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PREFALCPrograma Regional Francia-America Latina y Caribe

PREPA para los paises andinosMódulos franceses incorporados a maestrias

(El programa se inicio en 2004 con Peru)

Objectivos del programa1) Fortalezer los acuerdos de cooperación.

2) Transferir modulos de formación.3) Incentivar acuerdos de tesis en co-tutela.

4) Favorecer la integración regional.5) Promover el sistema de trasferencia de creditos

europeos (ECTS) como indicadores del reconocimientomutuo de los periodos de estudios de un estudiante.

Jean-Pierre GALAUPJean-Louis LE GOUËT

Ivan LORGEREFabien BRETENAKER

+varios estudiantesen tesis, post-docs

o visitantes

Laboratorio Aimé COTTON, Bât. 505, ORSAYhttp://www.lac.u-psud.fr

Óptica y Materialespara Procesar Informaciones Ópticas

Todas las informaciones en

http://www.u-psud.frhttp://www.lac.u-psud.fr

y conGoogle-earth!!

AeropuertoCharles de Gaulle

El laboratorio Aimé COTTONpertenece al C.N.R.S. y esta

ubicado en laUniversidad PARIS-SUD/Orsay

PARIS

Orsay20km

20km

Seine

Óptica y Materialespara Procesar Informaciones Ópticas

Optica y Materialespara Procesar Informaciones Opticas

Spectral selective studies of molecular doped solids and applicationsJ.-P. GALAUPin Advances in Multi-photon Processes and SpectroscopyS.H. Lin, A.A. Villaeys and Y. Fujimura Eds.World Scientific Publishing Co Pte Ltd, SingaporeSeptember 2004Vol. 16, p. 73-248.

Mis temas de trabajo1) Espectroscopia “hole-burning” y estudios fotofísicos y fotoquímicoscon este método.2) Holografía espectro-temporal con materiales “hole-burning”.3) Dinámica vibracional de moleculas con echos de fotones.4) Pinzas ópticas y varias aplicaciones.

Óptica no-lineal

Jean-Pierre GALAUP

Laboratoire Aimé COTTONBât. 505, Centre d’Orsay

91405 ORSAY cedex (France)

[email protected]

Organisación del curso

Lunes 13 de octubre1 Introducción

1.1 Breves antecedentes1.2 Origen físico de las no-linealidades ópticas1.3 Recordatorios de la óptica lineal

Trabajos dirigidos: ejercicios sobre las origenes fisicasdielectricos, conductores

Martes 14 de octubre2 Propagación de la luz y cálculo de la susceptibilidad

2.1 Propagación lineal2.2 Propagación no-lineal2.3 Teoría semi-clásica de la respuesta lineal y no-lineal2.4 Modelo a dos niveles en régimen continuo

Trabajos dirigidos: susceptibilidades lineales y no linealessimetrias cristalinas


Miercoles 15 de octubre3 Fenómenos de la óptica no-lineal del segundo orden

3.1 Introducción y consideraciones generales3.2 Generación segundo de armónico3.3 Mezclas de frecuencias

Trabajos dirigidos: problemas de acuerdo de fasetipo I, tipo II

Jueves 16 de octubre4 Fenómenos de la óptica no-lineal del tercer orden

4.1 Mezcla 4 ondas y efecto Kerr4.2 Auto focalización, auto modulación, propagación solitón4.3 Procesos multifotónicos

Trabajos dirigidos: efecto Kerrbi-estabilidad opticaconjugacion de fase


Viernes 17 de octubre5 Dispersiones espontáneas y estimuladas

5.1 Dispersión Raman5.2 Dispersión Brillouin5.3 Dispersión Rayleigh

Trabajos dirigidos: dispersion Raman, amplificacion Raman

y a continuacion, un examen final!

Generacion del armonico dos con un laser Nd:YAG

Doblamiento de frecuencia en un cristal de LBO

Dispersion Raman

Dispersion Raman

LaboratorioCharles Fabry delInstituto de Optica

de Orsay

Bibliographie [1] Cours de Manuel Joffre, Optique non-linéaire (DEA Physique Quantique de l’Ecole

Polytechnique) WEB : http://www.lob.polytechnique.fr/personnel/manuel_joffre/manuel.joffre.htm

[2] Cours de Robert Frey, Electromagnétisme non-linéaire (DEA Lasers et Matière de l’Université Paris-XI).

[3] Cours de J.-Y Courtois (Chapitre 4 du livre : Les lasers - Leurs applications scientifiques et médicales, C. Fabre et J.-P. Pocholle, éditeurs scientifiques, EDP Sciences, 1996 (ISBN : 2-86883-279-2) WEB : http://books.edpsciences.com/articles_books/textes/lasers.html

[4] L’optique non-linéaire et ses matériaux, R. Levy et J.M. Jonathan, éditeurs scientifiques, EDP Sciences, 2000 (ISBN : 2-86883-507-4).

[5] F. Jonsson, Lecture notes on nonlinear optics, présentées au Royal Institute of Technology, Stckholm, Suède (8 Janvier-24 Mars 2003). WEB : http://www.laserphysics.kth.se/nlopt/default.html

[6] W. Ubachs, Nonlinear optics, lecture notes, présentées au Centre Laser de l’Université Libre d’Amsterdam, Hollande (2001). WEB : http://www.nat.vu.nl/~wimu

[7] N. Bloembergen, Nonlinear optics, 4th ed., World Scientific, 1996. [8] Y.S. Chen, The principle of nonlinear optics, John Wiley & Sons, 1984. [9] D.L. Mills , Nonlinear optics : basic concepts, Springer-Verlag, 1991. [10] P.N. Butcher et D. Cotter, The elements of nonlinear optics, Cambridge studies in

modern optics, Cambridge University Press, Cambridge (1990). [11] R.A. Fisher, Optical phase conjugation, Academic Press (1983). [12] A. Yariv et P. Yeh, Optical Waves in Crystals : Propagation and Control of Laser

Radiation, Wiley-Interscience (2003). [13] V.G. Dmitriev , G.G. Gurzadyan et D.N. Nikogosyan, Handbook of nonlinear optical

crystals, Springer Series in Optical Sciences 64, Springer Verlag, Berlin (1991).

Un libro que le puedo recomendar es:

NON-LINEAR OPTICS (Second Edition) deRobert W. Boyd

Academic Press, 2003

Organisación del curso1. Introducción

1.1 Breve historia de la óptica no-lineal1.2 Origen física de las no-linealidades ópticas

2. Propagación de la luz2.1 Propagación lineal2.2 Propagación no-lineal

3. Cálculos de susceptibilidades3.1 Teoría semi-clásica de la susceptibilidad3.2 Modelo a dos niveles en regimen contínuo

4. Generación del segundo armónico4.1 Introducción y consideraciones generales4.2 Condiciones del acuerdo de fase

5. Fenómenos del segundo órden5.1 Mezcla de frecuencias5.2 Amplificación y oscillación paramétricas

6. Fenómenos del tercero órden6.1 Mezcla de 4 ondas - Efecto Kerr6.2 Autofocalización, automodulación

• Óptica lineal‘Óptica con luz debil’:

La luz es reflejada, refractada, atrasada ... pero su frecuecia no cambia, no aparecen nuevas frecuencias.

• Óptica no-lineal‘Óptica con luz fuerte’:

La luz tiene la capacidad de modificar las propiedades ópticas del medio que esta atravesando, por ejemplo, cambiar el índice de refracción.

Nuevas frecuencias mas altas o mas bajas pueden aparecer.

Introducción : óptica lineal versus óptica no-lineal

s(t)e(t) h(t)

αe(t)+βe’(t) → αs(t)+βs’(t)Para un sistema lineal, se aplica el teorema de superposición:

ElectrónicaTeoría de los sistemas

Para este sistema no-lineal, T(I1+I2) ≠ T(I1) + T(I2)−TL(0)

I1 I2 Intensidad

Transmisión

T(I1)

T(I2)

TL(0)

Un ejemplo de sistema no-lineal : un vídrio fotosensible o fotocrómico

Introducción : Óptica lineal versus óptica no-lineal

Intensidades importantes o no?

Electrones en la materia: campos electrostaticos tipicos

Campo eléctrico de una onda de luz

Poynting

Con un laser contínuo:Π ≈ 1W/µm2 ⇒ ER≈ 2.107 V/m efectos moderados

Con un laser pulsado: 0.1 J/1 ns = 108 W focalisado sobre 1 µm2 ⇒ ER≈ 2.1011 V/m

efectos no-lineales importantes

En el caso no resonante, SI!

Ley de Coulomb

Intensidades importantes o no?

En el caso resonante, NO!

En caso de saturación de una transiciónque tiene una duración de vida τ, lapotencia necesaria es:

P = hν/τ = hc/λ0τ ≈ 3.10-11 W

Por una sección eficaz de absorpción típica σ = 3.10-13 cm2, la densidad de potencia corresponde a:

Isat= P/σ ≈ 10 mW/cm2

Entonces cerca de una resonancia, los efectos no-linealespueden estar inducidos con densidades de potencia

de solamente unos mW/cm2.

χ(1) es sin dimension, y del orden de1.

χ(2) tiene la dimension del inverso del campo eléctrico (m.V-1).Estimacion de su orden de magnitud suponiendo P(2) ≅ PL por un campo eléctrico Eat = e/4πε0 a0

2 donde a0 es el rayo de Bohr :

Entonces χ(2) ≅ χ(1)/Eat ≅ 2.10-12 m.V-1 = 2 pm/V.

De igual manera, χ(3) tiene la dimension del inverso de un campo eléctrico a la potencia 2, y su orden de magnitud es :

χ(3) ≅χ(1)/Eat2 ≅ 4.10-24 m2.V-2 = 4 pm2.V-2.

Unidad y orden de magnitud de las susceptibilidades

P = χ(1).E + χ(2).E.E+ χ(3).E.E.E + ….

Importancia de la óptica no-lineal

• Generación de nuevas frecuencias por doblamiento, triplage o mezcla de frecuencias del infrarojo hasta los rayos X.

• Generación de pulsos ultra-cortos imposibles de obtener por otros medios: OPO, rayos X coherentes.

• El control de la onda óptica es una de las tecnologías futuras para los procesamientos ópticos.

• Las aplicaciones mas importantes son en comunicaciones por fibras ópticas y en opto-electrónica, dominios sumamente interesantes para los tecnicos y ingenieros.

Los datos más importantes de una historia de 50 años

1954 : Maser a gaz (NH3), TownesBasov et Prokhorov (URSS), primero maser a 3 niveles(Townes, Basov y ProkhorovNobel de Física 1964)1960 : Laser sólido (rubis) bombeado por flash, Maiman1961 : Primero efecto no-lineal (SHG), Franken et al.1962 : • Generación del tercero harmónico (THG), Terhune

• Efecto Raman estimulado, Woodbury y Ng1964 : • Dispersión Brillouin estimulada

• Echo de fotones, Kurnit et al.1973 : Generación de solitones en fibras, Hasegawa y Tappert1976 : Bistabilidad óptica, Gibbs et al.1980 : Primeros solitones en fibras ópticas, Mollenauer et al.1981 : Bloembergen y SchawlowNobel de Física

y sigue todavía ... pulsos atosegundos (10-18 s), generación laser X, radiación THz, etc.

La primera observación del fenómeno de doblamiento de una frecuencía óptica:

Primera observación del fenómeno de doblamiento de frecuencia(Franken et al., Phys. Rev. Lett. 7 (1961) 118)

Lámina de quartz

Biografía de Nicolaas Bloembergen (1920 - …)

Nacimiento en Dordrecht, Hollanda.Estudios en la Universidad de Utrecht.En 1945, empieza una tesis de doctorado en Harvard.Contribuyó al desarollo de un equipo de RMN, inmediatamente aplicado al estudio de líquidossolidos y gases. Los resultados fueron publicadosen un artículo famoso (N. Bloembergen, E.M. Purcell yR.V. Pound, Phys. Rev. 73, 679, 1948).Su actividad culminó con la proposición del maser sólido a tres nivelesen 1956, contribuyendo a la realisación del primero láser a rubí en1960. Despues, desarolló el nuevo campo de la óptica no-lineal(Bloembergen, Non-linear Optics, Benjamin, New York, 1965).En 1981, recibió el Premio Nóbel de Física, compartíendole con ArthurL. Schawlow para sus contribuciones a la espectroscopía láser y aluso de los efectos no-lineales.


1.1 Breve historia de la óptica no-lineal

1.2 Origen física de las no-linealidades ópticas2. Propagación de la luz

2.1 Propagación lineal2.2 Propagación no-lineal





Origen física de las no-linealidades ópticas

Respuesta de un dieléctrico : modelo del electrón ligado por un elástico

Con campos que cambian lentamente, el movimiento x(t) del electrón sigue el campoeléctrico E(t).

La polarización P(t) = ηe.x(t) esta proporcionalinstantaneamente al campo E(t).

( ) )t(Eme

...xxxtx

tx 3)3(2)2(2

e2

2

−=+ζ+ζ+ω+∂∂γ+

∂∂

Potencial inharmónicoAmortiguador«Damping»

Fuerza delelástico

Respuesta a un campo monocromáticoal primer orden : respuesta lineal

Se busca una solución de x(t) en forma de un desarollo en potenciasde la amplitud compleja del campo E(t)

Al orden 1 del cálculo, no se toma en cuenta la inarmonicidad

.c.c)texp(E)t(E 0 +ω−= i

x(t) = x(1)(t) + x(2)(t) + ...

.c.c)texp(

m

eE)t(x

22e

0)1( +γω−ω−ω

ω−−=i

i

.c.ceE)()t(P t0

)1(0

)1( +ωχε= ω−i

γω−ω−ωωεη−=ωχ

i22e0

2)1( 1

m

e)(con

Respuesta a un campo monocromáticoal primer orden : respuesta lineal

A la aproximación de casi resonancia: |ωe-ω|<< ωe, se obtiene:

)1()1(

e0

2)1( "'

2/

1

m2

e)( χ+χ=

γ+∆ωεη−=ωχ i

i

4/m2e

'22

e0

2)1(

γ+∆∆

ωεη−=χ

4/2/

m2e

"22

e0

2)1(

γ+∆γ

ωεη=χ

χ(1) es la susceptibilidad lineal


Regimen lineal Regimen no-lineal


Aqui, solamente la conclusión: hay que recordarse que en el caso delos dieléctricos, las no-linearidades son debidas a la inarmonicidaddel movimiento, y en los metales conductores, a la contribución de la fuerza de Lorentz debida al campo magnético que actua sobrelos electrones.

Para calcular las susceptibilidades del segundo, tercero orden … en elcuadro de este modelo, al orden 2 del cálculo, se usa la solución obtenida al orden 1 como una nueva fuerza motriz y se calcula lacorección debida al primer término inarmónico ζ(2)[x(1)(t)]2.

La situación de los metales se considera de una manera distinta.

Estas consideraciones seran examinadas en los TD.

Bv.err ∧


1.1 Breve historia … 1.2 Origen física ...

1.3 Recuerdos de óptica lineal2. Propagación de la luz

2.1 Propagación lineal2.2 Propagación no-lineal





Utilisación de la transformada de Fourier

Descomposición en ondas llanas :

Θ(ω) es la función de Heaviside:Θ(ω) = 0 si ω < 0Θ(ω) = ½ si ω = 0Θ(ω) = 1 si ω > 0

Parseval

Densidad de potencia (vector de Poynting)

(En el vacío)

• Densidad temporal de potencia (o intensidad temporal)

• Densidad espectral de potencia (o intensidad espectral)

Teorema de Parseval-Plancherel :

• Linealidad y localidad

Respuesta lineal

• Invariabilidad por traslación en el tiempo :

• Principio de causalidad :

• Espacio temporal :

Susceptibilidad lineal

• Espacio espectral :

Desarollo multilineal de la polarización

Propagación de una onda electromagnética

Ecuaciones de Maxwell :

Ecuación de propagación :

2

2

20

2

2

2 t

P

c

1

t

E

c

1)E.(E

∂∂

ε=

∂∂−∇∇−∆

rrrrrr

Teorema de Gauss

Ley de Faraday

Conservacion del flujo magnéticoTeorema de Ampère

Desde la ecuación de propagación a la ecuación de Fresnel

Diferentes tipos de materiales

Propagación dentro de un material isotrópico

Superficie de los índices en un material uniáxico

n0 = índice ordinarione = índice extraordinario

Si n0 < ne

uniáxico positivo

Si n0 > ne

uniáxico negativo

2e

2

2o

2

2e n

sin

n

cos

)(n

1 θ+θ=θ

Doble refracción (“walk-off”)

Ecuación de propagación en el vacío

Approximación paraxial :

Cambiamos al espacio de los vectores de onda transversos

Una transformada de Fourier conforme a x y a y resulta en :

Propagación de un haz de luz

Propagación de un haz gaussiano

Sea un haz con un perfil inicial gaussiano :

En el espacio de Fourier :

de donde deducimos :

⇒ el haz se queda con un perfil gaussiano

Propagación de un haz gaussiano

Haces gaussianos de orden multiple : TEMn,m



2. Propagación de la luz2.1 Propagación lineal

2.2 Propagación no-lineal3. Cálculos de susceptibilidades

3.1 Teoría semi-clásica de la susceptibilidad3.2 Modelo a dos niveles en regimen contínuo




Ecuación de propagación no-lineal

• Double refracción desdeñable• Campos escalares

2

)NL(2

20

2

)1(2

20

2

2

2 t

P

c

1

t

P

c

1

t

E

c

1)E.(E

∂∂

ε+

∂∂

ε=

∂∂−∇∇−∆

rrrrrrr

...t

P

c

1

t

P

c

1

t

P

c

1

t

E

c

1)E.(E

2

)3(2

20

2

)2(2

20

2

)1(2

20

2

2

2+

∂∂

ε+

∂∂

ε+

∂∂

ε=

∂∂−∇∇−∆

rrrrrrrr

2

)NL(2

20

2

)1(2

20

2

2

2 tc

1

tc

1

tc

1

∂∂

ε=

∂∂

ε−

∂∂−∆ PPE

E

2

2

20

2

2

2 t

P

c

1

t

E

c

1)E.(E

∂∂

ε=

∂∂−∇∇−∆

rrrrrr

Lineal

No-lineal

Doble refracción (“walk-off”)

θ−θ=ρ 2sin)n

1

n

1(

2

)(ntan

2o

2e

2e

n0 = índice ordinarione = índice extraordinario

Si n0 < ne

uniáxico positivo

Si n0 > ne

uniáxico negativo

Approximación paraxial

• propagación lineal

• propagación no-lineal

E(x,y,z,ω)=A(x,y,z,ω).exp[ik(ω)z]

donde A(x,y,z,ω) es una envolvente que varia lentamente con z.

0z

)(k2yx 2

2

2

2

=∂

∂ω+∂

∂+∂

∂ AAAi

z)(k)NL(2

0

2

2

2

2

2

e).,z,y,x(cz

)(k2yx

ω−ωεω−=

∂∂ω+

∂∂+

∂∂ ii P

AAA

z)(k)NL(

0

e).,z(c)(n2z

ω−ωεω

ω=∂

∂ iiP

AEn el caso 1D:

Esta ecuación es la ecuación de propagación en regimen no-linealy en la aproximación paraxial

Approximación paraxial

∑ ω−=i

t)NL(i

ie)t,r( iEEr

∑ ω−ωδπ=ωi

i)NL(

i )()r(2),r(rr

EE⇒TF

z)(k)NL(

0

e).,z(c)(n2z

ω−ωεω

ω=∂

∂ iiP

A

z)(k)NL(i

0i

i iecn2dz

d ω−

εω= ii

PA

donde ni = n(ωi) y ki = k(ωi) = niωi/c.

Es este sistema no-lineal que tendremos que resolver en lacontinuación de este curso, en diferentes casos particulares.

Esta ecuación de propagación representa un sistema de 3ecuaciones diferentiales acopladas :

)t,r(E)...t,r(E),...,(Rd...d)t,r(P ni1in1)n(

i...iin10)n(

i n1n1τ−τ−ττττε= ∫ ∫

rrr

t)...(ni1in1

)n(i...ii

n10

)n(i

n21

n1n1e).,r(E)...,r(E),...,(

2

d...

2

d)t,r(P ω++ω+ω−ωωωωχ

πω

πωε= ∫ ∫

irrr

χ(n) es el tensor de la susceptibilidad del orden n, de hecho untensor de orden n+1.

Desarollo no-lineal de la polarizacion

En la mayoria de los libros de optica no-lineal, el tensor de suscptibilidad no lineal se nota

donde ωσ=ω1+…ωn. Esta forma de notar hace sobresaltar la frecuencia ωσ generada.

),...,;( n1)n(

i...ii n1ωωω−χ σ

Ecuación de Bloch

Tratamiento semi-clásico

El campo electromagnético es tratado de acuerdo a Maxwellpero, la materia es tratada en términos cuánticos.

[ ]relaxation

0 dt

d,H

dt

d ρ+ρ=ρhh ii

( ))0(nmnmnm

relaxation

nm

dt

d ρ−ρΓ−=ρ

[ ] [ ]relaxation

0 dt

d),t(W,H

dt

d ρ+ρ+ρ=ρhh ii conW(t)= = )t(E.

rrµ− )t(E. iiµ−

( ) ( )∑ µρ−ρµ−=ρ−ρ

Γ+ω−l

ilmnllm

inl

i)0(nmnmnmnm )t()t(

)t(E)t(

dt

d

hii

Biografía de Felix Bloch (1905 - 1983)

Nacimiento en Suecia. Estudio ingeniería y física en elInstituto de Tecnología de Zurich de 1924 a 1927.Obtuvo el doctorado en física en 1928 en Leipzig enAllemagna. En su tesis, Bloch pone las bases de latheoría cuántica del sólido (funciones de Bloch en uncristal periódico). En 1934, va a los EE.UU. a Stanford.

Obtuvo la naturalisación americana en 1939. Durante la SegundaGuerra mundial, participó en Los Alamos al proyecto Manhattan debomba atomica y a los sistemas de rádares.En 1952, compartirá con Edward M. Purcell, el Premio Nobel de Físicapara el desarollo de la Resonancia Magnetica Nuclear (RMN). La RMNsera un útil potente para la determinación de la composición y de laestructura de moléculas, de suma importancia para el diagnósticomedical con la Imagería por Resonancia Magnética (IRM).Bloch a sido el primer Director General del CERN de 1954 a 1955.

Resolución con la función de Green

( ) ⇒δ−=

Γ+ω−h

)t(tG

dt

dnmnmnm ii

( )

µρ−ρµΓ+ω−ω

−=ωρ−ωρ ∑l

ilmnllm

inli

nmnm

)0(nmnm )t()t()t(E

/1)()( F

i

h

Con una transformada de Fourier, se obtiene:

Función de Green:

nmnmnm

/1)(G

Γ+ω−ω−=ω

i

h

( )

µρ−ρµω=ωρ−ωρ ∑l

ilmnllm

inlinm

)0(nmnm )t()t()t(E)(G)()( F

( )

µρ−ρµ⊗+ρ=ρ ∑l

ilmnllm

inlinm

)0(nmnm )t()t()t(E)t(G)t()t(

Y con una transformada de Fourier inversa, obtenemos:

Desarollo perturbativo

ρ = ρ(0)+ ρ(1)+ ρ(2)+…

( )

µρ−ρµ⊗=ρ ∑+

l

ilm

)p(nl

)p(lm

inlinm

)1p(nm )t()t()t(E)t(G)t(

Conociendo la solución al orden cero, ρ(0):

( )

µρ−ρµ⊗=ρ ∑l

ilm

)0(nl

)0(lm

inlinm

)1(nm )t()t()t(E)t(G)t(

( )


ilm

)1(nl

)1(lm

inlinm

)2(nm )t()t()t(E)t(G)t(

( )


ilm

)2(nl

)2(lm

inlinm

)3(nm )t()t()t(E)t(G)t(

Esta solución iterativa esta bien adaptada a la computación

Resolución al primer orden

( )


ilm

)0(nl

)0(lm

inlinm

)1(nm )t()t()t(E)t(G)t(

∑ ρµ=nm

)p(nm

imn

)p(i )t()t(P N

Con la expresión de la polarización:

( ) )t(E)t(G)t(P jnm

nm)0(

nn)0(

mmjnm

imn

)1(i ⊗

ρ−ρµµ= ∑N

( ) )(E).(G)(P jnm

nm)0(

nn)0(

mmjnm

imn

)1(i ωωρ−ρµµ=ω ∑N

( )∑ ρ−ρΓ+ω−ω

µµε

−=ωχnm

)0(nn

)0(mm

nmnm

jnm

imn

0

)1(ij )(

ih

N

De donde deducimos la expresión cuántica de la susceptibilidad lineal:

Y con una transformada de Fourier:

Modelo cuántico de la susceptibilidad

( )∑ ρ−ρΓ+ω−ω

µµε

−=ωχnm

)0(nn

)0(mm

nmnm

jnm

imn

0

)1(ij )(

ih

N

Población del estado n

|m>

|n>ωnm

|m>

|n>

ωng

|g>|g>

T ≠ 0 T = 0

Modelo cuántico de la susceptibilidad

Susceptibilidad lineal

A temperatura T = 0 K, solo se consideran las transicionescon el nivel fundamental y se obtiene :

Γ+ω+ωµµ

−Γ+ω−ω

µµε

−=ωχ ∑≠ ngng

jgn

ing

ngng

jng

ign

gn 0

)1(ij )(

iih

N




3. Cálculos de susceptibilidades3.1 Teoría semi-clásica de la susceptibilidad

3.2 Modelo a dos niveles en regimen contínuo4. Generación del segundo armónico

4.1 Introducción y consideraciones generales4.2 Condiciones del acuerdo de fase



Modelo a dos niveles en regimen contínuo

Regimen lineal

( ))0(bb

)0(aa

babababa0

)1(ij

11)( ρ−ρ

Γ+ω+ω−

Γ+ω−ωεµ−=ωχ

iih

2N

Ecuaciones de Blochpara un systema a dos niveles en regimen contínuo

Nos interesamos a la respuesta no-lineal de este sistema.

La ecuación de Bloch:

Se escribe:

Buscamos una solución estacionaria

Buscando una solución estacionaria

Susceptibilidad en presencia de saturaciónregimen no-lineal

→ saturación de la absorpción, saturación de la ganancia

Lineal No-linealf1

f2

f1

f2

χ(2)ωω

2ω ω

ω2ω

Generación del segundo armónico

Un cristal sin centro de inversión

Niveles virtuales

La generación del segundo armónico no necesita ningunaresonancia para ser efectiva.

Generación del segundo armónico

Procesos no-lineales del segundo orden

χ(2)( −2ω; ω, ω) P(2ω) = (1/2)ε0 χ(2)(2ω) E1

2

Doublage de fréquence SHG Second Harmonic Generation

χ(2)( −(ω1+ω2); ω1, ω2) P(ω1 + ω2 ) = ε0 χ(2)(ω1 + ω2 ) E1 E2

Somme de fréquences SFG Sum-Frequency Generation

χ(2)( −(ω1−ω2); ω1, −ω2) P(ω1 − ω2 ) = ε0 χ(2)(ω1 − ω2 ) E1 E2

Différence de fréquences DFG Difference-Frequency Generation

χ(2)( 0; ω, −ω) P(0) = (1/2)ε0 χ(2)(0) (E1

2 + E22)

Redressement optique OR Optical Rectification

χ(2)( −ω; ω, 0) Effet électro-optique (Pockels)

πω

πωωωχε= ω+ω−

∫2

d

2

de)(E)(E)t(P 21t)(

2k1j)2(

ijk0)2(

i21i





4. Generación del segundo armónico4.1 Introducción y consideraciones generales

4.2 Condiciones del acuerdo de fase5. Fenómenos del segundo órden

5.1 Mezcla de frecuencias5.2 Amplificación y oscillación paramétricas


Doblamiento de frecuencia

t11

1e)z()t,z( ω−= iEEEl campo complejo genera la polarización

=ε0χ(2)E12

z)(k)NL(i

0i

i iecn2dz

d ω−

εω= ii

PA kz2

12

)2(22 e)z(

cn4dz

d ∆χω= iiA

A

Aproximación paramétrica ⇒A1(z)≈A1(0)=A1

k

1e)z(

cn2k

1e)z(

cn4)z(

kz2

12

)2(1

kz2

12

)2(2

2 ∆−χω=

∆−χω=

∆∆ ii

i

iAAA

( )2

21

2)2(32

120

212

220

2

2k2kz

sin)z(

cnn2)z(

2

cn)z(

∆

∆

χε

ω=ε= II A

y la intensidad del segundo harmonico es:


2

110

1 )z(2

cn)z( A

ε=Icon


* La intensidad del segundo harmónico es proporcional a (χ(2))2.

* El rendimiento de conversión de la energía I 2/I l es proporcional a I l.

* I 2 es proporcional a [sin(∆kz/2)/(∆k/2)]2 ⇒ longitud de coherencia

2π/∆k 4π/∆kz

I2

2k

c

∆

Doblamiento de frecuencia sin acuerdo de fase

Longitud de coherencia : Lc = π/∆k = λ1/4(n1-n2)

Acuerdo de fase usando de la birrefringencia (tipo I)

El cristal es cortado de tal manera que un haz a la incidencianormal hace un angulo θ con el eje óptico.

z

x

y

θ

n0(ω)

ne(2ω)

n0(ω)

n0(ω)ne(2ω)ne(ω)

k

Cristal uniáxico, surperficie de los índices

Cristal uniáxico realisación del acuerdo de fase

Eje óptico

no(2ν)

no(ν)

ne(2ν)

ne(ν) θ0 θ0

Tipo I

ne(2ν)=n0(ν)

Cristal uniáxico, realisación del acuerdo de fase

no(2ν)

no(ν)

ne(2ν)

ne(ν)

Tipo II

ne(2ν)=½(ne(ν)+ n0(ν))

Eje óptico

Propriedades de algunos materiales no-lineales

Visitan el sitio: http://www.sandia.gov/imrl/XWEB1128/xxtal.htm ♥

Cristal Dominio de transparencia, nm Aplicaciones típicas

LBO 0.16 - 3.3 High power lasers harmonics generation and OPO pumped by Nd:YAG harmonics

BBO 0.19 - 3.3 Solid State and Dye laser harmonics generation with output in the range 200-532 nm;OPO/OPA pumped by Nd:YAG harmonics with 295 - 3000 nm output

KTP 0.38 - 4.4 Harmonics generation in UV and VIS

KD*P 0.26 - 1.6 Harmonics generation in VIS

LiNbO 3 0.4 - 4.5 SHG and OPO pumped by Nd:YAG laser

LiIO 3 0.3 - 6.0 SHG and THG of Nd:YAG, DFM with output in the 3 - 5 µm range

AgGaS2 0.53 – 12 Harmonics generation and DFM with wide tunable output in the 3 - 9 µm, IR visualization

AgGaSe 0.73 – 18 SHG of CO2 lasers, OPO with 3 - 12 µm output

GaSe 0.65 – 18 SHG of CO and CO2 lasers, DFM with output in 7 - 16 µm

CdSe 0.75 – 25 DFM with tunable output up to 25 µm

AgAsS3 0.6 – 13 IR visualization, DFM, OPO

Te 3.8 – 32 DFM with output in 15 - 30 µm

Casi acuerdo de fase

• Bloembergen 1962• M.M. Fejer et al., IEEE J. Quant. Electr. 28 (1992) 2631

Periodically Poled Lithium Niobate (PPLN)

PPLN : cristales de niobato de litio a polarización feroeléctrica

inversada periodicamente.

Autocorelador para la medición de pulsos cortos

t

I

τ

δ/c

I1(τ) I2(τ)

δ−cτ cτ

S(δ)

Cristal no-lineal

I0

I0/2

I0/2

θ

τ

Atraso ópticovariable

DiafragmaFitro

Detector

I1(τ)

I2(τ)

Diferencia de frecuencias : ω1 - ω2 → ω3

La condición de acuerdo de fase se escribe : ∆k = k1 - k2 - k3

Si el proceso ω1 - ω2 → ω3 esta en acuerdo de fase, entonces losotros procesos ω1 - ω3 → ω2 y ω2 + ω2 → ω3 lo son también.

( )2*33

*22

*11

)2(0)NL(

4P EEEEEE +++++χε=

( )2*32

*31

*21

)2(0)NL(

4P EEEEEE ++χε=

La polarización no-lineal se escribe :


Hacemos un cambio de variable : )z(2

cn)z( i

i

0ii A

ωε=αh

3213

0

321)2(

nnnc2εωωωχ=ξ h

Calculemos la derivada de α1 segun z :dz

d

2

cn

dz

d 1

1

011 A

ωε=αh

kz3

03

32

02

2

1

)2(1

1

011 e..cn

2

cn

2

cn22

cn

dz

d ∆−αεωα

εωχω

ωε=α ii hh

h

kz32

kz32

3213

0

321)2(1 eennnc2dz

d ∆−∆− αξα=ααε

ωωωχ=α ii iih


kz32

1 edz

d ∆−αξα=α ii

kz*31

2 edz

d ∆αξα=α ii

kz*21

3 edz

d ∆αξα=α ii

Calculemos la derivada de Φ1 = α1α1* segun z :

kz32

*1

1*1

1 e2dz

d2

dz

d ∆−ααξα=αα=Φ iReiRe

kz*3

*21

1*1

2 e2dz

de2

dz

d ∆ααξα=αα=Φ iReiRe

kz*3

*21

1*1

3 e2dz

d2

dz

d ∆ααξα=αα=Φ iReiRe


dz

d

dz

d

dz

d 132 Φ−=Φ=Φ

⇒ Φ2−Φ3 se queda constante : es la relación de Manley-Rowe

( ) 0dz

d332211 =Φω+Φω+Φω hhh

La potencia total se conserva

El medio no absorba energía






5. Fenómenos del segundo órden5.1 Mezcla de frecuencias

5.2 Amplificación y oscillación paramétricas6. Fenómenos del tercero órden

6.1 Mezcla de 4 ondas - Efecto Kerr6.2 Autofocalización, automodulación

Complementari

a (“idler”

)

Señal

Bombeo

El haz “signal” es amplificado al expenso de la bombaUna nueva onda “idler” es generada a la frecuencia:

ωidler = ωpompe- ωsignal

y en la dirección conforme al acuerdo de fase:

Amplificación paramétrica

k3

k1 k2

k3 = k1 + k2

χ(3)( −3ω; ω, ω, ω) Generación del tercer armónicoχ(3)( −(ω1+ω2)±ω3; ω1, ω2,±ω3) Mezcla a 4 ondas no degeneradasχ(3)( −ω; ω, ω,−ω) Mezcla a 4 ondas degeneradasReχ(3)( −ω; ω, 0, 0) Efecto Kerr ópticoImχ(3)( −ω; ω, −ω, ω) Absorpción a dos fotonesχ(3)( −(ω±Ω); ω, −ω, ω±Ω) Dispersiones Raman y Brillouin

Procesos no-lineales del tercero orden

Los fenómenos del tercer órden son más débiles que los efectos delsegundo órden, pero son muy importantes por dos razones:• En los materiales con un centro de simetria, χ(2) = 0 ⇒ la primera contribución no-lineal viene del χ(3 ) que todos los materiales possedan.• Al contrario de los efectos del segundo orden, algunos procesos deltercer orden satisfacen automaticamente el acuerdo de fase ⇒ el efecto puede acumularse sobre grandes distancias.

|a>ω4 = ω1+ω2+ω3

(a)

ω4

ω1

ω2

ω3

|a>ω4 = ω1−ω2−ω3

(b)

ω4

ω1

ω2

ω3

|a>ω4 = ω1+ω2−ω3

(c)

ω4ω1

ω2

ω3

Diferentes areglos para la generación de una nueva frecuencia ω4 = ω1 ± ω2 ± ω3

|a>ω4 = ω1−ω2−ω3

(a)

ω4

ω1

ω2

ω3

|a>ω4 = ω1+ω2−ω3

(b)

ω4ω1

ω2

ω3

|b> |b>∆ω ∆ω

En condiciones de resonancia

Resonancias a 1 o a 2 fotones aumentan la eficienca

Casos particulares

• Generación de la armónica 3: en este caso, las 3 frecuenciasω1, ω2, ω3 son idénticas ⇒ permite obtener una fuente de luzUV con una sola fuente inicial.

• Efecto Kerr estático: interacción de un haz aω1 con un campo

electrico estático Es (ω2 = ω3 = 0).En un material isotrópico (un líquido), este efecto generas una birefringencia proporcional a (Es)2. También, una modulación de la luz es posible si el campo Es oscilla a una frecuencia Ω << ω1.

Cuidado: el efecto Kerr estáticoes un efecto electro-óptico deltercer orden que funciona con todos los materiales y líquidos.No se debe confundir con el efecto Pockels, bastante parecidopero que es un efecto del segundo orden que existe solamentecon cristales anisotrópicos que possedan un χ(2) ≠ 0 !

z

z’

EP

EP’

ES EC

Configuración para la conjugación de fase

La configuración para la conjugación de fase es particular:• Dos haces de bomba EP y EP’ de fuerte potencia interactuancon un haz señal ES dirigido en una dirección diferente.• Se busca el haz EC (conjugado o “reflejado”!) generado en la dirección contra-propagativaa la haz señal.

Configuración para la conjugación de fase

( ) ( )3*SS

'*P

'P

*PP

)3(0)3( t),r(t),r(t),r(t),r(t),r(t),r(8

t,rPrrrrrrr

EEEEEE +++++χε=

Desarollando esta expresión, se ve que solo el término EPEP’ES*donde aparece el conjugadode la onda “señal” coresponde a unaonda contra-propagativa.En efecto, su vector de onda esta definido como:

kC = kP + kP’ - kS = kP - kP - kS = -kS

señal

conjugado

)t()t()t(4

3 *S'PP

)3(0)3(

NL EEEPχε=

)t,r(E* rrt* e)r( ω−ir

E te)r( ωirE= Re= Re

)t,r(Err te)r( ω−ir

E= Re

La onda conjugada se obtiene por una inversion del tiempo !

(a)

(b)

Principio del espejo a conjugación de fase

Espejo a conjugación de fase

(a) (b)SS

Mirarse en un espejo a conjugación de fase

Como uno se veria?

En un espejo ordinario, la luz ambiental difusada por el observadoren todas las direcciones esta reflejada por el espejo y cada punto objeto crea un punto imagen virtual en el lado opuesto. El observador se mira a la escala 1 en el espejo.En un espejo a conjugación de fase, todos los rayos difusados en unpunto regresan a este punto y el observador mira solamente una superficie uniformamente iluminada !!

“Por favor, mi espejito conjugado, diga me que bella estoy.”

Efecto Kerr óptico

( ))t((t)3)t((t)3(t))t(8

)t(EP 2233)3(

03)3(0

)3( EEEEEE *** +++χε=χε=

En esta situación, un solo haz de luz ilumina el material

)t()t(4

3)t(

2)3(

0)3( EEPχε=

El cambio del índice de refracción, fuera de una resonancia, debido a un campo eléctrico de fuerte intensidad resulta de la distorsión de las nubes electrónicas las mas ajenas del núcleo.

Entonces, mas gruesosson los átomos, mas sensibles son al campo eléctrico. Resulta que son mas polarizablesy hyperpolarizablesy que posedan los mas importantes χ(3) .

La polarisación no-lineal tiene la misma fase que el campo incidente.

Efecto Kerr óptico

Valores relativos del χ(3) en comparación al vidrio SiO2

Efecto Kerr óptico

)t()t(4

3)t(

2)3(

0)3( EEPχε=

La ecuación de propagación se escribe:

AAA 2

nc8

3

dz

d )3(ωχ= i

Notar: la intensidad queda constante. En efecto:

AAA

AA

dz

d

dz

d

dz

d2 *

* +=

( ) 0nc8

3

dz

d )3(2

=ωχ= AAAAAA **2

-i

AEA

nc8

3

dz

d2

0)3(ωχ

= iEntonces |A(z)| = |A(0)| = |E0| ⇒

Efecto Kerr óptico

La solución es: A(z)=A(0)exp(iϕNL(z)) con znc8

3)z(

2

0)3(

NL

Eωχ=ϕ

El defasage es proporcional a la densidad de potencia I , entonces:

znc

)z( 2NL Iω=ϕ

Donde n2 proporcional a χ(3) es el índice no-lineal que toda materiaposeda, y entonces el campo eléctrico se escribe:

E(z)=E(0)exp[i (n+n2I )z]c

ω

n(I ) = (n+n2I )

Efecto Kerr cruzado

( ) ( )3*SS

*PP

)3(0)3( t),r(t),r(t),r(t),r(8

t,rPrrrrr

EEEE +++χε=

En este caso, dos haces bomba y señal interactuan:

En el desarollo de esta ecuación, numerosos términos aparecen:

t),r(t),r(t),r( *S

*PP

rrrEEE

( ) S

2

S

2

P

)3(0)3( 364

3EEEP +χε=

( )zn2nc

)z( P2S2NL II +ω=ϕ

Efecto Kerr óptico

Efecto Kerr cruzado inducido por la bomba

Biestabilidad óptica: el Fabry-Perot no-lineal

R R

I i I t

Er

Et

l

medio Kerr

T = I t/I i =(1+Ksin2δ)-1 donde K = 4R/(1-R2) y δ=δ0+δ’ I i

δ0 es el defasage con luz debil y δ’ es debido al índice no-lineal n2

Biestabilidad óptica: el Fabry-Perot no-lineal

T = (1+Ksin2δ)-1 (C)

T= (D)i

0

' Iδδ−δ

1

Ga

p

A B C

G F D E

(a)

(b)

2

3

4

5

δ

T = I t/I i

I t

I iH

Zone de bistabilité

(C)

(D)

δ0

AC

D

E

F

G

HB







6. Fenómenos del tercero órden6.1 Mezcla de 4 ondas - Efecto Kerr

6.2 Autofocalización, automodulación

Autofocalización de la luz

r0z O

O’

z’F

F’Medio no-lineal

∆z

(a) (b) (c)

r

I

n2>0n2<0

Autofocalización de la luz

t

I(t)

t I(ω)

ω ω

ω0

−∆ωΗ

ω0

∆ωΗ

t0

(a)

(b) (c)

Automodulación de la fase

Automodulación de la fase

(a)

(b)

(c)

I

ω

ω0

t

t

R1

R2Rouge

Bleu

Generación de luz blancapor automodulación de fase en un bloque de vídrio

Maria Goeppert-Mayer hizo la teoria de los procesosmultifotónicos en su tesis de doctorado!

Biografía de María Goeppert-Mayer (1906-1972)María Goeppert-Mayer nació en junio de 1906 en Katowice en Silesia (en Alemania en la época, hoy en Polonia). En 1910, su familia se desplazó a Göttingen dónde se entrevistó con matemáticos y físicos de reputación. En 1924, entró a de Göttingen dónde obtuvo su doctorado en la física teórica en 1930 bajo la supervisión de Max Born. En su tesis, calculó la probabilidad que un electrón que está en órbita en torno a un núcleo pudiera emitir dos fotones en una transición hacia una órbita de menor energía. Sus cálculos y sus predicciones se confirmaron extraordinariamente experimentalmente en 1961. Emigró con su marido en los Estados Unidos y se volvió ciudadana americana en 1933.Durante la segunda Guerra Mundial, trabajó en la separación del uranio 235 del uranio natural. Enseñó en numerosas instituciones antes de volver a entrar a de California a San Diego en 1960. Durante sus investigaciones, demostró que el núcleo atómico posee un número de neutrones y protones bien definido e introdujo un modelo estructural del núcleo atómico en capas .En 1963, compartió con H.D. Jensen y E. Wigner el Premio Nobel de la física para su estudio de la estructura nuclear. Fue citada por el Comité Nóbel para su obra independiente al final de los años cuarenta. Fue la segunda mujer americana que debe obtenerse el Premio Nóbel y la primera en la física. María Goeppert-Mayer murió en febrero de 1972.

2 photons

1 photon

N(z)

N0

z0

Absorpción bifotónica

Ventages de la absorpción bifotónica

Excitación con 2 fotones

800 nm

514 nm

Microscopía de fluorescencia multifotónica

- La excitación es directamente proporcional a la potencia dosde la intensidad de los fotones

-La probabilidad de excitación es inversamente proporcional a la distancia del plano focal a la potencia cuatro.

El huequito confocal no es mas necesario!

Bibliographie [1] Cours de Manuel Joffre, Optique non-linéaire (DEA Physique Quantique de l’Ecole

Polytechnique) WEB : http://www.lob.polytechnique.fr/personnel/manuel_joffre/manuel.joffre.htm

[2] Cours de Robert Frey, Electromagnétisme non-linéaire (DEA Lasers et Matière de l’Université Paris-XI).

[3] Cours de J.-Y Courtois (Chapitre 4 du livre : Les lasers - Leurs applications scientifiques et médicales, C. Fabre et J.-P. Pocholle, éditeurs scientifiques, EDP Sciences, 1996 (ISBN : 2-86883-279-2) WEB : http://books.edpsciences.com/articles_books/textes/lasers.html

[4] L’optique non-linéaire et ses matériaux, R. Levy et J.M. Jonathan, éditeurs scientifiques, EDP Sciences, 2000 (ISBN : 2-86883-507-4).

[5] F. Jonsson, Lecture notes on nonlinear optics, présentées au Royal Institute of Technology, Stckholm, Suède (8 Janvier-24 Mars 2003). WEB : http://www.laserphysics.kth.se/nlopt/default.html

[6] W. Ubachs, Nonlinear optics, lecture notes, présentées au Centre Laser de l’Université Libre d’Amsterdam, Hollande (2001). WEB : http://www.nat.vu.nl/~wimu

[7] N. Bloembergen, Nonlinear optics, 4th ed., World Scientific, 1996. [8] Y.S. Chen, The principle of nonlinear optics, John Wiley & Sons, 1984. [9] D.L. Mills , Nonlinear optics : basic concepts, Springer-Verlag, 1991. [10] P.N. Butcher et D. Cotter, The elements of nonlinear optics, Cambridge studies in

modern optics, Cambridge University Press, Cambridge (1990). [11] R.A. Fisher, Optical phase conjugation, Academic Press (1983). [12] A. Yariv et P. Yeh, Optical Waves in Crystals : Propagation and Control of Laser

Radiation, Wiley-Interscience (2003). [13] V.G. Dmitriev , G.G. Gurzadyan et D.N. Nikogosyan, Handbook of nonlinear optical

crystals, Springer Series in Optical Sciences 64, Springer Verlag, Berlin (1991).

Fin del cursoMuy agradecido por su indulgencia

(el programa se inicio en 2004 con peru) - …red.pucp.edu.pe/rpo/pdfs/onl lima 2008.pdf ·...

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