el simbolismo algebraico en tres álgebras españolas del siglo xvi

Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas

http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984

Volumen 87, noviembre de 2014, páginas 59-68

El simbolismo algebraico en tres álgebras españolas del siglo XVI

Vicente Meavilla Seguí (Universidad de Zaragoza. España.)

Antonio M. Oller Marcén (Centro Universitario de la Defensa de Zaragoza. España.)

Fecha de recepción: 31 de marzo de 2014

Fecha de aceptación: 21 de abril de 2014

Resumen El estudio de la evolución del simbolismo matemático a lo largo de los tiempos

constituye una faceta importante de la Historia de las Matemáticas, dado que presenta a

esta disciplina como un ser vivo, sometido a continuos cambios, y ayuda al lector

moderno a comprender las dificultades con las que se encontraron los matemáticos hasta

establecer un conjunto de signos sencillo y operativo. En este artículo presentamos el

simbolismo algebraico que aparece en tres de los primeros libros sobre Álgebra

publicados en castellano en el siglo XVI: los escritos por el alemán Marco Aurel, por el

jienense Juan Pérez de Moya y por el portugués Pedro Núñez.

Palabras clave Simbolismo algebraico, Historia de las Matemáticas, Siglo XVI, Marco Aurel, Pérez de Moya, Pedro Núñez.

Abstract The study of the evolution of Mathematical symbolism over time is an important issue of

the History of Mathematics because it presents this discipline as a “living being” under continuous change and it helps the modern reader to understand the difficulties faced by

mathematicians until they established a simple and operative system of symbols. In this

paper we present the algebraic symbolism that appears in three of the earliest books on

Algebra written in Spanish during the XVI century by the German-born Marco Aurel, by

Juan Pérez de Moya from Jaén and by the Portuguese Pedro Núñez.

Keywords Algebraic symbolism, History of Mathematics, XVI century, Marco Aurel, Pérez de

Moya, Pedro Núñez.

1. Introducción

La introducción del Álgebra en el aula es probablemente uno de los temas de investigación que más atención recibe desde la Didáctica de la Matemática. Esta atención se justifica tanto en la

importancia del Álgebra como herramienta matemática para los alumnos, como en las dificultades que

estos parecen encontrar en su manejo. En consecuencia, existen numerosos estudios que abordan el

llamado Pensamiento Algebraico desde muy diversos enfoques (Socas, 2011).

Puig (2003, p. 106) señala, ampliando y reformulando trabajos de otros investigadores, seis

características de “lo algebraico”. La primera de ellas es el uso de un sistema de signos. Por lo tanto,

una de las partes en las que se divide la historia de las ideas algebraicas es, precisamente, la historia

del sistema matemático de símbolos del Álgebra (Puig, 2003, p. 107).

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A este respecto, diversos autores, por ejemplo Kieran (1992), distinguen tres fases o etapas en la

evolución del simbolismo algebraico que, utilizando términos introducidos por Nesselman, son:

1. Fase retórica: se usa lenguaje natural exclusivamente.

2. Fase sincopada: se introducen algunas abreviaturas para ciertas cantidades y relaciones.

3. Fase simbólica: se extiende y generaliza el uso del lenguaje simbólico.

La transición hacia la fase simbólica se inició a comienzos del siglo XVI (Malisani, 1999), si bien no se estableció de forma clara hasta finales del siglo XVII (Eves, 1983). Stallings (2000) recorre,

de manera sucinta, la evolución del simbolismo algebraico.

Tzanakis y Arcavi (2000) señalan diversas aportaciones de la Historia de las Matemáticas a la

Educación Matemática. Una de ellas es que permite mostrar las Matemáticas como una disciplina viva

y cambiante en el tiempo. De hecho, pese a que la Historia de las Matemáticas no se incluye entre las ocho competencias que constituyen la Competencia Matemática, sí que se integra (Hoff, 2011, p. 166)

en la descripción de una persona competente en Matemáticas.

A este respecto, Jahnke (2000, p. 299) afirma que “la lectura de fuentes originales debería

convertirse en un aspecto obligado dentro de la formación de profesores de Matemáticas”. En el caso que nos ocupa, los textos antiguos ofrecen una información valiosa concerniente al “simbolismo

histórico” (simbolismo matemático utilizado en otros tiempos y que ya no se usa). Esta información

permite, en particular, comparar y valorar los signos antiguos con respecto a los que se usan hoy en

día.

Figura 1.

Esta comparación y valoración es especialmente interesante en el trabajo con docentes en formación, puesto que hará posible que adquieran una comprensión global del simbolismo matemático

que les permitirá utilizarlo de forma competente para comunicarse con las Matemáticas y comunicar

sobre Matemáticas, dos competencias matemáticas específicas (Niss, 2002) que, además de contribuir a la adquisición de la competencia matemática general, les permitirán comprender mejor algunas de

las dificultades que sus alumnos encuentran al enfrentarse a la notación algebraica.

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En este trabajo vamos a presentar el simbolismo algebraico que aparece en tres libros de matemáticas escritos en el siglo XVI por el alemán Marco Aurel, el jienense Juan Pérez de Moya y el

portugués Pedro Núñez. Estos tres autores (junto con Antich Rocha) constituyeron, en palabras de Rey

Pastor (1926, p. 34) “un grupo homogéneo en que la Aritmética algebraica es la única rama

cultivada”.

2. Breves apuntes biográficos

Aunque no es el objetivo principal del trabajo, pensamos que es interesante ofrecer algunos

breves datos sobre la vida de los autores de los textos que vamos a considerar:

De Marco Aurel (Meavilla, 1989) sabemos, como se lee en la portada del Libro Primero, de

Arithmetica Algebratica (Aurel, 1552), que fue “natural Alemán”. Además ejerció como maestro de escuela en Valencia, y escribió un Tratado muy útil y prouechoso para toda

manera de tratantes y personas aficcionadas al contar (Aurel, 1541).

Del Bachiller Juan Pérez de Moya, sabemos únicamente, tal como se indica en la portada de

algunos de sus libros, que nació antes del 1513 (probablemente en 1512) en Santisteban del Puerto, Jaén. Estudió en Salamanca y Alcalá de Henares. Aunque no fue profesor

universitario, posiblemente se dedicó a la enseñanza de las Matemáticas. En 1536 obtuvo

una capellanía en su pueblo natal y, ya muy mayor, fue canónigo de la Catedral de Granada,

donde murió en 1596. Además de algunas obras de carácter religioso, Juan Pérez de Moya escribió varios libros de contenido científico-matemático en los que procuró divulgar los

conocimientos de su época utilizando un lenguaje cercano, claro, preciso y comprensible. La

temática de dichos textos transita desde los “libros de cuentas” hasta el álgebra simbólica (“regla de la cosa”); pasando por la aritmética, la geometría, la filosofía natural, la

navegación, la geografía, la astronomía o la cosmografía (Meavilla, 2005a).

Pedro Núñez nació en Alcácer do Sal (Portugal) en 1502. De origen judío, estudió medicina en

la Universidad de Salamanca y obtuvo el título de medicina en la Universidad de Lisboa en 1525. El 16 de noviembre de 1529 fue nombrado cosmógrafo real por Juan III, y el 4 de

diciembre del mismo año obtuvo una cátedra de Filosofía Moral en la Universidad de

Lisboa. En el año 1534 escribió el primer manuscrito del Libro de Algebra en Arithmetica y

Geometria, aunque esta obra se publicaría casi 30 años más tarde. En 1537 ocupó la cátedra de Matemáticas de la Universidad de Coimbra, que dejó vacante al jubilarse en 1562. Núñez

murió en Coímbra el 11 de agosto de 1578, tras haber sido consultado por el Papa Gregorio

XIII sobre un proyecto de reforma del calendario.

3. Título de capítulo numerado

En el folio 69r del Libro Primero, de Arithmetica Algebratica, Marco Aurel introduce los

“símbolos cósicos”, que coinciden con los usados por Christoph Rudolff en su obra Die Coss de 1525.

Figura 2. Símbolos cósicos de Marco Aurel. (1552, fol. 69r).



Para representar los radicales de índice dos, tres y cuatro, Aurel vuelve a tomar prestada la

notación de Rudolff.

Figura 3. Símbolos radicales de Marco Aurel. (1552, fol. 43r).

Por su parte, Pérez de Moya presenta en primera instancia una notación algebraica en su

Arithmetica practica, y specvlatiua muy parecida a la de Marco Aurel:

Figura 4. Símbolos cósicos de Pérez de Moya. (1562, p. 449).

Sin embargo, unas páginas más adelante (pp. 452-453), se introduce un nuevo simbolismo

justificado del siguiente modo:

“Estos caracteres me ha parecido poner, porque no auia otros en la

Emprenta. Tu podras vsar quando hagas demandas de los que se pusieron en

el segundo capitulo, porque son mas breues. En lo demas todos son de vna

condicion.”

Figura 5. Símbolos cósicos alternativos de Pérez de Moya. (1562, pp. 452-453).




Aunque, como acabamos de señalar, Pérez de Moya justifica la introducción de estos nuevos símbolos en base a necesidades de imprenta, lo cierto es que este simbolismo es casi idéntico al

utilizado por Luca Pacioli en la Summa de Aritmetica, Geometria, Proportioni et Proportianalita

publicada en 1494.

Finalmente, Pedro Núñez, en su Libro de Algebra en Arithmetica y Geometria, introduce un simbolismo algebraico para las potencias de la incógnita (fol. 24v) y para los radicales (fols. 44r-46r)

muy parecido al utilizado por el italiano Luca Pacioli en su Summa y por el español Juan Pérez de

Moya en su Arithmetica practica, y specvlatiua:

Figura 6. Símbolos para las potencias de la incógnita de Pedro Núñez. (1567, fol. 24v)

Figura 7. Ejemplo de símbolos radicales de Pedro Núñez. (1567, fol. 45v).

En la siguiente tabla presentamos comparativamente los distintos símbolos y denominaciones utilizadas por cada autor para referirse a las sucesivas potencias de la incógnita, junto con su

equivalente actual.

Marco Aurel Pérez de Moya Pedro Núñez Actual

Nombre Signo Nombre Signo Nombre Signo

Dragma o número Número n - - x0

Radix o cosa Cosa co Cosa co. x1

Censo Censo ce Censo ce. x2

Cubo Cubo cu Cubo cu. x3

Censo de censo Censo de censo cce Censo de censo ce.ce. x4

Sursolidum o

primo relato Primero relato R Relato primo re.pº x5

Censo y cubo Censo y cubo cecu Censo de cubo o cubo de censo

ce.cu. ó cu.ce.

x6

Bissursolidum Segundo relato RR - - x7

Censo censo de

censo Censo de censo

de censo ccce - - x

8

Cubo de cubo Cubo de cubo ccu - - x9

Tabla 1.



A continuación una tabla similar, pero relativa a los signos radicales.



Raíz cuadrada

Raíz

quadrada r ó R Raíz cuadrada R o 2R

Raíz cúbica

Raíz cúbica rrr ó

RRR Raíz cúbica 3R

Raíz cuadrada de

raíz cuadrada

Raíz

quadrada de Raíz

quadrada

rr ó RR Raíz cuarta RR o 4R

- - - - Raíz quinta 5R

Raíz quadrada universal

Raíz

quadrada

universal

ru ó RU ó RV

Raíz cuadrada

universal R.V. (...)

Raíz cúbica universal

Raíz cúbica universal

rrru ó

RRRU ó

RRRV

- - 3 (...)

Raíz de raíz

universal

Raíz quadrada de

raíz quadrada

universal

rru ó

RRU ó RRV

- - 4 (...)

- - - - Raíz ligada

L.R.*. .R.* L.R.*. .R.*

Tabla 2.

Además de estos signos, también se introducían en algunos casos símbolos para denotar

operaciones aritméticas o la igualdad.



Más + Más p. Más p. +

Menos – Menos m. Menos m. –

/ / Igual ig. / / =

Tabla 3.

Por último, como detalle curioso, señalar que Marco Aurel y Pérez de Moya incluyeron un símbolo específico (q.) para denotar una entidad llamada “quantidad” y que se corresponde a lo que

modernamente consideraríamos una segunda incógnita del problema.

Figura 8. Regla de la cantidad. Marco Aurel (1552, fol. 108r).




A la vista de las tablas anteriores podemos hacer algunos comentarios:

1. El simbolismo de Aurel es más moderno que el de sus dos contemporáneos. Se aleja más del álgebra sincopada puesto que utiliza símbolos “abstractos” en lugar de abreviaturas de

términos.

2. Sin embargo, con la notación de Aurel resulta difícil (y nada obvio) construir los signos correspondientes a potencias elevadas de la incógnita o a radicales de índices grandes. Esto

no sucede en el caso de Pérez de Moya o Núñez. Aunque no lo expresen explícitamente,

resulta autoevidente el modo en que se referirían, caso de necesitarlo, a una raíz séptima; por ejemplo.

3. Sólo Pérez de Moya emplea un signo para denotar la igualdad, si bien es cierto que se trata

de una mera abreviatura. Tanto Aurel como Núñez utilizan la expresión completa “igual a”,

“hacen” u otras similares. 4. Pedro Núñez es el único autor que no utiliza ningún símbolo especial para denotar los

“escalares”. Esto lo aproxima a la práctica actual.

Aunque son tres los autores que hemos analizado y cada uno de ellos presenta sus propias

particularidades, lo cierto es que, esencialmente, son dos las notaciones que hemos encontrado puesto que las de Pérez de Moya y Núñez son muy similares. El mejor modo de comparar ambos métodos de

escritura algebraica es presentar algunos ejemplos.

En la figura siguiente se muestra el modo en que Marco Aurel escribe la expresión que

actualmente denotamos por 6x + 4 = 46:

Figura 9. (Aurel, 1552, fol. 80v).

Pérez de Moya escribiría esta expresión como:

Mientras que Pedro Núñez pondría:

La diferencia entre ambos métodos de notación salta aún más al a vista observando algunos

ejemplos de lo que hoy en día llamaríamos álgebra de polinomios. En la figura siguiente se muestra el

producto de polinomios (4x2 + 4x + 4) × (2x – 2) = 8x

3 – 8 en el texto de Marco Aurel:

Figura 10. (Aurel, 1552, fol. 73v).

6. co. p. 4. hacen 46.

6. co. p. 4. n. ig. a. 46.

n.



Por otra parte, en el cuadro siguiente se presenta la suma de polinomios: (9x5 + 5x

4 – 9x

3 – 3x

2 +

8x – 6) + (7x5 + 4x

4 – 7x

3 + 5x

2 – 9x + 6) = 16x

5 + 9x

4 – 16x

3 + 2x

2 – x tal y como aparece en la

Arithmetica de Pérez de Moya:

Figura 11. (Pérez de Moya, 1562, p. 510).

Estas comparaciones sacan a la luz ventajas e inconvenientes de cada uno de los dos sistemas de símbolos. Sin embargo ambos presentan un mismo problema principal que dificulta su uso: la

necesidad de utilizar un símbolo diferente para cada potencia de la incógnita. Ninguno de ellos está

preparado para poder trabajar simbólicamente con potencias mayores que diez.

4. Una actividad de enseñanza y aprendizaje para profesorado en formación

Como hemos apuntado en la introducción, el trabajo de aspectos históricos de las Matemáticas

(Meavilla, 2005b) es especialmente interesante con profesorado en formación, especialmente si lleva a

una reflexión sobre la naturaleza y la evolución de los conceptos involucrados.

A modo de ejemplo, hemos diseñado la siguiente secuencia de actividades pensada para que el

profesorado de Secundaria en formación pueda comparar y valorar los signos antiguos en relación con

los que se usan hoy en día.

Figura 12.




1. Observa la portada anterior. Busca información sobre el autor del libro. 2. En el Libro de Algebra en Arithmetica y Geometria hemos encontrado el problema

siguiente:

Divide el número 12 en dos partes tales que la diferencia entre el cuadrado de la primera y el cuadrado de la segunda sea 30.

3. Resuélvelo indicando paso a paso cómo lo has hecho.

4. Para escribir ecuaciones, polinomios, etc., Pedro Núñez utilizó, entre otros, los siguientes símbolos:

co. = x

ce. = x2

p = más m = menos

Además, Núñez usó abreviaturas como las que sueles utilizar para enviar mensajes con el

móvil (por ejemplo, q = que). Utilizando este «vocabulario» traduce el siguiente texto en el que se resuelve el problema

del apartado 2:

Figura 13.

5. Compara tu solución con la que aparece en el texto original. ¿Son iguales? ¿En qué se

diferencian? 6. Compara el simbolismo algebraico actual con el utilizado por Núñez. Indica las ventajas o

inconvenientes de cada uno de ellos. Justifica tu respuesta.

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Vicente Meavilla Seguí. Licenciado en Ciencias (Sección de Matemáticas) por la Universidad de

Zaragoza (1976) y Doctor en Filosofía y Letras (Pedagogía) por la Universidad Autónoma de Barcelona

(1998) con una tesis sobre la influencia de las interacciones verbales sobre el proceso de enseñanza y

aprendizaje del álgebra elemental. Ha publicado diversos artículos y libros sobre la influencia de

la historia de las matemáticas sobre la enseñanza y el aprendizaje de dicha disciplina. En la actualidad es profesor de la Facultad de Ciencias Sociales y Humanas (Campus de Teruel) y miembro del

Departamento de Matemáticas (Área de Didáctica de la Universidad de Zaragoza.

Email: [email protected]

Antonio M. Oller Marcén. Licenciado en ciencias Matemáticas (2004) por la Universidad de Zaragoza y Doctor por la Universidad de Valladolid (2012) con una tesis sobre la enseñanza de la Proporcionalidad

aritmética en Secundaria. Ha publicado diversos trabajos sobre Educación Matemática, Álgebra y Teoría

de Números. Actualmente es profesor del Centro Universitario de la Defensa de Zaragoza.

Email: [email protected]

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

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