eletrÔnica de potÊncia circuitos com formas de ondas ... · observe que as funções periódicas...
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1
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA
CIRCUITOS COM FORMAS DE
ONDAS PERIÓDICAS
NÃO SENOIDAIS
APLICAÇÃO DA SÉRIE DE FOURIER
(REVISÃO)
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2005
2
CIRCUITOS COM FORMAS DE ONDA PERIÓDICAS NÃO SENOIDAIS
SÉRIE DE FOURIER (REVISÃO)
1. FUNÇÕES PERIÓDICAS Uma função f(t) é periódica se:
f(t+T) = f(t) para -∞< t < ∞. [1]
Figura 1- Funções Periódicas O menor T que satisfaz a equação [1] é chamado de período de f(t). A equação [1] implica que f(t + n.T) = f(t); ∀ t no intervalo -∞< t < t; sendo n inteiro. As funções periódicas são completamente especificadas por seus valores em qualquer período. Seja fT(t) = f(t).[u(t-t0) – u(t-t0-T)] [2] Onde u(t) é o degrau unitário
Então ( )∑∞
−∞=
+=n
T Tntftf .)( [3]
A função fT(t) é chamada de gerador de f(t).
T
T
t t+Tt
f(t)
T
f(t)
tt t+T
f(t) = f(t+T)
3
Funções periódicas possuem propriedades de simetria que facilitam sua análise. Função par é uma função periódica que f(-t) = f(t).
Figura 2 - Função par Quando a função é par ela possui simetria com relação ao eixo das ordenadas (eixo y).
Função ímpar é uma função periódica que f(-t) = -f(t).
Figura 3 - Função ímpar Quando a função é ímpar ela possui simetria com relação à origem. Das figuras 2 e 3 acima verifica-se que:
( )[ ] ( )
( )[ ] ( ) ímpar função uma é .sen..sen.
par função uma é .cos..cos.
tAtA
tAtA
ωω
ωω
−=−
=−
Soma de funções pares resultam em uma função par:
( ) ( ) ( )tgKtfKth ppp .. 21 += , onde K1 e K2 são escalares, fp, gp e hp são funções pares.
ωωωωt−ω−ω−ω−ωt
ωωωωt
f(ω(ω(ω(ωt)
A
A.cos(ωωωωt)
ωωωωt−ω−ω−ω−ωt
ωωωωt
f(ω(ω(ω(ωt)
A
A.sen(ωωωωt)
A1
-A1
4
Soma de funções ímpares resultam em uma função ímpar:
( ) ( ) ( )tgKtfKth iii .. 21 += , onde K1 e K2 são escalares, fi, gi e hi são funções ímpares.
Produto de funções pares resultam em uma função par:
( ) ( ) ( )].[].[ 21 tgKtfKth ppp ⋅= , onde K1 e K2 são escalares, fp, gp e hp são funções pares.
Produto de funções ímpares resultam em uma função ímpar:
( ) ( ) ( )].[].[ 21 tgKtfKth iii ⋅= , onde K1 e K2 são escalares, fi, gi e hi são funções ímpares.
Produto de funções pares por funções ímpares resultam em uma função ímpar:
( ) ( ) ( )].[].[ 21 tgKtfKth ipi ⋅= , onde K1 e K2 são escalares, fi é uma função par, e gi e hi
são funções ímpares. Qualquer função periódica f(t) pode ser expressa como sendo a soma de uma função par com uma função ímpar.
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) [4c]
[4b] 2
[4a] 2
tftftf
tftftf
tftftf
ip
i
p
=+
−−=
−+=
Definições importantes: Valor médio ou média de uma função periódica f(t):
∫+
=Tt
tmédio dttf
Tf
0
0
).(1
[5]
Valor médio quadrado de uma função periódica f(t) (é chamado de potência média em f(t)):
∫+
=Tt
tmédio dttf
Tf
0
0
.)(1 22
[6]
Raiz quadrada do valor médio quadrado, ou valor rms de uma função periódica f(t):
∫+
==Tt
tmédiorms dttf
Tff
0
0
.)(1 22
[7]
5
2. SÉRIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER Se uma função periódica f(t) obedece às condições de Dirichlet, então a função pode ser representada pela série trigonométrica de Fourier. É bom ressaltar que as condições de Dirichlet são suficientes, mas não necessárias, pois existem funções periódicas que não obedecem a estas condições, e, no entanto possuem série de Fourier. As condições de Dirichlet são:
1. f(t) é contínua por partes 2. f(t) possui um número de máximos e mínimos finitos em qualquer intervalo
finito.
3. f(t) é absolutamente integrável sobre um período, isto é: ( )∫ ∞<T
dttf0
.
A série trigonométrica de Fourier é dada por:
( ) ( ) ( )[ ] [rad/s] onde T
tnbtnaa
tf
n
nn
πωωω
2.sen.cos
2 1
0 =++= ∑∞
=
[8]
an e bn são os coeficientes da série de Fourier e dependem de f(t)
( )
( )
...
..sen).(2
..cos).(2
0
0
0
0
3. 2, 1, 0,=
⋅=
⋅=
∫
∫
+
+
n
dttntfT
b
dttntfT
a
Tt
tn
Tt
tn
ω
ω
[9a]
Outra forma de expressar an e bn em função da variável ωt e período 2π, que é muito comum em engenharia elétrica, é dada abaixo:
( ) ( )
( ) ( )
...
..sen).(1
..cos).(1
2
0
2
0
3. 2, 1, 0,=
⋅=
⋅=
∫
∫
n
tdtntfb
tdtntfa
n
n
π
π
ωωπ
ωωπ
[9b]
Podemos observar que o primeiro termo da série, a0/2 é o valor médio da função f(t). Na análise de circuitos elétricos, é mais conveniente representar-se a série de Fourier combinando-se os termos em seno e cosseno em um único termo em seno ou cosseno (série de Fourier trigonométrica compacta).
6
Figura 4
( ) ( )
−=+=
==
++= ∑∞
=
n
n
nnnn
n
nn
a
bbac
tfac
tncctf
arctan
)( de médio valor 2/
.cos.
22
00
10
θ
θω
[10]
ou
( ) ( )
=+=
==
++= ∑∞
=
n
n
nnnn
n
nn
b
abac
tfac
tncctf
arctan
)( de médio valor 2/
.sen.
22
00
10
φ
φω
[11]
3. INFLUÊNCIA DA SIMETRIA SOBRE OS COEFICIENTES DE FOURIER
3.1. SIMETRIA PAR Funções periódicas com simetria par são do tipo ( ) ( )tftf −= . Para as funções periódicas com simetria par, as equações usadas para calcular os coefi-cientes da série de Fourier se reduzem a:
( )tnan .cos. ω ( )tnsenbn .. ω
( ) ( )tnsenbtna nn ..cos. ωω + Θ
n
φn
an
bn
cn
7
( )
( ) ( )
... 3, 2, 1, 0
... 3, 2, 1, ...cos.4
.2
2/
0
2/
00
==
==
=
∫
∫
kb
kdttktfT
a
dttfT
a
k
T
k
T
ω [12]
Observe que as funções periódicas com simetria par, não possuem termos em seno. 3.2. SIMETRIA ÍMPAR Funções periódicas com simetria ímpar são do tipo ( ) ( )tftf −−= . Para as funções periódicas com simetria ímpar, as equações usadas para calcular os coe-ficientes da série de Fourier se reduzem a:
( ) ( ) ... 3, 2, 1, ... 3, 2, 1, ...sen.4
... 3, 2, 1, 0
0
2/
0
0
===
==
=
∫ kkdttktfT
b
ka
a
T
k
k
ω
[13]
Observe que as funções periódicas com simetria ímpar, não possuem termos em cosse-no, e seu valor médio é nulo. 3.3. SIMETRIA DE MEIA ONDA Funções periódicas com simetria de meia-onda são do tipo
( ) ( ) ( )22TtfTtftf −−=+−= .
Figura 5 - Simetria de meia onda
T/2
t
t+(T/2)
A
-A
T
t
f(t)
8
Para as funções periódicas com simetria de meia-onda, as equações usadas para calcular os coeficientes da série de Fourier se reduzem a:
( ) ( )
( ) ( ) ímpar) ( ... 5 3, 1, ...sen.4
par) ( ... 6, 4, 2, 0
ímpar) ( ... 5 3, 1, ...cos.4
par) ( ... 6, 4, 2, 0
0
2/
0
2/
0
0
kkdttktfT
b
kkb
kkdttktfT
a
kka
a
T
k
k
T
k
k
∫
∫
==
==
==
==
=
ω
ω [14]
Observe que as funções periódicas com simetria de meia-onda, só possuem termos ím-pares, e seu valor médio é nulo. 3.4. SIMETRIA DE QUARTO DE ONDA Funções periódicas com simetria de quarto de onda são funções que possuem simetria de meia-onda e, além disso, simetria em relação ao ponto médio dos semiciclos positivo e negativo. Quando uma função possui simetria de quarto de onda, sempre é possível torná-la com simetria par ou ímpar.
Figura 6 - (a) simetria de quarto de onda par (b) simetria de quarto de onda ímpar
t
f(t)
t
f(t)
(a)
(b)
9
Para as funções periódicas com simetria de quarto de onda, com simetria par, as equa-ções usadas para calcular os coeficientes da série de Fourier se reduzem a:
( ) ( )
)(qualquer ... 3, 2, 1, 0
ímpar) ( ... 5 3, 1, ...cos.8
)par ( ... 6 4, 2, 0
0
4/
0
0
kkb
kkdttktfT
a
kka
a
k
T
k
k
==
==
==
=
∫ ω
[15]
Observe que as funções periódicas com simetria de quarto de onda, com simetria par, só possuem termos ímpares em cosseno, e seu valor médio é nulo. Para as funções periódicas com simetria de quarto de onda, com simetria ímpar, as e-quações usadas para calcular os coeficientes da série de Fourier se reduzem a:
( ) ( ) ímpar) ( ... 5 3, 1, ...sen.8
)par ( ... 6 4, 2, 0
) (todo ... 3, 2, 1, 0
0
4/
0
0
kkdttktfT
b
kkb
kka
a
T
k
k
k
∫ ==
==
==
=
ω
[16]
Observe que as funções periódicas com simetria de quarto de onda, com simetria ímpar, só possuem termos ímpares em seno, e seu valor médio é nulo. Exemplo 1 Calcular os coeficientes a1 e b1 da série de Fourier da senóide recortada de amplitude A como mostra a figura 7 abaixo.
Figura 7
seno
α
β
f(ωωωωt)
ωωωωt
2π
A
10
Solução: Das relações [9b] vem que:
Exemplo 2 Calcular a série de Fourier do trem de pulsos de amplitude A e período T da figura 8 a seguir.
Figura 8 Solução: Das relações [9a] vem que:
Portanto, escrevendo f(t) em termos dos coeficientes an e bn vem que:
)](sen)([sen2
)()cos()sen(.1
)()cos()(1 22
2
01 αβ
πωωω
πωωω
π
β
α
π
−−−−============ ∫∫∫∫∫∫∫∫A
tdttAtdttfa
(((( ))))
−−−−++++−−−−============ ∫∫∫∫∫∫∫∫ 2
)2sen()2sen(2
)()sen()sen()()sen()(1 2
01
βααβ
πωωω
πωωω
π
β
α
πA
tdttA
tdttfb
T
T1
A
t
f(t)
)]1[sen(.
2)cos(.
2)cos()(
21
0
0
0
TnTn
AdttnA
Tdttntf
Ta
TTt
t
n ωωω ∫∫ ===
+
)]1cos(1[.
2)sen(.
2)sen()(
21
0
0
0
TnTn
AdttnA
Tdttntf
Tb
TTt
t
n ωωω −=== ∫∫+
T
TAdtA
Tdttf
T
aTTt
t
1..
1).(
1
2
1
0
00
0
∫∫ ===
+
[ ]∑∞
=
−++=1
)sen()]1cos(1[)cos()1sen(.
2
2
1.)(
n
tnTntnTnTn
ATAtf ωωωω
11
4. A SÉRIE DE FOURIER, O PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO E O CÁLCU-LO FASORIAL.
O principal conceito que se pode inferir da série de Fourier trigonométrica aplicada na análise de circuitos lineares que possuem geradores de tensão e/ou corrente com formas de ondas periódicas não senoidais, caracteriza-se pelos seguintes pontos:
a) O gerador de forma de onda não senoidal pode ser substituído por uma soma de geradores senoidais com amplitudes e freqüências dos respectivos harmônicos da série de Fourier de sua forma de onda periódica, além de um gerador constan-te (corrente contínua) com amplitude correspondente ao valor médio da forma de onda.
b) Se o circuito for linear pode-se aplicar o princípio da superposição, isto é, a res-posta do circuito é a soma das respostas de cada termo (a cada gerador) da série de Fourier.
c) Se estivermos interessados apenas na resposta no regime permanente, pode-se utilizar a análise fasorial para se encontrar as respostas de cada termo (de cada gerador) senoidal (e/ou cossenoidal) da série de Fourier. Neste caso, facilita-se o trabalho se a série estiver escrita em sua forma compacta, isto é, ou somente em termos de seno ou de cosseno (ver item 2).
Figura 8 - Ilustração do Princípio da Superposição
REDE REDE
ω0000
REDE
i0(t)
ω1111
REDE
i1(t)
ωn
REDE
in(t)
i(t)
i(t)
Fonte Original Fontes Equivalentes Superposição
∑∞
==0n
(t)nii(t)
12
Vf(t)
Vfo
nte =
Vc
arg
a
R
L VL
VR
i
ωωωωt0 2πππππ/2π/2π/2π/2 ππππ
300
Cosseno
Exemplo 3 Suponha um gerador de onda quadrada, de amplitude A e freqüência f Hertz (ou ω=2π.f rad/s) alimentado uma carga RL, conforme a figura 9 abaixo. Deseja-se determinar a corrente de regime permanente do circuito.
Figura 9 - Circuito RL série
A série de Fourier da função vf(t), com forma de onda quadrada, é dada por:
( ) ( )ímpar
.sen4
1
nn
tnAtv
n
f ∑∞
=
⋅
=
ω
π
A solução será dada pela série de Fourier da corrente, onde cada harmônico de corrente pode ser calculado a partir de cada harmônico de tensão, dividindo-se o fasor tensão pela impedância calculada na freqüência do respectivo harmônico. O fasor corrente de cada harmônico é dado por:
( )( ) ( )
RLnLnR
nA
Z
VI
nn
nn
nn.arctan.
0.4
22
0
ωω
π
φ
θϕ
+==
Portanto a corrente do circuito é dada pela seguinte série de Fourier:
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))(((( ))))R
Lntn
LnRn
Ati .arctan.sen
..
1422
ωωωπ
−−−−++++
⋅⋅⋅⋅==== ∑∑∑∑
Exemplo 4 A onda de tensão da figura a seguir é aplicada a um circuito série RL com R
igual a 2000 Ω e L igual a 10 H. Achar a tensão no resistor empregando a série trigo-nométrica de Fourier.
Figura 10 - Forma da tensão
produzida por um retificador de meia onda.
13
Solução: A onda aplicada possui simetria par, portanto, contém apenas termos em cos-seno, cujo os coeficientes são obtidos pela integração:
cos(nπ/2) é -1 quando n = 2, 6, 10, ... é +1 quando n = 4, 8, 12, ... cos(nπ/2) é 0 quando n é ímpar Para n igual a 1 a expressão é indeterminada e deve ser calculada separadamente.
O valor de a0/2, que é o valor médio da função é dado por:
Assim, a série de Fourier da onda de tensão aplicada ao circuito RL série é dada por:
A impedância total do circuito série é Z = R + j(n.ωL) e deve ser calculada para cada harmônico na expressão da tensão v. Os resultados são mostrados na tabela abaixo.
n n.ω R n.ωL |Z| θ 0 1 2 4 6
0 377 754
1508 2262
2k 2k 2k 2k 2k
0 3,77k 7,54k
15,08k 22,62k
2k 4,26k 7,78k 15,2k 22,6k
0o 62o
75,1o
82,45o 84,92o
Calculando-se os coeficientes para a série da corrente (observando os ângulos de atra-so), temos:
n = 0 ⇒ k
I2
/3000
π=
n = 1 ⇒ )62cos(26,4
2/3001
o−= tk
I ω
( ) ( ) ( ) ( )2/cos)1(
600..cos.cos.300
12
2/
2/
ππ
ωωωπ
π
π
nn
tdtntan ⋅−
=⋅= ∫−
( ) ( )2
300
2
)2sen(
2
300.cos.300
12/
2/
2/
2/
21 =
+⋅=⋅=
−−∫
π
π
π
π
ωω
πωω
π
tttdta
[ ]π
=ωπ
=ωω⋅π
= ∫π
π−
π
π−
300
2
300300
2
1
2
2
2
2
20
/
/
//
)tsen()t(d).tcos(.a
−+−++⋅= ...)6cos(35
2)4cos(
15
2)2cos(
3
2)cos(
21
300ttttv ωωωω
π
π
14
n = 2 ⇒ )1,752cos(78,7
3/6002
o−= tk
I ωπ
etc
A série da corrente é, então:
Fazendo-se o produto da corrente i pelo resistor de 2k vem que a tensão no resistor é:
VALOR MÉDIO E RMS DE UMA FUNÇÃO PERIÓDICA 4.1. VALOR MÉDIO O valor médio de uma função periódica, conforme já visto, é dado pela equação abaixo:
∫+
==Tt
tmédio dttf
TFf
0
0
).(1
0 [17]
Representando-se f(t) por sua expansão em série de Fourier, tem-se:
( )2
...sen.1 0
01
000
0
acdttncc
TF
Tt
tn
nn ==
++⋅= ∫ ∑
+ ∞
=
θω [18]
4.2. VALOR RMS O valor médio de uma função periódica, conforme já visto, é dado pela equação abaixo:
∫+
==Tt
tRRMS dttf
TFf
0
0
.)(1 2
[19]
Representando-se f(t) por sua expansão em série de Fourier, tem-se:
( ) dttnccT
FTt
tn
nnR ...sen.1
2
10
0
0∫ ∑
+ ∞
=
++⋅= θω [20]
A integração, em um período, de termos em seno, ou produtos de termos em seno com freqüências distintas é nula. Portanto, a equação anterior se reduz a:
...)92,846cos()6,22(35
600
)45,824cos()2,15(15
600)1,752cos(
)78,7(3
600)62cos(
26,4)2(
300
2
300
−−+
+−−−+−+=
o
ooo
tk
tk
tk
tkk
i
ωπ
ωπ
ωπ
ωπ
...)92,846cos(483,0
)45,824cos(67,1)1,752cos(4,16)62cos(4,705,95
−−−−−−−−++++
++++−−−−−−−−−−−−++++−−−−++++====
o
ooo
t
tttvR
ωωωω
ωωωωωωωωωωωω
15
∑∑∞
=
∞
=
+=
+=
1
2
20
1
220
22..
1
n
n
n
n
R
cc
cTTc
TF [21]
Observa-se, portanto, que o valor rms consiste na raiz quadrada da soma dos quadrados dos valores rms dos harmônicos individuais mais o quadrado do valor médio da função periódica. 5. ONDULAÇÃO E FATOR DE ONDULAÇÃO DE TENSÕES E CORRENTES
PERIÓDICAS NÃO SENOIDAIS. Considere um dipolo de um circuito linear a parâmetros concentrados som uma tensão e corrente periódicas não senoidais, descritas pelas séries de Fourier abaixo:
( )
( )∑
∑
∞
=
∞
=
++=
++=
1
1
.sen
.sen
n
inpnDC
n
vnpnDC
tnIIi
tnVVv
θω
θω
[22]
onde: VDC – valor da componente contínua da tensão (valor médio da tensão)
Vpn – amplitude do harmônico de ordem n da tensão (valor de pico) θvn – ângulo de fase do harmônico de ordem n da tensão IDC – valor da componente contínua da corrente (valor médio da corrente) Ipn – amplitude do harmônico de ordem n da corrente (valor de pico) θin – ângulo de fase do harmônico de ordem n da corrente
A partir dos resultados do item 5.2, pode-se determinar os valores rms (eficazes) da ten-são e da corrente através das equações abaixo:
∑
∑
∞
=
∞
=
+=
+=
1
22
1
22
n
nDCR
n
nDCR
III
VVV
[23]
onde: 2pnn VV = é o valor rms (eficaz) do harmônico de ordem n da tensão
2pnn II = é o valor rms (eficaz) do harmônico de ordem n da corrente
Os somatórios dentro das equações [23], referem-se à soma dos quadrados dos valores rms (eficazes) dos componentes harmônicos da tensão e da corrente. Como os compo-nentes harmônicos são senóides e, portanto possuem médias nulas, as somatórias refe-rem-se, portanto, ao quadrado do valor rms da componente CA das formas de onda,
16
denominada de ondulação. As componentes CA (ou de ondulação) da tensão e da cor-rente são, portanto, definidas pelas equações a seguir:
22
1
2
22
1
2
DCR
n
nCA
DCR
n
nCA
IIII
VVVV
−==
−==
∑
∑
∞
=
∞
=
[24]
A partir das equações [24], define-se os fatores de ondulação da tensão e da corrente, conforme as equações abaixo:
%100% spercentuai valores em ou,
%100% spercentuai valores em ou,
••••========
••••========
ii
DC
CA
i
vv
DC
CA
v
rrI
Ir
rrV
Vr
[25]
onde: rv é fator de ondulação de tensão, e ri é o fator de ondulação de corrente. Observe que para uma tensão (ou corrente) com forma de onda puramente alternada, o fator de ondulação é infinito, e para uma tensão (ou corrente) com forma de onda cons-tante, o fator de ondulação é nulo. 6. POTÊNCIA E FATOR DE POTÊNCIA EM CIRCUITOS LINEARES COM
CORRENTES E TENSÕES PERIÓDICAS NÃO SENOIDAIS. Considere um dipolo de um circuito linear a parâmetros concentrados som uma tensão e corrente periódicas não senoidais, descritas pelas séries de Fourier das equações [22]. A potência instantânea nos terminais deste dipolo será dada pelo produto v.i. A potência média (ou eficaz) deste dipolo será, portanto:
( ) ( )∫ ∑∑
∫∫
+ ∞
=
∞
=
++
++
++=
==
Tt
tn
inpnDC
n
vnpnDC
Tt
t
Tt
t
dttnIItnVVT
P
dtivT
dtpT
P
0
0
0
0
0
0
11
.sen..sen1
..1
.1
θωθω
[26]
Tendo em vista que os termos em seno e os termos com produto de senos de freqüências distintas possuem integrações nulas em um período, tem-se o seguinte resultado para a equação anterior:
17
( ) ( )
onde cos..
cos..cos2
..
1
11
invnnn
n
nnDCDC
invn
n
nnDCDCinvn
n
pnpn
DCDC
IVIVP
IVIVIV
IVP
θθϕϕ
θθθθ
−=+=
−+=−+=
∑
∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
[27]
A equação [26] mostra que a potência média (eficaz) total é a soma das potências mé-dias obtidas a partir da interação de correntes e tensões com a mesma freqüência; cor-rentes e tensões com freqüências diferentes não interagem para produzir potência média (eficaz). Da mesma forma que é definida para circuitos com tensões e correntes senoidais, defi-ne-se também a potência aparente para circuitos com tensões e correntes periódicas não senoidais como sendo o produto da tensão rms (eficaz), com a corrente rms (eficaz), conforme a equação abaixo:
∑∑∞
=
∞
=
+⋅+=⋅=1
22
1
22
n
nDC
n
nDCRR IIVVIVS [28]
Convém chamar atenção aqui que o termo potência eficaz, refere-se à potência média, isto é, o valor médio da potência instantânea, ao passo que os termos tensão e corrente eficazes referem-se aos valores rms da tensão e da corrente. A partir das equações [27] e [28], determina-se o fator de potência, que é definido como sendo a relação entre a potência média (eficaz) e a potência aparente, conforme a equa-ção abaixo:
∑∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
+⋅+
+
=
==
1
22
1
22
1
cos..
.
n
nDC
n
nDC
n
n
nnDCDC
RR
IIVV
IVIV
fp
IV
P
S
Pfp
ϕ
[29]
Observe da equação [29], que quando as formas de onda de corrente e tensão não são senoidais, o fator de potência não pode ser igualado a cos(ϕ), onde ϕ é o ângulo da im-pedância do circuito. 6.1. POTÊNCIA E FATOR DE POTÊNCIA QUANDO UMA DAS FORMAS DE
ONDA (TENSÃO OU CORRENTE) FOR SENOIDAL. É muito comum em circuitos de eletrônica de potência ocorrer que uma da formas de onda, geralmente a tensão, de um determinado dipolo seja senoidal, enquanto que a cor-rente do mesmo é periódica, mas não senoidal. Neste caso, as equações dos itens anteri-ores podem ser simplificadas conforme apresentado a seguir.
18
Seja um dipolo, cujas formas de onda de tensão e corrente possam ser representadas pelas equações abaixo:
( )
( )∑∞
=
++=
+=
1
11
.sen
.sen
n
inpnDC
vp
tnIIi
tVv
θω
θω
[30]
Então, o cálculo da potência média (equações [26] e [27]) se reduz a:
111 cos. ϕIVP = [31] Logo, pode-se observar que apenas o componente de primeiro harmônico da corrente é responsável pela potência média (eficaz). Os demais componentes, tanto o DC, quanto os harmônicos não produzem potência média. A potência aparente do dipolo será dada então por:
∑∞
=
+⋅=⋅=1
2211
n
nR IIVIVSDC
[32]
O fator de potência, neste caso, é determinado pela equação abaixo:
( )( )
( )senoidais correntes para 11
coscoscos.
1
22
1
1
1
22
11
1
111
=≤
+
=
⋅=
+
=⋅
==
∑
∑
∞
=
∞
=
δδ
ϕδϕϕ
n
n
n
n
R
II
I
II
I
IV
IV
S
Pfp
DC
DC
[33]
Quando a forma de onda da corrente possuir componente DC (médio) nulo, as equações da potência aparente e do fator de potência podem ser reescritas conforme a seguir:
( )( )
Harmônico Distorção de Fator :FDH 1
coscoscos.
1
2
1
1
1
2
11
1
111
1
211
≤=
⋅==⋅
⋅==
⋅=⋅=
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
n
n
n
n
R
n
nR
I
IFDH
FDH
I
I
IV
IV
S
Pfp
IVIVS
ϕϕϕ
[34]
19
Pode-se, então, desenvolver-se a expressão da potência aparente.
( ) 221
2
221
211
2 . DSIVIVSn
n +=
⋅+= ∑
∞
=
[35]
onde: S1 é a potência aparente de primeiro harmônico D é denominada de potência de distorção harmônico A potência aparente S1 é a potência aparente para formas de onda senoidais e pode ser escrita em termos da potência média (ativa ou eficaz) e da potência reativa, ambas de primeiro harmônico.
( )
( )1111
1111
21
21
21
sen.
cos.
ϕ
ϕ
IVQ
IVP
QPS
=
=
+=
[36]
Logo, a equação [35] pode ser reescrita conforme a equação [37], mostrando que a po-tência aparente total é composta de um componente de potência ativa, devido ao primei-ro harmônico, um componente de potência reativa devido ao primeiro harmônico, e um componente de distorção harmônica, devidos aos demais harmônicos de corrente.
221
21
2 DQPS ++= [37] A equação [37] define um tetraedro de potências, ao invés de um triângulo de potências como é o caso de circuitos com formas de onda puramente senoidais.
D
S
S1
P1
Q1
20
A
-A
ωωωωt0 ππππ 2π2π2π2π
A
ωωωωt0 ππππ 2π2π2π2π−π−π−π−π
A
-A
ωωωωt0 ππππ 2π2π2π2π−π−π−π−π
Série de Fourier de algumas formas de onda
-------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------
++++++++++++++++==== ...ωt)(ωt)(ωt)(t(
π
Atf 7sen
71
5sen51
3sen31
)sen4
)( ωω
++++++++++++++++++++==== ...)7cos(
2)7(
1)5cos(
2)5(
1)3cos(
2)3(
1)cos(
24
2)( tttt
AAtf ωωωω
πω
++++++++−−−−++++−−−−==== ...)5sen(
51
)4sen(41
)3sen(31
)2sen(21
)sen(2
)( tttttA
tf ωωωωωπ
ω
21
A
ωωωωt0 ππππ 2π2π2π2π−π−π−π−π
meio ciclode senóide
A
ωωωωt0 ππππ 2π2π2π2π−π−π−π−π−2π−2π−2π−2π 3π3π3π3π
2αααα
αααα
-------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------
A
ωωωωt0 ππππ 2π2π2π2π−π−π−π−π
meio ciclode senóide
−−−−
⋅⋅⋅⋅−−−−
⋅⋅⋅⋅−−−−
⋅⋅⋅⋅−−−−
⋅⋅⋅⋅−−−−++++==== ...)8cos(
972
)6cos(75
2)4cos(
532
)2cos(31
2)sen(
21)( ttttt
Atf ωωωωω
π
πω
++++
⋅⋅⋅⋅−−−−
⋅⋅⋅⋅++++
⋅⋅⋅⋅−−−−
⋅⋅⋅⋅−−−−==== ...)8cos(
972
)6cos(75
2)4cos(
532
)2cos(31
21
2)( tttt
Atf ωωωω
πω
++++−−−−++++−−−−−−−−==== ...
44cos4sen
33cos3sen
22cos2sen
1cossen22
)(αααααααα
ππ
αω
AAtf
22
A
ωωωωt0 2π2π2π2π−2π−2π−2π−2π−4π−4π−4π−4π
-------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------
A
ωωωωt0 2π2π2π2π−2π−2π−2π−2π 4π4π4π4π
++++++++++++++++++++==== )...5sen(
51
)4sen(41
)3sen(31
)2sen(21
)sen(2
)( tttttAA
tf ωωωωωπ
ω
++++++++++++++++−−−−==== )...5sen(
51
)4sen(41
)3sen(31
)2sen(21
)sen(2
)( tttttAA
tf ωωωωωπ
ω
A
ωωωωt0
ππππ
2π2π2π2π
−π−π−π−π−2π−2π−2π−2π
-A
++++++++++++++++++++−−−−
++++
++++++++++++++++++++====
)...11sen(111
)9sen(91
)7cos(71
)5cos(51
)3cos(31
)sen(2
...)9sen(2)9(
1)7cos(
2)7(
1)5cos(
2)5(
1)3cos(
2)3(
1)cos(
24
)(
ttttttA
tttttA
tf
ωωωωωωπ
ωωωωωπ
ω
23
(π+δ) / 2(π+δ) / 2(π+δ) / 2(π+δ) / 2
A
ωωωωt0 ππππ 2π2π2π2π−π−π−π−π
-A
δδδδ
(π−δ) / 2(π−δ) / 2(π−δ) / 2(π−δ) / 2
-------------------------------------------------------------------------
αααα
A
ωωωωt0 ππππ
2π2π2π2π−π−π−π−π
−2π−2π−2π−2π
-A
ββββ
senóide
[[[[ ]]]]
∑∑∑∑∞∞∞∞
==== ++++
++++−−−−++++++++
−−−−
−−−−−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅++++
++++∑∑∑∑∞∞∞∞
==== ++++
++++−−−−++++++++
−−−−
−−−−−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅++++
++++⋅⋅⋅⋅−−−−
++++−−−−++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++−−−−====
2).sen(
)1(
])1sen[(])1sen[(
)1(
])1sen[(])1sen[(
2
2).cos(
)1(
])1cos[(])1cos[(
)1(
])1cos[(])1cos[(
2
)sen(2
)2sen()2sen()(
2)cos()(2sen)(2sen
2)cos()cos(
2)(
n
tnn
nn
n
nnA
n
tnn
nn
n
nnA
tA
tAA
tf
ωβααβ
π
ωβαβα
π
ωβα
αβπ
ωαβπ
βαπ
ω
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
++++
++++
++++
++++
⋅⋅⋅⋅==== ...7sen
27sen5sen
25sen3sen
23sensen
2sen
4)( tttt
n
Atf ω
δω
δω
δω
δ
πω
24
Forma de onda de um inversor trifásico (Seis pulsos - 3 semicondutores em condução simultânea)
Série de Fourier
Forma de onda de um inversor trifásico (Seis pulsos - 2 semicondutores em condução simultânea)
V
ππππ2π2π2π2π
3π3π3π3π 4π4π4π4π
-V
ωωωωt
2V/3
V/3
-2V/3
-V/3
ABV
ACV
CAV
ANV
BNV
CNV
++++⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅==== ∑∑∑∑
∞∞∞∞
==== 6sen
6cos
4
1
πω
π
πtn
n
n
V
n
ABV
(((( ))))tnn
n
V
n
ωπ
πsen
6cos
3
4
1
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅==== ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====ANV
25
Série de Fourier
V
ππππ2π2π2π2π
3π3π3π3π 4π4π4π4π
-V
ωωωωt
V/2
ABV
ANV
BNV
CNV
-V/2
++++⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅==== ∑∑∑∑
∞∞∞∞
==== 6sen
6cos
2
1
πω
π
πtn
n
n
V
n
ANV
++++⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅==== ∑∑∑∑
∞∞∞∞
==== 3sen
6cos
34
1
πω
π
πtn
n
n
V
n
ABV