Josue Cox

www.youtube.com/watch?v=d7MH8nExOhY

Qué se puede concluir de los videos?:

1. La solución ante la crisis actual ha sido bajar los tipos de interés aumentando la oferta de dinero. 1. Aumentar la masa monetaria genera inflación 2. Aumentar la masa monetaria debilita la moneda

2. Una moneda más débil genera, en primer lugar, un aumento de exportaciones. Pero el último efecto es un aumento de inflación.

Qué se puede concluir de los videos?:

1. Grandes cantidades de dinero disminuyen el bienestar de los agentes.

2. Si la moneda se debilita, los precios de los bienes importados aumentan

3. Ejemplo: Los jubilados tienen ingresos fijos (CDs), una moneda más débil genera pérdida de poder adquisitivo por el aumento del nivel de vida

Tres estrategias alternativas de modelación:

1. Modelos con agentes representativos

2. Modelos de generaciones traslapadas

3. Modelos ad hoc (no son derivados de problemas de decisión de los agentes)

Tres formas de incluir el dinero en la función de utilidad:

1. Dinero genera utilidad (función de utilidad)

2. Costos de transacción

3. Activo usado para trasferir recursos intertemporalmente

La función de utilidad del agente representativo

𝑈𝑡 = 𝑢 𝑐𝑡 , 𝑧𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐𝑡 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑝𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎 𝑦 𝑧𝑡 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑛𝑒𝑟𝑜

𝑈: ℝ2 → ℝ

Supuestos:

¿Qué interpretación tiene zt? • Dinero en términos de bienes, es decir, no solamente una medida del número de soles de la economía. • zt dependerá del número de soles por el precio del dinero en términos de bienes y como es per cápita se dividirá entre el número de habitantes

𝑧𝑡 =𝑀𝑡

𝑃𝑡𝑁𝑡= 𝑚𝑡

La función de utilidad de los agentes viene dado por el flujo de consumo y dinero en el horizonte de decisión, traído a valor presente.

𝟏 𝑊 = 𝛽𝑡

∞

𝑡=0

𝑢(𝑐𝑡 ,𝑚𝑡)

La restricción presupuestaria de la economía viene dada por:

𝟐 𝑌𝑡 + 𝜏𝑡𝑁𝑡 + 1 − 𝛿 𝐾𝑡−1 +(1 + 𝑖𝑡−1)𝐵𝑡−1

𝑃𝑡+

𝑀𝑡−1

𝑃𝑡= 𝐶𝑡 + 𝐾𝑡 +

𝑀𝑡

𝑃𝑡+

𝐵𝑡

𝑃𝑡

𝐵𝑡 : son bonos

𝛿: es la tasa de depreciación del capital

𝑖𝑡 : tasa de interés nominal que se paga sobre los bonos

𝜏𝑡 : transferencia neta de suma fija por parte del gobierno

𝑌𝑡 : producción agregada

𝐾𝑡−1: stock de capital al inicio del periodo “t”.

𝜏𝑡𝑁𝑡 : valor del subsidio o impuesto de suma fija agregado

𝑀𝑡 : cantidad de dinero

𝑃𝑡 : nivel de precios

La función de producción viene dada por:

𝑌𝑡 = 𝐹(𝐾𝑡−1, 𝑁𝑡)

𝐹 𝜆𝐾𝑡−1, 𝜆𝑁𝑡 = 𝜆𝐹 𝐾𝑡−1, 𝑁𝑡 = 𝜆𝑌𝑡 𝟑 𝑦𝑡 = 𝑓

𝑘𝑡−1

1 + 𝜂

𝑓𝑘 ≥ 0

𝑓𝑘𝑘 ≤ 0

lim𝑘→0

𝑓𝑘 = ∞

lim𝑘→∞

𝑓𝑘 = 0

La restricción presupuestaria en términos per cápita será:

𝟒 𝜔𝑡 = 𝑓 𝑘𝑡−1

1 + 𝜂 + 𝜏𝑡 +

1 − 𝛿

1 + 𝜂 𝑘𝑡−1 +

1 + 𝑖𝑡−1 𝑏𝑡−1 + 𝑚𝑡−1

1 + 𝜋𝑡 1 + 𝜂 ∗

= 𝑐𝑡 + 𝑘𝑡 + 𝑚𝑡 + 𝑏𝑡

La decisión del agente se resumirá en el siguiente problema de optimización:

Max 𝟏 𝑊 = 𝛽𝑡

∞

𝑡=0

𝑢(𝑐𝑡 ,𝑚𝑡)

Sujeto a

𝟒 𝜔𝑡 = 𝑓 𝑘𝑡−1

1 + 𝜂 + 𝜏𝑡 +

1 − 𝛿

1 + 𝜂 𝑘𝑡−1 +

1 + 𝑖𝑡−1 𝑏𝑡−1 + 𝑚𝑡−1

1 + 𝜋𝑡 1 + 𝜂 ∗

= 𝑐𝑡 + 𝑘𝑡 + 𝑚𝑡 + 𝑏𝑡

𝑐𝑡 𝑡=0∞

𝑘𝑡 𝑡=0∞

𝑏𝑡 𝑡=0∞

𝑚𝑡 𝑡=0∞

𝐶𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎 1 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎 (4)

Se utiliza el método de multiplicadores de Lagrange para resolver el problema de optimización dinámica

𝟓 ℒ: 𝛽𝑡𝑢 𝑐𝑡 ,𝑚𝑡 − 𝜆𝑡 𝑐𝑡 + 𝑘𝑡 + 𝑚𝑡 + 𝑏𝑡 − 𝑓 𝑘𝑡−1

1 + 𝜂 − 𝜏𝑡 −

1 − 𝛿

1 + 𝜂 𝑘𝑡−1 −

1 + 𝑖𝑡−1 𝑏𝑡−1 + 𝑚𝑡−1

1 + 𝜋𝑡 1 + 𝜂

∞

𝑡=0

Las condiciones de primer orden (CPO)

𝟔 𝜕ℒ

𝜕𝑐𝑡= 𝛽𝑡𝑢𝑐 𝑐𝑡 ,𝑚𝑡 − 𝜆𝑡 = 0 → 𝜆𝑡 = 𝛽𝑡𝑢𝑐 𝑐𝑡 ,𝑚𝑡

𝟕 𝜕ℒ

𝜕𝑘𝑡= −𝜆𝑡 + 𝜆𝑡+1 𝑓𝑘

𝑘𝑡

1 + 𝜂 +

1 − 𝛿

1 + 𝜂 = 0 →

𝜆𝑡

𝜆𝑡+1=

𝑓𝑘 𝑘𝑡 + 1 − 𝛿

1 + 𝜂

𝟖 𝜕ℒ

𝜕𝑏𝑡= −𝜆𝑡 + 𝜆𝑡+1

1 + 𝑖𝑡

1 + 𝜋𝑡+1 1 + 𝜂 = 0 →

𝜆𝑡

𝜆𝑡+1=

1 + 𝑖𝑡

1 + 𝜋𝑡+1 1 + 𝜂

𝟗 𝜕ℒ

𝜕𝑐𝑡= 𝛽𝑡𝑢𝑚 𝑐𝑡 ,𝑚𝑡 − 𝜆𝑡 + 𝜆𝑡+1

1

1 + 𝜋𝑡+1 1 + 𝜂 = 0

𝟏𝟎 lim𝑡→∞

𝛽𝑡𝜑𝑡𝑥𝑡 = 0 → 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 = 𝑘, 𝑏, 𝑚 𝑦 𝜑𝑡 = 𝑢𝑐 𝑐𝑡 ,𝑚𝑡

A partir del las CPO se llega a la forma funcional de la demanda de dinero

𝟏𝟏 𝛽𝑡𝑢𝑚 𝑐𝑡 ,𝑚𝑡 + 𝛽𝑡+1𝑢𝑐 𝑐𝑡+1, 𝑚𝑡+1

1 + 𝜋𝑡+1 1 + 𝜂 = 𝛽𝑡𝑢𝑐 𝑐𝑡 , 𝑚𝑡

𝑢𝑚 𝑐𝑡 ,𝑚𝑡

𝑢𝑐 𝑐𝑡 ,𝑚𝑡 = 1 −

1

1 + 𝜋𝑡+1 1 + 𝜂

1 + 𝜂

𝑓𝑘 𝑘𝑡 + 1 − 𝛿

1 + 𝑟𝑡 = 1 + (𝑓𝑘 𝑘𝑡 − 𝛿)

Notar que la tasa de rendimiento real no es otra cosa que la utilidad marginal del capital neta de depreciación

Usamos la relación de Fisher que relaciona la tasa de interés nominal con el rendimiento real y la tasa de inflación esperada por el agente.

1 + 𝑖𝑡 = 1 + 𝜋𝑡+1 1 + 𝑟𝑡 = 1 + 𝜋𝑡+1 + 𝑟𝑡 + 𝜋𝑡+1𝑟𝑡

Con esto, se llega a la expresión de la demanda por dinero que relaciona el valor que le da el agente a mantener dinero con la tasa de interés nominal y el valor del consumo.

𝟏𝟐 𝑢𝑚 𝑐𝑡 , 𝑚𝑡

𝑢𝑐 𝑐𝑡 , 𝑚𝑡 =

𝑖𝑡1 + 𝑖𝑡

≡ 𝛤𝑡

• El estado estacionario de la economía.

• Se asume que η=0 para simplificar (pues no nos interesa los efectos de cambios en la tasa de crecimiento poblacional) • Se asume que la tasa nominal de dinero (M) crece a la tasa θ • En el estado estacionario los siguientes valores son constantes

• El equilibrio viene dado por (Neutralidad del dinero):

𝟏𝟒 𝑢𝑐 𝑐𝑠𝑠 ,𝑚𝑠𝑠 − 𝛽 𝑓𝑘 𝑘

𝑠𝑠 + 1 − 𝛿 𝑢𝑐 𝑐𝑠𝑠 ,𝑚𝑠𝑠 = 0

𝟏𝟓 (1 + 𝑖𝑠𝑠)

(1 + 𝜃)− 𝑓𝑘 𝑘

𝑠𝑠 + 1 − 𝛿 = 0

𝟏𝟔 𝑢𝑚 𝑐𝑠𝑠 ,𝑚𝑠𝑠 − 𝛽 𝑓𝑘 𝑘𝑠𝑠 + 1 − 𝛿 𝑢𝑐 𝑐

𝑠𝑠 ,𝑚𝑠𝑠 +𝛽𝑢𝑐 𝑐

𝑠𝑠 , 𝑚𝑠𝑠

(1 + 𝜃)= 0

𝟏𝟕 𝑓 𝑘𝑠𝑠 + 𝜏𝑠𝑠 + 1 − 𝛿 𝑘𝑠𝑠 +𝑚𝑠𝑠

(1 + 𝜃)= 𝑐𝑠𝑠 + 𝑘𝑠𝑠 + 𝑚𝑠𝑠

• El ratio capital-trabajo se define por:

𝟐𝟎 𝑘𝑠𝑠 = 𝛼𝛽

1 + 𝛽(𝛿 − 1)

11−𝛼

𝟐𝟏 𝑐𝑠𝑠 = 𝑓 𝑘𝑠𝑠 + 𝛿𝑘𝑠𝑠 = 𝛼𝛽

1 + 𝛽(𝛿 − 1)

𝛼1−𝛼

+ 𝛿 𝛼𝛽

1 + 𝛽(𝛿 − 1)

11−𝛼

• El consumo por: