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Programa de Doctorado en Ingeniería Aeronáutica – Capítulo II Fundamentos de Elasticidad

Comportamiento Mecánico de Materiales - Dr. Alberto Monsalve González 2 - 1

El Tensor de Esfuerzo

Cuando un cuerpo es sometido a cargas, ya sea por esfuerzos aplicados sobre su

superficie externa o debido a la influencia de la fuerza de gravedad o fuerzas similares

deben cumplirse las condiciones de equilibrio mecánico.

El estudio de los esfuerzos sobre los cuerpos continuos conforma el área de la mecánica

de sólidos. Una parte esencial en la formulación de problemas en esta área, es la

descripción de las relaciones existentes entre los esfuerzos que actúan sobre los

elementos.

Esfuerzos

Al considerar la transmisión de fuerzas a través de un cuerpo, se deben tomar en cuenta

no tan sólo las fuerzas, sino también su distribución. Es necesario definir la intensidad

de distribución de fuerzas en un punto. Esta cantidad se denomina esfuerzo.

Si se aplica una fuerza 1F

sobre el área A1, entonces el esfuerzo promedio viene dado

por:

1

1

AF

El esfuerzo actúa en la misma dirección que la fuerza F1.

La notación es:

ij

i = superficie sobre la que actúa

j = dirección sobre la que actúa

11 está asociado con la componente de esfuerzo perpendicular a la superficie 1.

12 y 13 están asociados a las componentes paralelas a la superficie 1 (componentes de

cizalle).



Las componentes del tensor esfuerzo son:

333231

232221

131211

333231

232221

131211

ij

Las componentes de esfuerzo representan las componentes promedio de esfuerzo en un

punto sobre la superficie únicamente si la fuerza está uniformemente distribuida.

Si A1 es muy pequeña, es decir, 01 A , el esfuerzo anterior representa el esfuerzo en el

centro de A1.

A1

3e

2e

1e

1F

Figura 1. Definición de esfuerzo.

Figura 2. Diversas componentes del tensor esfuerzo.

x2

x1

x3

dx2

dx3

dx1

11

12

13

21

22

23

31

32

33



1

11

011

1

límA

f

A

1

12

012

1

límA

f

A

1

13

013

1

límA

f

A

Simetría del Tensor Esfuerzo

Para que el cuerpo esté en equilibrio se debe cumplir que la suma de los momentos con

respecto a cualquier eje debe ser cero.

Por ejemplo:

03

xM

Dx3

21

12

Dx2

Dx1

x3

x2

x1

C

21122

31211

321222

D

DDD

DDx

xxx

xx

En general jiij σσ ,es decir, el tensor esfuerzo es simétrico como una

consecuencia del equilibrio de momentos.

Equilibrio de tensiones o esfuerzos

Se derivan considerando el equilibrio dinámico de un pequeño elemento del cuerpo.

Debe cumplirse la segunda ley de Newton para todo el cuerpo F ma

El incremento de esfuerzo producido sobre una distancia dx es

xdx por lo tanto el

esfuerzo total incrementado es

xdx .

Figura 3. Equilibrio de momentos de un sólido.



La ecuación de balance global en la dirección x es, como se muestra en la figura 4:

dx3

21

12

x3

x2

x1

22

11

1

1

1111 dx

x

2

2

2222 dx

x

dx2

dx1

( ) ( ) ( )

11

11

1

1 11 2 3 21

21

2

2 21 1 3 31

31

3

3 31 1 2 x

dx dx dxx

dx dx dxx

dx dx dx

X dx dx dx a dx dx dx1 1 2 3 1 1 2 3

donde X 1 representa fuerzas de volumen: gravitacionales , electromagnéticas, etc

Al simplificar términos equivalentes se obtiene:

11

1

21

2

31

3

1 1x x x

X a

De igual forma resulta:

12

1

22

2

32

3

2 2x x xX a

y también

13

1

23

2

33

3

3 3x x xX a

Nota: Usando notación indicial podemos escribir:

ij

i

j j ij i j jx

X a X a ,

Figura 4. Equilibrio de fuerzas en un sólido.



Balance general de Momentos

Si se considera el balance de momentos alrededor del eje X 3 que corresponde al centro

del elemento tenemos

( ) ( ) / ( ) ( ) /

12

12

1

1 12 2 3 1 21

21

2

2 21 1 3 22 2 0 x

dx dx dx dxx

dx dx dx dx

o bien:

12

12

1

1 21

21

2

21 2 1 2 0 ( / ) ( / )x

dxx

dx

Nota : 211221 00 dxydxsi . Análogamente:

32233113 y

Ecuaciones de equilibrio en coordenadas cilíndricas

r r rz zr z z

rr

rrrzrrr aXrzrr

)(

r z r

r r z rX a

2

zzzrzzzrz aX

rzrr

Ecuaciones de equilibrio en coordenadas esféricas

rr r r rr r

r rr r r

g

rX a

1 1 2

sen

cot

r r

r r r rX a

1 1 3 2

sen

cot

r r

r r r

g

rX a

1 1 3

sen

( ) cot



Vector de Esfuerzo

Vector de esfuerzo o de tracción se define como ds

df

s

FT

s

D

D

D 0lím

, este vector

representa el esfuerzo en un punto al que se le puede relacionar con el área ds.

jijv

v

v

v

TTTT

3

2

1

333231

232221

131211

321

donde ij son los esfuerzos de corte (cizalle), i≠j y

ii son los esfuerzos normales

vj son las componentes del vector unitario en la dirección perpendicular a la superficie

Una nueva forma de escribir lo anterior es la siguiente:

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

v

v

v

T

T

T

x2

x3

x1

ds

32

33

31

21

22

23

1T

2T

3T

T

v

Figura 5. Representación geométrica del vector tracción T

.



Ejemplo: Consideremos el siguiente tensor de esfuerzo

210

185

057

ij (MPa)

Calcular el vector Tracción en un punto P situado en el plano de la figura o paralelo a él.

Solución:

3

2

1

3

2

1

210

185

057

v

v

v

T

T

T

La ecuación del plano que pasa por los

puntos a, b y c en cada eje es 1c

z

b

y

a

x

y la normal es

cba

1,

1,

1 en este caso )3/1,3/2,3/2(ˆ)2/1,1,1( vv

por lo tanto

para esta situación

3/4

3/7

3/4

3/1

3/2

3/2

210

135

057

3

2

1

T

T

T

T

es decir,

3/43/73/4 321 TTT (MPa)

x3

x1

x21

1

2

Figura 6. Espacio x1 x2 x3



Esfuerzos Principales

En un estado general de esfuerzos, el vector tracción que actúa sobre una superficie de

normal v , depende del valor del módulo y de la dirección de este vector. La dirección en

la que el vector T

tiene la misma dirección que el vector v (por lo que no existen

componentes de corte) define un plano principal y la dirección del vector v es la

dirección principal, en tanto que T

es el esfuerzo principal. ijij TvT

Sea un esfuerzo principal y iv una dirección principal entonces:

0, jijjijjijiijijii vvvvcomovvvTT

entonces

0

0

0

0)(

3

2

1

3332.31

232221

131211

v

v

v

v jijij

Las 3 raíces de este polinomio cúbico se denominan esfuerzos principales. v es un

vector unitario 12

3

2

2

2

1 vvv . Para obtener las direcciones principales se reemplaza

cada 0)( jijiji ven

x1

x2

x3

P

T

v

Figura 7. Definición de esfuerzo Principal.



Observaciones:

1) Si 321 los planos principales son únicos y las 3 direcciones principales

son perpendiculares.

2) Si 321 existe un número infinito de vectores asociados a los valores

propios iguales y un vector 3v ortogonal a éstos (cilindro).

3) Si los 3 valores propios son iguales cualquier conjunto ortogonal de 321, vyvv son

direcciones principales (esfera).

4) Si los ejes de referencia coinciden con las direcciones principales entonces:

33

22

11

00

00

00

ij

Ejemplo: Calcular esfuerzos y direcciones principales del tensor

021

201

113

ij

Solución: 0)6232)(2(0

21

21

1132

Det

De donde se obtiene: 2,1,4 321 y las direcciones principales son:

)1,1,0(2

1,)1,1,1(

3

1,)1,1,2(

6

1321 vvv

caso particular: Hallar los esfuerzos principales correspondientes al tensor de esfuerzo.

300

010

002



Conclusión

3

2

1

00

00

00

tiene esfuerzos principales 1, 2 y 3.

También se puede decir que cualquier matriz de esfuerzo puede escribirse:

zyzxz

yzyxy

xzxyx

o bien

3

2

1

00

00

00

Estado Hidrostático y Desviador del tensor de esfuerzo

Un estado de esfuerzo dado por el tensor ij puede ser descompuesto en 2 componentes:

i) Componente hidrostática (o esférica) o esfuerzo normal medio se define como

3

)(

3

3322111

Ik

En que I1 es el primer invariante del tensor esfuerzo.

ii) Tensor desviador del esfuerzo, se define como: ijkijij '

Por ejemplo 12

'

12

332211

11

'

11 ,3

)(

por lo tanto

k

k

k

k

k

k

ij

00

00

00

333231

232221

131211

333231

232221

131211

Esfuerzo = Esfuerzo desviador + Esfuerzo Hidrostático

Conclusiones:

a) En un sólido elástico isotrópico un estado de esfuerzo con una componente

hidrostática nula produce solamente distorsión.

b) Un estado hidrostático puro de esfuerzo no produce distorsión pero sí un cambio en

las dimensiones del sólido.



Ejemplo: Sea

200

010

004

encuentre planos y direcciones principales

0)2)(1)(4(0

200

010

004

Det

los esfuerzos principales son 4, 1 y –2

Con 132

3

2

1

1

0

0

0

600

030

000

4 vyvv

v

v

v

es arbitrario, luego el

vector propio (dirección principal) correspondiente al valor propio (esfuerzo principal)

es )0,0,1(1 v

De igual forma se obtiene para )1,0,0(2)0,1,0(1 32 vyv

Descomposición del vector tracción en componente normal y de corte

Sea

33

22

11

3

2

1

3

2

1

3

2

1

00

00

00

ˆ

l

l

l

l

l

l

T

l

l

l

v

x2

x3

x1

Esfuerzo normal

T

v

Figura 8. Componentes normal y de corte del vector tracción.



Además de la figura 8 se tiene:

2

33

2

22

2

11

3

2

1

332211

222),,(ˆ, lll

l

l

l

lllvTT

además:

2

3

2

2

2

32

2

3

2

1

2

31

2

2

2

1

2

21

2

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

)()( llllll

lllT

De acuerdo a esto existirán valores estacionarios para dependiendo de los cosenos

directores (li ).

Los llamados esfuerzos de corte principales se obtienen de la ecuación anterior dando

valores a li tal que:

20

2

1

2

1

22

10

2

1

22/12/10

213

31

2

32

1

321

maxlll

Como 2321 es el máximo.

Ubicación de los esfuerzos máximos

2

31

2

x3

x2

x1

3

2

1

3

2

1

2

32

1

2

213

Figura 9. Esfuerzos cortantes máximos.



Por cada par de tensiones principales hay 2 planos de tensiones de cizallamiento

principales que bisectan a las direcciones principales para las tensiones normales o

principales.

Esfuerzo Plano

Estado de Esfuerzo plano es aquel en que 03 j por ejemplo

2221

1211

ij

Círculo de Mohr

Círculo de Mohr en dos dimensiones

El círculo de Mohr es un método gráfico propuesto para representar el estado de tensión

en un punto sobre cualquier plano oblicuo que pase por ese punto.

y

x

xy

xy

n

n

dsdy

dx

Figura 10. Estado de esfuerzos en un sólido.

¿ Cuánto valen los esfuerzos en un plano cualquiera?

),,,(,),,,( xyyxnxyyxn gf además en la dirección de

0in F

Considerando espesor igual a 1 se tiene

0)1()1(cos)1(cos)1()1( dxsendydxdysends xyxyyxn

al dividir por ds resulta



sencoscossends

dx

ds

dy

ds

dx

ds

dyxyxyyxn

pero para un triángulo de catetos dx, dy e hipotenusa ds

sen,cosds

dy

ds

dx cossen2cossen 22

xyyxn

En términos del ángulo doble se puede escribir:

2sen2

2cos)(

2xy

xyyx

n

(1)

El esfuerzo máximo y mínimo se obtiene de la condición 0

d

d n

xy

xy

xy

xyn

d

d

22tg02cos22sen

2

)(2

Esta es la condición de planos principales. Evaluando se tienen los siguientes valores

para el esfuerzo principal

2

2

mínmáx/4

)(

2xy

xyyx

n

son los valores máximos y mínimos

Los esfuerzos principales son mín2máx1 ,

Esfuerzo Cortante n

En la dirección 0 i

in F

0cossensencos dxdydxdyds xyxyyxn dividiendo por ds

2cos2sen2

)(xy

xy

n

(2)

La condición 0

d

d n entrega el esfuerzo cortante óptimo



Al igual que para el esfuerzo normal en éste caso se obtiene xy

xy

2)2tg( '

Los valores máximos y mínimos son 2

2

mínmáx/4

)(xy

xy

Observación: 1)2tg(2tg ' ángulo 2 es perpendicular a ')2( luego ' y

están a 45º. Esto se obtiene multiplicando las expresiones para ambas tangentes

Al elevar al cuadrado y sumar las ecuaciones (1) y (2) queda

2

2

2

2

22xy

xy

n

yx

n

La que corresponde a la ecuación de un círculo en el espacio centrado en 2

yx

y de radio R, con 2

2

4

)(xy

xyR

cuya representación geométrica se muestra en

la figura 11.

Metodología para trazar el círculo de Mohr

Sean xyyx y, las componentes del esfuerzo dado.

. .

1

2

.2

yx

R

Figura 11. Representación geométrica del círculo de Mohr.



Sobre el eje horizontal se ubican los esfuerzos yx y y sobre el eje vertical se ubica

xy . Se ubican los puntos ),(y),( xyyxyx teniendo presente las siguientes reglas:

a) Los esfuerzos tractivos se toman positivos

b) Los esfuerzos cortantes se toman positivos si tienden a producir una rotación en el sólido

en el sentido de las agujas del reloj

c) Al unir los puntos ),(y),( xyyxyx mediante un trazo, el intercepto con el eje

horizontal define el centro del círculo.

. .0

.

(a) (b)

Figura 12. Casos de estados de esfuerzos. (a) Tensión Uniaxial. (b) Tensión Biaxial equilibrada.



Ejemplo:

Hallar:

a) Planos principales

b) Esfuerzos principales

c) Direcciones de esfuerzo cortante máximo y mínimo

d) mínmáx y

e) Los esfuerzos normales en los planos de mínmáx /

Solución:

a)

º6,207

º6,272522.0

2

149

6

2

2tg

xy

xy

= 13,8º ; 103,8º

15,5 MPa

9 MPa

6 MPa

14 MPa

13.8°

103.8°

10,5 MPa

58.8°

148.8° = -13 MPa

= 13 MPa

Figura 14. Esfuerzos normales y cortantes máximos.

=6 MPa

9 MPa

14 MPa

Figura 13. Sólido sometido a cargas.



b)

2

2

2

2

mínmáx/

62

149

2

914

22

xy

xyyx

Para = 13,8º = -10,5 MPa

= 103,8º = 15,5 MPa

c) Los planos de máx/mín se encuentran: a 45º de los planos máx/mín.

= 13,8º + 45º = 58,8º

= 103,8º + 45º = 148,8º

d) máx/mín = MPa

MPaxy

xy

13

13

2 mín

máx2

2

Para = 58,8º = -13 MPa

e) para = 58,8º y = 148,8º

vale = 2,5 MPa



1= 15.5 MPa

max

= 13 MPa

.

min

= -13 MPa

2= -10.5 MPa

..

Figura 15. Circulo de Mohr del problema

Círculo de Mohr en 3 dimensiones

Si se define un estado triaxial de esfuerzos a través de los tres esfuerzos principales, la

representación gráfica es la siguiente:

1

3

3

2

1

2

3

2

1

Figura 16. Círculo de Mohr en tres dimensiones.



Puede demostrarse que todas las posibles condiciones de esfuerzo dentro del cuerpo,

caen dentro del área sombreada entre los círculos. Al existir un esfuerzo compresivo el

área sombreada aumenta.

Si los 3 esfuerzos principales son iguales el círculo se reduce a un punto (no existe

cizalle).

Dados los esfuerzos principales 321 , y el esfuerzo normal en un plano

cualquiera cuyos cosenos directores son l, m y n viene dado por, ver figura 17.

3

2

2

2

1

2 nml (*)

El esfuerzo cortante sobre este plano está dado por (**):

23

212

22

3

2

2

22

1

2 )()1(

lnnnll

reemplazando en (**) resulta:

2

23

2

221

22

2

2

3

22

2

2

2

2

1

22 ))()(()()( nlnl

y nuevamente reemplazando se puede obtener:

))((

))((,

))((

))((

2123

13

22

1312

32

22

ml

))((

))((

))((

))((

3231

21

2

3231

21

22

n

La ecuación para 2l se puede escribir como

))(())(( 3121

22

32 l

:queda(*)en rreeemplazaal 11

**)(

222222

2

3

2

2

2

1

22

3

22

2

22

1

22

lnmnmlcomo

nmlnml



o en forma equivalente por:

2))((

2

)(2

32

3121

22

2

32

l

en la figura 17 se muestran diversas situaciones de la construcción del Círculo de Mohr

y en la figura 18 se muestran varios casos de esfuerzos aplicados.



Figura 17. Círculos de Mohr para sistemas tridimensionales de esfuerzos.

Figura 18. Diversas situaciones de esfuerzos.

(a) Tracción simple; (b) Comprensión simple; (c) Tracción Biaxial; (d) Tracción Triaxial;

(e) Tracción Comprensión Triaxial

(e)

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