UNIVERSIDAD SIMON BOLIVARDEPARTAMENTO DE MATEMATICASPURAS Y APLICADASMA2312Ene-Mar 2007

Practica 2 1

1. Hallar los puntos c para los que

(a) c0

x(1 x)dx = 0.(b)

c0|x(1 x)|dx = 0.

2. Calcule cada una de las siguientes integrales y determine Gr(f) en cada caso.

a) 20

f(x)dx, donde f(x) ={

x2, si 0 x < 1,2 x, si 1 x 2

b) 10

f(x)dx = 0 , donde f(x) =

{x, si 0 x c,c(

1x1c

), si c < x 1 con c un numero real fijado,

0 < c < 1.

3. Hallar un polinomio P (x) de grado 2, tal que P (0) = P (1) = 0 y 10

P (x)dx = 1.

4. Hallar un polinomio P (x) de grado 3, tal que P (0) = P (2) = 0, P (1) = 15 y 3 02 P (x)dx = 4.5. Sea f : [a, b] R integrable Riemann. Demuestre que

a) bb f(x)dx = 2

b0

f(x)dx, si f es par.

b) bb f(x)dx = 0, si f es impar.

Integracion Riemann-Stieljes.

6. Demostrar que b

ad(x) = (b) (a) a partir de la definicion de integral Riemann-Stieljes.

7. Analizar en cada caso la existencia de b

af(x)d(x) y calcularla en los casos en que exista.

a) : [a, b] R una funcion arbitraria y f una funcion constante sobre [a, b].b) : [a, b] R una funcion continua y f una funcion definida como

f(x) =

5, si a x < c,3, si x = c,1, si c < x b.

Que sucede si en lugar de tomar continua solo se sabe que es continua en c?

c) f como en b) y (x) ={

1, si a x c,1, si c < x b.

d) [a, b] = [1, 3], f(x) = x3 y (x) = x2.e) [a, b] =

[0, 4

], f(x) = (x) = cos(x).

8. Supongamos que b

af(x)d(x) existe y es igual a 0 para toda funcion monotona creciente f . Que

se puede decir sobre la funcion ? Sugerencia: Para cada c [a, b] considerar la funcionmonotona fc definida por fc(x) =

{0, si a x c,1, si c < x b.

1Prof. Yamilet Quintana.

9. Sean f, : [a, b] R y sea c (a, b) tales que ca

f(x)d(x) y b

cf(x)d(x) existen. Demostrar b

af(x)d(x) tambien existe y que se satisface la igualdad:

ca

f(x)d(x) + b

c

f(x)d(x) = b

a

f(x)d(x).

10. Sean f, g : [a, b] R y sea : [a, b] R monotona creciente. Demostrar que si f, g R() yf(x) g(x), x [a, b], entonces

ba

f(x)d(x) b

a

g(x)d(x).

11. Para cada x R sea [x] := max{n Z : n x}, es decir, [x] es la parte entera de x. Analizarla existencia de las siguientes integrales, y en caso afirmativo calcularlas:

a) 40

x2 d([x]).

b) 20

x d(x [x]).b)

20

x2 d([x]).

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