientes que puedes modificar tus realidades con más o menos éxito, pero que tienes los canales, que las posibilidades están ahí y que depende de ti elegir cuáles y cómo utilizarlas. Un estado en el que sientes que cualquier duda puede ser resuelta y que tú puedes resolver cientos de dudas. Un estado en el que sientes que tú puedes manejar tu realidad. La respuesta más corta sería que para mí empoderamiento significa libertad. (Blanco, 2011, p. 168)

Si bien en este último caso, Blanco (2011) considera al empoderamiento como un estado, nosotros diferimos con él, concibiéndolo como un proceso continuo, que genera, ahora sí coincidimos, que puede manejar su realidad y transformarla.

El empoderamiento como tal, sigue siendo un constructo sin definición única y absolutista, lo que nos resulta lógico, ya que su caracterización dependerá del tipo de contexto en el cual se esté potenciando el proceso de empoderarse. A continuación veremos algunas de las caracterizaciones que se hicieron hasta el momento, desde diferentes contextos.

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Tabla i Distintas concepciones de empoderamiento.

Fuente y Contexto Caracterización

Documento del Banco Mundial

"En un sentido más amplio, empoderamiento es la expansión en la libertad de escoger y de actuar. Significa aumentar la autoridad y el poder del individuo sobre

los recursos y las decisiones que afectan a su vida." (Documento del Banco Mundial, párr.2)

Socio-económico

Empoderamiento para la innovación social

"Empoderar, el poder para, supone que alguien, individuo o grupo, tiene una serie de capacidades que en principio le permiten asumir la responsabilidad sobre su propio futuro. El individuo o grupo se vuelve agente, es decir tiene la capacidad

para afrontar, influir e incluso intentar generar su futuro de acuerdo con su voluntad y anhelos."

(Martín Maruri, 2011, p. 130) Psicosocial

Empoderamiento: un proceso que se logra

mediante el desarrollo de competencias y de la

autoevaluación

"Empoderamiento (del inglés empowerment) es un término de uso común en la actualidad cuando se habla de intervención social en comunidades y/o en grupos o

colectivos motivados al cambio. Sintetiza los complejos procesos sociales y humanos que se dan en las personas y las comunidades que, expuestos a un

gradiente de riesgo psicosocial importante, están fuertemente sensibilizados y predispuestos —tengan conciencia o no— a asumir nuevos comportamientos; todo aquello que signifique oportunidades, nuevos aprendizajes para el desarrollo de sus

capacidades potenciales, tomar fuerza del sufrimiento y avanzar hacia una nueva percepción. Empoderarse es abrirse a la perspectiva de que la adversidad puede

victimizar a los individuos que la padecen o, por el contrario, llevarlos a enfrentar los retos que así se convierten en una posibilidad para la transformación."

(Castro Llanes, 2005, p.73)

Autoayuda

Empoderamiento, Participación y

Autoconcepto de Persona Socialmente

Comprometida en Adolescentes Chilenos

"Estas personas empoderadas serán capaces de contribuir a la solución de los problemas difíciles de enfrentar desde una planificación centralizada (Rappaport,

1981). Esto es particularmente relevante en sectores juveniles en desventaja social, en los cuales los grupos juveniles con interés por el bien común pueden mejorar su

condición y la de su comunidad en forma sustantiva (Hart, et al., 1998)." (Silva Dreyer & Martínez Guzmán, 2007, p.135).

Social

Reflexiones preliminares en torno al

empoderamiento

"Pero para las feministas el empoderamiento es más que esto: comprende la alteración radical de los procesos y estructuras que reproducen la posición

subordinada de las mujeres como género. En otras palabras, las estrategias para el empoderamiento no pueden ser sacadas de su contexto histórico, que creó la

carencia de poder en primer lugar, como tampoco pueden ser vistas aisladamente de los procesos presentes"

Feminismo (Camacho de la O., 2003, p. 5)

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Teoría y práctica de la psicología comunitaria.

La tensión entre comunidad y sociedad.

"Definiremos al fortalecimiento, desde la perspectiva comunitaria, como el proceso mediante el cual los miembros de una comunidad (individuos interesados

y grupos organizados) desarrollan conjuntamente capacidades y recursos para controlar su situación de vida, actuando de manera comprometida, consciente y

crítica, para lograr la transformación de su entorno según sus necesidades y aspiraciones, transformándose al mismo tiempo a sí mismos.

El compromiso y la conciencia suponen alguna forma de desarrollo de identidad social expresada en el sentido de pertenencia y de apego a la comunidad, así como la generación de estilos de acción marcados por la cultura local, que se manifiestan incluso en las formas de incorporar conocimientos y técnicas externos que les son

necesarios para alcanzar sus fines. El aspecto crítico se evidencia en la aproximación evaluativa de las circunstancias, de causas y efectos, de recursos y

de posibilidades."

Psicosocial (Montero, 2006, p. 72)

En los periódicos actuales, también aparece el término empoderamiento, de las siguientes maneras:

• En el periódico Crónica se dice: No han entendido que la ciencia, tecnología y la innovación los empodera. El próximo año emprenderemos una estrategia de la academia y empresarios para que entiendan la importancia de llevar la educación, ciencia y tecnología a lo largo de sus administraciones. (Ver Figura 10) (Torres Cruz, 2011)

• En el Nexo se enuncia: De ahí la necesidad de empoderarlas, y no hablo aquí de darles el poder que antes pertenecía a sus esposos. Hablo de darles más oportunidades, hablo de darles más recursos, hablo de educarlas más de siete años, hablo de empujar para que lleguen a posiciones de mando en el país. En pocas palabras, se trata de reconocer a las mujeres como ciudadanas completas: con cerebro y útero, con manos y pies, con capacidad para cambiar el destino del país y la responsabilidad de reinventarlo. Porque la causa de cualquier mujer es una causa nuestra. (Ver Figura 11) (Dresser, 2011)

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Figura 10: La estrategia en las políticas de ciencia y desarrollo en México ha sido más retórica que congruente,

afirma el director del Conacyt. La Crónica, 20 de agosto de 2011. (Torres Cruz, 2011)

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Figura 11: Mujeres: mejores, en el Nexo (Dresser, 2011)

Pese a que todas las acepciones que hasta aquí se enunciaron son consideradas válidas ya que responden a un contexto determinado, ninguna de ellas, responde íntegramente al contexto de la educación, y es el contexto en el cual nosotros caracterizaremos al empoderamiento; sin embargo, consideramos importante enunciar las distintas caracterizaciones que existen sobre dicho término en otros contextos, con el fin de encontrar sus regularidades.

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Ahora bien, en Estados Unidos, Howe y Stubbs (1998, 2003), realizan un trabajo con docentes en el cual postulan un modelo de desarrollo de liderazgo docente, con base en el proyecto denominado SCI-LINK.

Daremos una breve descripción de la particularidad del proyecto SCI-LINK (Howe & Stubbs, 2003), comenzando por rescatar que la relación principal que existe con el empoderamiento, es el liderazgo. Este proyecto, basado en una serie de talleres y actividades para profesores de ciencia, pretendió que éstos aprendan acerca de la investigación científica del momento y pudieran traducir esos conocimientos en lecciones y actividades para sus estudiantes.

El modo de trabajar, a grandes rasgos, era el siguiente: en primer lugar, exponía un científico sobre la investigación de vanguardia; en segundo lugar, se daba el espacio para un debate abierto; posteriormente, la mayoría de las veces se procedía a resolver algunos problemas prácticos relacionados con la plática inicial y, por último, los profesores realizaban lecciones y actividades para poder llevarlo al aula, considerando lo aprendido hasta el momento sobre el tema abordado.

Los objetivos generales del proyecto eran los siguientes (Howe & Stubbs, 2003, p.287-288):

a. Que los maestros aumenten su conocimiento de la ciencia del medio ambiente.

b. Infundir estos nuevos conocimientos en sus propios materiales para el currículo de aula de ciencias.

c. Ser más seguros de sí mismos como profesionales. d. Participar en trabajos colaborativos.

Aseguran los autores que “la atención se centró en la mejora de conocimiento por parte de los profesores de la ciencia, la mejora de la enseñanza de la ciencia y el empoderamiento como individuos” (Howe & Stubbs, 2003, p.283), entendiendo que “el proceso de empoderamiento no implica que uno tiene poder sobre los demás, sino que se adquiere el poder de tomar las riendas de su propio crecimiento y, en la medida de lo posible, de la propia vida” (Howe & Stubbs, 1998, p.169).

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Asimismo, Stolk, de Jong, Bulte y Pilot (2011), en una reciente investigación, se proponen como objetivo contribuir a la base de conocimiento de cómo diseñar un programa de desarrollo profesional, evidenciando los resultados de una experiencia con profesores del área de Química, basándose en un modelo de desarrollo profesional -en el cual retoman ideas de Howe y Stubbs (1997) cuyos objetivos generales eran los siguientes:

a. Los profesores adquieren una visión general de cómo enseñar una unidad innovadora.

b. Los profesores son capaces de enseñar a una unidad basada en el contexto.

c. Los profesores se sienten confiados para enseñar una unidad basada en el contexto.

Específicamente,

(…) los objetivos consisten en objetivos cognitivos, como la adquisición de conocimientos de la naturaleza de la innovación curricular (contexto basado en la educación de la química), y los objetivos afectivos, como la construcción de la seguridad del docente para aplicar la innovación en su práctica. (Stolk et al., 2011, p. 371)

El plan de trabajo que se llevó a cabo para el proceso del desarrollo profesional, fue el siguiente:

Figura 11: Fases del proceso de desarrollo profesional y las actividades del programa

(Stolk et al., 2011, p. 376).

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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Al analizar ambas investigaciones que refieren al ámbito educativo, nos hemos encontrado con que sus resultados se apoyan principalmente en la actitud del docente pero respecto a dos miradas distintas. Por ejemplo, para Howe y Stubbs (2003) la esencia del empoderamiento radica en el desarrollo del potencial de cada individuo para el liderazgo dentro de una comunidad de práctica 2 , más que en la mejora de la enseñanza. En contraposición, Stolk et al. (2011), plantean que respecto a los objetivos perseguidos “todos los maestros se sentían seguros para enseñar una unidad basada en el contexto. Además, todos los maestros crecieron profesionalmente en términos de la capacidad de enseñar una unidad basada en el contexto”, es decir, para ellos el empoderamiento se correlaciona con la mejora en el desempeño profesional.

Claro está, que en todas las acepciones señaladas, aparecen ciertos elementos que son transversales a todos los contextos, como por ejemplo: en la mayoría se considera -explícita o implícitamente- un proceso por el cual transita un individuo en colectivo; aseguran la necesidad de la reflexión en conjunto de las personas involucradas, cuya participación procura el beneficio para el grupo; enuncian el propósito de transformar su entorno con base en la participación activa, en contra posición del consumo pasivo de la realidad, que permita la construcción y/o incorporación de conocimientos, herramientas y técnicas para alcanzar los fines deseados; evidencian, por sobre todas las cosas, su carácter innovador y transformista de la realidad. Es decir, en la caracterización que realizaremos del fenómeno de empoderamiento, se verán reflejadas específicamente las siguientes consideraciones:

1. es un proceso del individuo en colectivo; 2. no es un suceso que se otorga, sino que se produce desde el individuo; 3. parte de la reflexión y se consolida en la acción; 4. transforma la realidad.

III.2. CONTRIBUCIÓN DE LA ESPECIALIZACIÓN EN EL FENÓMENO DE

EMPODERAMIENTO DOCENTE

La Especialización de Alto Nivel en la Profesionalización Docente en las Matemáticas de Secundaria. Estudio de reproducibilidad de situaciones didácticas, jugó un papel protagónico en el proceso de empoderamiento, por diversos motivos. En primer lugar, fue 2 Aunque no ha sido explícito por los autores, hemos interpretado como “comunidad de práctica” a la comunidad docente.

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allí en donde se observó, generación tras generación, cómo los docentes ingresaban con cierta actitud (por ejemplo: de desconcierto, tímidos, a la expectativa) y concluían el proceso presencial con otra, utilizando frases del tipo: “me iba a jubilar, pero ahora, voy a volver al aula a cambiar las cosas”, “darle el toque de investigación a mi profesión", “trabajo colectivo para hacer diseño educativo", "uno necesita del otro para poder hacer un cambio en la educación”, “¿cómo ese jovencito me va a enseñar? Pero pues tomamos en cuenta que son investigadores que han estado analizando precisamente el desarrollo del conocimiento del ser humano en el cual nosotros no estamos adentrados, únicamente tenemos la experiencia" (Profesores partícipes en la Especialización, entrevista de Difusión Cinvestav, 29 de julio de 2010)… como estos, son muchos los comentarios que pueden rescatarse de los profesores que participaron del proyecto. Puede caerse en el simplismo de considerar que hubo un muy buen ambiente, o bien, se puede -como lo hemos hecho nosotros- generar la pregunta de “¿qué es lo que les pasa a los profesores que salen diciendo que ahora pueden cambiar las cosas?” Así, es como surge nuestra primera hipótesis: el diseño del proyecto, debe ser clave en esto. He aquí, el segundo motivo por el cual la Especialización juega un papel fundamental en el proceso del empoderamiento.

Los fundamentos teóricos con los cuales se rige el proyecto, son aquellos que emergen de la Teoría Socioepistemológica, la cual considera que para poder generar saberes funcionales, es necesaria la descentración de la mirada atomizada en los objetos matemáticos y comenzar a buscar alternativas que privilegien en el aula los conocimientos emergentes de la construcción social, lo cual -con base en sus principios teóricos-, se logra a través de considerar a las prácticas sociales como generadoras de dicho conocimiento. Durante el proyecto, los docentes problematizaron el saber; conocieron la epistemología de alguno de ellos; descubrieron que existen diversas maneras de abordar un mismo problema, en donde, los resultados distintos no se reducen a errores, sino que son pensamientos diferentes a los otros y deben potenciarse, entenderse y comunicarse; aprendieron y aprehendieron matemáticas; discutieron con sus colegas sobre las problemáticas de la práctica docente, como así también, las maneras de diseñar las clases; resolvieron, discutieron, diseñaron, aplicaron y rediseñaron situaciones de aprendizajes, entendiendo a éstas como la herramienta didáctica para llevar esta problematización al aula, respetando los contextos socioculturales de cada uno de los grupos de estudiantes; discutieron la importancia de la

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transversalidad del saber matemático puesto en juego en la dinámica del aula, y por sobre todas las cosas, reflexionaron sobre el cambio de centración de los objetos a las prácticas, entre otras cosas… esto, hacerse dueños del saber que enseñan, era nuestra primera hipótesis del porqué los docentes se empoderaban. En el capítulo anterior, en el apartado de Situaciones de aprendizaje, se evidencia, mediante un ejemplo, cómo era que los docentes abordaban el saber.

Por tanto, la contribución de la Especialización para caracterizar el fenómeno de empoderamiento ha sido transcendental. En este momento, cuando conocemos cuáles son las caracterizaciones que hasta el momento se han realizado del empoderamiento y conocemos cómo es que la Especialización ha aportado al origen de la caracterización de este constructo teórico para la Teoría, es que profundizaremos sobre el fenómeno de empoderamiento docente según la Socioepistemología.

III.3. EL FENÓMENO DE EMPODERAMIENTO DOCENTE SEGÚN LA

SOCIOEPISTEMOLOGÍA

En el primer apartado de este capítulo, Distintas interpretaciones de empoderamiento, hemos observado cómo se ha trabajado con la noción teórica de empoderamiento desde distintos contextos y en específico, hemos comentado algunos de los proyectos didácticos que estimulan el empoderamiento docente. La peculiaridad de estos proyectos es que el empoderamiento se focaliza en darle al docente herramientas para que realicen nuevas situaciones para el aula poniendo como punto importante la contextualización, ya sea mediante el conocimiento (conocer que existe) de nuevas investigaciones relacionadas con el tema a abordar, como así también, mediante la muestra de situaciones que brinden un contexto a lo que ellos ya conocen. Todo esto, con el objetivo de que obtengan una actitud de liderazgo, confianza y mejora en sus prácticas para la enseñanza, enfatizando el hecho de que adquieran el poder de tomar las riendas de su propio crecimiento.

Sin embargo, si bien nosotros coincidimos plenamente con los resultados que se esperan, en esta investigación consideramos que este tipo de análisis se reduce a una interpretación pedagógica, mientras que nuestra intención es adentraremos en la médula de lo que puede fungir como potencial para el empoderamiento docente, es decir, comenzar por la propia

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problematización del saber puesto en juego por parte de los docentes, con el objetivo de que, ahora sí, obtengan una actitud de liderazgo, confianza, modificación e incorporación de esta visión sobre el aprendizaje de la matemática en sus prácticas de la enseñanza, enfatizando el hecho de que ellos, por sí mismos, adquieran el poder de tomar las riendas de su propio crecimiento (Howe & Stubbs, 1998; Montero, 2006). Dado que el interés está en este fenómeno hemos decidido analizarlo en su relación a la exclusión del dME, a la reproducibilidad y, en particular, al saber matemático; para lo cual, dejamos de lado su relación con los procesos de formación y de profesionalización, pues estos procesos han sido ampliamente tratados en la literatura.

III.3.a El fenómeno de empoderamiento y la exclusión del dME

Las investigaciones de Soto (2010) pusieron en evidencia, mediante la construcción de un modelo de exclusión, que “el dME es caracterizado como un sistema de razón SR, que excluye a los actores del sistema didáctico (estudiantes y docentes) de la construcción del conocimiento matemático a través de una violencia simbólica VS” (p. 91).

Figura 12: Modelo de exclusión (Soto, 2010, p. 76).

Asimismo, confeccionó un mapa del dME, que delinea lo que queda fuera y dentro de “lo normal”. En él se evidencia el carácter hegemónico del dME, la atomización en los conceptos, la concepción de que la Matemática es un conocimiento acabado y continuo, el carácter utilitario y no funcional del conocimiento y la falta de marcos de referencia para resignificar la matemática escolar (Ver figura 13).

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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Figura 13: Mapa del dME. (Soto, 2010, p.79)

• Atomización en los conceptos: no considera los aspectos sociales, contextuales y culturales que permiten la constitución del conocimiento.

• Carácter hegemónico: supremacía de argumentaciones y significados frente a otras.

• Concepción de que la matemática es un conocimiento acabado y continuo: lo que ha generado que la enseñanza de la matemática sea reducida a la mecanización de procesos o memorización de los conceptos.

• Carácter utilitario del conocimiento: la organización de la matemática escolar ha antepuesto la utilidad del conocimiento a cualquiera de sus restantes cualidades. Se busca que el conocimiento tenga un carácter funcional, en el sentido que logre integrar tal conocimiento a la vida para transformarla.

• Falta de marcos de referencia para la resignificacion de la matemática escolar: se ha soslayado el hecho de que la matemática responde a otras prácticas de referencia y por tanto es ahí donde encuentra una base de significados naturales. (Soto, 2010, p.72)

Aquí, puede hacerse un paralelo entre la concepción que se pretende desde la Socioepistemología -con base en los principios de esta teoría- y la caracterización que hace Soto (2010) del dME, incluyendo las características que debería poseer un dME que se apoye en los principios socioepistemológicos (ver figura 14).

Con esta descripción del dME actual, se evidencia que la construcción social del conocimiento queda completamente soslayada en las prácticas que acompañan a la presente educación matemática.

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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dME actual (Soto, 2010) Principios de la

Socioepistemología (Cantoral, 2011)

Propuesta de dME

Carácter utilitario

Normativa de la práctica social

Carácter funcional

La organización de la matemática escolar ha antepuesto la utilidad del

conocimiento a cualquiera de sus restantes cualidades. Se busca que el

conocimiento tenga un carácter funcional, en el sentido que logre integrar tal conocimiento a la vida

para transformarla.

La normativa de las actividades y las prácticas.

La matemática escolar se organiza con base en el saber y el funcionamiento

cognitivo, didáctico, epistemológico y social en la vida de los seres humanos, reconociendo a las prácticas sociales como las que generan la construcción

del conocimiento.

Atomización en los conceptos Racionalidad contextualizada Racionalidades contextuales diversas

No considera los aspectos sociales, contextuales y culturales que permiten

la constitución del conocimiento.

La relación al saber es una función contextual.

Se reconocen, privilegian y potencian diversos tipos de racionalidad relativos a la realidad en la que el individuo se

encuentre en un momento y lugar; desde el cual se contruirá

conocimiento.

Carácter hegemónico Relativismo epistemológico

Validación de saberes (conocimientos construidos)

Supremacía de argumentaciones y significados frente a otras.

La validez del saber es relativa al individuo y al

grupo cultural.

La matemática escolar tiene diversas maneras de verse, trabajarse,

construirse y desarrollarse, concibiendo que la validez del saber es relativa al

individuo y al grupo cultural en el cual éste ha emergido y respecto a la

racionalidad contextualizada que éste posea.

Conocimiento acabado y continuo

Lo que ha generado que la enseñanza de la matemática sea reducida a la

mecanización de procesos o memorización de los conceptos.

Falta marcos de referencia para la resignificación

Resignificación progresiva

Pluralidad de prácticas de referencia para la resignificación

Se ha soslayado el hecho de que la matemática responde a otras prácticas de referencia y por tanto es ahí donde

encuentra una base de significados naturales.

La significación no es estática, es funcional, relativa y contextual.

La pluralidad de prácticas de referencia, su interacción con diversos contextos y la propia evolución de la

vida del individuo o grupo resignificarán los saberes hasta el

momento construidos, enriqueciéndolos de nuevos significados.

Figura 14: Cuadro de relación dME actual, Principios de la SE y nueva propuesta.

Es aquí, en donde encontramos la relación dialéctica entre el fenómeno de la exclusión del dME y el fenómeno de empoderamiento. Concebimos al empoderamiento como aquel proceso que vive el docente, en conjunto con sus colegas e investigadores, con el objeto de

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

66

comprender, asimilar, asumir, aceptar y sumarse a la nueva propuesta del dME, en donde se privilegie la validación de las distintas argumentaciones, se permita la emergencia de las diversas racionalidades contextualizadas, se posea un carácter funcional del saber, se favorezca una resignificación progresiva considerando varios marcos de referencia, sobre la base de considerar a las prácticas sociales como las generadoras de dicho conocimiento. Asimismo, este proceso de empoderamiento le permite al docente hacerse dueño del saber que enseña mediante la problematización del mismo, lo cual le brindará confianza y autonomía para abrir caminos a la innovación, no sólo de diseños o implementaciones de situaciones de aprendizaje, sino también, en la generación de cuestionamientos, debates y reflexiones con sus estudiantes que hagan emerger los distintos significados del saber matemático. Todo ello, como uno de los mecanismos didácticos que acompañe al rediseño del dME, para potenciar el aprendizaje con base en la construcción social del conocimiento, y así, atender a la exclusión que provoca el dME actual.

III.3.b. El fenómeno de empoderamiento y el fenómeno de reproducibilidad

Ya ha sido demostrada la necesidad de rediseñar el dME con el fin de que se privilegien las prácticas sociales por encima de la centración en los objetos matemáticos y de la reducción de los procesos de construcción a meros algoritmos memorísticos. También hemos visto, en el capítulo anterior, que son varias las propuestas didácticas que se han diseñado con base en la idea de la construcción social del conocimiento. Ahora bien, en este momento, nos detendremos a analizar aquello que ocurre cuando estas propuestas son llevadas al aula, es decir, cuando ocurre el fenómeno de reproducibilidad. Lezama (2003, 2005) ha estudiado la reproducibilidad de una situación de aprendizaje, lo que significa buscar y determinar los factores que posibilitan el logro de los propósitos didácticos de ésta, una vez que ha sido puesta en práctica en distintos escenarios (Farfán & Lezama, 2001).

Retomaremos de las contribuciones de su investigación, aquellos puntos esenciales que nos permitirán reflexionar sobre la relación que existe entre el fenómeno de

empoderamiento y el fenómeno de reproducibilidad, a saber:

1. Se reconoce que el docente es un factor fundamental del fenómeno de reproducibilidad y esencial para alcanzar los propósitos didácticos. Cabe mencionar, que los primeros

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

67

estudios que se realizaron sobre la reproducibilidad (Farfán & Lezama, 2001; Lezama, 2003) se basaron en diseños realizados desde la ingeniería didáctica.

2. Se retoma la investigación de Perrin Glorian (1993, citado en Lezama 2005) quien también estudió la reproducibilidad y se reflexiona:

(…) se hizo notorio el fracaso de llevar una ingeniería didáctica diseñada para un escenario a otro muy distinto porque, a pesar de que se hicieron las adaptaciones que se consideraron pertinentes, y se trabajó estrechamente con los profesores de grupo, sobre la marcha se mostraron las enormes distorsiones que se producían al aplicar las actividades en el aula, debido a las interpretaciones que hacían los profesores sobre las actividades y a las características de los grupos. (Lezama, 2005, p. 345)

3. Se enuncia la idea de que el fracaso de la reproducibilidad también depende de “la relación personal del profesor con las matemáticas y con el contenido matemático específico y las ideas acerca de lo que es aprender y enseñar matemática” (Lezama, 2005, p. 346).

4. Apoyándose en las reflexiones de Artigue (1989, citado en Lezama 2005), reconoce que la reproducibilidad de las situaciones se componen de una reproducibilidad externa y una interna, en donde la primera se focaliza en los comportamientos individuales o colectivos de los estudiantes, o su evolución en el tiempo; y la segunda, profundiza en la necesidad de una construcción de significados con relación al contenido matemático específico de la situación didáctica.

5. Se menciona que para poder llevar a cabo el fenómeno de reproducibilidad deben contestarse las siguientes preguntas: “¿cómo deberán ser comunicados estos productos de investigación? Y ¿cómo podrán ser tomados en cuenta o utilizados por el profesor en su práctica docente?” (Lezama, 2005, p. 347).

6. Se asegura que:

(…) el propósito didáctico de la ingeniería se mantiene aunque el profesor cambie, ya que es un elemento objetivo; sin embargo, la manera como el profesor se apropie de él y lo interprete sí afectará el desempeño de los estudiantes, debido a que se producirán formas de interacción que estarán determinadas por el contrato didáctico. (Lezama, 2005, p. 347).

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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7. Se afirma que dentro del sistema, la posición del profesor es privilegiada ya que “domina el contenido matemático de la situación, conoce las características de sus estudiantes e interviene en el establecimiento de los propósitos de la ingeniería, adaptándola a partir de las características de sus alumnos.”

8. “El fenómeno de la reproducibilidad se presenta como frágil, ya que la repetición del efecto didáctico está determinado por múltiples factores, siendo los más complejos e incontrolables los humanos.” (Lezama, 2005, p.357).

Actualmente, los socioepistemólogos, nos referiremos a las situaciones de aprendizaje como aquellas herramientas didácticas que se utilizan para generar el escenario propicio en los que se atienda al aprendizaje con base en la construcción social del conocimiento, en las cuales, la figura del docente, los estudiantes y su contexto, son indispensables en el éxito de la situación; esto último acompaña los resultados obtenidos del estudio de la reproducibilidad en donde se concibe al docente como factor fundamental en el fenómeno de reproducibilidad.

Asimismo, coincidimos en que es necesaria la construcción de significados con relación al contenido matemático específico de la situación que quiera llevarse al aula y que la manera en que el docente se apropie del propósito didáctico y lo interprete afectará el desempeño de los estudiantes.

Sin embargo, discrepamos en que este proceso se reduzca a “hacer adaptaciones de la situación que se consideren pertinentes y trabajar estrechamente con los profesores de grupo”, o bien, afirmar que los docentes “dominan el contenido matemático de la situación”. Y este es un punto fino que debe explicarse, para lo cual, nos basaremos en las reflexiones del apartado anterior – el fenómeno de empoderamiento y la exclusión del dME –.

Los docentes han sido formados, tanto en su educación básica, en su formación inicial, como en su formación continua, bajo la lógica de que el dME posee un carácter utilitario y hegemónico, carece de marcos de referencia para la resignificación, está compuesto de conocimientos acabados y continuos, y posee una atomización en los conceptos (Soto, 2010), exento por completo de la mirada de la construcción social del conocimiento. En este contexto, solicitarles que lleven a cabo la reproducibilidad de una situación de aprendizaje

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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que privilegie la validación de las distintas argumentaciones, que permita la emergencia de las diversas racionalidades contextualizadas, que posea un carácter funcional del saber, que favorezca una resignificación progresiva considerando varios marcos de referencia, sobre la base de considerar a las prácticas sociales como las generadoras dicho conocimiento, es un hecho que dista de ser trivial. Si creyéramos que es instantáneo… la ingenuidad nos hubiera ganado. Esta contraposición, entre la formación del docente y la intención de que la relación personal del profesor con el saber matemático se modifique sin más que haciéndole una adaptación o apropiación de la situación, es lo que puede explicar la fragilidad del fenómeno de reproducibilidad que enuncia Lezama (2005) como una de sus conclusiones respecto a los aspectos generales del mismo.

Ante las preguntas que se hace el autor sobre “¿cómo deberán ser comunicados estos productos de investigación? Y ¿cómo podrán ser tomados en cuenta o utilizados por el profesor en su práctica docente?” (Lezama, 2005, p. 347), nosotros tomamos postura.

En primer lugar, consideramos que más que una comunicación de los productos de investigación, es necesario un paso previo a ésta, que radica en la reflexión y la problematización del saber matemático en general, lo que llevará a los docentes a reflexionar y problematizar el saber matemático específico de cada uno de los productos. Esto, le permitirá a los docentes poder atender la diversidad de pensamientos matemáticos que surgieran por parte de los estudiantes durante el desarrollo de la situación puesta en escena; como así también le permitirá, con base en interacciones dialécticas, hacer emerger los distintos significados de los saberes matemáticos mediante retroalimentaciones sucesivas entre el humano y su medio ambiente próximo, tanto físico como cultural (Cantoral et al., 2006).

En segundo lugar, para que los docentes puedan tomar en cuenta o utilizar los productos que de la investigación surgieran, es indispensable, que conozcan no sólo la situación problema que se diseñó, sino aquello que fundamenta la propuesta didáctica (Montiel, 2010). Por ejemplo, dada una situación de aprendizaje en donde se trabaje con un saber matemático específico, si el docente conoce las distintas argumentación, los distintos significados de él, los distintos marcos de referencia en donde ese saber está puesto en uso, es decir, conoce su naturaleza, podrá potenciar las estrategias de aprendizaje de los

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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estudiantes con base en la construcción social del conocimiento matemático, ya que tendrá un abanico de argumentaciones, procedimientos, prácticas de referencia, entre otras, para lograrlo. Sino, por el contrario, acotará las reflexiones de los estudiantes a aquellos conocimientos con los cuales él ha sido formado, o bien, aquellos que han sido destacados en la breve explicación de los objetivos didácticos que se persiguen con la situación.

En este caso, el empoderamiento emerge como una posible respuesta para atender a aquellas fragilidades que se evidencian en el fenómeno de reproducibilidad y a aquellas distorsiones que se muestran durante el desempeño de la situación que pudieran llevar al fracaso la intención didáctica de la misma; dotando al docente, en conjunto con sus colegas e investigadores, de espacios para reflexionar y problematizar el saber matemático.

III.3.c. El fenómeno de empoderamiento y su relación al saber

El fenómeno de empoderamiento docente se caracteriza por ser un proceso que vive un individuo en colectivo, por tanto, a través de la interacción con sus pares, sean profesores y/o investigadores, se potenciará la apropiación del saber que enseña mediante la problematización del mismo. Cuando enunciamos la problematización del saber, nos referimos a la integración entre las dimensiones del saber y las componentes de la construcción social; en tanto se analiza: la naturaleza del saber (dimensión epistemológica); el uso del saber (dimensión social); la apropiación del saber (dimensión cognitiva) y la difusión del saber (dimensión didáctica). Aquí, creemos sumamente importante detenernos a hacer una aclaración.

Estudiar la naturaleza del saber es entender lo que compone a ese saber, lo que lo caracteriza, su profundidad, su origen, su evolución, los distintos marcos de referencia, entre otras; si bien puede considerarse como un análisis histórico-epistemológico del mismo, no concebimos que ésta sea la única manera de estudiarla. Por el contrario, consideramos cuatro tipos de análisis:

1. La introspección: analizar, uno mismo, matemáticamente el saber. Por ejemplo, ante un teorema, preguntarse qué pasaría si sus hipótesis se cambiaran, qué ocurriría si una de ellas se eliminara… es decir, se reflexiona sobre la matemática de ese saber.

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

71

2. El análisis histórico epistemológico: estudiar y analizar estrictamente la epistemología del saber, preguntarse, por ejemplo, qué y cómo hizo en su momento un matemático para llegar a cierto teorema, proposición, conocimiento, etc.; o bien, preguntarse cómo se utilizó por primera vez, qué resultados se obtuvieron de él, cuáles fueron los errores que se cometieron en aquellos tiempos, cuáles eran sus conflictos, qué tipo de conocimientos rodeaban esta creación, entre otras.

3. La mirada del que aprende: analizar la matemática situándonos en la postura del que desconoce el conocimiento. Poniéndonos en su lugar, podremos entender, por ejemplo, cómo piensa el que está aprendiendo, cuáles y por qué son sus errores, en dónde y por qué se dificulta el avance de la construcción o cuáles y cómo se desarrollan sus estrategias para dicha construcción.

4. Su cotidianeidad: analizar los usos que ese conocimiento posee en los distintos contextos de la vida de los individuos.

Con esta aclaración, se pretende desmitificar – de existir – la idea de que el docente no puede abordar la naturaleza del saber; ya que no se espera que se haga un análisis histórico – epistemológico de cada uno de los saberes matemáticos que atiende el currículum de matemática, sino, que parta de la introspección, la mirada del que aprende y los usos que este saber posee en la cotidianeidad, apoyándose en las discusiones y reflexiones colectivas y en las investigaciones sobre la epistemología del saber que existen, o bien, siendo él mismo el que se adentre a tal investigación.

Como se puede observar, el uso que se le dé al saber es transversal a todo tipo de análisis, ya sea el histórico, el actual o el contextual, entre otros; es decir, la dimensión social del saber matemático estará permeando todos y cada uno de los análisis que se realicen sobre un saber específico. Aunado a esto, la problematización del saber atañe la necesidad de una reflexión sobre la dimensión cognitiva del saber, por ejemplo, cómo el estudiante se apropia del mismo, qué dificultades puede encontrar, en otras palabras, la necesidad de realizar un análisis a priori en donde se enfaticen las posibles dificultades y estrategias que los estudiantes pueden abordar a la hora de enfrentarse a una situación de aprendizaje. Estas reflexiones, consolidarán el tipo de dinámica que se llevará a cabo a la hora de difundir este saber, vislumbrando en ella los hallazgos realizados del análisis de las

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

72

otras dimensiones y considerando aquellas propuestas didácticas que se hayan aportado sobre el saber matemático específico.

En síntesis, la problematización del saber, radica en hacer del saber matemático un problema “localizando y analizando su uso y su razón de ser” (Montiel, 2011, p. 128). Para esto, sin duda, es necesario por un lado, como se dijo anteriormente, que se rediseñe el dME, con el fin de que lo que los estudiantes aprendan sea con base en la construcción social del conocimiento y, por el otro, dotar a los docentes de espacios de reflexión y cuestionamiento de los saberes que les permitan potenciar y acompañar dicho aprendizaje por parte de los estudiantes.

Ante la inminencia de la necesidad del rediseño del dME actual, nos hemos dado a la tarea de explicar cuál y cómo es el proceso que podría vivir el docente, para que acompañe y sea parte del cambio de concepción sobre el aprendizaje de la matemática, basada en los conocimientos matemáticos como emergentes de la construcción social.

Para ello, hemos diseñado un modelo conceptual del desarrollo del conocimiento matemático, basado en los principios de la Teoría Socioepistemológica, que acompaña las reflexiones entre docentes, entre investigadores, entre docentes e investigadores, entre docentes y estudiantes, y sus combinaciones (Ver figura 15).

Figura 15: Modelo dinámico conceptual del desarrollo del conocimiento matemático, basado en los principios

de la Teoría Socioepistemológica.

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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Antes de abordar la explicación del modelo, enunciaremos qué entendemos por cada uno de sus elementos:

Sociocultura. Para su explicación, nos remitiremos a la investigación de Crespo (2007), quien afirma

que el escenario sociocultural “influye no sólo en las conductas, sino en la manera de actuar y de pensar de los miembros de la sociedad que lo habita, modelando, de cierta manera sus acciones y pensamientos, condicionándoles sustancialmente” (Crespo, 2007, p. 38). La esencia de esta idea radica en entender que la construcción del conocimiento es un producto sociocultural, es decir, “representativo de la sociedad en la que se gesta” (Crespo, 2007, p. 38).

En particular, entenderemos cultura, como actualmente la interpretan los sociólogos y antropólogos, para señalar al “conjunto de modos de vida creados, aprendidos y transmitidos por una generación a otra, entre los miembros de una sociedad particular.” (Abbagnano, 2010, p. 258). Es decir, se interpreta como una formación colectiva de un grupo social en las instituciones que lo definen.

Contexto Como es enunciado por Espinoza Ramírez (2009), “el aprendizaje, la significación, la

racionalidad y el conocimiento son situados a cierto contexto” (Espinoza Ramírez, 2009, p.167), por tanto, consideraremos contexto como aquel en donde se gesta el conocimiento, pudiendo ser éste el cotidiano, el escolar, el familiar, el callejero, el histórico, entre otros.

Significación Dotar de significado a algo.

Conocimiento Es aquello que emerge como respuesta a un problema real del cual no se conocía su

respuesta originalmente.

Saber Es el conocimiento puesto en uso.

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Resignificación Dotar de nuevo significado o robustecer uno ya existente con base en un nuevo contexto.

Este modelo dinámico conceptual del desarrollo del conocimiento matemático, basado en los principios de la Teoría Socioepistemológica, pretende esclarecer cómo es que la Teoría Socioepistemológica concibe que deban tratarse didácticamente los conocimientos matemáticos que emergen de la construcción social del conocimiento matemático. Este modelo muestra cómo se privilegia la validación de las distintas argumentaciones, se permite la emergencia de las diversas racionalidades contextualizadas, se favorece una resignificación progresiva considerando varios marcos de referencia, sobre la base de considerar a las prácticas sociales como las generadoras dicho conocimiento.

Esta nueva concepción de lo que refiere al aprendizaje de la matemática no es algo trivial ni para el docente ni para los estudiantes, motivo por el cual, se considera que en paralelo al planteo de un rediseño del dME, deben surgir herramientas para la intervención en el sistema educativo en tanto se debería trabajar junto al docente esta nueva manera de concebir al aprendizaje de la matemática. Para ello, se postula que el fenómeno de empoderamiento docente, es una de las herramientas que pueden considerarse para propiciar que este tipo de aprendizaje se logre.

El modelo de desarrollo del conocimiento matemático está contemplado como el sustento para acompañar el proceso de empoderamiento docente, asumiendo que será considerado también para acompañar el empoderamiento estudiantil, es decir, para que una vez que el docente comience a transitar este proceso, lo tome como referencia para generar en los estudiantes, ambientes propicios que privilegien el aprendizaje con base en la construcción social del conocimiento matemático. Con esto, se deja explícita la transición del saber matemático al saber didáctico por parte de los docentes como parte fundamental del proceso de empoderamiento.

En síntesis, el fenómeno de empoderamiento docente se caracteriza por ser un proceso que vive el individuo en colectivo, fundado en la reflexión en conjunto de las personas involucradas sobre la problematización del saber con apoyo de las concepciones intrínsecas en el modelo conceptual del desarrollo del conocimiento, basado en los principios de la

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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Teoría Socioepistemológica. Esto, permitirá la interpretación, entendimiento e incorporación de las propuestas didácticas que de la investigación surgieran y diseñar sus propias metodologías de clase, con el afán de propiciar el aprendizaje con base en la construcción social del conocimiento como camino ideal para la comprensión de la matemática. El proceso de empoderamiento, le permitirá, específicamente, lograr una transición de la problematización del saber matemático a la construcción de herramientas para el saber didáctico.

III.3.d. El fenómeno de empoderamiento y su relación al saber: el caso de la proporcionalidad

Dado que el ejemplo de la proporcionalidad, surge de la observación empírica, acudiremos a realizar una revisión de las investigaciones que la comunidad científica de Matemática Educativa ha realizado al respecto y a la literatura pertinente que nos ayudará a confeccionar un cuerpo teórico sobre la noción de proporcionalidad con el fin de poder, mediante el análisis de la relación que posee el docente con este saber matemático, identificar elementos que nos permitan postular evidencias sobre el fenómeno que nos compete: el empoderamiento docente.

Habitualmente, cuando nos referimos al conocimiento matemático de proporcionalidad, en especial al de proporcionalidad directa, recurrimos a ideas cotidianas coloquiales utilizando expresiones del tipo “a más-más… a menos-menos…”, trayendo a nuestra mente el ejemplo claro y sencillo de que si aumenta la cantidad de tortillas que se compre, aumentará la cantidad de dinero que habrá de pagarse. El empleo del lenguaje coloquial permite la fluidez de un pensamiento matemático situado, que posteriormente deberá resignificarse y, por ejemplo, reflejarse de manera escrita a un nivel de objeto simbólico. Hasta este momento, nos encontramos en un pensamiento proporcional cualitativo. Piaget e Inhelder (1977) enuncian al respecto que “la noción de proporción se inicia siempre de una forma cualitativa y lógica, antes de estructurarse cuantitativamente” (Piaget & Inhelder, 1977, p. 141). En este paso de lo coloquial a lo simbólico es donde los estudiantes comienzan a cuantificar y enfrentarse a la construcción de “lo matemático”, pudiendo considerarse un medio para construir un significado de “lo proporcional” (Reyes Gasperini & Cantoral, 2011).

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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Asociadas a este conocimiento matemático, tenemos definiciones, métodos, ejemplos, etc., que conforman al objeto matemático: definida como relación funcional, como razón proporcional, como gráfica que pasa por el eje de las coordenadas, como tabla de valores, como aquella que responde al método de la regla de tres simple, aquella que responde a “a más, más; a menos, menos”, etc. (Ver figura 16)

Si bien el pensamiento cualitativo que refiere a “a más, más… a menos, menos…” es válida, debemos proponer situaciones en distintos contextos que permitan al individuo o grupo resignificar este saber con el fin de enriquecerlo, ya que, esta significación se limita a las proporcionalidades cuya constante de proporcionalidad es positiva (𝑦 = 𝑘𝑥,𝑘 ∈ 𝑅+), y

propicia a que si se le pregunta a un individuo si la función 𝑦 = −𝑥 es de proporcionalidad directa, responda que no, ya que su gráfica muestra que cuando x crece, y decrece, lo que le indica que es de proporcionalidad inversa (Ver figura 17), siendo esto, falso.

Figura 16: La proporcionalidad directa como objeto matemático

Figura 17: Representación gráfica de la función 𝑦 = −𝑥

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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Esta limitación sobre el conocimiento matemático de la proporcionalidad, es uno más de los ejemplos de la exclusión producida por el dME respecto a la construcción social del conocimiento, ya que sólo reconoce el contexto de la vida cotidiana, en la compra-venta, como significación del mismo, pudiendo en cambio recurrir a distintos marcos de referencia, por ejemplo el contexto físico (Ley de Hooke), al contexto geométrico (la relación proporcional del diámetro y la longitud de la circunferencia), el contexto de las culturas mayas (la altura de la casa de los mayas es proporcional a la altura de la persona), o bien, como se enuncia en los Elementos de Euclides, que en su definición 6 del Libro V, se llaman proporcionales a las magnitudes que tiene la misma razón, en donde, según su definición 3, la “razón es una relación cualquiera entre dos magnitudes homogéneas respecto de su cantidad” (Euclides, 1991, p. 786), entre muchos otros. Asimismo, su carácter hegemónico reduce, en muchos casos, este concepto a la regla de tres simple (Ruiz, 2006), cuando puede observarse, también, que la proporcionalidad es la relación que existe entre dos magnitudes heterogéneas, o bien, el reparto proporcional. La relación existente entre magnitudes, es el origen de la proporcionalidad, es decir, cuando dos magnitudes eran inconmensurables y no podía encontrarse la unidad de medida, se procedió a relacionar las magnitudes, de ahí nace este conocimiento matemático, de una necesidad de comparar dos magnitudes inconmensurables.

Dimensión cognitiva Si bien nuestra intención radica principalmente en comprender la dimensión cognitiva

del docente, creímos oportuno comprender cómo opera el pensamiento cognitivo humano en general, empezando por los niños. Inhelder y Piaget (1972) realizan un estudio experimental con niños para comprender cómo se desarrolla el pensamiento de lo proporcional, utilizando, entre otros ejemplos, una situación respecto al equilibrio de la balanza. El objetivo fue estudiar cómo se elabora el esquema de proporcionalidad en relación con el problema del equilibrio3. Sus conclusiones en cuanto al esquema de las proporciones enuncian:

Conviene recordar en primer lugar que en todos los dominios y no sólo en el caso de nuestras actuales experiencias, la comprensión de las proporciones no aparece antes del nivel III A. Se observa a menudo en los sujetos del subestadio II B la búsqueda de una misma relación en el interior de dos relaciones que se comparan entre sí, pero se concibe que la naturaleza de

3 Para conocer el estudio completo ver Inhelder y Piaget (1977).

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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la relación es aditiva: en vez de la proporción P/P´= L´/L, se tiene entonces una igualdad de diferencias P – P´ = L´– L. La formación de la idea de proporcionalidad supone pues que en primer lugar, se sustituyan las simples relaciones de diferencia por la noción de la igualdad de productos PL = P´L´. Sin embargo importa además señalar que este pasaje de la diferencia al producto pocas veces se realiza de entrada bajo una formación métrica: por lo general la cuantificación numérica de la proporción se halla precedida por un esquema cualitativo fundado en la noción de producto lógico, vale decir, por la idea de que dos factores que actúan juntos equivalen a la acción de otros dos factores reunidos. (Inhelder & Piaget, 1977, p. 152, las negritas son nuestras)

Posteriormente, Piaget e Inhelder (1977) sintetizan lo anterior focalizando la atención en que para construir el esquema de proporcionalidad cualitativa es necesario que el niño, o sujeto, reconozca un elemento de compensación, es decir, que comprenda que un incremento en una variable independiente da el mismo resultado que un decremento en la variable dependiente.

En estas conclusiones, podemos observar, en primer lugar, que se diferencia entre un modelo cualitativo del pensamiento proporcional y uno cuantitativo. El primero se refiere al tipo de relación descriptiva entre dos magnitudes, mientras que el segundo, refiere a relaciones métricas.

Asimismo, se puede identificar, que la primera aproximación para poder lograr un equilibrio, lo cual nosotros podemos interpretar como hallar una proporción, radica en un pensamiento aditivo. Godino y Batanero (2002) enuncian respecto a este modelo aditivo que si bien este tipo de estrategias son útiles para enfrentar con éxito ciertos problemas más sencillos, no son válidos en el caso general. Asimismo, hacen explícito, al igual que lo hicieron los autores anteriores en sus conclusiones, que “los estudiantes basan su razonamiento intuitivo sobre las razones y proporciones en técnicas aditivas y de recuento en lugar de razonar en términos multiplicativos, lo que indica una diferencia importante” (Godino &Batanero, 2002, p. 439).

En este momento, nos adentramos al pensamiento cuantitativo de la proporcionalidad, ya que comenzaremos a postular las relaciones métricas que los subyacen.

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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Posterior al pensamiento correspondiente al modelo aditivo, se le da lugar al modelo multiplicativo. Para su análisis, recurriremos al estudio realizado por Carretero (1989), quien trabajó con los diferentes tipos de estructuras multiplicativas en torno a la adquisición de la noción de la proporcionalidad. Su objetivo principal es explorar “dos tipos de “estructuras multiplicativas” en situaciones problemas que implican una o varias operaciones de multiplicación y/o división” (Carretero, 1989, p. 86), entendiendo por “estructuras multiplicativas” al campo o espacio conceptual en donde intervienen relaciones, representaciones y operaciones diferentes, pero en estrecha relación. En particular, buscan detectar cuáles son las dificultades psicológicas implicadas en el proceso de adquisición de dichas nociones, como así también, conocer y analizar las dificultades pedagógicas que determinan la capacidad de resolver un problema determinado.

Con el fin de abordar su problemática, el autor incursionó en la proporción simple en dos tipos de estructuras: en primer lugar, el “isomorfismo de medidas” y, en segundo lugar, la “estructura de proporción simple compuesta”. Para nuestra investigación, consideraremos el estudio de la primera y las conclusiones que de ello derivan.

El isomorfismo de medidas o estructura simple contempla la relación entre dos variables de dimensión diferente o dos espacios de medida (M1 y M2), dependiendo linealmente uno del otro, por ejemplo, la cantidad de compra y su costo (Ver Figura 18).

Figura 18: Isomorfismo de medidas o estructura simple. (Carretero, 1989, pp.86-87)

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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Es necesario aclarar que, en estas estructuras, se trabaja con cuatro magnitudes puestas en juego (relación cuaternaria), descartando la ley binaria o una relación terciaria de multiplicación (a ⨯ b = z), y que z representa el valor faltante que el estudiante debería hallar. Según el autor, en estos esquemas se vislumbran dos tipos de razonamiento o de relaciones matemáticas, a saber:

• Estructura 1: la utilización de un operador escalar que permite trasladar en M2 el operador que relaciona 1 con b en M1, dándole lugar a la división como operador inverso. La relación se denomina escalar, ya que aquí está dada entre magnitudes homogéneas, es decir, de un mismo espacio de medida.

• Estructura 2: la utilización de un operador función para la multiplicación o división, transfiere en la línea inferior, el operador que une 1 con la magnitud a en la línea superior. La relación se denomina funcional ya que se establece una relación entre dos magnitudes heterogéneas.

Luego de realizar el análisis pertinente, se concluye, en cuanto a un plano conceptual, lo siguiente (Carretero, 1989, p. 95):

• La división es, evidentemente, una operación más difícil que la multiplicación, a pesar de la estructura multiplicativa que subyace;

• La relación de “función inversa” que se trata (…) de la búsqueda de un valor x conociendo su imagen 𝑓(𝑥) y el valor unitario 𝑓(1), es más compleja que la relación

“escalar”, donde se debe buscar el valor unitario conociendo 𝑥 → 𝑓(𝑥).

Por tanto, de este análisis y siguiendo la lógica que hasta ahora llevamos, nos encontramos con un modelo aditivo , que precede al modelo multiplicativo escalar, el cual, es menos complejo que el modelo multiplicativo funcional.

De estos últimos dos modelos, Lamon (1994, citado en Martínez y González, 2008) realiza también una distinción como estrategias de los estudiantes para hallar el valor faltante de una proporción. El los denomina modelo inter (correspondiente al modelo multiplicativo escalar) y modelo intra (correspondiente al modelo multiplicativo funcional).

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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Vergnaud (1990) trabaja sobre la teoría de los campos conceptuales, considerando a un campo conceptual como un conjunto de situaciones, siendo estas últimas, más que una situación didáctica una tarea en donde toda situación compleja se pueda “analizar como una combinación de tareas de las que es importante conocer su naturaleza y la dificultad propia” (Vergnaud, 1990, p. 140).

Si bien esta teoría no es específica de las matemáticas, se elaboró en sus inicios para dar cuenta de procesos de conceptualización progresiva de las estructuras aditivas, multiplicativas, relaciones número-espacio y del álgebra. El autor, compara los campos conceptuales de las estructuras aditivas y las estructuras multiplicativas. En el primer campo concentra el conjunto de situaciones que precisan una adición, sustracción o una combinación de ellas; mientras que en el campo de las estructuras multiplicativas, refiere al conjunto de situaciones que requieren una multiplicación, una división o una combinación de tales operaciones. Esto le permite generar una clasificación y análisis de las tareas cognitivas y en los procedimientos que potencialmente son puestos en juego en cada una de ellas.

No es superfluo, por el contrario, resaltar que el análisis de las estructuras multiplicativas es profundamente diferente de las estructuras aditivas. Las relaciones de base más simples no son ternarias sino cuaternarias, porque los problemas más simples de multiplicación y de división implican la proporción simple de dos variables una en relación a la otra. (Vergnaud, 1990, p. 144)

Figura 19: Problemas elementales generados dentro del campo conceptual de las estructuras multiplicativas

según Vergnaud (1990)

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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Por tanto, podemos observar con la revisión de las investigaciones realizadas por la comunidad científica, que existe diversos modelos de pensamiento proporcional que abarcan los pensamientos cualitativos como iniciales, junto a los aditivos y concluyen en los pensamientos multiplicativos, de los cuales, hay varios y con diferentes grados de complejidad.

De manera general, nosotros postulamos la conglomeración los siguientes modelos de pensamiento proporcional, con base en la bibliografía consultada (ver figura 20).

Para finalizar este apartado, es importante mencionar lo que la Socioepistemología entiende por “lo cognitivo”:

Se cuestiona la idea de que la cognición se reduzca a la acción de recobrar el entorno inmediato mediante un proceso de representación, para asumir que la cognición sea así entendida como la capacidad de “hacer emerger” el significado a partir de realimentaciones sucesivas entre el humano y su medio ambiente próximo, tanto físico como cultural, a partir de una interacción “dialéctica” entre protagonistas. Esta interacción, socialmente normada, da a la práctica, inevitablemente, una connotación de práctica social. El conocimiento entonces, como se ha señalado en (Varela et al, 1997) depende de las experiencias vividas que, a su vez, modifica las propias percepciones y creencias. (Cantoral et al., 2006, p. 85).

Por lo tanto, cuando abordemos el aspecto cognitivo del docente ante su

empoderamiento, no reduciremos esto a un aumento en cuanto a la cantidad de conocimiento, sino que también se considerará en términos de aquellas acciones que hagan emerger los significados a partir de una interacción “dialéctica” entre los protagonistas. En nuestra investigación, los protagonistas de las interacciones serán el docente, los estudiantes y la investigadora.

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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Figura 20: Modelos del pensamiento proporcional

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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Dimensión epistemológica En este caso, dado que como dijimos, no es la proporcionalidad en sí nuestro objeto de

estudio, sino el fenómeno de empoderamiento docente, y concebimos a ésta como una herramienta para caracterizar nuestro fenómeno, para abordar la dimensión epistemológica, retomaremos una investigación realizada por unos colegas de la comunidad científica respecto a la epistemología del concepto de proporcionalidad que, de manera breve, enuncian lo que se concibe como la esencia de este saber matemático.

Si bien fue Eudoxo de Cnidos (390 A. N. E. –337 A. N. E.), filósofo, astrónomo, matemático y médico griego, discípulo de Platón, quien comenzó a trabajar con la teoría de proporciones, se reconoce que fue Euclides quien reunió los aportes hechos por él en Los Elementos. En el Libro V, de sus XIII Libros, esta obra científica enuncia las siguientes definiciones:

1. Se dice que una magnitud es parte de otra mayor cuando la mide. 2. Se dice que una magnitud es múltiple de otra menor cuando es medida por ella. 3. Razón es una relación cualquiera entre dos magnitudes homogéneas respecto de su

cantidad. 4. Se dice que dos magnitudes tienen razón cuando se puede multiplicar una de ellas

de modo que supere a la otra. 5. Se dice que la razón de una primera magnitud con una segunda es la misma que la

de una tercera con una cuarta cuando, tomando cualquier múltiplo de la primera y de la tercera y de la segunda y cuarta, el múltiplo de la primera es mayor, igual o menor que el de la segunda, según que el de la tercera sea mayor, igual o menor que el de la cuarta.

6. Las magnitudes que tienen la misma razón se llaman proporcionales. 7. Si entre magnitudes igualmente multiplicadas el múltiplo de la primera supera al

de la segunda, pero el de la tercera no supera al de la cuarta, se dice que la razón de la primera a la segunda es mayor que la de la tercera a la cuarta.

Así continúa con las definiciones sobre las proporciones durante este Libro y en el siguiente, comienza a trabajar las proporciones geométricas, sin embargo, las enunciadas hasta aquí nos servirán para abordar lo que deseamos.

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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Si en la definición 6, Euclides define que las magnitudes proporcionales son aquellas que tienen la misma razón y concibe a la razón, en su definición 3, como una relación cualquiera entre dos magnitudes homogéneas respecto de su cantidad, interpretamos que este tipo de definiciones se encierran, hasta este momento, en un modelo cualitativo, ya que no define qué tipo de relación se mantiene, sino que es respecto a su cantidad y refiere a magnitudes homogéneas.

Con esto, puede observarse en particular que la esencia de la proporcionalidad radica en la relación entre magnitudes.

5. La introspección: analizar, uno mismo, matemáticamente el saber. Por ejemplo, ante un teorema, preguntarse qué pasaría si sus hipótesis se cambiaran, qué ocurriría si una de ellas se eliminara… es decir, se reflexiona sobre la matemática de ese saber.

6. La mirada del que aprende: analizar la matemática situándonos en la postura del que desconoce el conocimiento. Poniéndonos en su lugar, podremos entender, por ejemplo, cómo piensa el que está aprendiendo, cuáles y por qué son sus errores, en dónde y por qué se dificulta el avance de la construcción o cuáles y cómo se desarrollan sus estrategias para dicha construcción.

7. Su cotidianeidad: analizar los usos que ese conocimiento posee en los distintos contextos.

Martínez y González (2008) postulan una mirada epistemológica del concepto de proporcionalidad y enuncian, respecto a las definiciones anteriormente mencionadas, lo siguiente:

En las definiciones 1 y 2, se establecen relaciones particulares entre tamaños de magnitudes, esto en un submundo del mundo de las magnitudes. En la definición 3 se establece cierta relación entre los tamaños de dos magnitudes homogéneas, a la que se le llamó razón, es decir, que esta relación se establece entre dos submundos del mundo de las magnitudes homogéneas, y en la definición 4 se establece una condición de necesidad para que la relación razón se pueda establecer entre dos magnitudes, con la cual se descarta el uso de magnitudes cero o infinitas. Ahora, en la definición 5, surge una nueva relación, “guardar la misma razón”, que puede expresarse como guardar la misma “cierta relación”, es decir, esta nueva relación se establece en el mundo de las razones (mundo de relaciones) pero para poder evidenciar la relación “guardar la misma

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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razón” hay que acudir a la relación “ser múltiplo de” entre los cuatro elementos que están relacionados dos a dos mediante razones. Hay que tener claro que la relación “ser múltiplo de” se establece en el mismo submundo, por lo tanto es coherente comparar los múltiplos de la primera y la tercera (que pertenecen al mismo submundo) y los múltiplos de la segunda y la cuarta (que pertenecen al otro submundo, con el que se estableció la relación “razón”). (Martínez & González, 2008, p.2)

Concluye su análisis formulando que la relación “guarda la misma razón” pretende

resaltar el hecho que a pesar de que cambien los tamaños de las magnitudes, la relación que se establece entre ellas se conserva, es decir, la razón se mantiene invariante: constante de proporcionalidad.

Dimensión didáctica Dado que esta investigación se realiza con docentes mexicanos, comenzaremos

informándonos por aquello que desde el Sistema Educativo Nacional Mexicano se brinda como documentos de apoyo para los docentes de nivel medio.

En el Libro para el Maestro de México (Secretaría de Educación Pública, 2004), que es entregado a los docentes de Matemática, es decir, es el concepto validado por el Sistema Educativo Nacional, cuya distribución es gratuita, figura lo siguiente respecto al tema de proporcionalidad (Secretaría de Educación Pública, 2004, p. 88):

“Razonamiento proporcional

El razonamiento proporcional en las matemáticas

La noción de razón surge al comparar dos números o magnitudes a través de su cociente,

mientras que las proporciones resultan de comparar los valores de dos listas de números o

cantidades variables para ver si guardan siempre la misma razón entre sí. Si llamamos a y b

a dos cantidades, su razón está dada por el cociente:

𝑎𝑏

Y si denotamos por x los valores que puede tomar una cantidad variable y por y los valores

correspondientes de la otra, decir que x e y son proporcionales significa que las dos

cantidades están relacionadas por una expresión como la siguiente:

𝑦𝑥

= 𝑘 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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o lo que es lo mismo:

𝑦 = 𝑘𝑥

k es llamada la constante o factor de proporcionalidad.

A pesar del aspecto tan sencillo de las fórmulas anteriores, las nociones de proporcionalidad

y sus consecuencias son centrales en todas las matemáticas. En los ejemplos que vienen a

continuación se ilustrará brevemente el papel que juegan en campos como la medición, la

presentación y tratamiento de la información, el estudio de la variación y la geometría.”

Si continuamos profundizando sobre lo que plantea el Libro del Maestro (editado y difundido desde 1994) sobre el razonamiento proporcional, podemos observar que contemplan las relaciones con el estudio de la variación, acudiendo a ejemplos como la Ley de Hooke, la deformación de una viga o la torsión de una varilla de alambre; asimismo, lo relacionan con la compra-venta en la vida cotidiana o la semejanza de figuras, recorriendo un vasto camino hasta llegar, por ejemplo, a las técnicas de interpolación y la aproximación. Sin embargo, cuando realizan la propuesta de Problemas y aplicaciones (Secretaría de Educación Pública, 2004, p. 98), vuelven a reducir los problemas a aplicaciones de las técnicas de proporcionalidad: regla de tres simple, reducción a la unidad, comparación de tablas, entre otras.

En los libros de texto, de igual manera, se define la proporcionalidad directa como aquella cuyas variables aumentan de forma proporcional, veamos dos casos de presentación del conocimiento, ahora sí, de distintos países:

Figura 21: Definición de proporcionalidad directa según Logikamente (Pisano, 2011, p. 2)

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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Figura 22: Definición de proporcionalidad directa según Fractal 1. (Block & García, 2009, p. 47)

En el primer ejemplo, sólo como comparación ya que es un libro argentino, el de Logikamente (2011), vemos que se reducen, según los modelos planteados en la dimensión cognitiva, al modelo cualitativo, mientras que el segundo, Block y García (2009), el modelo que puede observarse es el modelo inter.

El tema de proporcionalidad es uno de los temas transversales de la educación básica, por tanto, recaen sobre él varias investigaciones sobre aprendizaje, y sobre todo, sobre su enseñanza. Numerosos son los estudios que se realizaron, y realizan actualmente en distintos países, sobre las dificultades de la enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad (Iturbe & Ruiz, 2011; Ruiz, 2006; Salazar & Díaz, 2009; Valdemoros, 2010, entre otros).

Salazar y Díaz (2009), en una reciente investigación, retoman evidencias de otros de sus trabajos en donde trabajaron con dos grupos de docentes chilenos y abordan un diseño de enseñanza de fracciones con base en una Ingeniería Didáctica con el fin de superar las dificultades que tienen los estudiantes para aprender significativamente el concepto de fracciones y razones. Una de sus conclusiones radicó en evidenciar entre el profesorado la existencia de obstáculos epistemológicos y didácticos referidos al tema matemático abordado.

Dentro de estos grupos, se hicieron afirmaciones como las siguientes:

La enseñanza de Razones y Proporciones en la escuela es una de las tareas difíciles para los maestros y maestras… se manifiesta en el alto porcentaje de alumnos que presentan problemas al confundir fracciones con razones matemáticas. Uno de los aspectos que determinan este problema es la pobreza conceptual que se maneja en la práctica escolar. (Equipo 2; en Díaz, 2008). (Salazar & Díaz, 2009, p. 213)

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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Existe una deficiencia en el conocimiento general de Razones y Proporciones, no sólo por parte de los alumnos, sino también, en alguna medida, por parte de los Profesores, lo cual conlleva a requerir un esfuerzo en conjunto para mejorar. (Ávila y equipo, 2007, en Díaz, 2008). (Salazar & Díaz, 2009, p. 213)

Asimismo, Valdemoros (2010) realizó un estudio longitudinal durante tres años, junto a un docente mexicano –Roberto–, estudiante de una maestría, sobre el diseño de actividades que favorecieran el aprendizaje de los estudiantes. Él enuncia que previo a la reflexión realizada sobre los nuevos diseños para el aula, sus explicaciones “estaban muy cargadas de algoritmos, aisladas de situaciones reales que viven los alumnos” (Valdemoros, 2010, p. 220). Enuncia también Roberto, que su interés por estar en la maestría era poder lograr que los estudiantes entendieran los distintos significados de la razón, pero primero, debería entenderlo él, asumiendo que no lograba reconocer los errores comunes de los estudiantes.

La investigación concluye enunciando que aún el docente experimentaba dificultades didácticas en cuanto a la enseñanza:

A pesar de haber avanzado mucho como maestro, me cuesta modificar el estilo algoritmizado de enseñanza que antes tenía; por ejemplo, no me resultaría sencillo enseñar, sobre los nuevos fundamentos didácticos, la división de fracciones o la función lineal, mencionando contenidos matemáticos próximos al que ya trabajé en la maestría. (Valdemoros, 2010, p. 223)

Desde Argentina, Río Negro, Iturbe y Ruiz (2011) realizan un estudio con docentes de nivel medio sobre la enseñanza de la proporcionalidad con el objeto de “contribuir al análisis y a la comprensión de la práctica docente, tanto en lo referente a producir el aprendizaje de sus alumnos como en lo que se refiere a las características que adquiere su trabajo profesional” (Iturbe & Ruiz, 2011, p. 1047).

Su investigación es producto del análisis de los resultados obtenidos de un curso – taller impartido para docentes de nivel medio en donde se analizaron situaciones didácticas para la enseñanza surgidas en Didáctica de la Matemática; en donde se realizaron encuentros grupales; se llevó a cabo la implementación de estas propuestas en el aula y se socializó y analizó en forma colectiva estas implementaciones.

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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Las autoras reconocen que la práctica del docente responde a diferentes restricciones y enumeran algunas de ellas: los hábitos, otros colegas, alumnos, los padres, la administración (dimensión social), sus concepciones, sus valores personales, sus experiencias, sus conocimientos (dimensión personal). Respecto a estas restricciones y potenciales cambios en su labor docente, hacen una interesante reflexión:

En la región donde realizamos este trabajo y en general en nuestro país, gracias a los documentos curriculares que se vienen elaborando hace unos diez o quince años, los docentes tienen contacto con producciones de investigaciones y de divulgación de la didáctica de la matemática. Si bien, en general, acuerdan con los marcos teóricos trabajados, se observa que difícilmente esto redunde en un cambio de prácticas en sus aulas, es decir esto no se ve traducido en las prácticas de los docentes, y, como dijimos anteriormente hay trabajos de investigaciones que abordan esta problemática (Robert, 2005).

En general las prácticas de enseñanza en el aula se limitan a presentar los temas y dar ejercicios de aplicación. Sabemos que hay la resistencia a producir cambios en la forma de presentar los contenidos. (Iturbe & Ruiz, 2011, p. 1052)

Para sintetizar este apartado respecto a la dimensión didáctica de la proporcionalidad, nos remitiremos a la reflexión que realizan nuestras colegas argentinas, con la cual concordamos:

La actualización docente constituye una preocupación, las instancias de formación continua están planteadas, los docentes están dispuestos a innovar sus prácticas, evidentemente hay otras cosas que influyen en cómo se traduce esto en las prácticas efectivas de los docentes, y esto es necesario estudiar. Nos preguntamos ¿qué trabajo hacer en la formación continua? ¿Qué modelo privilegiar? (Iturbe & Ruiz, 2011, p. 1052)

Ellas dejan abierta unas preguntas, que nosotros retomamos para analizar y concluir en nuestra investigación.

Dimensión social Bajo nuestra mirada socioepistemológica, al concebir que los conocimientos se dotan de

significados a través de su uso y su funcionalidad, por ejemplo, la noción de proporcionalidad se resignificará en cuanto el individuo pueda reconocer a la proporcionalidad como la relación que existe entre magnitudes tanto homogéneas como

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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heterogéneas cuya peculiaridad es que su razón se mantiene constante. Para ello, consideramos necesario recurrir a los orígenes de la construcción de este conocimiento emergente de la sociedad misma, como así también, a los distintos marcos de referencia en los cuales puede encontrarse (leyes físicas, relaciones entre magnitudes de las áreas de las figuras geométricas, compra-venta en la vida cotidiana, entre muchas otras) para generar situaciones de aprendizaje que privilegien los distintos tipos de razonamientos y pensamientos proporcionales que en este saber matemático subyacen.

Como hemos mencionado anteriormente, lo esencial para que este tipo de trabajo con los estudiantes se lleve a cabo, es que se logre la problematización del saber puesto en juego en las interacciones de aula. Esta problematización radica en hacer del saber matemático un problema “localizando y analizando su uso y su razón de ser” (Montiel, 2011, p. 128).

Nuestro objetivo dista de hacer, en esta investigación, una propuesta didáctica que atienda a la construcción del conocimiento que subyace en el saber matemático de la proporcional, lo cual llevaría una nueva investigación que contemple como objeto de estudio a este fenómeno. Por lo cual, en este momento, sólo retomando el modelo conceptual del desarrollo del conocimiento matemático, basado en los principios de la Teoría Socioepistemológica, para dar uno de los muchos ejemplos de cómo podría resignificarse la proporcionalidad. Decimos uno de los muchos, ya que este no es el modelo, sino que cada individuo o grupo diseñará su propio modelo respecto a la vida de cada quien.

Figura 23: Significación y resignificación de la Proporcionalidad (Primera parte)

Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento

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En esta primera parte, se retomaría el pensamiento cualitativo de la proporcionalidad que está sumamente apegado a la vida cotidiana de los estudiantes.

Figura 24: Significación y resignificación de la Proporcionalidad (Segunda parte)

En esta segunda parte, con el apoyo de situaciones de aprendizaje contextualizadas que privilegien la construcción social del conocimiento, se estima que de ellas emergiera la relación proporcional como respuesta a un conflicto cognitivo generado por la propia situación, en donde se considere la evolución desde los modelos aditivos a los multiplicativos, dejando ver la relación invariante que guardan las magnitudes intervinientes.

Como síntesis de este capítulo, retomaremos una frase de Paulo Freire:

“La práctica de navegar implica la necesidad de saberes fundamentales

como el dominio del barco, de las partes que lo componen y

de la función de cada una de ellas, como el conocimiento de los vientos,

de su fuerza, de su dirección, los vientos y las velas, la posición de las velas,

el papel del motor y de la combinación entre motor y velas.

En la práctica de navegar se confirman, se modifican o se amplían esos saberes.”

(Freire, 2005, p.24)

Capítulo IV: Marco Metodológico

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Mi mirada no está dirigida hacia ellos

(profesor y estudiantes), sino que a través de ellos

pretendo mirar. Cristina Ochoviet

Para sustentar la evidencia de lo que se afirma teóricamente se precisa de algún método, aquel que dé coherencia a las técnicas para la toma de datos y que tiene la particularidad de ser replicable. El método dependerá entonces del tipo de investigación que se realice, pues no es lo mismo realizar una investigación de corte bibliográfico a otra de tipo cualitativo o bien, histórica o cuantitativa. Ahora bien, una vez tomados los datos, la manera de interpretarlos y analizarlos, conformará nuestra metodología, con ella se transforman los datos en resultados interpretables para la investigación. Esto se logra, sin duda alguna, mediante la articulación teórica, a través del uso de los constructos teóricos abalados teóricamente como herramientas de interpretación plausible.

En nuestra investigación, utilizaremos el método del estudio de casos, cuyas técnicas se sustentarán en entrevistas semi – estructuradas, cuestionarios, observación no participante, videograbaciones, intervenciones reflexivas, toma escrita de datos y reflexiones sobre las videograbaciones; y articularemos toda esta diversidad de datos con el empleo de la Teoría Socioepistemológica a fin de dar cuenta de los resultados obtenidos.

Capítulo IV: Marco Metodológico

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Capítulo IV: Marco Metodológico

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IV.1. MÉTODO: ESTUDIO DE CASO

Una vez elegida la aproximación teórica, aplicada al fenómeno estudiado y las diferentes aportaciones que se refieren a él, nos adentramos en la tarea de realizar un estudio de naturaleza empírica con el fin de observar cómo vive el fenómeno de

empoderamiento docente en el contexto real de nuestro interés: el salón de clase.

Martínez Carazo (2006) realiza una interesante contraposición entre la metodología cuantitativa y la cualitativa, siendo dos metodologías con las cuales las investigaciones pueden realizarse. La primera de ellas, la reconoce como aquella que contrasta teorías ya existentes a partir de ciertas hipótesis que surgen de la misma, bajo la necesidad de obtener una muestra representativa de una población o fenómeno objeto de estudio. De aquí, surge muy notoriamente la necesidad de contar con una teoría ya construida para realizar estudios cuantitativos, dado que el método científico utilizado es deductivo inferencial. Como contraposición, enuncia sobre la metodología cualitativa lo siguiente:

(…) consiste en la construcción o generación de una teoría a partir de una

serie de proposiciones extraídas de un cuerpo teórico que servirá de punto

de partida al investigador, para lo cual no es necesario extraer una muestra

representativa, sino una muestra teórica conformada por uno o más casos.

(Martínez Carazo, 2006, p. 169)

Esto último explica la elección de utilizar una metodología cualitativa en esta investigación, dado el reciente surgimiento del estudio del fenómeno de empoderamiento, sobre todo en la disciplina de Matemática Educativa. Por tanto, el método de estudio de caso se utilizará como una valiosa herramienta de exploración y hallazgo para contribuir a la ampliación, especificación y puntualización de la caracterización del fenómeno de empoderamiento, considerando su mayor fortaleza: “que a través del mismo, se mide y registra la conducta de las personas involucradas en el fenómeno estudiado” (Martínez Carazo, 2006, p. 167).

Para abordar este estudio de caso, utilizaremos la operacionalización del estudio de caso planteada por Reyes y Hernández (2008) en un artículo en donde reflexionan sobre “El Estudio de Caso en el contexto de la crisis de la modernidad” en conjunto con las

Capítulo IV: Marco Metodológico

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aportaciones realizadas por Martínez Carazo (2006). Se elige esta caracterización por su postura frente al paradigma emergente de la investigación cualitativa, contemplando que no existe una manera única de mirar los hechos y que la apreciación del investigador debe ser considerada:

(…) hoy se cree que la trayectoria personal del investigador y la de la

comunidad científica, así como también los valores, creencias y prejuicios

que contienen, son la prueba más íntima del conocimiento: sin ellos el

conjunto de todos los datos, apuntes, cálculos y trabajos de campo carecen

de sentido. (Reyes & Hernández, 2008, p. 74)

Este hecho, acompaña el tipo de idiosincrasia con la cual realizamos esta investigación, ya que nuestro objetivo no es buscar “verdades” sino, caracterizar un fenómeno didáctico en un sentido amplio.

Realizaremos una breve descripción de los aspectos que abarca la operacionalización del estudio de caso según los autores, mientras que también, les realizaremos adaptaciones necesarias para que se adecúe mejor a nuestra investigación. Este tipo de operacionalización se divide en tres fases: la primera, la fase documental, en donde se realiza la revisión bibliográfica, el estado del arte y se reconocen los conceptos clave. La segunda se denomina referencial – empírica y consiste en describir el caso seleccionado por el investigador, en el cual se desarrolla el fenómeno de interés. La tercera, se denomina la fase interpretativa, en la cual se considera los supuestos teóricos y los hallazgos empíricos y se establecen las relaciones que de ellos surgieran; en síntesis, el objetivo es “detectar la correspondencia entre los supuestos teóricos y la dimensión empírica referencial seleccionada”.

Los aspectos que se consideran para realizar este estudio son los siguientes:

1) Vía de inferencia Se analizará el estudio de caso mediante una vía deductiva, partiendo de una revisión bibliográfica de los aspectos relevantes de investigación. Con ella, se verán las distintas posturas y caracterizaciones que se le infieren en la literatura al fenómeno a investigar.

Capítulo IV: Marco Metodológico

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2) Selección de caso Se selecciona el caso con base en los siguientes criterios: “a) impacto, relevancia o pertinencia de la propuesta de estudio; b) complejidad, diversidad y número de variables involucradas en el fenómeno, lo cual aumenta el interés en su estudio y c) consideraciones pragmáticas: facilidad de acceso a los datos, disponibilidad de tiempo para la interacción del investigador con el objeto de estudio (…), entre otros” (Reyes & Hernández, 2008, p. 78)

3) Determinación de la unidad de análisis y de la unidad de información La unidad de análisis comprende lo que va a ser descrito: “¿qué quiero observar?, ¿a través de qué lo observo?” (Reyes & Hernández, 2008, p. 78). Se contextualiza al fenómeno en un espacio y tiempo. Lo primordial es entender “cómo actúan los actores, cómo perciben y explican las situaciones y las relaciones emergentes a partir del estudio de uno o varios casos concretos, los beneficios percibidos y los obstáculos enfrentados, lo cual permitirá sistematizar la situación, experiencia o fenómeno, logrando una descripción detallada del mismo.” (Reyes & Hernández, 2008, p. 78-79)

4) Las técnicas e instrumentos para la recolección de datos Para realizar el análisis de este aspecto, los autores refieren a las categorías realizadas por Rusque (2003, citado en Reyes & Hernández, 2008) las cuales se dividen en técnicas de recolección en datos descriptivos y datos comprensivos. Sobre los datos descriptivos enuncian que se basan en la descripción que realizan los actores y la forma como describe la situación o el fenómeno bajo estudio y sus relaciones inherentes. Respecto a la segunda categoría, describen que aquí se incluyen las reflexiones personales y la vivencia del investigador, en tanto sus intereses, satisfacciones, aspectos positivos y negativos detectados, entre otros. Para las técnicas, realizan una nueva división entre las interactivas y las no interactivas. Sobre las primeras se destacan la observación directa, la observación participante y la entrevista abierta, añadiendo nosotros, las entrevistas semi – estructuradas y los cuestionarios. En cambio, las técnicas no interactivas se fundamentan en la toma escrita de datos, hojas de resumen de visitas realizadas; informes de sesiones de trabajo puntuales, grabación y transcripción de entrevistas realizadas indicando la fecha, hora, ubicación y persona entrevistada y los registros escritos en cuadernos.

Capítulo IV: Marco Metodológico

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5) Las técnicas de análisis Lo que se rescatará de este aspecto es la triangulación entre los procesos de teorización, las técnicas utilizadas para la recolección de datos y la interpretación de éstos con base en la metodología para obtener los resultados de la investigación.

6) Criterios de la investigación Se diferencia en los criterios éticos y metodológicos. Los primeros reconocen la necesidad de enviar una copia de las entrevistas al observado y también los resultados que de ellos se obtuvieron, para asegurarnos de que sean estos resultados próximos a lo que el observado piensa, siente y cree, ya que de esta manera aseguramos la credibilidad de los resultados de investigación obtenidos. El segundo, que refiere los criterios metodológicos, se divide en criterios relacionados con el investigador, con el proceso de recolección de datos y con la validez de la investigación, cuyas características son:

• Relacionados con el investigador: que el investigador esté involucrado en el caso en un período suficiente de tiempo, que la aplicación de los instrumentos, la recolección de datos y las transcripciones deben estar a cargo del investigador o bien, ser supervisadas por él. Esto facilita y aumenta el nivel de aprendizaje, comprensión y profundización del caso.

• Relacionados con el proceso de recolección de datos: elaboración de los instrumentos de recolección de datos sobre la base de una revisión teórica. Selección adecuada y consistente del o los participantes. Los procedimientos de recolección y análisis deben ser, en lo posible, reproducibles o replicables.

• Relacionados con la validez de la investigación: se seleccionan las técnicas y la metodología adecuada para que garanticen hallazgos precisos de investigación. Es preciso aclarar que los resultados obtenidos serán específicos de los actores sociales involucrados y al contexto en el cual se desenvuelve.

A continuación, abordaremos los aspectos mencionados con base en nuestro estudio de caso.

Capítulo IV: Marco Metodológico

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IV. 2.1. Vía de inferencia Si bien en el capítulo anterior hemos realizado una revisión bibliográfica detallada, aquí

efectuaremos una breve síntesis de aquellos elementos que son transversales a las diferentes caracterizaciones del fenómeno y cuál ha sido la nuestra en específico.

En todas las acepciones que han sido revisadas, aparecen ciertos elementos que son transversales a los diferentes contextos, como por ejemplo: todas lo consideran – explícita o implícitamente – un proceso por el cual transita un individuo en colectivo; aseguran la necesidad de la reflexión en conjunto de las personas involucradas, cuya participación procura el beneficio para el grupo; enuncian el propósito de transformar su entorno con base en la participación activa, en contra posición del consumo pasivo de la realidad, que permita la construcción y/o incorporación de conocimientos, herramientas y técnicas para alcanzar los fines deseados; evidencian, por sobre todas las cosas, su carácter innovador y transformista de la realidad. Es decir, en la caracterización que realizaremos del fenómeno de empoderamiento, se verán reflejadas específicamente las siguientes consideraciones:

1. es un proceso del individuo en colectivo; 2. no es un suceso que se otorga, sino que se produce desde el individuo; 3. parte de la reflexión y se consolida en la acción; 4. transforma la realidad.

Por tanto y en particular, para nosotros, el fenómeno de empoderamiento docente se caracteriza por ser un proceso que vive el individuo en colectivo, fundado en la reflexión en conjunto de las personas involucradas sobre la problematización del saber con apoyo en el modelo conceptual del desarrollo del conocimiento, basado en los principios de la Teoría Socioepistemológica; permitirá la interpretación, entendimiento e incorporación de las propuestas didácticas que de la investigación surgieran con el afán de propiciar el aprendizaje con base en la construcción social del conocimiento como camino ideal para la comprensión de la matemática. El empoderamiento, le permitirá, específicamente, lograr una transición de la problematización del saber matemático a la construcción de herramientas para el saber didáctico.

Capítulo IV: Marco Metodológico

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IV.2.2. Selección del caso Para realizar la selección de uno de los profesores partícipes de la Especialización, se

consideró como población un grupo de la tercera experiencia del proyecto, ya que de ella, en primer lugar, podíamos asegurar cierta estabilidad en las actividades y los objetivos que se perseguían con los profesores; y, en segundo lugar, las reflexiones sobre el fenómeno de empoderamiento eran más profundas a causa de las observaciones de las anteriores experiencias, lo que brindaría una retroalimentación más significativa.

Durante la tercera generación de la Especialización se tuvo la oportunidad de ser tutora de uno de los grupos, integrado por 12 docentes. Se compartió con ellos la experiencia presencial del proyecto durante una semana y posteriormente, se realizó un seguimiento a distancia. Este último estuvo a cargo de otro colega del Cinvestav, gracias al cual hemos tenido acceso a las conversaciones, a las intervenciones en los foros y en los chat, a los trabajos de reflexión y producción, de todos y cada uno de los profesores activos del grupo.

Aunado a las observaciones de las dinámicas realizadas en el proyecto, se tuvo acceso a la evolución de los docentes en cuanto a su examen de admisión y su examen de egreso. Ambos exámenes contaban con 75 reactivos confeccionados con base en las matemáticas de secundaria que son abordadas durante su práctica. En el análisis de comparación entre el ingreso y egreso, pueden observarse las evoluciones generales del examen completo o bien, puntualizar en cada uno de los reactivos. También, se consideró la opinión de las dos tutoras presenciales y del tutor a distancia; el tipo de participación de los profesores y la disponibilidad con la que contaban para poder hacer las observaciones que requeríamos y la predisposición que demostraban para ello. Esto último era una variable fundamental para nosotros ya que nuestra intención era mirar por ejemplo, los temores del docente, por tanto, necesitábamos una sensación de agrado a la observación para poder contar con un docente relajado y auténtico.

A continuación detallaremos las características del docente elegido según las consideraciones recientemente mencionadas. Con el fin de mantener la confidencialidad del profesor seleccionado, le llamaremos Santiago.

Capítulo IV: Marco Metodológico

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Consideración de la evolución matemática respecto a los exámenes de admisión y egreso

Con el fin de conocer la evolución matemática de los docentes durante el proceso de la Especialización, como así también, para realizar un estudio sobre el fenómeno de la equidad de género (tema que nosotros no abordaremos), colegas del Cinvestav realizaron un estudio de impacto. Para ello, se contrastaron los resultados obtenidos de los exámenes de admisión y egreso aplicados a los profesores de cada una de las generaciones.

El examen de admisión permitió hacer una valoración diagnóstica sobre el conocimiento de los profesores participantes de la Especialización. Los reactivos se realizaron con base en el programa de estudios 2006 avalado por la SEP.

En cuanto al examen de egreso tiene como objetivo establecer avances en el dominio cognoscitivo de la matemática de los profesores a través de un instrumento diseñado de acuerdo al desarrollo de la Especialización.

La primera lectura que se realiza a nivel cualitativo por las expertas que han llevado a cabo esta estadística, tomando una muestra considerable de todos los profesores partícipes de la Especialización, muestra que respecto a la variación entre el examen de ingreso y egreso, si bien es mínima, existe un progreso. En particular, el profesor seleccionado tuvo una evolución muy por encima de la media detectada por el estudio de impacto, porcentajes que, por cuestiones de confidencialidad, no se darán a conocer.

Consideración de la participación en la etapa presencial

Respecto a la fase presencial, el grupo seleccionado fue considerado por las tutoras presenciales como un grupo que "es muy participativo, reconocen sus falencias y demuestran su interés por entender y aprender." (Informes entregados a la Coordinación General del Proyecto) y concluyeron reconociendo que tanto para diseñar como para rediseñar se debe tener en cuenta lo siguiente (Informes entregados a la Coordinación General del Proyecto):

• Especificar la intención o el propósito del diseño. • El cual debe ir en concordancia con la visión de la enseñanza que se tenga. • El planteamiento de la actividad o actividades también tendrá relevancia. • Hay que tener la motivación y los intereses del estudiante. • Las estrategias serán la guía de la situación.

Capítulo IV: Marco Metodológico

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• Se deben considerar los conocimientos previos de los estudiantes. • El contexto es fundamental. • Hay que hacer adecuaciones según el grupo. • Es importante realizar consideraciones posteriores a una aplicación para

hacer modificaciones. • El material a emplear debe ser contemplado. • Hay que realizar una evaluación en dos sentidos. El que se incluye en la

actividad para validar el avance del estudiante y la evaluación al diseño mismo y sus posibles reformulaciones.

En particular, Santiago demostró un constante interés, una participación activa, como así también, por momentos mantenía un silencio notable, lo cual, a entender de la investigadora, refería a un análisis de aquello que no era algo “fácil de entender”, ya que al finalizar la sesión, pedía a alguna de las tutoras platicar sobre el tema que le había quedado con dudas. En muchas oportunidades ha demostrado su asombro por los conocimientos que las tutoras demostraban respecto a la matemática y hacía notar su interés personal de “saber tanto como ellas”. Mostraba una actitud entusiasta y con tendencia para generar grupos de conocimiento, ya que además de las intervenciones dentro de las horas de actividades, posterior a eso, generaba autogestiones como potenciales vías de resolución sobre asuntos de los grupos de colegas que se encontraban junto a él.

Consideración de la participación en la reproducibilidad

Durante la fase de reproducibilidad, participaron 11 de los 12 profesores. Bajo una mirada cuantitativa, hubo 19 interacciones a través de los chats en la plataforma Moodle, cuya participación promedio fue de un 54%, mientras que el porcentaje de participación de Santiago fue de 85% aproximadamente.

Sobre su participación, el Tutor a distancia informa: El profesor Santiago fue un elemento muy importante durante todas las semanas de reproducibilidad. Siempre acudió a las sesiones de chat, inclusive aquellas en las que el resto de los colegas no ingresaban. Se mostró participativo en todo momento y entusiasta. Su actitud fue siempre de disposición y lo demostró en todo momento: enviaba sus tareas cuando se acordaba, inclusive terminó con el envío de sus pendientes antes de concluir la última semana. Aunque sus comentarios en los foros fueron muy cortas, durante el rediseño se mostró participativo y propuso algunos elementos que se consideraron en

Capítulo IV: Marco Metodológico

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el rediseño final de la situación. Actualmente ya concluyó con todas las etapas y actividades. (Informes entregados a la Coordinación General del Proyecto)

Consideración pragmática

Una vez que hubiéramos recibido la opinión de los tutores y sobre todo, del tutor a distancia, teníamos la recomendación de cuatro potenciales docentes cuyas características versaban en tanto a la participación activa, la predisposición, la profundidad de las reflexiones y su compromiso con el proyecto. Posterior a esta propuesta, se realizó una nueva depuración y el tutor recomendó a dos de esos cuatro docentes con las siguientes palabras: “mi recomendación está para Juan1 (1) y Santiago (2), sin lugar a dudas” (Tutor a distancia, comunicación personal, 27 de marzo, 2011).

La predisposición brindada por Santiago fue constante e instantánea, enviando correos que comentaban su deseo de ser elegido entre aquellos cuatro que habían sido invitados a ser parte de estas observaciones: “Claro que me gustaría que estuvieras por acá, estoy trabajando ya con el grupo de profesores, yo ya mandé mis evidencias, espero ser de los seleccionados.” (Santiago, comunicación personal, 21 de abril, 2011).

Esta predisposición también la encontramos en otros dos de los docentes (sólo uno no accedió a ser observado), sin embargo, por cuestiones de seguridad, disponibilidades de tiempo y facilidades de video grabar que brindaba la Institución, se consideró a Santiago como el seleccionado.

Consideración del trabajo en la reproducción

El trabajo de reproducción ha sido alcanzado por una parte reducida de los profesores partícipes del proyecto. En muchos de los casos esto se producía por inconvenientes que excedían la predisposición del docente, sin embargo, en otros casos fueron los propios docentes los que invitaban a sus colegas para hacer la reproducción.

Santiago fue uno de los cuales logró concluir con este proceso. Para ello, buscó distintas maneras de encontrar a los colegas con quienes trabajar. Se comunicó reiteradas veces con 1 Los nombres son ficticios, con el fin de preservar la identidad de los actores.

Capítulo IV: Marco Metodológico

106

los coordinadores del proyecto a fin de solicitar la lista de inscritos para poder invitarlos él personalmente a participar del proyecto y conformar el equipo de trabajo. Su interés por continuar activamente y concluir de manera efectiva el proceso era evidente.

IV.2.3. Determinación de la unidad de análisis y de la unidad de información En esta investigación se pretende caracterizar el fenómeno de empoderamiento, por

tanto, durante la observación se busca identificar aquellos elementos que evidencien actitudes de empoderamiento, lo cual, podrá observarse a través del mejoramiento en su desempeño matemático, en su desempeño en el campo didáctico y su actitud de liderazgo que demuestre en sus acciones, como así también, la interrelación entre ellos. Esto, será observado en diversos contextos: en su desempeño en la evolución matemática de los exámenes; en la interacción que mantuvo entre sus colegas durante la fase presencial, la fase de reproducibilidad y la fase de reproducción; y en su desempeño en su práctica docente, en el aula.

IV.2.4. Las técnicas e instrumentos para la recolección de datos En esta investigación, el profesor no conocía cuál era el fenómeno que nosotros

estábamos observando, por tanto, no se le han pedido directamente reflexiones sobre el mismo. Sin embargo, tuvimos conversaciones personales, como así también, una entrevista de cierre de la observación en la cual, sin enunciarle cuál es el fenómeno observado, él realiza comentarios que refieren a ello, desde su actividad y experiencia.

Asimismo, se acompañó al docente durante 4 días de labor didáctica, en los cuales se observaron 24 “horas reloj” de su práctica, de las que, aproximadamente 20 horas se trabajó sobre la noción de proporcionalidad. Durante ellas, se realizaron toma de datos escritos y de 9 “horas reloj” se realizaron videograbaciones. También, se le hicieron cuestionarios y entrevistas semi – estructuradas al docente, como se expresó anteriormente. A este tipo de interacciones podemos ubicarlas en la recolección de datos descriptivos.

En el capítulo siguiente, a medida que se vaya mostrando la evidencia empírica y se analice con base en la teoría, se dejarán lucir también las reflexiones personales y la vivencia de la investigadora durante el período de observación.

Capítulo IV: Marco Metodológico

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IV.2.5. Las técnicas de análisis Para realizar el análisis de los datos obtenidos que surgen de la recolección de datos, se

considerará la revisión bibliográfica que se especificó en el Capítulo III sobre el fenómeno de empoderamiento, se considerarán las investigaciones que desde la comunidad se hayan realizado para profundizar en el tema matemático abordado, como el que haremos nosotros mismos y la interpretación que de ellos emergiera como construcción de la caracterización del fenómeno de empoderamiento.

IV.2.6. Criterios de la investigación Luego de realizar la recolección de datos y efectuar su análisis respectivo con base en

las técnicas de análisis, en cuanto a los criterios éticos, se considera indispensable, como lo han mostrado las recientes investigaciones cualitativas, realizar una triangulación contemplando las observaciones, por un lado del docente observado para que pueda brindarnos sus observaciones y opiniones sobre los resultados obtenidos con el fin de cotejar si coinciden con lo que él piensa, siente y cree sobre lo analizado; por el otro, contemplaremos las observaciones realizadas por una Maestra en Ciencias en la especialidad de Matemática Educativa, actual estudiante de doctorado, que tiene la peculiaridad de ser profesora – investigadora con el fin de recibir su mirada como conocedora del ambiente docente y de la investigación. Asimismo, la maestra con quien se hará la triangulación ha trabajado sobre temas cercanos al tema abordado en esta investigación como ejemplo: la proporcionalidad.

En cuanto a los criterios metodológicos, se permaneció, como fue mencionado anteriormente, durante 4 días de labor didáctica con el docente, compartiendo con él, no sólo su práctica laboral, sino momentos de su vida personal, como el conocer a su familia y su rutina semanal. Esto último, nos ha permitido adentrarnos profundamente en lo que se necesita para realizar una investigación cualitativa, ya que su entorno familiar juega un rol importante en cuanto a su desempeño académico.

Para la toma de datos, se han considerado las técnicas recomendadas y conocidas para este tipo de estudios, las cuales fueron diseñadas por los investigadores de manera personal, para atender al caso en específico.

Con el fin de asegurar el rigor de la investigación, se tendrán en cuenta los criterios de suficiencia y adecuación de los datos (Rodríguez, Gil & García, 1996). La primera refiere a la

Capítulo IV: Marco Metodológico

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cantidad de datos recogidos, más que en la cantidad de sujetos observados; es decir, la suficiencia se consigue cuando se llega al estado de “saturación informativa” y la nueva información no brinda nuevos aportes. En tanto la adecuación, se refiere a la selección de la información de acuerdo a las necesidades teóricas del estudio y el modelo emergente.

El tipo de metodología, considerada como la manera de interpretar y analizar los datos que arroje el método, transformando los datos obtenidos en resultados de la investigación, se apoyarán en la Teoría Socioepistemológica y en los resultados de investigación que la comunidad científica ha brindado hasta el momento.

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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Debido a que la epistemología subjetiva del paradigma de la investigación cualitativa ve la realidad social

como algo construido por las personas, el investigador no puede permanecer distante

del fenómeno social en el cual está interesado. Eleanor Shaw

La metodología es considerada como la manera de interpretar y analizar los datos que arroje el método, transformando los datos obtenidos en resultados de la investigación. Este análisis de resultados se apoyará en la Teoría Socioepistemológica y en los resultados de investigación que la comunidad de matemáticos educativos alcanzó hasta el momento. Como se especificó en capítulos anteriores, esta investigación tiene como objetivo caracterizar el fenómeno de empoderamiento docente, por lo cual se buscó, durante la observación, identificar aquellos elementos que evidencien actitudes de empoderamiento. Para confeccionar tanto en la presentación de la evidencia empírica como en el análisis de la misma, se subdividirá este capítulo en tres aspectos: desempeño matemático del docente, actitudes de liderazgo y desempeño profesional; atendiendo a los requisitos que se necesitan para asegurar el rigor de la investigación, a saber: los criterios de suficiencia y la adecuación de los datos. Durante su lectura se observará que los tres aspectos están intrínsecamente relacionados, por lo cual, se irá de uno a otro de manera natural, enfatizando en cada uno sus particularidades. Previo a esta presentación se hará una descripción lo más integradora posible del docente en todos sus aspectos.

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

113

V.1. DESCRIPCIÓN DEL DOCENTE OBSERVADO

Santiago1 es un profesor de la tercera generación de la Especialización. Durante la fase presencial pudimos notar en él una actitud que lo hacía destacar entre sus colegas. Siempre se mostraba proactivo ante las actividades que se proponían y ante cualquier adversidad, él buscaba y proponía acciones que encaminaran a una posible resolución del conflicto.

Su participación durante las actividades, hacía referencia a una mirada crítica, o bien, analizando a dónde se pretendía llegar con lo que estábamos abordando. Esto, lo confirmamos posteriormente en distintas pláticas que con él compartimos, en las que mostraba gran interés por entender la dinámica abordada, cómo es que los tutores “sabían tanto”, entre otros comentarios.

El profesor, oriundo de Baja California, de la ciudad fronteriza de Tijuana, actualmente desempeña su labor como docente en dos escuelas secundarias, por la mañana y por la tarde. Su primera profesión fue la de Ingeniero Civil en Obras Urbanas y posteriormente, comenzó a ejercer como docente de secundaria. Durante su trayectoria profesional como docente durante 17 años, ha impartido las asignaturas de Español, Biología, Geografía y, desde hace 15 años, la asignatura de Matemáticas.

En los últimos años ha participado en los siguientes cursos de actualización didáctica, matemática o tecnología: Exámenes Nacionales, Cursos Estatales de Formación Continua, Diplomado en línea con el Instituto Tecnológico de Monterrey “Procesos y Competencias para el Aprendizaje Efectivo de las Matemáticas, “Especialización de alto nivel para la profesionalización docente en las matemáticas de secundaria. Estudio de reproducibilidad de situaciones didácticas” a cargo del Cinvestav; como así también, tienen una participación activa en las reuniones de academias de la zona escolar y en diversos talleres de actualización.

Santiago nos cuenta que una de sus principales motivaciones para ser docente radicó en el deseo de saber por qué él no entendía las matemáticas durante su etapa de estudiante y poder lograr que sus estudiantes las aprendieran con menos dificultad que él.

Santiago reconoce que cuando comenzó a estar frente a grupos, quince años atrás, en sus clases de Matemáticas era muy cerrado y exigía el resultado correcto de los ejercicios sin

1 Santiago será el nombre ficticio que utilizaremos para referirnos al docente para mantener la confidencialidad del mismo.

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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importar los procedimientos, trabajaba más el individualismo con los alumnos y no permitía usar calculadora. Confiesa que él era el centro de atención en el aula. En contrapartida, hoy se describe diciendo: “Hoy doy libertad a las y los alumnos para desarrollar las actividades de aprendizaje, se trabaja en equipos, trato de hacer uso de la tecnología, las y los alumnos son ahora el eje que me mueve a ser yo sólo un facilitador de ese proceso de aprendizaje de ellos.”

En una de las encuestas que se le han realizado a Santiago, comenta que para él

enseñar matemáticas significa ir descubriendo junto con las y los alumnos los razonamientos detrás de los procesos en su aplicación y considera que el alumnado aprende mejor cuando se les reta a pensar y juzgar la validez de sus ideas, estableciendo argumentos claros y bien estructurados.

Santiago utiliza un libro de clases para trabajar con sus alumnos ya que considera, como ventaja, que es un referente para abordar los temas de forma directa, es decir, evitando el dictado. Asimismo, reflexiona que una de las desventajas que conlleva la utilización de un libro es que se vuelve indispensable, tiene la visión de un autor y está secuenciado. Sin embargo, reconoce que no siempre sigue la secuencia didáctica planteada por éste, ya que en ciertas ocasiones, los alumnos de algunos grupos no logran comprender el tema, entonces tienen la necesidad de revisar junto con ellos temas previos para el desarrollo del tema planeado.

En su vida personal, Santiago es uno de los seis hermanos que conforman su familia. Su hermana mayor, es profesora normalista y ella, es quien ha influido más fuertemente durante su profesión como docente, orientándolo y discutiendo con él cómo llevar a la práctica las técnicas didácticas que iban apareciendo en el transcurrir de su labor. Tres de los otros cuatro hermanos, también son docentes… la docencia es una conversación cotidiana en su familia.

Santiago es un profesional, que decidió dedicar su vida a la educación.

V.2. ACTITUDES DE LIDERAZGO

En diversas ocasiones durante la fase presencial, Santiago fue considerado como promotor para reunir a los colegas en las actividades de las conferencias y ha sido uno de los precursores de buscar estrategias de resolución ante problemas que excedían la labor de la

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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coordinación del proyecto. Por ejemplo, ante la falta de internet en el hotel en donde se alojaban los docentes, lo cual dificultaba la realización de ciertas actividades, fue uno de los impulsores de crear grupos de trabajo dividiendo a los docentes según una lista de horarios.

Asimismo, durante las interacciones que se tenían en las actividades relacionadas con la problematización del saber, mostraba su capacidad de escuchar a sus compañeros y reflexionar con ellos, siendo, en muchas ocasiones el moderador para que las intervenciones se hicieran en orden y se escucharan entre ellos.

• Episodio 1, interacciones durante la fase de reproducibilidad.

Durante la fase de reproducibilidad, se lo reconoció como un elemento muy importante para llevar a cabo las actividades que en ella se realizaron. Recordemos lo que dijo su tutor a distancia sobre él:

"El profesor Santiago fue un elemento muy importante durante todas las semanas de reproducibilidad. Siempre acudió a las sesiones de chat, inclusive aquellas en las que el resto de los colegas no ingresaban. Se mostró participativo en todo momento y entusiasta. Su actitud fue siempre de disposición y lo demostró en todo momento: enviaba sus tareas cuando se acordaba, inclusive terminó con el envío de sus pendientes antes de concluir la última semana. Aunque sus comentarios en los foros fueron muy cortas, durante el rediseño se mostró participativo y propuso algunos elementos que se consideraron en el rediseño final de la situación. Actualmente ya concluyó con todas las etapas y actividades." (Informes entregados a la Coordinación General del Proyecto)

Esta, para nosotros, es una nueva evidencia de que el docente sobresale entre el resto a causa de su incesante predisposición y colaboración para generar conocimiento de todo tipo.

A modo de ejemplificación, mostraremos algunas de las intervenciones realizadas por Santiago durante esta fase.

En el foro llamado “Docencia en Matemáticas” que se basaba en la reflexión sobre una plática a cargo del Dr. Lezama en la cual se reflexionó sobre el rol que juega el profesor de matemáticas dentro de este campo, el tutor a distancia realizó las siguientes preguntas como disparadoras del debate:

• ¿Qué opinan al respecto de los comentarios que realiza el doctor? • Específicamente, ¿consideran que el profesor de matemáticas debe saber

únicamente matemáticas, es decir, manejar bien los contenidos de su

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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asignatura? Entonces, ¿qué conocimientos debe manejar el profesor de matemáticas?

• ¿Será necesario ser un Matemático Profesional para ser un profesor de Matemáticas?

La intervención de Santiago a estas preguntas fue la siguiente:

Figura 25: Intervención de Santiago en un foro de discusión sobre la “Docencia en Matemáticas”

Dado que una de las características que posee el proceso de empoderamiento es que este tipo de procesos parten de la reflexión y se consolida en la acción, como así también, procuran transformar la realidad, en esta intervención, se ve un indicio en su persona de ese proceso, en particular, nos referimos a la siguiente frase:

“yo considero que ya somos profesionales lo único que falta es darnos nosotros mismos

ese lugar y cómo lo lograremos, pues con la realización de nuestro trabajo con mente

amplia y dispuesta a cambios y sobre todo convencidos de que podemos marcar la

diferencia en estos tiempos de globalización” (Santiago, Foro de “Docencia de las

Matemáticas”, 15 de marzo de 2011)

El segundo foro en el que se debatió sobre una plática llamada “La perspectiva del género en la enseñanza de las matemáticas” que estuvo dirigida por Dra. Sonia Ursini Legovich, M. en C. Gisela Espinosa Guia, M. en C. Patricia Ramírez Mercado y M. en C. Claudia Rodríguez Muñoz. En la plática se expusieron diferentes perspectivas acerca del

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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género en la enseñanza de las matemáticas, con el objetivo de mostrar que inconscientemente se hacen diferencias de género, buscando cuáles eran las dificultades que esto conllevaba.

En este caso, el tutor a distancia propone las siguientes preguntas para comenzar a discutir este tópico:

• Quisiera que todos postearan una opinión sobre el tema que se discute en el círculo de estudio de Género. Poniendo especial énfasis en lo que les llamó más la atención; y si eran conscientes de este fenómeno de diferencia de género en sus prácticas docentes.

• Como docentes, reflexionen sobre cómo influimos con el discurso o con los libros de texto, o con los ejemplos, con nuestras actitudes en la formación y el reforzamiento de las diferencias de género.

• Se comenta durante la charla cómo ciertas acciones estereotipan a las mujeres y a los hombres; comenten al respecto si esto tendrá algún efecto en el desempeño de nuestras alumnas y alumnos.

• Propón una estrategia para aminorar las diferencias de género.

La intervención de Santiago fue la siguiente:

Figura 26: Intervención de Santiago en un foro de discusión sobre la “Género y Matemáticas”

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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Es relevante notar de esta interacción que para Santiago, la educación influye en el futuro del estudiante, no sólo en cuanto a sus saberes matemáticos como bagaje de herramientas, sino también, en la toma de decisión futura como ciudadano. Es decir, podemos inferir con esta intervención que considera al estudiante como un ciudadano inmerso en una sociedad y no, como un individuo aislado.

Posterior a la experiencia que ha tenido el docente acompañado de los tutores, él llevó a cabo la fase de reproducción de la experiencia vivida en Cinvestav. En esta fase, Santiago asumió la responsabilidad de ser tutor frente a su grupo de profesores, con quienes discutieron los materiales vistos durante la fase presencial y de reproducibilidad.

Mostraremos algunas de las interacciones2 que se llevaron a cabo durante la fase de reproducibilidad, en la cual los docentes comparten sus experiencias y se da evidencia de cómo pueden empoderarse un grupo y comenzar a construir redes bajo propuestas de cambio.

Si bien los episodios que se mostrarán a continuación son extensos, creemos pertinentes mostrarlos completos, ya que es su completitud, la que vislumbra el empoderamiento, como es considerado por Montero (2006), afirmando que “el poder es un logro de la reflexión, conciencia y acción de las personas interesadas, y no un regalo o donación de otro poderoso” (Montero, 2006, p. 62). Retomaremos un fragmento de la autora, con el fin de contextualizarnos en lo que a continuación se evidenciará:

Definiremos al fortalecimiento3, desde la perspectiva comunitaria, como el proceso mediante el cual los miembros de una comunidad (individuos interesados y grupos organizados) desarrollan conjuntamente capacidades y recursos para controlar su situación de vida, actuando de manera comprometida, consciente y crítica, para lograr la transformación de su entorno según sus necesidades y aspiraciones, transformándose al mismo tiempo a sí mismos. El compromiso y la conciencia suponen alguna forma de desarrollo de identidad social expresada en el sentido de pertenencia y de apego a la comunidad, así como la generación de estilos de acción marcados por la cultura local, que se manifiestan incluso en las formas de incorporar conocimientos y técnicas externos que les son necesarios para alcanzar sus fines. El aspecto crítico se evidencia en la aproximación evaluativa de las

2 Las transcripciones se consideraron tal cual fueron realizadas, sólo corrigiendo los errores de tipeo o de ortografía en donde se consideró necesario. 3 Recordemos que para Montero (2006) fortalecimiento es un símil de empoderamiento.

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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circunstancias, de causas y efectos, de recursos y de posibilidades. (Montero, 2006, p. 72)

Resaltaremos en negrita, aquellos momentos que se consideran esenciales para este análisis y denotaremos como D1, D2 y D3 a los distintos docentes que intervienen en la conversación. Las intervenciones de Santiago, llevarán su nombre para identificarlas.

• Episodio 2, primera interacción de Santiago con los colegas, 4 de mayo de 2011.

22:57 Santiago: son reflexiones individuales, que se comentan en esta sala

22:57 Santiago: es lo suave de estos cursos

22:57 D1: Así será, ayer estaba la Profesora D3, hoy no la veo

22:58 Santiago: que te permiten intercambiar experiencias

22:58 Santiago: Sí que lastima

22:58 D1: Esperemos que le haga la lucha

22:59 Santiago: el objetivo de este tipo de cursos más que nada es crear una gran red de docentes

22:59 D1: Esta dinámica me está gustando, es muy gratificante con el intercambio de experiencias 22:59 Santiago: si eso espero

Minutos después se incorporan más colegas a la plática.

23:16 Santiago: D1 como crees que ayudarías a los y las alumnas 23:17 D1: Como dice en el video "docencia en matemáticas", compartir las experiencias es todo un reto 23:17 Santiago: como lo que estamos haciendo aquí 23:18 Santiago: eso es lo que nos falta, no lo creen? D2 , D1 23:18 D1: En el video se hace menciona al proceso y la enseñanza de las matemáticas. 23:18 Santiago: así es un proceso 23:19 D1: Para mí todo proceso es la investigación y la enseñanza, es como yo acomodo la información

para que mis alumnos entiendan las matemáticas 23:20 D1: Toda la investigación que se realiza tiene un objetivo y en este caso el objetivo es que los

alumnos no rechacen las matemáticas 23:20 Santiago: pero tomas en cuenta a los y las alumnas en cuanto a sus necesidades? 23:20 Santiago: de acuerdo D1 23:20 D1: Claro ya nunca aprenden por igual, 23:21 D1: Habrá alumnos que sólo nos necesitan como guía y otros como tutores 23:21 Santiago: de ahí que se torne más grande nuestro reto 23:21 Santiago: como docentes

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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23:22 Santiago: que dices D2? 23:22 D1: Pero aplicando la equidad se puede aprovechar el potencial de aquellos alumnos más

avanzados y ayudar a los alumnos menos avanzados 23:22: D3 entró a la sala 23:23 Santiago: buenas noches D3 23:23 D1: Hola D3 buenas noches 23:23 D2: los alumnos tienen otras necesidades en estos momentos y tienes que adaptar el curriculum 23:24 Santiago: estamos comentando sobre los videos 23:24 D2: como las tecnologías 23:24 D3: buenas noches si gracias por incluirme 23:24 Santiago: para lo cual tenemos que estar preparados D2 23:24 D2: en donde nosotros como maestros nos falta por aprender a enseñar 23:25 D1: También hace mención que toda la investigación, comunicación de lo desconocido y

explorar lo que no se conoce, esto es para el desarrollo de toda la educación 23:25 D3: en el video del Dr. Lezama concuerdo que nuestra práctica debe ser una dualidad donde

una de las partes es profesionar nuestra practica cómo? siendo investigadores de nosotros mismos

23:25 Santiago: así es D1 23:26 D2: algunas veces nos excusamos con las necesidades sociales del alumno pero más sin embargo

por más que no les tomes en cuenta algunas veces no se puede 23:26 Santiago: si D3 23:26 D1: Creo que estamos luchando contra viento y marea, pero ese es el reto para el futuro

inmediato 23:27 D2: se tiene uno que esforzar para obtener del alumno la capacidad de querer aprender 23:27 D1: Espero que el uso de las TICS pronto se haga realidad 23:27 Santiago: y créanme que es muy reconfortante hacerlo 23:27 D3: para autoevaluarnos y fortalecer áreas que en la docencia deben estar acordes a las nuevas

generaciones que nuestros alumnos requieren para aprender se incluyen las tics 23:28 D1: Porque sorpresa el plan de estudios te marca el uso de la calculadora y en los exámenes de

enlace prohibido usarlas 23:28 Santiago: es el objetivo de este curso como se los dije hace rato 23:28 D2: tenemos que trabajar con lo que tengamos a la mano 23:28 D3: ese esfuerzo sólo es en dosis pequeñas y diarias como lectura y práctica de tecnología

como este chat 23:28 Santiago: de acuerdo contigo D3 23:29 D1: Si pero hay que luchar para lograr algo bueno con los alumnos 23:29 Santiago: creen posible que esto lo podamos hacer con nuestros alumnos y alumnas?

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

121

23:29 D3: los alumnos lo hacen tan frecuente que sólo es que nosotros se los comuniquemos y ellos nos muestras sin tabús lo que saben o lo que nos pueden ayudar

23:30 D3: si, yo les dije que hoy estaría con ustedes y me ayudaron a escribirme brevemente una tutoría para entrar solita

23:30 D1: El problema es el desinterés y la baja autoestima entre los alumnos 23:30 Santiago: que bueno D3 23:31 Santiago: aquí en la plataforma esta también un tutorial 23:31 D3: por otro lado estoy en facebuk conectada por si tengo problemas mis alumnos ahorita son mis

profes 23:31 Santiago: que puedes consultar 23:31 D3: porque ellos quieren aprender mate de forma dinámica 23:32 Santiago: que bien D3 23:32 D3: es fantástico aprovechar el tiempo y además actualizarnos nos abre un abanico de

oportunidades para mejorar en mi parte debilidades al 23:32 D1: Por eso comentaba que el uso de las TICS ya no está lejos de que se aplique en las escuelas 23:32 D3: trasmitir matemáticas 23:33 Santiago: de hecho ya se aplican en algunos estados a nivel escuelas 23:33 Santiago: pero falta mucho 23:34 D3: mientras llegan las tics a la escuela, los chicos la usan fuera incluso hay lugares públicos que

proveen membresías y dan asesorías para formar mini chat sobre alguna tarea o problema de matemáticas

23:34 D1: Si por eso cada vez que tengo oportunidad de platicar con la jefa de nivel se lo menciono 23:35 Santiago: que mejor para que seamos nosotros los que marquemos esa diferencia 23:35 D3: de acuerdo 23:36 D1: Lo que se puede hacer es abrir el diálogo con los alumnos que tienen las TICS en casa y

poder ayudarles en las actividades de matemáticas 23:36 Santiago: pues aquí tenemos la oportunidad de hacerlo 23:37 Santiago: primero entre nosotros 23:37 D1: Creo que vamos por el camino correcto, este es el despegue de mejorar nuestro quehacer

cotidiano 23:38 Santiago: yo estoy convencido D1 23:38 Santiago: D2 23:38 Santiago: D1 23:39 D3: y optimizar tiempos en asesoría, exámenes y valuaciones 23:39 D1: Hay que platicar con los demás compañeros de trabajo para que también nos apoyen, ya

que la educación es de todos 23:39 Santiago: totalmente de acuerdo

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

122

23:40 D3: cierto, 23:40 Santiago: tenemos que caminar primero para después poder correr 23:40 D1: Vemos que así como hay maestros interesados en mejorar, hay quienes obstaculizan nuestro

esfuerzo por mejorar 23:40 Santiago: tendrán que entrar al aro 23:41 D1: Por eso es el chat hay que caminar pero a pasos firmes 23:41 Santiago: si D1 así es 23:41 D1: Convencidos de que nos gusta nuestro trabajo y que hacemos mucho por cambiar 23:42 D1: Esperemos que todo esto nos motive a seguir luchando por mejorar 23:42 D3: pero también es probable que sea involuntario su obstrucción, considero esta oportunidad

para interactuar con esos compañeros y hacer sinergia en nuevas formas de llevar a la práctica nuestra docencia

23:43 Santiago: creo que el día de hoy hemos dado un gran paso y les manifiesto que me da mucho gusto 23:44 D1: Esperemos que sigamos poniendo nuestro granito de arena, recuerden que así se

construyeron la pirámide pieza por pieza.

Es importante reiterar que estas pláticas no eran supervisadas por tutor alguno, por tanto, este tipo de reflexiones eran generadas por Santiago y sus colegas. Durante esta primera interacción, los docentes comienzan a dialogar sobre la importancia que tienen este tipo de interacciones, como así también, empiezan a planear estrategias para ampliar y robustecer la actividad de reproducción que entre ellos estaban llevando a cabo. Por ejemplo D1 realiza dos propuestas: la primera, dirigida a una innovación en su propia práctica docente, a saber: “Lo que se puede hacer es abrir el diálogo con los alumnos que tienen las TICS en casa y poder ayudarles en las actividades de matemáticas”; y la segunda, respecto a la comunidad docente: “Hay que platicar con los demás compañeros de trabajo para que también nos apoyen, ya que la educación es de todos”. D3, también propone reflexiona y realiza una propuesta que pueda incidir en la práctica docente: “considero esta oportunidad para interactuar con esos compañeros y hacer sinergia en nuevas formas de llevar a la práctica nuestra docencia”.

• Episodio 3, segunda interacción de Santiago con los colegas, 12 de mayo de 2011. 22:30 D1: Así es, mañana les voy a poner el trabajo a los alumnos 22:30 Santiago: recibiste las actividades del diseño 22:30 Santiago: ? 22:31 D1: Si

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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22:31 Santiago: que bueno D1 22:31 Santiago: ya la resolviste 22:31 Santiago: ? 22:31 D1: Solo espero que mañana mismo estén terminadas 22:31 Santiago: ¿Qué te pareció? 22:31 D1: Muy bien ya que ocupan mucho análisis

(…) 22:34 Santiago: ¿Qué grado seleccionaste? 22:34 D1: segundo 22:35 Santiago: ¿Crees que tengan alguna dificultad para resolverla? 22:36 D1: No creo algunos les pedí el cuaderno de física y tenían apuntes de las fórmulas 22:36 Santiago: ¿Qué les permitirás utilizar? 22:37 D1: Es bueno ver qué dificultades presentan, para ir viendo cómo les ayudo en la orientación,

dejarlos hasta qué punto pueden trabajar y con todas las herramientas a su alcance 22:38 Santiago: perfecto la intención es qué tanto pueden hacer por sí solos 22:39 D1: Esa ha sido mi metodología en este siclo que termina 22:39 Santiago: y la intervención que sea sin darles concretamente las respuestas 22:40 Santiago: es lo interesante del planteamiento 22:40 D1: Así es, le permito utilizar la computadora del salón y que al final argumenten sus resultados 22:40 Santiago: excelente 22:41 Santiago: te preguntaba 22:41 D1: Esa es la intención que ellos solos exploren sus competencias

(…) 22:46: D3 entró a la sala 22:47 Santiago: buenas noches D3 22:47 D1: Bien venida D3 22:47 D3: Bubuenas choches profsro 22:47 D3: Hola 22:47 Santiago: ¿Cómo vas con tus trabajos? 22:48 D3: Muchas gracias, estoy súper emocionada, terminé hoy 22:48 D3: las actividades en los 8 grupos 22:48 D3: me falta enviarle las fotos y el video 22:48 Santiago: Que bueno te felicito 22:49 Santiago: y ¿cómo observaste a tus muchachos? 22:49 D3: Bueno están súper motivados porque mañana entramos 22:49 D3: al aula de medios para que conozcan

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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22:49 D3: la página de X 22:50 Santiago: ¿Ahí aplicaras el ejercicio? 22:50 Santiago: ha perdón ya lo aplicaste 22:50 D3: Ya los ejercicios los hicimos en hojas impresas quiero que vean el 22:51 D3: video de la página principal 22:51 D3: y vean que si estudian pueden llegar a esos niveles de 22:51 D3: escuela 22:51 Santiago: te refieres a la del Cinvestav ¿verdad? 22:52 D3: sip, pero mi Director del vespertino me autorizó el miércoles que vean una conferencia 22:52 D1: Eso es lo que se requiere, que sí hay alumnos comprometidos 22:52 D3: si, es un grupo que los demás maestros los consideran problemas 22:53 D3: son hiperactivos como yo 22:53 Santiago: Así es D1 y también docentes como ustedes 22:53 D3: Entonces a ellos les agradan actividades así 22:53 Santiago: Una pregunta D3 22:54 D3: Diga maestro 22:54 Santiago: ¿Crees que esta forma de trabajar sería posible que la siguiéramos fomentando con

nuestros colegas? 22:55 Santiago: y sobre todo ¿con las y los alumnos? 22:55 D3: En maestros con experiencia de más de quince años es difícil, con los docentes nuevos es

muy fácil pues ellos así trabajan 22:55 Santiago: ¿Qué opinas D1? 22:55 D3: utilizando foro y chat del facebok u otras plataformas 22:56 D1: Me parece bien este tipo de actividades deja más aprendizaje 22:57 D3: Sí, al menos yo como docente aprendo de ellos, y me motivan a llevar algo diferente 22:57 Santiago: De acuerdo con ustedes 22:57 D1: Es parecido a la red de tutorías que estoy llevando con otros maestros del municipio 22:58 D3: con estas generaciones de alumnos la coevaluación, autoevaluación es cosa del diario vivir 22:58 D1: Los orientamos con preguntas, pero sin decirles el resultado ellos encuentran la forma de

resolverlos 22:58 Santiago: una pregunta D1 22:58 D3: Estoy de acuerdo 22:59 D1: Los alumnos arrojan más evidencias y sobre todo uno aprende con ellos 22:59 Santiago: ¿Eres tutor de algún curso? 22:59 D1: Estoy en X 23:00 Santiago: Algo así me imaginé, te felicito sabes entonces de lo que estamos haciendo acá

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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23:01 Santiago: ahora otra pregunta para los dos 23:01 Santiago: D3 y D1 23:01 D1: Si 23:01 D3: Atiendo 23:01 Santiago: ¿Podremos incorporar esta forma de trabajo en nuestra planeación? 23:02 Santiago: ¿Es decir con actividades de este tipo? 23:02 D3: Por supuesto hoy la entregué por escrito a mi inspector y al jefe del departamento que

nos visitó en la x 23:02 D1: Sería viable ya la directora sabe que estamos trabajando así en algunos momentos 23:03 Santiago: y ¿cuál fue su comentario al respecto? 23:03 D1: Los alumnos argumentan sus soluciones y discuten sus procesos de aprendizajes 23:03 D3: Dejó instrucciones para que reciba apoyo en sacar copias que requieran los alumnos 23:04 D3: y envió un memorándum a los padres de familia 23:04 D3: Haciéndoles saber lo que estamos trabajando en matemáticas 23:04 D1: Lo bueno que tenemos directores que nos apoyan con las copias 23:04 Santiago: Excelente D3 23:04 D3: Si 23:05 Santiago: Eso es muy importante para este proyecto 23:05 Santiago: Excelente D1 23:05 D3: Yo estoy FELIZ esto de ver que no hay trabas o tabús al trabajo como este proyecto 23:06 D1: Les comentamos a otros maestros y ya están trabajando algunos con español 23:06 Santiago: de eso se trata que seamos punta de lanza para abrir estos espacios 23:06 D3: De acuerdo 23:07 D1: Creo que vamos por el camino correcto y cambiar las opiniones que la sociedad tiene con

respecto al docente 23:07 Santiago: la intención es como dijo D1, hacer una red nacional de docentes de las diferentes

especialidades 23:07 Santiago: para intercambiar todas nuestras experiencias 23:07 D3: Buen reto 23:08 D1: Respecto a este punto está un maestro de x que quiere entrar 23:08 Santiago: Así es D3 todo un reto. 23:08 Santiago: ¿A este curso, D1? 23:09 D1: A lo mejor lo conoce es el profesor x. 23:09 D1: Sí, a este foro. 23:09 D3: Creo que por eso no cuesta trabajo compartir el proyecto con otros profes. 23:09 D1: También es x.

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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23:10 Santiago: Pero no está en este grupo, lo veo un poco difícil. 23:10 D1: No, no está en el grupo. 23:10 Santiago: Tendría que estar registrado en la lista del Cinvestav y dado de alta por un servidor. 23:11 D1: Creo que no está registrado. 23:11 D3: Por eso yo les agradezco el privilegio de compartir con Grandes Maestros como Ustedes 23:11 Santiago: lo que pasa que los tiempos ya no alcanzan. 23:12 Santiago: Gracias D3 hacemos nuestro mejor esfuerzo. 23:12 D1: Eso le comenté, pero está dispuesto para la próxima. 23:12 Santiago: Sin duda 23:13 Santiago: Dile que se comunique con los otros tutores del municipio. 23:13 D1: Yo le digo mañana que lo vea. 23:13 Santiago: o con la profesora X del centro de maestros.

(…) 23:19 D1: Las reflexiones son las que nos dan la pauta a continuar mejorando nuestro trabajo

Esta interacción entre los docentes, deja ver cómo se consolida la relación y se tejen las redes que ellos mismos construían para la transformación de la realidad. Por un lado, las preguntas de Santiago como visionario de las redes sociales, son sumamente interesantes, a saber: “¿Podremos incorporar esta forma de trabajo en nuestra planeación?”; “¿Crees que esta forma de trabajar sería posible que la siguiéramos fomentando con nuestros colegas? Y sobre todo ¿con las y los alumnos?”. Ante estas preguntas, las respuestas de los colegas fueron sumamente positivas.

Por otro lado, se deja ver cómo los docentes comienzan a expandir la red involucrando a otros actores sociales involucrados en su labor docente. Por ejemplo, D1 involucró al Director de su escuela en el proyecto pidiéndole autorización para ver, junto a sus estudiantes, una de las conferencias que se reflexionaron durante la reproducción con el fin de que los estudiantes conocieran lo que se realiza en Cinvestav; asimismo, comenta que los padres recibirían un memorándum en donde se enterarían de lo que estaban trabajando en matemáticas. También, D3, expresa que había comentado con otros docentes de su institución sobre esta manera de trabajar y que los docentes de español la habían considerado para su práctica. D3 hace una reflexión muy interesante que es: “Creo que vamos por el camino correcto y cambiar las opiniones que la sociedad tiene con respecto al docente”.

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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Concluye Santiago diciendo: “la intención es como dijo D1, hacer una red nacional de docentes de las diferentes especialidades para intercambiar todas nuestras experiencias”.

Esto, para nosotros, es evidencia explícita de que el empoderamiento es un proceso natural que se da a través del tiempo mediante la interacción en comunidad, la intervención y la reflexión sobre su práctica; y que particularmente, Santiago, es un ejemplo de ello.

Síntesis de actitudes de liderazgo

Si bien creemos que este tipo de actitudes son propias de cada individuo, en particular, que las actitudes de liderazgo en él han de ser innatas, consideramos que los espacios brindados han permitido su potencialidad y explicitación. El hecho de que Santiago haya asumido diversos roles en su paso por el proyecto, en cuanto a la cantidad y la cualidad, lo entendemos como un estímulo para su empoderamiento, ya que, como hemos mencionado en capítulos anteriores, la esencia del empoderamiento radica en el desarrollo del potencial de cada individuo para el liderazgo dentro de una comunidad de práctica (Howe & Stubbs, 2003).

V.3. DESEMPEÑO MATEMÁTICO

Para evaluar la evolución de su desempeño matemático, en primer lugar, se considerará el examen de ingreso y egreso de Santiago; y en segundo lugar, el progreso en cuanto a los modelos proporcionales que fueron modificados por el docente, lo cual está estrechamente relacionado con su desempeño profesional.

Si bien la evolución general en cuanto a la comparación de las notas más elevadas entre los exámenes de ingreso y egreso fue de 1%, en particular, la evolución de Santiago, supera ampliamente esta media, hasta llegar a un 18% de evolución respecto al conocimiento matemático. Esto nos lleva a conjeturar que durante las sesiones de trabajo con situaciones de aprendizaje en la Especialización se han problematizado diversos saberes matemáticos que propiciaron la evolución de su desempeño al enfrentarse con distintos reactivos, confeccionados con base en las matemáticas de secundaria correspondientes a los tres ejes temáticos que son abordadas durante su práctica docente, referentes al programa de estudios 2006 avalado por la SEP.

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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Para analizar la problematización del saber proporcional, acudiremos a las videograbaciones y la toma de datos realizada durante la observación. En primer lugar, mostraremos distintos episodios de interacción con los estudiantes; en segundo lugar, explicaremos la reflexión en cuanto al saber matemático de la proporcionalidad que se tuvo con el docente y, por último, mostraremos un episodio en donde se evidencia su modificación en el discurso escolar producto de la problematización del saber.

Llamaremos episodios a los momentos que retomaremos la clase entera que nos serán útiles para analizar la relación del docente con el saber matemático de la proporcionalidad.

El primer día de observación, únicamente se tomaron notas escritas ya que recién nos estábamos dando a conocer con los estudiantes, por lo cual, se consideró pertinente dejarles un espacio de confianza y luego comenzar a realizar filmaciones.

Para comentar el episodio del primer día de observación, 6 de junio de 2011, se transcribirán las notas que se registraron en el cuaderno de observación. Antes de comenzar es importante aclarar que sólo se tomó nota de aquello que la investigadora consideró pertinente en su momento.

La Actividad 1, que consta de dos consignas sobre las cuales harán referencias los episodios transcriptos son las siguientes:

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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Figura 27: Actividad 1

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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• Episodio 1, primer año, curso D, 6 de junio de 2011

Figura 28: Transcripción de la observación (parte 1 de 2)

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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Figura 29: Transcripción de la observación (parte 2 de 2)

En este primer episodio observamos que de la interacción entre los estudiantes y el docente, emergieron dos tipos de pensamiento en cuanto a los modelos de la proporcionalidad directa, según los estudiados en el capítulo III: el modelo cualitativo y el modelo aditivo.

En primer lugar, surge el modelo cualitativo cuando el docente enuncia: P: A medida que aumentaba la cantidad de kilos, aumentaba el precio… se mantiene constante los 13 pesos…

En segundo lugar, el modelo aditivo se evidencia cuando argumenta la manera de obtener los valores subsiguientes al del valor unitario.

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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Hemos visto que este tipo de modelos emergen al comienzo del trabajo con la noción de proporcionalidad, pero que es necesario generar situaciones e interacciones en las cuales el modelo multiplicativo emerja, con el fin de comenzar a trabajar con los operadores tanto escalar como funcional dentro de la proporcionalidad (Carretero, 1989; Martínez & González, 2008; Vergnaud, 1990).

Asimismo, la manera de interpretar la gráfica que se dio como contraejemplo de la proporcionalidad directa – ya que no es el tema a abordar la proporcionalidad inversa – es incorrecta, lo cual podemos considerarlo como un indicio de que existen falencias en cuanto a la problematización de este saber matemático.

• Episodio 2, primer año, curso A, 7 de junio de 2011.

[1] P El tema de proporcionalidad, que no es la primera vez que lo vemos el día de hoy, nosotros ya trabajamos anteriormente ese tema, hace varios bimestres y fue acompañado de varios… de varios temas a la vez.

[2] P Voy a iniciar por preguntarles… si alguien recuerda el término de proporcionalidad y cómo lo aplicamos… ¿En qué situaciones de la vida cotidiana lo hemos aplicado? Y hemos dado ejemplos anteriormente.

[3] P Alguien que se acuerde. [4] P ¿Cuándo hablamos de proporcionalidad? ¿Qué era proporcional? [5] E1 Cuando… [6] P Levantando la mano… ¿Cuándo qué? [7] E1 Cuando tiene que ser la misma cantidad. [8] P Cuándo tiene que ser la misma cantidad, ¿de qué?… Un ejemplo [9] E1 Dos panes y dos panes

[10] P ¿Dos… qué? [11] E1 Dos panes y dos panes [12] P Dos panes y dos panes [13] TODOS (risas) [14] E1 Un pan y un pan tienen que tener la misma proporcionalidad ¿no? [15] E2 Así como ir repartiendo un pastel entre dos, tiene que ser lo mismo… [16] E3 Como mitad y mitad… y si son muchos… [17] P Un medio y un medio, sí… [18] (murmullo) [19] P A ver, ¿alguien más? ¿E3? [20] E3 La relación que tiene un número con otro. [21] P ¿La relación que tiene qué? [22] E3 Un número con otro

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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[23] P Un número con otro… en este caso, por ejemplo: un pan y un pan, un medio y un medio… A ver, y ¿un ejemplo de la vida cotidiana?, un ejemplo de la vida cotidiana.

[24] E3 Se compra unas papas que le cuestan a siete, y si compran dos papas a 14 [25] P Y ¿aquí que dijeron? [26] E4 El kilo de tortillas [27] P ¡Ah, el kilo de tortillas, ese es famoso el kilo de tortillas! [28] (risas) [29] P ¿Qué dijimos del kilo de tortillas?, al igual que lo dijo E3, ¿qué dijimos del

kilo de tortillas?, ya no vale lo mismo que dijimos.

[30] P ¿Alguien se acuerda de lo que dijimos que valía en aquel tiempo? [31] TODOS 10 [32] P 10, 10, 10… Y¿ahora? [33] TODOS 13 [34] P 13, correcto. [35] (murmullo) [36] P Y A3 nos habló ¿de qué? [37] (mucho ruido) [38] P Shhh, ¡ya parece manifestación esto! [39] E3 nos dijo también que ¿las qué E3? [40] E3 ¿Unas papas? [41] P Unas papas… ¿cuánto valen? [42] E3 7 [43] P 7… ¿y dos? [44] E3 14 [45] P 14. El kilogramo de tortillas uno a 13, y E4 ¿dos kilogramos? Dos

kilogramos de gordas… ¿Dos kilogramos de gordas?

[46] E4 26 [47] P ¿Y cuántos kilogramos habré comprado con 52 pesos? [48] E4 ¿52 pesos? [49] P ¿Cuántos? [50] TODOS 4 [51] P Bien, entonces vamos a ver… en su ejercicio… proporcionalidad tratando

de buscar el valor que les hace falta, del tipo de valor faltante ¿sí? [52] P Yo puse en el pizarrón 13 pesos un kilogramo, dos kilogramos, 26. Y les

puse al revés, les puse 52 y no les puse los kilogramos… ¿Sí? [53] P Y si les pregunto ¿10 kilogramos? [54] (se cae sobre una estudiante una cartulina que estaba pegada en la pared y

genera disturbios) [55] E5 130… ¡Profe, 130!

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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[56] P ¡130 dice E5, correcto! Lo que han estado haciendo entonces es encontrar el valor que les hace falta ¿sí?

[57] P Y qué observamos tanto en el kilogramo de tortillas… en el kilogramo de tortillas y en la adquisición de papas, frituras. Dice E3 un paquete de papas: 7 pesos, ¿dos paquetes?

[58] TODOS 14 [59] P 14. ¿Tres paquetes? [60] TODOS 21 [61] P ¿Cuál sería ahí el valor que está siendo el constante… que se está

manteniendo? ¿en las papas el qué? [62] TODOS 7 [63] P ¿Y en las tortillas? [64] TODOS 13 [65] P Entonces a ese es a lo que le llamamos constante de proporcionalidad. [66] E6 Sí, es como que… porque ese siempre va a ser el mismo [67] P Correcto, ese siempre va a ser el mismo ¿de acuerdo? [68] P Ese es el concepto de de constante de proporcionalidad, el valor que se

mantiene, por eso es “constante”. De acuerdo ¿ok? [69] P Una pregunta, después de eso vimos el otro tema: ¿cómo podemos

organizar esa información? [70] P ¿Qué agregamos para organizarlo? En que lo… [71] E7 ¿Una tabla? [72] P Sí, una tabla. ¿La dibujas con ese dato que tengo ahí, por favor, de las

tortillas y de las papas?

En este episodio, hay dos momentos relevantes para analizar:

Primer momento, de la línea [20] a la [27]: Cuando se analiza el video, se observa cómo el docente titubea al decir en la línea [23]

“un número con otro”, y lo confirma al continuar su frase “un pan y un pan, un medio y un medio”. Este hecho, podría considerarse como un indicio de que Santiago carece de herramientas para poder problematizar el saber, concibiendo que hacerlo, hubiera permitido hacer del saber matemático un problema “localizando y analizando su uso y su razón de ser” (Montiel, 2011, p. 128), en tanto generaría preguntas que provocaran emerger la noción de que la “razón de ser” de la proporcionalidad subyace en una relación cualquiera que mantienen dos magnitudes respecto a su cantidad. Sin embargo, hasta aquí, no podemos más que conjeturar e inferirlo, ya que la evidencia no es del todo transparente.

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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Segundo momento, de la línea [61] a la [69] Para poder analizar este apartado, es importante aclarar, que “la reducción al valor

unitario” es un procedimiento para hallar un valor faltante, más que un pensamiento proporcional. Puede verificarse en la bibliografía consultada, que en ningún momento se habla de éste como un pensamiento, sino como una manera de operar para encontrar un cuarto valor.

Ahora sí, en este apartado de la interacción de Santiago, podemos observar, por un lado, que utiliza uno de los procedimientos para hallar el valor faltante como definición de la constante de proporcionalidad, y por el otro, que responde a un modelo aditivo de pensamiento proporcional, cuya particularidad es que el dominio de la función proporcional se reduce a los números naturales, ya que si se quisiera obtener el valor de medio kilo de tortillas, dada la explicación que abordó el docente, “el 13 no se mantendría”.

• Episodio 3, primer año, curso A, 7 de junio de 2011. Para este episodio, los estudiantes discutirán entorno a la consigna 1 de la Actividad 1,

presentada anteriormente. [1] P El valor de la ordenada del punto cuyo abscisa es 1, y se fueron todos con

la gráfica que está ahí, posiblemente vayan a tener un error… posiblemente alguien puso que corresponde 1… posiblemente alguien haya puesto otro valor diferente a ese.

[2] P Otros acertaron, o pusieron el valor que corresponde de otra manera. [3] P Bien, nos explica por favor, este… ¡E8! [4] P ¿Qué valor obtuvo cuándo usted… puso el valor de la abscisa cuando éste

está a 1? [5] E8 2.5 [6] P 2.5 ¿Cómo lo obtuvieron? [7] E8 Porque dividí 50 entre 20 [8] P Ponlo en el pizarrón, por favor… [9] P Acá abajito de donde están las coordenadas que están ahí.

[10] (la estudiante pasa al pizarrón y anota la división 50 dividido 20, cuyo cociente es 2.5)

[11] P Ok [12] P Y ese valor de 2.5, si hacemos una comparación con la tablita de las

tortillas y con la tablita de las papitas, el valor que acaba de obtener su compañera, de 2.5, ¿a qué cantidad correspondería?

[13] P El de las papas… [14] (anota en el pizarrón “1 – 7 ”) [15] P El de las tortillas…

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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[16] (anota en el pizarrón “1 – 13”) [17] Imagen del pizarrón del profesor

[18] P ¿A qué cantidad correspondían estos valores? [19] P ¿A cuántas tortillas, a cuántos kilogramos? [20] TODOS A uno [21] P ¿A cuántas papas? [22] TODOS Uno [23] P Entonces, eso que está ahí… a ¿qué tiempo corresponde? ¿De la travesía de

la moto? [24] P Según la primer pregunta que le están haciendo [25] TODOS A una [26] P A una… al valor de uno, ¿verdad?, ¿sí? Al valor de uno. [27] P ¿Cuál era la constante de proporcionalidad de las papas? ... En las papas [28] TODOS 7 [29] P ¿Y en las tortillas? [30] TODOS 13 [31] P ¿En la travesía de la moto? [32] TODOS 2.5 [33] P Ahí tienen una respuesta. [34] P Díganme, ¿cuál es el valor de la ordenada? Ya la tienen. [35] P ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? Ya la tienen. [36] P Y, ¿cuál es la expresión algebraica que me dice cómo le corresponde a la

gráfica? [37] P ¿Cuál sería la expresión algebraica de esa gráfica, de esa situación? [38] E8 ye es igual a 2.5 por… [39] P Ponla por favor… eso mismo que me está diciendo E8, es la misma

respuesta que me dio E9 ¡exactamente!, salvo que él me dio otro planteamiento que… me reservo su forma de llegar al resultado.

[40] (silencio) [41] P E10, de las opciones que tienes en la parte de abajo ¿cuál de las dos puede

estar asociada, puede ser la que esté representando el ejercicio que acabamos de hacer?

[42] E10 La b [43] P La letra b, ¡correcto!.. ¿Por qué razón? [44] E10 Porque divide

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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[45] P ¿Qué divide? [46] A9 50 entre 20 [47] P Y, ¿qué son los 50 y qué son los 20? [48] E10 Los centímetros que miden los libros que hay y los centímetros que mide

cada libro. [49] P ¿Cuál es el grosor del libro? [50] E10 50 centímetros [51] P ¿Cuánto? [52] E10 50 [53] P Apilados todos, ¿no? ¿Y de cada libro? [54] E10 2.5 [55] P Y ¿qué relación hay de ese 2.5 centímetros con el 2.5 de arriba? [56] P ¿En dónde está la relación? [57] E10 Es la misma [58] P En la misma y ¿qué tendría qué hacer con los libros en la gráfica… cómo

fueron estos colocados, o cómo…? [59] P ¿Para qué den esa altura? [60] E10 ¿Los fueron apilando hacia arriba? [61] P ¡Ah, los fueron apilando arriba! [62] P Entonces, quiere decir que conforme iban poniendo un libro, ponían un

libro y tenían una altura, ¿verdad?, ¿cuál es esta?, ¿de cuánto? [63] E10 2.5 [64] P 2.5. Ponían dos libros… [65] TODOS 5 [66] P Iban al 5… [67] P Ponían 3 libros ¿sí? [68] TODOS 7.5 [69] Imagen del pizarrón del profesor

[70] P Pusieron 20 libros aquí, fueron 50 centímetros [71] P Entonces, ahí tienen ustedes la situación que nos describe la

proporcionalidad.

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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Este episodio, lo dividiremos en dos momentos:

Primer momento, de la línea [1] a la [33]: Nuevamente, el tipo de argumentos que emergen en este momento, recaen en la

búsqueda del valor unitario y en la búsqueda de un patrón entre los ejemplos anteriores y el que se estaba trabajando.

Segundo momento, de la línea [37] a la [71]: Este episodio, generó un gran desconcierto durante la observación, ya que hasta aquí

sus interacciones con los estudiantes no permitían ver un manejo de los operadores escalaros o funcionales, pero en este análisis de la gráfica, deja ver que las argumentaciones que acompañan el análisis emergen de una relación funcional entre las magnitudes.

• Episodio 4, primer año, curso C, 7 de junio de 2011. En este episodio se trabaja con la consigna 1 de la Actividad 1.

[1] P ¡Pongan atención, vamos a ver, vamos a ayudar! [2] P Una pregunta antes, una pregunta antes: ¿sacaste el factor de

proporcionalidad? Como va aumentando aquí… ¿aquí cuál era? [3] P ¿En éste cuál es el factor de proporcionalidad? En el ejemplo de E1 [4] TODOS 9 [5] P Ok, factor de proporcionalidad o constante de proporcionalidad 9, para el

ejemplo de E1 [6] P E2: ¿cómo podemos sacar la constante de proporcionalidad del ejercicio

que estamos resolviendo? [7] P ¿Qué tenemos como dato? [8] P A ver, ¡lee el problema… y los demás me siguen! [9] E2 ¿Esto?

[10] P ¡Sí, eso! Los datos del problema, de la consigna. ¡Los demás seguimos en el ejercicio!

[11] E2 Con base en el gráfico de la travesía de una moto de carreras que va a una velocidad constante y se encuentra en determinado momento en el punto a, abscisa b, coordenada (50, 20). Contesta las siguientes preguntas.

[12] P ¿Qué datos nos da el ejercicio? [13] E3 Que la x es la abscisa y la… [14] P Ok, como datos, ¿Qué datos da? ¿Qué datos da?

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

139

[15] E3 Las ordenadas, son 50… máxima, en la abscisa, si unes una línea así (el estudiante hace un gesto con la mano simulando una recta creciente), llega como 20 abscisa y la subes y 50.

[16] P 20 y 50. Ordenada, pónganle aquí, ordenadas, ¿qué letra llevaría? [17] TODOS La y [18] P La y 50. y 50 [19] P Y igual a 50 [20] P ¿Y la x? Abajo. Ok. [21] P Pregunta ¿con esos dos valores podemos encontrar una proporcionalidad? [22] P ¡E4!, ¿sí?, ¿cómo? [23] E4 Aumentando… [24] P ¿Cuál sería el valor de la y si en lugar de que la x valga 20, que la x valga

40? [25] E4 Va aumentando… [26] P Allá [27] E5 100 [28] P 100, ¡sale! [29] P ¿Cuál sería el valor de y si el de la x es 1? [30] ALGUNOS 2 [31] P A ver [32] ALGUNOS Uno… dos… uno y medio… [33] P Yo dije: ya tenemos el del 20, 50, 40, y 100 y 1 [34] E6 2 y medio [35] P ¿Cuánto? 2 y medio [36] E6 2 y medio [37] P ¡El que dijo 2 y medio que venga y me diga por qué! [38] P ¡Sale, sale, sale! [39] P Sí, hazlo, hazlo ¡adelante!

Pasa el estudiante al pizarrón. Transcurre 1 minuto y comienza nuevamente la interacción con los estudiantes, mientras E6 resuelve el problema en el pizarrón.

[40] P E2 [41] P ¡No señorita, no espere que termine, inténtelo! Yo ya les di un caminito…

yo pregunté… [42] P Bueno ¡va! [43] P Si el valor de la x es 10 [44] (lluvia de ideas) [45] E5 4 [46] P Si en la x es 10 [47] E5 y E7 La y es 25 [48] P Entonces ¿cuál es el valor de y cuando la x vale 1, E8?

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

140

[49] E8 ¿2? [50] P Aquí tenemos otra… 10 y la mitad… y ¿cuándo la x vale 5? [51] (lluvia de ideas) [52] P ¿Cuánto? [53] E8 2 y medio [54] E5 ¿Cuánto profe? [55] P 5 a la x [56] E5 Y la y ¿12.5? [57] P ¡Sale! [58] P Y ¿cuando la x vale 1? ¡E2! [59] E2 2.5 [60] P ¡Sale! [61] P La pregunta que hizo R2 hace ratito… síguele, síguele, decía que

escucharas a R2. ¡Sale! Ahora, ¡explícamelo tú! [62] P ¡A ver, acá!, por acá. Adelante E6. [63] P A ver si se parece a lo que tú dijiste. [64] P A ver, ¡ponemos atención! [65] E6 Va proporcionando por 4. Si aquí está el 4, es la ordenada, sería 10

ordenadas… si fuera 1, sería 2.5 [66] P Tú dedujiste que la… ¿en base a qué? Al 10 y al 4 o al… o ¿a otro valor? [67] E6 Lo hice a todas [68] P ¿A todas?, uno por uno. [69] P

(el estudiante muestra la hoja al profesor en donde figuran los cálculos) [70] P ¡Correcto! Correcto y te dio iba aumentando, ¿de cuánto en cuánto? [71] E6 De 4 en 4 [72] P El de las abscisas, o sea 4 de las abscisas correspondía a 10 en de las

ordenadas. [73] E6 Y por 1 daría 2.5

Imagen de la resolución por parte del estudiante.

[74] P Ok. [75] E2, ¿coincidió el valor que acaba de dar tu compañero con el tuyo?

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

141

[76] E2 Sí. [77] P ¿Cuál fue? [78] E2 10, 20 [79] P E2, hay que poner atención… [80] P Preguntaste. Todos lo que estamos haciendo surge de la pregunta que

hiciste tú: ¿cuál es el coeficiente de proporcionalidad? [81] P De ahí sale la primera pregunta. [82] (Suena el timbre de recreo y el profesor dice: “no se preocupen, nos

quedamos” y continúa para cerrar la idea) [83] P De ahí nace la inquietud de ponerlo en el pizarrón. Yo les quise orientar de

aquel lado, dando valores que atinadamente E5 sí estaba contestando y alguien más por acá, E1.

[84] P Y luego tú me diste un valor, y te pregunté cuál fue tu coeficiente, me dijiste 2.5. Y E6 te lo explicó de otra manera, y él llegó al mismo resultado.

[85] E2 ¿De uno en uno fue aumentando? [86] P Él lo hizo de… dándole valores a x 4, él tomó como base 4, en las abscisas,

y se dio cuenta que eran 10 en las ordenas. [87] P Entonces, ¿qué más hiciste? Si a 10 le correspondía 4 en las abscisas… a 1,

de las abscisas, le correspondió 2.5 de la ordenada. Y ahí tienen la primera respuesta.

[88] P Ahora sí, ya tenemos el valor constante de proporcionalidad en la ecuación algebraica, ya la deben de tener por ahí también. ¿Sería, 20?

[89] TODOS No [90] P ¿Cuál sería? [91] TODOS 2.5 [92] (unos segundos de silencio) [93] P ¿Ya? [94] P ¿E6? ¿Vas a explicar a E5? [95] E6 No, estoy pidiendo borrador [96] P Ya tienen 2 constantes de proporcionalidad. La de los refrescos que fue

¿cuánto? [97] E5 9 [98] P 9… Y ¿la de la del ejercicio? [99] P Ahora sí podrán contestar la segunda parte. El ejercicio 2.

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

142

Primer momento, de la línea [1] a la [6]:

El tipo de pregunta que realiza el docente, está centrada en una argumentación del tipo aditiva, que hace explícito en su frase:

[2] Una pregunta antes, una pregunta antes: ¿sacaste el factor de

proporcionalidad? Como va aumentando aquí… ¿aquí cuál era?

Segundo momento, de la línea [22] a la [28]:

Detrás de la pregunta de la línea [24] “¿Cuál sería el valor de la y si en lugar de que la x valga 20, que la x valga 40?” se deja ver que Santiago está generando espacios de reflexión en torno a una relación entre las magnitudes homogéneas, ya que está trabajando con el doble de un valor conocido, lo cual, supera aquel pensamiento meramente aditivo. Y en la línea [25], cuando el estudiante contesta que “va aumentando” no se observa ninguna intervención del docente sobre esa respuesta, por tanto, se entiende que manipula ambas argumentaciones como válidas, lo cual, concebimos como algo oportuno.

Tercer momento, de la línea [48] a la [60]:

Cuando Santiago pregunta en la línea [50]: “Aquí tenemos otra: 10… y la mitad… y ¿cuándo la x vale 5?”, se asemeja a lo enunciado por Piaget e Inhelder (1977) en donde afirman que:

La comprensión comienza cuando el niño percibe que hay equivalencia de resultados cada vez que, de un lado, se aumenta un peso sin cambiar la longitud; y de otro, aumenta la longitud sin cambiar el peso: saca en seguida la hipótesis (que verifica ordinalmente) de que, partiendo de dos pesos iguales a las mismas distancias del centro, se conserva el equilibrio disminuyendo uno pero alejándose, y aumentando el otro, pero aproximándose al centro. Entonces, y sólo entonces, llega a las proporciones métricas simples

𝑃𝐿

=2𝑃2𝐿

, 𝑒𝑡𝑐

pero únicamente las descubre a partir de la proporción cualitativa precedente, que puede expresarse como sigue: disminuir el peso

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

143

aumentando la longitud equivale a aumentar el peso disminuyendo la longitud. (Piaget & Inhelder, 1997, pp. 141-142)

Es decir, comienza a generar interacciones en las cuales puedan emerger las argumentaciones desde un pensamiento proporcional como relación entre variables, que parte de un modelo cualitativo hasta llegar a la relación entre magnitudes.

Cuarto momento, de la línea [65] a la [74]:

Nuevamente, en la línea [70], se vuelve al modelo aditivo, por parte del docente, sin embargo, en las argumentaciones que está dando el estudiante, puede notarse que E6 lo que realiza es una relación entre las magnitudes, e inferimos que al tratar de responder a la pregunta de Santiago, quien ha recurrido continuamente a trabajar con las adiciones, el estudiante contesta erróneamente en la línea [70] “de 4 en 4”.

Quinto momento, de la línea [84] a la [88]:

En este apartado de líneas, es confusa la explicación que realiza Santiago respecto a los razonamientos realizados por E6 para obtener la constante de proporcionalidad:

[86] “Él lo hizo de… dándole valores a x 4, él tomó como base 4, en las

abscisas, y se dio cuenta que eran 10 en las ordenas.”

En esta argumentación que hace el docente, no podemos entender qué es lo que quiso hacer ver con “en base 4”, ya que es la primera y única vez que vemos en todas las observaciones, este tipo de argumentación.

Nótese que hasta el momento únicamente ha aparecido en dos oportunidades la réplica de Santiago de preguntar “¿por qué?”, en la línea [43] del episodio 3 y en la línea [37], de este último episodio.

• Episodio 5, primer año, curso C, 7 de junio de 2011.

[100] P ¡E7! ¿Cuál fue la situación que asocia al ejercicio que acabamos de plantear en el pizarrón?

[101] E7 La b [102] P ¿Por qué razón? [103] E7 Por…

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

144

[104] (silencio de unos segundos) [105] E7 Porque cada contorno es de 2.5 [106] P Ok, el grosor ¿del qué? [107] TODOS Del libro, de cada libro… [108] P Ok, y ¿qué tiene que ver ese valor con el ejercicio anterior ese valor? [109] E7 Porque la gráfica 2.5 representa… [110] E5 Porque representa en la gráfica del 2.5 [111] P ¿Qué representa la gráfica del 2.5? [112] P ¡E10! (se refiere a él solicitándole silencio) [113] P ¿Qué representa el 2.5 en la gráfica, E5? [114] E5 El grosor de un libro [115] P Y ¿acá cómo se representó? ¿En la gráfica cómo se representó? [116] E11 Como 2 de la gráfica [117] P Pero ¿cómo se le llamaba o qué? ¡R1! [118] E1 ¿Cómo se representó aquí? Porque 30 libros…aquí puedo ponerle… [119] P Gráficamente [120] E1 Gráficamente uno es igual a 20 libros y un centímetro… no… y un

centímetro es igual a 50 [121] P Y ¿quién habla de centímetros? [122] E1 Aquí dice. [123] P Ah, Ok, Ok [124] E1 Entonces, aquí puedes poner 20 y aquí 50 (ver figura 30)

Con sus manos indica en la gráfica dónde pondría los valores

Figura 30: Imagen de E1 explicando con sus manos la relación entre las magnitudes

[125] P ¿Cuál es el grosor del libro? [126] E1 2.5

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

145

[127] P Y ¿cómo lo…? ¿Y dónde mencionan el 2.5 en la gráfica? ¡E12! ¿En dónde?

[128] E12 En la proporcionalidad. [129] P ¿En la qué proporcionalidad? ¿Específicamente en qué? ¿En dónde? ¿En

qué pregunta? [130] E12 ¿En la primera? [131] P ¿Qué dice? [132] E12 ¿Cuál es el valor de la ordenada del punto cuya abscisa es 1? [133] P ¿Y abajo? [134] E12 ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? [135] P Ok, y del libro y de la abscisa ¿cuál es la relación? [136] E13 Pues, lo mismo [137] P De un libro ¿cuánto es el grosor? [138] TODOS 2.5 [139] P ¿Un valor de la ordenada, de la abscisa, cuánto valor de la ordenada? [140] E1 2.5 [141] E12 Uno de la abscisa es 2.5 de la ordenada [142] P Correcto. ¿Y un libro? [143] E5 Igual, el grosor [144] P El grosor es 2.5, ok. Y ¿por qué no la A? A ver, vamos analizando la A. [145] E3 Porque ahí hay un problema [146] P A ver, échate el problema [147] TODOS ¡Yo, yo, yo! [148] P “Yo, yo, yo”, ¡no!, “Yo, yo, yo”, ¡no!, es levante la mano, y va a tener la

palabra el que levante la mano. [149] (se interrumpe la clase ya que uno de los estudiantes se estaba quedando

dormido y el profesor le pide que vaya a pedir algo afuera para que se despierte)

[150] P ¿Con quién estaba, con E3? [151] E3 A ver, ven para acá. ¿Quieres pasar a explicárnoslo porque yo ya no le

entendí? [152] TODOS Yo [153] P Ok, sale ¿quién empieza? E1. Échale, rapidito. Ahí. [154] (pasan E3 y E5 al pizarrón) [155] E3 Luis tiene 50 años. [156] P Luis tiene 50 años. [157] E3 Y Ana 20. [158] P Ana tiene 20. [159] Ok [160] E3 Si Diana tiene 1 año ¿cuántos años tendrá Pablo, Luis?

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

146

[161] interrumpen para hablar con el docente, los estudiantes continúan pensando (ver figura 31)

Figura 31: Imagen los estudiantes discutiendo el problema planteado.

[162] E14 ¡31! E3, 31. Es 31. 31 porque… (no se logra escuchar su explicación) [163] E5 Bueno fácil mira… aquí [164] TODOS ¡¡¡31!!! [165] E3 y E5 ¡Ya sé! Espérate. Ya entendimos es 31 pero estamos haciendo…. [166] (vuelve el profesor a la clase) [167] P Bien. ¿Qué edad tenía el papá? [168] TODOS 31 [169] P ¿Antes de que naciera? [170] TODOS 30 [171] P Sale. 30. Y ¿si ella cumplió un año? [172] TODOS 31 [173] P Pregunto yo. Si ella tenía un año y él 31. ¿Sería posible asociar ese

ejercicio, esa… planteamiento con…? [174] E3 ¿Una gráfica? No [175] TODOS No [176] P ¿Por qué dijiste que no? [177] E3 Porque… [178] TODOS No [179] E3 No porque no tiene nada relación, uno tiene 31 y otro tiene un año. [180] P ¿Alguien analizó esa opción? (PONER TEXTO)

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

147

Queda sin contestar esta situación y para nuevamente E5 al pizarrón y tiene una conversación, que

se nos hizo imposible escuchar ya que fue muy lejos de donde estaba situada la cámara, sin embargo,

logramos observar que el planteo del estudiante fue el siguiente:

Al cual, el docente se rió y continuó su clase, preguntó si ya habían terminado y pidió que

acomodaran las sillas. Luego de trabajar en silencio de manera individual durante 10 minutos, se retomó la discusión grupal. Algunos estudiantes se acercan al pizarrón a preguntarle. Ingresa una de las preceptoras del colegio para darle algunas indicaciones. Se lleva 4 minutos de clase. Se continúa con la actividad.

[182] P ¿Cuál de las expresiones es la que corresponde a esta situación, cuál es la constante de proporcionalidad ahí?, ¿cuál es el valor numérico?

[183] Como los 9 pesos, como los 2.5, es una constante de proporcionalidad, como los 13 pesos el kilo de tortilla es una constante de proporcionalidad.

[184] ¿Aquí cuál es la constante de proporcionalidad, por qué pusiste ésta? [185] Pero esta distancia ¿a cuántas horas corresponde? ¿Sacaste de la de una

hora? [186] ¡Sácala! [187] (el profesor pasa por los bancos) [188] P Si se fijaron en el ejercicio que puse en el pizarrón, cuando les estaba

ayudando yo con los valores de x y de y, hay uno de ellos que les ayuda a encontrar la constante de proporcionalidad, no sé si lo vean ahí en el pizarrón, en el ejercicio anterior.

[189] ¿Cuál fue? ¿El valor de x 20? ¿El valor de x 40? ¿10? ¿5? ¿Cuál? [190] E6 20 [191] P ¿20? Sí, te lo puede dar, ¿pero cuál fue el que te lo dio directamente?

¿Cuándo le dimos un valor a x de cuánto? [192] E6 y igual 50

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

148

[193] P El 50 es 20. La constante de proporcionalidad que encontraste en la anterior, ¿cuál te la dio de lo que está en el pizarrón?

[194] E5 Profe [195] P ¿Cuál fue? ¿Cuál fue? ¿Cuál fue? La constante [196] E5 Profesor, profe, ¡profesor! [197] P Andabas en la luna, te pasó de noche… y fuiste de los que viniste aquí eh,

fuiste de los que viniste aquí.

El profesor pasa por los bancos y contesta preguntas.

Presenta la Actividad 2, que consta de dos nuevas consignas para trabajar.

Figura 31: Actividad 2.

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

149

[199] P Nos explicas primeramente de dónde sale el 120. [200] El yoyo no va a pasar, bajen la mano. Ya está la persona aquí enfrente. Ya

está la persona enfrente [201] ¿De dónde sale el 120? [202] E17 Bueno aquí son tres y… aquí nomás lo dividí en 2 [203] P Lo dividiste en 2 ¿por qué? [204] E17 Porque aquí es 1.5. [205] P Y el 1.5 qué tiene que ver con el 3. [206] E17 Porque el 1.5 es lo doble del 3. [207] P El 1.5 es lo doble del 3, ¿están de acuerdo? [208] E17 Sí [209] P Voy a repetirlo: el 1.5 es el doble del 3. [210] E17 No, es la mitad. 2.5 es igual a 3 [211] P 2.5 es igual a 3 (risas) [212] E1 Es la mitad de tres [213] P ¡Ayúdale, tú eres su equipo! Tú eres su equipo, ayúdale. (se dirige a E18) [214] E18 El 1.5 es la mitad de 3 [215] P El 1.5 es la mitad de 3, ¿correcto? [216] No me digan que el 1.5 es el doble del 3, ¿de acuerdo? Ok, sale y vale, un

error a cualquiera. [217] De acuerdo, de ahí salió el 120 y ¿el 400? [218] E17 El 400, bueno, sale, después… 240 lo dividí entre 3 y me salió 80 [219] P Ok, vamos haciendo la división aquí, vamos haciendo la división. [220] ¿Qué representa el 80? [221] ¿Alguien habló allá atrás? ¡E1! ¿Qué representa el 80, el valor de quién? [222] E1 El valor… representa… mmm [223] P No sabe ¿verdad? [224] E1 Representa la constante de proporcionalidad [225] P ¿Por qué?, ¿por qué representa la constante de proporcionalidad? [226] E1 Porque 240 entre 3 es 80 [227] P Ya lo tiene ahí, pero ¿80 qué representa, el valor de qué E19? [228] E19 De una hora [229] P El valor de una hora. Ponle, una hora por favor [230] Sale, una hora son 80, ¿qué son, kilómetros? [231] TODOS Sí [232] P Sale, kilómetros [233] Pregunta para el grupo ¿díganme, por favor, la distancia en dos horas? ¡E5!

[234] E5 Acá estoy. [235] P Échale. Yo estoy volteando para acá. [236] E5 d es igual 80

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

150

[237] P ¿Por? [238] E5 3 [239] P Que es el tiempo [240] Correcto. Ya tienen la respuesta ahí. [241] Síganle. Y ¿luego? ¿De dónde salió el 400? [242] ¡E20! Si ya lo tienen ¿ustedes ya lo tiene verdad? Esa tabla ya le tiene

llena, ¿verdad? ¿Con los mismos valores? Sale. ¿El 400 cómo salió, el 400 que tienes ahí?

[243] E19 Se puede multiplicar 80 por 5 [244] P ¿Se puede multiplicar qué? [245] E17 5 por 80 [246] P Correcto, 5 por 80 y te da 400. Y ¿cómo salió el 9 de arriba? [247] E17 Bueno, yo… de los 10 primeros de acá abajo… [248] P Y ¿cómo te dio el 9? [249] E17 Porque el 10 son 800… y el 9 le quito una hora y son 720… [250] P Le quitaste lo de una hora. Correcto. Gracias.

Primer momento, de la línea [100] a la [230]:

El objetivo de este episodio es argumentar por qué la situación “En una librería hay una pila de 20 libros iguales que alcanzan una altura de 50 cm. ¿De qué grosor es cada libro?” puede asociarse con la actividad de la travesía de la moto. En las líneas [100] a la [143] se observa cómo es que el docente encamina las reflexiones de los estudiantes hacia la obtención del valor unitario para argumentar que esas situaciones pueden asociarse, potenciando, como ya lo habíamos observado anteriormente, la noción de constante de proporcionalidad como el procedimiento para hallarla: la reducción a la unidad.

Posteriormente, en la línea [188] Santiago les comenta a los estudiantes que en el pizarrón encontrarán un valor que “les ayudará a encontrar la constante de proporcionalidad”. Uno de los estudiantes, propone que 20 es un valor que puede usarse para encontrarla (línea [190]), lo cual, dejaría notar que el docente interpreta como posible hallar la constante de proporcionalidad como la razón entre esas dos magnitudes. Sin embargo, este pensamiento se distorsiona en las líneas [220] a la [229], en donde es evidente que el docente no logra reconocer la argumentación brindada por E1.

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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Creemos necesario retomar la transcripción:

[220] P ¿Qué representa el 80? [221] P ¿Alguien habló allá atrás? ¡E1! ¿Qué representa el 80, el valor de quién? [222] E1 El valor… representa… mmm [223] P No sabe ¿verdad? [224] E1 Representa la constante de proporcionalidad [225] P ¿Por qué?, ¿por qué representa la constante de proporcionalidad? [226] E1 Porque 240 entre 3 es 80 [227] P Ya lo tiene ahí, pero ¿80 qué representa, el valor de qué E19? [228] E19 De una hora [229] P El valor de una hora. Ponle, una hora por favor

En la línea [227], el adverbio “pero”, el cual se utiliza como enlace que une dos oraciones cuyos significados se contraponen, se restringen o se limitan, y enfatizando nuevamente en la pregunta de “¿qué representa el 80?”, da evidencia de que Santiago no reconoce la relación entre lo que plantea E1 en la línea [226] y la noción de constante de proporcionalidad. Se denota su aceptación a la respuesta dada por E19, lo que confirma, que en todos los hechos anteriores, era correcta la interpretación de que el docente reconoce a la constante de proporcionalidad como aquella que está dada por el procedimiento de reducción a la unidad.

Segundo momento, de la línea [241] a la [250]: La interacción que se observa en estas líneas responden a dos tipos de modelos: el

modelo multiplicativo y el modelo aditivo. Respecto al primero, el estudiante procede a multiplicar una de las magnitudes por la constante de proporcionalidad hallada; mientras que en el segundo, realiza una sustracción del valor de una constante de proporcionalidad, para hallar el valor faltante.

Para finalizar, con la constante ya encontrada, los estudiantes recurren a un pensamiento multiplicativo para argumentar sus respuestas.

Hasta aquí, quienes realizamos esta investigación, creemos que hemos, en primer lugar, seleccionado la información precisa para poder interpretar la relación que posee el docente con el saber, y en segundo lugar, hemos alcanzado el estado de “saturación informativa” ya que se ha llegado a un hecho que comprueba las hipótesis de la observación que reiteradas veces se fueron infiriendo.

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

152

En este momento, durante la observación, decidimos tomar la postura de intervenir e interactuar, matemáticamente, con el docente. Esta elección radicó, sobre todo, en concebir que el empoderamiento es un proceso que vive el individuo en colectivo, para el cual, es indispensable reflexionar y problematizar el saber, con el fin de se apropie del saber que enseña, que sea haga dueño de él, es decir, que pueda estar consciente de las distintas argumentaciones que puedan emerger de un mismo saber matemático, como así también, que pueda interactuar y potenciar el pensamiento matemático en los estudiantes con base en la construcción social del conocimiento.

• Episodio 6, problematización del saber con Santiago, 8 de junio de 2011. La interacción que se mantuvo con el docente fue el patio del colegio, en una hora libre

que había entre las clases. Este ambiente permitía que Santiago sintiera que era una plática sobre el saber que estaba abordando en las clases, más que una clase para él. En ningún momento se le insinuó ninguna intención de que esa fuera “la manera” en que se tenían que abordar las clases subsiguientes, sino que era una reflexión amena que se estaba teniendo con él. De trasfondo, la docente era consciente que estaría problematizando el saber con el docente, con base en la construcción social del conocimiento, enfatizando en que era interesante reflexionar sobre el saber que estaba abordando en clase y potenciar el reconocimiento de las distintas argumentaciones que podían surgir de la interacción. Respecto a esto último, en varias oportunidades Santiago consultaba si en algún momento íbamos a hacer comentarios respecto a su labor como docente, a lo cual se contestaba que no estábamos viendo su labor, sino que estábamos observando a través de él, un fenómeno social, sin ampliar en el tema, con el fin de que ninguna de nuestras explicaciones pudiera incidir en autenticidad de la observación.

Lo primero que se le preguntó al docente fue “¿qué significaba proporcionalidad directa?” a lo cual el docente contestó: “cuando una aumenta y la otra aumenta o cuando una disminuye y la otra disminuye”, lo que corresponde con el Episodio 1, dicho por él en clase:

P: A medida que aumentaba la cantidad de kilos, aumentaba el precio… se mantiene constante los 13 pesos…

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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Ante esta respuesta, se le graficó la función 𝑦 = −𝑥 y se le preguntó si correspondía a una función de proporcionalidad directa. El docente contestó que no, ya que una aumentaba y la otra disminuía.

Aquí es donde se comienza a problematizar el saber junto a Santiago, recurriendo a la epistemología del conocimiento proporcional (dimensión epistemológica), al tipo de argumentaciones que pueden emerger en cuanto al nivel cognitivo (dimensión cognitiva), las dificultades en su enseñanza – aprendizaje (dimensión didáctica) y ciertos ejemplos de la vida cotidiana en los cuales se encuentra la proporcionalidad (dimensión social).

El esquema que se trabajó con Santiago, en una hoja del cuaderno de notas, sobre proporcionalidad directa fue el siguiente:

Figura 31: Hoja de reflexión con el docente (Parte 1 de 2)

Como se puede observar, se analizaron los siguientes tópicos:

• Reflexión 1: El modelo cualitativo, en cuanto expresar a la proporcionalidad como “cuando aumenta una, aumenta la otra” debe superarse ya que limita a la proporcionalidad a aquellas constantes de proporcionalidad que son positivas. Reconociendo que este tipo de argumentaciones provienen de algo muy arraigado que

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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es la vida de los individuos, ya que en la compra-venta, si no existen los descuentos, son continuamente trabajadas.

• Reflexión 2: La relación entre las magnitudes y la constante de proporcionalidad como la razón que guardan las variables. Esta reflexión se abordó para buscar nuevas argumentaciones que hicieran emerger el significado de constante en la noción de constante de proporcionalidad y mostrar cómo es que se evidenciaba en la función 𝑦 = −𝑥 que era una función de proporcionalidad directa.

• Reflexión 3: Dado que el docente estaba trabajando también las expresiones algebraicas que refieren a la proporcionalidad directa, se reflexionó sobre ella, con base en analizar las distintas representaciones de la proporcionalidad, es decir, que pudiera observar cómo de cada una de las representaciones emergía la noción de proporcionalidad.

• Reflexión 4: Retomando lo que dijo el estudiante E3 en la línea [20] del Episodio 2, se muestra la importancia de poder atender a las argumentaciones que devienen de los estudiantes e interpretar lo que E3 podría haber querido decir.

• Reflexión 5 y 6: Se evidencian los modelos cognitivos de pensamientos que subyacen en la noción de la proporcionalidad Y se reflexiona sobre las limitantes del primer modelo, lo cual, evidencia un salto en el desarrollo del pensamiento. Con esto se pretendía mostrar la necesidad de profundizar sobre el saber matemático con el fin de atender y generar espacios en donde surgieran

Respecto a la proporcionalidad inversa, si bien no se problematizó con la misma intensidad que se hizo con la proporcionalidad directa, se reflexionó lo siguiente:

Figura 32: Hoja de reflexión con el docente (Parte 2 de 2)

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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En particular, se enfatizó en la interpretación de la gráfica planteada por el docente en clase, entendiendo cuál era la información que nos brindaba cada uno de los puntos de la gráfica, por ejemplo: que si se tienen 20 obreros, se necesitará una semana para terminar un trabajo, pero si se tiene la mitad de los obreros, se necesitará el doble de tiempo. Reiteramos que de la proporcionalidad inversa no se hizo una problematización del saber en particular, sino que se correlacionó y, sobre todo, diferenció de la proporcionalidad directa.

Como podrá observarse, durante esta reflexión con el docente, sólo se problematizó el saber. Cuando decimos sólo, nos referimos a que en ningún momento se planteó cómo podría llevarse esto a la clase, ni mucho menos, asegurar que esto es lo que se debería hacer. La intención fue problematizar el saber con el docente para su propio conocimiento.

Inmediatamente después de tener esta plática con Santiago, ingresamos a la clase con uno de los cursos en donde se abordó la Actividad 2, ya citada en los Episodios anteriores.

• Episodio 7, primer año, curso A, 8 de junio de 2011.

Inicia la clase con mucho murmullo y se solicita que alguno de los estudiantes pase al pizarrón para resolver la consigna.

La estudiante que pasa al pizarrón copia la tabla y el profesor le solicita que coloque los resultados para después discutir cómo se resolvieron.

[1] E1 Un automóvil viaja a una velocidad constante, algunas distancias y tiempos de recorrido se muestran en la tabla. Completa los datos que hacen falta en ella y contesta las preguntas.

[2] P Estos son los datos que tú y tu equipo marcaron el día de ayer (se refiere a los datos que introdujo en la tabla)

[3] E1 Yo lo hice individual [4] P Individualmente, sale. [5] P Ahora, nos podrías dar una explicación de cómo obtuviste los datos, los

valores que hacían falta. [6] E1 Pues yo dividí entre 3…. 80 x 1.5 (anota en el pizarrón las cuentas) [7] P ¿Por qué dividiste 240 entre 3? [8] E1 Porque es el dato que tengo de… en 3 horas recorrió 240 y hizo en tiempo

3, en 3 horas [9] P Ok

[10] P ¿Y el 80? ¿Qué valor es?

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

156

[11] E1 Es el valor que le toca a una hora. [12] P ¿Puedes agregarla por allá? [13] E1 Y después de hacer esto, tengo que multiplicarlo por 5. (ver figura 33)

Figura 33: Cuentas realizadas por E1.

[14] E1 Y me dio este resultado (señala 400) [15] E1 Y luego, pues, fui multiplicando hasta ver qué número me dio, me dio éste

(señala el 720) [16] P ¿Y cuál fue? [17] E1 9 [18] P ¿Habría otra manera de encontrar otro valor? ¿El 9? [19] E1 Pues eh… no sé [20] P ¿Alguien cree que podría haber otra forma en lugar de ir multiplicando el

valor que dé igual? [21] E2 Yo [22] P ¿Y te dio los mismos resultados? [23] E2 Sí [24] P A ver, pásale [25] (pasa otra estudiante al pizarrón) [26] E2 Yo tengo diferente este número (señala el valor 400) [27] P ¿Por qué? A ver, dime por qué. [28] P A ver vamos a ver el primero, el 120, ¿de dónde sale el 120? [29] E2 Porque el 720 son por…

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

157

Figura 34: Tabla de valores realizada por E2.

[30] P Lo dividiste por… [31] (la estudiante se queda pensando) [32] E2 Y me da… sí es correcto… este me dio 3 porque es 3 veces mayor que 240,

entonces se va… se va… de 120, 240, 240 y 240 me da 480 y, 480 y 480 me da 720.

[33] P ¿La tabla, la tabla que datos tenía primero? 3, tiene el 1.5, tiene el 3, tiene el 5… tiene 240 y ¿qué más?

[34] TODOS 720 [35] P 720 [36] ¿Con cuál iniciaste? ¿Cuál es el primer valor que encontraste? [37] E2 El de 120 [38] P El de 120, ¿cómo le sacaste el de 120? [39] E2 Pues con esto, porque es tres veces más grande que 240 [40] P ¿Cuál es tres veces más que el 240? [41] E2 720 [42] P A ver… en 240, perdón, en 720 es tres veces más que en 240. ¿Estamos

bien? [43] E2 Sí [44] P ¿Y eso qué te sirvió para poner? ¿Cuál valor sacaste primero? [45] P Tú tienes aquí una… tú estás considerando dos valores el 720 y el 240, ¿sí?

Y ¿cuál valor obtuviste con ese? [46] E2 El 480… no, no, porque yo aquí probé que es el triple, entonces hice aquí

como… aquí está el doble de este… aquí está el triple. [47] P Sí, pero ese no lo tenías. [48] E2 No. [49] P Entonces, vamos borrando el 120. [50] Vamos borrando el 480, ¿ok? Ahora sí. [51] El 240 déjalo ahí… [52] Ahora sí, en cada una de las divisiones que hiciste y te diste cuenta que al

dividirlo por dos, el 720 es el triple de 240.

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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[53] Te escuchamos… [54] E2 Has de cuenta que da 240 y 720, entonces dividí 720 entre 240 y me dio 3

que es el triple. Entonces aquí tengo el doble de este. [55] P A ver, ¿por qué sería el doble de ese? [56] E2 Porque si lo sumo a 240 me da 480. [57] P Ok. Pero el 240 ¿a qué tiempo corresponde? [58] Ahí está en la tabla. [59] ¿A cuántas horas el 240 corresponde? [60] E2 A 3 [61] P A 3 horas… y si tú me estás diciendo que el valor de 480 efectivamente es

el doble que el de 240, la pregunta que te haría yo es ¿cuántas horas serían en 480 entre la distancia, en el tiempo transcurrido?

[62] E2 5 [63] P ¿Por qué? Si 480 es el doble de 240 y 240 transcurre en 3 horas…? [64] ¿Sería correcto el 5? [65] E2 y

TODOS No.

[66] P ¿Por qué? [67] E2 Porque 5 no es el doble de 3. [68] P ¿Por qué? [69] E2 Porque 5 no es el doble de 3. [70] P Porque 5 no es el doble de 3. [71] ¿Tamos bien? Ta bien, ta bien… no hay broncas. Esta es la manera de

solucionar esto… [72] P E1, ¿le estabas ayudando en algo ahí? [73] E1 ¿Yo? [74] P Sí [75] E1 Yo le estaba entendiendo a ella de que la división… (no se alcanza a

escuchar lo que dice) [76] Haga de cuenta que ella lo dividió, lo dividió entre 3. O sea se refiere a las

3 horas que recorrió. Y llegamos a todos los resultados dividiendo… [77] P Ella dijo que tenía un valor distinto al tuyo… y ya vimos cómo lo obtuvo y

tenía una diferencia en contigo en la tercer columna de 80, ¿no? [78] Si bien dicho lo que hizo acá bajo estaba… este... matemáticamente bien…

las operaciones etc. A la hora de buscarle el tiempo, no correspondía a las 5 horas.

[79] E1 Es que lo que hizo E2 es como una comprobación a los resultados. [80] P ¡Ah! Hizo una comprobación a los resultados pero no podemos comprobar,

no podemos comprobar algo, sin antes saber cómo se obtiene el número que va a aparecer en la tabla.

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

159

[81] Es como si ustedes me dijeran en una multiplicación ahí, de varias multiplicaciones y todos quisieran hacer una comprobación… dados los resultados de una multiplicación sí, y luego de ¿dónde salieron esas? Esos resultados: el 6, el 20, el 30, el 40, el 50...

[82] Que son los elementos que pudieran estar en una tabla, pero luego ¿de dónde salieron?

[83] E1 ¿De una multiplicación? [84] P Sí, pero hay que ver qué valores son los que estábamos tomando en cuenta

para esos resultados. Porque pueden ser varias opciones. [85] E1 Por eso estábamos pensando en la multiplicación… [86] P Sí, lo que te quiero decir es que este valor no estaba, este valor o estaba…

ni este (el profesor se acerca al pizarrón y borra de la tabla del pizarrón aquellos valores que no estaban en la tabla de la consigna, las estudiantes intervienen para indicarle cuáles debe borrar)

[87] Entonces, tu compañera viene y pone este valor aquí (se refiere a la tabla en general) y nos dice cómo lo obtiene, ¿sí?, pero no puede hacer la comprobación de todo, porque estos valores no los tiene (señala los valores que faltan en la tabla) este que está aquí no lo tiene, este no lo tiene… y tampoco este de acá...

[88] Puesto que es lo que están pidiendo en el ejercicio que hagan. [89] ¿Sí, E1? O ¿no? (E1 se sonríe y dice que sí) [90] Bueno entonces… los valores… ahora sí yo quisiera que me explicaras por

acá tú E1. [91] ¿Cómo pudiéramos comprobar que esos… que ahí hay una… cómo

podemos saber si existe o no proporcionalidad? [92] (el profe invita a sentarse a E2)

Primer momento, de la línea [39] a la [70]: El docente reconoce en E2 la argumentación que emerge de un pensamiento basado en

la relación entre las magnitudes (modelo inter) evidenciado en particular cuando E2 dice en la línea [39] “Pues con esto, porque es tres veces más grande que 240.”, o bien en la línea [54], “Haz de cuenta que da 240 y 720, entonces dividí 720 entre 240 y me dio 3 que es el triple. Entonces aquí tengo el doble de este.”. Si bien E2 había cometido un error de cálculo numérico al encontrar el valor faltante correspondiente a las 5 horas, Santiago logró acompañar, mediante preguntas, a que ella pudiera ver la contradicción que se generaba entre su pensamiento y el resultado obtenido.

Aquí observamos dos cuestiones interesantes. Por un lado, el docente reconoce el tipo de argumentaciones que emergen del pensamiento de la estudiante (como lo venía haciendo

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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hasta ahora con este tipo de argumentaciones) y, por el otro, mediante sus preguntas guía a la estudiante a que ella misma reconozca su contradicción y la corrija.

Segundo momento, de la línea [71] a la [90]: Santiago enfatiza en la necesidad de poder explicar el modo en que se llegó a los

resultados, es decir, que los estudiantes puedan explicar de manera clara cuál fue el razonamiento que hicieron hasta llegar a éstos, lo cual nos brinda un indicio de su constante interés en conocer el cómo es su razonamiento, más que cuál es el resultado final.

• Episodio 8, primer año, curso A, 8 de junio de 2011. [93] E1 Pues yo creo que sí hay proporcionalidad… [94] P ¿Habrá? ¿Cómo podríamos comprobar si es que la hay? [95] E1 Porque tiene una… tabla… (se la nota confundida a E1) [96] P Sí a ver, una tabla… [97] E1 Estamos verificando… [98] P Sí [99] E1 Ya ves que empecé a dividir primero (señala en el pizarrón la primera

división que fue 240/80) y para sacar esto (señala el lugar de la distancia desconocida para 1.5 horas) tuve que multiplicar por 1.5, tuve que multiplicar por… 5, y también tuve que multiplicar por 6, por 7, por 8 y por 9 para llegar a ese resultado...

[100] E1 Como Ud. nos dijo la… la… ayer… que si era proporcional hay que recordar que son… 3, 6, 9, 12… es como la tabla del 3

[101] P Sí, ¿y acá de este lado qué habría? [102] E1 ¿Acá? [103] P Sí ¿Qué valores habría? [104] P Obviamente está recurriendo su compañera a otro ejemplo… [105] P El 3 ¿a qué valor correspondería? [106] E1 A 1 [107] P A 1. ¿El siguiente? [108] E1 A 2, a 3 y a 4. [109] P Ehhh…. (el docente hace un silencio) [110] P ¿Cómo podemos comprobar ahí, lo que me acabas de decir tú: que hay una

proporcionalidad) [111] E1 Es que, haga de cuenta que es como una tabla, la tabla del tres, pero en vez

de ser la tabla del 3 es la tabla del 80 y se va multiplicando. [112] P Y para comprobar comprobar que hay proporcionalidad ahí… ¿cómo le

podríamos hacer? ¿Cómo podríamos verificar? [113] E1 Con una tabla… con una gráfica… [114] P A ver, permíteme (el docente se acerca al pizarrón y dibuja la tabla,

encerrando a los números que E1 había colocado allí)

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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[115] P ¿Dónde o cómo presientes que esto… bueno ya me dices que esto es una tabla, la tabla ¿Del qué?

[116] E1 Del tres [117] P (el profesor, en el pizarrón con E1, toma el plumón y comienza anotar) Del

tres… Este valor y este que está aquí (3,1), este valor y este que está aquí (6,2), ¿Cómo podemos decir que son… que hay una proporcionalidad, dame una justificación, qué otra forma? ¿Cómo podremos comprobar esa proporcionalidad?

[118] E1 Dividiendo [119] P Ok, ¿qué valor y qué valor vas a dividir? [120] E1 Voy a dividir 3 entre 1 y da igual a 3; 6 entre 2, me da igual a 3; si divido 9

entre 3 me da igual a 3 y 12 entre 4 da igual a 3 y así, todos me tienen que dar 3.

[121] P Y eso ¿qué me indicará? [122] E1 Que es la tabla del 3 [123] P Eso que acabas de hacer tú, eso exactamente la relación ¿qué? La relación

que estableció ella, entre estos dos, entre estos dos, entre estos dos (señala los pares ordenados)… y aquí, aquí la tienen (señala los resultados de las divisiones que daban 3) sale el mismo valor, ¿sí? Y por esa simple y sencilla razón…

[124] TODOS Son proporcionales [125] P Son ¿qué? [126] TODOS Proporcionales [127] P Proporcionales… Ok. Gracias E1. (se sienta E1) [128] P Si regresamos al ejercicio original de la consigna, tomando en cuenta esto

último que hizo E1, esto último (señala la tabla en donde buscó la constante de proporcionalidad) acá los valores que habría que hacer esto ¿Cuáles serían?

[129] E1 Dividir [130] P ¿Dividir? [131] P A ver, por ahí atrás… ¿qué valores tomaríamos en cuenta para hacer algo…

y encontrar la proporcionalidad allá? ¿Qué valores tomamos en cuenta allá, en la tabla aquella? ¿Cuáles?

[132] P E3 [133] E3 ¿Dividir? [134] P ¿Cuáles? Ahí los tienen [135] E4 La distancia entre tiempo [136] P Entonces la distancia entre tiempo, y ¿cuáles son los valores? [137] (todos juntos empiezan a dictarle al profesor cuáles eran los valores que se

deberían tomar en cuenta, no se puede distinguir cuáles E intervenían)

[138] P 120 entre 1.5… 240 entre 3… 400 entre 5 y… [139] P ¿Y cuánto daría? [140] E1 y E5 80

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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En las líneas de la [93] a la [126], el docente mantiene un interacción dialéctica (concibiendo a este tipo de interacción como aquella que parte de la reflexión en pro de una acción que a su vez modifica la reflexión) en búsqueda de hacer emerger las argumentaciones de “¿por qué es proporcional?”, retando a los estudiantes, mediante el retroalimentaciones sucesivas de las argumentaciones de cada uno, significado de lo proporcional (Cantoral, et al., 2006), en donde, en este caso, sí se contempla la relación entre las magnitudes heterogéneas, evidenciando que la razón entre ellas se mantiene constante. Por tanto, la constante de proporcionalidad ya no se somete a la reducción a la unidad, sino que comienza a analizarse como una relación entre las magnitudes.

Síntesis de desempeño matemático

Tanto la evolución en los resultados obtenidos en el examen de ingreso y egreso, como la evolución en cuanto a las situaciones que ha podido generar el docente con el fin de hacer emerger distintos pensamientos que subyacen en la noción de proporcionalidad, a partir de una interacción dialéctica, tanto con los estudiantes, como con la investigadora; ambos hechos, son una característica fundamental del fenómeno de empoderamiento docente. Si bien es importante, y hasta imprescindible, que el docente adquiera confianza y pueda tener la iniciativa de modificar la didáctica del aula, no basta para poder hablar de

empoderamiento. Es decir, el mejoramiento en el desempeño matemático del docente es indispensable para poder generar modificaciones en su desempeño profesional.

La problematización del saber es un eslabón fundamental para poder atender la diversidad de pensamientos matemáticos que surgieran por parte de los estudiantes durante el desarrollo de la situación puesta en escena y generar espacios de interacción “dialéctica” entre los estudiantes y el docente, como se dijo anteriormente, que permitan hacer emerger los significados del saber matemático abordado.

En síntesis, se reconoce la importancia del mejoramiento en el desempeño matemático, la importancia de la problematización del saber como precursora de permitir al docente desarrollar procesos de interacción dialéctica con los estudiantes y la importancia de la adquisición de confianza e iniciativa para modificar su didáctica de aula; las cuales, en conjunto, nos dan evidencia del proceso de empoderamiento por parte del docente.

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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V.4. DESEMPEÑO PROFESIONAL

Una vez finalizada la observación, se le realizó a Santiago una entrevista semi – estructurada, en un ambiente tranquilo, que generara un espacio de introspección, ya que sería enfocada en todo el proceso vivido desde su comienzo como docente, pasando por los cursos de profesionalización a los que había asistido, hasta llegar al día de la entrevista, que fue el último día de observación, el 8 de junio de 2011.

• Episodio 1: las clases en sus comienzos En la entrevista, Santiago recuerda sus clases como estudiante. Las reconstruye como

clases de corte tradicionalistas, donde el docente era el protagonista y manejaba la situación de aula, mientras que los estudiantes reducían sus interacciones a escribir, tomar nota y hacer los ejercicios o trabajos que eran encargados por el docente. Automáticamente, se siente identificado en ese tipo de clases, pero ahora, como docente. Reconoce que este modelo, era el que él creía funcionaba para dar clases y así trabajó en sus inicios y afirma que desde el punto de vista de lo que se pretendía que aprendiera en ese entonces, los estudiantes

“sí aprendían matemáticas, tal vez no como miramos desde el punto de vista de ahora, le

interesaba que supiera el joven sumar, restar, multiplicar, dividir, era lo básico, y sigue

siendo lo básico también, pero lo aplicaba uno como de manera mecánica, de manera

esencial y primordial, a lo mejor con técnicas rudimentarias”

Esta reflexión de Santiago es sumamente interesante ya que reflexiona sobre lo que se pretende que un estudiante aprenda, asegurando que no es el aprendizaje de un mecanismo a lo que se aspira, sino que reconoce que en su momento lo fue y la didáctica que se utilizaba resultaba productiva.

También, recuerda sus temores en aquella época, en la que tenía que enfrentarse por primera vez a los estudiantes como profesor, y menciona a sus hermanos, también docentes, como primeros referentes para sus prácticas. Ellos le dieron más o menos una guía de qué hacer, en qué consistía la docencia y asegura que “uno no termina de apreciar eso hasta que no está en la realidad”. Admite que en las primeras clases no iba “súper preparado” y que vivenció el sentir que necesitaba superarse a él mismo, que le faltaban herramientas para manejar las situaciones de clase con las que se encontraba.

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• Episodio 2: los lazos entre sus profesiones Entusiasta, como hemos visto durante toda la experiencia con él, es lógico que haya

podido relacionar sus dos labores. Asegura que las profesiones de Ingeniero Civil y de Profesor de Matemáticas pueden relacionarse, y así lo hace, en tanto asegura “definitivamente que hay bastante correlación entre eso que hay en la Ingeniería Civil en cuanto a las matemáticas y obviamente en la materia en sí que se imparte en la escuela. Sí, hay bastante de dónde relacionarlas”. Sobre esto, cuenta cómo ve él la importancia de llevar este tipo de relaciones al aula:

Hemos, por ejemplo, en el cálculo de superficies, me gusta mucho utilizar por ejemplo

el de pisos. Estamos viendo superficies, me gusta mucho ver las decoraciones de los

pisos con loseta, la zona de la loseta, la superficie de la loseta y sí llevamos esos

ejemplos al aula y los llevamos porque son cosas cotidianas que el día de mañana o

alguno de los jóvenes va a poder decir “bueno, si yo tengo en mi casa un trabajador,

quiero que me ponga un piso de loseta, yo quiero saber de cuántos metros cuadrados me

va a llevar y no nada más que me pida tal o cual cantidad y luego me ande sobrando y

luego ando gastando de más, etc. Es importante que relacionen el tema de superficies

porque en la vida cotidiana lo van a llevar a cabo.

Él se concibe como un facilitador del aprendizaje, quien tiene responsabilidades dentro del aula y debe favorecer espacios de aprendizaje, sin embargo, reconoce algunas debilidades en esa interacción con los estudiantes:

Debilidades… Primero, sentir inseguridad tal vez por no conocer a profundidad un

tema, eh… Una debilidad es que somos muy aprensivos con las situaciones, también.

Que sentimos, a veces, que no controlamos cuando no dominamos algo frente a los

muchachos. Y, pienso yo que pudieran ser esas dos principales debilidades que

tenemos.

Como contraposición, se caracteriza como un docente que brinda oportunidades a los jóvenes, que deja que se expresen, que se manifiesten, que desarrollen, que les brinda libertad y deja que ellos mismos tomen la iniciativa. Esta caracterización hecha por él mismo, nosotros, al observar sus clases, podemos afirmar que son ciertas.

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• Episodio 3: su experiencia en la Especialización La experiencia de Santiago, vivida en la ciudad de Querétaro, según nos cuenta, lo ha

marcado. Dejamos en palabras de él, la descripción:

Créeme que en el primer momento te das cuenta de que a veces hacemos juicios adelantados y cuando sales de ahí es otro mundo. Ves que las cosas sí se pueden hacer de manera diferente, te das cuenta del compromiso que tienes.

Y la estancia en Cinvestav, en la Especialización es motivante, es agradable, porque la actividad que uno estaba haciendo a lo mejor sin nombre, lo que estamos haciendo en Tijuana sin nombre, ahora ya podemos poner nombre y apellido, yo creo.

Quiero decir con esto que muchas de las cosas que he hecho o he intentado hacer, me di cuenta que no estaban mal en muchos sentidos. Esa libertad de darle a los jóvenes de expresarse, la tuvimos en la especialización, nos llevó a comprender la cuestión matemática más cosas, verla de otra manera.

Sí teníamos una imagen de que era aburrido, por el desconocimiento del tema de la matemática, ahora vemos que no: ningún tema de matemáticas es aburrido si sabemos abordarlo.

Y en la especialización nos dimos cuenta que por ejemplo, las gráficas no eran aburridas no se trataba de graficar, sino de verle sentido a lo que tenía eso y así como ese ejemplo me agradó muchísimo lo de la anticipación de resultados. Casi sin mover el lápiz, el decir qué va a pasar en esta función o qué va a pasar en esta gráfica, y eso me quedó grabado.

Y recuerdo mucho la clase en la que Daniela, empezaste a preguntar y yo veía que mis compañeros y yo mismo empezamos a hacer cálculos operaciones, tablitas y cuando vuelves a preguntar por segunda, tercera ocasión: y ¿esta función, cuál sería la característica o el bosquejo? A la tercera, suelto el lápiz ya no hice nada, me quedé viendo y analizando lo que estaba en la pizarra y dije “si Daniela quiere que no tabulemos, que no calculemos nada, nada más empecemos a decir de qué grado es, se es…”. Ya analizando desde el punto de vista que ustedes querían, pues dije, “esto ya no necesita de escribir tanto sino vamos a ponernos a razonar eso que estaba en frente”.

Y esa forma… yo llegué presumiendo en Tijuana allá nos enseñaron a anticipar resultados sin hacer nada ¿cómo? Y sí, eso lo estoy repasando aquí en la casa para poderlo dominar y transmitirlo a un compañero maestro más a que se anime a los cursos de reproducibilidad.

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Pero sí, esa estancia en Cinvestav marca un paréntesis para reevaluar, reiniciar hacer algunos cambios, y yo creo que cambios profundos para poder plantarme en el aula o modificar para que llevemos más, cómo te puedo decir, más conocimiento de lo que estás haciendo y con la confianza de que tus muchachos van a entender porque hay formas divertidas, más agradables, diferentes e interesantes como esa experiencia del Cinvestav que podemos platicar y que de hecho ya lo hacemos con los jóvenes, poco a poco, no te puedo presumir que al 100 por ciento, pero ahí vamos, el inicio ya está y eso que vienes hacer de la observación ya dimos un pasito más y yo creo que sí fue bastante más adelante.

Podemos inferir de las palabras de Santiago diversas circunstancias: en primer lugar, Santiago reconoce que hay un antes y un después de la especialización “cuando sales de ahí es otro mundo. Ves que las cosas sí se pueden hacer de manera diferente, te das cuenta del compromiso que tienes.”. Asimismo, él reconoce que hay una disciplina que se ocupa de su práctica docente, que existe una comunidad educativa que acompaña su quehacer cotidiano e investiga sobre y para él: “la actividad que uno estaba haciendo a lo mejor sin nombre, lo que estamos haciendo en Tijuana sin nombre, ahora ya podemos poner nombre y apellido, yo creo.”

Santiago también cuenta aquellas cosas que ha aprendido en la Especialización, cuando habla de la anticipación de las gráficas. Aquí es importante aclarar, que a la situación que el docente se refiere, es a la “situación de bienvenida” con la cual se comenzó la tercera generación de la Especialización. Ésta, tenía como objetivo abordar con los docentes un tema cuya reflexión fuera la esencia más que la manipulación numérica, provocando en ellos que utilicen argumentos conceptuales para poder dar respuesta a lo que estaban asegurando. Santiago, en este relato deja ver que analizaba toda la riqueza que la situación de aprendizaje estaba brindando: el tipo de interacciones que se estaban generando, la matemática que estaba de trasfondo, los objetivos que se perseguían con la situación, entre otras.

Termina su reflexión sobre la Especialización diciendo que este es el comienzo, que este es un paso… y nosotros agregamos: de un proceso de empoderamiento y cambio.

• Episodio 4: su relación con el saber antes de la problematización del mismo Aunado a la información que habíamos obtenido por medio de las interacciones con el

docente y las observaciones de las clases hemos inferido ciertas relaciones que tenía el docente con el saber, le preguntamos a él cómo reconocía, previo a la problematización del

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saber, que un estudiante “había aprendido” proporcionalidad. Esto, con el fin de contrastar lo que él hace (información brindada por las videograbaciones) y lo que dice que hace.

Pues, el hecho de que nos dijera… en un problema específico siempre puse algo que hacemos los niños, o lo hicimos de niños más bien, y ellos de niños y adolescentes, cuando los mandan a comprar tortillas, por ahí, yo siempre, se me hacía el ejemplo más fácil decirles cuánto cuesta el kilo de tortillas y si son dos, tres, y les preguntaba ahí ¿sería proporcional o no? y me decían “sí, profe, porque si compra esta cantidad son 10 pesos y si compra dos son 20, aumentan los kilos y aumenta el precio”, sí y entonces decía “está aumentando esta situación” y lo dabas por hecho que si aumentaba en proporción los kilogramos, aumentaba en proporcionalidad en esa misma, no en esa misma, en la proporcionalidad del peso, aumentaban las tortillas.

Entonces, preguntabas tú, cuál era la constante de proporcionalidad y ellos decían: 10 pesos, ¿por qué? Porque va de 10 en 10. Entonces, dabas tú por hecho que ¡ahí! estaba el concepto de proporcionalidad. Pero, bueno, eso era antes de la reflexión.

De esta semana de observación y como vemos, si bien es cierto que ahí estaba escondidita o pensábamos que eran esas diferencias que se estaban dando en el costo, por ejemplo de las tortillas. Pues vemos que la situación de proporcionalidad que es esa relación que había, sí había relación entre las dos cosas llamémoslas variables, para decir con más con propiedad, que son variables entre el kilo tortillas y el precio, y que bueno, la constante estaba ahí, simplemente había que relacionarlas a través de una operación, que eran las mismas que yo enseñaba hace años que era la básica, una división, de una variable dividirla entre la otra, en este caso, la variable independiente entre una dependiente y si aparecía en la primera razón de un kilogramo y si aparecía en la segunda y en la tercera, cuál fuera más adelante se mantenía esa razón constante, pues ahí estaba la proporcionalidad.

Ahora sí les puedo presumir mis alumnos cuando toque el tema de proporcionalidad ¡ahora sí me lo sé completamente!

Aquí podemos ver cómo el docente reconoce que, previa problematización del saber, privilegiaba un modelo aditivo (Capítulo III) y sobre él se basaban sus interacciones dialécticas con los estudiantes, mientras que ahora, propone situaciones en las que genera cuestionamientos, debates y reflexiones que permitan hacer emerger el significado de la proporcionalidad como una relación entre las variables (Cantoral et al., 2006) con base en un modelo inter e intra.

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• Episodio 5: su interacción con el saber matemático Ahora, creemos importante transcribir textual lo que el docente contestó cuando se le

preguntó sobre la reflexión que se tuvo con él sobre el saber de la proporcionalidad, solicitándole que nos cuente qué era lo que había sentido durante y después de la reflexión.

Santiago: Cuando tú manejas durante muchos años ciertos conceptos, ciertos temas, en el caso de la proporcionalidad que me estás comentando, das por asentado que lo que has estado trabajando durante tanto tiempo es válido, es una verdad.

Y cuando se sienta uno a analizar contigo, Dany, la reflexión, y lo reflexionamos y haces ver el porqué de eso y te das cuenta que estabas cercano a ese concepto, pero no era el que tú pensabas y que te abren los ojos, lo analizas, lo constatas de que tiene sentido.

Y posterior de que te das cuenta que es válido y lo llevas al aula y lo aplicas, te sientes mucho mejor ¿no? ¿Por qué? Porque sabes que no andabas mal, que el concepto ahí estaba, nada más era meterse un poquito más y con el apoyo de alguien que ha estudiado un poquito más esos aspectos de las matemáticas, y pues aceptarlo con humildad cuando uno se equivoca, cuando uno se equivoca o tiene un concepto erróneo o ha manejado una situación de manera no correcta.

A mí me ha servido bastante y se siente muy bien, cuando ya estás en el aula, se siente ahora si como el piloto de auto carrera, es un aprendiz cuando apenas va empezando y andas queriendo chocar con todo, pero ahora no, ahora te sientes el amo de la pista y hasta le das recio al vehículo, ¿no? se siente suave, se siente muy bien.

Entrevistadora: Y eso de que te sientes el amo de la pista, cómo profe ¿qué es, “que te sientas el amo de la pista”?

Profesor: Pues, la misma una seguridad de que ya conociste, de que ya sabes algo, que puedes sustentar, argumentar con certeza, sin temor de equivocarte que eso es y pues de que eso que digas eso es verdad que está fundamentado y se lo transmitas a un chico y que un chico lo desarrolle, un joven, y le digas o él te diga “es esto profesor, es esto” y coincida con lo que tú ya sabes, estás diciendo “qué bueno que tenga 14 años y lo está aprendiendo ahorita y que no se espera 49 años a que… a conocer ese conocimiento, a aprender eso, y qué bueno” de esa manera se siente uno muy bien.

En primer lugar, Santiago con la expresión: “das por asentado que lo que has estado trabajando durante tanto tiempo es válido, es una verdad”, muestra que no se ha cuestionado el conocimiento matemático que trabaja con los estudiantes, lo cual, nos

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permite postular una evidencia más del carácter legítimo y hegemónico del dME trabajado por Soto (2010).

Como se dijo durante el apartado de desempeño matemático, en ningún momento se le dijo al docente que se estaría problematizando el saber, “localizando y analizando su uso y su razón de ser” (Montiel, 2011, p. 128), sin embargo, el sentir de Santiago es que “haces ver el porqué de eso y te das cuenta que estabas cercano a ese concepto, pero no era el que tú pensabas y que te abren los ojos, lo analizas, lo constatas de que tiene sentido”. Es decir, sin duda, Santiago, a vivenciado una problematización del saber.

En su frase: “Porque sabes que no andabas mal, que el concepto ahí estaba, nada más era meterse un poquito más y con el apoyo de alguien que ha estudiado un poquito más esos aspectos de las matemáticas”, podemos inferir que él siente que no ha aprendido más Matemáticas, sino que ha profundizado sobre ellas. Esto es lo que afirma el empoderamiento: no habla de aumentar la cantidad de conocimientos matemáticos, ya que partimos de la base de que los docentes conocen y manejan los contenidos curriculares, sino que entiende a la problematización del saber como la esencia para privilegiar aquellos significados que, como dice el profesor “ahí estaban, nada más era meterse un poquito más” para lograr encontrar y analizar la razón de ser de ese saber. Lo que lo llevará al docente a potenciar las interacciones dialécticas con los estudiantes buscando hacer emerger las argumentaciones para significar un saber.

Una de los fines que se logran cuando un docente comienza a vivir el proceso de empoderamiento, según lo hemos caracterizado en el capítulo III, es obtener una actitud de liderazgo, confianza y mejora en sus prácticas de la enseñanza, enfatizando el hecho de que adquieran el poder de tomar las riendas de su propio crecimiento y, Santiago, después de la problematización del saber, enuncia lo siguiente:

A mí me ha servido bastante y se siente muy bien, cuando ya estás en el aula, se siente ahora sí como el piloto de auto carrera, es un aprendiz cuando apenas va empezando y andas queriendo chocar con todo, pero ahora no, ahora te sientes el amo de la pista y hasta le das recio al vehículo, ¿no? se siente suave, se siente muy bien.

(…)

Una seguridad de que ya conociste, de que ya sabes algo, que puedes sustentar, argumentar con certeza, sin temor de equivocarte que eso es y pues de que eso que digas, eso es verdad, que está fundamentado.

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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La última frase de Santiago “eso que digas eso es verdad, que está fundamentado” lo concebimos, como fundamental, como un indicio de que durante la problematización se ha cuestionado el saber, se ha preguntado el porqué de lo que se dice, sin duda, ha vivenciado algo que no había hecho antes.

• Episodio 6: la incidencia en su práctica docente La posibilidad de analizar las videograbaciones y de haber visto a Santiago

personalmente mientras daba clase, muestran la actitud de un docente que les da lugar para reflexionar a sus estudiantes, que los deja participar, que recorre a todo el grupo en las interacciones, entre muchas otras actitudes del docente frente a grupo. Es decir, no es su didáctica la que ahora estamos analizando, sino que vamos más profundamente sobre su práctica. Él, respecto a qué sintió que se modificó en sus prácticas después del período de la Especialización y la observación concluye:

Te das cuenta que sí, que si les llevas algo diferente, no diferente, algo más acorde a sus realidades, si conjugas esa libertad que le das al joven para que se exprese, si le das una ayudadita en irle preguntando y que él mismo vaya aportando, y que uno mismo sienta la seguridad de que conoce eso que va a ver con los muchachos, y me di cuenta que es más fácil: se vuelven más participativos, te vuelves más activo tú con ellos, se te va el tiempo más rápido.

Porque, como lo vimos en esta semana y como lo he visto siempre que hay un tema del agrado que hay un interés, una sola alma no basta para atender a los treinta tantos chamacos que tenemos, y todos piden tu atención y eso aunque es un poquito desgastante, pero creo que vale la pena, es una satisfacción estar viendo y qué es lo que hacen y estar atendiéndolos a todos, eso te demuestra que hay un interés y si hay un interés tenemos un campo fértil para que ellos aprendan y aprenden uno también.

Yo creo que ha sido lo bueno de esta semana, no ha sido de observación, ha sido de reflexión aunque a veces salía con mis carotas, como de molestia, a lo mejor estaba enojado conmigo por no saber por no… porque como dicen, cuando le pican el orgullo a uno, hay que hacerlo por eso. Es bueno porque nos va a motivar a hacer cosas más atrevidas, más arriesgadas y creo que valen la pena.

Aquí, podemos ver que el docente reconoce que luego de esto, se siente más seguro ante la clase, es decir, ha tomado confianza. Esta confianza, le permitirá abrir caminos a la innovación de situaciones que permitan interactuar con el estudiante, cada vez más intensamente.

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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• Episodio 7: lo que sigue Santiago asegura que es necesario preguntarse:

Cómo buscar, dónde buscar para que todo eso que quieres ver con los muchachos, con los jóvenes, tengas los elementos para poderlo desarrollar y obviamente al tener… conocerlos, al tenerlos, al apropiarte de ellos, yo creo que va a ser más fácil, y ese temor o esa situación de incomodidad para tratar de transmitirles algo o que ellos aprendan algo va a desaparecer, pienso que es la única manera.

Yo siento que ahora, como te decía hace ratito, debo de -y estoy convencido que lo voy a hacer-, de hacerme de eso que me hace falta, eso que yo siento que me hace falta, en los temas, sí es cierto que, por ejemplo si hay un tema, buscar la manera de apropiarme de él, independientemente de la fuente que sea y abordarlo, abordarlo ya no así, “bueno, vamos a ver esto así y nada más hasta donde yo me sienta seguro es lo que vamos a ver”, no, es abordarlo bien y con confianza porque nunca sabemos en el aula con que nos vamos a encontrar.

Ya sucedió, ha sucedido muchas veces y en estos días me ha sucedido más. Entonces, no sacarle, no tenerle miedo, si ya decidí estar en esto pues porque no vale la pena de una vez “me echo el clavado completo” y hay que buscar la manera de que no le saquemos la vuelta a nada de esto.

Nunca le he sacado la vuelta a nada, pero sí, vamos a… hay que trabajar en esto de no decir “esto no porque no le sé”, al contrario, esto “esto sí porque lo quiero saber, porque necesito saberlo porque mis muchachos, y es seguro que sí, a alguien le interese y lo va a aplicar, lo va a necesitar” ¿no?

Para él, este proceso no termina… para nosotros tampoco. El empoderamiento es un proceso, no un estado del docente. No podríamos contestar, así llanamente si el docente se empoderó o no, pues se trata de un proceso permanente, dinámico y continuo. Como puede apreciarse, él comienza a pensar qué es lo que hará de ahora en adelante para seguir cuestionándose el saber.

Asimismo, y muy importante para nosotros, el docente en su comentario y su actitud sobre lo que continúa, deja ver que no es indispensable que se realicen cursos de cada uno de los temas que se abordan, como hemos visto que en la actualidad los hay (Ver capítulo I, La problemática), sino, que refieren a la manera en que se aborda el saber matemático. Con esto último, no pensamos en la didáctica con la que se debe llevar al aula, ya que hemos visto durante la reflexión con el docente, que no se habló en ningún momento de su

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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didáctica, sino que es la misma problematización la que genera en el docente innovar en herramientas para llevar al aula el saber.

Síntesis de desempeño profesional En síntesis, el empoderamiento le permite al docente hacerse dueño del saber que

enseña mediante la problematización del mismo, lo cual le brinda confianza y autonomía para abrir caminos a la innovación, no sólo de diseños o implementaciones de situaciones de aprendizaje, sino también, en la generación de cuestionamientos, debates y reflexiones con sus estudiantes. En palabras de él, también podemos ver, que el docente está viviendo un proceso de empoderamiento.

V.5. UNA SÍNTESIS NECESARIA

En el capítulo III mostramos distintos ejemplos donde diversas investigaciones han acudido y reflexionado sobre el proceso de enseñanza-aprendizaje, en particular de la proporcionalidad. Algunas de las conclusiones a las que llegan las investigaciones son las siguientes:

• Si bien han logrado avances como maestro, no han podido incorporar los contenidos matemáticos abordados en el curso (Valdemoros, 2010);

• Aunque los docentes tienen contacto con producciones de la investigación y de la divulgación de la didáctica de la matemática, y aunado a esto, acuerdan con los teóricos trabajados, se observa que difícilmente esto redunde en un cambio de prácticas en sus

aulas, es decir esto no se ve traducido en las prácticas de los docentes (Iturbe & Ruiz, 2011);

• En el fenómeno de reproducibilidad – basado en la reproducción de una misma situación de la Ingeniería Didáctica en distintos escenarios – existe una fragilidad a causa de que la repetición del efecto didáctico está determinado por múltiples factores, siendo los más complejos e incontrolables los humanos, asegurando que “la relación personal del profesor con las matemáticas y con el contenido matemático específico y las ideas acerca de lo que es aprender y enseñar matemática” (Lezama, 2005, p. 346)

Todas estas investigaciones, dan cuenta de lo complejo que es “cambiar las prácticas” del docente, para la Socioepistemología esto es el aprendizaje.

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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Nosotros, durante el análisis de los datos brindados por el método de estudio de caso, hemos podido evidenciar que el docente ha modificado su práctica. En particular, considerando la misma situación problema, él ha podido generar interacciones dialécticas con los estudiantes que permitieron hacer emerger nuevos significados del saber matemático abordado. Este hecho, se lo adjudicamos, en primer lugar, a que el docente se ha hecho dueño del saber que enseña mediante la problematización del mismo (tanto en el proyecto de la Especialización como en la interacción con la observadora), lo cual le brindó confianza y autonomía para abrir caminos a la innovación, no sólo de diseños o implementaciones de situaciones de aprendizaje, sino también, en la generación de cuestionamientos, debates y reflexiones con sus estudiantes. En segundo lugar, su actitud de liderazgo, innata en él pero que ha podido potenciar y explicitar en este largo proceso, es otro de los indicios que consideramos como relevantes ya que la esencia del empoderamiento, radica en el desarrollo del potencial individual para el liderazgo dentro de una comunidad de prácticas.

Dejaremos la síntesis final, en palabras explícitas de Santiago:

Para mí esta Especialización me hizo crecer como persona ya que descubrí que soy líder en el sentido positivo, también me permitió conocer a profesores de la República mexicana muy valiosos para la educación, en lo académico me enseñó otras formas de ver las matemáticas y me invitó a buscar más información de la metodología empleada en la Especialización.

He comprobado según los resultados de mis alumnos que la forma que aplico de abordar las matemáticas desde la visión de la especialización da mejores resultados en el aprendizaje de los estudiantes.

Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos

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Capítulo VI: Conclusiones

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Nada él conozca por haberlo escuchado de ustedes, sino únicamente por haberlo comprendido por sí mismo:

que no aprenda la ciencia, que la descubra. Si en su mente llegaran a sustituir la autoridad de la razón,

no razonará más; no será sino el rastro cimbel de la opinión de otros.

Jean-Jacques Rousseau

Como anunciamos en la Introducción de esta tesis, finalizaremos con este Capítulo VI desarrollando las conclusiones de esta investigación. El fenómeno de empoderamiento, caracterizado en capítulos anteriores, será analizado desde un punto de vista teórico a fin de explicar el proceso de apropiación del saber en situación escolar por parte del docente y que sostenemos esta hipótesis, incide directamente sobre su propia práctica profesional.

Capítulo VI: Conclusiones

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Capítulo VI: Conclusiones

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Cuando nos hemos planteado analizar el fenómeno de empoderamiento, partimos de la base de que la apropiación del conocimiento matemático cuando se privilegia la concurrencia de distintas argumentaciones, permite la emergencia de diversas racionalidades contextualizadas, se favorece una resignificación progresiva del saber considerando varios marcos de referencia, todo sobre la base de la consideración de las prácticas sociales como generadoras de conocimiento, esto es, se acepte un rediseño del dME, claramente ello no es trivial. No basta entonces con ofrecer al docente cursos o talleres donde se discutan herramientas didácticas o metodologías pedagógicas diversas. Se precisa, sin duda, de un posicionamiento frente al saber matemático y a su constitución.

Ejemplos de lo anterior los hemos afrontado en el Capítulo III, cuando abordamos la dimensión didáctica de un saber específico, aquel referido a la noción de proporcionalidad (Salazar & Díaz, 2009, Iturbe & Ruiz, 2011; Valdemoros, 2010). Asimismo, sin especificar en un saber matemático particular, Andrade, Salazar y Leguizamón (2007) estudian cuatro cursos de un programa de licenciatura en matemáticas que poseían planteamientos innovadores para el trabajo con profesores. Luego de este trabajo, concluyen que a pesar de que la metodología varía dependiendo el área de formación de los cursos y del profesor, en general no presenta mayores diferencias con la que, en algunos países, suele llamarse convencional; es decir, no hay cambios sustanciales que se evidencien por ejemplo, en la forma de abordar los temas matemáticos.

Este hecho nos llevó a preguntarnos, explícitamente: ¿qué es lo que tiene que ocurrir para que un profesor se sienta en condiciones de generar cambios en su práctica docente? Es aquí donde, la Teoría Socioepistemológica, como herramienta para la intervención en el sistema educativo, postula que el empoderamiento docente es lo que debe propiciarse para que esto ocurra. Es con esta tesis de maestría, que la noción es explícita y empleada para el análisis didáctico en el campo de las matemáticas.

En esta investigación, mediante el análisis del proyecto de la Especialización de Alto Nivel en la Profesionalización Docente en las Matemáticas de Secundaria. Estudio de reproducibilidad de situaciones didácticas y un estudio de caso de un profesor partícipe de la misma, hemos evidenciado que la conjunción entre la problematización del saber y las

Capítulo VI: Conclusiones

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actitudes de liderazgo, son elementos clave del proceso de empoderamiento, para generar un cambio en la práctica docente.

¿De qué depende el proceso de empoderamiento docente en el curso de una particular estrategia de profesionalización? Dicho en otros términos, ¿podríamos explicar sobre la base de la Socioepistemología, cuáles son las condiciones de producción del empoderamiento? Estas dos preguntas guiarán la escritura de estas conclusiones.

Para enfrentar lo anterior, haremos uso de algunas nociones teóricas, como saber, discurso Matemática Escolar y reproducibilidad, las cuales permitirán explicar la relación entre el fenómeno de empoderamiento y otros dos fenómenos, el de la exclusión (Soto, 2010) y la reproducibilidad (Lezama, 2005).

En el Capítulo III estudiamos distintas caracterizaciones del empoderamiento según la literatura, encontrando como elementos transversales que es un proceso que parte de la reflexión y se consolida en la acción, desde el individuo en colectivo, sin ser otorgado sino generado, con el fin de transformar la realidad.

Concebimos al empoderamiento como aquel proceso que vive el docente, en conjunto con sus colegas e investigadores, con el objeto de comprender, asimilar, asumir, aceptar y sumarse a una nueva propuesta para el dME, donde se privilegie la articulación de distintas argumentaciones, se permita la emergencia de diversas racionalidades situadas o contextualizadas, se posea o desarrolle el carácter funcional del saber, se favorezca la resignificación progresiva al considerar varios marcos de referencia, todo sobre la base de la consideración de las prácticas sociales como generadoras de conocimiento.

Asimismo, este proceso de empoderamiento permite al docente hacerse dueño del saber que enseña mediante una problematización del saber, lo cual le brindará confianza y autonomía para abrir caminos a la innovación, no sólo de diseños o implementaciones de situaciones de aprendizaje que la investigación ofrezca, sino también, en la generación de cuestionamientos, debates y reflexiones con sus estudiantes que hagan emerger los distintos significados del saber matemático. Todo ello, como uno de los mecanismos didácticos que acompañe al rediseño del dME, para potenciar el aprendizaje con base en la construcción

Capítulo VI: Conclusiones

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social del conocimiento, y así, atender a la exclusión que provoca el dME actual y poder acceder, de manera efectiva, a las propuestas didácticas que propone la investigación (ver Capítulo III).

Con la caracterización realizada en esta investigación podemos afirmar que existe una relación de causalidad entre el empoderamiento y la posibilidad de enfrentar la exclusión o más precisamente al fenómeno de exclusión derivado del dME. Esto es posible, gracias a que el empoderamiento se deriva del dominio o apropiación del saber matemático contextualizado, a lo que hemos llamado problematización del saber, uso y razón del ser (Montiel, 2011).

Como dijimos en el Capítulo III, la fragilidad detectada en el fenómeno de reproducibilidad de las situaciones didácticas (Lezama, 2005), puede encararse mediante la problematización del saber matemático ya que, como vimos en el Capítulo V, ante una misma situación problema (considerado ésta como el enunciado de una situación de aprendizaje) el docente procede de maneras distintas antes y después de la problematización del saber, específicamente, de la proporcionalidad. En particular, las interacciones dialécticas que mantuvo el docente después de la problematización, hicieron emerger distintos significados del saber matemático de la proporcionalidad, como así también, le permitió validar las distintas argumentaciones que los estudiantes construían para responder a la situación planteada, las cuales, previa problematización, eran soslayadas por el docente. Daremos un ejemplo de ello:

Tabla ii

Interacciones previas a la problematización del saber. (Episodio 5, primer año, curso C, 7 de junio de 2011)

[220] P ¿Qué representa el 80? [221] ¿Alguien habló allá atrás? ¡E1! ¿Qué representa el 80, el valor de quién? [222] E1 El valor… representa… mmm [223] P No sabe ¿verdad? [224] E1 Representa la constante de proporcionalidad [225] P ¿Por qué?, ¿por qué representa la constante de proporcionalidad? [226] E1 Porque 240 entre 3 es 80 [227] P Ya lo tiene ahí, pero ¿80 qué representa, el valor de qué E19? [228] E19 De una hora [229] P El valor de una hora. Ponle, una hora por favor

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En este fragmento del episodio, se evidencia que el docente no puede reconocer la argumentación brindada por E1. En la línea [227], el adverbio “pero”, el cual se utiliza como enlace que une dos oraciones cuyos significados se contraponen, se restringen o se limitan, y enfatizando nuevamente en la pregunta de “¿qué representa el 80?”, da evidencia de que Santiago no reconoce la relación entre lo que plantea E1 en la línea [226] y la noción de constante de proporcionalidad. Se denota su aceptación a la respuesta dada por E19, lo que confirma, que en todos los hechos anteriores, era correcta la interpretación de que el docente reconoce a la constante de proporcionalidad como aquella que está dada por el procedimiento de reducción a la unidad. (Ver Capítulo III).

Tabla iii

Interacciones previas a la problematización del saber. (Episodio 8, primer año, curso A, 8 de junio de 2011)

[115] P Dónde o cómo presientes que esto… bueno ya me dices que esto es una tabla, la tabla ¿Del qué?

[116] E1 Del tres.

[117] P

(el profesor, en el pizarrón con E1, toma el plumón y comienza anotar) Del tres… Este valor y este que está aquí (3,1), este valor y este que está aquí (6,2), ¿Cómo podemos decir que son… que hay una proporcionalidad, dame una justificación, qué otra forma? ¿Cómo podremos comprobar esa proporcionalidad?

[118] E1 Dividiendo. [119] P Ok, ¿qué valor y qué valor vas a dividir?

[120] E1 Voy a dividir 3 entre 1 y da igual a 3; 6 entre 2, me da igual a 3; si divido 9 entre 3 me da igual a 3 y 12 entre 4 da igual a 3 y así, todos me tienen que dar 3.

[121] P Y eso ¿qué me indicará? [122] E1 Que es la tabla del 3.

[123] P

Eso que acabas de hacer tú, eso exactamente la relación ¿qué? La relación que estableció ella, entre estos dos, entre estos dos, entre estos dos (señala los pares ordenados)… y aquí, aquí la tienen (señala los resultados de las divisiones que daban 3) sale el mismo valor, ¿sí? Y por esa simple y sencilla razón…

[124] TODOS Son proporcionales. [125] P Son ¿qué? [126] TODOS Proporcionales.

En contraposición a lo anterior, aquí el docente modificó, en primer lugar, su relación al saber matemático, privilegiando la relación entre las magnitudes heterogéneas y su razón constante para referirse a la constante de proporcionalidad. En segundo lugar, puede verse en el Capítulo V, que la situación que se aborda en ambos episodios es la misma, por lo cual,

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el mismo docente modificó su metodología didáctica para abordar con los estudiantes, ya que las interacciones dialécticas que mantuvo con los estudiantes fueron diferentes. En tercer y último lugar, se evidencia que el docente generó un cambio de práctica en comparación entre una y otra (para más detalles, remitirse al Capítulo V).

Por tanto, la apropiación del saber en el caso del docente influye en su puesta en funcionamiento en el contexto áulico, permitiéndole una movilidad mayor, pues la amplitud que le brinda el juego de roles, le permite adquirir un rol de liderazgo hasta entonces inusual en sus prácticas, esto es, el docente participante en esta investigación no limita su acción a la reproducción de una clase, a la repetición de una lección previamente concebida, sino que asume un rol crítico ante las herramientas didácticas, según la problematización desarrollada.

Si bien la problematización del saber es un elemento indispensable, no es suficiente para referirnos al empoderamiento, ya que éste no se reduce a hacerse dueño del saber que enseña sino que también, y con la misma jerarquía, contempla las actitudes de liderazgo, confianza y autonomía para generar espacios de innovación y transformación de la realidad. Este hecho, lo hemos evidenciado, también, con la evidencia mostrada en el desarrollo del Capítulo V, en particular, en el apartado de actitudes de liderazgo, donde reconocemos que este tipo de actitudes pueden ser propias del individuo, sin embargo, los distintos roles asumidos en su paso por el proyecto y durante la observación, en cuanto a la cantidad y la cualidad, lo entendemos como un estímulo para su empoderamiento, dado que este espacio ha permitido su potencialidad y explicitación (Ver Capítulo V, Actitudes de Liderazgo). En este apartado, se muestra cómo el docente comienza a generar situaciones para propiciar una red de docentes, haciendo, por ejemplo, las siguientes preguntas: “¿Podremos incorporar esta forma de trabajo en nuestra planeación?”; “¿Crees que esta forma de trabajar sería posible que la siguiéramos fomentando con nuestros colegas? Y sobre todo ¿con las y los alumnos?” (Ver Capítulo V). Posterior a ello, se da evidencia de que los docentes comienzan a incluir en este proceso a distintos actores didácticos: directores de escuela, docentes de otras áreas y, hasta, padres de familia.

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En síntesis, diremos que no puede haber el uno sin el otro, es decir, cuando nos refiramos al empoderamiento, no podemos hablar de la problematización del saber sin las actitudes de liderazgo, ni bastarían las actitudes de liderazgo si no hay una verdadera apropiación del saber. El empoderamiento se compone de ambos elementos: problematización y apropiación del saber más la actitud de liderazgo que le permita innovar en su práctica docente. Esta afirmación supera, en nuestra opinión, los intentos previos por caracterizar el cambio de práctica a las que nos referimos al principio de esta tesis.

Al contestarnos estos dos aspectos, pudimos evidenciar que el empoderamiento, mediante la problematización del saber y el liderazgo, produce dos logros significativos en el docente. Por un lado, provoca el cuestionamiento del saber, es decir, estimula al docente a dejar de considerar al dME como algo legítimo e incuestionable. Por el otro, a pesar de que la discusión radica en el saber matemático, los resultados que se observan también afectan a las metodologías pedagógicas y las herramientas didácticas que los docentes emplean. Es decir, la modificación en las prácticas de los docentes es el resultado obtenido directamente por ellos, son quienes toman la iniciativa de realizar las modificaciones pertinentes considerando a los estudiantes de sus aulas.

Con el fin de validar y enriquecer las conclusiones, la triangulación de datos fue necesaria. Tanto con el docente participante como con la investigadora-docente, nos han permitido garantizar la validez de este estudio mostrando que los resultados no dependieron de la toma de datos, ni del tipo de análisis realizado. Pero, también, nos permiten

enriquecer y precisar las conclusiones.

Al docente participante se le enviaron los análisis realizados en el capítulo V, se le solicitó una reflexión sobre ellos. Si bien al comienzo él manifiesta su disconformidad ante el análisis sobre la lectura de la gráfica de una función de proporcionalidad inversa, luego de conversar con el docente, aceptó que sí había cometido un error matemático en cuanto a su lectura. Por tanto, la aceptación del docente fue por completo. Concluye su reflexión de la siguiente manera:

En cuanto al resto de los episodios subsecuentes, en los que mencionas algunas debilidades que tenía en el manejo del tema de proporcionalidad,

Capítulo VI: Conclusiones

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estoy completamente de acuerdo contigo, en ese momento aunque yo creía tener los conocimientos suficientes del tema, no bastaba, necesitaba profundizar en el tema a través de una reflexión sobre su problematización, ya que sin ella no podía atender las necesidades de las y los estudiantes en su proceso de aprendizaje.

Quiero comentarte que después de la plática de reflexión que tuvimos sobre el tema de proporcionalidad, a la fecha me he sentido con mucha más confianza a la hora de trabajar los temas en el aula, ya que logré entender gracias a esa profundización del saber, lo que como profesor necesito hacer diariamente para mejorar mis prácticas docentes, sé que me falta mucho por aprender pero acepto el reto.

Sobre el capítulo “Una Síntesis Necesaria”, no estoy de acuerdo con lo que los investigadores dicen (Valdemoros, Iturbide y Ruiz, Lezama), si es posible cambiar las prácticas docentes, yo soy ejemplo de que las y los profesores si podemos modificar esas prácticas, sólo se necesita aceptar primero nuestra debilidades como docentes, y luego la voluntad y deseo de hacer mejor nuestro quehacer para beneficio no sólo de nosotros mismos sino de toda la sociedad en especial nuestros alumnos (as) , “Yo ya estoy realizando esos cambios y estoy seguro que muchos profesores comprometidos lo harán”.

Su reflexión, nos deja ver que los análisis realizados respecto a su relación al saber y las actitudes de liderazgo, son válidas para él, por tanto, le da confianza a los resultados obtenidos.

En cuenta a la investigadora-docente, a quien se le entregó la investigación completa para que pudiera también cotejar toda la información y en particular aquella que se derivaba de la observación, concluyó que tanto las observaciones, como los hallazgos y la propuesta que se realiza para finalizar, son de gran interés. Reconoce que las interpretaciones son pertinentes en cuanto a los instrumentos utilizados para la recolección de datos, dejando observa cómo se desenvuelve el docente y en dónde se observan dificultades. Respecto al escenario en cuanto a cómo se desarrollaron las clases, asegura que el docente recurrió a varios elementos que acude un profesor que intenta ayudar al estudiante, que se preocupa por ellos y en particular, eso que se observa de él, si es parte de la realidad de alguno de los docentes, pero no de todos.

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Al igual que nosotros, concuerda con la afirmación de que “no podríamos contestar si el docente se empoderó o no, porque es un proceso permanente, dinámico y continuo”. Aclara que con el seguimiento de un profesor no es suficiente para generalizar nuestra tesis, sin embargo, en esta investigación, más que generalizar, la intención es estudiar a profundidad para entender y dar racionalidad a lo que observamos. El constructo teórico empoderamiento ya existe (capítulo III) y nosotros lo que hicimos fue replantearnos las posibles causas de él, dotándolo de sentido en la Matemática Educativa, a través de la asociación con los fenómenos de exclusión y reproducibilidad.

Asimismo, la triangulación también se realiza con el marco teórico que es lo que hemos estado haciendo durante toda la investigación. En particular, la importancia teórica de la situación de aprendizaje situada y su diseño radica en su capacidad de vertebración del proceso de empoderamiento (Capítulo II). El espacio que se abrió en la Especialización ha sido singular en cuanto al tipo de cursos que habitualmente, hemos visto, se llevan a cabo para los docentes. Los fundamentos teóricos en los que se basó el proyecto, son aquellos que emergen de la Teoría Socioepistemológica, la cual considera que para poder generar saberes funcionales, es necesaria la descentración de la mirada atomizada en los objetos matemáticos y comenzar a buscar alternativas que privilegien en el aula los conocimientos que emergen de la construcción social, lo cual -con base en sus principios teóricos-, se logra a través de considerar a las prácticas sociales como generadoras de dicho conocimiento (Capítulo II). Durante el proyecto, los docentes han vivido una modalidad de inmersión total, en la cual problematizaron el saber; conocieron la epistemología de alguno de ellos; descubrieron que existen diversas maneras de abordar un mismo problema, en donde, los resultados distintos no se reducen a errores, sino que son pensamientos diferentes a los otros y deben potenciarse, entenderse y comunicarse; aprendieron y aprehendieron matemáticas; discutieron con sus colegas sobre las problemáticas de la práctica docente, como así también, las maneras de diseñar las clases; escucharon y discutieron las conferencias impartidas por investigadores de primer nivel en el campo de la Matemática Educativa y en campos que evidencian la transversalidad de ésta con otras áreas del conocimiento; resolvieron, discutieron, diseñaron, aplicaron y rediseñaron situaciones de aprendizajes, entendiendo a éstas como la herramienta didáctica para llevar esta problematización al aula, respetando los contextos socioculturales de cada uno de los grupos

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de estudiantes; reflexionaron sobre los resultados obtenidos en las aplicaciones; discutieron la importancia de la transversalidad del saber matemático puesto en juego en la dinámica del aula, y por sobre todas las cosas, reflexionaron sobre el cambio de centración de los objetos a las prácticas; asumieron el rol de tutor para llevar a cabo la reproducción de la experiencia vivida en Cinvestav con colegas de su estado… La diversidad de roles que los docentes vivenciaron en el proyecto, es lo que nosotros concebimos como un indicio para que ellos se hagan dueños del saber que enseñan y puedan cambiar su práctica docente.

La peculiaridad de este proyecto, es que el docente no sólo “tomó un curso”, sino que diseñó él mismo situaciones de aprendizaje, las puso en práctica en su contexto áulico, reflexionó sobre los resultados obtenidos y reprodujo la vivencia con otros colegas, todo ello, asistido por los miembros del equipo académico del proyecto. Es decir, hubo un acompañamiento integral en este proceso.

Hasta aquí hemos mostramos una articulación de los elementos teóricos con las evidencias empíricas. Nuestra originalidad radica en que dicha articulación se sustenta en el contexto y en las circunstancias sociales y culturales que caracterizan al acto educativo en el México contemporáneo. Toda conclusión por su parte, cierra, a la vez que abre, una reflexión y una problemática. Intentaremos por ese motivo, dejar planteados los hilos a seguir en investigaciones futuras. Es aquí, en las conclusiones finales, donde mostraremos la fuerza y amplitud de la Teoría Socioepistemológica.

Con nuestra investigación, hemos caracterizado al fenómeno de empoderamiento docente como el proceso que vive un individuo en colectivo, fundado en la reflexión en conjunto de las personas involucradas sobre la problematización del saber con apoyo en el modelo conceptual del desarrollo del conocimiento, basado en los principios de la Teoría Socioepistemológica (Ver figura 35); esta problematización en conjunto con la actitud de liderazgo, confianza y autonomía que el docente conciba, le permitirá realizar diseños e interpretar, entender e incorporar las propuestas didácticas que de la investigación surgieran con el afán de propiciar el aprendizaje con base en la construcción social del conocimiento como camino ideal para la comprensión de la matemática. El empoderamiento,

Capítulo VI: Conclusiones

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le permitirá, específicamente, lograr una transición de la problematización del saber matemático a la construcción de herramientas para el saber didáctico.

Figura 35: Modelo dinámico conceptual del desarrollo del conocimiento matemático, basado en los principios

de la Teoría Socioepistemológica.

El modelo dinámico de desarrollo del conocimiento matemático está contemplado como el sustento para acompañar el proceso de empoderamiento docente, asumiendo que será considerado también para acompañar el empoderamiento estudiantil, es decir, para que una vez que el docente comience a transitar este proceso, lo tome como referencia para generar en los estudiantes, ambientes propicios que privilegien el aprendizaje con base en la construcción social del conocimiento matemático. Con esto, se deja explícita la transición del saber matemático al saber didáctico por parte de los docentes como parte fundamental del proceso de empoderamiento.

Esta nueva concepción de lo que refiere al aprendizaje de la matemática no es algo trivial ni para el docente ni para los estudiantes, motivo por el cual, se considera que en paralelo al planteo de un rediseño del dME, deben surgir herramientas para la intervención en el sistema educativo en tanto se debe trabajar junto al docente esta nueva manera de concebir al aprendizaje de la matemática. Para ello, se postula que el fenómeno de

empoderamiento docente, es una de las herramientas que pueden considerarse para propiciar que este tipo de aprendizaje se logre en los futuros proyectos de profesionalización docente.

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En síntesis, el fenómeno de empoderamiento docente se caracteriza por ser un proceso que vive el individuo en colectivo, cuyos elementos clave son la problematización del saber y la incidencia en las actitudes de liderazgo, fundado en la reflexión en conjunto de las personas involucradas con apoyo en el modelo dinámico conceptual del desarrollo del conocimiento, basado en los principios de la Teoría Socioepistemológica. Permitiendo que el docente logre una transición de la problematización del saber matemático a la construcción de herramientas para el saber didáctico, es decir, una modificación y mejoramiento en su práctica docente.

Para concluir, creemos pertinente dejar en palabras del docente partícipe de esta investigación, la más nítida de las evidencias que nos permiten postular que el

empoderamiento docente es un nuevo constructo teórico que de la observación empírica se ha caracterizado:

Pregunta: Sabiendo que ha asistido a distintos cursos de profesionalización docente, ¿encuentra alguna diferencia entre esos cursos y la Especialización? Respuesta: Definitivamente sí, sin menospreciar la entrega y conocimientos de mis colegas, siento que en los cursos que había recibido solamente se cubría el requisito y no me aportaban mucho y se hacían sin tener un seguimiento ni por parte mía ni de las autoridades, en cambio la especialización fue un parte aguas en mi carrera docente que vino a modificar y confirmar que lo que hacía, estaba bien, pero que ahora lo hago mucho mejor y los resultados en mis alumnos así lo dejan ver.

Pregunta: ¿Qué sintió antes (en la reflexión con la investigadora), durante (mientras trabajaba con los estudiantes en la hora de clase) y después (una vez concluida la clase) de haber problematizado el saber matemático de la proporcionalidad? Respuesta: Antes de la plática desconcertado e intrigado por no saber lo que me diría, durante la plática desesperado por no entender y no aceptar lo que me estaba diciendo. Esto considero yo que por mucho tiempo manejé esa información y la daba por buena, pero después de aclarar el concepto de proporcionalidad para el cual ella (investigadora) me guió a descubrir, me sentí muy seguro de mí mismo al estar frente a los alumnos y desarrollar la clase, por tener ahora sí toda la información del tema. Al concluir la clase con el grupo me sentí aliviado y seguro de abordar el tema en los grupos subsecuentes y en los bloques donde se traten temas relacionados con proporcionalidad. (Docente partícipe de la investigación, encuesta, octubre de 2011).

En síntesis, con esta investigación se postula que es indispensable que el docente vivencie un proceso de empoderamiento para poder lograr modificaciones en su práctica.

Capítulo VI: Conclusiones

190

Buscar la democratización del saber, no es una tarea sencilla y somos consciente de eso, sin embargo,

los socioepistemólogos, desde la comunidad

de matemáticos educativos, nos lo proponemos a diario.

Los que aseguran que es imposible, no deberían interrumpir a los que estamos intentándolo.

Thomas Alva Edison.

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