Elipse

Elipse

• La elipse, se origina al cortar un cono con un plano que no pase por el vértice del cono y cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono es mayor que el de la generatriz del cono.

Vértice

Eje

Plano

Elipse Generatriz

La Elipse como lugar Geométrico

• Elipse es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Elementos de la Elipse

• En toda elipse convine considerar:

F y F´: Son los puntos fijos llamados focos.

2c: Se le llama distancia focal y es la distancia que hay entre los dos focos.

P: Cualquier punto de la elipse.

PF y PF´: Son los radio vectores de la elipse.

2a: Es la suma de los radio vectores.

B

B´

A A´

F F´

P

2a

2c

Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF´.

C: Es el centro de la Elipse.

B y B’ A y A’ : Son los vértices de la elipse.

AA’: Es el eje mayor de la elipse y su longitud es 2a.

BB’: Es el eje menor de la elipse y su longitud es 2b.

Elementos de la Elipse

B

B´

A A´

F F´

P

2a

2c

C

2b

Ecuación Analítica de la Elipse

• Para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c,0) y F' (– c,0).

• Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y).

• En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x.

• Entonces: PF + PF' = 2a.

• Aplicando Pitágoras tenemos que:

• Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces y desarrollamos los cuadrados

•A partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que:

a2 = b2 + c2 b2 = a2 – c2

•Piensa que cuando el punto P es (0,b) la hipotenusa debe medir a y el otro cateto c •Reemplazando en la ecuación tenemos que:

b2x2 + a2y2 – a2b2 = 0 b2x2 + a2y2 = a2b2

•Dividiendo entre a2b2 obtenemos que:

• Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser:

• Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 + a2y2 – 2xpb2 – 2yqa2 + p2b2 + q2a2 – a2b2 = 0 • Si hacemos: A = b2 B = a2 C = – 2pb2 D = – 2qa2 E = p2b2 + q2a2 – a2b2

• Tendremos la ecuación: Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los términos A y B no necesitan ser iguales.

Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0

Ejemplo

• Esbócese la elipse 9 + 25 = 225.

Al dividir entre 225 se obtiene:

Como el denominador de x2 es mayor que y2, el eje

mayor esta a lo largo de el eje x.

Además a2 = 25, b2 = 9 y c2 = 16 por consiguiente los vértices están en ( ±5, 0), los extremos del eje menor en ( 0, ±3) y los focos en ( ±4, 0).

1925

22

yx

2x

2x 2y

Para recordar…

Caso particular de la elipse

Caso particular de la elipse

1

44

22

yx

2

4

4

2

22

r

r

yx

)0,0cos(

04422

fo

cba

No hay eje mayor, ni eje menor porque son iguales

Ejercicios