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FÍSICA Y QUÍMICA 4º E.S.O. TEMA 2: EL MOVIMIENTO. Página 16

TEMA 2

EL MOVIMIENTO

1.‐ MOVIMIENTOS Y SISTEMAS DE REFERENCIA Las ideas de reposo y movimiento, pertenecen a ese grupo de ideas que todo el mundo parece tener claras. Sin embargo, pronto descubrirás que, en física, incluso las ideas más arraigadas pueden volverse dudosas si reflexionamos sobre ellas.

Imagina un portaaviones que se mueve tranquilamente por el mar a 20 km/h hacia la derecha. Sobre la cubierta del mismo, hay una persona en bicicleta moviéndose justamente a 20 km/h hacia la izquierda. Desde la playa, con unos prismáticos, un turista se da cuenta de que la bicicleta permanece inmóvil en el mismo punto. Por supuesto, el ciclista no está de acuerdo en decir que él está quieto. La pregunta es, “¿cuál de los dos observadores estará describiendo la realidad?”.

El ejemplo anterior (sólo uno entre los muchos que podrían ponerse) demuestra que el reposo y el movimiento son dos ideas RELATIVAS, y que en primer lugar, para hablar de ellos, es necesario DECIDIR (arbitrariamente) un punto de referencia, respecto del cual realizar el estudio del movimiento. Según cuál sea esa elección, la descripción del movimiento es completamente distinta. Como vemos en el ejemplo del portaaviones, no es necesario que el punto de referencia esté en “reposo”, como por ejemplo la tierra firme. El portaaviones es el punto de referencia del ciclista, y este punto de referencia está en movimiento (respecto a la tierra firme). Desde luego, desde el punto de vista del portaaviones, ¡es la tierra firme la que está en movimiento! Además, ¿acaso la tierra “firme” no está también en movimiento alrededor del Sol? No hay, por tanto, un sistema de referencia preferente: cualquier punto sirve como referencia. En un dibujo, lo indicaremos con las letras P.R., o bien con la letra O (origen). Una vez hecha la elección del punto de referencia, será necesario definir la POSICIÓN del cuerpo. Sin embargo, algo tan aparentemente simple se complica según la situación en la que nos encontremos.

• Si el cuerpo se mueve sobre una línea determinada que es conocida (por ejemplo, una carretera o la vía del tren) llamaremos POSICIÓN a la distancia que existe en todo momento entre el cuerpo móvil y el punto de referencia elegido. Se indican con signo POSITIVO las posiciones que se encuentran a la DERECHA O ARRIBA del punto de referencia y NEGATIVO las que se encuentran a la IZQUIERDA O ABAJO. En realidad, lo podríamos hacer también al revés, pero es necesario que nos pongamos de acuerdo. Más adelante se insiste en esto.

• Si el cuerpo se puede mover libremente por un PLANO (por ejemplo, en un mapa) es necesario conocer DOS números llamados COORDENADAS, como por ejemplo la latitud y la longitud. El criterio de signos es el mismo de antes.

• En el caso de que el cuerpo se mueva libremente por el espacio, se necesitarán TRES coordenadas para localizarlo correctamente. Veámoslo en unos dibujos.

Al hablar de movimiento se hace necesario, antes de

nada, decidir el PUNTO DE REFERENCIA.

COLEGIO FUNDACIÓN SANTAMARCA

JAIME REDONDO MORA


Después de definir la posición, ahora podemos afirmar que un cuerpo está en MOVIMIENTO, cuando CAMBIA SU POSICIÓN respecto de un punto de referencia. Estará en REPOSO cuando tal posición NO cambie. Así podremos explicar que, en el portaaviones, una persona piensa que la bicicleta no se mueve (respecto a la playa) y otra persona piensa que sí se mueve (respecto a la cubierta del portaaviones).

Observa en este dibujo otro ejemplo un poco más complicado: cómo se vería el bote de una pelota desde dentro del tren donde viaja el chico (movimiento rectilíneo), y el mismo fenómeno visto desde fuera (movimiento curvilíneo).

A este respecto, recordaremos otro concepto importante del movimiento. Se denomina TRAYECTORIA a la línea que forman todas las posiciones del cuerpo que se mueve, por ejemplo el humo que dejan los aviones acrobáticos al moverse. Según sea el tipo de trayectoria, el movimiento se divide en dos grandes grupos:

• Movimiento rectilíneo. La trayectoria es una línea recta.

• Movimiento curvilíneo. La trayectoria es una línea curva. Dentro de los movimientos curvilíneos, podemos diferenciar: - Movimiento circular (la trayectoria es una circunferencia) - Movimiento elíptico (la trayectoria es una elipse). - Movimiento parabólico (la trayectoria es una parábola). - Etc…

A1.1 Señala el punto de referencia que tomarías y el número de coordenadas que serían necesarias para indicar la posición en los siguientes movimientos. Indica también la clasificación del movimiento según su trayectoria:

a) Un coche que se desplaza por la Autovía de Andalucía. b) Un caracol que se mueve por el suelo. c) Un avión volando. d) Una flecha lanzada horizontalmente. e) Un cuerpo que se deja caer desde lo alto de una torre. f) Un péndulo oscilando.

2.‐ ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO Acabamos de decir que cuando un cuerpo se mueve, cambia de posición MIENTRAS VA TRANSCURRIENDO EL TIEMPO. Esto significa que los valores de las coordenadas (x, y ó z) necesarias para la localización del objeto van cambiando cuando cambia el tiempo. Matemáticamente se expresa diciendo que las coordenadas son funciones del tiempo.

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JAIME REDONDO MORA


Las matemáticas nos proporcionan un método que nos permite conocer en cualquier instante dónde está el objeto móvil, esto es, una función matemática. A esa función que relaciona la POSICIÓN con el TIEMPO se le denomina ECUACIÓN DE POSICIÓN o ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO. Por ejemplo:

x = 3 ∙ t + 2 Ésta podría ser la ecuación de posición de un cuerpo que se mueve por el eje OX. La letra x representa la coordenada donde se encuentra el objeto, y la letra t representa el tiempo. El tiempo (t) y la posición (x) son variables y por eso se representan por letras. En cada momento, debemos CAMBIAR la letra t por el valor del tiempo que avanza (debe ser un valor positivo) y así encontramos el valor de x que son las diferentes posiciones del cuerpo móvil. Por ejemplo, si queremos saber dónde se encuentra el objeto a los 3 segundos de iniciar el movimiento, cambiamos t = 3 segundos:

x = 3 ∙ 3 + 2 = 11 metros Como el resultado es POSITIVO, debemos interpretar que se encuentra a la DERECHA del punto tomado como referencia. Observa que siempre utilizamos las unidades del SISTEMA INTERNACIONAL, que como ya estudiaste el año pasado, son metros para las distancias y segundos para los tiempos. Se le llama POSICIÓN INICIAL x0 a la que tenía el cuerpo cuando el tiempo empezó desde CERO, y simplemente se halla sustituyendo t = 0 segundos:

x0 = 3 ∙ 0 + 2 = 2 metros (a la derecha del punto de referencia) Y también es posible a la inversa, si cambiamos x por la posición de un cuerpo, podrá conocerse qué tiempo empleó en llegar a ella, con sólo DESPEJAR t de la ECUACIÓN. Suponemos que ya en 4º de ESO sabes resolver ecuaciones de 1º grado, de 2º grado y sistemas de ecuaciones. Si al resolver la ecuación, no tiene solución, o la solución del tiempo es negativa, se debe interpretar que el objeto nunca pasa por esa posición. Por ejemplo, si queremos saber cuándo se encontraba el objeto 5 metros a la derecha del origen, cambiamos x = 5 metros:

5 = 3 ∙ t + 2 5 – 2 = 3 ∙ t 3 / 3 = t

t = 1 segundo Pero si queremos saber si alguna vez el objeto móvil se encontraba justo en el punto de referencia, debemos cambiar x = 0 metros:

0 = 3 ∙ t + 2 ‐ 2 = 3 ∙ t

t = ‐ 2 / 3 segundos No es ningún problema que nos haya salido una fracción. El problema es que el tiempo no puede ser negativo (porque significaría un tiempo PASADO, en vez de un FUTURO), por tanto en este ejemplo el objeto NUNCA pasa por el punto de referencia. Si el objeto se mueve en una línea VERTICAL, utilizaremos la letra y en vez de la letra x para indicar la posición del objeto. Si el objeto se mueve por una trayectoria conocida, aunque no sea rectilínea, como una carretera, utilizaremos la letra s para indicar la posición del objeto. A1.2 Completa la siguiente tabla referida a la ecuación x = 3 ∙ t + 2.

t (en seg) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x (en m)

a. ¿Cuál es la posición inicial del cuerpo? b. ¿Cuál será la posición al cabo de 20 s? ¿Y a los 5,5 s? ¿Y cuando t = 7/3 segundos? c. ¿Cuándo alcanza el objeto la posición x = 18 metros? d. ¿Cuándo se encuentra el objeto a 8 metros a la derecha del punto de referencia?

A1.3 Encuentra la ecuación del movimiento de un objeto que se encuentra en y = 8 metros cuando t = 1 segundo y en y = 2 metros cuando t = 2 segundos. Vas a necesitar resolver un SISTEMA DE DOS ECUACIONES.


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A1.4 La posición inicial de un objeto es s0 = ‐ 10 metros. Cuando pasa por el punto de referencia, el tiempo es t = 5 segundos. ¿Cuál es la ecuación de su movimiento? A1.5 La ecuación de cierto movimiento viene descrita por la expresión S = ‐5t +1, mientras que otro objeto móvil que se mueve por la misma trayectoria, lleva de ecuación T = 3t – 9. (a) ¿Llegarían a cruzarse en algún momento de su movimiento? De ser así, indica cuándo y dónde. (b) Cuando el móvil S esté a ‐14 m ¿dónde estará el móvil T? (c) ¿Pasa algún objeto móvil por el punto de referencia (común) elegido? 3.‐ ESPACIO RECORRIDO Y DESPLAZAMIENTO Se define el DESPLAZAMIENTO como la variación que experimenta la posición del cuerpo en un determinado intervalo de tiempo, es decir, la distancia entre la posición inicial y la final. Se calcula restando la posición final menos la posición inicial. Se utiliza la letra griega DELTA Δ para indicar DIFERENCIA.

Δx = x ‐ x0 Se define ESPACIO RECORRIDO como la distancia que realmente ha recorrido el objeto móvil sobre la trayectoria. Para calcularlo, debemos restar las posiciones medidas sobre la trayectoria Δs = s ‐ s0, siempre que el móvil NO SE DE LA VUELTA. Si se da la vuelta, hay que sumar el espacio recorrido en cada tramo. Por ejemplo, observa las siguientes gráficas. En la primera de ellas, el espacio realmente recorrido por el objeto es desde x = ‐ 3 m hasta x = 4 m (un total de 7 metros) y luego vuelve hasta x = 1 m (otros tres metros más). Por tanto, ha recorrido un ESPACIO de 10 metros. Sin embargo, el DESPLAZAMIENTO ha sido sólo de 4 metros, que es la distancia entre la posición inicial y la final. Observa que el desplazamiento nos ha salido POSITIVO, lo cual significa que se ha desplazado HACIA LA DERECHA. Es importante restar en el orden correcto, la posición final menos la posición inicial. ¿Cuándo va a salir NEGATIVO? Cuando la posición final sea un número menor que la posición inicial, o sea, cuando se desplace hacia la IZQUIERDA. A1.6 En las gráficas anteriores, indica la posición inicial y la posición final del objeto móvil y determina en cada caso: a) El espacio recorrido por el móvil. b) El desplazamiento c) La trayectoria, ¿es rectilínea o curvilínea? A1.7 ¿Dependerá el desplazamiento de un cuerpo del punto dónde decidamos situar la referencia? ¿Y el espacio recorrido? Cambia en las gráficas anteriores el punto de referencia (sitúalo donde tú quieras), y vuelve a numerar todas las posiciones. Calcula de nuevo el desplazamiento y el espacio recorrido, y comprueba si sale el mismo.


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A1.8 Un móvil que se encuentra en la posición inicial x = 2 m se traslada hasta la nueva posición de x = ‐ 2 m. a) ¿Cuál ha sido su desplazamiento? ¿Qué signo ha salido? ¿Qué significa ese signo? b) Si después vuelve hasta la posición inicial, determina el nuevo desplazamiento y el desplazamiento total efectuado. Interpreta los signos que has obtenido. A1.9 ¿Es posible que un móvil haya descrito una trayectoria y no haya realizado un desplazamiento? ¿Es posible que el desplazamiento sea mayor que el espacio recorrido? Explicación.

• Si el objeto se mueve sobre un PLANO, el DESPLAZAMIENTO es la distancia EN LÍNEA RECTA desde el punto inicial al punto final, y necesitamos usar el TEOREMA DE PITÁGORAS para calcularlo.

DESPLAZAMIENTO2 = Δx2 ‐ Δy2

• Si la trayectoria es una curva, es complicado calcular el espacio recorrido, a no ser que sea una CIRCUNFERENCIA:

LONGITUD = 2 ∙ π ∙ R (R es el radio)

• Sólo cuando la trayectoria es RECTA y el cuerpo NO CAMBIA DE SENTIDO, el espacio recorrido entre dos puntos COINCIDE con el desplazamiento

• Es SUMAMENTE IMPORTANTE entender que la ecuación del movimiento

NO CALCULA el espacio recorrido por el cuerpo, ni su desplazamiento, sino “dónde está” el objeto respecto de un punto de referencia.

• Date cuenta de que la ecuación del movimiento NO NOS INFORMA DEL TIPO DE TRAYECTORIA QUE LLEVA EL CUERPO.

A1.10 Un tren se mueve sobre una vía curvilínea. Una vez fijado el punto de referencia en uno de los postes de electrificación, se encuentra que la coordenada de posición varía con el tiempo de acuerdo a la expresión:

s = 10 ∙ t ‐ 25 a. ¿Cuál es la posición del cuerpo en el instante inicial (t = 0 segundos)? Explícala con palabras. b. Determina la posición al cabo de 5 segundos. c. Si restamos estas dos posiciones (final menos inicial), ¿qué obtenemos, el desplazamiento o el espacio

recorrido? d. ¿Qué tiempo habrá transcurrido para que el objeto se sitúe a 250 m a la derecha del punto de referencia? e. ¿En algún momento el cuerpo se ha situado 40 metros a la izquierda del punto de referencia elegido?

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Las magnitudes vectoriales se representan gráficamente por medio de FLECHAS, que en matemáticas se llaman VECTORES. Se suele poner una flecha encima de la letra. Podemos distinguir tres partes: • MÓDULO: es el número con la unidad

correspondiente. Cuanto mayor sea el número, más largo hay que pintar el vector.

• DIRECCIÓN: recta que contiene al vector. Puede ser vertical, horizontal, inclinada, etc.

• SENTIDO: señalado por la flecha. Se indica con el SIGNO, como ya sabemos, POSITIVO hacia la DERECHA O ARRIBA, y NEGATIVO hacia la IZQUIERDA O ABAJO.

Para sumar o restar vectores hay que tener en cuenta la dirección y sentido de las mismas. Si tienen la misma dirección, es tan fácil como sumar números enteros, teniendo en cuenta su signo. Así, si dos vectores tienen el mismo sentido se suman sus módulos (o valores absolutos), pero si tienen sentido contrario, se restan y se le pone el signo (o sentido) del mayor de ellos. En el próximo tema estudiaremos la suma cuando tienen distinta dirección. A1.15 Clasifica las siguientes magnitudes en escalares o vectoriales, explicando la razón:

a. el tiempo b. el volumen c. la densidad d. la temperatura e. la posición de un cuerpo f. el desplazamiento que sufre un móvil g. el espacio recorrido por un cuerpo

A1.16 ¿Qué significa una señal de tráfico de forma circular y color rojo, con un rectángulo blanco en el centro? ¿Qué tiene que ver esta señal con el sentido de los vectores? A1.17 Un futbolista se desplaza 30 m a su derecha y luego 20 m a su izquierda. Representa estos desplazamientos en forma de vectores y calcula su suma. 5.‐ VELOCIDAD Y RAPIDEZ En principio parece que casi todo el mundo conoce qué es la velocidad. Por ejemplo, si tardamos dos horas en recorrer una distancia de 80 km, decimos que hemos viajado a una velocidad de 80/2 = 40 km/h. Pero esta información es incompleta, ya que no conocemos HACIA DÓNDE se ha movido el objeto. En física, la palabra VELOCIDAD tiene un significado más completo:

• La velocidad es una magnitud vectorial. No es lo mismo lanzar un cuerpo hacia arriba que hacia un lado. Por tanto, al hablar de velocidad es preciso señalar el módulo, la dirección y el sentido.

• El módulo de la velocidad (vector) es el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo empleado y se denomina RAPIDEZ. En el ejemplo anterior 40 km/h sería la rapidez, no la velocidad.

• La dirección de la velocidad (vector) es la recta TANGENTE a la trayectoria en dicho punto. Recuerda que la tangente es una recta que toca a una curva sólo en un punto. Lógicamente, si la trayectoria es recta, la dirección de la velocidad coincide con dicha recta.

v

v

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A1.18 ¿Puede variar la velocidad de un objeto sin que varíe su rapidez? ¿Y a la inversa? EXPLICACIONES y Ejemplos. A1.19 Clasifica las siguientes rapideces de menor a mayor: 60 km/h 20 m/s 1800 cm/min A1.20 Un cuerpo está dando vueltas con una rapidez constante de 36 m/s. ¿Es constante su velocidad? A1.21 Hay aviones que pueden volar a 2500 km/h; y el sonido se desplaza en el aire a 340 m/s. ¿Qué movimiento es más rápido? A1.22 El autobús del transporte escolar, pasó por el kilómetro 80 de la carretera N‐350 a las 7h 35 m 21 s, y por el kilómetro 113 de la misma carretera a las 8h 07 m 12 s. ¿Cuál fue la rapidez media en ese tramo? A1.23 Un camión que viaja hacia el norte a 20 m/s es adelantado por un automóvil a 30 m/s en la misma dirección y sentido. ¿A qué velocidad se aleja el automóvil del camión? ¿Y si en vez de adelantarlo, el coche se cruza a la misma velocidad con el camión, pero en sentido contrario?

6.‐ MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME En un movimiento rectilíneo la rapidez puede ser constante (no cambia) o variable (va cambiando poco a poco).

En el caso de que la rapidez sea constante se habla de MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME. En el caso de que la rapidez vaya cambiando poco a poco se habla de MOVIMIENTO RECTILÍNEO ACELERADO.

La ecuación de posición en un movimiento rectilíneo uniforme es del tipo

X = Xo + V∙ t

Donde Xo representa la POSICIÓN inicial, y V la velocidad (por ahora, rapidez con signo).

• v es la rapidez con signo + si el cuerpo se desplaza hacia la derecha o hacia arriba y con signo – hacia la izquierda o hacia abajo.

• x0 es la posición inicial con signo + si el cuerpo se encuentra a la derecha o encima del punto de referencia y con signo – si se encuentra a la izquierda o debajo del mismo.

A1.24 La ecuación de posición de un cuerpo viene dada por la expresión (S.I.) y = 20 ‐ 2t

a) Explica el significado de dicha ecuación. ¿Se puede deducir que el movimiento que sigue es rectilíneo? b) ¿Cuál es su posición a los 10 segundos? ¿Qué significa ese resultado? c) ¿Cuál es su velocidad? ¿y su rapidez? d) ¿Qué espacio habrá recorrido en los 6 primeros segundos de su movimiento?

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A1.25 La ecuación de posición de un móvil que sigue un movimiento rectilíneo es x = ‐ 4 ∙ t + 40 (S.I.).

a) Completa la siguiente tabla:

t (s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 x (m)

Δx cada 2 s

v b) ¿Es un movimiento uniforme? ¿Cuál es el valor de la rapidez? c) Identifica la rapidez y la posición inicial en la ecuación de posición. d) Representa gráficamente x frente a t. ¿Qué significa que la pendiente sea hacia abajo?

A1.26 El siguiente cuadro contiene información sobre la posición de un móvil que sigue una trayectoria recta, en función del tiempo: t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 x (m) -4 -2 0 2 4 6 8 10 ¿Es un movimiento rectilíneo uniforme? Escribe la ecuación que relaciona la posición del móvil con el tiempo. A1.27 Los datos del estudio del movimiento de un cuerpo, son los que aparecen en la siguiente tabla:

Posición x (m) 10 4 0 -2 -1 1 4 8 13 19 19 19 Tiempo (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

a) Realiza la gráfica posición ‐ tiempo. b) ¿Hacia dónde se mueve el objeto al principio? ¿Cambia la velocidad de sentido (“se da la vuelta”) en algún

momento? ¿Se detiene el objeto en algún momento? Con esta información, describe el movimiento del objeto. c) ¿Se trata de un movimiento uniforme? Explica por qué. d) ¿En qué momentos lleva una mayor rapidez? e) ¿Qué distancia total recorre el móvil? ¿Coincide con el desplazamiento total? f) ¿Cuántas veces pasa por el punto de referencia? A1.28 La gráfica adjunta, representa el resultado del estudio del movimiento de un objeto móvil. a) Determina la ecuación del

movimiento que lo representa. b) Calcula el instante exacto en que

pasa por el punto de referencia. c) ¿Cuándo estará ese cuerpo situado a

100 m a la izquierda del punto de referencia?

d) ¿Qué distancia total recorre en los 15 segundos de estudio?

e) Representa la gráfica rapidez ‐ tiempo y comprueba si el área bajo la línea coincide con el resultado del apartado anterior.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0

20

40

60

-20

-40

-60


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EJERCICIOS DEL MOVIMIENTO UNIFORME

Para aplicar la ecuación del Movimiento Uniforme a la resolución de ejercicios es conveniente seguir una serie de pasos que nos facilitaran la comprensión y la resolución de los mismos.

1. Dibujo o esquema que especifique el punto de referencia y los signos de las velocidades y posiciones. 2. Escribir los “datos” (la información que da el problema) junto a su correspondiente magnitud (“letra”) y

pasarlo a unidades internacionales, si hay mezcla de unidades en el ejercicio. 3. Escribir la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme y sustituir las magnitudes que sean conocidas. 4. Aplicar la condición que se obtiene del enunciado y resolver la ecuación. 5. Interpretar el resultado.

Vamos a verlo con un ejemplo

Un coche sale de la ciudad A hacia la ciudad B con velocidad constante de 60 Km/h. Otro sale dos horas después desde B hacia A con una velocidad de 90 Km/h. La distancia entre A y B es de 500 Km. ¿Cuándo y donde se encuentran?

Pongamos (por ejemplo) el PUNTO DE REFERENCIA EN LA CIUDAD “A”. Dado que el vehículo B no parte hasta 2 horas después, el primero ya le lleva 120 km “de ventaja” cuando lo hace: esta es su posición inicial. Es decir, vamos a poner “cronómetro en marcha” (t = 0) en el momento en que sale el vehículo B. En ese momento, las ECUACIONES del movimiento son

A = 120 + 60 t

B = 500 – 90 t

(posición en kilómetros y tiempo en horas) Observa que la velocidad de B es negativa, porque se mueve hacia la izquierda. En el tiempo t no se incluyen las dos horas que el vehículo A se estaba moviendo antes de que saliera el vehículo B.


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CONDICIÓN: Cuando suceda el cruce, las posiciones de ambos vehículos en ese instante deberán ser las mismas (es decir, estarán en el mismo lugar), por tanto

A = B 120 + 60 t = 500 – 90 t

Resolvemos la ecuación y sale: t = 2,53 h

O sea, se cruzarán 2,53 h después de haber salido B. OJO: 2,53 h NO SON 2 HORAS Y 53 MINUTOS. ¿Cuántas horas y minutos ha estado viajando el vehículo B? ¿Y el vehículo A? Ya sabemos cuándo se cruzan. Ahora vamos a averiguar dónde. El lugar del encuentro se calcula sustituyendo el tiempo en cualquiera de las dos ecuaciones, porque tiene que dar el mismo resultado. Sale A = B = 272 km. Esta distancia se mide a partir del punto de referencia. ¿Te acuerdas cuál es? ¿Qué distancia ha recorrido cada coche cuando se cruzan? (la respuesta no es 272 km) Ahora tú mismo…. A1.29 Dos amigas deciden un domingo salir al campo en bicicleta. Una de ellas circulará a una media de 20 Km/h; la otra, como es capaz de mantener una velocidad media mayor (25 km/h), saldrá media hora más tarde. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar a su amiga? ¿Qué distancia ha recorrido cada una en ese momento? A1.30 Un atleta hace footing por un camino a la velocidad constante de 8 km/h. Quince minutos más tarde, un motorista sale en su busca con una velocidad constante de 24 km/h.

a) ¿Cuándo y dónde se encuentran? b) Representa gráficamente las posiciones de ambas personas frente al tiempo, en una misma gráfica las

dos líneas. Señala con un punto el momento de encontrarse ambos. A1.31 De una misma estación salen, en el mismo instante, dos trenes, con velocidades constantes de 72 y 90 km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo la distancia que separa a ambos será de 2 km…

a) …Si se mueven en el mismo sentido de circulación? b) …Si se mueven en sentidos contrarios?

A1.32 Un automóvil sale a las 9 horas de Écija en dirección a Sevilla (a 90 km de Écija) con velocidad constante de 90 km/h. En el momento que el automóvil pasa por La Luisiana (a 18 km de Écija), sale otro automóvil con intención de realizar el mismo viaje, pero a una velocidad de 120 km/h.

a) Escribe las ecuaciones de posición de los dos automóviles. b) ¿Alcanzará el segundo automóvil al primero antes de llegar a Sevilla? c) En caso afirmativo, ¿a cuántos kilómetros de Écija? Y ¿a qué hora se produce el encuentro?

A1.33 Está disputándose la final olímpica de los 200 m lisos. Los corredores entran en la recta final (100 m), y se mueven con velocidad constante. El juez de llegada, que se encuentra en la línea de meta, observa que el primer corredor que enfila la recta va de azul, seguido a 6 metros por el corredor de verde, marcando en ese instante su cronómetro 11 segundos. Cuando su cronómetro indica 19 segundos, al corredor de azul le faltan 44 m para llegar a la meta, y el de verde le sigue ahora a tan sólo 2 metros de distancia.

a) Determina la velocidad de cada uno. b) Escribe la ecuación de movimiento de cada uno, tomando la meta

como punto de referencia. c) ¿Alcanzará el corredor verde al azul antes de llegar a la meta?


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A1.34 La locomotora de un tren que mide 100 m de largo toca la bocina justo al entrar en un túnel. Un pasajero que se encuentra en la cola del tren observa que pasan 5 s desde que escuchó la bocina hasta que él entra en el túnel y que transcurren 10 s más hasta salir de éste.

a) Escribe la ecuación de posición del pasajero con respecto a la entrada del túnel b) Calcula la longitud del túnel.

A1.35 La ecuación del movimiento para dos móviles que se mueven por la misma trayectoria, es (S.I.):

xA = 7 ‐ 3 ∙ t xB = ‐ 1 + 5 ∙ t

a) ¿Cuál tiene una velocidad mayor? b) ¿Se mueven en el mismo sentido o en sentido contrario? c) Sin realizar ningún cálculo, ¿podríamos saber si se van a cruzar en algún momento? d) En el caso de encontrarse, ¿qué velocidad tiene cada uno en ese momento? e) ¿Pasan los dos móviles por el punto de referencia? En caso afirmativo, ¿cuál pasa antes? A1.36 Se denomina TIEMPO DE REACCIÓN al tiempo que tarda en reaccionar una persona que va conduciendo, desde que decide frenar hasta que acciona el freno. Normalmente, este tiempo es de ¾ de segundo. Si la distancia que nos separa del vehículo que va delante es menor que la distancia que recorremos durante el tiempo de reacción, es seguro que vamos a tener un accidente. Por tanto, completa esta tabla, después de calcular la distancia recorrida en ¾ de segundo a distintas velocidades (ten cuidado con las unidades): Velocidad (km/h) Ciclomotor 50 km/h Camión 80 km/h Autovía 120 km/h Conductor irresponsable

150 km/h Distancia mínima de seguridad (metros)

Ten en cuenta que, además de la distancia que has calculado, también necesitaremos una cierta distancia para detener el vehículo. Pero de esto hablaremos más adelante. A1.37 El presidente del gobierno sale de Madrid en AVE en dirección a Sevilla, aproximadamente a 500 km de distancia. Supongamos que el AVE circula a una velocidad media de 200 km por hora. Delante del AVE, y al mismo tiempo, sale un helicóptero para inspeccionar la vía, a 300 km/h. Cuando el helicóptero llega a Sevilla, se da la vuelta y continúa inspeccionando la vía hasta encontrarse con el tren. De nuevo se da la vuelta y así sucesivamente hasta que el tren llega a Sevilla. ¿En qué punto kilométrico se produce el primer encuentro entre el tren y el helicóptero? Y ¿Cuántos kilómetros ha recorrido el helicóptero en el momento en que el tren llega a Sevilla? A1.38 El intrépido protagonista de "La vuelta al mundo en ochenta días" Phileas Fogg, ha llegado tarde al puerto por mala suerte. El barco en que debería continuar su recorrido ha salido del puerto dos horas antes y marcha por el océano constantemente a 40 km/h. Pero Fogg no se da por vencido. Contrata los servicios de una pequeña motora y sale en persecución del barco a una velocidad constante de 50 km/h. ¿A cuántos kilómetros de la costa lo alcanzará y qué tiempo invertirá en ello?

A1.39 Un matrimonio viaja a Málaga desde Écija (134 km). El marido le pide a su mujer que acelere a 140 km/h, para llegar antes. Pero ella prefiere viajar a 120 km/h, para que no le multen. Además, dice que la diferencia entre viajar a 140 km/h y 120 km/h no es mayor de 10 minutos. ¿Es cierto?


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ACTIVIDADES PARA PRACTICAR MÁS

A1.40 Un cuerpo se mueve por una carretera. La ecuación de posición es s = 6 ∙ t ‐ 10. a) ¿Dónde se encuentra inicialmente el cuerpo? ¿Cuál es su velocidad? b) ¿Pasará por el punto de referencia? En caso afirmativo, ¿cuándo? c) Determina el espacio recorrido en los cinco primeros segundos.

A1.41 La gráfica de la figura representa la posición de un cuerpo (con respecto a un punto de referencia) en función del tiempo.

a) Describe el movimiento del cuerpo entre los intervalos A‐B, B‐C y C‐D.

b) Calcula el espacio recorrido en cada tramo y el espacio recorrido en total.

c) Calcula el desplazamiento en cada tramo y el desplazamiento total.

A1.42 Alberto va en el coche azul, y se encuentra en el típico atasco de todas las mañanas para llegar al instituto. Salió de su casa a las 7:30 h de la mañana y llega al instituto a las 8:00 en punto. Su casa se encuentra a 3 Km del centro. ¿Cuál es la velocidad media que lleva el padre de Alberto? A1.43 Carlos, vecino de Alberto, ha decidido ir al centro en bici, ya que por el carril de bicicletas puede llevar una media de 9 Km/h, recorriendo los mismos 3 Km de Alberto. ¿A qué hora debe salir Carlos de su casa para llegar puntualmente al Instituto?

A1.39 Un coche parte de un punto con una velocidad constante de 54 Km/h. Media hora más tarde, sale del mismo punto en su persecución otro coche a una velocidad constante de 72 Km/h. ¿A qué distancia del punto de partida le alcanzará? A1.40 Marta va de paseo en bici. Inicialmente se encuentra a 10 m de su casa (que adoptaremos como el punto de referencia). Cuando se encuentra a 20 m del origen de posiciones, se da cuenta de que no lleva la gorra. Se para y la busca durante 10 segundos hasta que la encuentra unos metros hacia atrás. Retrocede, la recoge y sigue avanzando. ¿Es correcta esta gráfica posición‐tiempo para este movimiento? ¿Por qué? En caso contrario dibuja la gráfica que lo represente.

PUEDES BAJARTE DE INTERNET DE LA PÁGINA WEB DEL DEPARTAMENTO, MÁS PROBLEMAS y/o EXÁMENES DE OTROS AÑOS

P o s i c i ó n( m )

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

T i e m p o( s )

6 0 1 2 0 1 8 01 4 0 2 0 0

A

B C

D


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7.‐ ACELERACIÓN No debemos sacar hasta aquí la errónea conclusión de que todos los movimientos de la Naturaleza son rectilíneos y uniformes y que por tanto todos los movimientos tienen una ecuación general de forma x = x0 + v∙t. Muchos movimientos se producen con rapidez (y con velocidad) variable, y en ese caso, la ecuación debe modificarse. Dentro de los movimientos variables hay uno especialmente importante: cuando la velocidad varía siempre de la misma manera: en un mismo intervalo de tiempo siempre gana (o pierde) la misma rapidez. Este tipo de movimiento se denomina MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO.

• CUIDADO: No existe el movimiento UNIFORME ACELERADO. ¡Sería una contradicción!

Para indicar los CAMBIOS de velocidad es necesario definir una nueva magnitud que se denomina ACELERACIÓN. Y es igual a: En el lenguaje coloquial, ir “acelerado” es ir “rápido”, por tanto, se podrían confundir la aceleración con la velocidad. Sin embargo, en la ciencia son dos conceptos muy diferentes. La aceleración NO mide la velocidad, sino el cambio que se produce en ésta, y repartiendo este cambio entre el tiempo que ha tardado en producirse, para obtener el cambio en cada UNIDAD DE TIEMPO (por ejemplo en cada segundo). De acuerdo con esto, las UNIDADES DE ACELERACIÓN son metros por segundo en cada segundo (m/s /s o más breve: m/s2). Por ejemplo, una coche que pasa de 15 m/s a 19 m/s y tarda 2 segundos en dicho cambio, su velocidad ha cambiado en 4 m/s, repartidos entre los dos segundos que ha tardado, tendrá una aceleración de 2 metros por segundo, en cada segundo, o sea 2 m/s2. Si hubiera sido al revés, pasar de 19 m/s a 15 m/s en dos segundos, también es un movimiento acelerado (AUNQUE DISMINUYA LA VELOCIDAD), pero en este caso, al restar en el orden correcto FINAL MENOS INICIAL nos sale un signo negativo, como se ve en el dibujo siguiente:

Hay que destacar que la aceleración es una magnitud vectorial cuya dirección y sentido se calculan RESTANDO dos vectores velocidad. En este tema, para simplificar, sólo estudiaremos el movimiento RECTILÍNEO (Estudiaremos otros casos en el tema próximo). En este movimiento, el sentido de la velocidad se indica mediante un signo: POSITIVO si se mueve hacia la derecha, NEGATIVO si se mueve hacia la izquierda. Del mismo modo, EL SENTIDO DEL VECTOR ACELERACIÓN SE INDICA MEDIANTE UN SIGNO: POSITIVO hacia la DERECHA o ARRIBA, NEGATIVO hacia la IZQUIERDA o ABAJO. Observa con mucho detenimiento los siguientes ejemplos:

Verás que, como ahora el objeto se mueve hacia la izquierda, las velocidades son todas negativas. Ahora la velocidad inicial se encuentra a la derecha y la final a la izquierda. El signo de la aceleración se obtiene siempre al restar en el orden correcto VELOCIDAD FINAL MENOS VELOCIDAD INICIAL. Recuerda que, al restar números enteros, se cambia el signo al segundo de ellos (la velocidad inicial). Y al resultado (la aceleración) se le pone el signo del mayor.

• Observa que NO ES SIEMPRE CIERTO que cuando el cuerpo va de menos a más velocidad, la aceleración es positiva, y si va de más a menos velocidad, la aceleración es negativa.

A1.41 ¿Cuál es la unidad de la aceleración en el S.I.?. ¿Qué significa que la aceleración de un objeto móvil sea de 0,45 Km/h.s?. Expresa este dato en el SI.

V = -15 m/s V0 = -19 m/s a = 2 m/s V = -19 m/s V0 = -15 m/s a = - 2 m/s

V0 = 15 m/s V = 19 m/s a = 2 m/s V0 = 19 m/s V = 15 m/s a = - 2 m/s

t v- v a 0

Δ=


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A1.42 Una moto sale de una curva a 80 km/h y acelera a 120 km/h en 2’4 segundos. Expresa su aceleración en unidades internacionales. A1.43 Un objeto es lanzado hacia arriba a 40 m/s. Cinco segundos más tarde se mueve hacia abajo a 10 m/s. Realiza un esquema indicando los sentidos y los signos de los vectores velocidad y aceleración, y determina la aceleración del objeto.

8.‐ MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.) Partiendo de la definición de aceleración que hemos dado en el apartado anterior, podemos deducir la ECUACIÓN DE LA VELOCIDAD en el M.R.U.A. que nos permite calcular la velocidad del objeto en cualquier instante:

V = Vo + a · t (intenta deducirla)

Recuerda que la velocidad y la aceleración son VECTORES y por tanto deben llevar un SIGNO de acuerdo a su SENTIDO: positivo a la derecha o arriba, negativo a la izquierda o abajo. No obstante, lo habitual es hacer el dibujo de manera que el objeto se mueva hacia la derecha, es decir, que su VELOCIDAD SEA POSITIVA. De ese modo, la aceleración será NEGATIVA si el objeto va FRENANDO y POSITIVA si el objeto va CADA VEZ MÁS RÁPIDO. Pero esto es un mero criterio. Para encontrar la ECUACIÓN DE LA POSICIÓN, podemos partir de la ecuación de movimiento rectilíneo uniforme:

x = x0 + v ∙ t Podemos pasar x0 a la izquierda para obtener otra ecuación más sencilla, que nos permite calcular el desplazamiento:

Δx = v ∙ t En un movimiento acelerado NO puede utilizarse esta expresión porque la velocidad es VARIABLE. Pero podemos cambiar la rapidez v por la rapidez media Vm, que será lógicamente la suma de la velocidad inicial más la final, dividido entre dos. (¿Cómo haces tú la media entre dos notas?). Luego sustituimos la velocidad final utilizando la ECUACIÓN DE LA VELOCIDAD que hemos puesto antes.

Estas dos ecuaciones deberás memorizarlas muy bien, porque serán la herramienta fundamental para resolver los problemas del movimiento acelerado.

2t .a tv x x

2t .a tv t

2v t .a v t

2v v tv x

2

00

2

0000

M

+⋅+=

+⋅=⋅++

=⋅+

=⋅=Δ

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO:

vv == vv00 ++ aa ∙∙ tt

xx == xx00 ++ vvoo ∙∙ tt ++ aa ∙∙ tt22 // 22

En caso de movimiento uniforme a = 0


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En estos problemas deberás seguir los siguientes pasos: • ELEGIR EL PUNTO DE REFERENCIA (en un esquema o dibujo) • EXPRESAR LA POSICIÓN INICIAL RESPECTO DE ESE PUNTO DE REFERENCIA (con su signo) • INDICAR LA VELOCIDAD INICIAL DEL CUERPO MÓVIL Y SU ACELERACIÓN (con sus signos) • SUSTITUIR LOS DATOS CONOCIDOS EN LAS DOS ECUACIONES. • SI OBTIENES UNA ECUACIÓN CON DOS INCÓGNITAS, NO SE PUEDE RESOLVER. HAY QUE BUSCAR MÁS

INFORMACIÓN QUE A VECES ESTÁ “ESCONDIDA” EN EL ENUNCIADO DEL PROBLEMA. OTRAS VECES SE PUEDE PLANTEAR UNA SEGUNDA ECUACIÓN, PARA FORMAR UN SISTEMA DE ECUACIONES.

• LEER BIEN LAS CONDICIONES QUE PLANTEA EL PROBLEMA, MUCHAS VECES HAY DOS MAGNITUDES QUE SON IGUALES.

A1.44 La ecuación que describe el movimiento de un objeto es x = 5 ‐ 6 ∙ t + t2 (S.I.).

a) ¿Cuál es la posición inicial del móvil? b) ¿Pasa en algún momento por el Punto de Referencia? Calcúlalo. c) Completa el siguiente cuadro:

t (s) 0 2 2 4 4 6 6 8 8 10 x (m)

v (media)

d) ¿Se trata de un movimiento uniforme? e) Representa la gráfica posición / tiempo.

¿Qué forma tiene? f) ¿Encuentras alguna relación entre la

pendiente de la gráfica y las velocidades medias que has obtenido antes?

g) ¿Cuándo estará ese cuerpo situado a 8 metros a la izquierda del punto elegido como referencia?

h) Compara la ecuación que da el problema con la ecuación del M.R.U.A. y encuentra los valores de la velocidad inicial y la aceleración.

i) Escribe la ecuación de la velocidad de este movimiento y encuentra en qué momento se hace cero la velocidad.

A1.45 En el instante de comenzar el estudio de un movimiento, el móvil se encontraba a 5 m a la derecha del punto elegido como referencia y moviéndose con una rapidez de 2 m/s hacia la izquierda de ese punto. Si la aceleración la mantenía constante e igual a 0,35 m/s2

a) Escribe las ecuaciones del movimiento. b) Encuentra la posición del objeto a los 10 segundos y la rapidez

con que se mueve en ese instante. c) ¿Cuando y dónde cambia el sentido de la velocidad del cuerpo?

A1.46 La siguiente tabla expresa la distancia de frenado (en metros) para distintos vehículos, suponiendo una calzada en óptimas condiciones. Encuentra cuál de los tres modelos de coche alcanza una mayor aceleración de frenado. ¿Es la misma aceleración con distintas velocidades iniciales?

Velocidad inicial

(km/h) Alfa Romeo 156 Audi A4 BMW 320d

60 13.5 15.0 13.8 100 38.6 40.2 38.3 120 58.3 61.3 55.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tiempo (s)

0

10

20

30

40

50

-10

posi

cion

(m)


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A1.47 Un terrorista se salta un control de la guardia civil, y se aleja de ellos con una rapidez constante de 120 km/h. De inmediato, un coche de la guardia civil sale en su persecución, con una aceleración de 0 a 100 km/h en 6’3 segundos. ¿Cuánto tiempo necesitará la guardia civil para alcanzar al terrorista? A1.48 Un automóvil circula por una autopista a 110 km/h, y al observar humo saliendo de motor, trata de detener el vehículo lo antes posible, ¿Cuánto tarda en detenerse y qué distancia necesita, si la aceleración máxima que pueden comunicar los frenos es de 8 m/s2?

A1.49 Un Boeing 727 necesita alcanzar como mínimo una velocidad de 360 km/h para iniciar el despegue, velocidad que tarda 25 s en alcanzar, partiendo del reposo.

a) Determina la aceleración, constante, que proporcionan los motores del avión.

b) Escribe las ecuaciones de posición y velocidad del avión mientras despega.

c) Calcula la longitud mínima que ha de tener la pista de despegue.

d) Calcula la aceleración de frenado que ha de tener para aterrizar en la misma pista, suponiendo una velocidad inicial de 360 km/h.

A1.50 Un objeto lanzado hacia arriba desde la ventana de un edificio se mueve de acuerdo con la ecuación siguiente: A = 15 + 6 t – 5 t2. Otro objeto, lanzado desde otra ventana, se mueve con la ecuación: B = 27 – 5 t2.

a) ¿Se cruzarán en algún momento? En caso afirmativo, indica cuándo y dónde. b) ¿Qué rapidez poseen en el momento de cruzarse? c) ¿Pasan por el punto de referencia? En caso afirmativo, indica quién lo hace primero y cuándo sucede

eso. d) Determina la distancia que separa los objetos en el instante t = 4 s.

A1.51 Un camionero circula a 50 km/h cuando se pone en rojo un semáforo situado 150 m por delante. Si la aceleración máxima que pueden proporcionar los frenos del camión es 3 m/s2, determina si puede frenar a tiempo. A1.52 Las ecuaciones del movimiento correspondiente a dos automóviles que se desplazan por una misma carretera son:

Ford = ‐ 6 ∙ t + 14 Opel = 4 – 5 ∙ t + t2

a) Determina las características de cada movimiento. b) ¿Pasa algún móvil por el punto tomado como referencia? En caso

afirmativo indica cuándo y qué rapidez posee cada uno en ese momento. c) ¿Se cruzarán en algún instante?.

A1.52 Un tren se mueve con una rapidez constante de 80 km/h. En ese momento, el último de los vagones se desengancha y poco a poco va parándose hasta recorrer 1800 m. ¿Qué distancia separa el vagón del resto del tren en ese momento? A1.53 Un ladrón sale de un banco y corre con una rapidez constante de 8 m/s hacia su cómplice, que le espera con el coche en marcha, 80 m a la derecha de la puerta de la oficina bancaria. Un coche de policía, situado a 30 m de la misma oficina, pero a la izquierda, sale en su persecución desde el reposo con una aceleración constante de 1 m/s2 en el momento en que lo ve salir del banco. ¿Alcanzará al ladrón antes de que se suba en el coche de su cómplice?


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7.‐ MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE El movimiento de caída libre es el movimiento de un objeto sometido exclusivamente a la fuerza peso, es decir, cuando no hay rozamiento con el aire, o éste es despreciable. No se puede considerar “caída libre” la caída de una pluma o de un paracaidista (con el paracaídas abierto), porque el rozamiento con el aire equilibra la fuerza peso, y el movimiento se produce a velocidad constante. El movimiento de caída libre es un movimiento ACELERADO, puesto que parte del reposo y va adquiriendo cada vez más velocidad. En el caso de la foto, el movimiento de caída libre sólo dura los primeros segundos, porque el rozamiento va aumentando con la velocidad, hasta que se alcanza una velocidad constante. Hay que observar también que, en física, no sólo es “caída libre” cuando se deja caer un cuerpo desde una altura h, sino también cuando se lanza un cuerpo hacia arriba, porque la ecuación del movimiento es la misma.

Los filósofos griegos (con Aristóteles a la cabeza) tenían una idea muy distinta de la caída libre. Pensaban que los cuerpos caen a velocidad constante, y que esa velocidad es mayor cuando el cuerpo pesa más. No habían hecho ningún experimento para comprobarlo, simplemente les parecía que esa ley estaba dictada por el “sentido común”. Todavía muchas personas incultas piensan del mismo modo. Galileo, en el siglo XVI, comprobó que esta idea estaba equivocada, dejando caer dos bolas del mismo tamaño, pero de distinto peso, desde lo alto de la torre inclinada de Pisa. ¿Por qué no se observa esto con objetos como un papel? Porque el rozamiento con el aire retiene su caída. Si pudiéramos sacar el aire de un recipiente, haciendo el vacío, demostraríamos que un papel y un taco de madera caen exactamente a la vez. Puedes verlo en unos videos que están colgados en el blog del departamento: http://www.iesnicolascopernico.org/FQ/plumartillo.htm http://www.iesnicolascopernico.org/FQ/caidaigual.mov

Galileo demostró que el movimiento de caída de cuerpos era un movimiento uniformemente acelerado. Dejó caer una bola por un plano inclinado, y realizó unas marcas a distancias iguales. Comprobó que, transcurrido un segundo, la bola se encontraba en la primera marca, en el siguiente segundo en la cuarta marca, en el siguiente en la novena marca, etc. Es decir, que el espacio recorrido iba aumentando de acuerdo con los cuadrados de los números naturales: 12, 22, 32, 42… Esto está de acuerdo con la ecuación del M.R.U.A. ya que en ella el tiempo se encuentra elevado al cuadrado. Con todo ello, demostró que:

La aceleración de caída de todos los cuerpos es la misma y tiene un valor de (‐) 9,8 m/s2 (aproximadamente 10 m/s2), en nuestro planeta y al nivel del mar.


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Resolver problemas de este tipo de movimiento es fácil, ya que se hacen como cualquier movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, con la ventaja adicional de que ahora conocemos siempre el valor de la aceleración.

Y = ±Yo ± Vo ∙ t ‐ ½ g ∙ t2 TEN PRESENTE LOS SIGNOS: La aceleración de la gravedad es un vector dirigido hacia abajo, por tanto su signo es siempre NEGATIVO. El signo de la velocidad inicial depende de la situación: POSITIVO si se lanza el objeto hacia ARRIBA, y Negativo si se lanza hacia ABAJO. No obstante, en muchos problemas los objetos se “dejan caer” y por tanto la velocidad inicial es CERO. La posición inicial y0 es la altura desde la que se lanza el objeto, medida a partir del punto de referencia, que suele ser el suelo. Si se lanza un objeto desde el suelo, esta posición inicial es CERO. ¿Podría ser negativa la posición inicial? Es raro, pero podría ser si el objeto se encuentra inicialmente DEBAJO del punto de referencia. La ECUACIÓN DE LA VELOCIDAD también es similar a la que hemos estudiado (¿y deducido?):

V = ± Vo – g∙ t Esta ecuación es muy importante para calcular la ALTURA MÁXIMA a la que sube un cuerpo lanzado hacia arriba, teniendo en cuenta que en el punto más alto la velocidad es CERO (se para un instante antes de caer). Por tanto, sustituimos v = 0 y despejamos el tiempo. Luego, con este valor de t, nos vamos a la ecuación de la posición y despejamos la altura “y”. A1.54 MIDE TU TIEMPO DE REACCIÓN: Pide a un compañero que sujete una regla verticalmente, como en la imagen. Tú prepara los dedos en el extremo inferior de la regla como para cogerla, pero sin tocarla. Sin avisar, tu compañero soltará la regla y tú intenta atraparla lo antes posible, cerrando los dedos. Observa cuántos centímetros ha caído la regla antes de atraparla. Repite el experimento dos o tres veces, para obtener una media de las distancias.

• Ahora despeja el tiempo sustituyendo los datos conocidos en la ecuación de la caída libre. ¿Cuál es la velocidad inicial?

A1.55 Lanzamos una piedra verticalmente hacia arriba con una rapidez de 5 m/s. ¿Qué altura máxima alcanza? ¿Qué tiempo tardará en caer de nuevo, y con qué velocidad llegará de nuevo al suelo? A1.56 Desde lo alto de una azotea situada a 15 m del suelo, lanzamos dos objetos. Uno verticalmente hacia arriba con una rapidez de 8 m/s. El otro, verticalmente hacia abajo, con una rapidez de 8 m/s. Escribe las ecuaciones de movimiento de ambos cuerpos. ¿Qué tiempo tardará cada uno en caer al suelo? ¿Cuál de los dos llegará al suelo con una mayor rapidez?

A1.57 Desde la baranda de un puente se tira una piedra hacia arriba con una rapidez de 6 m/s.

a) ¿Hasta qué altura llega la piedra? b) ¿Cuánto tiempo tarda en pasar de nuevo por el sitio desde el que se

lanzó? c) ¿Qué altura hay del puente al agua, si la piedra cae en el río 1,94

segundos después de haber sido lanzada? d) ¿Con qué rapidez entra la piedra en el agua?

A1.58 Un pintor está pintando un puente por el que está pasando un tren, que se mueve a una velocidad constante de 60 km/h. Cuatro metros por encima del techo del tren, caen gotas de pintura a un ritmo constante, cada dos segundos una gota. ¿Qué distancia separará una gota de otra en el techo del tren?


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A1.59 ¿Con qué rapidez habrá que lanzar un objeto verticalmente y hacia arriba para que alcance los 150 m de altura máxima? A1.60 Verticalmente y hacia arriba se dispara una bala con una rapidez de 120 m/s. ¿Qué rapidez tendrá cuando esté a la mitad de la altura máxima que va a alcanzar? A1.61 Un globo asciende con una rapidez constante de 4 m/s. Cuando se encuentra a 24 m del suelo, soltamos un saco de lastre. ¿Qué tiempo tardará el saco en llegar al suelo y con qué rapidez se estrellará? A1.62 Un niño lanza una pelota, desde el suelo, verticalmente y hacia arriba a 12 m/s. En el mismo momento, otro niño situado en un balcón, a 3.75 m, deja caer otra pelota y ambas chocan. ¿Dónde se produce el choque y qué rapidez posee cada pelota en ese momento? A1.63 Utilizando las ecuaciones del movimiento de caída libre, deduce si se cruzarán en el aire dos pelotas lanzadas de distintas formas: a) Si las lanzamos al mismo tiempo hacia arriba, pero con distinta velocidad inicial. b) Si las lanzamos hacia arriba con la misma velocidad inicial, pero separadas por un pequeño intervalo de

tiempo. c) Si las dejamos caer separadas por un pequeño intervalo de tiempo.

EJERCICIOS DE REPASO Y REFUERZO

1. El tren de alta velocidad (AVE) alcanza una velocidad máxima de 270 km/h. Para llegar a esa velocidad partiendo del reposo, necesita 3 minutos y 30 segundos. Un ciclista, puede alcanzar una velocidad máxima de 54 km/h. Para llegar a esa velocidad, partiendo del reposo, necesita 30 segundos. ¿Cuál ha tenido mayor aceleración?

2. Desde lo alto de una azotea soltamos una pelota, observando que emplea 2,54 s en llegar al suelo. ¿Con

qué rapidez llega y qué altura posee la azotea?

3. La ecuación de un movimiento viene dado por la expresión siguiente: x = 2 ‐ t + 3∙t2

a. ¿De qué tipo de movimiento se trata? b. ¿Cuál es la posición inicial del móvil? c. ¿Y la velocidad inicial? d. ¿Dónde estaba y con qué rapidez se mueve a los 2 segundos?

4. A dos kilómetros de una estación (en línea recta), un tren que marchaba a la velocidad constante de 30

km/h pierde su último vagón, el cual, va poco a poco deteniéndose hasta que termina por pararse justo en la misma estación, mientras el tren ha seguido constantemente su camino sin darse cuenta del suceso.

a) Escribe las ecuaciones del movimiento de cada móvil. b) ¿Qué tiempo empleará el vagón soltado en llegar a la estación desde el instante en que se soltó? ¿Dónde estará la locomotora entonces?

5. Un tren que mide 150 m de largo se mueve con velocidad de 72 km/h y tarda 20 s en atravesar un túnel. ¿Cuál es la longitud del túnel?

6. Un gamberro observa a una persona caminando con velocidad uniforme de 2 m/s, que va a pasar por

debajo de su balcón y va a dejar caer una nuez para darle en la cabeza. Si la altura del balcón es 12 m y la altura de la persona es 1’6 m, ¿a qué distancia debe encontrarse la persona en el momento de soltar la nuez? Escribe las ecuaciones de movimiento de la persona y del objeto, e iguala el tiempo.


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7. Un coche se encuentra parado en un área de servicios de una autovía cuando pasa un camión con rapidez

constante de 100 km/h. Cinco minutos después sale el coche en la dirección y sentido del camión con velocidad constante de 120 km/h. ¿Dónde y cuándo alcanzará el coche al camión?

8. Desde el suelo lanzamos un objeto con una rapidez de 9 m/s. Calcula qué rapidez tendrá cuando pase por

la mitad de su altura máxima. (Una ayuda: comienza calculando cuánto es esa altura máxima)

9. ¿A qué velocidad mínima debe disparar un arma para alcanzar a un helicóptero que vuela a 1 km de altura? Si disparamos con un arma a 350 m/s, ¿a qué velocidad impacta contra el helicóptero?

10. Comenta los siguientes enunciados explicando en qué condiciones son verdaderos, si lo son:

a) El movimiento es relativo. b) El espacio recorrido se calcula como la diferencia entre la posición final del móvil y la posición inicial. c) La rapidez es una magnitud vectorial. d) El vector aceleración tiene el mismo sentido que el vector velocidad. e) Una bola de acero tarda menos tiempo en llegar al suelo que una bola de madera. f) Cuando el cuerpo asciende la gravedad es negativa y positiva en caso contrario.

OTROS RECURSOS en INTERNET. http://www.iesnicolascopernico.org/FQ/cuarto.htm http://newton.cnice.mecd.es/4eso/trayectoria/indice_trayec.htm http://newton.cnice.mecd.es/4eso/mru/rectobjetivos.htm http://www.fq.cebollada.net/cinema4.html


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