el tejido del espacio-tiempo

El Tejido del Espacio-tiempo


Charles Francis

Traducido por Dante Amerisi Síntesis: Las fórmulas de la Relatividad Especial se desarrollan con el Cálculo-K sin presunción de un

múltiple. La métrica está determinada empíricamente por el intercambio de fotones, y el tratamiento

sugiere que el intercambio de fotones observado en la electrodinámica cuántica también es responsable por el “tejido” del espacio-tiempo de Minkovsky. Esto sugiere que a escalas cuánticas la naturaleza similar a un punto de las partículas elementales debiera aparecer “desenfocada” o “borrosa”. Hay referencia en un trabajo posterior a las implicaciones en las leyes de la física a este respecto.

Keywords: Relatividad Especial, Minkowsky, espacio-tiempo. Charles Francis Clef Digital Systems Ltd Lluest, Neuaddlwyd Lampeter Ceredigion SA48 7RG 22/6/99

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El Tejido del Espacio-tiempo 1 Introducción Hay un creciente interés en la idea que las variables fundamentales como el tiempo debieran ser

diferentes [1], y hay muchas referencias en la literatura del potencial de cuantificación de la gravedad, el cual sugiere que a nivel fundamental el espacio-tiempo debiera ser diferente [2].

Este texto es uno de una serie examinando las consecuencias para las leyes de la física de reemplazar la presunción de un continuo espacio-tiempo preexistente, con la observación de que el tiempo y la distancia son números producidos por un aparato de medición.

El propósito del presente tratado es mostrar que las leyes de la física de la Relatividad Especial pueden derivarse de un tratamiento empírico de medición que no requiere de asumir un múltiple. La importación de un método es para demostrar que el espacio-tiempo de Minkovsky es una construcción matemática que no tiene un análogo ontológico directo. Dada la asunción de que el espacio vacío no se requiere para derivar las leyes físicas de la Relatividad Especial, éste no tiene impacto en la teoría. La introducción de un espacio-tiempo ontológico daría a la vez resultados equivocados o no haría cambios en las predicciones empíricas de la teoría, y de esta manera sería no comprobable y científicamente ambiguo. En su lugar, describimos la manera en que las combinaciones de las interacciones de las partículas podrían generar las propiedades matemáticas del espacio-tiempo de Minkovsky.

Un interesante corolario a esta idea sería que no solamente el movimiento podría ser considerado relativo en la Teoría Especial de la Relatividad [3]. La posición de un cuerpo o una partícula también está definida en relación a otra materia. Es intuitivamente claro que, en ausencia de un múltiple pre-existente, la incertidumbre será una característica de la definición empírica de los sistemas de coordenadas, y que esta incertidumbre no es la clásica teoría de probabilidad de una variable desconocida, y que requerirá un tratamiento matemático alternativo. Referencias de trabajos posteriores sugieren que la relatividad de la posición de una partícula es el principio basado en la incertidumbre de las leyes de la Mecánica Cuántica, además de otras leyes fundamentales de la física.

2 Sistema Coordinado Hay cabida a la confusión entre dos preguntas muy similares, ‘¿Qué es el tiempo?’ y ‘¿Qué

tiempo es?’. La primera pregunta tiene que ver con la conciencia, y con nuestra percepción del tiempo como un flujo que va del pasado al futuro. No conlleva una respuesta sencilla, pero es muy distinta de la segunda pregunta y sólo esta última será relevante en la definición de las coordenadas del espacio-tiempo. La respuesta a la pregunta ‘¿Qué tiempo es?’, resulta ser algo parecido a 4:30, o a 6:25.

Definición: El tiempo es un número que podemos leer en un reloj. Hay muchos tipos de relojes, pero cada uno tiene dos elementos en común, un proceso repetitivo

y un contador. El resto del mecanismo convierte el número de repeticiones a unidades

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convencionales de tiempo. Un buen reloj debiera proporcionar una medición exacta así como una medida uniforme del tiempo.

No podemos contar menos de una repetición del proceso en un reloj, así que, para mediciones correctas el proceso debe repetirse tan rápido como sea posible. En un reloj uniforme, el proceso de repetición debe repetirse cada vez de manera idéntica al anterior, sin influencia externa alguna. Una repetición da la mínima unidad de tiempo para cada reloj. Subdividir esta unidad de tiempo requiere un segundo reloj. Así que el tiempo requiere de integrar valores.

En principio, debe haber relojes cuyo proceso repetitivo sea más rápido que cualquier proceso usado en un reloj convencional, mas debe haber algún proceso indivisible, que determine la más pequeña noción de unidad temporal, el cronón, denominado así en la antigüedad. Podría haber más de uno de esos procesos de repetición indivisibles, así que el cronón debería ser único. Yo asumo que sería mucho más pequeño que la unidad usada por cualquier reloj convencional, así que, para propósitos prácticos, la medida convencional de tiempo podría considerarse como grandes cantidades de cronónes.

Un reloj define el tiempo, pero sólo en un lugar. Un sistema coordinado espacio-temporal

también requiere una definición de distancia, y una definición de tiempo a una distancia determinada del reloj. Esto nos lo da el método del radar, pero en la práctica la frecuencia de la radiación electromagnética es irrelevante, y la definición se refiere a la luz en cualquier frecuencia.

Definición: La distancia de un evento es la mitad del tiempo cronometrado por un rayo de luz

que va del reloj al suceso y que regresa al reloj. El tiempo en el cual la señal es reflejada es el tiempo promedio en el que va y viene.

Razonamiento: Como Bondi dijo, “con nuestra visión y tecnología modernas, el experimento

de Michelson-Morley sería mera tautología” [5]. Tautológicamente se definen las coordenadas espacio-temporales solamente en puntos en donde el método de radar es realmente aplicado.

El método de radar define la distancia en unidades de tiempo, así que las coordenadas espacio-temporales son estrictamente elementos del N4. Se usa el radar en lugar de una regla, porque se aplica directamente en la medición tanto de grandes como de pequeñas distancias, y porque una sola medición puede ser usada para ambas coordenadas, de espacio y de tiempo. El método de radar también mide la dirección y podrá apreciarse cómo el álgebra es formalmente idéntica para los 3 vectores con una métrica euclidiana y por diagramas unidimensionales de espacio-tiempo, como en la figura. Cada punto en un diagrama espacio-temporal representa un suceso.

Los diagramas espacio-tiempo están definidos de tal

manera que las líneas de tiempo equivalentes son verticales y las líneas de distancia equivalente son horizontales (figura 1). Por definición, el movimiento uniforme en el marco de referencia se muestra como una línea recta en el diagrama. Para usar el radar debemos conocer la velocidad de la luz (si la distancia fuera

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medida con regla, para medir el tiempo de un suceso aún requeriríamos conocer la velocidad del mensaje proveniente del suceso). Pero ahora tenemos una paradoja. Para medir la velocidad llevamos a cabo una prueba temporal sobre la distancia medida, pero la primera vez debemos definir el tiempo en ambos extremos de la regla, lo cual requiere conocimiento sobre la velocidad de la luz. No conocemos otra manera de medir el tiempo de un evento a la distancia de un reloj; si sincronizamos dos relojes teniéndolos juntos en determinado momento, no tendremos garantía de que permanezcan sincronizados al separarse uno del otro, a menos que la luz sea utilizada para probar su sincronización. Por lo tanto, la velocidad de la luz es una constante absoluta pues la medición de la velocidad requiere un sistema coordinado, el cual requiere a la luz para su definición. Un experimento para determinar la velocidad de la luz realmente mide el factor de conversión de unidades naturales en las que la velocidad de la luz es 1. Por lo tanto, por definición, la luz es emitida a 45 grados.

Definición: Un sistema coordinado espacio-temporal definido por radar es conocido como

marco de referencia. Por definición, un marco de referencia es una estructura matemática, es decir, el conjunto de todos los valores que pueden resultar de un proceso de medición, y no una entidad física. Depende de la posibilidad de medición y no puede ser extendido indefinidamente al espacio o ser definido en un vacío perfecto en donde no haya materia.

Una vez que los relojes han sido separados, no hay forma de sincronizarlos directamente, pero,

de acuerdo con el principio de homogeneidad, dos relojes marcarán la misma unidad de tiempo si el proceso físico en cada uno es idéntico. Si queremos comparar nuestro sistema coordinado con el sistema de un observador en movimiento, necesitamos saber qué unidad de tiempo está usando dicho observador. La figura 2 muestra el sistema coordinado definido por un observador en una nave en movimiento, tal como aparece ante nosotros, así como nuestro sistema coordinado tal como aparece

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para él. El observador en movimiento se representa a sí mismo con un eje vertical, y nos posicionaría con cierto ángulo. En este diagrama nuestro marco de referencia aparece distorsionado.

En la figura 3, la nave espacial se mueve uniformemente respecto al marco de referencia de la

Tierra. La Nave y la Tierra tienen relojes idénticos y se comunican entre sí por radio o por luz. La Tierra envía a la Nave dos señales a un intervalo t. La Nave recibe estas señales a un intervalo kt, según el reloj de a bordo. k ∈ R es inmediatamente reconocible como un corrimiento al rojo. Aunque kt no es necesariamente una integral, su parte fraccionaria es menor que un cronón, y se pierde en la medición. De forma similar, si el observador de la Nave manda dos señales a un intervalo t de su reloj, serán recibidas a un intervalo k’t en el reloj en Tierra.

No existe diferencia fundamental entre la materia de la Nave y la materia de la Tierra. La Nave puede ser considerada como estacionaria, y que la Tierra se mueve. El principio de homogeneidad implica que las señales enviadas por la Nave a la Tierra estarán también sujetas al corrimiento al rojo. La condición definitiva para la Teoría de la Relatividad Especial, es que existe una clase especial de marcos de referencia tales que:

Definición: Para los marcos de referencia inerciales, el corrimiento al rojo es a la vez constante y

equivalente para ambos observadores, k = k’. Definición: La ley de transformación coordinada entre marcos de referencia es la

Transformación de Lorentz. Sabemos, por la observación, que los marcos de referencia inerciales existen, por lo menos para

la exactitud de las mediciones y así lo asumiremos en este tratado. La Teoría General de la Relatividad le confiere una condición más general al corrimiento al rojo. Las implicaciones serán estudiadas en otro tratado actualmente en proceso, en el que se demuestra que, como resultado

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directo de la naturaleza distinta de las interacciones entre partículas, el inherente retraso en el retorno de la señal fuerza al uso de marcos no inerciales (tales como k ≠ k’ ) y da como resultado la fuerza de gravedad.

Teorema: (Dilatación del tiempo, figura 4) El

tiempo T medido por el reloj de la nave espacial durante un intervalo t del reloj en Tierra está dado por:

2.1 Comprobación: La nave espacial y la Tierra ponen

sus relojes en cero al momento en que la Nave pasa por la Tierra, La Nave se mueve a la velocidad v, así que por definición, después del tiempo t del reloj en Tierra, la Nave a viajado una distancia vt. Por lo tanto, la señal de la Tierra fue enviada a un tiempo t – vt, regresando a un tiempo t + vt. Para marcos de referencia inerciales, si la nave espacial manda a la Tierra señales a intervalos t, la Tierra los recibirá a un intervalo kt. Así que,

2.2 Luego, aplicando el corrimiento por el efecto

Doppler otra vez para la señal que viene de regreso,

2.3 Teorema: (Contracción de Lorentz, figura 5).

Una distancia d sobre la Tierra es medida en la Nave de esta manera,

2.4 Comprobación: La proa y la popa de la nave

espacial aparecen como líneas paralelas. El reloj de la Nave esta en la proa. Para facilidad de cálculo, la Nave y la Tierra ponen sus relojes en cero cuando la proa sobrepasa el reloj en Tierra. La Tierra usa el radar para medir la distancia d, a

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la popa en tiempo 0. Para hacer esto, la señal debió ser enviada en el tiempo –d, y debió regresar en el tiempo d según el reloj en Tierra. Según el corrimiento por el efecto Doppler, en el reloj de la nave espacial, la señal pasa la proa de la Nave en un tiempo –dk y regresa a un tiempo dk. Así, de acuerdo a la nave espacial en movimiento,

2.5 Eliminando k por 2.3 da 2.4, la fórmula de la contracción de Lorentz. Las leyes que son idénticas en todos los sistemas coordinados son consideradas en términos de

invariantes, cantidades matemáticas que son las mismas en todos los sistemas coordinados. La invariante más simple sería un número ordinario o escalar. Otra invariante, familiar en la mecánica clásica, es el vector. El cambiar el sistema de coordenadas no tiene efecto alguno en el vector, pero cambia la descripción de un vector en el sistema.

Definición: Un vector espacio-temporal es la diferencia en las coordenadas de dos sucesos.

Cuando no existe ambigüedad, los vectores espacio-temporales son llamados simplemente vectores. Teorema: La condición de escudo de la masa.

2.6 Comprobación: Un vector puede ser representado como una línea recta continua en un

diagrama de espacio-tiempo, y descrito por sus componentes,

2.7 Para todo vector temporal, r, hay un marco de referencia particular en donde representa un

estado de reposo, es decir, cuando se alinea con el eje que representa al reloj en el que la definición de marco de referencia está basado. En dicho marco de referencia r tiene las siguientes coordenadas,

2.8 Un observador en movimiento a una velocidad v relativa al reloj describe r por coordenadas

dadas por la fórmula de dilatación del tiempo, 2.1 y por la contracción de Fitzgerald, 2.4,

2.9 La condición de escudo para la masa, 2.6, es como sigue,

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Definición: Si x = (x0, x1, x2, x3) y y = (y0, y1, y2, y3) son vectores en el espacio-tiempo, entonces el producto escalar es

2.10 x ⋅ y = – x0 y0 + x1 y1 + x2 y2 + x3 y3

Teorema: El producto escalar es invariante bajo la transformación de Lorentz. Comprobación: Álgebra directa de 2.9.

La estructura microscópica de la geometría Euclidiana es descrita analíticamente por el uso de

límites. Se ha sabido desde la época de Zenón que la estructura continua de puntos comprimiendo el espacio no puede ser establecida, y aunque la noción del espacio absoluto ha entrado en el modelo científico, no parece que Newton tuviera la intención de que el espacio absoluto fuera considerado como una descripción perfecta de la realidad. Como él dice al introducir el concepto en sus Principia [6]:

La descripción de las líneas rectas y los círculos, sobre la cual la geometría se ha fundado,

pertenece a la mecánica. La geometría no nos enseña a dibujar esas líneas, pero requiere que sean dibujadas.

Claramente, el espacio Newtoniano es postulado solamente para lograr la exactitud posible en la

ingeniería. Clifford [7], al discutir los logros alcanzados por Riemann en la geometría no euclidiana, también mostró conciencia de que el continuum espacial fuera una asunción sin garantía:

Riemann nos ha mostrado que hay diferentes tipos de líneas y superficies, así que hay diferentes

tipos de espacios de tres dimensiones; y que sólo podemos determinar por la experiencia a cual de esos tipos pertenece la porción en la que vivimos. En particular, los axiomas de la geometría plana son verdaderos en los límites experimentales sobre la superficie de un pedazo de papel, y aún así sabemos que la hoja está cubierta realmente por un sinnúmero de pliegues y arrugas, sobre las cuales (siendo la curvatura total no igual a cero) esos axiomas no son verdaderos. De forma similar, dice Riemann, aunque los axiomas de la geometría de sólidos son verdaderos dentro de los límites experimentales para porciones finitas de nuestro espacio, aún no tenemos razón para concluir que son verdaderos para porciones más pequeñas; y si se obtuviera alguna ayuda para la explicación de los fenómenos físicos, no tendríamos razón de concluir que no son verdaderos para porciones aún más pequeñas de espacio.

Y el mismo Riemann dice, Por lo tanto, la realidad que subyace en el espacio debe constituir un múltiple distinto, o

debemos buscar el motivo de sus relaciones métricas fuera de este. [Either therefore the reality which underlies space must form a discrete manifold, or we must seek the ground of its metric relations outside it. (translation by Clifford)].

De hecho, la definición matemática de Riemann de un múltiple [8] ignora deliberadamente la

cuestión de si el múltiple representa algo ontológico. Como Riemann sugirió posible, el tratamiento

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de la Relatividad Especial dado aquí provee de relaciones métricas fuera de la asunción de un múltiple.

Justamente como reconocemos que la superficie de una hoja de papel está compuesta de fibras y

no es precisamente geométrica, también podríamos concebir que el espacio ontológico no es perfecto y continuo. Mientras Clifford, en On the Space Theory of Matter (sobre la teoría espacial de la materia), intentó describir la materia como un tipo de torsión (twist) de la geometría del espacio, yo apunto a describir una “teoría material del espacio”, en cuyas partículas está una parte de la estructura, o pre-geometría, del espacio, y que el espacio-tiempo es concebido como un tejido de partículas. La motivación para esto es que la electrodinámica cuántica ha mostrado que el proceso usado aquí para definir los sistemas de coordenadas, es decir, el intercambio de protones, es también responsable de la fuerza electromagnética, e igualmente responsable de todas las estructuras de materia en nuestro entorno microscópico. No esta fuera de razón entonces, postular que el intercambio de fotones genera todas las relaciones geométricas en el entorno macroscópico, justo como genera esas relaciones en los resultados de las mediciones por radar.

Para imaginar la subestructura del espacio-tiempo concebimos que cada partícula cargada sigue

un proceso repetitivo de acuerdo al cual podríamos considerar una primitiva noción del tiempo como una de sus propiedades ontológicas. Nosotros llamamos a esta noción “línea del tiempo”. Por ejemplo, una partícula podría tener la posibilidad de emitir o absorber un fotón en cada instante distinto de su línea de tiempo. Esto podría ser considerado un proceso repetitivo adecuado para la noción primigenia del tiempo. Cuando un intercambio de fotones se da lugar, por ejemplo, cuando un fotón es emitido por una partícula cargada y absorbido por otra, y un fotón es inmediatamente emitido por la segunda partícula y absorbido por la primera, entonces queda establecida una coordenada para la segunda partícula en términos de la línea de tiempo de la primera.

Dado que la visualización involucra la percepción de la geometría, está

claro que las propiedades pre-geométricas de la materia pueden no ser estrictamente visualizadas. Sin embargo, una “puntada intermitente en el espacio-tiempo” podría ser ilustrada en un diagrama. Las partículas cargadas aparecen como líneas discontinuas, donde los trazos intermitentes representan los distintos intervalos de tiempo en la línea de tiempo de la partícula. El intercambio de fotones aparece como líneas continuas de color gris. Una sola “puntada” como la mostrada sólo puede dar un único valor de distancia y tiempo para la segunda partícula. Muchas “puntadas”requerirán el regreso inmediato de un fotón, solamente que estos usan el intercambio de fotones y se combinan para dar un sistema consistente de coordenadas.

Es válido imaginar un sistema de tales partículas en forma de diagrama a condición de que se tenga por entendido que el espacio entre las líneas del diagrama no tiene sentido teórico u ontológico.

Las propiedades del espacio-tiempo dependen de las relaciones internas entre trazos discontinuos y nodos en el diagrama, no en la geometría del dibujo. En la figura 7, el tiempo medido incrementado por el retorno de un fotón indica que las partículas se están moviendo una respecto de la otra.

En sistemas de muchas partículas, como los que generalmente observamos, los fotones son constantemente intercambiados, y el espacio-tiempo macroscópico puede ser construido como una especie de composición o media de el espacio-tiempo primigenio asociado al intercambio de fotones.

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Obviamente, no podemos analizar empíricamente un intercambio individual de fotones, pues la observación misma interrumpe el proceso. Pero podemos analizar estadísticamente los efectos de muchos de tales intercambios. Dado de el proceso de intercambio de fotones es el mismo que usamos en el método de radar, el comportamiento promedio de un sistema en el cual hay muchos de esos intercambios debería corresponder a las relaciones geométricas encontradas en las leyes de Minkovsky del espacio-tiempo.

En muchos sentidos, la imagen actual nos recuerda la imagen clásica de

las partículas elementales parecidas a puntos, pero ahora en lugar de partículas en coordenadas desconocidas tenemos partículas en una estructura desconocida. Podemos determinar parcialmente la estructura y podemos hacer predicciones estadísticas sobre el comportamiento de la estructura, pero dado que esas predicciones no están determinadas por variables desconocidas, la teoría clásica de la probabilidad no se aplica. Intuitivamente, podemos esperar establecer bases teóricas para las leyes de probabilidad cuántica examinando las propiedades abstraídas de la estructura. Dado que el marco de referencia macroscópico constituye una forma de comportamiento promedio de las partículas individuales y cada partícula individual es en parte responsable por la generación del marco de referencia macroscópico, las partículas individuales en general no tienen una posición exacta y la incertidumbre en la posición se vuelve una característica descriptiva de las partículas elementales. La incertidumbre matemática es materia de valoraciones lógicas [9]. El efecto de muchas valoraciones lógicas es que cuando una partícula individual es observada desde un marco de referencia macroscópico, aparece desenfocada o borrosa. Esto es como decir que la posición es descrita por muchas valoraciones lógicas de valor verdadero. El argumento de que la verdad lógica funciona para la medición de la posición en tales sistemas obedece a principios fundamentales que son dados por lógica cuántica [10].

Aunque no es fácil ver como deducir las propiedades tetradimensionales del espacio-tiempo de Minkovsky o devolverse de la noción del intercambio de fotones entre partículas cargadas, es posible llevar el argumento en otro sentido. En A Theory of Quantum Space-time [11], he mostrado que las propiedades establecidas empíricamente de las mediciones del espacio-tiempo realmente requieren una subestructura básica de materia en la que los leptones emitan y absorban fotones.

Las leyes de Newton y las ecuaciones de Maxwell pueden también ser deducidas por la misma estructura. La derivación recae pesadamente en la unicidad de la ecuación de Dirac [12] y sugiere fuertemente que la razón para un universo tetradimensional es con un spin es que este es el más pequeño (y quizá el único) número de dimensiones en que existe una solución.

Es posible modificar el tratamiento para llevar la cuenta del intervalo entre la absorción y la emisión de fotones implícita en la reflexión en la segunda partícula cargada. Cuando esto esté hecho, se encontrará que las relaciones geométricas son no euclidianas y resultan de la Relatividad General y de la fuerza de la gravedad. Esto es materia de otro artículo en proceso.

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Referencias:

[1] G. Jaroskiewicz & K. Norton, J. Phys. A, 30, 9 3115-3144 (1997) y referencias citadas ahí. [2] e.g. R.D. Sorkin, Int. J. Theor. Phys., 36, 2759-2781 (1997) y referencias citadas ahí. [3] A Einstein, ‘Zur Elektrodynamik bewegter Körper’ Annalen dur Physik (1905) [4] H. Bondi, Relativity and Common Sense, London Heinemann (1964) [5] H. Bondi, Assumption and Myth in Physical Theory, Cambridge University Press (1967) [6] Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica , 1st edition, preface (1687) [7] William Kingdom Clifford, On the Space Theory of Matter (1870) [8] Georg Friedrich Bernhard Riemann, Über die Hyposesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (On the hypotheses which Lie at the Foundation of Geometry), probationary lecture, Göttingen, (1854) [9] N. Rescher, Many Valued Logic, McGraw-Hill, New York, (1969) [10] C. E. H. Francis, An Interpretation of Quantum Logic, physics/9906030 [11] C. E. H. Francis, A Theory of Quantum Space-time, physics/9905058 [12] P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc., A117, 610 (1928)

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