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ELEMENTOSREVISTA DÉ MATEMÁTICA
PARA LA ENSEÑANZA MEDIA
Número 5Marzo - Abril 1964Año I
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Dificultades da la. Reforma
Temas denuestro tiempo: La arquitectura do las matemá
ticas.por Nicolás BOURBAKl
El programa de la 0. E. C. E.Panorama:
Orientación:El álgebra de Boole (continuación).! por Florencio D. JAIME
r Cálculo proposicional (continuación).
por Raúl A. CHIAPPA
Opiniones y experiencias
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LEMENT0SREVISTA DE MATEMÁTICA
PARA LA ENSEÑANZA MEDIA
IBM en el mundo
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La dificultad esencial que encuentra el movimiento de renovación es de orden psico-sociológico: resistencia instintiva de toda sociedad a la novedad, sobre todo cuando ella exige un esfuerzo; oposición a ese esfuerzo, que se intenta cubrir con los cofores más seductores; amargura de los que se han dejado llevar por la ilusión de saber todo lo que era "razonable" saber, y a las que les duela admitir qu la ciencia se ha transformado a pesar de eUos, aun en sus aspectos elementales.
ANDRÉ REVUZ, "Matemática moderna, matemática viva"
IBM fabrica sus productos en 16 países del mundo. Máquinas eléctricas de escribir, computadoras electrónicas, clasificadoras. perforadoras, reproductoras, intercaladoras, calculadoras, verificadoras, máquinas de contabilidad, salen de distintas plantas. Son máquinas hechas por hombres. Por hombres que forman una
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empresa de avanzada, que elabora elementos de avanzada para el desarrollo de nuevas técnicas y nuevas ciencias. Pero ellos son, sobre todo, hombres de buena voluntad. Hombres con fe en el destino de los hombres y el mundo, que fabrican, venden, exportan, aprenden, enseñan, mejoran, realizan, disponen. Miles de hombres dispersos por todo el mundo, forman la familia IBM y hacen de IBM una empresa cuyos productos y servicios mejoran la educación, la defensa, la industria. el comercio, la investigación espacial, la administración pública y todas las ramas del saber humano.
Al plantearse la posibilidad de la reforma de la enseñanza de la matemática en nuestro país, se previo, sin duda, que habrían de surgir las dificultades propias de todo proceso renovador. Hoy ya se tiene la seguridad de su existencia y la conciencia de su gravedad. Y es necesario considerarlas atentamente para erradicarlas, o por lo menos atenuarlas, si es que la tarea emprendida quiere llevarse seriamente al término acertado que exige toda experiencia realizada en terreno tan delicado y respetable como es el de la educación.
En primer lugar, no obstante el esfuerzo de grupos aislados y de órganos de difusión, lo cierto es que la información acerca de la reforma es todavía incompleta. Y sin información adecuada, no hay decisión satisfactoria.
En el plano docente, esta deficiencia en la información se traduce en general en una preparación insuficiente del profesorado en ejercicio, aun del especializado, que desgraciadamente ha sido formado con planes que han perdido vigencia. Lo que es peor, pese a las normas legales terminantes, ni siquiera se ofrece aliciente apropiado a aquellos entusiastas que se preocupan por lograr una supera-
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IBM World Trade CorporationAv. Pte. R. Sáenz Peña 933. Bs. As
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don de sus conocimientos y aptitudes. Claro está que esto es parte de un sistema que se caracteriza por no asegurar al docente condiciones de vida y de trabajo que le permitan dedicarse a su actividad específica con la consagración y cariño que ésta requiere.
TEMAS DE NUESTRO TIEMPO
La Arquitectura de las
Matemáticas' ’
En el plano social, si bien los argentinos no somos propensos por idiosincrasia a interesarnos por los problemas educativos de cierto matiz técnico, es del todo evidente que no ha trascendido en absoluto al dominio público este propósito de reforma que en otros países, en cambio, ha sido precedido por un intenso movimiento de opinión y ha logrado interesar aun a las altas esferas económicas.
En segundo lugar, se tiene la sensación —y ojalá nos equivoquemos— de que la experiencia en marcha no está debidamente planeada; los distintos ensayos parecen responder más a la inquietud personal de los docentes ejecutores, que a una organización dirigida y controlada por quienes tienen en sus manos la responsabilidad de hacerlo en virtud de las funciones que desempeñan en la orientación de la enseñanza. Nos tememos que todavía sigamos manejándonos en el ámbito del empirismo pedagógico. Si la experiencia quiere encauzarse seriamente, se debe constituir una comisión permanente, integrada por matemáticos, psicólogos y educadores, que la siga de cerca y resuelva sus dificultades sin demora. Y además la extienda adecuadamente. \
NICOLAS BOURBAKI(París, Francia)
¿LA MATEMÁTICA O LAS MATEMÁTICAS?
cuanto a aquellos que, como Poincaré o Hilbert, imprimen el sello de su genio en casi todos los dominios, constituyen, aun entre los más grandes, una rarísima excepción.
No se trata, pues, de dar al profano una imagen precisa de lo que los mismos matemáticos no pueden concebir en su totalidad. Pero podemos preguntarnos si esta proliferación exuberante es el desarrollo de un organismo vigorosamente conformado, que adquiere cada día más cohesión y unidad de los aportes que recibe, o si, por el contrario, no es sino el signo exterior de una tendencia a una dispersión cada vez más avanzada, debida a la naturaleza misma de las matemáticas, y si estas últimas no están en vías de convertirse en una torre de Babel de disciplinas autónomas, aisladas unas de otras, tanto en sus fines como en sus métodos y hasta en su lenguaje. En una palabra, hoy en día ¿hay una matemática o varias matemáticas?
Aunque más actual que nunca, no hay que creer quo este problema es nuevo; se ha planteado casi desde los primeros pasos de la ciencia matemática. Es que, en efecto, aun dejando de lado las matemáticas aplicadas, subsiste entre la geometría y la aritmética (al menos en su aspecto elemental) una evidente dualidad de origen. La segunda era inicialmente la ciencia de lo discreto, la pri-
la de la extensión continua, dos
iDar, en el momento actual, una idea
de conjunto de la ciencia matemática, es una empresa que a primera vista parece ofrecer dificultades casi insuperables, en razón de la extensión y la variedad del tema. Como en todas las otras ciencias, el número de los matemáticos y de los trabajos consagrados a las matemáticas ha aumentado considerablemente desde fines del siglo XIX. Las memorias de matemáticas puras publicadas en el mundo en el curso de un año normal, abarcan varios millares de páginas. No todo lo que ahí se encuentra tiene el mismo valor; pero después de la decantación, del inevitable desecho, no es menos cierto que cada año la ciencia matemática se enriquece con una cantidad de resultados nuevos, se diversifica y se ramifica constantemente en teorías sin cesar modificadas, refundidas, confrontadas y combinadas entre sí. No hay un solo matemático, aunque consagre a ello toda su actividad, que esté hoy en día en condiciones de seguir este desarrollo en todos sus detalles. Muchos de ellos se acantonan en un rincón de las matemáticas del que no tratan de salir, y no solamente ignoran casi completamente todo lo que no atañe a su tema, sino que inclusive no estarían en condiciones de comprender el lenguaje y la terminología empleados por sus cofrades que pertenecen a una especialidad alejada de la suya. No hay casi ninguno, aun entie aquellos cuya cultura es más vasta, que no se sienta extranjero en ciertas regiones del inmenso mundo matemático; en
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Por último, es incuestionable la resistencia que, abierta o solapadamente, ofrecen algunos sectores al movimiento de renovación. Son casi siempre el escepticismo, la falta de convicción o la inercia, las causas de su actitud negativa. Se olvidan que la educación de los jóvenes es empresa de idealismo optimista y de confianza en el porvenir.
LOS EDITORES
Este es, a grandes rasgos, nuestro pensamiento. Muchas otras opiniones deben escucharse y esperamos que se hagan oír clara y profusamente en beneficio del indispensable proceso de superación que debe vitalizar fructuosamente nuestros esquemas educacionales clásicos. Las páginas de ELEMENTOS se ofrecen difundir estas opiniones.
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para recoger y
iELEMENTOS, N9 3, pág. 54: "Necesidad de la Reforma".
meraaspectos que so oponen radicalmente
(*) Agradecemos a EUDEBA (Editorial Universitaria de Buenos Aires) habernos autorizado la publicación de este capitulo de la obra de F. Le Lionnais, "Las grandes corrientes del pensamiento.matemático" que comentamos en ELEMENTOS, W 1, pág. 20 (N. de los E.)
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ciones particulares, delimitadas con precisión", unidas por "mil caminos de comunicación" que permitía a los métodos propios de una de estas disciplinas ir a beneficiar a otra o varias otras (Brunschvicg, loe. cit., p. 447). Hoy, por el contrario, creemos que la evolución interna de la ciencia matemática, a pesar de las apariencias, ha estrechado más que nunca la unidad de sus partes diversas y ha creado una especie de núcleo central más coherente de lo que ha sido nunca. Lo esencial de esta evolución consistió en una sistematización de las relaciones existentes entre las diversas teorías matemáticas y se resume en una tendencia que se conoce generalmente bajo el nombre de "método axiomático".
A veces se dice también "formalismo" o "método formalista"; pero es necesario desde el principio advertir el riesgo de confusión qu«3 provocan estas palabras mal definidas, confusión que a menudo es explotada por los adversarios de la axiomática. Todos saben que el carácter externo de las matemáticas es presentarse bajo el aspecto de esa "larga cadena de razones" de la que hablaba Descartes. Toda teoría matemática es un encadenamiento de proposiciones que se deducen una de otras conforme a las reglas de una lógica que, en lo esencial, es la codificada desde Aristóteles bajo el nombre de "lógica formal", conveniente- men'.e adaptada a los fines particulares del matemático. Es, pues, una perogrullada trivial decir que este "razonamiento deductivo" es un principio de unidad para la matemática; una observación tan superficial no puede «explicar, ciertamente, la manifiesta complejidad de las diversas teorías matemáticas, así como no se podría, por ejemplo, reunir en una ciencia única a la física y la biología bajo el pretexto de que ambas aplican el método experimental. El modo de razonamiento por encadenamiento de silogismos no es más que un mecanismo transformador, aplicable indistintamente a toda clase de premisas y que no puede, por tanto, caracterizar la naturaleza de éstas. En otros términos, es la forma exterior qu*3 el matemático da a sus pensamientos, el vehículo que lo hace asi
milable a otros (2) y, para decirlo palabra, el lenguaje propio de la temática; pero no hay que buscar ahí otra cosa. Codificar este lenguaje, ordenar su vocabulario y clarificar su sintaxis es cumplir una tarea muy útil, que constituye efectivamente un aspecto del método axiomático, el que se puede llamar propiamente d«3l formalismo lógico (o, como también se dice, el de la "logística"). Pero insistimos en este punto, no es más que un aspecto, y el menos interesante.
Lo qu«3 se propone como fin esencial la axiomática es precisamente lo que el formalismo lógico, por sí solo, es incapaz de suministrar: la inteligibilidad profunda de las matemáticas. Lo mismo que el método experimental parte de la creencia "a priori" en la permanencia de las leyes naturales, el método axiomático halla su punto de partida en la convicción de que si las matemáticas no son un «encadenamiento de silogismos que se despliegan al azar, tampoco son .una colección de artificios más o menos "astutos", hechos de aproximaciones fortuitas, en las que triunfa la pura habilidad técnica. Ahí donde el observador superficial no ve más que dos o varias teorías en apariencia muy distintas, que se prestan, por mediación de un matemático de genio, un "inesperado socorro" (Brunschvicg, loe. cit., pág. 446), el método axiomático enseña a buscar las razones profundas de este descubrimiento, a «encontrar las ideas comunes sepultadas bajo el aparato exterior de los detalles propios de cada una de las teorías consideradas, a discernir estas ideas y a llevarlas a la luz.
desde el descubrimiento de los irracionales. Además, precisamente este descubrimiento fue fatal para la primera tentativa de unificación de la ciencia, el aritmetismo de los pitagóricos ("todas las cosas son números").
Nos veríamos arrastrados demasiado lejos si tuviésemos que seguir, desde el pitagorismo hasta maestros días, las vicisitudes de la concepción unitaria de las matemáticas. Además, es ésa una tarea para la cual un filósofo está mejor preparado que un matemático; pues constituye un rasgo común de las diversas tentativas por integrar en un todo coherente el conjunto de las matemáticas —ya se trate de Platón, de Descartes o de Leibniz, del aritmetismo o de la logística del siglo XIX— el que hayan sido hechas en conexión con un sistema filosófico más o menos ambicioso, que partía siempre de ideas a priori sobi«3 las relaciones de la matemática con el doble universo del mundo exterior y del mundo del pensamiento. No poá«3mos hacer nada mejor que remitir al lector sobre este punto al estudio histórico y crítico de Brunschvicg: Les Etapes de la Philo- sophie Mathématique 0). Nuestra tarea es más modesta y más circunscrita. No trataremos de examinar las relaciones de las matemáticas con lo real o con las grandes categorías del pensamiento. Es en el interior de la matemática dond«3 permaneceremos y buscaremos, mediante el análisis de su actividad propia, una respuesta al problema que nos hemos planteado.
en una ma-
mieníos que en ella figuran; luego, tomando cada uno de ellos aisladamente y planteándolo como principio abstracto, desarrollará las consecuencias que le son propias; finalmente, volviendo a la teoría estudiada, combinará de nuevo los elementos anteriormente separados y estudiará cómo actúan unos sobre otros. Claro está que no hay nada nu*3VO en este balanceo clásico del análisis a la síntesis; toda la originalidad del método reside en la manera en que es aplicado.
Para ilustrar con un ejemplo el pro- cedimtento cuya descripción esquemática acabamos de hacer, tomaremos una de las teorías axiomáticas más antiguas (y más simples), la de los "grupos abstractos". Consideremos, por ejemplo, las tres operaciones siguientes: l9) la adición de los núm«3ros reales, donde la suma de dos números reales (pqsitivos, negativos o nulos) se define de la manera ordinaria; 2?) la multiplicación de los números enteros "módulo un número primo p", donde los elementos que se consideran son los números naturales 1, 2, ...., p-1, definiendo por convención el "producto" de dos de estos números como el resto de la división por p de su producto en «3l sentido ordinario; 3?) la "composición" de los desplazamientos en el espacio euclidia- no de 3 dimensiones, definiendo el "compuesto" (o el "producto") de dos desplazamientos S y T (en este orden) el desplazamiento obtenido al efectuar primero el T y luego el S. En cada una d«3 estas tres teorías, a dos elementos x, y (tomados en este orden) del conjunto de elementos considerado («3n el primer caso, el conjunto de los números reales; en el segundo, el conjunto de los números 1, 2, ..., p-1; en el tercero, el conjunto d«3 todos los desplazamientos) se hace corresponder (por un procedimiento particular de la teoría) un tercer etemento bien determinado, que convendremos en designar simbólicamente en los tres casos por x t y (esto s«3rá la suma de x e y si x e y son números reales, su producto "módulo p" si son números naturales ^ p-1 o su "compuesto" si son desplazamientos). Si ahora se examinan las propiedades de esta "operación" en cada una d«3 las tres teorías, se comprueba que presentan un notable paralelismo.
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FORMALISMO LÓGICO Y MÉTODO AXIOMÁTICO LA NOCIÓN DE ESTRUCTURA
¿Bajo qué forma se va a hacer esta operación? Es aquí donde la axiomática más se aproxima al método experimental. Bebiendo como éste en la fuente cartesiana, aquélla "dividirá las dificultades para resolverlas mejor"; en las demostraciones de una teoría, tratará de disociar los resortes principales de los razona-
(5) Todo matemático sabe, además, que no so "comprende" verdaderamente una demostración en tanto uno se limite a verificar paso a paso la corrección de las deducciones que figuran en ella, sin tratar de captar claramente las ideas que llevaron a construir esta cadena de deducciones con preferencia a cualquier otra.
C«3spués del fracaso más o menos evidente de los diversos sistemas a que aludimos más arriba, parecía que, a comienzos de este siglo, se hubiese renunciado, casi, a ver »3n las matemáticas una ciencia caracterizada por un objeto y un método únicos; existía más bien la tendencia a considerarlas como "una serie de disciplinas fundadas sobre no-
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(*) París, Alean, 1912. [Hay versión española, Ed. Lautaro, Colección Tratados Fundamentales, Buenos Aires, 1945.]
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manera, aplicable a todos los casos: de la relación xry = XTZse deduce (dando a x' el sentido definido antes) x' T (x r y) = x' r (x r z); luego, aplicando a), (x'rxlry = (x' r x) T z; utilizando c), esta relación puede escribirse ery=--erzy finalmente, aplicando b) es y = z, que era lo que se debía demostrar. En este razonamiento, hemos hecho abstracción total de la naturaleza de los elementos x, y, z considerados, es decir, no nos hemos preocupado por saber si eran números reales, números enteros ^ p-1 o desplazamientos; la única premisa que intervino fue que la operación x r y sobre estos elementos satisfacía las propiedades a), b) y c). Aunque más no fuera para evitar repeticiones fastidiosas, se comprende, pues, que sea cómodo desarrollar de una vez por todas las consecuencias lógicas de las tres propiedades a), b), y c) solamente. Naturalmente, para comodidad de lenguaje, es necesario adoptar una terminología común; se dice que un conjunto en el que se ha definido una operación "r" que satisface a las tres propiedades a), b) y c) está provisto de una estructura de grupo (o, más brevemente, que es un grupo); las propiedades a), b) y c) son llamadas los axiomas (5) de las estructuras de grupo, y desarrollar sus consecuencias es hacer la teoría axiomática de grupos.
Ahora podemos hacer comprender lo que, de una manera general, debe entenderse por una estructura matemática. El rasgo común de las diversas nociones agrupadas bajo este nombre genérico es que ellas se aplican a conjuntos de elementos cuya naturaleza (°) no está especificada; para definir ;una’- estructura, se dan una o varias relaciones en
las que intervienen estos elementos (7) (en el caso de los grupos, era la relación
x r y entre tres elementos arbitrarios); se postula luego que la o las relaciones dadas satisfacen ciertas condiciones (que se enumeran) y que son los axiomas de la estructura considerada (8).
Pero en el interior de cada una de estas teorías, estas propiedades dependen unas de otras y un análisis de sus conexiones lógicas conduce a discernir un pequeño número que son independientes (es decir que ninguna es consecuencia lógica de todas las otras). Por ejemplo (3), se pueden tomar las tres siguientes, que nosotros expresaremos con nuestra notación simbólica común a las tres teorías, pero que son muy fáciles de traducir al lenguaje particular de cada una de ellas:
a) Sean cuales fueren los elementos x, y, z, se tiene x t (y r z) =(x r y) r z (“aso- ciatividad" de la operación r).
b) Existe un elemento e tal que, para todo elemento x, se tiene erx = xre = x (para la adición de los números reales, es el número 0; para la multiplicación “módulo p", es el número 1; para la composición de desplazamientos, es el desplazamiento “idéntico" que deja fijo a cada punto del espacio).
c) Para todo elemento x, existe un elemento x' tal que x r x' = x' r x = e (para la adición de números reales, x' es el opuesto, —x; para la composición de desplazamientos, x' es el desplazamiento "inverso" de x, es decir, el que lleva a cada punto desplazado por x a su posición primitiva; para la multiplicación “módulo p", la existencia de x' resulta de un razonamiento aritmético muy simple) (4).
Se verifica entonces que las propiedades que son susceptibles de expresarse de la misma manera en las tres teorías, con ayuda de la notación común, son consecuencias de las tres precedentes. Por ejemplo, propongámonos demostrar que la relación x r y = x r z implica que y = z. Podría hacérselo en cada una de las tres teorías por razona- namtentos particulares a ellas; pero se puede proceder también de la siguiente
(*) Esta elección no es absoluta,- se conocen numerosos .sistemas do axiomas "equivalentes” al que exponemos aquí. Los enunciados de los axiomas de cada uno de estos sistemas son consecuencias lógicas de los axiomas de uno cualquiera de los otros sistemas.
(4) Es de notar que los restos de la división por p de los números x, x2,..xn, ... no pueden ser distintos; al expresar que dos de estos restos son iguales, se demuestra fácilmente que una potencia x,u de x tiene un resto igual a uno; si x' c-s el resto de la división de xm'J por p, se deduce de esto que el producto "módulo p" de x y de x' es igual a l.
Hacer la teoría axiomática de una estructura dada es deducir las consecuencias lógicas de los axiomas de la estructura, con exclusión de toda otra hipótesis acerca d*e los elementos considerados (en particular, toda hipótesis sobre su “naturaleza" propia).
H. CARTAN: "Sur les fondements logiques des mathé- matiques". Revue Scientifique, LXXXI, 1943, págs. 3-11.
(’) En realidad, esta definición de las es suficientemente general para las necesidades de la matemática; habría que considerar también el que las relaciones que definen una estructura se dieran, no entre elementos del conjunto considerado, sino entre partes de este conjunto, y aún, generalizando más, entre elementos de conjuntos de "grado" todavía más elevado, en lo que se llama la "escala de tipos". Para mayor precisión sobre este punto, ver nuestros "Eléments de Mafhématiques", I (fase, de résultats). Actual Scient. et Industr., N9 846.
( ) En el caso de los grupos, para ser absolutamente rigurosos, habría que contar como axioma, fuera de las propiedades a), b) y c) enunciadas más arriba, el hecho de que la relación z = x t y determina y solamente uno, dados x e y. De ordinario, se considera que esta propiedad está implícita al escribir la relación.
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nociones matemáticas, primero a la del número entero, y luego, en una segunda etapa, a la noción de conjunto. Esta última, considerada durante mucho tiempo "primitiva" e "indefinible", ha sido objeto do polémicas interminables, debidas a su carácter de extrema generalidad y a la naturaleza muy vaga de las representaciones mentales aue evoca; sólo se desvanecieron las dificultades cuando se disipó la noción de conjunto (y con ella, todos los seudoproblemas metafísicos sobre los "entes" matemáticos), a la luz de las investigaciones recientes sobre el formalismo lógico; según esta nueva concepción, las estructures matemáticas se convierten, propiamente hablando, en los únicos objetos de las matemáticas.
En los artículos que citamos a continuación, el lector oncontrará más desarrollado este punto.
J. DIEUDONNÉ: "Les méthodes axiomatiques modernes et les fondements des mafhématiques". Revue Scientifique, LXXVII, 1939, págs. 224-232.
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ALGEBRA LINEALEn general, no se tiene conciencia clara de que, en la escuela secundaria —fuera
de los rudimentos del cálculo infinitesimal—, no se enseña otra cosa que álgebra lineal. El encasillamiento tradicional en disciplinas aparentemente distintas: “geometría pura”, “geometría analítica”, “trigonometría”, “números complejos”, “geometría no-euclidiana”, etc.... no hace más que enmascarar este hecho y complicar las exposiciones. La enseñanza de la “geometría pura” según el método euclidiano proviene de una técnica ineficaz e inútilmente complicada, reliquia de un tiempo en que la noción de recta orientada, y menos aún la de vector, no se había precisado, y en que no se disponía de otro instrumento que el triángulo, al que había que reducirse por construcciones auxiliares artificiales. Actualmente, la antigua “geometría” es simplemente considerada como el estudio, en un espacio de dos o tres dimensiones, sobre el cuerpo de los reales, de una forma bilineal simétrica (x/y), el producto escalar, sometido a la condición suplementaria (x/x) > 0 para todo x ^ 0, lo que permite definir la longitud de un vecior por la fórmula |.t| = (x/x)h Los teoremas claves de antes, a los que no se llegaba más que por caminos oscuros y tortuosos, como los teoremas de Tales o de Pitágoras, se han convertido, bajo la óptica del álgebra lineal, sea en axiomas —como el teorema de Tales que se escribe: }. (x -j- y) ■= X x + \'y —, sea en consecuencias inmediatas de los axiomas— como el teorema de Pitágoras, pues la bilinealidad de (x/y) jnuestra que:
*O Es obvio que no hay ningún punto común entre
este sentido de la palabra "axioma" y el sentido tradicional de "verdad evidente".
(e) Nos colocamos aquí en el punto de vista "ingenuo" y no abordamos las espinosas cuestiones, mitad filosóficas, mitad matemáticas, que ha planteado el problema de la "naturaleza" de los "entes" u "objetos" matemáticos. Baste decir que el pluralismo inicial de la representación mental de estos "entes" —imaginados en un comienzo como "abstracciones" ideales de la experiencia sensible, y que conservan toda la heterogeneidad de ésta— ha sido substituido a raíz de las investigaciones axiomáticas de los siglos XIX y XX por una concepción unitaria, que reduce progresivamente todas las
(x + y/x + y) = (x/x) + (y/y) -f 2 (x/y), y si los vectores son ortogonales, o sea (x/y) = 0, se obtiene: \x + y[2 *= |rc|2 -f |y|2.
Se ignora, corrientemente, que, desde alrededor de 1880, la teoría de los invariantes —que no es otra cosa que la teoría de las representaciones lineales del grupo lineal— nos proporciona un procedimiento automático para formar todos los ciados verdaderos de la “Geometría elemental”; no se comprende pues muy bien el interés que se pone en dar demostraciones separadas y particulares en cada caso. (De una conferencia radiofónica de J. Dieudonné, en Francia, en marzo de 1964,
según el Bulletin de la A.P.M.)
enun-
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V. Desigualdades; cotas superior e inferior de resultados de cálculos aproximados.VI. Representación gráfica. Gráficos lera con números naturales.Vil. Enteros negativos; la ecuación x -j- a = b, siendo a y b números naturales.VIII. Números fraccionarios y racionales; la ecuación a.x = b, siendo a y b números enteros.IX. Fracciones decimales y, después, fracciones binarías. Valor decimal aproximado de número racional.X. Representación lineal de los racionales sobre un eje.XI. Gráficos cartesianos y la función asociada.XII. Magnitud proporcional a otra (x -*■ ax); relación con el teorema de Tales.XIII. Funciones lineales y el gráfico lineal de x -*■ ax + b, siendo x entero y x racional.XIV. Ecuación de primer grado con una incógnita.XV. Inecuación de primer grado con una incógnita.XVI. Potencias enteras (positivas, negativas).XVII. Concepto de grupo.XVIII. Divisibilidad de enteros.XIX. Conceptos de anillo y cuerpo.XX. Polinomios con una o más variables. Adición, sustracción, multiplicación, división eucli- diana.XXI. Funciones racionales elementales con varias variables.XXII. Ecuaciones lineales con dos incógnitas, con solución gráfica. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas; soluciones numéricas y gráficas. Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.XXIII. La función de segundo grado, x x2. Representación gráfica.XXIV. Raíces cuadradas de un número positivo-, x -*■ Vx y x -► - -\/x.XXV. Ecuación de segundo grado con una incógnita.XXVI. Progresiones aritméticas y geométricas. Isomorfismos y preparación para el estudio de los logaritmos.
En la confección de este programa se han tenido presentes estos objetivos: a) El contenido de la enseñanza en este
ciclo debe mantener lo que es corriente en muchos países en la actualidad: estudio del sistema de numeración decimal y procedimientos de cálculo en este sistema; destreza en el cálculo algebraico; ecuaciones e
inecuaciones lineales con una incógnita; sistemas de ecuaciones con dos y tres incógnitas; ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
b) Los procedimientos didácticos deben cambiarse necesariamente para introducir y emplear frecuentemente las nociones de la teoría de conjuntos ai mismo tiempo que el estudio de las propiedades características de las operaciones, con vista a la introducción de los conceptos de grupo, anillo y cuerpo.
c) La enseñanza de la aritmética, el álgebra y la geometría debe ser coordinada, atendiendo al objetivo precedente.
Se procura que las nuevas nociones antes citadas no se traten en forma teórica y formal, y que se llegue a ellas por vía del descubrimiento personal por parte de los alumnos. En la ejercitación necesaria para adquirir destreza en el cálculo numérico y algebraico, se aconseja evitar complicaciones inútiles, de valor dudoso para el desarrollo de la aptitud matemática; se pretende, en cambio, orientar la .atención reflexiva sobre las operaciones y sus propiedces. Como "innovación" en la orientación sugerida podría señalarse la insistencia en el empleo de técnicas experimentales en aritmética.
PANORAMAen esca-
:i
El Programa de la O.E.C.E.!•
un
tal que se pudieran adaptar a un nivel estudiantil medio, mientras que los del segundo se destinan esencialmente —salvo en Probabilidad y Estadística en que se hacen distinciones entre la orientación científica y la no científica— a aquellos alumnos orientados hacia estudios científicos, y en especial a los de matemática y física.
Se piensa, sin embargo, que muchos estudiantes capaces, sin intereses ni objetivos científicos, encontrarán en los nuevos programas un desafío para su curiosidad intelectual y una introducción adecuada al pensamiento matemático actual.
El aporte de la Reunión no pretende ser definitivo; se ofrece como una primera tentativa que deberá someterse a debida experimentación. Pero sus autores están convencidos de que la "buena matemática" que él implica responde a una concepción moderna "perfectamente adaptada a las exigencias y posibilidades" de los alumnos secundarios.
PRIMER CICLOLos programas sugeridos para el Pri
mer Ciclo (11 a 15 años) son los siguien-
De acuerdo con una de las recomendaciones del Seminario de Royaumont (1) —la referente a la confección de un programa moderno para la enseñanza secundaria de la matemática—, entre agosto y septiembre de 1960, se reunió en Yugoslavia el grupo de expertos (2) a los que la Organización Europea de Cooperación Económica (O.E.C.E.) (3) encargó dicha tarea.
Como el tiempo disponible era escaso, se decidió realizar parcialmente la labor encomendada ocupándose de aquellas partes de la matemática —álgebra, geometría, probabilidad y estadística— que presentaban la mayor urgencia. Pese a ello, se redactaron algunas recomendaciones refeientes a la enseñanza del análisis, cuyo programa no se creyó oportuno alterar.
Por otra parte se convino en dedicarse a formular un programa paro les alumnos secundarios mejor dotados, por considerarlos más capaces de asimilar un material más moderno y avanzado que el actual. Empero, el Seminario de Royaumont había recomendado que el temario fuera eventualmente accesible a todos los alumnos.
Esto determinó que se encarara la escuela media como compuesta de dos ciclos de tres años cada uno, redactándose los programas del primer ciclo en forma
I¡
i
i.Geometría
I. Introducción de la noción de vector como segmento de recta orientada. Adición, sustracción, multiplicación por un escalar.II. Angulo. Propiedades de los ángulos estudiadas con relación a rectas paralelas, polígonos, círculos. Estudio de las propiedales de los ángulos en paralelogramos y triángulos.III. Simetría. El triángulo isósceles.IV. Transformaciones estudiadas desde un punto de vista físico e intuitivo, para investigar propiedades de las figuras. Las transformaciones deben obtenerse por: a) plegado del papel; b) reflexión; c) rotación; ch) traslación; d) recortado de figuras; e) puntos espaciados regularmente sobre un círculo y los polígonos regulares.V. Transformaciones algebraicas simples: x' = ai x + bi, y' ai; x + b2/ con los valo-
tes:Kk
Aritmética y Algebra *
I. Nociones elementales de la teoría de conjuntos de elementos; propiedades y relaciones.II. Aplicación de un conjunto en y sobre otro. Número cardinal.III. Las cuatro operaciones con naturales. Propiedades de las operaciones.IV. Operaciones en el sistema de numeración decimal. Nociones sobre sistemas de numeración con bases distintas de 10, y en particular con base 2.
(1) Véase ELEMENTOS, N? 3> pág. 60.(2) Constituido por: E. Artin (Alemania), O. Botsch
(Alemania), G. Choquet (Francia), B. Derasimovic (Yugoslavia), H. F. Fehr (EE.UU.), C. Hope (Gran Bretaña), E. Krisfensen (Dinamarca), D. Kurepa (Yugoslavia), P. Libois (Bélgica), L. Pauli (Suiza), L. Rade (Suecia), B. Schoeneberg (Alemania), W. Serváis (Bélgica), M. H. Stone (EE.UU.), P. Theron (Francia) y M. Villa (Italia).
(3) Actualmente O.C.D.E., Organización de Cooperación y Desarrollo Económico.
— 116 - • V - 117 -
Algebra ro con este programa —y con cualquiera, agregamos nosotros—. Los conceptos introducidos en el primer ciclo (conjuntos, anillos, cuerpos, grupos, álgebra lineal) ocupan aquí un lugar preponderante y reaparecen constantemente en el estudio de la geometría; 'esto último obliga a una adecuada coordinación de ambas materias.Geometría
I. Grupos de transformaciones: a) Simetría axial; b) Simetría central; c) Traslación; ch) Rotación; d) Reflexión; e) Isometría.II. Geometría afín: a) Los números reales y la recta; b) Coordenadas; c) Vectores y espacios vectoriales; ch) Geometría analítica.III. Geometría euclidiana; a) Perpendicularidad; b) Producto interno de vectores,- c) Espacios vectoriales; norma,- ch) Trigonometría.IV. Cónicas: a) Lugares geométricos; b) Transformaciones afines,- c) Formas cuadráticas, representación paramétrica; ch) Propiedades pro- yectivas,- geometrías proyectiva y descriptiva.V. Estudio axiomático de: a) Espacio vectorial; b) Espacio afín; c) Espacio métrico euclidiano; ch) Geometría euclidiana sintética. (No se tratarán todos estos temas).
Se supone, según se expresó más arir- ba, que esta geometría del segundo ciclo se estudiará conjunta y simultáneamente con el álgebra. En particular, el tratamiento de la geometría se propone:a) Desarrollar la noción del espacio
concebido como un conjunto con subconjuntos particulares que poseen estructuras encadenadas entre sí; en particular, el espacio afín, el espacio euclidiano y el «espacio vectorial.
b) Desarrollar el conocimiento de la relación precisa entre la "recta” y el conjunto de los número reales.
c) Desarrollar la comprensión d«e las principales transformaciones utilizadas en las diferentes geometrías, y de los grupos de transformaciones; en particular en la geometría afín y la euclidiana.
ch) Desarrollar la comprensión ría la noción de estructura axiomática a través de estudios del tipo de: recta afín, plano afín, espacios afines, espacios métricos euclidicmos, espacios vectoriales.
los términos nuevos según el contexto con que son empleados, teniendo en cuenta que su empleo, al mismo tiempo que el conocimiento creciente de las propiedades a él asociadas, preparan el camino para la definición que sea necesaria; desarrollar la abstracción matemática a partir de modelos materiales o experiencias, pues, aunque la matemática es abstracta y se refieie a relaciones entre entes abstractos, el adolescente necesita previamente de una experiencia concreta, rica y variada; «estimular la creación y la intuición en los alumnos, fomentando descubrimientos y soluciones propias, y tratando de despertar atracción por la asignatura, de modo que ella no sólo interese sino también apasione.
Probabilidad y'Estadística
res de ai, a2, b\, b2, que den sólo ejemplos de transformaciones afines.VI. Representaciones gráficas simples (del álgebra): estudio de las curvas y = mx + b y y = ax2 -|- bx + c; desarrollo de ideas básicas para el estudio del cálculo. Las relaciones entre la recta y la parábola, y los coeficientes de sus ecuaciones.Vil. Ideas fundamentales incluidas en los conceptos de área y de volumen. Teorema de P¡- tágoras y sus extensiones.VIII. Propiedades no métricas de la recta y el plano, e introducción a la notación de los conjuntos. La figura geométrica como un conjunto de puntos.IX. Semejanza y leyes asociadas, en áreas y volúmenes.X. Trigonometría; seno, coseno, tangente y sus aplicaciones.XI. Empleo de cortas "demostraciones lógicas” para justificar algunas de las propiedades geométricas tratadas precedentemente en forma intuitiva.
ler. año:
I. Conjuntos. Introducción a la teoría de conjuntos,- símbolos.II. Aplicaciones. Noción de función.III. Relaciones, especialmente de equivalencia y de orden.IV. Anillos, cuerpos, grupos. Definiciones y propiedades elementales.V. Sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas (m ^ n ^ 3).VI. Introducción a la teoría de vectores, especialmente para la resolución de un sistema de 2 ó 3 ecuaciones con 2 ó 3 incógnitas.Vil. Primeros pasos hacia el estudio formal de los números reales. (Valores absolutos, cuerpos ordenados, radicales).VIII. Ecuaciones de segundo grado.IX. Números complejos.
j
I
I;
29 año:I. Estudio de fenómenos aleatorios para introducir las nociones de espacio de muestras, suceso y probabilidad de un suceso.II. Ley empírica de la estabilidad de las frecuencias.III. Métodos numéricos y gráficos en estadística descriptiva.IV. Conceptos de: media, mediana, moda, desviación, desviación ¡ntercuartil.V. Diagrama de barras, diagrama puntual de frecuencia, histograma y polígono de frecuencias acumuladas. (Si es posible, se podrán tratar diagramas bidimensionales de dispersión, diagramas de control y representación gráfica de series temporales).VI. Estudio de la inferencia estadística.
Este programa, como los del segundo ciclo, no está concebido como un curso mínimo; algunos temas pueden considerarse como optativos, y aun omitirse. Pretende dar un fundamento intuitivo de la teoría da probabilidades y familiarizar a los alumnos con sus nociones básicas, así como presentarles los métodos fundamentales de la estadística descriptiva. Presupone el conocimiento del cálculo con números enteros, la medición d«a longitudes y el cálculo de áreas sencillas.
I. Principio de inducción completa.II. Divisibilidad en el anillo de los enteros; números primos.III. Factores; anillo de las clases residuales.IV. Anillo de polinomios.V. Conjuntos; operaciones lógicas, conjuntos numerables y no numerables.VI. Grupos. Isomorfismos, homomorfismos.Vil. Estructura axiomática del sistema de los números reales.VIII. Noción general de relaciones.IX. Combinaciones y permutaciones.
Las finalidades de este temario pueden resumirse así:a) Establecer, intuitivamente, ciertos re
sultados geométricos mediante la experiencia física y la observación.
b) Emplear deductivamente los resultados así obtenidos para justificar otros resultados e investigar propiedades que son invariantes en las transformaciones físicas y algebraicas.
c) Integrar métodos variados (algebraicos y sintéticos) para resolver un provenía geométrico.
d) Desarrollar, a medidas que avanza el curso, cortas cadenas deductivas que conduzcan a las propiedades fundamentales admitidas inicialmente como verdaderas por los alumnos, porque no podían aplicar los métodos de demostración en «el momento en que fueron introducidas.
El programa proyectado significa un abandono del desarrollo tradicional y refleja las tendencias modernas en la manera de ^tratar los distintos temas. Hoy la geometría abarca todos los aspectos del espacio en su concepción más abstracta y su tratamiento sintético es reforzado por las técnicas algebraicas.
Se recomienda: no emplear una terminología difícil y prematura, sino definir
;
3er. año:
I. Concepto abstracto de espacio vectorial; aplicaciones a los sistemas de ecuaciones lineales y a la geometría.II. Aplicaciones lineales, matrices./II. Aplicaciones de la teoría de grupos.IV. Cónicas. Formas y funciones cuadráticas.♦
VE1 programa propuesto debe conside
rarse también como un máximo y su desarrollo dependerá del tiempo disponible y de la capacidad d«e los alumnos. Para ayudar a lograr la abstracción que el curso implica, se aconseja una copiosa ejemplificación (ejemplos y contraejemplos) y una adecuada ejercitación que induzca a la investigación; la pasividad del alumno lleva al fracaso s«egu-
!
SEGUNDO CICLO
Para el Segundo Ciclo (15 a 18 años) se proponen los siguientes programas:
- 119 -- ti:8 -
¡
üAunque probabilidad y estadística se
presentan por separado, no se descarta posible curso combinado. Con la pri-
parte (A) se procura hacer la teoría fundamental de las probabilidades, insistiendo en las nociones que se necesitan para el estudio de la estadística indicando en la segunda parte (B). Con este último estudio no se pretende for-
estadísticas profesionales, sino ayudar a conocer los principios básicos del razonamiento de este tipo. El curso completo requiere conocimientos de permutaciones y combinaciones, del teorema del binomio, de progresiones geométricas, de la función exponencial y de elementos de análisis.
Orientación científica. Además de los indicados para la orientación no científica, se proponen los siguientes temas:a) Axiomas de la teoría de las probabili
dades.b) Teoría de las probabilidades condiciona
das. Sucesos independientes.c) Distribución de Poisson (si es posible).
El curso, que presupone los conocimientos requeridos para la otra orientación, se propone especialmente hacer conocer la teoría fundamental de las probabilidades y los principios básicos del razonamiento estadístico. Ni este programa, ni el precedente, deben ser considerados como programas mínimos, según se expresó antes.
Para concluir esta reseña, debe agregarse que el grupo de expertos reunidos en Yugoslavia estimó conveniente agregar a su proyecto de programas algunos desarrollos y comentarios óa temas y una breve información bibliográfica.
ORIENTACIONd) Desarrollar la destreza aplicable a los diversos métodos de estudio geométrico para la solución de problemas originales, tanto matemáticos puros como aplicados.
En resuman, se pretende proporcionar al alumno una visión clara y precisa de la naturaleza de la asignatura y de sus aplicaciones a la física.
Probabilidad y Estadística
Orientación no científica.A. Teoría de las probabilidades.I. Introducción intuitiva a la teoría.II. Probabilidades en espacios finitos de muestras.III. Teoremas de la teoría de las probabilidades. Sucesos independientes.IV. Esbozo de la teoría axiomática.V. Variables aleatorias y su distribución pro- babilística.VI. Variables aleatorias discretas y continuas. Funciones de frecuencia.Vil. Medias y varianzas.VIII. Distribuciones binomial y normal.IX. Sumas de variables estocásticas independientes.X. Desigualdad de Tchebycheff y ley de los grandes números.B. Estadística.I. Estadística descriptiva.II. Ejemplos de inferencia estadística.III. Control de hipótesis.IV. Inferencia estadística referente a la media de una población normal con desviación "standard" conocida.V. Ajuste de una distribución normal a los resultados estadísticos.VI. Diagramas de control.Vil. Inferencia estadística concerniente a modelos de regresión.
unconocermera
El Algebra de Boole'*1mar
!FLORENCIO D. JAIME
(Instituto Superior del Profesorado - Bs.,
REGLAS DEL RAZONAMIENTO Regla de sustitución. El signo = expresa, en la Lógica, la relación de identidad, relación, ésta, que sólo existe entre cada cosa y ella misma. Por consiguiente, cuando decimos que x = y estamos expresando que tanto "x" como "y" son símbolos representativos de una misma cosa. Surge de ahí la siguiente regla lógica, llamada "regla de sustitución”: Cuando x = y, cualquiera de los símbolos V e "y” puede ser sustituido por el otro en uno, en varios o en todos los lugares en que aparezca dentro de una dada proposición.
Por ejemplo: 5 + 1 = 3 +3, puesto que tanto el símbolo "5 + 1” como el símbolo "3 -f- 3” representan una misma cosa: el número 6.
Por lo tanto, en la proposición:
Conforme con lo expresado anteriormente, demostraremos los teoremas ateniéndonos a las reglas lógicas de la inferencia. Convendrá, pues, recordar las más empleadas a fin de que, cuando se las invoque, sea correcta su interpretación.
Regla de separación. (Esta regla, llamada también "Modus ponendo ponens” (Modo de afirmar afirmando), dice que: Cuando una implicación es verdadera y el antecedente de ella también lo es, se puede separar el consecuente y afirmar que él también es verdadero. En efecto, una implicación verdadera no es más que una verdad hipotética que no permite asegurar la veracidad del consecuente si no se ha comprobado que se cumplen las condiciones impuestas por la hipótesis. Así, por ejemplo, la implicación "si el triángulo ABC es equilátero, entonces el triángulo ABC es equiángulo” es verdadera, pero no habilita para afirmar aisladamente que el triángulo ABC es equiángulo si antes no se ha comprobado que es equilátero. Sólo entonces es válida la conclusión: "Luego el triángulo ABC es equiángulo”.
Regla de aplicación. Esta regla dice que: Lo que se verifica para todo x es aplicable, en particular, para cada significado que x pueda tener, siempre que ese significado se ponga en lugar de la variable x en todos los lugares en que ella aparezca dentio de la expresión válida para todo x.
(*) Véase ELEMENTOS N? 4, págs. 93-9Ó.
í
(5 + !)2 = (5 + 1) . (5 + 1);
se podrán efectuar las sustituciones que conducen a las siguientes conclusiones:
(3 + 3)2 = (5 + 1) . (5 + 1);\5 + D- = (3 + 3) . (5 + 1);(5 + l)s = (5 + 1) . (3 + 3);(3 + 3)2 = (3 + 3) . (5 + 1);(3 + 3)2 = (5 + 1) . (3 + 3);(5 + l)2 = (3 + 3) . (3 + 3);(3 + 3)- = (3 + 3) . (3 + 3).
:
CONDUCTA PARA UN MATEMATICO Acaso nos preguntemos si el tiempo que dedicamos a cuestiones de la. enseñanza
no estaría mejor empleado en la investigación científica. Y bien, respondemos que es un deber social el que nos obliga a tratar estos problemas. En efecto, no basta producir la riqueza/ es necesario procurar que su distribución ocurra'sin retardo ni dispersión. ¿1 no es acaso la ciencia una riqueza, tal vez la más valiosa de las riquezas, aquélla que constituye nuestro orgullo y es la fuente de nuestras satisf dones más puras? ¿No debemos facilitar a nuestros semejantes la adquisición del saber que es, al mismo tiempo, poder y felicidad?(Guido Castelnuovo, Conferencia Internacional de la enseñanza matemática’ París
1914)
La regla de sustitución no es válida para otros tipos de igualdad que no sea la identidad.
Propiedad de Euclides. Se llama "relación igualiforme" a toda relación que goce de los caracteres idéntico o reflexivo, recíproco o simétrico y transitivo (*). Las relaciones de identidad, congruencia,
ac-
■ r —
- 120 - - 121 -
i
I
/sustituciones permitidas por las identidades (3) y (4) se tiene que:
0* = 0 (por regla de sustitución).Si cualquier elemento de K que satis
face la condición del 0 resulta idéntico a éste, se puede afirmar que el 0 de Boole es único.
Para demostrar el Teorema I, 2 basta aplicar la ley de dualidad.
T. II. 1. Para todo elemento a, de K, se verifica que:
T. IV. (dual de si mismo). El elemento complementario de un elemento cualquiera a, de K, es único.
paralelismo, semejanza y equivalencia son ejemplos de relaciones igualiformes. La propiedad de Euclides dice que: Si dos cosas están ligadas por una misma relación igualiforme con una tercera, lo están entre sí. La propiedad de Euclides, referida en particular a la relación de identidad, dice, pues, que: Dos cosas idénticas a una tercera son idénticas entre sí.
TEOREMAS DEL ALGEBRA DE BOOLE
T. I. 1. El 0 de Boole es único.T. 1. 2. El 1 de Boole es único.
Demostración del Teorema I. 1
(por T. Ií. 1 y regla de sustitución)
a.a-a11
¡ Para demostrar el Teorema V. I basta aplicar la ley de dualidad.
T. VI. 1. Para todo elemento a, de K, se veiiifca que:
DemostraciónEn virtud del Ax. V, para cada ele
mento a, de K, existe al menos un elemento complementario a', de K, tal que:
a + a'zrrl y a . a' = 0 Sea ahora a" un elemento cualquiera
de K que también sea complementario del a, es decir, que cumpla las condiciones:
a + 1 « 1T. VI. 2. Para todo elemento a, de K,(1) (2) se verifica que:
a . 0 = 0¡ia -j- 0 = a Demostración del Teorema VI. 2i T. II. 2. Para todo elemento a, de K, se
(3) a + a" = 1 y a . a" = 0 Vamos a demostrar que a" = a. En
efecto: a = a .1
(4)verifica que: Sabemos que, para todo a, de K, se verifica que: a . 0 «= a . 0 -J- 0
a . 1|í a(por T. II. 1 aplicado a a . 0)
a . 0 = a . 0 + a . a' (por Ax. V y regla de sustitución)(por Ax. IV. 2 y regla de sustitución) (por Ax. III. 1 y regla de sustitución) (por Ax. V y regla de sustitución)
Demostración del Teorema II. 1 (por T. II. 2)(por (1) y regla de sustitución)
a” = a" . a -f a" . a' (por Ax. IV. 2 y regla de sustitución)
a' = a . a" + a" . a# (por Ax. III. 2 y regla de sustitución) (por (4) y regla de sustitución)
a" = a . a' + a" . a (por (2) y regla de sustitución)(por T. III. 2 y regla de sustitución)(por (3) y regla de sustitución)
' (por Ax. II. 2 y regla de sustitución)
Si cualquier 'elemento de K que sea complementario del a es idéntico al complementario a' de a, cuya existencia afirma el Ax. V, resulta que este complementario a! es único.
T. V. 1. Para todo a, de K, se verifica
= a" . (a + a')//En virtud del Ax. II. 1, existe al menos
un elemento 0 de K, tal que, para todo a:0 + a = a
Sea ahora 0* (léase "cero asterisco") un elemento cualquiera, de K, tal que, para todo a, se verifique que:
aEn virtud del Ax. III. 1, para todo a y todo b, de K, se verifica que:
a + b = b + aPor consiguiente, para todo a y para
b = 0 deberá verificarse, en particular, que:
a . 0 «= a . (0 -f a*)(1)
a . 0 = a a'
a*' = 0 + a" . a a . 0= 0a -f 0 = 0 -f a (por regla de aplicación)
i.i
0* + a = aVamos a demostrar que 0* = 0. En
efecto, puesto que para todo a se verifica la identidad (1), deberá verificarse en particular, para a = 0*, que:
0 + 0* = 0*
(2)El T. VI. 1 se justifica aplicando la ley de dcalidad.T. VIL 1. Para todo a y todo b, de K,
se verifica que:Pero:
(por Ax. II. 1)0 + a = a a" = (a + a") . a'Luego: a + a . b = a
T. VIL 2. Para todo a y todo b, de K, se verifica que:
a -j- 0 = apor carácter transitivo de la identidad y regla de separación.
Para demostrar el Teorema II. 2 bosta aplicar la ley de dualidad.
a" = 1 . a(3)(por regla de aplicación)
Análogamente, de (2), para a = 0, se iiene que:
a" = a a . (a + b) = a
Demostración del Teorema VII. 10* + 0 = 0(por regla de aplicación)
Ahora bien, para todo a y todo b, de K, se verifica que:
a -|- b = b -f- a (por Ax. III. 1); luego, en particular para a = 0 y b = 0*. se tendrá que:
(4)! T. III 1. Para todo a, todo b y todo c, de K, se verifica que:
(a . b) + c = (a + c) . (b + c)T. ID. 2. Para todo a, todo b y todo c,
de K, se verifica que:(a + b).c = a.c-j-b.c
Demostración del Teorema DI. 1
Sabemos que, para todo a, todo b y todo c, se verifica que:
(a . b) + c = c + (a b)(por Ax. I. 2 y Ax. III. 1)
(a . b) + c = (c + a) . (c -f- b)(por Ax. IV. 1 y regla de sustitución)(a . b) + c = (a + c) . (b + c)
(por Ax. III. 1 y regla de sustitución)Para demostrar el Teorema III. 2 basta aplicar la ley
de dualidad.Las propiedades expresadas por los
Teoremas III. 1 y III. 2 se llaman distributivas hacia la izquierda.
i(por carácter reflexivo de la identidad)
a + a . b = a . 1-f-a.b (por T. II. 2 yregla de sust.) (por Ax. IV. 2 y regla de sustitución)
a + a. b a + a . b
que:a + a = a
T. V. 2. Para todo a, de K, se verificaa-f-a.b = a.(l-f-b)
0 + 0* = 0* + 0(por regla de aplicación);
y haciendo en esta última proposición las------- , •: /(*) Tarski, en su "Infroduction to Logic" (pág. 96) se
ñala que no existe Hasta ahora un término umversalmente aceptado para denotar esta clase de relaciones. Añade que a veces se las llama IGUALDADES o EQUIVALENCIAS y critica el empleo de un mismo término para designar cosas distintas, insistiendo en que su uso conduce a ambigüedades. Por eso, nosotros preferimos designar a las mencionadas relaciones con el calificativo inconfundible de IGUALIFOR- MES introducido por Padoa en el II Congreso de la asociación "Mathesis" realizado en 1909 (V. "Periódico di Matemático", Serie III - Vol. Vil - págs. 229 y 258).
que:a . a = a a-f-a. b==a.(b-|-l) (por Ax. III. 1,
regla de api. y regla da sust.) (por T. VI. 1 y regla de sust.) (por T. II. 2 y regla de sust.)
El T. Vil. 2 se justifica aplicando la ley de dualidad.T. VIII. 1. Para todo a y todo b, de K,
se verifica que:
Demostración del Teorema V. 2a -4- a . b = a . 1
Sabemos que, para todo a, de K, se verifica que: a . 1 = a a . (a + a') == a
a . a + a . a' = a
a . a + 0 *= a
a + a . b = a(por Teorema II. 2) (por Ax. V y regla de sustitución)(por Ax. IV. 2 y regla de sustitución) (por Ax. V y regla de sustitución)
(a + b) . (a + b') *= a T. VIII. 2. Para todo a y todo b, de K,
se verifica que:
- 123 -- 122 -
'a . b + a . b'
Demostración del Teorema VIII. 1
. b'
T. XI. .1. Para todo a y todo b, de K. se verifica que:
«= a
Cálculo ProposicionaCa' + (a + b) = 1T. XI. 2. Para todo a y todo b, de K,
se verifica que:(a + b) . (a + b') = a + b
(por Ax. IV. 1)(a + b) . (a -}- b) «= ct —J— 0
(por Ax. V y regla de sust.)(a + b) . (a + b') *= a
(por T. II. 1 y regla de sust.)El T. VIII. 2 se justifica aplicando la ley de dualidad.T. IX (Dual de sí mismo). El elemento
complementario (a')' del elemento complementario a' de un elemento cualquiera a, de K, es este mismo elemento ai. O sea, en símbolos, que:
RAUL A. CHIAPPA(Universidades de Bs. As. y del Sur)
Estas tablas corresponden a las expresiones A A B, A V B y — A, respectivamente. En estas condiciones, un circuito en serie representa la conjunción lógica, un circuito en paralelo la disjunción lógica y el tercero la negación lógica; en este último caso, — A representa un interruptor solidario con A tal que toma los valores opuestos a éste.
Razones técnicas, pueden hacer necesario que a distintas ocurrencias de una proposición deban corresponder distintos interruptores y en tal caso debemos asegurarnos que todos ellos tengan en todo momento igual estado: cerrado- abierto.
En tal convención un circuito serie representa la conjunción lógica y un circuito paralelo, la disjunción lógica.
Siendo los otros conectivos definibles en términos de negación o disjunción, resulta que por aplicación reiterada pueden construirse los circuitos correspondientes a cualquier proposición.Ejemplo:(A V C) A (B-+A) s(AVC) A (—B V A) se representa con:
a' . (a . b) = 0"CIRCUITOS LOGICOS"Demostración del Teorema XI. 1
a + (a + b) — 1 . [a + (a + b)] (por Ax. 11.2)
a + (a 4- b) = (a + a) . [a' + (a (por Ax. V y regla de sust.)
a' + (a + b) «= (a' + a) . [a' + (a + b)] (por Ax. III. 1 y regla de sust.)
a' + (a + b) = a' + a . (a + b) (por Ax. IV, 1 y regla de sust)
a + (a -|- b) *= a' + a (por T. VII. 2 y regla de sust.)
a' + (a + b)« a + a'(por Ax. III 1 y regla de sust.)
a' + (a + b) = 1 (por Ax. V y regla de sust)
El T. XI. 2 se justifica aplicando la ley de dualidad.T. II. 1 (llamado "primera ley de De
Morgan"). El elemento complementario de la suma de dos elementos de K es el producto de los complementarios de los sumandos.
En símbolos:
Una de las aplicaciones técnicas más interesantes —espectaculares, diría— es la que ce refiere a circuitos eléctricos, que ha tenido fundamental importancia en el progreso del cálculo electrónico.
Hasta ahora, hemos convenido en que a cada proposición pueden corresponder dos valores "V" y "F" (análogamente podríamos haber convenido en asignar "1" y "0", "+" y "—", etc.); también se pueden interpretar dichos valores como significando respectivamente "pasa corriente" y "no pasa corriente"; en este caso podremos construir, dada cualquier proposición, un circuito eléctrico que la represente, y recíprocamente.
Dicha interpretación es de suma importancia en la construcción de las computadoras electrónicas, pues con circuitos apropiados se dota a la máquina de capacidad de comparar o decidir entre distintas alternativas.
Para señalar la analogía lógica entre diversos circuitos y las operaciones del cálculo proposicional, asignemos a la expresión "pasa corriente" el valor V y a "no pasa corriente" el valor F; en tal caso, los circuitos con dos interruptores en serie o en paralelo, responden a las siguientes tablas:
b)3
I
i(a')' = a
Demostración del Teorema IXPor hipótesis:(a*)' es el elemento complementario del
a*. (1) Además, por ser a' el complementario del a, deberá verificarse que:
a -f a' = 1 y a . a' = 0 (por Ax. V) de donde:
a' + a = 1 y a' . a = 0 en virtud del Ax. III. 1, del Ax. III. de la regla de sustitución.
De las dos últimas identidades duce, en virtud del Ax. V, que:
un elemento complementario de a' (2). De (1) y (2) resulta
S
u2 y
se d*e-
(a + b)' = a' . b'T. XII. 2 (llamado "segunda ley de De
Morgan"). El elemento complementario del producto de dos elementos de K esla suma de los complementarios de los factores.
En símbolos:
a esque:
(a7 = a (por T. IV)T. X. 1. El elemento complementario de
0 es 1.En símbolos:¡
A -B0' = 1dJl esi} EI elemento comPlementario de
En símbolos:
(a . b)' «= a' + b'Demostración del Teorema XII.
En virtud del Ax. V, será cierta la tesis si se cumplen las dos condiciones siguientes:
!__.\£_l A1 \1' = 0 Nótese que si la proposición represen
tada es una tautología, el paso de corriente en el circuito correspondiente se produce independientemente de la posi- cin de los interruptores.
Análogamente si la proposición correspondiente es contradictoria nunca pasa corriente y si es fáctica (contingente) el paso de corriente depende de la posición de los interruptores.
Por ejemplo, el circuito correspondiente a la proposición
.1SuDemostración del Teorema X.
Será cierta la tesis si dos condiciones siguientes:
0+1 = 1 y 0 . 1
V—1(a - 1W + (a' . b') = 1r
se verifican las y «---•A(a + b) . (a' . b') = 0
Efectivamente:(a + b) + (a . b') =
= t(a 4- b) + a'] [(a + b) + b'](por Ax. IV. 1 y regla de sust.)
(a + b) + (a' . b') == [a' + (a + b)] . [b' + (a + b)]
(por Ax. III. 1 y regla de sust.)(a + b) + (a' . b') ==: 1 . [b* + (b + a)]
(por T. XI. 1, Ax. III. 1 y regla sust.)
Continúa en la pá(¡. 128
A BA B Circuito A B Circuito= 0(por Ax. V)
0 4-1 = 1(por Ax. II. 1 aplicado a 1)
yO.1=0(por T. II. 2 aplicado a 0)
V FV V VV F VF V VF F F
V V VV F F F V F ^ F F
Efectivamente:F V
Luego, (*) Véase ELEMENTOS N9 4, pág. 98.0' = 1
Por ejemplo, el circuito correspondiente a la proposición [A V (B A — B)] A ■{— B -*• [(— B A C) V (— B A-C)][
.1 es equivalente al funcionamiento del interruptor A.
- 125 -
El T. X. 2 se justifica aplicando la ley de dualidad.
- 124 -
formulación algebraica que responde a esa tabla se puede sistematizar en los tres siguientes pasos:
a) Tomar los casos en que el valor final es V.
b) Determinar las conjunciones lógicas que les corresponden, es decir, en el ejemplo:
A A B A C. A A -B A C, AA-BA —c, —a a —b a —cc) Establecer la adición lógica de esas
Análogamente, si se da el circuito:inferir "P-+Q" a partir de “P-* Ri", ”Ri~* R2'\... "Rn-l-Rn"
b) Otra manera de demostrar "P-*Q" consiste en demostrar el contrarrecíproco, es decir "—Q-»—P".
Esta manera de demostrar "P-K2" (caso especial de "método por reducción al absurdo") es muy usada.
c) Si se tiene que demostrar una implicación de la forma especial "(P V Q)-*R" se puede demostrar "P-*R" y "Q“*R", luego por la forma Fi se puede infeiir "(PVQHR"
Nos referimos al proceso de demostrar "(PvQHR" demostrado "P-*R" y "Q“*R" como "demostración por casos". Notemos la generalización por la cual si "Pi“*Q", "P2-Q", ..., "Pn-Q", luego("Pi V P2 V. ..V P„)~*Q". Nótese que si corresponden a todas las situaciones posibles de presentarse compatibles con la hipótesis, cuando al menos una de las hipótesis "Pi", "P2" .. . "Pn" es verdadera resulta, por aplicación de forma Fi y de modus po- nens que "R" es verdadera.
d) Un caso especial e interesante de lo que precede se da cuando podemos demostrar "P-+Q" y "—P-*Q'\ Luego, por Forma Fi obtenemos ("P V —P)-+Q". Sin embargo, tenemos que “P V —P" es tautológico, de modo que por "modiis ponens" obtenemos "Q". Este proceso ha sido reducido a un solo paso en la forma Fi, que dice que a partir de "P-*Q" y "—P-*Q" obtenemos "Q".
El uso de este principio también se llama, "demostración por casos".
Reductio ad absurdum: Hay numerosas • variaciones menores del "reductio ad absurdum", y veremos algunas de las más comunes. Sin embargo, el prototipo de todas las demostraciones por reducción al absurdo es la siguiente: qu-ere- mos demostrar "P" y lo hacemos' suponiendo la negación "—P" y derivando una contradicción. (Recordemos que llamamos contradicción a cualquier enunciado de la forma "Q /* —Q"). Si podemos derivar una contradicción a partir de "—P", esto quiere decir que podemos probar que "—P~KQ A —Q)". Lu*ago, por contraposición, inferimos "P".
En general no es necesario que "Q"
necesitan métodos más profundos de prueba. Sin embargo, las fórmulas universalmente válidas (tautológicas) sirven para justificar numerosos principios útiles de razonamiento. De hecho, uno de los méritos del cálculo proposicional reside en que él es efectivamente un depósito de tales principios útiles de razonamiento. Todas las fórmulas que figuran en la lista anterior son fórmulas de las cuales se pueden deducir principios útiles de razonamiento válido. (Véase ELEMENTOS, N* 4, pág. 100).
Por ejemplo: Aplicando "Modus Ponens". si se ha probado la verdad de "P" y también la de "P—>Q" es lícito afirmar la verdad de "Q".
Una generalización evidente permite, si se han demostrado las proposiciones"Pi"; "P1-P2"; "Pa-P»" "Pn-i-Pn”,inferir la verdad de "Pn".
En tal generalización consiste lo que se suele denominar "método analítico de prueba", utilizado muy comúnmente; un ejemplo es la demostración usual de la fórmula de la ecuación general de segundo grado a partir de la de la ecuación reducida.
Un ejemplo del caso en que se utiliza la "forma de conjunción" se encontraría en la geometría del espacio, en la prueba de que dos rectas son paralelas. Efectivamente la definición de rectas paralelas involucra un producto lógico, a saber: Dos rectas son paralelas si a) ellas están en el mismo plano; b) ellas no tienden puntos propios comunes. Para demostrar que dos rectas son paralelas, se demuestra por separado cada uno de los dos factores del producto lógico, y después se infiere su producto lógico.
El procedimiento para demostrar "P-*Q" suponiendo que "P" es verdadera y deduciendo la verdad de "Q" está fuera del alcance del cálculo proposicional; no obstante hay dentro de él numerosos métodos auxiliares que permiten probar "P-Q". -
a) Por ejemplo, podemos encontrar un enunciado "R" tal que se verifiquen "P-*R" y "R-*Q", luego, por la forma del silogismo hipotético, podemos inferir "P-+Q". Una generalización evidente consiste en
CB
CA -BN;6 __
ce puede expresar por:A A [(BAC) V (—BAC) V (—B A—C)] AB que se puede verificar es equivalente a: A A B A C, es decir, que el mismo trabajo que realiza el circuito anterior es realizado por el circuito mucho más simple, constituido por tres interruptores en serie.
expresiones,(A A B A O V (A A -B A C) V
(AA-BA —O V (—A A —B A —C)La formulación obtenida puede simpli
ficarse, obteniéndose, por ejemplo:(AAC) V (—BA—C) =— [(AACMBAC)l
Es innegable que simplificar una proposición permite captar más fácilmente su significado, facilita el trabajo con pila y tiene aún ventajas de orden económico al pensar en el circuito equivalente.
En forma parecida puede determinarse otra formulación de la misma proposición partiendo de los casos en que el valor final de la tabla dada sea "F".
Por ejemplo, puede determinarse el circuito que corresponda al siguiente problema:
Construir un sistema que permita a un comité de tres miembros tomar decisiones por simple mayoría, con voto secreto de modo que si la votación es afirmativa se encienda una luz.
tDETERMINACION DE PROPOSICIONES
VSegún hemos visto, a cada proposición
corresponde una T. V. de V.; se demuestra que vale también la recíproca.
Por lo tanto, dadas n proposiciones simples (distintas) y elegidos arbitrariamente los V. de V., que corresponden a las 2n combinaciones posibles de V. de V. de las proposiciones dadas, se puede obtener la formulación de una proposición compuesta que corresponde a la tabla dada.
Es de destacar que el procedimiento es el mismo, cualquiera sea la tabla dada.
La formulación obtenida en general no es la más simple posible, pero ésta puede obtenérsela utilizando las distintas propiedades de los conectivos.
Ilustraremos el procedimiento con un ejemplo, sin demostrarlo. Convendremos para ello con que denotaremos con "A" o "— A" según sea "V" o "F" el V. de V. de la proposición A.
Si se da la tabla:
\
ii
'
íAPLICACIONES DEL CALCULO
PROPOSICIONAL AL RAZONAMIENTO MATEMATICO
Según hemos visto, las fórmulas del cálculo proposicional cuya tabla de valoies de verdad es tautológica corresponden a verdades lógicas, es decir, se cumplen cualquiera sea la significación que se asigne a cada una de sus proposiciones simples componentes.
Si las reemplazamos por proposiciones del dominio de la matemática diremos que estamos frente a una afirmación o frente a un razonamiento matemático.
Considerar como teorema de la temática cualquier expresión de este tipo sería elemental. Para establecer cualquier teorema verdaderamente difícil se
r
ABC?/V V V V
F V V FV F V VF F V FV V F FF V F FV F F V ma-F F F V -----,
Uno de los caminos para obtener la%
- 126 - - 127 —’i
(!
:
lar es aquél en el cual, a partir de "P A —Q" se puede derivar "Q", puesto que como de "P A —Q", por ley de simplificación, se puede deducir "—Q", se llega a contradicción (ver forma F.,).
c) Aparentemente otro caso especial es aquél en ’al cual, a partir de "P A—Q" se deduce —P.
Obsérvese que con la sustitución:P por — Q —Q por P
este caso coincide con el anterior.En muchos de los casos en los cuates
se supone "P A —Q" y se deduce "—P" no se hace uso de "P" en la deducción. En otras palabras, "—P" se deduce de ''—Q" sólo. En tales casos podemos elegir un método alternativo de demostración, pues ello constituye una demostración legítima de "—Q -* —P", de lo cual obtenemos inmediatamente "P-*Q".
y "—Q" sean ambos deducidos a partir de "—P", puesto que por lo común "Q" se conoce do antemano como siendo verdadera. Luego, suponiendo "—P", basta deducir "—Q" y combinando esto con la proposición conocida como verdadera "Q" tenemos nuestra contradicción "Q /\ —Q"# e inferimos "P". Para esta última situación hay una demostración alternativa: Suponer "—P" y deducir "—Q". Esto prueba "—P —Q" de lo cual resulta "Q -*■ P" y como "Q" es conocida, inferimos "P" por modus ponens. En una forma extremadamente rara de
CRONICA
Curso de Verano enEn este curso, del que ELEMENTOS in
formara en números anteriores, participaron en esta oportunidad, y por primera vez, en los cuatro años, becarios de otros países latinoamericanos, 61 en total, además de 66 colegas peruanos. Nuestra delegación fue la más numerosa.
Las clases se dictaron en la Escuela Normal Superior de La Cantuta, en Chosica, a unos 40 km. al este de Lima. Nos alojamos en la misma Escuela, que es una pequeña ciudad universitaria, próxima al río Rimac, a 700 m. sobre el nivel del mar, rodeada de cerros en un paisaje encantador. Las autoridades del Instituto organizador hicieron todo lo posible por satisfacer nuestras necesidades.
Las clases se dictaron regularmente de lunes a viernes y abarcaron una parte teórica por la mañana y otra práctica por la tarde, sobre un total de siete horas diarias de actividad. For supuesto que además debimos dedicar otras más para la preparación de las pruebas parciales y exámenes escritos que fueron harto frecuentes. Por regla general, los sábados y domingos debieron ser destinados al estudio, por falta material de tiempo durante el resto de la semana, sobr-a todo cuando el grupo respectivo (debía intervenir en el cursillo o el seminario. Hubo escasas posibilidades para conocer el país.
El total de los participantes se distribuyó en dos niveles, según su propia voluntad expresada al matricularse. Las dos terceras partes lo hizo en el primero. Las asignaturas y profesores de cada uno fueron: 1er. nivel: Funcion’es I: conjuntos relaciones, funciones, funciones lineales y de 29 grado, límites y derivadas, máximos y mínimos (Prof. J. Reátegui). Algebra I: conjuntos, relaciones, números naturales, operaciones, números enteros; divisibilidad; números racionales, operaciones; números reales; estructuras algebraicas (Prof. C. Carranza). Conjuntos y Lógica: conceptos fundamentales, operaciones, conjuntos finitos, cardinalidad; lógica: proposiciones coligativas, funciones veritati- vas e interpretación lógica; aplicaciones al estudio de las computadoras (Prof. C: Castro). Segundo nivel: Funciones II: revisión de los conceptos de límite, continuidad y derivada; funciones elementales; integrales; ecuaciones diferenciales ordinarias (Prof. J. Tola). Algebra II: estructuras algebraicas, espacios vectoriales, matrices, ecuaciones polinómicas reales (Prof. G. Ramos). Geometría: conceptos
fundamentales, definiciones, relaciones de incidencia, rectas y proyecciones, orden en la recta, sectores anguiares, polígonos convexos; el p-lano como espacio métrico: primeras propiedades métricas, isometrías, movimientos, simetrías, rotaciones, traslaciones (Prof. H. Merklen). Además de las tres asignaturas correspondientes a su nivel, cada becario debió seguir uno de los siguientes cursillos: Introducción de la geometría en el primer año de la enseñanza secundaria (Prof. H. Merklen). Introducción al estudio del cálculo numérico y de las computadoras (Prof. P. Wills- tatter). Finalmente todos los participantes debieron seguir el seminario pedagógico a cargo del Dr. Irving Sussman, especialista norteamericano cuyo escaso conocimiento del idioma castellano provocó algunas dificultades; además da lecturas del citado profesor sobre interesantes temas, el trabajo de los grupos fonnados consistió en el estudio y discusión de los textos del S. M. S. G. facilitados a los becarios. Todos los participantes recibieron, además, los apuntes impresos correspondientes a las asignaturas de ambos niveles, lo cual constituyó, junto con la realización de extensas sesiones de práctica, uno de los factores del éxito de este curso, cuyo saldo es altamente positivo.
La convivencia con los colegas latinoamericanos, con los que compartimos inolvidables momentos de confraternidad, permitió conocer el estado actual de la enseñanza de la matemática en los respectivos países. Un becario venezolano y el suscripto tuvieron la oportunidad de informar sobre los trabajos que se realizan en bien de la actualización de los programas en el nivel secundario en sus respectivas patrias. Resulta grato consignar que la Argentina figura entre las más avanzadas en esta labor.
Para la sesión de clausura, muy emotiva y solemne, estuvo presente, entre otras personalidades, el Dr. Edward G- Begle, Director del S- M. S. G-, de la Stanford University, principal apoyo económico del curso. Cada participante recibió un diploma con la mención del resultado de su desempeño, siendo significativo el hecho de que la mitad de los becarios argentinos mereció la calificación de sobresaliente, lo que revela un alto grado de preparación y aprovechamiento.
Profesor ATILIO PIAÑA Inspector de Enseñanza Secundaria
ila "reducción al absurdo", se puede deducir "P" a partir de "—P" teste caso corresponde a la forma F2).
tOtras pruebas de "P-»Q" por "reducción al absurdo" son las siguientes:
a) Una forma muy corriente de demostrar "P-*Q" por "reducción al absurdo" es demostrando el contrarrecíproco correspondiente.
b) Ya que "P-Q" = (P A -Q)" se puede suponer " P A —Q" y tratar de llegar a una contradicción.
Si 'alio se logra podremos afirmar "P-*Q" (ver forma F:j). Un caso particu-
( BIBLIOGRAFIA:
"lógica Matemática": José Ferrater Mora y Hugues Le- blanc.
"El sentido de la nueva lógica": Willard Quine. "Introducción a la lógica y a la metodología de las cien
cias deductivas": Alfred Tarski."Introducción a la lógica" Irving M. Copi.
Si la lógica es la higiene del matemático, no es ella quien le provee el pan cotidiano del que vive son fos grandes problemas.
su sustento;¡• ANDRE WE1L
, , . en oíras portes, se vuelve a templar periódicamente en lo empírico para adquirir fuerzas que no puede hallar en sí mismo.
Lo racional, en matemática como
! ARNAUD DENJOY*iViene de la púfj. 121
(a -1- b) + (a' . b') = 1 . 1 (por T. XI. 1 y regla de sust.)
(a + b) + (a' . b') = 1 (por Ax. II. 2 aplicado a 1 y regla sust.)
Luego se cumple la primera condición. En cuanto a la segunda condición, se
la verifica así:(a + b) . (a' . b')=a . (a' . b') + b . (a'.b')
(por T. III 2)(a + b) . (a . b') = a . (a'.b') + b . (b'.a')
(por Ax. III. 2 y regla sust.)
*(a -1- b).(a' . b') = (a? (a .b')+(b')' (b'.a)
(por T. IX y regla de sust.)(a + b) . (a' . b') = 0 + 0
(por T. XI. 2 —aplicado a a' y b'— y regla de sustitución)
(a + b) . (a' + b') = 0 (por Ax. II. 1 —aplicado a 0— y regí, sust.)
Luego, la segunda condición
El T. XII, 2 se justifica aplicando la ley de dualidad.
<se cum
ple.
- 129 -- 128 -
I
'
26 de noviembre de 1894 y es seguramente uno de los genios más precoces de la historia de la ciencia; ingresó a la universidad a los 12 años y a los 15 se graduó en matemática. En 1913 se doctoró en filosofía en la Universidad de Harvard, cuyo cuerpo docente pasó a integrar en 1915 después de realizar estudios complementarios en Cambridge y Gotin- ga. La precocidad de su talento fue confirmada por la hondura trascendente de su obra posterior; es uno de los pocos hombres que entran en la historia como creadores de una disciplina: Wiener creó la cibernética.
En 1948 apareció su mentado libro de carácter técnico, "Cybernetics", en el que por primera vez se tratan los problemas de control y comunicación en las máquinas y los seres vivos.
"La cosa —dice un comentarista— comenzó en Boston, en los años que precedieron inmediatamente a la última guerra". A Wiener, entonces profesor de matemática del Instituto Tecnológico de Massachusetts, se le encargó, ¡unto con Bigelow, otro matemático, que estudiara el problema práctico de las reacciones de los artilleros antiaéreos contra los aviones enemigos: "la cibernética nació virtualmente aquél día: iba a ser la ciencia que justamente aproxima la mecánica y la neurología".
Para divulgar más llanamente estas ideas, Wiener publicó en 1950 el libro que hoy comentamos. "La tesis de este libro —dice el autor— consiste en que sólo puede entenderse la sociedad mediante el estudio de los mensajes y de las facilidades de comunicación de que ella dispone, y, además, en que, en el futuro, desempeñarán un papel cada vez más preponderante los mensajes cursados entre
hombres y máquinas, entre máquinas y hombres y entre máquina y máquina".
A lo largo de sus 180 páginas, después de un prólogo acerca del concepto de la física actual sobre el universo apoyado fundamentalmente en las ¡deas de Gibbs, se tratan la historia de la cibernética; el progreso y la idea de entropía; el fenómeno del aprendizaje; el mecanismo y la historia del lenguaje; la organización como mensaje; los aspectos legales y políticos de las comunicaciones; el papel social del intelectual; las dos revoluciones industriales; el futuro de las máquinas automáticas, y, finalmente, la posición del hombre de ciencia ante la confusión y la interferencia en los mensajes que recibe del mundo que lo rodea.
Resulta difícil poder describir en pocas líneas el denso contenido filosófico, científico y social de este fruto de una mentalidad tan excepcional como fue la de Wiener, que impresiona tanto por su originalidad conceptual como por la amplitud de su versación. No en vano entra en la historia como una de las figuras científicas más destacadas de nuestra época, que a pesar de ello nunca olvidó su condición humana. Por eso en el libro que comentamos señala que el peligro de la máquina reside, no en la máquina misma, sino en el uso que el hombre haga de ella: "El peligro real consiste en que esas máquinas, aunque incapaces por sí mismas, puedan ser utilizadas por un ser humano, o por un grupo de ellos, para aumentar su predominio sobre el resto de la especie, o en que los conductores intenten manejar la población, no mediante las mismas máquinas sino utilizando técnicas políticas tan estrechas y tan indiferentes a las posibilidades espirituales como si hubieran sido concebidas mecánicamente".
libro, el énfasis puesto en señalar las diversas maneras de definir los conceptos fundamentales y en dar sus interpretaciones gráficas, la interesante ejercitación para el alumno con sus soluciones en un apéndice que cierra el libro; en fin, el original empleo de los diagramas de flujo.
La impresión del l'bro —edición previa— no es la más adecuada para un texto del ciclo básico; la uniformidad tipográfica no permite distinguir los aspectos fundamentales de los accesorios; ciertas fallas dicen del apuro de la impresión, disculpables si se t¡ene en cuenta la necesidad del texto para las experiencias que se están realizando.
Varsavsky ha realizado un trabajo necesario y muy encomiable; el tiempo dirá de su eficacia. Pero su esfuerzo debe ser imitado. Es imprescindible que también lo realicen otros matemáticos destacados, dando orientaciones, redactando textos, asesorando a los educadores. Será una garantía de que el movimiento renovador se realizará en concordancia con las verdaderas necesidades del momento.
Estamos frente a un acontecimiento editorial digno de destacarse: la obra que comentamos es la primera de matemática moderna para la escuela secundaria que se publica en el país y quizás en toda Latinoamérica. Debe ser leída cualquiera sea la posición que se adopte frente al movimiento de renovación.
Oscar VARSAVSKY, Algebra para escuelas secundarias. Tomo l, Matemática intuitiva. Eu- deba, Buenos Aires, 1964.
IEl autor desarrolló durante los últimos años
cursos para profesores en los que expuso el contenido del programa de 29 año propuesto por la Subcomisión Argentina de la C.I.E.M. (Véase ELEMENTOS, N9 4, p. 106). Esta tarea cristalizó la obra de la cual se presenta esta primera parte.
La primera lectura puede hacer pensar en las dificultades que tendrá el alumno que lo use como libro de texto; más aún, acostumbrados a los textos corrientes, podríamos creer que no esté al alcance de alumnos de 29 año. Una lectura más atenta modifica esa opinión y permite señalar lo que con el tiempo será, sin duda, una de sus más importantes v¡rtu-' des: la de ser un libro cuya repetición textual por el profesor o por el alumno carezca de sentido. La enseñanza de su contenido exigirá un esfuerzo importante al profesor; pero una vez realizado será de enorme utilidad para el estudiante, que también deberá esforzarse, porque deberá pensar cuidadosamente cada párrafo, cada ejemplo, cada ejercicio.
Luego de una breve introducción sobre proposiciones y razonamientos, los capítulos del libro se refieren a conjuntos, relaciones, funciones y operaciones binarias, desarrollando detalladamente las cuatro primeras bolillas del programa propuesto. En el prólogo se anuncia la aparición de un segundo tomo para los otras cuatro.
Varios aspectos destacables tiene el libro. En primer término, el cuidado puesto en la aclaración de todos los conceptos nuevos medíante una variada gama de ejemplos vinculados con la experiencia cotidiana; luego, la introducción oportuna .de numerosas demostraciones sin pérdida del carácter intuitivo del
V
f
f €> €>Ov
N. WIENER, Cibernética y sociedad. Ed. Sudamericana, Buenos Aires, 1958.
HEMOS RECIBIDO:A. KOESTLER: Los sonámbulos; EUDEBA, Bs. As., 1964.A. COMBES: Formulaire de mathématiques élémentaires; (VUIBERT, París, 1963.)Assoclatlon des Professeurs de Mathématiques (A.P.M.), París: Annales du B.E.P.C., Fase. 7 (1963);
(1963);Annales du Baccalaureat, Pase. 1 (1963); Fase. 2 (1963); Annales de Propédeutique, Fase.(Bulletin, février 1964.
E. CASTELNUOVO: Didattica della matemática, LA NUOVA ITALIA EDITRICE, 1964.H. CRAMER: Elementos de la Teoría de Probabilidades y Aplicaciones, AGUILAR, Madrid, 1963. J. POYEN y J. POYEN: El lenguaje electrónico, EUDEBA, 1964.O. VARSAVSKY: Algebra para escuelas secundarias, EUDEBA, 1964.G. ZADOU-NAISKY y R. LELONG: Rotation-Traslatlon (Cahier et Livre du maitre) O.C.D.L., París.
El 18 de marzo falleció en Estocolmo Nor- bert Wiener y la noticia pasó casi inadvertida por la poca difusión que le dio la prensa. Wiener había nacido en Columbio, EE.UU., el
- 131 -130 -
OPINIONES Y EXPERIENCIAS
Informe sobre un
diferenciar los contenidos adecuándolos a los distintos ciclos de la enseñanza secundaria.
3) Aconsejamos que la experiencia prosigo en segundo año durante el presente curso lectivo, sobre la base de los mismos profesores y con los aiumnos promovidos de primer año (*), Esto permitirá perfeccionar el desarrollo del respectivo programa y acumular nuevos elementos de juicio que servirán de valioso aporte para su aplicación en el futuro.
4) Teniendo en cuenta que el nuevo programa de 29 año requerirá una dedicación intensa de los profesores para la preparación de guías de trabajo y para la formulación de una didáctica adecuada, y considerando que los mismos deberán continuar también con el ensayo en primer año, propiciamos limitar sus horas de cátedra a las de los referidos cursos... Asimismo, consideramos justo que por Resolución Ministerial se destaque la meritoria labor cumplida por los profesores que llevaron c cabo la experiencia en primer año, para s> expresa constancia en su respectiva foja de servicios.
5) Propiciamos extender el ensayo a nuevas divisiones de primer año en los mismos establecimientos en que ha sido iniciado.. . De la lectura de las respuestas a la Circular N9
65/63 surge la posibilidad de extender la experiencia a otros establecimientos. Lamentablemente, la situación de revista provisional de muchos de los docentes que participarían de ella y las dificultades para una eficaz supervisión impiden concretar ese propósito por este año...
6) Recomendamos la difusión de los resultados obtenidos hasta el presente...
7) Sería conveniente que en vista de los excelentes resultados obtenidos con su aplicación, se destine en todos los establecimientos, un plazo adecuado antes de la terminación del curso lectivo, para la integración final de los conocimientos adquiridos. Por los mismos motivos, estimamos que debe propiciarse la reforma del régimen de exámenes orales, de manera que su recepción siga el criterio adoptado para la de los exámenes de los cursos de ensayo. Apoyamos la sugerencia de los profesores en el sentido de autorizar la confección de los horarios de matemática de modo tal que, por lo menos una vez a la semana, sean asignadas dos horas seguidas al dictado de la materia..."
(*) Sólo deberá suspenderse el ensayo en el curso del Colegio Nacional H*? 2 de acuerdo con lo sugerido por el profesor de ese curso en su informe final.
iguridad y soltura para abordar problemas, dominio de un amplio campo y disposición para el trabajo.
8. Dada la brevedad de la hora de clase, es aconsejable contar con dos horas seguidas, por lo menos una vez por semana, para facilitar la realización de las pruebas de comprobación.
9. Es conveniente no dar temas nuevos después del 30 de octubre para dedicar el tiempo restante al manejo integral de situaciones multivalentes, relacionando todos los conocimientos adquiridos, en forma orgánica.
10. Es de suma importancia que el programa contenga instrucciones precisas sobre: a) el contenido analítico de cada tema; b) el sentido y objeto de esos contenidos; c) la forma y espíritu que debe animar el desarrollo de los mismos. (Observación del Prof. Gabba)".
"Conclusiones y recomendaciones de las supervisores.
1) La experiencia ha sido desarrollada con la máxima seriedad, dedicación y competencia de los profesores a cargo del ensayo. Los resultados pueden considerarse muy satisfactorios y difícilmente superables, si se tienen en cuenta las condiciones de trabajo (falta de textos, preparación de guías y material didáctico), el escaso tiempo disponible para el desarrollo de un programa muy extenso y un nivel de formación de los alumnos inferior al presupuesto.
2) El programa, redactado por profesores de la Facultad de Ciencias Exactas, fue aplicado respetando su contenido y la finalidad perseguida por sus autores. Sentimos el deber de manifestar que, si bien una visión general de la geometría permite integrar en un solo curso nociones fundamentales de esta materia, la excesiva y evidente extensión del programa conspira contra los objetivos que se pretende alcanzar. El alumno, que es el punto de partida de toda didáctica, y el escaso número de clases que normalmente pueden ser dictadas durante un curso lectivo, no permiten completar el aprendizaje. Además consideramos imprescindibles incorporar nociones aritméticas que el programa no prevé para primer año y
Los inspectores José E. Encinas y Atilio Piaña —que tuvieron a su cargo la supervisión correspondiente— han elevado a la Dirección General de Enseñanza un informe sobre el ensayo de los nuevos programas de matemática realizado en 1963 en divisiones de primer año de establecimientos dependientes de esa Dirección General. (Véase ELEMENTOS, N9 1, p. 22).
De dicho informe entresacamos:"En la mayoría de los cursos pudo apre
ciarse, desde las primeras clases, ciertas deficiencias de formación de la escuela primaria:
a) falta de concreción y objetividad de los conocimientos previos;
b) flojedad de aspectos conceptuales y énfasis en verbalizaciones y recetas;
c) carencia de reversibilidad del pensamiento,*
d) falta de asociatividade) conocimiento de cosas aisladas que no
se relacionan".
*
;
"Síntesis de las conclusiones finales expuestas por los profesores en sus informes.
1 . El programa propuesto, tal como está redactado y con todos los temas que indica, presupone una preparación y un nivel mental de los alumnos que no concuerda con la realidad.
0O
Un Docente Opina2. Resulta positivo poder presentar en un
mismo año una visión total de la geometría elemental encarada con un criterio moderno.
3. No es aconsejable acortar el programa suprimiendo bolillas; pero podría revisarse la extensión de los contenidos manteniendo su unidad.
4. Nada se logrará con un simple cambio de temas, si no lleva aparejado un cambio de actitud del profesor, como consecuencia de un mejor conocimiento de nuevos métodos en el aprendizaje.
5. Una mayor homogeneidad en los niveles de los diferentes cursos permitiría acelerar el ritmo del aprendizaje.
6. El uso de nuevos métodos de evaluación permitió apreciar la evolución de los alumnos y la integración de sus conocimientos.
7. Los alumnos pusieron en evidencia se-
dos en sus distintos aspectos, desde hace diez años, aproximadamente, en congresos, conferecías, seminarios, cursos, etc., es'amos familia:i- zados con ideas de reformas que transformen una escuela con objetivos y estructuras del siglo XIX, en una escuela al servicio de la comunidad y de las complejas necesidades individuales y sociales de esta segunda mitad vial siglo XX. Por eUo, no puede sorprendernos la actitud reformista que se vive en el campo de la Matemática y que Uds. recogen en todos, o casi todos, los artículos de vuestra publicación, y que, al margen de reunír.nes de divulgación y de otras de dilucidación de aspectos fundamentales ha dado origen a comunicaciones oficiales y a la experiencia en marcha en establecimientos dependientes de la Dirección General de Enseñanza Secundaria, Normal, Especial y Superior, asi como a conferencias, cursos y experiencias de metodologías renovadas respecto
A los Sres. Editores de “Elemento5’’
De mi mayor consideración:
Tengo el agrado de dirigirme a Uds. en virtud de las ideas expuestas en los editoriales de vuestra revista, y, en particular, en el párrafo final del correspondiente al tercer número de la misma.
Ante todo, debo manifestarles mi carencia de conocimientos espec ficos de Matemáti a, lo que me impide naturalmente, entrar a considerar la reforma que conmueve a las esferas vinculadas con la asignatura en los aspectos relativos al contenido de programas y planes. La presente, tiene más bien como objetivo aclarar mis propias ideas y plantear algunas preocupaciones cemo docente en torno a la reforma.
Los que venimos ejerciendo la docencia secundaria y pretendemos mantenemos aclualiz-x-
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En su informe, aparte de las consideraciones estrictamente alinentes a la asignatura y foques metodológicos, existen sugerencias respecto de los contenidos, pero se destaca ur-.a sugerencia que liace a las dudas manifestadas
eriormente. Se habla de un necesario cambio de actitud del docente, cambio que nUs
los contenidos parece vinculado a un más
de la enseñanza de la asignatura. Tcdo ello traduce una plausible y necesaria inquietud de adecuación a las variables y complejas circunstancias que rodean a la escuela.
Algunas preocupaciones, nacidas al calor '■’el deseo de ver coronadas por el mejor de los éxitos tantas energías renovadoras, obligan a la reflexión.
La reforma que se intenta en el campo de la Matemática ¿Está concebida con p'aneada articulación con las restantes asignaturas del plan? .
¿Se considera que el cambio de los contenidos de todos y cada uno de los programas de la asignatura es suficiente para la obtención de los objetivos que se persiguen?
Y, fundamentalmente ¿se ha pensado que la divulgación de los nuevos contenidos, y aún de los nuevos métodos para su enseñanza, entre el profesorado, habilitarán a éste para una labor que se anticipa ardua y se espera eficaz?
Está a mi cargo la dirección de un establecimiento de enseñanza secundaria, cuyo Departamento de Matemática trabaja coordinadamente, y cuyos integrantes son, en mi opinión, de una contracción no usual; en el Colegio se lleva a cabo una de las experiencias organizadas por la Dirección General. He leído con atención e interés el informe de la docente a cuyo cargo está la experiencia y conozco Jas opiniones de los inspectores especializados que controlan la tarea. Por ello puedo afirmar que, en general, los resultados han sido alentadoramente favorables. For otra parte la intensidad con que la Sra. Profesora volcó su esfuerzo en su tarea es á avalada por una personalidad dúctil e imbuida de modernas concepciones psicosociológicas. alcanzadas merced a estudios continuados de por lo menos un lustro de duración.
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quo aprofundo conocimiento del medio familiar y social de cada alumno, así como a una postura “abierta al cambio”, para usar una expresión cara a los socio-psico-pedagogos modernos. Se trataría al parecer, de explorar y desarrollar las capacidades individuales sin pretender uniformidad y aceptando, por ende, las variaciones individuales nacidas de la constitución pslco- física y del bagaje cultural de cada alumno. Ante esto cabe preguntar si el secreto de los éxitos futuros radicará en la capacidad del decente para apropiarse y adecuarse a las realidades del alumnado, o si será suficiente la actualización de sus conocimientos científicos y el cambio de contenidos en los programas que desarrol'e.
Ustedes verán si estas breves reflexiones satisfacen, aunque sea parcialmente, el deseo expuesto en el editorial citado. Asimismo, si es necesario o conveniente su publicación con o sin indicación de quien lo suscribe. Mi deseo es el de colaborar, aunque fuere con dudas, a no esterilizar esfuerzos nobles y positivos.
Al felicitarlos por la revista amena y seriamente informativa aun para quienes no militamos en la especialidad, les reitero las seguridades de mi consideración y respeto.
1. El Prof. Andrés Valeiras ha sido invitado por la O.E.A. para dirigir su proyecto N9 212, "Programa Latinoamericano para mejorar la enseñanza de la Ciencia", por lo cual se alejará de nuestro país por el lapso previsto para la realización de ese programa.
2. El Ministerio de Educación ha editado, en traducción del Prof. Atilio Piaña, el Comentario I (Nociones elementales de la teoría de los conjuntos; propiedades y relaciones), del programa de aritmética y álgebra, primer ciclo, de la O.E.C.E., que exponemos en este mismo número.
3. En la Universidad de Comodoro Riva- davia, se dictó el primer ciclo de verano, integrado por diversos cursos, uno de los cuales fue el de Introducción al análisis vectorial y íensorial, a cargo del Ing. Sánchez Cabezudo. Diversas entidades, públicas y privadas, colaboraron con la Universidad para hacer posible este ciclo.
4. El Departamento de Matemática de la Universidad del Sur informa que los profesores secundarios que deseen conocer o repasar el enfoque moderno del álgebra o la geometría, podrán inscribirse para seguir regularmente los cursos respectivos de la Licenciatura, en las condiciones de correlatividad y promoción actualmente vigentes.
Desde hace varios años, la Facultad de Ciencias de la Universidad de Buenos Aires, permite la inscripción de profesores secundarios en sus cursos en condiciones similares. Como en el caso anterior, también aquí se otorgan constancias de aprobación de los cursos.
5. La Prof. Laura Gómez Rubio, concurrente al último curso de perfeccionamiento de San Luis, pronunció una conferencia sobre la reforma de los programas actuales de Matemática, en el Instituto del Profesorado de Jujuy.
ó. La Comisión Argentina para la Unesco ha organizado un curso sobre Matemática, que se dicta en el aula magna de la Facultad de Medicina. El temario comprende: Panora
ma histórico de la matemática (Las grandes etapas de la matemática. El nacimiento de la geometría griega, del álgebra y del cálculo infinitesimal), por J. Babini; Los aspectos intuitivos de la matemática (La intuición como base del conocimiento matemático. Subjetividad del dilema intuición-abstracción. La intuición en geometría y en álgebra), por L. A. Santaló; Los aspectos abstractos de la matemática (La abstracción en matemática como medio forma- tivo. Valor del simbolismo abstracto. El mecanismo de la abstracción), por C. Ratto de Sadosky; La matemática y las ciencias físicas y naturales (Interacción entre la matemática y sus aplicaciones. Matemática y física actual), por A. González Domínguez; La matemática y las ciencias sociales (La utilidad de las herramientas matemáticas en la solución de los problemas de las ciencias sociales), por O. Cornblit; Algunas proyecciones futuras de la matemática (El cálculo automático. La llamada inteligencia artificial. Resumen del ciclo), por M. Sadosky.
7. En el Instituto Superior del Profesorado, el Prof. Roberto J. Hernández dicta un curso sobre "Introducción al álgebra,- métodos genéticos".
8. Por sus trabajos de investigación matemática realizados en Italia como becario, el Prof. Edmundo Rofman, de la Universidad del Litoral, fue distinguido por la Accademia dei Lincei con un diploma de honor y un premio en efectivo, que le fueron entregados por el académico Prof. Beniamino Segre, en su reciente visita a Rosario. En el acto respectivo, el distinguido matemático italiano se refirió a la orientación de la investigación científica en su país.
9. La Dirección General de Enseñanza ha autorizado el ensayo de los nuevos programas de matemática durante el año en curso en divisiones de primer y segundo años de los siguientes establecimientos: Escuela Normal N9 4, Capital; Escuela Normal N9 10, Capital; Es-
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Mario Manuel Vázquez Rector
Col Nac. Mixto '‘Alie. G. Brown” Adrogué (B. A.)
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LAS COMPUTADORAS SIGUEN PROGRESANDO.íLa ¡dial argentina de la I.B.M. ha anunciado un nuevo sistema electrónico de
procesamiento de datos que significa una verdadera revolución en el terreno de las computadoras. En él, las velocidades se miden en milésimas de millonésino de segundo, asombrosa velocidad de operación lograda con la incorporación de circuitos que emplean microlransistores tan. diminutos que 40.000 de ellos caben en un simple dedal de costura. El equipo dispone de dos memorias, una inmediata, con capacidad entre 8.000 y 20.000.000 de caracteres, y otra mediata, de almacenamiento auxiliar, cuya capacidad supera los diez mil millones. Cuenta también con 44: nuevos dispositivos para recibir y proporcionar dalos, entre los cuales hay dos que pueden contestar oralmente consultas discadas telefónicamente. El sistema puede, además, aulodiagnosticar sus posibles fallas e indicar la zona donde ellas se hayan producido.
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mismo se escucharán los informes correspondientes a la experiencia en marcha en los dos primeros años.
11. En dos establecimientos! secundarios dela ciudad de Córdoba, la Escuela Normal Superior "Garzón Aguila" y la Escuela Superior de Comercio "J. L. de Cabrera", se están experimentando los nuevos programas de matemática de 1er. año.
cuela Normal de lomas de Zamora; Colegio Nacional de Adrogué; Escuela de Comercio deTemperley.
10. Todos los jueves a las 18.30, a partir del A de junio próximo, la doctora Cora Ratto de Sadosky desarrollará en la Escuela Normal N 1 "Roque Sáenz Peña", ol curso sobre el programa proyectado por la Subcomisión Argentina de la C. I. E. M. para tercer año. Asi-
En breve:
MATEMATICA MODERNAMATEMATICA VIVA
!
Correo de ELEMENTOSEditores
José Banji, Alfredo B. Besio, JuanJ. Rodríguez y Andrés V(deiras
Buenos Aires (Argentina)
por And ré R e v u zf
Fernández Blanco 2045 (Profesor de la Facultad de Ciencias de Poitiers, Francia)|
mos a publicar en este número, se trata el tema. Si bien el vocablo se usa indistintamente en singular o plural en este trabajo, del contenido del mismo es posible inducir una concepción unitaria de la disciplina. STONE (véase ELEMENTOS, N9 1, p. 9) ratifica esta concepción. Con estas dos autorizadas y fundadas opiniones bastaría para inclinarse por el uso en singular. Ya en 1937, nuestro colaborador J. BABINI había tratado este tema en un artículo aparecido en los Anales de la Sociedad Científica Argentina, Vol. 125, en el que la conclusión es semejante.
En cuanto a la posibililad de que los editores de textos uniformen la expresión, es indudable que sólo se conseguirá cuando antes lo hagan las autoridades educativas.
Con este número se alejan de la Revista Juan J. RODRIGUEZ y Andrés VALEIRAS. Afortunadamente, tanto uno como otro, continuarán cordialmente vinculados a la tarea emprendida en común. La reconocida capacidad de Rodríguez se mostrará, una vez más, en los aportes suyos que iremos publicando. Va- leiras ha aceptado ser nuestro corresponsal honorario en toda Latinoamérica, mientras permanezca en sus nuevas funciones. Los editores restantes toman a su cargo exclusivo la pesada, pero necesaria, tarea de continuar con la publicación de ELEMENTOS.
Al par que se producen estas bajas, tan sensibles como difíciles de cubrir, ELEMENTOS se complace en poder contar ya con el ingeniero José BABINI, como Consultor, y con los profesores Nélida I. MELANI, de Córdoba y José A. PETROCELLI, de La Plata, como ponsales en sus respectivos lugares de actuación docente. Sus desinteresadas colaborado-
serón debidamente apreciadas por tros lectores. Más adelante, tendremos ponsales en otros importantes lugares del país y de Latinoamérica. Porque, como lo decíamos en nuestro primer editorial, queremos la comunicación frecuente con nuestros lectores.
Vibrante alegato en favor de la renovación de la
enseñanza de la matemática en el cual se analizan
el temor de ia novedad, la barrera del lenguaje, los
caracteres de la matemática moderna, el futuro de esta
ciencia, el proceso de su enseñanza.
Una edición de ELEMENTOScorres- Biblíografía de la circular N9 19/63 (Escuela
Nac. de Comercio de Cruz del Eje). Entendemos que la mencionada circular informa sobre las instituciones a las que se debe recurrir en cada caso cuanlo se trata de publicaciones oficiales. En cuanto a los textos, Ies sugerimos dirigirse a nuestro avisador, la Librería del Colegio. Por otra parte, la circular N9 3/64 insinúa el propósito de las autoridades educativas de facilitar la provisión de material de esta clase. Si nuestra respuesta se considerare insuficiente, encarecemos particularizar la información solicitada.
nes nues-corres-
m/n.$ 120Precio de venta en librerías
m/n.$ 90Pedidos de suscriptores¿Matemática o Matemáticas? (Srta. Lela N.
Bachur, Tucumán). Justamente, en la primera parte del artículo de BOURBAKI que comenza-
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