ELEMENT©SREVISTA DE MATEMÁTICA

PARA LA ENSEÑANZA MEDIAi

Año 11 Mayo - Junio 1965 N9 12;■

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Las ciencias la universidad y la escuela media

Luis Antonio San taló.Semblanzas:

iI El proyecto de Southampton. por C. Verdaguer de BANFI

Panorama:

Cuestiones didácticas: La enseñanza de la matemática

como una de las humanidades.por ¡Iermann ATIIEN

La geometría en el ciclo infe­rior de la escuela secundaria.

por N. KRITIKOS

El lugar de la geometría en una enseñanza moderna de la matemática.

por André REVUZ

Teoría moderna y aplicaciones de las probabilidades.

por Joao MARTINS

Orientación:

Opiniones y experienciasI

Bibliografía - Miscelánea - Noticias - Correo

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ELEMENTOSS. A.

REVISTA DE MATEMÁTICA PARA LA ENSEÑANZA MEDIAPublicación bimestral

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Editores: José Ranfi - Alfredo B. Besio

Consultor: José BabiniCorresponsales: Andrés Valeiras (Latinoamérica)

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Sede: Fernández Blanco 2045 BUENOS AIRES (Sucursal 31) ARGENTINABUENOS AIRESVIAMONTE 1145

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** Marta Registrada de La Ce'lophane S. A. autorizada exclusivamente a Ducilo.

Suscripción anual: Argentina, 300— m$n.Exterior, 2,50 dólares.

Ejemplar suelto: 60— m$n. (Números atrasados: 80 —m$n.)Para colaboraciones, suscripciones y avisos, dirigirse directamente a los Editores.

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Nuestros desvelos han fructificado

en creaciones que

enorgullecen a la mujer argentina

INTIMA srllineaEn el próximo número:

INTIMAMENTE ELEGANTELa matemática moderna en la investigación y en la enseñanza.Teoría moderna y aplicaciones de las probabilidades. La enseñanza de la matemática en Bélgica.La matemática al día.Relaciones y funciones.

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ELEMENTOSREVISTA DÉ MATEMÁTICA

PARA LA ENSEÑANZA MEDIATODO RAPIDO Y SIEMPRE

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Año II N9 12Mayo - Junio 1965

Este número se publica con el cpoyo del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas.

capaces de llevar a la empresa al nivel de los centros mecanográficos sin alterar

su estructura organizativa f

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Las ciencias, la universidad y

la escuela media'

Si la escuela pretende dar una imagen adecuada de la matemáti­ca, tiene que reformar necesariamente sus programas adaptándolos a las nuevas concepciones y desterrando todo aquello que ha perdido vigencia teórica o práctica.

"Necesidad de la Reforma" — ELEMENTOS, año 1, N? 3.I

Con este título, el prestigioso diario “La Nación” de Buenos Aires, publica su editorial del 10 de junio de 1965. Consideramos muy oportuno referirnos a su en- iundioso contenido. Se trata de un tema que nos atañe y al que nos hemos referido circunstancialmente más de una vez en nuestros habituales comentarios.

Advierte el mencionado editorial, “la gravedad que adquiere día tras día” el problema de “la separación entre la escuela media y los estudios secundariosPara concretar se detiene en el terreno de los estudios de las ciencias exactas y naturales.

“Los últimos años han traído en el ámbito de la matemática, de las ciencias biológicas, de la física y de la química —dice más adelante— renovaciones profun­das que alteran no sólo el contenido propio de esas disciplinas sino también los basa­mentos metodológicos de su enseñanza. Las casas de estudios superiores han seguido de

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Olivetti Argentina

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cerca estas transformaciones y en todo el mundo se ha producido una renovación en los planes, los programas y la organización didáctica de las facultades e institutos que se ocupan de esos contenidos”.

Y agrega luego: refiriéndonos en particular al caso argentino, se advier­te hoy que las universidades exigen en el terreno de las ciencias exactas, biológicas y naturales, una preparación y una formación mental bastante diferenciadas de las que consideraban necesarias diez o quince años atrás. Pero, entretanto, la escuela secun­daria no ha seguido el proceso con el mismo ritmo y los alumnos egresan de sus aulas con una formación básica, en las disciplinas mencionadas, prácticamente similar a la de hace muchos años”.

No escapa al edilorialista la existencia de problemas muy difíciles para lo­grar la adaptación de la escuela secundaria a las nuevas exigencias, pero advierte que “es posible que hasta ahora se haya cumplido una acción excesivamente lenta”. Y sin pretender puntualizar culpas que “funcionarios o dirigentes políticos” pueden tener, lo lamentable es que e,la escuela media está preparando a los jóvenes estudiantes en campos culturales esenciales de una manera inadecuada para los requerimientos que el nivel siguiente les ha de exigir”.

La conclusión es terminante: “Sean cuales fueran las dificultades existentes, no puede demorarse la iniciación de una acción intensai y decidida para corregir esta grave anomalía”.

Nuestro comentario es superfluo. Sólo señalaremos cuán reconfortante nos re­sulta poder comprobar en uno de los más importantes diarios argentinos la preocupa­ción por una cuestión tan ligada a la razón de ser de nuestra Revista.

SEMBLANZAS

Luis Antonio Santaló

Si Rey Pastor significa la introducción del pensamiento matemático contempo­ráneo en la cultura científica argentina, y si Jaime concreta una vigencia de cua­tro décadas en la estructuración de la matemática de nuestra escuela media, Santaló es sin duda la figura más desta­cada y responsable del proceso de re­novación de la enseñanza de la asigna­tura que se está desarrollando en nuestro país.

Llegó a estas tierras hacia 1939, casi simultáneamente con otros matemáticos españoles —Pi Calleja, Corominas, Ba- lanzat— que seguían las huellas del maestro común; al cabo del cuarto de siglo, sus pares le han distinguido jus­ticieramente con el galardón que acaba de otorgarle la Sociedad Científica Ar­gentina.

Santaló es el especialista de mérito reconocido que no se abroquela en la torre de marfil y sabe codearse, sin des­medro y sin jactancia, con quienes acu­den a él en pos de su saber y su expe­riencia. Y que no escatima su concurso cuando se trata de divulgar conocimien­tos o aconsejar prácticas entre quienes, como los profesores secundarios, necesi­tan orientarse claramente.

Nació en Gerona, España, el 9 de oc­tubre de 1911 y se doctoró en ciencias exactas en la Universidad de- Madrid. Cuando se incorporó en nuestro país al Instituto de Matemática que en Rosario

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LOS EDITORES 1

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En los países de gran desarrollo científico se ha producido importante movimiento que cobró gran impulso en los últimos años, tendiente a lograr una renovación total de la enseñanza de la mate­mática en todos los niveles, desde la escuela primaria a la universidad. Puede agregarse que el problema es más agudo en la escuela secun­daria y allí es donde se realizan los mayores esfuerzos para ponerla a tono con las necesidades actuales.

Esta revolución en la matemática”, de que nos habla Stone en otro lugar, ya ha trascendido a las escuelas secundarías de muchos países, y , nuestro no puede quedar al margen. Las experiencias que se están difundiendo en tal sentido no deben dejarnos indiferentes.

“Necesidad de la Reforma” ELEMENTOS, año I - N9 1

undirigía Beppo Levi, ya se había destaca­do por sus importantes trabajos de geo­metría integral, realizados en Hamburgo junto al renombrado W. Blaschke, y por sus estudios en geometría diferencial, con E. Cortan, en París. A decir verdad, ya le conocíamos desde 1934 a través de sus contribuciones, de carácter más ele­mental aparecidas en aquellas dos re­vistas —"Revista Matemática Hispano Americana'' y "Matemática Elemental*'— quetros Rey Pastor.

tesoneramente difundía entre noso-

- 144 -- 145 -

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PANORAMA——=—El proyecto de Southampt

Es investigador tesonero y fecundo —más de un centenar de contribuciones originales— a un ritmo constante; es geómetra nato, pero también ha incur- sionado en dominios linderos y no ha desdeñado los temas de divulgación. No es expositor de gran brillo, pero si muy convincente y, además, está considerado como hombre ecuánime, ponderado y eficaz; también tenemos pruebas feha­cientes de su generosidad intelectual.

Nuestro país se honra de ser su patria adoptiva.

En 1948 viaia a EE. UU., para estudiar en Princeton y dictar un recordado curso sobre geometría integral en Chicago, del que surge en 1953 su "Introduction lo Integral Geometry", obra muy elogiada y de referencia obligada, que mereciera su posterior traducción al ruso.

De retorno al país, profesa luego en las Universidades de Buenos Aires y La Plata, y se incorpora a la Comisión Na­cional de Energía Atómica y posterior­mente al Consejo Nacional de Investi­gaciones Científicas y Técnicas.

onC. VERDAGUER DE BANFI

(Buenos Aires)

Al talentoso profesor inglés Bryan Thwaites le cabe el mérito de encabezar un intento de renovación de la enseñan­za de la matemática en la escuela daria denominado Proyecto de Southamp- ton, por el nombre de la universidad de origen, o también “The School Mathe- matics Project" (S.M.P.).

Thwaites es un hombre joven, de ca­pacidad científica reconocida,

Para una comprensión del S.M.P. se incluye a continuación un gráfico que ex­plica a quiénes van destinados los libros de texto preparados por los distintos gru­pos de trabajo. La enseñanza se imparte en dos ciclos: el inferior de cuatro años (o dos) que termina con el examen de nivel O, y el superior, de dos años, que termina con el examen de nivel A; los alumnos que no han de emplear mate­mática con posterioridad pueden optar por un curso de un año, pero, de hacerlo así, les quedan vedados los estudios uni­versitarios.

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que nosólo ha captado el valor educativo de las nuevas concepciones sino que se ha volcado con todo vigor a la tarea de in­troducir su estudio en la escuela daria. A diferencia de aquellos matemá­ticos que sólo intelectualmente se han ocupado del problema dejando que otros comprueben su eficacia en el plano de la enseñanza, Thwaites se ha dado a esta tarea con fervor, con tenacidad, y para ello ha participado en numerosas confe­rencias tanto dentro como fuera de su país; también ha intervenido en los gru­pos que han redactado con premura los primeros textos ingleses que dieran una visión real del pensamiento moderno de la matemática.

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Exornan al nhral A

I [No liguen.libro 7

Lo matemática ha sufrido cambios profundos en lo que va del siglo. No sólo ha cambiado su ropaje externo de manera fundamental y bien notoria, sino que han cambiado la esencia misma de sus problemas y de sus resultados; se plantea los primeros y llega a los segundos por cami­nos nuevos y en forma diferente de la tradicional.

T libro S

libro 6

T«Examen al nivel O

Las características de esta nueva matemática o "matemática moderna" son su poder de síntesis y la gran variedad de nuevos dominios en Tquees aplicable. Ambas características son consecuencia de su gran gene­ralidad, consecuencia ésta, a su vez, de su construcción axiomática.

libro T 4libro 4 TEmpero, debe mencionarse que, aun

reconociendo el liderazgo de Thwaites, que es el director del S.M.P., el proyecto es un trabajo de equipo, del cual forman parte los profesores de 41 establecimien­tos secundarios ingleses adheridos desde el comienzo de la tarea. El trabajo en equipo es, sin duda, característico en es­tas nuevas experiencias; así ha trabaja­do el "Colleqe Entrance Examination Board" de EE.UU.; así trabaja también el "Centro Belga de Pedagogía de la Ma­temática". Corresponde agregar que otras escuelas quisieron adherir con pos­terioridad, pero no se las aceptó por con­siderarse suficiente el número de las ya incluidas y también porque los resulta­dos del trabajo se ponían a disposición de todos los que quisieran usarlos.

Ilibro T

El poder de síntesis ha venido a ser un alivio indispensable ante el gran crecimiento, en extensión, de la matemática. Teorías de distinto origen y desarrolladas independientemente se han visto englobadas casos particulares de teorías más amplias, ganándose con ello en sim- plícidad y en economía de pensamiento. La perspectiva desde un punto de vista más elevado y general ha permitido distinguir con claridad los puntos esenciales de las teorías, sobre los que conviene llamar la aten­ción, de los secundarios y laterales, que pueden dejarse de lado, cultivo y conocimiento exclusivo do los especialistas.

libro 3

Icomolibro 2

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libro 1para

The prcseni plan of ihe S.M.P. texis

Indicaremos las etapas cumplidas pa­ra la aparición del libro T, haciendo cons­tar que, con escasas variantes, el proceso es análogo para todos los demás. En el año escolar 1961/62 se hizo la primera redacción provisoria, que en el año si­guiente se experimentó en ocho escue­las. Durante ese tiempo "estuvo expuesto a fieras críticas y a una revisión drás-

LUIS A. SANTALÓ

Conferencias sobre Nuevas tendancias en la enseñanza de la Geometría en el Instituto Nacional del Profesorado de Buenos Ai­res. 1962.

- 146 - - 147 -

razones en ángulos agucícs. Resolución de triángulos por descomposición en triángulos rectángulos. Aplica­ciones simples a problemas tridimensionales.

Notación e idea de con|unto; unión, intersección, plemento, subconjunto. Conjunto vacío y conjunto uni­versal; diagrama de Venn; número de elementos.

Lugar geométrico.Uso de símbolos para representar números, conjuntos

y transformaciones.Ecuaciones e identidades.

Análisis. Idea do función. Notación. Diferenciación. Aproximación lineal. Tangento. Idea do Integración. Apli­cación al cálculo de áreas y volúmenes. Teorema funda­mental del cálculo integral.

Cálculo numérico. Teoría do la regla de cálculo y logaritmos. Procedimientos iterativos simples, por ejemplo, raíz cuadrada y la fórmula de Newton para ecuaciones.

Estadística. Probabilidades: reglas do la suma y del producto. Distribuciones simples. Desviación media. Fre­cuencia acumulativa y porcentajes. Coeficiente de Ken- dall.

que ingresan a los 13 años, que en dos años emplearán los libros T y T4. Damos el programa mínimo que debe cumplirse en estos cursos, entendiéndose

las distintas escuelas, o los textos redacten, pueden ampliarlos y

modificarlos como resultado de la

tica", lo que motivó la presentación de un segundo texto provisorio para el año 1963/64. Hacia esa época, los profesores encargados de la experiencia considera­ron estar en condiciones de redactar una tercena y última versión aún antes de com­pletarla en el aula por segunda vez. Así, a fines de noviembre de 1963 se terminó el manuscrito que siete meses después fue publicado por la imprenta de la uni­versidad de Cambridge; unos 20 autores y correctores habían contribuido a su realización.

¿Justifican los resultados obtenidos el intenso esfuerzo realizado? El director del proyecto cree que sí, para lo cual analiza tres puntos: 1) La cantidad de material totalmente nuevo es tan grande —aun en un solo libro— que se duda que un solo autor pueda tratarlo todo en forma igualmente feliz. 2) Un libro de texto debe contener abundantes ejem­plos, de dificultades graduadas y técni­cas nuevas, lo que sólo se puede lograr si lo redacta un equipo de profesores. 3) Las sutiles e impresionantes diferencias de puntos de vista y de instinto matemáti­co de los alumnos de ios diversos tipos de escuelas, lo que hubiera pasado inad­vertido de no intervenir en la redacción un grupo de docentes que las conocieran en profundidad.

La redacción de textos fue el trabajo principal, pero también debe señalarse la publicación de monografías, dedica­das a diversas derivaciones matemáticas de la línea central. Cabe consignar que, en general, estas monografías son re­dactadas por estudiantes para sus com­pañeros, no obstante lo cual han inte­resado mucho a los profesores. Se ha publicado una monografía de alumnos del Colegio de Exeter sobre circuitos eléctricos, diseños lógicos y computado­ras construidas por ellos mismos; ot~a, de alumnos del colegio de Winchester, se refiere a aplicaciones del cálculo in­finitesimal a los problemas físicos.

noscom-

queque seaunexperiencia adquirida en su aplicación. Resulta evidente que estos programas pueden presentar dificultades de inter­pretación, especialmente en lo que se re­fiere a la profundidad con que se debe tratar cada tema o a la manera de rela­cionarlos entre sí.

El objetivo de esta etapa es la com­prensión de conceptos matemáticos sim­ples y de sus aplicaciones, la expresión clara y el razonamiento cuidadoso. Se espeja que los alumnos comprendan el uso correcto de los signos de implica­ción; se trata de evitar los razonamien­tos largos y fastidiosos; se trata de que los alumnos sean capaces de expresar situaciones físicas en símbolos matemá-

Factoreo: Factor común, diferencia de cuadrados, tri­nomio cuadrado perfecto. Manejo simple de fracciones,

y — 0 implica x r= 0 ó y r- 0.Desigualdades y su manejo. Ecuaciones lineales sim­

ples y simultáneas. Inecuaciones con no más de dos incógnitas. Aplicaciones de las inecuaciones a relaciones lineales y gráficos.

Coordenadas cartesianas ortogonales. Matrices 2.2. Vectores como matrices. Matriz unidad: formación de una matriz no singular y aplicaciones a sistemas de ecuaciones y transformaciones lineales.

Relaciones, especialmente lineales, cuadráticas

Mecánica. Velocidad, aceleración, cinemática lineal. Aplicación de vectores a las fuerzas y a la cinemática, con aceleración constante. Dinámica de la partícula sim­ple, incluyendo la interacción de partículas y la con­servación de la cantidad de movimiento.

x -

ANÁLISIS DEL CICLO SUPERIOR.

Éste es el ciclo final de matemática en la escuela secundaria.

En lo que se refiere al programa de estudios, contrariamente a la práctica tradicional de cursos para especialistas y diversas alternativas pora no especia­listas, se decidió la realización de un curso único de matemática para todos los estudiantes. Esta actitud obedece a principios que se exponen claramente en el informe: "Creemos que no existe una buena razón educativa para hacer dis­tinciones entre las necesidades matemá­ticas básicas del buen matemático y las del que no lo es tanto; por eso insistimos en nuestra opinión de que debe haber un curso único de matemática para el nivel A ideado para un alumno medio, no interesa cual sea su futura especiali­dad y si intentará o no ingresar en la universidad. El aprovechamiento medio general que debe espererse del curso será fijado por este alumno medio. Es­tamos agradecidos al apoyo de un pro­fesor, el único que sobre este aspecto afirmó que cualquier otro punto de vis­ta sobre este curso de matemática equi­valdría a trasladar a la enseñanza se­cundaria las presiones de la especializa- ción universitaria, a lo cual se oponen firmemente nuestras ideas sobre educa­ción general".

No obstante, el programa está desti­nado a satisfacer las exigencias y re­querimientos de las universidades, con cuya estrecha colaboración se trabajó. Surgieron intensas polémicas, lo que llevó al director del proyecto a estable­cer taxativamente: "La característica fun­damental del proyecto es la de ser una experiencia privada conducida por un

y re'cíprocas, y sus gráficos. Ley exponencial de crecimiento. Proporcionalidad do variables ligadas por leyes po­tenciales simples.

Gradiente de gráficos; cálculo de áreas. Aplicaciones sencillas a la cinemática lineal.

Uso de gráficos en la programación lineal. Semejanza y congruencia. Geometría del espacio eu-

clidiano basada en la reflexión, rotación, traslación y homotecia. Simetría central, axial y especular. Combina­ción de transformaciones.ticos y de juzgar el grado de aproxima­

ción que requiere cada problema par­ticular. Se recomienda el empleo de re­glas de cálculo, de los instrumentos gec métricos usuales y de tablas trigonomé­tricas de tres decimales que incluyan fórmulas útiles. No se requerirá el cono­cimiento de todas las propiedades del círculo, ni las propiedades de las bisec­trices, ni la extensión del teorema de Pi- tágoras, ni las definiciones de sec, cosec y cot; no se exigirán demostraciones de teoremas ni construcciones con regla y compás; tampoco se resolverán ecuacio­nes de 29 grado ni por la fórmula ni com­pletando el cuadrado; no se emplearán fórmulas trigonométricas para las super­ficies de triángulos.

Círculo, arco capaz y tangentes.Aplicaciones de la semejanza, incluso áreas y volú­

menes de figuras semejantes. Escalas y mapas.Planos simples y elevaciones.La Tierra como esfera: latitud y longitud, círculos

máximos y menores, millas náuticas, distancias entre paralelos y entre meridianos.

Probabilidad simple (sin las leyes de la suma y el producto); problemas sobre combinación de probabili­dades.

Representación gráfico de datos numéricos; medias, medianas y cuartiles.

EL LIBRO 5. Como lo indica el gráfico, este libro está destinado a los alumnos que no alcanzarán el nivel A y conclui­rán sus estudios en un año, rindiendo luego un examen que ha sido denomi­nado "Matemática adicional". Como el libro aún no ha sido editado, daremos el programa d9 este curso:

Algebra. Función cuadrática. Introducción a los nú­meros complejos. Aplicación de matrices a transforma­ciones geométricas planas. Combinación de rotcciones y reflexiones. Ecuaciones lineales con tres incógnitas. Teoría elemental de conjuntos. Aplicación a las probabilidades. Lógica proposicional simple. Tablas de verdad. Idea de grupo e isomorfismo. Ejemplos con permutaciones, mo­delos geométricos, sistemas numéricos, clases residuales con módulo primo (campo finito).

Vectores: geometría y trigonometría. Combinación de traslaciones. Vectores. Vectores de desplazamiento y de posición. Suma y diferencia de vectores. Producto es­calar. Componentes. Reglas del seno y del coseno. An­gulo generalizado. Mediciones circulares. Fórmulas del seno y el coseno de la suma.

El programa es el siguiente:Unidades de medidu más importantes, incluso las del

sistema métrico decimal; sistema monetario. (No presarán las cantidades con más de dos unidades salvo cuando se trate de dinero.)

Fracciones decimales, razones y porcentajes.Aproximaciones y cálculo aproximado. Cifras signifi­

cativas. Sistema decimal. Límites do exactitud y uso de los signos de desigualdad.

Sistemas no decimales.Expresión de números en la forma a.lOn, siendo a

entero, positivo o negativo.Uso dé la regla de cálculo.Longitud, área y volumen? medición de figuras sim­

ples. del plano y del espacio —rectángulo, triángulo, circulo, cilindro, cono y esfera.

Uso del teorema de Pitágoras. Sen, eos y tg., como

ise ex-

ANÁLISIS DEL CICLO INFERIOR.

Este ciclo es seguido por los alumnos que ingresan a la escuela secundaria a los 11 años, los cuales en cuatro deben desarrollar los contenidos

anos expues­

tos en los libros 1, 2, 3, 4, y por los alum-- 149 -

- 148 -

i

Algebra elemental: teorema del resto; relación entre las raíces y los coeficientes de las ecuaciones algebraicas, fracciones parciales.

Sistemas de coordenadas: cartesianas, polares planas.Funciones: como correspondencias y como gráficos,-

rango y dominio. Funciones especiales: impares, pares y periódicas. Funciones inversas.

Funciones particulares y sus gráficos.- algebraicas, tri­gonométricas, logarítmicas y exponenciales, cosh y senh.

Límites de sucesiones numéricas. Convergencia de se­ries infinitas simples. Términos de una sucesión con­vergente como aproximaciones sucesivas al límite. Pro­cesos iterativos.

Derivadas (de funciones reales con una variable real). Diferenciación de funciones algebraicas y trigonométricas, de productos y cocientes, de funciones inversas y com- puestas. Derivadas de segundo y de mayor orden. Máxi­mos y mínimos; aplicaciones físicas.

La tangente como aproximación lineal. Aproximacio­nes por los primeros términos de la serie de Taylor. Aproximación de Newton a la raíz de una ecuación.

Concepto de la integral como sumotoria,- aplicaciones. Métodos numéricos de integración; reglas del trapecio y de Simpson.

Teorema fundamental del cálculo integral; su aplica- c ón a la evaluación de integrales. Integrales tipo,- inte­gración por partes,- sustituciones simples.

Idea de estructura algebraica y de operaciones bina­rias: grupos, isomorfismos.

Relaciones de equivalencia, partición de conjuntos.Vectores. Coordenadas tridimensionales. Productos es­

calares. Transformación de ma‘r¡ce$.Matrices cuadradas,- resolución de ecuaciones de 3 por

3 por reducción a la forma escalonada. Matrices no cuadrados (3.2 y 2.3): aplicaciones a transformaciones geométricas.

Vectores variables con el tiempo; aplicaciones bidi- mensionales al movimiento, velocidad, aceleración, velo­cidad relativa. Movimiento de una partícula en un plano utilizando vectores: coordenadas cartesianas y paramé­tricas.

número muy pequeño de establecimien­tos; su objetivo era, y aun lo es, desa­rrollar un nuevo programa de matemá­tica para todo el ciclo secundario, que estimulara la enseñanza de la asigna­tura en esas escuelas y destacara su naturaleza y procedimientos de actuali­dad. El proyecto no es, pues, responsa­ble ante nadie, excepto los alumnos de sus propias escuelas... Es necesario, por tanto, dejar de lado la incompren­sión con respecto a la naturaleza del pro­yecto que condujo a un profesor de ma­temática pura, en una agonía de antici­pación horrorizada, a exclamar que nues­tro programa, si fuera ampliamente adoptado, haría un tremendo mal a la causa de la educación matemática ge­nuino de este país. Aparte de estar en desacuerdo con esto, destacamos enfá­ticamente que no se dará ningún pase para estimular a otras escuelas que no sean las nuestras a adoptar las propues­tas del S.M.P., y que las que lo hagan lo harán bajo su propia responsabili­dad". Cabe agregar que la dirección del proyecto cree en serias deficiencias en la organización y desarrollo de los cur­sos de matemática universitaria, lo cual es muy sensible, pues si se carece de una opinión común respseto de los pro- qramas de ingreso, entonces les dificul­tades de una reforma en la escuela se­cundaria se tornan casi irresolubles. Lo que el proyecto intenta en el ciclo supe­rior de la escuela secundaria es que la visión intuitiva del primer ciclo, dé paso qradualmente al desarrollo de la estruc­tura lógica, a la idea de axioma, a la Dosibilidad del rigor, a la captación de los conceptos unificadores y a la abs­tracción. En otros términos, se busca "una juiciosa integración de lo intuitivo y lo racional, de lo axiomático y lo jetu-al, del rigor y el vuelo de la imagi­nación, de lo obstracto y lo concreto". Naturalmente, no se considera cosa fá­cil el logro de estos objetivos y sólo la experiencia en el aula dirá la última pa­labra.

El programa, propuesto para cumplir con estos propósitos, que se desarrollará en los libros 6 y 7, es el siguiente:

Trigonometría elemental: funciones circulares de án­gulos de cualquier magnitud; fórmulas de la adición y sus consecuencias; medición circular.

CUESTIONES DIDACTICAS——La Enseñanza de la Matemática

como una de las Humanidades1*'HERMANN ATHEN

(Hamburgo, Alemania)

Forzado por la necesidad de satisfa­cer las exigencias vitales de la humani­dad y de gobernar numéricamente los fenómenos naturales, el desarrollo de la matemática ha sido inicialmente empíri­co. Pero se ha desligado cada vez más de los hechos reales concretos, de ma­nera que hoy se ha convertido en un edificio abstracto de alta perfección, ba­sado en las reglas de la lógica y la gno- seología. No obstante, sería un error su­poner que la matemática moderna está completamente desvinculada de la vida real. La matemática hunde sus raíces en los problemas que plantea el mante­nimiento de la vida humana. Como em­presa intelectual, se la halla en muchas de sus manifestaciones.

Enseñar matemática es no sólo un csunto de entrenamiento profesional es­pecializado, sino también una cuestión de educación humana, de cultivo de la mente del hombre. Como modo de pen­samiento humano, es una componente de la educación en el más amplio de los sentidos y una parte indispensable de la formación de cada individuo.

El liceo europeo, así como las escue­las secundarias de otros países, es una institución para la educación básica y liberal, cuya tradición se remonta a más de tres milenios. El conocimiento concre­to de los diferentes temas escolares debe siempre ser examinado con respecto a su papel en la educación y ser presen­tado de manera de permitir al joven es­tudiante tomar conciencia de su depen­dencia, de sus relaciones y de su posi­ción en el mundo en que vive.(*) Se trata de la exposición hecha por el Autor en

la conferencia de Atenas de la OCDE, celebrada en noviembre de 1963. (N. de los E.)

Estas relaciones han cambiado, por supuesto, en el curso de los siglos. Hoy, la civilización y la cultura están visible­mente caracterizadas por las ciencias naturales y la tecnología, la matemática incluida. La escuela secundaria, en el deseo de presentar a sus estudiantes una visión moderna y correcta del mundo, debe enterarlos de los componentes de este universo si quiere hacerles compren­der la totalidad de la vida. Esto exige que los jóvenes estudiantes obtengan los conocimientos y aptitudes necesarios pa­ra vivir y desempeñar sus tareas en la sociedad humana. En particular, en la actual educación escolar, no se pueden separar el cultivo desinteresado de la mente y la formación profesional.

Para comprobar que la matemática es un factor integrante de nuestra cultura y pertenece, por tanto, a las humanidades, debemos mostrar cómo se extiende a to­dos los ámbitos de la actividad humana. De esta compleja tarea se tratará en lo que sigue, mostrando especialmente el papel de la matemática en la vida de nuestro tiempo. En la primera parte, se responde a la pregunta "¿Por qué se enseña matemática?". A esto sigue la respuesta a la preaunta "¿Cómo se en­seña la matemática?". La construcción del clan de estudios motiva la tercera pre­gunta: "¿Qué se debe enseñar en ma­temática?".

Números complejos: suma y producto. Representacio­nes geométricas como (i) puntos, (ii) movimientos, (iii) rotaciones y ampliaciones. La forma r( eos O -j- i sen •§■), la notación | z |

Formación de ecuaciones diferenciales a partir de situaciones físicas. Aplicaciones simples comprendiendo el conocimiento elemental de: leyes newtonianas del vim;ento; fuerza, cantidad de movimiento, impulso,- servación de la cantidad de movimiento; trabajo V gía; teoría de circuitos.

Resolución de ecuaciones diferenciales: variables se­paradas de primer orden, lineales de primer orden coef.oentes constantes y con integrales particulares sim­ples.

mo-con-

ener-

con

con-Resolución detallada de dy/dx =■ f(x,y)Cálculo numérico-, diavramas de flujo; saltos condi­

cionales.Probabilidades compuestas; distribución binomial. Medidas de dispersión: desviación media. Distribucio­

nes continuas.Distribución normal. Distribución de la media de

muestras grandes.

CONSIDERACIONES FINALES

Lo dicho es una apretada síntesis que revela tan sólo una parte del trabajo

(Sigue en la página 170).

A. ¿POR QUÉ SE ENSEÑA MATEMÁTICA?I. El punto de vista pragmático.

En la escuela se enseña matemática asignatura fundamental para nece-como

- 150 - - 151 -

:

i

II. Motivos económicos y sociales.sidades profesionales futuras y como pri­mera etapa de un aprendizaje matemá­tico posterior.

Todos los estudiantes necesitan, por lo menos, tanta matemática como la que deben usar en su vida diaria. Ya en las escuelas elementales se les requiere cier­ta comprensión y uso razonable de los números y las reglas de las operaciones, cierta capacidad para aplicar la opera­ción de contar y el concepto de medida a manifestaciones concretas del mundo físico, y saber emplear su conocimiento en algunos problemas que les plantean la vida, el trabajo, la comunidad, la eco­nomía. No obstante, el conocimiento pro­fundo del significado matemático de las operaciones básicas exige una considera­ble capacidad de abstracción, indispensa­ble para traducir la experiencia práctica en términos matemáticos. Esta exigencia no se satisfajce sin algún conocimiento teórico de la matemática y, más particu­larmente, sin cierto dominio de los algorit­mos y el lenguaje matemático. Este len­guaje simplifica la traducción y facilita el cálculo. La enseñanza matemática no puede detenerse en las operaciones ele­mentales. No es razonable renunciar al lenguaje matemático porque se despre­ciaría un medio de economía de pen­samiento.

En la actividad profesional no sólo se necesitan matemáticos sino también cien­tíficos, ingenieros, economistas, etc., pues­to que nuestro futuro bienestar depende de ellos. Todos ellos necesitan matemá­tica; por esta razón es indispensable que el número de matemáticos que se dedi­quen a ella —y a las ciencias— sea lo más elevado posible. Entre otras cosas, esto significa la necesidad de desarrollar suficientemente la formación de los estu­diantes en esos dominios, de manera de permitirles revelar las aptitudes que pue­dan tener para esas profesiones. Éstas requieren mucha más matemática que la necesaria para la vida cotidiana. En mu­chos países, la división de la escuela se­cundaria en líneas científica, moderna y clásica, parece realizarse a edad dema­siado temprana, pues muchos estudian­tes, y aun sus padres, no son capaces de tomar decisiones correctas a las edades de 13 ó 14 años.

Un factor que no debe despreciarse es la revolución técnica y económica que se está desarrollando debido a las grandes computadoras automáticas. Esta revolu­ción se manifiesta en las funciones psí­quicas e intelectuales del pensamiento y en la forma de computar de los seres hu­manos, conduciendo sin cesar a nuevas investigaciones en los campos de la ló­gica y el análisis del pensamiento. Prác­ticamente, ya no existe campo en la in­vestigación matemática aplicada que no dependa del uso de las computadoras; verbigracia, muchos problemas de las ciencias sociales, de comportamiento, ad­ministrativas y económicas.

Un dominio interesante de la matemá­tica moderna es el de la "investigación operativa". Ella permite que cada vez mayor número de personas se liberen del trabajo manual, pero encargándose de tareas responsables de supervisión y pla­neamiento basadas en métodos científicos y matemáticos. Los problemas que se plantean en este dominio representan a menudo aplicaciones concretas de razo­namientos muy abstractos.

En general, el anhelo de las decisiones humanas es hallar una decisión óptima. Este método de matemática aplicada, lla­mado "programación", significa maximi- zar o minimizar una —así llamada— fun­ción preferencial, con ciertas condiciones adicionales. Estas últimas se establecen usualmente mediante desigualdades, de modo que resulta imposible resolver to­dos los problemas de decisión con el método de los multiplicadores de Lagran- ge. Los problemas de decisión más sim­ples son tratados por la programación li­neal. Otro campo análogo de este nuevo tema matemático es la llamada teoría de las filas, que requiere decisiones óptimas con datos basados en distribuciones de frecuencia variables con el tiempo. Aun el proceso del aprendizaje se estudia ahora mediante una formulación mate­mática.

Otro importante método para hallar el comportamiento óptimo en ciertas situa­ciones de conflicto es la teoría de juegos, elaborada por von Neumann y Morgens- tem. En muchos aspectos, los juegos son similares a la conducta de la vida hu­mana. Todas las relaciones humanas de­terminadas por reglas de comportamien­

to generalmente admitidas, se manifiestan como "juegos sociales". Para el matemá­tico, todas estas manifestaciones de situa­ciones de conflicto presentan una estruc­tura matemática formal semejante. La importancia de la teoría de juegos reside en la posibilidad de hacer juicios mate­máticos sobre hechos dependientes del intelecto humano y del libre albedrío. Este tópico también puede tener un lugar en las escuelas secundarias. Los proble­mas elementales de las ciencias de com­portamiento son finitos y lineales y, por tanto, accesibles para los jóvenes estu­diantes.

Dondequiera tengamos que describir o estudiar grandes colecciones sin orden r.i concierto, la estadística y la probabili­dad se convierten en el instrumento ma­temático adecuado. No hay oposición pa­ra introducirlas en la enseñanza secun­daria. Son componentes vitales de la civilización moderna, lo que está eviden­ciado por su aplicación en todas las ciencias y, cada vez más, en la industria, la economía, las ciencias sociales, la psi­cología y la medicina. Paralelamente, puede mencionarse también la teoría de la información, que es el estudio de la transmisión de mensajes. Este campo es­tá estrechamente vinculado a la ciberné­tica, que sintetiza muchas disciplinas di­ferentes: matemática, física, química, bio­logía, fisiología, psicología, lingüística, economía y sociología.

Kurepa escribe en el informe de la CIEM de Edimburgo (1958): "Con el pro­greso de la humanidad, los ejemplos, si­tuaciones, fenómenos,.. . que permiten captar mejor las ideas matemáticas, se presentan cada vez más en los campos biológico, económico, social. . En par­ticular, la experiencia cotidiana del bió­logo, el sociólogo, el economista, y otros, contiene en forma embrionaria los con­ceptos matemáticos fundamentales: con­junto, clase o población, organización o estructura, clasificación, ordenación, re­lación, proceso, interdependencia, sentido de evolución, etc. Para los alumnos, son perceptibles, manejables, comprensibles, porque estuvieron y están trabajando y viviendo con ellos. Cuando se adquiere una noción se procede a su representa­ción, su definición, su generalización, su explotación, . .; por ejemplo, el concepto básico de función en el sentido de asocia­ción, está presente en todas partes". Las ciencias sociales desempeñan un papel eminente en la enseñanza secundaria mo­derna, puesto que en la sociedad demo­crática el hombre debe ser un miembro responsable que actúa y decide, que tiene el deber de adquirir el conocimiento que lo capacite para actuar en la vida ordi­naria. La escuela puede contribuir posi­tivamente a esta finalidad introduciendo la matemática en las ciencias sociales: cálculo de impuestos, cómputos electo­rales, seguro social, entidades de prés­tamo y vivienda, compras a crédito, es­tudios económicos, estadísticas. Estos ejemplos muestran el poder de las cifras en los problemas sociales y cómo la ma­temática ayuda a gobernarlos.

No es posible mostrar la importancia de la matemática en las escuelas secun­darias sin referirse a su uso en la cien­cia moderna, la economía y la tecorolo- gía. La matemática clásica está asociada con importantes investigaciones en mu­chos campos. Otros campos más recien­tes son las computadoras automáticas, la estadística, la programación lineal, la in­vestigación operativa, la teoría de juegos, la teoría de la información y la lóaica. Este proceso de matematización está lejos de haber concluido, y sus consecuencias deben reflejarse en la educación pública.

En. Relaciones culturales.

Como ciencia pura, la matemática se caracteriza por sus relaciones internas exhibidas en sus estructuras (grupos, cuerpos,...) y por su independencia res­pecto de cualquier experiencia concreta. Por eso, muchos filósofos consideran a la matemática como medio para llegar a la objetividad científica. A menudo se busca expresar la relación entre la matemática y otros campos culturales por la matema­tización, esto es, por la interpretación de una teoría mediante un modelo matemá­tico preciso. La matemática separada de las otras ciencias, pierde una de sus fuen­tes de interés y motivación más importan­tes. Ella es indispensable para la inter­pretación de las relaciones entre la natu­raleza y la mente humana.

i

- 152 -- 153 -

a ciertos tópicos importantes llamados paradigmas o modelos, característicos

del pensamiento y del razonamiento ma­temático.

La pregunta "¿Cómo se enseña la ma­temática?" puede reducirse a esta otra: ¿Cómo se determinan los paradigmas?'\

La respuesta está dada por el papel de la matemática en la educación. Dentro de los fines educativos generales de la escuela secundaria, la matemática tiene una función educativa bien determinada como una de las humanidades que ayu­da en la interpretación de toda nuestra cultura y civilización. Para realizarla, la enseñanza debe orientarse según algu­nos objetivos apropiados para integrar los temas.

Para ello los estudiantes deben reco­nocer:

a) Las operaciones matemáticas, de­mostraciones, construcciones y solu­ciones que como métodos específicos conduzcan al conocimiento matemá­tico (esto es, los aspectos operatorio y cognoscitivo no pueden ser sepa­rados);

b) los conceptos matemáticos generales y fundamentales, definiciones y axio­mas;

c) la ventaja que ofrece la matemática para captar la realidad mediante modelos;

d) el principio de que las proposiciones matemáticas son únicas y obligato­rias y, en un sistema de axiomas, verdaderas, falsas o indecidibles;

e) el hecho de que la matemática tra­bajo con estructuras, vale decir, con modelos abstractos correspondientes a cada fenómeno matemático.

Todos los temas de la enseñanza es­colar deben satisfacer estos fines.

Los principios anteriores valen igual­mente para la aritmética, el análisis, el álgebra y la geometría. Constituyen uno de los objetivos por alcanzar. A partir de un momento dado, el álgebra y la geometría, aparecerán como manifesta­ciones diferentes de estructuras iguales o similares.

elementos y T una estructura básica de ese conjunto.

IV. Valor educativo de la matemática.

También hallamos a la matemática in­vadiendo campos que aparentemente na­da tienen que hacer con ella: arte, len­guaje, poesía, música (confrontar Weyl, Speiser, Alexandroff, Thompson....). Hay muchos ejemplos, algunos de los cuales se pueden citar en el ciclo inferior de las escuelas secundarias. Ciertas creaciones artísticas pueden con frecuencia ser expli­cados por la teoría de grupos. Como ejem­plo, consideremos las franjas ornamenta­les; se las puede engendrar moviendo ur.a figura base por traslaciones geométricas y reflexiones. La totalidad de estas co­rrespondencias puede ser descripta por grupos finitos isomorfos con los grupos de isometrías de los poliedros .

Hay relaciones muy interesantes entre la matemática y la estructura formal del lenguaje. Una colección de palabras de un texto ha sido comparada con un gran número de moléculas de un gas, de un líquido o de un cristal, según las propie­dades del texto que se considere. No es posible contruir palabras de menos de una sílaba ni oraciones con menos de una palabra. Pero los matemáticos han creado nuevas funciones de distribucio­nes, que reflejan sorprendentemente bien la formación de palabras en todas las lenguas cuyos elementos son sílabas. Es notable que situaciones semejantes se presenten también en música. Desde la época pitagórica, los intervalos de la es­cala musical ha nsido aritmetizados.

La matemática tradicional tiene muchos vínculos con la filosofa. Es prácticamente imposible —y no es mi intención— tra­tar aquí el aspecto filosófico de la mate­mática. Sin embargo, debe mencionarse que probablemente todos los programas matemáticos exigen del profesor penetra­ción filosófica en la enseñanza matemá­tica del ciclo superior. Entiendo con esto, que haya reflexionado sobre los funda­mentos lógicos, los métodos y las catego­rías matemáticas así como sobre las hi­pótesis cognoscitivas y ontológicas de la matemática. Esta reflexión se apoya so­bre las siguientes nociones matemáticas: axioma, definición, teorema, demostración (deducción, prueba indirecta, inducción completa), símbolo, cálculo, aplicación. Se concuerda hoy en que toda la matemática moderna puede presentarse en forma de un par (E,T), donde E es un conjunto de

de sus estudiantes para la universidad. Los principios unificadores que acaban de exponerse son prerrequisitos necesa­rios pero no suficientes, porque sólo se refieren a la eficacia de la disciplina. La preparación para los estudios universi­tarios requiere lo que puede ser llamada una aptitud científica general.

Esta observación puede caracterizarse por los siguientes principios:

Los estudiantes deben ser capaces de:c) Hacer abstracción del carácter con­

tingente de los problemas plantea­dos en un dominio particular para abstraer de ellos proposiciones de naturaleza científica;

b) sacar conclusiones correctas basa­das en los procedimientos lógicos aceptados;

c) resolver un problema y colocarlo en un sitio adecuado dentro de proble­mas previamente resueltos;

d) reconocer la contribución específica de "su propia" ciencia, esto es, la matemática, en la solución y estudio de los problemas generales.

Esto significa que los temas no serán tratados sólo en su aspecto matemático, sino que debemos orientarlos también hacia las aplicaciones. Así, debemos in­vestigar si los tópicos del programa cum­plen con los fines de la asignatura tanto como con los fines generales de la edu­cación y la preparación para la univer­sidad.

La matemática tiene un valor educa­tivo de primera línea. Promueve el deseo de una lógica incorruptible en el pen­samiento y la acción, desarrolla la capa­cidad de expresarse con precisión y esti­mula una actitud crítica de la mente ante cualquier juicio.

V. Resumen.

i-

Lo precedente representa un examen ce algunos de los dominios en que actúa la matemática. Estos dominios cubren precisamente numerosos sectores de la ac­tividad humana y representan una parte de nuestro mundo y de nuestra cultura. La educación está estrechamente vincula­da con estos dominios porque ellos per­miten comprender y afrontar la vida, la cultura y el mundo. La educación surge de estas tradiciones, experiencias y cono­cimientos, los cuales pese a sus particu­laridades intrínsecas tienen alcance ge­neral. La respuesta a la pregunta "¿Por qué se enseña matemática?" puede ser, pues: "|Porque la matemática contribuye ampliamente a liberalizar la educación y es, por tanto, una de las humanidades".

Esto implica que la matemática es una asignatura importante en la escuela se­cundaria, por lo cual deben indicarsé principios metodológicos y didácticos apropiados.

.1

C. ¿QUÉ SE DEBE ENSEÑAR EN MATEMÁTICA?I. Los temas clásicos.

Las reformas propuestas por la OECD y otras instituciones no eliminan todos los temas clásicos de la matemática. En el curso del tiempo se ha producido una sobrecarga en los programas de estudio.

Una reforma significa examinar:a) si los temas clásicos cumplen o no

con los fines de la educación mo­derna y, si no los cumplen;

b) si deben ser modificados mediante una exposición moderna o elimi­nados.

Los temas clásicos que todavía se con­servan en la escuela secundaria deberán examinarse a la luz de las nociones ma­temáticas modernas.

B. ¿CÓMO SE ENSEÑA LA MATEMÁTICA?

I. Los "paradigmas" en la educación matemática

Toda educación matemática debe co­menzar con un buen conocimiento intui­tivo y práctico de la aritmética y la geo­metría, tanto por su uso en la vida diaria cuanto como base para estudios poste­riores. Acabamos de ver la enorme ex­tensión de la matemática, en sí misma, en otras ciencias, en la civilización, en la cultura. Es absolutamente imposible intro­ducir el total o aun grandes partes de todo esto en el programa escolar. Por ello es necesario reducir su enseñanza

II. Preparación para la universidad.

Uno de los fines importantes de la enseñanza secundaria es la preparación

i

i

- 155 -- 154 -

ILa estadística y el cálculo de proba­

bilidades muestran el empleo de todos los temas estudiados así como un nuevo camino para tratar la inceitidumbre.

En general, el álgebra de Boole no es tema necesario en la matemática escolar. Pero, vinculada a la axiomática, a la fi­losofía y especialmente a la lógica, pue­de ocasionalmente ser tratado en el ciclo superior.

II. Los temas modernos. La geometría: en el ciclo inferior

de la escuela secundaria'’Hoy se considera a la matemqjica co­

mo un conjunto de estructuras. Se acen­túan las tendencias unficadoras que corresponden a los fines integradores ya expresados. Por eso, no enseñamos con­juntos, vectores o grupos como temas aislados, sino que empleamos esas no­ciones a lo largo de la enseñanza.

La noción de conjunto es básica para comprender la matemática. La noción de función se entenderá como aplicación. La noción de grupo, vinculada a la de isomorfismo, permite mostrar lo que tie­nen de común distintos dominios mate­máticos.

Los vectores y los espacios vectoriales ayudan particularmente a consolidar gran número de temas escolares tradi­cionales. Su valor radica principalmente en que las operaciones pueden interpre­tarse tanto algebraica como geométrica­mente. Los vectores llevan rápidamente de la percepción intuitiva a la compren­sión de las estructuras abstractas. El uso de los espacios vectoriales en la geome­tría afín da un acceso más fácil a todo el estudio del espacio.Nota de los editores. La exposición precedente fue se­guida de un debate por porte de la Conferencia, que H. H. Fehr, redactor del informe general de la reunión, ha resumido así-

"La discusión sobre la enseñanza de la matemática o los alumnos de las clases no científicas se concentró esencialmente en los tres puntos siguientes: ¿Es nece­sario el estudio de la matemática? Si lo es, ¿cuál debe ser el contenido? ¿En qué principios generales debe des­cansar la enseñanza?

La Conferencia estuvo completamente de acuerdo en que todos los estudiantes del ciclo superior de la escuela secundaria deben proseguir cus estudios de matemática. Aunque algunos estuvieron dispuestos a aceptar un pro­grama reducido tanto en extensión como en profundidad, sólidas razones fueron expuesats para apoyar la con­tinuación de los estudios. Entie otras, se señaló:

1. La necesidad de facilitar el retorno ulterior de muchos estudiantes a una carrera científica. La ausencia de conocimientos matemáticos cierra la puerta de muchas carreras universitarias.

2. La matemática se extiende hoy en el dominio de las humanidades y ios arles, lo mismo que en el de las ciencias físicas y naturales, y los conceptos básicos de la matemática son necesarios para com­prender esos otros dominios.

3. Muy frecuentemente, los que se interesan por las ciencias del. comportamiento no han seguido ciclos científicos; sin embargo, la matemática se vuelve cada vez más útil en dominios tales como la eco­nomía, la psicología, la sociología y la medicina.

4. El tipo de sistematización y de solución que utiliza la matemática aplicada se vuelve a encontrar in-

N. KRITIKOS (Atenas, Grecia)}

iLa enseñanza de la geometría en el

ciclo inferior de la escuela secundaria se relacionará con la de la aritmética y el álgebra, y se inspirará en las direc­tivas expuestas en las dos publicaciones de la O.C.D.E.: "Mathématiques nouve- lles" y "Un programme moderne de ma- thématiques pour la enseignement se- condaire". Su objetivo será iniciar a los alumnos en los conceptos y métodos de la matemática moderna, facilitándoles así el acceso a las innovaciones y comple­mentos que se deberá introducir en el ciclo superior. A estas observaciones ge­nerales, me permite agregar las siguien­tes reflexiones particulares, aunque no representen ninguna novedad con respec­to a lo que han dicho otras personas mucho más competentes y experimenta­das que yo.

En todos los países de la O.C.D.E., la enseñanza de la geometría comienza en la escuela primaria. De ese modo, los alumnos de 11 años conocen ya intuitiva o concretamente: a) los cuerpos sólidos usuales; b) los elementos geométricos; c) diversas propiedades y relaciones vinculadas con esos elementos; además saben evaluar el área o el volumen de ciertas figuras geométricas.

De 11 a 12 años, los alumnos deberán beneficia’se con una enseñanza que com­plete, precise y ordene los conocimientos intuitivos ya adquiridos. Se sobrentiende

abandonará el dominio de lo

conjuntos enseñadas antes. Po: ejemplo, una figura geométrica será considerada como un conjunto de puntos y se podrá introducir la noción de convexidad de un conjunto tal para aplicarla a cuestiones de geometría plana. Por otra parte, ya se habrán estudiado los vectores desli­zantes y se dispondrá de la recta racio­nal. Seguirá de inmediato la considera­ción de los puntos del plano con coorde­nadas racionales, lo que dará lugar a aplicaciones algebraicas. Finalmente, se estudiarán otras dos nociones fundamen­tales de la geometría plana: las simetrías centrales y axiales; estas nociones pro­porcionarán la bases para estudiar las fi­guras planas comunes. En cuanto a los aetalles de este programa, me remito a le esencial del programa francés de la 5? clase, al cual se deberá agregar los números enteros y los fraccionarios.

La enseñanza en el curso siguiente re­forzará las nociones ya expuestas acerca de las relaciones binarias y las aplica­ciones de un conjunto. Asimismo, se tra­tará la geometría plana en estrecha vinculación con tres operaciones: adición y sustracción de vectores y multiplica­ción de un. vector por un número racio­nal. Así se podrán enseñar el teorema de Tales y las transformaciones euclidia-

planas: traslaciones, rotaciones, si­metrías y homotecias. Estas dos últimas clases de transformaciones se emplearán

estudiar la semejanza de figuras pla- Por otra parte, se explicará el teore­

ma de Pitágoras, que se empleará para primera introducción a los números

irracionales. En fin, se estudiará de una metódica, las áreas de las figu-

usuales. En la exposición de estos te- podrá deducir, a veces, mediante

razonamientos simples y breves, ciertos resultados ya conocidos intuitivamente.

Paso ahora al último curso del ciclo in­ferior. Los alumnos tienen ahora 14 años

¡

D. CONCLUSIONES Y PROPÓSITOS.

La escuela secundaria se propone pre­parar a los estudiantes para comprender la cultura moderna, orientándolos en la vida actual y preparándolos para entrar en la universidad. Esto significa que se debe enseñar una matemática que sea importante, útil y de actualidad.

El mejoramiento de los planes de es­tudio presupone el mejoramiento del pro­fesor. A su vez, no se puede exigir que los profesores adopten por sí mismos los programas y normas tradicionales a la realidad de la enseñanza moderna. Ésta es tarea de matemáticos expertos y, pos­teriormente, de las autoridades oficiales.

cesantemenfe en el estudio de los problemas no científicos.

5. Para obtener una formación liberal completa es necesario tener presente el importante papel que están desempeñando hoy día la matemática y sus métodos.

Para que sean alcanzados los objetivos propuestos —educación práctica, preparación para la universidad y formación liberal— es necesario elegir con cuidado los temas que se enseñarán en los cursos de las secciones no científicas. Hubo acuerdo en que deben ser los mis­mos que en la sección científica, al menos para el pri­mero o los dos primeros cños del ciclo superior. Esto implica que la exposición debe ser hecha sobre bases modernas y deberá incluir:

1. Conjuntos, relaciones, funciones y aplicaciones, co­mo temas básicos.

2. Un estudio del álgebra y la geometría que llegue a los espacios vectoriales y el álgebra lineal.

3. Cálculo de probabilidades y estadística.Aunque la presentación no necesita ser tan rigurosa

como en las secciones científicas, debe hacerse desde un punto de vista conceptual. Esto significa que se hablará de lógica, de sistemas, de axiomas y de estructuras. Un programa moderno se adapta mucho mejor a este objetivo que un programa de matemática tradicional. Paralelamente, del hecho de que los estudiantes se in­teresan mucho más por las aplicaciones de la matemá­tica que por ella misma como tema, se infiere la nece­sidad de velar por que: a) las aplicaciones se hagan en problemas reales tomados de dominios que interesan a los alumnos; b) la práctica de la matemática sea des-

(Sigue en la página 159).

i:iI

i ñas

'que no se concreto y que se emplearán ampliamen­te conocimientos experimentales que pro­voquen la participación activa de los alumnos. Para más detalles, me remito al programa de la 6? clase francesa, por ejemplo.

Con los alumnos de 12 años del curso siguiente, se emplearán las nociones de(*) En la Conferencia de Atenas de noviembre de 1963

organizada por la OCDE correspondió a N. Kri- tikos efectuar la exoosición que transcribimos. (N. de los E.)

parañas.

.

una

manerarasmas se

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1

! I

a percibir la diferencia existente entre demostración lógica y la justifica­

ción intuitiva de un hecho o de uno pre­posición matemática.

y será posible introducir más a menudo, tanto en geometría como en álgebra, ra­zonamientos simples para probar ciertas afirmaciones. Se llevará así a los alumnos

a) Alumnos de 10-13 años a 14-15. El estudio es preparado por la manipula­ción apropiada de las nociones de juntos, de relaciones, de leyes de posición, de grupos. Disponiendo de estos 'nstrumentos, desprendidos de situaciones diversas, en su mayoría no geométricas, se puede entonces proceder a una cons­trucción de la geometría que emplea los pasos geométricos espontáneos del niño y la concepción geométrica dominante en la sociedad en que vive. Esto con­duce a una axiomatización que se des­arrolla progresivamente y que permi­te, desde esta edad, una verdadera deducción. En el curso de esta construc­ción se obtienen el cuerpo de los reales, los espacios vectoriales bi y tri­dimensionales sobre ese cuerpo, los pro­ductos vectoriales sobre tales espacios.

En todos los casos, se trata de una construcción consciente a partir de una realidad no discutida y de una ideali­zación corriente, no menos aceptada, de ella; de una construcción que, hay que subrayarlo, es constantemente el resul­tado de la actividad del niño guiado por su maestro que, sin dogmatismos, le aclara la ruta.

b) Alumnos de 14-15 años a 17-18. Ha­cia el final del período precedente, el alumno ha adquirido una experiencia ya muy rica. No obstante, si se le pidiera que por sí mismo reproduzca el camino recorrido, en general no sería capaz de hacerlo, y sentiría un gran descorazona­miento. Pero, precisamente en esta eta­pa, se le puede hacer observar que de ninguna manera necesita volver a to­marlo y que le basta utilizar la estruc­tura del espacio vectorial euclidiano que ha construido, pues ella resume de una una sola vez los resultados de tres años

de matematización de la geometría, con una forma que es lógicamente equiva­lente a la primera y, por consiguiente expresa la misma realidad y la hace igualmente disponible con respecto al espacio concreto, pero que matemática­mente es mucho más potente, porque es más sumaria, mejor estructurada y más directamente operatoria. Provisto de este instrumento, no sólo reencontrará y con­densará todos los resultados adquiridos, sino que irá sin esfuerzo más allá: la trigonometría y los números complejos serán conquistas fáciles y naturales.

El alumno habrá "vivido" así lo que es una matematización, lo que es la comparación de dos axiomáticas, y ex­perimentado las virtudes de una "buena" axiomática. No sólo habrá adquirido conocimientos importantes sino también una verdadera cultura, gracias a la cual, si se queda con ella, no será intelec­tualmente extraño a su propia época, y si prosigue, no tendrá que desarrollar y fortificar las actividades que ha apren­dido a tratar, sometiéndose a penosas reconversiones.

4. Teniendo cuidadosamente en cuen­ta los datos psicosociológicos, pedagógi­cos v matemáticos del problema de la enseñanza de la geometría, ha sido, pues, posible desprender de ellos una solución cuya existencia es del dominio de los hechos. Esta prueba experiencial ha cas­tigado a algunas opiniones, imprudente­mente anticipadas, acerca de la edad por debajo de la cual ciertas nociones serían inaccesibles para los niños.

Esta solución, que por otra parte cd- mite variantes, no es sin duda la única posible. Aporta, empero, un ejemplo que puede ser explotado de inmediato.

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El lugar de la geometría en una

enseñanza moderna de la matemáticai

!ANDRÉ REVUZ

(Poiticrs, Francia)

lugar aparte en la enseñanza entre los 10 y los 16 años, pero no se trata de apartarla tanto que no desemboque en nada.

a) Por una parte, es una teoría mate­mática relativamente compleja y, por cierto, la más compleja de las que se enseñan antes de la universidad. Pero esta teoría se inserta perfectamente en la organización unificada de la matemá­tica: es el estudio de un espacio vecto­rial de dimensión finita sobre el cuerpo de los reales provisto de un producto escalar ("vectorial euclidiano"). Así con­siderada, ella permite e impone un es­tudio de estructuras que son fundamen­tales en la mayoría de las ramas de la matemática (espacios vectoriales, gru­po de transformaciones, espacios métri­cos ...).

b) Por otra parte, es también una teoría física que describe una realidad cotidiana.

c) Una enseñanza de la geometría que no tuviera en cuenta estos dos aspec­tos, sería incompleta y carecería, segu­ramente, de uno de sus objetivos esen­ciales: dar una formación equilibrada. Si la complejidad de la geometría crea una dificultad pedagógica, el dominio de esta complejidad y su reducción a una es­tructura matemática que la expresa sim­plemente, son adquisiciones capitales en la educación de un espíritu.

3. En particular, las experiencias re­alizadas bajo la inspiración del Centro Belga de Pedagogía de la Matemática prueban que esas exigencias pueden ser satisfechas.

A este respecto pueden distinguirse dos etapas:

1. Entre los 10-11 años y los 18, la in­troducción en la enseñanza de las no­ciones de álgebra moderna no presenta dificultades. Ellas aportan nitidez e in­teligibilidad a un dominio en el que el principiante, sólo conoce una práctica fundada en la rutina más que en la reflexión. Ellas estimulan el interés por un estudio en el que a menudo reinaba el hastío.

Por lo contrario, la enseñanza de la geometría plantea un problema que se ha revelado difícil para los esfuerzos de modernización. Estructu-ada desde Eucli- des y poseedora de una belleza indiscu­tible, la geometría sólo podía ser inclui­da en la organización dinámica de la matemática actual al precio de una pro­funda transformación. La exposición de Euclides, o sus variantes, tienen todavía sostenedores que le manifiestan una adhesión de naturaleza pasional y consi­deran sacrilega toda tentativa de modifi­cación. De persistir una oposición de esta naturaleza, provocaría la desaparición total de la geometría, cosa que nadi6 desea.

La reflexión de los matemáticos y la experiencia en el aula de los docentes ha probado que, por lo contrario, es ac­tualmente posible una enseñanza de la geometría que satisfaga .lo que hay de esencial en las diversas exigencias que se le formulan desde los diferentes sec­tores según sus puntos de vista, y que sólo una observación superficial co- nre el riesgo de hallar contradictorias.

2. La geometría ocupa, sin duda, un* Esta fue la moción presentada por el autor en la

XIX? Reunión Internacional de !a CIEMEM, realizada en Ravenna en abril pasado, y oprobada por nimidad, (N. de los E.).

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la matemática están a menudo restringidos para esos estudiantes. El empleo a'e la matemática en la clase de ciencias puede permitirles adquirir la habilidad técnica, quedando para la clase de matemática la enseñanza de los desarrollos conceptuales.

Una última cuestión planteada se refirió a la diferen­cia que eventualmente convendría establecer entre los programas para varones y los programas para niñas. La respuesta negativa fue unánime. Las probabilidades de éxito de los estudiantes de ambos sexos son las mismas y las carreras científicas atraen tanto a unos como a otras. Toda discriminación con respecto o las niñas debería ser cuidadosamente evitada en la ense- ñanza de la matemática".

í (Viene de la página 156).í

arrollada, pues, para estos estudiantes, el aspecto "ins­trumental es importante.

En lo que concierne a la enseñanza en sí misma se formularon diversas sugestiones referentes al profesor. Éste debe ser un profesor cultivado y experimentado cuyo interés concuerde con los centros de interés y las nece­sidades de los alumnos, entre cuyas preocupaciones principales no figura la matemática. Es deseable que ese docente colabore con los profesores de las otras dis­ciplinas, en particular en la elección de los temas que trate y en la organización de los cursos. Esto es tanto más útil cuanto que en muchos países los horarios para

una-

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iI

•j El evento "Ai pero no A2" contiene los puntos de Ai que no pertenecen a la in­tersección con Ao. Esta relación se indica por Ai - Ao, o bien Ai A'2. La parte ra­yada de la fig. 4 indica la intersección de A3 con el complemento de A2, esto es, con A'o.

7) Espacio discreto. Un espacio de even­tos puede ser discreto o continuo. Cuan­do, al contrario de lo que sucede con las caras de los dados, o con el número de tomillos defectuosos, o con los números de la ruleta, el análisis se desenvuelve con cantidades que vadan continuamen­te, hay que considerar también espacios continuos en el tratamiento teó'ico. El es­pacio continuo puede ser un intervalo de tiempo en el cual cada instarte esté aso­ciado a un punto de ocurrencia, por ejemplo. Puede ser también una coorde­nada de posición, una velocidad, un mo­mento, etc. De este modo, un espacio de eventos se dice discreto si contiene un número finito o infinito de punios de rrencia que pueden ser ordenados me­diante una secuencia simple.

Problemas. Un mazo de naipes de 52 cartas (13 de cada palo) se distribuye en­tre 4 jugadores que se designan con Nor­te, Sud, Este y Oeste. Sea Nk el evento "Norte tiene por lo menos k ases"; sean Sk, Ek, Ok los eventos arálogos para los otros jugadores, siendo k = 1, 2, 3, 4 ¿Qué se puede decir del número x de ases en Oeste para los 7 casos siguientes: 1?) O',; 2^) NoS.>; 39) N't S', E'i; 4o 02-0:<; 59) N, S! E, O,; 6o) N3 Oi; 79) (N2 U S2) E2.

Soluciones:

Io) Para O'i, x = 0, por definición 2, de evento complementario.

2P) Perra N2 S2, x = 0. N2 significa que "Norte tiene por lo menos 2 ases". Enton­ces, No S2 implica que ambos, Norte y Sud, tienen por lo menos 2 asss cada uno; luego, si son 4 en total, no puede haber ninguno en Oeste.

3o) Para S'i E’i, x = 4. N'j S\ E\ ex­presa el hecho de no haber ningún as en Norte ni en Sud ni en Este; luego los 4 ases están en Oeste.

4?) Para 02 — 03, x = 2. Como 02 — 03 representa el evento "02, pe:o no 03", Oeste debe tener por lo msnos 2 ases y

no más de 2, pues si tuviese más de 2, ocurriría 03.

59) Para Ni Si Ei Oj, x = 1. En efecto, en este caso debe ocurrir "por lo menos un as en cada posición".

69) Para N3 Oj, x = 1. N3 Oí represen­ta el evento "por lo menos 3 asss en la posición Norte y por lo menos 1 as en la posición Oeste". Luego Oeste tiene 1 as.

79) Para (N2 U S2) E2/ x=0. N2uS2 representa el evento “en una al menos de las dos posiciones Norte y Sud, hay por lo menos 2 ases". Pero, la intersec­ción de este evento con E2, implica que Este tenga también, por lo menos 2 ases. Por lo tanto, de los 4 ases, necesariamen­te 2 están en Este y los 2 restantes, en Norte o en Sud.

OBSERVACION:Las operaciones de unión e intersección

de eventos tienen muchas de las p'opie- dades algebraicas de la adición y la mul­tiplicación de números, p^r ejemplo:

!ORIENTACION— -----Teoría moderna y aplicaciones

de las probabilidades'! JOAO MARTINS

(San Pablo, Brasil)

pertenecen simultáneamente a todos ellos. Esta relación se indica así: Ai A2 . .. A„.

La fig. 1 ilustra el caso más general de la unión de tres eventos, en donde hay tres intersecciones dobles, Ai A2, Ai A3 y A2 A3, y una intersección triple, Ai A2 A3.

10. Álgebia de los eventos.De lo expuesto se infiere que, a par­

tir de ciertos eventos, se pueden definir otros. Ahora bisn, teniendo presente todo lo dicho hasta aquí, se introducirán los elementos formales mediante los cuales se desarrollará el tratamiento matemá­tico.Ü

POSTULADO: Un evento sólo puede ser caracterizado formalmente con rela­ción a un espacio bien determinado. ocu-¡;

Conmutatividad:!: DEFINICIONES:A U B = B U A; AB = BA Asociatividad:AU(BUC) = (A U B) U C; A (BC) = (AB) C Distributividad:A U (BC) = (AuB) (A U C);A (B U C) = AB U AC Identidad:A U A = A; AA = A

1) Evento imposible. Un evento Ai que no contenga ningún punto de ocurrencia en un espacio dado Ea# es un evento imposible con relación a ese espacio. Esta propiedad se expresará así: Ai = 0.

2) Evento complementario de otro (o simplemente, complemento). Dados un es­pacio Ea y un conjunto Aj de ese espa­cio, el conjunto de los puntos de EA no pertenecientes al conjunto Aj representa el complemento de Aj y se representará por A'j. Se dice también que A'j es el evento complementario de Aj; así, el complemento de un evento es su nega­ción-

11. Definición clásica de probabilidad.

Consideremos un espacio discreto de eventos EA con un número finito N(A) de puntos de ocurrencia estadísticamente equivalente. Sea N(A|) el número de pun­tos del evento Ai en ese espacio. Por de­finición: p(Ai) = N(Ai)/N(A) = probabili­dad de ocurrencia del- evento Ai, o sim­plemente, la probabilidad de Ai.

Ejemplos:

En el lanzamiento de un dado ideal una sola vez, el espacio de eventos EA tiene 6 puntos estadísticamente equivalentes, correspondientes a las 6 caras.

5) Eventos mutuamente excluyentes. Cuando las intersecciones de n eventos son dos a dos todas vacías, se dice que los eventos considerados son mutuamen­te excluyentes. Así, los eventos Ai, A2, . ., A„ de un mismo espacio EA (figu­ra 2) son mutuamente excluyentes si, y solamente si, A, Aj = 0 (i £ j), siendo i y j naturales.

6) Relaciones de implicación y diferen­cia. Cuando un evento Ai contiene to­dos los puntos de otro A2, se dice que la ocurrencia de A2 implica la ocurrencia de Ai, o más simplemente, que A2 implica a Aj. Esta relación se indica por A2 C A (fig. 3).

3) Unión de eventos. Dada una colec­ción de eventos de un mismo espacio, Ai, Ao, ..., A„, se define al evento unión como el cor junto de los puntos de ocu­rrencia que pertenecen por los menos a uno de ellos. Esta relación se indica así:A, U A2 U ... (J A.., IJ A„.

4) Intersección de eventos. Dada una colección de n eventos, Ai, A2l ..., An, de un mismo espacio, se define al evento intersección de todos ellos como el junto de los puntos de ocurrencia que(*) Véase ELEMENTOS. Año II, pp. 131 - 6 (N. de los E.)

con-1

- 161 -- 160 -

rrir que a los puntos del espacio no se les pueda atribuir siempre una misma pro­babilidad. Esto es, el espacio puede pre­sentar una estructura compleja en la que los puntos no sean estadísticamente equi­valentes.

Con la creciente aplicación del méto­do probabilístico a las ciencias y la ne­cesidad de desarrollar su tratamiento en espacios continuos de eventos, la teoría de probabilidades íue poco a poco trans­formándose en teoría matemática, por una nueva formulación de sus bases en foima axiomática.

El evento A2, "cara 1", tiene un solo tiene apenas los puntos "cara 3" y "cara 6". Entonces: p(A,) = N(Ai)/N(A) = 2/6.

El evento A2, “cara 1", tiene un solo punto. Por tanto: p(A>) = N(A-.)/N(A) = = 1/6.

El evento A3, "cara par", tiene los pun­tos "cara 2", “cara 4", "cara 6". Conse­cuentemente: p(A3) = N(An)/N(A) = 3/6.

El número de puntos de un evento es, por su propia naturaleza, un número po­sitivo que satisface la condición

0 < N(A,) ^ NÍA)Para N(A¡) = 0, el evento A, es impo­

sible por definición; para NÍA,) = NÍA), los puntos del evento Ai son todos los del espacio EA: se define así el even­to cierto.

Dividiéndola por NÍA), número de pun­tes del espacio, se obtiene

0 ^ N(Ai)/N(A) ^ 1Por tanto, la probabilidad de un even­

to, en los términos en que fue definida para espacios discretos y finitos, satis­face la condición:

definición, la frecuencia relativa de A en las N veces en que se repite el mismo experimento.

El gráfico de la figura 5 representa el comportamiento de la frecuencia re­lativa del evento "cara" en el experimen­to de lanzar una moneda, que se repitió 2000 veces. Con el fin de eliminar cual­quier posible influencia de las condicio­nes iniciales en el lanzamiento de la mo­neda, ésta era colocada sobre el pulgar para ser lanzada una vez con "cara" pa­ra arriba y la siguiente con "cara" para abajo. Si la moneda estuviera bien ba­lanceada, era de esperar que las dos ca­ras fuesen estadísticamente equivalentes, o sea que para grandes valores dsl nú­mero N de lanzamientos, la frecuencia relativa F "crra" (N) se presentase muy cercana a 1/2. En otros términos, era ló­gico esperar "cara" o "cruz" muy apro­ximadamente el mismo número de veces.

Sin embargo, no ocurrió así. A medida que N crecía, F "cftra" (N) se mantenía inferior a 1/2. Una explicación de este comportamiento se basa en el hecho de que la moneda utilizada, con una efigie en altorelieve como "cara", tenía el cen- t_o de masa un poco hacia esa lado; ha­bía, por tanto, una ligera tendencia de la moneda a caer con esa efigie hacia abajo, resultando así perjudicado el re­sultado "cara".

15. La noción de probabilidad como lí­mite.

tadístico o no, esto es, si obedece a la ley del acaso o no.

b) El de asociar probabilidades a los elementos que se estudian.

El primero implica una observación ra­cional. El segundo envuelve la elección de un modelo adecuado, o sea, de un es­pacio de eventos apropiado. En el primero hay que determinar frecuencias relativas. En el segundo, hay que establecer proba­bilidades en términos de estructuras de un especie de eventos.

Por ejemplo, en el primero hay que averiguar si una ruleta determinada está viciada o no, si su comportamiento obe­dece a la ley del acaso o no. Se hace gi­rar una ruleta gran número de veces, anotando sus resultados. Siendo Ni el nú­mero de veces que el resultado i ocurre en las N operaciones, su frecuencia rela­tiva está dada por Fi (N) = Ni/N.

El segundo aspecto supone, por ejem­plo, procurar responder a la pregunta:

¿Cuál es la probabilidad de que, ha­ciendo girar la ruleta una única vez, dé, por ejemplo, el número 2?

Las dos maneras que se presentan de responder a esa pregunta, pueden resu­mirse así:

1) Razonando con la ruleta ideal simetría perfecta— que contuviera r números, se respondería: P2 = 1/r. Éste es procedimiento característico de la probabilidad "a priori".

2) Conocido F2 (N) = N2/N, para N su­ficientemente grande, se adoptaría

P'o = Fo(N) = No/N. En este caso se dice que la probabilidad es "a posteriori".

Es importante observar que en la prác­tica puede suceder que P'2(N) = k?.(N). P2 = ko/r, con k2>0 y muy diferente de la unidad cuando la ruleta no presenta simetría de comportamiento.

Entretanto, se admite que P'2 = límN-*oo+

Fo (N) == lím (N2/N), vale decir: el límite N-*co

de la frecuencia relativa, cuando el nú­mero N de observaciones crece indefini­damente, es la probabilidad del evento observado.

Evidentemente, para la ruleta ideal,

V

)'

.,

13. Probabilidad "a priori" y “a poste­riori".

En el método científico del tratamiento de los problemas estadísticos, puede ha­blarse de dos aspectos generales, tal co­mo en cualquier otro campo de la meto­dología científica, a saber:

l*) A partir de ciertas hipótesis se pre­tende prever ciertos resultados.

2P) A partir de ciertos resultados cretos se pretende, por el análisis de los mismos, llegar a conclusiones.

En el primer caso, a partir de modelos, se calculan las probabilidades —previ­sión de resultados—; se dice que la pro­babilidad es "a priori".

En el segundo, a partir de observacio­nes, se llega a inferencias mediante las cuales se elaboran modelos —interpreta­ción de resultados—, y se asocian proba­bilidades a "a posteriori".

con-0 < píA,) ^ 1

12. Dificultades de la definición clásica.Esta manera de definir la probabilidad,

aparentemente satisfactoria al principio, no resistió el progreso de la teoría de las probcbilidades. Aún en el caso de espa­cios discretos, la dificultad para llegar a los elementos básicos en la estrucUra de los eventos y establecer la equivalen­cia estadística, era a veces insuperable. El método del análisis combinatorio, en casos muy complejos, llevaría a expre­siones impracticables. En el caso de es­pacios discretos con infinitos puntos de ocurrencia, la definición clásica no era aplicable, pues originaba la división por infinito. Además de todo esto, puede ocu-

:on

Para que se pueda aplicar un forma­lismo dado a cierto campo fenomenoló- gico, es necesario disponer de un cri­terio de aplicabilidad. Viceversa, un for­malismo que se pretenda aplicar al es­tudio del comportamiento de observacio­nes, cualesquiera sean, debe estar siem­pre acompañado por una "carta" en la

establezca inequívocamente cómo

14. Frecuencia absoluta y frecuencia re­lativa de un evento.

Valiéndose del método estadístico, se realiza un gran número de veces (N) un experimento dado; se anota el número de vsces NÍA) en que ocurre el evento A.N(A) es, por definición, la frecuencia absoluta de A y N(A)/N = FA(N) es, per

¡ i

+j que sese deben asociar los elementos formales a los resultados de las observaciones, y recíprocamente.

En el tratamiento probabilístico, el cri­terio de aplicabilidad presenta dos aspec­tos esenciales:

•••*c,«to

-------- 2MI.. 0,470

—■; * v-y.-.V.; vj;____ ___

i!:.------------.Vi.----• • '

,..K - - - - - - . .. .1.

a) El de saber, al pretender aplicar el método a determinado fenómeno, si este tiene un comportamiento es-

//0,4007¿T ■rtr ÍOltTfcr '¿i 0 Too" 1109 «AlIM MI 999 1090

Figura 5neo 1100 (toe NOO IJ00 « 00 1 700 «00

- 163 -- 162 -

1 ihabilidades son: Pi = Mi/M, P2 — Mo/M,

.,Pn = Mn/M, donde M = 2 Mt esFn = P2 == 1/r. Obviamente, este límite no tiene el sentido del límite ordinario del análisis matemático. Para destacar esta diferencia se acostumbra a denominarlo “límite estocástico". Sería mejor, me pa­rece, llamarlo “límite estadístico", dado que la tendencia de la frecuencia relati­va para el mismo es en sí un proceso es­tadístico. La frecuencia relativa fluctúa es­tadísticamente, de modo que la amplitud media de sus fluctuaciones se va restrin­giendo a un intervalo de valores cada vez menor. (Los gráficos de las fig. 5, 6 y 7

OPINIONES Y EXPERIENCIASNuevo informe sobre

i=l

el número total de puntos del espacio considerado.

Entonces, se puede hablar de una fun­ción de probabilidad, PÍA) de los eventos Ai, definida en el espacio E. La variable evento A tiene, pues, como campo de existencia el conjunto Ai, A«, • •# A„.

Como ejemplo específico de “función de eventos" considérese una urna que

un ensayoEn la Circular N9 37/965 de la Dirección

General de Enseñanza Secundaria se trans­cribe un nuevo informe sobre el ensayo de los programas de matemáticas durante el año lectivo de 1964 (l), elevado por los inspec­tores José E. Encinas y Atilio Piaña. Se co­menta en él el desarrollo de los distintos ca­pítulos del programa de 29 año, destacándo­se, entre otras cosas, que fue necesario apar­tarse, al tratar número natural, de lo estable­cido por el programa, esto es, de la "teoría 'del número natural según los axiomas de Peano", decidiéndose vincularlo, en cambio, con "equipotencia de conjuntos y cardinali- dad" (2). Asimismo, se advierte que "el nú­mero de clases empleado para cada tema es notoriamente mayor que el previsto en e’ programa", de modo que sólo pudo tratarse parcialmente "número entero" y no llegó a serlo "número racional".

Las conclusiones finales, expuestas por los profesores en sus informes, se resumen así:

1. El profesor Gabba estima que, pese a no haber completado el programa, éste pue­de ser desarrollado en su totalidad si se ex­cluye "combinatoria" —siempre que se cum­plan totalmente las clases del año lectivo—. Los restantes profesores opinan que cinco ho­ras semanales son insuficientes para el de­sarrollo, a ritmo normal, de todos los temas del programa propuesto, incluyendo transfor­maciones del plano, máxime si se considera que la mayor parte del trabajo debe reali­zarse en el aula para que el aprendizaje sea efectivo.

2. Se recomienda que antes de decidir so­bre los cambios necesarios en los programas de l9 y 29 años, se complete la experiencia en el ciclo básico y se practique una seria y amplia evaluación de los resultados obte­nidos.

3. Las profesoras Houssay, Romero y Vi­cente no consideran conveniente dispersar los cursos experimentales en distintos estableci­mientos y sí, en cambio, concentrarlos sólo en algunos, para facilitar la formación de equipos de trabajo docente.

4. Se reitera que una mayor homogenei­

dad en los niveles de los diferentes cursos permitiría acelerar el ritmo del aprendizaje y un incremento de la intensidad y las exi­gencias, sin tener que diferenciar los pro­gramas.

5. Todos los profesores señalan la nece­sidad de contar con textos apropiados, pues la tarea de buscar bibliografía, seleccionar material y adaptar temas les insume consi­derable tiempo.

ó. También llaman la atención acerca d- la urgente necesidad de redactar los progra­mas de los ciclos superiores en las distintas ramas.

Por su parte, los supervisores citados más arriba, llegan a las siguientes conclusiones y recomendaciones:

1. Los resultados obtenidos pueden esti­marse, en general, como satisfactorios, sobre todo teniendo en cuenta las dificultades que presumía el tratamiento de temas completa­mente nuevos, en condiciones inapropiadas de trabajo; falta de textos, apremiante pre­paración del material, las guías y los ejer­cicios. No fue posible eximir a los profeso­res encargados de la experiencia de sus res­tantes obligaciones para dedicarse preferen­temente a estos cursos, tal como se había recomendado; por ello, es digna de todo en­comio la labor cumplida.

2. No fue posible desarrollar íntegramen­te el programa. Como causas, se pueden enu­merar las siguientes: a) pérdida de clases por diversos motivos; b) necesidad de preparar el material didáctico y falta de textos para los alumnos, dificultad ésta que podrá ser supe­rada en un futuro próximo; c) excesiva exten­sión del programa que debía desarrollarse, al que se agregó el último capítulo de pri­mer año.

3. Se estima conveniente que el tema "transformaciones" se mantenga en primer año, al sólo efecto del estudio geométrico, reservando el análisis de la estructura opera- cional para segundo año, atento a su mani­fiesta vinculación con la noción de función. Asimismo, se considera que el primer tema de segundo año, "necesidad del rigor y del

;

8oo

7oo .Figura 6

-3oo 600

5oo.

Figura 7-200 400

300 .

-100 200 _

100 .iI íIi

AAíO 0,470 O,‘.60 0,490 0,600 0,460 0,470 0.480 0,490 GSOO

contenga 3 bolas blancas, 2 negras, 5 rojas y 10 azules. Al tirar una de ellas al acaso, se tiene:Probabilidad de que sea blanca = 3/20;

•• „ „ „ negra = 2/20;•i n a n rojaa a a n azul

Así, cuando se pasa de un evento a otro, la probabilidad cambia de valor.

Una probabilidad puede ser también una función continua como ocurre, por ejemplo, con la de que un rayo gamma sea absorbido al atravesar una pared de plomo. En este caso, la probabilidad es una función continua y creciente del es­pesor del plomo que atraviese.

Finalmente, la función de eventos veces representada por P(.).

ilustran este comportamiento en el caso del lanzamiento de una moneda).16. Función de eventos.

La manera moderna de definir la pro­babilidad encierra las nociones de “es­pacio de eventos" y de “función de even­tos".

= 5/20; = 10/20.

Para mayor simplicidad, al introducir la noción de función de eventos se consi­deran inicialmente sólo espacios discre­tos de eventos con un número finito de puntos de ocurrencia.

Sea entonces un espacio discreto E con un número finito de puntos, en el que se representan los eventos mutuamente ex- cluyentes Aj, A2, ..., A„, con los puntos Mj, Mu, . .., M„, respectivamente.

i

es aDe acuerdo con la definición clásica

de probabilidad, las correspondientes pro- (Continuará),

- 164 -- 165 -

fit¡I;

II. Presentación de los números naturales. E! cero como cardinal del conjunto vacío; el uno como cardinal de los pares, etc. Análisis de la sucesión de números naturales: concepto de sucesor, primer elemento, inexis­tencia del último elemento. Conjuntos finitos o infinitos; finito es todo conjunto cuyo cardinal es un natural; un conjunto es infinito si no es finito; los conjuntos infinitos tienen una parte propia coordinable con los naturales; los finitos, no la tienen. El conjunto de los cardinales es infinito. N tieno el mismo cardinal que una de sus partes propias. Ejercicios. Ejemplos de con­juntos enumerables. (Se estima de valor establecer una biyección entre N y N5 como modelo para probar la enumerabilidad del producto cartesiano N X N.}.

III. Adición de números naturales como función que aplica todo par sobre su suma. Definición: Si Card.A = a, Card.B = by A f) E =: <f>, entonces a -¡~ b = Card. (AuB). Ejercicios. (Se estiman muy adecuados los con­signados en PAPY, "Math. Moderne", I, pp. 256/61 y también en KEMENY,..., "Introd. Mat. Finitas", p. 79) Tabla de la operación adición. Propiedades de la adi­ción vinculadas con las propiedades conocidas do la unión de conjuntos: conmutatividad, asociatividad y exis­tencia del elemento neutro. Cada propiedad ejempli­ficada con su diagrama, verificación con la tabla, re­presentación gráfica en la recta numérica, ejercicios de cálculo numérico aplicando las propiedades. Regulari­dad de la adición (propiedad cancelativa): a -}- b = a + c —> b = c; sólo la justificación gráfica y apli­caciones numéricas. La llamada propiedad uniforme de la adición como una consecuencia inmediata de su

simbolismo", debe quedar reducido a los co­nocimientos indispensables para el desarrollo posterior del programa.- proposición, implica­ción y operación. Las demostraciones mediante de la intuición, actividad del matemático, to­mando como modelo, para este último punto, el capítulo I del volumen I de los libros del SMSG. Con respecto a teoría de los conjuntos, se cree que debe reducirse la extensión asig­nada al capítulo II "conjuntos finitos", insis­tiendo sólo en los conceptos de relación, fun­ción y operación. Las demostraciones mediante diagramas de flujo deben limitarse a casos sencillos, como modelos de razonamientos de­ductivos. Esta reducción del tratamiento de la primera parte del programa permitiría en­carar su estudio total, objetivo que debe al­canzarse por ser imposible, por razones de contenido y de tiempo, trasladar temas a los cursos superiores. Se insiste en que es posible tratar "número natural" en la forma acordada y en que podrían se incluidas nociones de combinatoria, superados los inconvenientes señalados en el punto 2.

4. Se estima indispensable llevar a cabo una evaluación completa de los resultados obtenidos en el ciclo básico mediante un "test" único, concebido para valorar conocimientos y capacidad de razonamiento, que se pro­pondría los alumnos a fines de 1965.

5. Se reitera la urgencia de la preparación de los programas para el segundo ciclo, tarea que deberá estar a cargo de la Comisión Nacional para la Enseñanza de la Matemática.

6. Se estima que la actitud del profesor frente al alumno especificada en las circu­lares N? 19/63 y N9 14/64, aun con los programas vigentes, facilitará la conducción del aprendizaje de los nuevos programas con criterio moderno.

El informe comentado incluye consideracio­nes sobre las ampliaciones del ensayo del programa de primer año en la Escuela Normal N9 10 de la Capital y la de Comercio de Témperley.

(1) Al informe anterior nos referimos en ELEMENTOS, Año I, pp. 132/3. La nueva experiencia se realizó en los establecimientos y divisiones citados en ELE­MENTOS, Año I, pp. 135/6.

(2) La circular referida contiene también el orde­namiento de los temas del capítulo V del programa de segundo año, en la forma siguiente:

I. Equipotencia de conjuntos y número cardinal. Ejemplos y ejercicios gráficos. Idem geométricos (Dos segmentos cerrados no nulos tienen el mismo cardinal, etc.). Establecer que la equipotencia es una relación de equivalencia.

i

i T. M. APOSTOL, Matemática básica para téc­nicos (Vol. 11. REVERTE, Barcelona 1965.

En el N9 8 de ELEMENTOS (p. 56) se ha considerado la importancia del Análisis Ma­temático del mismo autor. Este nuevo trabajo tiene como origen la necesidad de "estable­cer un sensible equilibrio" entre quienes tienen que debe llegarse al Cálculo por el camino del rigor y quienes lo ven ante todo como el instrumento indispensable por la va­riedad y potencia de sus aplicaciones. Afir­mamos que, a nuestro juicio, el intento está logrado. Diremos, y no es el elogio menor, que, en todo momento, nos parece asistir a una clase, por la llaneza del lenguaie, el or­denamiento de los temas, la introducción gra­dual, los ejemplos, las acotaciones que pre­cisan y dan rigor a los contenidos.

Cada tema es precedido de una introduc­ción histórica que, brevemente, nos enseña el valor de los planteos y de las soluciones que fueron alcanzando los matemáticos a tra­vés de los siglos. A continuación, realiza un primer estudio sobre gráficos bien elegidos que dan una ¡dea clara e intuitiva del asunto considerado ,para finalizar con el estudio ri­guroso de las propiedades y teoremas Impor­tantes. Desde el punto de vista didáctico, con­sideramos un valioso aporte encarar ciertas demostraciones con rigor creciente,- queremos decir que el autor perfecciona las mismas r’ correr del texto, llamando nuestra atención cada vez sobre los defectos de ciertas dr mostraciones incompletas, haciéndonos ver por qué no debemos conformarnos con lo que nr parece obvio. De este modo, el lector par­ticipa del trabajo del matemático.

El libro se inicia con e! cálculo integral

permiten ¡luminar temas conocidos. El capítulo 4 trata las ecuaciones diferenciales elemen­tales, lo que da lugar al empleo de los arti­ficios de integración estudiados en el capítulo anterior. El capítulo 5 trata el álgebra vec­torial con aplicaciones a la geometría analí­tica, y el 6, las curvas y superficies. Sus capí­tulos 7 y 8 tratan del teorema del valor medio y sus aplicaciones. El 9 encara el estudio ele­mental de las series.

El libro abunda en ejercicios y problemas cuyas respuestas se dan al final del mismo. Quienes deseen estudiar o repasar los cono­cimientos elementales del análisis hallarán en

;

sos­

ia obra que comentamos un texto de lectura relativamente fácil que, sin embargo, conduce naturalmente al rigor.

Juan A. Foncuberta

carácter de aplicación y del principio de sustitución.IV. El orden de los naturales. La relación de menor

o igual entre los cardinales de dos conjuntos cuando existe una inyección: Si a —• Card.A y b = Card. B, es a ^ b, si y sólo si existe una inyección A —► B. Como consecuencia inmediata se establece: a ^ b, siexiste un natural c (cero incluido) tal que b = a -f- c. Si a ^ b y a J* b, es a <C b. Verificar que ^ es una relación de orden total. Adición y orden: el orden total sobre N es compatible con la adición. Como ejercicio, probar las llamadas leyes de monotonía.

V. Multiplicación de cardinales de dos. conjuntosA y B como cardinal del producto cartesiano. La mul­tiplicación como función que aplica todo par de na­turales sobre su producto. Hacer observar que:

!----------a------------- \a.b — a + a -f- ...7 a = b -j- b bPapel del 0 y del

Oscar VARSAVSKY, Algebra para escuelas secundarias. Tomo I!. Matemática deductiva. EUDEBA; Buenos Aires, 1965.

Ya hemos expuesto nuestra opinión (véase ELEMENTOS, Año I, p. 130) sobre el Tomo I, Matemática Intuitiva, de esta obra. Acaba de aparecer el segundo tomo, tan esperado, que responde a los programas en ensayo, pro­puestos por la Subcomisión Argentina de la CIEM. El autor desarrolló estos temas en cla-

para profesores, dictadas en Buenos Ai­res, en 1963.

Ratificamos lo ya dicho entonces; su em­pleo como libro de texto escolar no será nada fácil, por ser "un libro cuya reproducción textual por el profesor o por el alumno ca­recerá de sentido". Así lo deja traslucir tam­bién el autor, claro que parcialmente, al re­ferirse al capítulo XII: "Este capítulo no es fácil y muchos alumnos no lo comprenderán bien. Esto no es grave: a esa edad, los jóvenes tampoco están en condiciones de comprender bien la Historia, por ejemplo, y no por eso hay que dejar de enseñarla" No todos con­cordarán con esta opinión, sin duda.

Este tomo contiene 9 capítulos, cuya nume­ración continúa la del anterior; ellos se re­fieren al método axiomático, los números na­turales, los sistemas naturales, los conjuntos finitos e infinitos, la multiplicación y la po­

ses

en la multiplicación. Propiedades conmutativa y asociativa; distributiva con respecto a la adición. Como no se demostraron todas las propiedades del producto cartesiano, se deja a criterio del profesor demostrar alguna de las propiedades de la multipli­cación de naturales; por ejemplo la distributiva ba­sada en la definición segunda y las propiedades de la adición. Muchos ejercicios (producto de dos sumas, cálculos numéricos, etc.) utilizando las nociones de cuadrado y cubo, que el alumno ya tiene. Tabla de la operación. Multiplicación y orden: la relación es compatible con la multiplicación de naturales. Como ejercicio probar las llamadas propiedades de monoto­nía. Regularidad para la multiplicación de naturales (cero excluido). Ejercicios.

Destacar la estructura de semlgrupo en el conjunto de los naturales para las operaciones de adición y multiplicación.

VI. Potenciación de números naturales. Potencia ené­sima de a como producto de n factores iguales a a. Ejemplo de operación no conmutativa y no asociativa.

(Sigue en pág. 169)

I para funciones escalonadas, con un impor­tante apéndice sobre el sistema de axiomas para el número real. El capítulo 2 trata sobre el cálculo diferencial. El autor sostiene en el prólogo que este ordenamiento, aparte de su valor histórico, "es el mejor camino para ha­cer patente la verdadera conexión entre la derivada y la integral". En el 3er. capítulo estudia la función logarítmica, la exponencial y las trigonométricas inversas. Los profesores de enseñanza media hallarán enfoques que

1

- 167 -- 166 -

)!

r

Noticiasobra —"presentación de los temas en un nivel adecuado a los estudiantes universitarios y de escuelas técnicas superiores"—; su enfoque y tratamiento —"guiado ante todo por la in­tención didáctica que procura abordar con cautela y gradación las cuestiones dificultosas o abstractas, y que el libro resulte conceptual­mente autocontenido"—; el propósito de la ejercitación —"desbrozar la teoría de cuestio-

accesorias y dar ocasión constante al au­tocontrol"—, son expuestos claramente, trando que la reflexión ha precedido juicio­samente a su desarrollo.

En algo más de trescientas páginas en­cuentra el lector.- nociones de álgebra vecto­rial, con aplicaciones a la geometría analítica,- vectores variables, aplicados al estudio de curvas y superficies,- los campos escalares y vectoriales, y los operadores diferenciales,- los teoremas integrales clásicos y sus aplicaciones a la mecánica de fluidos y la conducción del calor, tratados vectorialmente; los campos new- tonianos,- las funciones armónicas y la teoría del potencial; el enfoque vectorial de la mag- netostática, la electrostática y el electromagne­tismo,- los campos vectoriales planos con poten­cial logarítmico y su re'ación con la represen tación conforme. Todos estos asuntos son tratados manteniendo "autocontenido" al texto mediante exposiciones sucintas adecuadas y se acompañan con notas y ejemplos aclaratorios y referencias históricas reveladoras de una ver­sación poco común. Pero sobre todo, con una seleccionada ejercitación, cuyas respuestas agregadas facilitan el propuesto "autocontrol" por parte del lector.

Como la expresa el Autor, "el análisis vec­torial se considera hoy un instrumento natu­ral y casi indispensable tanto en la geometría diferencial como en la mecánica, la hidrodi­námica y la electrodinámica". Por ello no de­be extrañar la abundante y renovada biblio­grafía conexa; de hoy en más, este libro que comentamos será de consulta provechosa para una información autorizada y actualizada, y de citación inevitable cuando se aluda a las obras de valor en este terreno. En un número anterior (ELEMENTOS, año II, página 55), al anunciar su próxima aparición, manifestába­mos nuestra esperanza de que este "Análisis Vectorial" cumpliera "satisfactoriamente los ob­jetivos prefijados"; hoy advertimos que lo ha logrado con creces. Le auguramos una difu­sión creciente a medida que sus méritos vayan siendo debidamente apreciados.

tenciación de númeris naturales, las opera­ciones inversas, el cero, los números negativos y los enteros, y los números racionales. Fina­liza presentando las soluciones de los ejerci­cios planteados en los diferentes capítulos.

Debe destacarse el esfuerzo realizado para presentar cuestiones tan alejadas de los tra­tamientos tradicionales, ajustándose a las exi­gencias del rigor científico. El libro resulta muy denso y detallado; tanto que el autor dice en el prólogo: "No creemos que sea ne­cesario repetir en clase las demostraciones de todos los teoremas y propiedades. Es su­ficiente con ejemplificar el método de demos­tración" Por nuestra parte, estimamos que a esta altura de los estudios de los alumnos, sería imposible hacer otra cosa. Diremos más, el contenido y la forma de su presentación son más adecuados, a nuestro juicio, para el profesor que para el alumno. Y repetimos lo expresado oportunamente con respeclo a las ediciones previas: no son las más convenien­tes para alumnos secundarios. Por eso, es de­seable contar pronto con la edición definitiva, aprovechando para corregir erratas anotadas o inadvertidas ahora.

De cualquier manera, el esfuerzo de Var- savsky debe ser elogiado. Como dijera San- taló: "La dificultad estriba en escribir estos textos. Bien seguro que a los primeros que salgan se les encontrarán defectos y serán objeto de acerbas críticas". Lo menos que merece este libro es que se lo lea con detención y se lo analice concienzudamente. Y que otros especialistas, siguiendo su ejemplo, no des­deñen ocuparse también de realizar intentos semejantes en procura de soluciones que con­sideren más acertadas.

César A. TREJO: Análisis Vectorial (con Teoría del Potencial y Aplicaciones). KAPELLISZ; Bue­nos Aires, 1965.

Pocas veces se produce en nuestro medio editorial una conjunción tan elogiosa como la que nos ofrece este reciente libro: autor de mérito reconocido, contenido valioso y bien expuesto, presentación inobjetable, costo muy moderado.

Trejo es buen conocedor de los temas que trata y se mueve entre ellos con la soltura que acompaña inevitablemente a la suficien­cia. Además, tiene a su favor una gran ex­periencia docente que aprovecha para expo­nerlos ordenada, accesible y acabadamente.

Ya el prólogo mismo da prueba de lo cienzudo de su esfuerzo.- la finalidad de la

1. El Centro de Estudiantes del Doctorado en Química acaba de editar "Espacios tonales" del Dr. Enzo R. Gentile. La obra, un volumen de 350 páginas, se ha redactado so­bre la base del último capítulo de las "Notas de Algebra" del mismo autor, a la refiriéramos oportunamente. (Véase ELEMEN­TOS, año II, pág. 57). Contiene, empero, vo material que Gentile considera "indispen­sable para una introducción razonablemente sólida al álgebra lineal". Se tratan en ella: espacios vectoriales, transformaciones lineales y matrices asociadas, álgebras, determinantes, formas bilineales, polinomios minimal y ca­racterístico, fórmula normal de Jordán.

2. El Instituto de Matemática, Astronomía y Física de la Universidad de Córdoba (IMAF) está empeñado en colaborar en el progreso de esas disciplinas no sólo en el ámbito uni­versitario sino también proyectando su acción hacia el perfeccionamiento de graduados y de la enseñanza en la escuela media. Desde 1963 viene organizando cursos de actualiza­ción para profesores de matemática de acuer­do con los enfoques modernos de la asigna­tura, colaborando así con el Consejo Nacio­nal de Investigaciones Científicas y Técnicas y los Ministerios de Educación de la Nación y de la Provincia de Córdoba. Estos cursos se proponen analizar y comentar con profesores cordobeses los temas de matemática moderna incluidos en los nuevos problemas propuestos por la Subcomisión Argentina de la CIEM, establecer las condiciones necesarias para su experimentación efectiva en escuelas locales y evaluar los rebultados obtenidos para di­señar la acción universitaria futura en el te­rreno de la matemática.

Según nos informa, también, nuestro co­rresponsal en esa ciudad, los cursos se dictarán este año en el local del Instituto, desarrollán­dose los programas correspondientes a 29 y 3er. año. Además, se ha previsto realizar en­cuestas sobre las reacciones docentes ante los modernos aspectos de la asignatura y las po­sibilidades de aplicación de los nuevos pro­gramas.

3. Nuestra corresponsal en Mendoza nos informa que en la Escuela del Magisterio de esa ciudad, dependiente, de la Universidad Nacional de Cuyo, se realiza también en for­

ma parcial un ensayo de los programas antes citados. La experiencia se inició en 1963 y estuvo a cargo de la profesora Marta Saá de Lucero, en 1er. año,- en 1964, el curso de 29 año se encomendó a la profesora Josefina B. Cosentino, permaneciendo la Sra. de Lucero en 1er. año. En 1965 se dictan cursos en 1er. año, con la profesora Olga M. Taboada, en 29, con la profesora Lucero y en 39 con la señorita Cosentino. Los alumnos cuentan con apuntes redactados especialmente.

4. En la misma ciudad de Mendoza se desarrolló entre el 22 de febrero y el 9 de marzo del corriente año un curso de perfec­cionamiento docente, oganizado por el Ins­tituto Bernasconi, de Buenos Aires. Estuvo a cargo de la profesora Josefina B. Cosentino, quien desarrolló el siguiente temario: Pano­rama actual de la matemática. Necesidad de cambios en su enseñanza, en los aspectos psi- copedagógicos y metodológicos. Importancia del léxico matemático. Deficiencias en la en­señanza de la matemática, subsanables sin una reforma total. Nueva presentación de la operatoria.

5. El 23 de junio, en la Sociedad Cientí­fica Argentina, se procedió a inaugurar el período 1965/66 del Seminario de Matemá­tica "Dr. Claro C. Dassen", que dirige el in­geniero Roque Scarfiello. En dicho acto, el presidente de la entidad, ingeniero José S. Gandolfo, entregó al Dr. Luis A. Santaló el premio "Sociedad Científica Argentina", dis­cernido el año anterior, en la rama de ma­temática y astronomía, al especialista más destacado durante el quinquenio 1959-1963. En tal oportunidad, Santaló pronunció una conferencia sobre el tema: /La matemática moderna en la investigación y en la ense­ñanza", que publicamos en el próximo número, ñanza", que publicaremos en el próximo nú­mero.

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(Viene de pág. 166)Potencia de un producto. Producto de potencias de igual base. Potencia de una potencia, para exponente natural. Ejercicios. Cuadrado y cubo de una suma de dos términos.. Ejercicios.

Vil. Sistemas de numeración. Referencias históricas. Sistema de numeración decimal. Otros sistemas de nu­meración, en particular el binario. Tablas de sumar y multiplicar en el sistema binario. Ejercicios. Cambios de base.

VIII. Las operaciones inversas: resta, división y ra­dicación de números naturales.con-

— 169 —- 168 -

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Correo de ELEMENTOSEditores

José Banfi — Alfredo B. Besio

Buenos Aires (Argentina)Fernández Blanco 2045

FIATvinculación de aquella Revista al Instituto: ella deberá ser un,medio de divulgación de sus actividades y de información al profesorado secundario".

Estamos seguros de que los amigos de ELE­MENTOS recibirán complacidos el reconoci­miento de la labor de nuestra Revista, que hace tan alto y calificado organismo. Por nuestra parte, nos sentimos con ello más obli­gados a proseguir en la tarea de editarla. Descontamos que también habrá de continuar el apoyo y la colaboración de los que hasta ahora han venido acompañándonos. A todos, nuestro agradecimiento.

Cerramos el segundo año de vida de ELE­MENTOS con un hecho muy reconfortante-, la publicación de este número se solventa parcialmente con un subsidio que el CONSEJO NACIONAL DE INVESTIGACIONES CIENTIFI­CAS Y TECNICAS ha resuelto concedernos temporaria y excepcionalmente, fundándose en que "la Revista ELEMENTOS cumple un gran servicio entre el profesorado secundario, que puede y debe ampliarse en el futuro por ser la única revista de matemática dedicada al profesorado secundario que se publica en la Argentina". La resolución advierte además que "al constituirse el proyectado Instituto de En­señanza de las Ciencias deberá estudiarse la

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CONCORD

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aprobación del examen de nivel A sea requisito suficiente para el ingreso a las universidades en general; para los alum- ros que piensen dedicarse a la ma­temática, presentan un programa más completo que, creen, cubre todas las necesidades.

Es destacable, por último, la actitud adoptada frente a las críticas del pro­yecto. "Está en la naturaleza de las cosas que cualquier nueva línea de de­sarrollo despertará críticas". En verdad, las críticas han sido densas en las pri­meras etapas y se las ha considerado como la mayor contribución que se pudo recibir; ello ha determinado no sólo correcciones del programa sino también la tarea de convencer a muchos de los críticos y a proporcionarles ciertas alter­nativas para su quehacer.

Todo lo dicho, afirmado en la recono­cida tenacidad inglesa para cumplir con objetivos que consideran importantes, hacen del S.M.P. una de las experiencias interesantes que se están realizando para implantar las ideas de la matemática moderna.

(Viene de la página 150).

realizado en el S.M.P. Queda en claro, no obstante, que se trata a la mate­mática como una materia unitaria eli­minándose la antigua separación en distintas ramas; también se han suprimi­do temas de la matemática tradicional que han perdido vigencia. Cabe destacar esta característica, especialmente si re­cordamos el tradicionalismo inglés que los llevó a usar los "Elementos" de Euclides hasta épocas muy recientes.

Una parte importante del proyecto es la de los exámenes tanto el del nivel O como el de nivel A; se presenta a los Glumnos una tarea para ser realizada en un tiempo predeterminado, pero no se considera imprescindible que la realicen enteramente, considerándose que el cum­plimiento de un porcentaje establecido previamente da derecho a la aprobación. Claro está, ese porcentaje varía según que los alumnos piensen dedicarse a la matemática pura o a las distintas cien­cias aplicadas. Los redactores del pro­yecto tienen la esperanza de que la

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