ALBERTO SOTO AGUILARELEMENTOSDELGEBRA MODERNAUNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA2010Elementos de lgebra1Edicin acadmicaVirginia Ramrez CascanteEncargado de ctedraHugo Barrantes CamposEspecialistaOscar Roldn SantamaraRevisin filolgicaJonatn Lpiz Vega Elementos de lgebra2PRESENTACINLa presente unidad didctica est escrita para el curso lgebra I que pertenece al plan de estudios delacarreradeenlaEnseanzadelaMatemticadelaUniversidadEstatala Distancia de Costa Rica. Asume,dellector,unconocimientoslidodelas tcnicas de demostracin; as como de los conceptosgeneralesdel clculodiferencialeintegralenunavariable,lgebralineal,ecuaciones diferencialesordinarias,probabilidadyestadsticaygeometraplanaydel espacio. Presenta la teoradegruposyanillos,temacentraldeltexto,utiliza losconceptosadquiridos porelolaestudiantehasta esta etapa de su formacin.Se ha querido ilustrar las definiciones y los teoremas por medio de ejemplos, y no hacer de este libroun texto tradicionalde lgebra Moderna en donde predominan las demostraciones.De esta manera,enelprimercaptuloseintroducenlas propiedadesbsicasdelasestructurasalgebraicas,apartirdelasya conocidasenelconjuntodelosnmerosnaturales,enteros,racionales, reales y complejos.Se aprovecha tambin la estructura algebraica de losconjuntosdematricesylosconjuntosdefuncionesparaexponer caractersticas (no conmutatividad, elementos nilpotentes) queno estn presentesen lasestructurasdefinidas sobreconjuntos numricos.As mismo,seutilizanlos conjuntos de polinomios para mostrar un ejemplo de una estructura que se puede identificar conladelosnmerosenteros,perocuyoselementossonmuydiferentes. Enelsegundocaptulosedesarrollanlasdefinicionesformalesdelas estructurasalgebraicas,monoide,semigrupoygrupo;se presentany demuestranlasprincipalespropiedadesdelasestructurasalgebraicasyde loselementos quelascomponen.Seintroduceelconceptodesubgrupoy grupocociente.Eneltercercaptuloseexponelateoradegruposyde homomorfismos, se estudian, tambin, los grupos de permutacin yseexponenmodelosgeomtricosparaejemplificarestaspropiedades.En Elementos de lgebra3elcuarto captulo se desarrolla la teora de anillos y campos y se estudianlosresultadosmsimportantesdeestas estructuras algebraicas.Con la idea de que su aprendizaje pueda ser ms autnomo, en el estudio de lateoradegruposyde anillos,sehaqueridoreforzarpormediodeuna lista de5ejerciciosalfinalizardecadaseccin, ademsde una lista generalde10ejerciciosalfinaldecadacaptulo.Lassolucionesylos comentarios,referentesaestosejercicios, seencuentranal final decada captulo.Se espera que cada seccin la revise al menos 2 veces, ya sea durante la primera lectura o la segunda, Elementos de lgebra1peroantesderealizaralgunodelosejerciciospropuestos,dependiendoesto solodesuformade trabajo, resuelva cada ejemplo sin leer la solucin presentada para luego compararla con su solucin.Deigualforma,tratederealizarlosejerciciospropuestosalmenos2veces antesdeverlasolucin. Tenga presente que,paralelo a los conceptos estudiados,estetextodemandarenfrentarseaun nivel de demostraciones un poco mayor que en algunos textos de cursos previos.Porotraparte,estetextoseencuentraensuetapaderevisin,muchole agradecerquesiconsidera queuntemaoejemplonoestexpuestodela mejormaneradirijasuscomentariosalactedraoalcorreo personal del autor.Porltimo,deboagradecer atodaslaspersonasqueestncontribuyendo parahacerdeestetexto unaunidaddidcticamodular,alaproductora acadmicaDra.VirginaRamrez;alDr.Oscar Roldn, cuyos comentarios, inclusiones e indicaciones han sido ms que pertinentes y acertadas parala correcta comprensin de los conceptos presentados; al MSc. Hugo Barrantes, cuya experiencia,conocimiento y ojo experto ha encauzado la obra para que pueda llegaralasmanosdelosestudiantesdelcursoyseatilparael aprendizajeadistancia.Amiscompaerosdectedrayel programa de Matemtica de la UNED cuyoscomentarosme han ayudado para mejorarlaexposicindelostemas.AmiesposaIlianovaquemeha apoyado para que pueda contar con lascondiciones de tiempo y espacio necesarios para poder escribir. A todos ustedes muchas gracias.Lic. Alberto Soto 2, 4Elementos de lgebra2CONTENIDOCAPTULO 1SOBRE LAS OPERACIONES DEFINIDASEN LOS CONJUNTOS NUMRICOSY OTRAS ESTUCTURAS 1I. OPERACIONES SOBRE CONJUNTOS 21. Tabla de operacin 32. Forma matricial 33. Forma cartesiana 34. Tablas de operaciones en hojas de clculo 5EJERCICIOS DE LA SECCIN 6II. LOS NMEOS NATURALES 71. Axiomas de Peano 72. La adicin en 83. La multiplicacin en 14. La potenciacin en 15. Solucin de ecuaciones 1EJERCICIOS DE LA SECCIN 20III. LOS NMEOS ENTEROS, 22 1. Construccin del conjunto de los nmeros enteros 22 2. La aritmtica entera 23. las estructuras algebraicas(, +) ,(, )y(, +, )254. la estructura de anillo de los enteros 285. Ecuaciones en 30EJERCICIOS DE LA SECCIN 33IV. ENTEROS MDULOn341. Construccin 342. Estructuras algebraicas den 363. Ecuaciones enn 41EJERCICIOS DE LA SECCIN 42V. EL CAMPO DE LOS NMEROS RACIONEALES 43 1. Construccin 43 2. Estructuras algebracias de44 3. Ecuaciones en46EJERCICIOS DE LA SECCIN 47VI. CAMPOS QUE CONTIENEN A LOS RACIONALES 481. El campo 2 1 48 ]2. El campo 2, 31483. El campo ]

3 31 ] 494. El campo de los nmeros reales 495. El conjunto de los nmeros complejos 50EJERCICIOS DE LA SECCIN 52 VII. OTRAS ESTRUCTURAS CONOCIDAS 51. Matrices 52 2. Polinomios 54 3. Funciones 5EJERCICIOS DE LA SECCIN 56EJERCICIOS DEL CAPTULO I 58SOLUCIN A LOS EJERCICIOS DE LAS SECCIONES 59SOLUCIN A LOS EJERCICIOS DEL CAPTULO I 73GLOSARIO 77CAPTULO 2ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS GENERALES 79I. SEMIGRUPOS Y MONOIDES 80EJERCICIOS DE LA SECCIN 86II. ELEMENTOS ESPECIALES EN LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 87EJERCICIOS DE LA SECCIN 93III. GRUPOS 94EJERCICIOS DE LA SECCIN 99IV. SUBGRUPOS 101EJERCICIOS DE LA SECCIN 114V. NOTA HISTRICA: CONCEPTO DE GRUPO 115EJERCICIOS DEL CAPTULO II 119SOLUCIN A LOS EJERCICIOS DE LAS SECCIONES 121SOLUCIN A LOS EJERCICIOS DEL CAPTULO II 127GLOSARIO 131CAPTULO 3GRUPOS Y HOMOMORFISMOS 133I. GRUPOS DE SIMETRA 134 1. Movimientos rgidos y conjuntos invariantes 135 2. Rotaciones 137 3. Reflexiones 13EJERCICIOS DE LA SECCIN 140II. UN GRUPO DE MATRICES FORMADO POR ROTACIONES Y RELFEXIONES 141 1. Un grupo con tres rotaciones 142. Grupos didricos 152EJERCICIOS DE LA SECCIN 155III. ESTUDIO DE ALGUNOS GRUPOS DE PERMUTACIONES 156 1. Definiciones y notaciones 156 2. Paridad de las permutaciones 160 3. Ejemplos 16EJERCICIOS DE LA SECCIN 1674. Homomorfismos 168EJERCICIOS DE LA SECCIN 177EJERCICIOS DEL CAPTULO III 178SOLUCIN A LOS EJERCICIOS DE LAS SECCIONES 179SOLUCIN A LOS EJERCICIOS DEL CAPTULO III 185GLOSARIO 188CAPTULO 4ANILLOS, POLINOMIOS Y CAMPOS 189I. ANILLOS 190 1. Definiciones y ejemplos 190 2. Caractersticas y propiedades de un anillo 196 3. Subanillos 19EJERCICIOS DE LA SECCIN 202II. DOMINIOS DE INTEGRIDAD Y ANILLOS SIN DIVISORES DE CERO 203 1. Ecuaciones polinomiales sobre anillos 203 2. Anillos sin divisores de cero 206 3. Unidades en un anillo y campo 20EJERCICIOS DE LA SECCIN 210III. IDEALES, ANILLOS COCIENTES Y HOMOMORFISMOS 211 1. Ideales y anillos cocientes 211 2. Homomorfismos de anillos 21EJERCICIOS DE LA SECCIN 222IV. IDEALES MAXIMALES, IDEALES PRIMOS Y CAMPOS 223EJERCICIOS DE LA SECCIN 227V. ANILLOS DE POLINOMIOS 228EJERCICIOS DE LA SECCIN 239EJERCICIOS DEL CAPTULO IV 240SOLUCIN A LOS EJERCICIOS DE LAS SECCIONES 241SOLUCIN A LOS EJERCICIOS DEL CAPTULO IV 248GLOSARIO 252Elementos de lgebraVII Elementos de lgebraVIII Elementos de lgebra1CAPTULO 1SOBRE LAS OPERACIONESDEFINIDAS ENLOS CONJUNTOSNUMRICOS YOTRAS ESTUCTURASObjetivos especficos1. Conocer la axiomtica de los nmeros naturales y como se deriva la construccin de los nmeros enteros y los nmeros racionales.2.Estudiarlasoperaciones delaaritmticaelementaldistinguiendo las propiedades de asociatividady conmutatividad.3. Identificar elemento neutro, absorbente, elementos regulares,inversibles o simetrizables.4. Aplicar la ley de cancelacin.5. Resolver ecuaciones en una variable en las diferentes estructuras.SumarioI. Operaciones sobre conjuntosII. Los nmeros naturales III. Los nmeros enteros IV. Los enteros mdulo n V. El campo de losracionalesVI. Campos que contienen a los racionalesVII. Otras estructurasRESUMENEn este captulo se introducen las propiedades bsicas de las estructuras Elementos de lgebra2algebraicas, a partir de lasya conocidas, como el conjunto de los nmeros naturales, enteros, racionales, reales y complejos. Se aprovechalaestructuraalgebraicadelosconjuntos dematricesydefuncionesparaexponer caractersticas(no conmutatividad,elementosnilpotentes)quenoestnpresentesenlas estructuras definidassobreconjuntosnumricos.Seutilizanlosconjuntos depolinomiosparamostrarun ejemplodeunaestructuraquesepuede identificarconladelosnmerosenteros,peroquesus elementos son muy diferentes. Elementos de lgebra3I. OPERACIONES SOBRE CONJUNTOSParaintroducirlasestructurasalgebraicasesnecesariodelimitarlaidea formaldequesuna operacin. Por esto, en la siguiente definicin, se coloca la primera piedra del edificio algebraico.Definicin1.Sea A unconjuntonovaco,unaoperacininternasobre A esunafuncinf: A A A . En este caso, se dice que el par( A,f )es una estructura algebraica.Es importante observar que cualquier funcin, con dominio el producto cartesiano y codominio elmismo conjunto, define1una operacin interna.NotacinLo habitual en funciones es escribirf ((a, b)) = c f (a, b) = cpara indicar queces la imagen delelemento (a, b)bajo la funcin f. En el caso de una operacin interna definida por la funcin fse escribira fb = cpara indicar queces el resultado de operarayb, a los que se les llama, enforma genrica, operandos, con la operacin definida por la funcin f. La costumbre tambin haimpuestoqueenlugardedenotaralasfuncionesconletras,comoeslo usual,seutilicealgn smbolo para indicar el resultado de la operacin determinada por f, de esta forma, se usa* ,+ , , . Por esto encontrar expresiones tales comoa * ba b , que se leea asteriscobaoperado conb, e indica el resultado de la operacin deayb.Un conjunto puede tener varias operaciones en cuyo caso se escribe( A,*1 ,*2 ,,*n ) . Para operarcon 2 o ms de estas operaciones a la vez, es necesario el uso de parntesis Elementos de lgebra4yasindicarelordende cmooperarcadaunadeellas.Sesobreentiende que losparntesisinternossonlos que tienen la primera prioridad por lo que se deben hacer de primero.En algunos textos, se dice que una operacin es cerrada siaoperado conb pertenece al conjuntoAo conjunto de definicin, pero esta condicin se satisface en la operacin interna y es lo que seentiendeporestructuraalgebraica.Deestaforma,para determinarsi( A,*)esuna estructuraalgebraicasoloserevisarsi * estbiendefinidacomounafuncincon dominio A A ycodominioA .1Aqu se entiende como funcin aquella que est definida sobre todos los elementos del domino, se hace esta aclaracinporque ciertos autores consideran esto como aplicacin. 1. Tabla de operacinCuandoelconjuntoes finito,A = {a1, a2 ,, an } ,con n elementos,esposible representarlaoperacin interna por medio de una tabla llamada, en forma general, tabla de "multiplicacin". Hay2manerasderepresentarla,unasellamaformamatricialylaotraforma cartesiana.Esnecesario aprender la diferencia entre ellas, as como saber interpretarlas.2. Forma matricialLaformamatricialconsisteen representarlosn 2resultadosenuna matrizR (rij ) de tamaon n .DondeloselementosdeAsoncolocadoscomoetiquetasparacada columnayparacadafila; se utiliza el mismo orden en cada caso. Se escriben sobre la primera fila y a la izquierda de laprimera columna. Luego, en la entradarijse escribe el resultado de operaraiya j, en smbolos,rij ai* a j .Porcostumbre,secolocanlneasdiferenciadasenlapartesuperior eizquierdadelamatriz, las que se encuentran entre filas o columnas son optativas y se ubican solo si se consideraque ayuda a la lectura. De esta forma, sirepresenta por la siguiente matriz:A = {a1 , a2 , a3}y sobreAse define la operacin *esta se* a1a1a1 * a1a2a2* a1a3a3 * a1a2a1 * a2a2* a2a3 * a2a3a1 * a3a2* a3a3 * a33. Forma cartesianaLaformacartesianadelatabladelaoperacinutilizaelhechoquepara cadaparordenadodelconjuntoA Aexiste un elemento que representa el resultado, y se crea un sistema de coordenadasque usa los elementos deAcomo etiquetas para los ejesxyy , en el mismo orden para amboscasos.Enlatablaescritaensuforma cartesiana,elresultadodeai* a jsecoloca sobreai ,a lamisma altura dea j. As, con este arreglo, para el mismo conjunto anteriorA , con 3 elementos, laoperacin se representa de la siguiente forma:a3a1 * a3a2a1 * a2a1a1 * a1* a1a2* a3a2* a2a2* a1a2a3 * a3a3 * a2a3 * a1a3Como puede notar, ambas representaciones ofrecen la misma informacin, tenga presente esto en el momento de leer tablas de operacin.Ejemplo 1SeaA = {1, 2, 5}considere la estructura algebraica determinada por la siguiente tabla de operacin:* 1 2 51 5 2 12 2 2 55 1 2 5En la estructura( A,*) , cul es el resultado de(2 * 5) * (1* 5) ?SolucinNote que2* 5se busca en la entrada (2,3) de la matriz, en este caso2* 5 = 5y 1* 5se busca en laentrada (1,3), en este caso1* 5 = 1. Luego, (2 * 5) * (1* 5) 5 *1 = 1en en la entrada (3,1) de la matriz.al buscar este ltimo resultado,Quiz se pregunte, existir una frmula para la operacin del ejemplo 1, tal quea * b = cse puedadeterminarsinnecesidadderevisarlatabla?Enestecaso,noesposible establecersitalfrmula exista o no. Pero cuando el conjunto es finito2, basta una tabla para determinar la operacin.Ejemplo 2SeaA = {1, 2, 3}encuentre la tabla de la operacin definida pora * b = a + b| a b | .2SolucinHayqueindicarprimeroquesedebenverificarlosresultadospuesla operacindefineuna estructura algebraica solo cuando todos los resultados pertenecen aAy en este caso se tiene:1 + 1| 1 1 | 2 0 1 +2 | 1 2 | 3 1 1 + 3| 1 3 | 4 21* 1 = = = 1 1 * 2= = = 1 1* 3= = = 12 2 2 2 2 22 + 1|2 1 | 3 1 2 +2 |2 2 | 4 0 2 + 3|2 3 | 5 12 * 1 = = = 1 2 * 2= = =2 2 * 3= = =22 2 2 2 2 23 + 1| 3 1 | 4 2 3 +2 | 3 2 | 5 1 3 + 3| 3 3 | 6 03 * 1 = = = 1 3 * 2= = =2 3 * 3= = =32 2 2 2 2 22Con pocos elementos, pues si tiene muchos elementos, la tabla no tendra utilidad.Note que todos losresultados son elementosdelconjuntoA .Conestose sabe que( A,*)esuna estructura algebraica. Luego basta con acomodar la tabla de la operacin.* 1 2 31 1 1 12 1 2 23 1 2 34. Tablas de operacin en hojas de clculoEs posible que est familiarizado con las hojas de clculo, tales como el programa Excel de MicrosoftobienCalcdeOpenOffice,siesas,cuandolaoperacinestdefinida pormediodeunafrmulaa*b=F(a,b),latablasepuedeconstruir,conapoyodeestaherramienta. Abra unlibronuevo en algunodeestosprogramasycoloqueloselementos delconjuntoenlaprimerafila,apartirdela segunda columna (columnas B, C...) y en la primera columna a partir de la segunda fila (2,3...) y se define la entradaB2=F($A2,B$1)paraluegocopiar lafrmulaenlascolumnas adyacentes y despusa las filas inferiores; con esto obtendr la tabla de operacin.Amododeejemplo,enlaestructuraanterior,latabladelaoperacinensu formamatricialserel resultadodelprocesoquesemuestraenlafigura 1.1.Lossignosde$sonnecesariosparafijarla operacin al momento de copiarla a otras celdas. Figura 1.1Unavezquesedefineunaoperacininmediatamentesepreguntapara qusirve?qusepuedehacerconellayquno?Estonecesitade respuestasbasadasenlaspropiedadesquecumplenlas operaciones,que sediscutenenlassiguientesseccionesdelcaptulo,conelobjetivode mostrar propiedadescomunes,patronesoalgoritmosquepermitan estudiar estructuras algebraicasabstractas.EJERCICIOS DE LA SECCINEJERCICIO 1SeaA = {2, 4, 6, 8} , se define la operacin por medio de la siguiente tabla de la operacin.2 4 6 82 4 8 2 64 8 6 4 26 2 4 6 88 6 2 8 4Determinesi ( A, ) es una estructura algebraica y calcule elresultado de[(2 4) (4 6)] (6 8).EJERCICIO 2Para la estructura algebraica( A, )del ejercicio 1 responda a las siguientes preguntas:1. Es24 = 4 2o(4 6) 8 = 4 (6 8) ?2. Para qu valorx Ase cumple que 8x = 2 ?3. Existee Atal que para todox A cumpla quex e = x ?4. Cules elementos cumplen con la propiedad dex x = 6 ?EJERCICIO 3Considerelaoperacin* definidasobreelconjuntodelasprimeras3 letrasdelalfabetogriego{, , } tal quex * y = x , calcule el resultado de * , * y * .EJERCICIO 4Considere la operacin * definida sobre el conjuntoA = {0, 5,10,15, 20, 25, 30}tal quex * y = max{x, y} min{x, y} dondemax ymin significaelmximoyelmnimo entrelos2nmeros.Determinesiesunaestructuraalgebraicayformelas2tablas demultiplicacinenlasformas matricial y cartesiana para esta operacin.EJERCICIO 5Determinecuntasoperacionesinternas*sobre elconjuntocaractersticas:1. Todas las filas son diferentes entre s.A = {x, y, z} cumplenlas siguientes2. Un mismo nmero no se repite en ninguna fila ni columna.3. Sia ben oncesa * b b * a t.II. LOS NMEROS NATURALESQuiz el primer conjunto al que siempre se hace referencia es el de los nmeros naturales denotadopor = {1, 2, 3, 4,} , en esta seccin interesa revisar, con detalle, las propiedades de lasoperacionesdefinidassobreesteconjunto,queyaseconocen:lasuma, lamultiplicacinylapotenciacin, entre otras.Seiniciaconlaintroduccinformaldelosnmerosnaturalesylas operacionesaritmticasms conocidas.1. Axiomas de PeanoLosaxiomasdePeanodefinende maneraexactaalconjunto de los nmeros naturales.Fueronestablecidosporel matemtico italiano GiuseppePeano (1858-1932)enelsigloXIX.Peano ademsde matemticofuefilsofoy realizcontribucionesala teorade conjuntos.Public ms de 200 libros y artculos,lamayorasobre matemticas.Partedesu vida la dedic a ensear en Turn.Giuseppe PeanoLos nmeros naturales se pueden construir a partir de 5 axiomas fundamentales:1. El 1 es un nmero natural (es decir, el conjunto de los nmeros naturales no es vaco).2. Siaes un nmero natural, entonces existe un nmero naturala llamado el sucesor dea .3. El 1 no es sucesor de ningn nmero natural (es el primer elemento del conjunto).4. Si hay 2 nmeros naturalesaybtales que sus sucesores son diferentes entoncesaybson distintos.5. (Axioma de induccin) Si un conjunto de nmeros naturales contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos entonces contiene a todos los nmeros naturales.Estos axiomas indican que sin , o bienn 1on m' param . Una manera de enlistarlo es{1,1 , (1 ) , ((1 ) ) ,} ; si se escribe1= 2 , 2= 3 ,3= 4representacin = {1, 2, 3, 4,} .y as sucesivamente, con lo que se tiene la2. La adicin enLa operacin adicin se utiliza desde las primeras formas de contar; el smbolo moderno que se usaes + .EnelsigloXV pocoapocoseimpusoelusodeabreviaturas paraindicaralgunas operaciones matemticas. Por ejemplo, los italianos utilizaban una p y una m para indicar la suma ylaresta(delitalianopiuymenos)notacinintroducidaen"Summade arithmetica,geometrica,proportioniet proportiolanita"delfraileLucaPacioli (1445-1517).Sinembargo,acabimponindoselaabreviatura alemana+y queseutilizaban,originariamente,paraindicarexcesoydefectoenla medidadelas mercancas en los almacenes.De hecho,eltexto ms antiguoqueseconoceenelqueaparecenestossignos,conelsentidodesumayresta,esunlibrodearitmtica comercialdelalemnJohann Widmanpublicadoen1489.Peseasuusopor losalemanes,pareceserqueelsigno +tieneorigen latino porseruna contraccinmedievaldelapalabraet(laconjuncin"y").(Boyer, p.358,360); (Davis, p.98).Formalmente se define la suma en forma inductiva de la siguiente forma: Seana, b se define la suma deayb sib 1 entoncesa + 1= a , sib 1 entoncesc tal queb c( ces el antecesor deb )a + b a + c ' (a + c) ' .Con esta definicin si se quiere calcular paso a paso2 + 3primero se calcula2 + 1 2 ' 3,luego2 + 2 2 + 1' (2 + 1) ' 3 ' 4,por ltimo2 + 3 = 2 + 2 ' (2 + 2) ' 4= 5.En esta estructura, al escribir la expresina + b , se le llaman trminos o sumandos a los operandosysumaototalalresultadodeestaoperacin.Unadelaspropiedadesque satisfacelasumaesla siguiente:a + (b + c) = (a + b) + c. (1)Esta propiedad se llama asociatividad y permite, al tener 3 o ms trminos, emparejarlos de la formamsconvenienteparaoperarlosy,conesto,nosernecesarioelusode losparntesis,enotraspalabras,laexpresina + b + cresultado.nopermitediversasinterpretacionesysolopuede darunnicoEs importante escribir la definicin formal de asociatividad que ser de mucha utilidad a lo largo deltexto.Definicin 1. Sea( A, *)una estructura algebraica, se dice que la operacin es asociativasi para todoa, byc Ase cumple con:a * (b * c) = (a * b) * c.(2)Esta definicin la satisface la suma definida en el conjunto de los nmeros naturales, tal y como loestablece el siguiente teorema:Teorema 1En la estructura algebraica(, +) ,+es asociativa.DemostracinHay que probardec .a + (b + c) = (a + b) + c . Se har la demostracin por induccin13sobre los valoresPaso 1. Sic =1 entonces la expresina + (b + 1)se escribe comoa + (b + 1) = a + b= (a + b)= (a + b) + 1.Paso 2. Ahora se asume quea + (b + d ) = (a + b) + dcumple parac + 1o bienc ' .se satisfaced c y se prueba que tambin sea + (b + c ') a + (b + c)=def . suma(a + (b + c))=h. ind=((a + b) + c)(a + b) + cdef . sumaCon esto se demuestra la asociatividad.Ahorasepresentan2propiedadesmsquesecumplenen(, +) .Estas soncomplementariasy ayudan a la comprensin de la estructura(, +) . Por esto se enuncian como una proposicin.43Elmtodotienedospartesopasos.Enelprimerpaso,severificalapropiedadparael primervalor.Elsegundo,asume que la propiedad se satisface para todos los valores menores quen y se demuestra paran + 1.4Una proposicin es un resultado complementario o particular. Tiene una jerarqua menor a un teorema pero mayor que un lema.Proposicin 1En la estructura algebraica(, +)se cumple con:1. 1 + a = a .2. a + b = b + a.3. Sia + b = a + centoncesb = c.DemostracinTodas las partes se demostrarn por induccin.1. Para la primera de las propiedades se har induccin sobrea.Paso 1. Paraa =1,la igualdad 1+1=1 asegura la propiedad.Paso 2. Ahora se asume quelo que es lo mismoab ase cumple que 1 + b by se prueba la igualdad paraa +1o1 + a= 1 + (a + 1) =asoc.(1 + a) + 1 =h. inda+ 1 = (a )Y es lo que se quiere mostrar.2. Se hace por induccin sobreb.Paso 1. Parab =1es la parte 1 de esta proposicin.Paso 2. Se asume quea + c c + apara todoc by se demuestra la igualdad paraba + b= a + (b + 1) =asoc.(a + b) + 1=(b + a) + 1 =b + (a + 1)h. ind asoc.=parte 1Demostrando con esto la igualdad.b + (1 + a) =asoc.(b + 1) + a = b+ a3. Una vez ms se utiliza induccin sobrea.Paso 1. Siqueb = c.a =1se tiene que si 1 + b = 1 + centonces b= c y por el axioma 4 dePeano se tienePaso2.Seasume quedatalqued + b d + c b c .Ysedebe demostrarparaa +1 . Si(a + 1) + b = (a + 1) + centoncesalutilizarla asociatividada + (1 + b) = a + (1 + c) ,porlo quesededucedelahiptesisdeinduccinque 1 + b = 1 + cDemostrando con esto el enunciado.oenforma equivalenteb= casb = cLaparte2delaproposicin1eslapropiedadconmutativadelasumade nmerosnaturales.Ladefinicin formal de esta propiedad se escribe a continuacin.Definicin2.Enunaestructuraalgebraica( A, *) ,*esconmutativa sialcambiarel orden de los operandos, no cambia el resultado de la operacin. En smbolosa * b = b * a .Lapropiedad3delaproposicin1eslaLeydecancelacinparala sumaypermitesimplificar igualdades. La definicin de esta ley se indica a continuacin.Definicin 3. En una estructura algebraica( A, *)se satisface la ley de cancelacin por la izquierda si cada vez quea * b = a * cse concluye queb = c . En forma semejante por laderechasi deb * a = c * a seconcluye queb = c .Sedicequeenla estructurasesatisface la ley de cancelacin si se cumple por ambos lados.Ms adelante, en el texto, se estudiarn ejemplos de estructuras algebraicas en donde, a pesar de quelaoperacinnocumpleconlaleydecancelacin,conalgunoselementos, esposiblecancelaren ambosladosdeunaigualdad;enestoscasos,se dicequeelelementocanceladoesregularporla derecha o por la izquierda segn sea el caso.NomenclaturaEnlateoradeestructurasalgebraicasseutilizannombresparaclasificarlas, porejemplo,cuandola operacinesasociativasedicesimplementeque laestructuraesunsemigrupo.Ysilaestructura cumple con la propiedad conmutativaselellamaabeliana.As,enelcasodelosnmerosnaturales conlasuma,setieneunsemigrupoabelianoquesatisfacelaleyde cancelacin. El nombre abelianoesenhonordelmatemticonoruegodelsigloXIX,NielsHenrikAbel (1802-1829)porsu contribucin a la teora de ecuaciones y de funciones.SubestructuraalgebraicaResultainteresante,yalgunasvecestil,notarquehaysubconjuntos dentrodeunaestructura algebraica, en los cuales la operacin restringida alsubconjuntoposeelasmismaspropiedadesquelaestructuraoriginal. Cuando esto sucede se dice que se tiene una subestructura algebraica.Existen ejemplos en los cuales la subestructura tiene ms propiedades que la estructura primaria.Definicin4Sea( A, *)unaestructuraalgebraica,seaB A ,sedice queB esunasubestructura algebraica deAsi para todox, y Bse tiene quex * y B .Ejemplo 1Sea .Estesubconjunto,llamadoel conjuntode nmeros pares es una subestructura algebraica de(, +) .SolucinPrimeronoteque,porlaasociatividad,nohacefaltaescribirparntesis enladefinicinanterior.Seana, b Pentonces,ase escribe como la suma dennmeros iguales a 2 y la misma situacinparab , ste nmero se escribe como la suma demnmeros iguales a 2. Por lo tantoa + butilizalasumade nmerosigualesa2.PorloquelasumaperteneceaP ,y secumpleconla definicin de subestructura algebraica.ReflexinLosnmerosparestodossonsumasdenmerosigualesa2.Siseconsiderael conjuntosumasde nmerosigualesa m sepuedegarantizarqueseauna subestructura algebraica con la operacin suma?Caracterstica hereditariaUnapropiedadsellamahereditariasisemantieneencualquier subconjuntodeunconjunto.Notodas lo son, por ejemplo, siEes un conjunto infinito no es posible asegurar queA Etambinlosea.Laspropiedadesasociatividad,conmutatividadylaleyde cancelacinenunaestructuraalgebraicasonhereditarias.Deesta forma,siemprequeseconsidereunsubconjunto,deuna estructuraen dondesecumplalaconmutatividadoasociativavidad,nosenecesita demostrarquela operacinloesniquecumpleconlaleydecancelacin sobreelsubconjunto.Casodiferenteesla existencia del neutro o los inversos, estas no son hereditarias.Ejemplo 2Sea P elconjuntodenmerosnaturalespares.Sobreesteconjuntose consideralasuma( + )habitual de nmeros naturales. Pruebe que( , +)es un semigrupo conmutativo.SolucinPorlacondicinyademostradadeque ( , +) esunasubestructura algebraica,ycomolaspropiedades de asociatividad y conmutatividad se heredan entonces se concluye que( , +)semigrupo conmutativo.Reflexines unLosnmerosparesformanunaprogresinaritmticayelejemplo2indicaquesuestructuraalgebraicarecibelamisma denominacin que los nmeros naturales. Se puede generalizar esta situacin a cualquier progresin aritmtica?3. La multiplicacin enSobre el smbolo muchos algoritmos, para obtener productos y proporciones, hacan uso, enpocas medievales de la aritmtica, de la cruz de San Andrs (el aspa). Quiz por ello Oughtred, en1631, la eligi como smbolo para sus multiplicaciones y pronto otros autores siguieron su ejemplo. Peronotodos:Leibniz,en1698,leescribiaJohn Bernoulli:"no me gustacomosmbolo para la multiplicacin, puesse confundedemasiadofcilmenteconx;amenudorelacionodos cantidades con un punto interpuesto,eindicolamultiplicacinmediante estaforma".Esdecir,queLeibniz,paraevitarconfusiones, sealaba de la misma manera proporciones y productos con un sencillo punto. Otra posibilidad para indicar el producto es no poner nada entre los factores, como cuando escribimosxypara indicarxpory . Descartes, cuando en la pgina 7 de su Geometrie fija la notacin que va a utilizar, dice: "Etab, pour les multiplier l'vne par l'autre". Habr sido el primero en utilizar esta notacin?En este texto, se cambia el smbolo x para la multiplicacin, por un simple punto en el centro de las2 cantidades. Cuando no causa confusin la multiplicacin se indica tambin por la yuxtaposicinde las letras y los nmeros por lo que no se escribe 2 xo2 x3 expresiones enuncian exactamente lo mismo.ms bien se escribe2x aunque lasSe define la multiplicacin en el conjunto de nmeros naturales como una aplicacin iterada de lasuma.Ladefinicinesinductivayconsideraelconceptodeantecesor. Recuerdequeporlos axiomasdePeano,unnmeronaturalesobien1o bienelsucesordeunnmeronatural.Seana, b conb 1, si existe tal quec ' bentonces1. a 1= a.2. ab a c ' = (a c) + a(definicin de multiplicacin).En forma similar a la suma para calcular4 3se calcula escribiendo4 3 = 4 2= 4 2 + 4luego, sepasaacalcular4 2 = 4 1= 4 1 + 4 = 4 + 4 = 8regresando4 3 = 8 + 4 = 12 .Enforma extendida4 3 = 4 + 4 + 4y se dice que el sumando 4 aparece 3 veces. En general,ab representa la suma endonde el sumandoaaparecebveces.En la multiplicacin a los operandos se les llama factores y al resultado se le llama producto. Note queab + cesunaexpresinquenorequiereparntesis,puesrepresentauna sumaylapropiedadasociativa de esta operacin justifica su clculo.Propiedades de la multiplicacinTeorema 2Seana, byc , entonces se satisfacen las siguientes propiedades:1. a(b + c) = ab + ac(propiedad distributiva de la multiplicacin con respecto a la suma).2. 1a = a1 = ase dice que 1 es un elemento neutro de la multiplicacin.3. a(bc) = (ab)c(propiedad asociativa de la multiplicacin).4. ab = ba(propiedad conmutativa de la multiplicacin).5. Siab = acentoncesb = c(Ley de cancelacin de la multiplicacin).DemostracinLas demostraciones de las 2 primeras se harn por induccin, el resto queda como ejercicio que serevisar al final de la seccin.1. Se har induccin sobrec.Paso 1. Sic =1 se sabe de la definicin de multiplicacin quemismo gracias a la misma definicin,ab + a 1.a(b + 1) ab= ab + a o, lo que es loPaso 2. Si se asume quea(b + d ) = ab + adse cumple , se debe de probar la igualdad paraca(b + c)=a(b + c)=a(b + c) + a=(ab + ac) + adef . suma def . mult . hip. ind .Y es lo que se quiere probar.=asoc.ab + (ac + a) ab + a(c + 1) =def . mult .ab + ac2. Se hace por induccin sobrea.Paso 1. Sia =1 entonces 1 1 = 1se satisface por la primera parte de la definicin de multiplicacin.Paso 2. Se asume que 1b = bb ay se prueba paraa .1a= 1(a + 1) =def . mult .1a + 1 =hip. ind .a + 1 = aY con esto concluye la prueba.Con estas propiedades la estructura(, )cumple con la asociativdad, la conmutatividad y la ley decancelacin,aligualque(, +) ,conunadiferenciamuyimportante,como puedeobservar,lasegunda propiedad del teorema anterior indica que 1a = a 1 = aesto permite denotar al 1 comoneutro en la multiplicacin. La definicin formal de neutro se indica a continuacin.Definicin 5.Sea( A, *)unaestructuraalgebraica,un elementoe Ase llama neutropor la derecha sia * e = ay por la izquierda sie * a = a , para todoa A . Un elementose llama neutro si lo es por la derecha y por la izquierda.En otras palabras, el operar cualquier elemento cone , el resultado es el otro operando. Continuando con la clasificacin de estructuras se tiene la definicin de Monoide.Definicin6.Unmonoideesunaestructuraalgebraicaenlaquese cumplelapropiedadasociativayposeeelementoneutro.En otraspalabrasesunsemigrupoconelemento neutro.Por lo anterior, la estructura(, )es un monoide conmutativo.Ahora estn definidas las 2 operaciones de la aritmtica elemental, se puede mostrarunaestructuraalgebraicacuyanotacines.Estaestructura cumple con que la multiplicacin distribuye con respecto a la suma tal y como est expuesta en el punto 1 del teorema 2.La definicin formal de propiedad distributiva es la siguiente:Definicin 7. (Propiedad distributiva) Sean*, : A A Adice que *distribuye por la izquierda con si se cumple conc * (a b) (c * a ) (c * b)En forma alternativa distribuye a la derecha si se cumple con:( a b) * c ( a * c ) ( b * c )2 operaciones internas, seSe dice solamente distributiva si lo hace por ambos lados. En cualquiera de los casos, sedice que la tripleta( A, , *)es una estructura algebraica con 2 operaciones en la que*distribuye, segn sea el lado, por la derecha o izquierda con.La propiedad distributiva tambin es una propiedad hereditaria.Ejemplo 1Sea( , +, )el conjunto de nmeros naturales pares y las operaciones de suma y multiplicacin. Esunaestructuraalgebraicacon2operacionesdondelamultiplicacin distribuyeconrespectoalasuma.SolucinPrimero note que, la definicin de nmero par, una vez que la multiplicacin se ha definido, es mssimple; sia, b a = 2kyb = 2mentoncesab = 4km 2(2km) , el producto es un nmero partambin. Luego, como se mencion, las propiedades asociativa y conmutativa son hereditarias porlo que se satisfacen en este conjunto. Por ltimo, se cumple la distributividad.4. La potenciacin enAunquenohayunsmboloqueidentifiqueestaoperacin,lousuales escribirlocomounsuperndicedelnmeroquesevaamultiplicar.Aquse adoptarlanotacin aba bparaindicarla,estaltimasimbologaseutilizaconfrecuenciaenmuchas calculadorasyprogramas informticos.De forma inductiva se define la multiplicacin a partir de la suma, se utiliza la multiplicacin paradefinirlapotenciacinenlosnmeros naturales a b .Seanentoncesa, b conb alsucesordeb1. a 1= a.2. ab= (ab) a(definicin de potenciacin).Elresultadosegnestadefinicinde 23 secalculaprimero 23 = 22= (22) 2 .Luegosecalcula 22 = 21= (21) 2 = 2 2 = 4 , regresando 23 = 4 2 = 8 . En su escritura expandida23 = 2 2 2el producto en donde el factor 2 aparece 3 veces. En general,a btiene al factor aun nmerobde veces. Al nmeroase le llama la base ybes el exponente. Revise los siguientes hechos:1. Alcalcular23 8o32 9 ,estoindica a bybaengeneral,representan nmerosdiferentes, por lo que la operacin no es conmutativa.2. Las expresionesa(bc)y (ab)c representancantidadesdiferentespor loquelaoperacin no es asociativa. Esto es muy importante pues no se debe escribira bcal seruna expresin imprecisa5. La no asociatividad impide la utilizacin de expresiones como la anterior sin parntesis.3. La expresinab c + dtieneunordennatural,lapotenciacinesuna generalizacindelamultiplicacin y esta lo es de la suma. De esta forma, la operacin que se hace de ltimo esla ms simple de todas.4. La propiedad1a = 1para todoa permite etiquetar alnmero1como un elemento"absorbente"cuandoseencuentraalaizquierda ylapropiedada 1= aindicaque1 esneutro por la derecha en la estructura(, ) . As, no existe neutro para la potenciacin.5. Laleydecancelacinsecumplesustentadaensusimilarpropiedad paraelproducto,asque, siba cab cy tambin sib 1, babca c . Esto indica que en la estructura(,

)todos los elementos diferentes del 1 son regulares por la izquierda.5. Solucin de ecuacionesCuandoseresuelvenecuaciones,confrecuencia,nosehacemencinal tipo de conjunto alque pertenecelasolucin,lohabitualesenforma algortmicadespejarlaincgnitaydarlarespuestaal problema.Sin embargo,yparahacerunanlisisdelasestructurasalgebraicas,es necesario,enesta parte de este captulo, que reflexione sobre qusignifica resolver ecuaciones en un conjunto.La idea es que, por medio de las propiedades de las operaciones definidas, se destaque la utilidad dela estructura algebraica. Por ejemplo, dentro de la estructura(, )las ecuaciones2x = 3x4x = 1no tienen solucin pues es imposible, en el primer caso, que el doble y el triple de una cantidad seanigualeso,enelsegundocaso,que1seaelresultadodecuadruplicarun nmero.Tambin,enlaestructura(, +, )la ecuacin2x + 3 = 12no tiene solucin, pues el lado izquierdo es un nmeroimpar,mientrasqueelladoderechoesunnmeropar.Aunqueno significaquelaecuacin5Algunas personas sugieren utilizar el orden de lectura, esto esa bcdebe interpretarse como (a b)cmientras quebc

otras indican, amparados en la escrituraa, que el orden esa(bc)estas confusiones que con frecuencia llegan al aulade nuestras escuelas y colegios no se deben fomentar pues perjudican a la comprensin de la matemtica. Nota del autor.2x + 8 = 6tenga solucin porque ambos lados representan un nmero par.Conloscomentariosanterioresenunaestructuraalgebraica( A, *) ,cmo sabersiunaecuacintieneonosoluciones?,cmoencontrarun algoritmo o una frmula para resolverlas? Estas 2 preguntas le han dadoalamatemticaunadelasmayoresfuentesdeestudioyempuje enlasinvestigaciones en los ltimos 1 000 aos.Ejemplo 5En la estructura (, +, )resuelva la ecuacin2x + 25 = 4x + 5.SolucinEscriba4x = 2x + 2xy utilice la asociatividad de la suma en la expresin2x + 2x + 5 , por lo que laecuacinoriginalsepuederepresentarpor 2x + 25 = 2x + 2 x + 5.Luegodeaplicarla leydecancelacindelasumapara2x seobtiene25 = 2x + 5 .Utilizandolasleyes decancelacinalescribir la ecuacin 25 = 2 x + 5 20 + 5 = 2x + 5 20 = 2x.Y reescribiendo 2 10 = 2x , sevuelve a aplicar la ley de cancelacin, en esta ocasin, para el producto y se obtiene 10 = x.Un ejemplo de una ecuacin cbica y su solucin en la estructura(, +, )es el siguiente:Ejemplo 6En la estructura (, +, )resuelva la ecuacinx3+ 4 x = 16.SolucinLos 3 trminos de esta ecuacin no se pueden simplificar como el ejemplo 5, no obstante si sefactoriza se obtienex(x2+ 4) = 16 , as,16es un mltiplo de xy dex2+ 4 , esto simplifica lasolucin a los nmeros cuyo producto es 16, en este caso, 1, 2, 4, 8,16 . Con estas 2 condicionesse reduceel valor dexax = 2el cualsatisface quex2+ 4 = 8 por lo que elproductoes 16.Como resumen del proceso anterior aparece la tabla 1.1.Tabla 1.1x 1 2 4 8 16x2+ 45 8 20 68260x ( x2+ 4 x )5 16 80 544 4160Por lo que la nica solucin esx = 2.Es posible que este desarrollo le parezca extrao y hasta incmodo, lo que sucede es que la notacinylosalgoritmosmodernoshacenqueseansimplificadosyreducidos,no obstanteesimportantemencionarqueenelao825denuestraerase escribiel textoHisb al-jabrwal-muqbalah, oal-jabr6, comoseleconoce, escrito por Mohammed ibn Musa al-Juarismi, la historia indica que el libro fue escrito a peticin del califa Al Mamn, segn se lee en el prlogo de esta obra." quienmealentacomponerunpequeo trabajo sobre [cmo] Calcularpormedio de [las reglasde]CompletacinyReduccin, confinndose aloqueeslomsfcilymstilenaritmtica,tal como los hombres lo requierenensus casos de herencias,legados, reparticiones,pleitosy comercio,yentodossustratosconotro,o donde la medida de tierras,la excavacin de canales,clculos geomtricosyotrosobjetosde varias clases y tipos estn involucrados"Mohammed ibnMusa al-JuarismiEl al-jabr se divide en 3 partes. En la primera se explica cmo resolver problemasqueinvolucranunaincgnitaysucuadrado,aloscualesAl-Juarismi llama sha y mal, respectivamente. Estos problemas equivalen,para nosotros,a resolver ecuacioneslinealesy cuadrticas,queelautorclasificaen6tiposdiferentes.El lgebraenesetiempoeraverbalysepresentaunejemplo tomado del al-jabr para darunaideadeestacaracterstica.El problemapropuestoporAl-Juarismiesel siguiente:He dividido diez en dos porciones. He multiplicado una de lasporciones por la otra. Despus de esto, he multiplicado la una de las dos por smisma, y el producto de la multiplicacin es tanto como cuatro veces el de una de las porciones porla otra. Al-Juarismi procede a resolver este problema de la manera siguiente: Llama sha (incgnita)aunadelasporciones;laotraesdiezmenossha.Almultiplicarlas dosobtienediezvecesshamenosunmal(cuadrado),y,leresultala ecuacin: Un mal, el cual es igual a cuarenta sha menos cuatromal.Al-Juarismiusaal-jabrpararestaurarelbalance:agregacuatromalluego aplicaal- muqbalahparacancelarlosopuestosyobtienequecincomales igual a cuarenta sha, por lo que unmal es ocho sha, de donde se deduce que un sha es igual a ocho.Enlenguajealgebraicosi x eslaincgnita, entonces10 xeslaotraporcin,la ecuacin6Trmino del que deriva la palabra lgebra.propuestaesx2= 4x(10 x) por loquex2= 40x 4 x2. Al-Juarismi usa al-jabr:x2+ 4 x2= 40 x 4 x2+ 4 x2 ,luegoaplicaal-muqbalah5x2= 40 x de dondex2= 8x yse obtienex= 8.Noes muydiferenteacomosehaceenlaactualidad,aunquees importantenotarquela solucin0noescontempladapuesAl-Juarismidice Hedivididodiezendosporcionesparaelpensamiento de la poca indicaqueunaporcinsepuedemedir,pesaroconcentrarysinose puede ninguna de estas, no existe.Las propiedades expuestas, dentro del conjunto de los nmeros naturales, no proveen de solucionesacualquierecuacinde laformaax = b a + x = b ,estasituacinesunalimitacin alresolverproblemas pues muchos de ellos no tendrn solucin. Se puede asegurar que la ecuacintiene solucin solo cuandob > ayax = bla tiene sibes un mltiplo dea.a + x = bLa resta y la divisin enParacompletarladescripcindelasllamadasoperacionesbsicassedebe indicarquelarestay divisin,queaparecenenlamanipulacinde nmerosnaturales,nogeneranunaestructuraalgebraica, al no estar definidas para todos los elementos de , no son operaciones internas. Enel estudio de las estructuras algebraicas sobre los nmeros naturales, estas, no se consideran.EJERCICIOS DE LA SECCINEJERCICIO 6Sea elconjuntodenmerosnaturalesimpares.Sobreesteconjuntose consideralasuma( + )habitual de nmeros naturales. Pruebe que( , +)no es una estructura algebraica.EJERCICIO 7Pruebe que la estructura cumple con las siguiente propiedades:1. La multiplicacin es asociativa.2. La multiplicacin es conmutativa.3. Se satisface la ley de cancelacin, por lo que todos sus elementos son regulares.EJERCICIO 8En la estructura (, +, )pruebe lo siguiente:1. a b+ c= a ba c .2. (ab)c= a cbc .3. (ab )c= abc .EJERCICIO 9Resuelva, en el conjunto de los nmeros naturales, las siguientes ecuaciones:1. 10x + 2 = 27 + 5x.2. x3+ 8 = 35.3. x 2+ 6 x = 4 x + 15.EJERCICIO 10Considere = {1, 2, 3, 4,}y sobre l el conjunto de nmeros del 1 al 6. Llame6a tal conjunto.Se define la operacin * sobre6por la tabla 1.2.Tabla 1.2 1 2 3 4 5 61 3 5 1 3 5 12 5 2 5 2 5 23 1 5 3 1 5 34 3 2 1 6 5 45 5 5 5 5 5 56 1 2 3 4 5 61. Destaque el elemento neutro y el elemento absorbente.2. Pruebe que en( 6 ,*) , * es conmutativa y asociativa.3. Pruebe queB = {4, 5, 6} 6es una subestructura algebraica de6 .III. LOS NMEROS ENTEROS, Brahmagupta(598-660)astrnomoymatemticoindio. Es,sinduda,el mayor matemtico de la antigua civilizacin india. Desarroll su actividad enel noroeste de la India y resumi sus conocimientos astronmicos en un libroescritoenelao628,enelquerechazabalarotacinde latierra.Elrasgo ms importante de esta obra es la aplicacindemtodosalgebraicosalosproblemas astronmicos.Losmatemticosindiosdieronungran servicioal mundo.Cabe recordarque en esta poca Europavivaenlaedadmediaymuchosdelos conocimientoscientficosconocidosporgriegos,egipcios y babilnicos,fueronolvidados.Mientrastanto,enlaIndia se introduca el uso posicional de los nmeros, el concepto y el smbolo "cero".Estaseccininiciaconlacitasobrelavidadelmatemticoindio Brahmagupta.Estosehaceas pueslosnmerosenterostienensu importanciaporincluiralosenterosnegativos,yesque,paramuchos matemticoseuropeosanterioresalrenacimiento,estosnmeroscarecan de significado e inters.1. Construccin del conjunto de nmeros enterosLaconstruccinformaldelconjuntodelosnmerosenterossehace medianteunarelacindeequivalencia7 definida sobre ,talque (a, b)R(c, d ) a + d= b + c .Es bastantesencillodemostrar que esta relacin es reflexiva y simtrica, pues la conmutatividad de la suma de naturalespermite acomodarlos a conveniencia. Se probar que es transitiva y, por lo tanto,Res una relacinde equivalencia para proseguir con la construccin de los enteros.Proposicin 1La relacinRdefinida anteriormente es transitiva.DemostracinSean(a, b), (c, d ) y (e, f ) tales que(a, b)R(c, d )y(c, d )R(e, f ) . Entoncesa + d = b + cyc + f= d + e as, al sumar ambas igualades se obtienea + d + c + f= b + c + d + e.Ahora se aplicalaleydecancelacindelasumadenaturales, eliminando c + denambosladosse obtiene7Una relacin de equivalencia es una relacin: reflexiva, simtrica y transitiva.a + f= b + e , por lo que(a, b)R(e, f ) . El procedimiento anterior es posible por las propiedades delos nmeros naturales. Note, tambin, como se hace uso de la asociatividad y la conmutatividad dela suma en .Una vez que se tiene la relacin de equivalencia, se determina el conjunto de clases de equivalencia8, tambin llamado conjunto cociente. Analice casos particulares para las clases. Note primero que dados 2nmeros naturalesk , mse tiene que solo se puede cumplir con una de las siguientes afirmaciones:k = m ,oexiste n tal quem + n = k k + n = m .Enlaprimeradelas posibilidades[(k , m)] = [(1,1)] . En la segunda se cumple quem + n + 1= k + 1lo que significa que(k , m)R(n + 1,1)y por lo tanto[(n + 1,1)] = [(k , m)] . y en la tercera, con un argumento similar alprimero [(k , m)] = [(1, n + 1)] .Porestobastacondeterminarlasclases dondealgunadelascoordenadas sea igual a 1, es decir[(1,1)] :(a, b)R(1,1) a + 1 = b + 1 a = b.Laclasedel(1,1) estcompuestaportodosloselementosconambas coordenadasiguales.As[(1,1)] = {(1,1), (2, 2), (3, 3)} . En un sistema de coordenadas cartesianas este conjunto de puntospertenece a la rectay = x[( 2,1)] :(a, b)R (2,1) a + 1 = b + 2 a = b + 1.Y se tiene que [(2,1)] = {(2,1), (3, 2), (4, 3)} . Note que la primera coordenada excede a la segundaen una unidad.[(1, 2)] : Para la clase de [(1, 2)] , (a, b)R(1, 2) a + 2 = b + 1 a + 1 = b . Con esto[(1, 2)] = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} ,porloquealaprimeracoordenadalefalta unaunidadparaser igual a la segunda.[(1, 3)] : (a, b)R(1, 3) a + 3 = b + 1 a + 2 = b .Laclasedel (1, 3) est compuestaporlospuntos(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)quesecaracterizanporquealaprimera coordenadalefaltan2unidades para ser igual a la primera.[(3,1)] : (a, b)R(3,1) a + 1 = b + 3 a = b + 2 .Laclasedel (3,1) estacompuesta porlos puntos(3,1), (4, 2), (5, 3), (6, 4)cuya caracterstica es que la primera coordenada excede en 2 a lasegunda.8Una clase de equivalecia est formada por todos los elementos que estn relacionados entre s.Luego se define = ( )/Ry se establece que[(n + 1,1)] = +n ,[(1, n + 1)] = ny[(1,1)] = 0 ,porloquesetieneconstruidoelconjuntodelosnmerosenteros.Alos elementosdelaforma[(n + 1,1)] = +nselesllamaenterospositivosya [(1, n + 1)] = nselesllamaenteros negativos.Alelemento [(1,1)] = 0 se llama cero.Ahora bien, ensecundaria se afirmaque ,pero,segnla construccin mostradacmoesesto posible sies un conjunto cociente? Pues bien, lo que sucede es que existe una identificacinentre los nmeros enteros positivos yn . Lo que permite operar con suma o producto enterospositivosdelamismaformaqueconlosnmerosnaturales.Esta correspondenciahacequenormalmente se suprima el signo+enla expresin+ny se regresa al conjunto de los nmerosnaturales. Enuncaptuloposteriorsevolvernacomentarsituaciones similaresalaanterior llamadasisomorfismos.Eldiagrama,delafigura1.2, muestralaconstruccindelosenterosysu identificacin con los nmeros naturales.Figura 1.22. Aritmtica enteraLuego de la construccin de los nmeros enteros,se definen la suma y el producto para este nuevo conjunto, claro est, estas dependern de las operaciones y propiedades de los nmeros naturales.Definicin 1. En el conjunto de nmeros enteros se definen las operaciones internas:[(a, b)] + [(c, d )] = [(a + c, b + d )].[(a, b)] [(c, d )] = [(ac + bd , bc + ad )].Cuando se define una operacin, o una funcin, utilizando un representante9de la clase dentro deun conjunto cociente es necesario determinar si esta es vlida para cualquier otro representante, a estoselellamadeterminarquelaoperacinestbien definida.Esdeesperar,porejemplo,quesi[(4,1)] = [(6, 3)] y[(5, 3)] = [(8, 6)] entonceslasuma[(4,1)] + [(5, 3)]debeserlomismo que9Un representante es un elemeto cualquiera de la clase de equivalencia.[(6, 3)] + [(8, 6)]o bien si se multiplican estos elementos en lugar de sumarlos, los resultados debenser iguales. Es por esta razn, que es necesario probar que las operaciones estn bien definidas.Proposicin 2La suma definida sobre los nmeros enteros es independiente del representante de la clase de cadasumando.DemostracinSean(a , b ) [(a, b)]y(c , d ) [(c, d )] , esto significa quea + b= b + a yc + d = d + c. Hay queprobar que [(a+ c , b+ d )] = [(a + c, b + d )] . Se tiene quea + b+ c + d = b + a+ d + cesto al sumar los miembros de las igualdades iniciales. As,a + c + b+ d = b + d + a+ centonces(a+ c , b+ d )R(a + c, b + d ) [(a+ c , b+ d )] = [(a + c, b + d )].Tambin se debe hacer lo mismo con la multiplicacin definida anteriormente.Proposicin 3La multiplicacin definida sobre los nmeros enteros es independiente del representante de la claseque se utilice para cada factor.DemostracinSean(a , b ) [(a, b)]y(c , d ) [(c, d )]loquees equivalenteaa + b= b + ayc + d = d + c.Hay que probar que [(a c+ b d , b c+ a d )] = [(ac + bd , bc + ad )] . Se tiene quea + b= b + a si semultiplica porcy pordse obtienen las ecuaciones:ac + b c = bc + a c,ad + b d = bd + a d .Si se suman los miembros alternos de cada ecuacin, se obtiene:ac + b c + bd + a d = bc + a c + ad + b d.(3)Por otra parte, al tomar la igualdadc + d = d + cy multiplicarla pora ybtambin se obtiene:a c + a d = a d + a c ,b c + b d = b d + b c .Y tambin, al sumar los miembros alternos de cada ecuacin, se obtiene:a c + a d + b d + b c= a d + a c+ b c + b d que al sumarlos con los miembros correspondientes de la ecuacin (3) se obtiene:ac + b c + bd + a d + a c + a d + b d + b c= bc + a c + ad + b d + a d + a c+ b c + b d en la cual, al simplificar la expresinbc + ad + ac + bd , se reduce a la igualdadac + bd + a d + b c= ad + bc + a c+ b d .Con lo que se demuestra que(a c+ b d , a d + b c )R(ac + bd , ad + bc) , por lo que el producto esel mismo independiente de los representantes escogidos.Una vez que se sabe que la operacin est bien definida es preciso revisar las propiedades de esta. Esto es, analizar la estructura algebraica de los nmeros enteros.3. Las estructuras algebraicas(, +) ,(, )y(, +, )En esta parte del captulo se muestra que las propiedades de las operaciones con nmeros enterosestn fundamentadas en las ya demostradas con nmeros naturales. Por lo pronto, tenga presenteque six entoncesx = [(a, b)]cona, b .Proposicin 4Las estructuras algebraicas(, +) , (, ) y(, +, )cumplen con las siguientes propiedades:a) Para todox, yyz se cumple que( x + y) + z = x + ( y + z) ;( x y ) z = x ( y z).b) Existen dos elementos0y 1 tales que0 1 y para todox se tiene que1x = x 1 = x.x + 0 = 0 + x = xyc) Para todox, y se cumple quex + y = y + xy quex y =y x.d) Paratodox existeunnicoelemento denotadoporxtal quex + (x) = (x) + x = 0porloquesedicequelaestructuraalgebraicapermitelos"inversos" llamadosenestecasoopuestos.e) Para todox, y y z secumpleque ( x + y) z = xz + yz .(Propiedad distributivadelproducto con respecto a la suma).DemostracinPara cada tem se mostrar solo una de las aseveraciones.a) Asociatividad de la suma. Para demostrarla se calculax + ( y + z)y se compara con( x + y) + z .x + ( y + z) = [(a, b)] + ([(c, d )] + [(e, f )])= [(a, b)] + [(c + e, d +f )]= [(a + c + e, b + d +f )].La asociatividad de la suma de naturales permite escribir la ltima expresin sin usar parentesis. Porotra parte,( x +y ) + z = ([(a, b)] + [(c, d )]) + [(e, f )]= [(a + c, b + d )] + [(e, f )]= [(a + c + e, b + d +f )].Por lo que se comprueba la asociatividad.b) Considere 0 = [(1,1)] y 1 = [(2,1)] . Es claro que [(1,1)] [(2,1)]Ahora, x [(a, b)] x + 0 [(a, b)] + [(1,1)] = [(a + 1, b + 1)] = [(a, b)] x.c) Conmutatividad del producto.xy = [(a, b)] [(c, d )]= [(ac + bd , bc + ad )]pues (1,1) R (2,1)= [(ca + db, cb + da )] (por conmutatividad de la multiplicacin)= [(c, d )] [(a, b)]=yx.Note la utilidad de la conmutatividad de la multiplicacin de naturales.d) Es claro que six = [(a, b)]entoncesx = [(b, a)]puesx + (x) = [(a, b)] + [(b, a)] = [(a + b, b + a)] = [(1,1)] 0por la conmutatividad de la suma de naturales.e) Para la distributividad primero se calculax( y + z)x( y + z) = [(a, b)] ([(c, d )] + [(e, f )])= [(a, b)] [(c + e, d +f )]= [(a(c + e) + b(d +f ), a(d +f ) + b(c + e))]= [(ac + ae + bd + bf , ad + af+ bc + be)].Ahora se calculaxy + xzxy + xz = [(a, b)] [(c, d )] + [(a, b)] [(e, f )]= [(ac + bd , ad + bc)] + [(ae + bf , af+ be)]= [(ac + bd + ae + bf , ad + bc + af+ be)].Por lo que, basta con aplicar la propiedad conmutativa a los sumandos para obtener exactamente lamisma expresin y concluir que la multiplicacin distribuye con la suma.Enresumen,enlas estructuras(, +)y(, )lasoperacionessonasociativas, conmutativasyen(, +, )se cumple con la distributividad del producto con respecto a la suma, como en los nmerosnaturales. No obstante, (, +)tiene 2 propiedades adicionales: la existencia de un elemento neutroy la de inversos, los cuales permiten ofrecer la solucin de ecuaciones en forma general. Es posibleasegurar que la ecuacinx + a = btiene solucin con el valorx = b + (a) . No obstante, no se haindicadoqueelinversooelneutroseannicos,aunqueporla formadel0ydexparece serevidente, pero en matemtica es necesario no dejar ningn cabo suelto, as que, demuestre que elinverso es nico y por lo tanto la solucin para la ecuacinx + a = bes nica. Observe adems, quenohacefaltaenunciarunaleydecancelacinparala sumapuessia + x = a + yaloperarcon elinverso dea , en ambos lados, se obtiene la igualdadx =y .Conlascaractersticasindicadasdelasumasedicequela estructura (, +)conmutativo o grupo abeliano. De paso, la resta se define a partir de la suma:x y = x + (y).esun grupoEn el caso de la multiplicacin, la estructura no es muy diferente que la estudiada en el caso de losnmeros naturales, no obstante la ley de cancelacin se cumple con una restriccin:ab = accona 0entoncesb = c . Adems, en general no hay inversos con la multiplicacin. Para que existaninversosesnecesarioquedadounnmeroenteroaprobarodemostrarque existeunenterobcon la propiedad deab =1 , esto se cumple solo sia = b = 1 biena = b = 1, de esta forma, solohay 2 elementos inversibles 1 y1.4. La estructura de anillo de los nmeros enterosEl conjunto de los nmeros enteros con la suma y multiplicacin cumple que(, +)es un grupoabeliano, (, )es un monoide conmutativo y la operacin distribuye con respecto a la + ,conestascondiciones, (, +, )tieneunaestructuradeanilloconmutativocon unidad.Enestaestructura, se cumple con las siguientes propiedades, adems de las ya comentadas:Proposicin 5Seanxyynmeros enteros, entonces:1. 0x = 0.2. x = (1) x.3. (x) = x.4. (x) (y ) = xy.5. ( xy) = (x) y = x(y).Demostracin1. 0 x = (0 + 0) x = 0 x + 0 xlados se obtiene 0 = 0x.as0x = 0x + 0x , luego, operando con el inverso de0x en ambos2. Del punto anterior0 = 0 x = (1 + (1)) xpor la distributividad y porque 1es el neutro de lamultiplicacin se tiene que0 = x + (1) x . Sumando el opuesto dex en ambos ladosx = (1) x.3. Se sabe quex = (1) xentonces(x) = (1)((1) x)por asociatividad (1)(1) xy porclculo directo se comprueba que(1)2= [(1, 2)] [(1, 2)] = [(1 + 4, 2 + 2)] = [(5, 4)] = 1.4. (x)(y) = ((1) x)((1) y) = (1)(1) xy = xy estas igualdades utilizan la asociatividad y laconmutatividad del producto de enteros, as como las propiedades anteriores.5. Se sabe quex0 = x( y + (y)) = 0 entonces por la distributividad del producto con respectoala sumaxy + x(y) = 0 porlo que( xy) = x(y) ,como0 y = ( x + (x)) y = 0lo queindica que( xy ) = (x) y.Tambin hay que mencionar una propiedad de la multiplicacin que merece un trato especialxy = 0 x = 0 y = 0.Con esta propiedad se dice que la estructura(, +, )no tiene divisores de 0.(4)Teorema 1En el conjunto de nmeros enteros se verifica la propiedad (4).DemostracinSe har por contrapositiva, esto es, si ambos son diferentes de 0, entonces el producto es diferentede 0.Caso 1: si ambos son positivos, sean, m , por la identificacin indicada se tiene quen = [(n + 1,1)]ym = [(m + 1,1)] , entonces:nm = [((n + 1)(m + 1) + 1, n + 1 + m + 1)]= [(nm + n + m + 2, n + m + 2)]= [(nm + 1,1)] 0.Caso 2:x positivo yynegativo, entoncesx ( y ) 0y por la proposicin anteriorxy = (x)(y) ( x(y)) 0 , esto pues corresponde al opuesto de un nmero diferente de 0.Caso 3: si ambos son negativos, se vuelve a utilizar la misma igualdad del caso 2,xy = (x)(y) 0por lo que se obtiene el producto de 2 nmeros positivos. En cualquiera de los casos se cumple conla afirmacin.Como observar, todas estas propiedades se utilizan al resolver ecuaciones.5. Ecuaciones enLas ecuaciones cuyos coeficientes pertenecen al conjunto de nmeros enteros se llaman diofnticas,enhonordeDiofantodeAlejandra,sigloIIdelaeracristiana.Aunqueaqu solointeresanlasde unavariable.Enestapartedelaseccinsedesea mostrar cmo se resuelven ecuaciones en una estructuraalgebraicade anillo. En ella, las ecuaciones de primer grado en una variable o ecuacioneslineales pueden simplificarse a la formaax = by estas tendrn solucin, solo si bes un mltiplo deaesto significa que existec tal queplanteada.ac = b , en cuyo casox = ces la solucin de la ecuacinTeorema 1Dadosa, byc entonces la ecuacinax + b = ctiene solucin nica cuandoaes un mltiplodec b , esto es, existek tal queak = c b.DemostracinSi la ecuacinax + b = ctiene solucin entonces existex1 tal queax1+ b = c . Ahora se sumaelopuestodebenambosladosdelaecuacin, paraobtenerax1+ b + (b) = c + (b) entoncesax1= (c b ) y por lo tantox1 es un factor dec b.Ejemplo 1Resuelva enla ecuacin3x + 5 = 9 x 7.SolucinEl procedimiento para resolverla es ms parecido a la forma que en secundaria se ensea, al menosx 6 3 2 1 1 2 3 6(x 5) 6 3 2x(x 5) 6 6 6 6en los primeros pasos.3x + 5 = 9 x 7 3x + 5 + (5) 9 x = 9 x 7 + (5) 9 x.Por asociatividad y conmutatividad la ecuacin es equivalente a6x = 12 y como12 = (6)2entonces la solucin esx = 2.Ejemplo 2Considere la ecuacin3x + 5 = 8x 3 , determine su solucin en .SolucinComo se mencion, en general, este tipo de ecuaciones no pueden ser resueltas en una estructuradeanillo,loquesevaahaceresencontrarunaecuacinmssencillapara hallarlasolucin.Al utilizarlosopuestosde8xyde5 ,laasociatividady laconmutatividad,sepuedesimplificarlaecuacin a3x + 5 8x 5 = 8x 3 8x 5 5x = 8.Esta ecuacin no tiene solucin pues8no es un mltiplo de5 , el conjunto solucin es .Ejemplo 3Considere la ecuacinx22 x = 3x + 6 , determine su solucin en .SolucinSe despeja el trmino constante de la ecuacin, en este caso,x25x = 6 , luego se factoriza paratenerla ecuacinx( x 5) = 6 .Conestoxy( x 5)sondivisoresde6porloque solohay8posibles valores parax : {t 1, t 2, t 3, t 6}.1Los espacios en blanco corresponden a valores que no sirven en la solucin. Con esto, la solucines {1, 6}.Una ecuacin curtica.n n 1 1 0n n1 1 0n n 1 1 0Ejemplo 4Considere la ecuacinx42 x2+ 4 = 0 , determine su solucin en.SolucinSe escribe la ecuacin con el trmino constante despejado4 = 2x2x4= x2 (2 x2 ) . Se tiene quex2=1 x2= 4 . Paraxlos valores sonx = t 1 yx = t 2 . En el primero de los casos2 x2= 1yel producto es 1, diferente de 4. En el segundo caso2 x2= 2y el producto es (8) . Por lo que,no existe solucin de la ecuacin en el conjunto de los nmeros enteros.SeaAun conjunto de nmeros, una ecuacin polinomial en una variable, con coeficientes enA ,esunaecuacinquesepuedeescribir delaformaaxn+ a xn1+ + a x + a= 0 , conai A, i . Para ecuaciones polinomiales con coeficientes enteros, en general, se debe satisfaceruna condicin para obtener soluciones enteras. Esto se conoce como la condicin necesaria.Proposicin 1Condicin necesaria para que exista solucin de una ecuacin polinomial con coeficientes enteros.Seaaxn+ a xn 1+ + a x + a= 0una ecuacin polinomial con coeficientes enteros. Si esuna solucin a esta ecuacin entonces existek tal que k = a0 .DemostracinLa ecuacin original se puede escribir:ax n+ a x n 1+ + ax = a,sies solucin entonces+ a ann n 1n 1+ + a1= a0 (ann 1+ an 1n 2+ + a1 ) = a0 .Si se tomak= (a n 1 + a n 2+ + a )que es un nmero entero, pues se escribe como sumasn n 1 1de potencias de nmeros enteros, se tiene concluida la prueba.El resultado anterior se utiliza en sentido inverso, esto es, si cualquier factor de a0 no es solucin delaecuacin,entoncessepuedeasegurarquelaecuacinnotienesoluciones en talycomose hizo con el ejemplo 4. Este resultado limita la bsqueda de soluciones al clculo de divisores.Ejemplo 5Considere la ecuacinx38x 6 = 0 , determine su solucin en.SolucinAl utilizar la proposicin anterior, los factores de6sonecuacin se obtiene la tabla 1.3.Tabla 1.3t 1, t 2, t 3, t 6al sustituir estos valores en la 6 3 2 1 1 2 3 6 38 6 = 0 174 9 2 1 13 14 3 162De esta forma se asegura que no tiene soluciones enteras.EJERCICIOS DE LA SECCINEJERCICIO 11En la estructura (, ) pruebe la asociatividad y la existencia del elemento neutro.EJERCICIO 12En la estructura (, + ) pruebe la conmutatividad de la suma.EJERCICIO 13En la estructura ( , ) pruebe que sia 0yab = acentoncesb = c.EJERCICIO 14En la estructura ( , +, )determine, cuando exista, la solucin a las siguientes ecuaciones:1. 3x2+ 2 x 8 = 02. x4+ 2 x 03. x + 5 = 7 x x2EJERCICIO 15En la estructura ( , +, )demuestre que las ecuaciones siguientes no tiene soluciones enteras:1. x3+ 3x = 322. x2+ 2 x = 11IV. ENTEROS MDULOnConsidereelconjuntode nmerosenteros {, 5, 4, 3, 2, 1, 0,1, 2, 3,} . Sean 1 unentero fijo y b un entero cualquiera. Definaq max {k : nk b} , entonces exister 0 r < ntal queb nq + r . Al valorq se le llama cociente y ar {0,1, 2,, n 1} se le llamaresiduo.1. ConstruccinConsidereb unentero cualquierayn 1unenteropositivofijo.Paracada valorb secalculaelrespectivococienteyresiduoconrespectoan .Deestaformase obtiene,nresiduosdiferentes que corresponden a cada uno de los nmeros del 0 hastatendr el conjunto de residuos {0,1, 2, 3, 4, 5} .n 1 . Por ejemplo, sin 6 seSienunsistemadecoordenadascartesianasedibujanlospares ordenados(b, r ) ,r ,elresiduocorrespondiente de dividirbporn , se obtiene la figura 1.3.Figura 1.3Ahora, forme un conjunto con los nmeros cuyo residiuo es 0, se le denota0 , as por extensin es0 {, 2n, n, 0, n, 2n,} , y est compuesto por los mltiplos den . De igual forma, el conjuntocon los nmeroscuyo residuo es 1, denotadopor 1 escrito por extensin, es1 {, 2n + 1, n + 1,1, n + 1, 2n + 1,} . Continuando con el proceso se forman los subconjuntos2 ,3 , yn 1 . Es posible vizualizar cada subconjunto dibujando lneas horizontales en la figura 3ynotandoquelasabcisasdelospuntosenlamismarectasonlos subconjuntosanteriormente definidos, como se muestra en la figura 1.4.Figura 1.4Se tiene con esto una particin10del conjunto de nmeros enteros. La cul, en general se le denotaporn . Asn{0, 1,, n 1} . Note que sia, b rentoncesa b kn y consecuentemente sila diferencia entre 2 enterosaybes un mltiplo den , entonces existea, b r . Se probar esto en la proposicin 1.r {0,1, n 1} tal queProposicin 1Seana, b yn 1, entoncesa b kn r {0,1,, n 1} : a, b r .Demostracin( ) Existenq1 , q2 yr1 , r2{0,1,, n 1} tales quea q1n + r1yb q2 n + r2 , hay que probarquer1 r2entoncesa b (q1n + r1 ) (q2n + r2 ) (q1q2 ) n + (r1r2 ) k n ( r1r2 ) (k ( q1q2 ) ) n.Dado que los 2 residuos son no negativos y menores que n , ( r1r2 ) 0por lo quer1r2r.( ) Sia q1n + r yb q2 n + r es claro quea b knconq1q2k.Cuandoa b k nse dice queaes congruentebmdulony se denotaa b mod n . Al conjuntonselellamaconjuntodeenterosmdulon.Laideadeque2nmerosson congruentesesqueambostienen el mismo residuo al dividir porntal y como se indic en la proposicin 1. Por ejemplo, sin 12la congruencia mdulo 12 permite saber cules horas, en un reloj analgico, tienen la mismadisposicin de las agujas, tal como las 04:00 y las 16:00. O bien sin 360sirve para determinar si 210Una particin un conjunto A es una familia de subconjuntos de A cuya unin es A y la interseccin, 2 a 2, de loselementos de la familia es vaca.ngulos son coterminales al utilizar su medida en grados sexagecimales.Considere el ejemplo 12 para revisar la construccin del conjuntonparan = 6.Ejemplo 12Sean = 6 , determine la particin6 .SolucinComo se indic, se toma cada nmerob y se obtiene su cociente y residuo al dividir por 6. Obien,dadoquesetienen6posiblesresiduos{0,1, 2, 3, 4, 5} ,enlistartodos losnmerosconelmismo residuo. As0 {, 12, 6, 0, 6,12,} contiene a todos los mltiplos de 6.1 {, 11, 5,1, 7,13,}2 {, 10, 4, 2, 8,14,}contiene a los nmeros que se pueden escribir de la formacontiene a los nmeros que se pueden escribir de la formax = 6k + 1.x = 6k + 2.3 {, 9, 3, 3, 9,15,}contiene a los nmeros que se pueden escribir de la formax = 6k + 3.4 {, 8, 2, 4,10,16,} , son los elementos de la formax = 6k + 4.La ltima clase,5 {, 7, 1, 5,11,17,} .6= {0, 1, 2, 3, 4, 5}.2. Estructura algebraica denSe definen operaciones de suma y multiplicacin sobrental quea + bc a + b cya bc a b cCon estas operaciones se cumplen con las mismas propiedades de anillo conmutativo con unidad delos nmeros enteros. Adicionalmente, existen otras propiedades que no cumple y que s cumplen .Teorema 1Considere el conjuntoncumple:definido anteriormente en relacin a las estructuras(n , +)y(n , ) se1. La suma y la multiplicacin son asociativas y conmutativas.2. 0es el elemento neutro de(n , +).3. 1es el elemento neutro de(n , ).4. El inverso aditivo u opuesto deaesn a.Demostracin1. [Asociatividad y Conmutatividad de la suma.]Observe que existe un nicor {0,1,, n 1} tal quea + b + c ry la asociatividad de enteros permite no utilizar parntesis.Asa + (b+ c ) (a + b ) + cr, en forma anloga, se demuestra la conmutatividad de la suma.2. Porladefinicinde sumaa + 0 apuesa + 0 a a ,yporlaconmutatividad delasuma de enteros mdulo n, se tiene que0 + aa .3. As mismo,mdulo n1 a a .a 1 a puesa 1 a aporlaconmutatividaddelproducto deenteros4. Para mostrar el inverso aditivo note quea + (n a) n 0lo que significa quea + n a 0.Tambinsetiene,enlaestructura( n , +, ) ,quelamultiplicacindistribuye conlasuma.Yconestoesunanilloconmutativoconunidad.Adicionalaestassecumplen con 2 propiedades que hacendeestosconjuntosestructurasalgebraicas diferentesaladeanillodelosnmerosenteros. Peroantes,seutilizarun resultadoquesernecesarioparaelteorema2yquepertenecemsalmbito de la teora de nmeros, pero que se ocupa en esta parte del captulo.Proposicin 2[Identidad de Bzout11]Sean a yx, y : ax + ny 1.n 2un nmero primo, entoncesexisten11Aunque la identidad de Bzout indica que ax+ny=d, con d el mximo comn divisor, para los efectos de esta partedel texto, basta el caso cuando alguno de los valores es primo.DemostracinSeaS {ax + ny > 0: x, y } se tiene queS por lo que existe un primer elemento deS . Sead S esteprimerelemento,entonces,sisecalculaelcocienteyelresiduode dividirncond setiene quen dq + r , comod S ,d ax + nyesta penltima ecuacin se obtienepara algunos enterosxyy . Si se sustituyed enn dq + r (ax + ny)q + r axq + nyq + r (xq)a + (1 yq)n r r S r 0.Esto puesr 0 , peror < dmin S , por lo quer 0 . Esto indica quen dqy comones primoentoncesd1 dn . Sid npor la igualdadd ax + nyse deduce cony 0quen ax , locual es imposible puesnes primo. Por lo tantod1.Teorema 2Considere la estructura de anillo (n , +, )definido anteriormente, se cumple:a) Sines un nmero primo, todos los elementos diferentes de0poseen inverso multiplicativo.b) Sines un nmero compuesto tal quen = abentoncesa b0.Demostracina) Sinesprimoy0 a n,nnoesmltiplodea ,porlaidentidad deBzout,existenx, y tales queax + ny =1 . En otras palabrasax + ny 1 , o lo que es lo mismoax 1 , puesny 0 .Ahora,al obtenerel cocienteqy elresiduorde ladivisinentrex porn ,seobtienex nq + rcon0 r < ny por lo tantoax a(qn + r) aqn + ar 1 ar 1De esta formaa r1ha demostrado que existe el inverso multiplicativo de a.b) Sines compuesto conn = abse tiene quen ab 0 a b0.En conclusin(n , +, )es un anillo conmutativo con unidad tal que: tiene divisores de 0 cuandones un nmero compuesto. todos sus elementos no nulos poseen inversos cuandones un nmero primo.En este ltimo caso, (n , +, )cumple con una estructura llamada campo o cuerpo.Un campo es un anillo conmutativo sin divisores de 0 en que todos los elementos no nulos12tienen inverso con la segunda operacin.Como se comprueba al revisar y completar las demostraciones de los teoremas y las proposicionesanteriores, las propiedades de (n , +, )estn sustentadas en las operaciones de anillo de(, +, ).Ejemplo 1Estudie la estructura(6 , +, ).SolucinObservequeal calcularlas tablas1.4 y 1.5, respectivamente, dela operacin suma y multiplicacindefinidas sobre 6siguiente:en ambos casos se tienen 36 resultados que se representan en su forma matricialTabla 1.4 Tabla 1.5+ 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 50 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 01 1 2 3 4 5 0 1 0 1 2 3 4 52 2 3 4 5 0 1 2 0 2 4 0 2 43 3 4 5 0 1 2 3 0 3 0 3 0 34 4 5 0 1 2 3 4 0 4 2 0 4 25 5 0 1 2 3 4 5 0 5 4 3 2 1No todos los elementos poseen inversos multiplicativos, el nmero3operado con cualquiera da03 ,peronunca1 ,estosignificaquenotieneinversomultiplicativo.Hay elementosqueslo tienen, se les llama inversibles. En este caso,1y5son elementos inversibles. Por lo tanto, se tienela estructura de anillo conmutativo con unidad y con divisores de 0.Sedebenotarque,la condicina b 0sinqueningunodelosfactoressea0se debedestacar,pues en los conjuntos numricos, a los que se est acostumbrado en la primaria y secundaria, esta situacin no se presenta, por lo que aqu resulta novedosa.Otra propiedad que tampoco aparece en los conjuntos numricos es la posibilidad de sumar varias12Enunanillo,elneutrodelaprimeraoperacineselelementonulo,siexistetambin neutroparalasegundaoperacin, al neutro se le llama unidad.veces un mismo elemento y que de 0. Esta condicin se llama caracterstica y formalmente dice queun anilloAes de caractersticapsipes el menor natural tal que, para todox A , la suma conpsumandos:x + x + + xes 0. Por ejemplo,1 + 1 + 1 + 1 1 + 1 = 0en6 , por lo que es un anillode caracterstica 6. En caso de que no exista talp , como en el caso de los enteros, se dice que es de caracterstica 0.Para simplificar la escritura, se escribe 6 1en lugar de la notacin expandida para la suma. As, en6 se tiene que6 1 = 0 .Engeneralseusalanotacin nx cuandosetieneunaestructuraaditiva yasociativa,comosustitucinalaoperacinexpandida,dondeeloperandoxaparecen veces.Enelcasodeunaestructura multiplicactiva se escribexn en lugar de la escritura desarrollada.Ejemplo 2Estudie la estructura( 5 , +, ).SolucinPrimero se forman las tablas 1.6 y 1.7 para ambas operaciones.Tabla 1.6 Tabla 1.7+ 0 1 2 3 4 0 1 2 3 40 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 01 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 42 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 33 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 24 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1Luego, se puede asegurar que es un anillo conmutativo con unidad en el que todos los elementos nonulosposeeninversoconlasegundaoperacin.As,sisedenotael inversode a pora 1 se tieneque111 , 2 13 ,3 12y4 14 . Esto hace de la estructura( 5, +, )un campo. Tambinse cumple que5 1 0 ,5 2 0y en general5 x 0 , por lo que es un campo de caraterstica 5.3. Ecuaciones ennEn un conjunto finito es muy sencillo resolver ecuaciones, pues basta con ver los resultados en una tabla de operacin. Esto es lo que se har enn .Ejemplo 1Resuelva la ecuacin4x 2 = 5en6 .SolucinSumando2enambosladosseobtiene4x = 1 .Ahorasesuma2xaambos ladosyseusala caracterstica del anillo, quepara este ejemplo es6. Se tienela ecuacin0 = 1 + 2x 5 2x x + x.Ahoraselee,enlatablade lasumaen6 ,culelemento deladiagonal es5 . Se nota que aparece solamente0 ,2y4 . Por lo tanto, la ecuacin original no tienesolucin o bien, tiene solucin vaca.En el conjunto anterior qu relacin hay entre4xy4 x ? Lo primero que debe notarse es que4xcorrespondealanotacinsimplificadadelasumay4 x esel productode2elementosenn .Adicionalaesto,parael casodencorrespondealmismoresultado,puesporla propiedaddeanillo conmutativo con unidad se tiene:4 x x + x + x + x 1 x + 1 x + 1 x + 1 x (1 + 1 + 1 + 1) x 4 x.Enlaecuacinanterior, 5 2xeslomismoque5 2 xy,observeenlatabla7, quenohayelementoquemultiplicadocon2de5 . Peroen68x 8 x , pues8 6aunque8x 2 x envirtuddelacaractersticadelanillo.Elobjetivoenlasecuacioneslineales, enunaestructurade anillo, es despejar la expresin que tenga la variable y obtener una ecuacin con solucin inmediata.En el ejemplo 2 se trabaja en5 as que tenga a mano las tablas de operacin.Ejemplo 2Resuelva la ecuacin4x 2 = 4en5.SolucinLa estrategia es despejar la incgnita. Sumando2en ambos lados se obtiene 4x = 4 + 2 2 , aslaecuacin4x = 2y como2 3 sereducea 4x = 3 .Adems,setieneque 4x = 4 x ,laecuacin queda4 x = 3o bienx = 4 13 4 3 2 . As, la solucin esx = 2.Ahora, una ecuacin cuadrtica sobre el campo(5 , +, ).Ejemplo 3Resuelva la ecuacin4 x 22 x = 1en5 .SolucinEnlatabladelamultiplicacinladiagonalcorrespondealos resultadosdeposibles resultados1o4 .x 2 ,porloque hay2Primer caso:x 2 1 , la ecuacin es4 2 x = 1 2 x 3 3 x 2 x 3 12 2 2 4.El elementox = 4cumple con la condicin de que4 2 = 1 .Segundo caso:x 2 = 4 , la ecuacin es1 2 x = 1 2 x 0 3 x 0 x 3 10 0.Pero esta solucin no cumple con la condicinx 2 = 4 . Por lo tanto la solucin esx = 4.EJERCICIOS DE LA SECCINEJERCICIO 16Sean {a n: x, y ax + ny 1}el conjunto de la clase que no tienen divisores comunescon n .Demuestrequela estructura(n , )dondelamultiplicacinesla definidaenn esasociativa, conmutativa, tiene elemento neutro y todos sus elementos poseen inversos.EJERCICIO 17Pruebequeenlaestructura (n , +, )conmutativa.EJERCICIO 18lamultiplicacindistribuyeconlasumay esasociativayEn 38 y5 determine las tablas de operacin para las 2 operaciones definidas en la seccin.Enumere elemento neutro, elementos inversibles y la caracterstica del anillo en cada caso.EJERCICIO 19Resuelva las siguientes ecuaciones en5 :1. 4 x 1 = 8x + 2.2. x 3x = 4.3. 2 x 2+ x 1 = 0.EJERCICIO 20Resuelva las siguientes ecuaciones en6 :1. 4 x 1 = 8x + 2.2. x 3x = 4.3. 2 x 2+ x 1 = 0.V. EL CAMPO DE LOS NMEROS RACIONALESAlconjuntodelasfraccionesdenmerosenterosselesdotadelas2 operacionesconocidasde suma y producto, cuyas propiedades se pueden enumerar (y demostrar) al estar definidas a partir dela suma y multiplicacin de enteros.1. ConstruccinLaconstruccinformaldelosnmerosracionalessehaceapartirdelos nmerosenterospormedio de una relacin en el conjunto ( {0})en donde se define la relacin(a, b) R(c, d ) ad= bcestarelacinesreflexiva,simtricaytransistiva.Dela3 propiedades,lanica que no es tan evidente es la transitividad, por esto, ser lo primero que se demostrar.Proposicin 1La relacin anterior definida sobre ( {0})es transitiva.DemostracinSean(a, b), (c, d )y(e, f ) ( {0}) tales que(a, b) R(c, d ) y (c, d )R(e, f )entonces ad = bcy cf= ed . Si se multiplica la primera igualdad porf0se obtieneadf = bcf. Ahora se cumplecon: adf= bcf a(df ) b (ed )puescf= ed . Al factorizar en la ltima igualdad y aplicar la leyde cancelacin parad 0se obtieneafbepor lo que(a, b) R(e, f ).Ahorasedefineelconjunto cociente = ( ( {0}))/Ryselellamaelconjunto delosnmeros racionales. Una forma de visualizarlo es notar que a cada clase de equivalencia pertenecenlosparesordenadosqueformanfraccionesequivalentesas,enlugarde [(a, b)] ,seutilizarlaexpresin ms conocidaa .b2. Estructura algebraica deEnesteconjuntosedefinelasumaylamultiplicacindelamanera comoseaprendeenlasecundaria. Sean r = abys = cddos elementos de , se define lo siguiente:Suma de racionalesr + s = a + c= ad + bc .b d bdProducto de racionalesr s = a c=ac .b d bdEnlamismalneadeprobarquelasoperacionesestnbiendefinidas, hayquemostrarquesonindependientes de su representante. As, sia = ayb bc= cd d entonces se espera que la sumaa + cb dsea igual aa+ co si en lugar de suma es producto, se obtenga tambin, el mismo resultado.b d Proposicin 2La suma y el producto definidos anteriormente son independientes del representante de la clase.DemostracinSuma: hay que mostrar quead + bc = ad + cbsabiendo quebd bd a = a

yb bc=c. Estas igualdadesd d son equivalentes al escribir ab= abycd = cd . Ahora calcule(ad + bc)b d (ad + bc)b d = (ab )d d + (cd )bb= (a b)d d + (c d )bb= (a d + c b )bd .Y la ltima igualdad indica lo que se quiere mostrar.Producto: en forma semejante(ac)(b d ) = (ab )(cd ) = (a b)(c d ) = (a c )(bd )ac a cY con esto se muestra que = .bd bd Luego de saber que las operaciones estn bien definidas se pasa a revisar las propiedades algebraicasde estas. Tal como se hizo en el caso de los nmeros enteros, se prueba cada una de las propiedades que se han estudiado en las secciones anteriores.Teorema 1a) La suma y la multiplicacin de nmeros racionales es asociativa y conmutativa.b) Existe0elemento neutro de la suma eny existe 1 neutro para la multiplicacin con0 1.c) Todo nmero racionalxposee un inverso aditivo (opuesto)xtal quex + (x) = 0.d) Todonmeroracional x diferentede0poseeuninverso multiplicativoxx1=1 . Por lo que no hay divisores de 0.e) La multiplicacin distribuye con la suma.x1= 1xtal queDemostracinSe probar una de las propiedades postuladas en cada tem.a) La multiplicacin es asociativaa ce _= ace = ace = ac e= ac _e .b

d f

b df bdf bdf

b d

fb) Considere0 = 0 , note quea + 0 = a1 + b0 = apor las propiedades de los nmeros enteros.1 b 1 b1 bPara la otra parte considere 1= 1 . Es claro que0 1 y que si11 x = abse cumplec) Six = abentoncesx = abpues1 b 1b bx + (x) = a + a = ab + (a)b = ab ab =0y como0= 0 = 0b21b b b2se tiene lo pedido.b2b2d) Six = a 0 entoncesx1= bpuesa 0 yx x1= a b = aby comoab = 1 = 1se cumpleb ala propiedad.b a ab ab 1e) Hay queprobarx( y + z) = xy + xz .Seanx = a , y =cb dy z =e ,entoncesfx( y + z) = a cf+ de _= a(cf+ de) = acf+ ade . Ademsxy + xz =ac + ae = acbf + aebd .b

fd

bfd bfd bd bf b2df ,Aunquelasexpresionesnosonliteralmenteiguales,es posiblecomparar(acf+ ade)b2 df y(acbf+ aebd )bfdpara asegurar la igualdad entre las fracciones:(acf+ ade)b2df = acb2df 2+ ad 2eb2f = (acbf+ aebd )bdf .Con estas propiedades (, +, )es un campo que contiene a los nmeros enteros, pues, en formasemejante,conlaidentificacinquesehacedelosnmerosnaturales comosubconjuntodelosnmerosenteros,tambinsehaceconlas fraccionesdelaformaa conelnmero enteroa .1Adems, si se tiene otro campo( K , +, ) que contenga al anillo(, +, ) , entonces K , por estose dice quees el campo ms pequeo que contiene a .3. Ecuaciones enA diferencia de los otros conjuntos, por fin se puede dar una frmula general para las ecuacioneslinealesconcoeficientesracionales.Todaslasecuaciones linealesdelaformaax + b = 0 tienensolucin nica paraa 0 , esta esx = a1 (b) . Por esto, cualquier ecuacin lineal se transforma enuna ecuacin de esta forma para luego determinar la solucin. Note que otra forma de escribir lasolucin esx = b ,estoes,unafraccincuyonumeradorydenominadorson fracciones.Noaobstante, ecuaciones cuadrticas y polinomiales en general, no poseen solucin dentro de . Para esto es necesario considerar conjuntos llamados "algebraicamente cerrados", de los cuales se hablarms adelante.EJERCICIOS DE LA SECCINEJERCICIO 21Demuestre que la suma de nmeros racionales es asociativa.EJERCICIO 22Demuestreque0 < a < b ,a, b , entonces a puederepresentarobienpor mediodeunabexpresindecimalfinitaa 0, d dd d b123 no una expresin decimalinfinita peridicaa d dd dd d d dd d d .obienunafraccinconunapartenoperidicayotrab0, 123 m123 m123a e e ed d d dd d d dd d d Sugerencia:utiliceel algoritmodelaperidicab0,1 2 k123 m123 m123divisin de enteros.EJERCICIO 23Pruebe que la estructura (, +, )no tiene divisores de 0.EJERCICIO 24Pruebe que si ( K , +, ) es un campo tal que (, +, ) ( K , +, ) , entonces K.EJERCICIO 25Enlaestructura (, +, )resuelvalassiguientesecuaciones,utilicefactorizaciny lapropidaddeque no tiene divisores de 0:a. 8x3= 1.b. 81x 4= 16.c. 3x2+ 2 x = 1.2VI. CAMPOS QUE CONTIENEN A LOS RACIONALESGeneralmente,enlaenseanzasecundaria,cuandoseveporprimera vezestasestructuras,es naturalpensarque,fueradelosnmeros racionales,siseespeculaenuncampoqueloscontenga,la respuestams frecuente eselconjunto de losnmerosreales.Algunasvecesse piensaquenoexisten"camposintermedios"queabarquenalos racionalesquenoseanigualesalconjuntodenmerosreales.Los siguientesejemplosmuestranconjuntosdotadosdelasoperacionesusuales que permitenvisualizardiversasestructurasdecamposqueincluyentodos los nmeros racionales y un poco ms de elementos.Para ello se ocupa formar un conjunto con nmeros racionales e irracionales en los que se permita operarlosconlasmismaspropiedadesdecampo,quese acabanderepasar,dentrodelamismaestructuraalgebraica.Tome por ejemplo 2 , dado que no existe una fraccin ptal quep 2 ,q q2setiene2 .Cmodefinirunasumadeunracionaly 2 ,oelinversode estasuma?Lassiguientes estructuras resuelven esta dificultad.1. El campo 2 1 ]Definaelconjunto 2 1 = {a + b2con a, b } ,enesteconjuntosedefinenla sumayla]multiplicacin tal que (a + b2 ) + (c + d2 ) = a + c + (b + d )2(a + b2 )(c + d2 ) = ac + 2bd + (ad + bc) 2Con estas operaciones este conjunto es tambin un campo en dondeecuaciones como x22 = 0 ,x2+ 4 x 4 = 0 stienensolucin.Peronotodaecuacincuadrticalotiene, as,seresuelveelproblema de las soluciones en forma parcial.2. El campo 2, 3 1 ]A este conjunto pertenecen los elementos que son de la formau + x2 + y 3 + z 6 , u, x, y, z Sedefinenlasoperacionesusualesdesumaymultiplicacinyeste conjuntodotadodeestaestructura es un campo que contiene a 2 1 .]3. El campo

32, 34 1Los elementos de este conjunto estn formados pora + b 32 + c 34 , a, b, c Denuevosetieneunaestructuradecampoaldefinirlasumayla multiplicacindelasiguienteforma:(a + b 32 + c 34) + (d + e 32 +f 34)= a + d + (b + e) 32 + (c +f ) 34.(a + b 32 + c 34 )(d + e 32 +f 34 )= ad + 2(bf+ ce) + (ae + bd + 2cf ) 32 + (af+ be + cd ) 34.Esteconjuntoincluyealosnmerosracionales,permitelasolucinde otrasecuacionescomox32 = 0,pero no todas las ecuaciones polinomiales pueden ser resueltas en este conjunto y entre( 32 , 34 )y( 2 )lo nico en comn son los racionales.Conestosequieremostrarqueexisteunainfinidaddecamposque contienenalosnmerosracionalesyqueentreellosestoeslonicoencomn.Cadaunode estos conjuntos se llama extensinalgebraicade .Lointeresantede estasextensionesesquetodaspertenecenaotrocampo mucho ms grande, el campo de los nmeros reales.4. El campo de los nmeros realesExistenvariasformasdeconstruirlosnmerosrealesapartirdelos nmerosracionales.Interesaaquellasquejustifiquenlasumayla multiplicacinapartirdelasoperacionessobrenmeros racionales.Una deestasconstrucionesapareceenellibroAnlisisRealdeCarmen Gonzlez (Gonzlez,1996),enestaobra,pormediodesucesionesde racionales y de las propiedades de loslmites, se define a este conjunto denotado por . Se demuestran las propiedades de asociatividad,conmutatividad,existencia de elemento neutro;tanto para la suma comopara elproducto,fundamentadosenlaspropiedadesdelos nmerosracionalesylassucesiones.Tambinsedemuestranlos inversos y la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma.Por ahora, tenga presente que la suma y la multiplicacin sobre los nmeros reales cumplen con las mismas propiedades de estas operaciones sobre el conjunto de los nmeros racionales. Ahora bien,laconstruccindelosrealesresuelveunadificultadmstopolgicaque algebraica.PorqueenelconjuntodelosnmerosrealestodasucesindeCauchyconverge(porlo quesellamacompleto)y permiterepresentaraesteconjuntoenunalnea recta,condicionesmuyimportantes.Noobstante, estonoesloqueseest buscandoconeldesarrollomostrado.Loquesequiere,esdeterminarun conjuntodotadodelasdosoperacionesaritmticasbsicas,talque,los nmerosracionalesestnincluidosyquetodaecuacinpolinomialcon coeficientesendichoconjuntoposeasolucin.Losnmeros reales no cumplen con esta cualidad. An quedan ecuaciones polinomiales con coeficientes reales que no tienen solucin en este conjunto.Estosignificaque"topolgicamente"y sonextremadamentediferentes, noobstanteensu estructura algebraica cumplen conlasmismaspropiedades y tienen lamisma desventaja.No todaecuacin polinomial con coeficientes dentro del conjunto tiene solucin.Poreste inconvenienteseconsiderael campode losnmeroscomplejosque es "algebraicamente cerrado. Esto fue demostrado por Carl F. Gauss en 1801; en breve este hecho se le conoce comoelTEOREMAFUNDAMENTALDELLGEBRA.Peroantesdeenunciarel teorema,seestudiar la construccin de este conjunto a partir de las propiedades de los nmeros reales.5. El conjunto de los nmeros complejosConsidere el conjunto = dotado de la siguiente estructura:(a, b) + (c, d ) = (a + c, b + d ),(a, b) (c, d ) = (ac bd , ad + bc).Conestasoperaciones,asdefinidas,esposibleprobarlasdiferentes propiedadesyconcluirquecumplen las mismas que la suma y la multiplicacin de nmeros reales.Teorema 1Laestructura (, +, )multiplicacin a(1, 0).esuncampoconelementoneutroparalasumaa(0, 0) yneutroparalaDemostracinSedebeprobarquela estructura (, +)esungrupoabelianoconneutro (0, 0) , luegoque( {(0, 0)}, )es un grupo abeliano y que la multiplicacin distribuye con la suma. Solo se probaresto ltimo, y se deja el resto de enunciados como ejercicio.Seanx = (a, b), y = (c, d ) yz = (e, f ) por una partex( y + z) = (a, b) (c + e, d +f ) = (a(c + e) b(d +f ), a(d +f ) + b(c + e))= (ac + ae bd bf , ad + af+ bc + be).Mientras que la expresin xy + xzes igual a:xy + xz = (a, b)(c, d ) + (a, b)(e, f ) = (ac bd , ad + bc) + (ae bf , af+ be)= (ac bd + ae bf , ad + bc + af+ be).Y salvo el orden de los trminos, que no es importante pues enla suma es conmutativa, ambasexpresiones son iguales.Es posible asociar a todo nmero real con un elemento del conjunto de los nmeros complejos y asescribir que .Seidentificaaa con( a, 0) porejemplo,seescribe 1= (1, 0) ,conesto sia a ( a, 0) estos puntos estn sobre el ejex enel plano = . Adems,sise llamai = (0,1) esposibleescribircualquiernmerocomplejodeunaforma msalgebraica.(a, b) = (a, 0) + (b, 0) (0,1) = a + bi.Otrodatoimportanteesel valordei 2 ,porladefinicindelamultiplicacinse tienequei2= (0,1)(0,1) = (1, 0) = 1 . Por esto algunas veces se escribe la igualdadi =1.Con esta equivalencia, las operaciones entre los nmeros complejos no necesitan de una definicinpor medio de pares ordenados, basta con la manipulacin de las expresiones algebraicas asociadas:n n 1 1 0Suma de nmeros complejos: (a + bi ) + (c + di ) a + c + (b + d ) i.Multiplicacin de nmeros complejos:(a + bi)(c + di) = ad bd + (ad + bc)i.Como se indic, este conjunto cumple con el citado teorema cuya demostracin se omite por estar alejada de los objetivos de este captulo.Teorema 2 [Teorema fundamental del lgebra]Seaaxn+ a xn1+ + a x + a = 0unaecuacinpolinomialconcoeficientesen entoncesexiste tal que es solucin de esta ecuacin.Conestoseresuelvelacarenciadetodaslasestructurasanteriores,esto es,dadaunaecuacinpolinomial con coeficientes en un campo, asegurar que tiene solucin en el campo.EJERCICIOS DE LA SECCINEJERCICIO 26Pruebe que el conjunto de las fracciones m , n, m dotado de las operaciones usuales en,' 2n;de suma y producto, es un anillo conmutativo con unidad pero no es un campo. Pruebe que este conjunto incluye a los enteros.EJERCICIO 27Demuestrequeelconjuntodenmeroscomplejosesuncampoconlas operacionesdesumay multiplicacin definidas.EJERCICIO 28Pruebe que el conjunto 2 1 es un campo con las operaciones definidas en esta seccin. ]EJERCICIO 29Pruebe que el conjunto de nmeros complejos {n + im, n, m }dotado de las operaciones usualesde suma y producto es un anillo conmutativo con unidad. A los elementos de este conjunto se lesllama enteros gaussianos.EJERCICIO 30Pruebe que el conjunto

32, 34 1es un campo con las operaciones definidas en esta seccin.VII. OTRAS ESTRUCTURAS CONOCIDASUnavezquesehafinalizadoelrepasodelasestructurasalgebraicas presentesenlosconjuntos numricos,sefinalizaelpresentecaptulocon la revisin de otras estructuras estudiadas en cursos previos.1. MatricesLaprimeradelasestructurasestpresenteenellgebralineal, concretamentelasmatricescon entradasen .Unamatrizesunarreglo de mnnmeroscolocadosen mfilasorenglonesy n columnas.Sobre estosconjuntossedefineunasumaquecorrespondealasuma componenteacomponente. La multiplicacin no est definida, en general para matrices de tamaom n , es poresto que si se consideran solo matrices cuadradas13entonces se tienen definidas las 2 operaciones.Es conveniente que repase la definicin de la multiplicacin, pues aqu, solo se indica un resumendepropiedadesylosclculosquejustificanlasafirmacionesnosecomentan. Puederevisarestas demostracionesqueseencuentraeneltexto "ElementosdelgebraLineal"deHugoBarrantesC.(Barrantes, 2006).Teorema 1Sean elconjuntodematricescuadradasde tamaon nconentradasen . Enesteconjunto, dotado de las operaciones de suma y producto usuales de matrices, se cumple con:a) La suma y la multiplicacin son asociativas.b) El elemento neutro de la suma es la matriz nula y el de la multiplicacin la matriz identidad.c) Todos los elementos tienen inverso aditivo, pero no necesariamente inverso multiplicativo.d) La suma es conmutativa.e) La multiplicacin no es conmutativa.f) La multiplicacin distribuye con la suma.g) S tiene divisores de 0.h) No se cumple la ley de cancelacin para la multiplicacin.Como se indic, no se va a realizar la demostracin de las propiedades enunciadas en el teorema. Laidea es mostrar que la asociatividad, la existencia de elemento neutro, tanto para la suma como lamultiplicacinylaconmutatividaddelasuma,sonpropiedadesconocidas utilizadasenellgebralineal y contribuyen a reforzar los conceptos estudiados en este texto. Por otra parte, en la cita dellibro Elementos de lgebra Lineal aparece la demostracin de que(n (), +)es un grupo abelianocon elemento neutro, la matriz nula, esto demuestra los incisos a), b), c) y d) en lo relacionado conla suma. Adems, se prueba que (n (), )es asociativa y que la matriz identidad es el elementoneutroparaestaestructura.Tambin,sedemuestraquelamultiplicacin distribuyeconlasumacuando las matrices son cuadradas y que la multiplicacin no es conmutativa. Para probar que tienedivisoresde0yquenosecumpleconlaleydecancelacinbastacon darunejemplo.SeanA, B 3 ()tales que13Igual nmero de filas que de columnas. , , ,0 001 0 _ 01 0 _ 0 0 1 _A =

00 1

, B =

0 00

y C =

0 0 0

.

00 0 0 0 0 0 0 0

Con estas matrices se cumple quecancelacin, note queA B = 0 , sin que ninguna de las matrices sean 0. Para la ley deAB = ACY no se puede cancelar y concluir queB = C.De esta forma, el teorema afirma que(n (), +)es un grupo abeliano,(n (), )es un monoideno conmutativo;(n ( ) , +, )esunanilloconunidad.Estaestructurapermite conocerotroelemento especial de la teora de anillos, los elementos nilpotentes.Definicin1Sea ( A, +, *)unanilloconneutro 0 paralaprimera operacin,unelementox 0se llama nilpotente si existek tal quexk= x * x* x = 0.k vecesExistenelementos nilpotentesenn () .Porejemplo paran 2 , considere01 _N =

,y essencillo verificar que cumple conN 2= 0.En el caso de las ecuacionesAX= Bdonde las 3 matrices involucradas tienen el mismo tamao lasolucin es nica siAes una matriz invertible en cuyo casoX= A1B . Es conveniente recordarquesi A y B sonmatricesinvertiblesentonces AB esinvertibletambin ysecumplecon( AB)1= B1 A1y que la no conmutatividad del producto impide modificar el orden.2. PolinomiosUn polinomio, en la variablex,con coeficientes en un campoK(puede ser , , o etc) es unaexpresin que suma potencias de la variable multiplicadas por los nmeros del campo