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El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Jose Garcıa Fernandez
Universidad de Sevilla
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Introduccion
t
MuestrasReconstrucción
Original
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.5 1 1.5 2
http://euler.us.es/~renato/clases/tfg/jgf/.
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Introduccion
t
MuestrasReconstrucción
Original
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0
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3
0 0.5 1 1.5 2
http://euler.us.es/~renato/clases/tfg/jgf/.
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Introduccion
t
MuestrasReconstrucción
Original
-3
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-1
0
1
2
3
0 0.5 1 1.5 2
http://euler.us.es/~renato/clases/tfg/jgf/.
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Capıtulos
Plan:
F Capıtulo 1: La serie de Fourier
F Capıtulo 2: La transformada de Fourier
F Capıtulo 3: Senales
F Capıtulo 4: Programas
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Capıtulos
Plan:
F Capıtulo 1: La serie de Fourier
F Capıtulo 2: La transformada de Fourier
F Capıtulo 3: Senales
F Capıtulo 4: Programas
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Capıtulos
Plan:
F Capıtulo 1: La serie de Fourier
F Capıtulo 2: La transformada de Fourier
F Capıtulo 3: Senales
F Capıtulo 4: Programas
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Capıtulos
Plan:
F Capıtulo 1: La serie de Fourier
F Capıtulo 2: La transformada de Fourier
F Capıtulo 3: Senales
F Capıtulo 4: Programas
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Capıtulos
Plan:
F Capıtulo 1: La serie de Fourier
F Capıtulo 2: La transformada de Fourier
F Capıtulo 3: Senales
F Capıtulo 4: Programas
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
La serie de Fourier
Definicion: Dada una funcion f de cuadrado integrable en [−π, π] y2π-periodica en [−π, π] definimos la serie trigonometrica de Fourier como:
Sf (x) =a0
2+∞∑n=1
an cos (nx) + bn sin (nx),
donde los coeficientes vienen dados por las expresiones:
a0 =1
π
∫ π
−πf (x)dx , an =
1
π
∫ π
−πf (x) cos (nx)dx , bn =
1
π
∫ π
−πf (x) sin (nx)dx .
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
La serie de Fourier
Definicion: Dada una funcion f de cuadrado integrable en [−π, π] y2π-periodica en [−π, π] definimos la serie trigonometrica de Fourier como:
Sf (x) =a0
2+∞∑n=1
an cos (nx) + bn sin (nx),
donde los coeficientes vienen dados por las expresiones:
a0 =1
π
∫ π
−πf (x)dx , an =
1
π
∫ π
−πf (x) cos (nx)dx , bn =
1
π
∫ π
−πf (x) sin (nx)dx .
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La serie de Fourier
Definicion: Dada una funcion f de cuadrado integrable en [−π, π] y2π-periodica en [−π, π] definimos la serie trigonometrica de Fourier como:
Sf (x) =a0
2+∞∑n=1
an cos (nx) + bn sin (nx),
donde los coeficientes vienen dados por las expresiones:
a0 =1
π
∫ π
−πf (x)dx , an =
1
π
∫ π
−πf (x) cos (nx)dx , bn =
1
π
∫ π
−πf (x) sin (nx)dx .
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Ejemplos
x
serie de Fourierf(x)=x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
serie de Fourierf(x)=x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-6 -4 -2 0 2 4 6
Figura: Serie de Fourier de x con 5 terminos (izquierda) y con 12 (derecha).
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Ejemplos
x
serie de Fourierf(x)=x
-4
-3
-2
-1
0
1
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x
serie de Fourierf(x)=x
-4
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Figura: Serie de Fourier de x con 5 terminos (izquierda) y con 12 (derecha).
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Ejemplos
x
serie de Fourierf(x)=x
-4
-3
-2
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0
1
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x
serie de Fourierf(x)=x
-4
-3
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0
1
2
3
4
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-6 -4 -2 0 2 4 6
Figura: Serie de Fourier de x con 5 terminos (izquierda) y con 12 (derecha).
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Ejemplos
x
serie de Fourierf(x)=x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
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-6 -4 -2 0 2 4 6
x
serie de Fourierf(x)=x
-4
-3
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0
1
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-6 -4 -2 0 2 4 6
Figura: Serie de Fourier de x con 5 terminos (izquierda) y con 12 (derecha).
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Ejemplos
x
f(x)=x2
Serie de Fourier
0
1
2
3
4
5
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
f(x)=x2
Serie de Fourier
0
1
2
3
4
5
-6 -4 -2 0 2 4 6
Figura: Serie de Fourier de x2 con 2 terminos (izquierda) y con 4 (derecha).
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Ejemplos
x
f(x)=x2
Serie de Fourier
0
1
2
3
4
5
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
f(x)=x2
Serie de Fourier
0
1
2
3
4
5
-6 -4 -2 0 2 4 6
Figura: Serie de Fourier de x2 con 2 terminos (izquierda) y con 4 (derecha).
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Ejemplos
x
f(x)=x2
Serie de Fourier
0
1
2
3
4
5
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
f(x)=x2
Serie de Fourier
0
1
2
3
4
5
-6 -4 -2 0 2 4 6
Figura: Serie de Fourier de x2 con 2 terminos (izquierda) y con 4 (derecha).
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Ejemplos
x
f(x)=x2
Serie de Fourier
0
1
2
3
4
5
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
f(x)=x2
Serie de Fourier
0
1
2
3
4
5
-6 -4 -2 0 2 4 6
Figura: Serie de Fourier de x2 con 2 terminos (izquierda) y con 4 (derecha).
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Fenomeno de Gibbs
Figura: Serie de Fourier con 20 terminos de signo(x) (izquierda) y con 200terminos (derecha).
∣∣∣max signo(x)−max lımn→∞
Snf (x)∣∣∣ = 1, 17897...
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Fenomeno de Gibbs
Figura: Serie de Fourier con 20 terminos de signo(x) (izquierda) y con 200terminos (derecha).
∣∣∣max signo(x)−max lımn→∞
Snf (x)∣∣∣ = 1, 17897...
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Fenomeno de Gibbs
Figura: Serie de Fourier con 20 terminos de signo(x) (izquierda) y con 200terminos (derecha).
∣∣∣max signo(x)−max lımn→∞
Snf (x)∣∣∣ = 1, 17897...
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Fenomeno de Gibbs
Figura: Serie de Fourier con 20 terminos de signo(x) (izquierda) y con 200terminos (derecha).
∣∣∣max signo(x)−max lımn→∞
Snf (x)∣∣∣ = 1, 17897...
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Fenomeno de Gibbs
Figura: Serie de Fourier con 20 terminos de signo(x) (izquierda) y con 200terminos (derecha).
∣∣∣max signo(x)−max lımn→∞
Snf (x)∣∣∣ = 1, 17897...
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Fenomeno de Gibbs
Sea f con una discontinuidad de salto finito en el punto x0, definimos
µ =f (x+
0 )− f (x−0 )
2. Tomando g(x) = f (x)− µ signo(x). Entonces:∣∣∣max f (x)−max lım
n→∞Snf (x)
∣∣∣ = µ 1, 17897...
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Fenomeno de Gibbs
Sea f con una discontinuidad de salto finito en el punto x0,
definimos
µ =f (x+
0 )− f (x−0 )
2. Tomando g(x) = f (x)− µ signo(x). Entonces:∣∣∣max f (x)−max lım
n→∞Snf (x)
∣∣∣ = µ 1, 17897...
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Fenomeno de Gibbs
Sea f con una discontinuidad de salto finito en el punto x0, definimos
µ =f (x+
0 )− f (x−0 )
2.
Tomando g(x) = f (x)− µ signo(x). Entonces:∣∣∣max f (x)−max lımn→∞
Snf (x)∣∣∣ = µ 1, 17897...
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Fenomeno de Gibbs
Sea f con una discontinuidad de salto finito en el punto x0, definimos
µ =f (x+
0 )− f (x−0 )
2. Tomando g(x) = f (x)− µ signo(x).
Entonces:∣∣∣max f (x)−max lımn→∞
Snf (x)∣∣∣ = µ 1, 17897...
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Fenomeno de Gibbs
Sea f con una discontinuidad de salto finito en el punto x0, definimos
µ =f (x+
0 )− f (x−0 )
2. Tomando g(x) = f (x)− µ signo(x). Entonces:∣∣∣max f (x)−max lım
n→∞Snf (x)
∣∣∣ = µ 1, 17897...
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Transformada de Fourier
f (λ) = F [f ](λ) :=1
2π
∫ ∞−∞
f (x)e−iλxdx .
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Transformada de Fourier
f (λ) = F [f ](λ) :=1
2π
∫ ∞−∞
f (x)e−iλxdx .
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Transformada de Fourier
f (λ) = F [f ](λ) :=1
2π
∫ ∞−∞
f (x)e−iλxdx .
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Transformada de Fourier
f (λ) = F [f ](λ) :=1
2π
∫ ∞−∞
f (x)e−iλxdx .
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Senales
Definicion Por una senal s(t), entenderemos una funcion casi-continua enun intervalo I = (t0, t) ∈ R.
Definicion Una senal s(t) es de energıa finita si s ∈ L2, es decir:
E =
∫ +∞
−∞|s(t)|2dt < +∞.
Definicion La funcion S(w) = |s(w)| , es denominada espectro de la senal s.
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Senales
Definicion Por una senal s(t), entenderemos una funcion casi-continua enun intervalo I = (t0, t) ∈ R.
Definicion Una senal s(t) es de energıa finita si s ∈ L2, es decir:
E =
∫ +∞
−∞|s(t)|2dt < +∞.
Definicion La funcion S(w) = |s(w)| , es denominada espectro de la senal s.
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Senales
Definicion Por una senal s(t), entenderemos una funcion casi-continua enun intervalo I = (t0, t) ∈ R.
Definicion Una senal s(t) es de energıa finita si s ∈ L2,
es decir:
E =
∫ +∞
−∞|s(t)|2dt < +∞.
Definicion La funcion S(w) = |s(w)| , es denominada espectro de la senal s.
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Senales
Definicion Por una senal s(t), entenderemos una funcion casi-continua enun intervalo I = (t0, t) ∈ R.
Definicion Una senal s(t) es de energıa finita si s ∈ L2, es decir:
E =
∫ +∞
−∞|s(t)|2dt < +∞.
Definicion La funcion S(w) = |s(w)| , es denominada espectro de la senal s.
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Senales
Definicion Por una senal s(t), entenderemos una funcion casi-continua enun intervalo I = (t0, t) ∈ R.
Definicion Una senal s(t) es de energıa finita si s ∈ L2, es decir:
E =
∫ +∞
−∞|s(t)|2dt < +∞.
Definicion La funcion S(w) = |s(w)| , es denominada espectro de la senal s.
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Senales
Definicion Una senal es de banda limitada a B si:
F [s](w) = 0, ∀ |w | ≥ B,
donde F [s](w) es la transformada de Fourier de s(t), es decir, el espectro dela senal esta contenido en un compacto de R. Analogamente:
s(w) = F [s](w) =1
2π
∫ ∞−∞
s(t)e−iwtdt =1
2π
∫ B
−Bs(t)e−iwtdt.
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Senales
Definicion Una senal es de banda limitada a B si:
F [s](w) = 0, ∀ |w | ≥ B,
donde F [s](w) es la transformada de Fourier de s(t), es decir, el espectro dela senal esta contenido en un compacto de R. Analogamente:
s(w) = F [s](w) =1
2π
∫ ∞−∞
s(t)e−iwtdt =1
2π
∫ B
−Bs(t)e−iwtdt.
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Senales
Definicion Una senal es de banda limitada a B si:
F [s](w) = 0, ∀ |w | ≥ B,
donde F [s](w) es la transformada de Fourier de s(t), es decir, el espectro dela senal esta contenido en un compacto de R.
Analogamente:
s(w) = F [s](w) =1
2π
∫ ∞−∞
s(t)e−iwtdt =1
2π
∫ B
−Bs(t)e−iwtdt.
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Senales
Definicion Una senal es de banda limitada a B si:
F [s](w) = 0, ∀ |w | ≥ B,
donde F [s](w) es la transformada de Fourier de s(t), es decir, el espectro dela senal esta contenido en un compacto de R. Analogamente:
s(w) = F [s](w) =1
2π
∫ ∞−∞
s(t)e−iwtdt =1
2π
∫ B
−Bs(t)e−iwtdt.
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Ejemplos de senales
Escalon de Heaviside:
Heaviside (t) =
1 si t ≥ 0,
0 si t < 0.
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Ejemplos de senales
Escalon de Heaviside:
Heaviside (t) =
1 si t ≥ 0,
0 si t < 0.
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Ejemplos de senales
Escalon de Heaviside:
Heaviside (t) =
1 si t ≥ 0,
0 si t < 0.
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Ejemplos de senales
Pulso rectangular:
Rect(t) =
1 si |t| ≤ 1,
0 si |t| > 1.
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Ejemplos de senales
Pulso rectangular:
Rect(t) =
1 si |t| ≤ 1,
0 si |t| > 1.
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Ejemplos de senales
Pulso rectangular:
Rect(t) =
1 si |t| ≤ 1,
0 si |t| > 1.
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Ejemplos de senales
Senal sinusoidal:
f (t) = A sin(w1t + ϕ1) + B sin(w2t + ϕ2), w1,w2 > 0.
Senal con ruido:
fr (t) = A sin(w1t + ϕ1) + B sin(w2t + ϕ2) + a0random(t), w1,w2 > 0.
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Ejemplos de senales
Senal sinusoidal:
f (t) = A sin(w1t + ϕ1) + B sin(w2t + ϕ2), w1,w2 > 0.
Senal con ruido:
fr (t) = A sin(w1t + ϕ1) + B sin(w2t + ϕ2) + a0random(t), w1,w2 > 0.
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Ejemplos de senales
Senal sinusoidal:
f (t) = A sin(w1t + ϕ1) + B sin(w2t + ϕ2), w1,w2 > 0.
Senal con ruido:
fr (t) = A sin(w1t + ϕ1) + B sin(w2t + ϕ2) + a0random(t), w1,w2 > 0.
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Ejemplos de senales
Senal sinusoidal:
f (t) = A sin(w1t + ϕ1) + B sin(w2t + ϕ2), w1,w2 > 0.
Senal con ruido:
fr (t) = A sin(w1t + ϕ1) + B sin(w2t + ϕ2) + a0random(t), w1,w2 > 0.
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Ejemplos de senales
Senal sinusoidal:
f (t) = A sin(w1t + ϕ1) + B sin(w2t + ϕ2), w1,w2 > 0.
Senal con ruido:
fr (t) = A sin(w1t + ϕ1) + B sin(w2t + ϕ2) + a0random(t), w1,w2 > 0.
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Tipos de senales
Una senal que sea casi-continua, se dice que es analogica. Si la senal es unconjunto de valores dados s1, s2, ..., sN , ... se dice que la senal es digital. Ası:
f : R→ R, f ∈ C (R) =⇒ senal analogica.
Si en vez de f tenemos sus muestras tomadas con una frecuencia 1/a,diremos que la senal es digital:
(f (xk))k : xk = ka, k ∈ Z =⇒ senal digital.
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Tipos de senales
Una senal que sea casi-continua, se dice que es analogica. Si la senal es unconjunto de valores dados s1, s2, ..., sN , ... se dice que la senal es digital.
Ası:
f : R→ R, f ∈ C (R) =⇒ senal analogica.
Si en vez de f tenemos sus muestras tomadas con una frecuencia 1/a,diremos que la senal es digital:
(f (xk))k : xk = ka, k ∈ Z =⇒ senal digital.
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Tipos de senales
Una senal que sea casi-continua, se dice que es analogica. Si la senal es unconjunto de valores dados s1, s2, ..., sN , ... se dice que la senal es digital. Ası:
f : R→ R, f ∈ C (R) =⇒ senal analogica.
Si en vez de f tenemos sus muestras tomadas con una frecuencia 1/a,diremos que la senal es digital:
(f (xk))k : xk = ka, k ∈ Z =⇒ senal digital.
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Tipos de senales
Una senal que sea casi-continua, se dice que es analogica. Si la senal es unconjunto de valores dados s1, s2, ..., sN , ... se dice que la senal es digital. Ası:
f : R→ R, f ∈ C (R) =⇒ senal analogica.
Si en vez de f tenemos sus muestras tomadas con una frecuencia 1/a,diremos que la senal es digital:
(f (xk))k : xk = ka, k ∈ Z =⇒ senal digital.
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El Teorema de muestreo
Teorema Sea una senal x(t) de energıa finita y de banda limitada a B,entonces:
x(t) =1
π
∞∑n=−∞
x( n
2B
) sin (π(2Bt − n))
2Bt − n.
Es decir, para recuperar una senal banda limitada a B basta conocer susmuestras tomadas con una frecuencia igual a 2B. Dicha frecuencia sedenomina frecuencia de Nyquist.
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El Teorema de muestreo
Teorema Sea una senal x(t) de energıa finita y de banda limitada a B,entonces:
x(t) =1
π
∞∑n=−∞
x( n
2B
) sin (π(2Bt − n))
2Bt − n.
Es decir, para recuperar una senal banda limitada a B basta conocer susmuestras tomadas con una frecuencia igual a 2B. Dicha frecuencia sedenomina frecuencia de Nyquist.
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El Teorema de muestreo
Teorema Sea una senal x(t) de energıa finita y de banda limitada a B,entonces:
x(t) =1
π
∞∑n=−∞
x( n
2B
) sin (π(2Bt − n))
2Bt − n.
Es decir, para recuperar una senal banda limitada a B basta conocer susmuestras tomadas con una frecuencia igual a 2B. Dicha frecuencia sedenomina frecuencia de Nyquist.
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El Teorema de muestreo
Teorema Sea una senal x(t) de energıa finita y de banda limitada a B,entonces:
x(t) =1
π
∞∑n=−∞
x( n
2B
) sin (π(2Bt − n))
2Bt − n.
Es decir, para recuperar una senal banda limitada a B basta conocer susmuestras tomadas con una frecuencia igual a 2B. Dicha frecuencia sedenomina frecuencia de Nyquist.
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Idea de la demostracion
Consideremos f (u) = e2πiut en el intervalo (−B,B).
Calculamos su serie exponencial de Fourier en la base{e2πi(n/2B)u
}n≥0
.
f (u) =∞∑
n=−∞cne
2πi(n/2B)u, donde cn =sin (π(2tB − n))
π(2Bt − n).
Recordemos que nuestra senal x(t) =∫ B
−B X (u)e2πiutdu.
Sustituyendo f (u) en la ultima expresion:
x(t) =
∫ B
−BX (u)
∞∑n=−∞
sin (π(2tB − n))
π(2Bt − n)e2πi(n/2B)udu =
=1
π
∞∑n=−∞
x( n
2B
) sin (π(2Bt − n))
2Bt − n.
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Idea de la demostracion
Consideremos f (u) = e2πiut en el intervalo (−B,B).
Calculamos su serie exponencial de Fourier en la base{e2πi(n/2B)u
}n≥0
.
f (u) =∞∑
n=−∞cne
2πi(n/2B)u, donde cn =sin (π(2tB − n))
π(2Bt − n).
Recordemos que nuestra senal x(t) =∫ B
−B X (u)e2πiutdu.
Sustituyendo f (u) en la ultima expresion:
x(t) =
∫ B
−BX (u)
∞∑n=−∞
sin (π(2tB − n))
π(2Bt − n)e2πi(n/2B)udu =
=1
π
∞∑n=−∞
x( n
2B
) sin (π(2Bt − n))
2Bt − n.
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Idea de la demostracion
Consideremos f (u) = e2πiut en el intervalo (−B,B).
Calculamos su serie exponencial de Fourier en la base{e2πi(n/2B)u
}n≥0
.
f (u) =∞∑
n=−∞cne
2πi(n/2B)u, donde cn =sin (π(2tB − n))
π(2Bt − n).
Recordemos que nuestra senal x(t) =∫ B
−B X (u)e2πiutdu.
Sustituyendo f (u) en la ultima expresion:
x(t) =
∫ B
−BX (u)
∞∑n=−∞
sin (π(2tB − n))
π(2Bt − n)e2πi(n/2B)udu =
=1
π
∞∑n=−∞
x( n
2B
) sin (π(2Bt − n))
2Bt − n.
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Idea de la demostracion
Consideremos f (u) = e2πiut en el intervalo (−B,B).
Calculamos su serie exponencial de Fourier en la base{e2πi(n/2B)u
}n≥0
.
f (u) =∞∑
n=−∞cne
2πi(n/2B)u,
donde cn =sin (π(2tB − n))
π(2Bt − n).
Recordemos que nuestra senal x(t) =∫ B
−B X (u)e2πiutdu.
Sustituyendo f (u) en la ultima expresion:
x(t) =
∫ B
−BX (u)
∞∑n=−∞
sin (π(2tB − n))
π(2Bt − n)e2πi(n/2B)udu =
=1
π
∞∑n=−∞
x( n
2B
) sin (π(2Bt − n))
2Bt − n.
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Idea de la demostracion
Consideremos f (u) = e2πiut en el intervalo (−B,B).
Calculamos su serie exponencial de Fourier en la base{e2πi(n/2B)u
}n≥0
.
f (u) =∞∑
n=−∞cne
2πi(n/2B)u, donde cn =sin (π(2tB − n))
π(2Bt − n).
Recordemos que nuestra senal x(t) =∫ B
−B X (u)e2πiutdu.
Sustituyendo f (u) en la ultima expresion:
x(t) =
∫ B
−BX (u)
∞∑n=−∞
sin (π(2tB − n))
π(2Bt − n)e2πi(n/2B)udu =
=1
π
∞∑n=−∞
x( n
2B
) sin (π(2Bt − n))
2Bt − n.
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Idea de la demostracion
Consideremos f (u) = e2πiut en el intervalo (−B,B).
Calculamos su serie exponencial de Fourier en la base{e2πi(n/2B)u
}n≥0
.
f (u) =∞∑
n=−∞cne
2πi(n/2B)u, donde cn =sin (π(2tB − n))
π(2Bt − n).
Recordemos que nuestra senal x(t) =∫ B
−B X (u)e2πiutdu.
Sustituyendo f (u) en la ultima expresion:
x(t) =
∫ B
−BX (u)
∞∑n=−∞
sin (π(2tB − n))
π(2Bt − n)e2πi(n/2B)udu =
=1
π
∞∑n=−∞
x( n
2B
) sin (π(2Bt − n))
2Bt − n.
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Idea de la demostracion
Consideremos f (u) = e2πiut en el intervalo (−B,B).
Calculamos su serie exponencial de Fourier en la base{e2πi(n/2B)u
}n≥0
.
f (u) =∞∑
n=−∞cne
2πi(n/2B)u, donde cn =sin (π(2tB − n))
π(2Bt − n).
Recordemos que nuestra senal x(t) =∫ B
−B X (u)e2πiutdu.
Sustituyendo f (u) en la ultima expresion:
x(t) =
∫ B
−BX (u)
∞∑n=−∞
sin (π(2tB − n))
π(2Bt − n)e2πi(n/2B)udu =
=1
π
∞∑n=−∞
x( n
2B
) sin (π(2Bt − n))
2Bt − n.
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Idea de la demostracion
Consideremos f (u) = e2πiut en el intervalo (−B,B).
Calculamos su serie exponencial de Fourier en la base{e2πi(n/2B)u
}n≥0
.
f (u) =∞∑
n=−∞cne
2πi(n/2B)u, donde cn =sin (π(2tB − n))
π(2Bt − n).
Recordemos que nuestra senal x(t) =∫ B
−B X (u)e2πiutdu.
Sustituyendo f (u) en la ultima expresion:
x(t) =
∫ B
−BX (u)
∞∑n=−∞
sin (π(2tB − n))
π(2Bt − n)e2πi(n/2B)udu =
=1
π
∞∑n=−∞
x( n
2B
) sin (π(2Bt − n))
2Bt − n.
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Cota de error
Teorema Sea x(t) una senal con energıa finita y de banda limitada a B, severifica que:
|x(t)| ≤√
BE
π.
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Cota de error
Teorema Sea x(t) una senal con energıa finita y de banda limitada a B,
severifica que:
|x(t)| ≤√
BE
π.
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Cota de error
Teorema Sea x(t) una senal con energıa finita y de banda limitada a B, severifica que:
|x(t)| ≤√
BE
π.
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Cota de error
Teorema Sea x(t) una senal con energıa finita y de banda limitada a B, severifica que:
|x(t)| ≤√
BE
π.
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Aliasing
El aliasing es el efecto que causa que senales continuas distintas no seandistinguibles cuando realizamos un muestreo digital. ¿Cuando se produce?
νs = 1/a ≥ 2B,
donde νs representa nuestra frecuencia de muestreo. Consideremosx(t) = sin(2πt).
t
MuestrasReconstrucción
Original
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.5 1 1.5 2
t
MuestrasReconstrucción
Original
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.5 1 1.5 2
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Aliasing
El aliasing es el efecto que causa que senales continuas distintas no seandistinguibles cuando realizamos un muestreo digital.
¿Cuando se produce?
νs = 1/a ≥ 2B,
donde νs representa nuestra frecuencia de muestreo. Consideremosx(t) = sin(2πt).
t
MuestrasReconstrucción
Original
-3
-2
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0
1
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0 0.5 1 1.5 2
t
MuestrasReconstrucción
Original
-3
-2
-1
0
1
2
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0 0.5 1 1.5 2
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Aliasing
El aliasing es el efecto que causa que senales continuas distintas no seandistinguibles cuando realizamos un muestreo digital. ¿Cuando se produce?
νs = 1/a ≥ 2B,
donde νs representa nuestra frecuencia de muestreo. Consideremosx(t) = sin(2πt).
t
MuestrasReconstrucción
Original
-3
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-1
0
1
2
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0 0.5 1 1.5 2
t
MuestrasReconstrucción
Original
-3
-2
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1
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0 0.5 1 1.5 2
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Aliasing
El aliasing es el efecto que causa que senales continuas distintas no seandistinguibles cuando realizamos un muestreo digital. ¿Cuando se produce?
νs = 1/a ≥ 2B,
donde νs representa nuestra frecuencia de muestreo.
Consideremosx(t) = sin(2πt).
t
MuestrasReconstrucción
Original
-3
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0 0.5 1 1.5 2
t
MuestrasReconstrucción
Original
-3
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0 0.5 1 1.5 2
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Aliasing
El aliasing es el efecto que causa que senales continuas distintas no seandistinguibles cuando realizamos un muestreo digital. ¿Cuando se produce?
νs = 1/a ≥ 2B,
donde νs representa nuestra frecuencia de muestreo. Consideremosx(t) = sin(2πt).
t
MuestrasReconstrucción
Original
-3
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0
1
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0 0.5 1 1.5 2
t
MuestrasReconstrucción
Original
-3
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-1
0
1
2
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0 0.5 1 1.5 2
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Aliasing
El aliasing es el efecto que causa que senales continuas distintas no seandistinguibles cuando realizamos un muestreo digital. ¿Cuando se produce?
νs = 1/a ≥ 2B,
donde νs representa nuestra frecuencia de muestreo. Consideremosx(t) = sin(2πt).
t
MuestrasReconstrucción
Original
-3
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-1
0
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0 0.5 1 1.5 2
t
MuestrasReconstrucción
Original
-3
-2
-1
0
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0 0.5 1 1.5 2
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Aliasing
El aliasing es el efecto que causa que senales continuas distintas no seandistinguibles cuando realizamos un muestreo digital. ¿Cuando se produce?
νs = 1/a ≥ 2B,
donde νs representa nuestra frecuencia de muestreo. Consideremosx(t) = sin(2πt).
t
MuestrasReconstrucción
Original
-3
-2
-1
0
1
2
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0 0.5 1 1.5 2
t
MuestrasReconstrucción
Original
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.5 1 1.5 2
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Irregular sampling
¿Y si las muestras no son equidistantes?
Hay otros tipos de muestreo.
Muestreo irregular.
Principal inconveniente: No podemos usar el teorema de muestreo quehemos visto anteriormente.
Principal ventaja: Poco probable que se produzca aliasing.Mas eficiente en determinado tipo de senales.
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Irregular sampling
¿Y si las muestras no son equidistantes?
Hay otros tipos de muestreo.
Muestreo irregular.
Principal inconveniente: No podemos usar el teorema de muestreo quehemos visto anteriormente.
Principal ventaja: Poco probable que se produzca aliasing.Mas eficiente en determinado tipo de senales.
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Irregular sampling
¿Y si las muestras no son equidistantes?
Hay otros tipos de muestreo.
Muestreo irregular.
Principal inconveniente: No podemos usar el teorema de muestreo quehemos visto anteriormente.
Principal ventaja: Poco probable que se produzca aliasing.Mas eficiente en determinado tipo de senales.
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Irregular sampling
¿Y si las muestras no son equidistantes?
Hay otros tipos de muestreo.
Muestreo irregular.
Principal inconveniente: No podemos usar el teorema de muestreo quehemos visto anteriormente.
Principal ventaja: Poco probable que se produzca aliasing.Mas eficiente en determinado tipo de senales.
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Irregular sampling
¿Y si las muestras no son equidistantes?
Hay otros tipos de muestreo.
Muestreo irregular.
Principal inconveniente: No podemos usar el teorema de muestreo quehemos visto anteriormente.
Principal ventaja: Poco probable que se produzca aliasing.Mas eficiente en determinado tipo de senales.
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Irregular sampling
¿Y si las muestras no son equidistantes?
Hay otros tipos de muestreo.
Muestreo irregular.
Principal inconveniente: No podemos usar el teorema de muestreo quehemos visto anteriormente.
Principal ventaja: Poco probable que se produzca aliasing.
Mas eficiente en determinado tipo de senales.
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Irregular sampling
¿Y si las muestras no son equidistantes?
Hay otros tipos de muestreo.
Muestreo irregular.
Principal inconveniente: No podemos usar el teorema de muestreo quehemos visto anteriormente.
Principal ventaja: Poco probable que se produzca aliasing.Mas eficiente en determinado tipo de senales.
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Programas
¿Espectro de una senal?
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Programas
¿Espectro de una senal?
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Programas
¿Espectro de una senal?
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Programas
¿Espectro de una senal?
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Programas
¿Espectro de una senal?
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Programas
¿Espectro de una senal?
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Recuperacion de una senal
Veamos un ejemplo con la senal x(t) = sin(2πt).
B = 2.
νs =1
a≥ 2B.
Tomamos a = 1/4.
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Recuperacion de una senal
Veamos un ejemplo con la senal x(t) = sin(2πt).
B = 2.
νs =1
a≥ 2B.
Tomamos a = 1/4.
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Recuperacion de una senal
Veamos un ejemplo con la senal x(t) = sin(2πt).
B = 2.
νs =1
a≥ 2B.
Tomamos a = 1/4.
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Recuperacion de una senal
Veamos un ejemplo con la senal x(t) = sin(2πt).
B = 2.
νs =1
a≥ 2B.
Tomamos a = 1/4.
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Recuperacion de una senal
Veamos un ejemplo con la senal x(t) = sin(2πt).
B = 2.
νs =1
a≥ 2B.
Tomamos a = 1/4.
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Recuperacion de una senal
Veamos un ejemplo con la senal x(t) = sin(2πt).
B = 2.
νs =1
a≥ 2B.
Tomamos a = 1/4.
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Recuperacion de una senal
Veamos un ejemplo con la senal x(t) = sin(2πt).
B = 2.
νs =1
a≥ 2B.
Tomamos a = 1/4.
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Recuperacion de una senal
t
MuestrasReconstrucción
Original
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.5 1 1.5 2
Opiniones: Es una buena reconstruccion ... pero hay un error.
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Recuperacion de una senal
t
MuestrasReconstrucción
Original
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.5 1 1.5 2
Opiniones: Es una buena reconstruccion ... pero hay un error.
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Recuperacion de una senal
t
MuestrasReconstrucción
Original
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.5 1 1.5 2
Opiniones:
Es una buena reconstruccion ... pero hay un error.
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Recuperacion de una senal
t
MuestrasReconstrucción
Original
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.5 1 1.5 2
Opiniones: Es una buena reconstruccion
... pero hay un error.
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Recuperacion de una senal
t
MuestrasReconstrucción
Original
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.5 1 1.5 2
Opiniones: Es una buena reconstruccion ... pero hay un error.
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Recuperacion de una senal
Veamos otro ejemplo con la senal x(t) = sin(2πt) + cos(3πt).
νs =1
a≥ 2B.
Tomamos a = 1/16.
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Recuperacion de una senal
Veamos otro ejemplo con la senal x(t) = sin(2πt) + cos(3πt).
νs =1
a≥ 2B.
Tomamos a = 1/16.
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Recuperacion de una senal
Veamos otro ejemplo con la senal x(t) = sin(2πt) + cos(3πt).
νs =1
a≥ 2B.
Tomamos a = 1/16.
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Recuperacion de una senal
Veamos otro ejemplo con la senal x(t) = sin(2πt) + cos(3πt).
νs =1
a≥ 2B.
Tomamos a = 1/16.
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Recuperacion de una senal
Veamos otro ejemplo con la senal x(t) = sin(2πt) + cos(3πt).
νs =1
a≥ 2B.
Tomamos a = 1/16.
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Recuperacion de una senal
Veamos otro ejemplo con la senal x(t) = sin(2πt) + cos(3πt).
νs =1
a≥ 2B.
Tomamos a = 1/16.
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Recuperacion de una senal
Y recuperamos la senal original:
t
MuestrasReconstrucción
Original
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Recuperacion de una senal
Y recuperamos la senal original:
t
MuestrasReconstrucción
Original
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
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Recuperacion de una senal
Y recuperamos la senal original:
t
MuestrasReconstrucción
Original
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Recuperacion de una senal
Tambien hemos realizado el programa de recuperacion con Octave:
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Recuperacion de una senal
Tambien hemos realizado el programa de recuperacion con Octave:
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Recuperacion de una senal
Tambien hemos realizado el programa de recuperacion con Octave:
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Aliasing
Observemos otros casos en los que tambien se produce el aliasing:
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Aliasing
Observemos otros casos en los que tambien se produce el aliasing:
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Aliasing
Observemos otros casos en los que tambien se produce el aliasing:
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Aliasing
Observemos otros casos en los que tambien se produce el aliasing:
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Aliasing
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Aliasing
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Aliasing
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Por ultimo
Destacamos que en los programas utilizamos la transformada rapida deFourier, y no la transformada convencional:
Muchas gracias por la atencion
Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones
Por ultimo
Destacamos que en los programas utilizamos la transformada rapida deFourier, y no la transformada convencional:
Muchas gracias por la atencion
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Por ultimo
Destacamos que en los programas utilizamos la transformada rapida deFourier, y no la transformada convencional:
Muchas gracias por la atencion
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Por ultimo
Destacamos que en los programas utilizamos la transformada rapida deFourier, y no la transformada convencional:
Muchas gracias por la atencion
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