el área de una figura - eneg-pensmat · 2 cm 3 cm 4 cm 4.5 cm 2.5 cm 2.5 cm c a b d 6 7 crea＝...
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32
Cuenta los cuadrados
para calcular el aacuterea
1 Aacuterea de un paralelogramo
1 A continuacioacuten se muestran tres tipos de cuadrilaacuteteros
① Mide la longitud de los lados de los cuadrilaacuteteros y
② Compara las aacutereas de
y
iquestCon queacute figura se
relaciona el aacuterea de un
paralelogramo
Piensa coacutemo podriacuteas calcular el aacuterea de los paralelogramos usando la
de los triaacutengulos
iquestCoacutemo podriacuteas calcular el aacuterea de las siguientes figuras
Debes encontrar el aacuterea basaacutendote en la longitud de los lados2
1cm1cm
②①
1cm1cm
1cm1cm
1cm
1cm
③ Piensa coacutemo podriacuteas calcular el aacuterea de cada cuadrilaacutetero
El aacuterea de una Figura
1cm1cm
8
iquestTodos los lados
tienen la misma
longitud
Parece que
sus aacutereas son
diferentes
El aacuterea de un rectaacutengulo se calcula multiplicando ldquolargo xanchordquo El aacuterea de un cuadradose calcula ldquoladordquox ldquoladordquo
1
54
La idea de Yoshiko
Como es un rectaacutengulo el aacuterea
se calcula aplicando la foacutermula
＝ largo ancho
La idea de Akira
Si transformamos el paralelogramo en un rectaacutengulo podremos calcular
su aacuterea
El aacuterea del paralelogramo ABCD es la misma que la del rectaacutengulo AFED
Aacuterea del paralelogramo = Aacuterea del rectaacutengulo AFED
Elijamos el lado BC como la base del paralelo-
gramo Los segmentos AG y EF son perpendiculares a
la base BC cualquier otra liacutenea
trazada de la misma manera
tiene la misma longitud que
AG y EF La longitud de AG
es la altura del paralelogramo
respecto a la base BC
④ Obteacuten las longitudes necesarias para encontrar el aacuterea del
paralelogramo y calcula su aacuterea
⑤ iquestQueacute longitudes debes considerar para calcular el aacuterea de los
cuadrilaacuteteros y
＝ AF EF
＝ ＝
＝ ＝
Respuesta cm2
Respuesta cm2
6 cm
5 cm
（a）
A D
B C
A D
FB EC
1 cm
1 cm
A D
B C
E
F G H
I
J
K L M
N
Aacuterea de un paralelogramo＝base times altura
Yo corto sobre esta liacutenea Yo corto sobre esta liacutenea
EA
B G F C
D
Base
AlturaAltura
2 cm
3 cm 4 cm
45 cm
25 cm25 cm
C
A
DB
76
Aacuterea＝ ＝ (cm2)
① Elige al segmento BC como la base y mide la altura para calcular el aacuterea
2 Encuentra el aacuterea del siguiente paralelogramo
Aacuterea＝ ＝ (cm2)
② Elige al segmento CD como la base y mide la altura correspondiente para calcular el aacuterea
① ②Calcula el aacuterea de estos paralelogramos
3 Encuentra queacute debes hacer para calcular el aacuterea de este
paralelogramo utilizando BC como base
iquestCuaacutel es la
altura
① Analiza estas ideas para calcular el aacuterea del paralelogramo
② iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este paralelogramo
La idea de Kaoru La idea de Youichi
La distancia entre las rectas y es la altura del
paralelogramo
ABCD si el lado
BC es la base
1cm1cmA D
B C
Base
Altura
Base Altura
A D
B C
Altura
Base
AlturaAltura
La altura depende de la base
Mide las
longitudes que
necesitas
98
Piensa en lo anterior utilizando la foacutermula para calcular el aacuterea de un
paralelogramo
4 Calcula el aacuterea de estos paralelogramos
Los paralelogramos que tienen la misma base y altura
tienen aacutereas iguales
5 Construye un paralelogramo cuya aacuterea mida 48 cm2 y su altura sea 8 cm
iquestCuaacutentos cm debe medir su base
8 ＝ 48
base altura aacuterea
2 Aacuterea de un triaacutengulo
1 Calculemos el aacuterea de este triaacutengulo
① Trata de utilizar varios meacutetodos para calcular el aacuterea
Escribe tu idea
4 cm 4 cm 4 cm
8 cm① ② ③
8
1cm
1cmA
B C
iexclPodemos trazar
muchos paralelogramos
cuyas aacutereas midan lo mismo
Ya sabemos coacutemo calcular el
aacuterea de un paralelogramo
iquestSeraacute posible transformar un
triaacutengulo en un paralelogramo
iquestPodemos transformar el
triaacutengulo en un rectaacutengulo
tal y como lo hicimos con
el paralelogramo
1110
② Trata de explicar las ideas que
tuvieron estos cuatro alumnos
③ iquestQueacute aspectos similares presentan estas cuatro ideas
iquestCuaacutel transforma el triaacutengulo en un rectaacutengulo
iquestCuaacutel transforma el triaacutengulo en un paralelogramo
iquestCuaacutel transforma el triaacutengulo en una figura con la misma aacuterea
iquestCuaacutel transforma el triaacutengulo en una figura con el doble
de aacuterea
La idea de Tomoko
La idea de Akira La idea de Hitomi
La idea de Masaru
④ Analiza las ideas que transforman el triaacutengulo en un rectaacutengulo o en
paralelogramo e identifica los lados que tienen la misma longitud que
en el triaacutengulo original
⑤ Piensa coacutemo construir la foacutermula que se necesita para calcular el aacuterea de
un triaacutengulo
La idea de Tomoko
Como uno de los lados del rec-
taacutengulo es la mitad de AI entonces
Aacuterea = (AI2)BC
La idea de Masaru
Como la altura del paralelogramo
es la mitad de AG entonces
Aacuterea = base(AG2)
La idea de Akira
Como el aacuterea del triaacutengulo es la
mitad de la del rectaacutengulo DBCE y
la longitud de uno de los lados del
rectaacutengulo es AF por lo tanto
Aacuterea = (AFBC)2
La idea de Hitomi
Como el aacuterea del triaacutengulo es la
mitad de la del paralelogramo
ABCD por lo tanto
Aacuterea = basealtura2
2 Analiza las longitudes que necesitas para calcular el aacuterea del
siguiente triaacutengulo iquestCuaacutel es su aacuterea
A
D HE F G
B I C
A
FD E
B G C
AD E
B F C
A D
B C
1cm
1cm
iquestAlguna de las ideas es
igual a la tuya
1312
Desde el veacutertice A traza la recta
perpendicular AD al lado BC Si
tomamos el lado BC como base
la longitud del segmento AD
es la altura del triaacutengulo
3 Calcula el aacuterea de
este triaacutengulo midiendo las
longitudes necesarias
Calcula el aacuterea del triaacutengulo ABC como
se indica
① Cuando el lado BC es la base
② Cuando el lado AB es la base
4 Piensa coacutemo calcular el aacuterea de
este triaacutengulo considerando el lado
BC como su base
① Explica las ideas que propusieron
estos dos alumnos
La idea de Hitoshi La idea de Yukie
Traza una recta paralela al lado BC que pase
por el veacutertice A La distancia entre las rectas
y es la altura
del triaacutengulo si el
lado BC es la base
② Calcula el aacuterea de un triaacutengulo cuya base mide 8 cm y su altura 10 cm
Utiliza la foacutermula del aacuterea y luego compaacuterala con el resultado obtenido en ①
Calcula el aacuterea de
las siguientes
figuras
A
DB CBase
Altura
C
A
B
C
A
B
9
6
72
75
6
cm
cm
cm
cm
A
DCB 8 cm 4 cm
10 cm
Base
Altura AlturaAltura
Altura
A
B C
5 cm
6 cm
① ②
Aacuterea de un triaacutengulo＝base times alturadivide2
13 cm
6 cm
7 cm
iquestQueacute es lo que pasa cuando cada
uno de los 3 lados se elige como
base iquestCuaacutel seriacutea la altura del
triaacutengulo en cada caso
1514
10 2 ＝ Area
5 En la figura de abajo las rectas AB y CD son paralelas Calcula el aacuterea de
cada uno de los triaacutengulos
6 La figura que se muestra a la derecha
es un triaacutengulo rectaacutengulo
① Calcula su aacuterea
② Encuentra la altura del triaacutengulo
considerando que el lado BC es la base
Si la base y la altura de dos triaacutengulos son respectivamente
iguales tambieacuten sus aacutereas son iguales
Calcula la altura de cada uno de
los triaacutengulos que se muestran a
la derecha si los lados AD y BC
son respectivamente sus bases
Base Altura
Coacutemo calcular el aacuterea de otras figuras
1 Imagina coacutemo podriacuteas calcular el aacuterea de este cuadrilaacutetero
2 Mide las longitudes que sea
necesario conocer y calcula el
aacuterea de este trapecio
① Divide el cuadrilaacutetero en figuras de las cuales ya sepas coacutemo
calcular el aacuterea
② Mide las longitudes que se requieren para calcular el aacuterea
Es posible calcular el aacuterea de
cuadrilaacuteteros y pentaacutegonos
dividieacutendolos en triaacutengulos
6 cm
3 cm 3 cm 3 cm
3 cm
① ② ③ ④
A B
C D
8 cm
10 cm
cm
6 cm
A
B C
2 cm
4 cm5 cm10 cm
A B
DC
C
A
D
B
C
AD
B
3
1716
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea de un paralelogramo
iquestCuaacutel de los dos elementos de la foacutermula cambia cuando el aacuterea cambia
iquestQueacute permanece sin cambios
② Completa la siguiente tabla
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la base se duplica
iquestSi se triplica
＝
1 Construyamos un paralelogramo maacutes grande uniendo varios paralelo-
gramos como se muestra en la figura de abajo
4 Relacioacuten entre la longitud de los lados y el aacuterea
Base (cm) 3 6
Aacuterea (cm2)
Altura (cm) 1 2 3
Aacuterea (cm2) 3
La altura de un paralelogramo se incrementa en tramos
de 2 cm como se muestra a la derecha
① Construye una tabla que muestre la relacioacuten que
hay entre la altura y el aacuterea de esta figura
② Analiza la tabla y escribe tus conclusiones
2 La altura de un triaacutengulo se incrementa
en tramos de 1 cm como se muestra a la
derecha
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea
de un triaacutengulo iquestCuaacutel de los dos elementos
de la foacutermula cambia junto con el aacuterea
iquestQueacute permanece sin cambios
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la base se duplica
iquestY cuando se triplica
④ Cuando el aacuterea de un triaacutengulo es 30cm2 iquestcuaacutentos cm mide su altura
② Completa la tabla de abajo
＝
La base de un triaacutengulo rectaacutengulo se incrementa en tramos de 1 cm como se
muestra en la figura de la derecha
① Construye una tabla que muestre la relacioacuten
que hay entre la base y el aacuterea de estos triaacutengulos
② Si el aacuterea de un triaacutengulo es de 16cm2
iquestcuaacutentos cm mide su base
5 cm
3 cm
4 cm
6 (cm)54321
6 cm
1
2
3
4(cm)
3 cm
6 cm
4 cm
2 cm
Base y aacuterea de un paralelogramo
Altura y aacuterea de un triaacutengulo
1918
5 cm
2 cm
Escribe la foacutermula para
calcular el aacuterea de un paralelogramo
Aacuterea del paralelogramo ＝
Calcula el aacuterea de estos paralelogramos
Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea
de un triaacutengulo
Aacuterea del triaacutengulo ＝
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
Calcula el aacuterea de
este cuadrilaacutetero
Tracemos paralelogramos cuya
base mida 5 cm y su altura 2 cm para
construir un paralelogramo maacutes grande
como se muestra en la figura de abajo
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea de un paralelogramo
iquestCuaacutel de los dos elementos de la foacutermula cambia junto con el aacuterea
iquestQueacute permanece sin cambios
② Completa la tabla de abajo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(cm)
8 cm
4 cm
4 cm
3 cm
9 cm6 cm
9 cm
Base
Altura
3 cm7 cm
1 cm
2 cm
5 cm
Altura y aacuterea de un paralelogramo
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la altura se duplica
iquestCuando se triplica
Altura (cm) 2 4
Aacuterea (cm2)
Paacutegina 5
Paacutegina12
Paacuteginas 6~7
Paacutegina 15
Paacuteginas 12~13
Base
Altura
6 Paacuteginas 16~17
① ②
②①
1
2
3
4
5
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
Traza un triaacutengulo cuya aacuterea sea la
misma que la del triaacutengulo de la derecha
Explica por queacute son iguales
Calcula el aacuterea de las secciones coloreadas en las siguientes figuras
6 cm
3 cm35 cm
8 cm
5 cm
7 cm
6 cm
2 cm
4 cm 8 cm6 cm
3 cm
1 cm1 cm
15 cm135 cm2
1 cm 5 cm2 cm
1 cm
6 cm
4 cm
5 cm
5 cm
8 cm 10 cm
6 cm
5 cm
① El grupo de Hiroshi midioacute el
parque e hizo el diagrama que
muestra a la derecha iquestCuaacutentos
m2 mide esa aacuterea
② Formen equipos y calculen
el aacuterea de diferentes lugares
en su entorno
4
②①
④③
iexclLa figura de abajo es el diagrama de un parque iexclEl reto es calcular su aacuterea
52
74
163
101
178m
m
m
mm
②① Paralelogramo ③ Trapecio
Ir a la paacutegina 86
Encontrar la base y la altura usando foacutermulas
El triaacutengulo de la derecha tiene una
altura de 15 cm y su aacuterea es 135 cm2
iquestCuaacutentos cm mide su base
bull Encontrar maneras para calcular el aacuterea
bull Encontrar la altura o la base cuando se conoce el aacuterea
Paralelogramo
Paralelogramo
2120
bull Trazar un triaacutengulo con la misma aacuterea
iquestQueacute
longitudes
necesitas
iexclCalculemos el aacuterea
del parque
3
2
1
Ir a la paacutegina 21 Ir a la paacutegina 89
2322
Expresa las siguientes magnitudes usando fracciones impropias y fracciones mixtas
iquestCuaacutel es la longitud en metros en cada caso Escribe la respuesta usando fracciones
La respuesta se obtiene dividiendo 1 m en 5 partes iguales
El segmento que se obtiene al dividir 1 m en 10 partes iguales
①
②
La longitud de la parte que excede a 1 m nota que 5 segmentos forman 1 m
1 m
1 m
③ 1 m
① ②
① Encuentra la marca que indica exactamente l
② Encuentra la marca que indica exactamente l
1 ＝2
＝ ＝
1 ＝3
＝
m mdl dl
m
m
m
0 1 2(m)
2
Fracciones9
Vertimos jugo de naranja en
un recipiente graduado usando
fracciones
El tamantildeo de un objeto o el
volumen que estaacute dividido en
secciones iguales se expresa
como una fraccioacuten
Las fracciones tambieacuten pueden
usarse para expresar nuacutemeros
que son mayores que 1
Una fraccioacuten mixta es mayor que 1
Una fraccioacuten impropia es igual o
mayor que 1
1 dl 1 dl
1 dl
1
1
2
1
3
① Lee en voz alta y hazlo de la
fraccioacuten menor a la mayor
② Reemplaza con 2 los numeradores del inciso ① y vuelve a leer
las fracciones en voz alta de la menor a la mayor
2524
( )
1 Sigue las instrucciones de abajo usando la recta numeacuterica
Fracciones equivalentes ③ Observa la recta numeacuterica de la paacutegina anterior y encuentra fracciones
que sean equivalentes
④ Observa la recta numeacuterica y encuentra otras fracciones que sean
equivalentes a las del inciso anterior
⑤ Platica con tus compantildeeros sobre lo que has aprendido y haz un
resumen
① Cuando el denominador es el mismo el valor de
una fraccioacuten se incrementa si el numerador aumenta
② Cuando el numerador es el mismo el valor de una
fraccioacuten disminuye cuando su denominador aumenta
③ Algunas fracciones tienen el mismo valor aunque sus
denominadores y numeradores sean diferentes
Encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten que sea mayor en cada pareja Si son iguales
marca ambas fracciones
1 ＝2
＝ ＝ ＝
1 ＝3
＝
3 ＝4
① 3 3
85 ( )② 3 5
77 ( )③ 1 4
82El valor de la fraccioacuten disminuye
cuando el numerador es el mismo y
el denominador aumenta
1
21 1
314
15
1 11 1 16 7 8 9 10
O OO
O
2726
② Yukie
Suma y resta con fracciones
Suma con fracciones
1 Akira y Yukie hacen cafeacute con leche iquestCuaacutentos litros hizo cada uno
① Akira
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l1
5
1 ＋ ＝5
2
5
3 ＋ ＝6
4
6
Cuando se suman fracciones con el mismo denominador
se suman los numeradores y los denominadores quedan
igual
2 Piensa coacutemo hacer este caacutelculo
3 ＋ ＝8
5
8＝
3 ＋8
5
8
3 Construye sumas utilizando fracciones
propias con el mismo denominador
utiliza nuacutemeros del 1 al 9 Luego
calcula los resultados
＋
①
④
2 ＋ 1
44
2 ＋ 2
33
②
⑤
4 ＋ 1
77
2 ＋ 4
55
③
⑥
2 ＋ 3
88
3 ＋ 6
99
O O O
2
5
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l3
6
4
6
1
5
＝
Piensa cuaacutentas veces
se repite
Puedo expresarlo como
un nuacutemero mixto
Podemos comparar faacutecilmente
el valor de una fraccioacuten si la
expresamos como nuacutemero mixto
o como entero
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l1 l
2 l
2
③ Si repartimos equitativamente 2 litros entre 3 alumnos
iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
Colorea la porcioacuten que
le toca a un alumno
iquestCuaacutentos litros es esa porcioacuten
① Realiza estas operaciones utilizando los nuacutemeros del 1 al 5 en el
2928
①
④
5 － 4
88
3 － 2
44
②
⑤
3 － 3
77
13 － 5
1212
③
⑥
5 － 1
66
－12
5
Cuando hacemos restas con fracciones que tienen el
mismo denominador restamos los numeradores y los
denominadores quedan igual
Resta con fracciones
4 iquestCuaacutento maacutes grande es de litro de jugo que
de litro de leche Piensa coacutemo calcular la respuesta
7
8
4
8
7 － ＝8
4
8
O O O
5 Piensa coacutemo hariacuteas las siguientes restas4 －3
2
3－1
5
7②①
3 Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
Cocientes y fracciones
1 Si repartimos equitativamente 2 litros
de leche entre alumnos iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
2
2 2 2 2 2② Agrupa las expresiones de arriba en los siguientes grupos dependiendo
del tipo de resultado
Cocientes que sean nuacutemeros enteros
Cocientes que sean nuacutemeros decimales
Cocientes que contengan un nuacutemero indefinido de diacutegitos en su
parte decimal
23 es 0666 Este nuacutemero tiene una cantidad indefinida de diacutegitos en
su parte decimal
O O
（ ）（ ）（ ）
minus ＝
La diferencia es cuaacutentos
octavos maacutes hay
Analicemos coacutemo expresar el cociente de una divisioacuten cuando tiene un
nuacutemero indefinido de diacutegitos en su parte decimal
Leche 1l Leche 1l
1 l 1 l
1 l 1 l
1 l
3130
23＝
Cantidad para un alumno cuando 1 litro se divide en 3 partes iguales l
La cantidad para un alumno cuando se reparten 2 litros en 3 partes iguales l
31
31
2 iquestCuaacutentos metros mide cada tramo cuando una cuerda de 3 metros se
divide en 4 partes iguales
① Escribe una expresioacuten matemaacutetica para este problema
② iquestCuaacutel es la longitud de una parte
① 16 ② 58 ③ 43 ④ 97
Reescribe las siguientes divisiones como fracciones
34＝
La divisioacuten de un nuacutemero entre otro
puede expresarse como una fraccioacuten ＝
0
0
0
1
1
2
2 3
41
m
m
m
(m)
(m)
(m)
1
Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
3 Si dividimos una cinta de 2 metros en 5 partes iguales iquestcuaacutentos metros
mediraacute cada una de esas partes
① Expresa el cociente de estas divisiones como una fraccioacuten y despueacutes
como nuacutemero decimal25＝
② Ubica en esta recta numeacuterica la fraccioacuten y tambieacuten su
valor decimal
Para expresar una fraccioacuten como nuacutemero decimal o como nuacutemero
entero dividimos el numerador entre el denominador
25＝
0 02
0
1
1
2
51
(m)
2 (m)
4 iquestQueacute cantidad es mayor iquest l o 07 litros3
5
5 Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales
3 ＝1 ＝855
8
5
29
100
3
10
＝
＝12412
4＝
②
③
①
④
14
24
34
3 ＝ 3 5 ＝5
＝
＝La divisioacuten puede expresarse
como una fraccioacuten
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l
l l
l
25
3332
podemos pensarlo como 19 veces y obtenemos
6 Veamos coacutemo expresar 2 y 5 como fracciones
＝ 23＝0666hellipaproximadamente 0672
3
2＝21＝ 5＝51＝
2＝42＝ 5＝102＝
2＝8 5＝30 ＝＝
2
1
4
2
Los nuacutemeros enteros pueden expresarse como fracciones
usando cualquier denominador
Muchos nuacutemeros decimales pueden expresarse como
fracciones si elegimos y como unidades
7 Expresa los nuacutemeros 019 y 17 como fracciones
① Como 019 es lo mismo que 19 veces 001
1
100
podemos pensarlo como 17 veces y obtenemos
② Como 17 es lo mismo que veces 01
Escribe en los los nuacutemeros decimales y las fracciones que faltan
1
100
1
10
8 Clasifica estas fracciones en los grupos que se indican
11
2
12
3
3
5
3
1
6
2
8
10
4
11
06 1251 27
20
Nuacutemeros enteros
Con un nuacutemero definido de diacutegitos decimales
Otro tipo de nuacutemeros decimales
Se facilita la comparacioacuten de fracciones si las expresamos como
nuacutemeros decimales
9 Dibuja una darr para indicar la posicioacuten de cada uno de los siguientes
nuacutemeros en la recta numeacuterica de abajo
4
5
3
4
2
3
Los nuacutemeros enteros los nuacutemeros decimales y las
fracciones pueden ubicarse en una recta numeacuterica Asiacute es
maacutes faacutecil compararlos
① 09 ② 125 ③ ④ ⑤
Ordena los siguientes nuacutemeros del mayor al menor1
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales como fracciones y las fracciones como
nuacutemeros decimales
2
13 0751
12
4
2
5
7
7
10
21
5
3
4
24
6
② ③ ④ ⑥⑤ ⑦①
Decimales
Fracciones
Escribamos en el de abajo los nuacutemeros decimales y fracciones que faltan
3534
① ② ③ ④
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimalest
paacutegina 31
Analiza los siguientes pares de fracciones y
en cada pareja encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten de mayor valor
paacutegina 25
7
8
5
8
8
3
8
5
2
3
6
9
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
1 ＋ 1
33
2 ＋ 3
55
5 ＋ 3
66
5 － 1
77
5 － 2
44
paacuteginas 26~28
① 17 ② 59 ③ 113
Expresa como fracciones las siguientes divisiones
paacutegina 30
5
10
31
100
18
6
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales
como fracciones
① 03 ② 19 ③ 061 ④ 111
paacutegina 32
Indica con una darr la posicioacuten en la recta numeacuterica
de cada uno de los siguientes nuacutemeros
1 07 18
paacutegina 33
1
2
5
7
5
71－
8
11
4
51
20
④ Piensa coacutemo calcular la
respuesta
iquestPodemos hacer operaciones con nuacutemeros mixtos
Realiza las siguientes operaciones
La familia de Masako bebe 1 litros de leche en la mantildeana y
litros de leche en la tarde
① iquestCuaacutentos litros de leche bebieron en total Escribe una operacioacuten que
represente esto
② Piensa coacutemo calcular la respuesta
③ iquestCuaacutenta leche bebieron maacutes en la
mantildeana respecto a la tarde Escribe
una operacioacuten que represente esto
1
2
35
45
3 ＋1 ＝ 15
45 5
3 －1 ＝545 5 － 4
5
＝
＝
2 ＋① 71
67
2 －1② 434
( ) ( ) ( )① ② ③
(grupo)
no puedo restar
(cambio)
2
3
4
5
6
① ② ③ ④ 06 ⑤ 012
Expresa las siguientes divisiones como fracciones
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales o como nuacutemeros
enteros y los nuacutemeros decimales como fracciones
1
2
16
81
15
Resuelve las siguientes operaciones
① ② ③ ④3 ＋ 2
66
5 ＋ 7
88
31－
5
4 － 3
88
Utiliza dos de las tarjetas y para crear
fracciones Clasifica las fracciones en tres grupos como se indica
Fracciones que pueden expresarse como nuacutemeros enteros
( )Fracciones que pueden expresarse como decimales con un nuacutemero
determinado de diacutegitos
( )Fracciones que no pueden expresarse como decimales con un
nuacutemero determinado de diacutegitos
( )
765434
bull iquestCuaacutel es el elemento que tienen en comuacuten las siguientes
fracciones
3 ＋ 4
55
3 ＋ 4
77＋3
10
4
10
3 ＋ 4
55
iquestCon queacute unidades debemos resolver las siguientes operaciones
para que se comporten como si calculaacuteramos 3＋4
① 03＋04 La unidad es
② 3000＋4000 La unidad es
③ La unidad es
1
3 ＋ 4
99
Encuentra otras operaciones cuyo proceso sea equivalente al que
realizamos con 3＋4
2
① 45 ② 69 ③ 208
Ir a la paacutegina 88
se resuelve sumando 3＋4 si pensamos como la unidad1
5
Entender la relacioacuten que hay entre la divisioacuten con enteros y las fracciones
Resolver sumas y restas con fracciones que tienen el mismo denominador
Expresar cantidades como nuacutemeros decimales como fracciones y como nuacutemeros enteros
Expresar fracciones como nuacutemeros decimales oacute nuacutemeros enteros
3736
Puedo pensar en caacutelculoscon nuacutemeros grandescomo cien millones y un trilloacuten
Puedo hacer muchos caacutelculos como esos usandofracciones con distintodenominador
iquestSeraacute posible iniciar elcaacutelculo con 3＋41
2
3
Ir a la paacutegina 37
38 39
Resuelve estas operaciones en la forma vertical
① 132 ② 5117 ③ 94
④ 1435 ⑤ 6946 ⑥ 3624
⑦ 6104 ⑧ 0805 ⑨ 0725
Haz estas divisiones encontrando el cociente hasta
nuacutemeros enteros e indica cuaacutel es el residuo
① 6117 ② 9706
Tenemos 135 Kg de arroz Si comemos 09 Kg en un diacutea
iquestcuaacutentos diacuteas podremos comer arroz
Escribe en el las medidas que faltan
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
① ②
③
5 cm
3 cm
①
Encuentra coacutemo calcular el aacuterea de estas figuras
①
Trapecio
②
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
3 ＋ 1
55
3 ＋ 1
44
5 ＋ 6
77
5 － 3
44
7 － 3
991
1－10
Cuaacutel es mayor iquest075 o
Necesitamos dividir equitativamente una cuerda de 3m
entre 8 alumnos iquestCuaacutentos metros de cuerda recibiraacute cada uno
8
35
4 cm
7 cm6 cm
5 cm
4 cm
8 cm
3 cm3 cm
3 cm
5 cm
②
paralelogramo
Triaacutengulo isoacutesceles
Paralelogramo
6
99
7
6
5
4
3
2
1
9
9
8
8
8
6
6
6
4140
① Discute con tus compantildeeros sobre la relacioacuten entre la distancia que
avanza cada ciacuterculo y la longitud de sus diaacutemetros
② Haz una estimacioacuten de cuaacutentos cm avanzaraacute en una vuelta un ciacuterculo
cuyo diaacutemetro mide 40cm y comprueba tu prediccioacuten
A la liacutenea curva que limita un ciacuterculo se le llama circunferencia A un segmento de esa curva se lellama arco
Analiza la relacioacuten que hay entre el diaacutemetro de un ciacuterculo y la longitud
de su circunferencia
Diaacutemetro y circunferencia
Analicemos la relacioacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro en
diferentes ciacuterculos
① Veamos algunas formas para medir circunferencias y diaacutemetros
1
Circunferencia（cm）
Diaacutemetro（cm） 10 20 30
Ciacuterculo Ciacuterculo Ciacuterculo Lata(longitud cinta)
② Anota los datos en la siguiente tabla
③ iquestExistiraacute una foacutermula para determinar la relacioacuten entre la
circunferencia y el diaacutemetro
Recorta un pedazo de cartoacuten para trazar los ciacuterculos y cuyos
diaacutemetros miden 10cm 20cm y 30cm respectivamente Despueacutes hazlos
rodar una vuelta completa y mide cuaacutento avanzan
Ciacuterculos
Cuando el diaacutemetro se duplica iquestQueacute tantose incrementa la circunferencia
iquestCuaacutentas veces cabe eldiaacutemetro en la circunferencia
Medida de la circunferencia Medida del diaacutemetro
1
4342
Circunferencia divide Diaacutemetro
10 20 30
Ciacuterculo de cartoacuten Lata Cinta de embalajeCiacuterculo de cartoacuten Ciacuterculo de cartoacuten
Circunferencia(cm）
Diaacutemetro(cm）
④ iquestCuaacutentas veces cabe el diaacutemetro en la circunferencia
Usa tus datos para calcular redondeando
al mileacutesimo maacutes cercano
ldquoCircunferencia divide Diaacutemetrordquo da el mismo resultado para
ciacuterculos de cualquier tamantildeo
A la divisioacuten Circunferencia divide Diaacutemetro se le llama razoacuten
entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro es 314159
Este es un nuacutemero que continuacutea indefinidamente Usualmente se
emplea la aproximacioacuten 314
iquestCuaacutentos centiacutemetros mide la circunferencia de un
ciacuterculo de 8cm de diaacutemetro
2
① Un ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide 15 cm ② Un ciacuterculo cuyo radio mide 25 cm
Calcula la circunferencia de los siguientes ciacuterculos
La circunferencia de una lata ciliacutendrica mide 628 cm
iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro de la lata
① Si el diaacutemetro de la lata es cm escribe una expresioacuten
matemaacutetica aplicando la foacutermula que utilizaste en
② iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro
de la lata
314＝628
3
Los datos de abajo son las longitudes de las circunferencias de
unos ciacuterculos Calcula el diaacutemetro de cada uno
iquestCuaacutentos metros mide el diaacutemetro del tronco de este aacuterbol
① 2826 cm ② 314 cm ③ 3768 cm
2
1
Esta fotografiacutea muestra una imagen
de una moneda antigua dibujada sobre
arena en la Ciudad de Kannonji en el
parque Kagawa La circunferencia de
esta moneda gigante es 345 m
Calcula su diaacutemetro redondeado al
deacutecimo maacutes cercano
2
Razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro = circunferencia divide diaacutemetro
Circunferencia＝Diaacutemetrotimes314
Se necesitan seis nintildeos con sus brazos estirados para
rodear el tronco del aacuterbol en un parque iquestCuaacutentos metros
mediraacute el diaacutemetro de este aacuterbol Los brazos de cada
nintildeo cubren una longitud aproximada de 14 metros
Calcula el diaacutemetro del tronco usando 3 como
valor aproximado para la razoacuten entre la circunferencia
y el diaacutemetro
4544
② Dividamos el ciacuterculo en 4
partes iguales y consideremos
soacutelo una parte
(1) iquestCuaacutentos cuadrados azules y
cuaacutentos color de rosa hay
(2) Observa los cuadrados
color de rosa a lo largo de la
circunferencia el aacuterea de cada
uno mide aproximadamente 05 cm2 iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este
cuarto de ciacuterculo
2 Aacuterea de un ciacuterculo
iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de un ciacuterculo cuyo radio mide 10 cm
Verifica la respuesta trazando ese ciacuterculo sobre papel cuadriculado
a una escala de 1 cm
1
1 cm1 cm
① iquestCoacutemo podemos verificar
que la respuesta es correcta
Piensa coacutemo calcular el aacuterea del ciacuterculo y coacutemo podriacutea ser una
foacutermula para hacer ese caacutelculo
10 cm
10 cm
Foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Piensa coacutemo calcular el aacuterea
de un ciacuterculo
2
Analiza el ciacuterculo
de la derecha
③ iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea del ciacuterculo entero
cuadrados azules 1 (cm2)
cuadrados color de rosa05 (cm2)
① Piensa como construir la foacutermula utilizando una figura que divida el
ciacuterculo en varias secciones iguales a partir del radioiquestQueacute deberiacuteamos
hacer con los cuadrados
que estaacuten parcialmente
cubiertosPara calcular el aacuterea de
paralelogramos y triaacutengulos los
transformamos en otras figuras
conocidas iquestRecuerdas
Hay foacutermulas para calcular
el aacuterea de rectaacutengulos y
triaacutengulos iquestHabraacute una
foacutermula para los
ciacuterculos
4746
② Platica con tus compantildeeros lo que has
pensado para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Analiza cuidadosamente las ideas de
estos tres alumnos
La idea de Takao
Yo divido un ciacuterculo en muchos
triaacutengulos pequentildeos
2 cm
Yo construyo un triaacutengulo con
las partes del ciacuterculo
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
La idea de Akiko
Yo construyo un paralelogramo con las partes del ciacuterculo
③ Piensa coacutemo construir una foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
usando las ideas de estos alumnos
④ Construye una foacutermula con base en la idea
de Akiko
Radio
Circunferenciadivide2
Circunferenciadivide2
RadioRadio
16 secciones iguales
32 secciones iguales
64 secciones igualesCircunferenciadivide2
Aacuterea del rectaacutengulo = largo x ancho
Aacuterea del ciacuterculo ＝ Circunferencia2
＝ radio diaacutemetro3142
＝ radio diaacutemetro2314
＝ radio 314
Mitad de la circunferencia
Radio
La idea de Yasuko
Diaacutemetro2＝Radio iquestde acuerdo
Si cortas un ciacuterculo en
secciones pequentildeas de
igual tamantildeo iquestqueacute figura
puedes formar
4948
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura 2
Aacuterea del ciacuterculo ＝circunferencia radio2
＝Diaacutemetro 314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
Circunferencia
Radio
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
Calcula el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con radio de 8 cm ② Un ciacuterculo con diaacutemetro de 12 cm
3
El diaacutemetro del ciacuterculo mide
4 cm y el del ciacuterculo mide 8 cm
① Encontrar la circunferencia y el
aacuterea de cada ciacuterculo
② El diaacutemetro de es dos
veces el diaacutemetro de
iquestCuaacutentas veces es mayor la
circunferencia y el aacuterea de
que de la circunferen-
cia y el aacuterea de
4
4 cm
A continuacioacuten te damos las medidas de las circunferencias de unos ciacuterculos
Calcula el radio y el aacuterea de cada uno
① 628 cm ② 1884 cm ③ 157 cm
⑥ Construyamos una foacutermula con base en la idea de Takao
Observa las figuras que construimos al dividir el ciacuterculo en 16 secciones
iguales que parecen triaacutengulos Todos estos ldquotriaacutengulosrdquo tienen la misma altura
si los combinamos podemos construir un ldquotriaacutengulordquo grande
El aacuterea de un ciacuterculo puede calcularse usando
la foacutermula Aacuterea ＝radio times radio times 314
8 cm
⑤ Construyamos una foacutermula con base en la idea
de Yasuko
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura2
Aacuterea del ciacuterculo ＝ circunferencia4 radio4 2
＝diaacutemetro314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
54
La idea de Yoshiko
Como es un rectaacutengulo el aacuterea
se calcula aplicando la foacutermula
＝ largo ancho
La idea de Akira
Si transformamos el paralelogramo en un rectaacutengulo podremos calcular
su aacuterea
El aacuterea del paralelogramo ABCD es la misma que la del rectaacutengulo AFED
Aacuterea del paralelogramo = Aacuterea del rectaacutengulo AFED
Elijamos el lado BC como la base del paralelo-
gramo Los segmentos AG y EF son perpendiculares a
la base BC cualquier otra liacutenea
trazada de la misma manera
tiene la misma longitud que
AG y EF La longitud de AG
es la altura del paralelogramo
respecto a la base BC
④ Obteacuten las longitudes necesarias para encontrar el aacuterea del
paralelogramo y calcula su aacuterea
⑤ iquestQueacute longitudes debes considerar para calcular el aacuterea de los
cuadrilaacuteteros y
＝ AF EF
＝ ＝
＝ ＝
Respuesta cm2
Respuesta cm2
6 cm
5 cm
（a）
A D
B C
A D
FB EC
1 cm
1 cm
A D
B C
E
F G H
I
J
K L M
N
Aacuterea de un paralelogramo＝base times altura
Yo corto sobre esta liacutenea Yo corto sobre esta liacutenea
EA
B G F C
D
Base
AlturaAltura
2 cm
3 cm 4 cm
45 cm
25 cm25 cm
C
A
DB
76
Aacuterea＝ ＝ (cm2)
① Elige al segmento BC como la base y mide la altura para calcular el aacuterea
2 Encuentra el aacuterea del siguiente paralelogramo
Aacuterea＝ ＝ (cm2)
② Elige al segmento CD como la base y mide la altura correspondiente para calcular el aacuterea
① ②Calcula el aacuterea de estos paralelogramos
3 Encuentra queacute debes hacer para calcular el aacuterea de este
paralelogramo utilizando BC como base
iquestCuaacutel es la
altura
① Analiza estas ideas para calcular el aacuterea del paralelogramo
② iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este paralelogramo
La idea de Kaoru La idea de Youichi
La distancia entre las rectas y es la altura del
paralelogramo
ABCD si el lado
BC es la base
1cm1cmA D
B C
Base
Altura
Base Altura
A D
B C
Altura
Base
AlturaAltura
La altura depende de la base
Mide las
longitudes que
necesitas
98
Piensa en lo anterior utilizando la foacutermula para calcular el aacuterea de un
paralelogramo
4 Calcula el aacuterea de estos paralelogramos
Los paralelogramos que tienen la misma base y altura
tienen aacutereas iguales
5 Construye un paralelogramo cuya aacuterea mida 48 cm2 y su altura sea 8 cm
iquestCuaacutentos cm debe medir su base
8 ＝ 48
base altura aacuterea
2 Aacuterea de un triaacutengulo
1 Calculemos el aacuterea de este triaacutengulo
① Trata de utilizar varios meacutetodos para calcular el aacuterea
Escribe tu idea
4 cm 4 cm 4 cm
8 cm① ② ③
8
1cm
1cmA
B C
iexclPodemos trazar
muchos paralelogramos
cuyas aacutereas midan lo mismo
Ya sabemos coacutemo calcular el
aacuterea de un paralelogramo
iquestSeraacute posible transformar un
triaacutengulo en un paralelogramo
iquestPodemos transformar el
triaacutengulo en un rectaacutengulo
tal y como lo hicimos con
el paralelogramo
1110
② Trata de explicar las ideas que
tuvieron estos cuatro alumnos
③ iquestQueacute aspectos similares presentan estas cuatro ideas
iquestCuaacutel transforma el triaacutengulo en un rectaacutengulo
iquestCuaacutel transforma el triaacutengulo en un paralelogramo
iquestCuaacutel transforma el triaacutengulo en una figura con la misma aacuterea
iquestCuaacutel transforma el triaacutengulo en una figura con el doble
de aacuterea
La idea de Tomoko
La idea de Akira La idea de Hitomi
La idea de Masaru
④ Analiza las ideas que transforman el triaacutengulo en un rectaacutengulo o en
paralelogramo e identifica los lados que tienen la misma longitud que
en el triaacutengulo original
⑤ Piensa coacutemo construir la foacutermula que se necesita para calcular el aacuterea de
un triaacutengulo
La idea de Tomoko
Como uno de los lados del rec-
taacutengulo es la mitad de AI entonces
Aacuterea = (AI2)BC
La idea de Masaru
Como la altura del paralelogramo
es la mitad de AG entonces
Aacuterea = base(AG2)
La idea de Akira
Como el aacuterea del triaacutengulo es la
mitad de la del rectaacutengulo DBCE y
la longitud de uno de los lados del
rectaacutengulo es AF por lo tanto
Aacuterea = (AFBC)2
La idea de Hitomi
Como el aacuterea del triaacutengulo es la
mitad de la del paralelogramo
ABCD por lo tanto
Aacuterea = basealtura2
2 Analiza las longitudes que necesitas para calcular el aacuterea del
siguiente triaacutengulo iquestCuaacutel es su aacuterea
A
D HE F G
B I C
A
FD E
B G C
AD E
B F C
A D
B C
1cm
1cm
iquestAlguna de las ideas es
igual a la tuya
1312
Desde el veacutertice A traza la recta
perpendicular AD al lado BC Si
tomamos el lado BC como base
la longitud del segmento AD
es la altura del triaacutengulo
3 Calcula el aacuterea de
este triaacutengulo midiendo las
longitudes necesarias
Calcula el aacuterea del triaacutengulo ABC como
se indica
① Cuando el lado BC es la base
② Cuando el lado AB es la base
4 Piensa coacutemo calcular el aacuterea de
este triaacutengulo considerando el lado
BC como su base
① Explica las ideas que propusieron
estos dos alumnos
La idea de Hitoshi La idea de Yukie
Traza una recta paralela al lado BC que pase
por el veacutertice A La distancia entre las rectas
y es la altura
del triaacutengulo si el
lado BC es la base
② Calcula el aacuterea de un triaacutengulo cuya base mide 8 cm y su altura 10 cm
Utiliza la foacutermula del aacuterea y luego compaacuterala con el resultado obtenido en ①
Calcula el aacuterea de
las siguientes
figuras
A
DB CBase
Altura
C
A
B
C
A
B
9
6
72
75
6
cm
cm
cm
cm
A
DCB 8 cm 4 cm
10 cm
Base
Altura AlturaAltura
Altura
A
B C
5 cm
6 cm
① ②
Aacuterea de un triaacutengulo＝base times alturadivide2
13 cm
6 cm
7 cm
iquestQueacute es lo que pasa cuando cada
uno de los 3 lados se elige como
base iquestCuaacutel seriacutea la altura del
triaacutengulo en cada caso
1514
10 2 ＝ Area
5 En la figura de abajo las rectas AB y CD son paralelas Calcula el aacuterea de
cada uno de los triaacutengulos
6 La figura que se muestra a la derecha
es un triaacutengulo rectaacutengulo
① Calcula su aacuterea
② Encuentra la altura del triaacutengulo
considerando que el lado BC es la base
Si la base y la altura de dos triaacutengulos son respectivamente
iguales tambieacuten sus aacutereas son iguales
Calcula la altura de cada uno de
los triaacutengulos que se muestran a
la derecha si los lados AD y BC
son respectivamente sus bases
Base Altura
Coacutemo calcular el aacuterea de otras figuras
1 Imagina coacutemo podriacuteas calcular el aacuterea de este cuadrilaacutetero
2 Mide las longitudes que sea
necesario conocer y calcula el
aacuterea de este trapecio
① Divide el cuadrilaacutetero en figuras de las cuales ya sepas coacutemo
calcular el aacuterea
② Mide las longitudes que se requieren para calcular el aacuterea
Es posible calcular el aacuterea de
cuadrilaacuteteros y pentaacutegonos
dividieacutendolos en triaacutengulos
6 cm
3 cm 3 cm 3 cm
3 cm
① ② ③ ④
A B
C D
8 cm
10 cm
cm
6 cm
A
B C
2 cm
4 cm5 cm10 cm
A B
DC
C
A
D
B
C
AD
B
3
1716
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea de un paralelogramo
iquestCuaacutel de los dos elementos de la foacutermula cambia cuando el aacuterea cambia
iquestQueacute permanece sin cambios
② Completa la siguiente tabla
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la base se duplica
iquestSi se triplica
＝
1 Construyamos un paralelogramo maacutes grande uniendo varios paralelo-
gramos como se muestra en la figura de abajo
4 Relacioacuten entre la longitud de los lados y el aacuterea
Base (cm) 3 6
Aacuterea (cm2)
Altura (cm) 1 2 3
Aacuterea (cm2) 3
La altura de un paralelogramo se incrementa en tramos
de 2 cm como se muestra a la derecha
① Construye una tabla que muestre la relacioacuten que
hay entre la altura y el aacuterea de esta figura
② Analiza la tabla y escribe tus conclusiones
2 La altura de un triaacutengulo se incrementa
en tramos de 1 cm como se muestra a la
derecha
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea
de un triaacutengulo iquestCuaacutel de los dos elementos
de la foacutermula cambia junto con el aacuterea
iquestQueacute permanece sin cambios
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la base se duplica
iquestY cuando se triplica
④ Cuando el aacuterea de un triaacutengulo es 30cm2 iquestcuaacutentos cm mide su altura
② Completa la tabla de abajo
＝
La base de un triaacutengulo rectaacutengulo se incrementa en tramos de 1 cm como se
muestra en la figura de la derecha
① Construye una tabla que muestre la relacioacuten
que hay entre la base y el aacuterea de estos triaacutengulos
② Si el aacuterea de un triaacutengulo es de 16cm2
iquestcuaacutentos cm mide su base
5 cm
3 cm
4 cm
6 (cm)54321
6 cm
1
2
3
4(cm)
3 cm
6 cm
4 cm
2 cm
Base y aacuterea de un paralelogramo
Altura y aacuterea de un triaacutengulo
1918
5 cm
2 cm
Escribe la foacutermula para
calcular el aacuterea de un paralelogramo
Aacuterea del paralelogramo ＝
Calcula el aacuterea de estos paralelogramos
Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea
de un triaacutengulo
Aacuterea del triaacutengulo ＝
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
Calcula el aacuterea de
este cuadrilaacutetero
Tracemos paralelogramos cuya
base mida 5 cm y su altura 2 cm para
construir un paralelogramo maacutes grande
como se muestra en la figura de abajo
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea de un paralelogramo
iquestCuaacutel de los dos elementos de la foacutermula cambia junto con el aacuterea
iquestQueacute permanece sin cambios
② Completa la tabla de abajo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(cm)
8 cm
4 cm
4 cm
3 cm
9 cm6 cm
9 cm
Base
Altura
3 cm7 cm
1 cm
2 cm
5 cm
Altura y aacuterea de un paralelogramo
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la altura se duplica
iquestCuando se triplica
Altura (cm) 2 4
Aacuterea (cm2)
Paacutegina 5
Paacutegina12
Paacuteginas 6~7
Paacutegina 15
Paacuteginas 12~13
Base
Altura
6 Paacuteginas 16~17
① ②
②①
1
2
3
4
5
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
Traza un triaacutengulo cuya aacuterea sea la
misma que la del triaacutengulo de la derecha
Explica por queacute son iguales
Calcula el aacuterea de las secciones coloreadas en las siguientes figuras
6 cm
3 cm35 cm
8 cm
5 cm
7 cm
6 cm
2 cm
4 cm 8 cm6 cm
3 cm
1 cm1 cm
15 cm135 cm2
1 cm 5 cm2 cm
1 cm
6 cm
4 cm
5 cm
5 cm
8 cm 10 cm
6 cm
5 cm
① El grupo de Hiroshi midioacute el
parque e hizo el diagrama que
muestra a la derecha iquestCuaacutentos
m2 mide esa aacuterea
② Formen equipos y calculen
el aacuterea de diferentes lugares
en su entorno
4
②①
④③
iexclLa figura de abajo es el diagrama de un parque iexclEl reto es calcular su aacuterea
52
74
163
101
178m
m
m
mm
②① Paralelogramo ③ Trapecio
Ir a la paacutegina 86
Encontrar la base y la altura usando foacutermulas
El triaacutengulo de la derecha tiene una
altura de 15 cm y su aacuterea es 135 cm2
iquestCuaacutentos cm mide su base
bull Encontrar maneras para calcular el aacuterea
bull Encontrar la altura o la base cuando se conoce el aacuterea
Paralelogramo
Paralelogramo
2120
bull Trazar un triaacutengulo con la misma aacuterea
iquestQueacute
longitudes
necesitas
iexclCalculemos el aacuterea
del parque
3
2
1
Ir a la paacutegina 21 Ir a la paacutegina 89
2322
Expresa las siguientes magnitudes usando fracciones impropias y fracciones mixtas
iquestCuaacutel es la longitud en metros en cada caso Escribe la respuesta usando fracciones
La respuesta se obtiene dividiendo 1 m en 5 partes iguales
El segmento que se obtiene al dividir 1 m en 10 partes iguales
①
②
La longitud de la parte que excede a 1 m nota que 5 segmentos forman 1 m
1 m
1 m
③ 1 m
① ②
① Encuentra la marca que indica exactamente l
② Encuentra la marca que indica exactamente l
1 ＝2
＝ ＝
1 ＝3
＝
m mdl dl
m
m
m
0 1 2(m)
2
Fracciones9
Vertimos jugo de naranja en
un recipiente graduado usando
fracciones
El tamantildeo de un objeto o el
volumen que estaacute dividido en
secciones iguales se expresa
como una fraccioacuten
Las fracciones tambieacuten pueden
usarse para expresar nuacutemeros
que son mayores que 1
Una fraccioacuten mixta es mayor que 1
Una fraccioacuten impropia es igual o
mayor que 1
1 dl 1 dl
1 dl
1
1
2
1
3
① Lee en voz alta y hazlo de la
fraccioacuten menor a la mayor
② Reemplaza con 2 los numeradores del inciso ① y vuelve a leer
las fracciones en voz alta de la menor a la mayor
2524
( )
1 Sigue las instrucciones de abajo usando la recta numeacuterica
Fracciones equivalentes ③ Observa la recta numeacuterica de la paacutegina anterior y encuentra fracciones
que sean equivalentes
④ Observa la recta numeacuterica y encuentra otras fracciones que sean
equivalentes a las del inciso anterior
⑤ Platica con tus compantildeeros sobre lo que has aprendido y haz un
resumen
① Cuando el denominador es el mismo el valor de
una fraccioacuten se incrementa si el numerador aumenta
② Cuando el numerador es el mismo el valor de una
fraccioacuten disminuye cuando su denominador aumenta
③ Algunas fracciones tienen el mismo valor aunque sus
denominadores y numeradores sean diferentes
Encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten que sea mayor en cada pareja Si son iguales
marca ambas fracciones
1 ＝2
＝ ＝ ＝
1 ＝3
＝
3 ＝4
① 3 3
85 ( )② 3 5
77 ( )③ 1 4
82El valor de la fraccioacuten disminuye
cuando el numerador es el mismo y
el denominador aumenta
1
21 1
314
15
1 11 1 16 7 8 9 10
O OO
O
2726
② Yukie
Suma y resta con fracciones
Suma con fracciones
1 Akira y Yukie hacen cafeacute con leche iquestCuaacutentos litros hizo cada uno
① Akira
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l1
5
1 ＋ ＝5
2
5
3 ＋ ＝6
4
6
Cuando se suman fracciones con el mismo denominador
se suman los numeradores y los denominadores quedan
igual
2 Piensa coacutemo hacer este caacutelculo
3 ＋ ＝8
5
8＝
3 ＋8
5
8
3 Construye sumas utilizando fracciones
propias con el mismo denominador
utiliza nuacutemeros del 1 al 9 Luego
calcula los resultados
＋
①
④
2 ＋ 1
44
2 ＋ 2
33
②
⑤
4 ＋ 1
77
2 ＋ 4
55
③
⑥
2 ＋ 3
88
3 ＋ 6
99
O O O
2
5
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l3
6
4
6
1
5
＝
Piensa cuaacutentas veces
se repite
Puedo expresarlo como
un nuacutemero mixto
Podemos comparar faacutecilmente
el valor de una fraccioacuten si la
expresamos como nuacutemero mixto
o como entero
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l1 l
2 l
2
③ Si repartimos equitativamente 2 litros entre 3 alumnos
iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
Colorea la porcioacuten que
le toca a un alumno
iquestCuaacutentos litros es esa porcioacuten
① Realiza estas operaciones utilizando los nuacutemeros del 1 al 5 en el
2928
①
④
5 － 4
88
3 － 2
44
②
⑤
3 － 3
77
13 － 5
1212
③
⑥
5 － 1
66
－12
5
Cuando hacemos restas con fracciones que tienen el
mismo denominador restamos los numeradores y los
denominadores quedan igual
Resta con fracciones
4 iquestCuaacutento maacutes grande es de litro de jugo que
de litro de leche Piensa coacutemo calcular la respuesta
7
8
4
8
7 － ＝8
4
8
O O O
5 Piensa coacutemo hariacuteas las siguientes restas4 －3
2
3－1
5
7②①
3 Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
Cocientes y fracciones
1 Si repartimos equitativamente 2 litros
de leche entre alumnos iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
2
2 2 2 2 2② Agrupa las expresiones de arriba en los siguientes grupos dependiendo
del tipo de resultado
Cocientes que sean nuacutemeros enteros
Cocientes que sean nuacutemeros decimales
Cocientes que contengan un nuacutemero indefinido de diacutegitos en su
parte decimal
23 es 0666 Este nuacutemero tiene una cantidad indefinida de diacutegitos en
su parte decimal
O O
（ ）（ ）（ ）
minus ＝
La diferencia es cuaacutentos
octavos maacutes hay
Analicemos coacutemo expresar el cociente de una divisioacuten cuando tiene un
nuacutemero indefinido de diacutegitos en su parte decimal
Leche 1l Leche 1l
1 l 1 l
1 l 1 l
1 l
3130
23＝
Cantidad para un alumno cuando 1 litro se divide en 3 partes iguales l
La cantidad para un alumno cuando se reparten 2 litros en 3 partes iguales l
31
31
2 iquestCuaacutentos metros mide cada tramo cuando una cuerda de 3 metros se
divide en 4 partes iguales
① Escribe una expresioacuten matemaacutetica para este problema
② iquestCuaacutel es la longitud de una parte
① 16 ② 58 ③ 43 ④ 97
Reescribe las siguientes divisiones como fracciones
34＝
La divisioacuten de un nuacutemero entre otro
puede expresarse como una fraccioacuten ＝
0
0
0
1
1
2
2 3
41
m
m
m
(m)
(m)
(m)
1
Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
3 Si dividimos una cinta de 2 metros en 5 partes iguales iquestcuaacutentos metros
mediraacute cada una de esas partes
① Expresa el cociente de estas divisiones como una fraccioacuten y despueacutes
como nuacutemero decimal25＝
② Ubica en esta recta numeacuterica la fraccioacuten y tambieacuten su
valor decimal
Para expresar una fraccioacuten como nuacutemero decimal o como nuacutemero
entero dividimos el numerador entre el denominador
25＝
0 02
0
1
1
2
51
(m)
2 (m)
4 iquestQueacute cantidad es mayor iquest l o 07 litros3
5
5 Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales
3 ＝1 ＝855
8
5
29
100
3
10
＝
＝12412
4＝
②
③
①
④
14
24
34
3 ＝ 3 5 ＝5
＝
＝La divisioacuten puede expresarse
como una fraccioacuten
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l
l l
l
25
3332
podemos pensarlo como 19 veces y obtenemos
6 Veamos coacutemo expresar 2 y 5 como fracciones
＝ 23＝0666hellipaproximadamente 0672
3
2＝21＝ 5＝51＝
2＝42＝ 5＝102＝
2＝8 5＝30 ＝＝
2
1
4
2
Los nuacutemeros enteros pueden expresarse como fracciones
usando cualquier denominador
Muchos nuacutemeros decimales pueden expresarse como
fracciones si elegimos y como unidades
7 Expresa los nuacutemeros 019 y 17 como fracciones
① Como 019 es lo mismo que 19 veces 001
1
100
podemos pensarlo como 17 veces y obtenemos
② Como 17 es lo mismo que veces 01
Escribe en los los nuacutemeros decimales y las fracciones que faltan
1
100
1
10
8 Clasifica estas fracciones en los grupos que se indican
11
2
12
3
3
5
3
1
6
2
8
10
4
11
06 1251 27
20
Nuacutemeros enteros
Con un nuacutemero definido de diacutegitos decimales
Otro tipo de nuacutemeros decimales
Se facilita la comparacioacuten de fracciones si las expresamos como
nuacutemeros decimales
9 Dibuja una darr para indicar la posicioacuten de cada uno de los siguientes
nuacutemeros en la recta numeacuterica de abajo
4
5
3
4
2
3
Los nuacutemeros enteros los nuacutemeros decimales y las
fracciones pueden ubicarse en una recta numeacuterica Asiacute es
maacutes faacutecil compararlos
① 09 ② 125 ③ ④ ⑤
Ordena los siguientes nuacutemeros del mayor al menor1
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales como fracciones y las fracciones como
nuacutemeros decimales
2
13 0751
12
4
2
5
7
7
10
21
5
3
4
24
6
② ③ ④ ⑥⑤ ⑦①
Decimales
Fracciones
Escribamos en el de abajo los nuacutemeros decimales y fracciones que faltan
3534
① ② ③ ④
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimalest
paacutegina 31
Analiza los siguientes pares de fracciones y
en cada pareja encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten de mayor valor
paacutegina 25
7
8
5
8
8
3
8
5
2
3
6
9
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
1 ＋ 1
33
2 ＋ 3
55
5 ＋ 3
66
5 － 1
77
5 － 2
44
paacuteginas 26~28
① 17 ② 59 ③ 113
Expresa como fracciones las siguientes divisiones
paacutegina 30
5
10
31
100
18
6
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales
como fracciones
① 03 ② 19 ③ 061 ④ 111
paacutegina 32
Indica con una darr la posicioacuten en la recta numeacuterica
de cada uno de los siguientes nuacutemeros
1 07 18
paacutegina 33
1
2
5
7
5
71－
8
11
4
51
20
④ Piensa coacutemo calcular la
respuesta
iquestPodemos hacer operaciones con nuacutemeros mixtos
Realiza las siguientes operaciones
La familia de Masako bebe 1 litros de leche en la mantildeana y
litros de leche en la tarde
① iquestCuaacutentos litros de leche bebieron en total Escribe una operacioacuten que
represente esto
② Piensa coacutemo calcular la respuesta
③ iquestCuaacutenta leche bebieron maacutes en la
mantildeana respecto a la tarde Escribe
una operacioacuten que represente esto
1
2
35
45
3 ＋1 ＝ 15
45 5
3 －1 ＝545 5 － 4
5
＝
＝
2 ＋① 71
67
2 －1② 434
( ) ( ) ( )① ② ③
(grupo)
no puedo restar
(cambio)
2
3
4
5
6
① ② ③ ④ 06 ⑤ 012
Expresa las siguientes divisiones como fracciones
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales o como nuacutemeros
enteros y los nuacutemeros decimales como fracciones
1
2
16
81
15
Resuelve las siguientes operaciones
① ② ③ ④3 ＋ 2
66
5 ＋ 7
88
31－
5
4 － 3
88
Utiliza dos de las tarjetas y para crear
fracciones Clasifica las fracciones en tres grupos como se indica
Fracciones que pueden expresarse como nuacutemeros enteros
( )Fracciones que pueden expresarse como decimales con un nuacutemero
determinado de diacutegitos
( )Fracciones que no pueden expresarse como decimales con un
nuacutemero determinado de diacutegitos
( )
765434
bull iquestCuaacutel es el elemento que tienen en comuacuten las siguientes
fracciones
3 ＋ 4
55
3 ＋ 4
77＋3
10
4
10
3 ＋ 4
55
iquestCon queacute unidades debemos resolver las siguientes operaciones
para que se comporten como si calculaacuteramos 3＋4
① 03＋04 La unidad es
② 3000＋4000 La unidad es
③ La unidad es
1
3 ＋ 4
99
Encuentra otras operaciones cuyo proceso sea equivalente al que
realizamos con 3＋4
2
① 45 ② 69 ③ 208
Ir a la paacutegina 88
se resuelve sumando 3＋4 si pensamos como la unidad1
5
Entender la relacioacuten que hay entre la divisioacuten con enteros y las fracciones
Resolver sumas y restas con fracciones que tienen el mismo denominador
Expresar cantidades como nuacutemeros decimales como fracciones y como nuacutemeros enteros
Expresar fracciones como nuacutemeros decimales oacute nuacutemeros enteros
3736
Puedo pensar en caacutelculoscon nuacutemeros grandescomo cien millones y un trilloacuten
Puedo hacer muchos caacutelculos como esos usandofracciones con distintodenominador
iquestSeraacute posible iniciar elcaacutelculo con 3＋41
2
3
Ir a la paacutegina 37
38 39
Resuelve estas operaciones en la forma vertical
① 132 ② 5117 ③ 94
④ 1435 ⑤ 6946 ⑥ 3624
⑦ 6104 ⑧ 0805 ⑨ 0725
Haz estas divisiones encontrando el cociente hasta
nuacutemeros enteros e indica cuaacutel es el residuo
① 6117 ② 9706
Tenemos 135 Kg de arroz Si comemos 09 Kg en un diacutea
iquestcuaacutentos diacuteas podremos comer arroz
Escribe en el las medidas que faltan
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
① ②
③
5 cm
3 cm
①
Encuentra coacutemo calcular el aacuterea de estas figuras
①
Trapecio
②
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
3 ＋ 1
55
3 ＋ 1
44
5 ＋ 6
77
5 － 3
44
7 － 3
991
1－10
Cuaacutel es mayor iquest075 o
Necesitamos dividir equitativamente una cuerda de 3m
entre 8 alumnos iquestCuaacutentos metros de cuerda recibiraacute cada uno
8
35
4 cm
7 cm6 cm
5 cm
4 cm
8 cm
3 cm3 cm
3 cm
5 cm
②
paralelogramo
Triaacutengulo isoacutesceles
Paralelogramo
6
99
7
6
5
4
3
2
1
9
9
8
8
8
6
6
6
4140
① Discute con tus compantildeeros sobre la relacioacuten entre la distancia que
avanza cada ciacuterculo y la longitud de sus diaacutemetros
② Haz una estimacioacuten de cuaacutentos cm avanzaraacute en una vuelta un ciacuterculo
cuyo diaacutemetro mide 40cm y comprueba tu prediccioacuten
A la liacutenea curva que limita un ciacuterculo se le llama circunferencia A un segmento de esa curva se lellama arco
Analiza la relacioacuten que hay entre el diaacutemetro de un ciacuterculo y la longitud
de su circunferencia
Diaacutemetro y circunferencia
Analicemos la relacioacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro en
diferentes ciacuterculos
① Veamos algunas formas para medir circunferencias y diaacutemetros
1
Circunferencia（cm）
Diaacutemetro（cm） 10 20 30
Ciacuterculo Ciacuterculo Ciacuterculo Lata(longitud cinta)
② Anota los datos en la siguiente tabla
③ iquestExistiraacute una foacutermula para determinar la relacioacuten entre la
circunferencia y el diaacutemetro
Recorta un pedazo de cartoacuten para trazar los ciacuterculos y cuyos
diaacutemetros miden 10cm 20cm y 30cm respectivamente Despueacutes hazlos
rodar una vuelta completa y mide cuaacutento avanzan
Ciacuterculos
Cuando el diaacutemetro se duplica iquestQueacute tantose incrementa la circunferencia
iquestCuaacutentas veces cabe eldiaacutemetro en la circunferencia
Medida de la circunferencia Medida del diaacutemetro
1
4342
Circunferencia divide Diaacutemetro
10 20 30
Ciacuterculo de cartoacuten Lata Cinta de embalajeCiacuterculo de cartoacuten Ciacuterculo de cartoacuten
Circunferencia(cm）
Diaacutemetro(cm）
④ iquestCuaacutentas veces cabe el diaacutemetro en la circunferencia
Usa tus datos para calcular redondeando
al mileacutesimo maacutes cercano
ldquoCircunferencia divide Diaacutemetrordquo da el mismo resultado para
ciacuterculos de cualquier tamantildeo
A la divisioacuten Circunferencia divide Diaacutemetro se le llama razoacuten
entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro es 314159
Este es un nuacutemero que continuacutea indefinidamente Usualmente se
emplea la aproximacioacuten 314
iquestCuaacutentos centiacutemetros mide la circunferencia de un
ciacuterculo de 8cm de diaacutemetro
2
① Un ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide 15 cm ② Un ciacuterculo cuyo radio mide 25 cm
Calcula la circunferencia de los siguientes ciacuterculos
La circunferencia de una lata ciliacutendrica mide 628 cm
iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro de la lata
① Si el diaacutemetro de la lata es cm escribe una expresioacuten
matemaacutetica aplicando la foacutermula que utilizaste en
② iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro
de la lata
314＝628
3
Los datos de abajo son las longitudes de las circunferencias de
unos ciacuterculos Calcula el diaacutemetro de cada uno
iquestCuaacutentos metros mide el diaacutemetro del tronco de este aacuterbol
① 2826 cm ② 314 cm ③ 3768 cm
2
1
Esta fotografiacutea muestra una imagen
de una moneda antigua dibujada sobre
arena en la Ciudad de Kannonji en el
parque Kagawa La circunferencia de
esta moneda gigante es 345 m
Calcula su diaacutemetro redondeado al
deacutecimo maacutes cercano
2
Razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro = circunferencia divide diaacutemetro
Circunferencia＝Diaacutemetrotimes314
Se necesitan seis nintildeos con sus brazos estirados para
rodear el tronco del aacuterbol en un parque iquestCuaacutentos metros
mediraacute el diaacutemetro de este aacuterbol Los brazos de cada
nintildeo cubren una longitud aproximada de 14 metros
Calcula el diaacutemetro del tronco usando 3 como
valor aproximado para la razoacuten entre la circunferencia
y el diaacutemetro
4544
② Dividamos el ciacuterculo en 4
partes iguales y consideremos
soacutelo una parte
(1) iquestCuaacutentos cuadrados azules y
cuaacutentos color de rosa hay
(2) Observa los cuadrados
color de rosa a lo largo de la
circunferencia el aacuterea de cada
uno mide aproximadamente 05 cm2 iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este
cuarto de ciacuterculo
2 Aacuterea de un ciacuterculo
iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de un ciacuterculo cuyo radio mide 10 cm
Verifica la respuesta trazando ese ciacuterculo sobre papel cuadriculado
a una escala de 1 cm
1
1 cm1 cm
① iquestCoacutemo podemos verificar
que la respuesta es correcta
Piensa coacutemo calcular el aacuterea del ciacuterculo y coacutemo podriacutea ser una
foacutermula para hacer ese caacutelculo
10 cm
10 cm
Foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Piensa coacutemo calcular el aacuterea
de un ciacuterculo
2
Analiza el ciacuterculo
de la derecha
③ iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea del ciacuterculo entero
cuadrados azules 1 (cm2)
cuadrados color de rosa05 (cm2)
① Piensa como construir la foacutermula utilizando una figura que divida el
ciacuterculo en varias secciones iguales a partir del radioiquestQueacute deberiacuteamos
hacer con los cuadrados
que estaacuten parcialmente
cubiertosPara calcular el aacuterea de
paralelogramos y triaacutengulos los
transformamos en otras figuras
conocidas iquestRecuerdas
Hay foacutermulas para calcular
el aacuterea de rectaacutengulos y
triaacutengulos iquestHabraacute una
foacutermula para los
ciacuterculos
4746
② Platica con tus compantildeeros lo que has
pensado para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Analiza cuidadosamente las ideas de
estos tres alumnos
La idea de Takao
Yo divido un ciacuterculo en muchos
triaacutengulos pequentildeos
2 cm
Yo construyo un triaacutengulo con
las partes del ciacuterculo
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
La idea de Akiko
Yo construyo un paralelogramo con las partes del ciacuterculo
③ Piensa coacutemo construir una foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
usando las ideas de estos alumnos
④ Construye una foacutermula con base en la idea
de Akiko
Radio
Circunferenciadivide2
Circunferenciadivide2
RadioRadio
16 secciones iguales
32 secciones iguales
64 secciones igualesCircunferenciadivide2
Aacuterea del rectaacutengulo = largo x ancho
Aacuterea del ciacuterculo ＝ Circunferencia2
＝ radio diaacutemetro3142
＝ radio diaacutemetro2314
＝ radio 314
Mitad de la circunferencia
Radio
La idea de Yasuko
Diaacutemetro2＝Radio iquestde acuerdo
Si cortas un ciacuterculo en
secciones pequentildeas de
igual tamantildeo iquestqueacute figura
puedes formar
4948
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura 2
Aacuterea del ciacuterculo ＝circunferencia radio2
＝Diaacutemetro 314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
Circunferencia
Radio
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
Calcula el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con radio de 8 cm ② Un ciacuterculo con diaacutemetro de 12 cm
3
El diaacutemetro del ciacuterculo mide
4 cm y el del ciacuterculo mide 8 cm
① Encontrar la circunferencia y el
aacuterea de cada ciacuterculo
② El diaacutemetro de es dos
veces el diaacutemetro de
iquestCuaacutentas veces es mayor la
circunferencia y el aacuterea de
que de la circunferen-
cia y el aacuterea de
4
4 cm
A continuacioacuten te damos las medidas de las circunferencias de unos ciacuterculos
Calcula el radio y el aacuterea de cada uno
① 628 cm ② 1884 cm ③ 157 cm
⑥ Construyamos una foacutermula con base en la idea de Takao
Observa las figuras que construimos al dividir el ciacuterculo en 16 secciones
iguales que parecen triaacutengulos Todos estos ldquotriaacutengulosrdquo tienen la misma altura
si los combinamos podemos construir un ldquotriaacutengulordquo grande
El aacuterea de un ciacuterculo puede calcularse usando
la foacutermula Aacuterea ＝radio times radio times 314
8 cm
⑤ Construyamos una foacutermula con base en la idea
de Yasuko
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura2
Aacuterea del ciacuterculo ＝ circunferencia4 radio4 2
＝diaacutemetro314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
2 cm
3 cm 4 cm
45 cm
25 cm25 cm
C
A
DB
76
Aacuterea＝ ＝ (cm2)
① Elige al segmento BC como la base y mide la altura para calcular el aacuterea
2 Encuentra el aacuterea del siguiente paralelogramo
Aacuterea＝ ＝ (cm2)
② Elige al segmento CD como la base y mide la altura correspondiente para calcular el aacuterea
① ②Calcula el aacuterea de estos paralelogramos
3 Encuentra queacute debes hacer para calcular el aacuterea de este
paralelogramo utilizando BC como base
iquestCuaacutel es la
altura
① Analiza estas ideas para calcular el aacuterea del paralelogramo
② iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este paralelogramo
La idea de Kaoru La idea de Youichi
La distancia entre las rectas y es la altura del
paralelogramo
ABCD si el lado
BC es la base
1cm1cmA D
B C
Base
Altura
Base Altura
A D
B C
Altura
Base
AlturaAltura
La altura depende de la base
Mide las
longitudes que
necesitas
98
Piensa en lo anterior utilizando la foacutermula para calcular el aacuterea de un
paralelogramo
4 Calcula el aacuterea de estos paralelogramos
Los paralelogramos que tienen la misma base y altura
tienen aacutereas iguales
5 Construye un paralelogramo cuya aacuterea mida 48 cm2 y su altura sea 8 cm
iquestCuaacutentos cm debe medir su base
8 ＝ 48
base altura aacuterea
2 Aacuterea de un triaacutengulo
1 Calculemos el aacuterea de este triaacutengulo
① Trata de utilizar varios meacutetodos para calcular el aacuterea
Escribe tu idea
4 cm 4 cm 4 cm
8 cm① ② ③
8
1cm
1cmA
B C
iexclPodemos trazar
muchos paralelogramos
cuyas aacutereas midan lo mismo
Ya sabemos coacutemo calcular el
aacuterea de un paralelogramo
iquestSeraacute posible transformar un
triaacutengulo en un paralelogramo
iquestPodemos transformar el
triaacutengulo en un rectaacutengulo
tal y como lo hicimos con
el paralelogramo
1110
② Trata de explicar las ideas que
tuvieron estos cuatro alumnos
③ iquestQueacute aspectos similares presentan estas cuatro ideas
iquestCuaacutel transforma el triaacutengulo en un rectaacutengulo
iquestCuaacutel transforma el triaacutengulo en un paralelogramo
iquestCuaacutel transforma el triaacutengulo en una figura con la misma aacuterea
iquestCuaacutel transforma el triaacutengulo en una figura con el doble
de aacuterea
La idea de Tomoko
La idea de Akira La idea de Hitomi
La idea de Masaru
④ Analiza las ideas que transforman el triaacutengulo en un rectaacutengulo o en
paralelogramo e identifica los lados que tienen la misma longitud que
en el triaacutengulo original
⑤ Piensa coacutemo construir la foacutermula que se necesita para calcular el aacuterea de
un triaacutengulo
La idea de Tomoko
Como uno de los lados del rec-
taacutengulo es la mitad de AI entonces
Aacuterea = (AI2)BC
La idea de Masaru
Como la altura del paralelogramo
es la mitad de AG entonces
Aacuterea = base(AG2)
La idea de Akira
Como el aacuterea del triaacutengulo es la
mitad de la del rectaacutengulo DBCE y
la longitud de uno de los lados del
rectaacutengulo es AF por lo tanto
Aacuterea = (AFBC)2
La idea de Hitomi
Como el aacuterea del triaacutengulo es la
mitad de la del paralelogramo
ABCD por lo tanto
Aacuterea = basealtura2
2 Analiza las longitudes que necesitas para calcular el aacuterea del
siguiente triaacutengulo iquestCuaacutel es su aacuterea
A
D HE F G
B I C
A
FD E
B G C
AD E
B F C
A D
B C
1cm
1cm
iquestAlguna de las ideas es
igual a la tuya
1312
Desde el veacutertice A traza la recta
perpendicular AD al lado BC Si
tomamos el lado BC como base
la longitud del segmento AD
es la altura del triaacutengulo
3 Calcula el aacuterea de
este triaacutengulo midiendo las
longitudes necesarias
Calcula el aacuterea del triaacutengulo ABC como
se indica
① Cuando el lado BC es la base
② Cuando el lado AB es la base
4 Piensa coacutemo calcular el aacuterea de
este triaacutengulo considerando el lado
BC como su base
① Explica las ideas que propusieron
estos dos alumnos
La idea de Hitoshi La idea de Yukie
Traza una recta paralela al lado BC que pase
por el veacutertice A La distancia entre las rectas
y es la altura
del triaacutengulo si el
lado BC es la base
② Calcula el aacuterea de un triaacutengulo cuya base mide 8 cm y su altura 10 cm
Utiliza la foacutermula del aacuterea y luego compaacuterala con el resultado obtenido en ①
Calcula el aacuterea de
las siguientes
figuras
A
DB CBase
Altura
C
A
B
C
A
B
9
6
72
75
6
cm
cm
cm
cm
A
DCB 8 cm 4 cm
10 cm
Base
Altura AlturaAltura
Altura
A
B C
5 cm
6 cm
① ②
Aacuterea de un triaacutengulo＝base times alturadivide2
13 cm
6 cm
7 cm
iquestQueacute es lo que pasa cuando cada
uno de los 3 lados se elige como
base iquestCuaacutel seriacutea la altura del
triaacutengulo en cada caso
1514
10 2 ＝ Area
5 En la figura de abajo las rectas AB y CD son paralelas Calcula el aacuterea de
cada uno de los triaacutengulos
6 La figura que se muestra a la derecha
es un triaacutengulo rectaacutengulo
① Calcula su aacuterea
② Encuentra la altura del triaacutengulo
considerando que el lado BC es la base
Si la base y la altura de dos triaacutengulos son respectivamente
iguales tambieacuten sus aacutereas son iguales
Calcula la altura de cada uno de
los triaacutengulos que se muestran a
la derecha si los lados AD y BC
son respectivamente sus bases
Base Altura
Coacutemo calcular el aacuterea de otras figuras
1 Imagina coacutemo podriacuteas calcular el aacuterea de este cuadrilaacutetero
2 Mide las longitudes que sea
necesario conocer y calcula el
aacuterea de este trapecio
① Divide el cuadrilaacutetero en figuras de las cuales ya sepas coacutemo
calcular el aacuterea
② Mide las longitudes que se requieren para calcular el aacuterea
Es posible calcular el aacuterea de
cuadrilaacuteteros y pentaacutegonos
dividieacutendolos en triaacutengulos
6 cm
3 cm 3 cm 3 cm
3 cm
① ② ③ ④
A B
C D
8 cm
10 cm
cm
6 cm
A
B C
2 cm
4 cm5 cm10 cm
A B
DC
C
A
D
B
C
AD
B
3
1716
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea de un paralelogramo
iquestCuaacutel de los dos elementos de la foacutermula cambia cuando el aacuterea cambia
iquestQueacute permanece sin cambios
② Completa la siguiente tabla
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la base se duplica
iquestSi se triplica
＝
1 Construyamos un paralelogramo maacutes grande uniendo varios paralelo-
gramos como se muestra en la figura de abajo
4 Relacioacuten entre la longitud de los lados y el aacuterea
Base (cm) 3 6
Aacuterea (cm2)
Altura (cm) 1 2 3
Aacuterea (cm2) 3
La altura de un paralelogramo se incrementa en tramos
de 2 cm como se muestra a la derecha
① Construye una tabla que muestre la relacioacuten que
hay entre la altura y el aacuterea de esta figura
② Analiza la tabla y escribe tus conclusiones
2 La altura de un triaacutengulo se incrementa
en tramos de 1 cm como se muestra a la
derecha
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea
de un triaacutengulo iquestCuaacutel de los dos elementos
de la foacutermula cambia junto con el aacuterea
iquestQueacute permanece sin cambios
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la base se duplica
iquestY cuando se triplica
④ Cuando el aacuterea de un triaacutengulo es 30cm2 iquestcuaacutentos cm mide su altura
② Completa la tabla de abajo
＝
La base de un triaacutengulo rectaacutengulo se incrementa en tramos de 1 cm como se
muestra en la figura de la derecha
① Construye una tabla que muestre la relacioacuten
que hay entre la base y el aacuterea de estos triaacutengulos
② Si el aacuterea de un triaacutengulo es de 16cm2
iquestcuaacutentos cm mide su base
5 cm
3 cm
4 cm
6 (cm)54321
6 cm
1
2
3
4(cm)
3 cm
6 cm
4 cm
2 cm
Base y aacuterea de un paralelogramo
Altura y aacuterea de un triaacutengulo
1918
5 cm
2 cm
Escribe la foacutermula para
calcular el aacuterea de un paralelogramo
Aacuterea del paralelogramo ＝
Calcula el aacuterea de estos paralelogramos
Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea
de un triaacutengulo
Aacuterea del triaacutengulo ＝
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
Calcula el aacuterea de
este cuadrilaacutetero
Tracemos paralelogramos cuya
base mida 5 cm y su altura 2 cm para
construir un paralelogramo maacutes grande
como se muestra en la figura de abajo
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea de un paralelogramo
iquestCuaacutel de los dos elementos de la foacutermula cambia junto con el aacuterea
iquestQueacute permanece sin cambios
② Completa la tabla de abajo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(cm)
8 cm
4 cm
4 cm
3 cm
9 cm6 cm
9 cm
Base
Altura
3 cm7 cm
1 cm
2 cm
5 cm
Altura y aacuterea de un paralelogramo
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la altura se duplica
iquestCuando se triplica
Altura (cm) 2 4
Aacuterea (cm2)
Paacutegina 5
Paacutegina12
Paacuteginas 6~7
Paacutegina 15
Paacuteginas 12~13
Base
Altura
6 Paacuteginas 16~17
① ②
②①
1
2
3
4
5
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
Traza un triaacutengulo cuya aacuterea sea la
misma que la del triaacutengulo de la derecha
Explica por queacute son iguales
Calcula el aacuterea de las secciones coloreadas en las siguientes figuras
6 cm
3 cm35 cm
8 cm
5 cm
7 cm
6 cm
2 cm
4 cm 8 cm6 cm
3 cm
1 cm1 cm
15 cm135 cm2
1 cm 5 cm2 cm
1 cm
6 cm
4 cm
5 cm
5 cm
8 cm 10 cm
6 cm
5 cm
① El grupo de Hiroshi midioacute el
parque e hizo el diagrama que
muestra a la derecha iquestCuaacutentos
m2 mide esa aacuterea
② Formen equipos y calculen
el aacuterea de diferentes lugares
en su entorno
4
②①
④③
iexclLa figura de abajo es el diagrama de un parque iexclEl reto es calcular su aacuterea
52
74
163
101
178m
m
m
mm
②① Paralelogramo ③ Trapecio
Ir a la paacutegina 86
Encontrar la base y la altura usando foacutermulas
El triaacutengulo de la derecha tiene una
altura de 15 cm y su aacuterea es 135 cm2
iquestCuaacutentos cm mide su base
bull Encontrar maneras para calcular el aacuterea
bull Encontrar la altura o la base cuando se conoce el aacuterea
Paralelogramo
Paralelogramo
2120
bull Trazar un triaacutengulo con la misma aacuterea
iquestQueacute
longitudes
necesitas
iexclCalculemos el aacuterea
del parque
3
2
1
Ir a la paacutegina 21 Ir a la paacutegina 89
2322
Expresa las siguientes magnitudes usando fracciones impropias y fracciones mixtas
iquestCuaacutel es la longitud en metros en cada caso Escribe la respuesta usando fracciones
La respuesta se obtiene dividiendo 1 m en 5 partes iguales
El segmento que se obtiene al dividir 1 m en 10 partes iguales
①
②
La longitud de la parte que excede a 1 m nota que 5 segmentos forman 1 m
1 m
1 m
③ 1 m
① ②
① Encuentra la marca que indica exactamente l
② Encuentra la marca que indica exactamente l
1 ＝2
＝ ＝
1 ＝3
＝
m mdl dl
m
m
m
0 1 2(m)
2
Fracciones9
Vertimos jugo de naranja en
un recipiente graduado usando
fracciones
El tamantildeo de un objeto o el
volumen que estaacute dividido en
secciones iguales se expresa
como una fraccioacuten
Las fracciones tambieacuten pueden
usarse para expresar nuacutemeros
que son mayores que 1
Una fraccioacuten mixta es mayor que 1
Una fraccioacuten impropia es igual o
mayor que 1
1 dl 1 dl
1 dl
1
1
2
1
3
① Lee en voz alta y hazlo de la
fraccioacuten menor a la mayor
② Reemplaza con 2 los numeradores del inciso ① y vuelve a leer
las fracciones en voz alta de la menor a la mayor
2524
( )
1 Sigue las instrucciones de abajo usando la recta numeacuterica
Fracciones equivalentes ③ Observa la recta numeacuterica de la paacutegina anterior y encuentra fracciones
que sean equivalentes
④ Observa la recta numeacuterica y encuentra otras fracciones que sean
equivalentes a las del inciso anterior
⑤ Platica con tus compantildeeros sobre lo que has aprendido y haz un
resumen
① Cuando el denominador es el mismo el valor de
una fraccioacuten se incrementa si el numerador aumenta
② Cuando el numerador es el mismo el valor de una
fraccioacuten disminuye cuando su denominador aumenta
③ Algunas fracciones tienen el mismo valor aunque sus
denominadores y numeradores sean diferentes
Encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten que sea mayor en cada pareja Si son iguales
marca ambas fracciones
1 ＝2
＝ ＝ ＝
1 ＝3
＝
3 ＝4
① 3 3
85 ( )② 3 5
77 ( )③ 1 4
82El valor de la fraccioacuten disminuye
cuando el numerador es el mismo y
el denominador aumenta
1
21 1
314
15
1 11 1 16 7 8 9 10
O OO
O
2726
② Yukie
Suma y resta con fracciones
Suma con fracciones
1 Akira y Yukie hacen cafeacute con leche iquestCuaacutentos litros hizo cada uno
① Akira
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l1
5
1 ＋ ＝5
2
5
3 ＋ ＝6
4
6
Cuando se suman fracciones con el mismo denominador
se suman los numeradores y los denominadores quedan
igual
2 Piensa coacutemo hacer este caacutelculo
3 ＋ ＝8
5
8＝
3 ＋8
5
8
3 Construye sumas utilizando fracciones
propias con el mismo denominador
utiliza nuacutemeros del 1 al 9 Luego
calcula los resultados
＋
①
④
2 ＋ 1
44
2 ＋ 2
33
②
⑤
4 ＋ 1
77
2 ＋ 4
55
③
⑥
2 ＋ 3
88
3 ＋ 6
99
O O O
2
5
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l3
6
4
6
1
5
＝
Piensa cuaacutentas veces
se repite
Puedo expresarlo como
un nuacutemero mixto
Podemos comparar faacutecilmente
el valor de una fraccioacuten si la
expresamos como nuacutemero mixto
o como entero
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l1 l
2 l
2
③ Si repartimos equitativamente 2 litros entre 3 alumnos
iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
Colorea la porcioacuten que
le toca a un alumno
iquestCuaacutentos litros es esa porcioacuten
① Realiza estas operaciones utilizando los nuacutemeros del 1 al 5 en el
2928
①
④
5 － 4
88
3 － 2
44
②
⑤
3 － 3
77
13 － 5
1212
③
⑥
5 － 1
66
－12
5
Cuando hacemos restas con fracciones que tienen el
mismo denominador restamos los numeradores y los
denominadores quedan igual
Resta con fracciones
4 iquestCuaacutento maacutes grande es de litro de jugo que
de litro de leche Piensa coacutemo calcular la respuesta
7
8
4
8
7 － ＝8
4
8
O O O
5 Piensa coacutemo hariacuteas las siguientes restas4 －3
2
3－1
5
7②①
3 Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
Cocientes y fracciones
1 Si repartimos equitativamente 2 litros
de leche entre alumnos iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
2
2 2 2 2 2② Agrupa las expresiones de arriba en los siguientes grupos dependiendo
del tipo de resultado
Cocientes que sean nuacutemeros enteros
Cocientes que sean nuacutemeros decimales
Cocientes que contengan un nuacutemero indefinido de diacutegitos en su
parte decimal
23 es 0666 Este nuacutemero tiene una cantidad indefinida de diacutegitos en
su parte decimal
O O
（ ）（ ）（ ）
minus ＝
La diferencia es cuaacutentos
octavos maacutes hay
Analicemos coacutemo expresar el cociente de una divisioacuten cuando tiene un
nuacutemero indefinido de diacutegitos en su parte decimal
Leche 1l Leche 1l
1 l 1 l
1 l 1 l
1 l
3130
23＝
Cantidad para un alumno cuando 1 litro se divide en 3 partes iguales l
La cantidad para un alumno cuando se reparten 2 litros en 3 partes iguales l
31
31
2 iquestCuaacutentos metros mide cada tramo cuando una cuerda de 3 metros se
divide en 4 partes iguales
① Escribe una expresioacuten matemaacutetica para este problema
② iquestCuaacutel es la longitud de una parte
① 16 ② 58 ③ 43 ④ 97
Reescribe las siguientes divisiones como fracciones
34＝
La divisioacuten de un nuacutemero entre otro
puede expresarse como una fraccioacuten ＝
0
0
0
1
1
2
2 3
41
m
m
m
(m)
(m)
(m)
1
Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
3 Si dividimos una cinta de 2 metros en 5 partes iguales iquestcuaacutentos metros
mediraacute cada una de esas partes
① Expresa el cociente de estas divisiones como una fraccioacuten y despueacutes
como nuacutemero decimal25＝
② Ubica en esta recta numeacuterica la fraccioacuten y tambieacuten su
valor decimal
Para expresar una fraccioacuten como nuacutemero decimal o como nuacutemero
entero dividimos el numerador entre el denominador
25＝
0 02
0
1
1
2
51
(m)
2 (m)
4 iquestQueacute cantidad es mayor iquest l o 07 litros3
5
5 Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales
3 ＝1 ＝855
8
5
29
100
3
10
＝
＝12412
4＝
②
③
①
④
14
24
34
3 ＝ 3 5 ＝5
＝
＝La divisioacuten puede expresarse
como una fraccioacuten
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l
l l
l
25
3332
podemos pensarlo como 19 veces y obtenemos
6 Veamos coacutemo expresar 2 y 5 como fracciones
＝ 23＝0666hellipaproximadamente 0672
3
2＝21＝ 5＝51＝
2＝42＝ 5＝102＝
2＝8 5＝30 ＝＝
2
1
4
2
Los nuacutemeros enteros pueden expresarse como fracciones
usando cualquier denominador
Muchos nuacutemeros decimales pueden expresarse como
fracciones si elegimos y como unidades
7 Expresa los nuacutemeros 019 y 17 como fracciones
① Como 019 es lo mismo que 19 veces 001
1
100
podemos pensarlo como 17 veces y obtenemos
② Como 17 es lo mismo que veces 01
Escribe en los los nuacutemeros decimales y las fracciones que faltan
1
100
1
10
8 Clasifica estas fracciones en los grupos que se indican
11
2
12
3
3
5
3
1
6
2
8
10
4
11
06 1251 27
20
Nuacutemeros enteros
Con un nuacutemero definido de diacutegitos decimales
Otro tipo de nuacutemeros decimales
Se facilita la comparacioacuten de fracciones si las expresamos como
nuacutemeros decimales
9 Dibuja una darr para indicar la posicioacuten de cada uno de los siguientes
nuacutemeros en la recta numeacuterica de abajo
4
5
3
4
2
3
Los nuacutemeros enteros los nuacutemeros decimales y las
fracciones pueden ubicarse en una recta numeacuterica Asiacute es
maacutes faacutecil compararlos
① 09 ② 125 ③ ④ ⑤
Ordena los siguientes nuacutemeros del mayor al menor1
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales como fracciones y las fracciones como
nuacutemeros decimales
2
13 0751
12
4
2
5
7
7
10
21
5
3
4
24
6
② ③ ④ ⑥⑤ ⑦①
Decimales
Fracciones
Escribamos en el de abajo los nuacutemeros decimales y fracciones que faltan
3534
① ② ③ ④
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimalest
paacutegina 31
Analiza los siguientes pares de fracciones y
en cada pareja encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten de mayor valor
paacutegina 25
7
8
5
8
8
3
8
5
2
3
6
9
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
1 ＋ 1
33
2 ＋ 3
55
5 ＋ 3
66
5 － 1
77
5 － 2
44
paacuteginas 26~28
① 17 ② 59 ③ 113
Expresa como fracciones las siguientes divisiones
paacutegina 30
5
10
31
100
18
6
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales
como fracciones
① 03 ② 19 ③ 061 ④ 111
paacutegina 32
Indica con una darr la posicioacuten en la recta numeacuterica
de cada uno de los siguientes nuacutemeros
1 07 18
paacutegina 33
1
2
5
7
5
71－
8
11
4
51
20
④ Piensa coacutemo calcular la
respuesta
iquestPodemos hacer operaciones con nuacutemeros mixtos
Realiza las siguientes operaciones
La familia de Masako bebe 1 litros de leche en la mantildeana y
litros de leche en la tarde
① iquestCuaacutentos litros de leche bebieron en total Escribe una operacioacuten que
represente esto
② Piensa coacutemo calcular la respuesta
③ iquestCuaacutenta leche bebieron maacutes en la
mantildeana respecto a la tarde Escribe
una operacioacuten que represente esto
1
2
35
45
3 ＋1 ＝ 15
45 5
3 －1 ＝545 5 － 4
5
＝
＝
2 ＋① 71
67
2 －1② 434
( ) ( ) ( )① ② ③
(grupo)
no puedo restar
(cambio)
2
3
4
5
6
① ② ③ ④ 06 ⑤ 012
Expresa las siguientes divisiones como fracciones
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales o como nuacutemeros
enteros y los nuacutemeros decimales como fracciones
1
2
16
81
15
Resuelve las siguientes operaciones
① ② ③ ④3 ＋ 2
66
5 ＋ 7
88
31－
5
4 － 3
88
Utiliza dos de las tarjetas y para crear
fracciones Clasifica las fracciones en tres grupos como se indica
Fracciones que pueden expresarse como nuacutemeros enteros
( )Fracciones que pueden expresarse como decimales con un nuacutemero
determinado de diacutegitos
( )Fracciones que no pueden expresarse como decimales con un
nuacutemero determinado de diacutegitos
( )
765434
bull iquestCuaacutel es el elemento que tienen en comuacuten las siguientes
fracciones
3 ＋ 4
55
3 ＋ 4
77＋3
10
4
10
3 ＋ 4
55
iquestCon queacute unidades debemos resolver las siguientes operaciones
para que se comporten como si calculaacuteramos 3＋4
① 03＋04 La unidad es
② 3000＋4000 La unidad es
③ La unidad es
1
3 ＋ 4
99
Encuentra otras operaciones cuyo proceso sea equivalente al que
realizamos con 3＋4
2
① 45 ② 69 ③ 208
Ir a la paacutegina 88
se resuelve sumando 3＋4 si pensamos como la unidad1
5
Entender la relacioacuten que hay entre la divisioacuten con enteros y las fracciones
Resolver sumas y restas con fracciones que tienen el mismo denominador
Expresar cantidades como nuacutemeros decimales como fracciones y como nuacutemeros enteros
Expresar fracciones como nuacutemeros decimales oacute nuacutemeros enteros
3736
Puedo pensar en caacutelculoscon nuacutemeros grandescomo cien millones y un trilloacuten
Puedo hacer muchos caacutelculos como esos usandofracciones con distintodenominador
iquestSeraacute posible iniciar elcaacutelculo con 3＋41
2
3
Ir a la paacutegina 37
38 39
Resuelve estas operaciones en la forma vertical
① 132 ② 5117 ③ 94
④ 1435 ⑤ 6946 ⑥ 3624
⑦ 6104 ⑧ 0805 ⑨ 0725
Haz estas divisiones encontrando el cociente hasta
nuacutemeros enteros e indica cuaacutel es el residuo
① 6117 ② 9706
Tenemos 135 Kg de arroz Si comemos 09 Kg en un diacutea
iquestcuaacutentos diacuteas podremos comer arroz
Escribe en el las medidas que faltan
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
① ②
③
5 cm
3 cm
①
Encuentra coacutemo calcular el aacuterea de estas figuras
①
Trapecio
②
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
3 ＋ 1
55
3 ＋ 1
44
5 ＋ 6
77
5 － 3
44
7 － 3
991
1－10
Cuaacutel es mayor iquest075 o
Necesitamos dividir equitativamente una cuerda de 3m
entre 8 alumnos iquestCuaacutentos metros de cuerda recibiraacute cada uno
8
35
4 cm
7 cm6 cm
5 cm
4 cm
8 cm
3 cm3 cm
3 cm
5 cm
②
paralelogramo
Triaacutengulo isoacutesceles
Paralelogramo
6
99
7
6
5
4
3
2
1
9
9
8
8
8
6
6
6
4140
① Discute con tus compantildeeros sobre la relacioacuten entre la distancia que
avanza cada ciacuterculo y la longitud de sus diaacutemetros
② Haz una estimacioacuten de cuaacutentos cm avanzaraacute en una vuelta un ciacuterculo
cuyo diaacutemetro mide 40cm y comprueba tu prediccioacuten
A la liacutenea curva que limita un ciacuterculo se le llama circunferencia A un segmento de esa curva se lellama arco
Analiza la relacioacuten que hay entre el diaacutemetro de un ciacuterculo y la longitud
de su circunferencia
Diaacutemetro y circunferencia
Analicemos la relacioacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro en
diferentes ciacuterculos
① Veamos algunas formas para medir circunferencias y diaacutemetros
1
Circunferencia（cm）
Diaacutemetro（cm） 10 20 30
Ciacuterculo Ciacuterculo Ciacuterculo Lata(longitud cinta)
② Anota los datos en la siguiente tabla
③ iquestExistiraacute una foacutermula para determinar la relacioacuten entre la
circunferencia y el diaacutemetro
Recorta un pedazo de cartoacuten para trazar los ciacuterculos y cuyos
diaacutemetros miden 10cm 20cm y 30cm respectivamente Despueacutes hazlos
rodar una vuelta completa y mide cuaacutento avanzan
Ciacuterculos
Cuando el diaacutemetro se duplica iquestQueacute tantose incrementa la circunferencia
iquestCuaacutentas veces cabe eldiaacutemetro en la circunferencia
Medida de la circunferencia Medida del diaacutemetro
1
4342
Circunferencia divide Diaacutemetro
10 20 30
Ciacuterculo de cartoacuten Lata Cinta de embalajeCiacuterculo de cartoacuten Ciacuterculo de cartoacuten
Circunferencia(cm）
Diaacutemetro(cm）
④ iquestCuaacutentas veces cabe el diaacutemetro en la circunferencia
Usa tus datos para calcular redondeando
al mileacutesimo maacutes cercano
ldquoCircunferencia divide Diaacutemetrordquo da el mismo resultado para
ciacuterculos de cualquier tamantildeo
A la divisioacuten Circunferencia divide Diaacutemetro se le llama razoacuten
entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro es 314159
Este es un nuacutemero que continuacutea indefinidamente Usualmente se
emplea la aproximacioacuten 314
iquestCuaacutentos centiacutemetros mide la circunferencia de un
ciacuterculo de 8cm de diaacutemetro
2
① Un ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide 15 cm ② Un ciacuterculo cuyo radio mide 25 cm
Calcula la circunferencia de los siguientes ciacuterculos
La circunferencia de una lata ciliacutendrica mide 628 cm
iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro de la lata
① Si el diaacutemetro de la lata es cm escribe una expresioacuten
matemaacutetica aplicando la foacutermula que utilizaste en
② iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro
de la lata
314＝628
3
Los datos de abajo son las longitudes de las circunferencias de
unos ciacuterculos Calcula el diaacutemetro de cada uno
iquestCuaacutentos metros mide el diaacutemetro del tronco de este aacuterbol
① 2826 cm ② 314 cm ③ 3768 cm
2
1
Esta fotografiacutea muestra una imagen
de una moneda antigua dibujada sobre
arena en la Ciudad de Kannonji en el
parque Kagawa La circunferencia de
esta moneda gigante es 345 m
Calcula su diaacutemetro redondeado al
deacutecimo maacutes cercano
2
Razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro = circunferencia divide diaacutemetro
Circunferencia＝Diaacutemetrotimes314
Se necesitan seis nintildeos con sus brazos estirados para
rodear el tronco del aacuterbol en un parque iquestCuaacutentos metros
mediraacute el diaacutemetro de este aacuterbol Los brazos de cada
nintildeo cubren una longitud aproximada de 14 metros
Calcula el diaacutemetro del tronco usando 3 como
valor aproximado para la razoacuten entre la circunferencia
y el diaacutemetro
4544
② Dividamos el ciacuterculo en 4
partes iguales y consideremos
soacutelo una parte
(1) iquestCuaacutentos cuadrados azules y
cuaacutentos color de rosa hay
(2) Observa los cuadrados
color de rosa a lo largo de la
circunferencia el aacuterea de cada
uno mide aproximadamente 05 cm2 iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este
cuarto de ciacuterculo
2 Aacuterea de un ciacuterculo
iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de un ciacuterculo cuyo radio mide 10 cm
Verifica la respuesta trazando ese ciacuterculo sobre papel cuadriculado
a una escala de 1 cm
1
1 cm1 cm
① iquestCoacutemo podemos verificar
que la respuesta es correcta
Piensa coacutemo calcular el aacuterea del ciacuterculo y coacutemo podriacutea ser una
foacutermula para hacer ese caacutelculo
10 cm
10 cm
Foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Piensa coacutemo calcular el aacuterea
de un ciacuterculo
2
Analiza el ciacuterculo
de la derecha
③ iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea del ciacuterculo entero
cuadrados azules 1 (cm2)
cuadrados color de rosa05 (cm2)
① Piensa como construir la foacutermula utilizando una figura que divida el
ciacuterculo en varias secciones iguales a partir del radioiquestQueacute deberiacuteamos
hacer con los cuadrados
que estaacuten parcialmente
cubiertosPara calcular el aacuterea de
paralelogramos y triaacutengulos los
transformamos en otras figuras
conocidas iquestRecuerdas
Hay foacutermulas para calcular
el aacuterea de rectaacutengulos y
triaacutengulos iquestHabraacute una
foacutermula para los
ciacuterculos
4746
② Platica con tus compantildeeros lo que has
pensado para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Analiza cuidadosamente las ideas de
estos tres alumnos
La idea de Takao
Yo divido un ciacuterculo en muchos
triaacutengulos pequentildeos
2 cm
Yo construyo un triaacutengulo con
las partes del ciacuterculo
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
La idea de Akiko
Yo construyo un paralelogramo con las partes del ciacuterculo
③ Piensa coacutemo construir una foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
usando las ideas de estos alumnos
④ Construye una foacutermula con base en la idea
de Akiko
Radio
Circunferenciadivide2
Circunferenciadivide2
RadioRadio
16 secciones iguales
32 secciones iguales
64 secciones igualesCircunferenciadivide2
Aacuterea del rectaacutengulo = largo x ancho
Aacuterea del ciacuterculo ＝ Circunferencia2
＝ radio diaacutemetro3142
＝ radio diaacutemetro2314
＝ radio 314
Mitad de la circunferencia
Radio
La idea de Yasuko
Diaacutemetro2＝Radio iquestde acuerdo
Si cortas un ciacuterculo en
secciones pequentildeas de
igual tamantildeo iquestqueacute figura
puedes formar
4948
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura 2
Aacuterea del ciacuterculo ＝circunferencia radio2
＝Diaacutemetro 314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
Circunferencia
Radio
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
Calcula el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con radio de 8 cm ② Un ciacuterculo con diaacutemetro de 12 cm
3
El diaacutemetro del ciacuterculo mide
4 cm y el del ciacuterculo mide 8 cm
① Encontrar la circunferencia y el
aacuterea de cada ciacuterculo
② El diaacutemetro de es dos
veces el diaacutemetro de
iquestCuaacutentas veces es mayor la
circunferencia y el aacuterea de
que de la circunferen-
cia y el aacuterea de
4
4 cm
A continuacioacuten te damos las medidas de las circunferencias de unos ciacuterculos
Calcula el radio y el aacuterea de cada uno
① 628 cm ② 1884 cm ③ 157 cm
⑥ Construyamos una foacutermula con base en la idea de Takao
Observa las figuras que construimos al dividir el ciacuterculo en 16 secciones
iguales que parecen triaacutengulos Todos estos ldquotriaacutengulosrdquo tienen la misma altura
si los combinamos podemos construir un ldquotriaacutengulordquo grande
El aacuterea de un ciacuterculo puede calcularse usando
la foacutermula Aacuterea ＝radio times radio times 314
8 cm
⑤ Construyamos una foacutermula con base en la idea
de Yasuko
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura2
Aacuterea del ciacuterculo ＝ circunferencia4 radio4 2
＝diaacutemetro314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
98
Piensa en lo anterior utilizando la foacutermula para calcular el aacuterea de un
paralelogramo
4 Calcula el aacuterea de estos paralelogramos
Los paralelogramos que tienen la misma base y altura
tienen aacutereas iguales
5 Construye un paralelogramo cuya aacuterea mida 48 cm2 y su altura sea 8 cm
iquestCuaacutentos cm debe medir su base
8 ＝ 48
base altura aacuterea
2 Aacuterea de un triaacutengulo
1 Calculemos el aacuterea de este triaacutengulo
① Trata de utilizar varios meacutetodos para calcular el aacuterea
Escribe tu idea
4 cm 4 cm 4 cm
8 cm① ② ③
8
1cm
1cmA
B C
iexclPodemos trazar
muchos paralelogramos
cuyas aacutereas midan lo mismo
Ya sabemos coacutemo calcular el
aacuterea de un paralelogramo
iquestSeraacute posible transformar un
triaacutengulo en un paralelogramo
iquestPodemos transformar el
triaacutengulo en un rectaacutengulo
tal y como lo hicimos con
el paralelogramo
1110
② Trata de explicar las ideas que
tuvieron estos cuatro alumnos
③ iquestQueacute aspectos similares presentan estas cuatro ideas
iquestCuaacutel transforma el triaacutengulo en un rectaacutengulo
iquestCuaacutel transforma el triaacutengulo en un paralelogramo
iquestCuaacutel transforma el triaacutengulo en una figura con la misma aacuterea
iquestCuaacutel transforma el triaacutengulo en una figura con el doble
de aacuterea
La idea de Tomoko
La idea de Akira La idea de Hitomi
La idea de Masaru
④ Analiza las ideas que transforman el triaacutengulo en un rectaacutengulo o en
paralelogramo e identifica los lados que tienen la misma longitud que
en el triaacutengulo original
⑤ Piensa coacutemo construir la foacutermula que se necesita para calcular el aacuterea de
un triaacutengulo
La idea de Tomoko
Como uno de los lados del rec-
taacutengulo es la mitad de AI entonces
Aacuterea = (AI2)BC
La idea de Masaru
Como la altura del paralelogramo
es la mitad de AG entonces
Aacuterea = base(AG2)
La idea de Akira
Como el aacuterea del triaacutengulo es la
mitad de la del rectaacutengulo DBCE y
la longitud de uno de los lados del
rectaacutengulo es AF por lo tanto
Aacuterea = (AFBC)2
La idea de Hitomi
Como el aacuterea del triaacutengulo es la
mitad de la del paralelogramo
ABCD por lo tanto
Aacuterea = basealtura2
2 Analiza las longitudes que necesitas para calcular el aacuterea del
siguiente triaacutengulo iquestCuaacutel es su aacuterea
A
D HE F G
B I C
A
FD E
B G C
AD E
B F C
A D
B C
1cm
1cm
iquestAlguna de las ideas es
igual a la tuya
1312
Desde el veacutertice A traza la recta
perpendicular AD al lado BC Si
tomamos el lado BC como base
la longitud del segmento AD
es la altura del triaacutengulo
3 Calcula el aacuterea de
este triaacutengulo midiendo las
longitudes necesarias
Calcula el aacuterea del triaacutengulo ABC como
se indica
① Cuando el lado BC es la base
② Cuando el lado AB es la base
4 Piensa coacutemo calcular el aacuterea de
este triaacutengulo considerando el lado
BC como su base
① Explica las ideas que propusieron
estos dos alumnos
La idea de Hitoshi La idea de Yukie
Traza una recta paralela al lado BC que pase
por el veacutertice A La distancia entre las rectas
y es la altura
del triaacutengulo si el
lado BC es la base
② Calcula el aacuterea de un triaacutengulo cuya base mide 8 cm y su altura 10 cm
Utiliza la foacutermula del aacuterea y luego compaacuterala con el resultado obtenido en ①
Calcula el aacuterea de
las siguientes
figuras
A
DB CBase
Altura
C
A
B
C
A
B
9
6
72
75
6
cm
cm
cm
cm
A
DCB 8 cm 4 cm
10 cm
Base
Altura AlturaAltura
Altura
A
B C
5 cm
6 cm
① ②
Aacuterea de un triaacutengulo＝base times alturadivide2
13 cm
6 cm
7 cm
iquestQueacute es lo que pasa cuando cada
uno de los 3 lados se elige como
base iquestCuaacutel seriacutea la altura del
triaacutengulo en cada caso
1514
10 2 ＝ Area
5 En la figura de abajo las rectas AB y CD son paralelas Calcula el aacuterea de
cada uno de los triaacutengulos
6 La figura que se muestra a la derecha
es un triaacutengulo rectaacutengulo
① Calcula su aacuterea
② Encuentra la altura del triaacutengulo
considerando que el lado BC es la base
Si la base y la altura de dos triaacutengulos son respectivamente
iguales tambieacuten sus aacutereas son iguales
Calcula la altura de cada uno de
los triaacutengulos que se muestran a
la derecha si los lados AD y BC
son respectivamente sus bases
Base Altura
Coacutemo calcular el aacuterea de otras figuras
1 Imagina coacutemo podriacuteas calcular el aacuterea de este cuadrilaacutetero
2 Mide las longitudes que sea
necesario conocer y calcula el
aacuterea de este trapecio
① Divide el cuadrilaacutetero en figuras de las cuales ya sepas coacutemo
calcular el aacuterea
② Mide las longitudes que se requieren para calcular el aacuterea
Es posible calcular el aacuterea de
cuadrilaacuteteros y pentaacutegonos
dividieacutendolos en triaacutengulos
6 cm
3 cm 3 cm 3 cm
3 cm
① ② ③ ④
A B
C D
8 cm
10 cm
cm
6 cm
A
B C
2 cm
4 cm5 cm10 cm
A B
DC
C
A
D
B
C
AD
B
3
1716
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea de un paralelogramo
iquestCuaacutel de los dos elementos de la foacutermula cambia cuando el aacuterea cambia
iquestQueacute permanece sin cambios
② Completa la siguiente tabla
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la base se duplica
iquestSi se triplica
＝
1 Construyamos un paralelogramo maacutes grande uniendo varios paralelo-
gramos como se muestra en la figura de abajo
4 Relacioacuten entre la longitud de los lados y el aacuterea
Base (cm) 3 6
Aacuterea (cm2)
Altura (cm) 1 2 3
Aacuterea (cm2) 3
La altura de un paralelogramo se incrementa en tramos
de 2 cm como se muestra a la derecha
① Construye una tabla que muestre la relacioacuten que
hay entre la altura y el aacuterea de esta figura
② Analiza la tabla y escribe tus conclusiones
2 La altura de un triaacutengulo se incrementa
en tramos de 1 cm como se muestra a la
derecha
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea
de un triaacutengulo iquestCuaacutel de los dos elementos
de la foacutermula cambia junto con el aacuterea
iquestQueacute permanece sin cambios
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la base se duplica
iquestY cuando se triplica
④ Cuando el aacuterea de un triaacutengulo es 30cm2 iquestcuaacutentos cm mide su altura
② Completa la tabla de abajo
＝
La base de un triaacutengulo rectaacutengulo se incrementa en tramos de 1 cm como se
muestra en la figura de la derecha
① Construye una tabla que muestre la relacioacuten
que hay entre la base y el aacuterea de estos triaacutengulos
② Si el aacuterea de un triaacutengulo es de 16cm2
iquestcuaacutentos cm mide su base
5 cm
3 cm
4 cm
6 (cm)54321
6 cm
1
2
3
4(cm)
3 cm
6 cm
4 cm
2 cm
Base y aacuterea de un paralelogramo
Altura y aacuterea de un triaacutengulo
1918
5 cm
2 cm
Escribe la foacutermula para
calcular el aacuterea de un paralelogramo
Aacuterea del paralelogramo ＝
Calcula el aacuterea de estos paralelogramos
Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea
de un triaacutengulo
Aacuterea del triaacutengulo ＝
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
Calcula el aacuterea de
este cuadrilaacutetero
Tracemos paralelogramos cuya
base mida 5 cm y su altura 2 cm para
construir un paralelogramo maacutes grande
como se muestra en la figura de abajo
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea de un paralelogramo
iquestCuaacutel de los dos elementos de la foacutermula cambia junto con el aacuterea
iquestQueacute permanece sin cambios
② Completa la tabla de abajo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(cm)
8 cm
4 cm
4 cm
3 cm
9 cm6 cm
9 cm
Base
Altura
3 cm7 cm
1 cm
2 cm
5 cm
Altura y aacuterea de un paralelogramo
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la altura se duplica
iquestCuando se triplica
Altura (cm) 2 4
Aacuterea (cm2)
Paacutegina 5
Paacutegina12
Paacuteginas 6~7
Paacutegina 15
Paacuteginas 12~13
Base
Altura
6 Paacuteginas 16~17
① ②
②①
1
2
3
4
5
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
Traza un triaacutengulo cuya aacuterea sea la
misma que la del triaacutengulo de la derecha
Explica por queacute son iguales
Calcula el aacuterea de las secciones coloreadas en las siguientes figuras
6 cm
3 cm35 cm
8 cm
5 cm
7 cm
6 cm
2 cm
4 cm 8 cm6 cm
3 cm
1 cm1 cm
15 cm135 cm2
1 cm 5 cm2 cm
1 cm
6 cm
4 cm
5 cm
5 cm
8 cm 10 cm
6 cm
5 cm
① El grupo de Hiroshi midioacute el
parque e hizo el diagrama que
muestra a la derecha iquestCuaacutentos
m2 mide esa aacuterea
② Formen equipos y calculen
el aacuterea de diferentes lugares
en su entorno
4
②①
④③
iexclLa figura de abajo es el diagrama de un parque iexclEl reto es calcular su aacuterea
52
74
163
101
178m
m
m
mm
②① Paralelogramo ③ Trapecio
Ir a la paacutegina 86
Encontrar la base y la altura usando foacutermulas
El triaacutengulo de la derecha tiene una
altura de 15 cm y su aacuterea es 135 cm2
iquestCuaacutentos cm mide su base
bull Encontrar maneras para calcular el aacuterea
bull Encontrar la altura o la base cuando se conoce el aacuterea
Paralelogramo
Paralelogramo
2120
bull Trazar un triaacutengulo con la misma aacuterea
iquestQueacute
longitudes
necesitas
iexclCalculemos el aacuterea
del parque
3
2
1
Ir a la paacutegina 21 Ir a la paacutegina 89
2322
Expresa las siguientes magnitudes usando fracciones impropias y fracciones mixtas
iquestCuaacutel es la longitud en metros en cada caso Escribe la respuesta usando fracciones
La respuesta se obtiene dividiendo 1 m en 5 partes iguales
El segmento que se obtiene al dividir 1 m en 10 partes iguales
①
②
La longitud de la parte que excede a 1 m nota que 5 segmentos forman 1 m
1 m
1 m
③ 1 m
① ②
① Encuentra la marca que indica exactamente l
② Encuentra la marca que indica exactamente l
1 ＝2
＝ ＝
1 ＝3
＝
m mdl dl
m
m
m
0 1 2(m)
2
Fracciones9
Vertimos jugo de naranja en
un recipiente graduado usando
fracciones
El tamantildeo de un objeto o el
volumen que estaacute dividido en
secciones iguales se expresa
como una fraccioacuten
Las fracciones tambieacuten pueden
usarse para expresar nuacutemeros
que son mayores que 1
Una fraccioacuten mixta es mayor que 1
Una fraccioacuten impropia es igual o
mayor que 1
1 dl 1 dl
1 dl
1
1
2
1
3
① Lee en voz alta y hazlo de la
fraccioacuten menor a la mayor
② Reemplaza con 2 los numeradores del inciso ① y vuelve a leer
las fracciones en voz alta de la menor a la mayor
2524
( )
1 Sigue las instrucciones de abajo usando la recta numeacuterica
Fracciones equivalentes ③ Observa la recta numeacuterica de la paacutegina anterior y encuentra fracciones
que sean equivalentes
④ Observa la recta numeacuterica y encuentra otras fracciones que sean
equivalentes a las del inciso anterior
⑤ Platica con tus compantildeeros sobre lo que has aprendido y haz un
resumen
① Cuando el denominador es el mismo el valor de
una fraccioacuten se incrementa si el numerador aumenta
② Cuando el numerador es el mismo el valor de una
fraccioacuten disminuye cuando su denominador aumenta
③ Algunas fracciones tienen el mismo valor aunque sus
denominadores y numeradores sean diferentes
Encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten que sea mayor en cada pareja Si son iguales
marca ambas fracciones
1 ＝2
＝ ＝ ＝
1 ＝3
＝
3 ＝4
① 3 3
85 ( )② 3 5
77 ( )③ 1 4
82El valor de la fraccioacuten disminuye
cuando el numerador es el mismo y
el denominador aumenta
1
21 1
314
15
1 11 1 16 7 8 9 10
O OO
O
2726
② Yukie
Suma y resta con fracciones
Suma con fracciones
1 Akira y Yukie hacen cafeacute con leche iquestCuaacutentos litros hizo cada uno
① Akira
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l1
5
1 ＋ ＝5
2
5
3 ＋ ＝6
4
6
Cuando se suman fracciones con el mismo denominador
se suman los numeradores y los denominadores quedan
igual
2 Piensa coacutemo hacer este caacutelculo
3 ＋ ＝8
5
8＝
3 ＋8
5
8
3 Construye sumas utilizando fracciones
propias con el mismo denominador
utiliza nuacutemeros del 1 al 9 Luego
calcula los resultados
＋
①
④
2 ＋ 1
44
2 ＋ 2
33
②
⑤
4 ＋ 1
77
2 ＋ 4
55
③
⑥
2 ＋ 3
88
3 ＋ 6
99
O O O
2
5
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l3
6
4
6
1
5
＝
Piensa cuaacutentas veces
se repite
Puedo expresarlo como
un nuacutemero mixto
Podemos comparar faacutecilmente
el valor de una fraccioacuten si la
expresamos como nuacutemero mixto
o como entero
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l1 l
2 l
2
③ Si repartimos equitativamente 2 litros entre 3 alumnos
iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
Colorea la porcioacuten que
le toca a un alumno
iquestCuaacutentos litros es esa porcioacuten
① Realiza estas operaciones utilizando los nuacutemeros del 1 al 5 en el
2928
①
④
5 － 4
88
3 － 2
44
②
⑤
3 － 3
77
13 － 5
1212
③
⑥
5 － 1
66
－12
5
Cuando hacemos restas con fracciones que tienen el
mismo denominador restamos los numeradores y los
denominadores quedan igual
Resta con fracciones
4 iquestCuaacutento maacutes grande es de litro de jugo que
de litro de leche Piensa coacutemo calcular la respuesta
7
8
4
8
7 － ＝8
4
8
O O O
5 Piensa coacutemo hariacuteas las siguientes restas4 －3
2
3－1
5
7②①
3 Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
Cocientes y fracciones
1 Si repartimos equitativamente 2 litros
de leche entre alumnos iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
2
2 2 2 2 2② Agrupa las expresiones de arriba en los siguientes grupos dependiendo
del tipo de resultado
Cocientes que sean nuacutemeros enteros
Cocientes que sean nuacutemeros decimales
Cocientes que contengan un nuacutemero indefinido de diacutegitos en su
parte decimal
23 es 0666 Este nuacutemero tiene una cantidad indefinida de diacutegitos en
su parte decimal
O O
（ ）（ ）（ ）
minus ＝
La diferencia es cuaacutentos
octavos maacutes hay
Analicemos coacutemo expresar el cociente de una divisioacuten cuando tiene un
nuacutemero indefinido de diacutegitos en su parte decimal
Leche 1l Leche 1l
1 l 1 l
1 l 1 l
1 l
3130
23＝
Cantidad para un alumno cuando 1 litro se divide en 3 partes iguales l
La cantidad para un alumno cuando se reparten 2 litros en 3 partes iguales l
31
31
2 iquestCuaacutentos metros mide cada tramo cuando una cuerda de 3 metros se
divide en 4 partes iguales
① Escribe una expresioacuten matemaacutetica para este problema
② iquestCuaacutel es la longitud de una parte
① 16 ② 58 ③ 43 ④ 97
Reescribe las siguientes divisiones como fracciones
34＝
La divisioacuten de un nuacutemero entre otro
puede expresarse como una fraccioacuten ＝
0
0
0
1
1
2
2 3
41
m
m
m
(m)
(m)
(m)
1
Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
3 Si dividimos una cinta de 2 metros en 5 partes iguales iquestcuaacutentos metros
mediraacute cada una de esas partes
① Expresa el cociente de estas divisiones como una fraccioacuten y despueacutes
como nuacutemero decimal25＝
② Ubica en esta recta numeacuterica la fraccioacuten y tambieacuten su
valor decimal
Para expresar una fraccioacuten como nuacutemero decimal o como nuacutemero
entero dividimos el numerador entre el denominador
25＝
0 02
0
1
1
2
51
(m)
2 (m)
4 iquestQueacute cantidad es mayor iquest l o 07 litros3
5
5 Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales
3 ＝1 ＝855
8
5
29
100
3
10
＝
＝12412
4＝
②
③
①
④
14
24
34
3 ＝ 3 5 ＝5
＝
＝La divisioacuten puede expresarse
como una fraccioacuten
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l
l l
l
25
3332
podemos pensarlo como 19 veces y obtenemos
6 Veamos coacutemo expresar 2 y 5 como fracciones
＝ 23＝0666hellipaproximadamente 0672
3
2＝21＝ 5＝51＝
2＝42＝ 5＝102＝
2＝8 5＝30 ＝＝
2
1
4
2
Los nuacutemeros enteros pueden expresarse como fracciones
usando cualquier denominador
Muchos nuacutemeros decimales pueden expresarse como
fracciones si elegimos y como unidades
7 Expresa los nuacutemeros 019 y 17 como fracciones
① Como 019 es lo mismo que 19 veces 001
1
100
podemos pensarlo como 17 veces y obtenemos
② Como 17 es lo mismo que veces 01
Escribe en los los nuacutemeros decimales y las fracciones que faltan
1
100
1
10
8 Clasifica estas fracciones en los grupos que se indican
11
2
12
3
3
5
3
1
6
2
8
10
4
11
06 1251 27
20
Nuacutemeros enteros
Con un nuacutemero definido de diacutegitos decimales
Otro tipo de nuacutemeros decimales
Se facilita la comparacioacuten de fracciones si las expresamos como
nuacutemeros decimales
9 Dibuja una darr para indicar la posicioacuten de cada uno de los siguientes
nuacutemeros en la recta numeacuterica de abajo
4
5
3
4
2
3
Los nuacutemeros enteros los nuacutemeros decimales y las
fracciones pueden ubicarse en una recta numeacuterica Asiacute es
maacutes faacutecil compararlos
① 09 ② 125 ③ ④ ⑤
Ordena los siguientes nuacutemeros del mayor al menor1
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales como fracciones y las fracciones como
nuacutemeros decimales
2
13 0751
12
4
2
5
7
7
10
21
5
3
4
24
6
② ③ ④ ⑥⑤ ⑦①
Decimales
Fracciones
Escribamos en el de abajo los nuacutemeros decimales y fracciones que faltan
3534
① ② ③ ④
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimalest
paacutegina 31
Analiza los siguientes pares de fracciones y
en cada pareja encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten de mayor valor
paacutegina 25
7
8
5
8
8
3
8
5
2
3
6
9
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
1 ＋ 1
33
2 ＋ 3
55
5 ＋ 3
66
5 － 1
77
5 － 2
44
paacuteginas 26~28
① 17 ② 59 ③ 113
Expresa como fracciones las siguientes divisiones
paacutegina 30
5
10
31
100
18
6
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales
como fracciones
① 03 ② 19 ③ 061 ④ 111
paacutegina 32
Indica con una darr la posicioacuten en la recta numeacuterica
de cada uno de los siguientes nuacutemeros
1 07 18
paacutegina 33
1
2
5
7
5
71－
8
11
4
51
20
④ Piensa coacutemo calcular la
respuesta
iquestPodemos hacer operaciones con nuacutemeros mixtos
Realiza las siguientes operaciones
La familia de Masako bebe 1 litros de leche en la mantildeana y
litros de leche en la tarde
① iquestCuaacutentos litros de leche bebieron en total Escribe una operacioacuten que
represente esto
② Piensa coacutemo calcular la respuesta
③ iquestCuaacutenta leche bebieron maacutes en la
mantildeana respecto a la tarde Escribe
una operacioacuten que represente esto
1
2
35
45
3 ＋1 ＝ 15
45 5
3 －1 ＝545 5 － 4
5
＝
＝
2 ＋① 71
67
2 －1② 434
( ) ( ) ( )① ② ③
(grupo)
no puedo restar
(cambio)
2
3
4
5
6
① ② ③ ④ 06 ⑤ 012
Expresa las siguientes divisiones como fracciones
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales o como nuacutemeros
enteros y los nuacutemeros decimales como fracciones
1
2
16
81
15
Resuelve las siguientes operaciones
① ② ③ ④3 ＋ 2
66
5 ＋ 7
88
31－
5
4 － 3
88
Utiliza dos de las tarjetas y para crear
fracciones Clasifica las fracciones en tres grupos como se indica
Fracciones que pueden expresarse como nuacutemeros enteros
( )Fracciones que pueden expresarse como decimales con un nuacutemero
determinado de diacutegitos
( )Fracciones que no pueden expresarse como decimales con un
nuacutemero determinado de diacutegitos
( )
765434
bull iquestCuaacutel es el elemento que tienen en comuacuten las siguientes
fracciones
3 ＋ 4
55
3 ＋ 4
77＋3
10
4
10
3 ＋ 4
55
iquestCon queacute unidades debemos resolver las siguientes operaciones
para que se comporten como si calculaacuteramos 3＋4
① 03＋04 La unidad es
② 3000＋4000 La unidad es
③ La unidad es
1
3 ＋ 4
99
Encuentra otras operaciones cuyo proceso sea equivalente al que
realizamos con 3＋4
2
① 45 ② 69 ③ 208
Ir a la paacutegina 88
se resuelve sumando 3＋4 si pensamos como la unidad1
5
Entender la relacioacuten que hay entre la divisioacuten con enteros y las fracciones
Resolver sumas y restas con fracciones que tienen el mismo denominador
Expresar cantidades como nuacutemeros decimales como fracciones y como nuacutemeros enteros
Expresar fracciones como nuacutemeros decimales oacute nuacutemeros enteros
3736
Puedo pensar en caacutelculoscon nuacutemeros grandescomo cien millones y un trilloacuten
Puedo hacer muchos caacutelculos como esos usandofracciones con distintodenominador
iquestSeraacute posible iniciar elcaacutelculo con 3＋41
2
3
Ir a la paacutegina 37
38 39
Resuelve estas operaciones en la forma vertical
① 132 ② 5117 ③ 94
④ 1435 ⑤ 6946 ⑥ 3624
⑦ 6104 ⑧ 0805 ⑨ 0725
Haz estas divisiones encontrando el cociente hasta
nuacutemeros enteros e indica cuaacutel es el residuo
① 6117 ② 9706
Tenemos 135 Kg de arroz Si comemos 09 Kg en un diacutea
iquestcuaacutentos diacuteas podremos comer arroz
Escribe en el las medidas que faltan
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
① ②
③
5 cm
3 cm
①
Encuentra coacutemo calcular el aacuterea de estas figuras
①
Trapecio
②
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
3 ＋ 1
55
3 ＋ 1
44
5 ＋ 6
77
5 － 3
44
7 － 3
991
1－10
Cuaacutel es mayor iquest075 o
Necesitamos dividir equitativamente una cuerda de 3m
entre 8 alumnos iquestCuaacutentos metros de cuerda recibiraacute cada uno
8
35
4 cm
7 cm6 cm
5 cm
4 cm
8 cm
3 cm3 cm
3 cm
5 cm
②
paralelogramo
Triaacutengulo isoacutesceles
Paralelogramo
6
99
7
6
5
4
3
2
1
9
9
8
8
8
6
6
6
4140
① Discute con tus compantildeeros sobre la relacioacuten entre la distancia que
avanza cada ciacuterculo y la longitud de sus diaacutemetros
② Haz una estimacioacuten de cuaacutentos cm avanzaraacute en una vuelta un ciacuterculo
cuyo diaacutemetro mide 40cm y comprueba tu prediccioacuten
A la liacutenea curva que limita un ciacuterculo se le llama circunferencia A un segmento de esa curva se lellama arco
Analiza la relacioacuten que hay entre el diaacutemetro de un ciacuterculo y la longitud
de su circunferencia
Diaacutemetro y circunferencia
Analicemos la relacioacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro en
diferentes ciacuterculos
① Veamos algunas formas para medir circunferencias y diaacutemetros
1
Circunferencia（cm）
Diaacutemetro（cm） 10 20 30
Ciacuterculo Ciacuterculo Ciacuterculo Lata(longitud cinta)
② Anota los datos en la siguiente tabla
③ iquestExistiraacute una foacutermula para determinar la relacioacuten entre la
circunferencia y el diaacutemetro
Recorta un pedazo de cartoacuten para trazar los ciacuterculos y cuyos
diaacutemetros miden 10cm 20cm y 30cm respectivamente Despueacutes hazlos
rodar una vuelta completa y mide cuaacutento avanzan
Ciacuterculos
Cuando el diaacutemetro se duplica iquestQueacute tantose incrementa la circunferencia
iquestCuaacutentas veces cabe eldiaacutemetro en la circunferencia
Medida de la circunferencia Medida del diaacutemetro
1
4342
Circunferencia divide Diaacutemetro
10 20 30
Ciacuterculo de cartoacuten Lata Cinta de embalajeCiacuterculo de cartoacuten Ciacuterculo de cartoacuten
Circunferencia(cm）
Diaacutemetro(cm）
④ iquestCuaacutentas veces cabe el diaacutemetro en la circunferencia
Usa tus datos para calcular redondeando
al mileacutesimo maacutes cercano
ldquoCircunferencia divide Diaacutemetrordquo da el mismo resultado para
ciacuterculos de cualquier tamantildeo
A la divisioacuten Circunferencia divide Diaacutemetro se le llama razoacuten
entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro es 314159
Este es un nuacutemero que continuacutea indefinidamente Usualmente se
emplea la aproximacioacuten 314
iquestCuaacutentos centiacutemetros mide la circunferencia de un
ciacuterculo de 8cm de diaacutemetro
2
① Un ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide 15 cm ② Un ciacuterculo cuyo radio mide 25 cm
Calcula la circunferencia de los siguientes ciacuterculos
La circunferencia de una lata ciliacutendrica mide 628 cm
iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro de la lata
① Si el diaacutemetro de la lata es cm escribe una expresioacuten
matemaacutetica aplicando la foacutermula que utilizaste en
② iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro
de la lata
314＝628
3
Los datos de abajo son las longitudes de las circunferencias de
unos ciacuterculos Calcula el diaacutemetro de cada uno
iquestCuaacutentos metros mide el diaacutemetro del tronco de este aacuterbol
① 2826 cm ② 314 cm ③ 3768 cm
2
1
Esta fotografiacutea muestra una imagen
de una moneda antigua dibujada sobre
arena en la Ciudad de Kannonji en el
parque Kagawa La circunferencia de
esta moneda gigante es 345 m
Calcula su diaacutemetro redondeado al
deacutecimo maacutes cercano
2
Razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro = circunferencia divide diaacutemetro
Circunferencia＝Diaacutemetrotimes314
Se necesitan seis nintildeos con sus brazos estirados para
rodear el tronco del aacuterbol en un parque iquestCuaacutentos metros
mediraacute el diaacutemetro de este aacuterbol Los brazos de cada
nintildeo cubren una longitud aproximada de 14 metros
Calcula el diaacutemetro del tronco usando 3 como
valor aproximado para la razoacuten entre la circunferencia
y el diaacutemetro
4544
② Dividamos el ciacuterculo en 4
partes iguales y consideremos
soacutelo una parte
(1) iquestCuaacutentos cuadrados azules y
cuaacutentos color de rosa hay
(2) Observa los cuadrados
color de rosa a lo largo de la
circunferencia el aacuterea de cada
uno mide aproximadamente 05 cm2 iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este
cuarto de ciacuterculo
2 Aacuterea de un ciacuterculo
iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de un ciacuterculo cuyo radio mide 10 cm
Verifica la respuesta trazando ese ciacuterculo sobre papel cuadriculado
a una escala de 1 cm
1
1 cm1 cm
① iquestCoacutemo podemos verificar
que la respuesta es correcta
Piensa coacutemo calcular el aacuterea del ciacuterculo y coacutemo podriacutea ser una
foacutermula para hacer ese caacutelculo
10 cm
10 cm
Foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Piensa coacutemo calcular el aacuterea
de un ciacuterculo
2
Analiza el ciacuterculo
de la derecha
③ iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea del ciacuterculo entero
cuadrados azules 1 (cm2)
cuadrados color de rosa05 (cm2)
① Piensa como construir la foacutermula utilizando una figura que divida el
ciacuterculo en varias secciones iguales a partir del radioiquestQueacute deberiacuteamos
hacer con los cuadrados
que estaacuten parcialmente
cubiertosPara calcular el aacuterea de
paralelogramos y triaacutengulos los
transformamos en otras figuras
conocidas iquestRecuerdas
Hay foacutermulas para calcular
el aacuterea de rectaacutengulos y
triaacutengulos iquestHabraacute una
foacutermula para los
ciacuterculos
4746
② Platica con tus compantildeeros lo que has
pensado para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Analiza cuidadosamente las ideas de
estos tres alumnos
La idea de Takao
Yo divido un ciacuterculo en muchos
triaacutengulos pequentildeos
2 cm
Yo construyo un triaacutengulo con
las partes del ciacuterculo
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
La idea de Akiko
Yo construyo un paralelogramo con las partes del ciacuterculo
③ Piensa coacutemo construir una foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
usando las ideas de estos alumnos
④ Construye una foacutermula con base en la idea
de Akiko
Radio
Circunferenciadivide2
Circunferenciadivide2
RadioRadio
16 secciones iguales
32 secciones iguales
64 secciones igualesCircunferenciadivide2
Aacuterea del rectaacutengulo = largo x ancho
Aacuterea del ciacuterculo ＝ Circunferencia2
＝ radio diaacutemetro3142
＝ radio diaacutemetro2314
＝ radio 314
Mitad de la circunferencia
Radio
La idea de Yasuko
Diaacutemetro2＝Radio iquestde acuerdo
Si cortas un ciacuterculo en
secciones pequentildeas de
igual tamantildeo iquestqueacute figura
puedes formar
4948
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura 2
Aacuterea del ciacuterculo ＝circunferencia radio2
＝Diaacutemetro 314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
Circunferencia
Radio
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
Calcula el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con radio de 8 cm ② Un ciacuterculo con diaacutemetro de 12 cm
3
El diaacutemetro del ciacuterculo mide
4 cm y el del ciacuterculo mide 8 cm
① Encontrar la circunferencia y el
aacuterea de cada ciacuterculo
② El diaacutemetro de es dos
veces el diaacutemetro de
iquestCuaacutentas veces es mayor la
circunferencia y el aacuterea de
que de la circunferen-
cia y el aacuterea de
4
4 cm
A continuacioacuten te damos las medidas de las circunferencias de unos ciacuterculos
Calcula el radio y el aacuterea de cada uno
① 628 cm ② 1884 cm ③ 157 cm
⑥ Construyamos una foacutermula con base en la idea de Takao
Observa las figuras que construimos al dividir el ciacuterculo en 16 secciones
iguales que parecen triaacutengulos Todos estos ldquotriaacutengulosrdquo tienen la misma altura
si los combinamos podemos construir un ldquotriaacutengulordquo grande
El aacuterea de un ciacuterculo puede calcularse usando
la foacutermula Aacuterea ＝radio times radio times 314
8 cm
⑤ Construyamos una foacutermula con base en la idea
de Yasuko
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura2
Aacuterea del ciacuterculo ＝ circunferencia4 radio4 2
＝diaacutemetro314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
1110
② Trata de explicar las ideas que
tuvieron estos cuatro alumnos
③ iquestQueacute aspectos similares presentan estas cuatro ideas
iquestCuaacutel transforma el triaacutengulo en un rectaacutengulo
iquestCuaacutel transforma el triaacutengulo en un paralelogramo
iquestCuaacutel transforma el triaacutengulo en una figura con la misma aacuterea
iquestCuaacutel transforma el triaacutengulo en una figura con el doble
de aacuterea
La idea de Tomoko
La idea de Akira La idea de Hitomi
La idea de Masaru
④ Analiza las ideas que transforman el triaacutengulo en un rectaacutengulo o en
paralelogramo e identifica los lados que tienen la misma longitud que
en el triaacutengulo original
⑤ Piensa coacutemo construir la foacutermula que se necesita para calcular el aacuterea de
un triaacutengulo
La idea de Tomoko
Como uno de los lados del rec-
taacutengulo es la mitad de AI entonces
Aacuterea = (AI2)BC
La idea de Masaru
Como la altura del paralelogramo
es la mitad de AG entonces
Aacuterea = base(AG2)
La idea de Akira
Como el aacuterea del triaacutengulo es la
mitad de la del rectaacutengulo DBCE y
la longitud de uno de los lados del
rectaacutengulo es AF por lo tanto
Aacuterea = (AFBC)2
La idea de Hitomi
Como el aacuterea del triaacutengulo es la
mitad de la del paralelogramo
ABCD por lo tanto
Aacuterea = basealtura2
2 Analiza las longitudes que necesitas para calcular el aacuterea del
siguiente triaacutengulo iquestCuaacutel es su aacuterea
A
D HE F G
B I C
A
FD E
B G C
AD E
B F C
A D
B C
1cm
1cm
iquestAlguna de las ideas es
igual a la tuya
1312
Desde el veacutertice A traza la recta
perpendicular AD al lado BC Si
tomamos el lado BC como base
la longitud del segmento AD
es la altura del triaacutengulo
3 Calcula el aacuterea de
este triaacutengulo midiendo las
longitudes necesarias
Calcula el aacuterea del triaacutengulo ABC como
se indica
① Cuando el lado BC es la base
② Cuando el lado AB es la base
4 Piensa coacutemo calcular el aacuterea de
este triaacutengulo considerando el lado
BC como su base
① Explica las ideas que propusieron
estos dos alumnos
La idea de Hitoshi La idea de Yukie
Traza una recta paralela al lado BC que pase
por el veacutertice A La distancia entre las rectas
y es la altura
del triaacutengulo si el
lado BC es la base
② Calcula el aacuterea de un triaacutengulo cuya base mide 8 cm y su altura 10 cm
Utiliza la foacutermula del aacuterea y luego compaacuterala con el resultado obtenido en ①
Calcula el aacuterea de
las siguientes
figuras
A
DB CBase
Altura
C
A
B
C
A
B
9
6
72
75
6
cm
cm
cm
cm
A
DCB 8 cm 4 cm
10 cm
Base
Altura AlturaAltura
Altura
A
B C
5 cm
6 cm
① ②
Aacuterea de un triaacutengulo＝base times alturadivide2
13 cm
6 cm
7 cm
iquestQueacute es lo que pasa cuando cada
uno de los 3 lados se elige como
base iquestCuaacutel seriacutea la altura del
triaacutengulo en cada caso
1514
10 2 ＝ Area
5 En la figura de abajo las rectas AB y CD son paralelas Calcula el aacuterea de
cada uno de los triaacutengulos
6 La figura que se muestra a la derecha
es un triaacutengulo rectaacutengulo
① Calcula su aacuterea
② Encuentra la altura del triaacutengulo
considerando que el lado BC es la base
Si la base y la altura de dos triaacutengulos son respectivamente
iguales tambieacuten sus aacutereas son iguales
Calcula la altura de cada uno de
los triaacutengulos que se muestran a
la derecha si los lados AD y BC
son respectivamente sus bases
Base Altura
Coacutemo calcular el aacuterea de otras figuras
1 Imagina coacutemo podriacuteas calcular el aacuterea de este cuadrilaacutetero
2 Mide las longitudes que sea
necesario conocer y calcula el
aacuterea de este trapecio
① Divide el cuadrilaacutetero en figuras de las cuales ya sepas coacutemo
calcular el aacuterea
② Mide las longitudes que se requieren para calcular el aacuterea
Es posible calcular el aacuterea de
cuadrilaacuteteros y pentaacutegonos
dividieacutendolos en triaacutengulos
6 cm
3 cm 3 cm 3 cm
3 cm
① ② ③ ④
A B
C D
8 cm
10 cm
cm
6 cm
A
B C
2 cm
4 cm5 cm10 cm
A B
DC
C
A
D
B
C
AD
B
3
1716
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea de un paralelogramo
iquestCuaacutel de los dos elementos de la foacutermula cambia cuando el aacuterea cambia
iquestQueacute permanece sin cambios
② Completa la siguiente tabla
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la base se duplica
iquestSi se triplica
＝
1 Construyamos un paralelogramo maacutes grande uniendo varios paralelo-
gramos como se muestra en la figura de abajo
4 Relacioacuten entre la longitud de los lados y el aacuterea
Base (cm) 3 6
Aacuterea (cm2)
Altura (cm) 1 2 3
Aacuterea (cm2) 3
La altura de un paralelogramo se incrementa en tramos
de 2 cm como se muestra a la derecha
① Construye una tabla que muestre la relacioacuten que
hay entre la altura y el aacuterea de esta figura
② Analiza la tabla y escribe tus conclusiones
2 La altura de un triaacutengulo se incrementa
en tramos de 1 cm como se muestra a la
derecha
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea
de un triaacutengulo iquestCuaacutel de los dos elementos
de la foacutermula cambia junto con el aacuterea
iquestQueacute permanece sin cambios
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la base se duplica
iquestY cuando se triplica
④ Cuando el aacuterea de un triaacutengulo es 30cm2 iquestcuaacutentos cm mide su altura
② Completa la tabla de abajo
＝
La base de un triaacutengulo rectaacutengulo se incrementa en tramos de 1 cm como se
muestra en la figura de la derecha
① Construye una tabla que muestre la relacioacuten
que hay entre la base y el aacuterea de estos triaacutengulos
② Si el aacuterea de un triaacutengulo es de 16cm2
iquestcuaacutentos cm mide su base
5 cm
3 cm
4 cm
6 (cm)54321
6 cm
1
2
3
4(cm)
3 cm
6 cm
4 cm
2 cm
Base y aacuterea de un paralelogramo
Altura y aacuterea de un triaacutengulo
1918
5 cm
2 cm
Escribe la foacutermula para
calcular el aacuterea de un paralelogramo
Aacuterea del paralelogramo ＝
Calcula el aacuterea de estos paralelogramos
Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea
de un triaacutengulo
Aacuterea del triaacutengulo ＝
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
Calcula el aacuterea de
este cuadrilaacutetero
Tracemos paralelogramos cuya
base mida 5 cm y su altura 2 cm para
construir un paralelogramo maacutes grande
como se muestra en la figura de abajo
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea de un paralelogramo
iquestCuaacutel de los dos elementos de la foacutermula cambia junto con el aacuterea
iquestQueacute permanece sin cambios
② Completa la tabla de abajo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(cm)
8 cm
4 cm
4 cm
3 cm
9 cm6 cm
9 cm
Base
Altura
3 cm7 cm
1 cm
2 cm
5 cm
Altura y aacuterea de un paralelogramo
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la altura se duplica
iquestCuando se triplica
Altura (cm) 2 4
Aacuterea (cm2)
Paacutegina 5
Paacutegina12
Paacuteginas 6~7
Paacutegina 15
Paacuteginas 12~13
Base
Altura
6 Paacuteginas 16~17
① ②
②①
1
2
3
4
5
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
Traza un triaacutengulo cuya aacuterea sea la
misma que la del triaacutengulo de la derecha
Explica por queacute son iguales
Calcula el aacuterea de las secciones coloreadas en las siguientes figuras
6 cm
3 cm35 cm
8 cm
5 cm
7 cm
6 cm
2 cm
4 cm 8 cm6 cm
3 cm
1 cm1 cm
15 cm135 cm2
1 cm 5 cm2 cm
1 cm
6 cm
4 cm
5 cm
5 cm
8 cm 10 cm
6 cm
5 cm
① El grupo de Hiroshi midioacute el
parque e hizo el diagrama que
muestra a la derecha iquestCuaacutentos
m2 mide esa aacuterea
② Formen equipos y calculen
el aacuterea de diferentes lugares
en su entorno
4
②①
④③
iexclLa figura de abajo es el diagrama de un parque iexclEl reto es calcular su aacuterea
52
74
163
101
178m
m
m
mm
②① Paralelogramo ③ Trapecio
Ir a la paacutegina 86
Encontrar la base y la altura usando foacutermulas
El triaacutengulo de la derecha tiene una
altura de 15 cm y su aacuterea es 135 cm2
iquestCuaacutentos cm mide su base
bull Encontrar maneras para calcular el aacuterea
bull Encontrar la altura o la base cuando se conoce el aacuterea
Paralelogramo
Paralelogramo
2120
bull Trazar un triaacutengulo con la misma aacuterea
iquestQueacute
longitudes
necesitas
iexclCalculemos el aacuterea
del parque
3
2
1
Ir a la paacutegina 21 Ir a la paacutegina 89
2322
Expresa las siguientes magnitudes usando fracciones impropias y fracciones mixtas
iquestCuaacutel es la longitud en metros en cada caso Escribe la respuesta usando fracciones
La respuesta se obtiene dividiendo 1 m en 5 partes iguales
El segmento que se obtiene al dividir 1 m en 10 partes iguales
①
②
La longitud de la parte que excede a 1 m nota que 5 segmentos forman 1 m
1 m
1 m
③ 1 m
① ②
① Encuentra la marca que indica exactamente l
② Encuentra la marca que indica exactamente l
1 ＝2
＝ ＝
1 ＝3
＝
m mdl dl
m
m
m
0 1 2(m)
2
Fracciones9
Vertimos jugo de naranja en
un recipiente graduado usando
fracciones
El tamantildeo de un objeto o el
volumen que estaacute dividido en
secciones iguales se expresa
como una fraccioacuten
Las fracciones tambieacuten pueden
usarse para expresar nuacutemeros
que son mayores que 1
Una fraccioacuten mixta es mayor que 1
Una fraccioacuten impropia es igual o
mayor que 1
1 dl 1 dl
1 dl
1
1
2
1
3
① Lee en voz alta y hazlo de la
fraccioacuten menor a la mayor
② Reemplaza con 2 los numeradores del inciso ① y vuelve a leer
las fracciones en voz alta de la menor a la mayor
2524
( )
1 Sigue las instrucciones de abajo usando la recta numeacuterica
Fracciones equivalentes ③ Observa la recta numeacuterica de la paacutegina anterior y encuentra fracciones
que sean equivalentes
④ Observa la recta numeacuterica y encuentra otras fracciones que sean
equivalentes a las del inciso anterior
⑤ Platica con tus compantildeeros sobre lo que has aprendido y haz un
resumen
① Cuando el denominador es el mismo el valor de
una fraccioacuten se incrementa si el numerador aumenta
② Cuando el numerador es el mismo el valor de una
fraccioacuten disminuye cuando su denominador aumenta
③ Algunas fracciones tienen el mismo valor aunque sus
denominadores y numeradores sean diferentes
Encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten que sea mayor en cada pareja Si son iguales
marca ambas fracciones
1 ＝2
＝ ＝ ＝
1 ＝3
＝
3 ＝4
① 3 3
85 ( )② 3 5
77 ( )③ 1 4
82El valor de la fraccioacuten disminuye
cuando el numerador es el mismo y
el denominador aumenta
1
21 1
314
15
1 11 1 16 7 8 9 10
O OO
O
2726
② Yukie
Suma y resta con fracciones
Suma con fracciones
1 Akira y Yukie hacen cafeacute con leche iquestCuaacutentos litros hizo cada uno
① Akira
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l1
5
1 ＋ ＝5
2
5
3 ＋ ＝6
4
6
Cuando se suman fracciones con el mismo denominador
se suman los numeradores y los denominadores quedan
igual
2 Piensa coacutemo hacer este caacutelculo
3 ＋ ＝8
5
8＝
3 ＋8
5
8
3 Construye sumas utilizando fracciones
propias con el mismo denominador
utiliza nuacutemeros del 1 al 9 Luego
calcula los resultados
＋
①
④
2 ＋ 1
44
2 ＋ 2
33
②
⑤
4 ＋ 1
77
2 ＋ 4
55
③
⑥
2 ＋ 3
88
3 ＋ 6
99
O O O
2
5
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l3
6
4
6
1
5
＝
Piensa cuaacutentas veces
se repite
Puedo expresarlo como
un nuacutemero mixto
Podemos comparar faacutecilmente
el valor de una fraccioacuten si la
expresamos como nuacutemero mixto
o como entero
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l1 l
2 l
2
③ Si repartimos equitativamente 2 litros entre 3 alumnos
iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
Colorea la porcioacuten que
le toca a un alumno
iquestCuaacutentos litros es esa porcioacuten
① Realiza estas operaciones utilizando los nuacutemeros del 1 al 5 en el
2928
①
④
5 － 4
88
3 － 2
44
②
⑤
3 － 3
77
13 － 5
1212
③
⑥
5 － 1
66
－12
5
Cuando hacemos restas con fracciones que tienen el
mismo denominador restamos los numeradores y los
denominadores quedan igual
Resta con fracciones
4 iquestCuaacutento maacutes grande es de litro de jugo que
de litro de leche Piensa coacutemo calcular la respuesta
7
8
4
8
7 － ＝8
4
8
O O O
5 Piensa coacutemo hariacuteas las siguientes restas4 －3
2
3－1
5
7②①
3 Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
Cocientes y fracciones
1 Si repartimos equitativamente 2 litros
de leche entre alumnos iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
2
2 2 2 2 2② Agrupa las expresiones de arriba en los siguientes grupos dependiendo
del tipo de resultado
Cocientes que sean nuacutemeros enteros
Cocientes que sean nuacutemeros decimales
Cocientes que contengan un nuacutemero indefinido de diacutegitos en su
parte decimal
23 es 0666 Este nuacutemero tiene una cantidad indefinida de diacutegitos en
su parte decimal
O O
（ ）（ ）（ ）
minus ＝
La diferencia es cuaacutentos
octavos maacutes hay
Analicemos coacutemo expresar el cociente de una divisioacuten cuando tiene un
nuacutemero indefinido de diacutegitos en su parte decimal
Leche 1l Leche 1l
1 l 1 l
1 l 1 l
1 l
3130
23＝
Cantidad para un alumno cuando 1 litro se divide en 3 partes iguales l
La cantidad para un alumno cuando se reparten 2 litros en 3 partes iguales l
31
31
2 iquestCuaacutentos metros mide cada tramo cuando una cuerda de 3 metros se
divide en 4 partes iguales
① Escribe una expresioacuten matemaacutetica para este problema
② iquestCuaacutel es la longitud de una parte
① 16 ② 58 ③ 43 ④ 97
Reescribe las siguientes divisiones como fracciones
34＝
La divisioacuten de un nuacutemero entre otro
puede expresarse como una fraccioacuten ＝
0
0
0
1
1
2
2 3
41
m
m
m
(m)
(m)
(m)
1
Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
3 Si dividimos una cinta de 2 metros en 5 partes iguales iquestcuaacutentos metros
mediraacute cada una de esas partes
① Expresa el cociente de estas divisiones como una fraccioacuten y despueacutes
como nuacutemero decimal25＝
② Ubica en esta recta numeacuterica la fraccioacuten y tambieacuten su
valor decimal
Para expresar una fraccioacuten como nuacutemero decimal o como nuacutemero
entero dividimos el numerador entre el denominador
25＝
0 02
0
1
1
2
51
(m)
2 (m)
4 iquestQueacute cantidad es mayor iquest l o 07 litros3
5
5 Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales
3 ＝1 ＝855
8
5
29
100
3
10
＝
＝12412
4＝
②
③
①
④
14
24
34
3 ＝ 3 5 ＝5
＝
＝La divisioacuten puede expresarse
como una fraccioacuten
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l
l l
l
25
3332
podemos pensarlo como 19 veces y obtenemos
6 Veamos coacutemo expresar 2 y 5 como fracciones
＝ 23＝0666hellipaproximadamente 0672
3
2＝21＝ 5＝51＝
2＝42＝ 5＝102＝
2＝8 5＝30 ＝＝
2
1
4
2
Los nuacutemeros enteros pueden expresarse como fracciones
usando cualquier denominador
Muchos nuacutemeros decimales pueden expresarse como
fracciones si elegimos y como unidades
7 Expresa los nuacutemeros 019 y 17 como fracciones
① Como 019 es lo mismo que 19 veces 001
1
100
podemos pensarlo como 17 veces y obtenemos
② Como 17 es lo mismo que veces 01
Escribe en los los nuacutemeros decimales y las fracciones que faltan
1
100
1
10
8 Clasifica estas fracciones en los grupos que se indican
11
2
12
3
3
5
3
1
6
2
8
10
4
11
06 1251 27
20
Nuacutemeros enteros
Con un nuacutemero definido de diacutegitos decimales
Otro tipo de nuacutemeros decimales
Se facilita la comparacioacuten de fracciones si las expresamos como
nuacutemeros decimales
9 Dibuja una darr para indicar la posicioacuten de cada uno de los siguientes
nuacutemeros en la recta numeacuterica de abajo
4
5
3
4
2
3
Los nuacutemeros enteros los nuacutemeros decimales y las
fracciones pueden ubicarse en una recta numeacuterica Asiacute es
maacutes faacutecil compararlos
① 09 ② 125 ③ ④ ⑤
Ordena los siguientes nuacutemeros del mayor al menor1
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales como fracciones y las fracciones como
nuacutemeros decimales
2
13 0751
12
4
2
5
7
7
10
21
5
3
4
24
6
② ③ ④ ⑥⑤ ⑦①
Decimales
Fracciones
Escribamos en el de abajo los nuacutemeros decimales y fracciones que faltan
3534
① ② ③ ④
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimalest
paacutegina 31
Analiza los siguientes pares de fracciones y
en cada pareja encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten de mayor valor
paacutegina 25
7
8
5
8
8
3
8
5
2
3
6
9
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
1 ＋ 1
33
2 ＋ 3
55
5 ＋ 3
66
5 － 1
77
5 － 2
44
paacuteginas 26~28
① 17 ② 59 ③ 113
Expresa como fracciones las siguientes divisiones
paacutegina 30
5
10
31
100
18
6
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales
como fracciones
① 03 ② 19 ③ 061 ④ 111
paacutegina 32
Indica con una darr la posicioacuten en la recta numeacuterica
de cada uno de los siguientes nuacutemeros
1 07 18
paacutegina 33
1
2
5
7
5
71－
8
11
4
51
20
④ Piensa coacutemo calcular la
respuesta
iquestPodemos hacer operaciones con nuacutemeros mixtos
Realiza las siguientes operaciones
La familia de Masako bebe 1 litros de leche en la mantildeana y
litros de leche en la tarde
① iquestCuaacutentos litros de leche bebieron en total Escribe una operacioacuten que
represente esto
② Piensa coacutemo calcular la respuesta
③ iquestCuaacutenta leche bebieron maacutes en la
mantildeana respecto a la tarde Escribe
una operacioacuten que represente esto
1
2
35
45
3 ＋1 ＝ 15
45 5
3 －1 ＝545 5 － 4
5
＝
＝
2 ＋① 71
67
2 －1② 434
( ) ( ) ( )① ② ③
(grupo)
no puedo restar
(cambio)
2
3
4
5
6
① ② ③ ④ 06 ⑤ 012
Expresa las siguientes divisiones como fracciones
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales o como nuacutemeros
enteros y los nuacutemeros decimales como fracciones
1
2
16
81
15
Resuelve las siguientes operaciones
① ② ③ ④3 ＋ 2
66
5 ＋ 7
88
31－
5
4 － 3
88
Utiliza dos de las tarjetas y para crear
fracciones Clasifica las fracciones en tres grupos como se indica
Fracciones que pueden expresarse como nuacutemeros enteros
( )Fracciones que pueden expresarse como decimales con un nuacutemero
determinado de diacutegitos
( )Fracciones que no pueden expresarse como decimales con un
nuacutemero determinado de diacutegitos
( )
765434
bull iquestCuaacutel es el elemento que tienen en comuacuten las siguientes
fracciones
3 ＋ 4
55
3 ＋ 4
77＋3
10
4
10
3 ＋ 4
55
iquestCon queacute unidades debemos resolver las siguientes operaciones
para que se comporten como si calculaacuteramos 3＋4
① 03＋04 La unidad es
② 3000＋4000 La unidad es
③ La unidad es
1
3 ＋ 4
99
Encuentra otras operaciones cuyo proceso sea equivalente al que
realizamos con 3＋4
2
① 45 ② 69 ③ 208
Ir a la paacutegina 88
se resuelve sumando 3＋4 si pensamos como la unidad1
5
Entender la relacioacuten que hay entre la divisioacuten con enteros y las fracciones
Resolver sumas y restas con fracciones que tienen el mismo denominador
Expresar cantidades como nuacutemeros decimales como fracciones y como nuacutemeros enteros
Expresar fracciones como nuacutemeros decimales oacute nuacutemeros enteros
3736
Puedo pensar en caacutelculoscon nuacutemeros grandescomo cien millones y un trilloacuten
Puedo hacer muchos caacutelculos como esos usandofracciones con distintodenominador
iquestSeraacute posible iniciar elcaacutelculo con 3＋41
2
3
Ir a la paacutegina 37
38 39
Resuelve estas operaciones en la forma vertical
① 132 ② 5117 ③ 94
④ 1435 ⑤ 6946 ⑥ 3624
⑦ 6104 ⑧ 0805 ⑨ 0725
Haz estas divisiones encontrando el cociente hasta
nuacutemeros enteros e indica cuaacutel es el residuo
① 6117 ② 9706
Tenemos 135 Kg de arroz Si comemos 09 Kg en un diacutea
iquestcuaacutentos diacuteas podremos comer arroz
Escribe en el las medidas que faltan
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
① ②
③
5 cm
3 cm
①
Encuentra coacutemo calcular el aacuterea de estas figuras
①
Trapecio
②
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
3 ＋ 1
55
3 ＋ 1
44
5 ＋ 6
77
5 － 3
44
7 － 3
991
1－10
Cuaacutel es mayor iquest075 o
Necesitamos dividir equitativamente una cuerda de 3m
entre 8 alumnos iquestCuaacutentos metros de cuerda recibiraacute cada uno
8
35
4 cm
7 cm6 cm
5 cm
4 cm
8 cm
3 cm3 cm
3 cm
5 cm
②
paralelogramo
Triaacutengulo isoacutesceles
Paralelogramo
6
99
7
6
5
4
3
2
1
9
9
8
8
8
6
6
6
4140
① Discute con tus compantildeeros sobre la relacioacuten entre la distancia que
avanza cada ciacuterculo y la longitud de sus diaacutemetros
② Haz una estimacioacuten de cuaacutentos cm avanzaraacute en una vuelta un ciacuterculo
cuyo diaacutemetro mide 40cm y comprueba tu prediccioacuten
A la liacutenea curva que limita un ciacuterculo se le llama circunferencia A un segmento de esa curva se lellama arco
Analiza la relacioacuten que hay entre el diaacutemetro de un ciacuterculo y la longitud
de su circunferencia
Diaacutemetro y circunferencia
Analicemos la relacioacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro en
diferentes ciacuterculos
① Veamos algunas formas para medir circunferencias y diaacutemetros
1
Circunferencia（cm）
Diaacutemetro（cm） 10 20 30
Ciacuterculo Ciacuterculo Ciacuterculo Lata(longitud cinta)
② Anota los datos en la siguiente tabla
③ iquestExistiraacute una foacutermula para determinar la relacioacuten entre la
circunferencia y el diaacutemetro
Recorta un pedazo de cartoacuten para trazar los ciacuterculos y cuyos
diaacutemetros miden 10cm 20cm y 30cm respectivamente Despueacutes hazlos
rodar una vuelta completa y mide cuaacutento avanzan
Ciacuterculos
Cuando el diaacutemetro se duplica iquestQueacute tantose incrementa la circunferencia
iquestCuaacutentas veces cabe eldiaacutemetro en la circunferencia
Medida de la circunferencia Medida del diaacutemetro
1
4342
Circunferencia divide Diaacutemetro
10 20 30
Ciacuterculo de cartoacuten Lata Cinta de embalajeCiacuterculo de cartoacuten Ciacuterculo de cartoacuten
Circunferencia(cm）
Diaacutemetro(cm）
④ iquestCuaacutentas veces cabe el diaacutemetro en la circunferencia
Usa tus datos para calcular redondeando
al mileacutesimo maacutes cercano
ldquoCircunferencia divide Diaacutemetrordquo da el mismo resultado para
ciacuterculos de cualquier tamantildeo
A la divisioacuten Circunferencia divide Diaacutemetro se le llama razoacuten
entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro es 314159
Este es un nuacutemero que continuacutea indefinidamente Usualmente se
emplea la aproximacioacuten 314
iquestCuaacutentos centiacutemetros mide la circunferencia de un
ciacuterculo de 8cm de diaacutemetro
2
① Un ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide 15 cm ② Un ciacuterculo cuyo radio mide 25 cm
Calcula la circunferencia de los siguientes ciacuterculos
La circunferencia de una lata ciliacutendrica mide 628 cm
iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro de la lata
① Si el diaacutemetro de la lata es cm escribe una expresioacuten
matemaacutetica aplicando la foacutermula que utilizaste en
② iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro
de la lata
314＝628
3
Los datos de abajo son las longitudes de las circunferencias de
unos ciacuterculos Calcula el diaacutemetro de cada uno
iquestCuaacutentos metros mide el diaacutemetro del tronco de este aacuterbol
① 2826 cm ② 314 cm ③ 3768 cm
2
1
Esta fotografiacutea muestra una imagen
de una moneda antigua dibujada sobre
arena en la Ciudad de Kannonji en el
parque Kagawa La circunferencia de
esta moneda gigante es 345 m
Calcula su diaacutemetro redondeado al
deacutecimo maacutes cercano
2
Razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro = circunferencia divide diaacutemetro
Circunferencia＝Diaacutemetrotimes314
Se necesitan seis nintildeos con sus brazos estirados para
rodear el tronco del aacuterbol en un parque iquestCuaacutentos metros
mediraacute el diaacutemetro de este aacuterbol Los brazos de cada
nintildeo cubren una longitud aproximada de 14 metros
Calcula el diaacutemetro del tronco usando 3 como
valor aproximado para la razoacuten entre la circunferencia
y el diaacutemetro
4544
② Dividamos el ciacuterculo en 4
partes iguales y consideremos
soacutelo una parte
(1) iquestCuaacutentos cuadrados azules y
cuaacutentos color de rosa hay
(2) Observa los cuadrados
color de rosa a lo largo de la
circunferencia el aacuterea de cada
uno mide aproximadamente 05 cm2 iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este
cuarto de ciacuterculo
2 Aacuterea de un ciacuterculo
iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de un ciacuterculo cuyo radio mide 10 cm
Verifica la respuesta trazando ese ciacuterculo sobre papel cuadriculado
a una escala de 1 cm
1
1 cm1 cm
① iquestCoacutemo podemos verificar
que la respuesta es correcta
Piensa coacutemo calcular el aacuterea del ciacuterculo y coacutemo podriacutea ser una
foacutermula para hacer ese caacutelculo
10 cm
10 cm
Foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Piensa coacutemo calcular el aacuterea
de un ciacuterculo
2
Analiza el ciacuterculo
de la derecha
③ iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea del ciacuterculo entero
cuadrados azules 1 (cm2)
cuadrados color de rosa05 (cm2)
① Piensa como construir la foacutermula utilizando una figura que divida el
ciacuterculo en varias secciones iguales a partir del radioiquestQueacute deberiacuteamos
hacer con los cuadrados
que estaacuten parcialmente
cubiertosPara calcular el aacuterea de
paralelogramos y triaacutengulos los
transformamos en otras figuras
conocidas iquestRecuerdas
Hay foacutermulas para calcular
el aacuterea de rectaacutengulos y
triaacutengulos iquestHabraacute una
foacutermula para los
ciacuterculos
4746
② Platica con tus compantildeeros lo que has
pensado para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Analiza cuidadosamente las ideas de
estos tres alumnos
La idea de Takao
Yo divido un ciacuterculo en muchos
triaacutengulos pequentildeos
2 cm
Yo construyo un triaacutengulo con
las partes del ciacuterculo
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
La idea de Akiko
Yo construyo un paralelogramo con las partes del ciacuterculo
③ Piensa coacutemo construir una foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
usando las ideas de estos alumnos
④ Construye una foacutermula con base en la idea
de Akiko
Radio
Circunferenciadivide2
Circunferenciadivide2
RadioRadio
16 secciones iguales
32 secciones iguales
64 secciones igualesCircunferenciadivide2
Aacuterea del rectaacutengulo = largo x ancho
Aacuterea del ciacuterculo ＝ Circunferencia2
＝ radio diaacutemetro3142
＝ radio diaacutemetro2314
＝ radio 314
Mitad de la circunferencia
Radio
La idea de Yasuko
Diaacutemetro2＝Radio iquestde acuerdo
Si cortas un ciacuterculo en
secciones pequentildeas de
igual tamantildeo iquestqueacute figura
puedes formar
4948
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura 2
Aacuterea del ciacuterculo ＝circunferencia radio2
＝Diaacutemetro 314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
Circunferencia
Radio
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
Calcula el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con radio de 8 cm ② Un ciacuterculo con diaacutemetro de 12 cm
3
El diaacutemetro del ciacuterculo mide
4 cm y el del ciacuterculo mide 8 cm
① Encontrar la circunferencia y el
aacuterea de cada ciacuterculo
② El diaacutemetro de es dos
veces el diaacutemetro de
iquestCuaacutentas veces es mayor la
circunferencia y el aacuterea de
que de la circunferen-
cia y el aacuterea de
4
4 cm
A continuacioacuten te damos las medidas de las circunferencias de unos ciacuterculos
Calcula el radio y el aacuterea de cada uno
① 628 cm ② 1884 cm ③ 157 cm
⑥ Construyamos una foacutermula con base en la idea de Takao
Observa las figuras que construimos al dividir el ciacuterculo en 16 secciones
iguales que parecen triaacutengulos Todos estos ldquotriaacutengulosrdquo tienen la misma altura
si los combinamos podemos construir un ldquotriaacutengulordquo grande
El aacuterea de un ciacuterculo puede calcularse usando
la foacutermula Aacuterea ＝radio times radio times 314
8 cm
⑤ Construyamos una foacutermula con base en la idea
de Yasuko
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura2
Aacuterea del ciacuterculo ＝ circunferencia4 radio4 2
＝diaacutemetro314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
1312
Desde el veacutertice A traza la recta
perpendicular AD al lado BC Si
tomamos el lado BC como base
la longitud del segmento AD
es la altura del triaacutengulo
3 Calcula el aacuterea de
este triaacutengulo midiendo las
longitudes necesarias
Calcula el aacuterea del triaacutengulo ABC como
se indica
① Cuando el lado BC es la base
② Cuando el lado AB es la base
4 Piensa coacutemo calcular el aacuterea de
este triaacutengulo considerando el lado
BC como su base
① Explica las ideas que propusieron
estos dos alumnos
La idea de Hitoshi La idea de Yukie
Traza una recta paralela al lado BC que pase
por el veacutertice A La distancia entre las rectas
y es la altura
del triaacutengulo si el
lado BC es la base
② Calcula el aacuterea de un triaacutengulo cuya base mide 8 cm y su altura 10 cm
Utiliza la foacutermula del aacuterea y luego compaacuterala con el resultado obtenido en ①
Calcula el aacuterea de
las siguientes
figuras
A
DB CBase
Altura
C
A
B
C
A
B
9
6
72
75
6
cm
cm
cm
cm
A
DCB 8 cm 4 cm
10 cm
Base
Altura AlturaAltura
Altura
A
B C
5 cm
6 cm
① ②
Aacuterea de un triaacutengulo＝base times alturadivide2
13 cm
6 cm
7 cm
iquestQueacute es lo que pasa cuando cada
uno de los 3 lados se elige como
base iquestCuaacutel seriacutea la altura del
triaacutengulo en cada caso
1514
10 2 ＝ Area
5 En la figura de abajo las rectas AB y CD son paralelas Calcula el aacuterea de
cada uno de los triaacutengulos
6 La figura que se muestra a la derecha
es un triaacutengulo rectaacutengulo
① Calcula su aacuterea
② Encuentra la altura del triaacutengulo
considerando que el lado BC es la base
Si la base y la altura de dos triaacutengulos son respectivamente
iguales tambieacuten sus aacutereas son iguales
Calcula la altura de cada uno de
los triaacutengulos que se muestran a
la derecha si los lados AD y BC
son respectivamente sus bases
Base Altura
Coacutemo calcular el aacuterea de otras figuras
1 Imagina coacutemo podriacuteas calcular el aacuterea de este cuadrilaacutetero
2 Mide las longitudes que sea
necesario conocer y calcula el
aacuterea de este trapecio
① Divide el cuadrilaacutetero en figuras de las cuales ya sepas coacutemo
calcular el aacuterea
② Mide las longitudes que se requieren para calcular el aacuterea
Es posible calcular el aacuterea de
cuadrilaacuteteros y pentaacutegonos
dividieacutendolos en triaacutengulos
6 cm
3 cm 3 cm 3 cm
3 cm
① ② ③ ④
A B
C D
8 cm
10 cm
cm
6 cm
A
B C
2 cm
4 cm5 cm10 cm
A B
DC
C
A
D
B
C
AD
B
3
1716
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea de un paralelogramo
iquestCuaacutel de los dos elementos de la foacutermula cambia cuando el aacuterea cambia
iquestQueacute permanece sin cambios
② Completa la siguiente tabla
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la base se duplica
iquestSi se triplica
＝
1 Construyamos un paralelogramo maacutes grande uniendo varios paralelo-
gramos como se muestra en la figura de abajo
4 Relacioacuten entre la longitud de los lados y el aacuterea
Base (cm) 3 6
Aacuterea (cm2)
Altura (cm) 1 2 3
Aacuterea (cm2) 3
La altura de un paralelogramo se incrementa en tramos
de 2 cm como se muestra a la derecha
① Construye una tabla que muestre la relacioacuten que
hay entre la altura y el aacuterea de esta figura
② Analiza la tabla y escribe tus conclusiones
2 La altura de un triaacutengulo se incrementa
en tramos de 1 cm como se muestra a la
derecha
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea
de un triaacutengulo iquestCuaacutel de los dos elementos
de la foacutermula cambia junto con el aacuterea
iquestQueacute permanece sin cambios
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la base se duplica
iquestY cuando se triplica
④ Cuando el aacuterea de un triaacutengulo es 30cm2 iquestcuaacutentos cm mide su altura
② Completa la tabla de abajo
＝
La base de un triaacutengulo rectaacutengulo se incrementa en tramos de 1 cm como se
muestra en la figura de la derecha
① Construye una tabla que muestre la relacioacuten
que hay entre la base y el aacuterea de estos triaacutengulos
② Si el aacuterea de un triaacutengulo es de 16cm2
iquestcuaacutentos cm mide su base
5 cm
3 cm
4 cm
6 (cm)54321
6 cm
1
2
3
4(cm)
3 cm
6 cm
4 cm
2 cm
Base y aacuterea de un paralelogramo
Altura y aacuterea de un triaacutengulo
1918
5 cm
2 cm
Escribe la foacutermula para
calcular el aacuterea de un paralelogramo
Aacuterea del paralelogramo ＝
Calcula el aacuterea de estos paralelogramos
Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea
de un triaacutengulo
Aacuterea del triaacutengulo ＝
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
Calcula el aacuterea de
este cuadrilaacutetero
Tracemos paralelogramos cuya
base mida 5 cm y su altura 2 cm para
construir un paralelogramo maacutes grande
como se muestra en la figura de abajo
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea de un paralelogramo
iquestCuaacutel de los dos elementos de la foacutermula cambia junto con el aacuterea
iquestQueacute permanece sin cambios
② Completa la tabla de abajo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(cm)
8 cm
4 cm
4 cm
3 cm
9 cm6 cm
9 cm
Base
Altura
3 cm7 cm
1 cm
2 cm
5 cm
Altura y aacuterea de un paralelogramo
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la altura se duplica
iquestCuando se triplica
Altura (cm) 2 4
Aacuterea (cm2)
Paacutegina 5
Paacutegina12
Paacuteginas 6~7
Paacutegina 15
Paacuteginas 12~13
Base
Altura
6 Paacuteginas 16~17
① ②
②①
1
2
3
4
5
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
Traza un triaacutengulo cuya aacuterea sea la
misma que la del triaacutengulo de la derecha
Explica por queacute son iguales
Calcula el aacuterea de las secciones coloreadas en las siguientes figuras
6 cm
3 cm35 cm
8 cm
5 cm
7 cm
6 cm
2 cm
4 cm 8 cm6 cm
3 cm
1 cm1 cm
15 cm135 cm2
1 cm 5 cm2 cm
1 cm
6 cm
4 cm
5 cm
5 cm
8 cm 10 cm
6 cm
5 cm
① El grupo de Hiroshi midioacute el
parque e hizo el diagrama que
muestra a la derecha iquestCuaacutentos
m2 mide esa aacuterea
② Formen equipos y calculen
el aacuterea de diferentes lugares
en su entorno
4
②①
④③
iexclLa figura de abajo es el diagrama de un parque iexclEl reto es calcular su aacuterea
52
74
163
101
178m
m
m
mm
②① Paralelogramo ③ Trapecio
Ir a la paacutegina 86
Encontrar la base y la altura usando foacutermulas
El triaacutengulo de la derecha tiene una
altura de 15 cm y su aacuterea es 135 cm2
iquestCuaacutentos cm mide su base
bull Encontrar maneras para calcular el aacuterea
bull Encontrar la altura o la base cuando se conoce el aacuterea
Paralelogramo
Paralelogramo
2120
bull Trazar un triaacutengulo con la misma aacuterea
iquestQueacute
longitudes
necesitas
iexclCalculemos el aacuterea
del parque
3
2
1
Ir a la paacutegina 21 Ir a la paacutegina 89
2322
Expresa las siguientes magnitudes usando fracciones impropias y fracciones mixtas
iquestCuaacutel es la longitud en metros en cada caso Escribe la respuesta usando fracciones
La respuesta se obtiene dividiendo 1 m en 5 partes iguales
El segmento que se obtiene al dividir 1 m en 10 partes iguales
①
②
La longitud de la parte que excede a 1 m nota que 5 segmentos forman 1 m
1 m
1 m
③ 1 m
① ②
① Encuentra la marca que indica exactamente l
② Encuentra la marca que indica exactamente l
1 ＝2
＝ ＝
1 ＝3
＝
m mdl dl
m
m
m
0 1 2(m)
2
Fracciones9
Vertimos jugo de naranja en
un recipiente graduado usando
fracciones
El tamantildeo de un objeto o el
volumen que estaacute dividido en
secciones iguales se expresa
como una fraccioacuten
Las fracciones tambieacuten pueden
usarse para expresar nuacutemeros
que son mayores que 1
Una fraccioacuten mixta es mayor que 1
Una fraccioacuten impropia es igual o
mayor que 1
1 dl 1 dl
1 dl
1
1
2
1
3
① Lee en voz alta y hazlo de la
fraccioacuten menor a la mayor
② Reemplaza con 2 los numeradores del inciso ① y vuelve a leer
las fracciones en voz alta de la menor a la mayor
2524
( )
1 Sigue las instrucciones de abajo usando la recta numeacuterica
Fracciones equivalentes ③ Observa la recta numeacuterica de la paacutegina anterior y encuentra fracciones
que sean equivalentes
④ Observa la recta numeacuterica y encuentra otras fracciones que sean
equivalentes a las del inciso anterior
⑤ Platica con tus compantildeeros sobre lo que has aprendido y haz un
resumen
① Cuando el denominador es el mismo el valor de
una fraccioacuten se incrementa si el numerador aumenta
② Cuando el numerador es el mismo el valor de una
fraccioacuten disminuye cuando su denominador aumenta
③ Algunas fracciones tienen el mismo valor aunque sus
denominadores y numeradores sean diferentes
Encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten que sea mayor en cada pareja Si son iguales
marca ambas fracciones
1 ＝2
＝ ＝ ＝
1 ＝3
＝
3 ＝4
① 3 3
85 ( )② 3 5
77 ( )③ 1 4
82El valor de la fraccioacuten disminuye
cuando el numerador es el mismo y
el denominador aumenta
1
21 1
314
15
1 11 1 16 7 8 9 10
O OO
O
2726
② Yukie
Suma y resta con fracciones
Suma con fracciones
1 Akira y Yukie hacen cafeacute con leche iquestCuaacutentos litros hizo cada uno
① Akira
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l1
5
1 ＋ ＝5
2
5
3 ＋ ＝6
4
6
Cuando se suman fracciones con el mismo denominador
se suman los numeradores y los denominadores quedan
igual
2 Piensa coacutemo hacer este caacutelculo
3 ＋ ＝8
5
8＝
3 ＋8
5
8
3 Construye sumas utilizando fracciones
propias con el mismo denominador
utiliza nuacutemeros del 1 al 9 Luego
calcula los resultados
＋
①
④
2 ＋ 1
44
2 ＋ 2
33
②
⑤
4 ＋ 1
77
2 ＋ 4
55
③
⑥
2 ＋ 3
88
3 ＋ 6
99
O O O
2
5
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l3
6
4
6
1
5
＝
Piensa cuaacutentas veces
se repite
Puedo expresarlo como
un nuacutemero mixto
Podemos comparar faacutecilmente
el valor de una fraccioacuten si la
expresamos como nuacutemero mixto
o como entero
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l1 l
2 l
2
③ Si repartimos equitativamente 2 litros entre 3 alumnos
iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
Colorea la porcioacuten que
le toca a un alumno
iquestCuaacutentos litros es esa porcioacuten
① Realiza estas operaciones utilizando los nuacutemeros del 1 al 5 en el
2928
①
④
5 － 4
88
3 － 2
44
②
⑤
3 － 3
77
13 － 5
1212
③
⑥
5 － 1
66
－12
5
Cuando hacemos restas con fracciones que tienen el
mismo denominador restamos los numeradores y los
denominadores quedan igual
Resta con fracciones
4 iquestCuaacutento maacutes grande es de litro de jugo que
de litro de leche Piensa coacutemo calcular la respuesta
7
8
4
8
7 － ＝8
4
8
O O O
5 Piensa coacutemo hariacuteas las siguientes restas4 －3
2
3－1
5
7②①
3 Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
Cocientes y fracciones
1 Si repartimos equitativamente 2 litros
de leche entre alumnos iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
2
2 2 2 2 2② Agrupa las expresiones de arriba en los siguientes grupos dependiendo
del tipo de resultado
Cocientes que sean nuacutemeros enteros
Cocientes que sean nuacutemeros decimales
Cocientes que contengan un nuacutemero indefinido de diacutegitos en su
parte decimal
23 es 0666 Este nuacutemero tiene una cantidad indefinida de diacutegitos en
su parte decimal
O O
（ ）（ ）（ ）
minus ＝
La diferencia es cuaacutentos
octavos maacutes hay
Analicemos coacutemo expresar el cociente de una divisioacuten cuando tiene un
nuacutemero indefinido de diacutegitos en su parte decimal
Leche 1l Leche 1l
1 l 1 l
1 l 1 l
1 l
3130
23＝
Cantidad para un alumno cuando 1 litro se divide en 3 partes iguales l
La cantidad para un alumno cuando se reparten 2 litros en 3 partes iguales l
31
31
2 iquestCuaacutentos metros mide cada tramo cuando una cuerda de 3 metros se
divide en 4 partes iguales
① Escribe una expresioacuten matemaacutetica para este problema
② iquestCuaacutel es la longitud de una parte
① 16 ② 58 ③ 43 ④ 97
Reescribe las siguientes divisiones como fracciones
34＝
La divisioacuten de un nuacutemero entre otro
puede expresarse como una fraccioacuten ＝
0
0
0
1
1
2
2 3
41
m
m
m
(m)
(m)
(m)
1
Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
3 Si dividimos una cinta de 2 metros en 5 partes iguales iquestcuaacutentos metros
mediraacute cada una de esas partes
① Expresa el cociente de estas divisiones como una fraccioacuten y despueacutes
como nuacutemero decimal25＝
② Ubica en esta recta numeacuterica la fraccioacuten y tambieacuten su
valor decimal
Para expresar una fraccioacuten como nuacutemero decimal o como nuacutemero
entero dividimos el numerador entre el denominador
25＝
0 02
0
1
1
2
51
(m)
2 (m)
4 iquestQueacute cantidad es mayor iquest l o 07 litros3
5
5 Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales
3 ＝1 ＝855
8
5
29
100
3
10
＝
＝12412
4＝
②
③
①
④
14
24
34
3 ＝ 3 5 ＝5
＝
＝La divisioacuten puede expresarse
como una fraccioacuten
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l
l l
l
25
3332
podemos pensarlo como 19 veces y obtenemos
6 Veamos coacutemo expresar 2 y 5 como fracciones
＝ 23＝0666hellipaproximadamente 0672
3
2＝21＝ 5＝51＝
2＝42＝ 5＝102＝
2＝8 5＝30 ＝＝
2
1
4
2
Los nuacutemeros enteros pueden expresarse como fracciones
usando cualquier denominador
Muchos nuacutemeros decimales pueden expresarse como
fracciones si elegimos y como unidades
7 Expresa los nuacutemeros 019 y 17 como fracciones
① Como 019 es lo mismo que 19 veces 001
1
100
podemos pensarlo como 17 veces y obtenemos
② Como 17 es lo mismo que veces 01
Escribe en los los nuacutemeros decimales y las fracciones que faltan
1
100
1
10
8 Clasifica estas fracciones en los grupos que se indican
11
2
12
3
3
5
3
1
6
2
8
10
4
11
06 1251 27
20
Nuacutemeros enteros
Con un nuacutemero definido de diacutegitos decimales
Otro tipo de nuacutemeros decimales
Se facilita la comparacioacuten de fracciones si las expresamos como
nuacutemeros decimales
9 Dibuja una darr para indicar la posicioacuten de cada uno de los siguientes
nuacutemeros en la recta numeacuterica de abajo
4
5
3
4
2
3
Los nuacutemeros enteros los nuacutemeros decimales y las
fracciones pueden ubicarse en una recta numeacuterica Asiacute es
maacutes faacutecil compararlos
① 09 ② 125 ③ ④ ⑤
Ordena los siguientes nuacutemeros del mayor al menor1
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales como fracciones y las fracciones como
nuacutemeros decimales
2
13 0751
12
4
2
5
7
7
10
21
5
3
4
24
6
② ③ ④ ⑥⑤ ⑦①
Decimales
Fracciones
Escribamos en el de abajo los nuacutemeros decimales y fracciones que faltan
3534
① ② ③ ④
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimalest
paacutegina 31
Analiza los siguientes pares de fracciones y
en cada pareja encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten de mayor valor
paacutegina 25
7
8
5
8
8
3
8
5
2
3
6
9
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
1 ＋ 1
33
2 ＋ 3
55
5 ＋ 3
66
5 － 1
77
5 － 2
44
paacuteginas 26~28
① 17 ② 59 ③ 113
Expresa como fracciones las siguientes divisiones
paacutegina 30
5
10
31
100
18
6
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales
como fracciones
① 03 ② 19 ③ 061 ④ 111
paacutegina 32
Indica con una darr la posicioacuten en la recta numeacuterica
de cada uno de los siguientes nuacutemeros
1 07 18
paacutegina 33
1
2
5
7
5
71－
8
11
4
51
20
④ Piensa coacutemo calcular la
respuesta
iquestPodemos hacer operaciones con nuacutemeros mixtos
Realiza las siguientes operaciones
La familia de Masako bebe 1 litros de leche en la mantildeana y
litros de leche en la tarde
① iquestCuaacutentos litros de leche bebieron en total Escribe una operacioacuten que
represente esto
② Piensa coacutemo calcular la respuesta
③ iquestCuaacutenta leche bebieron maacutes en la
mantildeana respecto a la tarde Escribe
una operacioacuten que represente esto
1
2
35
45
3 ＋1 ＝ 15
45 5
3 －1 ＝545 5 － 4
5
＝
＝
2 ＋① 71
67
2 －1② 434
( ) ( ) ( )① ② ③
(grupo)
no puedo restar
(cambio)
2
3
4
5
6
① ② ③ ④ 06 ⑤ 012
Expresa las siguientes divisiones como fracciones
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales o como nuacutemeros
enteros y los nuacutemeros decimales como fracciones
1
2
16
81
15
Resuelve las siguientes operaciones
① ② ③ ④3 ＋ 2
66
5 ＋ 7
88
31－
5
4 － 3
88
Utiliza dos de las tarjetas y para crear
fracciones Clasifica las fracciones en tres grupos como se indica
Fracciones que pueden expresarse como nuacutemeros enteros
( )Fracciones que pueden expresarse como decimales con un nuacutemero
determinado de diacutegitos
( )Fracciones que no pueden expresarse como decimales con un
nuacutemero determinado de diacutegitos
( )
765434
bull iquestCuaacutel es el elemento que tienen en comuacuten las siguientes
fracciones
3 ＋ 4
55
3 ＋ 4
77＋3
10
4
10
3 ＋ 4
55
iquestCon queacute unidades debemos resolver las siguientes operaciones
para que se comporten como si calculaacuteramos 3＋4
① 03＋04 La unidad es
② 3000＋4000 La unidad es
③ La unidad es
1
3 ＋ 4
99
Encuentra otras operaciones cuyo proceso sea equivalente al que
realizamos con 3＋4
2
① 45 ② 69 ③ 208
Ir a la paacutegina 88
se resuelve sumando 3＋4 si pensamos como la unidad1
5
Entender la relacioacuten que hay entre la divisioacuten con enteros y las fracciones
Resolver sumas y restas con fracciones que tienen el mismo denominador
Expresar cantidades como nuacutemeros decimales como fracciones y como nuacutemeros enteros
Expresar fracciones como nuacutemeros decimales oacute nuacutemeros enteros
3736
Puedo pensar en caacutelculoscon nuacutemeros grandescomo cien millones y un trilloacuten
Puedo hacer muchos caacutelculos como esos usandofracciones con distintodenominador
iquestSeraacute posible iniciar elcaacutelculo con 3＋41
2
3
Ir a la paacutegina 37
38 39
Resuelve estas operaciones en la forma vertical
① 132 ② 5117 ③ 94
④ 1435 ⑤ 6946 ⑥ 3624
⑦ 6104 ⑧ 0805 ⑨ 0725
Haz estas divisiones encontrando el cociente hasta
nuacutemeros enteros e indica cuaacutel es el residuo
① 6117 ② 9706
Tenemos 135 Kg de arroz Si comemos 09 Kg en un diacutea
iquestcuaacutentos diacuteas podremos comer arroz
Escribe en el las medidas que faltan
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
① ②
③
5 cm
3 cm
①
Encuentra coacutemo calcular el aacuterea de estas figuras
①
Trapecio
②
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
3 ＋ 1
55
3 ＋ 1
44
5 ＋ 6
77
5 － 3
44
7 － 3
991
1－10
Cuaacutel es mayor iquest075 o
Necesitamos dividir equitativamente una cuerda de 3m
entre 8 alumnos iquestCuaacutentos metros de cuerda recibiraacute cada uno
8
35
4 cm
7 cm6 cm
5 cm
4 cm
8 cm
3 cm3 cm
3 cm
5 cm
②
paralelogramo
Triaacutengulo isoacutesceles
Paralelogramo
6
99
7
6
5
4
3
2
1
9
9
8
8
8
6
6
6
4140
① Discute con tus compantildeeros sobre la relacioacuten entre la distancia que
avanza cada ciacuterculo y la longitud de sus diaacutemetros
② Haz una estimacioacuten de cuaacutentos cm avanzaraacute en una vuelta un ciacuterculo
cuyo diaacutemetro mide 40cm y comprueba tu prediccioacuten
A la liacutenea curva que limita un ciacuterculo se le llama circunferencia A un segmento de esa curva se lellama arco
Analiza la relacioacuten que hay entre el diaacutemetro de un ciacuterculo y la longitud
de su circunferencia
Diaacutemetro y circunferencia
Analicemos la relacioacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro en
diferentes ciacuterculos
① Veamos algunas formas para medir circunferencias y diaacutemetros
1
Circunferencia（cm）
Diaacutemetro（cm） 10 20 30
Ciacuterculo Ciacuterculo Ciacuterculo Lata(longitud cinta)
② Anota los datos en la siguiente tabla
③ iquestExistiraacute una foacutermula para determinar la relacioacuten entre la
circunferencia y el diaacutemetro
Recorta un pedazo de cartoacuten para trazar los ciacuterculos y cuyos
diaacutemetros miden 10cm 20cm y 30cm respectivamente Despueacutes hazlos
rodar una vuelta completa y mide cuaacutento avanzan
Ciacuterculos
Cuando el diaacutemetro se duplica iquestQueacute tantose incrementa la circunferencia
iquestCuaacutentas veces cabe eldiaacutemetro en la circunferencia
Medida de la circunferencia Medida del diaacutemetro
1
4342
Circunferencia divide Diaacutemetro
10 20 30
Ciacuterculo de cartoacuten Lata Cinta de embalajeCiacuterculo de cartoacuten Ciacuterculo de cartoacuten
Circunferencia(cm）
Diaacutemetro(cm）
④ iquestCuaacutentas veces cabe el diaacutemetro en la circunferencia
Usa tus datos para calcular redondeando
al mileacutesimo maacutes cercano
ldquoCircunferencia divide Diaacutemetrordquo da el mismo resultado para
ciacuterculos de cualquier tamantildeo
A la divisioacuten Circunferencia divide Diaacutemetro se le llama razoacuten
entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro es 314159
Este es un nuacutemero que continuacutea indefinidamente Usualmente se
emplea la aproximacioacuten 314
iquestCuaacutentos centiacutemetros mide la circunferencia de un
ciacuterculo de 8cm de diaacutemetro
2
① Un ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide 15 cm ② Un ciacuterculo cuyo radio mide 25 cm
Calcula la circunferencia de los siguientes ciacuterculos
La circunferencia de una lata ciliacutendrica mide 628 cm
iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro de la lata
① Si el diaacutemetro de la lata es cm escribe una expresioacuten
matemaacutetica aplicando la foacutermula que utilizaste en
② iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro
de la lata
314＝628
3
Los datos de abajo son las longitudes de las circunferencias de
unos ciacuterculos Calcula el diaacutemetro de cada uno
iquestCuaacutentos metros mide el diaacutemetro del tronco de este aacuterbol
① 2826 cm ② 314 cm ③ 3768 cm
2
1
Esta fotografiacutea muestra una imagen
de una moneda antigua dibujada sobre
arena en la Ciudad de Kannonji en el
parque Kagawa La circunferencia de
esta moneda gigante es 345 m
Calcula su diaacutemetro redondeado al
deacutecimo maacutes cercano
2
Razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro = circunferencia divide diaacutemetro
Circunferencia＝Diaacutemetrotimes314
Se necesitan seis nintildeos con sus brazos estirados para
rodear el tronco del aacuterbol en un parque iquestCuaacutentos metros
mediraacute el diaacutemetro de este aacuterbol Los brazos de cada
nintildeo cubren una longitud aproximada de 14 metros
Calcula el diaacutemetro del tronco usando 3 como
valor aproximado para la razoacuten entre la circunferencia
y el diaacutemetro
4544
② Dividamos el ciacuterculo en 4
partes iguales y consideremos
soacutelo una parte
(1) iquestCuaacutentos cuadrados azules y
cuaacutentos color de rosa hay
(2) Observa los cuadrados
color de rosa a lo largo de la
circunferencia el aacuterea de cada
uno mide aproximadamente 05 cm2 iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este
cuarto de ciacuterculo
2 Aacuterea de un ciacuterculo
iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de un ciacuterculo cuyo radio mide 10 cm
Verifica la respuesta trazando ese ciacuterculo sobre papel cuadriculado
a una escala de 1 cm
1
1 cm1 cm
① iquestCoacutemo podemos verificar
que la respuesta es correcta
Piensa coacutemo calcular el aacuterea del ciacuterculo y coacutemo podriacutea ser una
foacutermula para hacer ese caacutelculo
10 cm
10 cm
Foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Piensa coacutemo calcular el aacuterea
de un ciacuterculo
2
Analiza el ciacuterculo
de la derecha
③ iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea del ciacuterculo entero
cuadrados azules 1 (cm2)
cuadrados color de rosa05 (cm2)
① Piensa como construir la foacutermula utilizando una figura que divida el
ciacuterculo en varias secciones iguales a partir del radioiquestQueacute deberiacuteamos
hacer con los cuadrados
que estaacuten parcialmente
cubiertosPara calcular el aacuterea de
paralelogramos y triaacutengulos los
transformamos en otras figuras
conocidas iquestRecuerdas
Hay foacutermulas para calcular
el aacuterea de rectaacutengulos y
triaacutengulos iquestHabraacute una
foacutermula para los
ciacuterculos
4746
② Platica con tus compantildeeros lo que has
pensado para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Analiza cuidadosamente las ideas de
estos tres alumnos
La idea de Takao
Yo divido un ciacuterculo en muchos
triaacutengulos pequentildeos
2 cm
Yo construyo un triaacutengulo con
las partes del ciacuterculo
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
La idea de Akiko
Yo construyo un paralelogramo con las partes del ciacuterculo
③ Piensa coacutemo construir una foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
usando las ideas de estos alumnos
④ Construye una foacutermula con base en la idea
de Akiko
Radio
Circunferenciadivide2
Circunferenciadivide2
RadioRadio
16 secciones iguales
32 secciones iguales
64 secciones igualesCircunferenciadivide2
Aacuterea del rectaacutengulo = largo x ancho
Aacuterea del ciacuterculo ＝ Circunferencia2
＝ radio diaacutemetro3142
＝ radio diaacutemetro2314
＝ radio 314
Mitad de la circunferencia
Radio
La idea de Yasuko
Diaacutemetro2＝Radio iquestde acuerdo
Si cortas un ciacuterculo en
secciones pequentildeas de
igual tamantildeo iquestqueacute figura
puedes formar
4948
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura 2
Aacuterea del ciacuterculo ＝circunferencia radio2
＝Diaacutemetro 314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
Circunferencia
Radio
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
Calcula el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con radio de 8 cm ② Un ciacuterculo con diaacutemetro de 12 cm
3
El diaacutemetro del ciacuterculo mide
4 cm y el del ciacuterculo mide 8 cm
① Encontrar la circunferencia y el
aacuterea de cada ciacuterculo
② El diaacutemetro de es dos
veces el diaacutemetro de
iquestCuaacutentas veces es mayor la
circunferencia y el aacuterea de
que de la circunferen-
cia y el aacuterea de
4
4 cm
A continuacioacuten te damos las medidas de las circunferencias de unos ciacuterculos
Calcula el radio y el aacuterea de cada uno
① 628 cm ② 1884 cm ③ 157 cm
⑥ Construyamos una foacutermula con base en la idea de Takao
Observa las figuras que construimos al dividir el ciacuterculo en 16 secciones
iguales que parecen triaacutengulos Todos estos ldquotriaacutengulosrdquo tienen la misma altura
si los combinamos podemos construir un ldquotriaacutengulordquo grande
El aacuterea de un ciacuterculo puede calcularse usando
la foacutermula Aacuterea ＝radio times radio times 314
8 cm
⑤ Construyamos una foacutermula con base en la idea
de Yasuko
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura2
Aacuterea del ciacuterculo ＝ circunferencia4 radio4 2
＝diaacutemetro314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
1514
10 2 ＝ Area
5 En la figura de abajo las rectas AB y CD son paralelas Calcula el aacuterea de
cada uno de los triaacutengulos
6 La figura que se muestra a la derecha
es un triaacutengulo rectaacutengulo
① Calcula su aacuterea
② Encuentra la altura del triaacutengulo
considerando que el lado BC es la base
Si la base y la altura de dos triaacutengulos son respectivamente
iguales tambieacuten sus aacutereas son iguales
Calcula la altura de cada uno de
los triaacutengulos que se muestran a
la derecha si los lados AD y BC
son respectivamente sus bases
Base Altura
Coacutemo calcular el aacuterea de otras figuras
1 Imagina coacutemo podriacuteas calcular el aacuterea de este cuadrilaacutetero
2 Mide las longitudes que sea
necesario conocer y calcula el
aacuterea de este trapecio
① Divide el cuadrilaacutetero en figuras de las cuales ya sepas coacutemo
calcular el aacuterea
② Mide las longitudes que se requieren para calcular el aacuterea
Es posible calcular el aacuterea de
cuadrilaacuteteros y pentaacutegonos
dividieacutendolos en triaacutengulos
6 cm
3 cm 3 cm 3 cm
3 cm
① ② ③ ④
A B
C D
8 cm
10 cm
cm
6 cm
A
B C
2 cm
4 cm5 cm10 cm
A B
DC
C
A
D
B
C
AD
B
3
1716
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea de un paralelogramo
iquestCuaacutel de los dos elementos de la foacutermula cambia cuando el aacuterea cambia
iquestQueacute permanece sin cambios
② Completa la siguiente tabla
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la base se duplica
iquestSi se triplica
＝
1 Construyamos un paralelogramo maacutes grande uniendo varios paralelo-
gramos como se muestra en la figura de abajo
4 Relacioacuten entre la longitud de los lados y el aacuterea
Base (cm) 3 6
Aacuterea (cm2)
Altura (cm) 1 2 3
Aacuterea (cm2) 3
La altura de un paralelogramo se incrementa en tramos
de 2 cm como se muestra a la derecha
① Construye una tabla que muestre la relacioacuten que
hay entre la altura y el aacuterea de esta figura
② Analiza la tabla y escribe tus conclusiones
2 La altura de un triaacutengulo se incrementa
en tramos de 1 cm como se muestra a la
derecha
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea
de un triaacutengulo iquestCuaacutel de los dos elementos
de la foacutermula cambia junto con el aacuterea
iquestQueacute permanece sin cambios
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la base se duplica
iquestY cuando se triplica
④ Cuando el aacuterea de un triaacutengulo es 30cm2 iquestcuaacutentos cm mide su altura
② Completa la tabla de abajo
＝
La base de un triaacutengulo rectaacutengulo se incrementa en tramos de 1 cm como se
muestra en la figura de la derecha
① Construye una tabla que muestre la relacioacuten
que hay entre la base y el aacuterea de estos triaacutengulos
② Si el aacuterea de un triaacutengulo es de 16cm2
iquestcuaacutentos cm mide su base
5 cm
3 cm
4 cm
6 (cm)54321
6 cm
1
2
3
4(cm)
3 cm
6 cm
4 cm
2 cm
Base y aacuterea de un paralelogramo
Altura y aacuterea de un triaacutengulo
1918
5 cm
2 cm
Escribe la foacutermula para
calcular el aacuterea de un paralelogramo
Aacuterea del paralelogramo ＝
Calcula el aacuterea de estos paralelogramos
Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea
de un triaacutengulo
Aacuterea del triaacutengulo ＝
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
Calcula el aacuterea de
este cuadrilaacutetero
Tracemos paralelogramos cuya
base mida 5 cm y su altura 2 cm para
construir un paralelogramo maacutes grande
como se muestra en la figura de abajo
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea de un paralelogramo
iquestCuaacutel de los dos elementos de la foacutermula cambia junto con el aacuterea
iquestQueacute permanece sin cambios
② Completa la tabla de abajo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(cm)
8 cm
4 cm
4 cm
3 cm
9 cm6 cm
9 cm
Base
Altura
3 cm7 cm
1 cm
2 cm
5 cm
Altura y aacuterea de un paralelogramo
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la altura se duplica
iquestCuando se triplica
Altura (cm) 2 4
Aacuterea (cm2)
Paacutegina 5
Paacutegina12
Paacuteginas 6~7
Paacutegina 15
Paacuteginas 12~13
Base
Altura
6 Paacuteginas 16~17
① ②
②①
1
2
3
4
5
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
Traza un triaacutengulo cuya aacuterea sea la
misma que la del triaacutengulo de la derecha
Explica por queacute son iguales
Calcula el aacuterea de las secciones coloreadas en las siguientes figuras
6 cm
3 cm35 cm
8 cm
5 cm
7 cm
6 cm
2 cm
4 cm 8 cm6 cm
3 cm
1 cm1 cm
15 cm135 cm2
1 cm 5 cm2 cm
1 cm
6 cm
4 cm
5 cm
5 cm
8 cm 10 cm
6 cm
5 cm
① El grupo de Hiroshi midioacute el
parque e hizo el diagrama que
muestra a la derecha iquestCuaacutentos
m2 mide esa aacuterea
② Formen equipos y calculen
el aacuterea de diferentes lugares
en su entorno
4
②①
④③
iexclLa figura de abajo es el diagrama de un parque iexclEl reto es calcular su aacuterea
52
74
163
101
178m
m
m
mm
②① Paralelogramo ③ Trapecio
Ir a la paacutegina 86
Encontrar la base y la altura usando foacutermulas
El triaacutengulo de la derecha tiene una
altura de 15 cm y su aacuterea es 135 cm2
iquestCuaacutentos cm mide su base
bull Encontrar maneras para calcular el aacuterea
bull Encontrar la altura o la base cuando se conoce el aacuterea
Paralelogramo
Paralelogramo
2120
bull Trazar un triaacutengulo con la misma aacuterea
iquestQueacute
longitudes
necesitas
iexclCalculemos el aacuterea
del parque
3
2
1
Ir a la paacutegina 21 Ir a la paacutegina 89
2322
Expresa las siguientes magnitudes usando fracciones impropias y fracciones mixtas
iquestCuaacutel es la longitud en metros en cada caso Escribe la respuesta usando fracciones
La respuesta se obtiene dividiendo 1 m en 5 partes iguales
El segmento que se obtiene al dividir 1 m en 10 partes iguales
①
②
La longitud de la parte que excede a 1 m nota que 5 segmentos forman 1 m
1 m
1 m
③ 1 m
① ②
① Encuentra la marca que indica exactamente l
② Encuentra la marca que indica exactamente l
1 ＝2
＝ ＝
1 ＝3
＝
m mdl dl
m
m
m
0 1 2(m)
2
Fracciones9
Vertimos jugo de naranja en
un recipiente graduado usando
fracciones
El tamantildeo de un objeto o el
volumen que estaacute dividido en
secciones iguales se expresa
como una fraccioacuten
Las fracciones tambieacuten pueden
usarse para expresar nuacutemeros
que son mayores que 1
Una fraccioacuten mixta es mayor que 1
Una fraccioacuten impropia es igual o
mayor que 1
1 dl 1 dl
1 dl
1
1
2
1
3
① Lee en voz alta y hazlo de la
fraccioacuten menor a la mayor
② Reemplaza con 2 los numeradores del inciso ① y vuelve a leer
las fracciones en voz alta de la menor a la mayor
2524
( )
1 Sigue las instrucciones de abajo usando la recta numeacuterica
Fracciones equivalentes ③ Observa la recta numeacuterica de la paacutegina anterior y encuentra fracciones
que sean equivalentes
④ Observa la recta numeacuterica y encuentra otras fracciones que sean
equivalentes a las del inciso anterior
⑤ Platica con tus compantildeeros sobre lo que has aprendido y haz un
resumen
① Cuando el denominador es el mismo el valor de
una fraccioacuten se incrementa si el numerador aumenta
② Cuando el numerador es el mismo el valor de una
fraccioacuten disminuye cuando su denominador aumenta
③ Algunas fracciones tienen el mismo valor aunque sus
denominadores y numeradores sean diferentes
Encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten que sea mayor en cada pareja Si son iguales
marca ambas fracciones
1 ＝2
＝ ＝ ＝
1 ＝3
＝
3 ＝4
① 3 3
85 ( )② 3 5
77 ( )③ 1 4
82El valor de la fraccioacuten disminuye
cuando el numerador es el mismo y
el denominador aumenta
1
21 1
314
15
1 11 1 16 7 8 9 10
O OO
O
2726
② Yukie
Suma y resta con fracciones
Suma con fracciones
1 Akira y Yukie hacen cafeacute con leche iquestCuaacutentos litros hizo cada uno
① Akira
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l1
5
1 ＋ ＝5
2
5
3 ＋ ＝6
4
6
Cuando se suman fracciones con el mismo denominador
se suman los numeradores y los denominadores quedan
igual
2 Piensa coacutemo hacer este caacutelculo
3 ＋ ＝8
5
8＝
3 ＋8
5
8
3 Construye sumas utilizando fracciones
propias con el mismo denominador
utiliza nuacutemeros del 1 al 9 Luego
calcula los resultados
＋
①
④
2 ＋ 1
44
2 ＋ 2
33
②
⑤
4 ＋ 1
77
2 ＋ 4
55
③
⑥
2 ＋ 3
88
3 ＋ 6
99
O O O
2
5
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l3
6
4
6
1
5
＝
Piensa cuaacutentas veces
se repite
Puedo expresarlo como
un nuacutemero mixto
Podemos comparar faacutecilmente
el valor de una fraccioacuten si la
expresamos como nuacutemero mixto
o como entero
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l1 l
2 l
2
③ Si repartimos equitativamente 2 litros entre 3 alumnos
iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
Colorea la porcioacuten que
le toca a un alumno
iquestCuaacutentos litros es esa porcioacuten
① Realiza estas operaciones utilizando los nuacutemeros del 1 al 5 en el
2928
①
④
5 － 4
88
3 － 2
44
②
⑤
3 － 3
77
13 － 5
1212
③
⑥
5 － 1
66
－12
5
Cuando hacemos restas con fracciones que tienen el
mismo denominador restamos los numeradores y los
denominadores quedan igual
Resta con fracciones
4 iquestCuaacutento maacutes grande es de litro de jugo que
de litro de leche Piensa coacutemo calcular la respuesta
7
8
4
8
7 － ＝8
4
8
O O O
5 Piensa coacutemo hariacuteas las siguientes restas4 －3
2
3－1
5
7②①
3 Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
Cocientes y fracciones
1 Si repartimos equitativamente 2 litros
de leche entre alumnos iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
2
2 2 2 2 2② Agrupa las expresiones de arriba en los siguientes grupos dependiendo
del tipo de resultado
Cocientes que sean nuacutemeros enteros
Cocientes que sean nuacutemeros decimales
Cocientes que contengan un nuacutemero indefinido de diacutegitos en su
parte decimal
23 es 0666 Este nuacutemero tiene una cantidad indefinida de diacutegitos en
su parte decimal
O O
（ ）（ ）（ ）
minus ＝
La diferencia es cuaacutentos
octavos maacutes hay
Analicemos coacutemo expresar el cociente de una divisioacuten cuando tiene un
nuacutemero indefinido de diacutegitos en su parte decimal
Leche 1l Leche 1l
1 l 1 l
1 l 1 l
1 l
3130
23＝
Cantidad para un alumno cuando 1 litro se divide en 3 partes iguales l
La cantidad para un alumno cuando se reparten 2 litros en 3 partes iguales l
31
31
2 iquestCuaacutentos metros mide cada tramo cuando una cuerda de 3 metros se
divide en 4 partes iguales
① Escribe una expresioacuten matemaacutetica para este problema
② iquestCuaacutel es la longitud de una parte
① 16 ② 58 ③ 43 ④ 97
Reescribe las siguientes divisiones como fracciones
34＝
La divisioacuten de un nuacutemero entre otro
puede expresarse como una fraccioacuten ＝
0
0
0
1
1
2
2 3
41
m
m
m
(m)
(m)
(m)
1
Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
3 Si dividimos una cinta de 2 metros en 5 partes iguales iquestcuaacutentos metros
mediraacute cada una de esas partes
① Expresa el cociente de estas divisiones como una fraccioacuten y despueacutes
como nuacutemero decimal25＝
② Ubica en esta recta numeacuterica la fraccioacuten y tambieacuten su
valor decimal
Para expresar una fraccioacuten como nuacutemero decimal o como nuacutemero
entero dividimos el numerador entre el denominador
25＝
0 02
0
1
1
2
51
(m)
2 (m)
4 iquestQueacute cantidad es mayor iquest l o 07 litros3
5
5 Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales
3 ＝1 ＝855
8
5
29
100
3
10
＝
＝12412
4＝
②
③
①
④
14
24
34
3 ＝ 3 5 ＝5
＝
＝La divisioacuten puede expresarse
como una fraccioacuten
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l
l l
l
25
3332
podemos pensarlo como 19 veces y obtenemos
6 Veamos coacutemo expresar 2 y 5 como fracciones
＝ 23＝0666hellipaproximadamente 0672
3
2＝21＝ 5＝51＝
2＝42＝ 5＝102＝
2＝8 5＝30 ＝＝
2
1
4
2
Los nuacutemeros enteros pueden expresarse como fracciones
usando cualquier denominador
Muchos nuacutemeros decimales pueden expresarse como
fracciones si elegimos y como unidades
7 Expresa los nuacutemeros 019 y 17 como fracciones
① Como 019 es lo mismo que 19 veces 001
1
100
podemos pensarlo como 17 veces y obtenemos
② Como 17 es lo mismo que veces 01
Escribe en los los nuacutemeros decimales y las fracciones que faltan
1
100
1
10
8 Clasifica estas fracciones en los grupos que se indican
11
2
12
3
3
5
3
1
6
2
8
10
4
11
06 1251 27
20
Nuacutemeros enteros
Con un nuacutemero definido de diacutegitos decimales
Otro tipo de nuacutemeros decimales
Se facilita la comparacioacuten de fracciones si las expresamos como
nuacutemeros decimales
9 Dibuja una darr para indicar la posicioacuten de cada uno de los siguientes
nuacutemeros en la recta numeacuterica de abajo
4
5
3
4
2
3
Los nuacutemeros enteros los nuacutemeros decimales y las
fracciones pueden ubicarse en una recta numeacuterica Asiacute es
maacutes faacutecil compararlos
① 09 ② 125 ③ ④ ⑤
Ordena los siguientes nuacutemeros del mayor al menor1
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales como fracciones y las fracciones como
nuacutemeros decimales
2
13 0751
12
4
2
5
7
7
10
21
5
3
4
24
6
② ③ ④ ⑥⑤ ⑦①
Decimales
Fracciones
Escribamos en el de abajo los nuacutemeros decimales y fracciones que faltan
3534
① ② ③ ④
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimalest
paacutegina 31
Analiza los siguientes pares de fracciones y
en cada pareja encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten de mayor valor
paacutegina 25
7
8
5
8
8
3
8
5
2
3
6
9
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
1 ＋ 1
33
2 ＋ 3
55
5 ＋ 3
66
5 － 1
77
5 － 2
44
paacuteginas 26~28
① 17 ② 59 ③ 113
Expresa como fracciones las siguientes divisiones
paacutegina 30
5
10
31
100
18
6
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales
como fracciones
① 03 ② 19 ③ 061 ④ 111
paacutegina 32
Indica con una darr la posicioacuten en la recta numeacuterica
de cada uno de los siguientes nuacutemeros
1 07 18
paacutegina 33
1
2
5
7
5
71－
8
11
4
51
20
④ Piensa coacutemo calcular la
respuesta
iquestPodemos hacer operaciones con nuacutemeros mixtos
Realiza las siguientes operaciones
La familia de Masako bebe 1 litros de leche en la mantildeana y
litros de leche en la tarde
① iquestCuaacutentos litros de leche bebieron en total Escribe una operacioacuten que
represente esto
② Piensa coacutemo calcular la respuesta
③ iquestCuaacutenta leche bebieron maacutes en la
mantildeana respecto a la tarde Escribe
una operacioacuten que represente esto
1
2
35
45
3 ＋1 ＝ 15
45 5
3 －1 ＝545 5 － 4
5
＝
＝
2 ＋① 71
67
2 －1② 434
( ) ( ) ( )① ② ③
(grupo)
no puedo restar
(cambio)
2
3
4
5
6
① ② ③ ④ 06 ⑤ 012
Expresa las siguientes divisiones como fracciones
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales o como nuacutemeros
enteros y los nuacutemeros decimales como fracciones
1
2
16
81
15
Resuelve las siguientes operaciones
① ② ③ ④3 ＋ 2
66
5 ＋ 7
88
31－
5
4 － 3
88
Utiliza dos de las tarjetas y para crear
fracciones Clasifica las fracciones en tres grupos como se indica
Fracciones que pueden expresarse como nuacutemeros enteros
( )Fracciones que pueden expresarse como decimales con un nuacutemero
determinado de diacutegitos
( )Fracciones que no pueden expresarse como decimales con un
nuacutemero determinado de diacutegitos
( )
765434
bull iquestCuaacutel es el elemento que tienen en comuacuten las siguientes
fracciones
3 ＋ 4
55
3 ＋ 4
77＋3
10
4
10
3 ＋ 4
55
iquestCon queacute unidades debemos resolver las siguientes operaciones
para que se comporten como si calculaacuteramos 3＋4
① 03＋04 La unidad es
② 3000＋4000 La unidad es
③ La unidad es
1
3 ＋ 4
99
Encuentra otras operaciones cuyo proceso sea equivalente al que
realizamos con 3＋4
2
① 45 ② 69 ③ 208
Ir a la paacutegina 88
se resuelve sumando 3＋4 si pensamos como la unidad1
5
Entender la relacioacuten que hay entre la divisioacuten con enteros y las fracciones
Resolver sumas y restas con fracciones que tienen el mismo denominador
Expresar cantidades como nuacutemeros decimales como fracciones y como nuacutemeros enteros
Expresar fracciones como nuacutemeros decimales oacute nuacutemeros enteros
3736
Puedo pensar en caacutelculoscon nuacutemeros grandescomo cien millones y un trilloacuten
Puedo hacer muchos caacutelculos como esos usandofracciones con distintodenominador
iquestSeraacute posible iniciar elcaacutelculo con 3＋41
2
3
Ir a la paacutegina 37
38 39
Resuelve estas operaciones en la forma vertical
① 132 ② 5117 ③ 94
④ 1435 ⑤ 6946 ⑥ 3624
⑦ 6104 ⑧ 0805 ⑨ 0725
Haz estas divisiones encontrando el cociente hasta
nuacutemeros enteros e indica cuaacutel es el residuo
① 6117 ② 9706
Tenemos 135 Kg de arroz Si comemos 09 Kg en un diacutea
iquestcuaacutentos diacuteas podremos comer arroz
Escribe en el las medidas que faltan
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
① ②
③
5 cm
3 cm
①
Encuentra coacutemo calcular el aacuterea de estas figuras
①
Trapecio
②
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
3 ＋ 1
55
3 ＋ 1
44
5 ＋ 6
77
5 － 3
44
7 － 3
991
1－10
Cuaacutel es mayor iquest075 o
Necesitamos dividir equitativamente una cuerda de 3m
entre 8 alumnos iquestCuaacutentos metros de cuerda recibiraacute cada uno
8
35
4 cm
7 cm6 cm
5 cm
4 cm
8 cm
3 cm3 cm
3 cm
5 cm
②
paralelogramo
Triaacutengulo isoacutesceles
Paralelogramo
6
99
7
6
5
4
3
2
1
9
9
8
8
8
6
6
6
4140
① Discute con tus compantildeeros sobre la relacioacuten entre la distancia que
avanza cada ciacuterculo y la longitud de sus diaacutemetros
② Haz una estimacioacuten de cuaacutentos cm avanzaraacute en una vuelta un ciacuterculo
cuyo diaacutemetro mide 40cm y comprueba tu prediccioacuten
A la liacutenea curva que limita un ciacuterculo se le llama circunferencia A un segmento de esa curva se lellama arco
Analiza la relacioacuten que hay entre el diaacutemetro de un ciacuterculo y la longitud
de su circunferencia
Diaacutemetro y circunferencia
Analicemos la relacioacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro en
diferentes ciacuterculos
① Veamos algunas formas para medir circunferencias y diaacutemetros
1
Circunferencia（cm）
Diaacutemetro（cm） 10 20 30
Ciacuterculo Ciacuterculo Ciacuterculo Lata(longitud cinta)
② Anota los datos en la siguiente tabla
③ iquestExistiraacute una foacutermula para determinar la relacioacuten entre la
circunferencia y el diaacutemetro
Recorta un pedazo de cartoacuten para trazar los ciacuterculos y cuyos
diaacutemetros miden 10cm 20cm y 30cm respectivamente Despueacutes hazlos
rodar una vuelta completa y mide cuaacutento avanzan
Ciacuterculos
Cuando el diaacutemetro se duplica iquestQueacute tantose incrementa la circunferencia
iquestCuaacutentas veces cabe eldiaacutemetro en la circunferencia
Medida de la circunferencia Medida del diaacutemetro
1
4342
Circunferencia divide Diaacutemetro
10 20 30
Ciacuterculo de cartoacuten Lata Cinta de embalajeCiacuterculo de cartoacuten Ciacuterculo de cartoacuten
Circunferencia(cm）
Diaacutemetro(cm）
④ iquestCuaacutentas veces cabe el diaacutemetro en la circunferencia
Usa tus datos para calcular redondeando
al mileacutesimo maacutes cercano
ldquoCircunferencia divide Diaacutemetrordquo da el mismo resultado para
ciacuterculos de cualquier tamantildeo
A la divisioacuten Circunferencia divide Diaacutemetro se le llama razoacuten
entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro es 314159
Este es un nuacutemero que continuacutea indefinidamente Usualmente se
emplea la aproximacioacuten 314
iquestCuaacutentos centiacutemetros mide la circunferencia de un
ciacuterculo de 8cm de diaacutemetro
2
① Un ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide 15 cm ② Un ciacuterculo cuyo radio mide 25 cm
Calcula la circunferencia de los siguientes ciacuterculos
La circunferencia de una lata ciliacutendrica mide 628 cm
iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro de la lata
① Si el diaacutemetro de la lata es cm escribe una expresioacuten
matemaacutetica aplicando la foacutermula que utilizaste en
② iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro
de la lata
314＝628
3
Los datos de abajo son las longitudes de las circunferencias de
unos ciacuterculos Calcula el diaacutemetro de cada uno
iquestCuaacutentos metros mide el diaacutemetro del tronco de este aacuterbol
① 2826 cm ② 314 cm ③ 3768 cm
2
1
Esta fotografiacutea muestra una imagen
de una moneda antigua dibujada sobre
arena en la Ciudad de Kannonji en el
parque Kagawa La circunferencia de
esta moneda gigante es 345 m
Calcula su diaacutemetro redondeado al
deacutecimo maacutes cercano
2
Razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro = circunferencia divide diaacutemetro
Circunferencia＝Diaacutemetrotimes314
Se necesitan seis nintildeos con sus brazos estirados para
rodear el tronco del aacuterbol en un parque iquestCuaacutentos metros
mediraacute el diaacutemetro de este aacuterbol Los brazos de cada
nintildeo cubren una longitud aproximada de 14 metros
Calcula el diaacutemetro del tronco usando 3 como
valor aproximado para la razoacuten entre la circunferencia
y el diaacutemetro
4544
② Dividamos el ciacuterculo en 4
partes iguales y consideremos
soacutelo una parte
(1) iquestCuaacutentos cuadrados azules y
cuaacutentos color de rosa hay
(2) Observa los cuadrados
color de rosa a lo largo de la
circunferencia el aacuterea de cada
uno mide aproximadamente 05 cm2 iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este
cuarto de ciacuterculo
2 Aacuterea de un ciacuterculo
iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de un ciacuterculo cuyo radio mide 10 cm
Verifica la respuesta trazando ese ciacuterculo sobre papel cuadriculado
a una escala de 1 cm
1
1 cm1 cm
① iquestCoacutemo podemos verificar
que la respuesta es correcta
Piensa coacutemo calcular el aacuterea del ciacuterculo y coacutemo podriacutea ser una
foacutermula para hacer ese caacutelculo
10 cm
10 cm
Foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Piensa coacutemo calcular el aacuterea
de un ciacuterculo
2
Analiza el ciacuterculo
de la derecha
③ iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea del ciacuterculo entero
cuadrados azules 1 (cm2)
cuadrados color de rosa05 (cm2)
① Piensa como construir la foacutermula utilizando una figura que divida el
ciacuterculo en varias secciones iguales a partir del radioiquestQueacute deberiacuteamos
hacer con los cuadrados
que estaacuten parcialmente
cubiertosPara calcular el aacuterea de
paralelogramos y triaacutengulos los
transformamos en otras figuras
conocidas iquestRecuerdas
Hay foacutermulas para calcular
el aacuterea de rectaacutengulos y
triaacutengulos iquestHabraacute una
foacutermula para los
ciacuterculos
4746
② Platica con tus compantildeeros lo que has
pensado para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Analiza cuidadosamente las ideas de
estos tres alumnos
La idea de Takao
Yo divido un ciacuterculo en muchos
triaacutengulos pequentildeos
2 cm
Yo construyo un triaacutengulo con
las partes del ciacuterculo
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
La idea de Akiko
Yo construyo un paralelogramo con las partes del ciacuterculo
③ Piensa coacutemo construir una foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
usando las ideas de estos alumnos
④ Construye una foacutermula con base en la idea
de Akiko
Radio
Circunferenciadivide2
Circunferenciadivide2
RadioRadio
16 secciones iguales
32 secciones iguales
64 secciones igualesCircunferenciadivide2
Aacuterea del rectaacutengulo = largo x ancho
Aacuterea del ciacuterculo ＝ Circunferencia2
＝ radio diaacutemetro3142
＝ radio diaacutemetro2314
＝ radio 314
Mitad de la circunferencia
Radio
La idea de Yasuko
Diaacutemetro2＝Radio iquestde acuerdo
Si cortas un ciacuterculo en
secciones pequentildeas de
igual tamantildeo iquestqueacute figura
puedes formar
4948
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura 2
Aacuterea del ciacuterculo ＝circunferencia radio2
＝Diaacutemetro 314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
Circunferencia
Radio
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
Calcula el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con radio de 8 cm ② Un ciacuterculo con diaacutemetro de 12 cm
3
El diaacutemetro del ciacuterculo mide
4 cm y el del ciacuterculo mide 8 cm
① Encontrar la circunferencia y el
aacuterea de cada ciacuterculo
② El diaacutemetro de es dos
veces el diaacutemetro de
iquestCuaacutentas veces es mayor la
circunferencia y el aacuterea de
que de la circunferen-
cia y el aacuterea de
4
4 cm
A continuacioacuten te damos las medidas de las circunferencias de unos ciacuterculos
Calcula el radio y el aacuterea de cada uno
① 628 cm ② 1884 cm ③ 157 cm
⑥ Construyamos una foacutermula con base en la idea de Takao
Observa las figuras que construimos al dividir el ciacuterculo en 16 secciones
iguales que parecen triaacutengulos Todos estos ldquotriaacutengulosrdquo tienen la misma altura
si los combinamos podemos construir un ldquotriaacutengulordquo grande
El aacuterea de un ciacuterculo puede calcularse usando
la foacutermula Aacuterea ＝radio times radio times 314
8 cm
⑤ Construyamos una foacutermula con base en la idea
de Yasuko
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura2
Aacuterea del ciacuterculo ＝ circunferencia4 radio4 2
＝diaacutemetro314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
1716
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea de un paralelogramo
iquestCuaacutel de los dos elementos de la foacutermula cambia cuando el aacuterea cambia
iquestQueacute permanece sin cambios
② Completa la siguiente tabla
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la base se duplica
iquestSi se triplica
＝
1 Construyamos un paralelogramo maacutes grande uniendo varios paralelo-
gramos como se muestra en la figura de abajo
4 Relacioacuten entre la longitud de los lados y el aacuterea
Base (cm) 3 6
Aacuterea (cm2)
Altura (cm) 1 2 3
Aacuterea (cm2) 3
La altura de un paralelogramo se incrementa en tramos
de 2 cm como se muestra a la derecha
① Construye una tabla que muestre la relacioacuten que
hay entre la altura y el aacuterea de esta figura
② Analiza la tabla y escribe tus conclusiones
2 La altura de un triaacutengulo se incrementa
en tramos de 1 cm como se muestra a la
derecha
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea
de un triaacutengulo iquestCuaacutel de los dos elementos
de la foacutermula cambia junto con el aacuterea
iquestQueacute permanece sin cambios
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la base se duplica
iquestY cuando se triplica
④ Cuando el aacuterea de un triaacutengulo es 30cm2 iquestcuaacutentos cm mide su altura
② Completa la tabla de abajo
＝
La base de un triaacutengulo rectaacutengulo se incrementa en tramos de 1 cm como se
muestra en la figura de la derecha
① Construye una tabla que muestre la relacioacuten
que hay entre la base y el aacuterea de estos triaacutengulos
② Si el aacuterea de un triaacutengulo es de 16cm2
iquestcuaacutentos cm mide su base
5 cm
3 cm
4 cm
6 (cm)54321
6 cm
1
2
3
4(cm)
3 cm
6 cm
4 cm
2 cm
Base y aacuterea de un paralelogramo
Altura y aacuterea de un triaacutengulo
1918
5 cm
2 cm
Escribe la foacutermula para
calcular el aacuterea de un paralelogramo
Aacuterea del paralelogramo ＝
Calcula el aacuterea de estos paralelogramos
Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea
de un triaacutengulo
Aacuterea del triaacutengulo ＝
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
Calcula el aacuterea de
este cuadrilaacutetero
Tracemos paralelogramos cuya
base mida 5 cm y su altura 2 cm para
construir un paralelogramo maacutes grande
como se muestra en la figura de abajo
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea de un paralelogramo
iquestCuaacutel de los dos elementos de la foacutermula cambia junto con el aacuterea
iquestQueacute permanece sin cambios
② Completa la tabla de abajo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(cm)
8 cm
4 cm
4 cm
3 cm
9 cm6 cm
9 cm
Base
Altura
3 cm7 cm
1 cm
2 cm
5 cm
Altura y aacuterea de un paralelogramo
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la altura se duplica
iquestCuando se triplica
Altura (cm) 2 4
Aacuterea (cm2)
Paacutegina 5
Paacutegina12
Paacuteginas 6~7
Paacutegina 15
Paacuteginas 12~13
Base
Altura
6 Paacuteginas 16~17
① ②
②①
1
2
3
4
5
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
Traza un triaacutengulo cuya aacuterea sea la
misma que la del triaacutengulo de la derecha
Explica por queacute son iguales
Calcula el aacuterea de las secciones coloreadas en las siguientes figuras
6 cm
3 cm35 cm
8 cm
5 cm
7 cm
6 cm
2 cm
4 cm 8 cm6 cm
3 cm
1 cm1 cm
15 cm135 cm2
1 cm 5 cm2 cm
1 cm
6 cm
4 cm
5 cm
5 cm
8 cm 10 cm
6 cm
5 cm
① El grupo de Hiroshi midioacute el
parque e hizo el diagrama que
muestra a la derecha iquestCuaacutentos
m2 mide esa aacuterea
② Formen equipos y calculen
el aacuterea de diferentes lugares
en su entorno
4
②①
④③
iexclLa figura de abajo es el diagrama de un parque iexclEl reto es calcular su aacuterea
52
74
163
101
178m
m
m
mm
②① Paralelogramo ③ Trapecio
Ir a la paacutegina 86
Encontrar la base y la altura usando foacutermulas
El triaacutengulo de la derecha tiene una
altura de 15 cm y su aacuterea es 135 cm2
iquestCuaacutentos cm mide su base
bull Encontrar maneras para calcular el aacuterea
bull Encontrar la altura o la base cuando se conoce el aacuterea
Paralelogramo
Paralelogramo
2120
bull Trazar un triaacutengulo con la misma aacuterea
iquestQueacute
longitudes
necesitas
iexclCalculemos el aacuterea
del parque
3
2
1
Ir a la paacutegina 21 Ir a la paacutegina 89
2322
Expresa las siguientes magnitudes usando fracciones impropias y fracciones mixtas
iquestCuaacutel es la longitud en metros en cada caso Escribe la respuesta usando fracciones
La respuesta se obtiene dividiendo 1 m en 5 partes iguales
El segmento que se obtiene al dividir 1 m en 10 partes iguales
①
②
La longitud de la parte que excede a 1 m nota que 5 segmentos forman 1 m
1 m
1 m
③ 1 m
① ②
① Encuentra la marca que indica exactamente l
② Encuentra la marca que indica exactamente l
1 ＝2
＝ ＝
1 ＝3
＝
m mdl dl
m
m
m
0 1 2(m)
2
Fracciones9
Vertimos jugo de naranja en
un recipiente graduado usando
fracciones
El tamantildeo de un objeto o el
volumen que estaacute dividido en
secciones iguales se expresa
como una fraccioacuten
Las fracciones tambieacuten pueden
usarse para expresar nuacutemeros
que son mayores que 1
Una fraccioacuten mixta es mayor que 1
Una fraccioacuten impropia es igual o
mayor que 1
1 dl 1 dl
1 dl
1
1
2
1
3
① Lee en voz alta y hazlo de la
fraccioacuten menor a la mayor
② Reemplaza con 2 los numeradores del inciso ① y vuelve a leer
las fracciones en voz alta de la menor a la mayor
2524
( )
1 Sigue las instrucciones de abajo usando la recta numeacuterica
Fracciones equivalentes ③ Observa la recta numeacuterica de la paacutegina anterior y encuentra fracciones
que sean equivalentes
④ Observa la recta numeacuterica y encuentra otras fracciones que sean
equivalentes a las del inciso anterior
⑤ Platica con tus compantildeeros sobre lo que has aprendido y haz un
resumen
① Cuando el denominador es el mismo el valor de
una fraccioacuten se incrementa si el numerador aumenta
② Cuando el numerador es el mismo el valor de una
fraccioacuten disminuye cuando su denominador aumenta
③ Algunas fracciones tienen el mismo valor aunque sus
denominadores y numeradores sean diferentes
Encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten que sea mayor en cada pareja Si son iguales
marca ambas fracciones
1 ＝2
＝ ＝ ＝
1 ＝3
＝
3 ＝4
① 3 3
85 ( )② 3 5
77 ( )③ 1 4
82El valor de la fraccioacuten disminuye
cuando el numerador es el mismo y
el denominador aumenta
1
21 1
314
15
1 11 1 16 7 8 9 10
O OO
O
2726
② Yukie
Suma y resta con fracciones
Suma con fracciones
1 Akira y Yukie hacen cafeacute con leche iquestCuaacutentos litros hizo cada uno
① Akira
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l1
5
1 ＋ ＝5
2
5
3 ＋ ＝6
4
6
Cuando se suman fracciones con el mismo denominador
se suman los numeradores y los denominadores quedan
igual
2 Piensa coacutemo hacer este caacutelculo
3 ＋ ＝8
5
8＝
3 ＋8
5
8
3 Construye sumas utilizando fracciones
propias con el mismo denominador
utiliza nuacutemeros del 1 al 9 Luego
calcula los resultados
＋
①
④
2 ＋ 1
44
2 ＋ 2
33
②
⑤
4 ＋ 1
77
2 ＋ 4
55
③
⑥
2 ＋ 3
88
3 ＋ 6
99
O O O
2
5
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l3
6
4
6
1
5
＝
Piensa cuaacutentas veces
se repite
Puedo expresarlo como
un nuacutemero mixto
Podemos comparar faacutecilmente
el valor de una fraccioacuten si la
expresamos como nuacutemero mixto
o como entero
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l1 l
2 l
2
③ Si repartimos equitativamente 2 litros entre 3 alumnos
iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
Colorea la porcioacuten que
le toca a un alumno
iquestCuaacutentos litros es esa porcioacuten
① Realiza estas operaciones utilizando los nuacutemeros del 1 al 5 en el
2928
①
④
5 － 4
88
3 － 2
44
②
⑤
3 － 3
77
13 － 5
1212
③
⑥
5 － 1
66
－12
5
Cuando hacemos restas con fracciones que tienen el
mismo denominador restamos los numeradores y los
denominadores quedan igual
Resta con fracciones
4 iquestCuaacutento maacutes grande es de litro de jugo que
de litro de leche Piensa coacutemo calcular la respuesta
7
8
4
8
7 － ＝8
4
8
O O O
5 Piensa coacutemo hariacuteas las siguientes restas4 －3
2
3－1
5
7②①
3 Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
Cocientes y fracciones
1 Si repartimos equitativamente 2 litros
de leche entre alumnos iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
2
2 2 2 2 2② Agrupa las expresiones de arriba en los siguientes grupos dependiendo
del tipo de resultado
Cocientes que sean nuacutemeros enteros
Cocientes que sean nuacutemeros decimales
Cocientes que contengan un nuacutemero indefinido de diacutegitos en su
parte decimal
23 es 0666 Este nuacutemero tiene una cantidad indefinida de diacutegitos en
su parte decimal
O O
（ ）（ ）（ ）
minus ＝
La diferencia es cuaacutentos
octavos maacutes hay
Analicemos coacutemo expresar el cociente de una divisioacuten cuando tiene un
nuacutemero indefinido de diacutegitos en su parte decimal
Leche 1l Leche 1l
1 l 1 l
1 l 1 l
1 l
3130
23＝
Cantidad para un alumno cuando 1 litro se divide en 3 partes iguales l
La cantidad para un alumno cuando se reparten 2 litros en 3 partes iguales l
31
31
2 iquestCuaacutentos metros mide cada tramo cuando una cuerda de 3 metros se
divide en 4 partes iguales
① Escribe una expresioacuten matemaacutetica para este problema
② iquestCuaacutel es la longitud de una parte
① 16 ② 58 ③ 43 ④ 97
Reescribe las siguientes divisiones como fracciones
34＝
La divisioacuten de un nuacutemero entre otro
puede expresarse como una fraccioacuten ＝
0
0
0
1
1
2
2 3
41
m
m
m
(m)
(m)
(m)
1
Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
3 Si dividimos una cinta de 2 metros en 5 partes iguales iquestcuaacutentos metros
mediraacute cada una de esas partes
① Expresa el cociente de estas divisiones como una fraccioacuten y despueacutes
como nuacutemero decimal25＝
② Ubica en esta recta numeacuterica la fraccioacuten y tambieacuten su
valor decimal
Para expresar una fraccioacuten como nuacutemero decimal o como nuacutemero
entero dividimos el numerador entre el denominador
25＝
0 02
0
1
1
2
51
(m)
2 (m)
4 iquestQueacute cantidad es mayor iquest l o 07 litros3
5
5 Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales
3 ＝1 ＝855
8
5
29
100
3
10
＝
＝12412
4＝
②
③
①
④
14
24
34
3 ＝ 3 5 ＝5
＝
＝La divisioacuten puede expresarse
como una fraccioacuten
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l
l l
l
25
3332
podemos pensarlo como 19 veces y obtenemos
6 Veamos coacutemo expresar 2 y 5 como fracciones
＝ 23＝0666hellipaproximadamente 0672
3
2＝21＝ 5＝51＝
2＝42＝ 5＝102＝
2＝8 5＝30 ＝＝
2
1
4
2
Los nuacutemeros enteros pueden expresarse como fracciones
usando cualquier denominador
Muchos nuacutemeros decimales pueden expresarse como
fracciones si elegimos y como unidades
7 Expresa los nuacutemeros 019 y 17 como fracciones
① Como 019 es lo mismo que 19 veces 001
1
100
podemos pensarlo como 17 veces y obtenemos
② Como 17 es lo mismo que veces 01
Escribe en los los nuacutemeros decimales y las fracciones que faltan
1
100
1
10
8 Clasifica estas fracciones en los grupos que se indican
11
2
12
3
3
5
3
1
6
2
8
10
4
11
06 1251 27
20
Nuacutemeros enteros
Con un nuacutemero definido de diacutegitos decimales
Otro tipo de nuacutemeros decimales
Se facilita la comparacioacuten de fracciones si las expresamos como
nuacutemeros decimales
9 Dibuja una darr para indicar la posicioacuten de cada uno de los siguientes
nuacutemeros en la recta numeacuterica de abajo
4
5
3
4
2
3
Los nuacutemeros enteros los nuacutemeros decimales y las
fracciones pueden ubicarse en una recta numeacuterica Asiacute es
maacutes faacutecil compararlos
① 09 ② 125 ③ ④ ⑤
Ordena los siguientes nuacutemeros del mayor al menor1
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales como fracciones y las fracciones como
nuacutemeros decimales
2
13 0751
12
4
2
5
7
7
10
21
5
3
4
24
6
② ③ ④ ⑥⑤ ⑦①
Decimales
Fracciones
Escribamos en el de abajo los nuacutemeros decimales y fracciones que faltan
3534
① ② ③ ④
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimalest
paacutegina 31
Analiza los siguientes pares de fracciones y
en cada pareja encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten de mayor valor
paacutegina 25
7
8
5
8
8
3
8
5
2
3
6
9
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
1 ＋ 1
33
2 ＋ 3
55
5 ＋ 3
66
5 － 1
77
5 － 2
44
paacuteginas 26~28
① 17 ② 59 ③ 113
Expresa como fracciones las siguientes divisiones
paacutegina 30
5
10
31
100
18
6
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales
como fracciones
① 03 ② 19 ③ 061 ④ 111
paacutegina 32
Indica con una darr la posicioacuten en la recta numeacuterica
de cada uno de los siguientes nuacutemeros
1 07 18
paacutegina 33
1
2
5
7
5
71－
8
11
4
51
20
④ Piensa coacutemo calcular la
respuesta
iquestPodemos hacer operaciones con nuacutemeros mixtos
Realiza las siguientes operaciones
La familia de Masako bebe 1 litros de leche en la mantildeana y
litros de leche en la tarde
① iquestCuaacutentos litros de leche bebieron en total Escribe una operacioacuten que
represente esto
② Piensa coacutemo calcular la respuesta
③ iquestCuaacutenta leche bebieron maacutes en la
mantildeana respecto a la tarde Escribe
una operacioacuten que represente esto
1
2
35
45
3 ＋1 ＝ 15
45 5
3 －1 ＝545 5 － 4
5
＝
＝
2 ＋① 71
67
2 －1② 434
( ) ( ) ( )① ② ③
(grupo)
no puedo restar
(cambio)
2
3
4
5
6
① ② ③ ④ 06 ⑤ 012
Expresa las siguientes divisiones como fracciones
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales o como nuacutemeros
enteros y los nuacutemeros decimales como fracciones
1
2
16
81
15
Resuelve las siguientes operaciones
① ② ③ ④3 ＋ 2
66
5 ＋ 7
88
31－
5
4 － 3
88
Utiliza dos de las tarjetas y para crear
fracciones Clasifica las fracciones en tres grupos como se indica
Fracciones que pueden expresarse como nuacutemeros enteros
( )Fracciones que pueden expresarse como decimales con un nuacutemero
determinado de diacutegitos
( )Fracciones que no pueden expresarse como decimales con un
nuacutemero determinado de diacutegitos
( )
765434
bull iquestCuaacutel es el elemento que tienen en comuacuten las siguientes
fracciones
3 ＋ 4
55
3 ＋ 4
77＋3
10
4
10
3 ＋ 4
55
iquestCon queacute unidades debemos resolver las siguientes operaciones
para que se comporten como si calculaacuteramos 3＋4
① 03＋04 La unidad es
② 3000＋4000 La unidad es
③ La unidad es
1
3 ＋ 4
99
Encuentra otras operaciones cuyo proceso sea equivalente al que
realizamos con 3＋4
2
① 45 ② 69 ③ 208
Ir a la paacutegina 88
se resuelve sumando 3＋4 si pensamos como la unidad1
5
Entender la relacioacuten que hay entre la divisioacuten con enteros y las fracciones
Resolver sumas y restas con fracciones que tienen el mismo denominador
Expresar cantidades como nuacutemeros decimales como fracciones y como nuacutemeros enteros
Expresar fracciones como nuacutemeros decimales oacute nuacutemeros enteros
3736
Puedo pensar en caacutelculoscon nuacutemeros grandescomo cien millones y un trilloacuten
Puedo hacer muchos caacutelculos como esos usandofracciones con distintodenominador
iquestSeraacute posible iniciar elcaacutelculo con 3＋41
2
3
Ir a la paacutegina 37
38 39
Resuelve estas operaciones en la forma vertical
① 132 ② 5117 ③ 94
④ 1435 ⑤ 6946 ⑥ 3624
⑦ 6104 ⑧ 0805 ⑨ 0725
Haz estas divisiones encontrando el cociente hasta
nuacutemeros enteros e indica cuaacutel es el residuo
① 6117 ② 9706
Tenemos 135 Kg de arroz Si comemos 09 Kg en un diacutea
iquestcuaacutentos diacuteas podremos comer arroz
Escribe en el las medidas que faltan
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
① ②
③
5 cm
3 cm
①
Encuentra coacutemo calcular el aacuterea de estas figuras
①
Trapecio
②
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
3 ＋ 1
55
3 ＋ 1
44
5 ＋ 6
77
5 － 3
44
7 － 3
991
1－10
Cuaacutel es mayor iquest075 o
Necesitamos dividir equitativamente una cuerda de 3m
entre 8 alumnos iquestCuaacutentos metros de cuerda recibiraacute cada uno
8
35
4 cm
7 cm6 cm
5 cm
4 cm
8 cm
3 cm3 cm
3 cm
5 cm
②
paralelogramo
Triaacutengulo isoacutesceles
Paralelogramo
6
99
7
6
5
4
3
2
1
9
9
8
8
8
6
6
6
4140
① Discute con tus compantildeeros sobre la relacioacuten entre la distancia que
avanza cada ciacuterculo y la longitud de sus diaacutemetros
② Haz una estimacioacuten de cuaacutentos cm avanzaraacute en una vuelta un ciacuterculo
cuyo diaacutemetro mide 40cm y comprueba tu prediccioacuten
A la liacutenea curva que limita un ciacuterculo se le llama circunferencia A un segmento de esa curva se lellama arco
Analiza la relacioacuten que hay entre el diaacutemetro de un ciacuterculo y la longitud
de su circunferencia
Diaacutemetro y circunferencia
Analicemos la relacioacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro en
diferentes ciacuterculos
① Veamos algunas formas para medir circunferencias y diaacutemetros
1
Circunferencia（cm）
Diaacutemetro（cm） 10 20 30
Ciacuterculo Ciacuterculo Ciacuterculo Lata(longitud cinta)
② Anota los datos en la siguiente tabla
③ iquestExistiraacute una foacutermula para determinar la relacioacuten entre la
circunferencia y el diaacutemetro
Recorta un pedazo de cartoacuten para trazar los ciacuterculos y cuyos
diaacutemetros miden 10cm 20cm y 30cm respectivamente Despueacutes hazlos
rodar una vuelta completa y mide cuaacutento avanzan
Ciacuterculos
Cuando el diaacutemetro se duplica iquestQueacute tantose incrementa la circunferencia
iquestCuaacutentas veces cabe eldiaacutemetro en la circunferencia
Medida de la circunferencia Medida del diaacutemetro
1
4342
Circunferencia divide Diaacutemetro
10 20 30
Ciacuterculo de cartoacuten Lata Cinta de embalajeCiacuterculo de cartoacuten Ciacuterculo de cartoacuten
Circunferencia(cm）
Diaacutemetro(cm）
④ iquestCuaacutentas veces cabe el diaacutemetro en la circunferencia
Usa tus datos para calcular redondeando
al mileacutesimo maacutes cercano
ldquoCircunferencia divide Diaacutemetrordquo da el mismo resultado para
ciacuterculos de cualquier tamantildeo
A la divisioacuten Circunferencia divide Diaacutemetro se le llama razoacuten
entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro es 314159
Este es un nuacutemero que continuacutea indefinidamente Usualmente se
emplea la aproximacioacuten 314
iquestCuaacutentos centiacutemetros mide la circunferencia de un
ciacuterculo de 8cm de diaacutemetro
2
① Un ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide 15 cm ② Un ciacuterculo cuyo radio mide 25 cm
Calcula la circunferencia de los siguientes ciacuterculos
La circunferencia de una lata ciliacutendrica mide 628 cm
iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro de la lata
① Si el diaacutemetro de la lata es cm escribe una expresioacuten
matemaacutetica aplicando la foacutermula que utilizaste en
② iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro
de la lata
314＝628
3
Los datos de abajo son las longitudes de las circunferencias de
unos ciacuterculos Calcula el diaacutemetro de cada uno
iquestCuaacutentos metros mide el diaacutemetro del tronco de este aacuterbol
① 2826 cm ② 314 cm ③ 3768 cm
2
1
Esta fotografiacutea muestra una imagen
de una moneda antigua dibujada sobre
arena en la Ciudad de Kannonji en el
parque Kagawa La circunferencia de
esta moneda gigante es 345 m
Calcula su diaacutemetro redondeado al
deacutecimo maacutes cercano
2
Razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro = circunferencia divide diaacutemetro
Circunferencia＝Diaacutemetrotimes314
Se necesitan seis nintildeos con sus brazos estirados para
rodear el tronco del aacuterbol en un parque iquestCuaacutentos metros
mediraacute el diaacutemetro de este aacuterbol Los brazos de cada
nintildeo cubren una longitud aproximada de 14 metros
Calcula el diaacutemetro del tronco usando 3 como
valor aproximado para la razoacuten entre la circunferencia
y el diaacutemetro
4544
② Dividamos el ciacuterculo en 4
partes iguales y consideremos
soacutelo una parte
(1) iquestCuaacutentos cuadrados azules y
cuaacutentos color de rosa hay
(2) Observa los cuadrados
color de rosa a lo largo de la
circunferencia el aacuterea de cada
uno mide aproximadamente 05 cm2 iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este
cuarto de ciacuterculo
2 Aacuterea de un ciacuterculo
iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de un ciacuterculo cuyo radio mide 10 cm
Verifica la respuesta trazando ese ciacuterculo sobre papel cuadriculado
a una escala de 1 cm
1
1 cm1 cm
① iquestCoacutemo podemos verificar
que la respuesta es correcta
Piensa coacutemo calcular el aacuterea del ciacuterculo y coacutemo podriacutea ser una
foacutermula para hacer ese caacutelculo
10 cm
10 cm
Foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Piensa coacutemo calcular el aacuterea
de un ciacuterculo
2
Analiza el ciacuterculo
de la derecha
③ iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea del ciacuterculo entero
cuadrados azules 1 (cm2)
cuadrados color de rosa05 (cm2)
① Piensa como construir la foacutermula utilizando una figura que divida el
ciacuterculo en varias secciones iguales a partir del radioiquestQueacute deberiacuteamos
hacer con los cuadrados
que estaacuten parcialmente
cubiertosPara calcular el aacuterea de
paralelogramos y triaacutengulos los
transformamos en otras figuras
conocidas iquestRecuerdas
Hay foacutermulas para calcular
el aacuterea de rectaacutengulos y
triaacutengulos iquestHabraacute una
foacutermula para los
ciacuterculos
4746
② Platica con tus compantildeeros lo que has
pensado para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Analiza cuidadosamente las ideas de
estos tres alumnos
La idea de Takao
Yo divido un ciacuterculo en muchos
triaacutengulos pequentildeos
2 cm
Yo construyo un triaacutengulo con
las partes del ciacuterculo
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
La idea de Akiko
Yo construyo un paralelogramo con las partes del ciacuterculo
③ Piensa coacutemo construir una foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
usando las ideas de estos alumnos
④ Construye una foacutermula con base en la idea
de Akiko
Radio
Circunferenciadivide2
Circunferenciadivide2
RadioRadio
16 secciones iguales
32 secciones iguales
64 secciones igualesCircunferenciadivide2
Aacuterea del rectaacutengulo = largo x ancho
Aacuterea del ciacuterculo ＝ Circunferencia2
＝ radio diaacutemetro3142
＝ radio diaacutemetro2314
＝ radio 314
Mitad de la circunferencia
Radio
La idea de Yasuko
Diaacutemetro2＝Radio iquestde acuerdo
Si cortas un ciacuterculo en
secciones pequentildeas de
igual tamantildeo iquestqueacute figura
puedes formar
4948
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura 2
Aacuterea del ciacuterculo ＝circunferencia radio2
＝Diaacutemetro 314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
Circunferencia
Radio
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
Calcula el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con radio de 8 cm ② Un ciacuterculo con diaacutemetro de 12 cm
3
El diaacutemetro del ciacuterculo mide
4 cm y el del ciacuterculo mide 8 cm
① Encontrar la circunferencia y el
aacuterea de cada ciacuterculo
② El diaacutemetro de es dos
veces el diaacutemetro de
iquestCuaacutentas veces es mayor la
circunferencia y el aacuterea de
que de la circunferen-
cia y el aacuterea de
4
4 cm
A continuacioacuten te damos las medidas de las circunferencias de unos ciacuterculos
Calcula el radio y el aacuterea de cada uno
① 628 cm ② 1884 cm ③ 157 cm
⑥ Construyamos una foacutermula con base en la idea de Takao
Observa las figuras que construimos al dividir el ciacuterculo en 16 secciones
iguales que parecen triaacutengulos Todos estos ldquotriaacutengulosrdquo tienen la misma altura
si los combinamos podemos construir un ldquotriaacutengulordquo grande
El aacuterea de un ciacuterculo puede calcularse usando
la foacutermula Aacuterea ＝radio times radio times 314
8 cm
⑤ Construyamos una foacutermula con base en la idea
de Yasuko
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura2
Aacuterea del ciacuterculo ＝ circunferencia4 radio4 2
＝diaacutemetro314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
1918
5 cm
2 cm
Escribe la foacutermula para
calcular el aacuterea de un paralelogramo
Aacuterea del paralelogramo ＝
Calcula el aacuterea de estos paralelogramos
Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea
de un triaacutengulo
Aacuterea del triaacutengulo ＝
Calcula el aacuterea de los siguientes triaacutengulos
Calcula el aacuterea de
este cuadrilaacutetero
Tracemos paralelogramos cuya
base mida 5 cm y su altura 2 cm para
construir un paralelogramo maacutes grande
como se muestra en la figura de abajo
① Escribe la foacutermula para calcular el aacuterea de un paralelogramo
iquestCuaacutel de los dos elementos de la foacutermula cambia junto con el aacuterea
iquestQueacute permanece sin cambios
② Completa la tabla de abajo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(cm)
8 cm
4 cm
4 cm
3 cm
9 cm6 cm
9 cm
Base
Altura
3 cm7 cm
1 cm
2 cm
5 cm
Altura y aacuterea de un paralelogramo
③ iquestCuaacutento se incrementa el aacuterea cuando la altura se duplica
iquestCuando se triplica
Altura (cm) 2 4
Aacuterea (cm2)
Paacutegina 5
Paacutegina12
Paacuteginas 6~7
Paacutegina 15
Paacuteginas 12~13
Base
Altura
6 Paacuteginas 16~17
① ②
②①
1
2
3
4
5
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
Traza un triaacutengulo cuya aacuterea sea la
misma que la del triaacutengulo de la derecha
Explica por queacute son iguales
Calcula el aacuterea de las secciones coloreadas en las siguientes figuras
6 cm
3 cm35 cm
8 cm
5 cm
7 cm
6 cm
2 cm
4 cm 8 cm6 cm
3 cm
1 cm1 cm
15 cm135 cm2
1 cm 5 cm2 cm
1 cm
6 cm
4 cm
5 cm
5 cm
8 cm 10 cm
6 cm
5 cm
① El grupo de Hiroshi midioacute el
parque e hizo el diagrama que
muestra a la derecha iquestCuaacutentos
m2 mide esa aacuterea
② Formen equipos y calculen
el aacuterea de diferentes lugares
en su entorno
4
②①
④③
iexclLa figura de abajo es el diagrama de un parque iexclEl reto es calcular su aacuterea
52
74
163
101
178m
m
m
mm
②① Paralelogramo ③ Trapecio
Ir a la paacutegina 86
Encontrar la base y la altura usando foacutermulas
El triaacutengulo de la derecha tiene una
altura de 15 cm y su aacuterea es 135 cm2
iquestCuaacutentos cm mide su base
bull Encontrar maneras para calcular el aacuterea
bull Encontrar la altura o la base cuando se conoce el aacuterea
Paralelogramo
Paralelogramo
2120
bull Trazar un triaacutengulo con la misma aacuterea
iquestQueacute
longitudes
necesitas
iexclCalculemos el aacuterea
del parque
3
2
1
Ir a la paacutegina 21 Ir a la paacutegina 89
2322
Expresa las siguientes magnitudes usando fracciones impropias y fracciones mixtas
iquestCuaacutel es la longitud en metros en cada caso Escribe la respuesta usando fracciones
La respuesta se obtiene dividiendo 1 m en 5 partes iguales
El segmento que se obtiene al dividir 1 m en 10 partes iguales
①
②
La longitud de la parte que excede a 1 m nota que 5 segmentos forman 1 m
1 m
1 m
③ 1 m
① ②
① Encuentra la marca que indica exactamente l
② Encuentra la marca que indica exactamente l
1 ＝2
＝ ＝
1 ＝3
＝
m mdl dl
m
m
m
0 1 2(m)
2
Fracciones9
Vertimos jugo de naranja en
un recipiente graduado usando
fracciones
El tamantildeo de un objeto o el
volumen que estaacute dividido en
secciones iguales se expresa
como una fraccioacuten
Las fracciones tambieacuten pueden
usarse para expresar nuacutemeros
que son mayores que 1
Una fraccioacuten mixta es mayor que 1
Una fraccioacuten impropia es igual o
mayor que 1
1 dl 1 dl
1 dl
1
1
2
1
3
① Lee en voz alta y hazlo de la
fraccioacuten menor a la mayor
② Reemplaza con 2 los numeradores del inciso ① y vuelve a leer
las fracciones en voz alta de la menor a la mayor
2524
( )
1 Sigue las instrucciones de abajo usando la recta numeacuterica
Fracciones equivalentes ③ Observa la recta numeacuterica de la paacutegina anterior y encuentra fracciones
que sean equivalentes
④ Observa la recta numeacuterica y encuentra otras fracciones que sean
equivalentes a las del inciso anterior
⑤ Platica con tus compantildeeros sobre lo que has aprendido y haz un
resumen
① Cuando el denominador es el mismo el valor de
una fraccioacuten se incrementa si el numerador aumenta
② Cuando el numerador es el mismo el valor de una
fraccioacuten disminuye cuando su denominador aumenta
③ Algunas fracciones tienen el mismo valor aunque sus
denominadores y numeradores sean diferentes
Encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten que sea mayor en cada pareja Si son iguales
marca ambas fracciones
1 ＝2
＝ ＝ ＝
1 ＝3
＝
3 ＝4
① 3 3
85 ( )② 3 5
77 ( )③ 1 4
82El valor de la fraccioacuten disminuye
cuando el numerador es el mismo y
el denominador aumenta
1
21 1
314
15
1 11 1 16 7 8 9 10
O OO
O
2726
② Yukie
Suma y resta con fracciones
Suma con fracciones
1 Akira y Yukie hacen cafeacute con leche iquestCuaacutentos litros hizo cada uno
① Akira
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l1
5
1 ＋ ＝5
2
5
3 ＋ ＝6
4
6
Cuando se suman fracciones con el mismo denominador
se suman los numeradores y los denominadores quedan
igual
2 Piensa coacutemo hacer este caacutelculo
3 ＋ ＝8
5
8＝
3 ＋8
5
8
3 Construye sumas utilizando fracciones
propias con el mismo denominador
utiliza nuacutemeros del 1 al 9 Luego
calcula los resultados
＋
①
④
2 ＋ 1
44
2 ＋ 2
33
②
⑤
4 ＋ 1
77
2 ＋ 4
55
③
⑥
2 ＋ 3
88
3 ＋ 6
99
O O O
2
5
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l3
6
4
6
1
5
＝
Piensa cuaacutentas veces
se repite
Puedo expresarlo como
un nuacutemero mixto
Podemos comparar faacutecilmente
el valor de una fraccioacuten si la
expresamos como nuacutemero mixto
o como entero
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l1 l
2 l
2
③ Si repartimos equitativamente 2 litros entre 3 alumnos
iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
Colorea la porcioacuten que
le toca a un alumno
iquestCuaacutentos litros es esa porcioacuten
① Realiza estas operaciones utilizando los nuacutemeros del 1 al 5 en el
2928
①
④
5 － 4
88
3 － 2
44
②
⑤
3 － 3
77
13 － 5
1212
③
⑥
5 － 1
66
－12
5
Cuando hacemos restas con fracciones que tienen el
mismo denominador restamos los numeradores y los
denominadores quedan igual
Resta con fracciones
4 iquestCuaacutento maacutes grande es de litro de jugo que
de litro de leche Piensa coacutemo calcular la respuesta
7
8
4
8
7 － ＝8
4
8
O O O
5 Piensa coacutemo hariacuteas las siguientes restas4 －3
2
3－1
5
7②①
3 Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
Cocientes y fracciones
1 Si repartimos equitativamente 2 litros
de leche entre alumnos iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
2
2 2 2 2 2② Agrupa las expresiones de arriba en los siguientes grupos dependiendo
del tipo de resultado
Cocientes que sean nuacutemeros enteros
Cocientes que sean nuacutemeros decimales
Cocientes que contengan un nuacutemero indefinido de diacutegitos en su
parte decimal
23 es 0666 Este nuacutemero tiene una cantidad indefinida de diacutegitos en
su parte decimal
O O
（ ）（ ）（ ）
minus ＝
La diferencia es cuaacutentos
octavos maacutes hay
Analicemos coacutemo expresar el cociente de una divisioacuten cuando tiene un
nuacutemero indefinido de diacutegitos en su parte decimal
Leche 1l Leche 1l
1 l 1 l
1 l 1 l
1 l
3130
23＝
Cantidad para un alumno cuando 1 litro se divide en 3 partes iguales l
La cantidad para un alumno cuando se reparten 2 litros en 3 partes iguales l
31
31
2 iquestCuaacutentos metros mide cada tramo cuando una cuerda de 3 metros se
divide en 4 partes iguales
① Escribe una expresioacuten matemaacutetica para este problema
② iquestCuaacutel es la longitud de una parte
① 16 ② 58 ③ 43 ④ 97
Reescribe las siguientes divisiones como fracciones
34＝
La divisioacuten de un nuacutemero entre otro
puede expresarse como una fraccioacuten ＝
0
0
0
1
1
2
2 3
41
m
m
m
(m)
(m)
(m)
1
Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
3 Si dividimos una cinta de 2 metros en 5 partes iguales iquestcuaacutentos metros
mediraacute cada una de esas partes
① Expresa el cociente de estas divisiones como una fraccioacuten y despueacutes
como nuacutemero decimal25＝
② Ubica en esta recta numeacuterica la fraccioacuten y tambieacuten su
valor decimal
Para expresar una fraccioacuten como nuacutemero decimal o como nuacutemero
entero dividimos el numerador entre el denominador
25＝
0 02
0
1
1
2
51
(m)
2 (m)
4 iquestQueacute cantidad es mayor iquest l o 07 litros3
5
5 Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales
3 ＝1 ＝855
8
5
29
100
3
10
＝
＝12412
4＝
②
③
①
④
14
24
34
3 ＝ 3 5 ＝5
＝
＝La divisioacuten puede expresarse
como una fraccioacuten
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l
l l
l
25
3332
podemos pensarlo como 19 veces y obtenemos
6 Veamos coacutemo expresar 2 y 5 como fracciones
＝ 23＝0666hellipaproximadamente 0672
3
2＝21＝ 5＝51＝
2＝42＝ 5＝102＝
2＝8 5＝30 ＝＝
2
1
4
2
Los nuacutemeros enteros pueden expresarse como fracciones
usando cualquier denominador
Muchos nuacutemeros decimales pueden expresarse como
fracciones si elegimos y como unidades
7 Expresa los nuacutemeros 019 y 17 como fracciones
① Como 019 es lo mismo que 19 veces 001
1
100
podemos pensarlo como 17 veces y obtenemos
② Como 17 es lo mismo que veces 01
Escribe en los los nuacutemeros decimales y las fracciones que faltan
1
100
1
10
8 Clasifica estas fracciones en los grupos que se indican
11
2
12
3
3
5
3
1
6
2
8
10
4
11
06 1251 27
20
Nuacutemeros enteros
Con un nuacutemero definido de diacutegitos decimales
Otro tipo de nuacutemeros decimales
Se facilita la comparacioacuten de fracciones si las expresamos como
nuacutemeros decimales
9 Dibuja una darr para indicar la posicioacuten de cada uno de los siguientes
nuacutemeros en la recta numeacuterica de abajo
4
5
3
4
2
3
Los nuacutemeros enteros los nuacutemeros decimales y las
fracciones pueden ubicarse en una recta numeacuterica Asiacute es
maacutes faacutecil compararlos
① 09 ② 125 ③ ④ ⑤
Ordena los siguientes nuacutemeros del mayor al menor1
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales como fracciones y las fracciones como
nuacutemeros decimales
2
13 0751
12
4
2
5
7
7
10
21
5
3
4
24
6
② ③ ④ ⑥⑤ ⑦①
Decimales
Fracciones
Escribamos en el de abajo los nuacutemeros decimales y fracciones que faltan
3534
① ② ③ ④
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimalest
paacutegina 31
Analiza los siguientes pares de fracciones y
en cada pareja encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten de mayor valor
paacutegina 25
7
8
5
8
8
3
8
5
2
3
6
9
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
1 ＋ 1
33
2 ＋ 3
55
5 ＋ 3
66
5 － 1
77
5 － 2
44
paacuteginas 26~28
① 17 ② 59 ③ 113
Expresa como fracciones las siguientes divisiones
paacutegina 30
5
10
31
100
18
6
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales
como fracciones
① 03 ② 19 ③ 061 ④ 111
paacutegina 32
Indica con una darr la posicioacuten en la recta numeacuterica
de cada uno de los siguientes nuacutemeros
1 07 18
paacutegina 33
1
2
5
7
5
71－
8
11
4
51
20
④ Piensa coacutemo calcular la
respuesta
iquestPodemos hacer operaciones con nuacutemeros mixtos
Realiza las siguientes operaciones
La familia de Masako bebe 1 litros de leche en la mantildeana y
litros de leche en la tarde
① iquestCuaacutentos litros de leche bebieron en total Escribe una operacioacuten que
represente esto
② Piensa coacutemo calcular la respuesta
③ iquestCuaacutenta leche bebieron maacutes en la
mantildeana respecto a la tarde Escribe
una operacioacuten que represente esto
1
2
35
45
3 ＋1 ＝ 15
45 5
3 －1 ＝545 5 － 4
5
＝
＝
2 ＋① 71
67
2 －1② 434
( ) ( ) ( )① ② ③
(grupo)
no puedo restar
(cambio)
2
3
4
5
6
① ② ③ ④ 06 ⑤ 012
Expresa las siguientes divisiones como fracciones
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales o como nuacutemeros
enteros y los nuacutemeros decimales como fracciones
1
2
16
81
15
Resuelve las siguientes operaciones
① ② ③ ④3 ＋ 2
66
5 ＋ 7
88
31－
5
4 － 3
88
Utiliza dos de las tarjetas y para crear
fracciones Clasifica las fracciones en tres grupos como se indica
Fracciones que pueden expresarse como nuacutemeros enteros
( )Fracciones que pueden expresarse como decimales con un nuacutemero
determinado de diacutegitos
( )Fracciones que no pueden expresarse como decimales con un
nuacutemero determinado de diacutegitos
( )
765434
bull iquestCuaacutel es el elemento que tienen en comuacuten las siguientes
fracciones
3 ＋ 4
55
3 ＋ 4
77＋3
10
4
10
3 ＋ 4
55
iquestCon queacute unidades debemos resolver las siguientes operaciones
para que se comporten como si calculaacuteramos 3＋4
① 03＋04 La unidad es
② 3000＋4000 La unidad es
③ La unidad es
1
3 ＋ 4
99
Encuentra otras operaciones cuyo proceso sea equivalente al que
realizamos con 3＋4
2
① 45 ② 69 ③ 208
Ir a la paacutegina 88
se resuelve sumando 3＋4 si pensamos como la unidad1
5
Entender la relacioacuten que hay entre la divisioacuten con enteros y las fracciones
Resolver sumas y restas con fracciones que tienen el mismo denominador
Expresar cantidades como nuacutemeros decimales como fracciones y como nuacutemeros enteros
Expresar fracciones como nuacutemeros decimales oacute nuacutemeros enteros
3736
Puedo pensar en caacutelculoscon nuacutemeros grandescomo cien millones y un trilloacuten
Puedo hacer muchos caacutelculos como esos usandofracciones con distintodenominador
iquestSeraacute posible iniciar elcaacutelculo con 3＋41
2
3
Ir a la paacutegina 37
38 39
Resuelve estas operaciones en la forma vertical
① 132 ② 5117 ③ 94
④ 1435 ⑤ 6946 ⑥ 3624
⑦ 6104 ⑧ 0805 ⑨ 0725
Haz estas divisiones encontrando el cociente hasta
nuacutemeros enteros e indica cuaacutel es el residuo
① 6117 ② 9706
Tenemos 135 Kg de arroz Si comemos 09 Kg en un diacutea
iquestcuaacutentos diacuteas podremos comer arroz
Escribe en el las medidas que faltan
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
① ②
③
5 cm
3 cm
①
Encuentra coacutemo calcular el aacuterea de estas figuras
①
Trapecio
②
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
3 ＋ 1
55
3 ＋ 1
44
5 ＋ 6
77
5 － 3
44
7 － 3
991
1－10
Cuaacutel es mayor iquest075 o
Necesitamos dividir equitativamente una cuerda de 3m
entre 8 alumnos iquestCuaacutentos metros de cuerda recibiraacute cada uno
8
35
4 cm
7 cm6 cm
5 cm
4 cm
8 cm
3 cm3 cm
3 cm
5 cm
②
paralelogramo
Triaacutengulo isoacutesceles
Paralelogramo
6
99
7
6
5
4
3
2
1
9
9
8
8
8
6
6
6
4140
① Discute con tus compantildeeros sobre la relacioacuten entre la distancia que
avanza cada ciacuterculo y la longitud de sus diaacutemetros
② Haz una estimacioacuten de cuaacutentos cm avanzaraacute en una vuelta un ciacuterculo
cuyo diaacutemetro mide 40cm y comprueba tu prediccioacuten
A la liacutenea curva que limita un ciacuterculo se le llama circunferencia A un segmento de esa curva se lellama arco
Analiza la relacioacuten que hay entre el diaacutemetro de un ciacuterculo y la longitud
de su circunferencia
Diaacutemetro y circunferencia
Analicemos la relacioacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro en
diferentes ciacuterculos
① Veamos algunas formas para medir circunferencias y diaacutemetros
1
Circunferencia（cm）
Diaacutemetro（cm） 10 20 30
Ciacuterculo Ciacuterculo Ciacuterculo Lata(longitud cinta)
② Anota los datos en la siguiente tabla
③ iquestExistiraacute una foacutermula para determinar la relacioacuten entre la
circunferencia y el diaacutemetro
Recorta un pedazo de cartoacuten para trazar los ciacuterculos y cuyos
diaacutemetros miden 10cm 20cm y 30cm respectivamente Despueacutes hazlos
rodar una vuelta completa y mide cuaacutento avanzan
Ciacuterculos
Cuando el diaacutemetro se duplica iquestQueacute tantose incrementa la circunferencia
iquestCuaacutentas veces cabe eldiaacutemetro en la circunferencia
Medida de la circunferencia Medida del diaacutemetro
1
4342
Circunferencia divide Diaacutemetro
10 20 30
Ciacuterculo de cartoacuten Lata Cinta de embalajeCiacuterculo de cartoacuten Ciacuterculo de cartoacuten
Circunferencia(cm）
Diaacutemetro(cm）
④ iquestCuaacutentas veces cabe el diaacutemetro en la circunferencia
Usa tus datos para calcular redondeando
al mileacutesimo maacutes cercano
ldquoCircunferencia divide Diaacutemetrordquo da el mismo resultado para
ciacuterculos de cualquier tamantildeo
A la divisioacuten Circunferencia divide Diaacutemetro se le llama razoacuten
entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro es 314159
Este es un nuacutemero que continuacutea indefinidamente Usualmente se
emplea la aproximacioacuten 314
iquestCuaacutentos centiacutemetros mide la circunferencia de un
ciacuterculo de 8cm de diaacutemetro
2
① Un ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide 15 cm ② Un ciacuterculo cuyo radio mide 25 cm
Calcula la circunferencia de los siguientes ciacuterculos
La circunferencia de una lata ciliacutendrica mide 628 cm
iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro de la lata
① Si el diaacutemetro de la lata es cm escribe una expresioacuten
matemaacutetica aplicando la foacutermula que utilizaste en
② iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro
de la lata
314＝628
3
Los datos de abajo son las longitudes de las circunferencias de
unos ciacuterculos Calcula el diaacutemetro de cada uno
iquestCuaacutentos metros mide el diaacutemetro del tronco de este aacuterbol
① 2826 cm ② 314 cm ③ 3768 cm
2
1
Esta fotografiacutea muestra una imagen
de una moneda antigua dibujada sobre
arena en la Ciudad de Kannonji en el
parque Kagawa La circunferencia de
esta moneda gigante es 345 m
Calcula su diaacutemetro redondeado al
deacutecimo maacutes cercano
2
Razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro = circunferencia divide diaacutemetro
Circunferencia＝Diaacutemetrotimes314
Se necesitan seis nintildeos con sus brazos estirados para
rodear el tronco del aacuterbol en un parque iquestCuaacutentos metros
mediraacute el diaacutemetro de este aacuterbol Los brazos de cada
nintildeo cubren una longitud aproximada de 14 metros
Calcula el diaacutemetro del tronco usando 3 como
valor aproximado para la razoacuten entre la circunferencia
y el diaacutemetro
4544
② Dividamos el ciacuterculo en 4
partes iguales y consideremos
soacutelo una parte
(1) iquestCuaacutentos cuadrados azules y
cuaacutentos color de rosa hay
(2) Observa los cuadrados
color de rosa a lo largo de la
circunferencia el aacuterea de cada
uno mide aproximadamente 05 cm2 iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este
cuarto de ciacuterculo
2 Aacuterea de un ciacuterculo
iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de un ciacuterculo cuyo radio mide 10 cm
Verifica la respuesta trazando ese ciacuterculo sobre papel cuadriculado
a una escala de 1 cm
1
1 cm1 cm
① iquestCoacutemo podemos verificar
que la respuesta es correcta
Piensa coacutemo calcular el aacuterea del ciacuterculo y coacutemo podriacutea ser una
foacutermula para hacer ese caacutelculo
10 cm
10 cm
Foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Piensa coacutemo calcular el aacuterea
de un ciacuterculo
2
Analiza el ciacuterculo
de la derecha
③ iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea del ciacuterculo entero
cuadrados azules 1 (cm2)
cuadrados color de rosa05 (cm2)
① Piensa como construir la foacutermula utilizando una figura que divida el
ciacuterculo en varias secciones iguales a partir del radioiquestQueacute deberiacuteamos
hacer con los cuadrados
que estaacuten parcialmente
cubiertosPara calcular el aacuterea de
paralelogramos y triaacutengulos los
transformamos en otras figuras
conocidas iquestRecuerdas
Hay foacutermulas para calcular
el aacuterea de rectaacutengulos y
triaacutengulos iquestHabraacute una
foacutermula para los
ciacuterculos
4746
② Platica con tus compantildeeros lo que has
pensado para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Analiza cuidadosamente las ideas de
estos tres alumnos
La idea de Takao
Yo divido un ciacuterculo en muchos
triaacutengulos pequentildeos
2 cm
Yo construyo un triaacutengulo con
las partes del ciacuterculo
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
La idea de Akiko
Yo construyo un paralelogramo con las partes del ciacuterculo
③ Piensa coacutemo construir una foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
usando las ideas de estos alumnos
④ Construye una foacutermula con base en la idea
de Akiko
Radio
Circunferenciadivide2
Circunferenciadivide2
RadioRadio
16 secciones iguales
32 secciones iguales
64 secciones igualesCircunferenciadivide2
Aacuterea del rectaacutengulo = largo x ancho
Aacuterea del ciacuterculo ＝ Circunferencia2
＝ radio diaacutemetro3142
＝ radio diaacutemetro2314
＝ radio 314
Mitad de la circunferencia
Radio
La idea de Yasuko
Diaacutemetro2＝Radio iquestde acuerdo
Si cortas un ciacuterculo en
secciones pequentildeas de
igual tamantildeo iquestqueacute figura
puedes formar
4948
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura 2
Aacuterea del ciacuterculo ＝circunferencia radio2
＝Diaacutemetro 314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
Circunferencia
Radio
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
Calcula el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con radio de 8 cm ② Un ciacuterculo con diaacutemetro de 12 cm
3
El diaacutemetro del ciacuterculo mide
4 cm y el del ciacuterculo mide 8 cm
① Encontrar la circunferencia y el
aacuterea de cada ciacuterculo
② El diaacutemetro de es dos
veces el diaacutemetro de
iquestCuaacutentas veces es mayor la
circunferencia y el aacuterea de
que de la circunferen-
cia y el aacuterea de
4
4 cm
A continuacioacuten te damos las medidas de las circunferencias de unos ciacuterculos
Calcula el radio y el aacuterea de cada uno
① 628 cm ② 1884 cm ③ 157 cm
⑥ Construyamos una foacutermula con base en la idea de Takao
Observa las figuras que construimos al dividir el ciacuterculo en 16 secciones
iguales que parecen triaacutengulos Todos estos ldquotriaacutengulosrdquo tienen la misma altura
si los combinamos podemos construir un ldquotriaacutengulordquo grande
El aacuterea de un ciacuterculo puede calcularse usando
la foacutermula Aacuterea ＝radio times radio times 314
8 cm
⑤ Construyamos una foacutermula con base en la idea
de Yasuko
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura2
Aacuterea del ciacuterculo ＝ circunferencia4 radio4 2
＝diaacutemetro314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
Traza un triaacutengulo cuya aacuterea sea la
misma que la del triaacutengulo de la derecha
Explica por queacute son iguales
Calcula el aacuterea de las secciones coloreadas en las siguientes figuras
6 cm
3 cm35 cm
8 cm
5 cm
7 cm
6 cm
2 cm
4 cm 8 cm6 cm
3 cm
1 cm1 cm
15 cm135 cm2
1 cm 5 cm2 cm
1 cm
6 cm
4 cm
5 cm
5 cm
8 cm 10 cm
6 cm
5 cm
① El grupo de Hiroshi midioacute el
parque e hizo el diagrama que
muestra a la derecha iquestCuaacutentos
m2 mide esa aacuterea
② Formen equipos y calculen
el aacuterea de diferentes lugares
en su entorno
4
②①
④③
iexclLa figura de abajo es el diagrama de un parque iexclEl reto es calcular su aacuterea
52
74
163
101
178m
m
m
mm
②① Paralelogramo ③ Trapecio
Ir a la paacutegina 86
Encontrar la base y la altura usando foacutermulas
El triaacutengulo de la derecha tiene una
altura de 15 cm y su aacuterea es 135 cm2
iquestCuaacutentos cm mide su base
bull Encontrar maneras para calcular el aacuterea
bull Encontrar la altura o la base cuando se conoce el aacuterea
Paralelogramo
Paralelogramo
2120
bull Trazar un triaacutengulo con la misma aacuterea
iquestQueacute
longitudes
necesitas
iexclCalculemos el aacuterea
del parque
3
2
1
Ir a la paacutegina 21 Ir a la paacutegina 89
2322
Expresa las siguientes magnitudes usando fracciones impropias y fracciones mixtas
iquestCuaacutel es la longitud en metros en cada caso Escribe la respuesta usando fracciones
La respuesta se obtiene dividiendo 1 m en 5 partes iguales
El segmento que se obtiene al dividir 1 m en 10 partes iguales
①
②
La longitud de la parte que excede a 1 m nota que 5 segmentos forman 1 m
1 m
1 m
③ 1 m
① ②
① Encuentra la marca que indica exactamente l
② Encuentra la marca que indica exactamente l
1 ＝2
＝ ＝
1 ＝3
＝
m mdl dl
m
m
m
0 1 2(m)
2
Fracciones9
Vertimos jugo de naranja en
un recipiente graduado usando
fracciones
El tamantildeo de un objeto o el
volumen que estaacute dividido en
secciones iguales se expresa
como una fraccioacuten
Las fracciones tambieacuten pueden
usarse para expresar nuacutemeros
que son mayores que 1
Una fraccioacuten mixta es mayor que 1
Una fraccioacuten impropia es igual o
mayor que 1
1 dl 1 dl
1 dl
1
1
2
1
3
① Lee en voz alta y hazlo de la
fraccioacuten menor a la mayor
② Reemplaza con 2 los numeradores del inciso ① y vuelve a leer
las fracciones en voz alta de la menor a la mayor
2524
( )
1 Sigue las instrucciones de abajo usando la recta numeacuterica
Fracciones equivalentes ③ Observa la recta numeacuterica de la paacutegina anterior y encuentra fracciones
que sean equivalentes
④ Observa la recta numeacuterica y encuentra otras fracciones que sean
equivalentes a las del inciso anterior
⑤ Platica con tus compantildeeros sobre lo que has aprendido y haz un
resumen
① Cuando el denominador es el mismo el valor de
una fraccioacuten se incrementa si el numerador aumenta
② Cuando el numerador es el mismo el valor de una
fraccioacuten disminuye cuando su denominador aumenta
③ Algunas fracciones tienen el mismo valor aunque sus
denominadores y numeradores sean diferentes
Encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten que sea mayor en cada pareja Si son iguales
marca ambas fracciones
1 ＝2
＝ ＝ ＝
1 ＝3
＝
3 ＝4
① 3 3
85 ( )② 3 5
77 ( )③ 1 4
82El valor de la fraccioacuten disminuye
cuando el numerador es el mismo y
el denominador aumenta
1
21 1
314
15
1 11 1 16 7 8 9 10
O OO
O
2726
② Yukie
Suma y resta con fracciones
Suma con fracciones
1 Akira y Yukie hacen cafeacute con leche iquestCuaacutentos litros hizo cada uno
① Akira
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l1
5
1 ＋ ＝5
2
5
3 ＋ ＝6
4
6
Cuando se suman fracciones con el mismo denominador
se suman los numeradores y los denominadores quedan
igual
2 Piensa coacutemo hacer este caacutelculo
3 ＋ ＝8
5
8＝
3 ＋8
5
8
3 Construye sumas utilizando fracciones
propias con el mismo denominador
utiliza nuacutemeros del 1 al 9 Luego
calcula los resultados
＋
①
④
2 ＋ 1
44
2 ＋ 2
33
②
⑤
4 ＋ 1
77
2 ＋ 4
55
③
⑥
2 ＋ 3
88
3 ＋ 6
99
O O O
2
5
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l3
6
4
6
1
5
＝
Piensa cuaacutentas veces
se repite
Puedo expresarlo como
un nuacutemero mixto
Podemos comparar faacutecilmente
el valor de una fraccioacuten si la
expresamos como nuacutemero mixto
o como entero
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l1 l
2 l
2
③ Si repartimos equitativamente 2 litros entre 3 alumnos
iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
Colorea la porcioacuten que
le toca a un alumno
iquestCuaacutentos litros es esa porcioacuten
① Realiza estas operaciones utilizando los nuacutemeros del 1 al 5 en el
2928
①
④
5 － 4
88
3 － 2
44
②
⑤
3 － 3
77
13 － 5
1212
③
⑥
5 － 1
66
－12
5
Cuando hacemos restas con fracciones que tienen el
mismo denominador restamos los numeradores y los
denominadores quedan igual
Resta con fracciones
4 iquestCuaacutento maacutes grande es de litro de jugo que
de litro de leche Piensa coacutemo calcular la respuesta
7
8
4
8
7 － ＝8
4
8
O O O
5 Piensa coacutemo hariacuteas las siguientes restas4 －3
2
3－1
5
7②①
3 Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
Cocientes y fracciones
1 Si repartimos equitativamente 2 litros
de leche entre alumnos iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
2
2 2 2 2 2② Agrupa las expresiones de arriba en los siguientes grupos dependiendo
del tipo de resultado
Cocientes que sean nuacutemeros enteros
Cocientes que sean nuacutemeros decimales
Cocientes que contengan un nuacutemero indefinido de diacutegitos en su
parte decimal
23 es 0666 Este nuacutemero tiene una cantidad indefinida de diacutegitos en
su parte decimal
O O
（ ）（ ）（ ）
minus ＝
La diferencia es cuaacutentos
octavos maacutes hay
Analicemos coacutemo expresar el cociente de una divisioacuten cuando tiene un
nuacutemero indefinido de diacutegitos en su parte decimal
Leche 1l Leche 1l
1 l 1 l
1 l 1 l
1 l
3130
23＝
Cantidad para un alumno cuando 1 litro se divide en 3 partes iguales l
La cantidad para un alumno cuando se reparten 2 litros en 3 partes iguales l
31
31
2 iquestCuaacutentos metros mide cada tramo cuando una cuerda de 3 metros se
divide en 4 partes iguales
① Escribe una expresioacuten matemaacutetica para este problema
② iquestCuaacutel es la longitud de una parte
① 16 ② 58 ③ 43 ④ 97
Reescribe las siguientes divisiones como fracciones
34＝
La divisioacuten de un nuacutemero entre otro
puede expresarse como una fraccioacuten ＝
0
0
0
1
1
2
2 3
41
m
m
m
(m)
(m)
(m)
1
Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
3 Si dividimos una cinta de 2 metros en 5 partes iguales iquestcuaacutentos metros
mediraacute cada una de esas partes
① Expresa el cociente de estas divisiones como una fraccioacuten y despueacutes
como nuacutemero decimal25＝
② Ubica en esta recta numeacuterica la fraccioacuten y tambieacuten su
valor decimal
Para expresar una fraccioacuten como nuacutemero decimal o como nuacutemero
entero dividimos el numerador entre el denominador
25＝
0 02
0
1
1
2
51
(m)
2 (m)
4 iquestQueacute cantidad es mayor iquest l o 07 litros3
5
5 Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales
3 ＝1 ＝855
8
5
29
100
3
10
＝
＝12412
4＝
②
③
①
④
14
24
34
3 ＝ 3 5 ＝5
＝
＝La divisioacuten puede expresarse
como una fraccioacuten
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l
l l
l
25
3332
podemos pensarlo como 19 veces y obtenemos
6 Veamos coacutemo expresar 2 y 5 como fracciones
＝ 23＝0666hellipaproximadamente 0672
3
2＝21＝ 5＝51＝
2＝42＝ 5＝102＝
2＝8 5＝30 ＝＝
2
1
4
2
Los nuacutemeros enteros pueden expresarse como fracciones
usando cualquier denominador
Muchos nuacutemeros decimales pueden expresarse como
fracciones si elegimos y como unidades
7 Expresa los nuacutemeros 019 y 17 como fracciones
① Como 019 es lo mismo que 19 veces 001
1
100
podemos pensarlo como 17 veces y obtenemos
② Como 17 es lo mismo que veces 01
Escribe en los los nuacutemeros decimales y las fracciones que faltan
1
100
1
10
8 Clasifica estas fracciones en los grupos que se indican
11
2
12
3
3
5
3
1
6
2
8
10
4
11
06 1251 27
20
Nuacutemeros enteros
Con un nuacutemero definido de diacutegitos decimales
Otro tipo de nuacutemeros decimales
Se facilita la comparacioacuten de fracciones si las expresamos como
nuacutemeros decimales
9 Dibuja una darr para indicar la posicioacuten de cada uno de los siguientes
nuacutemeros en la recta numeacuterica de abajo
4
5
3
4
2
3
Los nuacutemeros enteros los nuacutemeros decimales y las
fracciones pueden ubicarse en una recta numeacuterica Asiacute es
maacutes faacutecil compararlos
① 09 ② 125 ③ ④ ⑤
Ordena los siguientes nuacutemeros del mayor al menor1
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales como fracciones y las fracciones como
nuacutemeros decimales
2
13 0751
12
4
2
5
7
7
10
21
5
3
4
24
6
② ③ ④ ⑥⑤ ⑦①
Decimales
Fracciones
Escribamos en el de abajo los nuacutemeros decimales y fracciones que faltan
3534
① ② ③ ④
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimalest
paacutegina 31
Analiza los siguientes pares de fracciones y
en cada pareja encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten de mayor valor
paacutegina 25
7
8
5
8
8
3
8
5
2
3
6
9
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
1 ＋ 1
33
2 ＋ 3
55
5 ＋ 3
66
5 － 1
77
5 － 2
44
paacuteginas 26~28
① 17 ② 59 ③ 113
Expresa como fracciones las siguientes divisiones
paacutegina 30
5
10
31
100
18
6
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales
como fracciones
① 03 ② 19 ③ 061 ④ 111
paacutegina 32
Indica con una darr la posicioacuten en la recta numeacuterica
de cada uno de los siguientes nuacutemeros
1 07 18
paacutegina 33
1
2
5
7
5
71－
8
11
4
51
20
④ Piensa coacutemo calcular la
respuesta
iquestPodemos hacer operaciones con nuacutemeros mixtos
Realiza las siguientes operaciones
La familia de Masako bebe 1 litros de leche en la mantildeana y
litros de leche en la tarde
① iquestCuaacutentos litros de leche bebieron en total Escribe una operacioacuten que
represente esto
② Piensa coacutemo calcular la respuesta
③ iquestCuaacutenta leche bebieron maacutes en la
mantildeana respecto a la tarde Escribe
una operacioacuten que represente esto
1
2
35
45
3 ＋1 ＝ 15
45 5
3 －1 ＝545 5 － 4
5
＝
＝
2 ＋① 71
67
2 －1② 434
( ) ( ) ( )① ② ③
(grupo)
no puedo restar
(cambio)
2
3
4
5
6
① ② ③ ④ 06 ⑤ 012
Expresa las siguientes divisiones como fracciones
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales o como nuacutemeros
enteros y los nuacutemeros decimales como fracciones
1
2
16
81
15
Resuelve las siguientes operaciones
① ② ③ ④3 ＋ 2
66
5 ＋ 7
88
31－
5
4 － 3
88
Utiliza dos de las tarjetas y para crear
fracciones Clasifica las fracciones en tres grupos como se indica
Fracciones que pueden expresarse como nuacutemeros enteros
( )Fracciones que pueden expresarse como decimales con un nuacutemero
determinado de diacutegitos
( )Fracciones que no pueden expresarse como decimales con un
nuacutemero determinado de diacutegitos
( )
765434
bull iquestCuaacutel es el elemento que tienen en comuacuten las siguientes
fracciones
3 ＋ 4
55
3 ＋ 4
77＋3
10
4
10
3 ＋ 4
55
iquestCon queacute unidades debemos resolver las siguientes operaciones
para que se comporten como si calculaacuteramos 3＋4
① 03＋04 La unidad es
② 3000＋4000 La unidad es
③ La unidad es
1
3 ＋ 4
99
Encuentra otras operaciones cuyo proceso sea equivalente al que
realizamos con 3＋4
2
① 45 ② 69 ③ 208
Ir a la paacutegina 88
se resuelve sumando 3＋4 si pensamos como la unidad1
5
Entender la relacioacuten que hay entre la divisioacuten con enteros y las fracciones
Resolver sumas y restas con fracciones que tienen el mismo denominador
Expresar cantidades como nuacutemeros decimales como fracciones y como nuacutemeros enteros
Expresar fracciones como nuacutemeros decimales oacute nuacutemeros enteros
3736
Puedo pensar en caacutelculoscon nuacutemeros grandescomo cien millones y un trilloacuten
Puedo hacer muchos caacutelculos como esos usandofracciones con distintodenominador
iquestSeraacute posible iniciar elcaacutelculo con 3＋41
2
3
Ir a la paacutegina 37
38 39
Resuelve estas operaciones en la forma vertical
① 132 ② 5117 ③ 94
④ 1435 ⑤ 6946 ⑥ 3624
⑦ 6104 ⑧ 0805 ⑨ 0725
Haz estas divisiones encontrando el cociente hasta
nuacutemeros enteros e indica cuaacutel es el residuo
① 6117 ② 9706
Tenemos 135 Kg de arroz Si comemos 09 Kg en un diacutea
iquestcuaacutentos diacuteas podremos comer arroz
Escribe en el las medidas que faltan
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
① ②
③
5 cm
3 cm
①
Encuentra coacutemo calcular el aacuterea de estas figuras
①
Trapecio
②
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
3 ＋ 1
55
3 ＋ 1
44
5 ＋ 6
77
5 － 3
44
7 － 3
991
1－10
Cuaacutel es mayor iquest075 o
Necesitamos dividir equitativamente una cuerda de 3m
entre 8 alumnos iquestCuaacutentos metros de cuerda recibiraacute cada uno
8
35
4 cm
7 cm6 cm
5 cm
4 cm
8 cm
3 cm3 cm
3 cm
5 cm
②
paralelogramo
Triaacutengulo isoacutesceles
Paralelogramo
6
99
7
6
5
4
3
2
1
9
9
8
8
8
6
6
6
4140
① Discute con tus compantildeeros sobre la relacioacuten entre la distancia que
avanza cada ciacuterculo y la longitud de sus diaacutemetros
② Haz una estimacioacuten de cuaacutentos cm avanzaraacute en una vuelta un ciacuterculo
cuyo diaacutemetro mide 40cm y comprueba tu prediccioacuten
A la liacutenea curva que limita un ciacuterculo se le llama circunferencia A un segmento de esa curva se lellama arco
Analiza la relacioacuten que hay entre el diaacutemetro de un ciacuterculo y la longitud
de su circunferencia
Diaacutemetro y circunferencia
Analicemos la relacioacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro en
diferentes ciacuterculos
① Veamos algunas formas para medir circunferencias y diaacutemetros
1
Circunferencia（cm）
Diaacutemetro（cm） 10 20 30
Ciacuterculo Ciacuterculo Ciacuterculo Lata(longitud cinta)
② Anota los datos en la siguiente tabla
③ iquestExistiraacute una foacutermula para determinar la relacioacuten entre la
circunferencia y el diaacutemetro
Recorta un pedazo de cartoacuten para trazar los ciacuterculos y cuyos
diaacutemetros miden 10cm 20cm y 30cm respectivamente Despueacutes hazlos
rodar una vuelta completa y mide cuaacutento avanzan
Ciacuterculos
Cuando el diaacutemetro se duplica iquestQueacute tantose incrementa la circunferencia
iquestCuaacutentas veces cabe eldiaacutemetro en la circunferencia
Medida de la circunferencia Medida del diaacutemetro
1
4342
Circunferencia divide Diaacutemetro
10 20 30
Ciacuterculo de cartoacuten Lata Cinta de embalajeCiacuterculo de cartoacuten Ciacuterculo de cartoacuten
Circunferencia(cm）
Diaacutemetro(cm）
④ iquestCuaacutentas veces cabe el diaacutemetro en la circunferencia
Usa tus datos para calcular redondeando
al mileacutesimo maacutes cercano
ldquoCircunferencia divide Diaacutemetrordquo da el mismo resultado para
ciacuterculos de cualquier tamantildeo
A la divisioacuten Circunferencia divide Diaacutemetro se le llama razoacuten
entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro es 314159
Este es un nuacutemero que continuacutea indefinidamente Usualmente se
emplea la aproximacioacuten 314
iquestCuaacutentos centiacutemetros mide la circunferencia de un
ciacuterculo de 8cm de diaacutemetro
2
① Un ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide 15 cm ② Un ciacuterculo cuyo radio mide 25 cm
Calcula la circunferencia de los siguientes ciacuterculos
La circunferencia de una lata ciliacutendrica mide 628 cm
iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro de la lata
① Si el diaacutemetro de la lata es cm escribe una expresioacuten
matemaacutetica aplicando la foacutermula que utilizaste en
② iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro
de la lata
314＝628
3
Los datos de abajo son las longitudes de las circunferencias de
unos ciacuterculos Calcula el diaacutemetro de cada uno
iquestCuaacutentos metros mide el diaacutemetro del tronco de este aacuterbol
① 2826 cm ② 314 cm ③ 3768 cm
2
1
Esta fotografiacutea muestra una imagen
de una moneda antigua dibujada sobre
arena en la Ciudad de Kannonji en el
parque Kagawa La circunferencia de
esta moneda gigante es 345 m
Calcula su diaacutemetro redondeado al
deacutecimo maacutes cercano
2
Razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro = circunferencia divide diaacutemetro
Circunferencia＝Diaacutemetrotimes314
Se necesitan seis nintildeos con sus brazos estirados para
rodear el tronco del aacuterbol en un parque iquestCuaacutentos metros
mediraacute el diaacutemetro de este aacuterbol Los brazos de cada
nintildeo cubren una longitud aproximada de 14 metros
Calcula el diaacutemetro del tronco usando 3 como
valor aproximado para la razoacuten entre la circunferencia
y el diaacutemetro
4544
② Dividamos el ciacuterculo en 4
partes iguales y consideremos
soacutelo una parte
(1) iquestCuaacutentos cuadrados azules y
cuaacutentos color de rosa hay
(2) Observa los cuadrados
color de rosa a lo largo de la
circunferencia el aacuterea de cada
uno mide aproximadamente 05 cm2 iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este
cuarto de ciacuterculo
2 Aacuterea de un ciacuterculo
iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de un ciacuterculo cuyo radio mide 10 cm
Verifica la respuesta trazando ese ciacuterculo sobre papel cuadriculado
a una escala de 1 cm
1
1 cm1 cm
① iquestCoacutemo podemos verificar
que la respuesta es correcta
Piensa coacutemo calcular el aacuterea del ciacuterculo y coacutemo podriacutea ser una
foacutermula para hacer ese caacutelculo
10 cm
10 cm
Foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Piensa coacutemo calcular el aacuterea
de un ciacuterculo
2
Analiza el ciacuterculo
de la derecha
③ iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea del ciacuterculo entero
cuadrados azules 1 (cm2)
cuadrados color de rosa05 (cm2)
① Piensa como construir la foacutermula utilizando una figura que divida el
ciacuterculo en varias secciones iguales a partir del radioiquestQueacute deberiacuteamos
hacer con los cuadrados
que estaacuten parcialmente
cubiertosPara calcular el aacuterea de
paralelogramos y triaacutengulos los
transformamos en otras figuras
conocidas iquestRecuerdas
Hay foacutermulas para calcular
el aacuterea de rectaacutengulos y
triaacutengulos iquestHabraacute una
foacutermula para los
ciacuterculos
4746
② Platica con tus compantildeeros lo que has
pensado para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Analiza cuidadosamente las ideas de
estos tres alumnos
La idea de Takao
Yo divido un ciacuterculo en muchos
triaacutengulos pequentildeos
2 cm
Yo construyo un triaacutengulo con
las partes del ciacuterculo
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
La idea de Akiko
Yo construyo un paralelogramo con las partes del ciacuterculo
③ Piensa coacutemo construir una foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
usando las ideas de estos alumnos
④ Construye una foacutermula con base en la idea
de Akiko
Radio
Circunferenciadivide2
Circunferenciadivide2
RadioRadio
16 secciones iguales
32 secciones iguales
64 secciones igualesCircunferenciadivide2
Aacuterea del rectaacutengulo = largo x ancho
Aacuterea del ciacuterculo ＝ Circunferencia2
＝ radio diaacutemetro3142
＝ radio diaacutemetro2314
＝ radio 314
Mitad de la circunferencia
Radio
La idea de Yasuko
Diaacutemetro2＝Radio iquestde acuerdo
Si cortas un ciacuterculo en
secciones pequentildeas de
igual tamantildeo iquestqueacute figura
puedes formar
4948
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura 2
Aacuterea del ciacuterculo ＝circunferencia radio2
＝Diaacutemetro 314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
Circunferencia
Radio
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
Calcula el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con radio de 8 cm ② Un ciacuterculo con diaacutemetro de 12 cm
3
El diaacutemetro del ciacuterculo mide
4 cm y el del ciacuterculo mide 8 cm
① Encontrar la circunferencia y el
aacuterea de cada ciacuterculo
② El diaacutemetro de es dos
veces el diaacutemetro de
iquestCuaacutentas veces es mayor la
circunferencia y el aacuterea de
que de la circunferen-
cia y el aacuterea de
4
4 cm
A continuacioacuten te damos las medidas de las circunferencias de unos ciacuterculos
Calcula el radio y el aacuterea de cada uno
① 628 cm ② 1884 cm ③ 157 cm
⑥ Construyamos una foacutermula con base en la idea de Takao
Observa las figuras que construimos al dividir el ciacuterculo en 16 secciones
iguales que parecen triaacutengulos Todos estos ldquotriaacutengulosrdquo tienen la misma altura
si los combinamos podemos construir un ldquotriaacutengulordquo grande
El aacuterea de un ciacuterculo puede calcularse usando
la foacutermula Aacuterea ＝radio times radio times 314
8 cm
⑤ Construyamos una foacutermula con base en la idea
de Yasuko
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura2
Aacuterea del ciacuterculo ＝ circunferencia4 radio4 2
＝diaacutemetro314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
2322
Expresa las siguientes magnitudes usando fracciones impropias y fracciones mixtas
iquestCuaacutel es la longitud en metros en cada caso Escribe la respuesta usando fracciones
La respuesta se obtiene dividiendo 1 m en 5 partes iguales
El segmento que se obtiene al dividir 1 m en 10 partes iguales
①
②
La longitud de la parte que excede a 1 m nota que 5 segmentos forman 1 m
1 m
1 m
③ 1 m
① ②
① Encuentra la marca que indica exactamente l
② Encuentra la marca que indica exactamente l
1 ＝2
＝ ＝
1 ＝3
＝
m mdl dl
m
m
m
0 1 2(m)
2
Fracciones9
Vertimos jugo de naranja en
un recipiente graduado usando
fracciones
El tamantildeo de un objeto o el
volumen que estaacute dividido en
secciones iguales se expresa
como una fraccioacuten
Las fracciones tambieacuten pueden
usarse para expresar nuacutemeros
que son mayores que 1
Una fraccioacuten mixta es mayor que 1
Una fraccioacuten impropia es igual o
mayor que 1
1 dl 1 dl
1 dl
1
1
2
1
3
① Lee en voz alta y hazlo de la
fraccioacuten menor a la mayor
② Reemplaza con 2 los numeradores del inciso ① y vuelve a leer
las fracciones en voz alta de la menor a la mayor
2524
( )
1 Sigue las instrucciones de abajo usando la recta numeacuterica
Fracciones equivalentes ③ Observa la recta numeacuterica de la paacutegina anterior y encuentra fracciones
que sean equivalentes
④ Observa la recta numeacuterica y encuentra otras fracciones que sean
equivalentes a las del inciso anterior
⑤ Platica con tus compantildeeros sobre lo que has aprendido y haz un
resumen
① Cuando el denominador es el mismo el valor de
una fraccioacuten se incrementa si el numerador aumenta
② Cuando el numerador es el mismo el valor de una
fraccioacuten disminuye cuando su denominador aumenta
③ Algunas fracciones tienen el mismo valor aunque sus
denominadores y numeradores sean diferentes
Encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten que sea mayor en cada pareja Si son iguales
marca ambas fracciones
1 ＝2
＝ ＝ ＝
1 ＝3
＝
3 ＝4
① 3 3
85 ( )② 3 5
77 ( )③ 1 4
82El valor de la fraccioacuten disminuye
cuando el numerador es el mismo y
el denominador aumenta
1
21 1
314
15
1 11 1 16 7 8 9 10
O OO
O
2726
② Yukie
Suma y resta con fracciones
Suma con fracciones
1 Akira y Yukie hacen cafeacute con leche iquestCuaacutentos litros hizo cada uno
① Akira
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l1
5
1 ＋ ＝5
2
5
3 ＋ ＝6
4
6
Cuando se suman fracciones con el mismo denominador
se suman los numeradores y los denominadores quedan
igual
2 Piensa coacutemo hacer este caacutelculo
3 ＋ ＝8
5
8＝
3 ＋8
5
8
3 Construye sumas utilizando fracciones
propias con el mismo denominador
utiliza nuacutemeros del 1 al 9 Luego
calcula los resultados
＋
①
④
2 ＋ 1
44
2 ＋ 2
33
②
⑤
4 ＋ 1
77
2 ＋ 4
55
③
⑥
2 ＋ 3
88
3 ＋ 6
99
O O O
2
5
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l3
6
4
6
1
5
＝
Piensa cuaacutentas veces
se repite
Puedo expresarlo como
un nuacutemero mixto
Podemos comparar faacutecilmente
el valor de una fraccioacuten si la
expresamos como nuacutemero mixto
o como entero
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l1 l
2 l
2
③ Si repartimos equitativamente 2 litros entre 3 alumnos
iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
Colorea la porcioacuten que
le toca a un alumno
iquestCuaacutentos litros es esa porcioacuten
① Realiza estas operaciones utilizando los nuacutemeros del 1 al 5 en el
2928
①
④
5 － 4
88
3 － 2
44
②
⑤
3 － 3
77
13 － 5
1212
③
⑥
5 － 1
66
－12
5
Cuando hacemos restas con fracciones que tienen el
mismo denominador restamos los numeradores y los
denominadores quedan igual
Resta con fracciones
4 iquestCuaacutento maacutes grande es de litro de jugo que
de litro de leche Piensa coacutemo calcular la respuesta
7
8
4
8
7 － ＝8
4
8
O O O
5 Piensa coacutemo hariacuteas las siguientes restas4 －3
2
3－1
5
7②①
3 Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
Cocientes y fracciones
1 Si repartimos equitativamente 2 litros
de leche entre alumnos iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
2
2 2 2 2 2② Agrupa las expresiones de arriba en los siguientes grupos dependiendo
del tipo de resultado
Cocientes que sean nuacutemeros enteros
Cocientes que sean nuacutemeros decimales
Cocientes que contengan un nuacutemero indefinido de diacutegitos en su
parte decimal
23 es 0666 Este nuacutemero tiene una cantidad indefinida de diacutegitos en
su parte decimal
O O
（ ）（ ）（ ）
minus ＝
La diferencia es cuaacutentos
octavos maacutes hay
Analicemos coacutemo expresar el cociente de una divisioacuten cuando tiene un
nuacutemero indefinido de diacutegitos en su parte decimal
Leche 1l Leche 1l
1 l 1 l
1 l 1 l
1 l
3130
23＝
Cantidad para un alumno cuando 1 litro se divide en 3 partes iguales l
La cantidad para un alumno cuando se reparten 2 litros en 3 partes iguales l
31
31
2 iquestCuaacutentos metros mide cada tramo cuando una cuerda de 3 metros se
divide en 4 partes iguales
① Escribe una expresioacuten matemaacutetica para este problema
② iquestCuaacutel es la longitud de una parte
① 16 ② 58 ③ 43 ④ 97
Reescribe las siguientes divisiones como fracciones
34＝
La divisioacuten de un nuacutemero entre otro
puede expresarse como una fraccioacuten ＝
0
0
0
1
1
2
2 3
41
m
m
m
(m)
(m)
(m)
1
Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
3 Si dividimos una cinta de 2 metros en 5 partes iguales iquestcuaacutentos metros
mediraacute cada una de esas partes
① Expresa el cociente de estas divisiones como una fraccioacuten y despueacutes
como nuacutemero decimal25＝
② Ubica en esta recta numeacuterica la fraccioacuten y tambieacuten su
valor decimal
Para expresar una fraccioacuten como nuacutemero decimal o como nuacutemero
entero dividimos el numerador entre el denominador
25＝
0 02
0
1
1
2
51
(m)
2 (m)
4 iquestQueacute cantidad es mayor iquest l o 07 litros3
5
5 Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales
3 ＝1 ＝855
8
5
29
100
3
10
＝
＝12412
4＝
②
③
①
④
14
24
34
3 ＝ 3 5 ＝5
＝
＝La divisioacuten puede expresarse
como una fraccioacuten
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l
l l
l
25
3332
podemos pensarlo como 19 veces y obtenemos
6 Veamos coacutemo expresar 2 y 5 como fracciones
＝ 23＝0666hellipaproximadamente 0672
3
2＝21＝ 5＝51＝
2＝42＝ 5＝102＝
2＝8 5＝30 ＝＝
2
1
4
2
Los nuacutemeros enteros pueden expresarse como fracciones
usando cualquier denominador
Muchos nuacutemeros decimales pueden expresarse como
fracciones si elegimos y como unidades
7 Expresa los nuacutemeros 019 y 17 como fracciones
① Como 019 es lo mismo que 19 veces 001
1
100
podemos pensarlo como 17 veces y obtenemos
② Como 17 es lo mismo que veces 01
Escribe en los los nuacutemeros decimales y las fracciones que faltan
1
100
1
10
8 Clasifica estas fracciones en los grupos que se indican
11
2
12
3
3
5
3
1
6
2
8
10
4
11
06 1251 27
20
Nuacutemeros enteros
Con un nuacutemero definido de diacutegitos decimales
Otro tipo de nuacutemeros decimales
Se facilita la comparacioacuten de fracciones si las expresamos como
nuacutemeros decimales
9 Dibuja una darr para indicar la posicioacuten de cada uno de los siguientes
nuacutemeros en la recta numeacuterica de abajo
4
5
3
4
2
3
Los nuacutemeros enteros los nuacutemeros decimales y las
fracciones pueden ubicarse en una recta numeacuterica Asiacute es
maacutes faacutecil compararlos
① 09 ② 125 ③ ④ ⑤
Ordena los siguientes nuacutemeros del mayor al menor1
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales como fracciones y las fracciones como
nuacutemeros decimales
2
13 0751
12
4
2
5
7
7
10
21
5
3
4
24
6
② ③ ④ ⑥⑤ ⑦①
Decimales
Fracciones
Escribamos en el de abajo los nuacutemeros decimales y fracciones que faltan
3534
① ② ③ ④
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimalest
paacutegina 31
Analiza los siguientes pares de fracciones y
en cada pareja encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten de mayor valor
paacutegina 25
7
8
5
8
8
3
8
5
2
3
6
9
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
1 ＋ 1
33
2 ＋ 3
55
5 ＋ 3
66
5 － 1
77
5 － 2
44
paacuteginas 26~28
① 17 ② 59 ③ 113
Expresa como fracciones las siguientes divisiones
paacutegina 30
5
10
31
100
18
6
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales
como fracciones
① 03 ② 19 ③ 061 ④ 111
paacutegina 32
Indica con una darr la posicioacuten en la recta numeacuterica
de cada uno de los siguientes nuacutemeros
1 07 18
paacutegina 33
1
2
5
7
5
71－
8
11
4
51
20
④ Piensa coacutemo calcular la
respuesta
iquestPodemos hacer operaciones con nuacutemeros mixtos
Realiza las siguientes operaciones
La familia de Masako bebe 1 litros de leche en la mantildeana y
litros de leche en la tarde
① iquestCuaacutentos litros de leche bebieron en total Escribe una operacioacuten que
represente esto
② Piensa coacutemo calcular la respuesta
③ iquestCuaacutenta leche bebieron maacutes en la
mantildeana respecto a la tarde Escribe
una operacioacuten que represente esto
1
2
35
45
3 ＋1 ＝ 15
45 5
3 －1 ＝545 5 － 4
5
＝
＝
2 ＋① 71
67
2 －1② 434
( ) ( ) ( )① ② ③
(grupo)
no puedo restar
(cambio)
2
3
4
5
6
① ② ③ ④ 06 ⑤ 012
Expresa las siguientes divisiones como fracciones
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales o como nuacutemeros
enteros y los nuacutemeros decimales como fracciones
1
2
16
81
15
Resuelve las siguientes operaciones
① ② ③ ④3 ＋ 2
66
5 ＋ 7
88
31－
5
4 － 3
88
Utiliza dos de las tarjetas y para crear
fracciones Clasifica las fracciones en tres grupos como se indica
Fracciones que pueden expresarse como nuacutemeros enteros
( )Fracciones que pueden expresarse como decimales con un nuacutemero
determinado de diacutegitos
( )Fracciones que no pueden expresarse como decimales con un
nuacutemero determinado de diacutegitos
( )
765434
bull iquestCuaacutel es el elemento que tienen en comuacuten las siguientes
fracciones
3 ＋ 4
55
3 ＋ 4
77＋3
10
4
10
3 ＋ 4
55
iquestCon queacute unidades debemos resolver las siguientes operaciones
para que se comporten como si calculaacuteramos 3＋4
① 03＋04 La unidad es
② 3000＋4000 La unidad es
③ La unidad es
1
3 ＋ 4
99
Encuentra otras operaciones cuyo proceso sea equivalente al que
realizamos con 3＋4
2
① 45 ② 69 ③ 208
Ir a la paacutegina 88
se resuelve sumando 3＋4 si pensamos como la unidad1
5
Entender la relacioacuten que hay entre la divisioacuten con enteros y las fracciones
Resolver sumas y restas con fracciones que tienen el mismo denominador
Expresar cantidades como nuacutemeros decimales como fracciones y como nuacutemeros enteros
Expresar fracciones como nuacutemeros decimales oacute nuacutemeros enteros
3736
Puedo pensar en caacutelculoscon nuacutemeros grandescomo cien millones y un trilloacuten
Puedo hacer muchos caacutelculos como esos usandofracciones con distintodenominador
iquestSeraacute posible iniciar elcaacutelculo con 3＋41
2
3
Ir a la paacutegina 37
38 39
Resuelve estas operaciones en la forma vertical
① 132 ② 5117 ③ 94
④ 1435 ⑤ 6946 ⑥ 3624
⑦ 6104 ⑧ 0805 ⑨ 0725
Haz estas divisiones encontrando el cociente hasta
nuacutemeros enteros e indica cuaacutel es el residuo
① 6117 ② 9706
Tenemos 135 Kg de arroz Si comemos 09 Kg en un diacutea
iquestcuaacutentos diacuteas podremos comer arroz
Escribe en el las medidas que faltan
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
① ②
③
5 cm
3 cm
①
Encuentra coacutemo calcular el aacuterea de estas figuras
①
Trapecio
②
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
3 ＋ 1
55
3 ＋ 1
44
5 ＋ 6
77
5 － 3
44
7 － 3
991
1－10
Cuaacutel es mayor iquest075 o
Necesitamos dividir equitativamente una cuerda de 3m
entre 8 alumnos iquestCuaacutentos metros de cuerda recibiraacute cada uno
8
35
4 cm
7 cm6 cm
5 cm
4 cm
8 cm
3 cm3 cm
3 cm
5 cm
②
paralelogramo
Triaacutengulo isoacutesceles
Paralelogramo
6
99
7
6
5
4
3
2
1
9
9
8
8
8
6
6
6
4140
① Discute con tus compantildeeros sobre la relacioacuten entre la distancia que
avanza cada ciacuterculo y la longitud de sus diaacutemetros
② Haz una estimacioacuten de cuaacutentos cm avanzaraacute en una vuelta un ciacuterculo
cuyo diaacutemetro mide 40cm y comprueba tu prediccioacuten
A la liacutenea curva que limita un ciacuterculo se le llama circunferencia A un segmento de esa curva se lellama arco
Analiza la relacioacuten que hay entre el diaacutemetro de un ciacuterculo y la longitud
de su circunferencia
Diaacutemetro y circunferencia
Analicemos la relacioacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro en
diferentes ciacuterculos
① Veamos algunas formas para medir circunferencias y diaacutemetros
1
Circunferencia（cm）
Diaacutemetro（cm） 10 20 30
Ciacuterculo Ciacuterculo Ciacuterculo Lata(longitud cinta)
② Anota los datos en la siguiente tabla
③ iquestExistiraacute una foacutermula para determinar la relacioacuten entre la
circunferencia y el diaacutemetro
Recorta un pedazo de cartoacuten para trazar los ciacuterculos y cuyos
diaacutemetros miden 10cm 20cm y 30cm respectivamente Despueacutes hazlos
rodar una vuelta completa y mide cuaacutento avanzan
Ciacuterculos
Cuando el diaacutemetro se duplica iquestQueacute tantose incrementa la circunferencia
iquestCuaacutentas veces cabe eldiaacutemetro en la circunferencia
Medida de la circunferencia Medida del diaacutemetro
1
4342
Circunferencia divide Diaacutemetro
10 20 30
Ciacuterculo de cartoacuten Lata Cinta de embalajeCiacuterculo de cartoacuten Ciacuterculo de cartoacuten
Circunferencia(cm）
Diaacutemetro(cm）
④ iquestCuaacutentas veces cabe el diaacutemetro en la circunferencia
Usa tus datos para calcular redondeando
al mileacutesimo maacutes cercano
ldquoCircunferencia divide Diaacutemetrordquo da el mismo resultado para
ciacuterculos de cualquier tamantildeo
A la divisioacuten Circunferencia divide Diaacutemetro se le llama razoacuten
entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro es 314159
Este es un nuacutemero que continuacutea indefinidamente Usualmente se
emplea la aproximacioacuten 314
iquestCuaacutentos centiacutemetros mide la circunferencia de un
ciacuterculo de 8cm de diaacutemetro
2
① Un ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide 15 cm ② Un ciacuterculo cuyo radio mide 25 cm
Calcula la circunferencia de los siguientes ciacuterculos
La circunferencia de una lata ciliacutendrica mide 628 cm
iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro de la lata
① Si el diaacutemetro de la lata es cm escribe una expresioacuten
matemaacutetica aplicando la foacutermula que utilizaste en
② iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro
de la lata
314＝628
3
Los datos de abajo son las longitudes de las circunferencias de
unos ciacuterculos Calcula el diaacutemetro de cada uno
iquestCuaacutentos metros mide el diaacutemetro del tronco de este aacuterbol
① 2826 cm ② 314 cm ③ 3768 cm
2
1
Esta fotografiacutea muestra una imagen
de una moneda antigua dibujada sobre
arena en la Ciudad de Kannonji en el
parque Kagawa La circunferencia de
esta moneda gigante es 345 m
Calcula su diaacutemetro redondeado al
deacutecimo maacutes cercano
2
Razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro = circunferencia divide diaacutemetro
Circunferencia＝Diaacutemetrotimes314
Se necesitan seis nintildeos con sus brazos estirados para
rodear el tronco del aacuterbol en un parque iquestCuaacutentos metros
mediraacute el diaacutemetro de este aacuterbol Los brazos de cada
nintildeo cubren una longitud aproximada de 14 metros
Calcula el diaacutemetro del tronco usando 3 como
valor aproximado para la razoacuten entre la circunferencia
y el diaacutemetro
4544
② Dividamos el ciacuterculo en 4
partes iguales y consideremos
soacutelo una parte
(1) iquestCuaacutentos cuadrados azules y
cuaacutentos color de rosa hay
(2) Observa los cuadrados
color de rosa a lo largo de la
circunferencia el aacuterea de cada
uno mide aproximadamente 05 cm2 iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este
cuarto de ciacuterculo
2 Aacuterea de un ciacuterculo
iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de un ciacuterculo cuyo radio mide 10 cm
Verifica la respuesta trazando ese ciacuterculo sobre papel cuadriculado
a una escala de 1 cm
1
1 cm1 cm
① iquestCoacutemo podemos verificar
que la respuesta es correcta
Piensa coacutemo calcular el aacuterea del ciacuterculo y coacutemo podriacutea ser una
foacutermula para hacer ese caacutelculo
10 cm
10 cm
Foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Piensa coacutemo calcular el aacuterea
de un ciacuterculo
2
Analiza el ciacuterculo
de la derecha
③ iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea del ciacuterculo entero
cuadrados azules 1 (cm2)
cuadrados color de rosa05 (cm2)
① Piensa como construir la foacutermula utilizando una figura que divida el
ciacuterculo en varias secciones iguales a partir del radioiquestQueacute deberiacuteamos
hacer con los cuadrados
que estaacuten parcialmente
cubiertosPara calcular el aacuterea de
paralelogramos y triaacutengulos los
transformamos en otras figuras
conocidas iquestRecuerdas
Hay foacutermulas para calcular
el aacuterea de rectaacutengulos y
triaacutengulos iquestHabraacute una
foacutermula para los
ciacuterculos
4746
② Platica con tus compantildeeros lo que has
pensado para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Analiza cuidadosamente las ideas de
estos tres alumnos
La idea de Takao
Yo divido un ciacuterculo en muchos
triaacutengulos pequentildeos
2 cm
Yo construyo un triaacutengulo con
las partes del ciacuterculo
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
La idea de Akiko
Yo construyo un paralelogramo con las partes del ciacuterculo
③ Piensa coacutemo construir una foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
usando las ideas de estos alumnos
④ Construye una foacutermula con base en la idea
de Akiko
Radio
Circunferenciadivide2
Circunferenciadivide2
RadioRadio
16 secciones iguales
32 secciones iguales
64 secciones igualesCircunferenciadivide2
Aacuterea del rectaacutengulo = largo x ancho
Aacuterea del ciacuterculo ＝ Circunferencia2
＝ radio diaacutemetro3142
＝ radio diaacutemetro2314
＝ radio 314
Mitad de la circunferencia
Radio
La idea de Yasuko
Diaacutemetro2＝Radio iquestde acuerdo
Si cortas un ciacuterculo en
secciones pequentildeas de
igual tamantildeo iquestqueacute figura
puedes formar
4948
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura 2
Aacuterea del ciacuterculo ＝circunferencia radio2
＝Diaacutemetro 314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
Circunferencia
Radio
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
Calcula el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con radio de 8 cm ② Un ciacuterculo con diaacutemetro de 12 cm
3
El diaacutemetro del ciacuterculo mide
4 cm y el del ciacuterculo mide 8 cm
① Encontrar la circunferencia y el
aacuterea de cada ciacuterculo
② El diaacutemetro de es dos
veces el diaacutemetro de
iquestCuaacutentas veces es mayor la
circunferencia y el aacuterea de
que de la circunferen-
cia y el aacuterea de
4
4 cm
A continuacioacuten te damos las medidas de las circunferencias de unos ciacuterculos
Calcula el radio y el aacuterea de cada uno
① 628 cm ② 1884 cm ③ 157 cm
⑥ Construyamos una foacutermula con base en la idea de Takao
Observa las figuras que construimos al dividir el ciacuterculo en 16 secciones
iguales que parecen triaacutengulos Todos estos ldquotriaacutengulosrdquo tienen la misma altura
si los combinamos podemos construir un ldquotriaacutengulordquo grande
El aacuterea de un ciacuterculo puede calcularse usando
la foacutermula Aacuterea ＝radio times radio times 314
8 cm
⑤ Construyamos una foacutermula con base en la idea
de Yasuko
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura2
Aacuterea del ciacuterculo ＝ circunferencia4 radio4 2
＝diaacutemetro314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
① Lee en voz alta y hazlo de la
fraccioacuten menor a la mayor
② Reemplaza con 2 los numeradores del inciso ① y vuelve a leer
las fracciones en voz alta de la menor a la mayor
2524
( )
1 Sigue las instrucciones de abajo usando la recta numeacuterica
Fracciones equivalentes ③ Observa la recta numeacuterica de la paacutegina anterior y encuentra fracciones
que sean equivalentes
④ Observa la recta numeacuterica y encuentra otras fracciones que sean
equivalentes a las del inciso anterior
⑤ Platica con tus compantildeeros sobre lo que has aprendido y haz un
resumen
① Cuando el denominador es el mismo el valor de
una fraccioacuten se incrementa si el numerador aumenta
② Cuando el numerador es el mismo el valor de una
fraccioacuten disminuye cuando su denominador aumenta
③ Algunas fracciones tienen el mismo valor aunque sus
denominadores y numeradores sean diferentes
Encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten que sea mayor en cada pareja Si son iguales
marca ambas fracciones
1 ＝2
＝ ＝ ＝
1 ＝3
＝
3 ＝4
① 3 3
85 ( )② 3 5
77 ( )③ 1 4
82El valor de la fraccioacuten disminuye
cuando el numerador es el mismo y
el denominador aumenta
1
21 1
314
15
1 11 1 16 7 8 9 10
O OO
O
2726
② Yukie
Suma y resta con fracciones
Suma con fracciones
1 Akira y Yukie hacen cafeacute con leche iquestCuaacutentos litros hizo cada uno
① Akira
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l1
5
1 ＋ ＝5
2
5
3 ＋ ＝6
4
6
Cuando se suman fracciones con el mismo denominador
se suman los numeradores y los denominadores quedan
igual
2 Piensa coacutemo hacer este caacutelculo
3 ＋ ＝8
5
8＝
3 ＋8
5
8
3 Construye sumas utilizando fracciones
propias con el mismo denominador
utiliza nuacutemeros del 1 al 9 Luego
calcula los resultados
＋
①
④
2 ＋ 1
44
2 ＋ 2
33
②
⑤
4 ＋ 1
77
2 ＋ 4
55
③
⑥
2 ＋ 3
88
3 ＋ 6
99
O O O
2
5
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l3
6
4
6
1
5
＝
Piensa cuaacutentas veces
se repite
Puedo expresarlo como
un nuacutemero mixto
Podemos comparar faacutecilmente
el valor de una fraccioacuten si la
expresamos como nuacutemero mixto
o como entero
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l1 l
2 l
2
③ Si repartimos equitativamente 2 litros entre 3 alumnos
iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
Colorea la porcioacuten que
le toca a un alumno
iquestCuaacutentos litros es esa porcioacuten
① Realiza estas operaciones utilizando los nuacutemeros del 1 al 5 en el
2928
①
④
5 － 4
88
3 － 2
44
②
⑤
3 － 3
77
13 － 5
1212
③
⑥
5 － 1
66
－12
5
Cuando hacemos restas con fracciones que tienen el
mismo denominador restamos los numeradores y los
denominadores quedan igual
Resta con fracciones
4 iquestCuaacutento maacutes grande es de litro de jugo que
de litro de leche Piensa coacutemo calcular la respuesta
7
8
4
8
7 － ＝8
4
8
O O O
5 Piensa coacutemo hariacuteas las siguientes restas4 －3
2
3－1
5
7②①
3 Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
Cocientes y fracciones
1 Si repartimos equitativamente 2 litros
de leche entre alumnos iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
2
2 2 2 2 2② Agrupa las expresiones de arriba en los siguientes grupos dependiendo
del tipo de resultado
Cocientes que sean nuacutemeros enteros
Cocientes que sean nuacutemeros decimales
Cocientes que contengan un nuacutemero indefinido de diacutegitos en su
parte decimal
23 es 0666 Este nuacutemero tiene una cantidad indefinida de diacutegitos en
su parte decimal
O O
（ ）（ ）（ ）
minus ＝
La diferencia es cuaacutentos
octavos maacutes hay
Analicemos coacutemo expresar el cociente de una divisioacuten cuando tiene un
nuacutemero indefinido de diacutegitos en su parte decimal
Leche 1l Leche 1l
1 l 1 l
1 l 1 l
1 l
3130
23＝
Cantidad para un alumno cuando 1 litro se divide en 3 partes iguales l
La cantidad para un alumno cuando se reparten 2 litros en 3 partes iguales l
31
31
2 iquestCuaacutentos metros mide cada tramo cuando una cuerda de 3 metros se
divide en 4 partes iguales
① Escribe una expresioacuten matemaacutetica para este problema
② iquestCuaacutel es la longitud de una parte
① 16 ② 58 ③ 43 ④ 97
Reescribe las siguientes divisiones como fracciones
34＝
La divisioacuten de un nuacutemero entre otro
puede expresarse como una fraccioacuten ＝
0
0
0
1
1
2
2 3
41
m
m
m
(m)
(m)
(m)
1
Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
3 Si dividimos una cinta de 2 metros en 5 partes iguales iquestcuaacutentos metros
mediraacute cada una de esas partes
① Expresa el cociente de estas divisiones como una fraccioacuten y despueacutes
como nuacutemero decimal25＝
② Ubica en esta recta numeacuterica la fraccioacuten y tambieacuten su
valor decimal
Para expresar una fraccioacuten como nuacutemero decimal o como nuacutemero
entero dividimos el numerador entre el denominador
25＝
0 02
0
1
1
2
51
(m)
2 (m)
4 iquestQueacute cantidad es mayor iquest l o 07 litros3
5
5 Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales
3 ＝1 ＝855
8
5
29
100
3
10
＝
＝12412
4＝
②
③
①
④
14
24
34
3 ＝ 3 5 ＝5
＝
＝La divisioacuten puede expresarse
como una fraccioacuten
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l
l l
l
25
3332
podemos pensarlo como 19 veces y obtenemos
6 Veamos coacutemo expresar 2 y 5 como fracciones
＝ 23＝0666hellipaproximadamente 0672
3
2＝21＝ 5＝51＝
2＝42＝ 5＝102＝
2＝8 5＝30 ＝＝
2
1
4
2
Los nuacutemeros enteros pueden expresarse como fracciones
usando cualquier denominador
Muchos nuacutemeros decimales pueden expresarse como
fracciones si elegimos y como unidades
7 Expresa los nuacutemeros 019 y 17 como fracciones
① Como 019 es lo mismo que 19 veces 001
1
100
podemos pensarlo como 17 veces y obtenemos
② Como 17 es lo mismo que veces 01
Escribe en los los nuacutemeros decimales y las fracciones que faltan
1
100
1
10
8 Clasifica estas fracciones en los grupos que se indican
11
2
12
3
3
5
3
1
6
2
8
10
4
11
06 1251 27
20
Nuacutemeros enteros
Con un nuacutemero definido de diacutegitos decimales
Otro tipo de nuacutemeros decimales
Se facilita la comparacioacuten de fracciones si las expresamos como
nuacutemeros decimales
9 Dibuja una darr para indicar la posicioacuten de cada uno de los siguientes
nuacutemeros en la recta numeacuterica de abajo
4
5
3
4
2
3
Los nuacutemeros enteros los nuacutemeros decimales y las
fracciones pueden ubicarse en una recta numeacuterica Asiacute es
maacutes faacutecil compararlos
① 09 ② 125 ③ ④ ⑤
Ordena los siguientes nuacutemeros del mayor al menor1
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales como fracciones y las fracciones como
nuacutemeros decimales
2
13 0751
12
4
2
5
7
7
10
21
5
3
4
24
6
② ③ ④ ⑥⑤ ⑦①
Decimales
Fracciones
Escribamos en el de abajo los nuacutemeros decimales y fracciones que faltan
3534
① ② ③ ④
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimalest
paacutegina 31
Analiza los siguientes pares de fracciones y
en cada pareja encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten de mayor valor
paacutegina 25
7
8
5
8
8
3
8
5
2
3
6
9
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
1 ＋ 1
33
2 ＋ 3
55
5 ＋ 3
66
5 － 1
77
5 － 2
44
paacuteginas 26~28
① 17 ② 59 ③ 113
Expresa como fracciones las siguientes divisiones
paacutegina 30
5
10
31
100
18
6
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales
como fracciones
① 03 ② 19 ③ 061 ④ 111
paacutegina 32
Indica con una darr la posicioacuten en la recta numeacuterica
de cada uno de los siguientes nuacutemeros
1 07 18
paacutegina 33
1
2
5
7
5
71－
8
11
4
51
20
④ Piensa coacutemo calcular la
respuesta
iquestPodemos hacer operaciones con nuacutemeros mixtos
Realiza las siguientes operaciones
La familia de Masako bebe 1 litros de leche en la mantildeana y
litros de leche en la tarde
① iquestCuaacutentos litros de leche bebieron en total Escribe una operacioacuten que
represente esto
② Piensa coacutemo calcular la respuesta
③ iquestCuaacutenta leche bebieron maacutes en la
mantildeana respecto a la tarde Escribe
una operacioacuten que represente esto
1
2
35
45
3 ＋1 ＝ 15
45 5
3 －1 ＝545 5 － 4
5
＝
＝
2 ＋① 71
67
2 －1② 434
( ) ( ) ( )① ② ③
(grupo)
no puedo restar
(cambio)
2
3
4
5
6
① ② ③ ④ 06 ⑤ 012
Expresa las siguientes divisiones como fracciones
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales o como nuacutemeros
enteros y los nuacutemeros decimales como fracciones
1
2
16
81
15
Resuelve las siguientes operaciones
① ② ③ ④3 ＋ 2
66
5 ＋ 7
88
31－
5
4 － 3
88
Utiliza dos de las tarjetas y para crear
fracciones Clasifica las fracciones en tres grupos como se indica
Fracciones que pueden expresarse como nuacutemeros enteros
( )Fracciones que pueden expresarse como decimales con un nuacutemero
determinado de diacutegitos
( )Fracciones que no pueden expresarse como decimales con un
nuacutemero determinado de diacutegitos
( )
765434
bull iquestCuaacutel es el elemento que tienen en comuacuten las siguientes
fracciones
3 ＋ 4
55
3 ＋ 4
77＋3
10
4
10
3 ＋ 4
55
iquestCon queacute unidades debemos resolver las siguientes operaciones
para que se comporten como si calculaacuteramos 3＋4
① 03＋04 La unidad es
② 3000＋4000 La unidad es
③ La unidad es
1
3 ＋ 4
99
Encuentra otras operaciones cuyo proceso sea equivalente al que
realizamos con 3＋4
2
① 45 ② 69 ③ 208
Ir a la paacutegina 88
se resuelve sumando 3＋4 si pensamos como la unidad1
5
Entender la relacioacuten que hay entre la divisioacuten con enteros y las fracciones
Resolver sumas y restas con fracciones que tienen el mismo denominador
Expresar cantidades como nuacutemeros decimales como fracciones y como nuacutemeros enteros
Expresar fracciones como nuacutemeros decimales oacute nuacutemeros enteros
3736
Puedo pensar en caacutelculoscon nuacutemeros grandescomo cien millones y un trilloacuten
Puedo hacer muchos caacutelculos como esos usandofracciones con distintodenominador
iquestSeraacute posible iniciar elcaacutelculo con 3＋41
2
3
Ir a la paacutegina 37
38 39
Resuelve estas operaciones en la forma vertical
① 132 ② 5117 ③ 94
④ 1435 ⑤ 6946 ⑥ 3624
⑦ 6104 ⑧ 0805 ⑨ 0725
Haz estas divisiones encontrando el cociente hasta
nuacutemeros enteros e indica cuaacutel es el residuo
① 6117 ② 9706
Tenemos 135 Kg de arroz Si comemos 09 Kg en un diacutea
iquestcuaacutentos diacuteas podremos comer arroz
Escribe en el las medidas que faltan
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
① ②
③
5 cm
3 cm
①
Encuentra coacutemo calcular el aacuterea de estas figuras
①
Trapecio
②
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
3 ＋ 1
55
3 ＋ 1
44
5 ＋ 6
77
5 － 3
44
7 － 3
991
1－10
Cuaacutel es mayor iquest075 o
Necesitamos dividir equitativamente una cuerda de 3m
entre 8 alumnos iquestCuaacutentos metros de cuerda recibiraacute cada uno
8
35
4 cm
7 cm6 cm
5 cm
4 cm
8 cm
3 cm3 cm
3 cm
5 cm
②
paralelogramo
Triaacutengulo isoacutesceles
Paralelogramo
6
99
7
6
5
4
3
2
1
9
9
8
8
8
6
6
6
4140
① Discute con tus compantildeeros sobre la relacioacuten entre la distancia que
avanza cada ciacuterculo y la longitud de sus diaacutemetros
② Haz una estimacioacuten de cuaacutentos cm avanzaraacute en una vuelta un ciacuterculo
cuyo diaacutemetro mide 40cm y comprueba tu prediccioacuten
A la liacutenea curva que limita un ciacuterculo se le llama circunferencia A un segmento de esa curva se lellama arco
Analiza la relacioacuten que hay entre el diaacutemetro de un ciacuterculo y la longitud
de su circunferencia
Diaacutemetro y circunferencia
Analicemos la relacioacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro en
diferentes ciacuterculos
① Veamos algunas formas para medir circunferencias y diaacutemetros
1
Circunferencia（cm）
Diaacutemetro（cm） 10 20 30
Ciacuterculo Ciacuterculo Ciacuterculo Lata(longitud cinta)
② Anota los datos en la siguiente tabla
③ iquestExistiraacute una foacutermula para determinar la relacioacuten entre la
circunferencia y el diaacutemetro
Recorta un pedazo de cartoacuten para trazar los ciacuterculos y cuyos
diaacutemetros miden 10cm 20cm y 30cm respectivamente Despueacutes hazlos
rodar una vuelta completa y mide cuaacutento avanzan
Ciacuterculos
Cuando el diaacutemetro se duplica iquestQueacute tantose incrementa la circunferencia
iquestCuaacutentas veces cabe eldiaacutemetro en la circunferencia
Medida de la circunferencia Medida del diaacutemetro
1
4342
Circunferencia divide Diaacutemetro
10 20 30
Ciacuterculo de cartoacuten Lata Cinta de embalajeCiacuterculo de cartoacuten Ciacuterculo de cartoacuten
Circunferencia(cm）
Diaacutemetro(cm）
④ iquestCuaacutentas veces cabe el diaacutemetro en la circunferencia
Usa tus datos para calcular redondeando
al mileacutesimo maacutes cercano
ldquoCircunferencia divide Diaacutemetrordquo da el mismo resultado para
ciacuterculos de cualquier tamantildeo
A la divisioacuten Circunferencia divide Diaacutemetro se le llama razoacuten
entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro es 314159
Este es un nuacutemero que continuacutea indefinidamente Usualmente se
emplea la aproximacioacuten 314
iquestCuaacutentos centiacutemetros mide la circunferencia de un
ciacuterculo de 8cm de diaacutemetro
2
① Un ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide 15 cm ② Un ciacuterculo cuyo radio mide 25 cm
Calcula la circunferencia de los siguientes ciacuterculos
La circunferencia de una lata ciliacutendrica mide 628 cm
iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro de la lata
① Si el diaacutemetro de la lata es cm escribe una expresioacuten
matemaacutetica aplicando la foacutermula que utilizaste en
② iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro
de la lata
314＝628
3
Los datos de abajo son las longitudes de las circunferencias de
unos ciacuterculos Calcula el diaacutemetro de cada uno
iquestCuaacutentos metros mide el diaacutemetro del tronco de este aacuterbol
① 2826 cm ② 314 cm ③ 3768 cm
2
1
Esta fotografiacutea muestra una imagen
de una moneda antigua dibujada sobre
arena en la Ciudad de Kannonji en el
parque Kagawa La circunferencia de
esta moneda gigante es 345 m
Calcula su diaacutemetro redondeado al
deacutecimo maacutes cercano
2
Razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro = circunferencia divide diaacutemetro
Circunferencia＝Diaacutemetrotimes314
Se necesitan seis nintildeos con sus brazos estirados para
rodear el tronco del aacuterbol en un parque iquestCuaacutentos metros
mediraacute el diaacutemetro de este aacuterbol Los brazos de cada
nintildeo cubren una longitud aproximada de 14 metros
Calcula el diaacutemetro del tronco usando 3 como
valor aproximado para la razoacuten entre la circunferencia
y el diaacutemetro
4544
② Dividamos el ciacuterculo en 4
partes iguales y consideremos
soacutelo una parte
(1) iquestCuaacutentos cuadrados azules y
cuaacutentos color de rosa hay
(2) Observa los cuadrados
color de rosa a lo largo de la
circunferencia el aacuterea de cada
uno mide aproximadamente 05 cm2 iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este
cuarto de ciacuterculo
2 Aacuterea de un ciacuterculo
iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de un ciacuterculo cuyo radio mide 10 cm
Verifica la respuesta trazando ese ciacuterculo sobre papel cuadriculado
a una escala de 1 cm
1
1 cm1 cm
① iquestCoacutemo podemos verificar
que la respuesta es correcta
Piensa coacutemo calcular el aacuterea del ciacuterculo y coacutemo podriacutea ser una
foacutermula para hacer ese caacutelculo
10 cm
10 cm
Foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Piensa coacutemo calcular el aacuterea
de un ciacuterculo
2
Analiza el ciacuterculo
de la derecha
③ iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea del ciacuterculo entero
cuadrados azules 1 (cm2)
cuadrados color de rosa05 (cm2)
① Piensa como construir la foacutermula utilizando una figura que divida el
ciacuterculo en varias secciones iguales a partir del radioiquestQueacute deberiacuteamos
hacer con los cuadrados
que estaacuten parcialmente
cubiertosPara calcular el aacuterea de
paralelogramos y triaacutengulos los
transformamos en otras figuras
conocidas iquestRecuerdas
Hay foacutermulas para calcular
el aacuterea de rectaacutengulos y
triaacutengulos iquestHabraacute una
foacutermula para los
ciacuterculos
4746
② Platica con tus compantildeeros lo que has
pensado para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Analiza cuidadosamente las ideas de
estos tres alumnos
La idea de Takao
Yo divido un ciacuterculo en muchos
triaacutengulos pequentildeos
2 cm
Yo construyo un triaacutengulo con
las partes del ciacuterculo
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
La idea de Akiko
Yo construyo un paralelogramo con las partes del ciacuterculo
③ Piensa coacutemo construir una foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
usando las ideas de estos alumnos
④ Construye una foacutermula con base en la idea
de Akiko
Radio
Circunferenciadivide2
Circunferenciadivide2
RadioRadio
16 secciones iguales
32 secciones iguales
64 secciones igualesCircunferenciadivide2
Aacuterea del rectaacutengulo = largo x ancho
Aacuterea del ciacuterculo ＝ Circunferencia2
＝ radio diaacutemetro3142
＝ radio diaacutemetro2314
＝ radio 314
Mitad de la circunferencia
Radio
La idea de Yasuko
Diaacutemetro2＝Radio iquestde acuerdo
Si cortas un ciacuterculo en
secciones pequentildeas de
igual tamantildeo iquestqueacute figura
puedes formar
4948
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura 2
Aacuterea del ciacuterculo ＝circunferencia radio2
＝Diaacutemetro 314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
Circunferencia
Radio
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
Calcula el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con radio de 8 cm ② Un ciacuterculo con diaacutemetro de 12 cm
3
El diaacutemetro del ciacuterculo mide
4 cm y el del ciacuterculo mide 8 cm
① Encontrar la circunferencia y el
aacuterea de cada ciacuterculo
② El diaacutemetro de es dos
veces el diaacutemetro de
iquestCuaacutentas veces es mayor la
circunferencia y el aacuterea de
que de la circunferen-
cia y el aacuterea de
4
4 cm
A continuacioacuten te damos las medidas de las circunferencias de unos ciacuterculos
Calcula el radio y el aacuterea de cada uno
① 628 cm ② 1884 cm ③ 157 cm
⑥ Construyamos una foacutermula con base en la idea de Takao
Observa las figuras que construimos al dividir el ciacuterculo en 16 secciones
iguales que parecen triaacutengulos Todos estos ldquotriaacutengulosrdquo tienen la misma altura
si los combinamos podemos construir un ldquotriaacutengulordquo grande
El aacuterea de un ciacuterculo puede calcularse usando
la foacutermula Aacuterea ＝radio times radio times 314
8 cm
⑤ Construyamos una foacutermula con base en la idea
de Yasuko
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura2
Aacuterea del ciacuterculo ＝ circunferencia4 radio4 2
＝diaacutemetro314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
O OO
O
2726
② Yukie
Suma y resta con fracciones
Suma con fracciones
1 Akira y Yukie hacen cafeacute con leche iquestCuaacutentos litros hizo cada uno
① Akira
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l1
5
1 ＋ ＝5
2
5
3 ＋ ＝6
4
6
Cuando se suman fracciones con el mismo denominador
se suman los numeradores y los denominadores quedan
igual
2 Piensa coacutemo hacer este caacutelculo
3 ＋ ＝8
5
8＝
3 ＋8
5
8
3 Construye sumas utilizando fracciones
propias con el mismo denominador
utiliza nuacutemeros del 1 al 9 Luego
calcula los resultados
＋
①
④
2 ＋ 1
44
2 ＋ 2
33
②
⑤
4 ＋ 1
77
2 ＋ 4
55
③
⑥
2 ＋ 3
88
3 ＋ 6
99
O O O
2
5
Cafeacute l Leche l Cafeacute con leche l3
6
4
6
1
5
＝
Piensa cuaacutentas veces
se repite
Puedo expresarlo como
un nuacutemero mixto
Podemos comparar faacutecilmente
el valor de una fraccioacuten si la
expresamos como nuacutemero mixto
o como entero
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l1 l
2 l
2
③ Si repartimos equitativamente 2 litros entre 3 alumnos
iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
Colorea la porcioacuten que
le toca a un alumno
iquestCuaacutentos litros es esa porcioacuten
① Realiza estas operaciones utilizando los nuacutemeros del 1 al 5 en el
2928
①
④
5 － 4
88
3 － 2
44
②
⑤
3 － 3
77
13 － 5
1212
③
⑥
5 － 1
66
－12
5
Cuando hacemos restas con fracciones que tienen el
mismo denominador restamos los numeradores y los
denominadores quedan igual
Resta con fracciones
4 iquestCuaacutento maacutes grande es de litro de jugo que
de litro de leche Piensa coacutemo calcular la respuesta
7
8
4
8
7 － ＝8
4
8
O O O
5 Piensa coacutemo hariacuteas las siguientes restas4 －3
2
3－1
5
7②①
3 Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
Cocientes y fracciones
1 Si repartimos equitativamente 2 litros
de leche entre alumnos iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
2
2 2 2 2 2② Agrupa las expresiones de arriba en los siguientes grupos dependiendo
del tipo de resultado
Cocientes que sean nuacutemeros enteros
Cocientes que sean nuacutemeros decimales
Cocientes que contengan un nuacutemero indefinido de diacutegitos en su
parte decimal
23 es 0666 Este nuacutemero tiene una cantidad indefinida de diacutegitos en
su parte decimal
O O
（ ）（ ）（ ）
minus ＝
La diferencia es cuaacutentos
octavos maacutes hay
Analicemos coacutemo expresar el cociente de una divisioacuten cuando tiene un
nuacutemero indefinido de diacutegitos en su parte decimal
Leche 1l Leche 1l
1 l 1 l
1 l 1 l
1 l
3130
23＝
Cantidad para un alumno cuando 1 litro se divide en 3 partes iguales l
La cantidad para un alumno cuando se reparten 2 litros en 3 partes iguales l
31
31
2 iquestCuaacutentos metros mide cada tramo cuando una cuerda de 3 metros se
divide en 4 partes iguales
① Escribe una expresioacuten matemaacutetica para este problema
② iquestCuaacutel es la longitud de una parte
① 16 ② 58 ③ 43 ④ 97
Reescribe las siguientes divisiones como fracciones
34＝
La divisioacuten de un nuacutemero entre otro
puede expresarse como una fraccioacuten ＝
0
0
0
1
1
2
2 3
41
m
m
m
(m)
(m)
(m)
1
Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
3 Si dividimos una cinta de 2 metros en 5 partes iguales iquestcuaacutentos metros
mediraacute cada una de esas partes
① Expresa el cociente de estas divisiones como una fraccioacuten y despueacutes
como nuacutemero decimal25＝
② Ubica en esta recta numeacuterica la fraccioacuten y tambieacuten su
valor decimal
Para expresar una fraccioacuten como nuacutemero decimal o como nuacutemero
entero dividimos el numerador entre el denominador
25＝
0 02
0
1
1
2
51
(m)
2 (m)
4 iquestQueacute cantidad es mayor iquest l o 07 litros3
5
5 Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales
3 ＝1 ＝855
8
5
29
100
3
10
＝
＝12412
4＝
②
③
①
④
14
24
34
3 ＝ 3 5 ＝5
＝
＝La divisioacuten puede expresarse
como una fraccioacuten
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l
l l
l
25
3332
podemos pensarlo como 19 veces y obtenemos
6 Veamos coacutemo expresar 2 y 5 como fracciones
＝ 23＝0666hellipaproximadamente 0672
3
2＝21＝ 5＝51＝
2＝42＝ 5＝102＝
2＝8 5＝30 ＝＝
2
1
4
2
Los nuacutemeros enteros pueden expresarse como fracciones
usando cualquier denominador
Muchos nuacutemeros decimales pueden expresarse como
fracciones si elegimos y como unidades
7 Expresa los nuacutemeros 019 y 17 como fracciones
① Como 019 es lo mismo que 19 veces 001
1
100
podemos pensarlo como 17 veces y obtenemos
② Como 17 es lo mismo que veces 01
Escribe en los los nuacutemeros decimales y las fracciones que faltan
1
100
1
10
8 Clasifica estas fracciones en los grupos que se indican
11
2
12
3
3
5
3
1
6
2
8
10
4
11
06 1251 27
20
Nuacutemeros enteros
Con un nuacutemero definido de diacutegitos decimales
Otro tipo de nuacutemeros decimales
Se facilita la comparacioacuten de fracciones si las expresamos como
nuacutemeros decimales
9 Dibuja una darr para indicar la posicioacuten de cada uno de los siguientes
nuacutemeros en la recta numeacuterica de abajo
4
5
3
4
2
3
Los nuacutemeros enteros los nuacutemeros decimales y las
fracciones pueden ubicarse en una recta numeacuterica Asiacute es
maacutes faacutecil compararlos
① 09 ② 125 ③ ④ ⑤
Ordena los siguientes nuacutemeros del mayor al menor1
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales como fracciones y las fracciones como
nuacutemeros decimales
2
13 0751
12
4
2
5
7
7
10
21
5
3
4
24
6
② ③ ④ ⑥⑤ ⑦①
Decimales
Fracciones
Escribamos en el de abajo los nuacutemeros decimales y fracciones que faltan
3534
① ② ③ ④
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimalest
paacutegina 31
Analiza los siguientes pares de fracciones y
en cada pareja encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten de mayor valor
paacutegina 25
7
8
5
8
8
3
8
5
2
3
6
9
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
1 ＋ 1
33
2 ＋ 3
55
5 ＋ 3
66
5 － 1
77
5 － 2
44
paacuteginas 26~28
① 17 ② 59 ③ 113
Expresa como fracciones las siguientes divisiones
paacutegina 30
5
10
31
100
18
6
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales
como fracciones
① 03 ② 19 ③ 061 ④ 111
paacutegina 32
Indica con una darr la posicioacuten en la recta numeacuterica
de cada uno de los siguientes nuacutemeros
1 07 18
paacutegina 33
1
2
5
7
5
71－
8
11
4
51
20
④ Piensa coacutemo calcular la
respuesta
iquestPodemos hacer operaciones con nuacutemeros mixtos
Realiza las siguientes operaciones
La familia de Masako bebe 1 litros de leche en la mantildeana y
litros de leche en la tarde
① iquestCuaacutentos litros de leche bebieron en total Escribe una operacioacuten que
represente esto
② Piensa coacutemo calcular la respuesta
③ iquestCuaacutenta leche bebieron maacutes en la
mantildeana respecto a la tarde Escribe
una operacioacuten que represente esto
1
2
35
45
3 ＋1 ＝ 15
45 5
3 －1 ＝545 5 － 4
5
＝
＝
2 ＋① 71
67
2 －1② 434
( ) ( ) ( )① ② ③
(grupo)
no puedo restar
(cambio)
2
3
4
5
6
① ② ③ ④ 06 ⑤ 012
Expresa las siguientes divisiones como fracciones
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales o como nuacutemeros
enteros y los nuacutemeros decimales como fracciones
1
2
16
81
15
Resuelve las siguientes operaciones
① ② ③ ④3 ＋ 2
66
5 ＋ 7
88
31－
5
4 － 3
88
Utiliza dos de las tarjetas y para crear
fracciones Clasifica las fracciones en tres grupos como se indica
Fracciones que pueden expresarse como nuacutemeros enteros
( )Fracciones que pueden expresarse como decimales con un nuacutemero
determinado de diacutegitos
( )Fracciones que no pueden expresarse como decimales con un
nuacutemero determinado de diacutegitos
( )
765434
bull iquestCuaacutel es el elemento que tienen en comuacuten las siguientes
fracciones
3 ＋ 4
55
3 ＋ 4
77＋3
10
4
10
3 ＋ 4
55
iquestCon queacute unidades debemos resolver las siguientes operaciones
para que se comporten como si calculaacuteramos 3＋4
① 03＋04 La unidad es
② 3000＋4000 La unidad es
③ La unidad es
1
3 ＋ 4
99
Encuentra otras operaciones cuyo proceso sea equivalente al que
realizamos con 3＋4
2
① 45 ② 69 ③ 208
Ir a la paacutegina 88
se resuelve sumando 3＋4 si pensamos como la unidad1
5
Entender la relacioacuten que hay entre la divisioacuten con enteros y las fracciones
Resolver sumas y restas con fracciones que tienen el mismo denominador
Expresar cantidades como nuacutemeros decimales como fracciones y como nuacutemeros enteros
Expresar fracciones como nuacutemeros decimales oacute nuacutemeros enteros
3736
Puedo pensar en caacutelculoscon nuacutemeros grandescomo cien millones y un trilloacuten
Puedo hacer muchos caacutelculos como esos usandofracciones con distintodenominador
iquestSeraacute posible iniciar elcaacutelculo con 3＋41
2
3
Ir a la paacutegina 37
38 39
Resuelve estas operaciones en la forma vertical
① 132 ② 5117 ③ 94
④ 1435 ⑤ 6946 ⑥ 3624
⑦ 6104 ⑧ 0805 ⑨ 0725
Haz estas divisiones encontrando el cociente hasta
nuacutemeros enteros e indica cuaacutel es el residuo
① 6117 ② 9706
Tenemos 135 Kg de arroz Si comemos 09 Kg en un diacutea
iquestcuaacutentos diacuteas podremos comer arroz
Escribe en el las medidas que faltan
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
① ②
③
5 cm
3 cm
①
Encuentra coacutemo calcular el aacuterea de estas figuras
①
Trapecio
②
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
3 ＋ 1
55
3 ＋ 1
44
5 ＋ 6
77
5 － 3
44
7 － 3
991
1－10
Cuaacutel es mayor iquest075 o
Necesitamos dividir equitativamente una cuerda de 3m
entre 8 alumnos iquestCuaacutentos metros de cuerda recibiraacute cada uno
8
35
4 cm
7 cm6 cm
5 cm
4 cm
8 cm
3 cm3 cm
3 cm
5 cm
②
paralelogramo
Triaacutengulo isoacutesceles
Paralelogramo
6
99
7
6
5
4
3
2
1
9
9
8
8
8
6
6
6
4140
① Discute con tus compantildeeros sobre la relacioacuten entre la distancia que
avanza cada ciacuterculo y la longitud de sus diaacutemetros
② Haz una estimacioacuten de cuaacutentos cm avanzaraacute en una vuelta un ciacuterculo
cuyo diaacutemetro mide 40cm y comprueba tu prediccioacuten
A la liacutenea curva que limita un ciacuterculo se le llama circunferencia A un segmento de esa curva se lellama arco
Analiza la relacioacuten que hay entre el diaacutemetro de un ciacuterculo y la longitud
de su circunferencia
Diaacutemetro y circunferencia
Analicemos la relacioacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro en
diferentes ciacuterculos
① Veamos algunas formas para medir circunferencias y diaacutemetros
1
Circunferencia（cm）
Diaacutemetro（cm） 10 20 30
Ciacuterculo Ciacuterculo Ciacuterculo Lata(longitud cinta)
② Anota los datos en la siguiente tabla
③ iquestExistiraacute una foacutermula para determinar la relacioacuten entre la
circunferencia y el diaacutemetro
Recorta un pedazo de cartoacuten para trazar los ciacuterculos y cuyos
diaacutemetros miden 10cm 20cm y 30cm respectivamente Despueacutes hazlos
rodar una vuelta completa y mide cuaacutento avanzan
Ciacuterculos
Cuando el diaacutemetro se duplica iquestQueacute tantose incrementa la circunferencia
iquestCuaacutentas veces cabe eldiaacutemetro en la circunferencia
Medida de la circunferencia Medida del diaacutemetro
1
4342
Circunferencia divide Diaacutemetro
10 20 30
Ciacuterculo de cartoacuten Lata Cinta de embalajeCiacuterculo de cartoacuten Ciacuterculo de cartoacuten
Circunferencia(cm）
Diaacutemetro(cm）
④ iquestCuaacutentas veces cabe el diaacutemetro en la circunferencia
Usa tus datos para calcular redondeando
al mileacutesimo maacutes cercano
ldquoCircunferencia divide Diaacutemetrordquo da el mismo resultado para
ciacuterculos de cualquier tamantildeo
A la divisioacuten Circunferencia divide Diaacutemetro se le llama razoacuten
entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro es 314159
Este es un nuacutemero que continuacutea indefinidamente Usualmente se
emplea la aproximacioacuten 314
iquestCuaacutentos centiacutemetros mide la circunferencia de un
ciacuterculo de 8cm de diaacutemetro
2
① Un ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide 15 cm ② Un ciacuterculo cuyo radio mide 25 cm
Calcula la circunferencia de los siguientes ciacuterculos
La circunferencia de una lata ciliacutendrica mide 628 cm
iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro de la lata
① Si el diaacutemetro de la lata es cm escribe una expresioacuten
matemaacutetica aplicando la foacutermula que utilizaste en
② iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro
de la lata
314＝628
3
Los datos de abajo son las longitudes de las circunferencias de
unos ciacuterculos Calcula el diaacutemetro de cada uno
iquestCuaacutentos metros mide el diaacutemetro del tronco de este aacuterbol
① 2826 cm ② 314 cm ③ 3768 cm
2
1
Esta fotografiacutea muestra una imagen
de una moneda antigua dibujada sobre
arena en la Ciudad de Kannonji en el
parque Kagawa La circunferencia de
esta moneda gigante es 345 m
Calcula su diaacutemetro redondeado al
deacutecimo maacutes cercano
2
Razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro = circunferencia divide diaacutemetro
Circunferencia＝Diaacutemetrotimes314
Se necesitan seis nintildeos con sus brazos estirados para
rodear el tronco del aacuterbol en un parque iquestCuaacutentos metros
mediraacute el diaacutemetro de este aacuterbol Los brazos de cada
nintildeo cubren una longitud aproximada de 14 metros
Calcula el diaacutemetro del tronco usando 3 como
valor aproximado para la razoacuten entre la circunferencia
y el diaacutemetro
4544
② Dividamos el ciacuterculo en 4
partes iguales y consideremos
soacutelo una parte
(1) iquestCuaacutentos cuadrados azules y
cuaacutentos color de rosa hay
(2) Observa los cuadrados
color de rosa a lo largo de la
circunferencia el aacuterea de cada
uno mide aproximadamente 05 cm2 iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este
cuarto de ciacuterculo
2 Aacuterea de un ciacuterculo
iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de un ciacuterculo cuyo radio mide 10 cm
Verifica la respuesta trazando ese ciacuterculo sobre papel cuadriculado
a una escala de 1 cm
1
1 cm1 cm
① iquestCoacutemo podemos verificar
que la respuesta es correcta
Piensa coacutemo calcular el aacuterea del ciacuterculo y coacutemo podriacutea ser una
foacutermula para hacer ese caacutelculo
10 cm
10 cm
Foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Piensa coacutemo calcular el aacuterea
de un ciacuterculo
2
Analiza el ciacuterculo
de la derecha
③ iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea del ciacuterculo entero
cuadrados azules 1 (cm2)
cuadrados color de rosa05 (cm2)
① Piensa como construir la foacutermula utilizando una figura que divida el
ciacuterculo en varias secciones iguales a partir del radioiquestQueacute deberiacuteamos
hacer con los cuadrados
que estaacuten parcialmente
cubiertosPara calcular el aacuterea de
paralelogramos y triaacutengulos los
transformamos en otras figuras
conocidas iquestRecuerdas
Hay foacutermulas para calcular
el aacuterea de rectaacutengulos y
triaacutengulos iquestHabraacute una
foacutermula para los
ciacuterculos
4746
② Platica con tus compantildeeros lo que has
pensado para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Analiza cuidadosamente las ideas de
estos tres alumnos
La idea de Takao
Yo divido un ciacuterculo en muchos
triaacutengulos pequentildeos
2 cm
Yo construyo un triaacutengulo con
las partes del ciacuterculo
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
La idea de Akiko
Yo construyo un paralelogramo con las partes del ciacuterculo
③ Piensa coacutemo construir una foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
usando las ideas de estos alumnos
④ Construye una foacutermula con base en la idea
de Akiko
Radio
Circunferenciadivide2
Circunferenciadivide2
RadioRadio
16 secciones iguales
32 secciones iguales
64 secciones igualesCircunferenciadivide2
Aacuterea del rectaacutengulo = largo x ancho
Aacuterea del ciacuterculo ＝ Circunferencia2
＝ radio diaacutemetro3142
＝ radio diaacutemetro2314
＝ radio 314
Mitad de la circunferencia
Radio
La idea de Yasuko
Diaacutemetro2＝Radio iquestde acuerdo
Si cortas un ciacuterculo en
secciones pequentildeas de
igual tamantildeo iquestqueacute figura
puedes formar
4948
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura 2
Aacuterea del ciacuterculo ＝circunferencia radio2
＝Diaacutemetro 314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
Circunferencia
Radio
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
Calcula el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con radio de 8 cm ② Un ciacuterculo con diaacutemetro de 12 cm
3
El diaacutemetro del ciacuterculo mide
4 cm y el del ciacuterculo mide 8 cm
① Encontrar la circunferencia y el
aacuterea de cada ciacuterculo
② El diaacutemetro de es dos
veces el diaacutemetro de
iquestCuaacutentas veces es mayor la
circunferencia y el aacuterea de
que de la circunferen-
cia y el aacuterea de
4
4 cm
A continuacioacuten te damos las medidas de las circunferencias de unos ciacuterculos
Calcula el radio y el aacuterea de cada uno
① 628 cm ② 1884 cm ③ 157 cm
⑥ Construyamos una foacutermula con base en la idea de Takao
Observa las figuras que construimos al dividir el ciacuterculo en 16 secciones
iguales que parecen triaacutengulos Todos estos ldquotriaacutengulosrdquo tienen la misma altura
si los combinamos podemos construir un ldquotriaacutengulordquo grande
El aacuterea de un ciacuterculo puede calcularse usando
la foacutermula Aacuterea ＝radio times radio times 314
8 cm
⑤ Construyamos una foacutermula con base en la idea
de Yasuko
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura2
Aacuterea del ciacuterculo ＝ circunferencia4 radio4 2
＝diaacutemetro314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
③ Si repartimos equitativamente 2 litros entre 3 alumnos
iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
Colorea la porcioacuten que
le toca a un alumno
iquestCuaacutentos litros es esa porcioacuten
① Realiza estas operaciones utilizando los nuacutemeros del 1 al 5 en el
2928
①
④
5 － 4
88
3 － 2
44
②
⑤
3 － 3
77
13 － 5
1212
③
⑥
5 － 1
66
－12
5
Cuando hacemos restas con fracciones que tienen el
mismo denominador restamos los numeradores y los
denominadores quedan igual
Resta con fracciones
4 iquestCuaacutento maacutes grande es de litro de jugo que
de litro de leche Piensa coacutemo calcular la respuesta
7
8
4
8
7 － ＝8
4
8
O O O
5 Piensa coacutemo hariacuteas las siguientes restas4 －3
2
3－1
5
7②①
3 Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
Cocientes y fracciones
1 Si repartimos equitativamente 2 litros
de leche entre alumnos iquestcuaacutentos litros recibiraacute cada uno
2
2 2 2 2 2② Agrupa las expresiones de arriba en los siguientes grupos dependiendo
del tipo de resultado
Cocientes que sean nuacutemeros enteros
Cocientes que sean nuacutemeros decimales
Cocientes que contengan un nuacutemero indefinido de diacutegitos en su
parte decimal
23 es 0666 Este nuacutemero tiene una cantidad indefinida de diacutegitos en
su parte decimal
O O
（ ）（ ）（ ）
minus ＝
La diferencia es cuaacutentos
octavos maacutes hay
Analicemos coacutemo expresar el cociente de una divisioacuten cuando tiene un
nuacutemero indefinido de diacutegitos en su parte decimal
Leche 1l Leche 1l
1 l 1 l
1 l 1 l
1 l
3130
23＝
Cantidad para un alumno cuando 1 litro se divide en 3 partes iguales l
La cantidad para un alumno cuando se reparten 2 litros en 3 partes iguales l
31
31
2 iquestCuaacutentos metros mide cada tramo cuando una cuerda de 3 metros se
divide en 4 partes iguales
① Escribe una expresioacuten matemaacutetica para este problema
② iquestCuaacutel es la longitud de una parte
① 16 ② 58 ③ 43 ④ 97
Reescribe las siguientes divisiones como fracciones
34＝
La divisioacuten de un nuacutemero entre otro
puede expresarse como una fraccioacuten ＝
0
0
0
1
1
2
2 3
41
m
m
m
(m)
(m)
(m)
1
Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
3 Si dividimos una cinta de 2 metros en 5 partes iguales iquestcuaacutentos metros
mediraacute cada una de esas partes
① Expresa el cociente de estas divisiones como una fraccioacuten y despueacutes
como nuacutemero decimal25＝
② Ubica en esta recta numeacuterica la fraccioacuten y tambieacuten su
valor decimal
Para expresar una fraccioacuten como nuacutemero decimal o como nuacutemero
entero dividimos el numerador entre el denominador
25＝
0 02
0
1
1
2
51
(m)
2 (m)
4 iquestQueacute cantidad es mayor iquest l o 07 litros3
5
5 Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales
3 ＝1 ＝855
8
5
29
100
3
10
＝
＝12412
4＝
②
③
①
④
14
24
34
3 ＝ 3 5 ＝5
＝
＝La divisioacuten puede expresarse
como una fraccioacuten
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l
l l
l
25
3332
podemos pensarlo como 19 veces y obtenemos
6 Veamos coacutemo expresar 2 y 5 como fracciones
＝ 23＝0666hellipaproximadamente 0672
3
2＝21＝ 5＝51＝
2＝42＝ 5＝102＝
2＝8 5＝30 ＝＝
2
1
4
2
Los nuacutemeros enteros pueden expresarse como fracciones
usando cualquier denominador
Muchos nuacutemeros decimales pueden expresarse como
fracciones si elegimos y como unidades
7 Expresa los nuacutemeros 019 y 17 como fracciones
① Como 019 es lo mismo que 19 veces 001
1
100
podemos pensarlo como 17 veces y obtenemos
② Como 17 es lo mismo que veces 01
Escribe en los los nuacutemeros decimales y las fracciones que faltan
1
100
1
10
8 Clasifica estas fracciones en los grupos que se indican
11
2
12
3
3
5
3
1
6
2
8
10
4
11
06 1251 27
20
Nuacutemeros enteros
Con un nuacutemero definido de diacutegitos decimales
Otro tipo de nuacutemeros decimales
Se facilita la comparacioacuten de fracciones si las expresamos como
nuacutemeros decimales
9 Dibuja una darr para indicar la posicioacuten de cada uno de los siguientes
nuacutemeros en la recta numeacuterica de abajo
4
5
3
4
2
3
Los nuacutemeros enteros los nuacutemeros decimales y las
fracciones pueden ubicarse en una recta numeacuterica Asiacute es
maacutes faacutecil compararlos
① 09 ② 125 ③ ④ ⑤
Ordena los siguientes nuacutemeros del mayor al menor1
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales como fracciones y las fracciones como
nuacutemeros decimales
2
13 0751
12
4
2
5
7
7
10
21
5
3
4
24
6
② ③ ④ ⑥⑤ ⑦①
Decimales
Fracciones
Escribamos en el de abajo los nuacutemeros decimales y fracciones que faltan
3534
① ② ③ ④
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimalest
paacutegina 31
Analiza los siguientes pares de fracciones y
en cada pareja encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten de mayor valor
paacutegina 25
7
8
5
8
8
3
8
5
2
3
6
9
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
1 ＋ 1
33
2 ＋ 3
55
5 ＋ 3
66
5 － 1
77
5 － 2
44
paacuteginas 26~28
① 17 ② 59 ③ 113
Expresa como fracciones las siguientes divisiones
paacutegina 30
5
10
31
100
18
6
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales
como fracciones
① 03 ② 19 ③ 061 ④ 111
paacutegina 32
Indica con una darr la posicioacuten en la recta numeacuterica
de cada uno de los siguientes nuacutemeros
1 07 18
paacutegina 33
1
2
5
7
5
71－
8
11
4
51
20
④ Piensa coacutemo calcular la
respuesta
iquestPodemos hacer operaciones con nuacutemeros mixtos
Realiza las siguientes operaciones
La familia de Masako bebe 1 litros de leche en la mantildeana y
litros de leche en la tarde
① iquestCuaacutentos litros de leche bebieron en total Escribe una operacioacuten que
represente esto
② Piensa coacutemo calcular la respuesta
③ iquestCuaacutenta leche bebieron maacutes en la
mantildeana respecto a la tarde Escribe
una operacioacuten que represente esto
1
2
35
45
3 ＋1 ＝ 15
45 5
3 －1 ＝545 5 － 4
5
＝
＝
2 ＋① 71
67
2 －1② 434
( ) ( ) ( )① ② ③
(grupo)
no puedo restar
(cambio)
2
3
4
5
6
① ② ③ ④ 06 ⑤ 012
Expresa las siguientes divisiones como fracciones
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales o como nuacutemeros
enteros y los nuacutemeros decimales como fracciones
1
2
16
81
15
Resuelve las siguientes operaciones
① ② ③ ④3 ＋ 2
66
5 ＋ 7
88
31－
5
4 － 3
88
Utiliza dos de las tarjetas y para crear
fracciones Clasifica las fracciones en tres grupos como se indica
Fracciones que pueden expresarse como nuacutemeros enteros
( )Fracciones que pueden expresarse como decimales con un nuacutemero
determinado de diacutegitos
( )Fracciones que no pueden expresarse como decimales con un
nuacutemero determinado de diacutegitos
( )
765434
bull iquestCuaacutel es el elemento que tienen en comuacuten las siguientes
fracciones
3 ＋ 4
55
3 ＋ 4
77＋3
10
4
10
3 ＋ 4
55
iquestCon queacute unidades debemos resolver las siguientes operaciones
para que se comporten como si calculaacuteramos 3＋4
① 03＋04 La unidad es
② 3000＋4000 La unidad es
③ La unidad es
1
3 ＋ 4
99
Encuentra otras operaciones cuyo proceso sea equivalente al que
realizamos con 3＋4
2
① 45 ② 69 ③ 208
Ir a la paacutegina 88
se resuelve sumando 3＋4 si pensamos como la unidad1
5
Entender la relacioacuten que hay entre la divisioacuten con enteros y las fracciones
Resolver sumas y restas con fracciones que tienen el mismo denominador
Expresar cantidades como nuacutemeros decimales como fracciones y como nuacutemeros enteros
Expresar fracciones como nuacutemeros decimales oacute nuacutemeros enteros
3736
Puedo pensar en caacutelculoscon nuacutemeros grandescomo cien millones y un trilloacuten
Puedo hacer muchos caacutelculos como esos usandofracciones con distintodenominador
iquestSeraacute posible iniciar elcaacutelculo con 3＋41
2
3
Ir a la paacutegina 37
38 39
Resuelve estas operaciones en la forma vertical
① 132 ② 5117 ③ 94
④ 1435 ⑤ 6946 ⑥ 3624
⑦ 6104 ⑧ 0805 ⑨ 0725
Haz estas divisiones encontrando el cociente hasta
nuacutemeros enteros e indica cuaacutel es el residuo
① 6117 ② 9706
Tenemos 135 Kg de arroz Si comemos 09 Kg en un diacutea
iquestcuaacutentos diacuteas podremos comer arroz
Escribe en el las medidas que faltan
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
① ②
③
5 cm
3 cm
①
Encuentra coacutemo calcular el aacuterea de estas figuras
①
Trapecio
②
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
3 ＋ 1
55
3 ＋ 1
44
5 ＋ 6
77
5 － 3
44
7 － 3
991
1－10
Cuaacutel es mayor iquest075 o
Necesitamos dividir equitativamente una cuerda de 3m
entre 8 alumnos iquestCuaacutentos metros de cuerda recibiraacute cada uno
8
35
4 cm
7 cm6 cm
5 cm
4 cm
8 cm
3 cm3 cm
3 cm
5 cm
②
paralelogramo
Triaacutengulo isoacutesceles
Paralelogramo
6
99
7
6
5
4
3
2
1
9
9
8
8
8
6
6
6
4140
① Discute con tus compantildeeros sobre la relacioacuten entre la distancia que
avanza cada ciacuterculo y la longitud de sus diaacutemetros
② Haz una estimacioacuten de cuaacutentos cm avanzaraacute en una vuelta un ciacuterculo
cuyo diaacutemetro mide 40cm y comprueba tu prediccioacuten
A la liacutenea curva que limita un ciacuterculo se le llama circunferencia A un segmento de esa curva se lellama arco
Analiza la relacioacuten que hay entre el diaacutemetro de un ciacuterculo y la longitud
de su circunferencia
Diaacutemetro y circunferencia
Analicemos la relacioacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro en
diferentes ciacuterculos
① Veamos algunas formas para medir circunferencias y diaacutemetros
1
Circunferencia（cm）
Diaacutemetro（cm） 10 20 30
Ciacuterculo Ciacuterculo Ciacuterculo Lata(longitud cinta)
② Anota los datos en la siguiente tabla
③ iquestExistiraacute una foacutermula para determinar la relacioacuten entre la
circunferencia y el diaacutemetro
Recorta un pedazo de cartoacuten para trazar los ciacuterculos y cuyos
diaacutemetros miden 10cm 20cm y 30cm respectivamente Despueacutes hazlos
rodar una vuelta completa y mide cuaacutento avanzan
Ciacuterculos
Cuando el diaacutemetro se duplica iquestQueacute tantose incrementa la circunferencia
iquestCuaacutentas veces cabe eldiaacutemetro en la circunferencia
Medida de la circunferencia Medida del diaacutemetro
1
4342
Circunferencia divide Diaacutemetro
10 20 30
Ciacuterculo de cartoacuten Lata Cinta de embalajeCiacuterculo de cartoacuten Ciacuterculo de cartoacuten
Circunferencia(cm）
Diaacutemetro(cm）
④ iquestCuaacutentas veces cabe el diaacutemetro en la circunferencia
Usa tus datos para calcular redondeando
al mileacutesimo maacutes cercano
ldquoCircunferencia divide Diaacutemetrordquo da el mismo resultado para
ciacuterculos de cualquier tamantildeo
A la divisioacuten Circunferencia divide Diaacutemetro se le llama razoacuten
entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro es 314159
Este es un nuacutemero que continuacutea indefinidamente Usualmente se
emplea la aproximacioacuten 314
iquestCuaacutentos centiacutemetros mide la circunferencia de un
ciacuterculo de 8cm de diaacutemetro
2
① Un ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide 15 cm ② Un ciacuterculo cuyo radio mide 25 cm
Calcula la circunferencia de los siguientes ciacuterculos
La circunferencia de una lata ciliacutendrica mide 628 cm
iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro de la lata
① Si el diaacutemetro de la lata es cm escribe una expresioacuten
matemaacutetica aplicando la foacutermula que utilizaste en
② iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro
de la lata
314＝628
3
Los datos de abajo son las longitudes de las circunferencias de
unos ciacuterculos Calcula el diaacutemetro de cada uno
iquestCuaacutentos metros mide el diaacutemetro del tronco de este aacuterbol
① 2826 cm ② 314 cm ③ 3768 cm
2
1
Esta fotografiacutea muestra una imagen
de una moneda antigua dibujada sobre
arena en la Ciudad de Kannonji en el
parque Kagawa La circunferencia de
esta moneda gigante es 345 m
Calcula su diaacutemetro redondeado al
deacutecimo maacutes cercano
2
Razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro = circunferencia divide diaacutemetro
Circunferencia＝Diaacutemetrotimes314
Se necesitan seis nintildeos con sus brazos estirados para
rodear el tronco del aacuterbol en un parque iquestCuaacutentos metros
mediraacute el diaacutemetro de este aacuterbol Los brazos de cada
nintildeo cubren una longitud aproximada de 14 metros
Calcula el diaacutemetro del tronco usando 3 como
valor aproximado para la razoacuten entre la circunferencia
y el diaacutemetro
4544
② Dividamos el ciacuterculo en 4
partes iguales y consideremos
soacutelo una parte
(1) iquestCuaacutentos cuadrados azules y
cuaacutentos color de rosa hay
(2) Observa los cuadrados
color de rosa a lo largo de la
circunferencia el aacuterea de cada
uno mide aproximadamente 05 cm2 iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este
cuarto de ciacuterculo
2 Aacuterea de un ciacuterculo
iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de un ciacuterculo cuyo radio mide 10 cm
Verifica la respuesta trazando ese ciacuterculo sobre papel cuadriculado
a una escala de 1 cm
1
1 cm1 cm
① iquestCoacutemo podemos verificar
que la respuesta es correcta
Piensa coacutemo calcular el aacuterea del ciacuterculo y coacutemo podriacutea ser una
foacutermula para hacer ese caacutelculo
10 cm
10 cm
Foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Piensa coacutemo calcular el aacuterea
de un ciacuterculo
2
Analiza el ciacuterculo
de la derecha
③ iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea del ciacuterculo entero
cuadrados azules 1 (cm2)
cuadrados color de rosa05 (cm2)
① Piensa como construir la foacutermula utilizando una figura que divida el
ciacuterculo en varias secciones iguales a partir del radioiquestQueacute deberiacuteamos
hacer con los cuadrados
que estaacuten parcialmente
cubiertosPara calcular el aacuterea de
paralelogramos y triaacutengulos los
transformamos en otras figuras
conocidas iquestRecuerdas
Hay foacutermulas para calcular
el aacuterea de rectaacutengulos y
triaacutengulos iquestHabraacute una
foacutermula para los
ciacuterculos
4746
② Platica con tus compantildeeros lo que has
pensado para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Analiza cuidadosamente las ideas de
estos tres alumnos
La idea de Takao
Yo divido un ciacuterculo en muchos
triaacutengulos pequentildeos
2 cm
Yo construyo un triaacutengulo con
las partes del ciacuterculo
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
La idea de Akiko
Yo construyo un paralelogramo con las partes del ciacuterculo
③ Piensa coacutemo construir una foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
usando las ideas de estos alumnos
④ Construye una foacutermula con base en la idea
de Akiko
Radio
Circunferenciadivide2
Circunferenciadivide2
RadioRadio
16 secciones iguales
32 secciones iguales
64 secciones igualesCircunferenciadivide2
Aacuterea del rectaacutengulo = largo x ancho
Aacuterea del ciacuterculo ＝ Circunferencia2
＝ radio diaacutemetro3142
＝ radio diaacutemetro2314
＝ radio 314
Mitad de la circunferencia
Radio
La idea de Yasuko
Diaacutemetro2＝Radio iquestde acuerdo
Si cortas un ciacuterculo en
secciones pequentildeas de
igual tamantildeo iquestqueacute figura
puedes formar
4948
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura 2
Aacuterea del ciacuterculo ＝circunferencia radio2
＝Diaacutemetro 314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
Circunferencia
Radio
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
Calcula el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con radio de 8 cm ② Un ciacuterculo con diaacutemetro de 12 cm
3
El diaacutemetro del ciacuterculo mide
4 cm y el del ciacuterculo mide 8 cm
① Encontrar la circunferencia y el
aacuterea de cada ciacuterculo
② El diaacutemetro de es dos
veces el diaacutemetro de
iquestCuaacutentas veces es mayor la
circunferencia y el aacuterea de
que de la circunferen-
cia y el aacuterea de
4
4 cm
A continuacioacuten te damos las medidas de las circunferencias de unos ciacuterculos
Calcula el radio y el aacuterea de cada uno
① 628 cm ② 1884 cm ③ 157 cm
⑥ Construyamos una foacutermula con base en la idea de Takao
Observa las figuras que construimos al dividir el ciacuterculo en 16 secciones
iguales que parecen triaacutengulos Todos estos ldquotriaacutengulosrdquo tienen la misma altura
si los combinamos podemos construir un ldquotriaacutengulordquo grande
El aacuterea de un ciacuterculo puede calcularse usando
la foacutermula Aacuterea ＝radio times radio times 314
8 cm
⑤ Construyamos una foacutermula con base en la idea
de Yasuko
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura2
Aacuterea del ciacuterculo ＝ circunferencia4 radio4 2
＝diaacutemetro314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
3130
23＝
Cantidad para un alumno cuando 1 litro se divide en 3 partes iguales l
La cantidad para un alumno cuando se reparten 2 litros en 3 partes iguales l
31
31
2 iquestCuaacutentos metros mide cada tramo cuando una cuerda de 3 metros se
divide en 4 partes iguales
① Escribe una expresioacuten matemaacutetica para este problema
② iquestCuaacutel es la longitud de una parte
① 16 ② 58 ③ 43 ④ 97
Reescribe las siguientes divisiones como fracciones
34＝
La divisioacuten de un nuacutemero entre otro
puede expresarse como una fraccioacuten ＝
0
0
0
1
1
2
2 3
41
m
m
m
(m)
(m)
(m)
1
Fracciones nuacutemeros decimales y nuacutemeros enteros
3 Si dividimos una cinta de 2 metros en 5 partes iguales iquestcuaacutentos metros
mediraacute cada una de esas partes
① Expresa el cociente de estas divisiones como una fraccioacuten y despueacutes
como nuacutemero decimal25＝
② Ubica en esta recta numeacuterica la fraccioacuten y tambieacuten su
valor decimal
Para expresar una fraccioacuten como nuacutemero decimal o como nuacutemero
entero dividimos el numerador entre el denominador
25＝
0 02
0
1
1
2
51
(m)
2 (m)
4 iquestQueacute cantidad es mayor iquest l o 07 litros3
5
5 Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales
3 ＝1 ＝855
8
5
29
100
3
10
＝
＝12412
4＝
②
③
①
④
14
24
34
3 ＝ 3 5 ＝5
＝
＝La divisioacuten puede expresarse
como una fraccioacuten
1 l 1 l 1 l
1 l 1 l
l l
l
25
3332
podemos pensarlo como 19 veces y obtenemos
6 Veamos coacutemo expresar 2 y 5 como fracciones
＝ 23＝0666hellipaproximadamente 0672
3
2＝21＝ 5＝51＝
2＝42＝ 5＝102＝
2＝8 5＝30 ＝＝
2
1
4
2
Los nuacutemeros enteros pueden expresarse como fracciones
usando cualquier denominador
Muchos nuacutemeros decimales pueden expresarse como
fracciones si elegimos y como unidades
7 Expresa los nuacutemeros 019 y 17 como fracciones
① Como 019 es lo mismo que 19 veces 001
1
100
podemos pensarlo como 17 veces y obtenemos
② Como 17 es lo mismo que veces 01
Escribe en los los nuacutemeros decimales y las fracciones que faltan
1
100
1
10
8 Clasifica estas fracciones en los grupos que se indican
11
2
12
3
3
5
3
1
6
2
8
10
4
11
06 1251 27
20
Nuacutemeros enteros
Con un nuacutemero definido de diacutegitos decimales
Otro tipo de nuacutemeros decimales
Se facilita la comparacioacuten de fracciones si las expresamos como
nuacutemeros decimales
9 Dibuja una darr para indicar la posicioacuten de cada uno de los siguientes
nuacutemeros en la recta numeacuterica de abajo
4
5
3
4
2
3
Los nuacutemeros enteros los nuacutemeros decimales y las
fracciones pueden ubicarse en una recta numeacuterica Asiacute es
maacutes faacutecil compararlos
① 09 ② 125 ③ ④ ⑤
Ordena los siguientes nuacutemeros del mayor al menor1
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales como fracciones y las fracciones como
nuacutemeros decimales
2
13 0751
12
4
2
5
7
7
10
21
5
3
4
24
6
② ③ ④ ⑥⑤ ⑦①
Decimales
Fracciones
Escribamos en el de abajo los nuacutemeros decimales y fracciones que faltan
3534
① ② ③ ④
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimalest
paacutegina 31
Analiza los siguientes pares de fracciones y
en cada pareja encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten de mayor valor
paacutegina 25
7
8
5
8
8
3
8
5
2
3
6
9
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
1 ＋ 1
33
2 ＋ 3
55
5 ＋ 3
66
5 － 1
77
5 － 2
44
paacuteginas 26~28
① 17 ② 59 ③ 113
Expresa como fracciones las siguientes divisiones
paacutegina 30
5
10
31
100
18
6
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales
como fracciones
① 03 ② 19 ③ 061 ④ 111
paacutegina 32
Indica con una darr la posicioacuten en la recta numeacuterica
de cada uno de los siguientes nuacutemeros
1 07 18
paacutegina 33
1
2
5
7
5
71－
8
11
4
51
20
④ Piensa coacutemo calcular la
respuesta
iquestPodemos hacer operaciones con nuacutemeros mixtos
Realiza las siguientes operaciones
La familia de Masako bebe 1 litros de leche en la mantildeana y
litros de leche en la tarde
① iquestCuaacutentos litros de leche bebieron en total Escribe una operacioacuten que
represente esto
② Piensa coacutemo calcular la respuesta
③ iquestCuaacutenta leche bebieron maacutes en la
mantildeana respecto a la tarde Escribe
una operacioacuten que represente esto
1
2
35
45
3 ＋1 ＝ 15
45 5
3 －1 ＝545 5 － 4
5
＝
＝
2 ＋① 71
67
2 －1② 434
( ) ( ) ( )① ② ③
(grupo)
no puedo restar
(cambio)
2
3
4
5
6
① ② ③ ④ 06 ⑤ 012
Expresa las siguientes divisiones como fracciones
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales o como nuacutemeros
enteros y los nuacutemeros decimales como fracciones
1
2
16
81
15
Resuelve las siguientes operaciones
① ② ③ ④3 ＋ 2
66
5 ＋ 7
88
31－
5
4 － 3
88
Utiliza dos de las tarjetas y para crear
fracciones Clasifica las fracciones en tres grupos como se indica
Fracciones que pueden expresarse como nuacutemeros enteros
( )Fracciones que pueden expresarse como decimales con un nuacutemero
determinado de diacutegitos
( )Fracciones que no pueden expresarse como decimales con un
nuacutemero determinado de diacutegitos
( )
765434
bull iquestCuaacutel es el elemento que tienen en comuacuten las siguientes
fracciones
3 ＋ 4
55
3 ＋ 4
77＋3
10
4
10
3 ＋ 4
55
iquestCon queacute unidades debemos resolver las siguientes operaciones
para que se comporten como si calculaacuteramos 3＋4
① 03＋04 La unidad es
② 3000＋4000 La unidad es
③ La unidad es
1
3 ＋ 4
99
Encuentra otras operaciones cuyo proceso sea equivalente al que
realizamos con 3＋4
2
① 45 ② 69 ③ 208
Ir a la paacutegina 88
se resuelve sumando 3＋4 si pensamos como la unidad1
5
Entender la relacioacuten que hay entre la divisioacuten con enteros y las fracciones
Resolver sumas y restas con fracciones que tienen el mismo denominador
Expresar cantidades como nuacutemeros decimales como fracciones y como nuacutemeros enteros
Expresar fracciones como nuacutemeros decimales oacute nuacutemeros enteros
3736
Puedo pensar en caacutelculoscon nuacutemeros grandescomo cien millones y un trilloacuten
Puedo hacer muchos caacutelculos como esos usandofracciones con distintodenominador
iquestSeraacute posible iniciar elcaacutelculo con 3＋41
2
3
Ir a la paacutegina 37
38 39
Resuelve estas operaciones en la forma vertical
① 132 ② 5117 ③ 94
④ 1435 ⑤ 6946 ⑥ 3624
⑦ 6104 ⑧ 0805 ⑨ 0725
Haz estas divisiones encontrando el cociente hasta
nuacutemeros enteros e indica cuaacutel es el residuo
① 6117 ② 9706
Tenemos 135 Kg de arroz Si comemos 09 Kg en un diacutea
iquestcuaacutentos diacuteas podremos comer arroz
Escribe en el las medidas que faltan
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
① ②
③
5 cm
3 cm
①
Encuentra coacutemo calcular el aacuterea de estas figuras
①
Trapecio
②
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
3 ＋ 1
55
3 ＋ 1
44
5 ＋ 6
77
5 － 3
44
7 － 3
991
1－10
Cuaacutel es mayor iquest075 o
Necesitamos dividir equitativamente una cuerda de 3m
entre 8 alumnos iquestCuaacutentos metros de cuerda recibiraacute cada uno
8
35
4 cm
7 cm6 cm
5 cm
4 cm
8 cm
3 cm3 cm
3 cm
5 cm
②
paralelogramo
Triaacutengulo isoacutesceles
Paralelogramo
6
99
7
6
5
4
3
2
1
9
9
8
8
8
6
6
6
4140
① Discute con tus compantildeeros sobre la relacioacuten entre la distancia que
avanza cada ciacuterculo y la longitud de sus diaacutemetros
② Haz una estimacioacuten de cuaacutentos cm avanzaraacute en una vuelta un ciacuterculo
cuyo diaacutemetro mide 40cm y comprueba tu prediccioacuten
A la liacutenea curva que limita un ciacuterculo se le llama circunferencia A un segmento de esa curva se lellama arco
Analiza la relacioacuten que hay entre el diaacutemetro de un ciacuterculo y la longitud
de su circunferencia
Diaacutemetro y circunferencia
Analicemos la relacioacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro en
diferentes ciacuterculos
① Veamos algunas formas para medir circunferencias y diaacutemetros
1
Circunferencia（cm）
Diaacutemetro（cm） 10 20 30
Ciacuterculo Ciacuterculo Ciacuterculo Lata(longitud cinta)
② Anota los datos en la siguiente tabla
③ iquestExistiraacute una foacutermula para determinar la relacioacuten entre la
circunferencia y el diaacutemetro
Recorta un pedazo de cartoacuten para trazar los ciacuterculos y cuyos
diaacutemetros miden 10cm 20cm y 30cm respectivamente Despueacutes hazlos
rodar una vuelta completa y mide cuaacutento avanzan
Ciacuterculos
Cuando el diaacutemetro se duplica iquestQueacute tantose incrementa la circunferencia
iquestCuaacutentas veces cabe eldiaacutemetro en la circunferencia
Medida de la circunferencia Medida del diaacutemetro
1
4342
Circunferencia divide Diaacutemetro
10 20 30
Ciacuterculo de cartoacuten Lata Cinta de embalajeCiacuterculo de cartoacuten Ciacuterculo de cartoacuten
Circunferencia(cm）
Diaacutemetro(cm）
④ iquestCuaacutentas veces cabe el diaacutemetro en la circunferencia
Usa tus datos para calcular redondeando
al mileacutesimo maacutes cercano
ldquoCircunferencia divide Diaacutemetrordquo da el mismo resultado para
ciacuterculos de cualquier tamantildeo
A la divisioacuten Circunferencia divide Diaacutemetro se le llama razoacuten
entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro es 314159
Este es un nuacutemero que continuacutea indefinidamente Usualmente se
emplea la aproximacioacuten 314
iquestCuaacutentos centiacutemetros mide la circunferencia de un
ciacuterculo de 8cm de diaacutemetro
2
① Un ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide 15 cm ② Un ciacuterculo cuyo radio mide 25 cm
Calcula la circunferencia de los siguientes ciacuterculos
La circunferencia de una lata ciliacutendrica mide 628 cm
iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro de la lata
① Si el diaacutemetro de la lata es cm escribe una expresioacuten
matemaacutetica aplicando la foacutermula que utilizaste en
② iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro
de la lata
314＝628
3
Los datos de abajo son las longitudes de las circunferencias de
unos ciacuterculos Calcula el diaacutemetro de cada uno
iquestCuaacutentos metros mide el diaacutemetro del tronco de este aacuterbol
① 2826 cm ② 314 cm ③ 3768 cm
2
1
Esta fotografiacutea muestra una imagen
de una moneda antigua dibujada sobre
arena en la Ciudad de Kannonji en el
parque Kagawa La circunferencia de
esta moneda gigante es 345 m
Calcula su diaacutemetro redondeado al
deacutecimo maacutes cercano
2
Razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro = circunferencia divide diaacutemetro
Circunferencia＝Diaacutemetrotimes314
Se necesitan seis nintildeos con sus brazos estirados para
rodear el tronco del aacuterbol en un parque iquestCuaacutentos metros
mediraacute el diaacutemetro de este aacuterbol Los brazos de cada
nintildeo cubren una longitud aproximada de 14 metros
Calcula el diaacutemetro del tronco usando 3 como
valor aproximado para la razoacuten entre la circunferencia
y el diaacutemetro
4544
② Dividamos el ciacuterculo en 4
partes iguales y consideremos
soacutelo una parte
(1) iquestCuaacutentos cuadrados azules y
cuaacutentos color de rosa hay
(2) Observa los cuadrados
color de rosa a lo largo de la
circunferencia el aacuterea de cada
uno mide aproximadamente 05 cm2 iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este
cuarto de ciacuterculo
2 Aacuterea de un ciacuterculo
iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de un ciacuterculo cuyo radio mide 10 cm
Verifica la respuesta trazando ese ciacuterculo sobre papel cuadriculado
a una escala de 1 cm
1
1 cm1 cm
① iquestCoacutemo podemos verificar
que la respuesta es correcta
Piensa coacutemo calcular el aacuterea del ciacuterculo y coacutemo podriacutea ser una
foacutermula para hacer ese caacutelculo
10 cm
10 cm
Foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Piensa coacutemo calcular el aacuterea
de un ciacuterculo
2
Analiza el ciacuterculo
de la derecha
③ iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea del ciacuterculo entero
cuadrados azules 1 (cm2)
cuadrados color de rosa05 (cm2)
① Piensa como construir la foacutermula utilizando una figura que divida el
ciacuterculo en varias secciones iguales a partir del radioiquestQueacute deberiacuteamos
hacer con los cuadrados
que estaacuten parcialmente
cubiertosPara calcular el aacuterea de
paralelogramos y triaacutengulos los
transformamos en otras figuras
conocidas iquestRecuerdas
Hay foacutermulas para calcular
el aacuterea de rectaacutengulos y
triaacutengulos iquestHabraacute una
foacutermula para los
ciacuterculos
4746
② Platica con tus compantildeeros lo que has
pensado para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Analiza cuidadosamente las ideas de
estos tres alumnos
La idea de Takao
Yo divido un ciacuterculo en muchos
triaacutengulos pequentildeos
2 cm
Yo construyo un triaacutengulo con
las partes del ciacuterculo
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
La idea de Akiko
Yo construyo un paralelogramo con las partes del ciacuterculo
③ Piensa coacutemo construir una foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
usando las ideas de estos alumnos
④ Construye una foacutermula con base en la idea
de Akiko
Radio
Circunferenciadivide2
Circunferenciadivide2
RadioRadio
16 secciones iguales
32 secciones iguales
64 secciones igualesCircunferenciadivide2
Aacuterea del rectaacutengulo = largo x ancho
Aacuterea del ciacuterculo ＝ Circunferencia2
＝ radio diaacutemetro3142
＝ radio diaacutemetro2314
＝ radio 314
Mitad de la circunferencia
Radio
La idea de Yasuko
Diaacutemetro2＝Radio iquestde acuerdo
Si cortas un ciacuterculo en
secciones pequentildeas de
igual tamantildeo iquestqueacute figura
puedes formar
4948
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura 2
Aacuterea del ciacuterculo ＝circunferencia radio2
＝Diaacutemetro 314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
Circunferencia
Radio
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
Calcula el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con radio de 8 cm ② Un ciacuterculo con diaacutemetro de 12 cm
3
El diaacutemetro del ciacuterculo mide
4 cm y el del ciacuterculo mide 8 cm
① Encontrar la circunferencia y el
aacuterea de cada ciacuterculo
② El diaacutemetro de es dos
veces el diaacutemetro de
iquestCuaacutentas veces es mayor la
circunferencia y el aacuterea de
que de la circunferen-
cia y el aacuterea de
4
4 cm
A continuacioacuten te damos las medidas de las circunferencias de unos ciacuterculos
Calcula el radio y el aacuterea de cada uno
① 628 cm ② 1884 cm ③ 157 cm
⑥ Construyamos una foacutermula con base en la idea de Takao
Observa las figuras que construimos al dividir el ciacuterculo en 16 secciones
iguales que parecen triaacutengulos Todos estos ldquotriaacutengulosrdquo tienen la misma altura
si los combinamos podemos construir un ldquotriaacutengulordquo grande
El aacuterea de un ciacuterculo puede calcularse usando
la foacutermula Aacuterea ＝radio times radio times 314
8 cm
⑤ Construyamos una foacutermula con base en la idea
de Yasuko
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura2
Aacuterea del ciacuterculo ＝ circunferencia4 radio4 2
＝diaacutemetro314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
3332
podemos pensarlo como 19 veces y obtenemos
6 Veamos coacutemo expresar 2 y 5 como fracciones
＝ 23＝0666hellipaproximadamente 0672
3
2＝21＝ 5＝51＝
2＝42＝ 5＝102＝
2＝8 5＝30 ＝＝
2
1
4
2
Los nuacutemeros enteros pueden expresarse como fracciones
usando cualquier denominador
Muchos nuacutemeros decimales pueden expresarse como
fracciones si elegimos y como unidades
7 Expresa los nuacutemeros 019 y 17 como fracciones
① Como 019 es lo mismo que 19 veces 001
1
100
podemos pensarlo como 17 veces y obtenemos
② Como 17 es lo mismo que veces 01
Escribe en los los nuacutemeros decimales y las fracciones que faltan
1
100
1
10
8 Clasifica estas fracciones en los grupos que se indican
11
2
12
3
3
5
3
1
6
2
8
10
4
11
06 1251 27
20
Nuacutemeros enteros
Con un nuacutemero definido de diacutegitos decimales
Otro tipo de nuacutemeros decimales
Se facilita la comparacioacuten de fracciones si las expresamos como
nuacutemeros decimales
9 Dibuja una darr para indicar la posicioacuten de cada uno de los siguientes
nuacutemeros en la recta numeacuterica de abajo
4
5
3
4
2
3
Los nuacutemeros enteros los nuacutemeros decimales y las
fracciones pueden ubicarse en una recta numeacuterica Asiacute es
maacutes faacutecil compararlos
① 09 ② 125 ③ ④ ⑤
Ordena los siguientes nuacutemeros del mayor al menor1
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales como fracciones y las fracciones como
nuacutemeros decimales
2
13 0751
12
4
2
5
7
7
10
21
5
3
4
24
6
② ③ ④ ⑥⑤ ⑦①
Decimales
Fracciones
Escribamos en el de abajo los nuacutemeros decimales y fracciones que faltan
3534
① ② ③ ④
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimalest
paacutegina 31
Analiza los siguientes pares de fracciones y
en cada pareja encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten de mayor valor
paacutegina 25
7
8
5
8
8
3
8
5
2
3
6
9
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
1 ＋ 1
33
2 ＋ 3
55
5 ＋ 3
66
5 － 1
77
5 － 2
44
paacuteginas 26~28
① 17 ② 59 ③ 113
Expresa como fracciones las siguientes divisiones
paacutegina 30
5
10
31
100
18
6
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales
como fracciones
① 03 ② 19 ③ 061 ④ 111
paacutegina 32
Indica con una darr la posicioacuten en la recta numeacuterica
de cada uno de los siguientes nuacutemeros
1 07 18
paacutegina 33
1
2
5
7
5
71－
8
11
4
51
20
④ Piensa coacutemo calcular la
respuesta
iquestPodemos hacer operaciones con nuacutemeros mixtos
Realiza las siguientes operaciones
La familia de Masako bebe 1 litros de leche en la mantildeana y
litros de leche en la tarde
① iquestCuaacutentos litros de leche bebieron en total Escribe una operacioacuten que
represente esto
② Piensa coacutemo calcular la respuesta
③ iquestCuaacutenta leche bebieron maacutes en la
mantildeana respecto a la tarde Escribe
una operacioacuten que represente esto
1
2
35
45
3 ＋1 ＝ 15
45 5
3 －1 ＝545 5 － 4
5
＝
＝
2 ＋① 71
67
2 －1② 434
( ) ( ) ( )① ② ③
(grupo)
no puedo restar
(cambio)
2
3
4
5
6
① ② ③ ④ 06 ⑤ 012
Expresa las siguientes divisiones como fracciones
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales o como nuacutemeros
enteros y los nuacutemeros decimales como fracciones
1
2
16
81
15
Resuelve las siguientes operaciones
① ② ③ ④3 ＋ 2
66
5 ＋ 7
88
31－
5
4 － 3
88
Utiliza dos de las tarjetas y para crear
fracciones Clasifica las fracciones en tres grupos como se indica
Fracciones que pueden expresarse como nuacutemeros enteros
( )Fracciones que pueden expresarse como decimales con un nuacutemero
determinado de diacutegitos
( )Fracciones que no pueden expresarse como decimales con un
nuacutemero determinado de diacutegitos
( )
765434
bull iquestCuaacutel es el elemento que tienen en comuacuten las siguientes
fracciones
3 ＋ 4
55
3 ＋ 4
77＋3
10
4
10
3 ＋ 4
55
iquestCon queacute unidades debemos resolver las siguientes operaciones
para que se comporten como si calculaacuteramos 3＋4
① 03＋04 La unidad es
② 3000＋4000 La unidad es
③ La unidad es
1
3 ＋ 4
99
Encuentra otras operaciones cuyo proceso sea equivalente al que
realizamos con 3＋4
2
① 45 ② 69 ③ 208
Ir a la paacutegina 88
se resuelve sumando 3＋4 si pensamos como la unidad1
5
Entender la relacioacuten que hay entre la divisioacuten con enteros y las fracciones
Resolver sumas y restas con fracciones que tienen el mismo denominador
Expresar cantidades como nuacutemeros decimales como fracciones y como nuacutemeros enteros
Expresar fracciones como nuacutemeros decimales oacute nuacutemeros enteros
3736
Puedo pensar en caacutelculoscon nuacutemeros grandescomo cien millones y un trilloacuten
Puedo hacer muchos caacutelculos como esos usandofracciones con distintodenominador
iquestSeraacute posible iniciar elcaacutelculo con 3＋41
2
3
Ir a la paacutegina 37
38 39
Resuelve estas operaciones en la forma vertical
① 132 ② 5117 ③ 94
④ 1435 ⑤ 6946 ⑥ 3624
⑦ 6104 ⑧ 0805 ⑨ 0725
Haz estas divisiones encontrando el cociente hasta
nuacutemeros enteros e indica cuaacutel es el residuo
① 6117 ② 9706
Tenemos 135 Kg de arroz Si comemos 09 Kg en un diacutea
iquestcuaacutentos diacuteas podremos comer arroz
Escribe en el las medidas que faltan
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
① ②
③
5 cm
3 cm
①
Encuentra coacutemo calcular el aacuterea de estas figuras
①
Trapecio
②
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
3 ＋ 1
55
3 ＋ 1
44
5 ＋ 6
77
5 － 3
44
7 － 3
991
1－10
Cuaacutel es mayor iquest075 o
Necesitamos dividir equitativamente una cuerda de 3m
entre 8 alumnos iquestCuaacutentos metros de cuerda recibiraacute cada uno
8
35
4 cm
7 cm6 cm
5 cm
4 cm
8 cm
3 cm3 cm
3 cm
5 cm
②
paralelogramo
Triaacutengulo isoacutesceles
Paralelogramo
6
99
7
6
5
4
3
2
1
9
9
8
8
8
6
6
6
4140
① Discute con tus compantildeeros sobre la relacioacuten entre la distancia que
avanza cada ciacuterculo y la longitud de sus diaacutemetros
② Haz una estimacioacuten de cuaacutentos cm avanzaraacute en una vuelta un ciacuterculo
cuyo diaacutemetro mide 40cm y comprueba tu prediccioacuten
A la liacutenea curva que limita un ciacuterculo se le llama circunferencia A un segmento de esa curva se lellama arco
Analiza la relacioacuten que hay entre el diaacutemetro de un ciacuterculo y la longitud
de su circunferencia
Diaacutemetro y circunferencia
Analicemos la relacioacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro en
diferentes ciacuterculos
① Veamos algunas formas para medir circunferencias y diaacutemetros
1
Circunferencia（cm）
Diaacutemetro（cm） 10 20 30
Ciacuterculo Ciacuterculo Ciacuterculo Lata(longitud cinta)
② Anota los datos en la siguiente tabla
③ iquestExistiraacute una foacutermula para determinar la relacioacuten entre la
circunferencia y el diaacutemetro
Recorta un pedazo de cartoacuten para trazar los ciacuterculos y cuyos
diaacutemetros miden 10cm 20cm y 30cm respectivamente Despueacutes hazlos
rodar una vuelta completa y mide cuaacutento avanzan
Ciacuterculos
Cuando el diaacutemetro se duplica iquestQueacute tantose incrementa la circunferencia
iquestCuaacutentas veces cabe eldiaacutemetro en la circunferencia
Medida de la circunferencia Medida del diaacutemetro
1
4342
Circunferencia divide Diaacutemetro
10 20 30
Ciacuterculo de cartoacuten Lata Cinta de embalajeCiacuterculo de cartoacuten Ciacuterculo de cartoacuten
Circunferencia(cm）
Diaacutemetro(cm）
④ iquestCuaacutentas veces cabe el diaacutemetro en la circunferencia
Usa tus datos para calcular redondeando
al mileacutesimo maacutes cercano
ldquoCircunferencia divide Diaacutemetrordquo da el mismo resultado para
ciacuterculos de cualquier tamantildeo
A la divisioacuten Circunferencia divide Diaacutemetro se le llama razoacuten
entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro es 314159
Este es un nuacutemero que continuacutea indefinidamente Usualmente se
emplea la aproximacioacuten 314
iquestCuaacutentos centiacutemetros mide la circunferencia de un
ciacuterculo de 8cm de diaacutemetro
2
① Un ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide 15 cm ② Un ciacuterculo cuyo radio mide 25 cm
Calcula la circunferencia de los siguientes ciacuterculos
La circunferencia de una lata ciliacutendrica mide 628 cm
iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro de la lata
① Si el diaacutemetro de la lata es cm escribe una expresioacuten
matemaacutetica aplicando la foacutermula que utilizaste en
② iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro
de la lata
314＝628
3
Los datos de abajo son las longitudes de las circunferencias de
unos ciacuterculos Calcula el diaacutemetro de cada uno
iquestCuaacutentos metros mide el diaacutemetro del tronco de este aacuterbol
① 2826 cm ② 314 cm ③ 3768 cm
2
1
Esta fotografiacutea muestra una imagen
de una moneda antigua dibujada sobre
arena en la Ciudad de Kannonji en el
parque Kagawa La circunferencia de
esta moneda gigante es 345 m
Calcula su diaacutemetro redondeado al
deacutecimo maacutes cercano
2
Razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro = circunferencia divide diaacutemetro
Circunferencia＝Diaacutemetrotimes314
Se necesitan seis nintildeos con sus brazos estirados para
rodear el tronco del aacuterbol en un parque iquestCuaacutentos metros
mediraacute el diaacutemetro de este aacuterbol Los brazos de cada
nintildeo cubren una longitud aproximada de 14 metros
Calcula el diaacutemetro del tronco usando 3 como
valor aproximado para la razoacuten entre la circunferencia
y el diaacutemetro
4544
② Dividamos el ciacuterculo en 4
partes iguales y consideremos
soacutelo una parte
(1) iquestCuaacutentos cuadrados azules y
cuaacutentos color de rosa hay
(2) Observa los cuadrados
color de rosa a lo largo de la
circunferencia el aacuterea de cada
uno mide aproximadamente 05 cm2 iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este
cuarto de ciacuterculo
2 Aacuterea de un ciacuterculo
iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de un ciacuterculo cuyo radio mide 10 cm
Verifica la respuesta trazando ese ciacuterculo sobre papel cuadriculado
a una escala de 1 cm
1
1 cm1 cm
① iquestCoacutemo podemos verificar
que la respuesta es correcta
Piensa coacutemo calcular el aacuterea del ciacuterculo y coacutemo podriacutea ser una
foacutermula para hacer ese caacutelculo
10 cm
10 cm
Foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Piensa coacutemo calcular el aacuterea
de un ciacuterculo
2
Analiza el ciacuterculo
de la derecha
③ iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea del ciacuterculo entero
cuadrados azules 1 (cm2)
cuadrados color de rosa05 (cm2)
① Piensa como construir la foacutermula utilizando una figura que divida el
ciacuterculo en varias secciones iguales a partir del radioiquestQueacute deberiacuteamos
hacer con los cuadrados
que estaacuten parcialmente
cubiertosPara calcular el aacuterea de
paralelogramos y triaacutengulos los
transformamos en otras figuras
conocidas iquestRecuerdas
Hay foacutermulas para calcular
el aacuterea de rectaacutengulos y
triaacutengulos iquestHabraacute una
foacutermula para los
ciacuterculos
4746
② Platica con tus compantildeeros lo que has
pensado para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Analiza cuidadosamente las ideas de
estos tres alumnos
La idea de Takao
Yo divido un ciacuterculo en muchos
triaacutengulos pequentildeos
2 cm
Yo construyo un triaacutengulo con
las partes del ciacuterculo
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
La idea de Akiko
Yo construyo un paralelogramo con las partes del ciacuterculo
③ Piensa coacutemo construir una foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
usando las ideas de estos alumnos
④ Construye una foacutermula con base en la idea
de Akiko
Radio
Circunferenciadivide2
Circunferenciadivide2
RadioRadio
16 secciones iguales
32 secciones iguales
64 secciones igualesCircunferenciadivide2
Aacuterea del rectaacutengulo = largo x ancho
Aacuterea del ciacuterculo ＝ Circunferencia2
＝ radio diaacutemetro3142
＝ radio diaacutemetro2314
＝ radio 314
Mitad de la circunferencia
Radio
La idea de Yasuko
Diaacutemetro2＝Radio iquestde acuerdo
Si cortas un ciacuterculo en
secciones pequentildeas de
igual tamantildeo iquestqueacute figura
puedes formar
4948
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura 2
Aacuterea del ciacuterculo ＝circunferencia radio2
＝Diaacutemetro 314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
Circunferencia
Radio
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
Calcula el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con radio de 8 cm ② Un ciacuterculo con diaacutemetro de 12 cm
3
El diaacutemetro del ciacuterculo mide
4 cm y el del ciacuterculo mide 8 cm
① Encontrar la circunferencia y el
aacuterea de cada ciacuterculo
② El diaacutemetro de es dos
veces el diaacutemetro de
iquestCuaacutentas veces es mayor la
circunferencia y el aacuterea de
que de la circunferen-
cia y el aacuterea de
4
4 cm
A continuacioacuten te damos las medidas de las circunferencias de unos ciacuterculos
Calcula el radio y el aacuterea de cada uno
① 628 cm ② 1884 cm ③ 157 cm
⑥ Construyamos una foacutermula con base en la idea de Takao
Observa las figuras que construimos al dividir el ciacuterculo en 16 secciones
iguales que parecen triaacutengulos Todos estos ldquotriaacutengulosrdquo tienen la misma altura
si los combinamos podemos construir un ldquotriaacutengulordquo grande
El aacuterea de un ciacuterculo puede calcularse usando
la foacutermula Aacuterea ＝radio times radio times 314
8 cm
⑤ Construyamos una foacutermula con base en la idea
de Yasuko
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura2
Aacuterea del ciacuterculo ＝ circunferencia4 radio4 2
＝diaacutemetro314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
3534
① ② ③ ④
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimalest
paacutegina 31
Analiza los siguientes pares de fracciones y
en cada pareja encierra en un ciacuterculo la fraccioacuten de mayor valor
paacutegina 25
7
8
5
8
8
3
8
5
2
3
6
9
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
1 ＋ 1
33
2 ＋ 3
55
5 ＋ 3
66
5 － 1
77
5 － 2
44
paacuteginas 26~28
① 17 ② 59 ③ 113
Expresa como fracciones las siguientes divisiones
paacutegina 30
5
10
31
100
18
6
Expresa los siguientes nuacutemeros decimales
como fracciones
① 03 ② 19 ③ 061 ④ 111
paacutegina 32
Indica con una darr la posicioacuten en la recta numeacuterica
de cada uno de los siguientes nuacutemeros
1 07 18
paacutegina 33
1
2
5
7
5
71－
8
11
4
51
20
④ Piensa coacutemo calcular la
respuesta
iquestPodemos hacer operaciones con nuacutemeros mixtos
Realiza las siguientes operaciones
La familia de Masako bebe 1 litros de leche en la mantildeana y
litros de leche en la tarde
① iquestCuaacutentos litros de leche bebieron en total Escribe una operacioacuten que
represente esto
② Piensa coacutemo calcular la respuesta
③ iquestCuaacutenta leche bebieron maacutes en la
mantildeana respecto a la tarde Escribe
una operacioacuten que represente esto
1
2
35
45
3 ＋1 ＝ 15
45 5
3 －1 ＝545 5 － 4
5
＝
＝
2 ＋① 71
67
2 －1② 434
( ) ( ) ( )① ② ③
(grupo)
no puedo restar
(cambio)
2
3
4
5
6
① ② ③ ④ 06 ⑤ 012
Expresa las siguientes divisiones como fracciones
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales o como nuacutemeros
enteros y los nuacutemeros decimales como fracciones
1
2
16
81
15
Resuelve las siguientes operaciones
① ② ③ ④3 ＋ 2
66
5 ＋ 7
88
31－
5
4 － 3
88
Utiliza dos de las tarjetas y para crear
fracciones Clasifica las fracciones en tres grupos como se indica
Fracciones que pueden expresarse como nuacutemeros enteros
( )Fracciones que pueden expresarse como decimales con un nuacutemero
determinado de diacutegitos
( )Fracciones que no pueden expresarse como decimales con un
nuacutemero determinado de diacutegitos
( )
765434
bull iquestCuaacutel es el elemento que tienen en comuacuten las siguientes
fracciones
3 ＋ 4
55
3 ＋ 4
77＋3
10
4
10
3 ＋ 4
55
iquestCon queacute unidades debemos resolver las siguientes operaciones
para que se comporten como si calculaacuteramos 3＋4
① 03＋04 La unidad es
② 3000＋4000 La unidad es
③ La unidad es
1
3 ＋ 4
99
Encuentra otras operaciones cuyo proceso sea equivalente al que
realizamos con 3＋4
2
① 45 ② 69 ③ 208
Ir a la paacutegina 88
se resuelve sumando 3＋4 si pensamos como la unidad1
5
Entender la relacioacuten que hay entre la divisioacuten con enteros y las fracciones
Resolver sumas y restas con fracciones que tienen el mismo denominador
Expresar cantidades como nuacutemeros decimales como fracciones y como nuacutemeros enteros
Expresar fracciones como nuacutemeros decimales oacute nuacutemeros enteros
3736
Puedo pensar en caacutelculoscon nuacutemeros grandescomo cien millones y un trilloacuten
Puedo hacer muchos caacutelculos como esos usandofracciones con distintodenominador
iquestSeraacute posible iniciar elcaacutelculo con 3＋41
2
3
Ir a la paacutegina 37
38 39
Resuelve estas operaciones en la forma vertical
① 132 ② 5117 ③ 94
④ 1435 ⑤ 6946 ⑥ 3624
⑦ 6104 ⑧ 0805 ⑨ 0725
Haz estas divisiones encontrando el cociente hasta
nuacutemeros enteros e indica cuaacutel es el residuo
① 6117 ② 9706
Tenemos 135 Kg de arroz Si comemos 09 Kg en un diacutea
iquestcuaacutentos diacuteas podremos comer arroz
Escribe en el las medidas que faltan
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
① ②
③
5 cm
3 cm
①
Encuentra coacutemo calcular el aacuterea de estas figuras
①
Trapecio
②
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
3 ＋ 1
55
3 ＋ 1
44
5 ＋ 6
77
5 － 3
44
7 － 3
991
1－10
Cuaacutel es mayor iquest075 o
Necesitamos dividir equitativamente una cuerda de 3m
entre 8 alumnos iquestCuaacutentos metros de cuerda recibiraacute cada uno
8
35
4 cm
7 cm6 cm
5 cm
4 cm
8 cm
3 cm3 cm
3 cm
5 cm
②
paralelogramo
Triaacutengulo isoacutesceles
Paralelogramo
6
99
7
6
5
4
3
2
1
9
9
8
8
8
6
6
6
4140
① Discute con tus compantildeeros sobre la relacioacuten entre la distancia que
avanza cada ciacuterculo y la longitud de sus diaacutemetros
② Haz una estimacioacuten de cuaacutentos cm avanzaraacute en una vuelta un ciacuterculo
cuyo diaacutemetro mide 40cm y comprueba tu prediccioacuten
A la liacutenea curva que limita un ciacuterculo se le llama circunferencia A un segmento de esa curva se lellama arco
Analiza la relacioacuten que hay entre el diaacutemetro de un ciacuterculo y la longitud
de su circunferencia
Diaacutemetro y circunferencia
Analicemos la relacioacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro en
diferentes ciacuterculos
① Veamos algunas formas para medir circunferencias y diaacutemetros
1
Circunferencia（cm）
Diaacutemetro（cm） 10 20 30
Ciacuterculo Ciacuterculo Ciacuterculo Lata(longitud cinta)
② Anota los datos en la siguiente tabla
③ iquestExistiraacute una foacutermula para determinar la relacioacuten entre la
circunferencia y el diaacutemetro
Recorta un pedazo de cartoacuten para trazar los ciacuterculos y cuyos
diaacutemetros miden 10cm 20cm y 30cm respectivamente Despueacutes hazlos
rodar una vuelta completa y mide cuaacutento avanzan
Ciacuterculos
Cuando el diaacutemetro se duplica iquestQueacute tantose incrementa la circunferencia
iquestCuaacutentas veces cabe eldiaacutemetro en la circunferencia
Medida de la circunferencia Medida del diaacutemetro
1
4342
Circunferencia divide Diaacutemetro
10 20 30
Ciacuterculo de cartoacuten Lata Cinta de embalajeCiacuterculo de cartoacuten Ciacuterculo de cartoacuten
Circunferencia(cm）
Diaacutemetro(cm）
④ iquestCuaacutentas veces cabe el diaacutemetro en la circunferencia
Usa tus datos para calcular redondeando
al mileacutesimo maacutes cercano
ldquoCircunferencia divide Diaacutemetrordquo da el mismo resultado para
ciacuterculos de cualquier tamantildeo
A la divisioacuten Circunferencia divide Diaacutemetro se le llama razoacuten
entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro es 314159
Este es un nuacutemero que continuacutea indefinidamente Usualmente se
emplea la aproximacioacuten 314
iquestCuaacutentos centiacutemetros mide la circunferencia de un
ciacuterculo de 8cm de diaacutemetro
2
① Un ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide 15 cm ② Un ciacuterculo cuyo radio mide 25 cm
Calcula la circunferencia de los siguientes ciacuterculos
La circunferencia de una lata ciliacutendrica mide 628 cm
iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro de la lata
① Si el diaacutemetro de la lata es cm escribe una expresioacuten
matemaacutetica aplicando la foacutermula que utilizaste en
② iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro
de la lata
314＝628
3
Los datos de abajo son las longitudes de las circunferencias de
unos ciacuterculos Calcula el diaacutemetro de cada uno
iquestCuaacutentos metros mide el diaacutemetro del tronco de este aacuterbol
① 2826 cm ② 314 cm ③ 3768 cm
2
1
Esta fotografiacutea muestra una imagen
de una moneda antigua dibujada sobre
arena en la Ciudad de Kannonji en el
parque Kagawa La circunferencia de
esta moneda gigante es 345 m
Calcula su diaacutemetro redondeado al
deacutecimo maacutes cercano
2
Razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro = circunferencia divide diaacutemetro
Circunferencia＝Diaacutemetrotimes314
Se necesitan seis nintildeos con sus brazos estirados para
rodear el tronco del aacuterbol en un parque iquestCuaacutentos metros
mediraacute el diaacutemetro de este aacuterbol Los brazos de cada
nintildeo cubren una longitud aproximada de 14 metros
Calcula el diaacutemetro del tronco usando 3 como
valor aproximado para la razoacuten entre la circunferencia
y el diaacutemetro
4544
② Dividamos el ciacuterculo en 4
partes iguales y consideremos
soacutelo una parte
(1) iquestCuaacutentos cuadrados azules y
cuaacutentos color de rosa hay
(2) Observa los cuadrados
color de rosa a lo largo de la
circunferencia el aacuterea de cada
uno mide aproximadamente 05 cm2 iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este
cuarto de ciacuterculo
2 Aacuterea de un ciacuterculo
iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de un ciacuterculo cuyo radio mide 10 cm
Verifica la respuesta trazando ese ciacuterculo sobre papel cuadriculado
a una escala de 1 cm
1
1 cm1 cm
① iquestCoacutemo podemos verificar
que la respuesta es correcta
Piensa coacutemo calcular el aacuterea del ciacuterculo y coacutemo podriacutea ser una
foacutermula para hacer ese caacutelculo
10 cm
10 cm
Foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Piensa coacutemo calcular el aacuterea
de un ciacuterculo
2
Analiza el ciacuterculo
de la derecha
③ iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea del ciacuterculo entero
cuadrados azules 1 (cm2)
cuadrados color de rosa05 (cm2)
① Piensa como construir la foacutermula utilizando una figura que divida el
ciacuterculo en varias secciones iguales a partir del radioiquestQueacute deberiacuteamos
hacer con los cuadrados
que estaacuten parcialmente
cubiertosPara calcular el aacuterea de
paralelogramos y triaacutengulos los
transformamos en otras figuras
conocidas iquestRecuerdas
Hay foacutermulas para calcular
el aacuterea de rectaacutengulos y
triaacutengulos iquestHabraacute una
foacutermula para los
ciacuterculos
4746
② Platica con tus compantildeeros lo que has
pensado para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Analiza cuidadosamente las ideas de
estos tres alumnos
La idea de Takao
Yo divido un ciacuterculo en muchos
triaacutengulos pequentildeos
2 cm
Yo construyo un triaacutengulo con
las partes del ciacuterculo
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
La idea de Akiko
Yo construyo un paralelogramo con las partes del ciacuterculo
③ Piensa coacutemo construir una foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
usando las ideas de estos alumnos
④ Construye una foacutermula con base en la idea
de Akiko
Radio
Circunferenciadivide2
Circunferenciadivide2
RadioRadio
16 secciones iguales
32 secciones iguales
64 secciones igualesCircunferenciadivide2
Aacuterea del rectaacutengulo = largo x ancho
Aacuterea del ciacuterculo ＝ Circunferencia2
＝ radio diaacutemetro3142
＝ radio diaacutemetro2314
＝ radio 314
Mitad de la circunferencia
Radio
La idea de Yasuko
Diaacutemetro2＝Radio iquestde acuerdo
Si cortas un ciacuterculo en
secciones pequentildeas de
igual tamantildeo iquestqueacute figura
puedes formar
4948
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura 2
Aacuterea del ciacuterculo ＝circunferencia radio2
＝Diaacutemetro 314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
Circunferencia
Radio
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
Calcula el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con radio de 8 cm ② Un ciacuterculo con diaacutemetro de 12 cm
3
El diaacutemetro del ciacuterculo mide
4 cm y el del ciacuterculo mide 8 cm
① Encontrar la circunferencia y el
aacuterea de cada ciacuterculo
② El diaacutemetro de es dos
veces el diaacutemetro de
iquestCuaacutentas veces es mayor la
circunferencia y el aacuterea de
que de la circunferen-
cia y el aacuterea de
4
4 cm
A continuacioacuten te damos las medidas de las circunferencias de unos ciacuterculos
Calcula el radio y el aacuterea de cada uno
① 628 cm ② 1884 cm ③ 157 cm
⑥ Construyamos una foacutermula con base en la idea de Takao
Observa las figuras que construimos al dividir el ciacuterculo en 16 secciones
iguales que parecen triaacutengulos Todos estos ldquotriaacutengulosrdquo tienen la misma altura
si los combinamos podemos construir un ldquotriaacutengulordquo grande
El aacuterea de un ciacuterculo puede calcularse usando
la foacutermula Aacuterea ＝radio times radio times 314
8 cm
⑤ Construyamos una foacutermula con base en la idea
de Yasuko
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura2
Aacuterea del ciacuterculo ＝ circunferencia4 radio4 2
＝diaacutemetro314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
① ② ③ ④ 06 ⑤ 012
Expresa las siguientes divisiones como fracciones
Expresa las siguientes fracciones como nuacutemeros decimales o como nuacutemeros
enteros y los nuacutemeros decimales como fracciones
1
2
16
81
15
Resuelve las siguientes operaciones
① ② ③ ④3 ＋ 2
66
5 ＋ 7
88
31－
5
4 － 3
88
Utiliza dos de las tarjetas y para crear
fracciones Clasifica las fracciones en tres grupos como se indica
Fracciones que pueden expresarse como nuacutemeros enteros
( )Fracciones que pueden expresarse como decimales con un nuacutemero
determinado de diacutegitos
( )Fracciones que no pueden expresarse como decimales con un
nuacutemero determinado de diacutegitos
( )
765434
bull iquestCuaacutel es el elemento que tienen en comuacuten las siguientes
fracciones
3 ＋ 4
55
3 ＋ 4
77＋3
10
4
10
3 ＋ 4
55
iquestCon queacute unidades debemos resolver las siguientes operaciones
para que se comporten como si calculaacuteramos 3＋4
① 03＋04 La unidad es
② 3000＋4000 La unidad es
③ La unidad es
1
3 ＋ 4
99
Encuentra otras operaciones cuyo proceso sea equivalente al que
realizamos con 3＋4
2
① 45 ② 69 ③ 208
Ir a la paacutegina 88
se resuelve sumando 3＋4 si pensamos como la unidad1
5
Entender la relacioacuten que hay entre la divisioacuten con enteros y las fracciones
Resolver sumas y restas con fracciones que tienen el mismo denominador
Expresar cantidades como nuacutemeros decimales como fracciones y como nuacutemeros enteros
Expresar fracciones como nuacutemeros decimales oacute nuacutemeros enteros
3736
Puedo pensar en caacutelculoscon nuacutemeros grandescomo cien millones y un trilloacuten
Puedo hacer muchos caacutelculos como esos usandofracciones con distintodenominador
iquestSeraacute posible iniciar elcaacutelculo con 3＋41
2
3
Ir a la paacutegina 37
38 39
Resuelve estas operaciones en la forma vertical
① 132 ② 5117 ③ 94
④ 1435 ⑤ 6946 ⑥ 3624
⑦ 6104 ⑧ 0805 ⑨ 0725
Haz estas divisiones encontrando el cociente hasta
nuacutemeros enteros e indica cuaacutel es el residuo
① 6117 ② 9706
Tenemos 135 Kg de arroz Si comemos 09 Kg en un diacutea
iquestcuaacutentos diacuteas podremos comer arroz
Escribe en el las medidas que faltan
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
① ②
③
5 cm
3 cm
①
Encuentra coacutemo calcular el aacuterea de estas figuras
①
Trapecio
②
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
3 ＋ 1
55
3 ＋ 1
44
5 ＋ 6
77
5 － 3
44
7 － 3
991
1－10
Cuaacutel es mayor iquest075 o
Necesitamos dividir equitativamente una cuerda de 3m
entre 8 alumnos iquestCuaacutentos metros de cuerda recibiraacute cada uno
8
35
4 cm
7 cm6 cm
5 cm
4 cm
8 cm
3 cm3 cm
3 cm
5 cm
②
paralelogramo
Triaacutengulo isoacutesceles
Paralelogramo
6
99
7
6
5
4
3
2
1
9
9
8
8
8
6
6
6
4140
① Discute con tus compantildeeros sobre la relacioacuten entre la distancia que
avanza cada ciacuterculo y la longitud de sus diaacutemetros
② Haz una estimacioacuten de cuaacutentos cm avanzaraacute en una vuelta un ciacuterculo
cuyo diaacutemetro mide 40cm y comprueba tu prediccioacuten
A la liacutenea curva que limita un ciacuterculo se le llama circunferencia A un segmento de esa curva se lellama arco
Analiza la relacioacuten que hay entre el diaacutemetro de un ciacuterculo y la longitud
de su circunferencia
Diaacutemetro y circunferencia
Analicemos la relacioacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro en
diferentes ciacuterculos
① Veamos algunas formas para medir circunferencias y diaacutemetros
1
Circunferencia（cm）
Diaacutemetro（cm） 10 20 30
Ciacuterculo Ciacuterculo Ciacuterculo Lata(longitud cinta)
② Anota los datos en la siguiente tabla
③ iquestExistiraacute una foacutermula para determinar la relacioacuten entre la
circunferencia y el diaacutemetro
Recorta un pedazo de cartoacuten para trazar los ciacuterculos y cuyos
diaacutemetros miden 10cm 20cm y 30cm respectivamente Despueacutes hazlos
rodar una vuelta completa y mide cuaacutento avanzan
Ciacuterculos
Cuando el diaacutemetro se duplica iquestQueacute tantose incrementa la circunferencia
iquestCuaacutentas veces cabe eldiaacutemetro en la circunferencia
Medida de la circunferencia Medida del diaacutemetro
1
4342
Circunferencia divide Diaacutemetro
10 20 30
Ciacuterculo de cartoacuten Lata Cinta de embalajeCiacuterculo de cartoacuten Ciacuterculo de cartoacuten
Circunferencia(cm）
Diaacutemetro(cm）
④ iquestCuaacutentas veces cabe el diaacutemetro en la circunferencia
Usa tus datos para calcular redondeando
al mileacutesimo maacutes cercano
ldquoCircunferencia divide Diaacutemetrordquo da el mismo resultado para
ciacuterculos de cualquier tamantildeo
A la divisioacuten Circunferencia divide Diaacutemetro se le llama razoacuten
entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro es 314159
Este es un nuacutemero que continuacutea indefinidamente Usualmente se
emplea la aproximacioacuten 314
iquestCuaacutentos centiacutemetros mide la circunferencia de un
ciacuterculo de 8cm de diaacutemetro
2
① Un ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide 15 cm ② Un ciacuterculo cuyo radio mide 25 cm
Calcula la circunferencia de los siguientes ciacuterculos
La circunferencia de una lata ciliacutendrica mide 628 cm
iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro de la lata
① Si el diaacutemetro de la lata es cm escribe una expresioacuten
matemaacutetica aplicando la foacutermula que utilizaste en
② iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro
de la lata
314＝628
3
Los datos de abajo son las longitudes de las circunferencias de
unos ciacuterculos Calcula el diaacutemetro de cada uno
iquestCuaacutentos metros mide el diaacutemetro del tronco de este aacuterbol
① 2826 cm ② 314 cm ③ 3768 cm
2
1
Esta fotografiacutea muestra una imagen
de una moneda antigua dibujada sobre
arena en la Ciudad de Kannonji en el
parque Kagawa La circunferencia de
esta moneda gigante es 345 m
Calcula su diaacutemetro redondeado al
deacutecimo maacutes cercano
2
Razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro = circunferencia divide diaacutemetro
Circunferencia＝Diaacutemetrotimes314
Se necesitan seis nintildeos con sus brazos estirados para
rodear el tronco del aacuterbol en un parque iquestCuaacutentos metros
mediraacute el diaacutemetro de este aacuterbol Los brazos de cada
nintildeo cubren una longitud aproximada de 14 metros
Calcula el diaacutemetro del tronco usando 3 como
valor aproximado para la razoacuten entre la circunferencia
y el diaacutemetro
4544
② Dividamos el ciacuterculo en 4
partes iguales y consideremos
soacutelo una parte
(1) iquestCuaacutentos cuadrados azules y
cuaacutentos color de rosa hay
(2) Observa los cuadrados
color de rosa a lo largo de la
circunferencia el aacuterea de cada
uno mide aproximadamente 05 cm2 iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este
cuarto de ciacuterculo
2 Aacuterea de un ciacuterculo
iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de un ciacuterculo cuyo radio mide 10 cm
Verifica la respuesta trazando ese ciacuterculo sobre papel cuadriculado
a una escala de 1 cm
1
1 cm1 cm
① iquestCoacutemo podemos verificar
que la respuesta es correcta
Piensa coacutemo calcular el aacuterea del ciacuterculo y coacutemo podriacutea ser una
foacutermula para hacer ese caacutelculo
10 cm
10 cm
Foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Piensa coacutemo calcular el aacuterea
de un ciacuterculo
2
Analiza el ciacuterculo
de la derecha
③ iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea del ciacuterculo entero
cuadrados azules 1 (cm2)
cuadrados color de rosa05 (cm2)
① Piensa como construir la foacutermula utilizando una figura que divida el
ciacuterculo en varias secciones iguales a partir del radioiquestQueacute deberiacuteamos
hacer con los cuadrados
que estaacuten parcialmente
cubiertosPara calcular el aacuterea de
paralelogramos y triaacutengulos los
transformamos en otras figuras
conocidas iquestRecuerdas
Hay foacutermulas para calcular
el aacuterea de rectaacutengulos y
triaacutengulos iquestHabraacute una
foacutermula para los
ciacuterculos
4746
② Platica con tus compantildeeros lo que has
pensado para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Analiza cuidadosamente las ideas de
estos tres alumnos
La idea de Takao
Yo divido un ciacuterculo en muchos
triaacutengulos pequentildeos
2 cm
Yo construyo un triaacutengulo con
las partes del ciacuterculo
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
La idea de Akiko
Yo construyo un paralelogramo con las partes del ciacuterculo
③ Piensa coacutemo construir una foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
usando las ideas de estos alumnos
④ Construye una foacutermula con base en la idea
de Akiko
Radio
Circunferenciadivide2
Circunferenciadivide2
RadioRadio
16 secciones iguales
32 secciones iguales
64 secciones igualesCircunferenciadivide2
Aacuterea del rectaacutengulo = largo x ancho
Aacuterea del ciacuterculo ＝ Circunferencia2
＝ radio diaacutemetro3142
＝ radio diaacutemetro2314
＝ radio 314
Mitad de la circunferencia
Radio
La idea de Yasuko
Diaacutemetro2＝Radio iquestde acuerdo
Si cortas un ciacuterculo en
secciones pequentildeas de
igual tamantildeo iquestqueacute figura
puedes formar
4948
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura 2
Aacuterea del ciacuterculo ＝circunferencia radio2
＝Diaacutemetro 314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
Circunferencia
Radio
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
Calcula el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con radio de 8 cm ② Un ciacuterculo con diaacutemetro de 12 cm
3
El diaacutemetro del ciacuterculo mide
4 cm y el del ciacuterculo mide 8 cm
① Encontrar la circunferencia y el
aacuterea de cada ciacuterculo
② El diaacutemetro de es dos
veces el diaacutemetro de
iquestCuaacutentas veces es mayor la
circunferencia y el aacuterea de
que de la circunferen-
cia y el aacuterea de
4
4 cm
A continuacioacuten te damos las medidas de las circunferencias de unos ciacuterculos
Calcula el radio y el aacuterea de cada uno
① 628 cm ② 1884 cm ③ 157 cm
⑥ Construyamos una foacutermula con base en la idea de Takao
Observa las figuras que construimos al dividir el ciacuterculo en 16 secciones
iguales que parecen triaacutengulos Todos estos ldquotriaacutengulosrdquo tienen la misma altura
si los combinamos podemos construir un ldquotriaacutengulordquo grande
El aacuterea de un ciacuterculo puede calcularse usando
la foacutermula Aacuterea ＝radio times radio times 314
8 cm
⑤ Construyamos una foacutermula con base en la idea
de Yasuko
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura2
Aacuterea del ciacuterculo ＝ circunferencia4 radio4 2
＝diaacutemetro314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
38 39
Resuelve estas operaciones en la forma vertical
① 132 ② 5117 ③ 94
④ 1435 ⑤ 6946 ⑥ 3624
⑦ 6104 ⑧ 0805 ⑨ 0725
Haz estas divisiones encontrando el cociente hasta
nuacutemeros enteros e indica cuaacutel es el residuo
① 6117 ② 9706
Tenemos 135 Kg de arroz Si comemos 09 Kg en un diacutea
iquestcuaacutentos diacuteas podremos comer arroz
Escribe en el las medidas que faltan
Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
① ②
③
5 cm
3 cm
①
Encuentra coacutemo calcular el aacuterea de estas figuras
①
Trapecio
②
Realiza las siguientes operaciones
① ② ③
④ ⑤ ⑥
3 ＋ 1
55
3 ＋ 1
44
5 ＋ 6
77
5 － 3
44
7 － 3
991
1－10
Cuaacutel es mayor iquest075 o
Necesitamos dividir equitativamente una cuerda de 3m
entre 8 alumnos iquestCuaacutentos metros de cuerda recibiraacute cada uno
8
35
4 cm
7 cm6 cm
5 cm
4 cm
8 cm
3 cm3 cm
3 cm
5 cm
②
paralelogramo
Triaacutengulo isoacutesceles
Paralelogramo
6
99
7
6
5
4
3
2
1
9
9
8
8
8
6
6
6
4140
① Discute con tus compantildeeros sobre la relacioacuten entre la distancia que
avanza cada ciacuterculo y la longitud de sus diaacutemetros
② Haz una estimacioacuten de cuaacutentos cm avanzaraacute en una vuelta un ciacuterculo
cuyo diaacutemetro mide 40cm y comprueba tu prediccioacuten
A la liacutenea curva que limita un ciacuterculo se le llama circunferencia A un segmento de esa curva se lellama arco
Analiza la relacioacuten que hay entre el diaacutemetro de un ciacuterculo y la longitud
de su circunferencia
Diaacutemetro y circunferencia
Analicemos la relacioacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro en
diferentes ciacuterculos
① Veamos algunas formas para medir circunferencias y diaacutemetros
1
Circunferencia（cm）
Diaacutemetro（cm） 10 20 30
Ciacuterculo Ciacuterculo Ciacuterculo Lata(longitud cinta)
② Anota los datos en la siguiente tabla
③ iquestExistiraacute una foacutermula para determinar la relacioacuten entre la
circunferencia y el diaacutemetro
Recorta un pedazo de cartoacuten para trazar los ciacuterculos y cuyos
diaacutemetros miden 10cm 20cm y 30cm respectivamente Despueacutes hazlos
rodar una vuelta completa y mide cuaacutento avanzan
Ciacuterculos
Cuando el diaacutemetro se duplica iquestQueacute tantose incrementa la circunferencia
iquestCuaacutentas veces cabe eldiaacutemetro en la circunferencia
Medida de la circunferencia Medida del diaacutemetro
1
4342
Circunferencia divide Diaacutemetro
10 20 30
Ciacuterculo de cartoacuten Lata Cinta de embalajeCiacuterculo de cartoacuten Ciacuterculo de cartoacuten
Circunferencia(cm）
Diaacutemetro(cm）
④ iquestCuaacutentas veces cabe el diaacutemetro en la circunferencia
Usa tus datos para calcular redondeando
al mileacutesimo maacutes cercano
ldquoCircunferencia divide Diaacutemetrordquo da el mismo resultado para
ciacuterculos de cualquier tamantildeo
A la divisioacuten Circunferencia divide Diaacutemetro se le llama razoacuten
entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro es 314159
Este es un nuacutemero que continuacutea indefinidamente Usualmente se
emplea la aproximacioacuten 314
iquestCuaacutentos centiacutemetros mide la circunferencia de un
ciacuterculo de 8cm de diaacutemetro
2
① Un ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide 15 cm ② Un ciacuterculo cuyo radio mide 25 cm
Calcula la circunferencia de los siguientes ciacuterculos
La circunferencia de una lata ciliacutendrica mide 628 cm
iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro de la lata
① Si el diaacutemetro de la lata es cm escribe una expresioacuten
matemaacutetica aplicando la foacutermula que utilizaste en
② iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro
de la lata
314＝628
3
Los datos de abajo son las longitudes de las circunferencias de
unos ciacuterculos Calcula el diaacutemetro de cada uno
iquestCuaacutentos metros mide el diaacutemetro del tronco de este aacuterbol
① 2826 cm ② 314 cm ③ 3768 cm
2
1
Esta fotografiacutea muestra una imagen
de una moneda antigua dibujada sobre
arena en la Ciudad de Kannonji en el
parque Kagawa La circunferencia de
esta moneda gigante es 345 m
Calcula su diaacutemetro redondeado al
deacutecimo maacutes cercano
2
Razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro = circunferencia divide diaacutemetro
Circunferencia＝Diaacutemetrotimes314
Se necesitan seis nintildeos con sus brazos estirados para
rodear el tronco del aacuterbol en un parque iquestCuaacutentos metros
mediraacute el diaacutemetro de este aacuterbol Los brazos de cada
nintildeo cubren una longitud aproximada de 14 metros
Calcula el diaacutemetro del tronco usando 3 como
valor aproximado para la razoacuten entre la circunferencia
y el diaacutemetro
4544
② Dividamos el ciacuterculo en 4
partes iguales y consideremos
soacutelo una parte
(1) iquestCuaacutentos cuadrados azules y
cuaacutentos color de rosa hay
(2) Observa los cuadrados
color de rosa a lo largo de la
circunferencia el aacuterea de cada
uno mide aproximadamente 05 cm2 iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este
cuarto de ciacuterculo
2 Aacuterea de un ciacuterculo
iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de un ciacuterculo cuyo radio mide 10 cm
Verifica la respuesta trazando ese ciacuterculo sobre papel cuadriculado
a una escala de 1 cm
1
1 cm1 cm
① iquestCoacutemo podemos verificar
que la respuesta es correcta
Piensa coacutemo calcular el aacuterea del ciacuterculo y coacutemo podriacutea ser una
foacutermula para hacer ese caacutelculo
10 cm
10 cm
Foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Piensa coacutemo calcular el aacuterea
de un ciacuterculo
2
Analiza el ciacuterculo
de la derecha
③ iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea del ciacuterculo entero
cuadrados azules 1 (cm2)
cuadrados color de rosa05 (cm2)
① Piensa como construir la foacutermula utilizando una figura que divida el
ciacuterculo en varias secciones iguales a partir del radioiquestQueacute deberiacuteamos
hacer con los cuadrados
que estaacuten parcialmente
cubiertosPara calcular el aacuterea de
paralelogramos y triaacutengulos los
transformamos en otras figuras
conocidas iquestRecuerdas
Hay foacutermulas para calcular
el aacuterea de rectaacutengulos y
triaacutengulos iquestHabraacute una
foacutermula para los
ciacuterculos
4746
② Platica con tus compantildeeros lo que has
pensado para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Analiza cuidadosamente las ideas de
estos tres alumnos
La idea de Takao
Yo divido un ciacuterculo en muchos
triaacutengulos pequentildeos
2 cm
Yo construyo un triaacutengulo con
las partes del ciacuterculo
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
La idea de Akiko
Yo construyo un paralelogramo con las partes del ciacuterculo
③ Piensa coacutemo construir una foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
usando las ideas de estos alumnos
④ Construye una foacutermula con base en la idea
de Akiko
Radio
Circunferenciadivide2
Circunferenciadivide2
RadioRadio
16 secciones iguales
32 secciones iguales
64 secciones igualesCircunferenciadivide2
Aacuterea del rectaacutengulo = largo x ancho
Aacuterea del ciacuterculo ＝ Circunferencia2
＝ radio diaacutemetro3142
＝ radio diaacutemetro2314
＝ radio 314
Mitad de la circunferencia
Radio
La idea de Yasuko
Diaacutemetro2＝Radio iquestde acuerdo
Si cortas un ciacuterculo en
secciones pequentildeas de
igual tamantildeo iquestqueacute figura
puedes formar
4948
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura 2
Aacuterea del ciacuterculo ＝circunferencia radio2
＝Diaacutemetro 314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
Circunferencia
Radio
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
Calcula el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con radio de 8 cm ② Un ciacuterculo con diaacutemetro de 12 cm
3
El diaacutemetro del ciacuterculo mide
4 cm y el del ciacuterculo mide 8 cm
① Encontrar la circunferencia y el
aacuterea de cada ciacuterculo
② El diaacutemetro de es dos
veces el diaacutemetro de
iquestCuaacutentas veces es mayor la
circunferencia y el aacuterea de
que de la circunferen-
cia y el aacuterea de
4
4 cm
A continuacioacuten te damos las medidas de las circunferencias de unos ciacuterculos
Calcula el radio y el aacuterea de cada uno
① 628 cm ② 1884 cm ③ 157 cm
⑥ Construyamos una foacutermula con base en la idea de Takao
Observa las figuras que construimos al dividir el ciacuterculo en 16 secciones
iguales que parecen triaacutengulos Todos estos ldquotriaacutengulosrdquo tienen la misma altura
si los combinamos podemos construir un ldquotriaacutengulordquo grande
El aacuterea de un ciacuterculo puede calcularse usando
la foacutermula Aacuterea ＝radio times radio times 314
8 cm
⑤ Construyamos una foacutermula con base en la idea
de Yasuko
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura2
Aacuterea del ciacuterculo ＝ circunferencia4 radio4 2
＝diaacutemetro314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
4140
① Discute con tus compantildeeros sobre la relacioacuten entre la distancia que
avanza cada ciacuterculo y la longitud de sus diaacutemetros
② Haz una estimacioacuten de cuaacutentos cm avanzaraacute en una vuelta un ciacuterculo
cuyo diaacutemetro mide 40cm y comprueba tu prediccioacuten
A la liacutenea curva que limita un ciacuterculo se le llama circunferencia A un segmento de esa curva se lellama arco
Analiza la relacioacuten que hay entre el diaacutemetro de un ciacuterculo y la longitud
de su circunferencia
Diaacutemetro y circunferencia
Analicemos la relacioacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro en
diferentes ciacuterculos
① Veamos algunas formas para medir circunferencias y diaacutemetros
1
Circunferencia（cm）
Diaacutemetro（cm） 10 20 30
Ciacuterculo Ciacuterculo Ciacuterculo Lata(longitud cinta)
② Anota los datos en la siguiente tabla
③ iquestExistiraacute una foacutermula para determinar la relacioacuten entre la
circunferencia y el diaacutemetro
Recorta un pedazo de cartoacuten para trazar los ciacuterculos y cuyos
diaacutemetros miden 10cm 20cm y 30cm respectivamente Despueacutes hazlos
rodar una vuelta completa y mide cuaacutento avanzan
Ciacuterculos
Cuando el diaacutemetro se duplica iquestQueacute tantose incrementa la circunferencia
iquestCuaacutentas veces cabe eldiaacutemetro en la circunferencia
Medida de la circunferencia Medida del diaacutemetro
1
4342
Circunferencia divide Diaacutemetro
10 20 30
Ciacuterculo de cartoacuten Lata Cinta de embalajeCiacuterculo de cartoacuten Ciacuterculo de cartoacuten
Circunferencia(cm）
Diaacutemetro(cm）
④ iquestCuaacutentas veces cabe el diaacutemetro en la circunferencia
Usa tus datos para calcular redondeando
al mileacutesimo maacutes cercano
ldquoCircunferencia divide Diaacutemetrordquo da el mismo resultado para
ciacuterculos de cualquier tamantildeo
A la divisioacuten Circunferencia divide Diaacutemetro se le llama razoacuten
entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro es 314159
Este es un nuacutemero que continuacutea indefinidamente Usualmente se
emplea la aproximacioacuten 314
iquestCuaacutentos centiacutemetros mide la circunferencia de un
ciacuterculo de 8cm de diaacutemetro
2
① Un ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide 15 cm ② Un ciacuterculo cuyo radio mide 25 cm
Calcula la circunferencia de los siguientes ciacuterculos
La circunferencia de una lata ciliacutendrica mide 628 cm
iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro de la lata
① Si el diaacutemetro de la lata es cm escribe una expresioacuten
matemaacutetica aplicando la foacutermula que utilizaste en
② iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro
de la lata
314＝628
3
Los datos de abajo son las longitudes de las circunferencias de
unos ciacuterculos Calcula el diaacutemetro de cada uno
iquestCuaacutentos metros mide el diaacutemetro del tronco de este aacuterbol
① 2826 cm ② 314 cm ③ 3768 cm
2
1
Esta fotografiacutea muestra una imagen
de una moneda antigua dibujada sobre
arena en la Ciudad de Kannonji en el
parque Kagawa La circunferencia de
esta moneda gigante es 345 m
Calcula su diaacutemetro redondeado al
deacutecimo maacutes cercano
2
Razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro = circunferencia divide diaacutemetro
Circunferencia＝Diaacutemetrotimes314
Se necesitan seis nintildeos con sus brazos estirados para
rodear el tronco del aacuterbol en un parque iquestCuaacutentos metros
mediraacute el diaacutemetro de este aacuterbol Los brazos de cada
nintildeo cubren una longitud aproximada de 14 metros
Calcula el diaacutemetro del tronco usando 3 como
valor aproximado para la razoacuten entre la circunferencia
y el diaacutemetro
4544
② Dividamos el ciacuterculo en 4
partes iguales y consideremos
soacutelo una parte
(1) iquestCuaacutentos cuadrados azules y
cuaacutentos color de rosa hay
(2) Observa los cuadrados
color de rosa a lo largo de la
circunferencia el aacuterea de cada
uno mide aproximadamente 05 cm2 iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este
cuarto de ciacuterculo
2 Aacuterea de un ciacuterculo
iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de un ciacuterculo cuyo radio mide 10 cm
Verifica la respuesta trazando ese ciacuterculo sobre papel cuadriculado
a una escala de 1 cm
1
1 cm1 cm
① iquestCoacutemo podemos verificar
que la respuesta es correcta
Piensa coacutemo calcular el aacuterea del ciacuterculo y coacutemo podriacutea ser una
foacutermula para hacer ese caacutelculo
10 cm
10 cm
Foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Piensa coacutemo calcular el aacuterea
de un ciacuterculo
2
Analiza el ciacuterculo
de la derecha
③ iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea del ciacuterculo entero
cuadrados azules 1 (cm2)
cuadrados color de rosa05 (cm2)
① Piensa como construir la foacutermula utilizando una figura que divida el
ciacuterculo en varias secciones iguales a partir del radioiquestQueacute deberiacuteamos
hacer con los cuadrados
que estaacuten parcialmente
cubiertosPara calcular el aacuterea de
paralelogramos y triaacutengulos los
transformamos en otras figuras
conocidas iquestRecuerdas
Hay foacutermulas para calcular
el aacuterea de rectaacutengulos y
triaacutengulos iquestHabraacute una
foacutermula para los
ciacuterculos
4746
② Platica con tus compantildeeros lo que has
pensado para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Analiza cuidadosamente las ideas de
estos tres alumnos
La idea de Takao
Yo divido un ciacuterculo en muchos
triaacutengulos pequentildeos
2 cm
Yo construyo un triaacutengulo con
las partes del ciacuterculo
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
La idea de Akiko
Yo construyo un paralelogramo con las partes del ciacuterculo
③ Piensa coacutemo construir una foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
usando las ideas de estos alumnos
④ Construye una foacutermula con base en la idea
de Akiko
Radio
Circunferenciadivide2
Circunferenciadivide2
RadioRadio
16 secciones iguales
32 secciones iguales
64 secciones igualesCircunferenciadivide2
Aacuterea del rectaacutengulo = largo x ancho
Aacuterea del ciacuterculo ＝ Circunferencia2
＝ radio diaacutemetro3142
＝ radio diaacutemetro2314
＝ radio 314
Mitad de la circunferencia
Radio
La idea de Yasuko
Diaacutemetro2＝Radio iquestde acuerdo
Si cortas un ciacuterculo en
secciones pequentildeas de
igual tamantildeo iquestqueacute figura
puedes formar
4948
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura 2
Aacuterea del ciacuterculo ＝circunferencia radio2
＝Diaacutemetro 314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
Circunferencia
Radio
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
Calcula el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con radio de 8 cm ② Un ciacuterculo con diaacutemetro de 12 cm
3
El diaacutemetro del ciacuterculo mide
4 cm y el del ciacuterculo mide 8 cm
① Encontrar la circunferencia y el
aacuterea de cada ciacuterculo
② El diaacutemetro de es dos
veces el diaacutemetro de
iquestCuaacutentas veces es mayor la
circunferencia y el aacuterea de
que de la circunferen-
cia y el aacuterea de
4
4 cm
A continuacioacuten te damos las medidas de las circunferencias de unos ciacuterculos
Calcula el radio y el aacuterea de cada uno
① 628 cm ② 1884 cm ③ 157 cm
⑥ Construyamos una foacutermula con base en la idea de Takao
Observa las figuras que construimos al dividir el ciacuterculo en 16 secciones
iguales que parecen triaacutengulos Todos estos ldquotriaacutengulosrdquo tienen la misma altura
si los combinamos podemos construir un ldquotriaacutengulordquo grande
El aacuterea de un ciacuterculo puede calcularse usando
la foacutermula Aacuterea ＝radio times radio times 314
8 cm
⑤ Construyamos una foacutermula con base en la idea
de Yasuko
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura2
Aacuterea del ciacuterculo ＝ circunferencia4 radio4 2
＝diaacutemetro314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
4342
Circunferencia divide Diaacutemetro
10 20 30
Ciacuterculo de cartoacuten Lata Cinta de embalajeCiacuterculo de cartoacuten Ciacuterculo de cartoacuten
Circunferencia(cm）
Diaacutemetro(cm）
④ iquestCuaacutentas veces cabe el diaacutemetro en la circunferencia
Usa tus datos para calcular redondeando
al mileacutesimo maacutes cercano
ldquoCircunferencia divide Diaacutemetrordquo da el mismo resultado para
ciacuterculos de cualquier tamantildeo
A la divisioacuten Circunferencia divide Diaacutemetro se le llama razoacuten
entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro es 314159
Este es un nuacutemero que continuacutea indefinidamente Usualmente se
emplea la aproximacioacuten 314
iquestCuaacutentos centiacutemetros mide la circunferencia de un
ciacuterculo de 8cm de diaacutemetro
2
① Un ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide 15 cm ② Un ciacuterculo cuyo radio mide 25 cm
Calcula la circunferencia de los siguientes ciacuterculos
La circunferencia de una lata ciliacutendrica mide 628 cm
iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro de la lata
① Si el diaacutemetro de la lata es cm escribe una expresioacuten
matemaacutetica aplicando la foacutermula que utilizaste en
② iquestCuaacutentos cm mide el diaacutemetro
de la lata
314＝628
3
Los datos de abajo son las longitudes de las circunferencias de
unos ciacuterculos Calcula el diaacutemetro de cada uno
iquestCuaacutentos metros mide el diaacutemetro del tronco de este aacuterbol
① 2826 cm ② 314 cm ③ 3768 cm
2
1
Esta fotografiacutea muestra una imagen
de una moneda antigua dibujada sobre
arena en la Ciudad de Kannonji en el
parque Kagawa La circunferencia de
esta moneda gigante es 345 m
Calcula su diaacutemetro redondeado al
deacutecimo maacutes cercano
2
Razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro = circunferencia divide diaacutemetro
Circunferencia＝Diaacutemetrotimes314
Se necesitan seis nintildeos con sus brazos estirados para
rodear el tronco del aacuterbol en un parque iquestCuaacutentos metros
mediraacute el diaacutemetro de este aacuterbol Los brazos de cada
nintildeo cubren una longitud aproximada de 14 metros
Calcula el diaacutemetro del tronco usando 3 como
valor aproximado para la razoacuten entre la circunferencia
y el diaacutemetro
4544
② Dividamos el ciacuterculo en 4
partes iguales y consideremos
soacutelo una parte
(1) iquestCuaacutentos cuadrados azules y
cuaacutentos color de rosa hay
(2) Observa los cuadrados
color de rosa a lo largo de la
circunferencia el aacuterea de cada
uno mide aproximadamente 05 cm2 iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este
cuarto de ciacuterculo
2 Aacuterea de un ciacuterculo
iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de un ciacuterculo cuyo radio mide 10 cm
Verifica la respuesta trazando ese ciacuterculo sobre papel cuadriculado
a una escala de 1 cm
1
1 cm1 cm
① iquestCoacutemo podemos verificar
que la respuesta es correcta
Piensa coacutemo calcular el aacuterea del ciacuterculo y coacutemo podriacutea ser una
foacutermula para hacer ese caacutelculo
10 cm
10 cm
Foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Piensa coacutemo calcular el aacuterea
de un ciacuterculo
2
Analiza el ciacuterculo
de la derecha
③ iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea del ciacuterculo entero
cuadrados azules 1 (cm2)
cuadrados color de rosa05 (cm2)
① Piensa como construir la foacutermula utilizando una figura que divida el
ciacuterculo en varias secciones iguales a partir del radioiquestQueacute deberiacuteamos
hacer con los cuadrados
que estaacuten parcialmente
cubiertosPara calcular el aacuterea de
paralelogramos y triaacutengulos los
transformamos en otras figuras
conocidas iquestRecuerdas
Hay foacutermulas para calcular
el aacuterea de rectaacutengulos y
triaacutengulos iquestHabraacute una
foacutermula para los
ciacuterculos
4746
② Platica con tus compantildeeros lo que has
pensado para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Analiza cuidadosamente las ideas de
estos tres alumnos
La idea de Takao
Yo divido un ciacuterculo en muchos
triaacutengulos pequentildeos
2 cm
Yo construyo un triaacutengulo con
las partes del ciacuterculo
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
La idea de Akiko
Yo construyo un paralelogramo con las partes del ciacuterculo
③ Piensa coacutemo construir una foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
usando las ideas de estos alumnos
④ Construye una foacutermula con base en la idea
de Akiko
Radio
Circunferenciadivide2
Circunferenciadivide2
RadioRadio
16 secciones iguales
32 secciones iguales
64 secciones igualesCircunferenciadivide2
Aacuterea del rectaacutengulo = largo x ancho
Aacuterea del ciacuterculo ＝ Circunferencia2
＝ radio diaacutemetro3142
＝ radio diaacutemetro2314
＝ radio 314
Mitad de la circunferencia
Radio
La idea de Yasuko
Diaacutemetro2＝Radio iquestde acuerdo
Si cortas un ciacuterculo en
secciones pequentildeas de
igual tamantildeo iquestqueacute figura
puedes formar
4948
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura 2
Aacuterea del ciacuterculo ＝circunferencia radio2
＝Diaacutemetro 314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
Circunferencia
Radio
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
Calcula el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con radio de 8 cm ② Un ciacuterculo con diaacutemetro de 12 cm
3
El diaacutemetro del ciacuterculo mide
4 cm y el del ciacuterculo mide 8 cm
① Encontrar la circunferencia y el
aacuterea de cada ciacuterculo
② El diaacutemetro de es dos
veces el diaacutemetro de
iquestCuaacutentas veces es mayor la
circunferencia y el aacuterea de
que de la circunferen-
cia y el aacuterea de
4
4 cm
A continuacioacuten te damos las medidas de las circunferencias de unos ciacuterculos
Calcula el radio y el aacuterea de cada uno
① 628 cm ② 1884 cm ③ 157 cm
⑥ Construyamos una foacutermula con base en la idea de Takao
Observa las figuras que construimos al dividir el ciacuterculo en 16 secciones
iguales que parecen triaacutengulos Todos estos ldquotriaacutengulosrdquo tienen la misma altura
si los combinamos podemos construir un ldquotriaacutengulordquo grande
El aacuterea de un ciacuterculo puede calcularse usando
la foacutermula Aacuterea ＝radio times radio times 314
8 cm
⑤ Construyamos una foacutermula con base en la idea
de Yasuko
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura2
Aacuterea del ciacuterculo ＝ circunferencia4 radio4 2
＝diaacutemetro314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
4544
② Dividamos el ciacuterculo en 4
partes iguales y consideremos
soacutelo una parte
(1) iquestCuaacutentos cuadrados azules y
cuaacutentos color de rosa hay
(2) Observa los cuadrados
color de rosa a lo largo de la
circunferencia el aacuterea de cada
uno mide aproximadamente 05 cm2 iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de este
cuarto de ciacuterculo
2 Aacuterea de un ciacuterculo
iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea de un ciacuterculo cuyo radio mide 10 cm
Verifica la respuesta trazando ese ciacuterculo sobre papel cuadriculado
a una escala de 1 cm
1
1 cm1 cm
① iquestCoacutemo podemos verificar
que la respuesta es correcta
Piensa coacutemo calcular el aacuterea del ciacuterculo y coacutemo podriacutea ser una
foacutermula para hacer ese caacutelculo
10 cm
10 cm
Foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Piensa coacutemo calcular el aacuterea
de un ciacuterculo
2
Analiza el ciacuterculo
de la derecha
③ iquestCuaacutentos cm2 mide el aacuterea del ciacuterculo entero
cuadrados azules 1 (cm2)
cuadrados color de rosa05 (cm2)
① Piensa como construir la foacutermula utilizando una figura que divida el
ciacuterculo en varias secciones iguales a partir del radioiquestQueacute deberiacuteamos
hacer con los cuadrados
que estaacuten parcialmente
cubiertosPara calcular el aacuterea de
paralelogramos y triaacutengulos los
transformamos en otras figuras
conocidas iquestRecuerdas
Hay foacutermulas para calcular
el aacuterea de rectaacutengulos y
triaacutengulos iquestHabraacute una
foacutermula para los
ciacuterculos
4746
② Platica con tus compantildeeros lo que has
pensado para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Analiza cuidadosamente las ideas de
estos tres alumnos
La idea de Takao
Yo divido un ciacuterculo en muchos
triaacutengulos pequentildeos
2 cm
Yo construyo un triaacutengulo con
las partes del ciacuterculo
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
La idea de Akiko
Yo construyo un paralelogramo con las partes del ciacuterculo
③ Piensa coacutemo construir una foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
usando las ideas de estos alumnos
④ Construye una foacutermula con base en la idea
de Akiko
Radio
Circunferenciadivide2
Circunferenciadivide2
RadioRadio
16 secciones iguales
32 secciones iguales
64 secciones igualesCircunferenciadivide2
Aacuterea del rectaacutengulo = largo x ancho
Aacuterea del ciacuterculo ＝ Circunferencia2
＝ radio diaacutemetro3142
＝ radio diaacutemetro2314
＝ radio 314
Mitad de la circunferencia
Radio
La idea de Yasuko
Diaacutemetro2＝Radio iquestde acuerdo
Si cortas un ciacuterculo en
secciones pequentildeas de
igual tamantildeo iquestqueacute figura
puedes formar
4948
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura 2
Aacuterea del ciacuterculo ＝circunferencia radio2
＝Diaacutemetro 314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
Circunferencia
Radio
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
Calcula el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con radio de 8 cm ② Un ciacuterculo con diaacutemetro de 12 cm
3
El diaacutemetro del ciacuterculo mide
4 cm y el del ciacuterculo mide 8 cm
① Encontrar la circunferencia y el
aacuterea de cada ciacuterculo
② El diaacutemetro de es dos
veces el diaacutemetro de
iquestCuaacutentas veces es mayor la
circunferencia y el aacuterea de
que de la circunferen-
cia y el aacuterea de
4
4 cm
A continuacioacuten te damos las medidas de las circunferencias de unos ciacuterculos
Calcula el radio y el aacuterea de cada uno
① 628 cm ② 1884 cm ③ 157 cm
⑥ Construyamos una foacutermula con base en la idea de Takao
Observa las figuras que construimos al dividir el ciacuterculo en 16 secciones
iguales que parecen triaacutengulos Todos estos ldquotriaacutengulosrdquo tienen la misma altura
si los combinamos podemos construir un ldquotriaacutengulordquo grande
El aacuterea de un ciacuterculo puede calcularse usando
la foacutermula Aacuterea ＝radio times radio times 314
8 cm
⑤ Construyamos una foacutermula con base en la idea
de Yasuko
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura2
Aacuterea del ciacuterculo ＝ circunferencia4 radio4 2
＝diaacutemetro314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
4746
② Platica con tus compantildeeros lo que has
pensado para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
Analiza cuidadosamente las ideas de
estos tres alumnos
La idea de Takao
Yo divido un ciacuterculo en muchos
triaacutengulos pequentildeos
2 cm
Yo construyo un triaacutengulo con
las partes del ciacuterculo
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
La idea de Akiko
Yo construyo un paralelogramo con las partes del ciacuterculo
③ Piensa coacutemo construir una foacutermula para calcular el aacuterea de un ciacuterculo
usando las ideas de estos alumnos
④ Construye una foacutermula con base en la idea
de Akiko
Radio
Circunferenciadivide2
Circunferenciadivide2
RadioRadio
16 secciones iguales
32 secciones iguales
64 secciones igualesCircunferenciadivide2
Aacuterea del rectaacutengulo = largo x ancho
Aacuterea del ciacuterculo ＝ Circunferencia2
＝ radio diaacutemetro3142
＝ radio diaacutemetro2314
＝ radio 314
Mitad de la circunferencia
Radio
La idea de Yasuko
Diaacutemetro2＝Radio iquestde acuerdo
Si cortas un ciacuterculo en
secciones pequentildeas de
igual tamantildeo iquestqueacute figura
puedes formar
4948
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura 2
Aacuterea del ciacuterculo ＝circunferencia radio2
＝Diaacutemetro 314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
Circunferencia
Radio
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
Calcula el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con radio de 8 cm ② Un ciacuterculo con diaacutemetro de 12 cm
3
El diaacutemetro del ciacuterculo mide
4 cm y el del ciacuterculo mide 8 cm
① Encontrar la circunferencia y el
aacuterea de cada ciacuterculo
② El diaacutemetro de es dos
veces el diaacutemetro de
iquestCuaacutentas veces es mayor la
circunferencia y el aacuterea de
que de la circunferen-
cia y el aacuterea de
4
4 cm
A continuacioacuten te damos las medidas de las circunferencias de unos ciacuterculos
Calcula el radio y el aacuterea de cada uno
① 628 cm ② 1884 cm ③ 157 cm
⑥ Construyamos una foacutermula con base en la idea de Takao
Observa las figuras que construimos al dividir el ciacuterculo en 16 secciones
iguales que parecen triaacutengulos Todos estos ldquotriaacutengulosrdquo tienen la misma altura
si los combinamos podemos construir un ldquotriaacutengulordquo grande
El aacuterea de un ciacuterculo puede calcularse usando
la foacutermula Aacuterea ＝radio times radio times 314
8 cm
⑤ Construyamos una foacutermula con base en la idea
de Yasuko
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura2
Aacuterea del ciacuterculo ＝ circunferencia4 radio4 2
＝diaacutemetro314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
4948
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura 2
Aacuterea del ciacuterculo ＝circunferencia radio2
＝Diaacutemetro 314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
Circunferencia
Radio
4 veces el radio
Circunferenciadivide4
Calcula el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con radio de 8 cm ② Un ciacuterculo con diaacutemetro de 12 cm
3
El diaacutemetro del ciacuterculo mide
4 cm y el del ciacuterculo mide 8 cm
① Encontrar la circunferencia y el
aacuterea de cada ciacuterculo
② El diaacutemetro de es dos
veces el diaacutemetro de
iquestCuaacutentas veces es mayor la
circunferencia y el aacuterea de
que de la circunferen-
cia y el aacuterea de
4
4 cm
A continuacioacuten te damos las medidas de las circunferencias de unos ciacuterculos
Calcula el radio y el aacuterea de cada uno
① 628 cm ② 1884 cm ③ 157 cm
⑥ Construyamos una foacutermula con base en la idea de Takao
Observa las figuras que construimos al dividir el ciacuterculo en 16 secciones
iguales que parecen triaacutengulos Todos estos ldquotriaacutengulosrdquo tienen la misma altura
si los combinamos podemos construir un ldquotriaacutengulordquo grande
El aacuterea de un ciacuterculo puede calcularse usando
la foacutermula Aacuterea ＝radio times radio times 314
8 cm
⑤ Construyamos una foacutermula con base en la idea
de Yasuko
Aacuterea del triaacutengulo ＝ base altura2
Aacuterea del ciacuterculo ＝ circunferencia4 radio4 2
＝diaacutemetro314 radio2
＝ 2 314 radio2
＝
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
5150
Esta seccioacuten de un ciacuterculo se ajusta
exactamente dentro de un cuadrado
que mide 10 cm por lado Calcula lo
que se pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por
los puntos A y B
② El aacuterea de la seccioacuten coloreada
6
La figura de la derecha muestra un
ciacuterculo cuyo radio mide 6 cm
El ciacuterculo fue cortado a lo largo de
su diaacutemetro Calcula lo que se te
pide a continuacioacuten
① La longitud del arco limitado por los
puntos A y B
② La circunferencia y aacuterea de la seccioacuten
coloreada del ciacuterculo
5
6 cmBA
10 cm 5 cm
Calcula el aacuterea de la seccioacuten coloreada en
la figura de la derecha
10 cm
10 cm
A
B
5 cm 7 cm
Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea de estos ciacuterculos
La figura muestra dos ciacuterculos
Uno tiene un radio de 9 cm el
otro un radio de 10 cm
① iquestCuaacutel es la diferencia entre las
longitudes de las dos circunferencias
② iquestCuaacutel es la diferencia entre las
aacutereas de los dos ciacuterculos
Observa la figura de la derecha Calcula el
aacuterea de la seccioacuten coloreada y la longitud de
la curva que la limita
3
9 cm
10 cm
paacuteginas 42~43
paacuteginas 42~43
4 cm
4 cm
paacutegina 50
②①
iquestQueacute fraccioacuten del ciacuterculo
es esta parte
2
1
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
5 cm
52 53
10 cm
10 cm
Calcula la circunferencia y el
aacuterea de los ciacuterculos ① y ②
Calcula el diaacutemetro y el aacuterea de los siguientes ciacuterculos
① Un ciacuterculo con una circunferencia de
628 cm
② Un ciacuterculo con una circunferencia de
1256 cm
Calcula el aacuterea de las siguientes secciones coloreadas3
bull En la escuela de Hiroshi no hay espacio suficiente para una pista recta para
carreras de 100 metros planos Los alumnos desean construir una pista de
100 metros utilizando la mitad de un ciacuterculo
Encontrar maneras diferentes de calcular aacutereas
① El carril interno debe medir 100 m
iquestCuaacutentos metros despueacutes del final de
la mitad de la circunferencia debe
colocarse la meta
② Queremos que la pista sea
para 5 corredores Si comienzan
y terminan los carriles en el
mismo lugar los corredores
en el carril exterior estaraacuten
en desventaja
iquestCuaacutentos metros adelante
deberiacuteamos poner el punto
de partida para que todos
los carriles tengan la misma
longitud
Considera que el ancho de
cada carril es 1 metro y el largo
del carril maacutes interno es de
100 metros
Partida
Fin
1 m
20 m
24 m
23 m
25 m
21 m
22 m
40 m
20 m
20 m
m
Partida
Fin
3 cm
10 cm
10 cm
10 cm
10 cm20 cm
10 cm
①
③
②
④
Calcular la circunferencia y el aacuterea a partir del radio
Usar la circunferencia para calcular el diaacutemetro y aacuterea de un ciacuterculo
Ir a la paacutegina 91
iexclConstruyamos una
pista de carreras
en el patio de recreo① ②
2
1
Ir a la paacutegina 53
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
(1) Hace muchos antildeos se usoacute 3 como valor para
la razoacuten de la circunferencia y el diaacutemetro
(2) Hace 4000 antildeos ya se utilizaban los valores
y en Egipto y algunos otros paiacuteses
(3) Hace cerca de 2000 antildeos Arquiacutemedes
en Grecia descubrioacute que esta es mayor que
y menor que
(4) En China hace 1500 antildeos So Tyu Shin usoacute
las fracciones y
(5) En Japoacuten hace 300 antildeos Takakazu Seki
calculoacute esta razoacuten y obtuvo un nuacutemero poco
menor que 314159265359
13 8
133 81
13 7
103 71
227
355113
Historia de la razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro
La razoacuten entre la circunferencia y el diaacutemetro se expresa con el
nuacutemero decimal 314159265358979 el cual continuacutea sin fin
Hoy en diacutea este nuacutemero ha sido calculado por una computadora con
una aproximacioacuten a 1 trilloacuten 241 billones y 100 milloneacutesimos Pero
esto era muy difiacutecil calcularlo en tiempos remotos
bull Encuentra el valor decimal de las fracciones en (2) (3) y (4)
Arquiacutemedes
Takakazu Seki
Feb 10
Feb 13
Feb 15
iquestEn cuaacutel juego obtuvo los mejores resultados Piensa coacutemo comparar los
resultados y discute tus ideas con tus compantildeeros
Piensa coacutemo comparar cantidades como el nuacutemero de tiros encestados
o el nivel en que los pasajeros llenan un avioacuten
encestados
times tiros fallidos
times times
times times times times
times times times
Razones y graacuteficas
Jugamos algunos partidos de baacutesquetbol La tabla de abajo muestra los registros
de los tiros a la canasta que hizo Kazuko en 3 partidos
5554
iquestPero es esto suficiente
El nuacutemero de tiros
es diferente
Puedo comparar
el nuacutemero de tiros
encestados en
cada juegohellip
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
5756
El concepto de razoacuten
1 Haz el registro de los tiros a la canasta de la paacutegina anterior usando nuacutemeros
① Expresa como fracciones los datos del 10 y el 15 de febrero Usa el nuacutemero de
tiros a la canasta como denominador y el nuacutemero de tiros encestados como
numerador Luego compara estas fracciones
La idea de Kazuo
Yo las representeacute usando graacuteficas de la
misma longitud
La idea de Yoshiko
Yo expreseacute las fracciones
como nuacutemeros decimales
Feb 10
＝ 075
Feb 15
＝ 07
② Haz el registro de los tiros a la canasta del 13 de febrero usando nuacutemeros
Si tomamos el nuacutemero de tiros a la
canasta como el nuacutemero total el nuacutemero de
tiros encestados seraacute una parte de ese total
Nuacutemero de encestado (Parte del total）
Nuacutemero de tiros (Cantidad total）
Razoacuten entre tiros y tiros encestados ＝ nuacutemero de tiros encestados divide nuacutemero de tiros
Parte del total Cantidad total
2 La tabla de abajo muestra el registro de los tiros que hizo Masashi
Expresa la relacioacuten entre esos datos usando un nuacutemero
El registro de tiros es un nuacutemero entre 0 y 1
3 Unos alumnos registraron el nuacutemero de pasajeros de una liacutenea aeacuterea
en un diacutea iquestQueacute avioacuten se encuentra maacutes lleno
Avioacuten pequentildeo Avioacuten grande
Nuacutemero de pasajeros 117 442
Nuacutemero de asientos 130 520
Para saber que tan lleno se encuentra un avioacuten elgrado de aglomeracioacuten se
describe con un nuacutemero que permite comparar el nuacutemero de pasajeros respecto
al nuacutemero de asientos
Grado de aglomeracioacuten ＝ nuacutemero de pasajeros divide nuacutemero de asientos
Cantidad que estaacute siendo comparada Cantidad de referencia
① Encuentra queacute tan cerca estaacuten de agotar su capacidad los siguientes aviones
Avioacuten pequentildeo
Avioacuten grande
6 ＝6 divide88
7 ＝7 divide1010
Feb 13
Feb 15Feb 10 Feb 13 Feb 15
Nuacutemero de encestados 6 6 7
Nuacutemero de lanzamientos 8 10 10
Nuacutemero de pasajeros y asientos
＝dividedivide
＝130117
times times times times times times times
1
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
58 59
Un nuacutemero que permite comparar dos magnitudes mediante un
cociente como en el registro de tiros a la canasta se llama razoacuten
El grado de aglomeracioacuten en el avioacuten pequentildeo de la paacutegina anterior es
117divide130＝09
Un grado de aglomeracioacuten de 09 (nueve deacutecimos) significa que 9 de cada 10 asientos
estaacuten ocupados o que soacutelo un deacutecimo del total de los asientos no estaacute ocupado
② Expresa el grado de aglomeracioacuten del avioacuten grande coloreando este graacutefico
Razoacuten entre dos cantidades
4 En el saloacuten de clases donde estaacute Keiko hay 16 nintildeos y 20 nintildeas Encuentra la
razoacuten que permite comparar el nuacutemero de nintildeos respecto al nuacutemero de nintildeas
16 divide 20 ＝Cantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que es comparada
Cantidad que es comparada
Cantidad de referencia Razoacuten
5 Encuentra la razoacuten entre el nuacutemero de nintildeas respecto al nuacutemero de
nintildeos en el saloacuten de clases de Keiko
La razoacuten cambia si cambiamos la cantidad de referencia
En algunos casos la razoacuten puede ser mayor que 1
① Un alumno resolvioacute correctamente 6 problemas de 10 iquestCuaacutel es
la razoacuten de respuestas correctas respecto al total de problemas
② Un equipo ganoacute 6 de los 6 juegos de futbol que disputoacute iquestCuaacutel es la razoacuten
de los juegos ganados respecto al total de juegos disputados
③ Un jugador intentoacute 7 tiros a la canasta en ninguno acertoacute iquestCuaacutel es la
razoacuten de los tiros acertados respecto al total de tiros
Calcula las siguientes razones1
Hay 75 nintildeos en una fiesta incluyendo a Makoto Asistieron a la fiesta 15
alumnos del quinto grado Encuentra la razoacuten de los alumnos de quinto grado
respecto al nuacutemero total de nintildeos que hay en la fiesta
2
① Calcula la razoacuten de la altura del edificio de
20 metros respecto a la del edificio de 50 metros
② Calcula la razoacuten de la altura del edificio de 50
metros respecto en el edificio de 20 metros
Un edificio de 50m de altura fue construido frente a otro de 20 m de altura
0
0
05 09 1
117 130 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten
0
0
05 1
520 (personas）Nuacutemero de pasajeros
Razoacuten 0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
0 05 1
NintildeosNintildeasRazoacuten
20 nintildeas16 nintildeos
20 divide 16 ＝
Razoacuten＝Cantidad que es comparada divide Cantidad de referencia
Veremos ahora coacutemo podemos calcular la razoacuten que hay entre dos
cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
Autos
Camiones
Motocicletas
Autobuses
Otros
Total
6160
Porcentaje
1 Hay 40 pasajeros en un autobuacutes
que tiene 50 asientos
① Encuentra el grado de aglomeracioacuten
del autobuacutes
② Modifica esta razoacuten haciendo que sea
100 la cantidad de referencia
40divide50＝
Frecuentemente se expresa una razoacuten usando 100 como
la cantidad de referencia A esta razoacuten se le llama
porcentaje El nuacutemero decimal 001 se usa
frecuentemente como una razoacuten a esta razoacuten se le llama
1 por ciento y se escribe 1
③ Si multiplicamos por 100 una razoacuten que estaacute expresada como un
nuacutemero decimal la razoacuten corresponde a un porcentaje o tanto por ciento
Expresa el grado de aglomeracioacuten del autobuacutes como porcentaje
40divide50times100＝ ()
① 075 ② 08 ③ 0316 ④ 16 ⑤ 2
2 Kenji y sus amigos hicieron un registro de los vehiacuteculos que pasan
frente a su escuela durante 20 minutos
① iquestQueacute porcentaje representa el
nuacutemero de cada tipo de vehiacuteculo
respecto al total de vehiacuteculos
② iquestCuaacutel es el total si sumas todos
los porcentajes
Nuacutemero deVehiacuteculos
Porcentaje ()
63 45
35
21
7
14
140
① Calcula el grado de aglomeracioacuten en el primer vagoacuten
Cuando el nuacutemero de pasajeros es mayor que la capacidad
del tren el porcentaje es mayor que 100
Expresa las siguientes razones como porcentajes y los porcentajes
como nuacutemeros decimales
Nuacutemero de pasajeros0
0 05
50 80
1
0
40 50 (personas）
100（ ）
Razoacuten(nuacutemero decimal）
Razoacuten（porcentaje）
veces
2 veces
Vehiacuteculos
② Calcula el grado de aglomeracioacuten en el segundo vagoacuten
108divide120times100＝
144divide120times100＝
40divide50＝ divide100
Razones mayores que 100
3 Un vagoacuten de tren tiene asientos para 120 pasajeros Expresa el grado
de aglomeracioacuten del tren como un porcentaje
144 personas108 personas
2
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
① Puedes usar las siguientes ideas para calcular la respuesta
(1) Cuando haya pintado 24 m2 seriacutea el 100 del aacuterea total
(2) El 1 del aacuterea es
24divide100＝024
(3) El 25 del aacuterea es
024times25＝
Cantidad comparada1Cantidad de
referencia
6362
4 Estudiemos situaciones que se expresan como porcentajes
bull En japoneacutes 01 se llama 割(wari) 001 se
llama 分(bu) y 0001 se llama 厘(rin)
Juntas estas expresiones se llaman 歩合(Buai)
Si expresamos 割分厘歩合 como un porcentaje
1割 es el 10 y 1分 es el 1
Buai Un teacutermino especial para porcentaje en Japoacuten
8 am 10 am Mediodiacutea
Nuacutemero dePasajeros 65 18 26
Capacidad 50 50 50
① Expresa el grado de aglomeracioacuten en cada
momento del diacutea
② iquestA queacute hora del diacutea va maacutes aglomerado el autobuacutes
3 Razones y resolucioacuten de problemas
Un trabajador pinta una pared que
tiene un aacuterea de 24 m2 Ha pintado
el 25 de la pared iquestA cuaacutentos m2
corresponde ese porcentaje
Aacuterea
(m2)
Porcentaje
()
24 024
100 1 25
② Expresa 25 como un nuacutemero decimal
24 times 025 ＝Cantidad que es compa radaCantidad de referencia Razoacuten
Cantidad que se compara ＝ Cantidad de referencia times razoacuten
(1) (2) (3)
En un negocio el precio original de una cartera era de 6 500 yenes
Fue vendida en 5 200 yenes iquestQueacute porcentaje es el precio de venta
respecto al precio original
La tabla de abajo muestra el nuacutemero de pasajeros
que viajan en el autobuacutes en diferentes horas del diacutea
1
2
En un sorteo el 5 de los boletos son ganadores Si se emitieron 80 boletos
iquestcuaacutentos boletos con premio debe haber
Un tren tiene asientos para 80 pasajeros en cada vagoacuten Si el grado de
aglomeracioacuten es del 110 iquestcuaacutentos pasajeros viajan en cada vagoacuten
1
2
Aacuterea0
1 25
24 （m2）
100 ()Razoacuten(porcentaje）
0
Nuacutemero de pasajeros y capacidad del autobuacutes
割分厘
0 3 5 7
1
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
Cantidad comparada1
Cantidad de referencia
6564
2 La familia de Masao tiene un jardiacuten que es parte de un terreno auacuten maacutes
grande El aacuterea del jardiacuten es 60 m2 y corresponde al 20 del aacuterea total del
terreno iquestCuaacutentos m2 mide el terreno
① Puedes usar las siguientes ideas para
resolver ese problema
(1) El 20 del aacuterea total del terreno
son 60m2
(2) El 1 del aacuterea es 60divide20＝3
(3) El 100 del aacuterea es
3times100＝ (3) (2) (1)
② Expresa el aacuterea total del campo como m2 Escribe una expresioacuten matemaacutetica
para calcular el aacuterea del jardiacuten y luego encuentra el nuacutemero que debe ir en el
times 02 ＝ 60
＝60divide02
＝
3 Una tienda de ropa cercana
a la casa de Yukiko tiene
nuevas ofertas
① La madre de Yukiko comproacute una playera con un 20 de descuento
La playera teniacutea un precio original de 1500 yenes
② Si el precio original de la playera es 1500 yenes iquestcuaacutento pagoacute por la
playera Encuentra la respuesta aplicando las ideas que a continuacioacuten
se muestran
La idea de Takeshi
Como se descuenta el 20
1500times02＝es la cantidad que se descuenta
1500－ ＝
La idea de Yukiko
Ya que es un 20 de descuento es equivalente
a comprar la playera al 80 del precio original
1500times(1－02)＝1500times08＝
4 Cuando compramos algo tenemos que pagar un impuesto del 5
del precio de venta Si haces una compra por 500 yenes iquestcuaacutel es el
total que debes pagar
En un sorteo el 15 de los boletos son ganadores Si hubo 30 boletos ganadores
iquestcuaacutentos boletos de loteriacutea se emitieron en total
El grado de aglomeracioacuten del vagoacuten nuacutemero 3 de un tren bala fue del 120
en un diacutea Se contaron 102 pasajeros iquestDe cuaacutentos pasajeros es la capacidad
del vagoacuten
1
2
0 60
0 20
（m2）
100 （）1
AacutereaRazoacuten(porcentaje）
Precio0 1500 （yenes）
Razoacuten (nuacutemero decimal）0 0502 1
50200 100 （）Razoacuten (porcentaje）
Area
(m2)
Porcentaje
()
3 60
100 1 20
iquestPodremos encontrar la
respuesta si expresamos el 20
como un nuacutemero decimal Cantidad que es comparadaCantidad de referencia Razoacuten
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
6766
Graacutefica de banda
1 La graacutefica de abajo muestra los
porcentajes correspondientes a
cada tipo de vehiacuteculo que circula
frente a la escuela
Una graacutefica como la anterior se llama graacutefica de banda
Las graacuteficas de banda permiten ver faacutecilmente los porcentajes porque
asocian el aacuterea de los rectaacutengulos a cada una de las razones involucradas
Coacutemo construir una graacutefica de banda
2
Causa Nuacutemero dealumnos
Correr en la calle 11
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 4
Cruzar la calle con luz roja 3
Caminar delante o detraacutes de los autos 3
Otras 2
Total 23
Porcentaje() Causa Nuacutemero de
alumnos
Correr en la calle 8
Cruzar la calle fuera del paso de peatones 9
Cruzar la calle con luz roja 4
Caminar delante o detraacutes de los autos 2
Otras 5
Total 28
Porcentaje()
① Encuentra cada razoacuten con respecto al total y redondea al centeacutesimo
maacutes cercano Luego expresa esas razones como porcentajes y anoacutetalos
en la tabla
② Construye un graacutefica de banda La categoriacutea ldquoOtrasrdquo se coloca siempre
al final incluso si el valor correspondiente es grande
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Autos
Camiones
Bicicletas
Autobuses
Otros
100 （）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Correr en la calleCruzar la calle fuera del pasode peatones
Cruzarla calle conluz roja
Caminar detraacutes o delante de los autos
OtrasPrimer Grado
QuintoGrado
Tipos de vehiacuteculo
Causas de accidentes en el primer grado
Porcentaje de alumnos por causa de accidente
Causas de accidentes en el quinto grado
① iquestCuaacutel es el porcentaje de autos respecto al 100 de los vehiacuteculos
② iquestQueacute porcentaje corresponde respectivamente a los camiones
bicicletas y autobuses respecto al 100 de los vehiacuteculos
③ En total registraron 50 vehiacuteculos circulando frente a la escuela
iquestCuaacutentos vehiacuteculos de cada tipo pasaron
Las siguientes tablas muestran las causas de accidentes de traacutefico
con nintildeos en una ciudad Construye graacuteficas de banda para expresar
estos nuacutemeros
4 Representacioacuten graacutefica de porcentajes
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
6968
Graacutefica circular
3 La siguiente graacutefica muestra el porcentaje
de libros por asignatura en la biblioteca de la
escuela de Rie
① iquestQueacute porcentaje corresponde a los libros de literatura
② Suma los porcentajes de los libros de ciencias naturales y de
ciencias sociales iquestCoacutemo es esa suma comparada con los porcentajes
individuales de los otros libros
③ En la biblioteca hay 3600 libros iquestCuaacutentos libros hay de
cada asignatura
Una graacutefica que tiene forma de ciacuterculo se llama graacutefica
circular o graacutefica de pastel
Es muy uacutetil representar porcentajes con una graacutefica circular porque el
aacuterea de cada sector permite observar cada porcentaje
Coacutemo construir una graacutefica circular
4 La siguiente tabla muestra los tipos de heridas que ocurren durante un
antildeo en una escuela Representa estos datos utilizando una graacutefica circular
① Calcula la razoacuten que
corresponde a cada tipo de
lesioacuten respecto al total y
redondeacutealas al centeacutesimo
maacutes cercano Luego
expreacutesalas como porcenta-
jes y anoacutetalos en la tabla
② Representa esos datos en
una grafica circular Coloca
la categoriacutea ldquoOtrosrdquo al final
incluso si su razoacuten es grande
Tipos Nuacutemero Porcentaje
（）
Cortes 250
Contusiones 202
Rasguntildeos 176
Torceduras 75
Torcedura de dedos 58
Otros 89
Total 850
0 100
Literatura
CienciasNaturales
Ciencias Sociales
Otras
10
20
30
4050
60
70
80
90
Libros de la biblioteca
Tipos de lesiones
Tipos de lesiones
Compara estos
datos con los de
tu escuela
Construye la graacutefica
circular comenzando
en la parte de arriba y
avanza en el sentido de
las manecillas del reloj
iquestDe queacute
asignatura hay
maacutes libros
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
7170
① En un examen se resolvieron correctamente 7 de 10 problemas iquestCuaacutel es la razoacuten de
las respuestas correctas respecto al total de problemas
② Jugamos 4 partidos y ganamos los 4 iquestCuaacutel es la razoacuten de partidos ganados respecto al total
Shoko tiene una cinta de 15 metros y Kenji tiene una cinta de 12 metros
① iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Kenji con respecto a la de la
cinta de Shoko
② iquestCuaacutel es la razoacuten de la longitud de la cinta de Shoko respecto a la de la
cinta de Kenji
Hay 24 alumnos en la clase de Minoru Tres alumnos
faltaron hoy a clases
① Calcula la razoacuten del nuacutemero de alumnos que no asistieron a clases y expreacutesala
como porcentaje respecto al total de alumnos del grupo
② Calcula el porcentaje de alumnos que asistieron respecto al total de
alumnos del grupo
Si compras algo que cuesta 600 yenes y pagas 630 debido al impuesto
iquestQueacute porcentaje del precio de venta es el que pagas
por el impuesto
Si tenemos en total 300 huevos pero el 4 estaacuten quebrados
iquestCuaacutentos huevos quebrados hay
timestimestimestimestimestimeshellipacertados
helliperrados
Los resultados de Hiroshi se expresan como 04
① iquestQueacute significa el nuacutemero 04
② Expresa los aciertos de Hiroshi
como un porcentaje
③ Si intenta dos veces maacutes y tiene dos aciertos maacutes iquestCoacutemo se expresa su resultado
④ iquestQueacute resultado deberaacute lograr para obtener un registro de 1
Analiza las dos loteriacuteas que se describen abajo iquestEn cuaacutel de ellas tienes mayor
oportunidad de ganar
Hay 16 boletos ganadores y participan 40 boletos
Hay 7 boletos ganadores y participan 20 boletos
Habiacutea 125 alumnos de quinto grado de la escuela de Takeshi el antildeo pasado
Este antildeo hay 10 alumnos maacutes
iquestCuaacutel es el porcentaje de alumnos este antildeo comparado con el nuacutemero de alumnos
del antildeo pasado
Un laacutepiz de color cuyo precio regular es 400 yenes se vende con
un descuento de 80 yenes y en otra tienda con un descuento del 12
iquestEn cuaacutel tienda es maacutes barato el laacutepiz y por cuaacutento maacutes
Un alumno lee 48 paacuteginas de un libro Las paacuteginas restantes
corresponden al 60 del total iquestCuaacutentas paacuteginas tiene este libro en total
Encuentra la razoacuten que se pide en cada caso paacutegina58
paacutegina 59
paacuteginas 61~62
paacuteginas 60~61
5
La siguiente graacutefica muestra los aciertos y desaciertos de Hiroshi en el juego
de los aros
5
050 1
ShokoKenjiRazoacuten
ShokoKenji
050 1Razoacuten
paacutegina 63
Expresar datos mediante una razoacuten y entender su significado
Expresar la posibilidad de ganar mediante una razoacuten y entender su significado
Calcular un porcentaje mayor que 100
Comparar descuentos expresados como porcentaje y como dinero
Trabajar con los nuacutemeros y las razones entre ellos
times
Ir a la paacutegina 93
4
3
2
1
4
3
2
1
Ir a la paacutegina 72
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
La madera es una materia prima para fabricar papel La siguiente tabla
muestra cuaacutento papel se consume en el mundo
2
Los bosques cubren alrededor de la tercera parte de la superficie terrestre en
nuestro planeta
La disminucioacuten en el aacuterea de bosques es un problema muy serio
Es de particular intereacutes detener la disminucioacuten del aacuterea de los bosques tropicales
debido a muchas causas La peacuterdida de estos bosques estaacute destruyendo valiosas
especies vivientes y acelerando el calentamiento global La tabla de abajo muestra el
aacuterea de bosques tropicales en cada regioacuten del mundo
1
RegioacutenAacuterea Disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Razoacuten () de disminucioacuten en los
uacuteltimos 10 antildeos
Aacutefrica 687 634
Asia - Paciacutefico 349 324
Latino Ameacuterica 957 913
Total 1993 1871
1990 2000
（Una unidad de aacuterea son diez mil km2）
① Calcula la disminucioacuten en el aacuterea de bosques tropicales en los uacuteltimos 10 antildeos
y expreacutesala como una razoacuten utilizando el dato en 1990 como referente
② iquestNotaste algo en particular con base en la informacioacuten que muestra la tabla
③ iquestEn cuaacutentos antildeos maacutes desapareceraacuten los bosques tropicales en la regioacuten Asia-
Paciacutefico si la tasa de disminucioacuten se mantiene como ocurrioacute de 1990 a 2000
PaiacutesPoblacioacuten
(millones de personas)Consumo de Papel
(millones de Kg)Consumo de papel por persona (Kg)
China 1276 37581
Estados Unidos 285 87274
Francia 59 10876
Alemania 82 18543
Reino Unido 60 12516
Japoacuten 127 30836
Otros 4245 119729
Mundo 6134 317355
① Calcula la cantidad de papel que se consume por persona iquestQueacute notas
② Calcula la razoacuten de la poblacioacuten de cada paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial y
la razoacuten del consumo de papel en cada paiacutes con relacioacuten al consumo de la
poblacioacuten mundial Luego representa estas razones en las graacuteficas circulares de
abajo iquestQueacute notas
Aacutereas de bosques tropicales
Poblacioacuten y consumo de papel (2001)
Poblacioacuten por paiacutes respecto a la poblacioacuten mundial
Consumo por paiacutes respecto al consumo mundial
7372
Uso de las razonespara entender elmedio ambiente
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
7574
Graacuteficas con datos escolares
bull Toma datos de diferentes cosas que hay en tu escuela y represeacutentalos usando
graacuteficas Discute con tus compantildeeros queacute cosas pueden elegir
Razoacuten entre nintildeos y nintildeas
Tiempo para llegar a la escuela
Cambio en el nuacutemero de alumnos
Hay maacutes nintildeos
que nintildeas
Hareacute una graacutefica
acerca del menuacute
del almuerzo
Hareacute una graacutefica
del nuacutemero total
de alumnos
Usareacute la razoacuten
entre nintildeos y
nintildeas
Mi proyecto seraacute sobre el
tiempo que usan los alumnos
llegar a la escuela
El 74 de los alumnos
llega a la escuela
en 15 minutos
El nuacutemero de alumnos ha
ido decreciendo
cada antildeo
(Razoacuten entre nintildeos y nintildeas)
Aunque hay el mismo nuacutemero de nintildeas ynintildeos en primero y segundo grado la razoacutenentre nintildeos y nintildeas es diferente La razoacuten respecto al total de alumnos en la escuela nosdice que el 504 son nintildeos y el 496 sonnintildeas Lo que sigue seriacutea analizar esas razones a nivel nacional
Nuacutemero de nintildeos y nintildeas de primero a sexto grado
Calculamos las razones con los datosde la tabla y las representamos enuna graacutefica de banda
(Tiempo en llegar a la escuela)246 alumnos contestaron este cuestionario
iquestCuanto tardas de tu casa a la escuelamenos de 5 minutosde 5 a 10 minutosde 10 a 15 minutosde 15 a 20 minutosOtros
Los resultados fueron los siguientes
Menos de 5 minutos 17 alumnosde 5 a 10 minutos 30 alumnosde 10 a 15 minutos 135 alumnosde 15 a 20 minutos 52 alumnosOtros 12 alumnos
Los expresamos como un graacutefico circular
Conclusiones La mayoriacutea de los alumnos tardan de 10 a 15minutos En la graacutefica vemos que casi frac34 delos alumnos pueden llegar a la escuela enmenos de 15 minutosLo siguiente seriacutea analizar estas razones enotras escuelas
(El Cambio en el Nuacutemero de alumnos)Obtuvimos los datos del nuacutemero de alumnos en nuestra escuela desde 1984
Representamos los cambios enesta graacutefica de liacuteneas
Observamos lo siguiente1048576Un decrecimiento sostenido1048576El nuacutemero de alumnos en 1997 es casi la mitadque el de 1984
Conclusiones
El nuacutemero de alumnos ha estado decreciendo raacutepidamente
El nuacutemero de alumnos en 1990 era 395 pero disminuyoacute a 224
en 1996 es decir en 6 antildeos El nuacutemero de alumnos en 1996 es
el 62 de los que habiacutea en 1990 Si el nuacutemero de alumnos
continuacutea decreciendo nuestra escuela podriacutea cerrar
Nintildeos Nintildeas1er grado2do grado3er grado4o grado5o grado6o gradoTotal
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
7776
Diariamente se generan diferentes tipos de basura en la cocina Hay mucho
maacutes deshechos que envases y vegetales
El agua que se usa para lavar el arroz las sobras de sopa de teacute y el aceite para
cocinar llegaraacute a los riacuteos mares y oceacuteanos
Conforme los mantos de agua esteacuten contaminados los peces y otras especies
de seres vivos no podraacuten sobrevivir
Cuando se lava un tazoacuten de sopa miso se necesitan 1200 litros de
agua para deshacerse de los residuos que quedan en la tuberiacutea para que
un pez pueda sobrevivir en esa agua cuando es reciclada Si una persona
lava diariamente un tazoacuten de sopa miso durante un antildeo iquestcuaacutenta agua se
necesitaraacute para deshacerse de los residuos
Un cucharoacuten puede contener 15 ml de aceite Cuando este aceite se
vierte en el desaguumle debe mezclarse con alrededor de 3000 litros de
agua para disolverse
① iquestCuaacutentas veces es esa cantidad de agua el volumen del aceite
② Si usamos 450 ml de aceite para cocinar y lo vertemos directamente
al desaguumle iquestcuaacutenta agua se necesitaraacute para disolverlo
Pensemos queacute podemos hacer para mantener limpia nuestra reserva de agua
1
2
Datos referentes a la cocina
Tina de bantildeograndeCasi 4000
litros
Estanque de pecesalrededor de40000 litros
Piscinaalrededor de400000 litros
Resumen del quinto grado
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
7978
El secreto de divide7
Nuacutemeros y caacutelculos
① 518 ② 0407 ③ 134 ④ 3600
① 06times8 ② 24times5 ③ 12times12
④ 26times25 ⑤ 34times86 ⑥ 12times08
⑦ 752divide8 ⑧ 368divide16 ⑨ 54divide45
⑩ 9divide05 ⑪ 17divide85 ⑫ 135divide27
⑬ ⑭ ⑮
⑯ ⑰ ⑱
31
407
03 11
10
31
5
0
05
1 2
11
2
3
iexcl Haz las siguients operaciones Verifica tus respuestas usando una calcu-
ladora1divide7＝2divide7＝3divide7＝4divide7＝5divide7＝6divide7＝7divide7＝8divide7＝9divide7＝hellip
Multiplica por 100 y por los siguientes nuacutemeros
Resuelve las siguientes operaciones
1
100
Ordena del menor al mayor las siguientes fracciones y
nuacutemeros decimales
iquestDoacutende debemos colocar los siguientes nuacutemeros en la recta
numeacuterica Indica su ubicacioacuten con una uarr
7＋8
3
8
3＋7
4
7
7＋9
2
9
2－6
4
6
3－5
7
5
5－16
4
5
17
816
7
10
2
518
308
Un alambre de 72 cm pesa 36 gramos
iquestCuaacutentos gramos pesa un 1 cm de ese
alambre
iquestCuaacutentos gramos pesan 36 metros
de ese alambre
100
170
330
228
3320
2214
33260
22156
332640
221535
3326450
2215349
33264510
22153497
33264513
2215349
01428571
7
iquestQueacute notas
1
2
3
4
5
3 6
9
9
96
1
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
8180
Ciacuterculos conceacutentricos
Cantidad y medida
1 Calcula el aacuterea de las siguientes figuras
2 Encuentra diferentes maneras para calcular el
aacuterea de las siguientes figuras
3 Calcula la longitud de la circunferencia y el aacuterea
de los siguientes ciacuterculos
8
① ②
③ ④
① ②
① ②
4 Traza la figura de la derecha
utilizando un cuadrado que mide
10 cm por lado
Calcula la longitud total del
contorno y el aacuterea de las secciones
coloreadas 10
iexclTraza a escala un ciacuterculo con diaacutemetro
de 10 metros
Con el mismo centro dibuja otro ciacuterculo cuyo
radio mida un metro maacutes iquestCuaacutentos metros
maacutes mide la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
iexclTraza un ciacuterculo que exceda en 1
metro al ciacuterculo cuyo diaacutemetro mide
100 metros (como se muestra en la
figura) iquestCuaacutentos metros maacutes mide
la circunferencia del ciacuterculo exterior
que la del ciacuterculo interior
8 cm
12 cm
10 cm11cm
8 cm
12 cm 14 cm
12 cm
9 cm
4 cm
6 cm
4 cm
14 cm 10 cm
16 cm
10 cm
4 cm8 cm
10 cm
10 cm
10 m
1 m
1 m
100 m
Paralelogramo Paralelogramo
Trapecio
Anticipa la respuesta
antes de hacerlo
8
10
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
8382
Figuras hechas con liacuteneas rectas
1 iquestCuaacutentos grados
miden los aacutengulos
y
2 Traza los siguientes cuadrilaacuteteros
Figuras
5
3 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
4 iquestCuaacutentos grados mide
el aacutengulo
iexclConecta con una liacutenea
cada pareja de puntos
donde la suma de sus 2
coordenadas sea 11
(por ejemplo 10 y 1)
iexclLos puntos marcados como 0 1 2 3 hellip y 23 pertenecen
a la circunferencia
Conecta todos los pares de puntos que estaacuten separados 8 unidades (por
ejemplo 0 y 8 1 y 9 hellip 16 y 0 y 17 y 1)
① Paralelogramo ② Rombo ③ Trapecio
120deg
75deg 60deg
4
6
6
745deg
54
5
120deg
75deg 45deg 60deg
cm
cm cm
cm
cm
cm
cm
A
B CD10 cm 10 cm
10 cm 10 cm
① ② ③
iquestQueacute pasaraacute si
intentamos con
nuacutemeros separados
por 9 unidades
4
7
7
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
8584
Iacutendices
2 Tenemos 160 libros en un librero
Esta graacutefica muestra el porcentaje
que corresponde a cada tipo de libro
iquestCuaacutentos libros de historia biografiacuteas e
historietas hay
1 Escribe la respuesta correcta en el recuadro
Relaciones entre cantidades
① 36 Kg corresponde al de 48 Kg
② 80 de 25 metros son m
③ 35 de yenes son 1400 yenes
bull Es uacutetil expresar ciertas cantidades como una razoacuten respecto a 100 para ver coacutemo
cambian algunos datos El meacutetodo que veremos a continuacioacuten se llama creacioacuten de
nuacutemeros iacutendices Un nuacutemero iacutendice se construye tomando una cantidad como 100
con base en esa cantidad se calculan los porcentajes de incremento o decremento en
distintos periodos de tiempo Los nuacutemeros iacutendices son nuacutemeros enteros que han sido
redondeados Encuentra los iacutendices que faltan en la tabla y despueacutes haz una graacutefica
de liacuteneas que lo represente
Antildeo Poblacioacuten Iacutendice
1995 125 millones 460 mil 100
2000 126 millones 890 mil 101
2010 127 millones 620 mil
2020 124 millones 130 mil
2030 117 millones 150 mil
2040 108 millones 960 mil
0（100）10
Historia
Biografiacuteas
Historieta
Otros 20
30
4050
60
70
80
90
Cada tipo de libro
La poblacioacuten de Japoacuten Iacutendice poblacional de Japoacuten
Caacutelculo de aacutereas
Descifremos el coacutedigo
Analicemos 4times6divide2
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance
Analicemos poblaciones
8
8
9
11
(ao)
11
1110
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
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4
5
2
1
4
5
6
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8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
Caacutelculo de aacutereas
Traza diferentes triaacutengulos conectando puntos en el papel cuadriculado (como
se muestra en la figura de abajo)
La idea de Emiko La idea de Nobuyuki
② Analiza y explica las ideas de Emiko y de Nobuyuki
③ Intercambia los triaacutengulos que dibujaste con los que hicieron tus amigos y
calcula sus aacutereas
② Intercambia los cuadrilaacuteteros que dibujaste con los que hicieron tus compantildeeros
y calcula sus aacutereas
① Calcula el aacuterea del
triaacutengulo ABC
① Calcula el aacuterea del
cuadrilaacutetero ABCD
Traza diferentes cuadrilaacuteteros conectando puntos en el papel cuadriculado
(como se muestra en la figura de abajo)
Calcula el aacuterea del siguiente
pentaacutegono
Intercambia los pentaacutegonos
que dibujaste con los que
hicieron tus compantildeeros y
calcula sus aacutereas
3
A1cm
1cm
B
C
A
B
C
4cmA
B
C
A
D
1cm
1cm
B
C
8786
No puedo medir
exactamente la base
y la altura usando la
cuadriacutecula
iquestPodemos usar esta idea para
calcular el aacuterea de un triaacutengulo
2
1
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
Descifremos el coacutedigo
bull Realiza las siguientes operaciones Para descifrar el coacutedigo conecta cada resultado con
la respuesta correcta que se encuentra en la columna de la derecha
bullUtiliza los caacutelculos de arriba para decodificar este mensaje
bullInventa otros problemas que utilicen coacutedigos
① bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
5 ＋636
N
② 8 ＋959
③ 7 ＋858
④ 5 ＋767
⑤ 8 －949
⑥ 5 －838
⑦ 41－
7
2
Iacute4
D3
12
A13
U11
E86
④ ① ⑥ ⑦ ⑤ ② ③
Analicemos 4x6divide2
Construye una figura cuya aacuterea sea la mitad de la del rectaacutengulo de abajo
y
expresan
nuacutemeros
iguales
6cm
4cm
8988
Si trazas una liacutenea desdeel punto medio de un ladoal punto medio del ladoopuesto obtendraacutes 2rectaacutengulos
Si trazas una diagonal
obtendraacutes 2 triaacutengulos
rectaacutengulos
Es posible hacer muchos
trazos que dividan el aacuterea
en la mitad
Biexcl
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bull
bull
bull
bull
bull
bull
bull
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
iquestCuaacutento pasto estaacute a su alcance① Analicemos la relacioacuten que hay entre las aacutereas y la expresioacuten 4times6divide2
Una vaca estaacute atada a la esquina de una cerca rectangular con una
cuerda que mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea puede comer pasto
la vaca Utiliza una escala de 1cm por metro y marca el aacuterea en que
la vaca se puede mover Despueacutes calcula el aacuterea total de pasto que la
vaca puede comer
② Misaki dibujoacute esta figura su aacuterea puede calcularse
utilizando 4times6divide2
iquestQueacute tipo de cuadrilaacutetero es eacuteste
Analiza por queacute el aacuterea de esta figura es la mitad
del aacuterea del rectaacutengulo
Piensa en la relacioacuten que hay entre 4times6divide2 y el
aacuterea de la figura que usamos en ①
③ Piensa coacutemo calcular el aacuterea de la siguiente
figura
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de este rectaacutengulo El largo es 4 y 6divide2
es el ancho
La idea de Masataka
4times6divide2 es como una foacutermula para calcular el
aacuterea de un paralelogramo La altura es 4 y 6divide2
es la base
La idea de Mie
Como 4 es la distancia entre las 2 paralelas de este
trapecio 4 es la altura del trapecio 6＝2＋4 es la
suma de las longitudes de los lados paralelos
Entonces 4times6divide2 significa
ldquoaltura (suma de lados paralelos)divide2rdquo
La idea de Takahiro
6cm
4cm
1
4 m
6 m
8 m
9190
iquestQueacute debes observar
cuando completes
el ciacuterculo
Podemos hacer un ciacuterculo
porque la cuerda puede
extenderse y girarse alrededor
de la estaca
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
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1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
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- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
6 m
4 m
8 m
60deg
Analicemos poblaciones
① Piensa coacutemo calcular el aacuterea de un
sector del ciacuterculo como el que se
muestra en la figura de la derecha
② Calcula el aacuterea total donde es
posible que la vaca coma pasto
Platica con
tus compantildeeros
sobre las
diferencias que
observas entre
las piraacutemides
poblacionales
de 1950 y del
antildeo 2002
La graacutefica de abajo muestra la poblacioacuten
para cada grupo de acuerdo a su edad
en el antildeo de 1950 Esta graacutefica muestra
una piraacutemide poblacional Haz una
piraacutemide poblacional para el antildeo 2002
a partir de la tabla de la derecha
1
2m
120deg
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（1950）
（Edad）
Hombres Mujeres
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
（2002）PoblacioacutenMujeres TotalHombres
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～8485～
5875598362447194801294319492826277978151106088657810273746211467328562515
127435
28622919304435073910464546994099387640645321439441713881338227441873179065183
3013306432003687410247864794416339214086528742633930349328281929982724
62252
Edad
Nuacutemero Total
8（ ） 6 4 2 0 0 （ ）2 4 6 8
（2002） Mujeres
（Edad）
85～80～8475～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres
Una vaca estaacute atada a una esquina de una cerca triangular cuya forma es un triaacutengulo
rectaacutengulo La cuerda con que estaacute atada mide 6 metros de largo iquestSobre queacute aacuterea
de pasto puede comer la vaca Utiliza una escala de 1 cm por metro y marca el aacuterea
en que la vaca se puede mover
2
En algunos casos el nuacutemero total no es igual a la suma de hombres y mujeres ya que estosnuacutemeros estaacuten redondeados
92 93
iquestEn cuaacutentos
sectores iguales estaacute
dividido el ciacuterculo
( )
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
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1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
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113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
Puedes encontrar
los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
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3
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5
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1
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9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
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- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
① Haz una piraacutemide poblacional
de los habitantes de tu localidad
② Compara la piraacutemide de tu
poblacioacuten con la de Aomori y
comenta las similitudes y las
diferencias
Haz una piraacutemide poblacional a
partir de los datos de la Prefectura
de Aomori en 2002
2 Prefectura Aomori
0～ 45～ 910～1415～1920～2425～2930～3435～3940～4445～4950～5455～5960～6465～6970～7475～7980～
3330737204402804497542794468494621543919490595423565077453874418744264360782291118590715331
3230635616387064404640425448914602144705496135508965109493685166753927469023559543352777338
656137282078986890218321991740922368862498672109324130186947559585498191829805850661942
1492669
Poblacioacuten
Mujeres TotalHombresEdad
Nuacutemero Total
（ ） 123456789 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（ ）（age）
80～75～7970～7465～6960～6455～5950～5445～4940～4435～3930～3425～2920～2415～1910～145～ 90～ 4
Hombres MujeresPrefectura Aomori
Paacutegina 2
Paacutegina 18~19
6cm2 6cm2
6cm2 6cm2
6cm2
① 15cm2 ② 9cm2
Base altura
① 32cm2 ② 10cm2
Base altura 2
① 6cm2 ② 405cm2
14cm2
① Foacutermula Aacuterea＝base x altura
Dos elementos que cambian juntos
aacuterea y altura
②
③ 2 veces 3 veces
Paacutegina 22
2
① ② ③15
15
110
① ② 2 183
75
23
25
Paacutegina 34
① ② ③ Igual78
83
① ② ③123
④ ⑤ ⑥47
34
① ② ③17
59
86
18
113
① 05 ② 031 ③ 3 125
5 ① ②310
1910 ③ ④61
100111100
Altura (cm) 2 4 6 8 1012141618
Aacuterea (cm2) 102030405060708090
Paacutegina 38~39
① ② ③065 03 225
④ ⑤ ⑥04 15 15
⑦ ⑧ ⑨1525 16 028
④
① ② ③120 70 115
① 75cm2 ② 24cm2
① 30cm2 ② 24cm2
① ② ③145
④ ⑤ ⑥24
49
117
910
0375m o m
075 es grande
Paacutegina 51① La longitud de la circunferencia Eacute 314cm
AacutereaEacute 785cm2
② La longitud de la circunferencia Eacute 4396cm
AacutereaEacute 15386cm2
1
2 ① 628cm ② 5966cm2
3 AacutereaEacute 2512 cm2 La longitud alrededorEacute 2512 cm
Paacutegina 701 ① 07 ② 1
2 ① 08 ② 125
3 ① 1254 105
5 12 huevos
② 875
Paacutegina 771
2
alrededor 438000l
①200000 veces
① 100 vecesEacute 518 Eacute 00518
② 90000l
Paacuteginas78~79
1 1100
② 100 vecesEacute 407 Eacute 0004071100
③ 100 vecesEacute 1340 Eacute 01341100
④ 100 vecesEacute 360000 Eacute 361100
① 3 residuo 1
3 15 diacuteas② 16 residuo 01
2 ① ② ③48 12 144
④ ⑤ ⑥65 2924 096
⑦ ⑧ ⑨94 23 12
⑩ ⑪ ⑫18 02 5
⑬ ⑭ ⑮1 1108
38
9594
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los datos en
Internet
Respuestas
(edad)
1
1
2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2
1
4
5
6
7
8
9
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p018-p033-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p034-049-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p050-p065-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p066-p081-Spanishok_18ene12
- 5th-vol2-p082-p097-Spanishok_18ene
-
96
⑯ ⑰ ⑱26
45
16
3
5
308 1 16 07178
34
45
El peso de 1cm es 05g
El peso de 36cm es 180g
bullLos nuacutemeros 1 4 2 8 5 y 7 estaacuten
arreglados en orden despueacutes de la
coma decimal
Paacutegina 80~81
① 48cm2 ② 40cm2
③ 144cm2 ④ 36cm2
1
① 70cm2 ② 130cm22
②4
① CircunferenciaEacute 2512cm Aacuterea5024cm2
CircunferenciaEacute 5024cm Aacuterea20096cm2
La longitud alrededorEacute 514cm AacutereaEacute 215cm2
bull 628m 628m
3
Paacutegina 83
Paacutegina 841 ① ② ③75
2 HistoriaEacute 64 libros
Biografiacuteas Eacute 32 libros
Historietas Eacute 24 librosbullLos iacutendices estaacuten arreglados en orden 100
101 102 99 93 y 87
Iacutendice poblacional de Japoacuten
2 4000
110
100
90
8001995 2000 2010 2020 2030 2040
（antildeo）
Paacutegina 821
3
120deg 120deg 60deg
① ② ③110 100 120
4 30deg
Respuestas
- 5th-vol2_p001-p017-Spanishok_18ene12
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