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Electrónica digital Puertas y circuitos lógicos

1.- Introducción La electrónica digital se emplea en sistemas en los cuales la información está codificada en dos únicos estados. A dichos estados se les puede llamar "verdadero" o "falso", o más comúnmente 1 y 0, refiriéndose a que en un circuito electrónico digital hay dos niveles de tensión, el máximo y el mínimo. En este tema estudiaremos las bases sobre las que se asienta. Sistemas de numeración y álgebra de Boole. También obtendremos funciones, aprenderemos a simplificarlas y a crear circuitos que las implementan. Con todo esto obtendremos un diseño que servirá para resolver un problema real. Existen una gran diversidad de sistemas digitales, tan solo estudiaremos una pequeña parte, con la que hacernos a la idea de su uso. Una señal analógica es aquella que puede tener infinitos valores, positivos y/o negativos. Mientras que la señal digital sólo puede tener dos valores 1 o 0. En el ejemplo de la figura, la señal digital toma el valor 1 cuando supera al valor a, y toma valor 0 cuando desciende por debajo del valor b. Cuando la señal permanece entre los valores a y b, se mantiene con el valor anterior. Esto supone una gran ventaja, ya que la señal digital es muy fiable frente a variaciones en la transmisión de datos. El inconveniente que tiene es que muchas señales de entrada y salida de dispositivos electrónicos son analógicas, por lo que hay que realizar la conversión. Para conseguirlo, se debe hacer muy rápidamente. Los sistemas electrónicos digitales actuales trabajan a velocidades lo suficientemente altas como para realizarlo con buenos resultados.

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2.- Sistemas de numeración

2.1.- Sistema decimal. Se define la base de un sistema de numeración como el número de símbolos distintos que tiene. Normalmente trabajamos con el sistema decimal que tiene 10 dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

La representación de un número N en un sistema de base b, puede realizarse mediante el desarrollo en forma polinómica.

N = anbn + an-1bn-1 + ... + a1b1 + a0b0 + a-1b-1 + ... Donde:

b: base del sistema

ai: coeficientes que representan las cifras de los números.

Por ejemplo: a) El número 3.333 en decimal, lo podemos expresar: 3333 = 3x103 + 3x102 + 3x101 + 3x100 b) El número 723,54 en base 10, o decimal, lo podemos expresar: 723,54 = 7x102 + 2x101 + 3x100 + 5x10-1 + 4x10-2

2.2.- Sistema binario. Consta de dos dígitos el 0 y el 1. A cada uno de ellos se le llama bit (binary digit). La forma de contar en este sistema es similar al decimal, es decir: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000,... Existe una correspondencia entre la numeración binaria y decimal

Hexadecimal Decimal Binario

0 0 0000

1 1 0001

2 2 0010

3 3 0011

4 4 0100

5 5 0101

6 6 0110

7 7 0111

8 8 1000

9 9 1001

A 10 1010

B 11 1011

C 12 1100

D 13 1101

E 14 1110

F 15 1111

2.3.- Sistema hexadecimal. Consta de dieciséis dígitos el 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y el F. La forma de contar en este sistema es similar al decimal, es decir: 0, 1, 2,..., E, F, 10, 11, 12,..., 1E, 1F, 20, 21, 22,..., 2E,2F, 30, 31, 32,..., 3E, 3F,... Se emplea en programación

para obtener expresiones mucho

más fácil de manejar que las

binarias.

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3.- Conversión de sistemas de numeración Para realizar el cambio de base decimal a binaria se emplea el siguiente método: Se divide número decimal por dos, continuamente hasta que todos los restos y cocientes sean 0 o 1. El número binario será el formado por el último cociente (bit de mayor peso) y todos los restos.

Para cambiar un número de sistema binario a decimal se procede de la siguiente forma: Primero se expresa el número binario en su polinomio equivalente, a continuación se calcula el polinomio y el resultado es el número en base 10. abcde,fg (2)= N (10)

N = a24 + b23 + c22 + d21 + e20 + f2-1 + g2-2 De la coma a la izquierda son los exponentes positivos y de la coma a la derecha son los exponentes negativos. Por ejemplo: a) El número 11010,11 en base 2, lo podemos expresar en base 10:

1x24 + 1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 + 1x2-1 + 1x2-2 =

16 + 8 + 0 + 2 + 0 + 0,5 + 0,25 = 26,75

Observar cómo se calcula la parte de después de la coma. b) El número 101011,101 en base 2, lo podemos expresar en base 10:

1x25 +0x24 +1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20 +1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 =

32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125 = 43,625 Para cambiar un número de sistema hexadecimal a decimal se procede de la siguiente forma: Primero se expresa el número hexadecimal en su polinomio equivalente, a continuación se calcula el polinomio y el resultado es el número en base 10.

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...abcde (16)= N (10)

N = ...a164 + b163 + c162 + d161 + e1

Por ejemplo:

a) El número 3A1 en base 16, lo podemos expresar en base 10:

3x162 + (A)10x161 + 1x160 = 768 + 160 + 1 = 929 b) El número 3BF8 en base 16, lo podemos expresar en base 10:

3x163 + (B)11x162 + (F)15x161 + 8x160 = 12288 + 2816 + 240 + 8 = 15352 Para realizar el cambio de base decimal a hexadecimal se hace: Se divide número decimal por 16, continuamente hasta que todos los restos y cocientes sean valores entre 0 y 15(F). El número hexadecimal será el formado por el último cociente (bit de mayor peso) y todos los restos. Por ejemplo: El número 3571 en base decimal, lo podemos expresar:

3571 en base 10 = DF3 en base 16

4.- Álgebra de Boole, álgebra de conjuntos. En 1847 el matemático inglés George Boole desarrolló un álgebra que afecta a conjuntos de dos tipos, conjunto vacío y conjunto lleno. Este álgebra se puede extrapolar a sistemas que tienen dos estados estables, “0” y “1”, encendido y apagado, abierto y cerrado, ...

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El álgebra de conjuntos se desarrolló con las operaciones unión de conjuntos (U) (+), intersección de conjuntos (n)(·) y el complementario. De ahora en adelante denotaremos a la unión como (+) y a la intersección como (·). ¡Ojo! No son la suma y multiplicación ordinarias.

Las operaciones lógicas se pueden representar como funciones:

Para la unión, S = A +B.

Para la intersección, S = A · B.

Complementario o negación, S = Ā

Donde los conjuntos A y B (variables) pueden tener los dos estados 0 y 1.

4.1.- Función unión o suma lógica (+): S = A + B La función toma valor lógico “1” cuando A o B valen “1”. También se la conoce como función OR (O). Los posibles valores de entrada y salida se representan mediante la tabla de verdad.

A la izquierda vienen representadas todas las combinaciones posibles de valores de A y B. A la derecha los valores de salida correspondientes.

4.2 .- Función intersección o multiplicación lógica (·): S = A . B La función toma valor lógico “1” cuando A y B valen “1”. También se la conoce como función AND (Y).

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4.3.- Función negación lógica o complementario (¯): S = Ā

La función toma valor lógico “1” cuando A vale “0” y toma el valor “0” cuando A vale “1”. También se la conoce como función Inversión o NOT.

5.- Puertas lógicas. Son dispositivos de distinta naturaleza (mecánicos, neumáticos, hidráulicos, eléctricos, electrónicos…) capaces de realizar las funciones lógicas vistas en el apartado anterior y otras más complejas. A modo de ejemplo, aquí tenemos las funciones lógicas vistas realizadas con operadores eléctricos. En la puerta suma (OR), la bombilla luce

cuando se actúa sobre cualquiera de los dos interruptores “a” o “b”.

En la puerta multiplicación (AND), sólo luce la bombilla cuando se cierran los dos interruptores “a” y “b”.

La puerta inversora (NOT) tiene encendida la bombilla en reposo, y la apaga cuando actuamos sobre el pulsador “a”, que está normalmente cerrado.

Las puertas lógicas más empleadas son las electrónicas, que suelen comercializarse en circuitos integrados en los que se incluyen varios dispositivos de dos o más entradas. 5.1.- Puerta OR. Realiza la función de suma lógica, y su tabla de verdad se corresponde con la vista anteriormente.

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5.2.- Puerta AND. Realiza la función de producto lógico.

5.3.- Puerta NOT. Realiza la función de invertir el valor de la entrada.

5.4.- Puerta NOR. Realiza la función de suma lógica e invierte el resultado obtenido, es decir, equivale a una puerta OR seguida de una NOT.

5.5.- Puerta NAND. Realiza la función de producto lógico e invierte el resultado obtenido, es decir, equivale a una puerta AND seguida de una NOT.

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6.- Propiedades del Álgebra de Boole. Para toda variable A,B,C que pertenece al conjunto de álgebra de Boole se cumple: 1) Propiedad conmutativa: A + B = B +A A . B = B . A 2) Propiedad asociativa:

A+B+C = A+(B+C) A · B · C = A · (B · C)

3) Propiedad distributiva:

A · (B+C) = A · B + A · C A+(B · C) = (A+B) · (A+C) 4) Elementos neutros: son el “0” para la suma y el “1” para el producto.

A + 0 = A A · 1 = A

5) Elementos absorbentes: son el “1” para la suma y el “0” para el producto.

A + 1 = 1 A · 0 = 0

6) Ley del complementario:

A + Ā = 1 A · Ā = 0

7) Propiedad Idempotente: A + A = A A . A = A 8) Simplificativa: A + A . B = A A . (A+B) = A 9) Teormemas de Morgan

7.- Circuitos digitales. Obtención de la función y de la tabla de verdad.

Las puertas lógicas se combinan entre sí para formar circuitos que realizan una función dentro de un sistema digital. Podemos obtener a partir de un circuito la función lógica de este y la tabla de verdad, que nos dará los valores de salida para todas las combinaciones de entrada.

En el ejemplo de la figura inferior se obtiene la función al saber que operación lógica realizan las distintas puertas.

Con la función que hemos obtenido S = A.B + B.C podemos calcular en la tabla de verdad

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los valores de salida al introducir las distintas combinaciones de entrada.

A B C A.B B.C S = A.B + B.C

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 1 1 0 1 1

1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0

1 1 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1

Como podemos observar, la salida vale 1 cuando A y B coinciden con valor 1 o cuando lo hacen B y C.

En el siguiente ejemplo, también se pueden obtener la función y la tabla de verdad del circuito.

Con la función obtenemos los valores de salida en la tabla de verdad.

A B C Ᾱ

0 0 0 1 1 1

0 0 1 1 0 0

0 1 0 1 0 0

0 1 1 1 0 0

1 0 0 0 1 0

1 0 1 0 0 0

1 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0

Como podemos observar, sólo hay una salida con valor 1, para cuando A, B y C valen 0.

8.- Implementación de funciones lógicas. También se puede hacer la operación inversa a la vista anteriormente y realizar el montaje del circuito conociendo la función. Para implementar el circuito, necesitamos saber que puertas lógicas intervienen. Por ejemplo:

Esta función necesita un inversor para negar la variable B. Además, necesita dos puertas AND para hacer los productos entre A y B y entre A y C. Finalmente hace falta una puerta NOR que sume las funciones anteriores y niegue el resultado final.

El resultado final puede ser el siguiente:

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9.- Simplificación de funciones lógicas. Los dispositivos digitales precisan, además de funcionar correctamente, utilizar el mínimo número de puertas lógicas posible, ya que si el circuito utiliza más, ocupará un espacio mayor al necesario y será más caro.

Para reducir al mínimo el número de puertas lógicas, se emplean los mapas de Karnaugh para 2 o 3 variables.

En estos se introducen los valores de salida (0 y 1) de nuestra tabla de verdad para las distintas combinaciones de entrada y luego se siguen los siguientes pasos:

a) Con las casillas contiguas que tengan salida uno se forman grupos del mayor tamaño posible (ocho, cuatro, dos o un uno), de tal manera que todos los unos pertenezcan, al menos, a un grupo.

b) Cada grupo de unos debe formar una figura de cuatro lados, teniendo en cuenta que el mapa se cierra por los laterales.

c) Cada uno de los grupos elegidos nos va a dar un sumando dentro de la función final.

d) Para extraer el sumando de un grupo tenemos que fijarnos en las variables de entrada. Si una variable aparece en una casilla con un valor y en otra con el contrario, esa variable desaparece. Si la variable tiene en todas las casillas del grupo el mismo valor, la variable se verá reflejada en el sumando con su valor normal si la variable vale 1 o negada si la variable vale 0. e) Todas las variables que permanezcan dentro del grupo se expresan en forma de producto.

Vamos a ver un ejemplo. Tenemos una función y queremos ver si es mínima. Vamos a obtener a partir de ella la tabla de verdad y aplicar el método de Karnaugh para intentar simplificarla.

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A B f

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 0

Podemos observar que sólo hay dos salidas con valor 1, por lo que se forma un grupo con estas. Si nos fijamos en las variables de entrada correspondientes al grupo sus valores son: A = 0, B =0 y A = 0, B = 1. Como B cambia de valor, desaparece de la función. Sin embargo, A permanece al mantener su valor. Lo hace en forma negada por valer 0. La función simplificada será f = Ᾱ

Ahora vamos a ver otro ejemplo. Tenemos la siguiente función de dos variables:

A B f

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

En este caso, al no poder formar un grupo de cuatro, formamos dos de dos elementos. En el primero la salida es Ᾱ, como en el caso anterior. Para el segundo, la salida es B. La función simplificada será f = Ᾱ + B

Finalmente, vamos a ver un caso de tres variables. La función es:

A B C f

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

Se forman dos grupos de cuatro elementos (observar que no importa que un 1 pertenezca a más de un grupo), ya que no se pueden hacer grupos de séis.

Hay que tener en cuenta que los laterales se tocan, lo que facilita la formación de uno de los grupos. Al mirar las variables de entrada de cada grupo eliminamos las que cambian de valor. Finalmente la función simplificada que nos queda es:

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Ejercicios

1.- Realizar la conversión de binario a decimal de los siguientes números:

a) 100101001 b) 101010101 c) 1000000001 d) 111000111 e) 10010011,011

2.- Realizar la conversión de decimal a binario de los siguientes números:

a) 133 b) 404 c) 1001 d) 2048 e) 3377,33 3.- Realizar la conversión de decimal a hexadecimal de los siguientes números: a) 178 b) 368 c) 741 d) 1010 e) 2882 4.- Realizar la conversión de hexadecimal a decimal de los siguientes números: d) DE8 b) A4FC9 c) FF217 d) FFE38 e)FFFFF

5.- Elaborar la tabla de verdad de las siguientes funciones:

6.- Empleando tablas de verdad, demostrar las siguientes propiedades del álgebra de Boole:

7.- Implementar las siguientes funciones con puertas lógicas y expresar su tabla de verdad:

8.- Hallar la función lógica y la tabla de verdad de los siguientes circuitos digitales.

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9.- Simplificar las siguientes funciones e implementarlas con puertas lógicas:

10.- Obtener la función lógica a partir de las siguientes tablas de verdad

11.- Simplificar las siguientes funciones e implementarlas con puertas lógicas:

12.- Hallar la función lógica y la tabla de verdad de los siguientes circuitos digitales:

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13.- Una bomba se controla desde tres interruptores A, B y C de manera que sólo funciona si se

activan dos interruptores al mismo tiempo. Obtener la tabla de verdad e implementar con puertas

lógicas el circuito simplificado mediante Karnaugh.

14.- Obtener la tabla de verdad y el circuito lógico simplificado de un motor controlado por tres

pulsadores A, B y C que activan su funcionamiento siempre que se dan las siguientes

combinaciones:

- A accionado y B y C en reposo - A en reposo y B y C accionado

- A y B en reposo y C accionado - A y B accionado y C en reposo.

15.- En un automóvil de dos puertas se enciende la luz cuando se desactiva alguno de los

pulsadores que tiene cada puerta o cuando el conductor activa el interruptor manual que tiene a

la altura del retrovisor. Obtener la tabla de verdad e implementar el circuito lógico simplicado.

16.- Un timbre debe dar la señal de alarma en una fábrica cuando tres detectores de fuego A, B y

C cumplen las siguientes condiciones:

- A y B están activados

- C está activado

17.- Supongamos un sistema de alarma con tres detectores A, B y C en el que la alarma suena

cuando están los tres en Off o sólo B en On, y viceversa, es decir, cuando estén los tres en On o

sólo B en Off.

18.- Investiga sobre George Boole y descubre:

a) Quién le inició en el estudio de las matemáticas.

b) En qué otras áreas destacó.

c) Qué otras aficiones tenía.

d) Qué otros científicos aprovecharon sus trabajos para aplicarlos al mundo de la computación.

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Prácticas de taller

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Electrónica digital Trabajo para realizar en casa

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