elektroi eta gainazaleko modu elektromagnetikoen arteko ... · in medicine, for instance, gold...

Elektroi eta gainazaleko modu elektromagnetikoen arteko akoploa, erorketa eta transmisioko mikroskopia elektronikoan

Jakintza-arloa: Fisika

Egilea: JAVIER AIZPURUA IRAZABAL Urtea: 1998 Zuzendariak: MIGUEL ETXENIKE LANDIRIBAR, ALBERTO RIVACOBA Unibertsitatea: UPV/EHU ISBN: 978-84-8438-134-1

Hitzaurrea Tesi hau hasi genuenean, 1994. urtean, metalezko solidoen kitzikapen kolektiboak, hau da, modu elektromagnetikoak edo plasmoiak, oso arlo konkretu batean ikasten ziren: karga eta materiaren arteko elkarrekintzaren testuinguruan. Mikroskopio elektronikoaren elektroi azkarrak erabiliz, elkarrekintza elektromagnetikoaren bidez, oso modu zuzenean laginaren plasmoiak kitzikatzea lortzen zen. Metalezko plasmoien energiek, (hau da bere uhinluzerak espektro optikoan), nanopartikulen eitearekiko menpekotasun sakona azaltzen zutela aspaldidanik jakiten zen. Gure tesian beraz, elkarrekintza hau, partikularen egitura eta materialaren arabera, nola aldatzen zuen ikasteari ekin genion. Horretarako, Poisson eta Maxwell-en ekuazioak azaltzeko edozein sistema ez-homogeneotan, formalismo teoriko eta konputazionala garatu genuen: muga-elementuaren metodoa (BEM). Formalismo horrek forma edo eite arbitrarioko nanoegiturak ikastea ahalbideratu zuen. Gure kasuan, kanpoko kitzikapena mikroskopioaren elektroi sorta zen, eta aztertu genuen nanoegituren artean, partikula erdiesferikoak, zilindroak, edota materialen izkinak ere aurki daitezke tesi honetan. Tesia amaitu bezain laister, munduan zehar, optika talde zientifiko asko plasmoiak kitzikatzen hasi ziren laseren argiaz baliatuz. Plasmoiaren kitzikapen kolektibo bera zen, baina kasu horretan, plasmoiak kitzikatzeko modua aldatzen zen: mikroskopioaren elektroien kargak erabili beharrean, laser baten argia zen nanopartikuletan plasmoiak kitzikatzen zituena. Tesi honetan jasotako esperientziaz baliatuz, formalismo bera erabili genuen partikula nanometriko bat eta laseren argiaren arteko elkarrekintza elektromagnetikoa deskribatzeko. Beraz, tesi honetan garatu zen formalismoari esker, plasmoiei buruz, azken urteotan, munduan egin diren esperimentu optiko garrantzitsuenetakoak azaldu ditugu teorikoki. Esperimentu horien artean, nanopartikulak eta argiaren arteko scattering edo sakabanaketako neurketak, Suediako Chalmers Unibertsitatean egindakoak, edota eremu gertuko mikroskopio optikoaz baliatuz, Munich-eko Max Plank Institutoan egindako plasmoien nanoskopia ere aipa daitezke. Gaurko honetan, tesi hau bukatu zenetik ia 15 urte geroago, plasmoien ikerkuntza funtsezkoa suertatu dela esan daiteke zientziaren arlo askotan. Medikuntzan, adibidez, urrezko nanogeruzetako plasmoiak mihinbizia tratatzeko erabiltzen ari dira, zelula mihinbizigarriak hiltzeko oso modu arrakastatsuan. Komunikazio teknologia arloan ere, propagatzen ari diren plasmoiak komunikazio optoelektronikoen giltza izan daitezke. Gaur egungo espektroskopia optiko eta infragorrian ere, plasmoiak akoplatzea era baliagarri batean, oso garrantzitsua da. Plasmoien modu elektromagnetikoen energia eta eragina teorikoki ikasten jarraitzen dugu kasu guzti horietan. Nanoegituren eiteak, materialak, eta elkarrekintzak plasmoien ezaugarriak mugatzen dituzte, beraz, gai honek zenbait tesi gehiago garatzeko aukera emango du hurrengo urteetan, plasmoi eta modu elektromagnetikoen ikerkuntza, nano-optikaren prioritate bihurtu da eta.

Preface When I started this dissertation in 1994, the collective excitation of metallic solids, i.e. electromagnetic or plasmon modes, was being studied in the specific context of the interaction between charge and matter. Using the high-energy electrons of electronic microscopy, it was possible to excite the plasmons of the sample directly through electromagnetic interaction. It had been known for a long time that metal plasmon energies (i.e. their wavelength in the optical spectrum) were highly dependent on the shape of nanoparticles. Therefore, in this dissertation, we proposed to study variation in such interaction according to particle structure and material. For that purpose, I developed a theoretical and computational formalism to produce Poisson and Maxwell’s equations in any non-homogeneous system: the boundary element method (BEM). This formalism makes it possible to study the nanostructures of arbitrary forms or shapes. In our case, the external excitation was the microscope’s electron probe, and the nanostructures we studied in this dissertation include hemispherical particles, cylinders and edges. No sooner had the dissertation being completed than optical research groups all over the world began exciting plasmons using laser beams. It was the same collective excitation of plasmons but the means of exciting the plasmons was different: instead of using the microscope’s electron charges, it was a laser beam that excited the plasmons in the nanoparticles. Putting to use the experience gained in this dissertation, I used the same formalism to describe electromagnetic interaction between a nanometric particle and a laser beam. Therefore, by means of the formalism developed in this dissertation I have described theoretically some of the most important optical experiments with plasmons that have been performed in the world in recent years, including measurements of the scattering between nanoparticles and light at Sweden’s Chalmers University, or optical microscope plasmon nanoscopy at the Max Plank Institute in Munich. Nowadays, almost fifteen years after the completion of the dissertation, plasmon research may be said to play a fundamental role in many scientific fields. In medicine, for instance, gold nanolayer plasmons are being used in cancer treatment as a highly successful way of destroying cancerous cells. In communication technology propagating plasmons may provide a key to optoelectronic communication. In current optical and infrared spectroscopy too, it is very important to couple plasmons in a useful way. In all these cases, the energy and effect of electromagnetic plasmon modes are still being studied theoretically. The characteristics of plasmons are determined by the shapes, materials and interactions of nanostructures, so there is still room for further dissertations on this subject in the years to come, since plasmons and electromagnetic modes have become a high priority for nano-optics.

Elektroi eta gainazaleko

modu elektromagnetikoen

arteko akoploa

ekorketa eta transmisioko

mikroskopia elektronikoan

Javier Aizpurua Iriazabal-ek

Zientzi Fisikoetan Doktore-gradua

lortzeko aurkeztutako txostena

Donostian, 1998.eko Urria

Tesiaren zuzendariak

Pedro Miguel Etxenike eta

Alberto Rivacoba irakasleak

i

Eskerronak

Lehenbizi, nere eskerrik beroenak tesiaren zuzendariei, Pedro Miguel Etxenike eta

Alberto Rivacoba irakasleei eman nahi dizkiet. Gida, aholkuak eta ulermena emateaz

gain, fisikari buruzko beraien ulermena eta giza sostengua edozein egoeratan lau urte

hauetan zehar iharduteko eredu bihurtu dira.

P. Apell, A. Howie, J. Garcıa de Abajo eta N. Zabala irakasleak lan honen garapenaren

giltza izan dira. Bai zientifikoki bai pertsonalki, beraien ideiak eta edozein gai tratatzeko

modua, benetan lagungarriak izan dira.

Ez ditut ’the gang of four’-en beste osagaiak ahaztu nahi: Enrique Zarate, Jacinto

Osma eta Miguel Angel Cazalilla. 10 m2-tako gelan berberean lau urtetan zehar egon

eta gero, oso lagun minak izaten jarraitzen dugu. Beti izango gara the gang of four eta

momenturik txarrenetan ere ni aguantatu izana benetan eskertzen diet.

Inaki Juaristi-ri, euskararen bertsioa irakurri eta zuzendu izana benetan eskertzen diot.

Bakarrik berak daki zenbat lagundu didan.

Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Ikerketa eta Unibertsitate Sailak, doktorego aurreko

beken programaren barruan, lan hau aurrera eramateko laguntza ekonomikoa eman du.

Hemen bukatuko ditut eskerronak, azken hitzak nire gurasoei esanez: zuei hona heldu

izana zor izateaz gain, urte hau guztietan zehar jasotako maitasuna bihotzez eskertzen

dizuet.

Gaien Aurkibidea

Sarrera 1

1 Elektroien energi galerak sostengaturiko nanopartikuletan 15

1.1 Sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Gainazaleko plasmoien modu esferaerdikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Elektroien energi galerak esferaerdiko partikuletan . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.1 Pantailaturiko elkarrekintza esferaerdiko egituretan . . . . . . . . . 22

1.3.2 Elektroien energi galeraren probabilitatea . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.3 Aluminiozko laginetako emaitzen konbergentzia . . . . . . . . . . . 25

1.4 Kasu esperimentalentzako aplikazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.1 Zilarrezko partikulak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4.2 AlF3-ek sostengaturiko aluminiozko partikulak . . . . . . . . . . . . 32

1.4.3 Ondorioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Modu kolektiboen kitzikapena eite arbitrarioko egituretan I. Simetria

translazionala duten objektuak 35

2.1 Sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Oinarrizko teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.1 Muga-kargaren metodoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.2 Gainazaleko moduetan oinarritutako ebazpena . . . . . . . . . . . . 39

2.2.3 Elektroiaren energi galeraren probabilitatea . . . . . . . . . . . . . 41

2.3 Simetria traslazionala duten gainazalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.1 Gainazalarekiko paralelo higitzen diren elektroien energi galerak . . 46

2.3.2 Gainazalarekiko perpendikular higitzen diren elektroien energi galerak 49

2.4 Izkina isolatua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4.1 Drude-ren izkina metalikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4.2 MgO-zko kuboa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

iii

iv

2.5 Izkina akoplatuak: xafla moztua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.5.1 Gainazaleko moduak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.5.2 Laginaren lodieraren eragina EELS-an . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.6 Hiru ingurune desberdinetako egoerak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.6.1 T-lotura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.6.2 Si-SiO2-zko H-lotura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.7 Ondorioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3 Modu kolektiboen kitzikapena eite arbitrarioko egituretan II. Simetria

axiala duten objektuak 75

3.1 Sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2 Ibilbide axialentzako adierazpenak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.3 Aplikazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.3.1 Partikula akoplatuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.3.2 Inklusioak esferoideen aurrean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.3.3 STM-ko lagina-punta sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.4 Esfera lerrokatuen sare infinitoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.4.1 Ekuazio autobateragarria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.4.2 Ibilbide paraleloa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.4.3 Ibilbide perpendikularrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.5 Ondorioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4 Lokaltasun ezaren eragina STEM-an: zulo zilindrikoak 93

4.1 Sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2 Barrunbe bateko potentzialaren adierazpen ez-lokalak . . . . . . . . . . . . 95

4.3 Barrunbeko elektroien energi galerak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.4 Ondorioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5 Atzerapenaren eragina partikula esferikoen elektroien energi galeretan103

5.1 Sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.2 Oinarrizko teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.2.1 Green-en funtzio diadikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.2.2 Karga higikor baten energi galeren probabilitatea . . . . . . . . . . 110

5.3 Emaitzak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.3.1 Partikularen tamainuaren eragina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.3.2 Talka parametroarekiko menpekotasuna . . . . . . . . . . . . . . . 115

v

5.3.3 Modu erradiatiboen existentzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.4 Ondorioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Ondorio orokorrak 119

Bibliografia 121

Sarrera

Ideia orokorrak

Mende honetako lehebiziko urteetatik, partikula kargatuak, ikertutako laginaren izaera

eta ezaugarriei buruzko informazioa lortzeko erabili dira. Rutherford-ek, 1911.ean ato-

moaren egituraren izaera ikertzeko, α partikula erabili zituenetik, beste partikula asko

erabili izan dira materiari buruzko informazio baliagarria lortzeko. 1927.ean, Davisson

eta Germer-ek [1] energi baxuko elektroien difrakzioa ikertu zuten, elektroiaren uhin izae-

raren froga zuzena erakutsiz. Esperimentu honen ondoren, elektroiaren erabilera, sonda

moduan, erabat garatu da partikula eta laginaren arteko elkarrekintzan agertutako efektu

desberdinak ikertzeko. 1948.ean, Rutherman-ek [2] iadanik elektroiak erabili zituen trans-

misio moduan eta energi galeren espektroak jaso zituen, energi galerak eV batzuk zirelarik.

Oso elektroi azkarrak erabiliz (100 keV), transmisioko mikroskopia elektronikoak (TEM),

lagina zeharkatu duten elektroiak ikertzen direnean, kontrasteko irudi bat eskuratzeko

aukera ematen du. Beste alde batetik, (SEM) ekorketa mikroskopia elektronikoaren ener-

gi altuko elektroiei dagokien uhin luzerak (∼ 1 A 100 keV-tako elektroientzat), elektroi

sorta oso ondo fokalizatuz gero, ekorketa prozesuari eta elektroi isladatuak edota emisio

sekundarioen elektroiak aztertzeari ekiten zaionean, bereizmen handiko irudiak lortzeko

aukera ematen du. Azken urteotako ekorketa eta transmisioko mikroskopio elektronikoa-

ren garapenak (STEM) laginaren ingurune txiki bati buruzko informazioa ematen duten

elektroi fokalizatu eta transmitituen azterketaren interesa handitu egin du.

Kontrasteko irudietan talka elastikoen ekarpena azaltzeko simulazio numerikoak era-

biliak izan dira material ez homogeneoetako bereizmen handiko mikroskopia arruntean.

Beste alde batetik, prozesu inelastikoari ekiterakoan, hurbilketa teoriko desberdinak era-

bili dira, prozesuan trukatutako momentu eta energiaren arabera. Gaur egun, bereiz-

men handiko mikroskopio gehienek energi galeren espektrometroak dauzkatenez, talka

inelastikoen interesa izugarri garatu da, solidoaren konposizio kimiko lokala eta egitura

1

2 Sarrera

elektronikoaren informazioa interpretatzeko beharrarekin batera.

Elektroien energi galeretako espektroskopia (EELS) oso tresna indartsua da solidoan

ematen diren elektroien kitzikapenen izaera eta ezaugarriak aztertzerakoan. Helburu ho-

nekin, elektroi sorta oso ondo fokalizatua mantentzen da (∼0.2nm) b posizio erlatibo ber-

beran, eta horrela, laginean sortutako kitzikaduren balioa eta garrantzia elektroi sortaren

posizioaren arabera, hau da b-ren funtzioan azter daiteke (ikusi 0.1. irudia). Alderantziz,

energi galera zehatza aukeratuz, lagina ekortzen baldin bada, irudi iragaziak lor daitezke,

zenbait kitzikadurari dagozkion laginaren ingurune sentikorrenak garbi erakutsiz, lagina-

ren eite eta konposizioaren arabera. [3, 4, 5].

Laginaren elektroi kitzikatuen hasierako egoera kontutan hartuz, STEM-ko elektroi

azkarren EELS-ak bi galera mota erakusten ditu [6]. Alde batetik, atomoaren geruza sa-

konetako elektroi kitzikapenak oso energi zehatzetan gertatzen dira (100 eV - 10000 eV)

eta elementu kimiko baten maila energetikoei dagozkien kitzikadura energien ezagutza-

ri esker oso ondo ulertu dira. Kitzikadura hauen bereizmen espaziala v/ω parametroak

emango digu, eskala atomikoa delarik. Horregatik, kitzikapen hauek, kristal baten ka-

rakterizazio kimikorako [7] eta laginaren ingurune bereziei buruzko informazio analitikoa

lortzeko [8] erabil daitezke (adibidez 0.1. irudiaren energi galeraren espektroan, O, Mn

eta Fe bereizten dira oso garbi). Beste alde batetik, balentziazko elektroiek galera bizia-

goak sortzen dituzte galerazko espektroetan 50 eV-tarainoko energi tartean. Kitzikapen

hauek, Bohm eta Pines-ek [9] azaldu zituzten teorikoki 50. hamarkadan, bolumeneko

karga dentsitate elektronikoaren oszilazio kolektiboaren kontzeptua erabiliz. Materiale

eroaleetan, kitzikapen hauen ezaugarrizko maiztasuna -bolumeneko plasmioarena, hain

zuzen- n, karga-eramaile askeen dentsitatearen menpekoa da eta plasmaren maiztasuna

ωp deritzo, ωp =√

4πne2/m delarik, (non e eta m elektroiaren karga eta masa diren).

1957.ean, Ritchie-k [10] gainazaleko karga dentsitatearen oszilazio kolektibo berria aur-

kitu zuen, antzeko energi tartean (eV batzuk). Kitzikapen hauei gainazaleko plasmoiak

deritzaie, eta beraien interpretazioa askoz zailagoa da, beraien izaera kolektiboa konposi-

zioaren menpe izateaz gain, laginaren eitearen menpe ere baitago. Kitzikapen hauen be-

reizmen espaziala nahiko handia da (zenbait nanometro) plasmoien ezaugarrizko energiak

eV batzuk direlako eta STEM-ko elektroi erasotzaileen abiadura 100 keV-takoa delako

(∼ 0.5c argiaren abiaduraren erdia). Lan honen helburua, azken kitzikapen hauen izaera

eta ezaugarriak hobeto ulertzea da, eta horretarako, hurrengo kapituloetan zehar edozein

eitetako objektu aztertzeko gai izango den metodologi sistematikoa garatuko da.

Bolumenean karga higikorrak sortutako kitzikapena aztertzeko, STEM-ko kofigura-

zioetan, Fermiren teoria ez erlatibista [11] oso tresna aproposa suertatzen da. Teoria ho-

Sarrera 3

elektroi kanoia

irekitze objektiboa

lenteak

lagina

energi galeren analizatzailea

Talka parametroa

b

Energi galerak (eV)Talka parametroa b

EELSb talka parametro finkoa

Energi iragazitako mapakω energi galera finkoa

0.1. Irudia: Ekorketa eta transmisioko mikroskopia elektronikoan (STEM-an) erabiltzen den gailuarenerakuspen eskematikoa. Elektroi kanoiak ematen dituen 100 keV-tako elektroiak laginaren inguruanera egokian fokalizatuak dira, b talka parametro finkoa delarik. Gero, sakabanatutako elektroiak energigaleren analizatzaileak biltzen ditu. Lan egiteko bi modu desberdin erabiltzen dira. Eskuineko irudian,b talka parametroa finko mantenduz, elektroi energi galeren mikroskopia (EELS) egin daiteke, agertzenden bezala, bi energi galera mota (barne geruzetako ionizaziokoak eta balentzia bandako kitzikadurak)desberdinduz. Ezkerreko irudian, ω energi galera finkoa aukeratuz, lagina talka parametro guztietanzehar ekortu da ([5] erreferentziatik aterata). Era honetan, energi galera batzuekiko sentikorrago direninguruneak ikertu eta hautatutako energi galeren mapak eskuratu egin daitezke.

4 Sarrera

nen arabera, ingurunearen karakterizazioa ε(ω) funtzio dielektriko lokalaren bidez egiten

da. Funtzio honek, ω maiztasunaren menpekotasuna besterik ez du, eta urteetan zehar

konfigurazio ez homogeneoetarako garatu da, konplexutasuna ikertutako laginaren eite

eta konposizioaren ondorioa izanik. 100 keV-tako elektroi sortaren batezbesteko ibilbide

askea bolumenean nahiko luzea da, solidoko elektroiek ezin baitute elektroi azkarrei modu

egokian erantzun. Funtsezko puntu hau da praktikan STEM-ko energi galeren espektroak

ahalbidetzen dituena, elektroi sortak materiala arazorik gabe zeharkatzen duelako.

Gainazal batek bi material desberdinak bereizten dituenean, hau da ingurunea ez ho-

mogeneo denean, galeren espektroak, balentziazko energi tartean behintzat, laginaren eite

eta sorta erasotzailearen b talka parametroarekiko menpekotasun handia erakutsiko du.

STEM-ko egoera arrunt batean, adibidez gainazal launa agertzen denean (b talka para-

metroa finkatuta), bereizmen espaziala e−2bω/v exponentzialarekiko proportzionala izango

da (plasmoiaren eremuaren gainbeherarena), v elektroi sortaren abiadura izanik. Aipatu

bezala, gainazaleko plasmoia nabarmena izan daiteke nanometro batzuetako distantziaren

barnean, nahiz eta distantzia hau plasmoiaren izaera zehatzaren menpe egon (adibidez

izkinez beteriko egoera ez launa batean edota zenbait ingurune elkarrekin agertzen dire-

nean,...).

0.1. irudian, kitzikapen desberdinetako galeren espektro tipikoaren eskema erakusten

da. Ekarpen elastikoa inongo energiarik galdu ez duten elektroiei dagokie eta norma-

lean, espektro guztietatik sistematikoki kentzen da dekonboluzio tekniken bidez. Edozein

laginetan sortutako kitzikapen artean, fonoiak ∼ 0.02 eV-tako tartean aurkitzen dira

eta analizatzailearen energi bereizmena balio horretara nekez ailegatzen denez, (norma-

lean 0.1 eV baino gutxiago es dute ematen) ezin dira STEM-an bereiztu. Cherenkoven

erradiazioa, transizio erradiazioa, eta gainazaleko eta bolumeneko plasmoiak eV batzuk

(∼50eV) tartean kitzikatzen dira, eta energi baxuko galerak kontsideratzen dira EELS-an.

Bukatzeko, kitzikapen atomikoak, ∼50eV-tatik 2000 ev-taraino gertatzen dira, eta energi

altuko galerak kontsideratzen dira. Lan honetan zehar, gainazaleko eta bolumeneko plas-

moiak sorturiko kitzikapenak aztertuko ditugu. Egitura elektronikoaren izaera kolektiboa

nagusia da prozesu inelastiko honetan, eta horregatik, material metalikoak izango dira

lehenbizi aztergai. Honekin batera, material erdieroaleak eta isolatzaileak ere aztergai

izango dira, plasmoiak kontsidera daitezkeen kitzikapenak erakusten baitituzte.

Sarrera 5

Hurbilketa teorikoak

Elektroi sorta erasotzaile eta lagin metalikoaren balentziazko elektroien arteko elka-

rrekintza deskribatzerakoan, zenbait hurbilketa teoriko egin daitezke bai teoria kuantikoa

[12, 13], baita teoria dielektriko klasikoa [14, 15] ere erabiliz. Laginaren deskribapenari

dagokionez, hemen aztertuko diren laginak eta egiturak nanometro mailakoak izango dira,

horregatik sistemaren deskribapen dielektrikoa, ε(ω) funtzio dielektriko lokalaren bidez,

erabat legezkoa suertatuko da. Hurbilketa dielektriko lokalak [11], ε-en momentuareki-

ko menpekotasuna arbuiatzen du eta badago hemen aplikatzea, abiadura handiko sorta

erasotzailearen elektroiek oso momentu baxua transferitzen baitute. Prozesu inelastiko

hauetan, k transferitutako momentua, ω/v-ren mailakoa izango da, hots k =∼ 0.1 nm−1

STEM-ko egoera askotan. Hurbilketa honen mugen azterketa nagusia egingo da 4. ka-

pituluan, elektroi sortak lagina zeharkatzerakoan eragiten duen zulo zilindrikoa aztertuz.

Muga hau gainazaletik gertu pasatzen diren ibilbideekin lotuta dago, ibilbide horietan

momentuaren transferentzia handitzen delako. Beraz, galera funtzioaren dispertsioa kon-

tutan hartu beharko da, ibilbide osoan zehar partikula gainazalaren ondoan pasatzen

baldin bada. Hurbilketa ez-lokal batean, kasu honek gainazaleko karga dentsitatearen

dibergentzia ez fisiko batera eramaten du, karga erasotzaile eta karga induzitua posizio

berberan agertzen baitute. Funtzio dielektrikoaren tratamendu ez lokalaren bidez, ε(k, ω),

badago dibergentzia hau kentzea. Ikuspegi teorikotik, elektroi askeen gasaren erantzun

dielektriko lokala, material metalikoen balentziazko elektroien ekarpena kontutan hartuz

azter daiteke, E(r, t) denborarekiko menpekotasuna daukan eremu elektrikoaren eragin-

pean dagoen elektroi oszilakorrari dagokion higidura ekuazioa ebatziz [16]. Elektroi askeen

gas edota Drude moduko material batentzat, funtzio dielektrikoa horrela idatz daiteke:

ε(ω) = 1− ω2p

ω(ω + iγ)(0.1)

ωp, n bolumeneko karga dentsitatearen menpekotasuna daukan ezaugarrizko plasma maiz-

tasuna delarik, eta γ sistemaren eragin disipatiboa kontutan hartzen duen indargetze-

konstantea. gap-aren energia gainditzeko eta balentziazko elektroiei dagozkien kitzikapen

kolektiboak izateko, erdieroale eta isolatzaileentzat, beste parametro berri bat ωg sartu

egin behar da, gap-aren energia gainditzeko eta balentziazko elektroiei dagozkien kitzi-

kapen kolektiboak izateko. Horrelako materialetan ere, posiblea da orduan kitzikapen

kolektiboak aztertzea.

Funtzio dielektrikoaren momentuaren menpekotasuna adierazteko asmoz, Lindhard-

ek [17] hautazko faseen hurbilketa erabili zuen Fermi-Dirac-en estatistikan oinarrituriko

6 Sarrera

erantzun funtzioa lortzeko. Mermin-ek [18], karga kontserbazioa kontsideratuz, erantzun

funtzio hau zabaldu zuen. Plasmoien poloaren hurbilketa bakunagoak [19], plasmoiaren

dispertsioa deskribatzen du, k momentu txikietarako portaera kolektiboa eta momentu

hadietarako portaera indibiduala ematen dituelarik. Hurbilketa honen adierazpen zehatza

ondorengoa da:

ε(k, ω) = 1 +ω2

p

β2k2 + k4

4− ω(ω + iγ)

, (0.2)

β2 = (3/5)v2F, vF Fermiren abiadura eta γ indargetze konstante fenomenologikoa izanik.

Elektroi askeen gas kuantiko infinitoaren kitzikapenen 0.2. irudia aztertzen baldin ba-

dugu, momentuaren transferentzia txikiak (elektroi erasotzaileen abiadura handia dela

eta), materiala bolumeneko erantzun-funtzio optiko baten bidez ezaugarritzen uzten du,

hau da, solidoaren kitzikapen kolektibo guztien izaera oso zehatz kontutan hartzen duen

ε(k = 0, ω) = ε(ω) funtzio dielektriko lokala erabil daiteke. Hurbilketa honen abantaila,

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4

ω / ωp

k/kF

bolumeneko plasmoiak

elektroi-zulo bikoteak

0.2. Irudia: Bolumeneko plasmoiaren sakabanaketa- erlazioa eta elektroi-zulobikoteen kitzikadura-banda elektroi-gas askearen kasuan. kF Fermiren momen-tua eta ωp plasmoi-maiztasuna direlarik.

literaturan dauden datu kopuruan datza, praktikan material gehienek ez baitute Drude

antzeko portaera erakusten (zilarra bezalako metalak, transiziozko metalak, erdieroaleak,

isolatzaileak,...). Datu hauek nahikoak dira STEM-ko konfigurazioetan, bolumeneko in-

gurunea deskribatzeko.

Laginaren ezaugarriekin batera, STEM-ko oinarrizko beste osagaia elektroi sorta da.

Egoera praktikoetan, oso ondo fokalizatua dagoen arren, elektroi sortak nanometro ha-

Sarrera 7

marrenaren zabalera espaziala dauka. Zeharkako zabalera hori, uhin-funzio baten bidez

adieraz daiteke. Sortaren zeharkako zabalera oso txikia denez, lan honetan elektroi era-

sotzailea v abiadura konstantearekin higitzen den partikula klasikotzat hartuko dugu,

beraren karga-dentsitatea unitate atomikoetan (h = e2 = m = 1) ondorengoa delarik:

ρ(r, t) = −δ(r− vt) = −δ(x)δ(y − vt)δ(z). (0.3)

Ritchie-k [20] eta Ritchie eta Howie-k [13] aztertu zuten elektroiak abiadura konstanteko

partikula puntualtzat hartzean oinarritzen den hurbilketa klasikoaren baliogarritasuna eta

mugak. Lan honetan hurrengo ondorioa atera zuten: Uhin-funtzio zabalak Ψo(r) ∝ φ(r⊥−b) eikoz pairatutako P (ω) energi galera osoa, inelastikoki sakabanatutako elektroi guztiak

biltzen direnean, ibilbide guztien Pclass(ω, r⊥) ekarpen klasikoen batuketa inkoerentearen

bidez adieraz daiteke:

P (ω) =∫

dr⊥|φ(r⊥ − b)|2Pclass(ω, r⊥), (0.4)

b sortaren erreferentziazko posizioa eta r⊥ posizio-bektorearen zeharkako proiekzioa dire-

larik. Egoera praktiko gehienetan, biltze-angelua nahiko handia mantentzen da (milirad.

batzuk) eta horregatik sakabanatutako elektroi guztiak biltzeko baldintza derigorrez bete-

tzen da. Ondorioz, azken emaitza honi jarraituz, adierazpen klasikoari egindako zuzenketa

kuantikoa, azken emaitza hau jarraituz, nahiko arbuiagarria da. Tratamendu kuantiko

honetan, elektroien rekoila ere arbuiatzen da, baina hau ere oso hurbilketa egokia da,

galera-probabilitatearen bigarren mailako zuzenketa honen ekarpena, lehenbiziko maila-

koa baino ia ehun aldiz txikiago baita, hain abiadura handientzat (∝ v−1). Aurreko guzti

honek, elektroia partikula klasikotzat hartzea ahalbidetzen du.

Balentzi elektroi eta sorta erasotzailearen arteko elkarrekintzari dagokionez, elkarre-

kintza elektromagnetiko klasikoa aztertuz iker daiteke. Kasu ez erlatibistan, elkarrekintza

hori aztertzerakoan, Poisson-en ekuazioa ebazten da, (0.3) adierazpenak ematen duen kan-

poko karga dentsitatea erabiliz. Eremu elektriko eta potentzialerako ohiko muga baldin-

tzak imposatuz, balaztatze-indarra lor daiteke, ingurunean sortutako potentzial induzitua

φind(r) partikula azkarraren posizioan kalkulatuz. Echenique, Bausells eta Rivacoba-k

[21] auto-energian oinarrituriko beste hurbilketa berri bat aurkeztu dute elektroi eta gai-

nazalen arteko elkarrekintza deskribatzeko. Teoria honen arabera, elektroi erasotzailea

uhin-funtziotzat hartzen da, hau da, sortaren ondorio kuantikoak kontutan hartzen dira.

Errekoila arbuiatzen denean eta sorta oso fokalizatuta dagoenean, metodo honetan, teoria

klasikoak ematen dituen emaitza berberak lortzen dira. Arazoa tratatzeko bi metodoen

arteko lotura N. Zabala-k et al. [22] argitaratu zuten.

8 Sarrera

Elektroi energi galeraren prozesuaren beste alde aipagarria, ikertutako laginaren eite

zehatza da, honek, konposizioarekin batera emango baititu sistemari dagozkion erreso-

nantziak. Kontutan izan behar da, egitura baten erresonantziak, eite eta konposizioa

emanda, sistemari dagozkiola, eta beti sistema kitzikatzeko aukerak finkatuko dituztela.

Kitzikapen hauek, elektroi sortaren ezaugarrien arabera (b talka parametroa, laginaren

taminua, eta v partikulen abiadura) modu batean edo bestean zehaztu egingo dira. Ara-

zoaren hurbilketa ez erlatibistan galerarik garrantzitsuenak gainazaleko eta bolumeneko

plasmoiak dira, Cherenkov-en erradiazioa elkarrekintza elektromagnetikoa bere osotasu-

nean aztertzerakoan, hau da Maxwell-en ekuazioak ebazterakoan, lortzen baita. Galera

mota hau izateko v partikulen abiadurak ingurune horretako argiaren abiadura baino

handiagoa izan behar du (v > c/√

ε(ω)) [23]. Atzerapenaren eragina eta ondorioak lan

honen azken kapituluan aztertuko ditugu elkarrekintza elektromagnetikoaren tratamendu

erlatibista osoa garatuz.

Lan honen adierazpenetan unitate atomikoak erabiliko dira non h = e2 = m = 1 diren,

(h errazionalizaturiko Planck-en konstantea da, m eta e elektroiaren masa eta karga).

Unitate hauetan, luzera unitatea Bohr-en erradioa da (ao=0.529 A), abiadura unitatea

Bohr-en abiadura (vo = 2.19 108 cm s−1) eta energi unitatea Hartree-a (1 Hartree= 27.2

eV). Emaitzetan, berriz, energia eV-tan eta distantzia nanometrotan idatziko ditugu.

Elektrodinamikaren ekuazioetan sistema gaussiarra erabiliko dugu, hutsaren konstante

dielektrikoa eta permitibitatea εo = µo = 1 direlarik.

Oinarrizko kasuak

Atal honetan, sistemaren erantzun lineala onartuz, ε(k, ω) funtzio dielektriko oroko-

rraren bidez deskribatutako ingurunean zehar v abiaduraz higitzen den partikula klasiko

baten P (ω) energi galeren probabilitatea kalkulatzeko era arrunta erakutsiko da. Hemen,

bolumen infinito, gainazal erdi-infinito eta partikula esferiko bezalako kasu ez homoge-

neo batzuentzat garatuko dugu metodoa, beste sistema konplexuagoetan kontzeptu orokor

berberak aplikatzen lagunduko duelako. Problemaren formulazio orokorrean, kasu ez erla-

tibistan, STEM-ko prozesu inelastikoa, elektroi erasotzaileak sortutako φind(r) potentzial

induzituak ibilbide osoan zehar kanpoko elektroiaren posizioaren gainean duen eraginean

datza. Aurrean aipatu bezala, ibilbidearen ezaugarriek (abiadura eta talka parametroa),

inguruneko konposizioak (ε(ω)) eta eitearen egiturak kontrolatuko dituzte azken finean el-

karrekintzaren ezaugarriak. Poisson-en ekuaziotik, potentzial induzitua ω maiztasunaren

espazio transformatuan ebatz daiteke, lan honetan Fourier-en transformaziorako araua

Sarrera 9

hurrengoa delarik:

f(k, ω) =∫ +∞

−∞dr

∫ +∞

−∞dωe−i(k·r−ωt)f(r, t),

f(r, t) =1

(2π)4

∫ +∞

−∞dk

∫ +∞

−∞dωei(k·r−ωt)f(k, ω). (0.5)

Espazio errealean, y ardatzean zehar v abiaduraz higitzen den partikula klasikoa-

ri dagokion karga-dentsitatea, (0.3) adierazpenean emandakoa da. Fourier-ren espazio

transformatuan hauxe izango da:

ρ(k, ω) = −2πδ(ω − k · v). (0.6)

0.3. irudian erakusten den moduan, Poisson-en ekuazioa ε∇2φ = −4πρ, gainazal ga-

beko ingurune batean ebazten denean, potentzial osoaren espazio transformatua zera da:

φ(k, ω) =−8π2δ(ω − k · v)

k2ε(k, ω), (0.7)

hau da, momentu eta energiarekiko menpekotasuna daukan funtzio dielektrikoak pantai-

latutako Coulomb-en potentzialaren transformatua. Hemen, bolumeneko kasu orokorra

aztertzeko asmoz, ε(k, ω) funtzio dielektrikoaren momentuarekiko menpekotasuna kontsi-

deratzen da. Ikusiko dugunez, energi galeren kalkuluan (potentzial induzitua partikularen

ev

- .

0.3. Irudia: Ingurune infinitoan v abiaduraz higitzen den e elektroia.

posizioan kalkulatzen denean) muga bat jarri egin behar zaio momentu transferentziari

dibergentzia ekiditeko. Potentzial induzitua, potentzial osoari elektroiak hutsean sortuko

lukeen ekarpena kenduz lor daiteke:

φind(k, ω) =−8π2δ(ω − k · v)

k2[

1

ε(k, ω)− 1]. (0.8)

10 Sarrera

Potentzial induzituak sortutako eremu elektrikoak elektroiaren posizioaren gainean r = vt

eragitean, energi galeraren prozesua, elektroiaren gainean sistemak egindako lana W mo-

duan uler daiteke. Energi galera ibilbide unitateko dW/dy, momentu eta maiztasunare-

kiko potentzial induzituaren integrala egitean lortzen da:

dW

dy=

1

(2π)4

∫ +∞

−∞dk

∫ +∞

−∞dω ei(k·v) i

vk · v 8π2 δ(ω − k · v)

k2[

1

ε(k, ω)− 1] =

=i

2π2v2

∫ +∞

−∞dQ

∫ +∞

−∞dω

ω

(Q2 + ω2

v2 )[

1

ε(k, ω)− 1], (0.9)

Q, higiduraren zeharkako norantzarekiko k-ren projekzioa delarik. Ingurunea isotropikoa

kontsideratzen baldin bada, azken ekuazio hau momentuaren moduluaren funtzioan idatz

daiteke. Azkenik, ε(ω) funtzio dielektrikoaren ω-rekiko paritate ezaugarriek hurrengo

garapenera eramaten dute:

dW

dy=

2

πv2

∫ +∞

0dQ

∫ +∞

0dωω

Q

(Q2 + ω2

v2 )Im[

−1

ε(k, ω)]. (0.10)

ω energia galtzeko Γ(ω) ibilbide unitateko eta energi unitateko probabilitatea, dW/dy

ibilbide unitateko lan osoarekin erlazionatu daitezke hurrengo adierazpenean erakusten

den moduan:dW

dy=

∫ +∞

0dωωΓ(ω). (0.11)

Azkenik, aurreko espresioa erabiliz, ingurune infinitoan mugitzen den elektroiaren ω energi

galera probabilitatea ibilbide unitateko hurrengo erara idatz daiteke:

Γ(ω) =2

πv2

∫ Qc

0

Q

(Q2 + ω2

v2 )Im[

−1

ε(k, ω)]dQ. (0.12)

Momentuaren kontserbazioren ondorioz, momentu-transferentziaren goiko mugak Qc-k,

ezin du inoiz izan Fermi-ren abiadura baino bi aldiz handiagoa. STEM-ko konfigurazioe-

tan, beste muga murriztaileago bat badago, mikroskopioaren irekitze-angeluari dagokiona

hain zuzen. (0.12) ekuazioa aztertzean, garbi ikusten da, ingurune infinituan zehar higi-

tzen den elektroiaren kitzikapen probabilitateak, Im(−1ε

) funtzioaren poloen balioetarako

gailurra erakusten duela. Polo honen balioa, hau da ε = 0, (0.1) ekuazioko indargetze

gabeko funtzio dielektrikoaren bidez adierazitako elektroi gas askeen ωp plasmoi maiz-

tasunari dagokio eta normalean bolumeneko plasmoi izenaz ezagutzen den kitzikapena

da.

0.4. irudian azaldutako egoera ez homogeneoak tratatzeko asmoz, teoria dielektri-

koa ingurune desberdinak banatzen dituzten gainazalez beteriko egituretara zabal daite-

ke. Gainazalean kokatutako karga dentsitatearen oszilazio koherenteek ezaugarri berriak

Sarrera 11

azaltzen dituzten modu kolektiboak dira baita ere. 1957.ean Ritchie-k [10], xafla mehe

baten kontra jotzen zuten elektroien energi galerak ikasten zituelarik, kitzikapen kolektibo

hauen berri eman zuen lehenbiziko aldiz. Gainazaleko plasmoi laun honen ezaugarrizko

maiztasuna ωs = ωp/√

2 da. Gainazaleko erresonantzi hau Laplace-ren ekuazioaren ebaz-

pen ez tribialaren bidez lor daiteke, elektroi askeen gaseko ingurune erdi-infinitoa eta

hutsa banatzen dituen gainazal launaren kasurako. Xafla mehe baten kasuan, Ritchie-ren

ve-

b

0.4. Irudia: Gainazal launatik b distantziara v abiaduraz higitzen dene elektroia.

aurresanetan bezala, ingurune guztietan potentzial eta eremuaren muga-baldintzak apli-

katzen direnean, hurrengo moduen ekuazioa lortzen da ω2 = ω2s [1±e−iqd], q momentuaren

osagai paraleloa eta d xaflaren lodiera direlarik. Echenique eta Pendry-k [24] ingurune

erdi-infinitotik gertu, paraleloki higitzen den partikula baten ω energia galtzeko duen

probabilitatea kalkulatu zuten. Aipatutako gainazaleko plasmoiaren kitzikapena agertzen

zela baieztatu zuten, eta galeren menpekotasuna b talka parametroarekiko, Ko(x) zero

mailako Besselen funtzioa zela aurkitu zuten:

Γ(ω) =2

πv2Ko(

2ωb

v)Im[

ε(ω)− 1

ε(ω) + 1]. (0.13)

Ingurune barruko traiektoriarentzat, Nunez-ek et al. azaldu zutenez [26], bai gainazaleko,

bai bolumeneko plasmoiak agertzen dira:

Γ(ω) =2

πv2{Im(

−1

ε(ω))ln(

kcv

ω) + [Im(

ε(ω)− 1

ε(ω) + 1)− Im(

−1

ε(ω))]Ko(

2ωb

v)}. (0.14)

Gainazaleko eragina bi eratan nabaritzen da: kitzikapen berria sartzeaz gain, bolumeneko

kitzikapenaren indarra gutxitzen du (Ritchie-k azaldutako Begrenzung efektua). Azken

adierazpenean garbi ikus daiteke azken terminoaren bolumeneko zuzenketa negatiboa.

Kitzikapen energien balioak hurrengo galera funtzioek ematen dituzte: Im[−1/ε(ω)] eta

Im[(ε(ω) − 1)/(ε(ω) + 1)]. Azken hau, ε(ω) + 1 = 0 kasuari dagokio eta gainazaleko

12 Sarrera

plasmoia ωs existitzeko baldintzaren berri ematen digu. Zenbait egilek geometria launa

ikertu du teoria dielektrikoa erabiliz [28, 29, 30, 31] eta egoera errealista asko gainazaleko

plasmoi launei esker oso ondo ulertu dira.

Azken urteotan ikertutako laginak gero eta konplexuagoak diren neurrian, esperimen-

tuetan agertzen diren ezaugarri konplexu horiek kontutan hartzen dituzten teoriak garatu

dira. Geometria horien artean, partikula esferikoak tratatzen dituena nagusietako bat da,

esperimentuetan askotan agertzen baitira mota honetako nanopartikulak. Fujimoto [32]

eta Kohl-ek [12] beste batzuen artean, gainazal esferikoak aztertu zituzten elektroi askeen

gasaren eredua erabiliz. Elektroi sortaren deskribapena uhin funtzio zabalduaren bidez

egin zuten. Schmeits [33] eta

b

a

e-v

0.5. Irudia: Gainazal esferikoaren gertutik v abiaduraz higitzen denelektroia e, a partikularen erradioa eta b talka parametroa direlarik.

Penn eta Apell-ek [34], elektroi sorta erasotzaileak sortutako kitzikapenaren Mie [35]

maiztasuna ere ikertu zuten. Ferrell eta Echenique-k [36] elkarrekintza deskribatzeko

termino multipolarrak kontutan hartzearen garrantzia erakutsi zuten. Azken hauek a

erradioko esfera baten kanpotik, v abiaduraz higitzen den elektroi klasiko baten P (ω)

energi unitateko energi galeren probabilitatea eman zuten [ikusi 0.5. irudia]:

P (ω) =4a

πv2

∞∑

l=0

l∑

m=0

(2− δmo)

(l + m)!(l −m)!(ωa

v)2lK2

m(ωb/v)Im[l(ε− 1)

lε + (l + 1)]. (0.15)

b talka parametro delarik. Galera funtzio honen poloek l-modu diskretoen sorta ematen

dute, ωl =√

l2l+1

ωp, ω = ωp√3-tik l = 1-entzat (Mie maiztasuna) ω = ωp√

2-raino, l → ∞-

rentzat, azken hau gainazaleko plasmoi launari dagokiona izanik. Partikularen erradioa

a, vω−1 parametroarekin konparatuz handia denean, edota elektroi sorta gainazaletik oso

Sarrera 13

gertu higitzen denean, hau da a ∼ b denean, goi mailako termino multipolarrak indar-

tsu kitzikatzen dira eta gainazaleko plasmoi launa ωp/√

2 da orduan espektroaren nagusi.

(0.15) ekuazioko serieren batuketak a →∞ limitean, gainazal launaren (0.13) adierazpe-

neko probabilitatera konbergitzen duela baieztatu egin da [37]. Bestela, kitzikapen dipolar

klasikoa (l = 1), espektroan agertzen den kitzikapenik garrantzitsuena izango da. Azken

finean, ikus daitekeenez, espektroaren itxura a eta b parametroen arteko erlazioan datza.

Beste geometria standard batzuk ere badaude, eta haien artean, zilindroak [38, 39, 40,

41] eta esferoideak [42] izan dira analitikoki ikasiak. Geometria zilindrikoaren interesa,

STEM-ko sorta zeharkatzailea posizio zehatzean mantentzen denean, materialean nano-

zuloak sortzeko duen gaitasunean datza [43]. Grafitozko nanotuboek EELS-an azaltzen

dituzten plasmoi nabariek [44, 45, 46] geometria hau aztertzeko beste arrazoi bat eman

dute azken urteotan.

Azken adierazpenak

Aztertutako sistema geometrikoa konplexuagoa egiten den neurrian, lan analitikoa-

rekin batera, konputazioa ere beharrezkoa da. Zenbait egilek modu elektromagnetiko

eta energi galerak geometria eta egitura desberdinetako sistemetarako ikertu ditu: izki-

nak [47], kuboak [48], bi esfera akoplatuak [49], bi zilindro [50], esferaerdiak [51] edota

esfera-launa egitura [22]. Sistema hauetan, konplexutasuna eite zehatzari edota oinarrizko

geometrien akoploari dagokie. Biek STEM-ko emaitza askoren adierazpena ematen dute,

modu elektromagnetiko berrien sorkuntzan oinarrituta. Lehenbiziko hiru kapituluetan, es-

perimentalki interesgarriak suertatzen diren zenbait sistema konplexuren azterketa dugu

helburua, modu berri horien aspektu fisikoak aztertuz. Lehenbiziko kapituluan esferaerdi-

ko geometria aztertzen da sakonki, euskarri baten gainean sostengaturiko nanopartikulak

horrela agertzen baitira egoera praktikotan. Kasu honetan adierazpen orokorrak azalduko

ditugu bai moduetarako baita energi galeretako ere. Lortutako emaitzak literaturan dau-

den datu zehatzekin konparatuko ditugu eta horrela, garapenaren baliotasuna baieztatuko

dugu. Hurrengo bi kapituloetan eite arbitrarioko objektuak tratatzeko metodo orokorra

garatuko da. Garapen hau muga-kargaren metodoan datza. Metodo honetan, sistema ba-

ten gainazal bakoitzeko puntu guztiek beren artean, eta elektroi erasotzaileak sortutako

kanpoko eremuarekin duten elkarrekintza autobateragarriki kalkulatuz, eremu induzitua-

ri dagokion gainazaleko karga-dentsitatea eskura daiteke. Interesgarriak suertatzen diren

zenbait kasu (kuboak, xafla moztuak edota ingurune askoren lotura puntuak bezalako

sistemak) metodo honen bidez ikertuko ditugu, eta horrela, oxidoaren geruzaren sorkun-

14 Sarrera

tza, nanopartikula gertuen akoploa, loturak gainazal metalikoetan eta katalisi-fenomenoak

ikertzea posible izango da.

Hurbilketa lokalaren baliotasuna eta mugak aztertzeko asmoz, 4. kapituluan zulo zilin-

drikoetarako adierazpen ez lokalak azalduko ditugu, sistema hau lokaltasun eza ikertzeko

aproposa baita. STEM-an ez lokaltasuna baino eragin handiagoa daukan kontutan har-

tzeko beste faktore bat, hurbilketa ez erlatibista da. Elektroi sortaren abiadura handiak,

elkarrekintzaren abiadura finitoa argi erakutsiko du zenbait kasu kritikotan. Partikulen

tamainua handia baldin bada, elkarrekintzaren atzerapenaren ondorioz, sistemaren mo-

duak lekuz aldatuko dira. Beste alde batetik, talka parametroa ere handia baldin bada,

kitzikapenen intentsitatea ere aldatuko zaigu. Lan honen bostgarren kapituluan, eremu

elektromagnetikoaren kalkulu osoaren bidez, kasu esferikoaren kanpoko ibilbideak aztergai

izango dira elkarrekintza atzeratua kontutan hartuz.

1. Kapitulua

Elektroien energi galerak

sostengaturiko nanopartikuletan

1.1 Sarrera

Nanopartikuletako plasmoi-erresonantzien interesa gero eta gehiago handitzen ari da

[52, 53, 54], nanoteknologiako esperimentu askotan eragina handia daukatelako. Erreso-

nantzien balioek eitearekiko menpekotasun handia izan arren, egoera praktiko askotan

[37], partikula isolatua daukagunean, gainazaleko erresonantzien aspektu asko, geometria

esferikoa erabiliz azal daitezke. STEM-a oso tresna baliagarria suertatzen da erresonantzia

hauen ezaugarri geometrikorik finenak aztertzerakoan. Fujimoto eta Komaki-k [32] izan

ziren elektroien energi galerak lehenbizi ikertu zituztenak. Schmeits [33], Kohl [12] eta

Penn eta Apell-ek [34], beste batzuen artean, ikuspegi desberdinetatik, elektroi askeen

eredua erabili zuten gainazal esferikoetan ematen diren galerak azaltzerakoan. Hauek,

gailur dipolarraren garrantzia azpimarratu zuten (Mie maiztasunean). Hala ere, Ferrel

eta Echenique-k [36] galeren espektro zehatza deskribatzerakoan, kanpoko ibilbideentza-

ko termino multipolar guztiak kontutan hartu behar zirela erakutsi zuten. Dispertsioaren

eragina ere, lan askoren gaia izan da [55, 56]. Elektroien abiadura handiaren ondorioz,

prozesu inelastikoaren momentuaren transferentzia oso txikia denez, guk dispertsioaren

eragin hau arbuiatuko dugu. Bausells, Rivacoba eta Echenique-k [57] barruko ibilbideen

kasua aztertu zuten eta gainazalaren eragina dela eta, bolumeneko galeren indarra, kasu

infinitokoarekin konparatuz gutxitzen zela baieztatu zuten. Hau lehen aipatutako Begren-

zung efektua da. Gehienetan, lan hauetan, hurbilketa klasikoa erabiltzen da, elektroiak

abiadura konstantez higitzen diren partikula puntualtzat hartuz. Hurbilketa honen mugak

eta baliotasuna Ritchie [20] eta Ritchie eta Howie-k [13] finkatu zuten, sarrera nagusian

15

16 1. Kapitulua

aipatu bezala.

Egoera praktiko askotan, nanopartikulak ezin dira erabat isolatuta egon, ingurunean

akoploa sortzen duten beste partikula batzuk daudelako edota partikula euskarriren batek

sostengaturik dagoelako. Azken egoera hau sakonki aztertzea da kapitulu honen helbu-

rua. Euskarriak eragin bikoitza du modu edo erresonantzien posizioetan: alde batetik,

partikula eta euskarriren arteko elkarrekintzak akoplo garrantzitsua sortzen du, eta beste

aldetik, partikula sostengaturik dagoenean, euskarriak partikularen eitea aldarazten du.

Bi efektu hauek moduen posizioa aldatzen dute. Gainazaleko plasmoiak nanopartikularen

eitearekiko oso sentikorrak direnez, egitura hauen plasmoien ezaugarriak aztertzerakoan,

partikula deskribatzen duen eredu geometriko zehatzago bat behar beharrezkoa suertatzen

da. Orain dela denbora gutxi, Ouyang, Batson eta Isaacson-ek [59, 60] zilarrezko partikula

esferaerdikoen energi galeraren gailurrak partikulen tamainuarekiko oso portaera arraroa

zeukala aurkitu zuten. 20 nm-tako partikulen taminua 2 nm-taraino jaistean, energi gai-

lurraren posizioa beheruntz zihoala (3.6 eV-tatik 3.1 eV-taraino) baieztatu zuten. 2 nm

baino taminu txikiagoko zilarrezko partikulen portaera EELS-an, teoria kuantikoari es-

ker azaldua izan zen [61, 62]. Ouyang-ek et al efektu kuantikoari zegokiola argudiatu

zuten, baina hurrengoan ikusiko dugunez, partikulen tamainu tarte horretarako (2 - 20

nm) teoria dielektriko klasikoa nahikoa da efektu hau azaltzeko. Wang eta Cowley-ek ere

[51] AlF3-zko euskarriren gainean zeuden aluminiozko partikula esferaerdikoak aztertu

zituzten eta ondo ulertzen ez ziren gailurren berri eman zuten. Datu guzti hauek geome-

tria esferaerdikoa bere osotasunean aztertzera eraman gintuzten, partikulak euskarriren

gainean daudenean, eiterik aproposena horixe delako.

Gure azterketan, hemisferio metaliko bateko gainazaleko moduak kalkulatuko ditugu,

eta ondoren, partikula horietan elektroi sortak sortutako kitzikapenak ikasiko ditugu la-

ginaren taminu eta talka parametro desberdinetarako. Kasu honetan, modu ekuazioko

termino multipolar guztiak akoplatuta agertzen dira, eta horregatik, terminoen kopurua-

ri muga bat ipini behar zaio ekuazioak ebazterakoan. Honek konbergentziari buruzko

eztabaida sortuko du. Zilarrezko partikula hemiesferikoentzako emaitzek -Ouyang-ek et

al azaldu bezala - 2 nm baino partikula handiagorentzat behintzat, teoria dielektrikoa-

ren baliotasuna erakusten dute. Wang eta Cowley-en [51] datuak ere azalduak izango

dira geometria hemiesferikoa erabiliz eta partikula-euskarriren akoploa aztertuz. Gara-

pen teoriko honetan beraz, ezaugarririk aipagarriena, laginaren konposizioarekin batera,

geometriaren deskribapen zehatza da.

Elektroien energi galerak sostengaturiko nanopartikuletan 17

1.2 Gainazaleko plasmoien modu esferaerdikoak

Gainazaleko plasmoi moduak ikertzeko 1.1.(a) irudian erakutsitako geometria erabiliko

dugu. Plasmoia Laplace-ren ekuazioaren ebazpen ez-tribialari dagokio ∇2φ = 0. Inguru-

nea hiru zatitan banatuko dugu, zati bakoitzari funtzio dielektriko bat dagokiolarik, ε1, ε2

eta ε3. Alde bakoitzean φ(r, ω) potentziala garapen multipolar aproposaren bidez adieraz

daiteke.

Hemendik aurrera hutsez inguraturiko esferaerdiaz arduratuko gara, hots, hurrengo

kasua aztertuko dugu: ε1 = ε3 = 1 eta ε2 ≡ ε = 1−ω2p/ω

2, Drude-ren funtzio dielektrikoa,

ωp plasmoi-maiztasuna delarik.

Potentziala hurrengo erara idatz daiteke:

φ(r, ω) =∞∑

l=0

l∑

m=−l

Plm(µ)eimϕ ×

Alm(ω) al

rl+1 r ≥ a denean,

Blm(ω) rl

al+1 r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ π2, denean

Clm(ω) rl

al+1 r ≤ a, π2≤ θ ≤ π, denean

(1.1)

a esferaerdiaren erradioa, (r, θ, ϕ) koordenatu esferikoak, µ = cosθ eta Plm(µ) Legendre-

ren polinomioak direlarik. Alm(ω), Blm(ω) eta Clm(ω) koefizienteak bi inguruneen despla-

zamendu elektrikoaren osagai normalaren eta potentzialaren muga-baldintzak betearaziz

lortzen dira. 2 eta 3 inguruneen arteko jarraitasunak zera ematen du:

Clm = ηlmBlm, non ηlm =

{1 l + m bikoitia denean

ε l + m bakoitia denean(1.2)

Potentzialaren adierazpenen menpekotasun angeluarrak (Pjm(µ)eimϕ) armoniko esfe-

rikoetan proiektatzea ahalbidetzen du, eta horrela, esferaerdi osoan integratu ondoren,

adierazpenak xinpleagoak suertatzen dira. eimϕ funtzioak esferaerdian (ϕε(0, 2π)) orto-

gonalak direnez, m termino bakoitza beste guztietatik isolatua ager daiteke. agertzen

uzten du. Wang eta Cowley-ek [51], m = 0 balioko moduak bakarrik kontutan hartuz,

esferaerdiko moduak kalkulatu zituzten. Hurrengo ataletan, laginean sortutako kitzikape-

nak aztertzean, m 6= 0 moduak kontutan hartzeko garrantzia eztabaidatuko da. Pjm(µ)

multzoa, berriz ez da ortogonala (0, 1) tartean, eta honen ondorioz, 1 eta 2 inguruneen,

eta 1 eta 3 inguruneen arteko jarraitasunak, (1.2) erlazioarekin batera, m balio bakoitze-

rako Blm koefizienteak akoplatzen dituen j ekuazio algebraiko linealetako multzo batera

eramaten gaitu:

18 1. Kapitulua

∑

l=m

N(m)jl (ω)B

(m)l = 0, (1.3)

N(m)jl (ω) hurrengo matrizea izanik,

N(m)jl (ω) = [εl + lηlm(−1)l+j + (j + 1) + (j + 1)ηlm(−1)l+j]Mm

lj , (1.4)

eta B(m)l , Blm osagaiko bektorea delarik. Mm

lj hurrengo erara kalkulatzen da:

Mmlj =

∫ 1

0Pm

l (µ)Pmj (µ)dµ. (1.5)

l + j bakoitia baldin bada, integralak numerikoki kalkulatu behar dira, baina l + j

bikoitia baldin bada, emaitza analitikoak aurki daitezke literaturan [64]. Bigarren kasu

honetan, Mmlj = [δlj(2l + 1)][(l + m)!/(l − m)!] aurkitzen da, δlj Kronecker-en delta de-

larik. Azken adierazpen honek, bakarrik paritate desberdinetako terminoak akoplatzen

direla erakusten du, paritate berekoak izan daitezkeen l = j azken terminoentzat izan

ezik. Ekuazio algebraiko linealen multzo horrek φ 6= 0 ebazpen ez-tribiala (hau da, Blm

koefiziente guztiak zeroren desberdinak) izango du, bakarrik matrizearen determinantea

zero baldin bada,

det[N(m)(ω)] = 0. (1.6)

(1.3) betetzen duten ω(= ωm) balioak geometria erdiesferikoaren m moduak dira.

Adierazpen akoplatua izatearen arrazoia egituraren asimetrian datza (erdiesfera). Esfera

osoa kontsideratzekotan, Mmlj -ren ordez, δlj faktorea agertuko litzateke. Akoploaren on-

dorioz, kasu honetan ezin dugu l moduei buruz hitz egin, modu akoplatuei buruz baizik.

Modu bakoitzari dakiokeen indize bakarra m balio azimutala izango da. Horregatik, (1.6)

adierazpenaren ωm ebazpenak idatziko ditugu eta geometria honen m modutzat hartuko

ditugu. Ekuazio multzoa infinitoa denez, kontutan hartu behar da, ekuazioen kopuruak

j-k, (potentzialaren garapen multipolarraren terminoen kopuruaren berdina dena) j han-

dien batean mozketa pairatu behar duela m-ren balio bakoitzerako. Balio hau, jmax

bezela adieraziko dugu eta potentzialaren j > jmax terminoak arbuiatzea besterik ez da.

Hau, esferaerdiko gainazaleko karga-dentsitatea deskribatzeko termino multipolarraren

kopuruaren mugatzat uler daiteke. (1.6) adierazpena, (jmax−m) mailako polinomioaren

ω2-rekiko zeroak kalkulatzea besterik ez da.

1.1.(a) irudian, (1.3) adierazpeneko soluzioak aztertzen dira ekuazio akoplatuen kopu-

rurarekiko, hau da jmax-rekiko, energi txikienetako m (m = 0, 1, 2 eta 3) moduetarako.


0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0 20 40 60 80 100

ω / ωp

Termino multipolar akoplatuen kopurua

m = 0

m = 1

m = 2

m = 3

ee

ee

o

o

o

o

εε

ε

2

3

1

a

(a)

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0 100 200 300 400 500

ω / ωp

Termino multipolar akoplatuen kopurua

e

e

e

e

e

o

o

o

o

o

(b)

1.1. Irudia: (a) Esferaerdiko lehenbiziko m moduaren aldaketa (energia txikiena azaltzenduena) m=0, 1, 2 eta 3 balioentzat, jmax termino akoplatuen kopurua, hau da, moduakebazteko ekuazioen kopurua, haditzen den heinean. Bi konbergentzia mota bereiz daitez-ke: lehenengoa, ekuazioen kopurua bikoitia denean (e) eta bigarrena, bakoitia denean (o).Moduak ebazteko erabilitako ingurunearen banaketa irudian erakusten da. Kasu zehatz ho-netan 1. eta 3. inguruneak hutsa dira (ε1 = ε3 = 1) eta 2. ingurunea, Druderen metala,plasmoi maiztasuna ωp = 15.1 eV-takoa eta indargetze-konstantea γ = 0.02ωp direlarik.a erdiesferaren erradioa da eta ω maiztasuna ωp-ko unitateetan azaltzen da. (b) irudian(a)-ren berdina da m = 0 duten lehenbiziko moduentzat, ekuazioen kopurua bikoitia (e) etabakoitia (o) kasuak desberdinduz.

20 1. Kapitulua

m balio bakoitzak, printzipioz, soluzio infinito izango ditu, baina horietako batzuk baka-

rrik izango dira aipagarriak, maila handiko termino gehiago ipintzerakoan modu gehienak

ωs-aren inguruan ezartzen baitira. Moduen maiztasunaren konbergentzia aztertzerakoan,

bi puntu aipagarri izango ditugu. Lehenbizi, ekuazio multzoa jmax balio bikoiti edo

bakoitietan moztearen ondorioz, konbergitzeko bi era desberdin garbi agertzen zaizkigu.

Portaera berezi honek jmax + m balioarekiko menpekotasuna erakusten du eta gaina-

zaleko zehar karga-dentsitatearen banaketaren berri ematen du. Armoniko esferikoak

gainazal zorrotzak deskribatzeko aproposak ez direnez (Gibbs-en fenomenoa [65]), esfe-

raerdiko geometriak oso konbergentzia geldoa erakusten du. Hala ere, arazo hau, 1.1.(a)

irudian erakusten den bezala, ekuazioen kopurua handituz konpon daiteke. Kontutan har-

tu behar da l + m bakoiti denean, terminoek esferaerdiaren oinarrian karga-dentsitatea

ezartzen dutela (m = 0), baina l + m bikoitia denean, ez dutela horrelakorik egiten. (1.3)

adierazpenean j. terminoak paritate desberdinetako termino multipolarrekin elkarrekiten

duela erakusten zen azken terminoan izan ezik, l = j = jmax baitzen. Honen ondorioz,

azken termino horren paritatearen arabera, portaera fisiko desberdina erakutsiko da.

Aipatzeko bigarren puntua, konbergentzia lortzeko ekuazioen kopuru handia hartu

behar dela da. 1.1.(a) irudian ikus daiteke nola hurbiltzen den modu sorta bat 0.45ωp ba-

liora, m = 1-entzat, 0.48ωp-ra, m = 2-rentzat, 0.49ωp-ra, m = 3-rentzat eta 0.51−0.52ωp-

ra m = 0-rentzat. m = 1 ezaugarrituriko moduak konbergentziarik azkarrena erakus-

ten duela kontutan hartzekoa da. Modu hauek oso interesgarriak suertatzen dira beste

geometriekin konparatuz, balio berri hauek kitzikapen-experimentuetan bereiz daitezkee-

lako (esfera osoarentzat, adibidez, lehenbiziko modua, sarrera orokorrean aipatu bezala,

ω = ωp/√

3 ∼= 0.57ωp-an agertzen da). (1.4) ekuaziotik, moduen posizioek, luzeraren

eskalarik ez daukaten Laplace-ren ekuazioaren soluzioak direnez, ez daukate partikularen

erradioarekiko menpekotasunik. Arazo errealista batean, hauexek dira elektroi sortak ki-

tzikatuko dituen moduak eta beraien indarra, ibilbide eta ezaugarri zehatzek (erradioa,

talka parametroa, sortaren abiadura, eta abar) finkatuko dute.

1.1.(a) irudian aurkeztutako moduekin batera, energiaren posizioari dagokionez, m

balio bakoitzarentzako maila handiagoko moduak ere badaude. 1.1.(b) irudian, m = 0

baliorentzako lehenbiziko bost soluzioak margotzen ditugu. jmax mozketa bikoitia edo

bakoitia den arabera, konbergentziaren era desberdinak erraz bereiz daitezke irudi hone-

tan. 1.1.(a) irudian ez bezala, hemen ez du ematen energia handiko moduek balio bakar

batera konbergitzen dutenik. Hau, Mmlj terminoen akoploaren izaerarekin lotuta dago, eta

beraz, esferaerdiko oinarrian karga biltzeko era desberdinekin. m = 0 moduaren karga-

dentsitateak ez dauka angelu azimutalarekiko menpekotasunik, horregatik l akoploaren


ondorioz esferaerdiaren gainazal osoan zehar ezarrita agertuko da. Banaketa hau dela

medio, azken l termino akoplatuak izugarrizko garrantzia izango du, karga-dentsitatea

eta emaitzen ebazpenari dagokienez. Konbergentziaren arazoa dela eta, eta m = 0 mo-

duei buruz hitz egitea oso egokia ez den arren, galera-espektroak aztertzerakoan, modu

hauen muga eta esanahi fisikoari buruz eztabaidatuko da. m 6= 0 kasuetarako, σm(ω)

karga-dentsitatea cos(mϕ)-ren proportzionala da bai esferaerdiko gainazalean, bai oina-

rrian. m = 1 moduak adibidez, portaera dipolarraren antzeko egitura erakusten du simetri

ardatzaren zeharkako norabidean, nahiz eta eremu elektrikoa dipolarra ez izan. m = 0

moduak, beste moduek (m = 1 eta m = 2) baino energiaren balio handiagoa erakusten

du eta horren arrazoia ere, bere karga banaketa berezia da. Termino multipolar gehiago

hartzen diren neurrian, soluzio gehiago ateratzen dira moduen ekuaziotik, baina modu

berri horiek ωs gainazaleko plasmoi launaren inguruan kokatzen dira. Ibilbide batzueta-

rako, kitzikapen launa berreskuratzeko mekanismoa beraz, ωs-ren inguruko moduen bidez

[ikusi 1.1.(b) irudia] egiten da, hurrengo atalean ikusiko den bezala.

1.3 Elektroien energi galerak esferaerdiko partikule-

tan

Atal honetan, lagina nahiko handia denean teoria dielektrikoaren baliotasuna erakutsi-

ko da. Hau baieztatzeko, guk aurresandako energi galerak [51] eta [60] erreferentzietako

esperimentuetan aurkitutakoekin konparatuko ditugu. Ikusiko denez, hurbilketa teoriko

honen baliotasunaren azalpen fina ematerakoan aspektu geometrikoa nagusia izango da.

Hemen aurkeztutako formalismoa beste geometrietan ere erabilia izan da [66], hala ere,

ikuspegi orokorra lortzeko asmoarekin gainetik azalduko dugu. Formalismoa ingurune

osoan Poisson-en ekuazioa ebazten duen Green-en funtzioa den W ind(r, r′, ω) pantalaturi-

ko elkarrekintza kalkulatzean datza. Kasu zehatz honetan, ezhomogeneotasuna esferaerdia

izango da:

φind(r, ω) =∫

dr′W ind(r, r′, ω)ρ(r′, ω), (1.7)

φtot(r, ω) = φext(r, ω) + φind(r, ω) potentzial totala, φext(r, ω) kanpoko sortak sortutako

potentziala, eta φind(r, ω) polarizazioaren ondorioz inguruneak sortutako potentzial indu-

zitua izanik. Potentzial induzitua elektroi erasotzailearen r posizioan ibilbide osoan zehar

kalkulatuz, v abiaduraz higitzen den elektroi bateko ω energia galtzeko probabilitatea,

unitate atomikoetan adieraz daiteke [22]:

22 1. Kapitulua

P (ω) =∫ ∞

−∞dr′

∫ ∞

−∞dr Im{ρ∗(r, ω)W ind(r, r′, ω)ρ(r′, ω)}, (1.8)

ρ∗(r, ω) karga-dentsitatearen ω Fourier-en osagaia eta W ind(r, r′, ω), r′-ko karga batek r-n

sortutako elkarrekintza pantailatuaren ω osagaia direlarik.

Adierazpen hau bai autoenergiaren formalismoa [66] bai tratamendu klasikoa [22] era-

biliz eskura daiteke. Ritchie eta Howie-k [20, 13] tratamendu klasiko eta kuantikoaren

arteko lotura erakutsi zuten. Nahiz eta atzerapena (1.8) adierazpenean, kontutan ez

hartu, hurbilketa oso ona izango da elektroia laginatik gertu pasatzen baldin bada eta

laginaren tamainua txikia baldin bada. Abiadura handia dela medio (100 keV), errekoila

ere ez da kontutan hartzen. Hurrengo pausoa, beraz, esferaerdiaren kasuarentzako poten-

tzial totala eta desplazamendu elektrikoaren osagai normalaren jarraitasun- baldintzak

betearaziz, pantailaturiko elkarrekintza ebaluatzea izango da.

1.3.1 Pantailaturiko elkarrekintza esferaerdiko egituretan

1.2. irudian erakusten den bezala, esferaerdiko geometriarako pantailaturiko elkarrekin-

tza idazteko asmoz, ε1(ω), ε2(ω), ε3(ω) eta ε4(ω) funtzio dielektrikoen bidez ezaugarrituak

izango diren lau zati desberdinetan banatuko dugu ingurunea. Ingurune honen banaketak,

x

y

z

r = (b, z(t))

- e

θ ε1(ω)

ε2(ω)

ε3(ω)

ε4(ω)

vr

1.2. Irudia: Gainazal batean sartuta dagoen objektu esferiko baten ondoan v abiadurazhigitzen den elektroiaren energi galera probabilitatea kalkulatzeko erabilitako ingurune ba-naketa. Lau zati desberdin bereizten dira kalkuluetan. Koordenatu esferikoak erabiltzendira bai ingurunea bai elektroiaren ibilbidea deskribatzeko. b talka parametroa da.


esfera isolatua edota esfera euskarri baten sartuaren kasuak berreskuratzea uzten digu.

Geometria honetako W (r, r′, ω) pantailaturiko elkarrekintza garapen multipolar apro-

posaren bidez koordenatu esferikoetan idatz daiteke zati bakoitzean. Hasteko, (r′ > a)

lagina zeharkatzen ez duten ibilbideak aztertuko ditugu, hau da, elektroia denbora osoan

zehar 1. ingurunean zehar ibiltzen den kasua kontsideratuko dugu. Barruko ibilbideetara-

ko generalizazioa era zuzenean egin daiteke. Zaremba-ren eskemari [67] jarraituko diogu

eta irudi-potentzial launa banatuta idatziko dugu, hau da:

W1(r, r′, ω) =

1

ε1

1

|r− r′| +1

ε1

ε1 − ε2

ε1 + ε2

1

|r− r+

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Alm(r′, µ′)al

rl+1Plm(µ)eim(ϕ−ϕ′)

(r ≥ a, 0 ≤ θ ≤ π/2),

W2(r, r′, ω) =

2

ε1 + ε2

1

|r− r′| +∞∑

l=0

l∑

m=−l

Blm(r′, µ′)al

rl+1Plm(µ)eim(ϕ−ϕ′)

(r ≥ a, π/2 ≤ θ ≤ π),

W3(r, r′, ω) =

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Clm(r′, µ′)rl

al+1Plm(µ)eim(ϕ−ϕ′)

(r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ π/2),

W4(r, r′, ω) =

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Dlm(r′, µ′)rl

al+1Plm(µ)eim(ϕ−ϕ′)

(r ≤ a, π/2 ≤ θ ≤ π). (1.9)

W1 termino coulombiar zuzena eta W1 eta W2 beste termino launak ere, garapen mul-

tipolarren bidez azal daitezke. 1. inguruneko elkarrekintza osoa eskuratzeko, Alm(r′, µ′)

koefizienteak kalkulatu behar ditugu. Koefiziente hauek, ekuazio akoplatu multzo infini-

to baten bitartez ebaztuko dira, (1.3) moduen ekuazioaren kasuan bezala, baina orain,

Alm(r′, µ′)-rekiko koefiziente akoplatu gehiago izango dira, lau zatietan banatutako ingu-

runean lan egiten ari garelako. Green-en funtzio eta gainazal bakoitzako deribatuaren

osagai normalaren jarraitasun baldintzak betearazten baldin baditugu, ekuazio multzo

hau lortuko dugu:

∞∑

l=m

[1 + ξlm(−1)l+j]Mmlj Clm(r′, µ′)−

∞∑

l=m

[1 + ηlm(−1)l+j]Mmlj Alm(r′, µ′)

=∞∑

l=m

[2

ηlm(ε1 + ε2)+

2

ε1 + ε2

(−1)l+j]dlm(a

r′)l+1Plm(µ′)Mm

l (1.10)

24 1. Kapitulua

eta

∞∑

l=m

[1 + ξlm(−1)l+j]lMmlj Clm(r′, µ′) +

∞∑

l=m

[ε1

ε3

+ε2

ε4

ηlm(−1)l+j](l + 1)Mmlj Alm(r′, µ′)

=∞∑

l=m

[2ε1

ηlm(ε1 + ε2)ε3

+2ε2

(ε1 + ε2)ε4

(−1)l+j]dlml(a

r′)l+1Plm(µ′)Mm

l , (1.11)

non

ηlm =

{1, l + m bikoitia deneanε1

ε2, l + m bakoitia denean,

eta

ξlm =

{1, l + m bikoitia deneanε3

ε4, l + m bakoitia denean.

(1.12)

dlm ≡ (l −m)!/(l + m)! eta Mmlj -ren definizioa (1.5) ekuazioan agertzen da.

(1.10) eta (1.11) adierazpenek ekuazio algebraiko linealen multzo bat osatzen dute,

Clm(r′, µ′) eta Alm(r′, µ′) ekuazioen aldagaiak izanik. Multzo hau ebazteko - (1.3) mo-

duen ekuazioan bezala - sistemari j (jmax) ebazte balioa ipini behar zaio. Hurrengo

atal batean emaitzen konbergentziari buruz eztabaidatuko da. Alm koefizienteak kalkula-

tu ondoren, (1.9) ekuazioetako pantailaturiko elkarrekintzaren adierazpenaren laguntzaz,

energi galeraren probabilitatearen ebaluaketari ekin dakioke.

1.3.2 Elektroien energi galeraren probabilitatea

Elektroia, X ardatzean zehar, 1.2. irudian bezala v abiaduraz higitzen den partikula

klasikotzat hartuko dugu. Kasu honetan, ρ(r, ω) karga-dentsitatea zera izango da:

ρ(r, ω) =1

vδ(y − by)δ(z − bz)e

−iωx/v, (1.13)

by eta bz talka parametroaren koordenatuak direlarik (b =√

b2y + b2

z).

Karga-dentsitate hori erabiliz, laginaren ekarpenari dagokionez, P (ω) elektroiaren

energi galeren probabilitatea, zera izango da:

P (ω) =1

πv2

∫ +∞

−∞dx′

∫ +∞

−∞dx

∞∑

l=0

l∑

m=−l

al

rl+1Plm(µ)eim(ϕ−ϕ′)Im{Alm(r′, ω)e−iω(x−x′)/v},

(1.14)

r =√

x2 + b2y + b2

z, µ = bz/r, eta ϕ = arctg(x/by) direlarik.

Esferaerdiko moduen kasuan egin zen bezala, (1.14) ekuazioetatik lortutako emaitzen

konbergentzia aztertu behar da. Probabilitatea eskuratzean, bi muga ipini behar dira:


lehenengoa, (1.10) eta (1.11) ekuazioetako termino akoplatuen j handiena, eta bigarrena,

W (r, r′, ω)-ri ekarpen handia egiten dioten potentzialeko termino multipolarren l han-

diena. Espektro pilo bat aztertu eta gero, mozketa nagusia, (jmax) ekuazioen kopurua

mugatzen duena dela baieztatu egin da, hori baita koefizienteen balioa zehazten duena.

Behin Alm koefizienteak zehaztuta, ez da beharrezkoa hainbeste l termino erabiltzea, l

altuko terminoek espektroa ez baitute aldatzen. 15 nm-tako erradioko aluminiozko par-

tikuletarako, lehenbiziko 20 termino multipolarrak erabiltzea nahikoa da.

1.3.3 Aluminiozko laginetako emaitzen konbergentzia

1.3. irudian Al (Drude) aluminiozko esferaerdiaren energia galeretako espektroa era-

kusten da. Plasmoi-maiztasuna ωp= 15.1 eV eta indargetze-konstantea γ = 0.02ωp hartu

0

0.2

0.4

0.6

6 7 8 9 10 11

P(ω )

ω (eV)

a b

m=1

m=2

m=0

1.3. Irudia: a=10 nm-tako erradioa duen aluminiozko Drude esferaerdiaren P (ω)energi galeren probabilitatea. Elektroi erasotzailea esferaerdiaren izkinatik gertu pa-satzen da (b=11nm), irudian eskematikoki erakusten den bezala. Emaitzaren kon-bergentzia erakusten da (jmax) ekuazioen kopurua, 20 (puntuzko lerroa), 100 (lerroetena) eta 200 (lerro jarraia) terminotara murrizten denean.

ditugu. Esferaren erradioa 10 nm-takoa da eta elektroia, gainazaletik nanometro bateko

distantziara pasatzen da esferaerdiaren oinarriarekiko paralelo. Konbergentzia lortzeko,

gutxienez, 100 (jmax) ekuazio (edo termino) erabiltzea beharrezkoa da (lerro etena). 7

26 1. Kapitulua

eV inguruan (0.46ωp) kitzikapen nabarmena agertzen da. Kitzikapen hau lehengo ata-

lean kalkulatutako m = 1 moduari dagokio. Aurkitutako m=1 moduaren energiaren

aldaketa txikia, erabilitako indargetze-konstanteari zor zaio. Kitzikapen-moduen karga-

dentsitateak cos(mϕ)-ren proportzionalak direnez, m = 1 kasuan, angelu azimutalarekiko

eskema dipolarraren antzekoa da, hau da, karga positiboa izango da esferaerdiaren alde

batean eta negatiboa bestean. Gailur txikiak m = 0 eta m = 2 moduei dagozkie. m = 0

kasua, 1.1.(b) irudiko moduen goiko ebazpen bati dagokio. Goiko moduen kasuetan beza-

la, gailur hauen posizioak, adierazpenetan kontsideratutako termino akoplatuen kopuruan

izugarrizko menpekotasuna erakusten du (baita azken terminoaren paritatean ere). Hur-

bilketa matematikoaren mugak kontutan hartzen baditugu, goiko modu hauen ezegon-

kortasunak laginaren kitzikapen txiki hauek errealak ala baztertzekoak diren zalantzan

jartzera eramaten gaitu. Hala ere, m = 2 moduaren gailurraren intentsitatea konstante

mantentzen da, energia pixka bat beheruntz eta balio zehatz batera doan bitartean. Hau,

moduek azaldutako joerarekin bat dator. m=0 gailurraren kasuan, intentsitatea behe-

runtz doa, (1.10) eta (1.11) adierazpenetako terminoen kopurua handitzen den heinean.

Modu honen konbergentzia eskasa kontutan hartuz, baztertzekoa dela emango dugu. Gure

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

6 7 8 9 10 11 12

P(ω )

ω (eV)

1.4. Irudia: a=10 nm-tako erradioa duen aluminiozko Drude esferaerdi baten P (ω)energi galeren probabilitatea, elektroiaren ibilbidea ardatzean zehar den kasuan. 20termino (lerro etena) eta 100 termino (lerro jarraia) erabili dira kalkuluetan, bi ka-suetan, ωp =15.1 eV eta γ = 0.02ωp direlarik.


hurbilketaren egokitasuna finkatzeko asmoz, 1.4. irudian erdiko ardatzean zehar higitzen

den elektroi baten energi galera irudikatu da. Kasu honetan, bakarrik m = 0 moduak

kitzika daiteke eta horregatik, interes handiko egoera suertatzen da, ikusi dugunez, m = 0

kasu problematikoenetakoa baita (kalkuluetan 20 eta 100 termino erabiliko dira). Lagina-

ren ezaugarriak eta tamainua 1.3. irudikoen berdinak dira. Lehengo espektruan egin den

bezala, pantailaturiko elkarrekintza, barruko ibilbidea kontutan izanik kalkulatu egin da.

Lehenbiziko begiradan, galera espektroa eta lehengo atalean ikertutako ωs inguruan azal-

tzen ziren moduen arteko lotura aipatzekoa da [ikusi 1.1.(b) irudia]. 10.7 eV-tan gainazal

launeko plasmoi- maiztasunari dagokion gailur nagusia bereiz daiteke. m = 0 kasuan, ωs

inguruko moduen pilaketak, l akoplaren bidez berreskuratzen du plasmoi honen balioa.

1.4. irudian azaldutako elektroi sortaren posiziorako, ikertutako lagina bai xafla baten

bai esfera baten antzekoa da, elektroia izkinetatik oso urrun pasatzen baita eta honen

ondorioz, modu horiek espektroan duten eragina ez da oso nabarmena. Echenique eta

laguntzileek [37] oso esfera handiaren aurrean sorta azkarrak pairatutako energi galerak,

gainazal launaren aldiuneko talka parametroko balaztatze indarraren bidez azal zitezkeela

baieztatu zuten. 1.4. irudian, ωs gailurraren inguruan emaitzaren egonkortasuna oso ona

dela aurkitzen da. Gainontzeko gailurrak 1.1.(b) irudian moduentzako azaldutako emaitza

batzuen posizioetan agertzen dira, baina bere portaera, lehengo atalean azaldutakoaren

antzekoa da, hau da, ez dira oso egonkorrak. Konbergentzia geldoa izanda ere, irudie-

tako espektroen baliotasuna ezin da zalantzan jarri nahiz eta konbergentzia ona lortzeko

kalkuluetan 100 termino baino gehiago hartu izan behar.

1.4 Kasu esperimentalentzako aplikazioa

Hemen garatutako formalismoak funtzio dielektriko esperimentalak erabiltzeko auke-

ra ematen digu, laginaren kitzikapenaren deskribapen zehatzagoa ahalbidetuz. Oroko-

rrean, funtzio dielektriko hauek erabiltzean, termino multipolarren konbergentzia hobea

eta emaitzen egonkortasun handiagoa lortzen da. 1.5. irudian, ε(ω) experimentala erabiliz

[63], aluminiozko esferaerdi baten espektroa konparatzen dugu, elektroia laginaren gaine-

tik eta izkinaren ondoan pasatzen den bi kasuetan. Laginaren goiko aldetik pasatzen den

elektroi batentzat, galeren espektroa esfera isolatuaren antzekoa da, l = 1 eta l = 2 kitzi-

kapen esferiko arruntak 8.9 eV eta 9.7 eV-tan erakutsiz. Gailur esferiko hauek, gainazal

launaren kitzikapenaren kasuan bezala, balio horien inguruko modu akoplatuen bidez lor-

28 1. Kapitulua

5 6 7 8 9 10 11 12

0

0.2

0.4

P (ω )

ω (eV)

B

A

C

A

B

C

1.5. Irudia: a= 10nm-tako erradioa duen aluminiozko esferaerdiko laginetako P (ω)energi galeren probabilitatea. Bi kasuetan elektroia gainazaletik 1nm-tara pasatzenda oinarriarekiko paralelo. (C) lerro jarraiak aluminiozko esfera isolatuaren espek-troa erakusten du, (A) puntuzko lerroak eta (B) lerro etenak esferaerdiaren goitiketa izkinatik gertu pasatzen den elektroiaren espektroa erakusten dute. Kontutanizan, esferaerdiaren ezaugarria finka dezakegula (B), 9 eV-tako Mie-ren maiztasunakesferaren ezaugarria finkatzen duen moduan.

tzen dira. Hala ere, kitzikapenen indarrarari dagokionez, aipatzekoa da bi kasuen arteko

desberdintasuna. Balio experimentalak ala Drude-ren ε erabiltzeak 0.3 eV-tako despla-

zamendua sortzen du bai kitzikapenen gailurretan bai intentsitatean. Hala ere, 1.3.-ko

lerro etena eta 1.5. irudiko B lerroa konparatzean ikus daitekeenez, portaera kualitatibo

berdina daukagu. Lehenago aipatu bezala, elektroia esferaerdiaren izkinatik gertu pasa-

tzen denean, eite esferikoari ez dagokion kitzikapen berri bat sortzen zaigu (C lerroa).

Kitzikapen hau goiko egoeran ere agertzen da baina indar txikiagoz. Azken portaera hau,

Wang eta Cowley-ek aurkitu zuten talka parametroarekiko menpekotasun joerarekin ados

dago [51]. Hauxe izango da beraz, kitzikapen honi esferaerdikoaren gainazaleko plasmoia

deitzeko oinarria.


1.4.1 Zilarrezko partikulak

Ouyang, Batson eta Isaacson-ek [60] karbonoan sostengaturiko zilarrezko partikulen-

tzako bereizmen handiko espektroak eskuratu zituzten (0.1 eV) . 1.6.(a) irudian azaldu

bezala, laginaren tamainua aldatzean, espektro hauek portaera berezia azaltzen zuten.

0

0.04

0.08

2.5 3 3.5 4

P (ω )

ω (eV)

Erradioa = 5 nm.

AB

C

A

C

B

(a) (b)

0 20 40

0

3

Pro

babi

lita

te i

nteg

ratu

a (u

. a.)

Tamainua (nm)

3,2 eV-tako gailurra

3,6 eV-tako gailurra

A

C

AC

C

0

0.2

0.4

0.6

2.5 3 3.5 4

P (ω )

ω (eV)

AB

CErradioa = 40 nm.

A

C

B

(c) (d)

1.6. Irudia: Eskuinetara (b) eta (d) zilarrezko esferaerdien P (ω) energi galeren espektroa erradioaa aldatzen denean (a=5 eta 40 nm hain zuzen). Elektroiaren hiru ibilbide desberdinak azaltzen dira(A : θ = 00, B : θ = 450 eta C : θ = 850). Lerro lodia hiru ibilbideen batezbestekoa da. Ezkerretara (a)Ouyang-ek et al aurkitutako puntu experimentalak, [60] erreferentziaren 3. irudian azaldu bezala, eta (c)3.6 eV eta 3.2 eV-tako galera gailurretako P (ω) energi galeren probabilitate integratua, sorta eskuinekoA eta C posizioetan dagoelarik. 100 termino erabili dira kalkuluetan.

Experimentu hauek abantaila asko erakartzen dute, zilarrezko gainazalak oso garbiak,

30 1. Kapitulua

oxido geruza eta kutsadurarik gabekoak eskura daitezkeelako. Karboizko euskarriaren es-

timazio egokia, beheko ingurunea karboia dela onartuz egingo da. Karboizko euskarriaren

eragina arbuiagarria izango da energi tarte honetarako (2.5 eV - 4 eV). Espektroak pix-

ka bat zabalduagoak agertzen dira eta esferaerdi isolatuarenekin konparatuz, 0.1 eV-tan

desplazatuta. Hala ere, galeren espektroen tamainuarekiko eta sorta erasotzailearekiko

menpekotasuna, esferaerdi isolatua erabiliz erabat uler daitezke eredurik egokiena dela-

ko. Funtzio dielektriko esperimentala erabiltzen dugunez, kasu honen konbergentzia ez

da hain zaila, horregatik zilarrezko parikulentzat ez dugu hemen tratatuko. Lan honetan

azaldutako espektro guztietan terminoen kopuru handia eta nahikoa hartu da kalkuluetan.

Orain (1.10) eta (1.11) osatzen duten ekuazio multzoa ebaztuko dugu (ikusi 1.2. irudia)

ε1 = ε2 = ε4 = 1 eta ε3 = εAg kasuan (zilarra experimentala) [63]. Beste datu optikoen

erabilerak [68] eV hamarren batean alda dezake espektroa. 1.6.(b) eta 1.6.(d) irudiek

bi tamainu desberdinetako zilarrezko esferaerdien espektroak erakusten dituzte (5 eta 40

nm hain zuzen). Elektroiaren posizioaren arabera bi kitzikapen nagusi agertzen direla

ikus daiteke. Kasu guztietan, partikularen goiko aldetik gertu pasatzen diren elektroiek

3.6 eV-tako kitzikapena erakusten dute, eta izkinatik gertu pasatzen direnak 3.2 eV-tan.

Ouyang-ek et al 2-20 nm tartean esperimentuetan ikustatu zutenez, laginaren tamainua

handitzen dugun neurrian, 3.6 eV-tako goiko kitzikapena indar garrantzitsuagoz agertzen

da 3.2 eV-tako behekoa baino. Bi kitzikapenak edo hobeto esanda, bi moduak, edozein

tamainutan existitzen dira, baina elektroi sorta erasotzailearen posizioaren arabera ba-

ta edo bestea kitzikatuko da eta gainera, laginaren tamainuaren arabera indar erlatibo

ezberdinaz. Honek 3.2 eV-tatik 3.6 eV-tarainoko joera emango du espektroan. Moduen

maiztasuna ez dago erradioaren eta sortaren posizioaren menpe baina bai elkarrekintzaren

akoploa, beraren indarra bi parametro horien menpe oso garbi baitago. Hau da beraz,

bi kitzikapenak batera kurba experimentalaren hain tarte estuan ager daitezen arrazoia.

1.6.(c) irudian sortaren C eta A posizioetarako 3.2 eV eta 3.6 eV-tako kitzikapenen pro-

babilitatearen bilakaera erakusten da. Gailur nagusia C-tik A-ra aldatzen da partikularen

tamainua handitzean. (A) 3.6 eV-tako gailurraren kitxikapen probabilitatea oso era mo-

notonoan haditzen da tamainuarekin [Fig. 1.6.(c)]. Beste aldetik, 3.2 eV-tako gailurra (C)

beheruntz doa eta zabaldu egiten da partikularen tamainua 30 nm-takoa denean. 1.6.(d)

irudian ikus daitekeenez, (C) beheko kitzikapenaren energiaren posizioa goruntz aldatzen

hasten da, 40 nm-tako partikula batentzat, eta horregatik, 3.2 eV-tako kitzikapenaren

probabilitatea lautzen da tamainu tarte horretan [Fig. 1.6.(c)]. Beraz, partikulen tamai-

nu zehatz batera heltzean (∝ 40 nm), 3.2 eV-tatik 3.6 eV-tarainoko aldaketaren arrazoia

beheko gailurraren zabalkuntzan datza.


Kanpoko ibilbideetarako egin den bezala, hemen garatutako teoria experimentu ba-

tzuekin konparaketa errealistagoa egiteko asmoz, barruko ibilbideak ere aztertu dira. An-

tzeko ondorioak atera daitezke kasu honetan, beheko kitzikapenaren energiaren posizioa-

ren aldaketa txiki bat kontutan izanik (3.2 eV-tatik 3.1 eV-tara). 1.7. irudian, energi

galeraren probabilitate integratua erakusten da b talka parametroaren aurrean, 5nm erra-

diodun zilarrezko partikula baten izkinako (3.1 eV) eta goiko (3.6 eV) kitzikapenentzat.

Partikula handiagoetako kasuan, kitzikapenak gainazaleko plasmoi esferiko eta launen

balioetaruntz hurbilduko dira. Elektroia partikula zeharkatzerakoan, esferaerdiaren izki-

natik gertuago pasatzen den heinean, 3.1 eV-tako kitzikapenak gero eta indar gehiago

erakusten du. Beste alde batetik, 3.6 eV-tako kitzikapenak, bere indarra etengabe man-

0

0.1

0.2

0.3

0 5 10 15 20

P(ω )

b (talka parametroa)

3.1 eV3.6 eV

b

1.7. Irudia: 3.1 eV eta 3.6 eV-tako kitzikapenen P (ω) energi galeraren probabilita-tea, a=5nm-tako erradioa duen zilarrezko esferaerdi batentzat, b talka parametroarenaurrean. Ibilbideak irudian azaldutakoak dira.

tentzen du esferaerdiaren barruan. Kanpotik doazen ibilbideen kasuan izkinako kitzika-

pena goikoa baino indartsuagoa suertatzen da. Honek ematen digu horrelako tarte txi-

kian Ouyang-ek esperimentalki aurkitutako kitzikapenen zabalkuntza handiaren arrazoia.

Nahiz eta kurbaren eiteagatik, 3.6 eV-tako kitzikapena bolumeneko galerekin zerikusia

daukala eman (kurba ia konstante da barruko ibilbideentzat eta oso azkar gainbeheratzen

da kanpoko ibilbideentzat), gailur horren ekarpenik nagusiena gainazaleko galeren bitartez

32 1. Kapitulua

egiten da. Bolumeneko terminoa W (r, r′, ω) pantailaturiko elkarrekintzaren Coulomb-en

termino zuzenaren bidez kalkulatu da eta barruko ibilbideentzako duen eragina, menpe-

kotasun funtzionala aldatu gabe, kurba pixka bat goruntz mugiaraztea da. Horregatik,

3.6 eV-tako galerek gainazaleko galera esferiko edota launekin lotura daukatela esan dai-

teke, 3.1 eV-takoek izkinako gainazaleko galerekin daukaten bitartean. Bi gainazaleko

kitzikapenak aldi berean existitzen dira, baina partikularen tamainua eta elektroi sorta-

ren posizioaren arabera bata edo bestea kitzikatzea errazago izango da. Ouyang-ek et al

ikustatu zutenez, laginen tamainua handitzen denean, errazago kitzika daitekeen modua

goiko modua (3.6 eV) da.

1.4.2 AlF3-ek sostengaturiko aluminiozko partikulak

Wang eta Cowley-ek [51] ere partikula esferaerdikoetan lortutako datuak aurkeztu

zituzten. AlF3-zko euskarri baten gaineko aluminiozko partikulen eitea aldatzean, energi

galeren 3 eV-tako aldaketa ikustatu zuten (8 eV-tatik 11 eV-taraino). (1.10) eta (1.11)

ekuazio multzoa, ε1 = 1, ε2 = εAlF3 , ε3 = εAl eta ε4 = εAl balioetarako (hau da, euskarri

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

5 6 7 8 9 10 11 12

P(ω )

ω (eV)

BAl

AlF 3

Al

AlF 3

A

BA

1.8. Irudia: (A) AlF3-an sostengaturiko a=10 nm-tako erradioa duen aluminiozkoesferaerdia baten P (ω) energi galeren probabilitatea eta (B) AlF3-an sartuta dagoenaluminiozko esfera baten galeren probabilitatea.

batean sartuta dagoen esfera baten kasurako), eta ε4 = εAlF3-rako (hau da, esferaerdiaren


kasurako) ebazten direnean, aldaketa hori galera probabilitatean garbi ikusta daiteke. 1.8.

irudian bi kasu hauen espektroak erakusten dira. Esperimentuetan bezala, 8 eV-tako gai-

lurra (B), 11 eV-tara (A) aldatzen dela ikus daiteke, eta halaber beste gailur bat 6 eV-tan

agertzen dela. Kasu errealistagoarekin konparatzeko aluminiozko gainazalaren gain oxi-

dozko geruza bat ipini beharo litzateke, baina beste lanetan adierazi bezala [5], normalean

honen eragina, kitzikapenak 1 edo 2 eV beheruntz jaistea da. Gure formalismoan geruza

hori 1. ingurunea Al2O3 izanaraziz modela daiteke. Hau egitean, 6 eV-tako kitzikapena

beheruntz doa, esperimentuetan ikusitako 4.5 eV-tako kitzikapena delarik [51]. Erabilita-

ko bereizmena dela eta, esperimentu hauekin lortutako adostasuna kualitatiboa da, baina

Wang eta Cowley-ek esan zutenez, gainazaleko kitzikapenak aztertzerakoan, tratamendu

geometriko egokiaren garrantzia garbi dago, gure bi adibideek baieztatu duten bezala.

1.4.3 Ondorioak

STEM-ko elektroi eta partikula txikien arteko elkarrekintzaren arazoari aurre egiteko,

beste hurbilketa teorikoetan laginak eite esferikoa edota esferoidalari esker aztertu dira

[36, 42]. Hurbilketa horiei jarraituz, elektroiek geometria horien moduak baino ezin zuten

kitzikatu. Ouyang-ek et al [60] tamainuaren efektu kuantikoak argudiatu zituzten 2-20

nm tarteko partikulen kitzikapenen aldaketa azaltzeko, baina, hemen azaldu bezala, hau

ez da beharrezkoa deskribapen geometriko egokia erabiltzen denean. Efektu kuantikoen

eragina 2 nm baino txikiagoak diren partikulak ikertzen direnean, kontutan hartu beharko

dira. Beste kasu guztietan, formalismo dielektrikoa erabiltzea nahikoa da.

Kapitulu honetan, formalismo dielektriko makroskopikoari esker, geometria esferaer-

dikoaren gainazaleko plasmoi kitzikapenak ikertu dira. Aurkitutako moduak m zenbaki

zimutalaren bidez adieraz daitezke. Modu hauek, dagokien karga-dentsitateari esker iker-

tu ditugu eta teoria honen aplikazio moduan, energi galeren espektroak ikertu ditugu

elektroien ibilbide desberdinentzako. Kalkulatutako espektroen gailurrak, esferari dagoz-

kion energietan baino energi baxuagoetan agertzen zirela aurkitu dugu. Elektroia esfe-

raerdiaren izkinatik gertu higitzen denean, Laplace-ren ekuaziotik ateratako modu bati

dagokion (m = 1) banaketa dipolarraren antzeko kitzikapena maiztasun baxuan aktibatu

egiten da. Beste soluzio batzuen artean, lagina handientzat eta ibilbide zehatz batzuk

erabiltzen direnean l akoploaren bidez berreskuratzen diren kitzikapen launa eta esfe-

rikoak ere azaltzen dituzte. Ahalik eta espektro errealistenak lortzeko asmoarekin, eta

konparaketa errazteko, ε(ω) experimentalak erabili dira lan guzti honetan zehar. Horre-

la, zilarrezko partikula esferaerdikoen tamainua eta kitzikapen energiaren arteko erlazioa

azaltzeko gai izan gara, deskribapen geometriko egokiagoa eta elektroi sortaren ibilbide

34 1. Kapitulua

desberdinak erabiliz. AlF3-zko euskarriak sostengaturiko aluminiozko partikulak ere iker-

tu dugu. Erantzun elektronikoaren deskribapen mikroskopikorik ez da beharrezkoa inongo

kasutan. 2 nm baino tamainu handiagoko partikula esferaerdikoen kasuan, geometriaren

menpekoak diren aspektu gehienak teoria dielektriko klasikoaren bidez oso era egokian

azal daitezke.

2. Kapitulua

Modu kolektiboen kitzikapena eite

arbitrarioko egituretan I. Simetria

translazionala duten objektuak

2.1 Sarrera

Elektroi klasiko higikorrak sortutako kitzikapen dielektrikoaren Fermiren teoria ez er-

latibista [11] egoera ez homogeneoei aurre egiteko asmoarekin zabaldu zen. Teoria hau,

gainazal launak [10, 24, 21], zilindroak [40, 41, 69], izkina parabolikoak [47], edota esferak

[36, 37] bezalako egoera ximpleagoak tratatzeko arrakastaz garatu zen. Kasu hauen emai-

tzak (Laplace-ren ekuazioaren ebazpenak nagusiki) analitikoki kalkula daitezke. Egoera

errealistetan geometria konplexuagoa surtatzen den neurrian, lan analitikoa eta konputa-

zionala batera erabiltzea behar beharrezkoa bihurtzen da, esferaerdiak [70] (ikusi lehen-

biziko kapitulua), esfera eta plano akoplatuak [66, 22], esfera akoplatuak [49, 71], edota

zilindro akoplatuak [50] bezalako geometriak ebazteko [70]. Azken kasu hauen emaitzak

gero eta analisi sofistikatuagoetan oinarrituta daude. Partikulen kopuruak edota geo-

metriaren beraren zailtasunak ebazpen analitikoak lortzen uzten ez dutenean, simulazio

numerikoen beharra garbi azaltzen da edozein geometriako balentziazko galerak kalkula-

tzeari ekiteko.

Hurbilketa numeriko honi aurre egiteko muga-kargaren metodoa edo muga-elementoaren

metodoaz ezagutzen dena, erabiliko da hurrengo bi kapituluetan. Metodo honen barruan,

modu autobateragarrian bere buruarekin eta kanpoko edozein eremurekin (gure kasuan

elektroi erasotzaileak sortutako eremuarekin), elkarrekiten duen gainazaleko karga esprez-

ki banatuko dugu gainazal guztietan [72]. Hurbilketa honen antzeko bat, Maxwell-ek [73]

35

36 2. Kapitutula. Simetria translazionala duten objektuak

iadanik erabili zuen 1891. urtean kapazitateak kalkulatzeko. Azken urteotan, kitzikapen

dielektrikoen modu normalen maiztasunak zehazteko asmoarekin, Fuchs-ek [74, 75] ku-

boaren kasuan eta Ouyang eta Isaacson-ek [76] edozein eiteko objektuen kasuan, metodo

hau ere erabili dute. Ouyang eta Isaacsonek [77] partikula txikien gain erasotzen duten

elektroien energi galeretan euskarriak duen eragina ikertzeko garatu zuten muga-karga

metodoa. Metodoaren beste aplikazioen artean, gainazal launetako ibilbide moztuen [78]

eta kable paralelo akoplatuen moduen kalkuluak [79] aipagarriak dira. Kapitulu honen

lehenbiziko zatian metodoaren deskribapena azalduko da. Gainazal guztiak modu egokian

diskretizatu egingo ditugu, gainazaleko karga-dentsitate banaketaren ekuazio integral au-

tobateragarria ebazteko asmoz. Gainazal zilindrikoen kasu zehatza aztertuko dugu (hau

da, norabide batean zehar aldaezinak baina bestetan zehar edozein eitekoak direnak),

kasu honek izkina, xafla moztua eta loturetako elektroien energi galerak ikertzeko eta

kalkulatzeko aukera emango digulako.

Zenbai egilek kubo, partikula errektangularrak eta izkinetako modu eta plasmoien

maiztasunen berri eman du [85, 81, 48, 86]. Hemen muga-kargaren metodoa STEM-

arekin zerikusi handia daukaten egoeratan aplikatuko da. Teknika honen egokitasuna eta

baliotasunaren adibide gisa, beraien konplexutasuna (izkinak, loturak, eta abar.) edota

inguruen kopurua dela eta (adibidez Si-SiO2-zko xaflak) lehenago ikertu izan ez diren

zenbait kasuren berri emango dugu. Xafla moztu baten modu eta galeren espektroaren

zenbait aspektu simulatuko dugu, izkinen eta gainazalen akoploan xaflaren lodieraren era-

gina ikertzeko asmoz. Aspektu geometriko hauek erakusten dituen sistema praktiko bat

MgO-zko kuboa da. Beste batzuen artean, Marks-ek [14], Cowley-ek [87], eta Milne-k

eta Echenique-k [31] STEM-ko egitura honetan elektroiek sortutako kitzikapenak iker-

tu zituzten. Elektroien ibilbide desberdinak erabiliz, bolumeneko eta gainazaleko galeren

bidez azaldu zituzten espektroen ezaugarri gehienak. Hemen azaldutako formalismoa era-

biliz, oso era egokian ikertu daitezke horren antzekoak diren egituren galerak, izkinatik

gertu pasatzen diren ibilbideen kasuetan ere. Muga eta lotura konplexuak ere, zenbait

inguruneren aurkigune diren puntu edo lerroak adibidez, aztergai dira formalismo ho-

nen barruan. Horrelako sistema konplexuetan, hautaturiko energi galeren irudiak ematen

dituzten energi galeren mapak simulatzea ere posiblea da. Izkinen akoploa eta zenbait

ingurune nahasten duen interes handiko beste sistema bat, Si eta SiO2-k osatutako xaflan

aurkitzen dugu. Arazo honi aurre egiteko, beste hurbilketa batzuek [15, 89] Si-SiO2-zko

lotura launa zela suposatzen zuten eta gainazaleko plasmoiaren indarra azaltzeko, bi ingu-

runeren artean nanometro bateko beste SiO-zko geruza bat zegoela azpimarratzen zuten.

Kalkulu horiek gailurraren posizioa zehazteko atzerapenaren eragina kontutan hartzen

Modu kolektiboen kitzikapena eite arbitrarioko egituretan I 37

zuten, baina ez zuten xaflaren lodiera duen eragina kontutan hartzen galera espektroe-

tan, hau da, xaflaren goiko eta beheko gainazalek sortzen dituzten izkinak eta beraiekin

batera agertzen den akoploaren eragina. Lan honetan guzti honi erantzun aproposa ema-

ten saiatuko gara. Hurrengo bi kapituluetako aipatzekoa den beste puntu garrantzitsu

bat, atzerapena arbuiatzen ari garela da. Interes handiko zenbait kasurako, Poisson-en

ekuazioa numerikoki ebatziko dugu hurbilketa ez erlatibista erabiliz. Sorta erasotzaileko

elektroien abiadura argiarenaren erdiaren mailakoa izanez gero (∝ 0.5 c), hurbilketa hau

zehatzagoa izango da atzerapena hain nabarmena ez den kasuetan: lagina txikientzat

eta gainazaletik gertu pasatzen diren ibilbideentzat. Muga hauek gaindituta atzerapena

sartu beharko litzateke emaitza kuantitatiboak lortzeko. Hemen trataturiko adibideetan

talka parametroa txikia izango da eta horregatik, atzerapenaren eragina arbuiagarritzat

har dezakegu. Cherenkov erradiazioa edota transizioko erradiazioa, beraz, ez dira kon-

tutan hartzen hurbilketa honetan. Hala ere, ikusiko dugunez, muga-kargaren metodo ez

erlatibista STEM-ko benetako egiturak ikertzeko tresna sendoa suertatzen da.

Hurrengo kapituluan, ardatz batekiko simetria duten gainazalak ikertuko dira, eta kasu

honen adibide gisa esfera akoplatuak eta esfera multzo periodikoak analitikoki ikasiko dira.

2.2 Oinarrizko teoria

2.2.1 Muga-kargaren metodoa

Erantzun lokalaren hurbilketaren barruan, dielektriko ezhomogeneoen kasuan φ(r, ω)

potentzial eskalarra eta ρext(r, ω) kanpoko karga banaketaren arteko erlazioa ematen duen

Poisson-en ekuazioa, horrela adieraz daiteke:

∇[ε(r, ω)∇φ(r, ω)] = −4πρext(r, ω), (2.1)

ε(r”, ω) erantzun dielektrikoa, r” espazio eta ω maiztasunaren funtzioan adierazten dela-

rik. (2.1) adierazpena horrela jar daiteke

φ(r, ω) = φ∞(r, ω) + φmuga(r, ω), (2.2)

non

φ∞(r, ω) =∫

dr”ρext(r”, ω)

ε(r”, ω)|r− r(2.3)

eta

φmuga(r, ω) =1

4π

∫dr′∇φ(r′, ω) · ∇ε(r′, ω)

ε(r′, ω)|r− r′| (2.4)


diren.

(2.2) adierazpenaren lehenbiziko terminoa, material homogeneo infinitoaren bolume-

neko potentzial pantailatua da. Bigarren terminoa erantzun funtzioaren ez homogeneota-

sunetik sortzen da. Gainazal zorrotzek banatutako dielektriko homogeneoen kasuan, ter-

mino hau gainazaleko integralaren bidez adieraz daiteke. Hemendik aurrera kasu hauek

ikertuko ditugu.

Dielektriko homogeneo desberdinak µ indizearen bidez bereiztuko ditugu. εµ(ω), µ

ingurunea ezaugarritzen duen funtzio dielektrikoa baldin bada, maiztasunaren menpeko

espazio osoko funtzio dielektrikoa horrela adieraziko dugu:

ε(r, ω) =∑µ

εµ(ω)θµ(r), (2.5)

r µ inguruneari dagokioenean, θµ(r) 1 delarik, θµ(r) = 1/2, r eta 0 beste kasu guztietan.

(2.4) adierazpeneko integrakizuna, gainazaletan da bakarrik zeroren desberdina, fun-

tzio dielektrikoak delta funtzioen bidez era egokian deskribatuta dagoen bapateko aldaketa

pairatzen duelako. Ondorioz, integrakizun hau, hurrengo erara idatz daiteke:

1

4π

∇φ · ∇ε

ε=

1

4πD · ∇1

ε= σδS, (2.6)

δS gainazalak definitzen dituen gainazaleko delta funtzioa, eta

σ = σ(s, ω) =1

4π

εµ1(ω)− εµ2(ω)

εµ1(ω)εµ2(ω)ns ·D(s, ω) (2.7)

muga-karga induzitua izanik. s gainazaleko puntuen posizio bektorea da eta ns gainazalea-

rekiko normala s posizioan. µ1 eta µ2 indizeek gainazaletik bi aldetara dauden materialak

azaltzen dituzte (ikusi 2.1. irudia).

Indize hauek s-ren menpe daude argi eta garbi. ns ·D gainazalarekiko desplazamendu

elektrikoaren osagai normalaren jarraitasun baldintzei esker, (2.6) adierazpeneko delta

funtzioa finkatuta geratzen da.

(2.4) eta (2.7) adierazpenak horrela batera daitezke:

φmuga(r, ω) =∫

dsσ(s, ω)

|r− s| . (2.8)

Gauss-en teoremari jarraituz, gainazaletik distantzia infinitesimalera dagoen µ2 in-

guruneko puntu batentzako eremu elektrikoa horrela adieraz daiteke −ns · ∇φ(s, ω) +

2πσ(s, ω). Beraz, desplazamendu normala horrela idatz daiteke:

ns ·D(s, ω) = εµ2(ω) [−ns · ∇φ(s, ω) + 2πσ(s, ω)].


Adierazpen hau, (2.7) ekuazioa, (2.3) eta (2.8) adierazpenak erabiliz, hurrengoa lor daiteke

Λ(ω)σ(s, ω) = ns · ∇φ∞(s, ω) +∫

ds′F (s, s′)σ(s′, ω), (2.9)

non

Λ(ω) = 2πεµ2(ω) + εµ1(ω)

εµ2(ω)− εµ1(ω)(2.10)

eta

F (s, s′) = −ns · (s− s′)|s− s′|3 . (2.11)

diren.

µ1

µn s

θ

x

y Rs

. z

2

2.1. Irudia: µ1 eta µ2 inguruneak bereizten dituen gainazalaren irudi eskematikoa.ns, s posizioan µ2-runtz abiatzen den gainazalarekiko bektore normala da [ikusi (2.7)adierazpena]. Gezi txikiak θ-ren handitze norantza erakusten du.

(2.9) adierazpena σ-rentzako erlazio autobateragarria suertatzen da. Lehengo trans-

formazioei esker, (2.1) adierazpeneko 3 dimentsiotako problema, (2.9) adierazpeneko 2 di-

mentsiotako problema bihurtu da beraz, numerikoki ebazteko beharrezkoak diren puntuen

kopurua ere murriztuta suertatzen da [79]. Atal honen helburua (2.9) ekuazio integrala

numerikoki ebaluatzeko egokiak diren adierazpenak hornitzea da.

2.2.2 Gainazaleko moduetan oinarritutako ebazpena

Sistemaren oszilazio autobateragarrien deskribapena horrela adieraz daiteke:

2πλiσi(s) =

∫ds′F (s, s′)σi(s′), (2.12)


i-k modu desberdinak adierazten dituelarik.

Orokorrean, F eragilea ez da simetrikoa. Hala ere, Ouyang eta Isaacson-ek, λi bere

autobaloreak errealak direla frogatu zuten [76]. σi autofuntzioak oinarri osoa osatzen dute

eta ondorengo ortogonalizazio propietatea betetzen dute

∫ds

∫ds′

σi(s) σj(s′)∗

|s− s′| = δij, (2.13)

normalizazio egokia hautatu delarik.

(2.9) ekuazioaren termino ezhomogeneoa oinarri honetan horrela gara daiteke

ns · ∇φ∞(s, ω) =∑

iµ

1

εµ(ω)fiµ(ω)σi(s), (2.14)

non

fiµ(ω) =∫

ds∫

ds′ ns · ∇φextµ (s, ω)

σi(s′)∗

|s− s′| (2.15)

eta

φextµ (s, ω) =

∫

Vµ

drρext(r, ω)

|s− r| (2.16)

µ ingurunean mugitzen den kanpoko kargak sortzen duen potentzial zuzena diren.

Bukatzeko, (2.9) adierazpenaren soluzioa, horrela idatz daiteke:

σ(s, ω) =∑

iµ

Ciµ

εµ(ω)σi(s). (2.17)

Ciµ koefizienteak eskuratzeko, ondorengo ekuazioa ebatzi behar da

∑

jl

Λlσijl Cjµ = fiµ + 2πλiCiµ, (2.18)

l-k gainazal desberdinak bereizten dituelarik. Λl, l gainazalak bereizten dituen bi ingu-

runeen menpe dago [ikusi (2.10) adierazpena], eta

σijl =

∫ds

∫

Sl

ds′σi(s)∗ σj(s′)|s− s′| , (2.19)

non s′-an zeharko integrala, l gainazalean bakarrik egiten den. (2.13) adierazpenari ja-

rraituz,∑

l σijl = δij lortzen da.

Bakarrik bi ingurune desberdinetako kasua aztertzen badugu, (µ = 1, 2), goian azal-

tzen diren adierazpenetan l indizea ken dezakegu. Orduan, (2.17) eta (2.18) ekuazioak

zuzenki ebatz daitezke eta gainazaleko karga-dentsitatea hauxe izango da:

σ(s, ω) =∑

iµ

fiµ

εµ(ω)(Λ(ω)− 2πλi)σi(s). (2.20)


Modu bateragarrien maiztasuna λi autobaloreekin erlazionaturik dagoela kontutan har-

tzekoa da. Lehengo adierazpeneko poloak aztertzean, erlazio hori, Λ aldagaiaren bidez

azaltzen zaigu:

Λ(ω)− 2πλi = 0. (2.21)

eta gainazal bakoitzeko bi ingurunetako funtzio dielektrikoen menpe dagoen i-moduaren

posizioa (ωi) ematen digu. Apell eta zenbait laguntzailek [80] erlazio honen laguntzaz,

moduen batuketa arauak azaldu dituzte bi kasu berezi ikasteko: alde batetik bi ingu-

runetako sistema baten moduek, inguruneen funtzio dielektrikoak elkar aldatzerakoan,

pairatzen duten aldaketa lortzeko eta beste alde batetik, sistema konposatu baten mo-

duak, osagaien menpean diren moduen bitartez azaltzeko. Bi funtzio dielektriko lokal

erabiltzen baditugu, εA, µ = 1-rentzat eta εB, µ = 2-rentzat, (2.10) eta (2.21) ekuazioek

zera ematen dute:

(1 + λi)εA + (1− λi)εB = 0. (2.22)

Printzipioz, gainazaleko karga-dentsitatearen soluzio zehatza lortzeko i-autobalore guz-

tien batura egin behar da, baina STEM-ko egoera praktikoetan, bakarrik energi galeren

espektroan eragin handia daukaten modu berezi batzuk kitzikatzen dira. Kapitulu ho-

nen helburuetako bat, izkinak eta zenbait inguruneren arteko loturak erakusten dituzten

sistema konplexuetan modu berezi hauek azaltzea eta ikertzea da.

2.2.3 Elektroiaren energi galeraren probabilitatea

Goian aipatutako guztia, kanpo perturbazioa edozein izanik aplika daiteke. Orain,

gure perturbazioa, r = r0 + vt lerro zuzen batean zehar v abiadura konstantez higitzen

den elektroi azkarra izango da, r0 partikularen posizioa t = 0 aldiunean delarik. Elek-

troiak pairatutako energi galeren erritmoa, bere gainean ekiten duen indar induzituaren

funtzioan adieraz daiteke:

dW

dt= v · ∇φind(r, t)|r=r0+vt

=dφind(r0 + vt, t)

dt− ∂

∂tφind(r, t)|r=r0+vt. (2.23)

Ekuazio honen eskuin aldeko lehenbiziko terminoak hemen kontsideratu behar ez du-

gun lan kontserbatiboa adierazten du. Elektroia lagina finito baten aurrean ibilbide in-

finitoan zehar mugitzerakoan, termino hau integratzean desagertu egiten da, eta gauza

bera gertatzen da hemen ikertuko diren simetria duten sistema guztiekin.


Bigarren terminoa berriz, laginan sortutako kitzikapen errealen berri ematen du, hau

da, lanaren alde disipatiboa, eta ondorioz, dW diss/dt bezela idatziko dugu. ω energi galera,

ekarpen desberdinetan bereiz daiteke hurrengo moduan:

∆W diss =∫

dt(dW diss

dt) =

∫ ∞

0ωdωP (ω), (2.24)

non

P (ω) =1

π

∫dt Im{−φind(r0 + vt, ω)e−iωt} (2.25)

ω energia unitateko galeren probabilitatea den. Hau era egokian bereiztuko dugu:

P = P∞ + Pmuga, (2.26)

P∞ bolumeneko galerei dagokielarik [(2.3) adierazpenaren alde induzituak sortuak] eta

Pmuga gainazaleko moduek sortutako galerei dagokielarik [(2.8) adierazpenean ordezka-

tzean lortua]. Goian aipatutako elektroien kasuan, karga-dentsitatea horrela adierazten

da

ρext(r, ω) = δ(r⊥ − r⊥0 )ei(r‖−r

‖0)ω/v

v, (2.27)

r⊥ eta r‖, v-rekiko r-ren osagai perpendikularra eta paraleloa adierazten dituztelarik.

Bolumeneko galerak hauexek dira:

P∞(ω) =2

πv

∑µ

Tµ

∫ 2v

ω/v

dq

qIm{−1

εµ

(ω)}, (2.28)

Tµ, elektroiak µ ingurunearen barruan igarotzen duen denbora, eta 2v ebakitze-balioa,

elektroiak laginari transferitu diezaiokeen momentu maximoa, integrazioaren goiko muga

direlarik. Sarrera nagusian ikusi bezala, bolumeneko galerak kalkulatzeko era errealista-

goa, q-rekiko funtzio dielektrikoaren menpekotasuna kontutan hartuz egin daiteke.

Bolumeneko galerak sistemaren geometriari buruzko informazio gutxi ematen du. Guk

orain gainazaleko galeren terminoa aztertuko dugu, hau baita modu akoplatuen egitura

aberatsa ematen duena. Bi inguruneen funtzioan geometriaren berri ematen duten mo-

du hauen maiztasunak eta bolumenekoak desberdinak dira. (2.8) adierazpena (2.25)-an

sartzen baldin badugu, ondorengoa aurki daiteke

Pmuga(ω) =−2

πv

∫dsK0[

ω|r⊥0 − s⊥|v

) × Im{σ(s, ω) ei(r‖0−s‖)ω/v}. (2.29)


Galeren probabilitatearen adierazpena errazagoa suertatzen da bi material bakarrik

kontutan hartzen direnean. (2.20) ekuazioa (2.29)-an sartuz zera aurkitzen da:

Pmuga(ω) =1

v2

∑

i

2∑

µ=1

Im{−[gi(ω)− 1

εµ(ω)]Piµ}, (2.30)

non

Piµ =pvfiµ(ω)

2π3(1 + pλi)×

∫ds σi(s) ei(r

‖0−s‖)ω/v K0[

ω|r⊥0 − s⊥|v

], (2.31)

gi(ω) =2

εA(ω)(1 + λi) + εB(ω)(1− λi), (2.32)

p = −1 (p=1), baldin eta µ = 1 ≡ A (µ = 2 ≡ B) diren, eta i indizeak (2.12) ekuaziotik

lortutako modu oszilakorrak bereizten ditu.

(2.30) ekuazioak, funtzio dielektrikoekiko duen menpekotasuna eta sistemaren geome-

tria bereizten ditu. Piµ koefizienteak, hain zuzen, ez daude funtzio dielektrikoen menpe.

Beraz, koefizienteak ezagunak baldin badira, oso erraz eskuratzen da galeren probabilita-

tea, funtzio dielektrikoen edozein bikote hautatzerakoan. Piµ-k ibilbidearen eta laginaren

geometria ezaugarritzen dituen d distantzien menpekotasuna erakusten du, ωd/v parame-

troaren bidez. Horregatik, kalkulu bakar bat erabilgarria izan daiteke eskala faktore bat

beste desberdintasunik erakusten ez duten sistemetan.

Elektroiaren ibilbide osoa µ0 ingurune bakar baten barruan gertatzen denean, (2.30)

adierazpenak oso itxura xinplea hartzen du, kasu honetan, Piµ0 ≡ Pi koefizienteak errealak

eta gainontzekoak Piµ zero direlako [76]. Era honetan, zera eskuratzen da:

Pmuga(ω) =1

v2

∑

i

Pi Im{−[gi(ω)− 1

εµ0(ω)]}, (2.33)

Pi funtzio dielektrikoen hautaketaren menpe ez dagoelarik eta ωr⊥0 /v parametroaren

bidez, r⊥0 elektroi sortaren posizioren eta gainazalaren geometriaren menpe dagoelarik.

(2.33) ekuazioan parentesi artean dagoen −1/εµ0(ω) terminoak galeraren probabilitatea

txikitzen du; honek begrenzung-en eraginaren kontu ematen du, hau da, (2.28) ekuazioak

ematen dituen bolumeneko moduen indarra murrizten da gainazaleko zenbait modu ki-

tzikatzen den bitartean.

Pi kalkulatzeko (2.31) adierazpena erabili beharrean, (2.9) eta (2.29) ekuazioetatik zu-

zenean eskuratuko dugu. ωi erresonantziari dagokion energi galeraren probabilitatea, ba-

karrik i moduaren ekarpenetik datorrela ziurtatzeko indargetze-konstante txikiko Drude-

ren funtzio dielektrikoa erabiliko da. Hori egin eta gero, eskuratutako probabilitatea gi(ω)

funtzioaz zatituz, Pi lortzen da.


Orain αi = 1+λi

2eta Ai = 2

πPi definitzen baldin baditugu, ω energiaren unitateko

P (ω) kitzikapen probabilitatearen adierazpen sinplea aurkitzen dugu bi osagairen sistema

batean:

P (ω) =2

πv2

∑

i

AiIm[−1

αiεA + (1− αi)εB

], (2.34)

αi-k i. moduaren posizioa λi autobalorearen funtzioan ematen duelarik. Azken hau, la-

ginaren eitearen menpe egongo da. Ai berriz, moduaren pisua emango digu kitzikapen

egoeraren arabera (talka parametroa eta laginaren tamainua). Printzipioz, moduen ba-

tuketan erabili behar den terminoen kopurua, parametrizazioan erabilitako puntuenaren

berdina izan beharko litzateke, baina praktikan, izkina edota ebakidura bezalako sistema

errealentzat, modu berezi batzuk besterik ez dira kontutan izan behar. Modu berezi hauei,

Ai koefizienteen balio handiak dagozkie, eta kitzikapenaren modu eraginkorrak suertatzen

dira. Normalean modu eraginkorren artean gainazaleko modu launa eta izkinaren lehenbi-

ziko modu simetriko eta antisimetrikoa aurkituko ditugu. Guzti honen ondorioz, moduen

batuketa sinplifikatu egiten da eta modu gutxi batzuetara murrizten da, hurrengo atale-

tan azalduko dugun moduan. Hemen azaldutako formalismoaren laguntzaz, simetriadun

interes handiko zenbait sistema aztertuko dugu modu eraginkor hauen bidez.

2.3 Simetria traslazionala duten gainazalak

Demagun z− norabidearekiko paralelo den eite arbitrarioko gainazal zilindriko bat pa-

rametrizazioko kurba honen bidez adierazten dela: Rs(θ) = (xs(θ), ys(θ)) [hots, s(θ, z) =

(xs, ys, z) eta ds = dzdθ√

x′2s + y′2s , primak θ parametroarekiko deribatua adierazten due-

larik]. ns = (y′s,−x′s, 0)/√

x′2s + y′2s gainazalarekiko bektore normala θ handitzen den

norantzaren eskuinaldera abiatzen da, 2.1. irudian erakusten den bezala.

z− norabidearekiko aldaezintasun traslazionalak norabide horren Fourier-en espazioan

lan egitea ahalbidetzen du,

σ(θ, z, ω) =∫ dq

2πσq(θ, ω)eiqz. (2.35)

Honek, (2.9) adierazpena q osagai bakoitzean banatuta ebaztea ahalbidetuko du. Honi

jarraituz, (2.3) ekuazioa horrela geratzen da

φ∞q (R, ω) = 2∫

dr”K1(|q||R− r)ρext

q (r”, ω)

ε(r”, ω), (2.36)

non ε(r”, ω), funtzio dielektrikoaren menpekotasun espaziala, z-ardatzarekiko perpendi-

kularrak diren norabideetara r” = (x”, y”) murrizten den.


q-ren osagai handiek, azkar oszilatzen duten σqeiqz autofuntzioei dagozkie, hau da,

gainazalaren kurbatura sentitu ezin dutenei, eta horregatik, beraien maiztasun balioak

gainazal launaren maiztasunaren inguruan pilatzen dira (λi = 0) [81].

(2.36) adierazpena erabiliz, (2.9) ekuazioaren termino ezhomogeneoa era honetan idatz

daiteke:

fq(θ, ω) = ns(θ) · ∇φ∞q (Rs(θ), ω) =∫ dr”

ε(r”, ω)Hq(r”, θ)ρ

extq (r”, ω), (2.37)

non

Hq(R, θ) = 2|q|K1[|q||R−Rs(θ)|]× ns(θ) · (R−Rs(θ))

|R−Rs(θ)| . (2.38)

den. Bukatzeko, (2.9) adierazpena horrela murriz daiteke

Λ(ω)σq(θ, ω) = fq(θ, ω) +∫

dθ′Fq(θ, θ′)σq(θ

′, ω), (2.39)

non

Fq(θ, θ′) =

√x′s(θ′)2 + y′s(θ′)2 Hq(Rs(θ

′), θ). (2.40)

den.

Orain, (2.39) adierazpena erabiliz, σ(θ, ω) numerikoki eskura daiteke. Honi jarraituz,

karga-dentsitatea oinarri ortogonal baten gainean (adibidez armoniko esferikoak esfera-

ren kasuan) proiekta daiteke, beharrezko zehaztasuna lortu arte [77], baina guk, hemen,

parametrizazio arbitrarioa erabiliz lan egingo dugu. Lu and Maradudin-i [78] jarraituz,

ekuazio integral hau θ parametro diskretizatuz ebaztuko dugu. Aldagai jarraia kontside-

ratu beharrean, θ-ren tartea azpitarteetan banatuko dugu, hau da, i = 1 −N zenbakien

funtzioan adieraziko ditugun N azpitarteen multzo finitoa hartuko dugu. i tartearen lu-

zera ∆θi bezala adieraziko da eta θi, tartearen barrukaldeko θ-ren ordezkaria izango da.

Horrela, (2.39) ekuazioaren integrala batura baten bidez hurbil daiteke

Λ(ω)[σq]i = [fq]i +∑

j

[Fq]i,j[σq]j, (2.41)

[σq]i = σq(θi, ω), [Fq]i,j = Fq(θi, θj)∆θj direlarik. σ eta f , ω maiztasunaren menpe dira.

Matrize-adierazpenaren laguntzaz, (2.39) ekuazioaren soluzioa horrela jar daiteke:

σ(θi, z, ω) =∫ dq

2πeiqz

∑

j

[1

Λ(ω)− Fq

]|i,j[fq]j, (2.42)

[1/(Λ−Fq)]|i,j, Λ−Fq-ren alderantzizko matrizearen (i, j) elementua delarik. Λ(ω) matrize

diagonala da eta s puntu bakoitzean, gainazalak banatzen dituen ingurune desberdinen

menpe dago [(2.10) adierazpena].


Diskretizazioaren prozesua legezkoa da σq, fg, eta Fq tarte bakoitzean oso gutxi alda-

tzen direlako. Elektroi azkarren galeraren probabilitatearen ekarpenik nagusiena, (2.12)

adierazpenetik lortutako maila baxuko moduetatik dator. Hauek ez dute gainazalean

zehar oszilazio azkarrik erakusten, beraz, σq θ-ren funtzio leunatzat har daiteke. Gainera,

fq-k elektroi sortaren inguruan aldaketa azkarrak erakus ditzake, azken hau gainazal bate-

tik gertu pasatzen denean. Kasu horretan, tarteen tamainuak ingurune horretan txikiagoa

izan behar du. Bukatzeko, Fq(θ, θ′) finitoa da, θ′ → θ-ra doanean, eta parametrizazioare-

kiko bigarren deribatuen funtzioan esprezki idatz daiteke:

limθ′→θ

Fq(θ, θ′) =

y′sx′′s − x′sy

′′s

x′2s + y′2s, (2.43)

gainazalak izkina zorrotzak ez dituenean; bestela, Fq-k (2.39) adierazpenaren diskreti-

zazioan integratzaile ireki batekin eskura daitekeen dibergentzia integragarria erakusten

du.

∆θi-rentzat tarte egokigarria aukeratzea oso inportantea da, bukaerako azpitarteen N

kopurua balio minimora murrizteko. Gainazal hurbilak erakusten dituzten egiturek edota

kurbatura-erradio txikia duten gainazalek θi puntu gehiago behar dituzte konbergentzia

lortzeko. Izkina batean, adibidez, oso garrantzitsua da punta zorrotzan tarte txiki pilo bat

hartzea eta alderantziz, ez da beharrezkoa hainbeste puntu pilatzea gainontzeko aldeetan.

Efektu honen eragina kuantizatu egin da, eta oso konbergentzia handia lortu da, tarte

bakoitzaren luzera, gainazaletan zehar banatutako karga-dentsitate uniformeak sortuko

lukeen eremu elektrikoaren osagai normalarekiko alderantziz proportzionala izatea impo-

satuz, (hau da, ∆θi, θ′-n zeharko batezbesteko Fq(θi, θ′)-rekiko alderantziz proportzionala

hartzen da). Gainazal laun isolatuaren kasuan, (2.9) ekuazioaren eskuineko aldeko biga-

rren terminoa desagertzen da. [ikusi (2.43) ekuazioa] eta muga-kargaren metodoak ondo

ezagutzen diren emaitzak berreskuratzen ditu [24]. Geruza meheetan, bi gainazal akopla-

tuta daudenean, lehenago aurkitutako emaitzekin erabateko akordioa lortu da [82]. Orain

beste geometria konplexuagoen azterketa buru dezakegu.

2.3.1 Gainazalarekiko paralelo higitzen diren elektroien energi

galerak

Demagun karga-unitatea gainazal zilindrikotik gertu simetria erakusten duen nora-

bidean zehar v abiaduraz higitzen dela, 2 dimentsiotako talka parametroa R0 = (x0, y0)

delarik. Bere karga-dentsitatea zera izango da

ρextq (R, ω) = 2πδ(R−R0)δ(ω − qv)e−iωz0/v. (2.44)


Honi jarraituz, energi galeretan bakarrik momentuaren osagai baten ekarpena izango da,

hots q = ω/v. Gainera, P galeren probabilitate osoa infinitoa da eta horregatik, aldiuneko

galeren probabilitateaz arduratuko gara (hau da, galeraren erritmoaz Γ). ρextq (R, ω) (2.37)

adierazpenean sartzen baldin badugu, (2.29) eta (2.42) adierazpenak erabiliz eta denboraz

zatituz, zera aurkitzen da:

Γmuga(ω) =2

πv

∑

i,j

∆θi

√x′s(θi)2 + y′s(θi)2 K0[

ω|R0 −Rs(θi)|v

]

× Im{ −1

εµ0(ω)[

1

Λ(ω)− Fω/v

]|i,jHω/v(R0, θj)}, (2.45)

partikula µ0 ingurunean higitzen delarik.

Metodoaren lehenbiziko aplikazio gisa, demagun xsys = p2/2 formularen bidez adie-

razten den izkina hiperbolikoa daukagula, xs, ys < 0, p izkinaren punta eta jatorriaren

arteko distantzia izanik eta asintotak x eta y ardatzak direlarik. Izkina, hutsez inguraturik

dagoela eta barruko materiala, (0.1) adierazpeneko Drude-ren funtzio dielektrikoaren bi-

dez ezaugarritzen dugun metalaz egina dagoela emango dugu, ωp plasmoiaren maiztasuna

delarik. Elektroi sorta simetriadun norabidearekiko paralelo higitzen denean, (2.45) adie-

razpenak, sortzen diren gainazaleko kitzikapenei dagokien galeren erritmoa ematen digu.

2.2. (a) eta (b) irudietan 100 keV-tako elektroien kasuaren zenbait espektro zehatz era-

kusten da. ωp = 15.8 eV plasmoiaren maiztasuna eta γ = 0.5 eV indargetze-konstantea,

aluminioa ondo deskribatzen duten balioak dira. 2.2. (a) eta (b) irudiek galeren espek-

troaren eboluzioa erakusten dute x ardatzarekiko, paralelo higitzen den elektroi sortaren

posizioa ekortzean (ikusi irudietako eskemak). Bi kasuetan pω/v = 0.01 hartzen da. Iz-

kinaren puntaren ondoan agertzen den gailurraren intentsitatea murrizten da elektroia

pareta baten ondoan mugitzen denean, kasu honetan kitzikapenik nagusiena gainazal lau-

nari dagokion ωs = ωp/√

2 gainazaleko plasmoi klasikoa baita. Materialaren barruan

[2.2.(b) irudia], begrenzung-aren eraginez, Γmuga gainazalaren ekarpenak balio negatiboa

dauka ωp inguruan. Bolumeneko galerak gainazaleko espektroari batutzen zaizkioenean,

galeren probabilitate osoa positiboa da, noski. Elektroi sorta gainazaletik gertu pasatzen

denean, ω ≈ 0.83ωp balioan gailur txiki baten agerpena aintzakotzat hartu behar da.

Gailur hau lehebiziko modu bakoititik dator.

Ibilbide paraleloetan q momentu transferentzia finkoa da: q = ω/v. Honek elektroia-

ren abiaduraren arabera moduak hautatzea ahalbidetuko luke. 2.2.3 atalean azaldutako

eskala-propietateak kontsideratuz, ωp/v konstante mantentzen bada, emaitza berberak

lortuko genituzke v eta p parametroen edozein konbinaketa izanik.

Goian aipatu bezala, gainazaleko modu bakoitzaren ekarpena galeren probabilitate


aa

A

B

A

B

B

A

Probabilitatea (u.a.)

ω/ωp

0.4 0.6 0.8 0.6 0.8 1.0 1.2-0.1

0.2

0.1

0.0

0.0

0.1

0.2

0.3

(a) (b)B

A

2.2. Irudia: Γ(ω) galeren erritmoa 100 keV-tako elektroi sortaren posizioaren funtzioan,Drude-ren metalezko izkinaren kasuan. Azaldutako kasu guztietan, talka parametroarekinkonparatuz oso zorrotzak diren izkinak kontsideratu dira (p = 0.01u.a. << b, p izkinarenpunta eta jatorriaren arteko distantzia delarik). Irudietan ikus daitekeen moduan, posiziodesberdinen arteko distantzia konstante mantenduz, espektroak izkinaren asintota batenzehar higitzen den elektroiaren posizio desberdinei dagozkie. Posizio hauek A lerrotik Blerrora doaz, hauen koordenatuak (50,-200) eta (50,50) (a) kasuan eta (-20,-200) eta (-20,50) (b) kasuan direlarik (unitate atomikotan). Elektroia hutsean zehar higitzen da (a)

kasuan guztietan eta izkinaren barrutik (b) kasuan.

osoan, eskala-propietatearekin batera erabil daiteke, edozein funtzio dielektrikoen hauta-

ketarentzat galeraren probabilitatea kalkulatzeko Hori egiteko, (2.33) adierazpena erabil

daiteke. Energi galeren probabilitate osoak dibergitu egiten du ikertzen ari diren geo-

metrietan, eta horregatik, (2.33) adierazpena erabili beharrean, energi galeraren erritmoa

kalkulatzen da:

Γmuga(ω) =1

v

∑

i

Γi Im{−[gi(ω)− 1

εµ0(ω)]}. (2.46)

2.5. eta 2.6. irudiek, Γi parametroen adibide batzuk eskaintzen dituzte, (2.12) adie-

razpenetik lortutako zenbait laginen modu desberdinak erakutsiz. Hauek, γ indargetze-


konstantea txikia denean, hautaturiko energi galeren iruditzat uler ditzakegu eta hurrengo

atalean era egokian aztertuko ditugu.

2.3.2 Gainazalarekiko perpendikular higitzen diren elektroien

energi galerak

Hurrengoan, higidura perpendikularraren kasua aztertuko dugu. Demagun x ardatzean

zehar, z = 0 eta y = b definitzen duten norabidea mantenduz, v abiaduraz higitzen den

elektroi bat. Elektroi honi dagokion kanpo karga-dentsitatea zera da:

ρextq (R, ω) =

1

veiωx/vδ(y − b). (2.47)

Arazoa errazteko asmoz, partikula denbora osoan zehar inolako gainazalik zeharkatu gabe,

µ0 ingurunean barru higitzen dela kontsideratuko dugu. Kasu honetan, (2.37) adierazpena

horrela murrizten da:

f⊥q (θ, ω) =2π

vQ

eiωxs/v

εµ0(ω)

e−Q|b−ys|√

x′s(θ)2 + y′s(θ)2[iω

vy′s −Qx′ssign(b− ys)], (2.48)

Q =√

q2 + w2/v2 delarik.

Lan kontserbatiboa ematen duen (2.23) ekuazioaren eskuineko aldeko lehenbiziko ter-

minoa, desagertzen da ibilbide osoan zehar integratzerakoan. Orduan, ω unitateko galeren

probabilitate osoa hauxe izango da:

P (ω) =1

π

∫dt Im{−φind(vt, b, 0, ω)e−iωt}. (2.49)

Bukatzeko, (2.29), (2.42), eta (2.48) adierazpenak erabiliz, ondorengoa eskura daiteke:

Pmuga(ω) =2

πv

∫ ∞

0

dq

Q

∑

i,j

∆θi

√x′s(θi)2 + y′s(θi)2 (2.50)

× e−Q|b−ys(θi)| Im{e−iωxs(θi)/v[−1

Λ(ω)− Fq

]|i,j[f⊥q ]j}.

2.3. irudiak izkinarekiko perpendikularrak diren ibilbideen azterketa erakusten du,

eskeman agertzen den bezala. Espektro hauek (2.50) adierazpena erabiliz lortu dira. Be-

rriro, izkinaren gailurra da espektroan nagusi. Gailur txikiagoak ikusgai dira ω ≈ 0.56ωp,

0.61ωp, eta 0.65ωp inguruan. Hauen posizioak ados daude (2.12) ekuaziotik izkinarentzat

ateratakoekin. Emaitza hauek ezin dira ibilbide paraleloen kasuan bezala, q balio bakar

batekin lotu, elektroiak ez baitu bere momentua mantentzen higiduraren norabidean zehar


0

0.1

0.2

0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8

6 7 8 9 10 11 12

P(w)

w/wp

w(eV)

e - sorta

b

(u.a.)

2.3. Irudia: 100 keV-tako elektroien galeren probabilitatea, izkina hiperboliko ba-tekiko perpendikular pasatzerakoan, eskeman erakusten den moduan. Izkinaren jato-rriarekiko b talka parametro desberdinak erabili dira, 10 u.a.-190 u.a. tartean 20-nakau.a. (izkinatik distantziarik luzeenari probabilitaterik txikiena dagokio). Izkinarenpuntatik jatorriarainoko distantzia p = 0.01 u.a. hartu da. Materiala Drude-renfuntzio dielektrikoaren bidez deskribatzen da, ωp = 15.8 eV plasmoi-maiztasuna etaγ = 0.5 eV indargetze-konstantea direlarik.

[ikusi (2.50) ekuazioaren q-an zeharko integrala]. Hala ere, q-ren ekarpenik nagusienak,

ω/v-k emandakoa izaten jarraitzen du (konparatu izkina galeraren gailurraren posizioa

2.2. irudiaren kasu paraleloarekin, bietan p = 0.01 u.a. delarik).

2.4 Izkina isolatua

Egoera praktiko askotan, elektroien energi galeren ikerketa garatzerakoan izkinen era-

gina nagusi da . Hemen eragin honen ezaugarriak eta ondorioak kuantitatiboki aztertuko

ditugu.


2.4.1 Drude-ren izkina metalikoa

Kasu honetarako lortutako erresonantzien balioak, lan honen osoan zehar adiera-

zi bezala, eitearekiko menpekotasun handia erakusten dute. Izkina isolatuaren kasuan,

erresonantziak finkatzen dituen parametroa, p izkinaren punta eta izkinaren jatorriaren

arteko distantzia da. 2.4. irudian elektroien energi galeren espektroak erakusten dira,

p parametroaren balio desberdinentzako. Kasu guztietan ibilbibidea paraleloa da eta b

talka parametroa konstante mantentzen da. Izkina oso zorrotza baldin bada (p < 1u.a.),

izkinaren modua ω ∼ 0.5ωp balioan agertzen da, eta gailurra goruntz abiatzen da, p

handitzen den neurrian (ikusi irudia). 2.4. irudiaren arabera, p < 1u.a. kasuan eskura-

aa

0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70

Probabilitatea (u.a.)

ω/ωp

sorta

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

2.4. Irudia: 100 keV-tako elektroien energi galeren erritmoa izkina hiperboliko batenondoan paralelo higitzen direnean, p izkinaren punta eta jatorriaren arteko distantzia delarik.Izkinaren asintotak 90◦-tako angelua osatzen dute. Elektroi sorta izkinaren erdikarian etahutsean ezarrita dago, talka parametroa b 30 u.a. delarik, irudian ikusten den bezala. p-renbalioak 0.001, 0.01, 0.1, 1, 10, 30, eta 50 u.a. dira (kurba bakoitza 0.005 u.a. goruntzmugitu da aurrekoarekiko garbiago erakusteko). Izkina Drude-ren funtzio dielektrikoarenbidez deskribatu da, ωp = 15.8 eV plasmoi-maiztasuna eta γ = 0.5 eV indargetze-konstanteadirelarik.

tutako emaitzak, izkina zorrotzak deskribatzeko aplikagarriak dira, p-ren balio horretatik

aurrera, p-ren menpekotasunik ez baita ikusten.


2.5. Irudia: Izkina baten ondoan higitzen den elektroiaren energi galeren erritmo osoan lehenbiziko bimodu simetriko [(a) eta (c)] eta lehenbiziko bi modu antisimetrikoek duten ekarpena [(b) eta (d)], Γi era-kusten da sestra lerroen grafiken bidez, xω/v eta yω/v-ren menpe daudelarik. Modu hauek λi = −0.371,0.190, -0.101, eta 0.053 balioei dagozkie (a)-(d). Ingurune distiratsuen sestra-lerroak, Γi = 1.13, 0.27,0.17, eta 0.27 balioei dagozkie modu bakoitzarentzat. Γi-ren balioa txikiagoa den neurrian, inguruneailunagoa agertzen da. Bi sestra-lerro jarraien arteko distantzia 2/3 faktoreari dagokio. Izkinaren ma-teriala x, y < 0 ingurune barruan mugatzen da, eta bere asintotak x eta y ardatzekin elkartzen dira.Izkinaren punta eta jatorriaren arteko distantzia pω/v = 0.1 da. Sestra-lerroen grafika bakoitzak, bereondoan moduari dagokion σi

q karga-dentsitatearen eskema dauka, q = ω/v delarik.


2.6. Irudia: 2.5. irudian bezala, pω/v = 0.001 izanik. Oraingo honetan λi-ren balioak -0.451, 0.409,-0.324, eta 0.257 dira, eta Γi-ren ingurune distiratsuak mugatzen dituztenen balioak 1.33, 0.12, 0.36, eta0.12.


(2.31) adierazpenaren arabera, lehenbiziko modu simetriko eta antisimetrikoen ekar-

pena galeren espektroan bai izkina meheetan bai izkina zorrotzetan eskura daitezke (p

balio handia eta txikia). 2.5. eta 2.6. irudietako sestra lerroen grafikak 2.4. irudian azal-

dutako geometria berberari dagozkio, eta pω/v = 0.1 eta pω/v = 0.001 izkinen puntak

deskribatzen dituzte. Galeren erritmoaren modu desberdinen ekarpena, Γi, lehenbiziko bi

modu simetrikoak erakutsiz azaltzen da (a) eta (c) irudietan (n = 0 eta 2), eta lehenbiziko

bi antisimetrikoak (b) eta (d) irudietan (n = 1 eta 3). Grafika bakoitzaren aldamenean

dagoen irudian, gainazalean zehar moduei dagokien σiq karga-dentsitatearen autofuntzioa

erakusten da. σiq-ren zeinu aldaketa n-z adierazten da. Kontutan hartu, n = 0 moduak

(lehenbiziko simetrikoak hain zuzen) izkinaren puntaren ondoan eragiten duela, eta goian

aztertutako espektroekin bat datorrela.

2.5. irudian aztertutako izkinaren kurbatura mehea garbi ikusten da σiq-an eta sestra

lerroen grafiketan. Konturatu, adibidez, nola 2.5.(c) irudiaren ingurune distiratsuak izki-

nan bertan jatorritik kanpo agertzen diren. 2.5.(b) irudian bestalde, ingurune distiratsuek

ez dute ez izkina ez jatorria bereizten.

2.6. irudian erabilitako p balio txikiarentzat, lehenbiziko moduen gainazaleko karga

izkinaren jatorrian pilatzen da (kasu honetako σiq-ren banaketa, 2.5. irudikoarekin konpara

daiteke) eta izkinaren gailurraren sestra lerroen irudia ia zirkularra da. [2.6.(a) irudia].

Sestra lerroen irudiko ingurune distiratsuak eta σiq-ren gailurren arteko harreman es-

paziala modu bakoitzarentzat garbi ikusten da, 2.6.(c) eta (d) irudietan izan ezik, non

izkinaren ondoan dauden gailurrek hestuegiak diren dagozkien moduak eraginkor kitzika-

tzeko.

Hemendik aurrera, kasu guztietan, b sortaren distantziarekin konparatuz oso zorro-

tzak diren izkinak kontsideratuko ditugu, hau da p << b. Horregatik erpinaren eiteak

ez du moduen maiztasunaren posizioan aldaketa gehigarririk ezartzen. Azken hau beraz,

bi pareta zuzenen loturatzat har daiteke. Lehengo atalean aipatu bezala, galeren es-

pektro osoa deskribatzerakoan, zenbait moduren ekarpenak kontutan hartuko dira. 2.34

adierazpenaren arabera, izkina zorrotzaren kasuan, gainazaleko moduen banaketa, αi-ren

ondorengo balioen bidez adieraz daiteke: αi = 0.30 (simetrikoa), 0.70 (antisimetrikoa),

0.34 (simetrikoa), 0.63 (antisimetrikoa),... 0.5 inguruan (gainazaleko plasmoi launa) ba-

lioen pilaketa agertzen da, lehengo atalean erakutsi den bezala. Modu guztiak izkinaren

geometriari dagozkion arren, elektroiak horrelako egitura baten kontra jotzen duenean

modu horietako batzuk bakarrik kitzikatuko dira nabarmenki. 2.7. irudiak 100 keV-tako

elektroien galeren espektroa erakusten du, elektroia aluminiozko 90o-tako izkina baku-

naren ondoan pasatzen denean, talka parametroa b=-1nm delarik (talka parametroaren


zeinu negatiboak barrutik pasatzen dela adierazten du). Materiala, Drude-ren funtzio

dielektrikoaren bidez ezaugarrituko dugu ε = 1 − ω2p/[ω(ω + iη)], plasmoi-maiztasuna

ωp=15.8 eV eta indargetze-konstantea η=0.5 eV direlarik. Horrelako kasu batean, 15.8

-0.01

0

0.01

0.02

8 10 12 14 16

GainazalaBolumenaTotala

P(ω

) en

erg

i g

aler

en p

rob

abil

itat

ea (

u.a

.)

ω(eV)

e-

Talka parametroa b=-1nm

2.7. Irudia: 100 keV-tako elektroien energi galeren probabilitatea, aluminiozkoizkina baten kontra jotzerakoan. Talka parametroaren balioa 1nm da materialarenbarrutik neurtuta. Galerekiko bolumeneko eta gainazaleko ekarpenak banatuta mar-gotu dira.

eV-tako bolumeneko ekarpen nagusiarekin batera, beste ekarpen aipagarria 8.3 eV-tan

nabarmen agertzen da, α = 0.30 balioarentzat. Hau lehenbiziko gainazaleko modu si-

metrikoari dagokion izkinaren gailurra da. Izkinaren paretak sortutako modu launaren

ekarpena ere (ωp/√

2), espektroan agertzen da 11.2 eV-tan. Elektroi sortak izkina irudian

bezala zeharkatzen duenean, b talka parametroa delarik, materialaren barrutik zeharka-

tutako ibilbidea L = 2|b| da, eta q osagai desberdinen zehar integratu eta gero, energi

galeren funtzio berezia horrela adieraz daiteke:

P (ω) =2

πv2L{AoIm[

−1

εA

] + A1Im[−1

0.5εA + 0.5εB

] +

+A2Im[−1

0.3εA + 0.7εB

]}, (2.51)

Ai = Ai(b, ω) − k, (i = 0, 1, 2) b talka parametroaren menpekoak direlarik eta galeraren


probabilitatean, hiru kitzikapen nagusien indarra ematen dutelarik. Barruko ibilbidearen

kasuan, kontutan hartzeko lehenbiziko modua αo = 1 balioari dagokion bolumeneko mo-

dua da. Bigarrena, formalismotik zuzenean ateratzen den α1 = 0.5-ren bidez ezaugarritu-

tako gainazal launaren modua da. Bukatzeko, izkinaren aldameneko karga-dentsitatearen

oszilazioekin konektatuta dagoen modurik nagusiena, α2 = 0.30 erlazioaren bidez deskri-

batuta dagoena da. Goian aipatu bezala, badaude modu gehiago (simetriko eta antisi-

metrikoak, izkinaren inguruan oszilatzen direnak), baina egoera gehienetan, lehenbiziko

modu simetrikoak galeren espektro osoa menperatzen du eta aski izango dugu modu

hau kontsideratzea izkinak sortutako kitzikapenen espektroa era egokian deskribatzeko.

Gainazal moduak deskribatzen dituzten αi balioak ez dira hasiera batean pentsa zite-

keen bezain arbitrarioak. Espektro osoan zehar modu sakabanaketa handia izan arren

(0 < αi < 1), aintzakotzat hartzekoa da, gainazaleko modurik nagusienaren posizioak

(modu launa izan ezik), materialak betetzen duen espazioko zatiarekin zerikusia daukala

(∼1/4, 90o-tako izkina batean). Aurrerago berriro aipatuko dugu puntu hau.

Ai modu bakoitzaren pisua, bakarrik b talka parametroaren menpe dago. Koefizienteek

ez diote talka parametroarekiko inolako menpekotasun analitiko ezagunari jarraitzen. 2.7.

irudiaren kasu zehatzaren menpekotasun funtzionala kalkulatzean, koefizienteak horrela

hurbil daitezke:

Ao = ln(kcv/ω)− 200nm

L[1− e(−2|b|ω/v)],

A1 =300nm

L[1− e(−2|b|ω/v)], and

A2 = 650[e(−10|b|ω/v)], (2.52)

%10-ren zehaztasunez. 2.7. irudian erakutsitako ibilbide perpendikularraren kasuan, iz-

kinaren moduaren (α2 = 0.30 ⇒ ω ∼ 0.53ωp) intentsitatea oso azkar jaisten da (∼e(−10|b|ω/v)), eta gainazal launaren moduaren intentsitatea balio finko batera mantsoago

handitzen da (∼ e(−2|b|ω/v)), |b| izkinarako distantzia handitzen denean. Bolumeneko mo-

duaren intentsitatea ere handitzen hasten da, elektroi sorta izkinatik aldentzen denean.

Hau logikoa da, kasu honetan materialaren barruko ibilbidea luzeagoa baita. Barruko

ibilbideen gainazaleko beste ekarpen bat, bolumeneko moduaren balioan aurkitzen dugu.

Ekarpen honek, gainazal launaren menpekotasun berbera erakusten du baina zeinuz al-

datuta (begrenzung efektua: modu berrien kitzikapenek bolumeneko gailurraren jaitsiera

sortzen dute).


2.4.2 MgO-zko kuboa

Izkinaren eragina MgO-zko kuboan aztertzeko, eta praktikan burutu diren esperimen-

tuekin konparatzeko asmoz, elektroi sorta MgO-zko zilindro karratu infinito batetan zehar

paralelo higitzen den kasuan ibilbide unitateko energi galeraren probabilitatea simulatu

dugu. Gure helburu nagusia izkina isolatuaren eragina ikertzea izango da, normalean az-

tertzen diren laginak nahiko handiak direlako eta pareta eta izkinen arteko akoploa arbui-

garritzat har dezakegulako. Izkinen arteko akoploa hurrengo atalean sakonago aztertuko

da. Simulazioetan erabilitako funtzio dielektrikoa, energi galeren datuak dekonboluziona-

0

2 10-5

4 10-5

6 10-5

8 10-5

0.0001

5 10 15 20 25 30

SimulazioaEsperimentua

0

50

100

150

200

250

300

G( w

) L

uzer

a un

itat

eko

prob

abil

itat

e si

mul

atua

(u.

a.)

Energi galera (eV)

Intentsitate esperimentala

a

b

2.8. Irudia: MgO-zko kubo baten ondoan irudian azaltzen den moduan higitzenden elektroiaren ibilbide unitateko energi galeren probabilitatea. Talka parametroarenbalioa 2nm da. Lerro zuzenak zilindro karratuaren simulazioei dagozkie, eta lerroetenak behaketa esperimentalei.

tu eta gero, materialaren bolumeneko galeraren funtzioari esker lortu da. (2.8.) irudian bi

ibilbide desberdinen energi galeren espektroak simulatu ditugu elektroia 100nm-tako kubo

baten kanpotik higitzen denean, eta baldintza berberetan esperimentalki eskuratutakoe-

kin konparaketa egin dugu, [88]. (a) ibilbidean, elektroi sorta kuboaren aurpegi baten

erdian zehar higitzen da eta energi galeren espektroak gainazaleko plano erdiinfinitoarena

ematen du. Hiru gailur kitzikatzen ditu 11 eV, 14 eV eta 20 eV-tan. Simulazioak bat


datoz behaketa experimentalekin, nahiz eta azken hau, zero galerari dagokion saturazioko

gailurraren ondorioz, normalizatua izan. Bestalde, (b) ibilbidean, sorta erasotzailea ku-

boaren erpinaren ondotik pasatzen denean, galeren intentsitateak pixka bat jaisten dira.

Gailurrak ez dira kasu launekoak bezain nabarmenak, eta 20 eV-tako gailurra ia desagertu

egiten da simulazioetan, esperimentuetan oraindik ikusgai den arren. Efektu hau sorta-

ren posizio zehatzaren menpekoa da eta talka parametroa nm pare bat erpinatik kanpo

aldentzen baldin badugu, berehala berreskuratzen dugu gailur hori. Simulazioen arabe-

ra, izkinaren eraginik nagusienetakoen artean, izkinaren ondoko ibilbideentzako energi

baxuko gailurrak indartzea eta 20eV-takoa ia desagertaraztea direla ondoriozta dezakegu.

MgO-zko kuboen galeren espektroen esperimentuak eta simulazioak, izkinarekiko per-

pendikularrak diren ibilbideen kasuan ere konpara daitezke. Egoera esperimentaletan

sortaren posizioa erabat zehatza ez denez, bolumeneko ekarpenen bat 22 eV-tan egon

daiteke, sorta materialaren barrutik pasatzen baldin bada. (2.9.) irudian STEM-an ikus-

taturiko energi galeren espektroa eta ibilbide berberarentzat simulatutako P (ω) energi

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

5 10 15 20 25

ZuzenketaBolumenaTotalaEsperimentua

P(w

) E

nerg

i ga

lere

n pr

obab

ilit

atea

(eV

)

-1

Energi galera (eV)

e-

2.9. Irudia: MgO-zko kubo baten zehar irudian azaltzen den moduan higitzen den100 keV-tako elektroiaren P (ω) energi galeren probabilitatea. Talka parametroarenbalioa 2nm da materialaren barrutik neurtuta. Kurba esperimentalarekin batera,galerekiko bolumeneko eta gainazaleko ekarpenen simulazioak banatuta margotu dira(puntuzko lerroa eta lerro etena).


galeren probabilitate osoa erakusten ditugu, 0.7 faktorearen adostasuna azaltzen duelarik.

Simulazioak ez ditu bandaren gap-ean ikusten diren kitzikapenak berreskuratzen. Hauek,

sareko akats edota efektu erlatibisten eraginez agertzen dira, eta horregatik, ez dira gu-

re fomalismoan agertzen. Kasu honetan, sorta erasotzailea izkinatik nm batera barrutik

higitzen da, eta 22 eV-tako bolumeneko galeraren ekarpena, paretak eta izkinak sortu-

tako beste kitzikapenekin batera agertzen da. Simulazioetan bolumeneko ekarpen osoa

(ingurune infinitoari dagokiona) eta gainazalak eragindako zuzenketa bereizten ditugu.

Drude-ren izkinaren kasuan egin zen bezala, hemen ere posiblea da (2.51) adierazpenaren

laguntzaz energi galeren funtzioa hurbiltzea, εAl ezarri beharrean, εMgO erabiltzen baldin

badugu.

Bolumeneko zuzenketaren eraginik nagusiena 11 eV eta 14 eV-tako energi baxuko

gailurren intentsitatea handitzea da. Kasu honetan, ekarpen launa (20 eV) ez da hain

nabarmena, espektroan agertu arren. MgO-aren kasuan gailurrak eta eite geometrikoak

(izkina, gainazal launa) ezin dira aluminioaren kasuan bezain erraz erlazionatu, hemen

gailur guztiak nahastuta agertzen baitira. Hala ere badaukagu baieztatzea energi baxuko

gailurrak, izkinarekiko sentikorragoak direla, 20 eV-takoa baino. Hau, MgO-a ezauga-

rritzen duen funtzio dielektriko konplexuaren ondorioa da. Aluminiozko elektroi askeen

gasaren kasuak kitzikapenen banaketaren berri garbiago eman du. Ibilbide barrutia iza-

nez gero, energi altuko bolumeneko plasmoiaren ekarpenak (22 eV) garrantzi handia dau-

ka egoera honetan, eta elektroiak materialean barrurago jotzekotan, beste kitzikapenak

desagertaraziko lituzke. Erabilitako talka parametroarentzat, bolumeneko ekarpena eta

gainazalek sortzen dituzten gainontzeko kitzikapenen intentsitateak maila berekoak dira.

Kuboaren paretek eta izkinek, kitzikapen berriak sortzeaz gain, Begrenzung efektuaren

bidez, bolumeneko galeraren indarra ere murrizten dute.


2.5 Izkina akoplatuak: xafla moztua

2.5.1 Gainazaleko moduak

Praktikotasunaren ikuspegitik interesgarria den beste kasu bat xafla moztuarena da.

Bi izkinen loturatzat har daitekeen egitura honek, izkinen eta pareten arteko akoploaren

ikerketa ahalbidetuko du, laginaren lodiera finkatzen duen parametroaren arabera, hots

d parametroaren funtziopean. 2.10. irudian xafla moztu baten moduak erakusten dira

qd dimensiogabeko parametroaren aurrean, q, momentuaren, z simetriadun ardatzarekiko

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5

ω/ωp

qd

d

2.10. Irudia: Marrazkian azaltzen den geruza metaliko baten ebaketari dagokionmoduen espektroa qd dimensio gabeko parametroaren aurrean. Funtzio dielektrikoaωp plasmoi-maiztasunaren bidez ezaugarritzen da.

osagai paraleloa delarik (ikusi 2.1. irudiaren marrazkia). ε erantzun funtzio dielektrikoa

indargetze gabeko Drude-ren funtzioa da (γ=0). Oso geruza mehe kasuan, moduen espek-

troa konplikatu egiten da eta akoploa sortzen da pareta eta izkinen elkarrekintza dela eta.

Oso geruza lodientzat (qd > 1.5), izkina isolatuaren espektroa berreskuratzen da, oso ondo

finkatuta dauden moduen agerpenarekin (ω ∼ 0.53ωp, 0.63ωp, ....., 0.80ωp eta ωp/√

2 in-

guruan moduen pilaketa). Geruzaren lodiera gutxitzen den neurrian, moduak akoplatzen

hasten dira akoploaren egitura konplikatuari ekinez. Izkina isolatuaren kasuan bezala,


modu hauetako batzuk besteak baino errazago kitzikatzen dira, ibilbidearen ezaugarrien

arabera. Elektroi azkarrak hobeto elkarrekingo du amplitude handiko karga-dentsitatea

erakusten duten tokietan. Modu bakoitzari dagokion karga-dentsitatearen oszilazioak ere

iker daitezke, (2.40) adierazpenaren [Fq] elkarrekintza-matrizearen autobektoreek, karga-

dentsitate osoan moduen ekarpen partzialak ematen digutelako.

2.11. irudian, lehenbiziko sei modu berezien σq(s, ω) gainazaleko karga-dentsitatea

erakusten dugu geruzaren ebaketaren mugen zehar, qd=0.6-rentzat (q = ω/v STEM-ko

momentu transferentzia tipikoarentzat, Drude-ren aluminiozko d∼10nm-tako xafla ba-

ti dagokiolarik). Alde batetik, hiru modu xafla-simetrikoak dauzkagu [2.11.(a), (c) eta

(e) irudiak], ω = 0.40ωp, ω = 0.54ωp eta ω = 0.83ωp-ri dagozkielarik eta izkina isola-

tuen akoploaren beheko aderretatik datozkigunak, eta beste aldetik, hiru modu xafla-

antisimetrikoak [2.11.(b), (d) eta (f) irudiak], ω = 0.86ωp, ω = 0.55ωp eta ω = 0.82ωp-ri

dagozkielarik, eta izkina isolatuen akoploaren goiko adarretatik datozenak (ikusi 2.10.

irudia qd=0.6-rentzat). Modu desberdinen izaera ezaugarritzerakoan, badago kontutan

hartu beharreko beste simetria bat: izkina isolatuarekiko simetria hain zuzen. Gainazal

launaren moduaren maiztasuna baino maiztasun txikiagoak (ω < ωp/√

2) erakusten di-

tuzten moduak izkina-simetrikoak dira, izkina-antisimetrikoak direnek balio hori baino

handiagoa erakusten dituzten bitartean, (ω > ωp/√

2). Geruza meheagoa bihurtzen den

neurrian, akoploa handiagotu egiten da, 2.10. irudian ikus daitekeen bezala, eta erresonan-

tzien balioak goruntz eta beheruntz abiatzen dira nabarmenki. Hala ere, modu bakoitzari

dagozkion karga-dentsitateak qd=0.6 kasuaren eskema berberari jarraitzen diote, eta bere

izaera xafla-simetria eta izkina-simetriaren funtzioan azal daiteke.

2.12.(b), (c) eta (d) irudietan, aluminiozko xafla moztuaren hiru kasu desberdineta-

rako galeren espektroak erakutsi ditugu, elektroiaren ibilbidea simetriadun ardatzarekiko

paraleloa delarik. 2.12.(a) irudian problemaren geometriaren eskema eskaintzen da elek-

troi sortaren posizioa azalduz. Ibilbideak beti xaflaren kanpotik eta 0-tik (ebaketaren

erdia), 2-ra (ebaketaren izkinatik urrunago dagoen puntua) doaz. Lehenbiziko kasuan

[2.12.(b) irudia] xaflaren lodiera 20 nm-takoa da eta bakarrik bi kitzikapen garbi agertzen

dira espektroetan. Bi izkinen arteko distantzia handiegia da, beraz, ez dago akoplorik.

Gainazal launaren kitzikapena eta izkina isolatuarena banatuta agertzen dira. Izkina

isolatuaren modua (∼ 0.5ωp = 8 eV) nabarmenki kitzikatzen da sorta izkinaren ondo-

tik pasatzen denean (1), pareten arteko elkarrekintza ez baita sentigarria. Ebaketaren

erdiko ibilbideentzat (0), modu launaren kitzikapena nagusia da (ωp/√

2 = 11.2 eV). Iz-

kinako ibilbideentzat, galera launa txikiago egiten da, izkinakoa handitzen den neurrian

(begrenzung efektua). Aluminiozko xaflan, egoera hau qd ∼1.5 balioari dagokio eta iz-


(e) (f)

ω=0.40ωp ω=0.86ωp

ω=0.54ωp ω=0.55ωp

ω=0.83ωpω=0.82ωp

2.11. Irudia: (a), (b), (c), (d), (e) eta (f) lehenbiziko sei gainazaleko moduei dagozkien σ(θ) gainazalekokarga-dentsitatea erakusten dituzte, elektroi askeen gasezko geruzaren ebaketa batean, xω/v eta yω/v

dimensio gabeko koordenatuen aurrean, qd = 0.6 delarik.


kina isolatuen moduak bakarrik kontutan hartuz, galeren espektroaren aspektu guztiak

ulertzen dira. Xafla meheagoa egiten dugun heinean, paretak eta izkinak gero eta ger-

tuago daude eta, 2.10. irudian aztertu bezala, akoploak moduen sakabanaketa eragiten

du espektro osoan zehar. qd ∼0.6 balioari dagokion bigarren kasuan [2.12.(c) irudia],

gailurrik nagusiena enegi baxuko modu akoplatuari dagokio (0.40ωp = 6.3 eV). Gailur

hau 2.11.(b) irudiko lehenbiziko modu xafla-simetrikoari dagokio eta intentsitate handia-

goa dauka ebaketaren erdian (0). Badago beste modu xafla-antisimetriko bat 0.54ωp-tan

(8.53 eV) izkinaren ondoan kitzikatzen dena (1). Modu launa oraindik agertzen da baina

bere intentsitatea asko jaitsi egin da kasu honetan, izkinen hurbiltasunak eta Begrenzung

0

0.04

0.08

0.1

0 5 10 15 20

Γ(ω)

ω (eV)

0

1

2

d=10nm

(c)

x

x

x 0

1

2

d

b

(a)

0

0.04

0.08

0.1

0 5 10 15 20

Γ(ω)

ω (eV)

0

1

2

d=5nm

(d)

0 5 10 15 20

Γ(ω)

ω (eV)

0

1

2

d=20nm0.2

0.1

0

(b)

2.12. Irudia: (a) Geruzaren ebaketa baten irudi eskematikoa. Elektroiaren zenbait ibilbide erakustendira 0-tik (ebaketaren erdia) 2-ra (izkinatik urruti), d xaflaren lodiera delarik. (b), (c), (d). Aluminiozkoxafla moztuetako galeren espektroak (ωp=15.8eV eta indargetze-konstantea η=1.35eV) xaflaren lodie-ra desberdinetako hiru kasutan (d=20nm, 10nm eta 5nm) elektroia ardatz simetrikoarekiko paralelokihigitzen denean. Kasu guztietan talka parametroa 2nm-tako da eta elektroiaren posizioa (a) irudianemandakoa da.


efektuak ezbaitute uzten kitzikapen hau ingurune honetan garatzea. Hirugarren kasuan

[2.12.(d) irudia], 5 nm-tako geruzan, energi baxuko gailurra, oraindik energi txikiagotan

beherago kitzikatzen da (0.28ωp = 4.5 eV) gainazalen arteko akoplo indartsua dela eta.

Kitzikapen hau qd ∼0.2 balioari dagokio 2.10. irudiko moduen espektroan. Adibide haue-

tatik, xaflaren lodiera v/ωp parametroa baino meheagoa denean, pareta eta izkinen arteko

akoploa nagusia dela ondoriozta dezakegu, hau da, 15 nm 100 keV-tako elektroiek alumi-

nioaren kontra jotzen dutenean. Ondorio kuantitatibo honek garrantzi handia izango du

hurrengo ataletan.

2.5.2 Laginaren lodieraren eragina EELS-an

Elektroi sorta simetri ardatzarekiko perpendikular higitzen denean, galeren espek-

troan izkinen akoploaren eragina ikertzeko beste aukera bat dugu. 2.13. irudian, ibilbide

horretarako galeren espektroa erakusten da d geruzaren lodieraz normalizatua. Lodiera

desberdinen kasuak aztertzen dira, talka parametroa beti ebaketara kanpotik 2 nm-takoa

delarik. d =20nm, 50nm, 100 nm eta 200nm-tako lodieren galeren espektroen arteko

konparaketa egiten da, eta akoploaren eraginaren eritzi kuantitatiboa lortzeko asmoz,

gainazal erdiinfinitoarekiko (d →∞) antzekoasuna aztertzen da. Xaflarik lodienarentzat,

espektroaren ezaugarriak deskribatzeko adierazpen launa oso hurbilketa egokia dela garbi

geratzen da, izkinen inguruneak arbuiagarriak baitira gainontzeko gainazalaren luzerare-

kin konparatuz. Lodiera txikiagoa egiten den neurrian, 11.2 eV-tako kitzikapen launa-

ren intentsitatea beheruntz doa, aluminiozko ∼ 0.53ωp = 8.4 eV-tako izkinaren gailurra

nabarmenago ikusaraziz. Galera guztiak lodieraz normalizatu egin dira antzeko intentsi-

tateak konparatzeko asmoz. Begrenzung efektua dela eta, kitzikapen baten areagotzeak

beste kitzikapen baten murrizketa ekartzen du. Hau da, hain zuzen, kitzikapen launa eta

izkinakoaren arteko intentsitate aldaketaren mekanismoa.

Aluminiozko xafla moztuen simulazioetatik, ezaugarrizko galeren funtzioa hurbil de-

zakegu galeren espektroetan oinarrituta. Ibilbide perpendikularren kasuetan, q-n zabal-

dutako integralak kitzikapen gailurrak pixka bat zabaltzen ditu. Hala ere, distantzia

aipagarriak berberak izaten jarraitzen dute, galera integratu osoan ekarpen eraginkorra,

q < ω/v momentu paraleloaren osagaietatik baitator nagusiki. Espektroan ikus daite-

keenez, moduen akoploa, d < v/ωp geruzentzat nabarmena da, hots, d =15nm baino

meheagoak diren aluminiozko xaflentzat. Beraz, balio hori baino lodiagoak diren xaflak

kontsideratuko ditugu, bakarrik izkineko eta gainazal launen kitzikapenak kontutan har-


tzen dituen energi galeren funtzioa finkatzerakoan. Kasu honetan, galeren espektroan

izkinek izandako eragina aurresan daiteke, eta esperimentalki eskuratutako espektro ba-

tean egitura hauek sortutako zuzenketak kontutan hartzeko metodo sistematikoa garatu

daiteke. Goian aipatutako egoeran, energi galera karakteristikoen funtzioa horrela hurbil

daiteke:

P (ω) =2

πv2L{[Ko(

2ωb

v)− A1

L]Im[

−1

0.5εAl + (1− 0.5)] +

+A2

LIm[

−1

0.3εAl + (1− 0.30)]}, (2.53)

A1 eta A2 koefizienteak b talka parametroaren menpe daudelarik eta 2 nm-tako talka para-

metroaren kasuan, A1=21.70 nm eta A2=26.10 nm izanik. Sorta erasotzaileak ingurunea

zeharkatuko balu, (2.53) adierazpenean bolumeneko terminoa ere sartu beharko litzateke,

(2.51) adierazpenean egin zen bezala. Hemen berriz, izkinetako moduen kitzikapenaren

0

1 10-5

2 10-5

3 10-5

4 10-5

4 6 8 10 12 14 16

Plano infinitoad->∞

d=200 nmd=100 nmd=50 nmd=20 nm

P(ω

)/d

ene

rgi

gale

ren

prob

abil

itat

e no

rmal

izat

ua (

u.a.

)

ω(eV)

e-

d

b

2.13. Irudia: Lodiera desberdinetako aluminiozko xafletako energi galeren probabi-litatea d (200nm, 100nm, 50nm eta 20nm) balioentzat elektroia simetri ardatzarekikonorabide perpendikularrean higitzen denean, irudian azaldu bezala. Gainazal lau-naren kasuarekiko konparaketa ere irudikatzen da (d ⇒ ∞). b talka parametroaebaketaren kanpotik 2 nm-takoa da. Kontutan izan gainazal launaren kitzikapenaxafla lodientzat berreskuratzen dela.

areagotzeak gainazaleko plasmoi launaren kitzikapenaren murrizketa dakar. Bi ekarpen


hauek Begrenzung efektuaren bidez erlazionatuta daude eta L laginaren tamainuarekiko

proportzionala den ekarpen launa eraldatzen dute. Hau, espektro osorako hurbiketa la-

gungarria suertatzen da, bi muga nagusi dituelarik. Lehenbizikoa iadanik aipatua izan da

eta laginaren lodierari dagokio: hurbilketa erabiltzeko nahiko lagin lodiak behar dira, bai-

na hau da STEM-ko egoera normala eta ondorioz ez du arazorik sortuko. Bigarren muga

kontutan hartu diren moduen kopuruari dagokio: espektro zehatza infinito modu ditu,

bakoitza bere pisuarekin, eta guk hemen, espektroa deskribatzen duten modu aipagarriak

bakarrik kontsideratu ditugu, gainontzekoak arbuiagarriak direla onartuz. Indargetze txi-

kiko Druderen metala hurbilketaren mugan dagoen kasua da, oso ondo bereiztuta dauden

gailur isolatuak erakusten baititu. STEM-ko egoera praktikoetan, moduak ez dira hain

isolatuak agertzen eta modu berezien hurbilketa oso hurbilketa egokia eta zehatza suer-

tatzen da.

MgO-zko kuboa bezalako materil errealetan, hurbilketa hau oso zehatza da [88]. Dru-

deren kasuan ere, indargetze-konstantea egokia baldin bada (γ > ωp/20) hurbilketa oso

aproposa da egoera esperimental gehienetan. ∼ 10v/ωp(∼ 150 nm aluminioan) baino

lodiagoak diren laginentzat, hurbilketa launa nahikoa dela garbi geratzen da. Gure adibi-

deari esker, ebaketa meheagoen kasuan, izkinen eragina galeren espektroan sartzea beha-

rrezkoa dela baieztatu egin dugu. Maiztasun altuagoko kitzikapenak azaltzen dituzten

materialetan, hurbilketa launaren baliotasuna ez da hasten hain lodiera handietan, hau

berriro izkinaren eraginaren mugan dagoen adibidea baita. Simulazio hauen barruan,

izkinen eraginaren irispide espaziala ikertzeko asmoz, talka parametroarekiko menpekota-

suna azaltzea ere posiblea da. Barrutik doazen ibilbideak erabiltzekotan, izkina isolatua-

ren kasuan azaldutakoaren antzeko portaera aurkituko genuke, izkinako modua gainazal

launarena baino askoz lokalizatuagoa baita. Horregatik, kasu horretan xafla bakunaren

portaera berehala berreskuratuko genuke. Kuboa ere azter daiteke metodo honen ba-

rruan eta 4 izkinen akoploa nolakoa den eta zein tamainutan hasten den iker daiteke,

eritzi kuantitatiboak ondorioztatuz.

2.6 Hiru ingurune desberdinetako egoerak

2.6.1 T-lotura

Muga-kargaren metodoa 2.14. irudian bezalako zenbait ingurune desberdinek osatu-

tako loturen ondoan ere erabil daiteke energi galeren kalkulatzeko. Hiru ingurune baldin

baditugu, funtzio dielektrikoak εA, εB eta εC bezala adieraziko ditugu eta Drude-ren fun-


tziotzat hartuko ditugu, ωpA, ωpB eta ωpC plasmoi-maiztasun karakteristikoak direlarik.

Aipatu behar da, horrelako sistema baten moduak kalkulatzerakoan, bikote bakoitzari

dagokion gainazaleko modu launa garbi agertzen dela. Modu hauek, ondorengo adieraz-

penen bidez idatz daitezke εA +εB = 0, εA +εC = 0 eta εB +εC = 0. Izkina isolatua edota

xafla moztuaren kasuetan bezala, egitura honen moduen espektroa, (2.40) adierazpenaren

[Fq] elkarrekintza-matrizearen determinantea zerorekin berdinduz, eskura daiteke. Lortu-

tako modu hauek sistemaren karga-dentsitate oszilazio autobateragarriei dagozkie. Kasu

εA

εC

ε B

.e-

2.14. Irudia: εA, εB eta εC ezaugarritzen duten hiru ingurune desberdinetako T-lotura baten irudi eskematikoa.

honetarako moduen kalkulua bi inguruneren kasua baino askoz konplikatuagoa da. Azken

honetan, moduen posizioa geometriaren menpe dago soilik, λi elkarrekintza-matrizearen

autobaloreen bidez. Gero, funtzio dielektrikoen bidez (Λ), konposizioa sartzen baldin ba-

dugu, moduaren balio zehatza eskuratzen da, 2.2.2 atalean ikusi bezala. Hiru inguruneren

kasuanan, berriz, matrizearen diagonalizazioak funtzio dielektrikoen bikote desberdinen

nahasketa kontutan hartzen du (Λl(ω)-ren bidez) eta moduak hasieratik konposizioaren

menpe daude.

Muga-kargaren metodoaren oso aplikazio interesgarria, hiru ingurunek osatutako egi-

tura batean energi galeren mapak eskuratzea da, mapa hauek hautatutako energi galeren

ekorketa eta transmisioko mikroskopiaren irudiekin konpara baitaitezke. Guzti honen adi-

bide gisa, 2.14. irudiaren egitura zehatza ikertuko dugu, A ingurunea, aluminioa (ωp=15.8

eV; γ=0.5 eV), B ingurunea karbonoa (ωp= 23.5 eV; γ=1 eV) eta C ingurunea hutsa di-

relarik. Funtzio dielektrikoen parametroak, moduen bereizmena errazteko asmoarekin

aukeratu dira. Elkarrekintza-matrizea diagonalizatu eta gero, moduen sakabanaketa es-


kuratzen da. Izkina edota xafla moztuaren kasuetan bezala, espektroan modu batzuk

besteak baino aipagarriagoak dira. Modu berezi hauek, kitzikapenen intentsitatearen

gailurrak non agertzen diren arabera hautatzen baldin badira, bi inguruneren arteko gai-

nazal launaren moduak, hau da, εAl + εC = 0(ω=20 eV), εAl + 1 = 0(ω = 11.17 eV)

eta εC + 1 = 0(ω =16.6 eV) kontutan hartu behar diren lehenbizikoak dira. Metodoak

zuzenean ematen ditu modu hauek, era natural batean, baina hauekin batera, beste mo-

du batzuk ere kitzikatu egiten dira ω balio desberdinetan. 2.15.(a), 2.15.(b), 2.15.(c)

eta 2.15.(d) irudietan energi galera hautatuen espektroak erakusten dira modu berezi

batzuentzat bai 3 dimentsiotako irudien bidez bai sestra-lerroen grafiken bidez. Azken

hauek ekorketa mikroskopian lor daitezkeenekin zuzenean konpara ditzakegu. Agian,

sestra-lerroen grafikarik garrantzitsuena loturan bertan agertzen den 14.5 eV-takoa da.

Honek dagokion karga-dentsitatea loturan zehar zabaltzen dela adierazten du. Kalku-

lu hauek horrela direla eta, espektroaren ezaugarririk nagusienak loturaren gailurra eta

hiru gainazal launeko gailurrei esker azal daitezke. Lehengo atalean moduen posizioak

eta material bakoitzak betetzen duen espazioaren zatiak zerikusia zeukatela aipatu zen.

Hemen, ingurune bikoteen nahasketa dela eta, energi galeren espektroaren hurbilketa hori

erabiltzea posible denik ez dago hain garbi. Hala ere, funtzio dielektrikoak biderkatzen

dituzten αi eta βi koefizienteen bidez, (2.34) ekuazioan bezalako adierazpen linealizatu

bera ondorioztatuko dugu energi galeren probabilitatea deskribatzeko:

Γ(ω) =2

πv2

∑

i

AiIm[−1

αiεA + βiεB(1− αi − βi)εC

]. (2.54)

2.14. irudian azaldutako T-loturaren kasuan, A inguruneak espazioaren laurden bat be-

tetzen du, B-k beste laurden bat eta espazioaren erdia hutsa da. Eskema horri jarraituz,

(2.54) adierazpenean αi = 1/4 eta βi = 1/4 erabiliz, loturaren moduaren posizioa hurbil

dezakegu. Horrela, T-loturaren moduarentzako erlazioa betetzen duen energiaren ba-

lioa ω=14.2 eV aurkitzen da, muga-metodoarekin lortutakoaren %2 diferentziaz. Irispide

geometriko honetan onarrituz, hiru inguruneren lotura simetrikoa, hau da, ingurune ba-

koitzak 2π/3 angelua betez, loturaren modu bereziaren posizioa αj=1/3 eta βj=1/3 bidez

lortuko litzateke, hots εAl + εC + 3 = 0, eta hemendik lotura horren ezaugarrizko energi

galeraren funtzio ad hoc bat hurbilduko litzateke balio berri horiekin.

Bai kitzikapen launak bai loturaren kitzikapena, galeren ezaugarririk berezienentzat

hartzen baldin badugu, 2.14. irudian agertzen den sistemarentzat, ondorengo energi gale-

ren funtzio hurbildua idatz daiteke:


a

x(nm)

x(nm) x(nm)

x(nm)

y(nm

)

y(nm

)

y(nm

)

y(nm

)

C

Al Al

Al Al

C

CC

( a ) (b)

(c) (d)

Energia=11.2 eV Energia=14.5 eV

Energia=16.6 eV Energia=20 eV

2.15. Irudia: (a), (b), (c) eta (d) Aluminio (ωp=15.8 eV, γ=0.5 eV), karbono (ωp=23.5 eV,γ=1 eV) eta hutsak osatutako T-loturan zehar higitzen den 100 keV-tako elektroi sortari da-gokion hautatutako energi galeren probabilitatearen simulazioa. Energi galeren hautatutakobalioak 11.2 eV, 14.5 eV, 16.6 eV eta 20. eV dira eta elkarrekintza-matrizearen diagonaliza-zioaren bidez, muga-karga metodoaren barruan lortu dira. Azalera ilunagoak probabilitatetxikiagoko inguruneak dira. Aluminioa x, y < 0 ingurunean sartuta dago, karbonoa x > 0,y < 0-an eta hutsa y > 0-an.


Γ(ω) =2e2

πh2v2{A1Im[

−1

0.5εAl + 0.5εC

] + A2Im[−1

0.5εAl + 0.5] +

+A3Im[−1

0.5εC + 0.5] + A4Im[

−1

0.25εAl + 0.25εC + 0.5]}, (2.55)

1, 2 eta 3 indizeek galera launak adierazten dituztelarik eta 4 indizeak loturaren galera

adierazten duelarik. Sorta erasotzaileak aluminioa edota karbonoa zeharkatzekotan, da-

gokion bolumeneko galera gehitu beharko litzaioke galeren adierazpenari. Ai koefizienteen

talka parametroarekiko menpekotasuna, bi ingurunetako kasuan baino askoz konplikatua-

goa da, eta horregatik simulazio numerikoen beharra (adibidez muga-kargaren metodoaren

bidez) garbi geratzen da. Bestela, kitzikapenen talka parametroarekiko pisu zehatza ezin

izango litzateke beste era batera lortu. Hala ere, modu berezi edo aipagarriak erakus-

ten dituen energi galeren funtzio karakteristikoa, esperimentuetan lortutako emaitzekin

konparaketa egiterakoan, oso tresna baliagarria suertatzen da eta erizpide geometrikotan

oinarrituta, espektroaren ezaugarri gehiengoen berri ematen du. Azpimarratu egin behar

da, galeren funtzio zehatza, linealizatu gabeko modu guztiak sartzean lortzen dela.

2.6.2 Si-SiO2-zko H-lotura

Muga-kargaren metodoaren arrakasta baieztatzeko beste kasu praktiko garrantzitsua

esperimentuetan maiz aurkitzen den H-loturaren egitura da. Egitura hau, gainazal nor-

malak bereizten dituen bi ingurune dielektriko desberdinak osatutako xafla mehe batean

datza. Hemen (Si) Silizio eta (SiO2) Silizio oxidozko sistema bat ikertuko dugu, elektroi

sorta bi ingurunetako bat zeharkatzen duenean [ikusi 2.16. irudia]. Zeharkatutako mate-

rialaren bolumeneko plasmoia kitzikatzeaz gain, εSi+εSiO2 = 0 erlazioaren bidez emandako

Si-SiO2 gainazaleko plasmoia ere kitzikatu egiten da. Gainazaleko plasmoiaren gailurraren

posizio zehatza formalismo erlatibistaren barruan berriki ikertu da eta oso akordio ona

lortu da esperimentuekin [89], lagina lodien kasuan (180 nm-tako lodiera), non gainazal

erdiinfinitoaren hurbilketa erabat legezkoa suertatzen baita. Lehengo ataletan bezala, lo-

dierak gainazaleko plasmoi honen posizio eta pisuan lodierak izandako eragina aztergai da.

Laginaren lodierari dagokionez erizpide kuantitatiboak finkatzeko asmoz, modu berrien

agerpena eta izkinen akoploa ere iker daitezke. Horrelako lotura bateko egoera esperimen-

tala 2.16. irudiaren eskeman erakusten da, non elektroi sorta SiO2-an zehar pasatzen baita

talka parametroa 2 nm-takoa delarik. Gure ikerketa talka parametro txikietara murriztu-

ko dugu, gailurraren posizioan atzerapenaren eragina arbuiatu ahal izateko. 2.16. irudian

galeren espektroak irudikatzen dira lagin desberdinen kasuan, bai hurbilketa launaren


baliotasun tartean (d → ∞) bai lagin meheen kasuan non gainazaleko energi gailurra-

ren posizioa beheruntz abiatzen baita. Irudiko simulazioen arabera, hurbilketa launa, 50

nm baino lodiagoak diren laginentzat oso egokia dela ondoriozta daiteke, baina lagina

mehentzat ez du emaitza zehatzik ematen. Puntu honetara gero bueltatuko garen arren,

oraingo honetan, muga-lodieraz eta sistemaren modu bereziez arduratuko gara, ezaugarri

hauek espektroetan gertatzen ari diren mekanismoen berri eman dezaketelako. Hemen

aurkeztutako kasua, Drude-ren xafla moztuarena baino konplikatuagoa da, inguruneak

ezaugarritzen dituzten funtzio dielektrikoak konplexuagoak direlako. Drude-ren kasuan

galera isolatuak eta ondo bereiztuak aztertzeko gai ginen eta moduen kitzikapenaren ara-

bera, galera desberdinak banatzen genituen. Kasu honetan, modu bakoitzaren ekarpena

ezin da hain erraz isolatu. Xafla moztuaren adibidean bezala, gainazaleko plasmoiaren

energiaren beherakuntza, izkinari dagokion moduaren kitzikapenaren ondorio bezala azal

daiteke, honen intentsitate erlatiboa nabarmenagoa baita lagina meheagoa egiten dugun

neurrian. Hemen ere, Si-SiO2 gainazaleko plasmoiaren gailurraren posizioa eta pisua

ulertzeko, hiru tarte bereiz ditzakegu, tamainuari dagokionez: ∼ 10v/ωp baino lodiagoak

diren laginentzat, (∼ 50 nm kasu honetan) gainazal launean oinarritutako tratamendua

nahikoa da energi galerak deskribatzeko. Balio hau baino meheagoak diren laginentzat,

loturaren izkinen eragina nabarmentzen hasten da eta loturak sortutako modu berria,

εSi + εSiO2 + 2 = 0 (αi=1/4, βi=1/4) adierazpenaren arabera emandakoa, sartu behar da

galeren espektroetan. Bukatzeko, oso meheak diren laginentzat (d < v/ωp ' 5nm) izkina

eta pareten akoploak modu berriak sortarazten ditu eta oso zaila suertatzen da kitzikapen

finko eta bereiztuen bidez bakarrik galerak azaltzea. q momentu paraleloaren ekarpen des-

berdinek ere, simetri ardatzarekiko perpendikularrak diren ibilbideentzat espektroa pixka

bat zabaltzen dute. Edozein modutan, bukaerako intentsitatea, ω/v baliotik gertu dau-

den momentuaren osagai baxuek ematen dute. Lehenbiziko hurbilketa gisa, 5 nm baino

lodiagoak diren SiO2-zko laginen kasuan, 100 keV-tako elektroiek 2.16. irudian bezalako

egitura baten kontra jotzerakoan jasandako energi galerak horrela adieraz daitezke modu

berezien funtzioan:

P (ω) =2

πv2L{Ao[

−1

εSiO2

] + A1Im[−1

0.5εSiO2 + 0.5] +

+A2Im[−1

0.5εSi + 0.5εSiO2

] + A3Im[−1

0.25εSi + 0.25εSiO2 + 0.5]}, (2.56)

Lehenbiziko modua (0 azpindizea daukana) SiO2-zko bolumeneko plasmoiari dagokio,

1 (SiO2-hutsa) eta 2 (Si-SiO2 gainazala) azpindizeak kasu launei dagozkie eta azkena (3

azpindizea daukana) αi =0.25, βi=0.25 adierazpenaren bidez eskuratzen den T-loturaren


izkinako moduari dagokio. Ai = Ai(b, ω) koefizienteak, talka parametroaren menpe dau-

de. (4eV-10eV) energi tarterako, azken bi moduak kontutan hartzea nahikoa da (2 eta

3 azpindizeak dauzkatenak galeren funtzioan) espektroaren ezaugarri nagusiak simula-

tzeko, SiO2-hutsaren gainazaleko gailurra eta Si eta SiO2-zko bolumeneko plasmoiak 18

eV eta 23 eV-tan agertzen baitira. Galera tarte honetan, Ao = ln(kcv/ω) − 0.5A1 eta

A1 = konst/L, (2.53) adierazpenean erabilitako xafla bakunaren erlazioak ([10]), hemen

ere erabil daitezke. Si zeharkatzen duen ibilbide baterako, ezaugarrizko galeren funtzioa,

(2.56) adierazpenean Si SiO2-ren truke aldatuz eskura daiteke. SiO2 amorfoa eta Si krista-

linoaren kasuetarako datu dielektriko optikoak erabiltzen baldin baditugu, εSi + εSiO2 = 0

adierazpenak gainazaleko gailurra 8.6 eV-tan ematen du eta εSi + εSiO2 + 2 = 0 adie-

razpenak, loturaren izkinaren modua 7.6 eV-tan ematen du. Bi moduak espektroan oso

hurbil agertzen direnez eta indargetze-konstantea dela eta zabalduak direnez, 2.13. iru-

dian bezalako bi modu banatu bereiztu beharrean, lagina meheagoa egiten denean, guk

espektroan balio batetik (8.6 eV) bestera (7.6 eV) doan aldaketa jarraia nabaritzen dugu.

0

5 10-6

1 10-5

1.5 10-5

2 10-5

4 5 6 7 8 9 10

d ->∞d=40nmd=20nmd=10nm

P(ω

)

/d e

ner

gi

gal

eren

pro

bab

ilit

ate

no

rmal

izat

ua

(u.a

.)

ω(eV)

Si

e-

2nm

SiO 2 d

2.16. Irudia: Eskeman agertzen den bezalako Si eta SiO2-k osatutako H-loturaren antze-ko geometrian zehar pasatzen den 100 keV-tako elektroiaren energi galeren probabilitatea.Lodiera desberdinetako laginen espektroak aztertzen dira eta gainazal erdinfinitoarekikokonparaketa erakusten da. Kasu guztietan, gainazal banatzailearekiko talka parametroa2nm-takoa da.


Ikuspegi honetatik, 2.13. irudiaren espektroak orain ulergarriak dira. Espektro hauen

simulazioak 100 keV-tako elektroiak gainazal banatzailetik 2 nm-tara SiO2-n zehar lagi-

narekiko perpendikular pasaraztean lortu dira, eta aipatu bezala, 1 eV-tako aldaketa ikus

daiteke laginaren lodiera txikiagoa egiten den neurrian. Espektroak eV-ko energi galeren

probabilitatea erakusten dute, non hobeto konparatzeko asmoz, intentsitatea d laginaren

lodieraz normalizatu egin baita. Bereizmen handiko STEM erabiliko balitz, gailurraren

posizioaren aldaketa bereizgarria izan beharko litzateke lagina meheetan. (2.56) adie-

razpenaren ezaugarrizko galeren funtzioari jarraituz, gailurra bi ekarpenetan banatzen

baldin badugu, talka parametro finko baten kasuan, A2 eta A3 xafla moztuaren kasuaan

bezala adieraz daiteke [ikusi (2.52) adierazpena], hau da A2 = Ko(2ωb/v) − konst2/L

and A3 = konst3/L, konst2= 19.8nm eta konst3=21.7nm direlarik 2nm-tako talka para-

metroaren kasuan. Balio hauek xafla moztuaren kasuan lortutakoen antzekoak dira eta

adierazpen fisiko berbera daukate: izkinen eraginaren efektuari dagozkion eta laginaren

lodieraren menpe ez dauden ekarpen finkoak dira eta lodierarekiko proportzionala den

terminoa (Ko(2ωb/v)) zuzentzen dute. Beste alde batetik, b talka parametroarekiko men-

pekotasunaz arduratzen baldin bagara, izkina isolatuaren kasuan egin zen bezala, hemen

ere badago koefizienteen menpekotasuna hurbiltzea, gainazaleko plasmoi bakoitzaren izae-

raren menpe dagoen gainbehera exponentzial baten bidez (Ai(b, ω) ∼ exp(−nωb/v)), n

moduaren ezaugarrien menpe dagoelarik). Izkineko eta loturetako moduak, launak baino

askoz lokalizatuago daude espazioan, beraz, normalean n parametroa handiagoa izango

da kasu horietan.

Oso lagina meheentzat, ezaugarri aipagarrienetakoa gainazal eta izkinen arteko akoplo

indartsua da, 2.5 atalean xafla moztuaren kasuan aipatu bezala. Si-SiO2 loturaren kasuan,

akoploa kontutan hartu beharko da lodieraren balioa 5 nm-takoa edo txikiagoa baldin

bada. Praktikan, horrelako lagina mehekin lan egitea oso zaila da, eta horregatik, guk

balio hori baino lodiagoak diren laginak ikertu ditugu. 2.10. irudian aztertu bezala, balio

horren azpitik moduen egitura asko konplikatzen da.

2.7 Ondorioak

Muga-kargaren metodoa eite arbitrarioko gainazal dielektrikoen ondotik pasatzen diren

elektroien energi baxuko galera eta moduen kalkuluari ekiteko aplikatu egin da. Kapitu-

lu honetan bereziki norabide batean zehar simetria erakusten duten gainazalak bereziki

aztertu dira. Hemen garatutako formalismoak geometria konplexu gehiagori aurre egitea

ahalbidetu du, elektroi energi galeren espektroei dagokienez. Sistemen konplexutasuna,


izkina isolatu, inguruneen ebaketa eta zenbait inguruneren loturaren agerpenetik datorki-

gu. Hemen erabilitako metodoak, geometriak emandako moduen kitzikapenei esker energi

galeren espektroak aztertzeko era sistematikoa ematen du. Galeraren probabilitatea os-

zilazio moduei dagozkien ekarpen banatuen bidez adierazi da. Bi inguruneren kasuan,

honek funtzio dielektrikoen menpe ez dagoen pisu-funtzioa eskuratzea uzten du.

Formalismo honetan, ingurune desberdinen funtzio dielektrikoak maiztasunaren men-

pe daudela onartu da, hau da, hurbilketa lokala erabili da. Hau erabat legezkoa da

mikroskopia elektronikoan erabiltzen diren abiadura handiak direla eta. Beste alde bate-

tik, gainazal oso zorrotzak kontsideratu ditugu, baina dentsitate desberdinetako geruzak

ezarriz, gainazal leunak deskribatzeko ere metodo hau erabil zitekeen [84].

Kalkuluetan, konbergentzia, N ≈ 100 puntuekin lortu da gainazal bakoitzarentzat.

Konputatzeko denbora gehien eskatzen duen kalkulua, ekuazio autobateragarria deskri-

batzen duen (2.9) elkarrekintza- matrizearen alderantzizko matrizea lortzea da, N3-rekin

handitzen delako.

Hautatutako energien irudien kalkuluak (2.9) ekuazioa behin bakarrik ebaztea eskatzen

du, eta behin karga-dentsitatea lortuta, irudi osoa N2-rekiko proportzionala den denboran

lor daiteke.

Bukatzeko, kapitulu honetan galeren espektroetan, izkina, kuboaren paretak eta eba-

ketek dituzten eraginak kontutan hartzeko irizpide kuantitatiboak lortu ditugu. Hiru tar-

te desberdin bereiz ditzakegu. Elektroi sortarekiko paraleloak diren gainazalak ∼ 10v/ωp

baino luzeagoak izatekotan, hurbilketa launak oso era egokian tratatzen ditu gainazale-

ko plasmoiaren posizioa eta pisua, izkinaren eragina arbuiagarria baita galera osoaren

aurrean. v/ωp eta ∼ 10v/ωp arteko gainazal moztuen kasuan, izkinaren eragina kon-

tutan hartzekoa da kitzikapen berri bat sartzen baitu eta beste kitzikapenen indarra,

bolumenekoa eta gainazal launarena hain zuzen, murrizten baititu Begrenzung efektuaren

bitartez. Horrelako egituren kasuan, geometrian oinarritutako hurbilketa oso egokia suer-

tatu da zenbait modu berezi eta aipagarriren bidez ezaugarrizko energi galeren espektroa

deskribatzeko. Tamainuaren hirugarren tartea v/ωp baino ebaketa txikiagoak erakusten

dituzten egiturei dagokie. Hemen, moduen akoplo konplexuari eta lortutako galeren es-

pektroari, muga-kargaren metodoa bezalako simulazio numerikoek bakarrik aurre egin

diezaiekete.

3. Kapitulua

Modu kolektiboen kitzikapena eite

arbitrarioko egituretan II. Simetria

axiala duten objektuak

3.1 Sarrera

Lehengo atalean aurkeztutako muga-kargaren metodoak, simetria axiala duten ob-

jektuak ere ikertzea ahalbidetzen du. Simetria hau duten egiturak sarritan aurkitzen

dira STEM-ren egoera praktiko askotan. Lehenbiziko atalean, kasu zehatz honetarako

adierazpen partikularrak erakutsiko dira, eta ondoren, zenbait aplikazio interesgarriren

emaitzak azalduko dira, (partikula esferiko akoplatuak, koloideak, STM-lagina bikotea

edota dielektrikoen sare periodikoak adibidez).

Partikula koloidalen arteko akoploaren eragina interes handiko gaia izan da azken

urteotan [54, 90]. Hemen garatutako teoria akoplo honen ezaugarririk garrantzitsuenez

arduratzen da. Metodo honen bidez, material baten barruan dauden beste materialez-

ko koloideen multzoa, esfera dielektriko lerrokatuen bidez modela dezakegu. Horrela,

Walsh-ek [43] esperimentalki ikertu zuen bezalako sitema bat badaukagu aztertzea. Bere

esperimentuetan, elektroi sorta erasotzaileak AlF3-an zehar pasatzerakoan, aluminiozko

koloideak sortzen zituen. Fuchs eta Claro-k [91] ere esfera dielektriko multzo baten po-

larizazioa, adierazpen espektralaren bidez aztertu zuten. Schmeits-ek [50] eta Schmeits

eta Dambly-k [49] bi esferen sistemarako moduen emaitzak aurkeztu zituzten koordenatu

biesferikoak erabiliz, eta N. Zabala-k et al ere, koordenatu berberak erabili zituen STEM-

ren elektroi erasotzaileek sortutako modu hauen kitzikapena analizatzeko [71]. Kapitulo

honetan, bai modu kolektiboak bai elektroi azkarrek sortutako kitzikapenak aztergai dira

75

76 3. Kapitulua. Simetria axiala duten objektuak

azken bolada honetan interes handiko gaiak izan diren partikulen kopuru arbitrarioko ka-

suan edota elkar ukitzen diren partikulek sortutako inklusioetan [92, 93, 94, 95]. Inklusio

hauen erantzun dielektrikoaren interesak, loturaren ondoan ematen den eremuaren han-

diagotzean datza. Azken hau, gainazalak hadiagoturiko Ramanen sakabanaketaren bidez

(SERS) detekta daiteke [96]. Halaber, eitea aldatzen duten partikulen moduen posizioa

aztertuko da eta beste partikulekiko akoploaren aldaketarekin konparatuko da. Geome-

tria esferoidalaren moduen berri emango dugu, egitura hau itxuragabeko nano-partikulen

gainazaleko moduak azaltzeko sarritan erabili baita [97].

Simetria axiala duen interes handiko beste sistema bat STM-ko lagina-punta da [98,

99]. Puntaren deskribapen geometriko hobea eginez, egoera praktiko honetako moduen

kalkuluak, lagina eta mikroskopioaren puntaren arteko distantziarekiko Van der Waals

moduko menpekotasuna duten eragin luzeko indarrak ikertzea ahalbidetuko du [100, 101]

indar atomikoaren mikroskopian (AFM) [102].

Beste alde batetik, material dielektrikoez osatutako sare periodikoak aztertu dira, ban-

da fotonikoen propietate optikoen aplikazioa ikertzeko. Azken urteotan, gai honen interes

teknologikoa eta garapen azkarra izugarriak izan dira [103]. Pendry eta Martın Moreno-k

[104] Maxwell-en ekuazioak metodo numerikoaren bidez garatuz, horrelako egituretara-

ko kalkuluak egin zituzten. A. V. Vagov-ek et al. [105] ere, aldagai hiperkonplexuak

erabiliz, esferen sareen erantzun optikoa aztertu zuten. Sistema konplexu hauetan, muga-

kargaren metodoa STEM-ren elektroien energi galerak kalkulatzeko etorkizun handiko

oinarria suertatzen da. Kapitulu honetan, dimentsio bateko esferen lerroko energi galerak

analitikoki ikertuko ditugu talka parametroaren funtziopean. Energi galeren espektroak

balentziazko tartean (eV batzuk) eskuratuko dira esfera lerrokatuen ardatzarekiko ibilbide

paralelo eta perpendikularrentzat, eta esferetan induzitutako karga-dentsitatearen bidez,

sortutako kitzikapenen izaera aztertuko da.

3.2 Ibilbide axialentzako adierazpenak

Simetria axiala erakusten duten gainazalak (ρ, z, ϕ) koordenatu zilindrikoen bidez

era egokian adieraz daitezke. Koordenatu hauetan, σ(s) gainazaleko karga-dentsitatea

ϕ angelu azimutala eta ρz planoan emandako θ parametroaren bidez adieraz daiteke.

Horrela, σ(θ, ϕ) = (ρs(θ) cos ϕ, ρs(θ) sin ϕ, zs(θ)) idatz dezakegu, ρs, z ardatzarainoko

distantzia eta θ, 3.1. irudian azaldutako parametroa direlarik. ϕ angelu azimutalarekiko

menpekotasuna adierazteko, Fourier-en serieak erabiltzen baldin baditugu, gainazaleko

Modu kolektiboen kitzikapena eite arbitrarioko egituretan II 77

z

r

j

ns

q

m1

m2

3.1. Irudia: Biratzerakoan aldaezina den objektu baten eskema orokorra. ϕ angeluazimutala da eta biraketa deskribatzen du. ns, θ parametroak deskribatzen duen(ρ(θ), z(θ)) puntuan gainazalarekiko osagai normala da.

karga-dentsitatea horrela adieraz daiteke:

σ(s, ω) =1

2π

∑m

σm(θ, ω)eimϕ, (3.1)

m indizeak Fourier-en osagaiak bereizten dituelarik. Kasu honetan, (2.9) ekuazio inte-

grala, (2.39) ekuazioaren berdina da, q momentuaren osagaia m indizeaz aldatuz. Beraz,

integrakizun horrela adieraz daiteke:

Fm(θ, θ′) = ρs(θ′)

√ρ′s(θ′)2 + z′s(θ′)2

∫dϕ

A− C cos ϕ

(B −D cos ϕ)3/2, (3.2)

non

A = nρρs(θ)− nz[zs(θ)− zs(θ′)],

B = ρs(θ)2 + ρs(θ

′)2 + [zs(θ)− zs(θ′)]2,

C = nρρs(θ′), D = 2ρs(θ)ρs(θ

′), (3.3)

baitira eta (nρ, nz) = (z′s(θ),−ρ′s(θ))√ρ′s(θ)2+z′s(θ)2

gainazalarekiko normalaren osagai erradiala eta z

osagaia direlarik.

Azterketa errazteko asmoarekin, µ0 ingurune dielektriko berberaren barruan denbora

osoan zehar higitzen diren elektroien simetriaren ardatzarekiko ibilbide paraleloak kon-

tsideratuko ditugu. Orduan, (2.39) adierazpenaren termino inhomogeneoa horrela idatz

daiteke:

fm(θ, ω) =−4πω

v2εµ0(ω)eiωz/v × {Im(

ωb

v)[nρK

′m(

ωρs(θ)

v)inzKm(

ωρs(θ)

v)]θ[ρs(θ)− b]


+ Km(ωb

v)[nρI

′m(

ωρs(θ)

v)inzIm(

ωρs(θ)

v)]θ[b− ρs(θ)]} (3.4)

b, ibilbidearen z ardatzarainoko distantzia, hau da, talka parametroa delarik. Aurreko

kapituluan bezala, adierazpen hauek kasu konplexuetan gainazalen diskretizazio egokia

eginez, numerikoki ebatz daitezke. Hemen aurkeztutako zenbait kasu (2.39) ekuazio dis-

kreto autobateragarriaren ebazpen numerikoaren bidez lortu da, hala ere, metodo hau

erabiliz geometria esferikoa duten sistema akoplatuak analitikoki ebaztea ere posiblea

da. Horrela, kapitulu honen bukaeran dimentsio bateko esferen sarearentzako emaitzak

aurkeztuko dira.

Simetria zehatz honetan, (3.1) adierazpenaren gainazaleko karga-dentsitatearen m osa-

gai desberdinak desakoplatuta daude eta beraien ekarpenak galeretan banatuta kalkula

daitezke. Maila altuko terminoen kitzikapenen indarra oso azkar jaisten dira m-ren au-

rrean eta beraien oszilazio maiztasunak ωs inguruan pilatzen dira. Ondoren aztertuko

ditugun kasuetan m > 6 ekarpenak arbuiagarriak direla baieztatu da.

3.3 Aplikazioak

3.3.1 Partikula akoplatuak

3.2. irudian hutsez inguraturik dauden aluminiozko esfera akoplatuen ondoan pasatzen

den elektroiaren galera probabilitatea erakusten da. Esferen lerroa elektroien ibilbideare-

kiko paraleloa da eta galeren probabilitate osoa, esferen kopuruaz zatitu egin da antzeko

intentsitate konparatzeko asmoz (ikusi eskemak geometriaren deskribapen zehatza lortze-

ko). Bi esferen kasuan, energi galeren gailurren posizioak lehengo kalkuluekin ados daude

[83, 49]. Esfera isolatuaren emaitza [36] eta koordenatu biesferikotan garatutako kalkulu

analitikoak [49, 71] formalismo honen barruan berreskuratzen dira.

Sisteman bigarren esfera sartzen denean, 9 eV-tako gailur dipolarra (l = 1) desagertzen

da. Aldameneko esferarekiko akoploak kitzikapen dipolarrari dagokion karga-dentsitatea

aldatzen du eta honen ondorioz, beste karga-dentsitate banaketari dagozkion kitzikapenak

agertzen dira galeren espektroan. 6 eV inguruko energi baxuko gailurra, aldameneko

esferen akoploaren ondorioz sortzen da, eta bi gailurretan banatzen da hiru esferaren

sistema aztertzen denean. Energi baxuko gailurren izaera bi esferenaren berdina da eta

beraiei dagokien karga-dentsitatea akoploaren ondoan pilatzen da, elektroien ibilbidearen

norabidean dipolo antzeko egitura bat sortuz. Energi altuko gailurren banaketa berdin

mantentzen da, honek, gainazal laun baten karga-dentsitate banaketari dagozkion maila

altuko kitzikapenekin erlazionatuta baita.


0

0.2

0.4

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

5 6 7 8 9 10 11 12

P(w)

w/wp

w(eV)

e-

e-

e-(u.a.)

3.2. Irudia: 100 keV-tako elektroiak pairatutako galeren probabilitatea esfera bat,bi eta hiru esferaz osatutako sistema lerrokatuan zehar paralelo higitzen denean. Es-ferak hutsez inguraturik daude eta aluminiozkoak dira. Aluminioa, Drude-ren funtziodielektrikoaren bidez deskribatzen da (ωp = 15.8 eV eta γ = 0.5 eV). Kasu guztietan,esferen erradioa 10 nm-takoa da kasu guztietan eta elektroia gainazaletik 1 nm-tarapasatzen da. Aldameneko esferen arteko distantzia 0.833 nm-takoa da. Probabilitateosoa esferen kopuruaz zatitu da hobeto konparatzeko. Eskeman laginen geometriaeta elektroiaren ibilbidea irudikatzen dira.

Inguruneak ezaugarritzen dituzten funtzio dielektriko egokiak erabiltzen badira, egoera

errealistagoak simula daitezke eta horrela, formalismoaren emaitzen baliotasuna baiezta

daiteke. Walsh-ek [43] egindako esperimentuekin oso konparaketa interesgarria egin daite-

ke. Esperimentu horietan, aluminiozko partikulak sortzen ziren AlF3-zko matrize batean.

3.3. irudian, aluminio eta AlF3-ren funtzio dielektrikoak erabiltzen direnean, lortutako

Γ(ω) esferen kopuruaz zatitutako elektroien energi galeren probabilitatea erakusten da.

Aluminiozko hiru esfera lerrokatuta kontsideratzen dira, eta d aldameneko esferen arteko

distantzia, hau da, sistemaren betetze- frakzioa (α = a/d) aldatua izan da. a erradioa 10

nm-takoa da. Galeretako ekarpenik nagusiena partikula-ingurune eta partikula-partikula

elkarrekintzetan datza (hurrenez hurren gailur dipolarra eta akoploaren gailurra), beraz,

sistema hau hurbilketa egokia izan daiteke sistema erreala simulatzeko. Betetze-frakzio

altuaren kasuan (α = 0.48 ∝ 46%), partikulen ingurua hutsa den kasuarekin konpara-


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2 4 6 8 10 12

46%38%27%15%6.5%

Pro

bab

ilit

ate

oso

a (u

.a.)

w(eV)

Al

Al

d

Al

AlF3-e

3.3. Irudia: 100 keV-tako elektroien energi galeren probabilitatea, AlF3-zko matri-zean zehar aluminiozko hiru esfera lerrokatuen ondoan lerroaren norabidean higitzendirenean. Aldameneko esferen arteko d distantzia desberdinei betetze-frakzio desber-dinak dagozkie egoera koloidal batean (α = a/d). AlF3, funtzio dielektriko optikoarenbidez ezaugarritzen da, aluminioa berriz, Drude-ren funtzioaren bidez adierazten daωp = 15.8 eV eta indargetze konstantea γ = 0.5 eV direlarik. Kasu guztietan, esferenerradioa a = 10 nm-takoa da eta elektroia gainazaletik nm batera pasatzen da.

tuz (∼ 6 eV), esfera-esfera elkarrekintzaren gailurra beheruntz jaisten da (4.5 eV-tara).

Sistemaren betetze-frakzioa jaisten baldin bada, energi altuko gailurrak mantendu eze-

zik, areagotu ere egiten dira (gailur dipolarra behintzat) eta energi baxuko gailurrak ia

desagertu egiten dira, AlF3-an aluminiozko esfera isolatuaren emaitza berreskuratuz. Ho-

wie eta Walsh-en datuak [58], 3.3. irudikoekin konparatzen baldin badugu, 8 eV-tako

gailurra, partikula-ingurune arteko elkarrekintzaren laguntzaz soilik uler daiteke. Datu

esperimentaletan bolumeneko plasmoiaren galera ere agertzen da 15 eV inguruan, baina

honek barrutik doazen ibilbideekin erlazionatuta dago.

3.3.2 Inklusioak esferoideen aurrean

Atal honetan eta hurrengoetan, nanoteknologian interes handikoak diren egitura metali-

koen moduen emaitzak emango ditugu. Simetria translazionala duten objektuen kasuetan


egin zen bezala, (3.2) adierazpenaren elkarrekintza-matrizearen diagonalizazioak, simetria

axiala daukan edozein sistemaren moduak kalkulatzeko metodo sistematikoa emango di-

gu. Moduak m zenbaki kuantikoaren bidez bereizten dira, baina modu hauen ezaugarririk

nagusienak m = 0 eta m = 1 moduak ikertuz azalduko ditugu, gainontzeko moduak, ωs

gainazal launeko plasmoiaren baliotik oso gertu agertzen baitira.

Nanopartikula txikietako elektroien energi galerak edota argiaren absorzioak, erreso-

nantzien eta xurgapenen gailurren aldaketaren baieztapena ematen digu, partikula esfe-

rikoari dagokion Mie-ren maiztasunarekin konparatuz. Nanopartikula baten erresonan-

tziaren posizioa aldatzen denean, zenbait arrazoi kontutan hartu behar da. Askotan,

koloiden betetze-frakzioa txikia eta beraz, bi partikula aurkitzeko probabilitatea ia ar-

buiagarria bada ere, aldaketa beste partikula batzuen akoploaren eragina dela adierazten

da. 3.4. irudian, m = 0 eta m = 1 gainazaleko moduen eboluzioa erakusten da bi

partikula dauden kasuan. Bi partikulak tamainu berekoak dira (a erradioa delarik) eta

bi erdipunturen arteko distantzia d izango da, irudian bezala. d < 2a denean partiku-

la bat bestearen barruan sartzen da, eta d > 2a denean partikulak banatuak agertzen

dira. Bi erdipuntaren arteko distantzia zerora hurbiltzen denean, ω =√

l2l+1

ωp kasu

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5

w/wp

d/a

m=0

d

a

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5

w/wp

d/a

d

a

m=1

3.4. Irudia: d distantzian banatutako a erradioko bi partikularen moduen espektroa, d/a-ren funtzioan.d < a denean partikula bat bestearen barruan sartzen da. d > 2a denean bi partikulak ez dute elkarukitzen. Materiala ezaugarritzen duen plasmoi-maiztasuna ωp da. m = 0 moduak ezkerretara irudikatzendira eta m = 1 moduak eskuinetara.

esferikoaren maiztasunak garbi agertzen dira. Partikulak banatzen diren neurrian, lehen-

biziko modua, oso azkar, beheruntz doa. Partikulak erabat banatuta elkar ukitu gabe

daudenean, esferaren limitea berriz berreskuratzen da. Partikula metalikoaren Mie-ren


maiztasuna ω = ωp/√

3 = 0.57ωp balioan agertzen da, eta kalkuluak aztertzen baldin ba-

dugu, erresonantziaren posizioa ω = 0.50ωp baliora aldarazteko, nahikoa dugu partikulak

d = 2.2a distantziara banatzearekin. ω = 0.50ωp balioa baino aldaketa handiagoa lortzeko

nahikoa da partikulak beraien taminuaren %10 baino gertuago ezartzearekin. Kasu hau

%50 betetze-frakzioari dagokio. Partikulak gertuago ezartzen baldin baditugu, moduaren

erresonantziaren aldaketa izugarria da modu honi dagokion eremuaren intentsitatearen

aldaketa azkarra dela eta.

Beste alde batetik, erresonantzien posizioan beste eragin handiko ekarpena, partikula

isolatuaren eitean datza. (3.5.) irudian, eskeman azaltzen den bezala, oblatetik prolatera

eitea aldatzen duen partikula baten moduen eboluzioa azaltzen da (a eta b partikularen

ardatzak direlarik). Moduen espektroa disko laun bati dagokion multzo diskretoarekin

hasten da (b/a=0), partikula esferikoaren balioetan zehar pasatzen da (b/a = 1), eta az-

kenik, zilindro solidoari dagokion multzo diskretoa berreskuratzen du (b/a →∞). Beheko

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3

w/wp

b/a

a

b

ab

m=0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3

w/wp

b/a

ab a

b

m=1

3.5. Irudia: Partikula esferoidal baten moduen espektroa b/a parametroaren aurrean, a eta b esferoidea-ren ardatzak direlarik, irudietan agertu bezala. Materiala ωp plasmoi-maiztasunaren bidez ezaugarritzenda. Partikularen eitea oblatetik prolatera doa. m = 0 moduak ezkerretara irudikatzen dira eta m = 1moduak eskuinetara.

moduaren balioa ω ∼ 0.50ωp-n agertzen da eitearen deformazioa b/a = 1.3 inguruan de-

nean, hots partikula isolatuaren %30-ren deformazioak eta %50-ren betetze-frakzioari da-

gokion partikulen akoploak, erresonantziaren posizioaren aldaketa berberera eramaten du.

Horregatik, printzipioz, absorzio espektroan bakarrik begiratuz, ezin liteke itxuragabeko

partikula eta bi partikula esferikoren sistemen artean bereiztu. Horregatik, erresonan-

tzien azterketa ez da batzuetan nahikoa, sistema baten izaera zehatzaren berri emateko.


STEM-ren kasuan, ibilbide berezi batzuek modu zehatz batzuk kitzikatuko lituzkete, lan

hau osoan zehar azaldu bezala, eta horrela, sistemaren izaerari buruzko informazio ga-

rrantzitsua eskura liteke.

3.3.3 STM-ko lagina-punta sistema

STM-ren punta eta honek ikertzen duen laginaren arteko elkarrekintza elektromagne-

tikoak, moduen eboluzioa aztertzeko beste interes hadiko kasua ematen digu (normalean

lagina gainazal launean datza). Moduen aldaketa bi egituraren arteko d distantziarekiko

finkatzea badago, Van der Waals-en indarrak, puntu horretako moduen deribatuen batuke-

taren bidez lor daitezke [101]. m = 0 eta m = 1 moduen eboluzioa 3.6. irudian eskaintzen

da. 5nm baino distantzia handiagoentzat, moduen posizioa ez da nabarmenki aldatzen,

beraz, tarte horretan Van der Waals-en indarrak arbuiagarriak direla ondoriozta daiteke.

Beste alde batetik, 5nm baino distantzia txikiagoak kontsideratzen baldin baditugu, mo-

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25 30

w/wp

d(nm)

d

m=0

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25 30

w/wp

d(nm)

m=1

d

3.6. Irudia: STM-ko konfigurazio tipikoaren lagina-punta sistemaren moduen espektroa, bien artekod banaketa-distantziaren aurrean. Puntaren angelua 90o da eta bi materialen plasmoi-maiztasuna ωp.m = 0 moduak ezkerretara irudikatzen dira eta m = 1 moduak eskuinetara.

duen erresonantziak beheruntz doaz oso azkar (deribatu espaziala handia), Beraz, tarte

honetan, Van der Waals-en indarrak nabarmenak izango dira. Indar hauek modu zehatz

batean kalkulatzeko, maila guztietako moduen deribatuak sartzea beharrezkoa izango li-

tzateke, baina praktikan, ∼ 0.7ωp inguruan dauden moduek eta and m > 2 daukatenek

ez dute ekarpen handirik bukaerako batuketan. Distantziaren aurrean aldatzen diren mo-

duak m = 0 eta m = 1 dira eta hauek izango dira, beraz, indarrean ekarpenik handiena


dutenak. Distantzia oso handia denean, gainazal launaren moduen pilaketarekin batera,

puntaren kono isolatuari dagozkion moduen multzo diskretoa lortzen da. Puntaren eitea-

ren eragina ere metodo honen barruan iker daiteke, egoera experimentala modu egokian

deskribatuz.

3.4 Esfera lerrokatuen sare infinitoa

Atal honetan, sistema konplexuagoak aztertzeko lehenbiziko hurbilketa gisa, esfera

dielektriko lerrokatuen multzo infinitoaren elektroien energi galeren espektroak (EELS)

lortuko dira. Muga-kargaren metodoa, teoria dielektriko lokalaren barruan analitikoki

garatzen da. Metodo honen abantailen artean, galerak konputatzeko behar den denbora

motza aipagarrienetako bat da.

3.4.1 Ekuazio autobateragarria

Esferen sarearen kasuan, partikulen eite esferikoa dela eta, σ(s, ω) gainazaleko karga-

dentsitatea, (r, θ, ϕ) koordenatu esferikoen bidez adieraz daiteke, z ardatz polarra di-

mentsio bateko sarearen norabidearekiko paraleloa delarik. k-esfera bakoitzaren karga-

dentsitatea, hurrengo erara idatz daiteke, bere zentruan jatorria duten Legendre-ren fun-

tzio asoziatu eta exponentzialen bidez:

σk(s, ω) =∑

l ,m

σklm(ω)Plm(µk)e

imϕk (3.5)

k = −∞, ...,−2,−1, 0, 1, 2, ...∞ indizeek esferen posizioak adierazten dituztelarik, eta

µk = cos(θk) izanik. Balio Indizeen balio positibo eta negatiboek k = 0 erdiko esferaren

alde bat edo bestea adierazten dute. a esferen arradioa da eta d aldameneko bi esferen

arteko distantzia da.

Orain, α = a/d parametroa definituz, sistemaren f betetze-frakzioa hurrengo erara

idatz dezakegu: f = 4π3

α3. Algebra xinplea erabili eta gero, (2.9) adierazpenaren ekua-

zio integrala, ekuazio algebraiko linealen multzo bihurtzea posiblea da m bakoitzarentzat.

Ekuazio hauek ebatziz, k esfera bakoitzaren σklm(ω) karga-dentsitatearen l,m termino mul-


tipolarrak eskura daitezke

(Λ− 2π

2l + 1)σk

lm =∫

d3r′ρext(r′, ω)

ε(ω)lal−1 (l −m)!

(l + m)!

Plm( z′−kd√(kd−z′)2+x′2

)

√(kd− z′)2 + x′2

l+1 e−imϕ′+

+∞∑

n−k=−∞,n−k 6=0

(2l + 1)(l −m)!

(l + m)!

∑

j

2π

2j + 1αj+2 × [(j + 1)Im

lj(n−k) − Zmlj(n−k)]σ

njm (3.6)

σklm koefizienteen ω-rekiko menpekotasuna suposatzen delarik. Im

lj(n−k) eta Zmlj(n−k) n es-

feraren j termino multipolarra k esferaren l termino multipolarrarekin elkartzen dituzten

faktore geometrikoak dira. Beraien definizioa zera da:

Imlj(n−k) =

∫ 1

−1

dµ[α− (n− k)µ]

(α2 + (n− k)2 − 2(n− k)αµ)j+32

Pjm(µ− α√

α2 + (n− k)2 − 2(n− k)αµ)Plm(µ)

(3.7)

eta

Zmlj(n−k) =

∫ 1

−1

dµ(n− k)(1− µ2)

(α2 + (n− k)2 − 2(n− k)αµ)j+42

P ′jm(

µ− α√α2 + (n− k)2 − 2(n− k)αµ

)Plm(µ).

(3.8)

(3.6) ekuazioak, ekuazio algebraiko linealen ebazpenaren bidez, esfera bakoitzaren

karga-dentsitatearen edozein osagai multipolar eskuratzeko aukera ematen du. (3.6) ekua-

zioaren eskuineko aldeko bigarren terminoak, esferen arteko elkarrekintza ematen du, α

betetze-parametroaren menpe dauden (3.7) eta (3.8) adierazpenetako integralei esker.

Sistemaren moduak 3.6 ekuazioaren soluzio ez-tribialak dira. (3.6) ekuazioan aldamene-

ko esferen arteko elkarrekintzaren terminoa arbuiatzen baldin bada, Λ − 2π2l+1

= 0 esfe-

ra isolatuaren moduak berreskuratu egiten dira. Gainera, elektroi erasotzaileak sortzen

duen potentzial autobateragarriak elektroiaren posizioan duen eragina kalkulatzen baldin

badugu, Ferrel eta Echenique-ren emaitza berreskuratzen da [36]. Modu berean, esfe-

ra elkarreginkorren kopuru infinito honen moduak 3.6 ekuazioan elkarrekintza terminoa

kontutan hartuz lortzen dira. Orokorrean, 3.6 ekuazioan, infinito esfera hartu beharko

litzateke, baina ω osagaiaren gainbehera azkarra dela eta, potentzial induzituan bakarrik

aldameneko esferen eraginaren ekarpena izango da garrantzitsua. Puntu hau hurrengo

atalean galeren espektroak aztertzerakoan sakonago ikertu dugu.


3.4.2 Ibilbide paraleloa

Lehengo atalean aurkeztutako ekuazioa, elektroi bat esfera metaliko multzo baten on-

doan, lerroaren z ardatzarekiko paralelo pasatzen deneko kasua ebatziko dugu. Demagun

esferak inguratzen dituen ingurunea hutsa dela, hots ε1(ω) = 1 eta esfera dielektrikoak

maiztasunaren menpe dagoen (0.5) adierazpenaz emandako Drude-ren funtzio dielektriko

baten bidez ezaugarritzen ditugula. Hemen, ωp = 15 eV eta γ = 0.5 eV kontsideratuko

ditugu, baina prozedura inguruneak deskribatzen dituzten funtzio dielektrikoen edozein

bikotetarako aplika daiteke.

Esferen sarearen ardatzarekiko paralelo higitzen den elektroiaren kanpoko karga-dentsitatea

zera da ρext(r′, ω) = −1/vδ(r′⊥−b)eiωz′/v, r′⊥ elektroiaren ibilbidearekiko koordenatu per-

pendikularra, b talka parametroa eta v elektroiaren abiadura direlarik. Kasu zehatz

honetan, zentzudun magnitudea esfera bakoitzeko energi galera da, galera totala infinitoa

baita. Sare infinito batean eta honelako ibilbide baterako, energi galerari dagokionez,

esfera guztiak berdinak dira, eta horregatik, k indizea ekuazioetatik ken daiteke eta ba-

karrik indizeen diferentziaren menpe dagoen terminoen batuketak erabil daitezke. Beraz,

gainazaleko karga-dentsitatea, k-rekiko menpekotasunik gabe, orokorrean adieraz daiteke.

Kanpoko karga-dentsitatearen adierazpena (3.6) ekuazioan sartzen baldin badugu, esfera

bakoitzeko energi galeren probabilitatea adierazpen honen bidez azal daiteke:

P (ω) =16

v2

∑

l ,m>0

(2− δm,0)Im{Alm(ω)} a

2l + 1

(ωa/v)l√(l + m)!

√(l −m)!

K2m(

ω

vb) (3.9)

Km(x) m mailako Bessel-en funtzio aldatua delarik. Adierazpen hau, Ferrell eta Echenique-

k esfera isolatuarentzat aurkitutakoaren berdina da [36]. Esferen arteko elkarrekintza

Alm(ω) = Alm koefizienteen bidez kontutan hartzen da baina kasu honetan, koefiziente

hauek hurrengo ekuazio algebraiko linealak bete behar dituzte

(Λ− 2π

2l + 1)Alm =

l

ε(ω)√

(l + m)!√

(l −m)!(ωa

v)l

+

+(2l + 1)∑

j

2π

2j + 1αj+2 ×

∞∑

n=−∞,n6=0

[(j + 1)Imljn − Zm

ljn]eωnd

viAjm (3.10)

Alm eta σlm hurrengo erara erlaziona daitezkeelarik:

σlm = −Alm2(i)l−m

vKm(

ωb

v) (3.11)

3.7.(a) irudian energi galeren probabilitatea P (ω) erakusten da elektroia aluminiozko

esferen multzo infinitoaren ondoan 2nm-tara paralelo higitzen denean. α parametroaren


0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a=0.48a=0.45a=0.4a=0.33

P(w)

w(eV)(a)

e-

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

4 5 6 7 8 9 10 11 12

a=0.48a=0.45a =0.4a=0.33

w(eV)

e-

P(w)

(b)

3.7. Irudia: (a) Esfera lerrokatuen multzo infinito baten ardatzarekiko paralelo hi-gitzen diren 100 keV-tako elektroien energi galeren probabilitatea. Esferak hutsez in-guraturik daude eta aluminiozkoak dira. Aluminioa deskribatzeko Drude-ren funtziodelektrikoa erabiliko dugu plasmoi-maiztasuna ωp = 15 eV eta indargetze-konstanteaγ = 0.5 eV direlarik. a = esferen erradioa 2 nm-takoa da eta d aldameneko esferenarteko distantzia. Elektroia esferen gainazaletik 0.2 nm-tara pasatzen da. α = a/d

betetze-parametro desberdinak erabili dira irudian agertzen den bezalako geometrian.(b), (a) kasuan bezala, baina a partikulen erradioa 10 nm eta gainazalerainoko elek-troien distantzia 1 nm direlarik.


bidez betetze-frakzio desberdinak aztertzen dira. Kalkulu guztietan, ekuazio algebrai-

ko linealen multzoa lmax=20 balioan ebaki da eta elkarrekiten duten esferen kopurua,

betetze-frakzioaren arabera konbergentzia lortu arte, handitu da. Betetze-frakzio txi-

kirentzat (α < 0.4), koefizienteen balioen konbergentzia esfera bakoitzaren aldameneko

10 esferak kontutan hartuz lortu egin da. Betetze-frakzio handirentzat (α = 0.48) esfe-

ra gehiago behar dira aldameneko esferen arteko elkarrekintza askoz indartsuagoa baita.

Hala ere, kasu honetan, esfera bakoitzaren aldamenean 20 esferaren elkarrekintza kon-

tutan hartzean, konbergentzi osoa lortzen zen. Horregatik esferen kopuruaren ebaketa

honekin, multzo infinitoa modelatzen dugu, oso urrun dauden esferek ez baitute eraginik

elkarrekintzan. Elektroien ibilbide honetarako bi gailur nagusi daude. α = 0.48 balioari

dagokion betetze-frakzioaren kasuan, hau da 0.16 nm esferen arteko distantziarentzat,

energi baxuko gailurra 5 eV-tan kitzikatzen da. Bi esferatako sisteman betetze-frakzio

berbera erabiliz (α = 0.48) energi baxuko gailurra 6.2 eV-tan agertzen da ([71]), beraz

esfera gehiago sartzen direnean energi baxuko gailurra beheruntz abiatzen dela ondo-

riozta dezakegu. Efektu honen berri iadanik Vagov-ek et al.[105] eman zuten NaCl-zko

sareetan. Betetze-frakzioa txikiago egiten den neurrian, gailur honen posizioa goruntz

abiatzen da. Esferen arteko distantzia oso handia egiten baldin badugu, hau da, esfera

bakoitza bere aldamenekoetatik oso urrun dagoenean (α = 0.25), esferen arteko elkarre-

kintza oso ahula da eta esfera isolatuaren kitzikapen dipolarra berreskuratzen da (8.6 eV).

9.5 eV-tako energi altuko gailurraren posizioa gutxi aldatzen da. Energi baxuko gailurrei

dagokien gainazaleko karga-dentsitateak partikula bakoitzean dipoloaren antzeko portae-

ra erakusten du, dipoloa elektroien ibilbidearekiko paraleloa izanik. Gailur hau sistema

akoplatuaren ezaugarria da, aldameneko esferek oso hurbil daudenean, bi gainazalen ar-

tean dipoloa sortzen baitute. Kasu honetan, karga induzitua bi esferaerdietan pilatzen

da kontrako zeinuekin. Betetze-frakzioa handia baldin bada, dipoloak oso erraz sortzen

dira, esfera bateko dipolo baten agerpenak bestearena sortzen laguntzen baitu. Esferak

banatzen baldin badira, energia goruntz doa, dipolo hauek osatzea zailagoa suertatzen

baita. Betetze-frakzio txikiaren mugan, esfera isolatuaren kitzikapen dipolarra 8.6 eV-tan

berreskuratzen da, baina orain dipoloa esfera bati dagokio eta bere norabidea elektroien

ibilbidearekiko perpendikularra da. Beste alde batetik, 9.5 eV-tako energi altuko gailu-

rrak, l eta m termino multipolar askoren ekarpena dauka. Kitzikapen kolektibo honen

izaera esfera isolatuan sortutakoaren antzekoa da, baina hemen, beste esferekiko akoploa

kontutan hartzen da. 3.7.(b) irudian (a =10 nm) erradio handiagoko esferetako emaitzak

aurkezten dira. Esferen arteko akoploa garatzeko gainazal zabalagoa dela eta, energi ba-

xuko gailurren posizioak pixka bat altuago agertzen dira. Hala ere gailurren joera (a)


irudikoaren antzekoa da. Esfera isolatuaren kasua, era berean berreskuratzen da kasu

honetan.

Betetze-frakzio handiko kasuarentzat (∼ 50%), α ∼ 0.49 delarik, gailurren posizioen

portaera esferen erradioaren aurrean azter daiteke. 3.8. irudian, esfera bakoitzeko energi

galeren espektroa partikulen erradioaz normalizatua erakusten da. Aldameneko esferen

elkarrekintza indartsuari dagokion energi baxuko gailurra goruntz abiatzen da eta ia desa-

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

4 6 8 10 12 14

Esf

era

bak

oit

zek

o g

aler

en p

rob

abil

itat

ea (

u.a

.)

w(eV)

a=3nm

a=40nm

a=35nm

a=30nm

a=25nm

a=20nm

a=15nm

a=10nm

a=5nm

a=a/d=0.49

e-

a erradioa

3.8. Irudia: Esferen multzo infinito baten ardatzarekiko paralelo higitzen diren100 keV-tako elektroien esfera bakoitzeko energi galeren probabilitatea partikulenerradioaz normalizatua. Aluminiozko esferak hutsez inguraturik daude 3.7. irudietanbezala. Esferen erradioa 3 nm-tatik 40 nm-tara handitzen da, talka parametroa 1.1a

delarik. α = a/d betetze-parametroa, α = 0.49 hartu da, d esferen zentruen artekodistantzia delarik.

gertu egiten da partikulen tamainua handiagotzen den neurrian. Erdiko gailurrak antzeko

portaera erakusten du, eta energi altuko gailurra nahiko konstante mantentzen da, gai-

nazal launaren 10.2 eV-tako baliora hurbilduz. 40 nm baino handiagoak diren partikulen

kasuan, azken gailur hau espektroan geratzen den ezaugarri bakarra da, elektroi eraso-

tzaileak esferen gainazaletik gertu pasatzean gainazal launaren antzeko egitura nabaritzen

baitu. Ibilbide paraleloek ωs plasmoi launaren azpiko gailurrak kitzikatzen dituzte. Balio

hau baino maiztasun handiagoko kitzikapenak, esferen arteko ibilbide perpendikularrei

dagozkie.


3.4.3 Ibilbide perpendikularrak

Esferen ardatzarekiko ibilbide perpendikularraren kasuan, esfera bakoitzaren po-

sizioa oso garrantzitsua da eta esfera bakoitzaren gainazaleko karga-dentsitatea adie-

razteko k indizea mantendu egin behar da. Hau dela eta, ekuazio algebraiko linea-

len multzoan, esferen kopuruaren arabera koefiziente gehiago sartu behar dira. Ibilbide

perpendikularrari dagokion elektroiaren kanpoko karga-dentsitatea zera da ρext(r′, ω) =

−1/vδ(x′−x′0)δ(z′−z′0)e

iωy′/v, x′0 eta y′0 talka parametroaren koordenatuak direlarik. 3.9.

irudian, marrazkian azaldu bezalako ibilbideetako P (ω) energi galeren probabilitatea es-

kaintzen da, α = 0.45 betetze-parametroaren balioarentzat. Esfera-esfera elkarrekintzan

zenbat esferaren eragina kontutan hartu behar den aztertzeko asmoz, erdiko esferaren alde

bakoitzean, aldameneko esferen kopuru desberdinak kontsideratuko ditugu. Alde bakoi-

0

0,1

0,2

0,3

0,4

4 5 6 7 8 9 10 11 12

3 esfera7 esfera11 esfera

P(ω)

ω(eV)

e-k=0

k=1

k=2

k=-1

k=-2

3.9. Irudia: Eskeman azaldu bezala, 10nm-tako esferen lerroarekiko perpendiku-larki hutsean higitzen diren 100 keV-tako elektroien galeren probabilitatea. Talkaparametroaren koordenatuak x′0 = 11 nm eta z′0 = 0 nm dira, x=0 eta z=0 erdikoesferaren zentrua adierazten dutelarik. Hiru kasu irudikatzen dira, erdiko esfera-ren aldamenean dauden esferen kopuruaren arabera. Kontutan hartzen diren esferenkopurua espektroen ondoan ezarri da. Kasu guztietan, elektroien ibilbidea erdikoesferaren ondoan doa. Esferen materiala Drude-ren funtzio dielektrikoaren bidez des-kribatzen da, plasmoi-maiztasuna ωp = 15 eV eta indargetze-konstantea γ = 0.5 eVdirelarik.


tzean esfera bat bakarrik ezartzen denean (puntuzko lerroa) bi gailur nagusi kitzikatzen

dira 7.8 eV eta 9.2 eV-tan. Energi baxuko gailurra, dipolarraren antzeko kitzikapen bati

dagokio, baina oraingo honetan, dipoloaren norabidea esferen lerroarekiko perpendikula-

rra da. Energi altuko kitzikapena maila altuko terminoei dagokie. Erdiko esferaren alde

bakoitzean hiru esfera ezartzen baldin badira (lerro etena) 7.8 eV-tako kitzikapenaren

pisua pixka bat aldatzen da. Esfera gehiago ezartzen baldin baditugu gailur hau ez da

gehiago aldatzen. Energi altuko gailurra, esfera gutxi ezarrita ere, ez da aldatzen. Alde

bakoitzean 5 esfera ezarri eta gero (lerro jarraia) oso energi baxuko kitzikapenek bakarrik

nabaritzen dute esferen kopurua, multzo infinitora hurbiltzen garen neurrian ia desagertu

egiten baitira. Aldaketa hau logikoa da kitzikapen hauen eremua e−ωx/v funtzioaren ara-

bera gainbeheratzen baita, x distantzia delarik. Horregatik, esfera eraginkorren kopurua

handitzen da ω txikiagoa egiten denean. 3.9. irudia aztertzen baldin badugu, espektroa-

ren ezaugarririk nagusienak tamainu tarte honetan azaltzerakoan, erdiko esferaren alde

bakoitzean (esfera erasotua) esfera pare bat ezartzea nahikoa dela ondoriozta daiteke,

ω balio gehienentzat. Hala ere, energi baxuko tartea zehazki aztertzeko esfera gehiago

kontutan hartu behar dira.

3.5 Ondorioak

Kapitulu honetan muga-kargaren metodoa, simetria axiala duten objektuei aplikatu

zaie. Honek, aurrekoo kapituluan bezala, zenbait sistema konplexu aztertzea ahalbidetu

digu. Haien artean, partikula koloidalak, inklusioak edota STM-ko lagina-punta sistema

aipagarrienetakoak dira. Partikula baten eitea alde batetik, eta partikulen arteko elka-

rrekintza beste alde batetik, erresonantzien maiztasunaren posizioan duten eragina oso

modu sistematikoan aztertu da elkarrekintzaren matrizearen bidez. Aztertutako egitu-

retan, elektroi erasotzaileak induzitutako gainazaleko karga-dentsitatea zuzenean atera

daiteke formalismo honen barruan eta honek, kitzikapenen izaeraren berri eman digu.

Muga-kargaren metodoa analitikoki garatu da esfera lerrokatuen multzoaren kasuan

(hau da, lerroa dimentsio batean garatzen da). Bai elektroi erasotzaileen ibilbide pa-

raleloak, bai perpendikularrak ikertu dira. Armoniko esferikoetan oinarritutako karga-

dentsitatearen garapenak konputatzeko oso denbora gutxi erabiliz, oso sistema konplexua

ikertzen utzi digu. Horregatik, metodo honek, 2 edota 3 dimentsiotako sare periodiko

ordenatuak bezalako egitura konplexuei aurre egitea ahalbide dezake.

4. Kapitulua

Lokaltasun ezaren eragina STEM-an:

zulo zilindrikoak

4.1 Sarrera

Geometria zilindrikoari buruzko interesa, elektroi sorta erasotzaileak material ezorga-

nikoetako zuloak egiteko gaitasunean datza (Mochel et al. [110]; Scheinfein et al. [111];

Macaulay et al. [112]; Walsh [43]). Chu-k et al. [38] kanal zilindrikoetan zehar bidaiatzen

ziren partikula kargatuen energi galeren lehenbiziko ikerketa egin zuten eta adierazpen

ez atzeratuak lortu zituzten arazoa deskribatzeko. Ashley eta Emerson-ek [106] gainazal

zilindrikoen gainazaleko plasmoiaren sakabanaketa erlazioa lortu zuten eta De Zutter eta

De Vleeschauwer-ek [39] adierazpen atzeratua lortu zuten zilindroaren ardatzean zehar

higitzen den elektroiaren ibilbidearentzat. Zilindroetako gainazaleko plasmoien kitzikape-

na beste egile batzuek ere ikertu egin dute (Pfeiffer et al. [107]; Martinos and Economou

[108]; Warmack et al. [109]; Zabala et al. [40]; Rivacoba et al. [41]), baita bi zilindroen

arteko akoploa ere [50]. EELS-ren deslokalizazioa eta gainazal mugatzaileari buruzko

interesa handitzen zen neurrian, gero eta sorta erasotzaile energetikoaren sakabanaketa

angelu handiagoak erabili dira mikroskopia elektronikoan. Honek, momentu transferitua-

ren angelu handiagoak eskatzen ditu, eta ingurunea deskribatzeko dispertsioa kontutan

hartzen duen ε(k, ω) funtzio dielektrikoa behar izatera bultzatzen gaitu. Materialaren

erantzunaren lokaltasun eza kontutan hartzeko eragina kasu launean sakonki aztertu da.

Johnson eta Rimbey-ek [113] gainazal baten sakabanaketa espazialaren zenbait aspek-

tu ikertu zuten muga-baldintza gehigarrien bidez (ABC). Echenique-k et al [28] plano

laun batek mugaturiko metal erdiinfinitoaren gainazalaren funtzio dielektrikoa definitu

zuten gainazaletik kanpoko potentzial irudia kalkulatzeko asmoz. Fuchs eta Barrera-k

93

94 4. Kapitulua

[114] metal baten gainazaletik gertu dagoen dipolo baten erantzuna deskribatu zuten,

materialaren erantzunaren lokaltasun eza kontutan hartuz, eta Batson-ek [115] STEM-

ren efektu ez-lokalak ikertu zituen, k menpean dagoen bolumeneko funtzio dielektrikoa

adierazpen klasikoetan sartuz. Echenique [55] eta Zabala-k eta Echenique-k [116] elek-

troi sorta azkarrek sortutako gainazaleko kitzikapenen dispertsioaren efektuak kalkulatu

zituzten eta elektroien ibilbidea gainazaletik 0.5 nm baino gertuago denean garrantzi-

tsuak direla ondorioztatu zuten. Garcıa de Abajo eta Echenique-k [117, 118] ingurune

sakabanakor baten wake potentziala geruza mehe batean eta gainazal baten aldamenean

ikertu zuten. Azken lan hauetan, ingurunea (normalean metal bat) isladapen espekularra

(SRM) edota barrera infinito semiklasikoaren ereduaren barruan (SCIB) deskribatu zuten

(Ritchie eta Marusak [119]; Fuchs eta Kliewer [120]). Eredu honek, metalaren gainazala-

ren izaera difusoa ondo ez deskribatu arren, lokaltasun ezaren aspektu gehienak kontutan

hartzen ditu. Dasgupta eta Fuchs-ek [121] metodo hau erabili zuten esfera ez-lokal baten

erantzuna ikertzeko eta Fuchs eta Claro-k [56] emaitza osatu zuten termino multipola-

rren adierazpenak emanez. Rojas-ek et al. [122] geruza batez estalitako esfera txikiaren

erantzuna aztertzeko, lokaltasun eza kontsideratu zuten. Walsh-ek [43] egindako zenbait

esperimentuk, elektroi sorta laginarekiko posizio finkoa mantentzean sortutako zulo zilin-

driko txikien ikerketa interesgarria garatzen lagundu zuten. Esperimentu hauek AlF3-an

egin ziren eta sortaren elkarrekintzaren ondorioz materialak aldaketa kimikoa pairatzen

zuen aluminiozko koloideak sortuz. Howie eta Walsh-ek [58] emaitza hauek azaldu zi-

tuzten Maxwell Garnett-en ingurune eraginkorraren teoriaren garapen fenomenologikoa

erabiliz [123]. Garapen horretan elektroien ibilbideen batezbestekoa erabiltzen zen. Ge-

ruza metalikoaz estalitako zuloen energi galeren adierazpenak Zabala-k et al [40] aurkeztu

zituzten, baina inklusio metalikoen izaera koloidala, Howie eta Walsh-ek [58] proposatuta-

ko ingurune eraginkorraren teoriaren bidez hobeto deskribatzen dela ematen du. Barrera

eta Fuchs-ek [90] teoria hau garatu zuten ε−1(k, ω) funtzio dielektriko longitudinalaren

alderantzizkoa kalkulatuz esfera elkarreginkorren multzo arbitrarioarentzat. Funtzio hau

adierazpen espektralaren bidez adierazten da, sistemaren bolumeneko espektroa zehazki

deskribatzeko k-rekiko duen menpekotasuna oso garrantzitsua izanik. Horrelako mate-

rial baten energi galeren espektroek zulo zilindrikoetako dispertsioaren efektuak kontutan

hatu beharko lituzketenez, hemen ε(k, ω) ez-lokalaren bidez ezaugarritzen den ingurunez

inguraturiko zulo batean zehar higitzen diren elektroi azkarren luzera unitateko energi ga-

leren probabilitatea aurkeztuko dugu. Kasu esferikoan Dasgupta eta Fuchs-ek [121] erabili

zuten antzeko eskemari jarraituko diogu, hau da, ingurunearen erantzuna deskribatzera-

koan, SCIB-a legezkoa dela suposatuko dugu. Zulo zilindrikoetako adierazpenak lortu

Lokaltasun ezaren eragina STEM-an: zulo zilindrikoak 95

ondoren, metodoa egitura konplexutan aplikatzeko aukerari buruz eztabaidatuko dugu.

Egitura konplexu hauen artean, k eraginkorraren bidez deskribatzen diren sistemak edota

fulereno tubularrak bezalako mikroegiturak aipa daitezke.

4.2 Barrunbe bateko potentzialaren adierazpen ez-

lokalak

Demagun elektroi klasikoa a erradiodun zulo zilindrikoan zehar v abiaduraz Z arda-

tzarekiko paralelo higitzen dela, zuloaren erditik ρo distantziara, 4.1. irudian erakusten

den bezala. Barrunbea inguratzen duen ingurunearen materiala ε(k, ω) funtzio dielek-

triko baten bidez ezaugarritzen da. Atzerapen efektuak arbuiagarriak dira, barrunbea

argiaren luzera baino txikiagoa baita. Laplace-ren ekuazioa koordenatu zilindrikoetan

aρ

Z

oe-

ε(k,ω)

4.1. Irudia: a erradiodun zilindro baten ardatzarekiko paralelo v abiaduraz higitzenden elektroia, barrunbearen erditik ρo distantziara. Zuloa inguratzen duen materialaε(k, ω) funtzio dielektriko ez-lokal baten bidez ezaugarritzen da.

bana daiteke oso era arruntean eta Poisson-en ekuazioa Green-en funtzioen garapenaren

bidez ebatz daiteke koordenatu zilindrikoetan (Jackson [16]). Orduan, V (r) zilindroaren

barruko potentzialak (zuloa hutsa dela suposatuz) ondorengo adierazpena izango du:

96 4. Kapitulua

V (r, ω) =−1

2π

∫ ∞

−∞dqeiqz

+∞∑

m=−∞4πδ(ω − qv)eimϕ[Im(qρo)Km(qρ)θ(ρ− ρo) +

Km(qρo)Im(qρ)θ(ρo − ρ)] +1

2π

∫ ∞

−∞dqeiqz

+∞∑

m=−∞AmeimϕIm(qρ), (4.1)

lehenbiziko terminoa Coulomb-en termino zuzena, eta bigarrena muga-baldintza arrun-

ten bidez lortzen den termino induzitua direlarik. Beti bezala, muga-baldintza arruntak,

ρ = a-n potentzial eta desplazamenduaren osagai normalaren jarraitasuna dira. Im(x) eta

Km(x), m mailako Bessel-en funtzio aldatuak dira (Gradhsteyn eta Ryzkik [64]) eta θ(x)

Heaviside-ren funtzioa da. Beraz, arazoa potentzialaren termino induzituaren Am koefi-

zienteak aurkitzean datza. Barrunbearen kanpoan (ρ > a) ondorengoa idatz dezakegu:

∇ ·D = 0 (4.2)

∇× E = 0 (4.3)

Ritchie eta Marusak-i [119] jarraituz, zilindro kanpoko eremuak ebazteko, inguru-

nea infinitoa dela emango dugu. Ingurune honek hurrengo baldintzak betetzen ditu: (i)

Maxwell-en ekuazioak baliagarriak dira ingurune infinitoaren ρ > a aldean. (ii) Beneta-

ko zilindroaren kanpoko eremuak, erantzun funtzio berbera daukan ingurune infinitoaren

berdinak dira. (iii) Ingurune infinito honetan, desplazamenduaren osagai normala Dρ ez

da jarraia ρ = a posizioan, baina osagai tangentzialak jarraiak dira. Beraz, ingurune

uniformean, ρ = a posizioan, D-ren iturria den itxurazko zilindro kargatua kontsidera-

tzen ari gara. Hau dela eta, ∇ ·D = 0 (normalean ingurune infinito eta jarraian zehar

betetzen dena) ez da betetzen zilindroaren gainazalean. Orain VD(r) funtzio potentziala

aurkeztuko dugu, horrela definituta

D(r) = −∇ VD(r). (4.4)

Itxurazko ingurunearen zilindroaren barruan, V (r) eta VD(r) horrelakoak izango dira:

V (r) =1

2π

∫ +∞

−∞dq eiqz

+∞∑

m=−∞eimϕVm(ρ), (4.5)

eta

VD(r) =1

2π

∫ +∞

−∞dq eiqz

+∞∑

m=−∞eimϕVDm(ρ). (4.6)

(4.2) eta (4.3) adierazpenak, (4.4) adierazpenarekin batera horrela labur daitezke:

∇2VD = 0. (4.7)


e−ikr funtzioaz biderkatuz eta integratuz:

−k2VD(k) + a+∞∑

m=−∞

1

2πCm[

∫ +∞

−∞dz

∫ 2π

0dϕ e−ikr

∫ +∞

−∞dq eiqzeimϕ]ρ=a = 0, (4.8)

non

Cm = −[dVDm

dρ]ρ=a− + [

dVDm

dρ]ρ=a+ (4.9)

baita.

e−ikr koordenatu zilindrikoetan garatuko dugu hurrengo erlazioa erabiliz [16]:

e−ikr = e−iqz+∞∑

p=−∞(−i)peip(θ−ϕ)Jp(Qρ), (4.10)

k2 = Q2 + q2 delarik, θ eta ϕ, k eta r aldagaien angelu azimutalak direlarik, eta Jp(Qρ) p

mailako Besselen funtzioa delarik. (4.8) z eta ϕ-an zehar integratu eta gero, zera lortuko

da:

VD(k, ω) =+∞∑

m=−∞2πaCm(−i)meimθ Jm(Qa)

Q2 + q2, (4.11)

eta hemendik

V (k, ω) =+∞∑

m=−∞2πaCm(−i)meimθ Jm(Qa)

(Q2 + q2)ε(k, ω). (4.12)

(0.5) adierazpenaren eskemari jarraituz, espazioaren koordenatuetara bueltatuko gara

zera lortzeko:

VD(r, ω) =a

(2π)2

+∞∑

m=−∞Cmeimϕ

∫ +∞

−∞dq eiqz

∫ +∞

0Q dQ

Jm(Qa) Jm(Qρ)

Q2 + k2z

, (4.13)

eta

V (r, ω) =a

(2π)2

+∞∑

m=−∞Cmeimϕ

∫ +∞

−∞dq eiqz

∫ +∞

0Q dQ

Jm(Qa) Jm(Qρ)

(Q2 + k2z)ε(k, ω)

, (4.14)

Orain, potentzial hauek gure benetako sistemarenak direla emango dugu zilindroaren

kanpoan (ρ > a), eta (4.1) adierazpenak, zilindroaren barrukalderako (ρ < a) ematen

dituenekin, muga-baldintzak betearaziko diegu. Dρ(r), bi kasuetan, D(r) = −∇VD(r)

adierazpenaren bidez lortzen da eta honek ere jarraia izan behar du ρ = a-n. Jarraitasun

ekuazioek, V (a+) = V (a−) eta Dρ(a+) = Dρ(a

−) ematen dute, eta Am koefizienteen

balioa emango dute:

98 4. Kapitulua

Am = 4πδ(ω − qv)Im(qρo)K′m(qa)[

εm(q, ω) Km(qa) Im(qa)− 1

εm(q, ω) I2m(qa) K ′

m(qa)− I ′m(qa)], (4.15)

non1

εm(q, ω)=

∫ ∞

0

J2m(Qa)

(Q2 + q2)ε(k, ω)Q dQ (4.16)

sakabanaketaren efektuen berri ematen duen eta potentzialaren adierazpena zilindroaren

barruan lortzeko sartu egin behar den.

4.3 Barrunbeko elektroien energi galerak

Orain ε(k, ω) erantzun funtzioaren bidez ezaugarritako material baten barrunbean zehar

higitzen den elektroiaren energi galerak ikertuko ditugu (EELS). Γ(ω) luzera unitateko ω

energia galtzeko probabilitatea, partikularen posizioaren gainean (ρ = ρo, ϕ = ϕo, z = vt)

kalkulatutako eremu induzituak emango du:

−[∂φind

o (r, t)

∂z]ρ=ρo =

∫ ∞

0dω ω Γ(ω) (4.17)

φindo (r, t) Fourier-en transformazioaren bidez ematen delarik (Eq. [0.5)]. Algebra pixka

bat egin eta gero, energi galeren probabilitatea zera da:

Γ(ω) =2

πv2

m=+∞∑

m=−∞I2m(

ωρo

v) K ′

m(ωa

v)Im[

εm(q, ω) Km(ωav

) Im(ωav

)− 1

εm(q, ω) I2m(ωa

v) K ′

m(ωav

)− I ′m(ωav

)], (4.18)

non

1

εm(ω)=

∫ ∞

0

J2m(Qa)

(Q2 + (ωv)2)ε(k, ω)

Q dQ (4.19)

baita, eta Im[x], x-en zati imaginarioa delarik. ε(k, ω) = ε(ω) egiten baldin badugu, ondo

ezagutua den limite lokala berreskuratzen dugu:

Γ(ω) =2

πv2

m=+∞∑

m=−∞I2m(

ωρo

v) Km(

ωa

v)K ′

m(ωa

v)Im[

ε(ω)− 1

ε(ω) Im(ωav

) K ′m(ωa

v)− I ′m(ωa

v)Km(ωa

v)].

(4.20)

Dispertsioaren ondorioak ikertzeko asmoz, eredu hidrodinamikoaren barruan lortu-

tako erantzun funtzio ez-lokal xinplea erabiliko dugu, momentuarekiko menpekotasuna

deskribatzeko:


ε(k, ω) = 1− ω2p

ω(ω + iη)− β2k2(4.21)

β = 3/5v2F , vF Fermi-ren abiadura, ωp plasmoiaren maiztasuna eta γ indargetze-konstantea

direlarik. Aluminioz inguraturiko zuloa kontsideratuko dugu (ωp= 15.1 eV eta γ = 0.1ωp).

4.2. irudian a = 10 A erradiodun barrunbe zilindrikoaren galeren espektroa konparatzen

da, bi kasu desberdinetan: ingurunea ezaugarritzeko erantzun funtzioa ez-lokala (lerro

jarraia) eta lokala (lerro etena) erabiltzen direnean. Kasu lokalean m=1 eta m=0 moduei

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.4 0.6 0.8 1 1.2

Γ ( ω )

ω /ωp

ρ0= 10 Å

ρ0= 8 Å

ρ0= 5 Å

ρ0= 0 Å

erradioa a = 10Åa

ρ

Z

oe-

ε(k,ω)

4.2. Irudia: 10 A erradiodun zuloan zehar higitzen den 100 keV-tako elektroiarenΓ(ω) luzera unitateko energi galeren probabilitatea, Drude-ren material batean zilin-droaren ardatzatik distantzia desberdinetara. Lerro etenak funtzio dielektriko lokalaerabiltzen denean eskuratutako galeren espektroa erakusten du eta lerro jarraiak ereduhidrodinamikoak emandako funtzio dielektriko ez-lokala erabiltzen denean. γ = 0.1ωp.Espektroak bertikalki altxatu dira.

dagozkien bi gailur agertzen dira 10.6 eV eta 15 eV-tan. Kasu ez-lokalean energi baxuko

gailurrak (m=1) 0.7 eV-tako aldaketa pairatzen duen bitartean (11.2 eV-tan agertzen da).

Erradio txikientzako gainazaleko modua, eta ez bolumenekoa den m=0 moduak (15 eV),

100 4. Kapitulua

ez du dispertsioaren eragina pairatzen, karga monopolarraren banaketari dagokio eta. Ar-

datzean zeharko ibilbideentzat, hau da kitzikapenik nagusiena, eta dispertsioaren eragina

ez da nabaritzen, elektroia paretatik urrunago baita. Ibilbidea paretara hurbiltzen den

heinean dispertsioak m=1 moduari dagokion energi baxuko gainazaleko kitzikapenaren

pisua eta posizioa aldatzen ditu, eta gailurra ia desagerarazten du. Aldaketa hau nabar-

menagoa da, elektroia bi inguruneak bereizten dituen gainazalean zehar higitzen denean.

Tratamendu lokalean emaitza desberdinak lortzen dira elektroia gainazalera barrutik edo

kanpotik hurbiltzen denean, baina arazo hau tratamendu ez-lokalaren barruan ebazten

denean, emaitza berdinka lortzen dira. Barrunbeko erradioa handitzen den neurrian,

energi baxuko gainazaleko plasmoiaren kitzikapena, m=0 kitzikapenarekin konparatuz,

garrantzitsuagoa da, indar erlatiboari dagokionez. Hau, a=50 A erradiodun barrunbe

0.4 0.6 0.8 1 1.2ω /ω

p

ρΟ=50 Å

ρΟ=40 Å

ρΟ=25 Å

ρΟ=0 Å

ρΟ=52 Å

ρΟ=65 Å

ρΟ=100 Å

erantzun lokala

(b)

0

0.02

0.04

0.06

0.4 0.6 0.8 1 1.2

Γ(ω )

ω /ωp

ρΟ=50 Å

ρΟ=40 Å

ρΟ=25 Å

ρΟ=0 Å

ρΟ=52 Å

ρΟ=65 Å

ρΟ=100 Å

erantzun ez-lokala

(a)

4.3. Irudia: 50 A erradiodun zuloan zehar higitzen den 100 keV-tako elektroiaren Γ(ω) luzera unitatekoenergi galeren probabilitatea, Drude-ren material batean zilindroaren ardatzatik distantzia desberdine-tara. Eredu hidrodinamikoak emandako funtzio dielektriko ez-lokala erabiltzen denean (a) eta funtziodielektriko lokala (b) erabiltzen denean eskuratutako galeren espektroak erakusten dira. γ = 0.1ωp.Espektroak bertikalki altxatu dira.


zilindrikoaren galeren espektroa erakusten duen 4.3. irudian ikusta daiteke. Dispertsioa-

ren eraginak energi baxuko plasmoiaren intentsitatea (11.2 eV) jaitsi eta posizioa aldatu

egiten duen arren, modu hau energi altukoarekin konparagarria da (13.9 eV), magnitu-

deari dagokionez, elektroia gainazaletik gertu higitzen denean. Erradio handiagoa dela

eta, azken kitzikapen honen posizioa ere pixka bat jaisten da, eta energi baxuko plasmoia-

ren energiara hurbiltzen da erradioa handiagoa egiten den neurrian. Oso erradio handiko

limitean, gainazal launaren plasmoiaren balioarekin bat egingo du kitzikapen bakar bat

erakutsiz. Momentuaren transferentzia txikia dela eta, espektroen kalkulu teorikoetan

ez dago alderik erantzun ez-lokala adierazteko, adibidez Mermin-en funtzio dielektrikoa

erabiltzen denean, beraz, erantzun funtzio hidrodinamikoa erabiltzea nahikoa dugu lokal-

tasun eza ikertzeko.

4.4 Ondorioak

Sarreran aipatu bezala, ikerketa hau garatzeko zergatia, STEM-ko elektroiek zenbait

lagina ez organikotan eragindako zulo zilindrikoetan datza. Elektroi sortak, barrunbe

osoa betetzen du zuloa handiagoa egiten den neurrian, eta oso lagungarria suertatzen

da lokaltasun ezaren eragina zehatz ikertzea, elektroia gainazaletik gertu pasatzen de-

nean. Ikerketa hau erantzun funtzio hidrodinamikoaren bidez ezaugarritutako sistema

metaliko homogeneoan garatu da, baina kontutan hartu behar da emaitza esperimental

asko material ezhomegeneo konplexutan lortzen direla [43]. Aluminiozko inklusioak aur-

kezten dituen AlF3 matrizearen bolumeneko erantzun funtzio eraginkorraren adierazpen

espektralak k-rekiko menpekotasuna erakusten du [90], eta datu esperimentalak inter-

pretatzeko erarik egokiena azaltzen du. Orain, k menpean dagoen bolumeneko erantzun

funtzio eraginkorra, guk lortutako adierazpenetan erabil genezake. Hau egitean, bolume-

neko plasmoia, elektroiak materialaren barrutik ez doazen ibilbideen kasuan ere agertzen

da eta gainazaletik oso urrun gainera. Azken proposamen honen erabileraren baliota-

suna ez dago batere garbi, inguruneko erantzun eraginkorraren k-rekiko menpekotasuna

inklusio koloidalen geometriatik baitator eta ez ingurune homogeneoko elektroi gasaren

portaeratik (guk hemen SCIB ereduaren laguntzarekin garatu dugun bezala). Hala ere,

adierazpen espektrala erabiltzen dugunean, esperimentu eta teoriaren arteko akordioa na-

barmena da, bolumeneko plasmoia barrunbean zeharko ibilbideetan ere agertzen baita,

baina hau ere, materiala zeharkatzen duten ibilbideek sortuak izan daiteke. Barrunbe ho-

mogeneoa tratatzean, gainazaletik gertu higitzen diren elektroien energi galera zehatzak

adierazteko lokaltasun ezaren beharra baieztatu egin da, baina hau mikroskopia elektro-

102 4. Kapitulua

nikoan gainazalaren ondoko ibilbidea denboran zehar mantentzen den kasu limitea da.

Egoera esperimental tipikoan elektroiak isladatu egiten dira gainazalaren kontra jotzean,

beraz, denbora gutxi pasatzen dira gainazaletik gertu, eta horregatik, kasu honetan, lo-

kaltasun ezaren eragina erabat arbuiagarria da.

5. Kapitulua

Atzerapenaren eragina partikula

esferikoen elektroien energi galeretan

5.1 Sarrera

Elektroi higikorra eta lagina txikien arteko elkarrekintza elektromagnetikoak elektroiari

energia galarazten dio, modu kolektiboen kitzikapenaren bidez. Lehengo ataletan aipatu

bezala, lehenbiziko hurbilketa moduan, elektroia laginaren ondoan higitzen den partikula

klasikotzat har daiteke. Suposaketa honen baliotasuna Ritchie eta Howie-k [13] erakutsi

zuten, eta geometria desberdinetako sistemetan elektroi energi galerak aztertzeko oso era-

bilia izan da (gainazal launa[10, 24], zilindroak[41], esfera[124], izkina[81, 85], kuboa[48],

sistema akoplatuak[71],...). Lan hauetako gehienetan, elkarrekintza ez-atzeratua kontsi-

deratzen zen, bai modu kolektiboak bai kitzikapenak deskribatzeko. Zenbait kasu prak-

tikotan hurbilketa hau oso baliagarria suertatu da [37, 5]. Hala ere, elkarrekintza elek-

tromagnetikoaren atzerapena kontutan hartzen baldin bada, modu kolektiboen posizioa,

partikularen tamainuaren menpe dagoela, efektu ezaguna da. Ruppin-ek [126] erreso-

nantziek partikularen a erradioarekiko menpekotasun handia erakusten zutela erakutsi

zuen. Esferako gainazalaren gainean plasmoiei dagokien karga-dentsitatearen akoploa-

ren denbora, a/c/l parametroaren proportzionala da, c argiaren abiadura eta l modua-

ren maila direlarik, beraz, partikularen tamainua handitzen den neurrian, atzerapenaren

eragina handiagoa suertatzen da. STEM-aren elektroi erasotzaileen abiadura handiak

(v > 100keV), modu eta elektroien arteko elkarrekintzaren atzerapenaren eragina indar-

tzen du, akoploaren denbora (∝ b/v), v/c-ren menpe dagoen faktore batek aldatzen baitu.

Kitzikapenen balioa eta indarra aldatzen dituzten bi faktore hauek, prozesu inelastikoa-

ren tratamendu elektromagnetiko osoaren beharra azpimarratzen dute. Problema hau

103

104 5. Kapitulua

aztertzeko, Maxwell-en ekuazioak erabiliko dira, argiaren abiadura finitoa dela onartuz.

Mie [35], teoria dielektriko klasikoaren bidez, uhin elektromagnetiko eta partikula es-

ferikoen arteko elkarrekintza ikertu zuen lehenbizikoa izan zen. Ikerketa honek gainazal

esferikoaren erresonantziak azaldu zituen. Crowell eta Ritchie-k [128] eta Schmeits-ek

[33] elektroi energi galerak partikula esferikoetan ikertu zituzten uhin launaren eta sorta

hestuaren kasuetan. Aurreko kapituluetan aipatu bezala, egoera honi erantzun egokia

hurbilketa ez-atzeratuan barruan, Ferrell eta Echenique-k [36] eman zuten. Hauek, ε(ω)

funtzio dielektriko lokalaren bidez ezaugarritako esfera baten kanpotik higitzen zen elek-

troi azkarraren energi galeraren probabilitatea aurkitu zuten, eta partikula deskribatzeko

dipoloaren eskema baliagarria ez den partikularen gertuko ibilbideetarako termino multi-

polarren garrantzia azpimarratu zuten. Echenique-k et al. [21, 129] ikerketa hau sakondu

zuten partikularen barrutik pasatzen ziren ibilbideak ikertuz. Gainazal esferikoak bo-

lumeneko galerari eragiten dion zuzenketa aztertu zuten lan honetan. Azken lan hauek

garatzeko, elkarrekintza elektromagnetikoa Poisson-en ekuazioa ebatziz lortzen zen, baina

honek ez zuen kontutan hartzen elkarrekintzaren atzerapena.

EELS-an izandako atzerapenaren eragina geometria batzuetan ikertu da , adibidez xa-

fla mehearen kasuan [130] edota zulo zilindrikoen kasuan [43]. Fuchs eta Kliewer-ek [125]

polaritonen moduak erakutsi zituzten geometria esferikoan, eta Ruppin-ek gainazaleko

modu atzeratuen kalkulua aurkeztu zuen esfera metaliko batentzat [126]. Modu hauek

eta elektroi azkar baten arteko elkarrekintza, ez-homogeneotasuna kontutan hartzen du-

ten Maxwell-en ekuazioetatik zuzenki ebatz daiteke. Orain dela gutxi, Garcıa de Abajo

eta Howie-k [131] metodo numerikoa garatu dute energi galerak eite arbitrarioko objektu-

tan tratatzeko. Kasu horien artean, esfera zen kasurik aipagarriena. Hemen, esfera baten

kontra jotzen duen elektroiaren kasu orokorra erakutsiko da, Green-en funtzio diadikoen

espazio osoan zeharko banaketa aproposaren bidez. Hau, elektroiak sortutako korrente-

dentsitateari aplikatuko diogu, espazio osoan zeharko eremu elektromagnetikoa lortzeko

[132]. Pogorzelski eta Yeh-ek [133] iadanik metodo hau erabili zuten esfera bat zeharkatzen

duen elektroiak sortutako erradiazioa ikertzeko, baina bakarrik ardatzean zehar zihoazen

elektroien kasua aztertu zuten. Guk formalismo hau garatu dugu, edozein talka parametro

kontutan hartzeko, eta kanpoko ibilbideentzako emaitzak aurkeztuko ditugu. Tratamendu

elektromagnetiko osoak, esfera bezalako geometri xinple batean, energi galeren espektroe-

tan atzerapenak izandako eragina hobeto ulertzen, eta partikularen tamainua edota talka

parametroarekiko menpekotasuna garbiago finkatzen lagunduko gaitu.

Atzerapenaren eragina partikula esferikoen elektroien energi galeretan 105

5.2 Oinarrizko teoria

Hemen e elektroi higikorrak sortutako elkarrekintza elektromagnetikoa deskribatuko

dugu, Maxwell-en ekuazioetatik zuzenki ateratako eremu elektromagnetiko eta karga-

dentsitateen bidez. Orokorrean, Maxwell-en ekuazioak horrela idatz daitezke:

∇×H(r, t) =∂D(r, t)

∂t+ J(r, t), (5.1)

∇× E(r, t) = −4π

c2

∂H(r, t)

∂t, (5.2)

∇ ·D(r, t) = ρ(r, t), (5.3)

∇ ·H(r, t) = 0, (5.4)

E(r, t) eta H(r, t) eremu elektriko eta magnetikoa direlarik, eta D(r, t) desplazamen-

du elektrikoa delarik. Azken honen balioa eremu elektrikoarekin erlazionatu dezakegu

D(r, t) = εE(r, t), ε ingurunearen funtzio dielektrikoa delarik. ρ(r, t) eta J(r, t) karga as-

kearen dentsitatea eta korronte-dentsitatea dira. (0.5) adierazpenari jarraituz, Fourier-en

transformazioaren akordioari dagokionez, Maxwell-en ekuazioak horrela adieraz daitezke

ω maiztasunaren espazioan:

∇× E(r, ω) =iω

c24πH(r, ω), (5.5)

∇×H(r, ω) = −iωD(r, ω) + J(r, ω), (5.6)

eta (5.5) eta (5.6) ekuazioetatik, E(r, ω) eremuaren ekuazioa lortzen da:

∇×∇× E(r, ω)− ω2ε

c2E(r, ω) = i4π

ω

c2J(r, ω). (5.7)

Hau, Green-en funtzio diadikoen banaketa aproposa aukeratuz ebatz daiteke [132]. Fun-

tzio dielektrikoaren maiztasunarekiko menpekotasuna, hemendik aurrera adierazpen guz-

tietan onartuko da (ε = ε(ω)). Espazio askean, G0(r|r′, ω) Green-en funtzio diadikoak

zera betetzen du:

∇×∇×G0(r|r′, ω)− ω2ε

c2G0(r|r′, ω) = I δ(r− r′), (5.8)

I funtzio diadiko unitarioa delarik. G0(r|r′, ω) funtzio diadikoa eta E(r, ω) eremu elek-

trikoaren arteko erlazioa korronte-dentsitatearen bitartez lortzen da. Green-en teorema

bektoriala aplikatuz, eremu elektrikoa horrela idatz daiteke:

E(r, ω) = 4πiω

c2

∫

V ′G0(r|r′, ω) · J(r′, ω) dV ′, (5.9)

106 5. Kapitulua

integrazioa V ′ espazio osoan zehar egiten delarik. Eremu elektrikoa, balaztatze indarra

kalkulatzeko behar izango den magnitudea da, bera baita elektroien galeren erantzule.

Eremua eskuratzeko, elektroi higikorrak sortutako J(r′, ω) korronte dentsitatearen gainean

Green-en funtzio diadikoen banaketa egokia aplikatu behar da.

5.2.1 Green-en funtzio diadikoak

Atal honetan, 5.1. irudian erakutsitako geometria esferikoari aurre egitea ahalbidetu-

ko digun funtzio diadikoen banaketa aurkeztuko dugu. Koordenatu esferikotan (r, θ, ϕ),

e-

v

Z

a

b

θ

ο

i

ε

ε

5.1. Irudia: a erradiodun esfera baten ondoan v abiaduraz higitzen den e elektroia, b

talka parametroa delarik.

ingurune infinito eta homogeneo baten Go(r|r′, ω) Green-en funtzio diadikoaren garapena

zera da [65]:

Go(r|r′, ω) = ik∑

l=1

2l + 1

l(l + 1)

l∑

m=0

(2− δm,0)(l −m)!

(l + m)!

×

M(o)lm(kr)M

(i)lm(kr′) + N

(o)lm(kr)N

(i)lm(kr′) baldin eta r > r′

M(i)lm(kr)M

(o)lm(kr′) + N

(i)lm(kr)N

(o)lm(kr′) baldin eta r < r′

(5.10)

k = ωc

√ε delarik. M

(o)lm(kr),N

(o)lm(kr), M

(i)lm(kr) eta N

(i)lm(kr) diadikoaren osagaiak horrela

adieraz daitezke:

M(o)lm(kr) =

im

sin θh

(1)l (kr)Pm

l (cos θ) eimϕθ − h(1)l (kr)

∂

∂θPm

l (cos θ) eimϕϕ, (5.11)


N(o)lm(kr) =

l(l + 1)

krh

(1)l (kr)Pm

l (cos θ) eimϕr +1

kr

∂

∂r[r h

(1)l (kr)]

∂

∂θPm

l (cos θ) eimϕθ

+im

kr sin θ

∂

∂r[rh

(1)l (kr)]Pm

l (cos θ) eimϕϕ. (5.12)

Pml Legendre-ren polinomioak eta h

(1)l (kr) Hankel-en funtzioak direlarik. M

(i)lm(kr) eta

N(i)lm(kr) osagaien adierazpenak antzekoak dira, eta lehengo adierazpenetatik lor daitez-

ke, bakarrik h(1)l (kr) (Hankel-en funtzioa), jl(kr) (Bessel-en funtzio esferikoa)-ren truke

aldatuz, Abramowitz-en liburuaren notazioari jarraituz [134].

Orain, ez-homogenotasun esferikoa kontutan hartzen duen G(r|r′, ω) funtzio diadi-

koen banaketa aproposa deskribatu behar dugu espazio osoan zehar, eta horrela, elektroi

erasotzaileak sortutako korronte-dentsitateari dagokion eremu elektromagnetikoaren ba-

naketa eskura ahal izango da. ki = ωc

√εi izango da eta ko = ω

c

√εo, εi eta εo hurrenez

hurren barruko eta kanpoko funtzio dielektrikoak direlarik. Kasu honetan, funtzio diadi-

koen banaketa egokia, mugarik gabeko ingurune bati dagokion Go(r|r′, ω) espazio askea-

ren funtzioa eta Gs(r, r′ω) sakabanatutako ekarpenaren arteko batuketaren bidez adieraz

daiteke. Azken funtzio honek ez-homogeneotasunaren berri ematen du eta (r|r′) bikote

bakoitzarentzat desberdina da:

r′ > a kasuan:

G(r|r′, ω) =

{G (o)

o (r|r′, ω) + G (oo)s (r|r′, ω), baldin eta r > a

G (io)s (r|r′, ω), baldin eta r < a

eta r′ < a kasuan:

G(r|r′, ω) =

{G (oi)

s (r|r′, ω), baldin eta r > a

G (i)o (r|r′, ω) + G (ii)

s (r|r′, ω), baldin eta r < a.(5.13)

G (o)o (r|r′, ω) eta G (i)

o (r|r′, ω) espazio askearen diadikoak dira, (5.10) adierazpenean bezala,

kanpoko eta barruko kasuetan k = ko eta k = ki direlarik, eta

G (oo)s (r|r′, ω) = iko

∞∑

l=1

l∑

m=0

2l + 1

l(l + 1)

(l −m)!

(l + m)!

×[A(o)lmM

(o)lm(kor)M

(o)lm(kor

′) + B(o)lmN

(o)lm(kor)N

(o)lm(kor

′)], (5.14)

kanpo-kanpoko funtzio diadikoa delarik,

G (io)s (r|r′, ω) = iko

∞∑

l=1

l∑

m=0

2l + 1

l(l + 1)

(l −m)!

(l + m)!

×[C(o)lm M

(i)lm(kir)M

(o)lm(kor

′) + D(o)lmN

(i)lm(kir)N

(o)lm(kor

′)], (5.15)

108 5. Kapitulua

barru-kanpoko funtzio diadikoa delarik,

G (oi)s (r|r′, ω) = iki

∞∑

l=1

l∑

m=0

2l + 1

l(l + 1)

(l −m)!

(l + m)!

×[A(i)lmM

(o)lm(kor)M

(i)lm(kir

′) + B(i)lmN

(o)lm(kor)N

(i)lm(kir

′)], (5.16)

kanpo-barruko funtzio diadikoa delarik, eta

G (ii)s (r|r′, ω) = iki

∞∑

l=1

l∑

m=0

2l + 1

l(l + 1)

(l −m)!

(l + m)!

×[C(i)lmM

(i)lm(kir)M

(i)lm(kir

′) + D(i)lmN

(i)lm(kir)N

(i)lm(kir

′)], (5.17)

barru-barruko funtzio dielektrikoa delarik.

Bi inguruneak bereizten dituen (r = a) gainazaleko eremu elektriko eta magneti-

koaren jarraitasunak, sakabanatutako Green-en funtzio diadikoen balioak finkatzen ditu.

Dr desplazamendu bektorearen osagai normalaren jarraitasunak, Eθ eremu elektrikoaren

osagai tangenzialaren jarraitasunarekin batera, r = a posizioan, A(i)lm, B

(i)lm, C

(i)lm eta D

(i)lm

koefizienteen balioak finkatzen ditu, (r′ < a) kasuan, eta A(o)lm , B

(o)lm , C

(o)lm eta D

(o)lm koefizien-

teena (r′ > a) kasuan. Jarraitasun baldintzak inposatzen direnean, koefizienteen balioak

hauexek dira:

A(o)lm =

jl(koa)[kia · jl(kia)]′ − jl(ki)[koa · jl(koa)]′

jl(kia)[koa · h(1)l (koa)]′ − h

(1)l (koa)[kia · jl(kia)]′

, (5.18)

B(o)lm =

ko

kijl(koa)[kia · jl(kia)]′ − ki

kojl(ki)[koa · jl(koa)]′

ki

kojl(kia)[koa · h(1)

l (koa)]′ − ko

kih


, (5.19)

C(o)lm =

jl(koa)[koa · h(1)l (koa)]′ − h

(1)l (ko)[koa · jl(koa)]′

jl(kia)[koa · h(1)l (koa)]′ − h


, (5.20)

eta

D(o)lm =

jl(koa)[koa · h(1)l (koa)]′ − h

(1)l (ko)[koa · jl(koa)]′

ki


l (koa)]′ − ko

kih


, (5.21)

r′ > a denean, hau da, esfera kanpoko kasuan. r′ < a egoeraren koefizienteak antzeko

moduan eskuratzen dira eta adierazpen esplizitoak hauexek dira:


A(i)lm =

h(1)l (kia)[kia · jl(kia)]′ − jl(ki)[kia · h(1)

l (kia)]′

h(1)l (koa)[kia · jl(kia)]′ − jl(kia)[koa · h(1)

l (koa)]′, (5.22)

B(i)lm =

h(1)l (kia)[kia · jl(kia)]′ − jl(ki)[kia · h(1)

l (kia)]′

ko

kih

(1)l (koa)[kia · jl(kia)]′ − ki


l (koa)]′, (5.23)

C(i)lm =

h(1)l (kia)[koa · h(1)

l (koa)]′ − h(1)l (ko)[kia · h(1)

l (kia)]′

h(1)l (koa)[kia · jl(kia)]′ − jl(kia)[koa · h(1)

l (koa)]′, (5.24)

eta

D(i)lm =

ki

koh

(1)l (kia)[koa · h(1)

l (koa)]′ − ko

kih

(1)l (ko)[kia · h(1)

l (kia)]′

ko

kih

(1)l (koa)[kia · jl(kia)]′ − ki


l (koa)]′. (5.25)

Kasu ez-atzeratuan ikusi genuen bezala, plasmoi maiztasunak kanpoko karga ez dagoe-

neko eremuen soluzio ez tribialei dagozkie. Koefiziente hauen poloek beraz, gainazaleko

modu atzeratuei dagozkien soluzioak finkatuko dituzte. Hauek, Fuchs eta Kliewer-ek [125]

aurkitu zituzten polaritonen moduei eta Ruppin-ek azaldutako plasmoien moduei [126]

dagozkie. Sistema zehatz batentzat, koefiziente hauen poloak, moduen posizioa ematen

dute, a partikularen tamainua, ki = ωc

√εi partikularen konposizioa, eta ko = ω

c

√εo kan-

poko ingurunearen konposizioaren arabera. c → 0 kasuan, limite ez-atzeratuaren moduen

posizioak berreskuratzen dira.

Metalezko esfera baten kasuan, moduen posizioak ematen dituzten poloak, ωpa/c di-

mentsio gabeko parametroaren menpe daudela aurkitzen da. Parametro honen bidez,

ω kitzikapenaren maiztasuna eta ac−1 elkarrekintzak gainazaleko plasmoiari dagokion

karga-dentsitate induzituarekin akoplatzeko behar duen denboraren arteko konparaketa

da. Partikularen tamainua handitzen den heinean, atzerapenaren eragina nabarmenagoa

da. 5.2. irudian moduen ebazpena erakusten da, kasu atzeratuan, hutsez inguratutako

esfera metaliko batentzat (plasmoi maiztasuna = ωp), aωp/c dimentsio gabeko parame-

troaren aurrean. Kasu ez atzeratuaren limitea, a partikularen erradioak zero-runtz jo-

tzen duenean berreskuratzen da, baina partikula handiagoa egiten den neurrian, moduen

energia beheruntz doa oso garbi. Efektu hau nabarmenagoa suertatzen da maila baxuko

moduen kasuan, non moduen posizioa ∼ 10 nm-tako partikula txikien kasuan ere alda-

tzen baita. Modu hauek, elektroi erasotzaileei dagokien korronte-dentsitateak sortutako

eremuarekin akoplatzen direnean kitzikapen bihurtuko dira, (5.9) adierazpenean azaldu

bezala.

110 5. Kapitulua

0 2 4 6 8aωp/c

0.40

0.45

0.50

0.55

0.60

0.65

0.70ω/ωp l=1

l=2l=3l=4l=5

5.2. Irudia: Drude-ren funtzio dielektrikoaren bidez ezaugarritutako esfera meta-likoari dagozkion modu atzeratuak. Moduen posizioak a partikularen erradioa kon-tutan hartzen duen dimentsio gabeko parametroaren aurrean irudikatzen dira, ωp

plasmaren maiztasuna eta c argiaren abiadura direlarik.

5.2.2 Karga higikor baten energi galeren probabilitatea

Kasu honetan, e elektroia v abiaduraz higitzen da Z ardatzarekiko paralelo, a par-

tikularen erradioa baino handiagoa den b talka parametroa delarik, 5.1. irudian erakutsi

bezala. (r, θ, ϕ) koordenatu esferikoak naturalki erabiliko ditugu eta εi esferaren funtzio

dielektrikoa izango da (r < a). εo kanpoko ingurunearen funtzio dielektrikoa izango da

(r > a). Egoera honetan, korronte-dentsitatearen Fourier-en transformatua hauxe izango

da:

J(r, ω) =e δ(r sin θ − b)

r sin θei(ω/v)r cos θ [cos θ r − sin θ θ], (5.26)

r eta θ koordenatu esferikoen bektore unitarioak direlarik. Eremu elektrikoaren banaketa,

(5.9) adierazpenari esker eskura daiteke, lehengo atalean azaldutako funtzio diadikoen

banaketaren laguntzaz.

Behin eremu elektrikoa lortuta, elektroi energi galeren probabilitatea, ez-homogeneotasunak

sortutako eremu elektriko induzituari esker eskuratzen da, honek elektroiaren posizioan


berriz elkarrekiten baitu, elektroi higikorraren r = vt ibilbide osoan zehar. ∆Eloss energi

galera, Eind eremu elektriko induzituak garatutako W lanaren bidez adieraz daiteke eta

P (ω), ω unitateko energi galeren probabilitatearekin erlazionatu daiteke:

∆Eloss = −W = −e∫

r=vtEind(r, t) · dr

=−e

2π

∫ ∞

−∞dω

∫

r=vtReal{Eind(r, ω) e−iωt} · dr, (5.27)

eta

∆Eloss =∫ ∞

0ωP (ω)dω, (5.28)

beraz, ω unitateko elektroi energi galeren probabilitatea zera izango da:

P (ω) =−e

πω

∫

r=vtReal{Eind(r, ω) e−iωt · dr}. (5.29)

non esfera dielektrikoak sortutako eremu elektriko induzituak, energi galera sortzen duen

elektroi erasotzailearen posizioan.

Orain, kanpoko ibilbidearen kasua aztertuko dugu, b talka parametroa a partikularen

erradioa baino handiagoa izanik. Kasu honetan, (5.14) adierazpeneko G (oo)s (r|r′, ω) fun-

tzio diadikoari (kanpo-kanpoko terminoari) dagokion Eind(r, ω) eremu elektriko induzitua

izango da energi galeren erantzule bakarra, ibilbide osoan zehar hauxe baita galeren sor-

tzaile bakarra. Kanpoko ibilbidearen kasuan, elektroia Z ardatzean zehar higitzen da eta

P (ω) elektroi energi galeren probabilitatea, (5.29) adierazpenari jarraituz, eremu elektriko

induzituaren z osagaia ibilbide zehatz honetan zehar integratuz lortuko da:

P (ω) =1

πω

∫ ∞

−∞dz Real{Eind(ω)z e−iωz/v}. (5.30)

Koordenatu esferikotan z = r cos θ eta horrelako ibilbide baterako koordenatuek r sin θ =

b baldintza bete behar dute, b talka parametroa delarik. Hauxe da beraz, ibilbidean zehar

integratzeko baldintza.

P (ω) energi galeren probabilitatearentzako emaitza orokorra zera suertatzen da:

P (ω) =1

πReal{ko

∫

VdV

∫

V ′dV ′ J∗(r, ω) ·

∞∑

l=1

l∑

m=0

(2− δm,0)2l + 1

l(l + 1)

(l −m)!

(l + m)!

×[A(o)lmM

(o)lm(kor)M

(o)lm(kor

′) + B(o)lmN

(o)lm(kor)N

(o)lm(kor

′)] · J(r′, ω)}. (5.31)

J(r′, ω) korronte-dentsitatea deskribatzeko (5.26) adierazpena erabiltzen baldin badugu,

bolumeneko integrala r′ koordenatuan zeharko integral bihurtzen da. (5.31) adierazpena

112 5. Kapitulua

diadikoen osagaien bidez idazten baldin badugu, hurrengo garapenera heltzen da:

P (ω) =(e)2

πc2ko

∑

l=1

2l + 1

l(l + 1)

l∑

m=0

(2− δm,0)(l −m)!

(l + m)!Real{A(o)

lm ×

×∫ ∞

b

dr im h(1)l (kor)√

1− (b/r)2Pm

l (√

1− (b/r)2) [e−iω

√r2−b2

v + (−1)(l+m)eiω√

r2−b2

v ]

×∫ ∞

b

dr′(−i)m h(1)l (kor

′)√1− (b/r′)2

Pml (

√1− (b/r′)2) [e

iω

√r′2−b2

v + (−1)(l+m)e−iω

√r′2−b2

v ] +

+B(o)lm ×

∫ ∞

bdr[

l(l + 1)

korh

(1)l (kor)P

ml (

√1− (b/r)2) +

b2/r√r2 − b2

1

kor

∂

∂r[r h

(1)l (kor)][P

ml (

√1− (b/r)2)]′][e

−iω√

r2−b2

v − (−1)(l+m)eiω√

r2−b2

v ]

×∫ ∞

bdr′[

l(l + 1)

kor′h

(1)l (kor

′)Pml (

√1− (b/r′)2) +

b2/r′√r′2 − b2

1

kor′∂

∂r′[r′ h

(1)l (kor

′)][Pml (

√1− (b/r′)2)]′][e

iω

√r′2−b2

v − (−1)(l+m)e−iω

√r′2−b2

v ]}.(5.32)

Akoplo integral hauen emaitza, m mailako Bessel-en funtzioen bidez adieraz daite-

ke [131]. Integrakizunean, h(1)l (kr) Hankel-en funtzioak, Pm

l (√

1− (b/r)2) Legendre-ren

polinomioak eta e±iω√

1−(b/r)2 exponentzialeen biderkaketa aurkitzen da, eta hau garatze-

rakoan, talka parametroarekiko ondoko menpekotasuna aurkitzen da:

P (ω) α K2m(

ωb

Lv), (5.33)

L Lorentz-en kontrakzio faktorea, L = 1√1−(v/c)2

, delarik.

Kanpoko ibilbidearen kasuan egin den bezala, barruko ibilbidearentzat ere posiblea da

galeren espektroa lortzea. Kasu honek dirudienez ez dauka ebazpen analitikorik, eta nu-

merikoki ebaluatu behar da. Kasu horretan, kalkulu osoa garatzeko, (5.13) adierazpeneko

zenbait termino sartuko dira, emaitza konplikatuz. Ibilbidean zeharko integral bikoitza

kalkulatzen baldin badugu, (5.29) ekuazioa r koordenatuan zehar integratuz egin daiteke,

espazioaren ingurune bakoitzeko funtzio diadiko egokia aukeratuz. Hori egitean, galeren

probabilitate osoa integral partzialen batuketa suertatzen da. Kasu ez-atzeratuan gerta-

tzen zen bezala, termino induzituez gain, galeren probabilitateari G (i)o (r|r′, ω) terminoari

dagokion bolumeneko ekarpena ere gehitu egin behar zaio, galera osoa eskuratzeko. Ka-

su honetan, lehengo kapituluetan ikusi bezala, gainazaleko terminoek ekarpen negatiboa

ematen dute plasmaren maiztasunaren posizioan (Begrenzung efektua [10]). Hala ere, bo-

lumeneko ekarpena oso inportantea da honelako tamainutako partikulentzat (10nm-tako


partikulentzako ere bai) eta gainazaleko ekarpenek garrantzia galtzen dute kasu honetan.

Kasu honetan ere, elektroi erasotzailearen abiadura, argiak ingurunean daukan abiadura

baino handiagoa baldin bada (v > c/√

ε), kalkulu elektrodinamiko osoak Cherenkov-en

erradiazioa kontutan hartuko luke eta beste ekarpen bat emango luke energi galeren es-

pektroan.

5.3 Emaitzak

Goian aurkeztutako formalismoan oinarrituta, kalkulu batzuk erakutsiko ditugu, hutsez

inguraturiko Drude-ren esfera metalikoaren kasuan, hau da εi = 1− ω2

ω(ω+iγ), ωp = 15.8 eV,

γ = 0.53 eV direlarik eta εo = 1. Elektroi erasotzaileen abiadura 100 keV-takoa izango

da kasu guztietan, bestela argi esango da.

5.3.1 Partikularen tamainuaren eragina

Karga azkar eta nano-partikulen arteko elkarrekintza deskribatzeko, lan gehienetan

atzerapena arbuiatzen zela iadanik aipatu dugu. Esperimentu asko hurbilketa honen ba-

rruan oso ondo azaltzen dira [37], hala ere, atal honen xedea bi kasuen arteko ezberdinta-

sunak azpimarratzea, eta energi galerak deskribatzeko lehengo hurbilketaren baliotasuna

finkatzea da. 5.3. irudian, P (ω) energi galeren probabilitate osoa irudikatu da tamainu

desberdinetako partikulentzat. b talka parametroa b = a+1nm balioan mantendu da, hau

da, bi inguruneak bereizten dituen gainazaletik 1 nm-tara. Elektroi energi galeren pro-

babilitate normalizatua v2/a P (ω) aurkezten da bai atzerapena kontutan hartuz, baita

atzerapena arbuiatuz ere, partikulen hiru tamainu desberdinetarako (a = 5 nm, a = 10

nm eta a = 40 nm). l = 1 ekarpenari dagokion kitzikapen dipolarra ω/ωp = 0.57 posi-

zioan agertzen da a= 5nm-tako partikularentzat, ω/ωp = 0.53-an a= 10nm-takoarentzat

eta ω/ωp = 0.46-an a= 40nm-takoarentzat. Balio hauek, tamainuaren menpe zeuden

aurreko atalean aurkeztutako moduen banaketarekin bat datoz (5.2. irudia). l modu

bakoitzaren posizioa, (5.19) eta (5.21) adierazpenen izendatzaileen ezabapenetik dator.

Kasu ez-atzeratuan, moduak posizio finkoetan agertzen dira (ω/ωp = 0.57, l = 1-entzat),

moduek partikularen tamainuarekiko menpekotasunik erakusten ez dutelarik. Kasu atze-

ratuan berriz, l moduen posizioa beheruntz doa partikularen tamainua handitzen den

neurrian. Oso partikula txikien limitean a → 0, modu ez-atzeratuen posizioa berreskura-

tzen da. Posizio hauen aldaketa nabarmenagoa da maila baxuko l moduentzako, goi mai-

lakoak gainazaleko plasmoi launaren inguruan (ωp/√

2) agertzen baitira, beraien posizioa

114 5. Kapitulua

aaa

0

5

10

15

20

25

30

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

ω/ωp

erradioa a=40nm

erradioa a=10nm

erradioa a=5nm

elkarrekintza atzeratuaelkarrekintza ez-atzeratua

v /a

P(ω

) ->

Pro

babi

litat

e no

rmal

izat

ua (

u.a.

)2

5.3. Irudia: Elektroi energi galeren probabilitatea a partikularen tamainuaz norma-lizatua, 100 keV-tako sorta aluminiozko esfera desberdinen ondoan higitzen denean,(ωp =15.8 eV;γ = 0.53 eV). Kasu atzeratua (lerro jarraiak) kasu ez-atzeratuarenaurrean (lerro etenak) erakusten da, a=5 nm, a=10 nm eta a=40 nm erradiodun par-tikulentzat, kasu guztietan b = a + 1 nm talka parametroa delarik. Probabilitateak10 unitate goruntz desplazatu dira irudia argiago ikusteko.

aldatu gabe. Horregatik, hurbilketa ez-atzeratua a ∼ 0.5c/ωp erradiodun partikulentzat

baliagarria dela esan daiteke, (hau da a ∼7nm-tako partikulak, aluminioaren kasuan).

Partikulen tamainua handitzen baldin badugu, atzerapenaren eragina nabarmena suerta-

tzen da, eta 10 nm-tako partikularentzat(l = 1) gailur dipolarraren posizioaren aldaketa

argi ikusten da 5.3. irudian. Orduan, elkarrekintzaren ikerketa ez-atzeratuak orduan ez

luke emango kasu honetan gainazaleko kitzikapenen deskribapen zehatzik. Beste pun-

tu aipagarria (ω = ωp/√

2) gainazal launeko kitzikapenari dagokio, modu hau partikula

handientzat eta talka parametro txikientzat berreskuratzen baita. Beraz, aluminiozko 40

nm-tako partikulentzat, galeren espektroa berriro zehatzagoa suertatzen da, goi mailako l

moduak baitira kitzikapenik nabarmenenak (atzerapenarekin gutxien aldatzen direnak).

5.3. irudian ikusi bezala, 40 nm-tako partikula batentzat, (ω/ωp ∼ 0.46) maila baxuko mo-


duak oraindik espektroan agertzen dira, baina orain beraien indarra, l modu altuagoekin

konparatuz, ez da hain nabarmena.

5.3.2 Talka parametroarekiko menpekotasuna

Atzerapenaren eragina gainazaleko modu eta elektroi erasotzaileen arteko akoploaren

gainbehera espazialean, formalismo honen barruan azter daitekeen beste puntu aipaga-

rria da. 5.4. irudian, P (ω) galeren probabilitatearen m = 1 terminoari dagokion b tal-

0 5 10 15 20b (nm)

0.0

0.1

0.2

0.3

P(ω)

m=1

atzeratuaez−atzeratua

Km

2(ωb/v)

Km

2(ωb/Lv)

5.4. Irudia: P (ω) kitzikapen probabilitatearen m = 1 terminoaren b talka parame-troarekiko menpekotasuna kasu atzeratuan (lerro jarraia), baita kasu ez-atzeratuanere (lerro etena). Kitzikapenaren osagaiak gailur dipolarren posizioetan ebaluatu di-ra (ω = 0.535ωp eta ω = 0.57ωp hain zuzen). Partikularen erradioa 10nm da, etaelektroiaren abiadura 100 keV-tako sortari dagokiona da (v = 0.55c, L = 1.19).

ka parametroarekiko menpekotasuna erakusten da bai kasu ez atzeratuan (lerro jarraia;

ω/ωp = 0.53) baita kasu ez-atzeratuan ere (lerro etena; ω/ωp = 0.57), elektroi sorta 0.55c

abiaduraz higitzen denean a = 10 nm erradiodun partikula metalikotik gertu. Kasu ez-

atzeratuan, talka parametroarekiko menpekotasuna K2m(ωb/v) funtzioak ematen du, baina

kasu atzeratuan, L kontrakzio faktorea Bessel-en funtzioaren argumentoan agertzen da,

goian aipatu bezala. Atzerapena kontutan hartzearen lehendabiziko ondorioa beraz, kitzi-

kapenaren distantziaren aurreko gainbehera mantsoagoan datza. Azken honek, hala ere,

116 5. Kapitulua

ez du esan nahi galeren espektroan kitzikapenaren indarra handiagoa denik, hau elektroia

eta eremu induzituaren arteko akoploak finkatuko baitu. Drude antzeko esfera metaliko

batentzat, eta elektroia gainazaletik gertu pasatzen baldin bada, galera atzeratuak ahula-

goak suertatzen dira ez-atzeratuak baino, eta horregatik, kasu ez-atzeratuan gainbehera

azkarragoa bada ere, b talka parametro finko batentzat, galera beti kasu atzeratuaren

gainetik gelditzen da. [ikusi 5.4. irudia].

5.3.3 Modu erradiatiboen existentzia

Konfigurazio erdi-infinitoan edota xafla mehe batean, gainazaleko plasmoiek ezin dute

erradiaziorik sortu, gainazaleko plasmoiei eta fotoiei dagozkien sakabanaketa kurbek ez

baitiote uzten plasmoi bati fotoian gainbeheratzen [135]. Dielektrikoaren mugak ixten

ditugun heinean eta objektu finitoekin tratatzen baldin badugu, laginean induzituriko

gainazaleko plasmoia eremu elektromagnetikoarekin akopla daiteke eta orduan, erradia-

zioa posiblea da. Honek, galeren espektroaren portaera desberdina eragiten du, lagina

dielektrikoa ezaugarritzen duen γ indargetze-konstantearen arabera aztertzen baldin ba-

dugu [ikusi 0.1]. Konstante honek sistemaren eragin disipatiboen berri ematen zuen.

Portaera hau, 5.5. irudian baiezta daiteke non P (ω) energi galeren probabilitatea, esfera

dielektrikoa ezaugarritzen duten hiru indargetze-konstante desberdinentzat irudikatu bai-

ta. Hemen plasmaren maiztasuna ωp = 15.8 eV hartu da eta hiru indargetze-konstante

desberdinak γ=0 eV, 0.5 eV eta 1 eV aukeratu dira. Kitzikapen dipolarra (l = 1) oso

garbi agertzen da galeren espektroan 8.5 eV-tan (ω = 0.535ωp), 10 eV inguruan dau-

den maila altuko beste kitzikapenekin batera. Espektro hauen ezaugarririk aipagarriena,

indargetze-konstantea nulua denean gertatzen da (γ=0 eV). Disipaziorik ez badago ere,

elektroiek energia galeren gailur zabalak azaltzen dituzte. Kasu honetan, esferaren gai-

nazalean induzituriko plasmoiek ezin dute disipazioaren bidez gainbeheratu, hala ere,

galeren gailurrak zabalak dira. Honek, erradiazioaren bidez gainbeheratzeko gai direla

esan nahi du. Kasu ez-atzeratuan, γ = 0eV izatekotan, galerek moduen posizioetan gai-

lurrak erakusten dituzte, baina, gainbeheratu ezin dutenez, beren intentsitateak infinito

dira (Dirac-en deltak). Orain, atzerapena kontutan hartzen baldin badugu, modu hauen

izaera erradiatiboak galeren espektroko gailurrak zabaltzen ditu. Emaitza honi jarrai-

tuz, ekorketa eta transmisioko mikroskopio elektronikoaren argia emititzeko gaitasuna,

konfigurazio finitoetako teknika espektroskopikoaren moduan erabil liteke.


6.0 8.0 10.0 12.0ω(eV)

0.0

0.2

0.4

P(ω)

γ=0eVγ=0.5eVγ=1.eV

5.5. Irudia: 100 keV-tako elektroiaren P (ω) energi galeren probabilitatea a=10 nmerradiodun partikula baten ondoan nm batera pasatzen denean. Indargetze-konstantedesberdinak erabili dira esferaren funtzio dielektrikoa ezaugarritzeko. γ = 0 eV lerrojarraiari dagokio, γ = 0.5 eV lerro etenari dagokio eta γ = 1 eV puntuzko lerroaridagokio. Plasmaren maiztasuna ωp = 15.8 eV kontsideratu da kasu guztietan.

5.4 Ondorioak

Kapitulu honetan atzerapenaren eragina ikertu dugu partikula esferiko txikietako gai-

nazaleko moduak eta STEM-aren elektroi erasotzailearen arteko elkarrekintzan. Green-en

funtzio diadikoen banaketa egokiak Maxwell-en ekuazioak ebaztea ahalbidetu digu elek-

troiaren edozein ibilbiderentzat. Argiaren abiadura infinitoa ez kontsideratzeak bi aldake-

ta garrantzi sortzen ditu: alde batetik gainazaleko moduen energiaren posizioa beheruntz

doa partikula handitzen den neurrian, eta beste alde batetik, elektroi erasotzailearekiko

modu hauen akoploaren indarra ere desberdina suertatzen da. Zenbait nanometrotako

partikularentzat ere efektu hauek nabarmenak dira eta kontutan hartu beharko lirateke,

elkarrekintza elektromagnetiko osoa era zehatz batean tratatzeko. Talka parametroarekiko

menpekotasuna Lorentz-en kontrakzio faktoreaz zuzenduta dago. Indargetze konstanterik

ez dagoenean energi galerak izateak, plasmoien eta fotoien arteko akoploaren berri ema-

ten du. Honek, galeren beste mekanismo erradiatibo bat ikertzera (adibidez Cherenkov-en

118 5. Kapitulua

erradiazioa, barruko ibilbideentzat) eta izkin, kubo edota ebaketak bezalako sistema fini-

toetako prozesu erradiatiboak hobeto ulertzera bultza gaitzake.

Ondorio orokorrak

Egitura nanometriko eta STEM ekorketa eta transmisioko mikroskopio elektronikoaren

elektroien arteko elkarrekintza elektromagnetikoa, oso interesgarria eta konplexua suer-

ta daiteke. Elektroi sortak pairatutako energi baxuko galerak, materialaren balentziazko

elektroien bolumeneko eta gainazaleko oszilazio moduen kitzikapenei dagozkie. Modu

kolektibo hauek solido osoari dagozkionez, laginak induzitutako energi galeren izaera in-

terpretatzea askotan erronka handia da. Esperimentuetan agertzen diren egitura praktiko

asko geometria xinpleetatik aldentzen dira, beraz, teoria eta esperimentuen arteko konpa-

raketa zehatzak, sistemak deskribatzeko era errealistago bat eskatzen du. Gainera, honen

ondorioz, garapen matematikoa gehienetan izugarri konplikatzen da.

Konparaketa hori, gero eta hurbilago egiteko asmoz, tesi honen lehenbiziko zatian (1.,

2. eta 3. kapituluetan), esperimentuetan ematen diren baldintzak gero eta zehatzago

deskribatzen saiatu da. Formalismo dielektriko lokala erabiliz, hurbilketa ez atzeratuaren

barruan, egoera ez homogeneo konplexuak tratatzeko metodo bat garatu da.

Ikerketa honen ondorio garrantzitsuenetakoen artean hauexek aipa daitezke:

• Eskala nanometrikoan, formalismo dielektriko lokalak, sistema ez homogeneoei da-

gozkien karga-dentsitatearen oszilazio moduak eta elektroi erasotzaileak sortutako

kitzikapen kolektiboak oso era egokian deskribatzen ditu.

• Teoria eta esperimentuen arteko akordioa lortzeko, sistemaren geometriaren deskri-

bapen zehatza erabakigarria da. Deskribapen hori garatzeko, adierazpen matema-

tikoak gero eta gehiago konplikatzen dira, beraz, egitura hauek tratatzeko modu

bakarra, garapen matematikoa eta konputazionala bateratzea da. Horrela egitean,

lehenago ondo ulertzen ez ziren emaitzak (adibidez, sostengaturiko partikuletan),

geometriari dagozkion modu berrien kitzikapenari esker hobeto ulertzen dira.

• Hemen, eite arbitrarioko objektuen modu eta kitzikapen kolektiboak ikertzeko me-

todo sistematiko eta orokorra garatu da, lehen ikertu ezin ziren sistemak, orain

119

120 Ondorio orokorrak

aztertzea ahalbidetuz. Sistema hauen artean, esferaerdiak, izkinak, kuboak, xa-

fla moztuak edo zenbait ingurunez osatutako loturak, aipagarrienak dira. Sistema

hauen modu eta kitzikapenen izaera sakonki aztertu da lan osoan zehar.

Tesiaren bigarren zatian (4. eta 5. kapituluetan), bi egitura estandar erabiliz, forma-

lismo dielektriko lokal ez-atzeratuaren mugak eta baliotasuna ikertu dira. Funtzio dielek-

trikoaren lokaltasun eza zulo zilindrikoan eta elkarrekintzaren atzerapena esferan, aztertu

dira. Bi egoerak deskribatzen dituzten adierazpen matematiko berriak garatu dira, eta

azken hauek erabiliz, emaitza berriak lortu dira. Bi kasuetan ondorengoa ondorioztatu

da:

• Mikroskopia elektronikoan erabilitako elektroi azkarrek pairatzen duten momentu

transferentzia txikia dela eta, funtzio dielektrikoaren lokaltasun eza, bakarrik den-

bora osoan zehar gainazaletik gertu bidaiatzen diren elektroien kasuan kontutan

hartu behar da. Elektroi sortak egindako zulo zilindrikoa horrelako kasu bat da,

baina egoera horretan ere, bakarrik elektroi gutxi batzuek pairatzen dute lokaltasun

ezaren eragina (gainazaletik gertukoak).

• Elkarrekintzaren deskribapen atzeratuari dagokionez, argiaren abiadura finitoa dela

kontsideratzean, bai moduek bai kitzikapenek aldaketa nabarmenak pairatzen dituz-

te. Partikula esferikoen erradioa handiagoa egiten den neurrian, moduen energiaren

posizioa, energia baxuagoetara jaisten da eta erradioa eta talka parametroaren ar-

teko erlazioaren arabera, eragin hori nabarmenagoa suerta daiteke energi galeren

espektroan. Gainera, tratamendu elektrodinamiko osoa garatzean, esferan sortuta-

ko kitzikapen batzuek izaera erradiatiboa daukatela ikusten da, eta ondorioz argia

emititzeko gai dira.

Lan honetan garatutako modu kolektiboen ikerketa, mikroskopia elektronikoan apli-

katzeaz gain, modu elektromagnetikoak agertzen diren beste ekorketa teknika askotan

ere aplika daiteke, haien artean, tunel mikroskopian (STM), indar atomiko mikroskopian

(AFM), gertuko eremu mikroskopia optikoan (SNOM), edo gainazalek handituriko Ra-

man espektroskopian (SERS). Hemen azaldutako zenbait emaitza erabiliz, egoera horietan

agertzen diren zenbait fenomeno fisiko askoz hobeto uler daitezke.

Bibliografia

[1] C. Davisson and L. H. Germer, Phys. rev. 30, 705 (1927).

[2] G. Rutherman, Ann. Phys. 2, 113 (1948).

[3] P. E. Batson, Ultramicroscopy 9, 227 (1982).

[4] P. E. Batson, Phys. Rev. Lett. 49, 936 (1982).

[5] D. Ugarte, C. Colliex and P. Trebbia, Phys. Rev. B 45, 4332 (1992).

[6] C.C. Ahn and O. L. Krivanek, EELS Atlas. A joint project of the ASU HREM facility

and GATAN.

[7] O. L. Krivanek, A. J. Gubbens, N. Delby and C. E. Mayer, Micross. Microanal.

Microstruct. 3, 187 (1992).

[8] D. W. McComb and A. Howie, Ultramicroscopy 34, 84 (1990).

[9] D. Bohm and D. Pines, Phys. Rev. 82, 625 (1951).

[10] R. H. Ritchie, Phys. Rev. 106, 874 (1957).

[11] E. Fermi, Phys. Rev. 57, 485 (1940).

[12] H. Kohl, Ultramicroscopy 11, 53 (1983).

[13] R. H. Ritchie and A. Howie, Philos. Mag. A 58, 753 (1988).

[14] L. D. Marks, Solid State Commun. 43, 727 (1983).

[15] M. G. Walls and A. Howie, Ultramicroscopy 28, 40 (1989).

[16] J. D. Jackson, Classical Electrodynamics. Second Edition. John Wiley & Sons, Inc.

[17] J. Lindhard, Kgl. Dawsk. Vid. Scls. Mat. Fys. Medd. 28 No. 8 (1954).

121

122 Bibliografia

[18] N. D. Mermin, Phys. Rev. B 1, 2362 (1970).

[19] B. I. Lundqvist, Physik Kondensierten Materie 6, 206 (1967).

[20] R. H. Ritchie, Philos. Mag. A 44, 931 (1981).

[21] P. M. Echenique, J. Bausells and A. Rivacoba, Phys. Rev. B 35, 1521 (1987).

[22] N. Zabala and A. Rivacoba, Phys. Rev. B 48, 14534 (1993).

[23] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Electrodynamics of Continuous Media. Pergamon,

Oxford, (1982).

[24] P. M. Echenique and J. B. Pendry, J. Phys. C 8, 2936 (1975).

[25] L. D. Marks, Solid State Commun. 34, 477 (1980).

[26] R. Nunez, P. M. Echenique and R. H. Ritchie, J. Phys. C 13, 4229 (1980).

[27] A. Howie, Ultramicroscopy 11, 141 (1983).

[28] P. M. Echenique, R. H. Ritchie, N. Barberan and J. Inkson, Phys. Rev. B 23, 6486

(1981).

[29] R. Garcıa-Molina, A. Gras-Martı, A. Howie and R. H. Ritchie, J. Phys. C 18, 5335

(1985).

[30] A. Howie and R. H. Milne, Ultramicroscopy 18, 427 (1985).

[31] R. H. Milne and P. M. Echenique, Solid State Commun. 55, 909 (1985).

[32] F. Fujimoto and K. Komaki, J. Phys. Soc. Japan 25, 1769 (1968).

[33] M. Schmeits, J. Phys. C 14, 1203 (1981).

[34] D. R. Penn and P. Apell, J. Phys. C 16 , 5729 (1983).

[35] G. Mie, Ann. Phys. (Leipzig) 25, 377 (1908).

[36] T. L. Ferrell and P. M. Echenique, Phys. Rev. Lett. 55, 1526 (1985).

[37] P. M. Echenique, A. Howie and D. J. Wheatley, Phil. Mag. B 56, 335 (1987).

[38] Y. T. Chu, R. J. Warmack, R. H. Ritchie,, W. Little, R. S. Becker and T. L. Ferrell,

Part. Accel. 16, 13 (1984).

Bibliografia 123

[39] D. De Zutter and D. De Vleeschauwer, J. Appl. Phys. 59, 4146 (1986).

[40] N. Zabala, A. Rivacoba and P. M. Echenique, Surf. Sci. 209, 465 (1989).

[41] A. Rivacoba, P. Apell and N. Zabala, Nucl. Instr. and Meth. B 96, 465 (1995).

[42] B. L. Illman, V. E. Anderson, R. J. Warmack and T. L. Ferrell, Phys. Rev. B 38,

3045 (1988).

[43] C. A. Walsh, Philos. Mag. A 59, 227 (1989).

[44] L. A. Bursill, Pierre A. Stadelmann, J. L. Peng and Steven Prawer, Phys. Rev. B 49,

2882 (1994).

[45] M. F. Lin and Kenneth W.-K. Shung, Phys. Rev. B 50, 17744 (1994).

[46] Lucas, Phys. Rev. B 49, 2888 (1994).

[47] R. Garcia-Molina, A. Gras-Marti and R. H. Ritchie, Phys. Rev. B 31, 121 (1985).

[48] D. Langbein, J. Phys. A 4, 627 (1976).

[49] M. Schmeits and L. Dambly, Phys. Rev. B 44, 12706 (1991).

[50] M. Schmeits, Phys. Rev. B 39, 7567 (1989).

[51] Z. L. Wang and J. M. Cowley, Ultramicroscopy 21, 77 (1987); ibid 335; ibid 347 and

23, 97 (1987).

[52] Marek T. Michalewicz, Phys. Rev. B 45, 13664 (1992).

[53] R. D. Averitt, D. Sarkar and N. J. Halas, Phys. Rev. Lett. 78, 4217 (1997).

[54] T. Klar, M. Perner, S. Grosse, G. von Plessen, W. Spirkl and J. Feldmann, Phys.

Rev. Lett. 80, 4249 (1998).

[55] P. M. Echenique, Philos. Mag. B 52, L9 (1985).

[56] R. Fuchs and F. Claro, Phys. Rev. B 35 , 3722 (1987).

[57] J. Bausells, A. Rivacoba and P. M. Echenique, Surf. Sci. 189/190, 1015 (1987).

[58] A. Howie and C. A. Walsh, Microsc. Microanal. 2, 171 (1991).

[59] F. Ouyang and M. Isaacson, Ultramicroscopy 31, 345 (1989).

124 Bibliografia

[60] F. Ouyang, P. E. Batson and M. Isaacson, Phys. Rev. B 46, 15 421 (1992).

[61] A. Liebsch, Phys. Rev. B 48, 15 (1993).

[62] J. Tiggesbumker, L. Kller , K. Meiwes-Broer and A. Liebsch, Phys. Rev. A 48, 1749

(1993).

[63] E. D. Palik, Handbook of Optical Constants of Solids, (Academic, London, 1985).

[64] I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of integrals, Series and Products (Academic,

New York, 1980), p. 795.

[65] P. Morse and H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics. (McGraw-Hill, New York,

1953), pp 745-748.

[66] A. Rivacoba, N. Zabala and P. M. Echenique, Phys. Rev. Lett. 69, 3362 (1992).

[67] E. Zaremba, Surf. Sci. 151, 91 (1985).

[68] H. J. Hagemann, W. Gudat and C. Kunz, Desy Report SR74/7 (1974) (unpublished).

[69] J. M. Pitarke and A. Rivacoba, Surf. Sci. 337, 294 (1997).

[70] J. Aizpurua, A. Rivacoba, and S. P. Apell, Phys. Rev. B 54, 2901 (1996).

[71] N. Zabala, A. Rivacoba, and P. M. Echenique, Phys. Rev. B 56, 7623 (1997).

[72] F. J. Garcıa de Abajo and J. Aizpurua, Phys. Rev. B 56, 15873 (1997).

[73] J. C. Maxwell, Treatise on Electricity and Magnetism (reprint by Dover, New York,

1891).

[74] R. Fuchs, Phys. Lett. A 48, 353 (1974).

[75] R. Fuchs, Phys. Rev. B 11, 1732 (1975).

[76] F. Ouyang and M. Isaacson, Phil. Mag. B 60, 481 (1989).

[77] F. Ouyang and M. Isaacson, Ultramicroscopy 31, 345 (1989).

[78] J. Q. Lu and A. A. Maradudin, Phys. Rev. B 42, 11159 (1990).

[79] R. Goloskie, T. Thio, and L. R. Ram-Mohan, Computers in Phys. 10, 477 (1996).

Bibliografia 125

[80] S. P. Apell, P. M. Echenique, and R. H. Ritchie, Ultramicroscopy 65, 53 (1996).

[81] L. C. Davis, Phys. Rev. B 14, 5523 (1976).

[82] J. Osma and F. J. Garcıa de Abajo, Phys. Rev. A 56, 0 (1997).

[83] A. A. Lucas, A. Ronveaux, M. Schmeits, and F. Delanaye, Phys. Rev. B 39, 7567

(1989).

[84] J. E. Inglesfield and E. Wikborg, J. Phys. F 5, 1706 (1975).

[85] L. Dobrzynski and A. A. Maradudin, Phys. Rev. B 6, 3810 (1972).

[86] R. Ruppin, Z. Phys. D 36, 69 (1996).

[87] J. M. Cowley, Surface Sci. i114, 587 (1982).

[88] J. Aizpurua, B. Rafferty, F. J. Garcıa de Abajo and A. Howie, Inst. Phys. Conf. Ser.

No 153, 277 (1997).

[89] P. Morau, N. Brun, C. A. Walsh, C. Colliex and A. Howie, Phys. Rev. B 56, 6774

(1997).

[90] R. G. Barrera and R. Fuchs, Phys. Rev. B52, 3256 (1995).

[91] R. Fuchs and F. Claro, Phys. Rev. B 39, 3875 (1989).

[92] Liang Fu, Pedro B. Macedo and Lorenzo Resca, Phys. Rev. B 47, 13818 (1993).

[93] Liang Fu and Lorenzo Resca, Phys. Rev. B 47, 16194 (1993).



[96] F. J. Garcıa-Vidal and J. B. Pendry, Phys. Rev. Lett. 77, 1163 (1996).

[97] J. W. Little, T. A. Callcott and T. L. Ferrell, Phys. Rev. B 29, 1606 (1984).

[98] P. Johansson, R. Monreal and P. Apell, Phys. Rev. B 42, 9210 (1990).

[99] R. Berndt, J. K. Gimzewski and P. Johansson, Phys. Rev. B 21, 3493 (1993).

[100] H. B. G. Casimir and D. Polder, Phys. Rev. 73, 360 (1948).

126 Bibliografia

[101] E. Gerlach, Phys. Rev. B 4, 393 (1971).

[102] P. Johansson and P. Apell, Phys. Rev. B 56, 1 (1997).

[103] E. Yablonovitch and T. J. Gmitter, Phys. Rev. Lett. 18, 1950 (1989).

[104] J. Pendry and L. Martın-Moreno, Phys. Rev. B 50, 5062 (1994).

[105] A. V. Vagov, A. Radchik and G. B. Smith, Phys. Rev. Lett. 73, 1035 (1994).

[106] J. C. Ashley and L. C. Emerson, Surf. Sci. 41, 615 (1974).

[107] C. A. Pfeiffer, E. N. Economou and K. L Ngai, Phys. Rev. B10, 3038 (1974).

[108] S. S. Martinos, E. E. Economou, Phys. Rev B24, 6908 (1981).

[109] R. J. Warmack, R. S. Becker, V. E. Anderson, R. H. Ritchie, Y. T. Chu, J. Little

and T. L. Ferrell, Phys. Rev. B29, 4375 (1984).

[110] M. E. Mochel, C. J. Humphreys, J. A. Eades, J. M. Mochel and A. K. Petford,

Appl. Phys. Lett. 42, 392 (1983).

[111] M. Scheinfein, A. Muray and M. Isaacson, Ultramicroscopy 16, 233 (1985).

[112] J. M. Macaulay, R. M. Allen, L. M. Brown and S. D. Berger, Microelectronic. Eng.

9, 557 (1989).

[113] D. L. Johnson and P. R. Rimbey, Phys. Rev. B14, 2398 (1976).

[114] R. Fuchs and R. G. Barrera, Phys. Rev. B24, 2940 (1981).

[115] P. E. Batson, Ultramicroscopy 11, 299 (1983).

[116] N. Zabala and P. M. Echenique, Ultramicroscopy 32, 327 (1990).

[117] F. J. Garcıa de Abajo and P. M. Echenique, Phys. Rev B45, 8771 (1992).

[118] F. J. Garcıa de Abajo and P. M. Echenique, Phys. Rev. B46, 2663 (1992).

[119] R. H. Ritchie and A. L. Marusak, Surf. Sci. 4, 234 (1966).

[120] R. Fuchs and K. L. Kliewer, Phys. Rev. 185, 905 (1969).

[121] B. B. Dasgupta and R. Fuchs, Phys. Rev. B24, 554 (1981).

Bibliografia 127

[122] R. Rojas, F. Claro and R. Fuchs, Phys. Rev. B37, 6799 (1988).

[123] J. C. Maxwell Garnett, Phil. Trans. Roy. Soc. 203, 385 (1904).

[124] T. L. Ferrell and P. M. Echenique, Phys. Rev. Lett. 55, 1526 (1985).

[125] R. Fuchs and K. L. Kliewer, J. Opt. Soc. Am. 58, 319 (1968)

[126] R. Ruppin, Electromagnetic Surface Modes, pp. 349. Edited by A. D. Boardman,

John Wiley & Sons Ltd. (1982)

[127] H. Petersen, Solid State Commun. 23, 931 (1977).

[128] J. Crowell and R. H. Ritchie, Phys. Rev. 172, 436 (1968).

[129] A. Rivacoba and P. M. Echenique, Scann. Microsc. 4, 73 (1990).

[130] E. Kroger. Z. Phys. A235, 403 (1970).

[131] F. J. Garcia de Abajo and A. Howie, Phys. Rev. Lett. 80, 5180 (1998).

[132] J. A. Stratton, Electromagnetic Theory. Mc Graw-Hill Book Company, (1941).

[133] R. Pogorzelski and C. Yeh, Phys. Rev. A 8, 137 (1973).

[134] M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, With For-

mulas, Graphs, and Mathematical Tables. (1974).

[135] R. H. Ritchie, Surf. Sci. 34, 1 (1973).

elektroi eta gainazaleko modu elektromagnetikoen arteko ... · in medicine, for instance, gold...

Documents