electrostÁtica · 2013. 8. 6. · ante atracciones y repulsiones que determinan las interacciones...

ELECTROSTÁTICA

Germán Moncada M

14 de marzo de 2013

Índice general

1. Estrategia solución de problemas 2

1.0.1. RECOMENDACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.0.2. Carga eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.0.2.1. Características de la carga eléctrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. LEY DE COULOMB 6

2.0.2.2. Montaje experimental para veri�car la ley de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Campo eléctrico 10

3.0.2.3. Campo eléctrico producido por una distribución de cargas puntuales . . . . . . . . 10

3.0.2.4. Dipolo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.0.2.5. Cuadrupolo Eléctrico lineal en su bisectriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.0.3. Campo eléctrico producido por distribuciones continuas de carga . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4. Ley de gauss para campo eléctrico 27

4.1. Flujo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2. Ecuación de Maxwell para campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2.1. APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3. LA LEY DE GAUSS Y LOS CONDUCTORES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5. Trabajo y Energía potencial eléctrica 32

5.0.1. Diferencia de potencial y Potencial eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.0.2. DEFINICIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.0.3. Diferencias de potencial en un campo eléctrico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.1. Gradiente de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6. POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS. 39

6.0.0.1. Nota matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1

Capítulo 1

Estrategia solución de problemas

En este aparte se hace la siguiente recomendación general:

Decir lo que se hace, hacerlo que se dice, evidenciar el resultado ( producto) y en una etapa posterior mejorar elproceso, para el caso del proceso de aprendizaje de la física en general:

Se dibujan las fuerzas que actúan sobre el sistema.

Se calcula la resultante por el principio de superposición.

Se aplica la segunda ley de Newton (ley Fundamental de la Dinámica), que se describe con la ecuación:∑F = ma

En los problemas de campo electrostático de cargas puntuales o esféricas. La fuerza electrostática F e entre doscargas, Q y q, puntuales o esféricas (conductoras huecas o macizas, o aislantes con una distribución homogénea decarga) separadas una distancia r se rige por la ley de Coulomb:

−→F =

Qq

4πε0r2Q,qr (1.0.1)

La intensidad del campo electrostático E creado por una carga puntual Q en un punto situado a una distancia r esigual a la fuerza eléctrica FE que ejercería la carga Q sobre la unidad de carga positiva situada en ese punto.

E = FE/q (1.0.2)

siendo q la carga de prueba situada en el punto. La expresión queda:

E = kQ

r2ur (1.0.3)

La intensidad de campo electrostático en un punto creado por varias cargas puntuales es la suma vectorial delas intensidades de campo electrostático creadas por cada carga como si las otras no estuviesen (principio desuperposición).

El potencial electrostático en un punto situado a una distancia r de una carga puntual Q es el trabajo que hace lafuerza electrostática cuando la unidad de carga positiva se traslada desde su posición hasta el in�nito:

2

CAPÍTULO 1. ESTRATEGIA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS 3

V =Wr→∞

q=

∞

r

−→F • d−→r

q=

∞

r

kQ

r2u • d−→r (1.0.4)

V =

∣∣∣∣−kQr∣∣∣∣∞r

= kQ

r(1.0.5)

El potencial electrostático en un punto debido a varias cargas puntuales es la suma de los potenciales electrostáticoscreados por cada carga como si las otras no estuviesen. Para calcular el trabajo necesario para trasladar una cargaq entre dos puntos A y B se calcula primero el trabajo que hacen las fuerzas del campo, que, siendo conservativo,es igual a: trabajo que hacen las fuerzas del campo:

WA→B = −(EPB�EPA) == (1.0.6)

EPA − EPB = q(VA�VB) (1.0.7)

Suponiendo que la carga parte del reposo y que llega a B con velocidad nula, el trabajo de la fuerza resultante esnulo, y el trabajo de la fuerza exterior será:

WFext = −WA→B

En los problemas de movimiento de cargas en un campo magnético constante. Por la ley de Lorentz.−→F = q(−→v Ö

−→B ) (1.0.8)

la fuerza magnética es perpendicular a la velocidad, por lo que no realiza trabajo. La velocidad tendrá un valorconstante, y la aceleración sólo tiene componente normal. Como todas las magnitudes son constantes, tambiénlo será la aceleración normal y el radio de curvatura, por lo que la trayectoria será circular. Las trayectorias delas partículas en el interior de un campo magnético constante son circulares. Entonces, la aceleración sólo tienecomponente normal:

aN =v2

r(1.0.9)

y, al no tener aceleración tangencial, el módulo de la velocidad es constante.

1.0.1. RECOMENDACIONES

1. 1Se hará una lista con los datos, pasándolos al Sistema Internacional si no lo estuviesen.

2. Se hará otra lista con las incógnitas.

3. Dibujar un croquis de la situación, por ejemplo (diagrama vectorial) procurando que las distancias del croquissean coherentes con ella. Se deberá incluir cada una de las fuerzas o de las intensidades de campo, y suresultante.

4. Se hará una lista de las ecuaciones que contengan las incógnitas y alguno de los datos, mencionando a la leyo principio al que se re�eren.


5. 5En caso de tener alguna referencia, al terminar los cálculos se hará un análisis del resultado para ver si esel esperado. En particular, comprobar que los vectores campo electrostático tienen la dirección y el sentidoacorde con el croquis.

6. En muchos problemas las cifras signi�cativas de los datos son incoherentes. Se resolverá el problema suponiendoque los datos que aparecen con una o dos cifras signi�cativas tienen la misma precisión que el resto de losdatos (por lo general tres cifras signi�cativas), y al �nal se hará un comentario sobre el las cifras signi�cativasdel resultado.

1.0.2. Carga eléctrica

En física, la carga eléctrica es una propiedad intrínseca de algunas partículas subatómicas que se mani�esta medi-ante atracciones y repulsiones que determinan las interacciones electromagnéticas entre ellas. La materia cargadaeléctricamente es in�uida por los campos electromagnéticos, siendo a su vez, generadora de ellos. La interacciónentre carga y campo eléctrico origina una de las cuatro interacciones fundamentales: la interacción electromagnética.Desde el punto de vista del modelo estándar la carga eléctrica es una medida de la capacidad de la partícula paraintercambiar fotones. Una de las principales características de la carga eléctrica es que, en cualquier proceso físico,la carga total de un sistema aislado siempre se conserva. Es decir, la suma algebraica de cargas positivas y negativaspresente en cierto instante no varía.Qi = Qf La carga eléctrica es de naturaleza discreta, fenómeno demostradoexperimentalmente por Robert Millikan. Por razones históricas, a los electrones se les asignó carga negativa: �1,también expresada �e. Los protones tienen carga positiva: +1 o +e. A los quarks se les asigna carga fraccionaria:±1/3 o ±2/3, aunque no se han podido observar libres en la naturaleza. en la �gura de abajo se muestra un modeloicónico del comportamiento de las cargas eléctricas.

Figura 1.0.1: cargas eléctricas

1.0.2.1. Características de la carga eléctrica.

7. Modi�can las propiedades del espacio creando un campo eléctrico

8. Interaccionan con los campos eléctricos creados por otras partículas cargadas eléctricamente.

9. Partículas cargas de igual signo se repelen

10. Partículas de diferente signo se atraen.

11. La carga eléctrica no se crea ni se destruye sino que �uye de un lugar a otro (conservación de la carga)

12. cualquier carga eléctrica experimenta una fuerza que depende de la magnitud y signo de la carga,


−→F = q

−→E

Capítulo 2

LEY DE COULOMB

Ley de Coulomb expresando los signos de cargas de diferente signo, y de carga del mismo signo. La ley de Coulombpuede expresarse como:

−→F =

q1q2u

r212(2.0.1)

La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamenteproporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distanciaque las separa y tiene la dirección de la línea que las une. La fuerza es de repulsión si las cargas son de igual signo,y de atracción si son de signo contrario. La constante de proporcionalidad depende de la constante dieléctrica delmedio en el que se encuentran las cargas.

Charles-Augustin de Coulomb desarrolló la balanza de torsión con la que determinó las propiedades de la fuerzaelectrostática. Este instrumento consiste en una barra que cuelga de una �bra capaz de torcerse. Si la barra gira, la�bra tiende a hacerla regresar a su posición original, con lo que conociendo la fuerza de torsión que la �bra ejercesobre la barra, se puede determinar la fuerza ejercida en un punto de la barra. La ley de Coulomb también conocidacomo ley de cargas tiene que ver con las cargas eléctricas de un material, es decir, depende de si sus cargas sonnegativas o positivas.

Variación de la Fuerza de Coulomb en función de la distancia. En la barra de la balanza, Coulomb colocó unapequeña esfera cargada y a continuación, a diferentes distancias, posicionó otra esfera también cargada. Luegomidió la fuerza entre ellas observando el ángulo que giraba la barra. Dichas mediciones permitieron determinar que:{

F α q1

F α q2

en consecuencia concluyó entonces que el valor de la fuerza era proporcional al producto de las cargas.

Fαq1q2

La fuerza de interacción entre dos cargas y duplica su magnitud si alguna de las cargas dobla su valor, la triplicasi alguna de las cargas aumenta su valor en un factor de tres, y así sucesivamente. Si la distancia entre las cargases , al duplicarla, la fuerza de interacción disminuye en un factor de 4 = (22); al triplicarla, disminuye en un factor

6

CAPÍTULO 2. LEY DE COULOMB 7

de9 = (32) y al cuadriplicar , la fuerza entre cargas disminuye en un factor de16 = (42). En consecuencia, la fuerzade interacción entre dos cargas puntuales, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:

Fα1

r2

Asociando ambas relaciones: Finalmente, se introduce una constante de proporcionalidad para transformar larelación anterior en una igualdad. La ley de Coulomb es válida sólo en condiciones estacionarias, es decir, cuandono hay movimiento de las cargas o, como aproximación cuando el movimiento se realiza a velocidades bajas y entrayectorias rectilíneas uniformes. Es por ello que es llamada fuerza electrostática. En términos matemáticos, lamagnitud de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales y ejerce sobre la otra separadas por una distanciase expresa como:

Dadas dos cargas puntuales y separadas una distancia en el vacío, se atraen o repelen entre sí con una fuerza cuyamagnitud está dada por:

La Ley de Coulomb se expresa mejor con magnitudes vectoriales:

−→F =

q1q2 (−→r 2 −−→r 1)

‖r2 − r1‖3(2.0.2)

donde es un vector unitario, siendo su dirección desde la cargas que produce la fuerza hacia la carga que la ex-perimenta. Al aplicar esta fórmula en un ejercicio, se debe colocar el signo de las cargas q1 o q2, según sean éstaspositivas o negativas. El exponente (de la distancia: d) de la Ley de Coulomb es, hasta donde se sabe hoy en día,exactamente 2. Experimentalmente se sabe que, si el exponente fuera de la forma , entonces .

Representación grá�ca de la Ley de Coulomb para dos cargas del mismo signo. Obsérvese que esto satisface latercera de la ley de Newton debido a que implica que fuerzas de igual magnitud actúan sobre y . La ley de Coulombes una ecuación vectorial e incluye el hecho de que la fuerza actúa a lo largo de la línea de unión entre las cargas.

La constante, si las unidades de las cargas se encuentran en Coulomb es la siguiente y su resultado será en sistemaMKS o sistema internacional:

1

4πε

[Nm2

C2

]La ley de Coulomb establece que la presencia de una carga puntual general induce en todo el espacio la apariciónde un campo de fuerzas que decae según la ley de la inversa del cuadrado. Para modelizar el campo debido a variascargas eléctricas puntuales estáticas puede usarse el principio de superposición dada la aditividad de las fuerzassobre una partícula. Sin embargo, matemáticamente el manejo de expresiones vectoriales de ese tipo puede llegar aser complicado, por lo que frecuentemente resulta más sencillo de�nir un potencial eléctrico. Para ello a una cargapuntual se le asigna una función escalar o potencial de Coulomb tal que la fuerza dada por la ley de Coulombsea expresable como:Constante de Coulomb La constante es la Constante de Coulomb y su valor para unidades SIes Nm²/C². A su vez la constante donde es la permitividad relativa, , y F/m es la permitividad del medio en elvacío. Cuando el medio que rodea a las cargas no es el vacío hay que tener en cuenta la constante dieléctrica y lapermitividad del material. La ecuación de la ley de Coulomb queda �nalmente expresada de la siguiente manera:

La constante, si las unidades de las cargas se encuentran en Coulomb es la siguiente y su resultado será en sistemaMKS (). En cambio, si la unidad de las cargas están en UES (q), la constante se expresa de la siguiente forma y suresultado estará en las unidades CGS ().

−→F 12 = q2∇φ1

De la ley de Coulomb se deduce que la función escalar que satisface la anterior ecuación es:


φ1(r) =q

4πε0 ‖r − rq1‖

donde −→r es el vector posición genérico de un punto donde se pretende de�nir el potencial de Coulomb y , es el vectorde posición de la carga eléctrica cuyo campo pretende caracterizarse por medio del potencial. [editar]Limitacionesde la Ley de Coulomb La expresión matemática solo es aplicable a cargas puntuales estacionarias, y para casosestáticos más complicados de carga necesita ser generalizada mediante el potencial eléctrico. Cuando las cargaseléctricas están en movimiento es necesario reemplazar incluso el potencial de Coulomb por el potencial vector deLiénard-Wiechert, especialmente si las velocidades de las partículas son grandes comparadas con la velocidad de laluz.Veri�cación experimental de la Ley de Coulomb

2.0.2.2. Montaje experimental para veri�car la ley de Coulomb.

Es posible veri�car la ley de Coulomb mediante un experimento sencillo. Considérense dos pequeñas esferas de masa"m" cargadas con cargas iguales, del mismo signo, y que cuelgan de dos hilos de longitud l, tal como se indica en la�gura adjunta. Sobre cada esfera actúan tres fuerzas: el peso mg, la tensión de la cuerda T y la fuerza de repulsióneléctrica entre las bolitas . En el equilibrio: (1) y también: (2) Dividiendo (1) entre (2) miembro a miembro, seobtiene:

Siendo la separación de equilibrio entre las esferas cargadas, la fuerza de repulsión entre ellas, vale, de acuerdo conla ley de Coulomb y, por lo tanto, se cumple la siguiente igualdad: (3) Al descargar una de las esferas y ponerla,a continuación, en contacto con la esfera cargada, cada una de ellas adquiere una carga q/2, en el equilibrio suseparación será y la fuerza de repulsión entre las mismas estará dada por:

Con esta aproximación, la relación se transforma en otra mucho más simple: De esta forma, la veri�cación se reducea medir la separación entre cargas y comprobar que su cociente se aproxima al valor indicado. Comparación entrela Ley de Coulomb y la Ley de la Gravitación Universal

Esta comparación es relevante ya que ambas leyes dictan el comportamiento de dos de las fuerzas fundamentalesde la naturaleza mediante expresiones matemáticas cuya similitud es notoria. La ley de la gravitación universalestablece que la fuerza de atracción entre dos masas es directamente proporcional al producto de las mismas einversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Expresándolo matemáticamente:

Siendo: la constante de gravitación universal, las masas de los cuerpos en cuestión y la distancia entre los centros delas masas. A pesar del chocante parecido en las expresiones de ambas leyes se encuentran dos diferencias importantes.La primera es que en el caso de la gravedad no se han podido observar masas de diferente signo como sucede en elcaso de las cargas eléctricas, y la fuerza entre masas siempre es atractiva. La segunda tiene que ver con los órdenesde magnitud de la fuerza de gravedad y de la fuerza eléctrica. Para aclararlo analizaremos como actúan ambasentre un protón y un electrón en el átomo de hidrógeno. La separación promedio entre el electrón y el protón esde5, 3 · 10−11m. La carga del electrón y la del protón valen y respectivamente y sus masas son y . Sustituyendo losdatos:


Figura 2.0.1: Representación campo eléctrico

Capítulo 3

Campo eléctrico

3.0.2.3. Campo eléctrico producido por una distribución de cargas puntuales

Para hallar el campo eléctrico, en un punto P, producido por una distribución de cargas puntuales, se suma vecto-rialmente el campo producido por cada una de las cargas en dicho punto P .En la �gura de abajo se representa unadistribución de cargas que producen campos indivifduales pero que afectan modi�cando las propiedades de una unaregión del espacio La superposición de estas deformaciones se describe mediante:

Figura 3.0.1: Representación vectorial de−→Eproducido por cargas puntuales

EP = E1 + E2 + E3 + .. =

n∑i=1

qiuri4πε0r2i

EP =∑−→

Ei

Obsérvese que el campo eléctrico es una cantidad vectorial y por consiguiente se deben determinar adecuadamentesus componentes

10

CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO 11

Figura 3.0.2: Lineas de campo eléctrico para dos cargas puntuales

3.0.2.4. Dipolo eléctrico

Consideremos ahora un caso especial de distribución de cargas, llamado dipolo el eléctrico, donde se tienen doscargas q de de igual valor, pero de signo contrario. Para calcular el campo en la perpendicular bisectriz que une lascargas como se indica en la �gura de arriba , se tiene que:

−→Er =

−→E1 +

−→E2

por la simetría de la �gura se observa que la componentes en X del campo se anulan:

−→Ex =

2∑i=1

−→Exi =

−−→Ex1 +

−−→Ex2

= 0

Eyr =

2∑i=1

−→Eyi =

−→Ey1 +

−→Ey2 = 2

−→Ey

En consecuencia en campo resultante total es, con dirección del eje Y y apuntando hacia abajo, su magnitud secalcula como:

−→Ey =

−→E 1 cos θ (3.0.1)

−→E r = 2

−→E 1 cos θ (3.0.2)

como ya se indico el campo producido pr un a partícula puntual esta dado por:

−→E 1 =

q

4πε0x2

de la geometría de la �gura se observan dos relaciones:

x2 = a2 + r2

y cos θ =a√

a2 + r2


reemplazando en la ecuación(1.2) se obtiene la siguiente ecuación

−→E r =

1

4πε0(a2 + r2)

2qa√a2 + r2

(3.0.3)

−→E r =

1

4πε0(a2 + r2)3/2(3.0.4)

sí la distancia r >> a se obtiene la siguiente expresión:

−→E =

2qa

4πε0r3(3.0.5)

se de�ne el momento dipolar electrice como:P =2aq

de forma que el campo producido por un dipolo electrice queda descrito por

−→E =

P4πε0r3

Figura 3.0.3: Dipolo eléctrico

3.0.2.5. Cuadrupolo Eléctrico lineal en su bisectriz

Se puede crear un cuadrupolo eléctrico lineal superponiendo dos dipolos eléctricos de orientación opuesta de mo-do que se superpongan sus cargas positivas. Este caso se puede tratar analíticamente y proporcionarnos algúnconocimiento sobre la naturaleza de los campos cuadrupolares. El campo eléctrico de cualquier conjunto de cargasse puede obtener por la ley de Coulomb mediante la suma vectorial de los campos de los elementos de cargasindividuales.


Figura 3.0.4: Cuadropolo eléctrico

En la �gura de arriba se aplica el principio de superposición de los campos eléctricos y se obtiene las siguientesexpresiones:

−−→E2q =

2q

4πε0r2(3.0.6)

−−→E−q =

−2q sin θ

4πε0(r2 + d2)(3.0.7)

−−→E−q =

−2qr

4πε0(r2 + d2)3/2(3.0.8)

observe de la �gura de arriba que:

sin θ =r√

r2 + d2

efectuando la suma vectorial en la dirección del eje Y se obtiene el valor de cada componente colineal con la bisectriz,la descripción de todas las contribuciones se hace mediante la siguiente ecuación:

Er =2q

4πε0r2− 2qr

4πε0(r2 + d2)3/2

Er =2q

4πε0r2

[1− r3

(r2 + d2)3/2

]Er =

2q

4πε0r2

[1− r3

(r2 + d2)√r2 + d2

]Er =

2q

4πε0r2

[1−

r3/r3

1/r2(r2 + d2)1/r√r2 + d2

]Er =

2q

4πε0r2

[1−

(1 +

d2

r2

)−3/2]

dividendo el segundo termino del paréntesis por r3 y haciendo una expansión binomial se obtiene la ecuación

2q

4πε0r2

[1− 1− 3d2

2r2

](3.0.9)


haciendo una expansión binomial y tomando el hecho de:

d2

r2<< 1

se utilizo : (1 +

d2

r2

)−3/2= 1− 3d2

2r2

�nalmente se obtiene=

Er =3qd2

4πε0r4(3.0.10)

nota de aritmética

(1 + x)n

= 1n + n(1)n−1x+n(n− 1)1n−2x2

2+n(n− 1)(n− 2)1n−3x3

2 � 3+ ...+ xn

ejemplo Se tienen dos cargas puntuales: q1 = 3nC en el punto de coordenadas (0, 2) y q2= −8nC en el punto decoordenadas (0,−4) (en metros).K = 9 � 109Nm2/C2.Hacer un esquema de las cargas y calcular el campo eléctricoen el punto de coordenadas (0, 0). Calcular el campo eléctrico en el punto de coordenadas (0, 5). Calcular el potencialeléctrico en el punto (0, 0) y en el (0, 5).

Figura 3.0.5: Solución

Solución: en el primer caso los campos eléctricos producidos por las cargas dadas tienen el mismo sentido.

E1 = −k q1r21j =−9 109 3 10−9

4= −6,75N/C

E2 = −k q2r22j =−9 109 8 10−9

16= −4,5N/C

E1 + E2 = −(6,75N/C) + (−4,5N/C)


Para el segundo caso:El campo E1 yE2tienen sentidos opuestos en el punto (0, 5)

E1 = kq1r21j =−9 109 3 10−9

9= 3N/C

E2 = −k q2r22j =−9 109 8 10−9

81= −0,89N/C

E1 + E2 = 3N/C)− 0,89N/C)

3.0.3. Campo eléctrico producido por distribuciones continuas de carga

Las distribuciones continuas de carga pueden existir sobre una longitud, una super�cie o un volumen; estas dis-tribuciones se de�nen como:

λ =Q

L=dQ

dL

σ =Q

S=dQ

dS

ρ =Q

V=dQ

dV

Por ejemplo si se dispone de una distribución super�cial continua de carga,como se muestra en la �gura de abajoen la �gura de abajo,en la que se modela el campo producido en un punto cualquiera y puede calcularse dividiendola carga en elementos in�nitesimales dq. Entonces, se calcula el campo d

−→E que produce cada elemento en el punto

en cuestión, tratándolos como si fueran cargas.La magnitud de d−→E está dada por:

d ~E =1

4πε0

dq

r2~ur

Figura 3.0.6: Distribución continua de carga en una super�cie

El campo resultante en el punto se encuentra, entonces, sumando los diferenciales de carga ; esto es, integrando;las contribuciones debidas a todos los elementos de carga, esto signi�ca que se debe efectuar la integral de lascontribuciones in�nitesimales. Cuya representación es:

~E =

ˆd ~E


Para el caso de una carga distribuida sobre una super�cie, la distribución continua de carga que se considera tieneuna densidad super�cial de carga se de�ne:

σ =dq

ds

y se puede expresar dq = σds. y la ecuación genérica que modela esta situación

~E =

ˆS

d ~E =

ˆS

1

4πε0

dq

r2~ur =

ˆS↙

1

4πε0

σdS

r2~ur

Actividad en clase Sobre un material en forma de circunferencia se toma un arco de 90º situado en el primercuadrante en el que hay una distribución lineal de carga λ, ¾qué campo creará en el centro de la circunferencia deradio a?.

Figura 3.0.7: Distribución continua de carga eléctrica

Estrategia de solución

lo que se sabe Problema Plan de acción

dq = λdl Hallar el campo−→E dibujar el vector de campo

distribución continua en el origen de coordenadas escribir las componentes del campol = aθ longitud de arco dl = adθ identi�car las variables de integración−→E =

−1

4πε0

´ λadθa2

(cos θ, sin θ) subproblema identi�car los limites de integración

r =−→r|r|

representar grá�camente el problema Efectuar y comprender la integral

−→E =

1

4πε0

´ π/20

λadθ

a2(− cos θ,− sin θ)

−→E =

−1λ

4πε0a[senθ,−cosθ]

Una barra de longitud l, tiene carga positiva uniforme por unidad de longitud y la carga total es Q. Calcular elcampo eléctrico en un punto pque esta localizado al lo largo del eje de la barra a una distancia adel extremo de labarra como se muestra en la �gura de abajo,


Figura 3.0.8: Barra uniformemente cargada

La estrategia de solución consta de tres categorías:

1. identi�car y listar lo que se sabe ( variables constantes leyes)

2. Identi�car y escribir en forma clara el problema

3. Ejecutar las acciones necesaria para resolver el problema,


dq = λdl campo debido a unadistribución continua

Hallar el campo−→E dibujar el vector de campo

a lo largo del eje X en el origen de coordenadas escribir las componentes del campodQ = λdx longitud de arco dl = dx identi�car las variables de integración−→dE =

−λdx4πε0x2

subproblema identi�car los limites de integración

λ es una constante representar grá�camente el problema Efectuar y comprender la integral

La integral es inmediata norepresenta �alta di�cultad�

la barra esta a lo largo del eje X−→E =

1

4πε0

´ l+aa

λdx

x2

Actividad de clase Calcular el campo eléctrico producido por un anillo con carga total Q distribuida uniforme-mente en toda su longitud

Estrategia de solución

1. identi�car y listar lo que se sabe ( variables constantes leyes)

2. Identi�car y escribir en forma clara el problema

3. Ejecutar las acciones necesaria para resolver el problema,



dq = λdl campo debido a unadistribución continua

Hallar el campo−→E dibujar el vector de campo

a lo largo de la longitud delanillo

en el origen de coordenadas escribir las componentes del campo

dQ = λdl longitud de arcol = 2πa

dl = dx identi�car las variables de integración

−→dE =

−λdl4πε0r2

subproblemaExpresar la distancia del

diferencial de carga en funciónde la distancia x y el radio del

anillo

identi�car los limites de integración

λ es una constante representar grá�camente elproblema

Efectuar y comprender la integral

La integral es inmediata norepresenta �alta di�cultad�

el punto donde se calcula elcampo esta sobre el eje desimetría del anillo a una

distancia x

−→E =

1

4πε0

´ λdlx2

Figura 3.0.9: Anillo uniformemente cargado

Ejercicio

1. Se tienen dos cargas puntuales: q1 = 3nC en el punto de coordenadas (0, 2) y q2= −8nC en el punto decoordenadas (0,−4) (en metros).K = 9 � 109Nm2/C2.Hacer un esquema de las cargas y calcular el campoeléctrico en el punto de coordenadas (0, 0). Calcular el campo eléctrico en el punto de coordenadas (0, 5).Calcular el potencial eléctrico en el punto (0, 0) y en el (0, 5).


Figura 3.0.10: Solución

−→E1 =

−q1j4πεr21

y−→E2 =

−q2j4πεr22

tiene el mismo sentido en el punto(0, 0)−→ER =

−q1j4πεr21

+−q2j4πεr22

reemplazando los

valores numéricos se obtiene:−→ER = −11 � 25j

N

C

Ejemplo Dos cargas eléctricas de 3µC están situadas en los puntos A(4, 0) y B(−4, 0) en metros. Calcular:

El campo eléctrico en C(0, 5) y en D(0, 9).

El potencial eléctrico en los mismos puntos C y D.

El trabajo para trasladar una carga q = −1µC de C a D.

Datos y ecuaciones conocidasvalor carga situada en el

punto A(4, 0)q1 = 3 � 10−3C

Intensidad del campoeléctrico producido poruna carga puntual

Valor carga situada en elpunto

B(−4, 0)q1 = 3 � 10−3C

Potencial electrostáticode una carga puntual

Valor carga que setraslada q1 = 1 � 10−3C

Trabajo para trasladaruna carga de C → D

en la �gura 2 abajo se muestra la solución grá�ca:


Figura 3.0.11: Solución grá�ca

La Intensidad del campo eléctrico producido por una partícula puntual se expresa como:

−→E =

q

4πε0r2

Por el principio de superposición: −→Er =

∑−→Ei

El potencial creado por partículas puntuales:

V =q

4πε0r

potencial credo por varias partículas puntuales en un punto p

V =∑

Vi

El trabajo hecho por la fuerza del campo eléctrico cuando se mueve una carga qdesde un punto Ahata otro punto Bque se modela mediante la siguiente expresión:

WA→B = q(VB − VA)

La intensidad del campo electrostático en el punto (0, 5) debido a la carga de 3µC situada en el punto A

−→EA→C =

3 � 10−6C

4πε0(42 + 52)

−4i+ 5(j)

√42 + 52

La intensidad del campo electrostático en el punto C(0, 5)debido a la carga situada en el punto B con respecto a ladel punto Aes simétrica.

−→EB→c =

3 � 10−6C

4πε0(42 + 52)

4i+ 5(j)

√42 + 52

al efectuar la suma de las componentes puede observarse que las componentes del campo en la dirección del eje X

se anulan y solo queda la resultante vertical dirigida en sentido positivo del eje Y y es igual a: Ey = 1 � 028 105N

C.


El campo eléctrico en el puntoD es cero porque únicamente tiene componentes en la dirección OX y −OXED = 0

Los potenciales en el punto C debido alas cargas puntuales situadas en A y en B son iguales porque las distanciasson iguales y la cargas son iguales:

VC = VA,C + VB,C =q

4πε0√

42 + 52+

q

4πε0√

42 + 52

VC =54 106√

41= 8,42 106

J

C

Se procede de manera análoga para el punto D:

Vd = VA,d + VB,d =q

4πε04+

q

4πε04

Vd =54 106

4= 13,5 106 [V ]

El trabajo que hace la fuerza del campo para trasladar una partícula de −10−3C del punto C → Dq

WC→D = q (VC − VD) = 10−3C(8,43 106 − 13,5 106 [V ]

)WC→D = 5,1 103J

La ley de Gauss explica la relación entre el �ujo del campo eléctrico y una super�cie cerrada. Se de�ne como �ujoeléctrico (φ) a la cantidad de �uido eléctrico que atraviesa una super�cie dada. Análogo al �ujo de la mecánica de

�uidos, este �uido eléctrico no transporta materia, pero ayuda a analizar la cantidad de campo eléctrico (−→E ) que

pasa por una super�cie. Matemáticamente se expresa como:

φE =

˛ −→E • ns =

q

ε0(3.0.11)

La ley dice que el �ujo del campo eléctrico a través de una super�cie cerrada es igual al cociente entre la carga (q)o la suma de las cargas que hay en el interior de la super�cie y la permitividad eléctrica en el vacío (), así:4 5

La forma diferencial de la ley de Gauss es:−→∇ •−→E =

ρ

ε0(3.0.12)

donde ρes la densidad de carga en el vacío. Intuitivamente signi�ca que el campo−→E diverge o sale desde una carga

ρ

ε0, lo que se representa grá�camente como vectores que salen de la fuente que las genera en todas direcciones. Por

convención si el valor de la expresión es positivo entonces los vectores salen, si es negativo estos entran a la carga.Para casos generales se debe introducir una cantidad llamada densidad de �ujo eléctrico (

−→D) y la nueva ecuación

se escribe como:

−→∇ •−→E =

ρ

ε0(3.0.13)

−→∇ • ε0

−→E = ρ (3.0.14)

−→∇ •−→D = ρ (3.0.15)


Ejercicio

2. Tres cargas de +3µC están situadas equidistantes entre sí sobre una circunferencia de radio2m. Calcula:

a) El potencial eléctrico en el centro de la circunferencia.

b) El vector campo eléctrico en el mismo punto.

c) El trabajo para traer una carga q′ = 1µC desde el in�nito al centro de la circunferencia. Dato: K =9× 109N ·m2 · C−2

3. Hallar la carga equivalente encerrada en el hexaedro de la �gura si a = b = 0,4my c = 0,6m y el campoeléctrico se describe mediante el vector:

−→E = (3 + 2x2 , 0 , 0)

N

C

Figura 3.0.12: Carga equivalente encerrada

4. Utilizando la ley de Gauss, determinar el campo eléctrico creado por un hilo in�nito con densidad lineal decarga homogénea λ siguiendo los siguientes pasos: Hacer un esquema de las líneas de campo eléctrico y dibujarla super�cie gaussiana que se empleará para determinar el �ujo del campo. (Pincha para ver el resultado).Calcular el �ujo del campo eléctrico a través de la super�cie gaussiana y el módulo del campo eléctrico.Expresar el campo eléctrico en forma vectorial. (Pincha para ver el resultado)

5. Una pequeña bola de plástico de 2g esta suspendida de una cuerda larga de 0.20m en un campo eléctricouniforme

−→E = 103i N/C como se ve en la �gura,si la bola esta en equilibrio cuando forma un ángulo de

15° con la vertical ¾Cual es la carga neta de la bola?

Figura 3.0.13: diagrama de cuerpo libre


6. Un disco de radioRtiene densidad de carga super�cial σ .Calcular el campo eléctrico E en un punto P situadoa lo largo de la línea central perpendicular al diámetro del disco y a una distancia xde su centro, como semuestra en la �gura 3.

Figura 3.0.14: Carga electrice distribuida super�cialmente

La estrategia de solución: escribir la de�nición de campo eléctrico para distribuciones continuas

d−→E =

dq

4πε0r2

d−→E =

(σ2πrdr)x

4πε0 (x2 + r2)3/2

−→E =

2σπx

4πε0

ˆ R

0

(rdr)

(x2 + r2)3/2

E =2σπx

4πε0

[(x2 + r2)

−1/2]R0

Ex =−σx2ε0

[(x2 +R2)

−1/2 − (x2)−1/2]

Ex =−σx2ε0

[1√

x2 +R2− 1

x

]

7. Una esfera de 5 cm está uniformemente cargada con una densidad de carga de1,2·10−5C

πm3.Calcular el módulo

del campo eléctrico a una distanciar del centro, en el interior (r < 5) y en el exterior (r > 5) de la esferacargada. Calcular el potencial en el centro r = 0, de la esfera.

Figura 3.0.15: Aplicación ley de Gauss


φE =

˛ −→E • ns =

˛ −→Escosθ = E

˛s = E4πr2

aplicando la ley de Gauss para campo eléctrico se calcula la carga q contenida en una super�cie Gaussiana esféricade radio r y aplicando la ley de Gauss

E

˛s = E4πr2

E4πr2 =q

ε0

E =q

4πε0r2

E =ρV

4πε0r2

reemplazando el valor de la carga en la expresión para el campo eléctrico en r < 0, 05 se obtiene:

E =

1,2·10−5C

πm3

4

3πr3

4πε0r2= 144000r

N

C

Para r > 0,05 se tiene

q = ρV

q =1,2·10−5C

πm3

4π (0,05)3

3

E =18

r2

[N

C

]Calcular el potencial en el centro r = 0, de la esfera.

V =

ˆ −→E • d−→r (3.0.16)

ˆ −→E • d−→r =

ˆ 0,05

0

−→E • d−→r +

ˆ ∞0,05

−→E • d−→r (3.0.17)

ˆ −→E • d−→r =

ˆ 0,05

0

14000rdr +

ˆ ∞0,05

18

r2

[N

C

]dr (3.0.18)

V = 540v (3.0.19)

Plano in�nitamente cargado La �gura de abajo representa un plano de tamaño �in�nito�, observa que lassuper�cies laterales forman ángulo de 90◦ con las lineas de campo eléctrico por lo tanto el �ujo eléctrico es cero.Las únicas contribuciones no nulas al �ujo son las que se producen a través de sus dos bases. El �ujo del campoeléctrico a través del cilindro es entonces:

φE =

˛ −→E • ns =

ˆsp later

−→Eds+

ˆBas 2

−→Eds+

ˆBas1

−→Eds


Como las dos bases del cilindro son iguales y el módulo del campo es el mismo en todos los puntos de su super�cie,la integral anterior se simpli�ca, quedando:

φE = 2E

ˆds = 2ES

aplicando la ley de Gauss para campo eléctrico se tiene

2ES =q

ε0

E =q

2Sε0

E =σ

2ε0

Figura 3.0.16: Plano in�nitamente cargado

condensador de placas planas y paralelas Un condensador o capacitor es un dispositivo formado por dosconductores (denominados armaduras), generalmente con forma de placas, cilindros o láminas, separados por elvacío o por un material dieléctrico (no conduce la electricidad), que se utiliza para almacenar energía eléctrica. Laforma más sencilla de un condensador consiste en dos placas metálicas muy cercanas entre sí con cargas q en unay -q en la otra. Este tipo de condensador se denomina plano-paralelo.

El módulo del campo eléctrico creado por cada una de las placas del condensador, como se ha visto en el ejemploanterior, viene dado por:

−→E =

σ

2ε0

Las líneas del campo eléctrico creado por la placa cargada positivamente están dirigidas hacia fuera de la misma,lo contrario que ocurre para la placa con carga negativa. como se observa en la �gura de abajo.


Figura 3.0.17: Condensador de placa planas y paralelas

Por tanto, en el exterior del condensador el campo es nulo y en el interior su módulo es el doble del campo quecrearía una sola de las placas.La siguiente ecuación modela el campo eléctrico entre las placas del condensador:

E =σ

ε0(3.0.20)

los condensadores se utilizan en circuitos electrónicos como dispositivos para almacenar energía. El primer conden-sador fue fabricado en 1746.

Actividad en clase Una esfera hueca de radio interior 3 cm y radio exterior 5 cm, contiene carga uniformemente

distribuida por todo su volumen con una densidad de4 � 10−5

π

C

m3. En su centro hay una esfera conductora de 1cm

de radio cargada con −4 · 10−9C.

Obtener, razonadamente, la expresión del campo eléctrico en las siguientes regiones r < 1, 1 < r < 3, 3 < r < 5,r > 5. Calcular el potencial del centro de la esfera conductora .

Capítulo 4

Ley de gauss para campo eléctrico

4.1. Flujo vectorial

El �ujo denotado comoΦ es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una super�cie hipotética quepuede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el �ujo ( ΦE ) se mide por el número de líneas de fuerza queatraviesan la super�cie. Para de�nir al �ujo eléctrico con precisión considérese la �gura de abajo, que muestra unasuper�cie cerrada arbitraria ubicada dentro de un campo eléctrico.

Figura 4.1.1: Flujo a travez de una super�cie

La super�cie se encuentra dividida en cuadrados elementales∆S , cada uno de los cuales es lo su�cientementepequeño como para que pueda ser considerado como un plano. Estos elementos de área pueden ser representadoscomo vectores ~∆S , cuya magnitud es la propia área, la dirección es perpendicular a la super�cie y hacia afuera.En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo eléctrico ~E . Ya que los cuadrados sontan pequeños como se quiera, E puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado.~E y ~∆Scaracterizan a cada cuadrado y forman un ánguloθ entre sí y la �gura muestra una vista ampli�cada de doscuadrados.

27

CAPÍTULO 4. LEY DE GAUSS PARA CAMPO ELÉCTRICO 28

El �ujo, entonces, se de�ne como sigue:

φE =∑−→

E • 4−→S

φE =

−→E • nds

El �ujo de un campo vectorial se de�ne como la cantidad de líneas de fuerza que atraviesa la super�cie, es unacantidad escalar. Para cuanti�carlo, se toma solamente la componente normal de las líneas que inciden sobre lasuper�cie. En la�gura de abajo se representa un �ujo vectorial.

Figura 4.1.2: Flujo a través de una super�cie

4.2. Ecuación de Maxwell para campo eléctrico

El �ujo del campo eléctrico a través de cualquier super�cie cerrada es igual a la carga q contenida dentro de lasuper�cie, dividida por la constante ε0. La super�cie cerrada empleada para calcular el �ujo del campo eléctricose denomina super�cie gaussiana. Matemáticamente, la ley de Gauss es una de las ecuaciones de Maxwell, y estárelacionada con el teorema de la divergencia, conocido también como teorema de Gauss. Fue formulado por CarlFriedrich Gauss en 1835. Para aplicar la ley de Gauss es necesario conocer previamente la dirección y el sentidode las líneas de campo generadas por la distribución de carga. La elección de la super�cie gaussiana dependerá decómo sean estas líneas. ‰ −→

E • nds =q

ε0(4.2.1)

4.2.1. APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS.

La ley de Gauss es útil para la obtención del campo eléctrico producido por distribuciones de carga que poseanuna alta simetría. Si la distribución de carga es muy simétrica, algunas características del campo como lo es sudirección se pueden dar mediante una simple inspección de la simetría, sin necesidad de realizar cálculo alguno. Enestos casos se puede:


1. seleccionar una super�cie gaussiana que esté en consonancia con la simetría de la distribución de carga;

2. determinar el �ujo de dicha super�cie en función del campo eléctrico ; y.

3. resolver la ecuación 2.2.1 para obtener el campo . El primer paso es el más importante. Debe escogerse unasuper�cie gaussiana para la que se pueda determinar el �ujo eléctrico de forma inmediata. Estos pasos seilustran con los ejemplo siguientes:

4.3. LA LEY DE GAUSS Y LOS CONDUCTORES.

Como se vio en el capitulo anterior los conductores son materiales en los que los portadores de carga se muevenlibremente. Si un conductor se encuentra en equilibrio electrostático, la fuerza sobre los electrones libres en el interiordel conductor debe desaparecer. Las consecuencias de esto son:

4. En el interior del conductorE = 0

5. Inmediatamente afuera del conductor, el campo eléctrico es normal a su super�cie: esto signi�ca que es paraleloal vector de super�cie.

Además, esto permite enunciar un teorema que se puede probar mediante la ley de Gauss para los conductoresaislados:

La carga en exceso en un conductor aislado debe residir completamente en su super�cie externa.

La primera propiedad puede entenderse considerando una placa conductora situada en un campo externo constanteproducido por un plano in�nito como se muestra en la siguiente �gura:

Figura 4.3.1: Conductor en equilibrio

En equilibrio electrostático, el campo eléctrico dentro del conductor debe ser cero. Si éste no fuera el caso, lascargas libres se acelerarían bajo el campo. Antes de que se aplique el campo externo, los electrones se distribuyenuniformemente por todo el conductor. Cuando se aplica el campo externo, los electrones aceleran hacia la izquierday producen una acumulación de carga negativa en la super�cie izquierda y una carga positiva a la derecha. Estadistribución de cargas crean su propio campo eléctrico interno, el cual se opone al campo eléctrico externo. Elsistema logra el equilibrio electrostático cuando:


Ei = Eexlo cual da lugar a que el campo eléctrico neto dentro del conductor sea cero.

Toda carga es generadora de un campo eléctrico, como el campo eléctrico dentro de un conductor es cero entoncesla carga neta dentro del conductor debe ser cero.

Como , el �ujo a través de cualquier super�cie de ese tipo es cero, y en consecuencia esa super�cie no encierra cargaeléctrica neta, por lo tanto la carga en exceso debe estar en la super�cie exterior.

Puede también utilizarse la ley de Gauss para determinar el campo justamente sobre la super�cie de un conductor.Este campo debe ser perpendicular a la super�cie del conductor. Si el campo tuviera en la super�cie del conductoruna componente tangencial, los portadores de carga se moverían a lo largo de la super�cie, en respuesta a la fuerzatangencial correspondiente y, por lo tanto, no se estaría en la condición electrostática. Por lo tanto, en la super�ciede un conductor en equilibrio el campo eléctrico solo tiene la componente normal.

Actividad en clase Un conductor posee una carga neta de 10µC . Dentro del conductor hay una cavidad ydentro de ella se encuentra una carga punto Q = 3µC como en la �gura de abajo. Hállese la carga q1 en la super�cieinterior del conductor (es decir en la pared de la cavidad), y la carga q2en la super�cie exterior del mismo.

Figura 4.3.2: ejemplo conductor con cavidad interna

Para resolver este problema se escoge una super�cie gaussiana en el interior del conductor que rodee la cavidadcomo se muestra en la �gura. Como la gaussiana queda comprendida completamente dentro del conductor,E = 0en todos sus puntos. por lo tanto, el �ujo eléctrico de E través de la super�cie gaussiana es

entonces

φE =

˛ −→E • ns =

QNε0

=q1 +Q

εo= 0

q1 = −Q = −3µC

.

Como , q1 +q2 = 10µC entonces q2 = 10µC− (−3µC) = 13µC . Así, la carga del conductor se distribuye a sí mismacomo sigue:

q1 = −3µC (enlasuperficieinterior)

q2 = 13µC (enlasuperficieexterior)


Ejercicio Una placa plana, inde�nida de espesor 2d = 2cm, está uniformemente cargada, con densidad de carga

de ρ = 2 � 10−8C

m3Obtener razonadamente la expresión del campo eléctrico en el interior y en el exterior de dicha

placa. Representar el módulo del campo eléctrico en función de la distancia a la placa. Hallar la diferencia depotencial entre el origen (plano que divide a la placa por la mitad) y un punteo situado a 5cm de dicho plano.

Figura 4.3.3: Placa in�nita

Ejercicio

6. Dos pequeñas esferas de plástico tienen cargas positivas de igual valor. Cuando están separadas 30 cm lafuerza de repulsión es de F = 0,15N . diga:

a) ¾Cuál es la carga de cada esfera? y

b) ) ¾cuál sería la carga de cada una de si una de las esferas tiene tres veces la carga de la otra?

Capítulo 5

Trabajo y Energía potencial eléctrica

En esta sección se conceptualizará y se operará lo relacionado con los cambios de energía de partículas cargadasen dentro de un campo eléctrico , estos cambios son conocidos como la Diferencia de potencial eléctrico entre dospuntos.Es a±i como:

1. Los estudiantes comprenderán que es potencial eléctrico, y que es diferencia de potencial. como se descríbeladiferencial entre potencial en un campo eléctrico uniforme y un campo eléctrico no uniforme.

2. Los estudiantes comprenderán la naturaleza escalar del potencial eléctrico.

5.0.1. Diferencia de potencial y Potencial eléctrico

La diferencia de potencial, también denominada voltaje (V ), entre dos puntos de un campo eléctrico o un circuitoeléctrico es la energía que gana o pierde la carga unidad al desplazarse entre ellos. Esta diferencia de potencialprovoca el movimiento de las cargas eléctricas y por ello a veces se le da el nombre de fuerza electromotriz (f.e.m.).La unidad de la diferencia de potencial en el Sistema Internacional de Unidades es el voltio (V).

Potencial eléctrico

A manera de analogía se recordaran los conceptos sobre energía potencial gravitacional y extender estos conocimien-tos al caso de la energía potencial eléctrica. Vamos a considerar un campo eléctrico como se muestra en la �gura01.

Figura 5.0.1: Trabajo hecho por una fuerza externa o por el campo

32

CAPÍTULO 5. TRABAJO Y ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA 33

Considérese el caso de transportar una carga de un punto muy lejano a otro dentro de ese campo en la direcciónradial de la �gura . Pueden ocurrir dos cosas:

1. Si la carga es Carga positiva: se produce una fuerza de repulsión sobre ella, que es necesario compensar parasituarla por ejemplo en A.En este caso la fuerza externa tiene que realizar un trabajo para llevar la cargahasta A.

2. Si la Carga negativa: el campo produce un movimiento que acerca la carga al cuerpo, en estas condiciones, esel campo el que hace trabajo.

Se puede concluir entonces que se produce un cambio de energía al transportar la carga desde el in�nito hasta elpunto A.

5.0.2. DEFINICIÓN

El potencial en un punto dentro de un campo eléctrico, es el trabajo cuando se lleva una carga de prueba positivadesde el in�nito hasta otro punto dentro del campo. El potencial será positivo si es necesario realizar un trabajo(agente externo) para trasladar la carga y será negativo si es el campo que realiza el trabajo. Por ejemplo, consider-emos una carga positiva próxima a una gran carga negativa, como en la �gura de abajo, obsérvese que el la fuerzadel campo es de sentido contrario a ala fuerza externa . La situación es idéntica a la de una masa m en el campogravitacional de la tierra. El trabajo de un agente externo para llevar la partícula qdesde un punto A hasta un puntoB más alejado , es igual al incremento de la energía potencial del sistema. Es signi�ca: que si el ángulo que formanla fuerza externa y el vector de desplazamiento dentro del campo es de 0°se a�rma que la fuerza eléctrica realizaun trabajo negativo ya que el vector de desplazamiento va en sentido contrario a la fuerza eléctrica y se modelamediante la siguiente ecuación:

W = F • r = Fr cos θ (5.0.1)

Figura 5.0.2: Trabajo hecho por una fuerza externa y por el campo eléctrico

Debe notarse que la cargaq hay que transportarla desde A hasta B con velocidad constante, las fuerzas se equilibran,esto signi�ca

Fexterna = Fcampo (5.0.2)

Entonces nos queda que:

W = 4U = UB − UA

Lo que signi�ca que el trabajo realizado por la fuerza eléctrica es igual al decremento de la energía entre los puntosA y B.


CONCLUSIÓN Si una partícula q se suelta en el interior de un campo eléctrico E, esta se moverá de la regiónde menor potencial hacia la región de menor potencial.

POTENCIAL EN UN PUNTO

1. Hacer una síntesis escrita, previa lectura sobre potencial eléctrico

2. Deducir, experimentalmente la diferencia de potencial dentro de un campo eléctrico uniforme. potencial deinteracción entre una distribución de cargas.

3. Resolver, en equipo, los problemas del texto guía.

4. Analizar algunas de las aplicaciones, tecnológicas, Solucionar problemas del texto guía

1. Diseño, aplicación, y corrección pública, de una prueba escrita.

2. Solución de los problemas dados en la parcelación.

3. Informe escrito de laboratorio.

4. Trabajo en equipo.

6. Síntesis escrita sobre las consultas y actividades interactivas.

La descripción de la energía necesaria invertida para hacer trabajo dentro de un campo eléctrico, o el trabajo quehace el campo eléctrico sobre una partículas cargadas, para trasladarlas de un punto dado a otro con coordenadas(x, y, z) y su articulación con con el concepto de potencial eléctrico y potencial eléctrico por unidad de carga odiferencia de potencial. Hace referencia a la simbolización de los conceptos que explican el origen y el modelamientodel potencial eléctrico. y su utilización en la construcción de explicaciones y modelos en diferentes contextos, asu modelización por medio del lenguaje formal , establece relaciones de relaciones entre el campo eléctrico y eltrabajo necesario para mover partículas cargadas dentro de un campo eléctrico en forma de principios y leyes, queconstituyen la estructura del potencial eléctrico. Conceptos (Tópicos generativos) Energía potencial eléctrica (Hiloconductor) Trabajo hecho por el campo eléctrico sobre una partícula cargada. Trabajo hecho en contra del campoeléctrico para mover una partícula de un punto a otro Diferencia de potencial entre dos puntos Potencial eléctricode cargas puntuales. Potencial eléctrico de una distribución continua de carga Niveles de desempeño NIVEL 1Reconocimiento y distinción del sistema de signi�cación básico se evidencia con 1. Diferenciar los distintos tópicosdel campo magnético listando sus atributos. Se de�ne el potencialV como la energía potencial por unidad de carga

V =U

q

Como la energía potencial es un escalar, V es un campo escalar. Debido a que V es un escalar, en ocasiones es másaconsejable su uso que el de campo eléctrico E , y como se verá, uno de ellos se puede obtener del otro. De hechola relación entre campo eléctrico E y V es análoga a la que existe entre una fuerza conservativa y la energíapotencial que lleva asociada.De la de�nición de potencial

V = =

ˆ −→E • dl

dV = −E • dldV = −Edl cos θ

Si cos θ = 1se obtiene una expresión conocida como el gradiente de potencial.

−→E = −dV

dl


Si el campo se describe en función de x, y yz y se deja quel se re�era a los mismos ejes X,Y y Z, la ecuación anteriorse convierte en:

∇V = (−∂V∂x

,−∂V∂y

,−∂V∂z

) (5.0.3)

En un campo eléctrico externo Ese coloca una carga de prueba q0sobre la cual se ejerce una fuerza eléctrica. Sise aplica una fuerza externa que hace que esa carga este en equilibrio, dicha fuerza debe ser tal que. FqEext = 0El campo eléctrico también tiene otros atributos relacionados con la magnitud y la dirección Las líneas de campoeléctrico señalan en la dirección de potencial decreciente. Si el potencial es conocido, puede utilizarse para calcularel campo eléctrico.

Figura 5.0.3: Super�cies equipotenciales de una carga puntual

Es así como se puede clasi�car en Campo eléctrico uniforme y campo eléctrico donde puede estar variando ladirección y la intensidad. Para el primer caso se utiliza el siguiente modelo; Sean P0 yPfdos puntos situados en uncampo eléctrico uniforme, estando Po a una distancia x de Pf en la dirección del campo, tal como muestra la �gura.

Una carga de prueba q0 se mueve de Po a Pf en un campo eléctrico−→E uniforme por causa de una fuerza externa

−→F , se tiene que el trabajo hecho por la fuerza se describe mediante la siguiente expresión:

W =

ˆ −→F • d−→r (5.0.4)

W =

ˆq−→E • d−→r (5.0.5)

Para el segundo caso se tiene un campo eléctrico donde puede estar variando la intensidad y la dirección del campo,en este caso se tiene que el trabajo hecho por una fuerza externa para mover la carga de prueba en equilibriodesdeP0 hasta Pf a lo largo de una trayectoria. Obsérvese en la �gura de abajo que si una partícula con carga q semueve entre dos puntos identi�cados por A y B siguiendo una trayectoria que en cada punto forma un ángulo conrespecto al campo eléctrico, por lo que se hace trabajo y esta expresado por la ecuación 5.3.3

5.0.3. Diferencias de potencial en un campo eléctrico uniforme

Como la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria que se siga, el trabajo para llevar una cargade prueba entre dos puntos A y B es el mismo por cualquier trayectoria. Este hecho es debido a que el campoelectrostático es conservativo. En la �gura de abajo se consideran dos situaciones en la cual se mueve una carga deprueba en presencia de un campo eléctrico uniforme.


Figura 5.0.4: Movimiento de una partícula cargada en un campo eléctrico uniforme

En un caso la partícula cargada se mueve en forma antiparalela Quedando �nalmente:as líneas de campo eléctricoy en el otro el desplazamiento forma un ángulo 270◦ con el campo eléctrico. Las líneas de campo eléctrico siempreapuntan en la dirección decreciente del potencial eléctrico; esto signi�ca que el potencial mayor tiene signo positivo,o un punto tiene mayor potencial que otro si su valor es mayor. Super�cies equipotenciales: en la �gura de abajose muestran una serie de super�cies separadas por una cantidad de energía por unidad de carga de 1 voltio; surgela pregunta que sucede si se lleva una partícula cargada de de la super�cie C a la super�cie A, o de_ la super�cieC a un punto cualquiera sobre la misma super�cie A. Podría contestarse con una analogía de la energía potencialmecánica. Para el caso de super�cies equipotenciales De la �gura se puede ver que V b−V c = V a−V c. Por lo tanto,V b = V a. Esto signi�ca que, los puntosa y b están al mismo potencial, o sea, pertenecen a una misma super�ciecompuesta de una distribución continua de puntos que están al mismo potencial eléctrico. Esta super�cie recibe elnombre de super�cie equipotencial.

Figura 5.0.5: Super�cies equipotenciales

El trabajo Wa→b es proporcional a la carga q0. Si se divide este trabajo por la carga de prueba se obtiene el trabajopor unidad de carga. A esta cantidad se le llama diferencia de potencial, V b−V a entre los puntos by a. La expresiónanterior también se puede escribir como el cambio de energía potencial por unidad de carga y se describe medianteV. El potencial electrostático

escalar es el trabajo por unidad de carga para mover una cargaq desde un punto inicial a un punto �nal.

Vb − Va =

ˆ b

a

−→E • d

−→l (5.0.6)

La ecuación 3.0.6 sólo de�ne una diferencia de potencial. Es decir, únicamente tienen importancia las diferenciasen V, por lo tanto se puede de�nir al potencial en un punto determinado de tal manera que tenga cualquier valor


conveniente. Usualmente, se toma el potencial en el in�nito como cero. Entonces, el potencial en un punto P essimplemente se expresa mediante la ecuación 2.6 Por otra parte la consideración de que.para cada punto P hay unvalor del potencial VP ; esto es, el potencial es un campo escalar. Dependiendo de la distribución de las cargas, elpotencial VP puede ser positivo, negativo, o cero.

V =

ˆ −→E • dl (5.0.7)

Si el potencial es positivo en un cierto punto; de acuerdo con la ecuación 3.3 el campo eléctrico realiza un trabajonegativo por unidad de carga, lo cual indica que la carga de prueba ha experimentado una fuerza de repulsión. Porlo tanto, el potencial cerca de una carga positiva es positivo. si el potencial es negativo ocurre entonces lo contrario.Si el potencial es cero en algún punto, el campo eléctrico no realiza ningún trabajo al mover la carga de pruebadesde el in�nito, aunque la carga de prueba haya pasado por una región donde experimentó fuerzas eléctricas deatracción o de repulsión. Esto signi�ca que en un punto de potencial cero, no necesariamente el campo eléctricoen dicho punto es cero. Para el caso anterior el mejor ejemplo, es el de dos cargas iguales y de signo contrario. Elpotencial en el punto intermedio entre ellas es cero. Pero el campo en ese punto es diferente de cero. Si se conoceel potencial Va del punto a respecto del in�nito y Vb del punto b respecto del in�nito, la diferencia de potenciales la dada por la ecuación 3.2. El potencial en b puede ser mayor que, menor que, o igual que el potencial en a.Por ejemplo, si Vb-Va >0, el campo eléctrico realiza un trabajo negativo por unidad de carga de prueba conformela carga de prueba se mueve en equilibrio de a hasta b. Puesto que la diferencia de potencial es una medida dela energía, la unidad del SI del potencial es joule sobre coulomb, de�nido por una unidad especial, la unidad demedida conocida como voltio debe su nombre al conde Alessandro Volta (1745-1827), que fue profesor de física enla Universidad de Pavía, Italia. Volta inventó el primer dispositivo capaz de proporcionar una corriente eléctricacontinua, la pila eléctrica o batería. 6.1

Diferencias de potencial en un campo eléctrico uniforme Como la diferencia de potencial es independiente de latrayectoria que se siga, el trabajo para llevar una carga de prueba entre dos puntos A y B es el mismo por cualquiertrayectoria. Este hecho es debido a que el campo electrostático es conservativo. En la �gura de abajo se considerandos situaciones en la cual se mueve una carga de prueba en presencia de un campo eléctrico uniforme. En un casola partícula cargada se mueve en forma antiparalela a las líneas de campo eléctrico y en el otro el desplazamientoforma un ángulo 270° con el campo eléctrico. 42 Las líneas de campo eléctrico siempre apuntan en la direccióndecreciente del potencial eléctrico; esto signi�ca que el potencial mayor tiene signo positivo, o un punto tiene mayorpotencial que otro si su valor es mayor. Super�cies equipotenciales: en la �gura de abajo se muestran una serie desuper�cies separadas por una cantidad de energía por unidad de carga de 1 voltio.

Figura 5.0.6: Líneas equipotenciales


Figura 5.0.7: Lineas de campo y super�cies equipotenciales

5.1. Gradiente de potencial

La �gura siguiente muestra las líneas de campo y super�cies equipotenciales para dos carga puntuales de diferentesigno, observes que la super�cies equipotenciales son perpendiculares a las lineas de campo. Las líneas de campoeléctrico señalan en la dirección de potencial decreciente. Si el potencial es conocido, puede utilizarse para calcularel campo eléctrico.

Figura 5.1.1: lineas equipotenciales

Capítulo 6

POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNADISTRIBUCIÓN CONTINUA DECARGAS.

La ecuación 4.8 puede ser transformada para obtener el potencial creado por una distribución continua de carga.Para ello se divide la distribución continua en un número in�nito de cargas pequeñas, tratando este elemento comouna carga puntual (�gura 4.6), el potencial V es:

V =1

4πε0

ˆdq

r(6.0.1)

Figura 6.0.1: Potencial debido a na distribución continua de carga

donde la integración se extiende a toda la distribución de carga y r es la distancia que hay desde dq al puntoPdonde se evalúa el potencial. Esta expresión paraV emplea como nivel de referencia cero en el in�nito.

Ejemplo 2. Determinar el potencial creado por un disco delgado de radio a, con densidad super�cial de carga , enlos puntos de su eje como en la siguiente �gura:

39

CAPÍTULO 6. POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS. 40

Figura 6.0.2: Potencial creado por un disco uniformemente cargado

Se divide el disco en anillos de ancho dy, de forma que el área de cada uno de ellos es 2πydy , y su carga Q = σA .Por lo tanto el potencial producido por el anillo es:

V =σ

4πε0

ˆ2πydy√x2 + y2

(6.0.2)

haciendo u = x2 + y2 se tiene que du = 2ydy y la integral queda:

V =σπ

4πε0

ˆdu√u

(6.0.3)

V =σ

2

√x2 + a2 − x (6.0.4)

.

Ejemplo 3. Un trozo de alambre no conductor de longitud �nitaL tiene una carga total q, distribuida uniformementea lo largo de ella. Hallar el potencial V en el punto P en la perpendicular bisectriz ¾ Que sucede cuando L→∞.Verla �gura de abajo:

Figura 6.0.3: Alambre no conductor

El elemento de longitud tiene carga dq = λdl . Puesto que el elemento está a una distancia de P , el potencial en Pdebido a este elemento es

V =1

4πε0

ˆdq

r

V =λ

4πε0

ˆ L/2

−L/2

dx√x2 + y2


integrando esta expresión ( ver tabla) se tiene :

V =λ

4πε0ln(x+

√x2 + y2

)(6.0.5)

Evaluando se encuentra

V =2

4πε0ln

L

2+

√L2

4+ y2

y

6.0.0.1. Nota matemática

La integral se realiza mediante la transformación trigonométrica:

x = y tan θ

dx = y sec2 θdθ√x2 + y2 =

√y2 tan2 θ + y2√

x2 + y2 = y√

1 + tan2 θ√x2 + y2 = y sec θ

V =λ

4πε0

ˆ L/2

−L/2

dx√x2 + y2

V =λ

4πε0

ˆy sec2 θdθ

y sec θ

V = =λ

4πε0

ˆsec θdθ

V =λ

4πε0ln (sec θ + tan θ)

V =λ

4πε0ln

(√x2 + y2

y+x

y

)

V =λ

4πε0

[√x2 + y2 + x

]− ln (y)

Ejemplo 4. Para el alambre de carga q uniformemente distribuida con forma de arco de circunferencia de radio Ry que subtiende un ángulo 2θ como en la �gura de abajo. Calcular el potencial eléctrico en el punto P .


Figura 6.0.4: Alambre doblado con carga distribuida uniformemente

El potencial medido respecto al in�nito para esta distribución es

V =1

4πε0

ˆλdl

R

V =2λRθ

4πε0R=

q

4πε0R

donde se ha tenido encuentra para la integración la simetría del alambre.

Ejemplo 5. Determinar el potencial creado por una esfera uniformemente cargada de radio a, con densidad volumétri-ca de carga , en los puntos r > a, r = a y r < a. ver �gura Figura 2.06

Figura 6.0.5: Esfera uniformemente cargada

Lo que se sabe Problema Plan de acción

Para r > a el campo eléctrico tienesimetría esféricaV = −

´ −→E •−→dr =

−1

4πε0

´ r∞

q

r2•−→dr

Para r < a el campo ele¢trico es radial

y :−→E =

qr

4πε0ur

V (r), r > a

V (r), r = a

V (r), r < a

1.Efectuar la integral de de�nición depotencial con las condiciones de frontera

dadas: V = −´ −→E •−→dr

2.Efectuar la integral de de�nición depotencial con las condiciones de frontera

dadas:

V = −ˆ ra

a

qr

4πε0ur •−→dr

VA − VB = −ˆ ra

a

qrdr

4πε0=

1q

4πε0a3(a2 − r2a

)


Este resultado es familiar, pues, es equivalente al producido por una carga puntual. O sea, parar > a la distribuciónde carga se puede reemplazar por una carga puntual situada en el centro de la distribución. Puesto que el potencialdebe ser continuo en r = a, se puede obtener el potencial en la super�cie de la esfera a partir de la expresiónobtenida anteriormente. Entonces el potencial en el punto B de la �gura es Parar > a el campo eléctrico tienesimetría esférica y se describe mediante la ecuación.

E =Q

4πε0r2

Para obtener el potencial en un punto exterior, como en Ce, e sustituye en la ecuación:

VC = −ˆE • dr

VC = −ˆ

Q

4πε0r2• dr

VC =−Q4πε0

ˆdr

r2

VC =Q

4πε0r

Las anteriores ecuaciones sugieren la de�nición de una nueva unidad de energía, conocida como el electronvolt. Unelectronvolt, eV es igual al trabajo realizado sobre una partícula de carga e cuando se la mueve a través de unadiferencia de potencial de un voltio. Entonces se tiene que un electronvoltio es

1eV = (1,6022x10−19C)(1V ) = 1,6022x10−19J.

Ejemplo En los famosos experimentos de dispersión de Rutherford que llevaron al modelo planetario del átomo,las partículas α cuya carga esta dada por:+2e, masa = 6,6x10− 27kg) se dispararon contra núcleos de oro (cargas+79e). Una partícula alfa inicialmente muy alejada del núcleo de oro se dispara a 2,0x107ms− 1directamente haciael centro del núcleo. ¾Qué tanto se acerca la partícula α a este centro antes de regresarse ?.

Si la partícula alfa esta muy alejada y el blanco está en reposo la energía inicial del sistema es toda cinética y estádada por

K0 =1

2mαv

20

Cuando la partícula alfa alcanza el máximo acercamiento al blanco toda la energía del sistema es potencial eléctricay está dada por:

Uf =qαqbanco

4πε0rα blanco

Aplicando el principio de conservación de energía del sistema E0 = Ef , entonces se obtiene una expresión para elradio atómico del modelo de Rutherford:

ra =2qαqbanco4πε0mv20


ejercicio Hallar el potencial eléctrico en el punto P , el cual se halla ubicado en el punto medio de uno de loslados del cuadrado de la �gura 5.0.7 El cuadrado es de lado a y en cada vértice tiene sus respectivas cargas con sussignos.

Figura 6.0.6: distribución discreta de cargas eléctricas

ejercicio Calcular el vector de campo eléctrico y el potencial del sistema de cargas de la �gura en el centro delhexágono regular. Datos:

q = 10mC , lado = 10cm

Figura 6.0.7: Hexágono regular (todos los lados son iguales

Evaluación En su estrategia de solución debe hacer: un diagrama de �ujo de procesos para el punto1. En lospuntos de selección marque con una X la respuesta correcta.

1. Elija la respuesta correcta. Una de las siguientes propiedades no es la de un campo vectorial:

a) Tienen magnitud.

b) Tienen dirección

c) Es un escalar

d) Se representa por medio de vectores

e) Se representan por medio de componentes

2. Una de las siguientes propiedades no es la de la carga eléctrica:

a) Cuntizacion


b) Conservación.

c) Desintegración.

d) Polarización

3. Cuando los electrones se transportan en presencia de un campo eléctrico ellos se mueven

e) De mayor a menor potencial.

f ) De menor a mayor potencial.

g) Perpendicularmente al campo.

h) Con velocidad constante

4. Una bolita cargada pende de un hilo ligero en la forma indicada en la �gura. La bolita tiene una cargaq2 de 0,060µC. se mantiene �ja una carga de q1 de o,125µC. A partir de estos datos y de las dimensionesseñaladas en la �gura calcule el peso de la bola.

Figura 6.0.8: Aplicar condiciones de equilibrio

5. Tres cargas puntuales de +4,0x10−6C están colocadas en los vértices de un triangulo equilátero cuyos ladosmiden 10 cm ¾qué fuerza en magnitud actúa sobre cualquiera de las cargas?

6. Cuatro cargas puntuales iguales están localizadas en los vértices de un cuadrado. entonces se puede a�rmarque en el centro de un lado :

a) El campo−→E es nulo.

b) El campo E es perpendicular al lado.

c) El potencial es cero.

d) El potencial es perpendicular al lado.

7. Seleccione y justi�que la respuesta correcta. ¾cuánto campo eléctrico vertical se necesita para hacer levitaruna esfera de 1g que tiene una carga eléctrica de 5000C o que caiga con velocidad constante?

e) 196N/C.

f ) 1,96x10−2N/C.

g) 1,96x10−4N/C.


h) 1,96x10−6N/C

8. Calcular el vector campo eléctrico y el potencial del sistema de cargas de la �gura en el centro del hexágonoregular. Datos:

q = 10mC , lado = 10cm

Figura 6.0.9: Hexágono regular (todos los lados son iguales

9. En un tubo de rayos catódicos el haz de electrones se desvía en una región de campo eléctrico hacia una pantalla�uorescente. El campo entre las placa paralelas es de 400 N/C, el haz de electrones entra horizontalmentecomo se observa en la �gura a una velocidad de 5x106 m/s si el ancho de las placas es L= 4,0 cm ¾Quédistancia vertical se desvía el haz al momento de salir si justamente alcanza a pasar entre estas.

Figura 6.0.10: Electrocinética

10. Elija la respuesta correcta: Una carga eléctrica q que se mueve con velocidad v paralela a un campo eléctricouniforme E, está sometida a una fuerza F:

a) De módulo qE y paralela a v

b) De módulo qE y perpendicular a v.

c) Nula.

11. Describa el campo eléctrico. Tomando como referente las propiedades física y su modelo matemático Intensidadde campo.

electrostÁtica · 2013. 8. 6. · ante atracciones y repulsiones que determinan las interacciones...

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