electronica de potencia rashid 3ed cap 13

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CAPíTULO 13 Sistemas flexibles de transmisión de ea Los objetivos de aprendizaje para este capítulo son los siguientes: Estudiar los tipos de técnicas de compensación para líneas de transmisión y explicar su funciona- miento y sus características Aprender técnicas para implementar la compensación mediante conmutación con dispositivos electrónicos de potencia para controlar el flujo de la potencia Conocer las ventajas y desventajas de determinado compensador para una aplicación particular, y estimar sus valores componentes 13.1 INTRODUCCiÓN En general, la operación de una línea de transmisión de potencia en ea está restringida por limi- taciones de uno o más parámetros de red (como por ejemplo, la impedancia de línea) y variables de operación (como voltajes y corrientes). El resultado es que la línea eléctrica no puede dirigir el flujo de la potencia entre las estaciones generadoras. En consecuencia podría ser que otras lí- neas de transmisión paralelas que tengan una capacidad adecuada de conducción de cantidades adicionales de potencia no puedan suministrar la potencia demandada. Los sistemas flexibLes de transmisión de ea (FACTS, de flexible ae transmission systems) es una nueva tecnología emer- gente, y su papel principal es aumentar la capacidad de control y de transferencia de potencia en sistemas de ea. La tecnología FACTS usa la conmutación mediante electrónica de potencia para controlar el flujo de potencia desde algunas decenas hasta algunas centenas de megawatts. Los dispositivos FACTS que tienen una función integrada de control se conocen corno controLadores FACTS. Pueden consistir en dispositivos con tiristor y sólo con encendido por com- puerta, sin apagado por compuerta, o con dispositivos de potencia con la capacidad de apagado por compuerta. Los controladores FACTS son capaces de controlar los parámetros de línea inte- rrelacionados y otras variables de operación que gobiernan el funcionamiento de los sistemas de transmisión, incluyendo impedancia en serie, impedancia en paralelo, corriente, voltaje, ángulo de fase y amortiguamiento de oscilaciones a diversas frecuencias inferiores a la frecuencia nominal. Al proporcionar más flexibilidad, los controladores FACTS pueden permitir que una línea de transmisión conduzca potencia en condiciones más cercanas a su especificación térmica nominal. 570

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Electronica de Potencia Rashid 3Ed

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Page 1: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

CAPíTULO 1 3

Sistemas flexibles detransmisión de ea

Los objetivos de aprendizaje para este capítulo son los siguientes:

• Estudiar los tipos de técnicas de compensación para líneas de transmisión y explicar su funciona-miento y sus características

• Aprender técnicas para implementar la compensación mediante conmutación con dispositivoselectrónicos de potencia para controlar el flujo de la potencia

• Conocer las ventajas y desventajas de determinado compensador para una aplicación particular, yestimar sus valores componentes

13.1 INTRODUCCiÓN

En general, la operación de una línea de transmisión de potencia en ea está restringida por limi-taciones de uno o más parámetros de red (como por ejemplo, la impedancia de línea) y variablesde operación (como voltajes y corrientes). El resultado es que la línea eléctrica no puede dirigirel flujo de la potencia entre las estaciones generadoras. En consecuencia podría ser que otras lí-neas de transmisión paralelas que tengan una capacidad adecuada de conducción de cantidadesadicionales de potencia no puedan suministrar la potencia demandada. Los sistemas flexibLes detransmisión de ea (FACTS, de flexible ae transmission systems) es una nueva tecnología emer-gente, y su papel principal es aumentar la capacidad de control y de transferencia de potencia ensistemas de ea. La tecnología FACTS usa la conmutación mediante electrónica de potencia paracontrolar el flujo de potencia desde algunas decenas hasta algunas centenas de megawatts.

Los dispositivos FACTS que tienen una función integrada de control se conocen cornocontroLadores FACTS. Pueden consistir en dispositivos con tiristor y sólo con encendido por com-puerta, sin apagado por compuerta, o con dispositivos de potencia con la capacidad de apagadopor compuerta. Los controladores FACTS son capaces de controlar los parámetros de línea inte-rrelacionados y otras variables de operación que gobiernan el funcionamiento de los sistemas detransmisión, incluyendo impedancia en serie, impedancia en paralelo, corriente, voltaje, ángulode fase y amortiguamiento de oscilaciones a diversas frecuencias inferiores a la frecuencia nominal.Al proporcionar más flexibilidad, los controladores FACTS pueden permitir que una línea detransmisión conduzca potencia en condiciones más cercanas a su especificación térmica nominal.

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Page 2: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

13.2 Principio de la transmisión de potencia 571

La tecnología FACTS abre nuevas oportunidades en el control de la potencia, y amplía lacapacidad útil de las líneas actuales, nuevas y renovadas. La posibilidad de poder controlar la co-rriente que pasa por una línea, a un costo razonable, crea un potencial grande de aumento de lacapacidad de las líneas actuales, con conductores más grandes y con el uso de uno de los contro-ladores FACTS que permita el paso de la potencia correspondiente por esas líneas, bajo condi-ciones normales y de contingencias.

El fundamento de los FACfS es usar la electrónica de potencia para controlar el flujo de lapotencia en una red de transmisión, permitiendo con ello que la línea se cargue hasta su capaci-dad total. Los dispositivos controlados por electrónica de potencia, como por ejemplo los com-pensadores estáticos de volt-amperes re activos (VAR) se han usado desde hace muchos años enlas redes de transmisión. Sin embargo, el doctor N. Hingorani [1] introdujo el concepto deFACTS como una filosofía de redes total.

13.2 PRINCIPIO DE LA TRANSMISiÓN DE POTENCIA

Para modelar su operación, se puede representar una línea de transmisión por una reactancia enserie y con los voltajes de transmisión y de recepción. Esto se ve en la figura 13.1a, para una fase deun sistema trifásico. En consecuencia, todas las cantidades, como voltajes y corrientes, están defini-das por fase. Vs y Vr son el voltaje de transmisión y el voltaje de recepción por fase, respectiva-mente, que representan equivalentes de Thevenin con respecto al punto medio. La impedanciaequivalente (jX/2) de cada equivalente de Thevenin representa la "impedancia de cortocircuito"

jXl2 1- jXl2

+ + +

Vs

(a) Sistema de potencia con dos máquinas

P,Q

y2Q=X(1-cos8)

2Pmáx

x

Vx = j x rvs~-------,--------vrVm

o 7r/2 7r

(b) Diagrama fasoria! (e) Potencia en función del ángulo

FIGURA 13.1

Flujo de potencia en una línea de transmisión [Ref, 3].

Page 3: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

572 Capítulo 13 Sistemas flexibles de transmisión de ea

ubicada en el lado derecho o izquierdo de ese punto medio. Como se ve en el diagrama fasorialde la figura 13.1b, el ángulo de fase entre ellos es 8.

Supongamos, para simplificar, que las magnitudes de los voltajes de terminal permanecenconstantes e iguales a V. Esto es, Vs = Vr = Vm = V. Los dos voltajes de terminal se pueden ex-presar como sigue, en notaciones fasoriales para coordenadas rectangulares:

V s = Vej&/2 = V ( cos % + j sen %)

v, = Ve-j&/2 = V (cos % - j sen %)

(13.1)

(13.2)

donde 8 es el ángulo entre Vs y Vr Así, el voltaje fasorial Vm en el punto medio es el valor pro-medio de Vs y Vm' definido por

v, + Vr '0 8V = =Ve' =Vcos-LO°m 2 m 2 (13.3)

El fasor de corriente de línea es

Vs - v, 2V 8I = = - sen - L 90°

X X 2(13.4)

donde la magnitud de III es 1 = 2V/X sen8/2. Para una línea sin pérdidas, la potencia es igualen ambos extremos y en el punto medio. Así, se obtiene la potencia activa (real) P, definida por

P = Ivmllll = (vcos%) X (~ sen %) = ~ senS (13.5)

La potencia reactiva Qr en el extremo receptor es igual y opuesta a la potencia re activa Qs sumi-nistrada por las fuentes. Así, la potencia re activa Q para la línea es

Q = Qs = -Qr = vlr: sen % = V X (~ sen %) X sen % = ~ (1 - cos 8)

(13.6)

La potencia activa P de la ecuación (13.5) se vuelve máxima Pmáx = V2/X en 8 = 90° Yla poten-cia re activa Q en la ecuación (13.6) se vuelve máxima Qmáx = 2V2/X en 8 = 180°. En la figura13.1c se ven las gráficas de la potencia activa P y la potencia re activa Q en función del ángulo 8.Para un valor constante de la reactancia de línea X, al variar el ángulo 8 se puede controlar lapotencia transmitida P. Sin embargo, cualquier cambio en la potencia activa también harácambiar la demanda de potencia reactiva, en los extremos transmisor y receptor.

Variables controlables. Se puede controlar el flujo de potencia y corriente con alguno delos siguientes métodos:

1. Si se aplica un voltaje en el punto medio también puede aumentar o disminuir la magnitudde la potencia.

Page 4: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

13.3 Principio de la compensación por derivación 573

2. Si se aplica un voltaje en serie con la línea, y en cuadratura de fase respecto al flujo de co-rriente, se puede aumentar o disminuir la magnitud del flujo de corriente. Como el flujo decorriente se retrasa del voltaje en 90°, hay una inyección de potencia reactiva en serie.

3. Si se aplica en serie un voltaje con magnitud y fase variable, entonces al variar la amplitudy el ángulo de fase se pueden controlar los flujos de corriente tanto activa como reactiva.Para esto se requiere la inyección de potencia activa y potencia reactiva en serie.

4. Si se aumenta y disminuye el valor de la reactancia X se causa una disminución y un au-mento de la altura de las curvas de potencia, respectivamente, como se ve en la figura13.1c. Para determinado flujo de potencia, al variar X se hace variar el ángulo 8 entrelos voltajes de terminal.

s. También se puede controlar el flujo de la potencia regulando la magnitud de los voltajes detransmisión y de recepción, Vs y Vr. Este tipo de control tiene una influencia mucho mayorsobre el flujo de potencia reactiva que sobre el de potencia activa.

Por lo anterior, se puede llegar a la conclusión que el flujo de potencia en una línea de transmisiónse puede controlar 1) aplicando un voltaje Vm en paralelo, en el punto medio, 2) variando la reactan-cia X y (3) aplicando un voltaje de magnitud variable en serie con la línea.

Punto clave de la sección 13.2

• Al variar la impedancia X, el ángulo 8 y la diferencia de voltajes, se puede controlar el flu-jo de potencia en una línea de transmisión.

13.3 PRINCIPIO DE LA COMPENSACiÓN POR DERIVACiÓN

El objetivo final de la aplicación de la compensación por derivación en un sistema de transmi-sión es alimentar potencia reactiva que aumente la potencia capaz de ser transmitida, y hacerlacompatible con la demanda prevaleciente de la carga. Así, el compensador en derivación debe-ría poder minimizar el sobrevoltaje de línea bajo condiciones de carga ligera, y mantener los ni-veles de voltaje bajo condiciones de carga pesada. Un compensador ideal por derivación seconecta en el punto medio de la línea de transmisión, como se ve en la figura 13.2a. El voltajecompensador que está en fase con el voltaje Vm en el punto medio tiene la amplitud V, idénticaa la de los voltajes de los extremos de transmisión y recepción. Esto es, Vm = Vs = Vr = V. Elcompensador de punto medio divide-de hecho, la línea de transmisión en dos partes indepen-dientes: 1) el primer segmento, con una impedancia jX/2 conduce la potencia del extremo detransmisión hasta el punto medio y 2) el segundo segmento, también con una impedancia jX/2conduce la potencia desde el punto medio hasta el extremo de recepción.

Un compensador ideal no tiene pérdidas. Esto es, la potencia activa es igual en el extremode transmisión, en el punto medio y en el extremo de recepción. Usando el diagrama fasorial, co-mo se ve en la figura 13.2b, se obtienen las magnitudes del componente de voltaje de la ecuación(13.3) y el componente de corriente de la ecuación (13.4) como

8lfsm = Vmr = V cos 4" (13.7a)

4V 81sm = 1mr = 1 = X sen 4" (13.7b)

Page 5: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

574 Capítulo 13 Sistemas flexibles de transmisión de ea

+ + +

CompensadorVs ideal (P = O)

(P = O)v,

(a) Sistema de potencia con dos máquinas

P,Q

4Pmáx

4V2Q = - (1 - cos Q)p X 2

IVsI = IV,I = IVml = V

2V2Pp= -Xsenll/2

V2P = -senilX

V,

O 7T/2 7T

(b) ) Diagrama fasorial (e) Potencia en función del ángulo

FIGURA 13.2

Línea de transmisión ideal con compensación en derivación [Ref.2].

Usando las ecuaciones (13.7a) y (13.7b), la potencia activa transmitida Pp para compensación enderivación es

5 5Pp = v'mIsm = Vm,Im, = VmIsm cos ¡ = VI cos ¡

que, después de sustituir a 1de la ecuación (13.7b) se transforma en

4V2 5 5 2V2 5P = --- s-en - X cos - = -- sen -

p X 4 4 X 2(13.8)

La potencia re activa Qs en el extremo de transmisión, que es igual y opuesta a Q" la del extremode recepción, es

5 4V2 (5) 2V

2( 5)Qs = -Qr = VI sen ¡ = X serr' ¡ = X 1 - cos "2 (13.9)

La potencia re activa Qp suministrada por la compensación en derivación es

5 8V2 (5)Qp = 2VI sen¡ = X serr' ¡

que se puede rescribir como sigue:

4V2

( 5)a, = X 1 - cos"2 (13.10)

Page 6: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

13.4 Compensadores en derivación 575

Así, Pp llega a Pp(máx) = 2V2/X, la máxima, en 8 = 180°, YQp llega a la Qp(máx) = 4V2/X máxima en8 = 180°. Las gráficas de la potencia re activa Pp y la potencia reactiva Qp se ven en la figura13.2c, en función del ángulo 8. La potencia máxima transmitida, Pp(máx) aumenta en forma im-portante, hasta el doble del valor no compensado, Pmáx- en la ecuación (13.5) para 8 = 90°, peroa expensas de aumentar la demanda de potencia reactiva Qp(máx) en el compensador en deriva-ción, y también en las terminales de los extremos.

Se debe hacer notar que el punto medio de las líneas de transmisión es el mejor lugar parael compensador en derivación. Esto se debe a que la flecha (o caída) de voltaje a lo largo de la lí-nea de transmisión no compensada es máxima en el punto medio. También, la compensación enel punto medio divide a la línea de transmisión en dos segmentos iguales, y para cada uno deellos la potencia máxima transmisible es la misma. Para segmentos desiguales, la potencia trans-misible del segmento más largo determinaría, con claridad, el límite general de transmisión.

Punto clave de la sección 13.3

• Al aplicar en el punto medio un voltaje en cuadratura con la corriente de línea se puedeaumentar la potencia transmisible, pero a expensas de aumentar la demanda de potenciareactiva.

13.4 COMPENSADORES EN DERIVACiÓN

En la compensación por derivación se inyecta una corriente al sistema en el punto de conexión.Esto se puede implementar variando una impedancia, una fuente de voltaje o una fuente decorriente, todos en derivación. Siempre que la corriente inyectada esté en cuadratura de fase conel voltaje de línea, el compensador por derivación sólo suministra o consume potencia reactivavariable [2,3]. Los convertidores de potencia que usan tiristores, tiristores apagados por com-puerta (GTO), tiristores controlados por MOS (MCT) o transistores bipolares de compuertaaislada (IGBT), se pueden usar para controlar la corriente inyectada o el voltaje compensador.

13.4.1 Reactor controlado por .tiristor

Un reactor controlado por tiristor (TCR) consiste en un reactor fijo (por lo general con núcleode aire) con inductancia L y un interruptor bidireccional con tiristor, SW, que se muestran en lafigura 13.3a. Se puede controlar la corriente por el reactor desde cero (cuando el interruptorestá abierto) hasta el máximo (cuando el interruptor está cerrado) haciendo variar el ángulo (J"

de retardo del disparo del tiristor. Esto se ve en la figura 13.3b, donde a es el ángulo de conduc-ción del interruptor con tiristor, de tal modo que (J" = TI - 2a. Cuando a = O, el interruptor estápermanentemente cerrado y no tiene efecto de la corriente del inductor. Si el disparo del inte-rruptor se retarda el ángulo a con respecto a la cresta (o pico) Vm del voltaje de alimentación,v(t) = V m cos wt = v'2 V cos wt, la corriente instantánea del inductor se puede expresar enfunción de a como sigue:

l¡wt Vidt) = - v(t)dt = ~(sen wt - sen a)

L a wL(13.11)

Page 7: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

576 Capítulo 13 Sistemas flexibles de transmisión de ea

v

-'-.,--l'-+--'\--++----,+- wtV--senawL

(a) Circuito de TRC

a rr

VII

(b) Formas de onda de voltaje y corriente

a=a¡ a=az a =a3 -+-r-_¡..a_=_a_4

(e) Efectos del ángulo de retardo

FIGURA 13.3

Reactor controlado por tiristor (TCR) Ref. [2].

que es válida para O' ::s wt ::s TI - 0'. Para el siguiente intervalo de medio ciclo negativo, se invier-te el signo de los términos de la ecuación (13.11). El término (Vm(wL) sen O' de la ecuación(13.11) no es más que una constante que depende de 0', por la cual se desplaza la corriente si-nusoidal obtenida en O' = O,hacia abajo para medios ciclos positivos de corriente y hacia arriba,durante medios ciclos negativos. La corriente iL(t) es máxima cuando O' = O Y es cero cuandoO' = TI/2. Las formas de onda de iL(t) para diversos valores de O' (0'1> 0'2, 0'3, 0'4) se ven en la figu-ra 13.3c. Si se aplica la ecuación (13.11), la corriente fundamental raíz cuadrática media (rms) delreactor es

ILF(O') = ~ (1 - ~O'wL TI

que define la admitancia en función de O' como sigue:

(13.12)

ILF 1 ( 2 1 )Y (O') = - = - 1 - - O' - - sen 20'L V wL TI TI

(13.13)

ASÍ, el compensador puede variar la impedancia, ZL(O') = l/YL(O') Yen consecuencia la corrien-te compensadora. Debido al control por ángulo de fase, también aparecen corrientes armónicas

Page 8: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

13.4 Compensadores en derivación 577

de bajo orden. Pueden necesitarse filtros pasivos para eliminarlas. Se suelen usar transformado-res con conexiones Y-a en el extremo de transmisión para evitar la inyección de armónicas a lalínea de suministro de ea.

13.4.2 Capacitor conmutado por tiristor

El capacitor conmutado por tiristor (TSC, de thyristor-switched capacitor) consiste en una capa-citancia fija C, un interruptor bidireccional de tiristor SW y un reactor relativamente pequeño L,limitador de sobre corriente. Esto se ve en la figura 13.4a. El interruptor funciona para activar odesactivar el capacitor. Aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff en el dominio de Laplace de s,se obtiene

v (s) = ( Ls + ~J 1 (s) + ;0 (13.14)

donde Veo es el voltaje inicial del capacitor. Suponiendo un voltaje sinusoidal de v = Vmsen( tot + a), se puede despejar la corriente instantánea i(t) de la ecuación (13.14):

i(t) = Vm+- wC cos(wt + a) - nwC (Veo - ~2Vm sen a)n - 1 n - 1

(13.15)

v,i

0>------

+ ~--~~~==~~~r--T_---~---_T--~wt

+v Ysw

(a) Circuito con TSC__________ ~O~ ~~ ~wt

+

TSC "Ene." TSC "Apag."

(b) Formas de onda

FIGURA 13.4

Capacitor conmutado por tiristor (TSC) [Ref.2].

Page 9: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

578 Capítulo 13 Sistemas flexibles de transmisión de ea

donde Wn es la frecuencia natural del circuito LC, definida por

1W = -- = nwn vrc (13.16)

(13.17)

Para obtener conmutación sin estados transitorios, los dos últimos términos del lado derecho dela ecuación (13.15) deben ser iguales a cero; esto es, se deben satisfacer las dos condiciones si-guientes:

Condición 1

cos a = O, o sen a = 1 (13.18a)

Condición 2

(13.18b)

La primera condición implica que el capacitor se dispara en el pico del voltaje de alimenta-ción. La segunda condición significa que el capacitor debe cargarse a un voltaje mayor que elde alimentación antes de disparar. Así, para tener una operación sin transitorios, la corriente deestado permanente (cuando el TSC se cierra) es

n2i(t) = V m -2-- wC cos(wt + 90°)

n - 1n2

-V m -2-- wC sen wtn - 1

(13.19)

El TSC se puede desconectar a corriente cero eliminando antes la señal de disparo del tiristor.Sin embargo, en el cruce de la corriente con cero, el voltaje del capacitor llega a su valor pico deVeo = ± Vmn2/(n2 - 1). El capacitor desconectado permanece cargado con este voltaje y, enconsecuencia, el voltaje a través del TSC no conductor varía entre cero y el valor pico a pico delvoltaje aplicado de ea, como se ve en la figura 13Ab.

Si el voltaje a través del capacitor desconectado permaneciera sin cambio, el TSC se podríacerrar de nuevo, sin ningún estado transitorio, en el pico adecuado del voltaje de ea aplicado. Es-to se ve en la figura 13.5a para un capacitor con carga positiva y en la figura 13.5b para uno concarga negativa. En la práctica, el voltaje del capacitor se descarga lentamente entre los periodosde disparo (o de conmutación) y el voltaje y la impedancia del sistema pueden cambiar en for-ma abrupta, haciendo problemática cualquier estrategia de control. Así, el capacitor deberíare conectarse a algún voltaje residual entre cero y ±Vmn2/(n2 - 1). Esto se puede lograr con laperturbación transitoria mínima posible, si el TSC se cierra en los momentos en el que el voltajeresidual en el capacitor y el voltaje aplicado de ea son iguales. Así, el TSC debería activarse cuandoel voltaje a través de él llega a cero; esto es, por conmutación a voltaje cero (ZVS, de zero-voltageswitching). De no ser así, habrá estados transitorios de conmutación. Esos transitorios se deben a

Page 10: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

13.4 Compensadores en derivación 579

v,i

1.5 P.u.

Veo 1.0

0.5

(a) 0.0

-0.5

-1.0

-1.5

v,i p.u.

1.5

1.0

0.5

(b) 0.0

-0.5

Veo -1.0

-1.5

FIGURA 13.5

Conmutación sin transitorios del capacitor conmutado por tiristor [Ref. 2].

que dv/dt no es cero en el instante de conmutación, lo cual, sin el reactor en serie, causaría unacorriente instantánea i = e dv/dt por el capacitar.

Las reglas para conmutación sin transitorios son:

1. Si el voltaje residual del capacitar, Veo>es menor que el voltaje pico de ea, Vm (es decir,Veo < Vm), entonces el TSC se debe cerrar cuando el voltaje instantáneo de ea, v(i), seaigual al voltaje de capacitar v(t) = Veo.

2. Si el voltaje residual Veo en el capacitar es igualo mayor que el voltaje pico de ea (es decir,Veo ~ V m), el TSC debe cerrarse cuando el voltaje instantáneo de ea esté en su pico, v(t) =

Vm, para que el voltaje a través del TSC sea mínimo (es decir, Veo - Vm).

Si el interruptor se cierra durante mene ciclos y se abre durante mapag ciclos del voltaje de entra-da, la corriente rms en el capacitar se puede determinar con

21T

le = [2 (mene ) fi2(t)d(wt)]1I2'TT mene + mapag

O

Page 11: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

(13.20)

580 Capítulo 13 Sistemas flexibles de transmisión de ea

2",

[m J( n2 )2 ]1/22 ( ene ) - V m ~ wC sen wt d (wt)

TI mene + mapag n 1O

donde k = mene/(mene + mapag) se llama ciclo de trabajo del interruptor.

13.4.3 Compensador de VAR estático

El uso de TCR o de TSC permitiría sólo una compensación capacitiva o inductiva. Sin embargo,en la mayor parte de las aplicaciones es preferible tener las posibilidades de compensación tan-to capacitiva como inductiva. Un compensador de VAR estático (SVC, de static VAR compensa-tor) consiste en TCR en paralelo con uno o más TSC [4,7]. El arreglo general de un SVC se ve enla figura 13.6. Los elementos re activos del compensador se conectan a la línea de transmisión através de un transformador, para evitar que los elementos deban resistir todo el voltaje delsistema. Un sistema de control determina los instantes exactos de disparo de los reactores, deacuerdo con una estrategia predeterminada. Esta estrategia suele tratar de mantener el vclta-je de línea de transmisión en un valor fijo. Por esta razón, el sistema de control tiene un? se-ñal de voltaje que se toma a través de un transformador de potencial (PT); además, puedenexistir otras entradas de parámetros (o variables) al sistema de control. El sistema de control

~ Línea de transmisiónvso-----------------~~--~~--~~~~----------~ovr__=Transformadorreductor

1Transformador- - - de potencial

Módulosde tiristor

Vref

Entrada auxiliar

L Ajuste de parámetros

Bancos de capacitores Bancos de reactores

FIGURA 13.6

Arreglo general del compensador de VAR estático [Ref. 4].

Page 12: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

13.4 Compensadoresen derivación 581

asegura que el voltaje del compensador permanezca más o menos constante, ajustando el ángulode conducción [5,6].

13.4.4 Compensador avanzado de VAR estático

Un compensador avanzado de VAR estático es, en esencia, un convertidor con fuente de voltaje,como se ve en la figura 13.7. También puede sustituirse por un inversor con fuente de corriente[11]. Se llama sólo compensador estático o STATCOM. Si el voltaje de línea V está en fase con elvoltaje Va del convertidor, y tiene la misma magnitud de modo que V LOo = VaLOo, puede queno haya corriente entrando o saliendo en el compensador, y no haya intercambio de potenciareactiva con la línea. Si ahora aumenta el voltaje del convertidor, la diferencia de voltaje entre Vy Va aparece a través de la reactancia de fuga del transformador reductor. El resultado es que setoma una corriente en adelanto con respecto a V y el compensador se comporta como un capaci-tor y genera VAR. Al revés, si V> Va, entonces el compensador toma una corriente en retraso, secomporta como un inductor y absorbe VAR. Este compensador funciona en esencia como un com-pensador síncrono, en el que la excitación puede ser mayor o menor que el voltaje entre termina-les. Esta operación permite tener un control continuo de la potencia re activa, pero a una velocidadmucho mayor, en especial con un convertidor de conmutación forzada, usando algunos GTO,MCToIGBT.

Las propiedades principales de un STATCOM son: 1) amplio intervalo de operación paraproporcionar reactancia capacitiva aun con bajo voltaje, 2) menor especificación nominal que elSVC contraparte convencional, para lograr la misma estabilidad y 3) aumento de especificación detransitorios y mejor capacidad de manejo de perturbaciones dinámicas del sistema. Si un dis-positivo de almacenamiento de cd, como por ejemplo una bobina superconductora, reemplaza alcapacitor, sería posible intercambiar potencias tanto activa como re activa con el sistema. Bajo

v,» ~----ovr-----1---1 TransformadorV ~ reductor con

Transformador reactancia defuga XLde potencial

Controlador

+

Convertidorde fuente de

voltaje

Ajustes

FIGURA 13.7

Arreglo general del compensador avanzado de VAR estático en derivaciónSTATCOM) [Ref.4].

Page 13: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

582 Capítulo 13 Sistemas flexibles de transmisión de ea

condiciones de baja demanda, la bobina superconductora puede suministrar potencia, que sepuede liberar al sistema bajo condiciones de contingencia.

Puntos clave de la sección 13.4

-. Los compensado res en derivación consisten en general en tiristores, GTO, MCT o IGBT.• Hay cuatro tipos: 1) TCR, 2) TSC, 3) SVC y 4) SVE avanzados (STATCOM).

Ejemplo 13.1 Determinación de la reactancia inductiva y del ángulo de disparo de un TCR

Los datos de una línea de transmisión con un TeR, como se ve en la figura 13.3a, son V = 220 V,[ = 60 Hz,X = 1.2 n y Pp = 56 kW.La corriente máxima del TeR es h(máx) = 100 A. Determinar a) el ángulo de fase8, b) la corriente de línea 1,e) la potencia reactiva Qp del compensador en derivación, d) la corriente por elTeR, e) la reactancia de la inductancia, XL, Yf) el ángulo de retardo del TeR si la h es el 60% de la corrien-te máxima.

4V B 4 X 220 87.93b. Se usa la ecuación (13.7b), 1 = X sen ¡= 1.2 X sen -4- = 274.5 A.

4V2 ( B) 4 X 2202( 87.93)c. Se usa la ecuación (13.10), Qp = X 1 - cos"2 = 1.2 X 1 - cos -2-

= 45.21 X 103 A.

SoluciónV = 220, t = 60 Hz, X = 1.2 n, ú) = 2'ITt = 377 rad/s, Pp = 56 kW,h(máx) = 100 A, k = 0.6.

. (XPp) (1.2X56X103)a. Se usa la ecuación (13.8), B = 2 sen"! --2 = 2 sen " 2 = 87.93°.

2V 2 x 220

1 Qp 45.2~2~ 103

= 205.504 A.d. La corriente por el TeR es, Q = V. .. V 220

e. La reactancia de la inductancia es XL = --- = -00 = 2.2 n.IL(máx) 1

f. IL = kIL(máx) = 0.6 X 100 = 60 A.

Usando la ecuación (13.12), 60 = 220/2.2 X (1 - .; a - .; sen 2a ). de donde se obtiene el ángulo de

retardo a = 18.64° mediante Mathcad.

13.5 PRINCIPIO DE LA COMPENSACiÓN SERIE

Se puede introducir un voltaje en serie con la línea de transmisión para controlar el flujo de co-rriente, y con ello las transmisiones de potencia del extremo de transmisión al extremo de recep-ción. Un compensador serie ideal, representado por la fuente de voltaje Ve> se conecta a la mitadde una línea de transmisión, como se ve en la figura 13.8. La corriente que pasa por la línea detransmisión es

Vs - V, - Ve1= --=-------'----=-jX

(13.21)

Page 14: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

13.5 Principio de la compensación serie 583

- Compensador +serie ideal

FIGURA 13.8

Compensación serie ideal de una línea detransmisión.

Si el voltaje serie aplicado V, está en cuadratura con respecto a la corriente de línea, el compensa-dor serie no puede suministrar ni absorber potencia activa. Esto es, la potencia en las terminalesVc de la fuente sólo puede ser reactiva. Eso significa que la impedancia equivalente capacitiva oinductiva puede reemplazar a la fuente de voltaje Vc' La impedancia equivalente de la línea detransmisión es:

Xeq = X - Xcomp = X(1 - r) (13.22)

en donde

Xcompr=---

X(13.23)

y r es el grado de compensación serie, O :5 r:5 1. El equivalente serie de la reactancia de compen-sación es Xcomp, y es positivo si es capacitiva, y negativo si es inductiva. Usando la ecuación(13.4), la magnitud de la corriente por la línea es

2V 8I = (1 - r)X sen 2" (13.24)

De acuerdo con la ecuación (13.5), la potencia activa que pasa por la línea de transmisión es

(13.25)P¿ = VJ = (1 _ r)X sen 8

Según la ecuación (13.6), la potencia reactiva, Qc, en las terminales Vc de la fuente es

2V2 rQc = ¡2Xcomp = -X X 2 (1 - cos 8)

(1 - r)(13.26)

Si el Vc de la fuente sólo compensa potencia reactiva capacitiva, la corriente de línea se adelan-ta 90° al voltaje Vc' Para compensación inductiva, la corriente de línea se retrasa 90° respecto alvoltaje Vc' Se puede emplear la compensación inductiva cuando es necesario bajar la potenciaque fluye en la línea. En las compensaciones inductiva y capacitiva, la fuente Vc no absorbe

Page 15: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

584 Capítulo 13 Sistemas flexibles de transmisión de ea

2y2rP,Q Qc= X(l- rf (1- cos é

Vs

-jXcl2I

Pmáx

r = XcX

-jXcl2 jXJ2 1 jXJ2 -jXcl2'-~4~~~~

+

1 ••

(a) ) Sistema con dos máquinas

Vx2Pmáx

-jXCI21

7T/2 7T

(b) Diagrama fasorial (e) Potencia en función del ángulo

FIGURA 13.9

Compensación serie con capacitor [Ref. 2].

ni genera potencia activa. Sin embargo, la compensación capacitiva es la que se usa con másfrecuencia.

La impedancia capacitiva serie puede bajar la impedancia general efectiva de transmisión,desde el extremo de transmisión hasta el extremo de recepción, y con ello aumentar la potenciatransmisible. En la figura 13.9a se ve una línea compensada con capacitor en serie, con dos seg-mentos idénticos. Se supone que las magnitudes de los voltajes en las terminales permanecenconstantes e iguales a V.Para Vs = Vr = V, los fasores correspondientes de voltaje y corriente seven en la figura 13.9b. Suponiendo que los voltajes en los extremos son iguales, la magnitud delvoltaje total a través de la inductancia serie de línea Vs = 2V xI2 aumenta la magnitud del voltajeopuesto a través del capacitor en serie, - Ve.Esto da como resultado un aumento en la corrientede línea.

La ecuación (13.25) indica que se puede aumentar la potencia transmitida, en forma consi-derable, si se varía el grado r de compensación serie. En la figura 13.9c se ven las gráficas de lapotencia activa Pc y la potencia re activa Qc en función del ángulo 8. La potencia transmitida Peaumenta rápidamente al aumentar el grado de compensación serie r.También, la potencia reac-tiva Qc suministrada por el capacitor en serie aumenta mucho cuando aumenta s, y varía con elángulo 8 en una forma parecida a la de la potencia re activa en la línea Pc.

De acuerdo con la ecuación (13.5), una impedancia reactiva grande en serie, de una líneade transmisión larga, puede limitar la transmisión de la potencia. En tales casos, la impedan-cia del capacitor compensador serie puede anular una parte de la reactancia real de la línea y enconsecuencia se reduce la impedancia efectiva de transmisión, como si la línea se acortara física-mente.

Page 16: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

13.6 Compensadores serie 585

Puntos clave de la sección 13.5

• Se aplica un voltaje en serie, que está en cuadratura con respecto a la corriente de línea, ycon ello se aumentan la corriente y la potencia transmisibles.

• El compensador serie no suministra ni absorbe potencia activa.

13.6 COMPENSADORES SERIE

En principio, un compensador serie inyecta un voltaje en serie con la línea. De igual forma laimpedancia variable multiplicada por su flujo de corriente representa un voltaje aplicado enserie en la línea. Siempre que el voltaje esté en cuadratura de fase con la corriente de línea, elcompensador serie suministra o consume sólo potencia re activa variable. En consecuencia,el compensador serie podría ser una impedancia variable (por ejemplo, un capacitor o un reactor)o una fuente de la frecuencia principal, basada en electrónica de potencia,junto con frecuenciassubsíncronas y armónicas (o una combinación de ellas) para satisfacer la estrategia de controlque se desee.

13.6.1 Capacitor serie conmutado por tiristor

Un capacitor serie conrnutado por tiristor (TSSC, de thyristor-switched series capacitor) consisteen varios capacitores en serie, cada uno con un interruptor en paralelo, formado por dos tiristo-res antiparalelos. El arreglo del circuito se ve en la figura 13.lOa. Se inserta un capacitar al desac-tivar o abrir el interruptor correspondiente de tiristor, y se "desvía" al cerrarlo. Así, si todos losinterruptores están abiertos, la capacitancia equivalente de la serie es Ceq = C/m, y si todoslos interruptores se cierran en forma simultánea, Ceq = O.La cantidad de capacitancia efectiva, y

+ VCm-1 + VCm

(a) Capacitores conectados en serie

V,¡

,,,,,,/' ve = O

" ,"-'SW se deja encender en ve = O

(b) Conmutación a corriente cero y voltaje desplazado en el capacitor

FIGURA 13.10

Capacitor serie conmutado por tiristor [Ref. 2)

Page 17: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

586 Capítulo 13 Sistemas flexibles de transmisión de ea

en consecuencia el grado de compensación serie, se controla en forma de escalones, aumentandoo disminuyendo la cantidad de capacitores insertados en serie.

Un tiristor se conmuta "naturalmente", esto es, se desactiva, cuando la corriente cruza elcero. Así, se puede insertar un capacitor en la línea sólo en los cruces de la corriente de línea concero; esto es, por conmutación a corriente cero (ZCS). Ya que la inserción sólo se puede hacercuando la corriente de línea es cero, el capacitor se puede cargar desde cero hasta el máximo du-rante todo el medio ciclo de la corriente de línea, y puede descargarse desde su máximo hasta ce-ro por la corriente sucesiva de línea de' polaridad opuesta, durante el siguiente medio ciclocompleto. Eso da como resultado un voltaje de cd desplazado, igual a la amplitud del voltaje delcapacitor de ea, como se ve en la figura 13.lOb.

Para minimizar la sobre corriente inicial por el interruptor y el estado transitorio resultantedebido a la condición ve = C dv/dt, los tiristores se deben cerrar para desviar los capacitores sólocuando su voltaje es cero. El desplazamiento de cd y el requisito ve = O pueden causar un retardohasta de un ciclo completo, lo cual determinaría el límite teórico del tiempo de respuesta dispo-nible del TSSC. Debido a la limitación de di/dt en los tiristores, en la práctica se necesitaría usarun reactor limitador de corriente en serie con el interruptor de tiristor. Un reactor en serie con elinterruptor puede dar lugar a un nuevo circuito de potencia, llamado capacitor serie controlado portiristor (TCSC, de thyristor-controlled series capacitor) (véase la sección 13.6.2) que puede mejo-rar en forma apreciable las características de operación y de rendimiento del TSSC.

13.6.2 Capacitor serie controlado por tiristorEl TCSC consiste en el capacitor compensador serie en paralelo con un reactor controlado portiristor (TCR, de thyristor-controlled reactor), como se muestra en la figura 13.11. Este arreglotiene una estructura similar a la del TSSC. Si la impedancia del reactor XL es suficientemente pe-queña, más que la del capacitor Xc, puede operar en forma encendido-apagado como el TSSC.Al variar el ángulo de retardo a se puede variar la impedancia inductiva del TCR. ASÍ, el TCSCpuede formar un capacitor continuamente variable, cancelando parcialmente la capacitanciacompensadora efectiva por el TCR. En consecuencia, la impedancia de estado permanente delTCSC es la de un circuito LC en paralelo, formado por una impedancia capacitiva Xc Y una im-pedancia inductiva variable, XL' La impedancia efectiva del TCSC es

XCXL(a)XT(a) = XL(a) - Xc (13.27a)

+ Yc(a) -I

11

C

iL(a) ,/y

L

/cSW

FIGURA 13.11

Capacitor serie controlado por tiristor (TCSC).

Page 18: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

13.6 Compensado res serie 587

donde XL(n), que se puede determinar con la ecuación (13.13), es

TIX L( o ) = XL -TI---2-n---se-n-2n- (13.27b)

Donde XL = wL y n es el ángulo de retardo, medido desde la cresta del voltaje del capacitor, odel cruce de la corriente de línea con cero.

El TCSC se comporta como un circuito LC sintonizable, en paralelo con la corriente de lí-nea. Al variar la impedancia XL(n) del reactor controlado, desde su máximo (infinito) hacia sumínimo (wL), el TCSC aumenta su impedancia capacitiva mínima, XT(mín) = Xc = lIwC, hastaque se produce una resonancia paralela cuando Xc = XL(n) y en teoría XT(máx) se vuelve infi-nita. Al disminuir más XL(n), la impedancia Xrtn) se vuelve inductiva y llega a su valor mínimode XCX¡}(XL - Xc) cuando n = O; esto es, de hecho, el TCR desconecta al capacitor. En gene-ral, la impedancia del reactor XL es menor que la del capacitor Xc. El ángulo n tiene dos valoreslimitantes: 1) uno para nL{lím)inductivo y 2) uno para nC(lím)capacitivo. El TCSC tiene dos inter-valos de operación respecto a su resonancia interna de circuito: 1) uno es el intervalo nC(Um) ::5

n ::5 TI/2, donde Xrtn) es capacitiva, y 2) el otro es el intervalo O ::5 n ::5 nL(lím), donde Xrtn) esinductiva.

13.6.3 Capacitor serie controlado por conmutación forzada

El capacitor serie controlado por conmutación forzada (FCSC) consiste en un capacitor fijo enparalelo con un dispositivo de conmutación forzada, como un GTO, un MCT o un IGTT. En lafigura 13.12a se ve un arreglo de circuito con GTO. Se parece al TSC, excepto que el interruptorbidireccional de tiristor está sustituido por un dispositivo bidireccional de conmutación forzada.

,1' {3

(a) Circuito FCSC (b) Formas de onda de voltaje y de corriente

(e) Efectos de los ángulos de retardo

FIGURA 13.12

Capacitor serie controlado por conmutación forzada (FCSC) [Ref. 2].

Page 19: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

588 Capítulo 13 Sistemas flexibles de transmisión de ea

Cuando el interruptor SW del GTO está cerrado, el voltaje a través del capacitor ve es cero;cuando el interruptor está abierto, ve se vuelve máximo. El interruptor puede controlar el voltajede ea, Ve,a través del capacitar, a determinada corriente de línea i.En consecuencia, al cerrar yabrir el interruptor en cada medio ciclo, en sincronía con la frecuencia del sistema de ea, se puedecontrolar el voltaje del capacitar.

El GTO se activa siempre que el voltaje del capacitor cruza el cero, y se abre en el ángulode retardo 'Y(O :5 'Y:5 7T/2)medido con respecto al pico de la corriente de línea, o en el cruce delvoltaje de línea con cero. La figura 13.2b muestra la corriente de línea i, y el voltaje ve del capaci-tor, a un ángulo de retardo 'Ypara un medio ciclo positivo y uno negativo. El interruptor SW estácerrado desde O a 'Yy abierto desde 7T- 'Yhasta 7T.Para 'Y= O, el interruptor está permanente-mente abierto y no tiene efecto sobre el voltaje resultante del capacitor, ve.

Si se retarda la abertura del interruptor el ángulo 'Ycon respecto a la corriente de líneai = 1m cos wt = -v21 cos wt, se puede expresar el voltaje en el capacitor como una función de'Y,de la siguiente manera:

1 i" 1vdt) = C J-y i(t)dt = w~ (sen wt - sen 'Y) (13.28)

válida para 'Y:5 wt:5 7T- 'Y.Para el siguiente intervalo de medio ciclo negativo, se invierte el sig-no de los términos de la ecuación (13.28). El término (Im/wC) sen 'Yde la ecuación (13.28) sóloes una constante que depende de 'Y,por la cual se desplaza el voltaje sinusoidal obtenido cuando'Y= O, hacia abajo para medios ciclos positivos, y hacia arriba para medios ciclos negativos.

Al cerrar el GTO en el instante del cruce del voltaje con cero se controla el intervalo (o elángulo A no conductor (de bloqueo). Esto es, el ángulo de retardo de la abertura, 'Y,define elángulo prevaleciente de bloqueo, 13 = 7T- 2'Y.Así, al aumentar el ángulo de retardo 'Yde aber-tura, el desplazamiento correspondiente, creciente, da como resultado la reducción del ángulo debloqueo 13 del interruptor, y la consecuente reducción del voltaje del capacitor. En el retardomáximo 'Y= 7T/2,el desplazamiento también llega al máximo de lm/wC, en el cual tanto el ángu-lo de bloqueo A como el voltaje del capacitor ve(t) se vuelven cero. El voltaje vdt) es máximocuando 'Y= O, Y se vuelve cero cuando 'Y= 7T/2.En consecuencia, se puede variar la magnitud delvoltaje del capacitor, en forma continua, desde el máximo, ldwC hasta cero, variando el retardode abertura desde 'Y=. O hasta 'Y= 7T/2.En la figura 13.12c se ven las formas de onda de vdt) paradiversos valores de 'Y('Y1>'Y2,'Y3,'Y4)·

La ecuación (13.28) es idéntica a la ecuación (13.11), y en consecuencia el FCSC es el dualdel TCR. En forma parecida a la ecuación (13.12), la fundamental del voltaje en el capacitor sepuede determinar con

1 ( 2 1 )VCFb) = - 1 - -'Y - -sen2'YwC 7T 7T

(13.29)

que da la impedancia siguiente, en función de 'Y

vCF('Y) 1 ( 2 1 )X eb) = = - 1 - - 'Y - - sen 2'Y1 wC 7T 7T

(13.30)

donde 1 = lm/-v2 es la corriente rms de línea. Así, el FCSC se comporta como una impedanciacapacitiva variable, mientras que el TCR se comporta como una impedancia inductiva variable.

Page 20: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

Vs

Módulos de tiristor

FIGURA 13.13

13.6 Compensadoresserie 589

Transformadorde corriente

C CC C

TC Línea de transmisión.-------0 V,

Ajuste deparámetrosde controlControlador

Señales de control

Arreglo general del compensador serie de VAR estático [Ref.4).

13.6.4 Compensador serie de VAR estático

El uso de TSC, TCSC o FCSC permitiría la compensación serie capacitiva. Un compensadorserie de VAR estático (SSVC, de series static VAR compensator) consiste en uno de una serie decompensado res. En la figura 13.13 se muestra el arreglo general de un SSVC, con un TCSC. Elsistema de control recibe una señal de voltaje del sistema, tomada de un PT, y una señal de co-rriente del sistema, tomada de un transformador de corriente (CT). Pueden haber otras entradasde parámetro al sistema de control. La estrategia de control del compensador serie se basa, en elcaso típico, en lograr un flujo objetivo de potencia en la línea, además de la capacidad de amor-tiguar las oscilaciones de potencia.

13.6.5 SSVC avanzado

Este compensador serie es el circuito dual de la versión en derivación de la figura 13.7. La figura13.14 muestra el arreglo general de un compensador serie avanzado. Usa el inversor de fuentede voltaje (VSI) con un capacitor en su convertidor de cd, para sustituir los capacitores conmu-tados de los compensadores serie convencionales. Se arregla la salida del convertidor para queaparezca en serie con la línea de transmisión, usando el transformador en serie. El voltaje de sa-lida del convertidor, Ve, el cual se puede ajustar a cualquier fase relativa; ya cualquier magnituddentro de sus límites de operación, para que parezca adelantarse 90° a la corriente de línea, com-portándose así como un capacitor. Si el ángulo entre Ve Y la corriente de línea no fuera 90°, esoimplicaría que el compensador serie intercambia potencia activa con la línea de transmisión, locual claramente es imposible, porque el compensador de la figura 13.14 no tiene fuente depotencia activa.

Este tipo de compensación serie puede proporcionar un grado continuo de compensaciónserie, si se varía la magnitud de Ve. También puede invertir la fase de Ve> aumentando así la reac-tancia general de la línea; esto puede ser conveniente para limitar la corriente de falla o paraamortiguar oscilaciones de potencia. En general, el compensador serie controlable se puede usarpara aumentar la estabilidad contra transitorios, para amortiguar la resonancia subsincrónicadonde se usan otros capacito res fijos, y para aumentar la capacidad de potencia de la línea.

Page 21: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

590 Capítulo 13 Sistemas flexibles de transmisión de ea

Barra de Transformadorcanal de corriente

Vso----+.J+L---r-------~~~F~-----------oVr

-- '--- Transformadoren serie

Transformadorde potencial 1

ControladorConvertidorde fuente de

voltaje

Ajustes

+ Vcap

FIGURA 13.14

Arreglo general del compensador serie de VAR estático avanzado [Ref.4].

No toda variación en la corriente de línea causa una variación de Ve. Así, el convertidorpresenta una impedancia esencialmente cero en la frecuencia fundamental del sistema de poten-cia. El voltaje aplicado por el convertidor en la línea no se debe a una reactancia de capacitanciareal, y no puede resonar. Por consiguiente, se puede usar este compensador para producir reso-nancia subsíncrona, es decir, resonancia entre el capacitor en serie y la inductancia de línea.

Puntos clave de la sección 13.6

• En general, los compensadores serie consisten en tiristores, GTO, MCf o IGBT.• Hay cuatro tipos: 1) TSSC, 2) TCSC, 3) FCSC, 4) SSVC y 5) compensador serie de VAR

estático avanzado (SSTATCOM)

Ejemplo 13.2 Determinación de la reactancia compensadora serie, y el ángulo de retardode un TCSC

Los datos de una línea de transmisión son V = 220 V,f = 60 Hz, X = 12 n y Pp = 56 kW. Los datos del TCSCson 8 = 80°, C = 20 f.LF YL = 0.4 rnH. Determinar a) el grado de compensación, r, b) la reactancia capaciti-va compensadora, Xcomp, c) la corriente de línea, 1, d) la potencia reactiva, Qc, e) el ángulo de retardo a delTCSC, si la reactancia capacitiva efectiva es XT = -50 n, y f) graficar XL(a) y Xr(a) en función del ángulode retardo a.

Page 22: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

13.6 Compensado res serie 591

SoluciónV = 220,f= 60 Hz,X = 12 n,w = 27rf= 377 rad/s.P, = 56 kW, e = 20 J.LF, YL = 0.4 mH,Xc = -l/wC =-132.63 n,xL = wL = 0.151 n.

V2 2202a. Usando la ecuación, r = 1 - XP sen o = 1 - 3 = 0.914.

c 12 X 56 X 10b. La reactancia capacitiva compensadora es Xcomp = r X X = 0.914 X 12 = 10.7 n.

2V o 2 X 220 X 80 = 23 Ac. Usando la ecuación (13.24),1 = (1 _ r)X sen 2" = (1 _ 0.914) X 1.2 sen 2 317. .

d. Usando la ecuación (13.26),

2V2 r 2 X 2202 X 0.914Qc = -X X 2 (1 - coso) = 2 X (1 - cos Sü") = 1.104 X 106

(1 - r) 12 X (1 - 0.914)-rr

e. Usando la ecuación (13.27), X L( 0') = XL 2 27r - O' - sen O'

de donde se obtiene, con Mathcad, el ángulo de retardo O' = 77.07°.f. La gráfica de XL(O') y X-r(O') se ve en la figura 13.15, en función del ángulo de retardo 0'.

,,,...,,,,

_... .1 ... _~.

XL(a) I VXT(a) .

1---------;-------------;---------<------------;--/-'- _ ---\~'

: ,:/---\'

~"" •...

~:':'~;'::':""""''''''''''''----I

100

80

60Ol"OOl

l:l 40Ol

E...20oc:

OlXL(a).::;

Ü~Ti~)_

O""O.5

-20Ol'üc:Ol

Ü -40 ..................Ol<1.l

p::-60

-80

I

aÁngulo de retardo de fase, radian es

":-.0.; ...;.-.:.:..•......... __ ... ;. .....~:\

............ ;.\-: ,,- ,)/,

. ,XT(a). ~........ ····--···1,,,

····1,,,

FIGURA 13.15

Impedancia del TCR e impedancia efectiva en función del ángulo de retardo.

-lOO~--~----~--~----~~~--~~--~----~--~----~O 0.31 0.63 0.94 1.26 1.57 1.88 2.2 2.51 2.83 3.14

Page 23: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

592 Capítulo 13 Sistemas flexibles de transmisión de ea

13.7 PRINCIPIO DE LA COMPENSACiÓN POR ÁNGULO DE FASE

La compensación por ángulo de fase es un caso especial del compensador serie de la figura13.8. El flujo de potencia se controla mediante el ángulo de fase. El compensador de fase seinserta entre el generador en el extremo de transmisión, y la línea de transmisión. Este com-pensador es una fuente de voltaje de ea con amplitud y ángulo de fase controlables. Un compen-sador ideal de fase se muestra en la figura 13.16a. Controla la diferencia de fases entre dossistemas de ea, y con ello puede controlar la potencia intercambiada entre esos dos sistemas. Elvoltaje efectivo en el extremo de transmisión es la suma del voltaje Vs del extremo de trans-misión, y el voltaje V" compensador, como se indica en el diagrama fasorial de la figura 13.16b.El ángulo a entre Vs y V" se puede variar de tal manera que no se cause un cambio de magnitud;esto es,

Vseff = Vs + V"

IVseff I = Ivsl = V,eff = V, = V(13.31a)

(13.31b)

Al controlar en forma independiente el ángulo a,es posible mantener la potencia transmitida enel nivel deseado, independientemente del ángulo de transmisión 8. Así, por ejemplo, se puede

+ VxVo- I jX-+ + +

VsRegulador

Vrpor ángulo Vseffde fase

(a) Sistema con dos máquinas

Vx(-a)

7T 7T+0- S

P P =a sen(S :!:o-)

V/+o-)

(b) Diagrama fasorial

-o- O o-1-- --+----l

(e) Potencia en función del ángulo

FIGURA 13.16

Compensación por ángulo de fase [Ref. 2).

Page 24: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

13.7 Principio de la compensación por ángulo de fase 593

mantener la potencia en su valor pico después de que el ángulo 8 sea mayor que el ángulo depotencia pico, TI/2, controlando la amplitud del voltaje de compensación de tal manera que elángulo efectivo de fase (8 - 0") entre los voltajes en los extremos de transmisión y recepciónpermanezca en TI/2. De acuerdo con el diagrama fasorial, la potencia transmitida con compensa-ción de fase es

V2

P¿ = X sen(8 - 0") (13.32)

La potencia reactiva transmitida con compensación de fase es

2V2Qa = X [1 - cos(8 - 0")] (13.33)

A diferencia de otros compensadores en derivación y en serie, el compensador por ángulo debepoder manejar potencia tanto activa como reactiva. Eso supone que las magnitudes de los voltajesen las terminales permanecen constantes, iguales a V.Esto es, que Vseff = Vs = V, = V.Se puedendeterminar las magnitudes de Va e 1 en el diagrama fasorial de la figura 13.16b, y son

O"Va = 2V sen"2

2V 81 = -sen-

X 2

(13.34)

(13.35)

La potencia (volt-amperes [VA]) aparente que pasa por el compensador de fase es

4V2 (8) (O")VAa = Val = X sen 2" sen "2 (13.36)

En la figura 13.16c se ve la gráfica de la potencia activa P¿ en función del ángulo 8 para ±O". Lacurva con máximo plano indica el intervalo de acción de la compensación por fase. Esta clase decompensación no aumenta la potencia transmisible de la línea no compensada. Las potencias ac-tiva, Pa, y reactiva, Qa, permanecen igual que las del sistema no compensado con un ángulo detransmisión 8 equivalente. Sin embargo, es posible, en teoría, mantener la potencia en su valormáximo, en cualquier ángulo 8 dentro del intervalo TI/2 < 8 < TI/2 + O"si, de hecho se desplazala P¿ hacia la curva de la derecha. También se puede desplazar la curva de P¿ en función de 8 ha-cia la izquierda, insertando el voltaje de la compensación de ángulo con polaridad opuesta. Porconsiguiente, se puede aumentar la transferencia de potencia y la potencia máxima puede alcan-zarse con un ángulo de generador menor que TI/2, esto es, en 8 = TI/2 - 0". El efecto de conectarel compensador por fase en reversa se indica con la curva interrumpida.

Si el ángulo O" del fasor Va relativo al fasor Vs se mantiene fijo en ±90°, el compensador de.fase se vuelve un elevador en cuadratura (QB, de quadrature booster) que tiene las siguientes

. : 'ecuaciones:

Vseff = Vs + Va

IVseff I = Yseff = VV~+ V~

(13.37a)

(13.37b)

Page 25: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

594 Capítulo 13 Sistemas flexibles de transmisión de ea

FIGURA 13.17

Py2 V

Pa= X (sen li + V cosé )

Diagrama fasorial y potencia transmitida de un elevador de cuadratura [Ref.2].

El diagrama fasorial del compensador de ángulo tipo QB se ve en la figura 13.17a y su potenciatransmitida, Pb, con el compensador elevador, es

P b = ~ ( sen 8 + '; cos 8)

En la figura 13.17b se ve la gráfica de la potencia transmitida Pb en función del ángulo 8, para losparámetros del voltaje de cuadratura aplicado, Va. La potencia máxima transmisible aumentacon elvoltaje aplicado Va, debido a que, a diferencia del compensador por ángulo de fase, el QBaumenta la magnitud del voltaje efectivo en el extremo de transmisión.

Puntos clave de la sección 13.7

(13.38)

• El compensador por fase se inserta entre el generador, en el extremo de transmisión, y lalínea de transmisión.

• Este compensador es una fuente de voltaje de ea con amplitud y ángulo de fase controlables.

13.8 COMPENSADOR POR ÁNGULO DE FASE

Cuando se usa un tiristor para compensación de ángulo de fase, se llama variador de fases. La fi-gura 13.18a muestra el arreglo general de un variador de fases. El transformador de excitaciónconectado en paralelo puede tener devanados separados, idénticos o distintos, por fase. Los inte-rruptores de tiristor están conectados y forman un cambiador de conexiones bajo carga. Los ti-ristores se conectan en antiparalelo, y forman interruptores bidireccionales con conmutaciónnatural. La unidad de tiristor cambiadora de conexiones controla el voltaje al secundario deltransformador en serie.

Con el uso de control por ángulo de fase se puede controlar la magnitud del voltaje Vq enserie. Para evitar una generación excesiva de armónicas, se usan varias tomas. El cambiador detomas puede conectar al devanado de excitación ya sea completo o en parte; eso permite que elvoltaje Vq en serie asuma 1 de 27 valores distintos de voltaje, dependiendo del estado de los 12interruptores de tiristor en el cambiador de tomas [4]. Se debe notar que el arreglo de transforma-ción, entre la excitación y los transformadores en serie, asegura que Vq siempre esté a 90° de V, elvoltaje primario en el transformador de excitación, como se ve en la figura 13.18b. Por consiguiente,se llama elevador en cuadratura. Una característica importante del desplazador de fase es que la

Page 26: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

13.8 Compensador por ángulo de fase 595

Vsv ~V' Transformador en serie Línea de transmisi

de ex ita}lió'n, Vq !variables'--- medidas/ \/ \

- - - - -=::~:::-::::- . V--- r- --------~I~ .} ~ __ .L ~-- -•..... 1

V- r- - f+- Entrada del _~~ __ .L -- - referencia

1V---~~ r- -

l _Á ~ __ .Lf- -3 Controlador

~ V---~,. r- -l _~ __ .L

f- -1V--- ~ r- - Ajuste de

l _Á __ .Lf- - _ parámetros \

9 de control \\,

r--~~ r- - ,l _Á ~ __ .Lr' -

ónVr

Transformador

Unidad cambiadora deconexiones con tiristores

(a) Arreglo del circuito (b) Diagrama fasorial

FIGURA 13.18

Arreglo general de un desplazador de fase con tiristores [Ref. 4].

potencia activa sólo puede pasar del transformador en paralelo a los transformadores en serie.En consecuencia no es posible el flujo de potencia en sentido inverso.

El desplazador de fase controla la magnitud de V qr Ypor consiguiente el desplazamientode fase ex al voltaje del extremo de transmisión [8]. Este control se puede alcanzar detectando elángulo del generador, o bien usando mediciones de potencia. También se puede ajustar el con-trolador para que amortigüe las oscilaciones de potencia. Los desplazadores de fase, como loscompensadores de capacitor, permiten controlar la potencia por la red y compartir la potenciaentre circuitos paralelos. Los capacitores serie son más adecuados para líneas de grandes distan-cias, porque a diferencia de los desplazadores de fase, reducen en forma efectiva la reactancia delínea, y en consecuencia reducen los problemas de potencia reactiva y de control de voltaje aso-ciados con la transmisión a grandes distancias. Los desplazado res de fase son más adecuadospara controlar el flujo de potencia en redes compactas con alta densidad de potencia.

Puntos clave de la sección 13.8

• Una unidad cambiadora de terminales con tiristor se usa como desplazador de fase.• Esta unidad controla el voltaje serie a través de un secundario de transformador en serie.

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596 Capítulo 13 Sistemas flexibles de transmisión de ea

13.9 CONTROLADOR UNIFICADO DE FLUJO DE POTENCIA

Un controlador unificado de flujo de potencia (UPFC, de unified power flow controller) consis-te en un compensador avanzado en derivación y en serie con un enlace común de CD, comose ve en la figura 13.19a. La capacidad de almacenamiento de energía del capacitor es pequeña,en general. Por consiguiente, la potencia activa que consume (o generada) por el convertidor enderivación debe ser igual a la potencia activa generada (o consumida) por el convertidor serie.En caso contrario, el voltaje de enlace de cd puede aumentar o disminuir con respecto al vol-taje especificado, dependiendo de la potencia neta absorbida y generada por ambos converti-dores. Por otra parte, la potencia reactiva en el convertidor en derivación o en serie se puedeseleccionar en forma independiente, dando con ello mayor flexibilidad al control del flujo depotencia [9].

El control de la potencia se logra sumando el voltaje serie Vinj a Vs, para obtener así el vol-taje de línea V L, como se ve en la figura 13.19b. Con dos convertidores, el UPFC puede alimen-tar potencia activa además de potencia reactiva. Ya que toda necesidad de potencia activa puedesatisfacerse a través del convertidor conectado en paralelo, el voltaje Vinj aplicado puede asumircualquier fase con respecto a la corriente de línea. Ya que no hay restricción de Vinj, el lugar geo-métrico de V inj es un CÍrculo con centro en Vs, con un radio máximo igual a la magnitud máximade Vinj = Ivinjl.

El UPFC es un compensador más completo, y puede funcionar en cualquiera de los modoscompensadores, lo que es la razón de su nombre. Se debe notar que el UPFC de la figura 13.l9aes válido para la potencia que va de Vs a V L. Si se invierte el flujo de la potencia, podrá ser nece-sario cambiar la conexión del compensador en derivación. En un UPFC más general con flujobidireccional de potencia sería necesario tener dos convertidores en derivación: uno en el extremode transmisión y uno en el extremo de recepción.

Convertidorcon fuentede voltaje

Lugar de las~ posiciones ~e

/"'V ~-.----_V inj en revlaclón

( V, mj ". OOD s

•.•..•..._- ••.-

Barra de canalVinj Línea de transmisión--

Transformador --en serie

Transformadorreductor

Serie

Convertidorcon fuentede voltaje

Ajustes o

(a) Arreglo del circuito (b) Diagrama fasorial

FIGURA 13.19

Controlador unificado de flujo de potencia [Ref.4).

Page 28: Electronica de Potencia Rashid 3Ed cap 13

13.10 Comparaciones de los compensadores 597

Puntos clave de la sección 13.9

• El UPFC es un compensador completo.• Este compensador puede funcionar en cualquiera de los modos de compensación.

13.10 COMPARACIONES DE LOS COMPENSADORES

El controlador en derivación es como una fuente de corriente que toma o inyecta corriente de ya la línea. En consecuencia es un buen método para controlar el voltaje en el punto de conexióny en tomo a él. Sólo puede inyectar corriente en adelanto o retraso, o una combinación de corrien-te activa y reactiva para tener un control más efectivo de voltaje y amortiguar las oscilaciones devoltaje. Un controlador en derivación es independiente de la otra línea, y es mucho más efectivopara mantener determinado voltaje en un nodo de subestación.

El controlador serie modifica en forma directa el voltaje de activación, y en consecuenciael flujo de la potencia y de la corriente. Así, si el objetivo es controlar el flujo de la corriente o lapotencia y amortiguar sus oscilaciones, el controlador serie es varias veces más poderoso que elcontrolador en derivación, para el mismo tamaño en millones de volt-amperes (MVA). El tamaño,en MVA, de un controlador serie es pequeño en comparación con el del controlador en deriva-ción. Sin embargo, el controlador en derivación no proporciona control del flujo de la potenciaen las líneas.

Una compensación serie, como la de la figura 13.8, no es más que un caso particular delcompensador por ángulo de fase que se ve en la figura 13.16, con la diferencia que el último puedesuministrar potencia activa, mientras que el compensador serie sólo suministra o absorbe poten-cia re activa.

En el caso normal, el controlador por ángulo de fase se conecta cerca de la línea de trans-misión, en el extremo de transmisión o en el de recepción, mientras que el compensador serie seconecta en el punto medio de la línea. Si el objetivo es controlar el flujo de potencia activa por lalínea de transmisión, el lugar del compensador sólo es cuestión de comodidad. La diferencia bá-sica es que el compensador por ángulo de fase puede necesitar una fuente de poder, mientrasque el compensador serie no la necesita.

La figura 13.20 muestra las características de transferencia de potencia activa para sistemasde ea sin compensación, con compensación en derivación y serie, y compensación por desplaza-miento de fase [10]. Dependiendo del grado de compensación, la mejor elección para aumentarla capacidad de transferencia de potencia es el compensador serie. El desplazador de fase es im-portante en la conexión de dos sistemas con demasiada o incontrolable diferencia de fases. Elcompensador en derivación es la mejor opción para aumentar el margen de estabilidad. De hecho,para determinado punto de operación, si sucede una falla transitoria, las tres compensacionespresentarían un aumento considerable en el margen de estabilidad. Sin embargo, esto sucede enespecial con la compensación en derivación.

El UPFC combina las características de tres compensadores en uno más completo. Sin em-bargo requiere de dos fuentes de voltaje: una en conexión en serie y la otra en paralelo. Esas dosfuentes pueden operar por separado, como compensador reactivo serie o en derivación, y tam-bién pueden compensar la potencia activa. Los convertidores de fuente de corriente basados entiristores sin posibilidad de apagado por compuerta sólo consumen potencia reactiva, pero nopueden suministrarla, mientas que los convertidores con fuente de voltaje, con dispositivos deapagado por compuerta, pueden suministrar potencia reactiva. Los convertidores más dominan-tes usados en los controladores FACTS son los de fuente de voltaje. Esos controladores se basanen dispositivos con función de apagado por compuerta.

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598 Capítulo 13 Sistemas flexibles de transmisión de ea

P Con 50% de(pu) compensación

serie capacitiv

1

/? Con compensación....t-. en derivación./0

2

Sin compensación

Con compensación pordesplazador de fase

FIGURA 13.20

Características de transferencia de potencia concompensaciones y sin compensación [Ref. 10). O TT/2

6TT TT + a (rad)

Puntos clave de la sección 13.10

• Cada compensador desempeña funciones separadas, y es adecuado para una aplicaciónespecífica.

• Sin embargo, en el UPFC se combinan las características de tres compensadores para pro-ducir un compensador más completo.

RESUMEN

La cantidad de transferencia de potencia del extremo de transmisión al extremo de recepciónestá limitada por los parámetros de operación de la línea de transmisión, como impedancia delínea, ángulo de fase entre los voltajes de transmisión y de recepción y la magnitud de los volta-jes. La potencia transferible puede aumentarse con uno de cuatro métodos de compensación:en derivación, serie, por ángulo de fase y compensaciones serie-derivación. En general, esosmétodos se implementan conmutando dispositivos electrónicos de potencia con la estrategiade control adecuada. Estos controladores se llaman sistemas flexibles de transmisión de ea(FACTS).

REFERENCIAS[1] N. G. Hingorani, "Power electronics in electric utilities: Role of power electronics in future powersystems," Proceedings o/ the IEEE, Vol. 76, No. 4, abril de 1988.[2] N. G. Hingorani y L. Gyugyi, Understanding FACTS: Concepts and Technology o/ Flexible AC Trans-mission Systems. Piscataway, NJ: IEEE Press. 2000.[3] Y. H. Song y A. T. Johns, Flexible AC Transmission Systems. Londres, Reino Unido: lEE Press. 1999.[4] P. Moore y P.Ashmole, "Flexible ac transmission systems: Part 4-advanced FACfS controllers," PowerEngineering Journal, abril de 1998, Págs. 95-100.

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Problemas 599

[5] E. H. Watanabe, R. M. Stephan y M. Aredes, "New concepts of instantaneous active and reactivepower for three phase system an generic loads," IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 8, No. 2, abril de1993.[6] S. Mori, K. Matsuno, M. Takeda y M. Seto, "Development of a large sta tic VAR generator usingself-commutated inverters for improving power system stability," IEEE Transactions on Power Delivery,Vol. 8 No. 1, febrero de 1993.[7] C. Schauder, M. Gernhardt, E. Stacey, T. Lemak, L. Gyugyi, T. W. Cease y A. Edris, "Development of a:t100 Mvar Static Condenser for Voltage Control of Transmission System," IEEE Transactions on PowerDelivery, Vol. 10, No. 3,julio de 1995.[8] B. T. Ooi, S. Z. Dai y F. D. Galiana, "A solid-state PWM phase shifter," IEEE Transactions on PowerDelivery, Vol. 8 No. 2, abril de 1993.[9] L. Gyugyi, "Unified power-flow control concept for flexible AC transmission systerns," lEE Procee-dings-C, Vol. 139, No. 4, julio de 1992.

[10] E. H. Watanabe y P. G. Barbosa, "Principies of Operation of Facts Devices," Workshop on FACTS--Cigré, Brasil CE 38/14, Río de Janeiro, Brasil, 6-9 de noviembre de 1995, Págs. 1-12. ..:..

[11] B. M. Han y S. 1.Moon, "Static reactive-power compensator using soft-switching current-source inver-ter," IEEE Transactions on Power Electronics, No. 6, Vol. 48, diciembre de 2001, Págs. 1158-1165.

PREGUNTAS DE REPASO

13.1 ¿Cuáles son los parámetros para controlar la potencia en una línea de transmisión?13.2 ¿Cuál es el principio básico de la compensación en derivación?13.3 ¿Qué es un reactor controlado por tiristor (TCR)?13.4 ¿Qué es un capacitor conmutado por tiristor (TSC)?13.5 ¿Cuáles son las reglas para tener una conmutación sin transitorios de un capacitor conmutado por

tiristor?13.6 ¿Qué es un compensador de VAR estático (SVC)?13.7 ¿Qué es un STATCOM?13.8 ¿Cuál es el principio básico de la compensación serie?13.9 ¿Qué es un capacitor serie conmutado por tiristor (TSSC)?

13.10 ¿Qué es un capacitor serie controlado por tiristor (TCSC)?13.11 ¿Qué es un capacitor serie controlado por conmutación forzada (FCSC)?13.12 ¿Qué es un compensador serie de VAR estático (SSVC)?13.13 ¿Qué es un STATCOM serie?13.14 ¿Cuál es el principio básico de la compensación por ángulo de fase?13.15 ¿Qué es un desplazador de fase?13.16 ¿Qué es un elevador en cuadratura (QB)?13.17 ¿Qué es un controlador unificado de flujo de potencia (UPFC)?

PROBLEMAS

13.1 Los datos de la línea de transmisión no compensada de la figura 13.1a son V = 220 V'¡ = 60 Hz,X = 1.8 n y 5 = 70°. Determine a) la corriente de línea, 1; b) la potencia activa, Pp, y e) la potenciareactiva, Q.

13.2 Los datos de la línea de transmisión no compensada de la figura 13.2a son V = 220 V'¡ = 60 Hz,X = 1.8 n y 5 = 70°. Determine a) la corriente de línea, 1;b) la potencia activa, Pp, y e) la potenciareactiva, Qp.

13.3 Los datos de un compensador en derivación con un TCR, como el de la figura 13.3a, son V = 480 V,¡ =60 Hz, X = 1.8 ny Pp = 96 kW. La corriente máxima del TCR es h(máx) = 150 A. Calcule a) el ángulo

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600 Capítulo 13 Sistemas flexibles de transmisión de ea

de fase S; b) la corriente de línea, 1; e) la potencia re activa, Qp; d) la corriente a través del TCR; e) lareactancia inductiva XL, y f) el ángulo de retardo del TCR si la lt. es 60% de la corriente máxima.

13.4 Los datos de un compensador en derivación con un TSC, como el de la figura 13.4a, son V = 480 V,f =60 Hz, X = 1.0 n, S = 70°, e = 20 ¡LFYL = 200 ¡LH.El interruptor con tiristor trabaja con mon = 2 Ymoff = 1. Determine a) el voltaje del capacitor, Veo>en la conmutación; b) el voltaje pico a pico del ca-pacitor, Ve(Pp); e) la corriente rms por el capacitor, lo Y d) la corriente pico Isw(pk) por el interruptor.

13.5 Los datos de la línea de transmisión compensada en serie de la figura 13.9a son V = 220 V,f = 60 Hz,X = 18 n y S = 70°. El grado de compensación es r = 70%. Determine a) la corriente de línea, 1; b)la potencia activa, Pp, y e) la potencia reactiva, Qp.

13.6 Los datos de un compensador serie con un TCSC, como el de la figura 4.11a son V = 480 V,¡ =60 Hz, X = 16 n yPp = 96 kW. Los datos del TCSC son 13= 80°, e = 25 ¡LF YL = 0.4 rnH. Determi-ne a) el grado de compensación, r; b) la reactancia capacitiva compensadora, Xcomp; e) la corriente delínea, 1; d) la potencia reactiva, Qe; e) el ángulo de retardo o. del TCSC si la reactancia capacitiva efec-tiva es XT = -40 n, y f) trace una gráfica de XL(o.) y X¡{o.) en función del ángulo de retardo, 0..

13.7 Los datos de un compensador serie con un FCSC, como el de la figura 13.12a son V = 480 V, I =150 A,f = 60 Hz, X = 18 n yP¿ = 96 kW. El voltaje máximo a través del capacitor del FCSC es V C(rnáx)

50 V. Determine a) el ángulo de fase 8; b) el grado de compensación, r; e) la capacitancia, e, y d) lareactancia capacitiva Xc Yel ángulo de retardo del FCSC.