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SIGMA

31LEONHARD EULER Y EL RECORRIDO DEL CABALLO DE AJEDREZ

Santiago Fernández (*)

INTRODUCCIÓN

En febrero de 2003 un niño de 9 años causó una enorme sensación en un programa concurso de apuestas, de gran audiencia, en la televisión alemana. El chico llamado Xaver Neuhäusler, apostaba que era capaz de completar un recorrido del caballo por el tablero de ajedrez, com-pletamente de memoria, empezando por cualquier casilla del tablero. A Xaver se le taparon los ojos y la casilla de inicio se le fue comunicando cada vez. Sin mucho esfuerzo el mucha-cho fue dictando la secuencia de 64 casillas que servían para completar el recorrido perfecto ¿no es asombroso?

EULER Y EL RECORRIDO DEL CABALLO

Como es sabido el genio de L.Euler abarcó casi todos los campos posibles de las matemáticas, pero también dedicó su tiempo a resolver problemas y acertijos de las llamadas matemáticas divertidas. En particular en una carta, escrita el 26 de abril de 1757, y dirigida a su amigo C. Goldbach, le hace constar la solución del siguiente problema:

¿Puede la pieza del caballo de ajedrez moverse en el interior de un tablero de ajedrez vacío y entrar en contacto con cada una de las 64 casillas, una vez y sólo una vez?

(*)AsesordeMatemáticasdelBerritzegunedeAbando.

He aquí lo que entre otras cosas escribe Euler en esa interesante carta:

“...El recuerdo sobre un problema que se me propuso en cierta ocasión, no hace mucho, me sirvió de motivo para realizar algunas investigaciones finas, en las cuales un análisis ordinario, según me parece, no tiene ninguna utilidad. La cuestión radica en lo siguiente. Es preciso recorrer con un caballo de ajedrez las 64 casillas del tablero, de tal forma que por cada una de ellas pase una sola vez. Con este fin, todas las casillas, por las que conse-cutivamente pasa el caballo durante las jugadas, se cubren con sellos. Pero a esto se añade una condición más, o sea, el comienzo de las jugadas debe realizarse desde una casilla determinada. Esta última condición según me parece, dificulta mucho la cuestión. No obs-tante, yo afirmo quo si el trayecto completo que recorre el caballo es regresivo, o sea, si el caballo puede pasar de la última casilla otra vez a la primera, entonces, se liquida también esta dificultad. Después de realizar algunas investigaciones sobre el tema, por fin, encontré un procedimiento claro para el hallazgo de cualquier cantidad de soluciones semejantes (su número, sin embargo, no es infinito) sin hacer pruebas. El caballo juega conforme el orden indicado por números. Puesto que de la última casilla 64 puede pasar a la 1, entonces, el trayecto completo que recorre es regresivo”.

Euler resolvió dicho problema en la memoria Solution d’une question curieuse qui ne paroit soumise a aucune analyse (1766) donde también ofreció soluciones sobre tableros rectangu-lares de distintas dimensiones (4 x 4, 5 x 5, 6 x 6, 10 x 10, 3 x 4, 3 x 7, 4 x 5, 4 x 6, 4 x 7, 5 x 6, 6 x 6) y sobre tableros en forma de cruz. Mostramos aquí algunas de sus soluciones.

El artículo completo de Euler, por cierto muy interesante y fácil de seguir, se puede encontrar en el archivo de Euler (E309).

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Santiago Fernández

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Leonhard Euler y el recorrido del caballo de ajedrez

Este problema, parece ser, que ya era conocido por algunos matemáticos árabes pero no fue divulgado en Europa hasta 1720, difundido por el matemático Brook Taylor (1685-1731). Sin embargo, la primera solución publicada se acredita a Moivre (1667-1754). El acertijo se había atacado de diversas maneras. Euler lo hizo de una manera muy personal e intuitiva, Años más tarde T.P. Kirkan (1805-1895) y W.R. Hamilton fueron capaces de elaborar aún más las origi-nales ideas de Euler y extenderlas notablemente. Actualmente este problema del camino del caballo se considera típico en cualquier estudio de teoría de grafos y ha resultado de enorme trascendencia para resolver problemas relativos a recorridos hamiltonianos(2).

Abraham de Moivre B. Taylor

Años después de encontrar los recorridos que seguía el caballo danzarín, Euler indagó en la busqueda de respuestas a la trayectoria seguida por el caballo. En particular le preocupaban aquellas trayectorias que describían cuadrados mágicos o casi mágicos. Tal trabajo se puede encontrar en su artículo: Recherches sur une nouvelle espece de quarres magiques (E530). Una de las soluciones propuestas es la siguiente:

1 48 31 50 33 16 63 18

30 51 46 3 62 19 14 35

47 2 49 32 15 34 17 64

52 29 4 45 20 61 36 13

5 44 25 56 9 40 21 60

28 53 8 41 24 57 12 37

43 6 55 26 39 10 59 22

54 27 42 7 58 23 38 11

Esta es la increíble solución de Euler, en la que filas y columnas suman 260.

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Actualmente se sabe que los recorridos completamente mágicos no son posibles en tableros de n x n casillas, con números impares y se cree que tampoco son posibles en el tablero de ajedrez de 8x8. El recorrido “más mágico” del caballo en un tablero de ajedrez es el que se ilustra en la imagen inferior izquierda, en el que las diagonales principales suman 348 y 168 respectivamenete. Combinando dos medios recorridos, como en la imagen de la derecha, se puede obtener un recorrido completamente mágico, en el que las diagonales suman 260, pero los puntos 32 y 33 no están unidos por un salto de caballo de ajedrez.

CUANTOS RECORRIDOS HAY?

El número de recorridos posibles es sorprendentemente enorme. En realidad es tan grande que su cuenta está fuera del alcance humano, incluso empleando los más rápidos ordenado-res existentes en la actualidad. El problema debe abordarse de otra manera. En 1995 Martin Löbbing e Ingo Wegener proclamaron que el número total de recorridos del caballo es de 33.439.123.484.294.

En 1997 Brendan McKay usó otro método (dividiendo el tablero en dos mitades) y obtuvo como resultado 13.267.364.410.532. Para darle una idea de la magnitud de dichas cifras, un ordenador investigando los recorridos a la velocidad de un millón de recorridos por minuto necesitaría más de 25 años para calcular el número de recorridos dado por McKay.

NOTAS

(1) �Loqueseconocecomorecorrido del caballoesunasecuenciade64jugadasconelcaballoejecutadasdeformaquesólopaseunavezporcadacasilladeltablero.

(2) �Unagráficatieneuncamino hamiltonianosiexisteunrecorridoquevisitacadavérticeexactamenteunasolavez.

BIBLIOGRAFÍA

Las obras de Euler on-line: http://www.math.dartmouth.edu/~euler/