elizardo 2

5/28/2018 ELIZARDO 2

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Tratamiento de datos y azar. 05 /02/2014

1.0 Interpretacin de informacin.1.1Agrupa y grafica conjunto de datos cualitativos y cuantitativos conbase en la distribucin de frecuencias.

A. Descripcin e interpretacin de la estadstica descriptivaNaturaleza de la Estadstica.- Etapas de la investigacin estadstica.- Poblacin.- Muestra.- Tamao de la muestra.- Muestreo aleatorio.

- Variable estadstica.- Datos.- Experimento.- Parmetros de decisin.


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Naturaleza de la Estadstica.

La estadstica proporcionan formas para reflexionar acerca delcomportamiento de muchos fenmenos con los que se enfrenta el serhumano da a da.La base de la estadstica es poder considerar un conjunto de datos ycalcular valores estadsticos o trazar graficas, pero hay que tomar en

cuenta que es mucho ms importante comprender las circunstancias quese estn investigando, las variables implicadas, porque se estinvestigando el problema y se aprende a cuestionar los datos y losresultados estadsticos.La experiencia y situaciones de la vida diaria constituyen la base para

comprender la estadstica ya que esta trata sobre la descripcin delmundo que nos rodea y nos proporciona mtodos para analizar losresultados de experimentos efectuados, pero tambin indica cmo sepueden efectuar los experimentos de manera eficaz para disminuir losefectos de la variacin y tener mayor probabilidad de llegar a conclusionescorrectas.


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- Etapas de la investigacion estadstica.

PLANIFICACIN Planteamiento del problema Formulacin Objetivos- Hiptesis de trabajo Fundamento e importancia de la investigacin

Determinacin de la unidad de anlisis y variables Identificacin de las fuentes de informacin

RECOLECCION DE LOS DATOS

ORGANIZACIN: Tabulacin Consistencia Procesamiento Presentacin de datos


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ANLISIS E INTERPRETACIN DE RESULTADOS

Clculo e interpretacin de indicadores estadsticos

RESULTADOS Y CONCLUSIONES

Poblacin:El conceptode poblacin en estadstica va ms all de lo que comnmentese conoce como tal. Una poblacin se precisa como un conjunto finito oinfinito de personas u objetos que presentan caractersticas comunes."Una poblacin es un conjunto de todos los elementos que estamosestudiando, acerca de los cuales intentamos sacar conclusiones.

"Una poblacin es un conjunto de elementos que presentan unacaracterstica comn".
http://www.monografias.com/trabajos10/teca/teca.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/teca/teca.shtml


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Muestra:

En estadstica una muestra estadstica (tambin llamada muestraaleatoriao simplemente muestra) es un subconjunto de casos o individuosde una poblacin estadstica.Las muestras se obtienen con la intencin de inferir propiedades de latotalidad de la poblacin, para lo cual deben ser representativas de la

misma. Para cumplir esta caracterstica la inclusin de sujetos en lamuestra debe seguir una tcnica de muestreo. En tales casos, puedeobtenerse una informacin similar a la de un estudio exhaustivo con mayorrapidez y menor coste (vanse las ventajas de la eleccin de una muestra,ms abajo).Por otra parte, en ocasiones, el muestreo puede ser ms exacto que el

estudio de toda la poblacin porque el manejo de un menor nmero dedatos provoca tambin menos errores en su manipulacin. En cualquiercaso, el conjunto de individuos de la muestra son los sujetos realmenteestudiados.
http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Poblaci%C3%B3n_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Muestreo_en_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Muestreo_en_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Muestreo_en_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Muestreo_en_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Muestreo_en_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Muestreo_en_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Poblaci%C3%B3n_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Poblaci%C3%B3n_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Poblaci%C3%B3n_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica


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El nmero de sujetos que componen la muestra suele ser inferior que el

de la poblacin, pero suficiente para que la estimacin de los parmetrosdeterminados tenga un nivel de confianzaadecuado. Para que el tamaode la muestrasea idneo es preciso recurrir a su clculo.

Tamao de una MuestraAl definir el tamao de la muestra, nosotros deberemos procurar que sta

informacin sea representativa, vlida y confiable y al mismo tiempo nosrepresente un mnimo costo. Por lo tanto, el tamao de la muestra estardelimitado por los objetivos del estudio y las caractersticas de lapoblacin, adems de los recursos y el tiempo de que se dispone.

Muestreo aleatorioConsideremos una poblacin finita, de la que deseamos extraer unamuestra. Cuando el proceso de extraccin es tal que garantiza a cadauno de los elementos de la poblacin la misma oportunidad de serincluidos en dicha muestra, denominamos al proceso de seleccin

muestreo aleatorio.
http://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_de_confianzahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tama%C3%B1o_de_la_muestrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tama%C3%B1o_de_la_muestrahttp://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tama%C3%B1o_de_la_muestrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tama%C3%B1o_de_la_muestrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tama%C3%B1o_de_la_muestrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tama%C3%B1o_de_la_muestrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tama%C3%B1o_de_la_muestrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tama%C3%B1o_de_la_muestrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tama%C3%B1o_de_la_muestrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_de_confianzahttp://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_de_confianzahttp://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_de_confianzahttp://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_de_confianzahttp://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_de_confianza


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El muestreo aleatorio se puede plantear bajo dos puntos de vista: Sin reposicinde los elementos; Con reposicin.

variable estadstica

Una variable estadsticaes cada una de las caractersticas o cualidadesque

poseen los individuos de una poblacin.

Tipos de variable estadsticas

A.- Variable cualitativa

Las variables cualitativasse refieren a caractersticas o cualidadesquenopueden ser medidas con nmeros. Podemos distinguir dos tipos:Variable cualitativa nominalUna variable cualitativa nominal presenta modalidades no numricasque noadmiten un criterio de orden. Por ejemplo:

El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado,divorciado y viudo.
http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node88.htmhttp://www.bioestadistica.uma.es/libro/node88.htmhttp://www.bioestadistica.uma.es/libro/node88.htmhttp://www.bioestadistica.uma.es/libro/node88.htmhttp://www.bioestadistica.uma.es/libro/node88.htmhttp://www.bioestadistica.uma.es/libro/node88.htmhttp://www.bioestadistica.uma.es/libro/node88.htmhttp://www.bioestadistica.uma.es/libro/node88.htm


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Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa

Una variable cualitativa ordinalpresenta modalidades no nmericas,en las que existe un orden. Por ejemplo:La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente.Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1, 2, 3, ...

Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.

B.- Variable cuantitativaUna variable cuantitativaes la que se expresa mediante un nmero, portanto se pueden realizar operaciones aritmticas con ella. Podemos

distinguir dos tipos:Variable discretaUna variable discretaes aquella que toma valores aislados, es decir noadmite valores intermediosentre dos valores especficos. Por ejemplo:El nmero de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.


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Variable continuaUna variable continua es aquella que puede tomar valorescomprendidos entre dos nmeros. Por ejemplo:La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.En la prctica medimos la altura con dos decimales, pero tambin sepodra dar con tres decimales.Datos

Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar unestudio estadstico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.Experimento.Un experimento es un procedimiento mediante el cual se trata de

comprobar (confirmar o verificar) una o varias hiptesis relacionadas conun determinado fenmeno, mediante la manipulacin y el estudio de lascorrelacionesde la(s) variablesque presumiblemente son su causa.

La experimentacin constituye uno de los elementos claves de lainvestigacin cientfica y es fundamental para ofrecer explicacionescausales.
http://es.wikipedia.org/wiki/Verificaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_(m%C3%A9todo_cient%C3%ADfico)http://es.wikipedia.org/wiki/Observaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Correlacionhttp://es.wikipedia.org/wiki/Variable_independientehttp://es.wikipedia.org/wiki/Causahttp://es.wikipedia.org/wiki/Experimentaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_cient%C3%ADficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Explicaci%C3%B3n_cient%C3%ADficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Explicaci%C3%B3n_cient%C3%ADficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Explicaci%C3%B3n_cient%C3%ADficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Explicaci%C3%B3n_cient%C3%ADficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Explicaci%C3%B3n_cient%C3%ADficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_cient%C3%ADficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_cient%C3%ADficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_cient%C3%ADficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Experimentaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Causahttp://es.wikipedia.org/wiki/Variable_independientehttp://es.wikipedia.org/wiki/Correlacionhttp://es.wikipedia.org/wiki/Observaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_(m%C3%A9todo_cient%C3%ADfico)http://es.wikipedia.org/wiki/Verificaci%C3%B3n


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En un experimento se consideran todas las variables relevantes queintervienen en el fenmeno, mediante la manipulacin de las quepresumiblemente son su causa, el control de las variables extraas y laaleatorizacinde las restantes. Estos procedimientos pueden variar muchosegn las disciplinas (no es igual en fsicaque en psicologa, por ejemplo),pero persiguen el mismo objetivo: excluir explicaciones alternativas(diferentes a la variable manipulada) en la explicacin de los resultados.

Este aspecto se conoce como validez interna del experimento, la cualaumenta cuando el experimento es replicado por otros investigadores y seobtienen los mismos resultados. Cada repeticin del experimento se llamaprueba o ensayo.Las distintas formas de realizar un experimento (en cuanto a distribucin

de unidades experimentales en condiciones o grupos) son conocidas comoprotocolo de investigacin.

Un parmetro estadsticoes un nmeroque se obtiene a partir de los datosde

una distribucin estadstica.
http://es.wikipedia.org/wiki/Aleatorizaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Psicolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Protocolo_de_investigaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Protocolo_de_investigaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Protocolo_de_investigaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Protocolo_de_investigaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Protocolo_de_investigaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Protocolo_de_investigaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Psicolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Aleatorizaci%C3%B3n


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Los parmetros estadsticossirven para sintetizar la informacin dadapor una tabla o por una grfica.

Tipos de parmetros estadsticosHay tres tipos parmetros estadsticos:

De centralizacin.

De posicin.

De dispersin.


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Medidas de centralizacin

Nos indican en torno a qu valor (centro) se distribuyen los datos.La medidas de centralizacinson:

Media aritmticaLa mediaes el valor promediode la distribucin.

MedianaLa medianaes la puntacinde la escala que separa la mitadsuperiorde la distribucin y la inferior, es decir divide la serie de

datos en dos partes iguales.

ModaLa modaes el valorque ms se repiteen una distribucin.
http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_10.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_9.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_8.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_8.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_8.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_9.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_9.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_10.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_10.html


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Medidas de posicin

Las medidas de posicindividen un conjunto de datos en grupos conel mismo nmero de individuos.Para calcular las medidas de posicines necesario que los datosestn ordenados de menor a mayor.

La medidas de posicinson:

CuartilesLos cuartiles dividenla serie de datos en cuatro partes iguales.

DecilesLos decilesdividen la serie de datos en diez partes iguales.

PercentilesLos percentilesdividen la serie de datos en cien partes iguales.


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Medidas de dispersin

Las medidas de dispersinnos informan sobre cuanto se alejan delcentro los valores de la distribucin.Las medidas de dispersinson:

Rango o recorridoEl rangoes la diferenciaentre el mayory el menorde los datosde unadistribucin estadstica.Desviacin mediaLa desviacin mediaes la media aritmticade los valores absolutos

de las desviacionesrespecto a la media.VarianzaLa varianzaes la media aritmticadel cuadrado de las desviacionesrespecto a la media.Desviacin tpicaLa desviacin tpicaes la raz cuadradade la varianza.


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a) Dato de variable cuantitativaValor numrico de una variable.

b) Muestra

Subconjunto representativo de una poblacin.

c) ParmetroMedida descriptiva de una muestra poblacin.

d) Poblacin

Total de elementos en estudio que presentan caractersticas comunes.e) Datos

Es el resultado que se obtiene como resultado de un conteo.

f) Variable estadsticaCaractersticas de cada elemento de una muestra o poblacin.

g) EstadsticaEstudio de mtodos para manejar la obtencin, presentacin y anlisisde observaciones numricas, para tomar decisiones o realizar

generalizaciones acerca de las caractersticas de una poblacin


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Tratamiento de datos y azar. 12/02/2014

Medidas de tendencia central.

La media aritmtica es la suma de los valores de cierto nmero decantidades dividido entre su nmero.

se expresa: X = SXi/ N

DondeN: es el nmero de observacionesX: el valor de cada observacinX : es la media aritmtica, media, o X barra.

La media es la nica de la medidas de tendencia central que puedeintervenir en operaciones algebraicas.

Obtener la media del precio del petrleo registrada en un mes, si sevendi en el mercado mundial en 28, 31, 29, 27, 26 dlares por barril


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Resolucin:

X = (28+31+29+27+26) 5 = 1415

X = 28.2

En un examen extraordinario las calificaciones obtenidas por un grupo de13 alumnos sobre un mximo de 10 puntos, fueron:

En matemticas: 4, 7, 3, 6, 2, 8, 4, 7, 0, 1, 7, 6, 4En fsica: 8, 4, 3, 6, 7, 5, 6, 2, 1, 7, 6, 7, 0

Calcular el promedio de matemticas, de fsica y el de ambas materias

Resolucin

X = (4+7+3+6+2+8+4+7+0+1+7+6+4) 13 = 59 13= 4.54matemticas

X = (8+4+3+6+7+5+6+2+1+7+6+7+0) 13 = 62 13 = 4.77 fsica


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X = (4.5 + 4.7) 2 = 9.2 2 = 4.6 en ambas materias

Media aritmtica ponderada

Se aplica para calcular el valor promedio de cantidades a cada una delas cuales est asociado un nmero que lo pondera.

Si un comerciante en ropa compra dos partidas de camisas, una de 60 a$75, cada una, y otra de 30 en $83.5 cada prenda. Obtener el preciopromedio de cada camisa.

ResolucinPrecio promedio= 60(75) + 30(83.5) 60+30 = 4500 + 2505 90 =$77.83


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Tarea

La tendencia actual para ingresar a una licenciatura exige que elaspirante tenga un promedio de sus estudios de enseanza mediasuperior de 8.5 y apruebe el examen de admisin con 6 como mnimo.No todas las materias que se evalan en el examen tiene el mismo

peso; es decir, cada una tiene una ponderacin diferente.

Un aspirante obtuvo las calificaciones siguientes: matemticas 8,fsica 7, espaol 4, ingls 6; para averiguar si el alumno ingresa a launiversidad se tiene que calcular el promedio ponderado. Las

ponderaciones son: matemticas 7, fsica 7, espaol 3, ingls 5.


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La mediana y la moda son medidas de tendencia central que por sus

propiedades destacan los valores individuales de un colectivo; en cambio,la media aritmtica, al promediar todos los valores igualando en su justoreparto todas las observaciones, suprime sus individualidades.

Mediana

La mediana se define como el valor que divide un conjunto de datospreviamente ordenados de menor a mayor, y es el punto intermedio entretodos ellos.

Si el nmero N de datos es impar, entonces hay un nmero intermedio; porejemplo, si tenemos cinco datos, 3,5,7, 9, 11 el nmero 7 es el puntointermedio. Si el nmero N de datos es par, entonces hay dos datosintermedios; por ejemplo, la media de los valores 8,10,16,19,23,25, haydos valores centrales que son 16 y 19; el valor equidistante entre ellos es

la mediana: (16 + 19) 2 = 35 2 = 17.5 es la mediana


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Moda

En un conjunto de datos de una distribucin de frecuencias, la moda esel valor que ocurre con mayor frecuencia; por ejemplo, en los valores:1,2,5,5,6,6,6,6,7,8,9,9,9, la moda es el 6. la moda es el valor msrepresentativo o tpico de una serie de valores, en el sentido que ocurrecon mayor frecuencia.

Ejercicio:Seala la moda de los valores siguientes:

12, 13, 15, 15, 16, 16, 16, 17,17,17,17, 18,18,18,18 19,19,19,19, 20,20,20, 20, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 23, 23, 23, 24, 25, 25,

25, 26, 27, 27, 28,


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Distribucin de frecuencias con datos no agrupados.

Una vez reunidos los datos de un colectivo para obtener a partir de ellosconclusiones, es necesario organizarlos en una tabla de distribucin defrecuencias.

La tabla de distribucin de frecuencias es una funcin, ya que cadamedida est relacionada con un nmero que es su frecuencia y como talse puede puede expresar: como una lista, una grfica o una regla; enestadstica se hace con una lista que es la tabla de frecuencias o conuna grfica, por ejemplo, un diagrama de frecuencia de puntos.

Las distribuciones de una sola variable se clasifican en tres tipos, segnel nmero de observaciones y el nmero de valores distintos que tomala variable.


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A. Distribuciones del tipo Uno.

Son aquellas que constan de un reducido nmero de observacionesy en consecuencia de un reducido nmero de valores distintos quetoma la variable; para su presentacin no es necesaria una tcnicadeterminada, ya que adems casi no son susceptibles detratamiento estadstico, puesto que para que ste exista esnecesario un volumen considerable de observaciones.

B. Distribuciones del tipo DosSon las que el nmero de observaciones es grande, pero el nmero devalores distintos que toma la variable es pequeo; en este tipo, sedistribuyen o agrupan los resultados disponibles en dos columnas, una

para los valores distintos que toma la variable, y otra para la frecuenciade cada uno de ellos.


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Para determinar el grado de nutricin de 20 alumnos de secundaria se

toma la altura en centmetros de cada uno de ellos, y son:

Para facilitar su interpretacin se ordenan de forma ascendente odescendente, a este proceso se le llama orden de rango.

128 146 136 136 150

140 124 134 142 138

136 120 130 136 132

136 134 142 132 144

120 132 136 142

124 134 136 142

128 134 136 144

130 136 138 146

132 136 140 150


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Para proceder a organizar los datos se usa la tabla de frecuencia que

expresa el nmero de casos de cada categora ( es una distribucin deltipo Dos).

AlturaX1

Frecuencian1

AlturaX1

Frecuencian1

AlturaX1

Frecuencian1

120 1 130 1 140 1

121 0 131 0 141 0

122 0 132 2 142 2

123 0 133 0 143 0

124 1 134 2 144 1

125 0 135 0 145 0

126 0 136 5 146 1

127 0 137 0 147 0

128 1 138 1 148 0

129 0 139 0 150 2


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Frecuencia absoluta (para datos no agrupados).La frecuencia absoluta es el nmero de veces que aparece un

determinado valor enun estudio estadstico. Se representa por fi.Datos

XConteo Frecuencia

Absoluta

(fi)

Frecuencia

Absoluta

Acumulada

(Fi)

Frecuencia

Relativa

(fr)

Frecuencia

Relativa

Acumulada

Frecuencia

Relativa

Fr (%)

Frecuencia

Relativa

Acumulada

Fra (%)

0 III 3 3 3/30 = 0.100 0.100 10 10

1 IIII 4 7 4/30 = 0.133 0.233 13.3 23.3

2 IIIII III 8 15 8/30 = 0.267 0.500 26.7 50

3 IIIII III 8 23 8/30 = 0.267 0.767 26.7 76.7

4 IIII 4 27 4/30 = 0.133 0.900 13.3 90

5 III 3 30 3/30 = 0.100 1.000 10 100

n = 30 100


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C. Distribucin del tipo TRES.Si el nmero de observaciones y el nmero de valores que toma lavariable son grandes para su manejo se agrupan las observaciones enintervalos Li-1Li, eligiendo entre ellos una amplitud fija o variable, mismosque se anotarn en una primera columna; en la segunda, se tabularn losvalores para facilitar su conteo; y en la tercera, se pondr el nmero defrecuencia (f) correspondiente a cada intervalo.

Los grupos o categoras que incluye Li-1Lise llaman intervalos de clase;los valores Li-1 son lmites inferiores, y Li los limites superiores de estosintervalos.

ClasesLi-1Li

Tabulaciones Frecuencias (f)n1

L0L1 n1L1L2 n2

L2L3 n3

Lk-1Lk nk


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En un examen departamental de fsica se examinaron 50 alumnos con

los resultados siguientes:87 66 73 68 48

37 76 85 74 65

93 77 66 83 68

49 57 38 69 7889 96 78 97 74

76 68 63 70 81

64 83 67 61 90

77 88 74 75 8071 73 61 57 72

80 77 85 80 89

Expresar la tabla de frecuencias


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Resolucin

Expresamos los datos en forma ascendente:

37 65 73 78 85

38 66 73 78 85

48 66 74 78 8749 67 74 80 88

57 68 74 80 89

57 68 76 80 89

61 69 76 81 9061 70 77 83 93

63 71 77 83 96

64 72 77 85 97


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ClasesL

i-1L

i

Tabulaciones Frecuencias (f)n

i

35 - 39 II 2

40 - 44 0

45 - 49 II 2

50 - 54 0

55 - 59 II 2

60 - 64 IIII 4

65 - 69 IIII II 7

70 - 74 IIII III 8

75 - 79 IIII III 8

80 - 84 IIII I 6

85 - 89 IIII II 7

90 - 94 II 2

95 - 100 II 2


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Al disponer los datos primarios en una distribucin del tipo TRES comoen la tabla de frecuencias, tiene lugar una prdida de informacin, ya queno se consideran los resultados obtenidos en forma exacta, sino poraproximacin: no se dir que dicho valor se encuentra entre Li-1y Li.Como lo que interesa es elegir una amplitud constante o variable losuficientemente pequea para que la prdida sea lo menos posible, y almismo tiempo lo suficientemente grande para que el agrupamiento

presente una distribucin de no demasiados valores, pues de lo contrario,el haber hecho el agrupamiento perder su finalidad, es decir, lacomodidad del manejo.

Para facilitar el calculo es recomendable escoger estos intervalos de

manera que sus puntos medios sean mltiplos de nmeros como el 5 ocomo el 10 y generalmente no debe haber menos de 7 intervalos ni msde 15, aunque no hay normas fijas.

No es necesario que los intervalos de clase sean iguales, tampoco aqu

hay reglas fijas y cada uno elige el intervalo de clase ms adecuado.


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Antes de aplicar a la informacin los mtodos estadsticos, es necesariosustituir cada intervalo por un nmero, a este nmero se le llama marcade clasey es el valor central de cada intervalo, es decir, la mediaaritmtica de los lmites inferior y superior.

Marca de clase = Xi= (Li-1+ Li)/2 se abrevia (m.c)

Para obtener las marcas de clase del ejemplo anterior tenemos:

(35 + 39)/2 = 37 (70 + 74)/2 = 72(40 + 44)/2 = 42 (75 + 79)/2 = 77

(45 + 49)/2 = 47 (80 + 84)/2 = 82(50 + 54)/2 = 52 (85 + 89)/2 = 87(55 + 59)/2 = 57 (90 + 94)/2 = 92(60 + 64)/2 = 62 (95 + 100)/2 = 97.5(65 + 69)/2 = 67


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ClasesLi-1Li

Tabulaciones Frecuencias (f)ni

Marca de clase (m.c)Xi

35 - 39 II 2 37

40 - 44 0 42

45 - 49 II 2 47

50 - 54 0 52

55 - 59 II 2 57

60 - 64 IIII 4 62

65 - 69 IIII II 7 67

70 - 74 IIII III 8 72

75 - 79 IIII III 8 7780 - 84 IIII I 6 82

85 - 89 IIII II 7 87

90 - 94 II 2 92

95 - 100 II 2 975


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Observa: al poner la marca de clase se comete un errorde agrupamiento

pues las ni( frecuencias f)no son las veces que se repite el valor X ide lavariable, sino que son las veces que aparecen valores de la variableconsiderados entre Li-1Li.

Aceptamos que la prdida de informacin a que nos referimos y este errorde agrupamiento son absolutamente necesarios para que las

distribuciones del tipo TRES puedan recibir un tratamiento estadstico.

Para obtener el rango de un serial de datos, hay que identificar el valorms pequeo de los datos (Xm) y el valor ms grande de los datos (XM),entonces el RANGO (R) = XMXm.

El nmero de intervalos lo podemos obtener utilizando la siguientefrmula(esta formula es valida si el nmero de datos es menor que 200)

K = n ,Donde:

K = nmero de clases o intervalos de clase


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Para determinar la amplitud o ancho de clase que deber tener cada

intervalo, se aplica la siguiente formula:A = R/K

A = ancho del intervaloR = Rango de los datosK = nmero de clase o intervalo.

Limites reales o fronteras reales.

Los lmites reales son valores que unen a las clases y se formannicamente de nmeros enteros, estos se obtienen al restar 0.5 a los

limites de la izquierda y sumar 0.5 a los limites de la derecha; cuando lasclases tengan un decimal, habr que restar 0.05 a los limites de laizquierda y sumar 0.05 limites de la derecha y as sucesivamente.


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Pasos para la elaboracin de tablas de distribucin de frecuencias

Recopilacin de datos. Clasificacin de los datos de menor a mayor(opcional) Especificacin del nmero de clases. Clculo del tamao exacto del ancho de clase. Determinacin del tamao ajustado del ancho de clase. Identificacin de los limites de clase.

Conteo de los datos.

Los siguientes valores corresponden a la produccin mensual, en toneladas,de una empacadora de pltanos. Clasifique estos datos en clases de tamaouniforme: 782, 1333, 515, 1475, 696, 832, 1052, 700, 987, 542, 1296, 704,814, 1482, 1023, 739, 643, 956, 1023 y 784.

515 542 643 696 700

704 739 782 784 814

832 956 987 1023 1023

1052 1296 1333 1475 1482

Datos ordenados


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Determinacin del nmero de clases:

Nmero de clases = nmero de datos =20 = 4.47 = 5

Tamao del intervalo o ancho de clase:

Intervalo exacto = (Valor mayorValor menor) Nmero de clases

= (1482515) 5 = 193.4 se ajusta el tamao a 194

Determinacin de los limites de clase:Limite inferior de la clase = limite inferior de la clase anterior + tamao del intervalo

Limite inferior de la clase A = 515Limite inferior de la clase B = 515 + 194 = 709Limite inferior de la clase C = 709 + 194 = 903Limite inferior de la clase D = 903 + 194 = 1097Limite inferior de la clase E = 1097 + 194 = 1291


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Limite superior de la clase = limite inferior de la clase + intervalounidad de variacin.

Limite superior de la clase A = 515 + 1941 = 708Limite superior de la clase B = 709 + 1941 = 902Limite superior de la clase C = 903 + 1941 = 1096Limite superior de la clase D = 1097 + 194 - 1 = 1290Limite superior de la clase E = 1291 + 1941 = 1484

La tabla siguiente muestra los lmites de cada clase, as como el conteo de los datos.

Clase Limite inferior(toneladas)

Limite superior(toneladas)

Frecuencia(meses)

A 515 708 IIII II 6

B 709 902 IIII I 5C 903 1096 IIII I 5

D 1097 1290 0

E 1291 1484 IIII 4


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Soluciones alternativas:

Considerando cinco clases con intervalos uniformes de 200, y que stasdeben incluir todos los valores, puede seleccionarse a 500 como lmiteinferior de la primera clase, y a partir de este lmite identificar los dems.

Lmite inferior de la clase = lmite inferior de la clase anterior + tamao del intervalo.

Limite inferior de la clase A = 500Limite inferior de la clase B = 500 + 200 = 700Limite inferior de la clase C = 700 + 200 = 900Limite inferior de la clase D = 900 + 200 = 1100Limite inferior de la clase E = 1100 + 200 = 1300

Limite superior de la clase = limite inferior de la clase + intervalounidad de variacin.

Limite superior de la clase A = 500 + 2001 = 699Limite superior de la clase B = 700 + 2001 = 899Limite superior de la clase C = 900 + 2001 = 1099Limite superior de la clase D = 1100 + 200 - 1 = 1299

Limite superior de la clase E = 1300 + 2001 = 1499


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La siguiente tabla muestra los limites de cada clase, as como el conteo de los datos.

Lmites reales o Fronteras reales de clase.

El lmite inferior real de cada clase se calcula restando la mitad de la diferencia entreel lmite inferior de la clase siguiente y el lmite superior de la clase, esto es, la mitadde la unidad de variacin de los datos.

El lmite superior real de cada clase se calcula sumando la mitad de la diferenciaentre el lmite inferior de la clase siguiente y el lmite superior de la clase, esto es, la

mitad de la unidad de variacin de los datos.

ClaseLmite inferior(toneladas) Lmite superior(toneladas) Frecuencia(meses)

A 500 699 IIII 4

B 700 899 IIII III 7

C 900 1099 IIII I 5

D 1100 1299 I 1E 1300 1499 III 3


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Ejemplo.Determine los lmites reales o fronteras y la marca de clase de cada una delas clases de la siguiente tabla, en la que se presenta el peso, en libras, delos nios de una escuela primaria.

Clase Lmite Inferior(Lb)

Lmite superior(Lb)

A 101 115

B 116 130

C 131 145

D 146 160


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Solucin.Una formula para calcular el lmite inferior real de cada clase es la

siguiente:

Lmite inferior real de la clase = lmite inferior de la clase (lmite inferior de la clase siguiente

lmite superior de clase) 2Nota: el lmite inferior de la clase siguiente a la ltima es el lmite superior de la ltima clase,

ms la diferencia entre el lmite inferior de la ltima clase y el lmite superior de la penltimaclase.

A 101 - 115

B 116 - 130

C 131 - 145

D 146 - 160

161


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Lmite inferior real de la clase A = 101(116 115)/2 = 100.5

Lmite inferior real de la clase B = 116(131 130)/2 = 115.5

Lmite inferior real de la clase C = 131(146 145)/2 = 130.5

Lmite inferior real de la clase D = 146(161 160)/2 = 145.5

Lmite superior real de la clase = lmite superior de la clase + (lmite inferior de la clasesiguientelmite superior de clase) 2

Lmite superior real de la clase A = 115 + (116 115)/2 = 115.5

Lmite inferior real de la clase B = 130 + (131 130)/2 = 130.5

Lmite inferior real de la clase C = 145(146 145)/2 = 145.5

Lmite inferior real de la clase D = 160(161 160)/2 = 160.5


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Marca de la clase = (Lmite inferior de clase + Lmite superior de clase) 2

Marca de la clase A = (101 + 115)/2 = 108

Marca de la clase B = (116 + 130)/2 = 123

Marca de la clase C = (131 + 145)/2 = 138

Marca de la clase D = (146 + 160)/2 = 153

Clase Lmiteinferior

(lb)

LmiteSuperior

(lb)

Lmite inferiorReal

(lb)

Lmite superiorReal

(lb)

Marca declase

(lb)

A 101 115 100.5 115.5 108

B 116 130 115.5 130.5 123

C 131 145 130.5 145.5 138

D 146 160 145.5 160.5 153


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Construccin e interpretacin de grficas.

Una grfica vale ms que mil palabras, dice el refrn. Esto esparticularmente cierto en el caso de los anlisis estadsticos, donde losdatos al natural e incluso tabulados pueden ser abrumadores, difciles decomprender.

Grfica circular (de pastel).Las grficas circulares o grficas de pastel son figuras que representan,por medio de segmentos de crculo, la frecuencia, absoluta o relativa deuna tabla de distribucin de frecuencias.La presentacin de datos en esta forma es impresionante, sobre todo

cuando se les aaden efectos visuales tales como color y grosor a lossegmentos, o se separa alguno de ellos del centro.Estas grficas se preparan con base en el ngulo que resulta demultiplicar 360(los grados de un circulo) por la frecuencia relativa de cadaclase, por lo que su clculo es muy sencillo.


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Diagrama de barras:

Un grfico de barras es aquella representacin grfica bidimensional enque los objetos grficos elementales son un conjunto de rectngulosdispuestos paralelamente de manera que la extensin de los mismos

es proporcional a la magnitud que se quiere representar.Los rectngulos o barras pueden estar colocados horizontal overticalmente. En ste ltimo caso reciben tambin el nombre de grficosde columnas.

Utilizacin.Tpicamente se utilizan para

comparar magnitudes entre varias categoras o la evolucin en eltiempo (el cambio)de una determinada magnitud.La comparacin de la evolucin en el tiempo de varias categoras,

esto es, se suelen usar tambin para la mezcla de las dos utilidadesanteriores.


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Histograma.A modo de resumen un histograma es una grfica de barras que nospermite describir el comportamiento de un conjunto de datos, pero eneste caso las diferentes observaciones de una misma variable se graficanalrededor de un valor medio o central.


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Polgono de frecuencias.

Un polgono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras de undiagrama de barras mediante segmentos.

Tambin se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y

unindolos mediante segmentos.

HoraTemperatura

6 7

9 12

12 14

15 11

18 1221 10

24 8

T t i t d d t 19/02/2014
http://www.vitutor.net/2/11/graficas_estadistica.htmlhttp://www.vitutor.net/2/11/graficas_estadistica.htmlhttp://www.vitutor.net/2/11/graficas_estadistica.html


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Polgonos de frecuencia para datos agrupados

Para construir el polgono de frecuenciase toma la marca de claseque coincidecon el punto mediode cada rectngulode un histograma.

Ejemplo

El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:

ci fi Fi

[50, 60) 55 8 8[60, 70) 65 10 18

[70, 80) 75 16 34

[80, 90) 85 14 48

[90, 100) 95 10 58

[100, 110) 110 5 63

[110, 120) 115 2 65

65

T t i t d d t 19/02/2014
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Ojivas.La ojiva es el polgono de frecuencias acumuladas, es decir, que en ella sepermite ver cuntas observaciones se encuentran por encima o debajo deciertos valores, en lugar de solo exhibir los nmeros asignados a cadaintervalo.


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Grfica de tallo y hojas.

El Diagrama de Tallo y Hoja, a pesar de no ser un grfico definitivo para lapresentacin de datos, es fcil y rpido para realizar a mano, con el sepuede dar una mirada no pulida de los datos. Una ventaja de estediagrama sobre la distribucin de frecuencias consiste en que no pierde la

identidad de cada observacin. Es una tcnica estadstica para laprestacin de un conjunto de datos. Cada valor numrico se divide en 2partes. El dgito principal se convierte en el tallo y los dgitos secundariosen las hojas. El tallo se localiza a lo largo del eje vertical y los valores delas hojas se apilan unos contra otros a lo largo del eje horizontal.

Como construirlo? En un grfico de tallo y hoja cada valor de datos espartido en "un tallo" "y una hoja". "La hoja" es por lo general el ltimo dgitodel nmero y los otros dgitos a la izquierda "de la hoja" forman "el tallo".Por ejemplo, el nmero 136 sera partido como:TALLO: 13HOJA: 6


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1. Puede ordenar los datos de menor a mayor, esto ayudara a laorganizacin de los datos (Opcional)

2. Separe cada nmero en un tallo y una hoja.3. Agrupe los nmeros con los mismos tallos. Ponga los tallos en una listaen orden creciente.Veamos un Ejemplo con los siguientes 15 datos:35, 36, 38, 40, 42, 42, 44, 45, 45, 47, 48, 49, 50, 50, 50

Algunos software como SPSS o MINITAB pueden separar el Tallo en una

parte inferior(hojas desde el cero al 4) y otra superior (hojas desde el 5 al 9)

T t i t d d t 12/02/2014


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Media aritmtica de una distribucin de frecuencias

agrupadas

Para calcular la media aritmtica de una distribucin de frecuenciasagrupadas consideramos que todos los valores que hay dentro de unintervalo de clase se les considera de un mismo valor igual a la marca de

clase, y las frecuencias son las ponderaciones de los valores encorrespondencia con las marcas de clase y la suma de las frecuencias es eltotal de veces que se tiene registro.

Tratamiento de datos y azar 12/02/2014


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Ejemplo:Calcular la media aritmtica de la distribucin de frecuencias agrupadas dela tabla de frecuencias que obtuvimos anteriormente

ClasesLi-1Li

Tabulaciones Frecuencias (f)ni

Marca de clase (m.c)Xi

35 - 39 II 2 37

40 - 44 0 42

45 - 49 II 2 47

50 - 54 0 52

55 - 59 II 2 57

60 - 64 IIII 4 62

65 - 69 IIII II 7 67

70 - 74 IIII III 8 72

75 - 79 IIII III 8 77

80 - 84 IIII I 6 82

85 - 89 IIII II 7 87

90 - 94 II 2 92

95 - 100 II 2 975



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Intervalos Marca X Frecuencia ( f ) f( X )

35 - 39 37 2 74

40 - 44 42 0 0

45 - 49 47 2 94

50 - 54 52 0 0

55 - 59 57 2 114

60 - 64 62 4 248

65 - 69 67 7 469

70 - 74 72 8 576

75 - 79 77 8 616

80 - 84 82 6 49285 - 89 87 7 609

90 - 94 92 2 184

95 - 100 97.5 2 195

Suma 50 3671

T t i t d d t 12/02/2014


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fi= 50 fiXi = 3671

Sustituimos en

X = fiXifi= 3671 50 = 73.4

El valor de media obtenida da la frecuencia agrupada es suficientementeaproximado para trabajos de estadstica.

Mediana

La mediana de una distribucin de frecuencias para datos agrupadosinicialmente se calcula N 2A continuacin determinamos cul de las clases est a la mitad, y lellamaremos clase de la media, dentro de ella se localiza la mediana conuna interpolacin lineal en la forma siguiente:

T t i t d d t 12/02/2014


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Calcula la mediana de la distribucin de frecuencias.

Clases Frecuencias28.533.5 7

33.538.5 13

38.543.5 20

43.548.5 1148.553.5 5

Total 56

Resolucin

Como N = 56 N 2 = 56 2 = 28

En este ejemplo la clase de mediana es ( 38.543.5)



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Al observar la columna de las frecuencias y sumando 7 + 13 = 20 vemosque hay 20 frecuencias antes del valor de la clase media, los 8 que faltan

se interpolan en el ancho de la clase de la mediana, que en este ejemploes de 5; ( la diferencia de 43.538.5).

Interpolamos con la relacin proporcional (razones y proporciones); paraobtener el valor de 8 razonamos as:

20 es a 5 como 1 es a X

20:5::1:X20X = 5(1)

X = 5 / 20Como al 1 corresponden 5/20Para los 8 que faltan tenemos: 8(5/20) = 40/20 = 2Entonces 38.5 + 2 = 40.5 es el valor de la mediana

T t i t d d t 14/02/2014


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La moda de datos agrupadosLa moda en una distribucin de datos agrupados, es la marca del intervalo

de clase que contiene la mayor frecuencia. la moda variar segn la formade agrupar.Seala la moda de los valores siguientes



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X f12 1

13 1

14 0

15 2

16 3

17 4

18 4

19 5

20 4

21 3

22 5

23 624 1

25 3

26 1

27 2

28 1

Total 46

Valores sin agrupar

Clases Frecuencia

11.5 - 14.5 2

14.5 - 17.5 9

17.5 - 20.5 13

20.5 - 23.5 14

23.5 - 26.5 5

26.5 29.5 3

Total 46

Valores agrupados en 6 clases

En 4 clases

Clases Frecuencia11.5 - 16.5 716.5 - 21.5 20

21.5 - 26.5 16

26.5 - 31.5 3

Total 46



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la moda en los datos sin agrupar es 23, por corresponderle la mayor

frecuencia que es 6.Para valores agrupados:En el agrupamiento de 6 clases, la moda es 22, que es la marca de clasede 20.5 - 23.5 clase que contiene la mayor frecuencia ( 14 ).

En el agrupamiento de 4 clases, la moda es 19, que es la marca de clasede 16.5 - 21.5 clase que contiene la mayor frecuencia ( 20 ).

Al fin de atender la demanda salarial de un grupo de 11 trabajadores, seanaliza su ingreso en pesos y que son : 32, 40, 40, 45, 50, 55, 200, 300.

Media = X = (32+40+40+45+50+55+200+300)8 = $95.25Mediana = (45 + 50) 2 = $ 47.5Moda = $ 40.0



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Media Geomtrica.

la media, mediana y moda son las medidas de tendencia central msfciles de calcular y las de mayor aplicacin. otras dos medidas detendencia central se aplican en determinadas problemas y por ello, esconveniente conocerlas; stas son:Media Geomtrica.Media Armnica.

Media Geomtrica.se define como la raz n del producto de n trminos. su uso permite elclculo de tasas de crecimiento.

Media Geomtrica = nX1X2....Xnel crecimiento de las ventas de petrleo fue en los ltimos cuatro aos de8%, 16%, 17%, 19%.Calcula la media geomtrica anual de crecimiento.



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Resolucin

1 + 8 100 = 1.08 primer ao.1 + 16 100 = 1.16 segundo ao.1 + 17 100 = 1.17 tercer ao.1 + 19 100 = 1.19 cuarto ao.Media geomtrica = 41.08(1.16)(1.17)(1.19) = 41.742 = 1.15

1.15 - 1 = 0.15Media anual de crecimiento = 0.15(100) = 15%

Media armnica

la media armnica H de una serie de nmeros es el reciproco de la mediaaritmtica de los recprocos de los nmeros de la serie



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Calcular la media armnica de los nmeros 2,5,7.

Resolucin.

1/H = (1/2 + 1/5 + 1/7) 3 = (35 + 14 + 10)/70 3 = (59/70) 3 =59/210

1/H = 59/210

La media armnica es H = 210/59 = 3.559

Medidas de dispersin.

anteriormente estudiamos las medidas de tendencia central: mediaaritmtica, la mediana, la moda; y tambin la media geomtrica y lamedia armnica, que describen el comportamiento de los datos en unadistribucin de frecuencias.



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Estas medidas no proporcionan informacin sobre la forma en que estndistribuidos o dispersos los valores con relacin a la tendencia central, y

poco informan sobre un dato especifico con relacin a los otros en ladistribucin de frecuencias.

En un examen extraordinario de 40 alumnos que reprobaronmatemticas y fsica calificados sobre 30 puntos, obtuvieron las

calificaciones que se expresan en el cuadro de frecuencias agrupadasque se citan. Juan obtuvo 16 puntos en los dos exmenes que present,calcula qu resultado debe esperar en su calificacin.



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Clases

(calificaciones)

Frecuencias

Matemticas

Frecuencias

Fsica

0.5 - 3.5 2 3

3.5 - 6.5 4 3

6.5 - 9.5 9 0

9.5 - 12.5 10 1

12.5 - 15.5 8 2

15.5 - 18.5 4 2

18.5 - 21.5 0 7

21.5 - 24.5 2 924.5 - 27.5 1 12

27.5 - 30.5 0 1

Total 40 40



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Juan obtuvo 16 puntos en ambos exmenes. en matemticas sucalificacin ser bastante alta ya que slo hay 3 calificacionesmejores, y en el examen de fsica su resultado no es bueno porquehay 29 mejores que la suya.para la interpretacin de los resultados individuales de estosexmenes se necesita ms informacin que permita apreciar ladispersin de los valores en el entorno de la tendencia central.

RangoEn toda distribucin hay valores extremos, uno menor y otro mayor, ladiferencia entre estos valores se llama Rango y en l estndistribuidos todos los dems valores, por eso tambin se le llama

recorrido.



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Desviacin media.La desviacin media de los valores absolutos de las desviaciones de cada

uno de los valores de la variable, respecto a la media aritmtica, es ladesviacin media.La desviacin media es una medida de dispersin muy objetiva, y cuantomayor sea su valor mayor es la dispersin de los datos.Pero no proporciona una relacin matemtica precisa entre su magnitud y

la posicin de un dato dentro de la distribucin; adems, al tomarse losvalores absolutos, mide la desviacin de una observacin sin mostrar siest por encima o por debajo de la media aritmtica.

Se expresa:

desviacin media = DM = X-X N

Y para una distribucin frecuencias agrupadas:

DM = fX-X N



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y

Ejemplo:Calcular la DM de los nmeros: 6, 3, 4,12, 10, 2, 7, 5.

Inicialmente calculamos el valor de X (media aritmtica):

X = XN = (6+3+4+12+10+2+7+5)/8 = 6.12

Ahora, obtenemos la desviacin media

DM = XXN =(6-6.12+3-6.12+4-6.12+12-6.12+10-6.12+2-6.12+7-6.12+5-6.12) 8 = 21.24 8 = 2.655 es la desviacin media.

Calcula la desviacin media(DM) de la distribucin de frecuenciasagrupadas que citamos a continuacin.



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Clases

(estatura)

Frecuencias

(alumnos)

121.5126.5 2

126.5131.5 3

131.5136.5 8

136.5141.5 23

141.5146.5 27

146.5151.5 20

151.5156.5 16

156.5161.5 3

161.5166.5 2



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Clases(intervalos)

Marca(X)

f fX X-X fX-X

121.5126.5 124 2 248 20.62 41.24

126.5131.5 129 3 387 15.62 46.86

131.5136.5 134 8 1072 10.62 84.96

136.5141.5 139 23 3197 5.62 129.26141.5146.5 144 27 3888 0.62 16.74

146.5151.5 149 20 2980 4.38 87.60

151.5156.5 154 16 2464 9.38 150.08

156.5161.5 159 3 477 14.38 43.14

161.5166.5 164 2 328 19.38 38.76

Totales 104 15041 638.64



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Los datos numricos para llenar el cuadro para calcular la desviacinmedia (DM) se obtuvieron as:

a) Las clasestambin se suelen citar como intervalos.b) La marca o marca de clase es el punto medio entre los extremos de

un intervalo, en el ejemplo son:

(121.5 + 126.5) 2 = (248.0) 2 = 124

(126.5 + 131.5) 2 = (258.0) 2 = 129Y as se calculan las dems.c) Frecuencias (f), es el nmero de elementos que hay en el intervalo, setomaron del cuadro donde se organizaron las estaturas de los alumnosen forma ascendente.

d) f(X) es el resultado del producto de la marca de clase por la frecuencia(124)(2) = 248(129)(2) = 387

Y as se calcularon las dems.



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e) XXes el valor absoluto de la diferencia de X y X.El valor de X est dentro del intervalo correspondiente, por esotomamos el de la marca que lo representa.

El de X = fXN = 15041 104 = 144.62Operaciones para obtener los resultados de XX

124144.62 = 20.62

129144.62 = 15.62

134144.62 = 10.62

139144.62 = 5.62

144144.62 = 0.62

149142.62 = 4.38

154142.62 = 9.38

159142.62 = 14.38

164142.62 = 19.38



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f) Hechos los clculos necesarios para obtener los valores del cuadro,tenemos que la

Desviacin media DM = fXXN

DM = 638.64 104 = 6.14

Varianza

La varianza (S2) es la media aritmtica de los cuadrados de desviacionesrespecto a la media aritmtica.

Al calcular la desviacin media fue necesario no tomar en consideracin

los signos negativos y tomar los valores absolutos de las desviacionesrespecto a la media aritmtica.Si elevamos al cuadrado las desviaciones, logramos que todas lasdesviaciones den resultado positivo, sumando los cuadrados de lasdesviaciones y dividiendo entre N obtenemos la varianza.



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La varianza sirve de base para calcular la desviacin estndar o desviacintpica que es la ms importante de todas las medidas de dispersin.

La varianza (S2) para datos no agrupados se obtiene con:

S2= (XX)2N

Para datos agrupados:

S2= f(XX)2N

Calcula la desviacin media DM y la varianza de la serie de nmeros9, 11, 1, 8, 14, 5, 6, 7, 11, 9.

ResolucinCalculamos la media X

X = XN = (9 + 11 + 1 + 8 + 14 + 5 + 6 + 7 + 11 + 9) 10= 8110 = 8.1



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DM = XX N

= (9-8.1+11-8.1+1-8.1+8- 8.1+ 14 -8.1+5-8.1+6-8.1+7-8.1+11-8.1+9-8.1)10

= ( 0.9+2.9+7.1+0.1+5.9+3.1+2.1+1.1+2.9+0.9) 10 = 27 10

DM = 2.7

Para obtener la varianza, y como X = 8.1 sustituimos en

S2= (X - X )2N

=[(9-8.1)2+ (11-8.1)2+ (1-8.1)2+ (8-8.1)2+ (14-8.1)2+ (5-8.1)2+ (6-8.1)2+(7-8.1)2+ (11-8.1)2+(9-8.1)2]10

= [(0.9)2+ (2.9)2+ (7.1)2+(0.1)2+ (5.9)2+(3.1)2+(2.1)2+(1.1)2+(2.9)2+ (0.9)2

] 10 11 89

elizardo 2

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