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El metodo de los operadores
lineales como alternativa en la
descripcion del regimen
ondulatorio en una capa de fluido
Jorge E. Oviedo G.
Proyecto Curricular de Licenciatura en Fısica
Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas
Tesis entregada como requisito para optar al tıtulo de
Licenciado en fısica
Bogota 2016
Indice general
Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. Preliminares 8
1.1. Condiciones del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Condiciones de frontera en la interfaz lıquido-gas . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1. Condiciones de frontera dinamicas . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2. Condicion de frontera cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. Modelo linealizado 19
2.0.1. Adimensionalizacion de las ecuaciones de movimiento . . . . . 19
2.0.2. Forma linealizada de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Interludio matematico 26
3.1. El teorema de descomposicion de Helmholtz-Weyl . . . . . . . . . . . 26
3.1.0.1. Espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.0.2. Trazas de funciones en H1(Ω) . . . . . . . . . . . . . 43
3.2. El teorema de representacion de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3. Generalizaciones del teorema de descomposicion de Helmholtz-Weyl . 54
4. Desarrollo del modelo 66
4.1. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2. Condiciones de frontera referidas a la superficie de equilibrio . . . . . 68
4.3. La transformada de Fourier-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5. El metodo de los operadores lineales en espacios de Hilbert 76
5.1. Operadores lineales asociados a la energıa cinetica y potencial del fluido 76
5.2. Ecuacion de evolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3. El modelo de Kopachevsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6. Conclusiones 98
i
Apendices 102
Apendice A. El modelo de Shkadov-Kapitza 103
A.1. Formulacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
A.2. Condiciones de frontera dinamicas y cinematicas . . . . . . . . . . . . 104
A.2.1. Condicion cinematica en la interfaz . . . . . . . . . . . . . . . 107
A.3. Ecuaciones de la capa Lımite a primer orden . . . . . . . . . . . . . . 107
A.3.1. Adimensionalizacion de las ecuaciones de movimiento . . . . . 107
A.3.2. Adimensionalizacion de las condiciones Dinamicas, Cinemati-
cas y de Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
A.3.3. Estimacion de los terminos en las ecuaciones de movimiento . 111
A.4. El metodo de los residuos Nulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Apendice B. Demostracion de la compacidad del operador G 118
Referencias 122
ii
Indice de figuras
1.1. Ondas en una region acotada del espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Balance de momentum en la interfaz de dos fluidos. En la imagen
se muestra una porcion de Ω contenida en el hemisferio inferior de
una esfera B de radio ε, la cual a su vez contiene una porcion del
gas situado sobre el lıquido en el hemisferio superior de dicha esfera.
Una parte de S se encuentra contenida allı mismo y corresponde a
la superficie de separacion de los dos fluidos, quedando limitada a su
vez por la curva simple cerrada Γ dentro de la esfera B. . . . . . . . 11
3.1. Frontera de clase C1. En la imagen se observa una bola de radio ε
centrada en un punto x0 ∈ ∂Ω, de tal manera que aquella por-
cion de ∂Ω contenida en dicha bola, se puede representar como la
grafica de una funcion Ψ(x1, x2, ..., xn−1), continuamente diferen-
ciable en las x1, x2, ..., xn−1 coordenadas restantes en Rn, con xn ≥
Ψ(x1, x2, ..., xn−1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.1. Angulo de contacto. Una partıcula fluida se muestra rodeada de una
gas y en contacto con una superficie solida, formando el angulo de
contacto θ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2. Seccion normal de una superficie. En la imagen se visualiza la seccion
normal de una superficie en R3, representada por la curva resaltada
en color negro. Allı mismo se puede observar el vector v segun el cual
se mide la curvatura normal κn en el punto r(ξ01 , ξ02), de la superficie
dada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3. Seccion normal de la superficie libre del fluido segun el vector unita-
rio t. En la imagen se puede observar tambien un sistema de coorde-
nado local ası como al vector unitario n normal a S. . . . . . . . . . . 85
A.1. Una capa de fluido que desciende sobre una pared por accion de la
gravedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
iii
Introduccion
Como es sabido, la dinamica de los fluidos newtonianos esta gobernada por un con-
junto de ecuaciones diferenciales parciales, no lineales, conocidas como ecuaciones
de Navier-Stokes, cuya expresion en un marco de referencia inercial arbitrario es la
siguiente:
∂u
∂t+ (u · ∇)u = −1
ρ∇p+ ν ∆u+ f (1)
En donde u = (u1, u2, u3) representa el campo de velocidades del fluido, p la dis-
tribucion de presiones en el fluido, ρ y ν su densidad y viscosidad cinematica, res-
pectivamente; y f el campo de fuerzas externo por unidad de masa que actua sobre
este.
Dicho conjunto de ecuaciones no es mas que la expresion local del balance de momen-
tum en el fluido y junto con las ecuaciones de continuidad y de estado termodinamico
proporcionan un sistema completo de ecuaciones a partir del cual, en principio, es
posible obtener la descripcion del movimiento del mismo, suministrados por supuesto
los datos iniciales y/o en la frontera de cada problema en particular.
En este orden de ideas, cualquier discusion teorica respecto a un tipo de flujo en
particular, debera traducirse en ultima instancia en la resolucion de dicho problema,
el cual por otra parte dista considerablemente de ser una facil empresa, por lo que
en muchos casos se suele recurrir a aproximaciones que intentan simplificar de tal
manera el conjunto de ecuaciones, que estas no disten de la situacion fısica concreta,
buscando a su vez que las predicciones derivadas del modelo guarden una distancia
razonable, mınima si se quiere, con los resultados del experimento.
De esta manera, la descripcion del flujo ondulatorio en la superficie libre de un fluido
incompresible en particular, estara enmarcada por el cuadro teorico recogido en la
ecuacion (1). Ahora bien, el hecho de que la descripcion teorica de esta clase de flujos
se encuentre suscrita a dicho modelo, no obsta, por lo que respecta a su expresion
matematica, para que esta pueda reformularse en otros terminos. Ası por ejemplo,
las ecuaciones de Navier-Stokes pueden pasar de expresarse en forma diferencial a
expresarse en forma integral, y la descripcion teorica sigue estando enmarcada por
los mismos supuestos que condujeron a las ecuaciones antes mencionadas, con la
ventaja que supone el hecho de poder extraer otro tipo de informacion o de realizar
una nueva lectura de los hechos, que quizas se dificultarıa si solo se estudiase su forma
diferencial.
1
Siguiendo esta lınea de pensamiento, puede formularse el objetivo general de la presen-
te monografıa, como la busqueda de una descripcion teorica alternativa de la dinamica
del movimiento ondulatorio en una capa de fluido, en el sentido de llevar el conjunto
de las ecuaciones de la dinamica de fluidos, verbi gratia la ecuacion de continuidad,
las ecuaciones de Navier Stokes, entre otras, a la forma de una ecuacion de operadores
lineales definidos sobre ciertos espacios de Hilbert, adecuados y construidos estos a
su vez, en virtud de las condiciones de frontera y de la clase de funciones admitidas
como solucion del problema en cuestion. Especıficamente se busca lo siguiente:
Establecer la forma correcta de las ecuaciones que describen la dinamica en la
frontera de la capa de fluido, ello debido a que la gran mayorıa de modelos
existentes del flujo ondulatorio, tienen a tales ecuaciones como ejes centrales
de los mismos (Johnson, 1997). Este objetivo resulta de la mayor importancia
para alcanzar el proposito general de la monografıa, no solo por la razon antes
dada, sino por el hecho, mencionado mas abajo, de que existe una controversia
alrededor de este tema, relacionado con un modelo de ondas no lineales que
describe el flujo ondulatorio en una pelıcula de fluido que desciende sobre una
pared por accion de la gravedad.
Dicho modelo, introducido por primera vez por Kapitza (P. Kapitza, 1948) y
ampliado luego por Shkadov (Shkadov, 1967), poseıa, en la formulacion inicial
dada por estos autores, sendos errores en la forma de las ecuaciones que ex-
presaban el balance normal y tangencial de esfuerzos en la interfaz lıquido-gas.
Tales errores fueron advertidos posteriormente por otros investigadores (Penev,
Krylov, Boyadjiev, y Vorotilin, 1972), quienes afirmaban estar en posesion de
la forma correcta de las ecuaciones mencionadas. Ası las cosas, puede decirse
que el objetivo particular aquı establecido, contribuira por un lado a generalizar
las condiciones dinamicas que prevalecen en la superficie de separacion de dos
fluidos, y por el otro a dirimir la mentada controversia.
Definir las condiciones bajo las cuales se abordara el problema, teniendo en
cuenta el hecho de que al tratarse de un fenomeno superficial, factores como que
la viscosidad, la tension superficial, el angulo de contacto, entre otros, afectaran
el comportamiento de los fluidos de diversas maneras, segun sea el rango de
valores en el que se encuentren dichos parametros.
Adelantar un proceso de formacion en torno al uso y apropiacion de algunos
elementos de la matematica no usados convencionalmente en fısica. Este objetivo
2
responde al proposito general trazado en el presente trabajo, en el entendido
de que al tratar de formular las ecuaciones de la dinamica de fluidos como un
problema de operadores lineales definidos en espacios de Hilbert, sera menester
abocarse con cierta profundidad, al estudio de un aparato matematico altamente
sofisticado y abstracto, el cual por otra parte escapa a la formacion matematica
del licenciado en fısica.
Describir los elementos, y solo aquellos, que resulten esenciales al objetivo ge-
neral de la monografıa, en relacion con la teorıa de espacios de Hilbert y de las
ecuaciones diferenciales parciales definidas en dichos espacios. En particular, se
busca introducir los espacios de Sobolev como estrategia para definir el dominio
de los operadores lineales que seran usados para establecer el modelo de on-
das lineales en una capa de fluido viscoso, que incorpore el efecto de la tension
superficial.
Ofrecer un marco general a partir del cual se puedan consolidar futuras inves-
tigaciones que conduzcan a generalizar y/o ampliar los resultados obtenidos en
la presente monografıa, por ejemplo en la vıa del analisis de la estabilidad del
sistema objeto de estudio.
Ahora bien, la idea de aplicar las ideas y los metodos del analisis funcional a los
problemas de la fısica no es nueva, especialmente si se tiene en cuenta que, historica-
mente, el programa de Von Neumann de erigir todo el edificio de la mecanica cuantica
sobre la base de postular la correspondencia entre observables y operadores lineales
definidos en cierto espacio de Hilbert, ası como el hecho de postular la descripcion del
estado de un sistema cuantico en virtud de las autofunciones de dichos operadores
(Neumann, 1955); constituye uno de los primeros intentos existosos a este respecto.
Un intento similar de aplicar tales metodos a algunos problemas lineales de la teorıa
de la elasticidad ası como de la hidrodinamica teorica, fue realizado por el celebre
matematico ruso Sergei Sobolev (Sobolev, 2008), cuyo trabajo fue continuado pos-
teriormente por otros matematicos de la escuela sovietica como Olga Ladyzheskaya
(Ladyzhenskaya y Silverman, 1969) y Salomon Mikhlin (Mikhlin, 1952).
La novedad de este trabajo reside entonces en utilizar estos elementos para describir
un sistema del cual no se conoce, hasta el momento, un modelo teorico en los termi-
nos antes mencionados. Efectivamente, se han realizado descripciones teoricas de las
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pequenas oscilaciones en la superficie libre de un fluido ideal, utilizando operadores li-
neales en espacios de Hilbert (Kopachevsky, 1966). Tambien se han estudiado, usando
similares herramientas, las pequenas oscilaciones de un fluido viscoso contenido en un
recipiente parcialmete lleno del mismo (Kopachevsky, 1967), pero no se ha obtenido
un modelo de ondas lineales en la superficie libre de un lıquido viscoso, considerando
los efectos de la tension superficial.
De otra parte, la formulacion tradicional de los modelos de ondas en un fluido, obtie-
nen ecuaciones de onda para el campo de presiones o para el potencial del campo de
velocidades, cuando se asume el flujo potencial de un fluido compresible (Feynman,
Leighton, y Sands, 1979); sin embargo, estos modelos distan de describir la clase de
situaciones de interes en este trabajo.
Junto a estos modelos, tambien se han obtenido descripciones de las ondulaciones
de la superficie de separacion de dos fluidos, incorporando el efecto de la tension
superficial pero no de la viscosidad (Johnson, 1997). Una de las dificultades de estos
modelos, como se discutira en el capıtulo 1, es que en ellos se debe incorporar la
evolucion de la superficie de separacion de los dos fluidos, introduciendo para este fin
una ecuacion para la funcion de onda que representa la elevacion de dicha superficie,
respecto a su posicion de equilibrio. Debido a estas circunstancias, la ecuacion para
la funcion de onda queda acoplada a las ecuaciones para el campo de presiones y para
el campo de velocidades en la interfaz, las cuales ademas son no lineales.
Peor aun es el hecho de que a pesar de que bajo ciertas hipotesis se puedan linea-
lizar esas ecuaciones, seguiran no obstante estando acopladas las ecuaciones para la
superficie, la presion y el campo de velocidades del fluido.
Entre los modelos que incorporan la no linealidad inherente a las ecuaciones de Navier-
Stokes y condiciones dinamicas en la frontera, se cuentan, entre los mas representa-
tivos, el de Stokes, en el caso de fluidos ideales (Johnson, 1997), y el de Shkadov-
Kapitza, mencionado anteriormente, en el caso de fluidos viscosos.
Con la revision del estado del arte que se ha realizado hasta aquı, y habiendo senalado
los objetivos y la novedad que supone la presente monografıa, se procedera a conti-
nuacion a describir la organizacion del trabajo, senalando la manera en que se dara
cumplimiento a los mencionados objetivos, a lo largo del escrito.
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Considerando que, entre los modelos resenados en los parrafos anteriores, el que mas
se acerca a la situacion fısica que se busca describir, es el de Shkadov-Kapitza, y con
base en la metodologıa desarrollada por Kopachevsky para introducir los operadores
lineales en el modelo de las pequenas oscilaciones de un fluido ideal, se tomaran
como referencias principales los trabajos de Shkadov (Shkadov, 1967), Kopachevsky
(Kopachevsky, 1966), y Tyupsov (Tyupsov, 1966); pasando luego a establecer en el
primer capıtulo las condiciones del problema a ser abordado, el cual consistira en el
estudio teorico del flujo de una capa de fluido en regimen ondulatorio, incorporando
en el mismo el efecto de la tension superficial.
En particular, se ampliara la discusion acerca de las condiciones dinamicas y ci-
nematicas que prevalecen en la superficie libre del fluido, dado que en el artıculo de
Shkadov antes mencionado, se omite por completo este analisis, con la consecuencia
importante de que ciertos terminos de las ecuaciones allı comprometidas son erroneos,
contemplandose ası la idea de contribuir al problema ofreciendo un estudio detallado,
sobre la base de los fundamentos de la teorıa del medio continuo, de dichas condi-
ciones. De esta manera se da cumplimiento, dicho sea de paso, al primer objetivo
trazado en el presente trabajo.
Dado que se desean incorporar elementos del analisis funcional estandar a la teorıa,
se hace indispensable linealizar las ecuaciones del problema, en virtud de lo cual, en
el segundo capıtulo, se estableceran las hipotesis que conduzcan a ello. En el camino
se construira una escala apropiada y se definiran dos parametros adimensionales vi-
tales en el problema, el numero de Reynolds, y el numero de Weber. Con ayuda de
estos, se establecera un criterio por medio del cual, luego de adimensionalizar las
ecuaciones de movimiento, se puedan ponderar las contribuciones de los terminos allı
comprometidos, en la dinamica del fluido. Los resultados de este capıtulo se conside-
ran neuralgicos para el buen desarrollo de la teorıa, y representan una contribucion
propia al particular. Mediante los mismos, se da cumplimiento al segundo objetivo
de la monografıa.
El tercer capıtulo se propone introducir la maquinaria del analisis funcional, vıa el
estudio de conceptos tales como el de espacios de Hilbert, operadores lineales en
dichos espacios, funcionales lineales acotados, espacios duales, entre otros. Allı mismo
se introducen la clase de espacios de Hilbert relevantes a problemas fısicos expresados
por medio de problemas de valores en la frontera, esto es, los espacios de Sobolev. Se
estudian las propiedades de los elementos de dichos espacios, ası como la manera en
5
que su uso permite flexibilizar el criterio que define lo que se entiende por soluciones
a un determinado problema de valores en la frontera.
Un concepto importante en esta direccion, es el de derivada debil de una funcion,
introducido en la seccion 3.1.0.1., el cual extiende el concepto habitual de derivada,
para asignar una nueva derivada, en sentido debil, a funciones que de otra forma
no serıan diferenciables. La seccion 3.0.1.2, que sigue a esta, servira al proposito de
suministrar una herramienta clave para entender como asignar valores en la frontera
de un dominio dado, a los elementos de cierto espacio de Sobolev, ello debido a que
las funciones que hacen parte de dicho espacio, no cuentan con una forma natural de
restringir sus valores a un subconjunto del dominio en el cual estan definidas.
La mentada herramienta que permite tal restriccion a la frontera de un dominio,
de las funciones del espacio de Sobolev H1(Ω) introducido en la seccion 3.1.0.1.,
es un operador lineal acotado, conocido como operador traza, cuya existencia es el
contenido del teorema 3.1.2. La demostracion de este teorema ası como del teorema
de representacion de Riesz que sera un elemento clave para demostrar la exitencia y
unicidad de soluciones a la ecuacion de Poisson, es expuesta a lo largo del capıtulo,
siendo este un aporte por parte del autor de la presente monografıa.
Otro de los resultados centrales del tercer capıtulo, sera el de aportar la demostra-
cion de un teorema crucial en el analisis vectorial, el teorema de descomposicion de
Helmholtz-Weyl, que sera generalizado, en la forma del teorema 3.3.3; empleandolo
posteriormente en la representacion del campo de velocidades del fluido como suma
de un campo irrotacional mas un campo solenoidal, obteniendo ası un conjunto de
ecuaciones independientes para cada una de sus partes: La ecuacion de Laplace para
el potencial escalar, y la ecuacion de calor para el potencial vector. Con estos apor-
tes, puede decirse que se da por cumplido el tercer y cuarto objetivos especıficos del
trabajo.
En el cuarto capıtulo, como se acaba de decir, se utilizara la descomposicion de
Helmholtz-Weyl en la forma linealizada de la ecuacion de Navier-Stokes, concluyendo
que la parte irrotacional del campo de velocidades satisface la ecuacion de Laplace,
mientras que la parte solenoidal obedece a la ecuacion de calor.
Luego, en este mismo capıtulo, se empleara la transformada de Fourier-Laplace para
obtener la estructura de las soluciones del conjunto de ecuaciones antes mencionado.
De igual manera se aplicara dicha transformacion al balance de esfuerzos en la interfaz
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ası como a la condicion cinematica para obtener una importante relacion que sera
empleada luego al introducir los operadores lineales que describen la evolucion de la
superficie libre del fluido.
En el quinto capıtulo se emplearan todos los elementos previamente desarrollados,
concluyendo con una ecuacion de operadores lineales que describe el regimen ondu-
latorio en la capa de fluido. Estos operadores como se demostrara allı mismo, poseen
ciertas propiedades que en el contexto de la teorıa espectral de los operadores lineales
les hace bien comportados, pues la existencia de un conjunto espectral ası como la
convergencia de sucesiones bajo la imagen de los mismos esta garantizada en virtud
de tales propiedades. Los espacios de Hilbert sobre los que estaran definidos, seran
justamente los espacios de Sobolev estudiados en el capıtulo 3.
El capıtulo concluye contrastando el modelo obtenido por Kopachevsky que describe
las pequenas oscilaciones de la superficie libre de un fluido ideal, considerando los
efectos de la tension superficial; demostrando que el desarrollado aquı es mucho mas
general pues contiene a aquel como caso particular en el lımite en el que el fluido se
considera inviscido. Tambien se estudian en este capıtulo las consecuencias fısicas del
modelo obtenido, dando por cumplido el objetivo principal del trabajo de grado.
Por ultimo, en el sexto capıtulo se exponen las conclusiones del trabajo realizado, po-
niendo de manifiesto las contribuciones y hallazgos en relacion al problema abordado
en la presente monografıa, ası como las perspectivas a futuro.
En el apendice A podra encontrarse el desarrollo del modelo de Shkadov-Kapitza
que modela el movimiento ondulatorio de una capa de fluido viscoso descendiendo
sobre una pared solida por efecto de la gravedad. En la discusion allı realizada se
encontraran las correcciones hechas por el autor de la presente monografıa a dicho
modelo.
7
Capıtulo 1
Preliminares
1.1. Condiciones del problema
Considerese una capa de lıquido limitada por las paredes de un recipiente. Este lıqui-
do ocupa una region Ω ⊂ R3 del espacio, estando sobre aquel un gas de densidad
despreciable. Sea Σ la superficie del recipiente y S la superficie libre del lıquido. De
tal manera que la frontera del dominio Ω, designada por ∂Ω, es la union de estos dos
conjuntos. En otras palabras, ∂Ω = S ∪ Σ, siendo S y Σ subconjuntos cerrados de
∂Ω.
Supongase ademas que la densidad del lıquido, ρ, es constante lo mismo que su vis-
cosidad cinematica, ν, y que este se encuentra bajo la accion de un campo de fuerzas
externo el cual proviene de un potencial por unidad de masa Π(r, t). Un esquema plano
de esta situacion se bosqueja en la siguiente imagen, donde se representa ademas el
vector unitario normal a la superficie libre del fluido n, en un punto R de dicha
superficie.
Figura 1.1: Ondas en una region acotada del espacio.
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En la imagen h0 representa la desviacion de la superficie libre del liquido respecto a
su posicion de equilibrio, que aquı se designara por N .
Ası pues, una vez el lıquido es ligeramente perturbado, este comenzara a moverse y su
dinamica estara gobernada, como se menciono en la introduccion, por las ecuaciones
de Navier-Stokes:
∂u
∂t+ (u · ∇)u = −∇(
p
ρ+Π) + ν ∆u (1.1)
De modo que el problema consistira entonces en hallar p y u en Ω, sujeto a unas
determinadas condiciones iniciales y/o de frontera las cuales deben verificarse en ∂Ω.
Por otra parte, el lıquido se considera incompresible, por lo cual la ecuacion de con-
tinuidad en la region Ω adoptara la forma:
∇ · u = 0 (1.2)
Puesto que se asume que el fluido no atraviesa la superficie del recipiente, Σ, al tratarse
de una superficie no porosa, y, por la condicion de no deslizamiento del fluido sobre
dicha superficie (Kundu, Cohen, y Hu, 2008), la condicion allı es que la velocidad sea
cero, ası que la condicion de frontera en ese caso sera:
u|Σ = 0 (1.3)
En donde u|Σ significa que u esta siendo evaluado en Σ.
Se asume igualmente que Σ es una pared isotermica y adiabatica, y que no hay
gradientes de temperatura en la interfaz lıquido-gas. Por otro lado, se despreciara el
flujo de calor ocasionado por el rozamiento interno del fluido; de tal suerte que en
suma, la condicion termodinamica sera T = constante, con T la temperatura del
fluido.
Aun deberan darse las condiciones de frontera en S y de ser necesario en su frontera,
toda vez que el conjunto de ecuaciones (1.1) es de segundo orden en las coordenadas
espaciales y de primer orden en el tiempo, para u; e igualmente es una ecuacion de
primer orden en las coordenadas espaciales para p.
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Reuniendo estos hechos se tiene entonces que deben darse en total 2n condiciones
iniciales y/o de frontera para establecer completamente la solucion del sistema de
ecuaciones (1.1) y (1.2), en donde n es el numero de incognitas comprometidas en
el problema. En este caso las incognitas corresponden a las tres componentes de la
velocidad y la distribucion de la presion en el fluido, con lo que n = 4, ası que el
conjunto de condiciones antes mencionadas debe ser ocho.
Las condiciones dadas por (1.3) son tres, las otras cinco sera preciso especificarlas en
S. Sin embargo, estas condiciones deberan examinarse con cautela, pues en todo caso
la superficie libre del fluido esta en movimiento ası que su posicion en cada instante
de tiempo es desconocida y debera por tanto hallarse.
Desde el punto de vista de la teorıa de las ecuaciones diferenciales parciales, este hecho
se traduce en que el problema ası formulado se constituye en lo que se denomina
un problema de frontera libre (Friedman, 1982), en el que se tiene un conjunto de
ecuaciones diferenciales parciales definido en una region del espacio Ω, sujeto a unas
determinadas condiciones en la frontera de dicho dominio, frontera de la cual no
obstante se desconoce cierta porcion, S, la cual evoluciona en el tiempo.
Esta circunstancia compromete una dificultad adicional, la de obtener una ecuacion
que describa la evolucion de S y que estara acoplada a las ecuaciones que definen
las condiciones de frontera del problema estudiado. Un ejemplo representativo de lo
dicho anteriormente, es el de resolver la ecuacion de calor para un cubo de hielo que
se funde. A diferencia de resolver esta ecuacion para una habitacion, o para un recinto
con paredes rıgidas, el problema de hallar la distribucion de la temperatura en el cubo
de hielo derritiendose, implica que las condiciones de frontera se van modificando dado
que la frontera de este dominio esta cambiando en cada instante de tiempo. De esta
manera, debera obtenerse una condicion adicional que especifique la evolucion de la
superficie del cubo de hielo, la cual se acoplara a las condiciones de frontera del campo
de temperaturas establecidas allı.
Una situacion similar ocurre en el problema abordado en este trabajo: no solo deberan
resolverse las ecuaciones para el campo de velocidades y la distribucion de la presion
en el fluido, sino que debera obtenerse una ecuacion de evolucion para la superficie
libre del mismo, la cual se acoplara a las condiciones de frontera establecidas en
dicha region. La siguiente seccion tiene justamente el merito de obtener, de manera
detallada, las condiciones para el campo de presiones y de velocidades en la superficie
10
Con referencia a la anterior imagen, sean n y n las normales unitarias, exterior e
interior a S, respectivamente, con n = −n. La curva cerrada representa la frontera
de S y se designara por Γ.
Efectuando el balance de momentum en este volumen, se encuentra que actuan allı,
como es natural en un medio continuo, las fuerzas de volumen representadas por f,
ası como las fuerzas de superficie, representadas por t(n) y t(n), en donde t(n) es el
vector de esfuerzos o fuerza por unidad de area ejercida por las partıculas del fluido
contenido en el hemisferio inferior de B, sobre las partıculas del fluido presentes en
S. Por su parte, t(n) es la fuerza por unidad de area ejercida por las partıculas del
fluido contenidas en el hemisferio superior de la esfera, sobre las partıculas fluidas de
S.
Como es conocido en mecanica del medio continuo, estos vectores de esfuerzos estan
dados respectivamente por t(n) = n · T y t(n) = n · T = −n · T; siendo T el tensor
de esfuerzos del primer fluido y T el tensor de esfuerzos del segundo fluido.
Adicional a estas fuerzas actua, en cada punto de la curva Γ, una fuerza por unidad
de longitud, de magnitud σ, conocida como tension superficial, la cual se encuentra
en la direccion del vector normal unitario exterior a dicha curva, s, y cuyo efecto es
el de tratar de aplanar la superficie S.
Reuniendo estos hechos, el balance global de las fuerzas inerciales (representadas pord
dt
∫B
ρ u(r′) d3r′), con las fuerzas antes mencionadas, estara dado por:
d
dt
∫
B
ρ u(r′) d3r′ =
∫
B
f(r′) d3r′ +
∫
S
[t(n) + t(n)]d2r′ +
∮
Γ
σs dr′ (1.4)
Ahora bien, como se puede observar a partir de la anterior ecuacion, tanto las fuerzas
inerciales como las fuerzas de volumen son de orden O(ε3), en tanto que las fuerzas de
superficie y las de tension superficial son de orden O(ε2) y O(ε) respectivamente, de
modo que en el lımite ε → 0 estas dominan sobre las primeras. Ası pues, reteniendo
terminos hasta segundo orden en ε, el balance de momentum sera:
∫
S
n · [T− T] d2r′ +
∮
Γ
σs dr′ = 0 (1.5)
En donde se ha empleado la definicion del vector de esfuerzos dada mas arriba.
12
Por otra parte, el vector s esta dado por s = l× n, en donde l es un vector unitario
tangente a Γ. De modo que las fuerzas de tension superficial se pueden escribir como:
∮Γ
σsdr′ =∮Γ
(σn)× ldr′ =∮Γ
(σn)× dl
Ahora bien, se puede demostrar (Spiegel, 1959) que al aplicar el teorema de Stokes a
la ultima expresion se obtiene:
∮Γ
(σn)× dl =∫S
[n ∇ · (σn)− (n · ∇)(σn)] d2r′
Expandiendo el lado derecho de esta igualdad:
∫S
[n∇ · (σn)− (n · ∇)(σn)]d2r′ =∫S
n[∇σ · n+ σ∇ · n]− (n · n)∇σ − σ(n · ∇)nd2r′
Examinando cada termino del lado derecho de la anterior igualdad, se tiene que
∇σ · n = 0, puesto que ∇σ es un vector tangente a la superficie. Por otra parte,
(n · ∇)n =1
2∇(n · n) − n × (∇× n) = 0, ya que n · n = 1 y ∇× n = 0 al ser n un
campo vectorial irrotacional. De manera que se obtiene lo siguiente:
∫S
[n∇ · (σn)− (n · ∇)(σn)] d2r′ =∫S
n[σ∇ · n]−∇σd2r′
Es decir:
∮Γ
(σn)× dl =∫S
n[σ∇ · n]−∇σd2r′
Reemplazando este resultado en la ecuacion (1.5), se halla que:
∫S
n · [T− T] + n[σ∇ · n]−∇σdS = 0
Y puesto que se trata de una superficie arbitraria, finalmente se concluye que:
n · [T− T] = σn ∇ · n−∇σ (1.6)
Este sera pues el balance de esfuerzos en la interfaz de los dos fluidos. La ecuacion
(1.6) puede proyectarse en la direccion del vector normal a la superficie, ası como a
la largo de dos vectores tangentes a la misma. Lo anterior se efectuara tomando el
producto interno euclıdeo de (1.6), primero con n y luego con dos vectores unitarios,
t (1) y t (2), tangentes a la superficie. A la primera de estas proyecciones se le llamara
balance normal de esfuerzos, a la segunda, balance tangencial de esfuerzos.
13
El balance normal de esfuerzos sera entonces:
n · [T− T] · n = σ(∇ · n)n · n−∇σ · n = σ(∇ · n) (1.7)
Correspondientemente, el balance tangencial de esfuerzos sera:
n · [T− T] · t (m) = σ(∇ · n)n · t (m) −∇σ · t (m) = −∇σ · t (m); m = 1, 2 (1.8)
En la ultima igualdad se ha aprovechado el hecho de que n y t (m) son vectores
ortogonales, por lo cual n · t (m) = 0. La dinamica de la interfaz, como se observa
a partir de estos resultados, dependera entonces de la respuesta del medio ante la
aplicacion de esfuerzos sobre el, respuesta que se expresa por medio de la forma
que adquieren las relaciones constitutivas que dan expresion concreta al tensor de
esfuerzos.
Para fijar ideas y puesto que el objeto de estudio de este trabajo son fluidos newto-
nianos, considerese ahora el balance normal y tangencial de esfuerzos en el caso de
dos fluidos cuyos tensores de esfuerzos estan dados por las relaciones constitutivas:
T = −pI+ µ[(∇u) + (∇u)T ] y T = −pI+ µ[(∇u) + (∇u)T ] (1.9)
En donde p, u, µ y p, u, µ, corresponden al campo de presiones, de velocidades y a
la viscosidad dinamica de cada fluido, respectivamente; (∇u) corresponde al gradiente
del campo de velocidades o tensor tasa de deformacion y (∇u)T a su transpuesto; e
I es el tensor identidad.
Al reemplazar estas expresiones para los tensores de esfuerzos en las ecuaciones (1.7)
y (1.8) se observa la influencia que tienen sobre la dinamica de la interfaz factores
como la viscosidad de cada fluido, ası como la tension superficial de uno de ellos. En
particular, en (1.7) se aprecia como el salto de esfuezos normales se ve compensado
por la accion de la tension superficial, y en (1.8) al no aparecer terminos asociados
con la presion, esto es solo aparecen terminos asociados con gradientes de velocidad
en el lado izquierdo de la igualdad, mientras que en el lado derecho aparecen terminos
asociados con gradientes de tension superficial, se interpreta entonces que un valor
no nulo de dichos gradientes de tension superficial conlleva siempre movimiento de la
interfaz.
14
Esta ultima observacion tiene unas implicaciones notables. Por ejemplo, si se asu-
me una dependencia lineal de la tension superficial con un campo de temperaturas
variable, se obtiene la importante conclusion de que el aumento de temperatura en
la interfaz conlleva siempre movimiento de esta, bajo la hipotesis antes mencionada.
Algo similar pasarıa si se asumen gradientes de concentracion no nulos, o si se anade
un surfactante a la interfaz.
En el caso del problema que se estudia en este trabajo, el primer fluido es un lıquido
viscoso y el segundo un gas de viscosidad despreciable a presion constante p0. Se
considera igualmente que la tension superficial es constante, ası que ∇σ = 0 en (1.9).
Introduciendo ahora un sistema de coordenadas curvilıneas (ξ1, ξ2, ξ3) en una vecindad
de la superficie S que separa a los dos fluidos, (1.9) quedara expresada como Tik =
−pδik+µ[ui,k+uk,i] y Tik = −p0δik, con i, k = 1, 2, 3; ui,k la derivada covariante de u;
y δik la delta de Kronecker. Bajo este sistema de coordenadas, (1.7) y (1.8) adoptaran
respectivamente la forma:
(Tik − Tik)nink = σH y (Tik − Tik)nit(m)k = 0 (1.10)
Siendo H := ∇ · n la curvatura media de la superficie (O'neill, 2006), ni y t(m)i
las componentes i-esimas de n y t (m) en el sistema coordenado, respectivamente. En
(1.10) se esta empleando el convenio de Einstein para la suma sobre ındices repetidos.
Substituyendo en (1.10) las expresiones (1.9) para los tensores de esfuerzos, se llega
a:
[−(p− p0)δik + µ(ui,k + uk,i)]nink = σH y [−(p− p0)δik + µ(ui,k + uk,i)]nit(m)k = 0
O mejor:
p− p0 = µ(ui,k + uk,i)nink − σH y µ(ui,k + uk,i)nit(m)k = 0 (1.11)
En la obtencion de cada una de las igualdades se tiene presente que δiknink = nini = 1
y por otra parte que δiknit(m)k = nit
(m)i = 0.
Ahora bien, puesto que el sistema coordenado se ha escogido de tal suerte que ξ3 este
dirigido a lo largo de n, la normal exterior a S, y ξ2, ξ3 queden sobre S, entonces, la
superficie en su posicion de equilibrio quedara representada por la ecuacion ξ3 = 0;
en tanto que la superficie en el instante t quedara representada por ξ3 = N(ξ1, ξ2, t),
siendo N(ξ1, ξ2, t) la desviacion, segun n, de S respecto de su posicion de equilibrio.
15
Un vector unitario normal a S estara dado en consecuencia por:
n :=1√
1 + |∇N |2(e3 −∇N)
En donde |∇N |2 = ∇N · ∇N ; e3 es el vector coordenado tangente en todo punto a
la lınea coordenada ξ3.
De esta manera, las componentes del vector unitario normal a S se obtienen como:
n1 :=1√
1 + |∇N |2(− 1
h1
∂N
∂ξ1); n2 :=
1√1 + |∇N |2
(− 1
h2
∂N
∂ξ2); n3 :=
1√1|∇N |2
Similarmente, pueden definirse las componentes de los vectores tangentes t (m) como:
t(1)1 :=
1√1 + (
1
h1
∂N
∂ξ1)2; t
(1)2 := 0; t
(1)3 :=
1√1 + (
1
h1
∂N
∂ξ1)2(1
h1
∂N
∂ξ1)
t(2)1 := 0; t
(2)2 :=
1√1 + (
1
h2
∂N
∂ξ2)2; t
(2)3 :=
1√1 + (
1
h2
∂N
∂ξ2)2(1
h2
∂N
∂ξ2)
Siendo h1, h2 y h3, los coeficientes de Lame o factores de escala del sistema coordenado
(McConnel, 1957).
Substituyendo estas expresiones en la primera de las ecuaciones (1.11) se obtiene:
p− p0 =
2µu1,1n21+u2,2n
22+u3,3n
23+(u1,2+u2,1)n1n2+(u1,3+u3,1)n1n3+(u2,3+u3,2)n2n3−σH
Es decir:
p− p0 = 2µγ2u1,1(1
h1
∂N
∂ξ1)2 + u2,2(
1
h2
∂N
∂ξ2)2 +
(u1,2 + u2,1)
h1h2
∂N
∂ξ1
∂N
∂ξ2− (u1,3 + u3,1)
h1
∂N
∂ξ1
− (u2,3 + u3,2)
h2
∂N
∂ξ2+ u3,3 − σH
(1.12)
Con γ2 :=1
1 + |∇N |2 .
Por otra parte, de la segunda de las ecuaciones (1.11) se tiene que:
16
2u1,1n1t(m)1 + (u1,2 + u2,1)(n2t
(m)1 + n1t
(m)2 ) + (u1,3 + u3,1)(n3t
(m)1 + n1t
(m)3 ) +
2u2,2n2t(m)2 + (u2,3 + u3,2)(n3t
(m)2 + n2t
(m)3 ) + 2u3,3n3t
(m)3 = 0
Que es equivalente al par de ecuaciones siguientes:
−(u1,2 + u2,1)
h2
∂N
∂ξ2+ (u1,3 + u3,1)[1− (
1
h1
∂N
∂ξ1)2]
− (u2,3 + u3,2)
h1h2
∂N
∂ξ1
∂N
∂ξ2+ 2
(u3,3 − u1,1)
h1
∂N
∂ξ1= 0
(1.13)
−(u1,2 + u2,1)
h1
∂N
∂ξ1− (u1,3 + u3,1)
h1h2
∂N
∂ξ1
∂N
∂ξ2
+ (u2,3 + u3,2)[1− (1
h2
∂N
∂ξ2)2] + 2
(u3,3 − u2,2)
h2
∂N
∂ξ2= 0
(1.14)
Estas seran pues las condiciones de frontera dinamicas en la interfaz lıquido-gas, las
cuales se verifican en cualquier instante t.
1.2.2. Condicion de frontera cinematica
Se establecera ahora la condicion cinematica que se verifica en la interfaz lıquido-gas.
En este orden de ideas, recordando que la posicion de la superficie libre del lıquido
esta representada en todo instante t por la ecuacion ξ3 = N(ξ1, ξ2, t), la condicion que
expresa el hecho de que la interfaz lıquido-gas se mueve con la misma velocidad que
las partıculas del lıquido, vendra dada entonces por:
d
dt[ξ3 −N(ξ1, ξ2, t)] = 0
Puesto que por definicion u3 =dξ3dt
, y, por la regla de la cadena:dN
dt:=
∂N
∂t+u ·∇N ,
entonces:
∂N
∂t+ u‖ · ∇N = un (1.15)
En donde un := u3 es la componente normal del campo de velocidades del fluido en
la superficie S, y u‖ es la componente tangencial del campo de velocidades definida
en dicha superficie.
La ecuacion (1.15) constituye entonces la condicion cinematica, valida tambien en
cualquier tiempo t.
17
Conviene decir acerca de esta condicion, que ella suministra la informacion acerca de
la evolucion temporal de la superficie libre del lıquido, pero unicamente cuando ya
se halla determinado el campo de velocidades del fluido, pues una vez conocido este,
mediante (1.15), sera posible determinar a ξ3 = N(ξ1, ξ2, t), en cualquier instante t,
conocido a su vez el estado inicial de la superficie libre.
Justamente uno de los meritos del metodo desarrollado en este trabajo es el de aprove-
char esta condicion para obtener, por medio de la introduccion de operadores lineales
asociados con las energıas potencial y cinetica del fluido, una ecuacion que describa
la dinamica de la superficie libre del lıquido en regimen ondulatorio.
Este hecho resulta notable si se tiene en cuenta que la descripcion de la dinamica
ondulatoria en un fluido, tomando en cuenta los efectos de la tension superficial ası
como de la viscosidad, no cuenta aun, hasta donde el autor ha podido constatar, con
un tratamiento que describa a N(ξ1, ξ2, t) independientemente del campo de velocida-
des del lıquido. Para comprobar que esto es ası, el lector interesado puede consultar
por ejemplo la monografıa de Johnson (Johnson, 1997) que es bastante completa, si
bien fue publicada hace ya un tiempo atras.
Otro punto que es importante destacar antes de culminar este capıtulo, es que en
la presente monografıa se busca obtener un modelo de ondas lineales, sin embargo,
las ecuaciones (1.12) a (1.15) ası como las ecuaciones de Navier-Stokes, exhiben un
caracter manifiestamente no lineal. Sera necesario por tanto, hallar una forma de
linealizar dichas ecuaciones. Esto se realizara en el siguiente capıtulo, anticipando de
antemano que la forma en que aquı se hara, constituye uno de los logros alcanzados
en este trabajo.
Por otra parte, el merito es doble, ya que las ecuaciones (1.12), (1.13) y (1.14) antes
obtenidas, pueden ser aplicadas al caso en que se tiene una pelıcula de fluido descen-
diendo sobre una pared por accion de la gravedad. Las expresiones resultantes seran
uno de los ejes centrales para el modelo de ondas no lineales de Shkadov-Kapitza, dis-
cutido en el apendice A. Allı se muestra como la forma correcta del balance normal y
tangencial de esfuerzos procede de calculos similares a los que condujeron a las ecua-
ciones antes mencionadas, corrigiendo de esta forma un error importante contenido
en el trabajo de Shkadov (Shkadov, 1967), y dando con ello la razon a otros autores
como Penev et al. (Penev et al., 1972) quienes advirtieron de tal desaguisado tiempo
despues.
18
Capıtulo 2
Modelo linealizado
En este capıtulo se realizaran ciertos estimados sobre los terminos que aparecen en las
ecuaciones de Navier-Stokes (1.1), de continuidad (1.2), ası como sobre las condiciones
de frontera (1.12), (1.13), (1.14) y sobre la condicion cinematica (1.15), con el fin de
linealizar dichas expresiones.
Las ecuaciones ası obtenidas conduciran a obtener un modelo que permita, por un
lado, introducir la maquinaria del analisis funcional en el problema, que es lo que se
busca, y por el otro establecer los lımites de validez del modelo, lo cual es bastante
importante si se tiene en cuenta que en general en fısica los modelos teoricos son
validos dentro de cierto rango de valores de los parametros comprometidos en los
sistemas objeto de estudio.
Con el fin lograr estos propositos, se empezara por adimensionalizar las ecuaciones
antes mencionadas, introduciendo una escala apropiada. Enseguida, se realizara una
expansion asintotica de los terminos que aparecen en cada ecuacion, reteniendo uni-
camente aquellos terminos hasta cierto orden en un parametro determinado, todo lo
cual se llevara a cabo de tal manera que halla uniformidad a la hora de ponderar la
contribucion de unos terminos frente a otros en las expresiones consideradas.
2.0.1. Adimensionalizacion de las ecuaciones de movimiento
La adimensionalizacion de las ecuaciones (1.1),(1.2) y (1.3) comenzara escogiendo una
escala apropiada. Dicha escala se constituye a partir de una consideracion intuitiva
del fenomeno, a saber: que una vez perturbada la superficie libre del fluido, la visco-
sidad cinematica ν es responsable de producir deformaciones en esta, dado que este
parametro controla el rozamiento interno del fluido. A su vez, las fuerzas de cohe-
sion, controladas por la tension superficial σ, se oponen a esta deformacion pues su
19
mecanismo es justamente el de tratar de aplanar la superficie del fluido, manteninedo
la cohesion molecular de sus componentes. El balance entre estas dos fuerzas en la
superficie libre del fluido es entonces el que vendra a gobernar el regimen ondulatorio
que se busca describir, por lo cual tiene sentido tratar de construir una escala a partir
de σ y ν como parametros fundamentales del modelo.
Sean, l, t, m, representando escalas de longitud, tiempo y masa respectivamente. En
virtud del analisis dimensional, se tiene que:
[σ] =m
t2; [ν] =
l2
t; [ρ] =
m
l3
Resolviendo estas ecuaciones para l y t en funcion de σ, ρ y ν, se encuentra, como
puede facilmente comprobarse:
l =ρ ν2
σ; t =
ρ2 ν3
σ2
Podrıa pensarse entonces en una adimencionalizacion de las variables comprometidas
en terminos de esta escala, efectuando las siguientes transformaciones:
r → l r?; t→ t t?; u → l
tu?; etc.
En donde r?,u?, etc. representan las versiones adimensionalizadas de r,u, etc., res-
pectivamente.
Sin embargo, puesto que se busca obtener una ecuacion que gobierne la evolucion de
N , la desviacion de la superficie del fluido respecto de su posicion de equilibrio; podrıa
pensarse que este parametro puede llegar a ser importante en la construccion de una
escala apropiada al problema. Esta observacion sugiere una forma de proceder que
resulta util, como se vera mas adelante, desde el punto de vista teorico: introducir
en la escala el espesor medio de la capa de fluido, N0, empleando ası dos escalas de
longitud. Sin perdida de generalidad y para facilitar la discusion, las transformaciones
que se realizaran a continuacion vienen expresadas en coordenadas cartesianas:
r → N0 r?; h→ N0 N?; t→ (t l/N0)t
?; u → (N20/l t)u
?; p→p0 + (ρlN0/t
2)p∗; Π → (ρνN0/l t)Π∗
Se definen a partir de esta escala dos parametros adimensionales de vital importancia,
a saber:
20
El numero de Reynolds
(Re)−1 =N2
0
νt
Y el numero de Weber
We = (t2σ
lN20ρ
)−1
El numero de Reynolds por una parte, permite estimar la contribucion de los efectos
inerciales, representados por N20/t, frente a los efectos viscosos, representados por ν.
Por otra parte, el numero de Weber es una herramienta mediante la cual se puede
ponderar la contribucion de los efectos de la tension superficial, representados por σ,
frente a los terminos inerciales, asociados con la cantidad ρ(N20/t
2)l.
Bajo estas transformaciones se tiene por ejemplo que:
∂u
∂t=
N30
(l t)2∂u?
∂t?;∂u
∂x=N0
l t
∂u?
∂x?;∂u
∂y=N0
l t
∂u?
∂y?
∂2u
∂x2=
1
l t
∂2u?
∂x?2;∂2u
∂y2=
1
l t
∂2u?
∂y?2;∂p
∂x=ρl
t2∂p?
∂x?
Reemplazando estas expresiones y terminos semejantes en las ecuaciones de Navier-
Stokes (1.1), de continuidad (1.2), ası como en la condicion de frontera (1.3) y luego
de algunos pasos algebraicos se obtiene el conjunto de ecuaciones adimensionalizadas:
ε(Re)−1[∂u∗
∂t∗+ (u∗ · ∇∗)u∗] = −ε−2(Re)−1∇∗p∗ +∇∗Π∗ + ν ∆∗u∗; ε :=
N0
l(2.1)
∇∗ · u∗ = 0 (2.2)
u∗|Σ = 0 (2.3)
El mismo proceso de adimensionalizacion puede llevarse a cabo sobre las condiciones
dinamicas (1.12), (1.13) y (1.14), ası como sobre la condicion cinematica (1.15). Nue-
vamente, los calculos se haran en coordenadas cartesianas para facilitar el desarrollo.
En el caso de (1.12):
p∗ = 2ε2Reu∗1,1(∂N∗
∂x∗1)2 + u∗2,2(
∂N∗
∂x∗2)2 + (u∗1,2 + u∗2,1)
∂N∗
∂x∗1
∂N∗
∂x∗2− (u∗1,3 + u∗3,1)
∂N∗
∂x∗1
− (u∗2,3 + u∗3,2)∂N∗
∂x∗2+ u∗3,3 −We−1 H∗
(2.4)
21
En donde la curvatura media H se ha adimensionalizado realizando la transformacion
H → 1
N0
H∗, teniendo presente que este parametro tiene dimensiones de inverso de
longitud.
La version adimensonalizada de las restantes ecuaciones no ofrece mayor cambio,
salvo en notacion e interpretacion, respecto a su contraparte dimensional; ası para las
ecuaciones (1.13), (1.14) y (1.15) se tiene:
−(u∗1,2 + u∗2,1)∂N∗
∂x∗2+ (u∗1,3 + u∗3,1)[1− (
∂N∗
∂x∗1)2]
− (u∗2,3 + u∗3,2)∂N∗
∂x∗1
∂N∗
∂x∗2+ 2(u∗3,3 − u∗1,1)
∂N∗
∂x∗1= 0
(2.5)
−(u∗1,2 + u∗2,1)∂N∗
∂x∗1− (u∗1,3 + u∗3,1)
∂N∗
∂x∗1
∂N∗
∂x∗2+ (u∗2,3 + u∗3,2)[1− (
∂N∗
∂x∗2)2]
+ 2(u∗3,3 − u∗2,2)∂N∗
∂x∗2= 0
(2.6)
∂N∗
∂t∗+ u∗
‖ · ∇∗N∗ = u∗n (2.7)
2.0.2. Forma linealizada de las ecuaciones
Muchos modelos teoricos en mecanica de fluidos, tales como el de Prandtl de la capa
lımite, o el de Shkadov-Kapitza que describe el regimen ondulatorio en una capa de
fluido que desciende por accion de la gravedad sobre una pared; basan su poderıo en
las hipotesis que permiten despreciar ciertos terminos en comparacion con otros en las
ecuaciones de movimiento, conduciendo de esta manera a un modelo apreciablemente
mas simple, pero a la vez razonablemente cercano en sus predicciones al resultado
experimental.
Sin embargo estos modelos, como tales, tienen lımites de validez que se traducen en
ordenes de magnitud de los parametros adimensionales comprometidos, como es el
caso del numero de Reynolds y el numero de Weber antes introducidos. De manera que
la adimensionalizacion de las ecuaciones de movimiento ası como de las condiciones
de frontera, sirven al proposito de establecer en que regımenes es valido el modelo en
relacion con los valores de los parametros adimensionales antes mencionados. Esto se
hara mas explıcito de la siguiente manera:
22
1) Se introducira un parametro adimensional de orden, ε << 1, indefinido al principio
pero que puede estar relacionado por ejemplo con la amplitud de las ondas, su longitud
de onda, el valor medio N0 que se menciono antes, etc.; que permita establecer el orden
de magnitud de los diversos terminos que aparecen en las ecuaciones de movimiento
y condiciones de frontera, de modo que se pueda ponderar la contribucion de unos
terminos frente a otros.
2) Dichos estimados se realizaran luego en terminos de las potencias de ε que apa-
rezcan en las ecuaciones mencionadas y dependiendo del orden deseado se tendran
diferentes modelos, por su puesto con diferentes metodologıas de estudio. Vale decir
que se obtendra en este trabajo un modelo a primer orden en ε, queriendo con ello
decir que cualquier expresion en la que figuren potencias de ε de orden superior al
primero, seran descartados de las ecuaciones.
Formalmente, el parametro ε es introducido mediante la transformacion:
u∗ → εu∗; N → εN
Esta es justamente la razon de haber designado por ε a la cantidad N0/l en la ecuacion
(2.1). Intuitivamente hablando, se puede justificar esta transformacion en el hecho de
que se quiere ponderar la contribucion del campo de velocidades en las ecuaciones
de movimiento, concretamente, se busca describir un regimen ondulatorio de bajas
velocidades, por lo que se desean desestimar terminos que comprometan terminos
cruzados o de segundo orden en las componentes de u ası como en la variable N .
Comenzando con la ecuacion (2.1), se observa que luego de esta substitucion se ob-
tiene:
ε2(Re)−1[∂u∗
∂t∗+ ε(u∗ · ∇∗)u∗] = −ε−2(Re)−1∇∗p∗ +∇∗Π∗ + ε ∆∗u∗
Ahora bien, si el numero de Reynolds Re fuese cuando mucho de orden O(ε), lo cual
implicarıa (dado que ε << 1) que Re << 1, siendo por tanto dominantes, bajo esta
condicion, los efectos viscosos sobre los efectos inerciales. La misma condicion, dada
la definicion del numero de Reynolds (Re)−1 := N20/νt, definirıa una escala de tiempo
t, en la cual los efectos inerciales comenzarıan a dominar sobre los viscosos, esto es
para t >>N2
0
ν. De otra parte, puesto que ε := N0/l , se observa que la condicon
Re = O(ε) << 1 indicarıa la existencia de una posible escala de longitud en la cual
el modelo serıa plausible, es decir para (ρν2)/(σN0) >> 1 y de aquı N0 << (ρν2)/σ.
23
En otras palabras, para escalas de longitud mucho mayores que el espesor medio
de la capa de fluido, resultarıa plausible el modelo, pudiendose ademas darse esta
circunstancia en una amplia variedad de condiciones, entre ellas, una condicion de
alta tension superficial y viscosidad dominante sobre los efectos inerciales.
Si se compara el numero de Reynolds aquı definido con el correspondiente definido
en otros contextos (Kundu et al., 2008) como Re =UL
ν, en donde U y L son escalas
de velocidad y de longitud tıpicas de un flujo particular, respectivamente; se puede
ver que si estos son del mismo orden de magnitud, de aquı se podrıa identificar una
escala de velocidades para la que serıa valido el modelo aquı desarrollado, y que
vendrıa dada por medio de la expresion U =ν2t
N20L
. Tomando para una capa de agua
de unos cuantos centımetros de espesor, los ordenes de magnitud ν ∼ 10−6 m2/s,
N0 ∼ 10−2 m, t ∼ 104 s y L ∼ 10 m; se observa por ejemplo que la escala de
velocidad serıa del orden de U ∼ 10−5 m/s, en otras palabras, el modelo tambien
resultarıa correcto a bajas velocidades del fluido.
Con este mismo criterio, el termino (u∗ · ∇∗)u∗ en la anterior ecuacion serıa de orden
O(ε2), lo cual implicarıa a su vez que la contribucion de este frente a los restantes
terminos de la ecuacion serıa despreciable, quedando entonces la igualdad como:
ε2(Re)−1∂u∗
∂t∗= −ε−2(Re)−1∇∗p∗ +∇∗Π∗ + ε ∆∗u∗ (2.8)
De forma que la ecuacion de Navier-Stokes ha sido linealizada, teniendo presente
ademas, bajo que lımites serıa correcto trabajar con ella, esto es a Re = O(ε) cuando
mucho.
Continuando ahora con las ecuaciones (2.5) y (2.6), se obtiene:
−ε2(u∗1,2 + u∗2,1)∂N∗
∂x∗2+ ε(u∗1,3 + u∗3,1)[1− ε2(
∂N∗
∂x∗1)2]
− ε3(u∗2,3 + u∗3,2)∂N∗
∂x∗1
∂N∗
∂x∗2+ 2ε2(u∗3,3 − u∗1,1)
∂N∗
∂x∗1= 0
(2.9)
−ε2(u∗1,2 + u∗2,1)∂N∗
∂x∗1− ε3(u∗1,3 + u∗3,1)
∂N∗
∂x∗1
∂N∗
∂x∗2+ ε(u∗2,3 + u∗3,2)[1− ε2(
∂N∗
∂x∗2)2]
+ 2ε2(u∗3,3 − u∗2,2)∂N∗
∂x∗2= 0
(2.10)
24
Razonando de un modo similar al anterior, estas ecuaciones son reducidas, descar-
tando terminos de orden superior a ε, a la forma:
u∗i,3 + u∗3,i = 0; i = 1, 2 (2.11)
Respecto a las ecuaciones (2.4) y (2.7), estas quedan finalmente convertidas, luego de
ser linealizadas bajo este esquema, en:
p∗ = −(We)−1 H∗ (2.12)
∂N∗
∂t∗= u∗n (2.13)
Es muy importante aclarar que las ecuaciones (2.9) a (2.13) son validas en la superficie
libre del fluido en tanto que condiciones de frontera dinamicas y cinematicas, de modo
que la presion en (2.12) por ejemplo no es la misma que la que figura en la ecuacion
(2.8) y lo mismo aplica para las demas variables.
Para finalizar, analizando las expresiones (2.8) y (2.12), se observa que para tener
consistencia con el criterio de linealizacion seguido aquı, el numero de Weber We
deberıa ser de ordenWe = O(ε−4); lo cual traerıa como consecuencia queWe >> Re,
siendo interpretado este hecho como la imposicion de una limitante adicional definida
en terminos de escalas de longitud y tiempo, expresadas estas a su vez, a traves de la
viscosidad, tension superficial y densidad del fluido, para que el modelo resulte valido.
En particular, esta condicion corrobora el hecho de que en condiciones en las cuales
la tension superficial domina sobre los efectos inerciales, el modelo es plausible.
25
Capıtulo 3
Interludio matematico
3.1. El teorema de descomposicion de Helmholtz-
Weyl
Un hecho crucial para las teorıas clasicas de campo, tales como la electrodinamica
clasica, la teorıa lineal de la elasticidad y desde luego la mecanica de fluidos, es la
posibilidad de representar (bajo unas condiciones bien determinadas), univocamen-
te los correspondientes campos vectoriales de cada teorıa, llamense estos electrico,
magnetico, de desplazamiento o de velocidad, como suma de un campo gradiente mas
un campo solenoidal o de divergencia nula. En otras palabras, si u representa uno de
dichos campos vectoriales, y si este satisface unas ciertas condiciones de regularidad
en un dominio acotado Ω ⊂ R3, se tiene que:
u = ∇φ+w; ∇ ·w = 0
Mas precisamente, sea Ω ⊂ R3 una region acotada del espacio; u ∈ C2(Ω), es decir
u : Ω → R3 es un campo vectorial continuamente diferenciable hasta segundo orden
en Ω y su frontera ∂Ω; Ω := Ω ∪ ∂Ω es la clausura de Ω. Entonces, el teorema de
descomposicion de Helmholtz-Weyl, en su version clasica por llamarla de algun modo,
afirma que, conocidos la divergencia y el rotacional de u, existen campos ∇φ y w,
continuamente diferenciables hasta segundo orden en Ω, tales que u = ∇φ + w con
∇ ·w = 0; y esta representacion es unıvoca.
Cabe aclarar que este teorema puede extenderse a todo el espacio, siempre y cuando
u(r) se proxime a cero conforme |r| = r → ∞, toda vez que dicha representacion
fallarıa al no ser unıvoca. En efecto, considerese por ejemplo el campo dado por u(r) =
(yz, zx, xy), como puede facilmente comprobar el lector, este campo es solenoidal e
irrotacional en todas partes pues ∇× u = 0 y ∇ · u = 0, para todo r. Sin embargo,
26
esto indicarıa que habrıan dos representaciones del mismo campo, por un lado u(r) =
(yz, zx, xy) y por el otro u(r) = (0, 0, 0), un resultado sin lugar a dudas contradictorio.
En este caso el fallo radica justamente en el hecho de que el requerimiento de que
u(r) → 0 conforme r → ∞ no es satisfecho en este ejemplo por el campo u.
Se procedera ahora a demostrar la version clasica de este importante teorema y a
discutir la generalizacion del mismo, al caso en que el campo u no es lo sufientemente
regular, en el entendido de que estos resultados suponen una herramienta de vital
importancia en el desarrollo de este trabajo, puesto que los mismos seran utilizados
en los siguientes capıtulos como base para la construccion del modelo.
Sean f(r) := ∇·u y D(r) := ∇×u funciones conocidas; de otra parte, como es sabido
en electrodinamica clasica (Griffiths, 1999), el operador laplaciano, ∆, aplicado sobre
la funcion 1/|r− r′| con respecto a r, es proporcional a la distribucion delta de Dirac:
∆(1
|r− r′|) = −4πδ(r− r′)
Por otra parte, tambien es sabido en esta materia que se cumple lo siguiente:
u(r) =∫Ωu(r′)δ(r− r′)d3r′
Por tanto, se tiene que:
u(r) =∫Ωu(r′)δ(r− r′)d3r′ =
∫Ωu(r′)[− 1
4π∆(
1
|r− r′|)]d3r′
Puesto que el operador ∆ afecta solo a aquellas funciones de r, puede extraerse
entonces de la integral:
u(r) = − 1
4π∆[
∫Ω
u(r′)
|r− r′|d3r′]
Ahora bien, segun una conocida identidad del analisis vectorial, para cualquier campo
vectorial a continuamente diferenciable a segundo orden, se cumple que ∆a = ∇(∇ ·a)−∇× (∇× a). Usando este hecho en la anterior igualdad, entonces:
u(r) = − 1
4π∆[
∫Ω
u(r′)
|r− r′|d3r′] = − 1
4π[∇(∇ ·
∫Ω
u(r′)
|r− r′|d3r′)−∇× (∇×
∫Ω
u(r′)
|r− r′|d3r′)] = − 1
4π[∇(
∫Ωu(r′) · ∇ 1
|r− r′|d3r′) +∇× (
∫Ωu(r′)×∇ 1
|r− r′|d3r′)]
Ahora bien, puesto que, como se puede comprobar facilmente
27
∇ 1
|r− r′| = −∇′ 1
|r− r′|En donde ∇′ representa el operador Nabla, tomado con respecto a r′. Con esto:
u(r) = − 1
4π[−∇(
∫Ωu(r′) · ∇′ 1
|r− r′|d3r′)−∇× (
∫Ωu(r′)×∇′ 1
|r− r′|d3r′)]
Se hara uso ahora de las siguientes identidades las cuales son validas para cualesquiera
campos a y ψ, continuamente diferenciables en cierto dominio:
a · ∇ψ = −ψ∇ · a+∇ · (ψa)
a×∇ψ = ψ∇× a−∇× (ψa)
De esta manera entonces, la ultima igualdad se transforma en:
u(r) = − 1
4π[−∇(−
∫Ω
∇′ · u(r′)|r− r′| d
3r′ +∫Ω∇′ · ( u(r′)
|r− r′|)d3r′)−∇×
(∫Ω
∇′ × u(r′)
|r− r′| d3r′ −∫Ω∇′ × (
u(r′)
|r− r′|)d3r′)]
Utilizando ahora el teorema de la divergencia en la segunda y cuarta integrales, se
determina que:
∫Ω∇′ · ( u(r′)
|r− r′|)d3r′ =
∮∂Ω
n′ · u(y′)
|r− y′| d2y′
∫Ω∇′ × (
u(r′)
|r− r′|)d3r′ =
∮∂Ω
n′ × u(y′)
|r− y′| d2y′
En donde n′ representa la normal exterior a la superficie ∂Ω que encierra a Ω; y,
y′ ∈ ∂Ω. En virtud de lo anterior, entonces:
u(r) = −∇[1
4π
∫Ω
∇′ · u(r′)|r− r′| d
3r′ − 1
4π
∮∂Ω
n′ · u(y′)
|r− y′| d2y′] +∇×
[1
4π
∫Ω
∇′ × u(r′)
|r− r′| d3r′ − 1
4π
∮∂Ω
n′ × u(y′)
|r− y′| d2y′] = ∇φ+∇×A
Ası pues, queda demostrado el teorema de descomposicion al exhibir la construccion
de los campos φ y A que satisfacen las hipotesis del teorema y que vienen definidos
por:
φ(r) := − 1
4π
∫
Ω
∇′ · u(r′)|r− r′| d
3r′ +1
4π
∮
∂Ω
n′ · u(y′)
|r− y′| d2y′ (3.1)
A(r) :=1
4π
∫
Ω
∇′ × u(r′)
|r− r′| d3r′ − 1
4π
∮
∂Ω
n′ × u(y′)
|r− y′| d2y′ (3.2)
28
Es claro, a partir de la anterior construccion, que la descomposicion de u viene de-
terminada unıvocamente por el conocimiento de la divergencia f(r) = ∇ · u y el
rotacional D(r) = ∇ × u de dicho campo, pero ademas esta supeditada al conoci-
miento de este campo en la frontera del dominio en cuestion como lo corroboran la
presencia de los terminos n′ ·u y n′×u en las expresiones para φ yA, respectivamente.
Esto ultimo que se ha dicho es de remarcar, por lo cual el teorema de Helmholtz-Weyl
se analizara desde una nueva perspectiva. Supongase ahora que tal descomposicion es
posible, el proposito ahora sera el de determinar bajo que condiciones es ello realizable.
En este orden de ideas, tomese la divergencia a ambos lados de la igualdad u =
∇φ+w, de donde:
∇ · u = ∇ · ∇φ+∇ ·w = ∆φ = f(r)
Aquı se ha hecho uso de la identidad ∇ ·∇φ := ∆φ, conocida en el analisis vectorial,
ası como el hecho de que w es un campo solenoidal, esto es ∇ ·w = 0. De suerte que
la descomposicion de Helmholtz-Weyl sera posible en la medida en que sea posible
encontrar una unica funcion φ(r), conocido ∇ · u = f(r), tal que dicha funcion es
solucion del problema:
∆φ = f(r)
Por tanto, φ es solucion a la ecuacion de Poisson, ecuacion que representa por otra
parte un problema de valores en la frontera del dominio Ω y cuya existencia y unicidad
de soluciones se espera, en principio, dependan del grado de regularidad que se le exija
a esta funcion, de las condiciones en la frontera ∂Ω que se le impongan a la misma o
a sus derivadas, ası como el tipo de dominio y de frontera del problema en cuestion.
Afortunadamente, la teorıa de existencia y unicidad de soluciones a la ecuacion de
Poisson esta bastante desarrollada para un amplio espectro de condiciones. Una buena
introduccion al particular la puede encontrar el lector en el libro de texto de Evans
(Evans, 1998). Basta decir aquı que si φ ∈ C2(Ω) entonces, para todo r ∈ Ω y todo
y′ ∈ ∂Ω, se tiene la siguiente representacion de φ:
φ(r) =
∫
Ω
G(r, r′)f(r′)d3r′ −∮
∂Ω
[G(r,y′)n′ · ∇′φ(y′)− φ(y′)n′ · ∇′G(r,y′)]d2y′ (3.3)
En donde G(r, r′) se conoce como funcion de Green de la ecuacion de Poisson y es tal
que:
29
∆G(r, r′) = δ(r− r′)
Como lo demuestra Evans (Evans, 1998), la funcion de Green en R3 para la ecuacion
de Poisson es:
G(r, r′) = − 1
4π(|r− r′|)
De modo que la representacion (3.3) guarda mucha semejanza con el campo definido
por la ecuacion (3.1). De hecho los dos primeros terminos en estas igualdades son los
mismos como se puede apreciar. Sin embargo, ¿que hay del tercero en la ecuacion
(3.3)? Pues bien, resulta ser que existe un principio muy importante en la teorıa
de ecuaciones diferenciales lineales conocido como principio de superposicion, el cual
afirma que la solucion a una ecuacion no homogenea, tal como la de Poisson, se puede
descomponer como la suma de una solucion particular mas una solucion de la ecuacion
homogenea asociada, en este caso la ecuacion de Laplace:
∆φ = 0
Y resulta ser que justamente el tercer termino al que se hace mencion es solucion de
esta ultima ecuacion. En efecto, fıjese un punto r ∈ Ω, para todo y′ ∈ ∂Ω entonces:
n′ · ∇′G(r,y′) = − n′ · (r− y′)
4π(|r− y′|3)
Es una funcion suave. Mas aun, dado que ∆G(r, r′) = δ(r− r′) = 0 para todo r 6= r′;
se deduce entonces que para todo r 6= y′, G(r,y′) es una funcion armonica o que
satisface la ecuacion de Laplace en Ω; por tanto, n′ · ∇′G(r,y′) es tambien armonica
en esta region. Ası pues:
∆∮∂Ωφ(y′)n′ · ∇′G(r,y′)d2y′ =
∮∂Ωφ(y′)∆[n′ · ∇′G(r,y′)]d2y′ =
∮∂Ωφ(y′)[0]d2y′ = 0
Ası que entonces queda justificada la discrepancia entre las ecuaciones (3.1) y (3.3)
por el hecho de que la solucion sera unıvoca una vez que se especifiquen los valores en
la frontera que toman las cantidades allı comprometidas; en particular, si se impone la
condicion de que n′ ·∇′G(r,y′) = 0 para todo y′ ∈ ∂Ω, cobra pleno sentido identificar
dichas igualdades como una sola, estableciendo definitivamente la conexion existente
entre las dos aristas que ha exhibido el analisis de este problema.
La demostracion de la ecuacion (3.3) procede del siguiente modo. Utilizando la se-
gunda identidad de Green, la cual afirma que:
30
∫Ω[ψ∆φ− φ∆ψ]d3r′ =
∮∂Ω[ψn′ · ∇′φ− φn′ · ∇′ψ]d2r′
Y reemplazando allı a ψ por G(r, r′), entonces:
∫Ω[G(r, r′)∆φ− φ∆G(r, r′)]d3r′ =
∫Ω[G(r, r′)f(r′)− φ(r′)δ(r− r′)]d3r′ =∫
ΩG(r, r′)f(r′)d3r′ −
∫Ωφ(r′)δ(r− r′)d3r′ =
∫ΩG(r, r′)f(r′)d3r′ − φ(r) =∮
∂Ω[G(r, r′)n′ · ∇′φ− φn′ · ∇′G(r, r′)]d2r′
Despejando finalmente a φ(r) en esta ultima igualdad queda demostrada la ecuacion
(3.3).
Una vez establecida la existencia y unicidad de φ, es posible construir un campo
solenoidal w tal que la descomposicion de Helmholtz-Weyl resulta ser valida, pues en
efecto, dado que:
∇ · (u−∇φ) = 0
Se concluye que debe existir un campo solenoidal w de tal suerte que:
u−∇φ = w
La discusion anterior, si bien ha sido informal, ha puesto de relieve varios puntos
importantes acerca de la manera en que proceden las demostraciones de las modernas
versiones del teorema de descomposicion: Se establece un problema de valores en la
frontera; se determina la existencia y unicidad de soluciones al mismo, previamente
seleccionando la clase de funciones que se tomaran como soluciones admisibles; y, al
conjunto de estas, se les dotara de la estructura de un espacio de Hilbert. Finalmente,
con base en estos resultados se concluye la existencia de otro campo vectorial el cual es
solenoidal y ademas ortogonal, en cierto sentido bien definido, a ∇φ lo cual concluye
la demostracion del teorema de descomposicion.
La idea detras de este metodo es aplicar una serie de resultados y teoremas del
analisis funcional los cuales permiten ampliar, como se menciono anteriormente, el
conjunto de funciones que son solucion a un determinado problema de valores en
la frontera. Ası por ejemplo, en la demostracion de la ecuacion (3.3) que representa
una solucion de la ecuacion de Poisson, se requerıa que dicha funcion perteneciera al
espacio C2(Ω). Muchas veces sin embargo, exigir tal grado de regularidad no resulta
posible, en especial si la topologıa de Ω es compleja, verbigracia si se trata de un
dominio agujerado, sin frontera, con esquinas, etc. Es ası que mediante la tecnica de
31
convertir una ecuacion diferencial parcial en un problema abstracto en un espacio
de Hilbert, es posible, mediante ciertos teoremas del analisis funcional, demostrar la
existencia de soluciones generalizadas a dicho problema, en otras palabras, funciones
que ni siquiera tienen porque ser continuamente diferenciables en el sentido usual de
la palabra.
A una breve descripcion de los espacios de funciones antes mencionados, ası como
algunas de sus propiedades, espacios que son conocidos en la literatura como de So-
bolev, estara dedicado el siguiente apartado. Luego de ello, con la ayuda de la estruc-
tura adquirida, se procedera a estudiar algunos conceptos importantes del analisis
funcional, tales como los de funcional lineal, formas bilineales, operadores lineales
acotados, entre otros, culminando con el importante teorema de representacion de
Riesz cuya demostracion se dara mas adelante. Este recorrido servira finalmete para
discutir la descomposicion de Helmholtz-Weyl que sera utilizada, junto con el apa-
rato matematico antes mencionado, en el planteamiento del modelo que describe el
movimiento ondulatorio en una capa de fluido.
3.1.0.1. Espacios de Sobolev
Muchos problemas en fısica se reducen, en su expresion matematica, a la busqueda de
soluciones de una ecuacion diferencial parcial definida en una region del espacio Ω; con
datos acerca de la funcion desconocida o de sus derivadas, especificados en la frontera
∂Ω de dicha region. Un ejemplo tıpico de esto que se dice, es el problema de hallar el
potencial electrostatico φ en el disco unitario Ω := (x, y) ∈ R2 : (x−1)2+y2 < 1, con
condicion de frontera φ|∂Ω = 0. En este caso, ∂Ω := (x, y) ∈ R2 : (x− 1)2 + y2 = 1
y el potencial satisface la ecuacion de Laplace, ∆φ = 0, en Ω.
Sin embargo, exigir que las soluciones a esta clase de problemas tengan un grado de
regularidad tal que, por ejemplo, φ sea continuamente diferenciable hasta segundo
orden en Ω, no es posible en muchas ocasiones, maxime si se tiene en cuenta que
dichas soluciones estan obligadas tambien a satisfacer una determinada condicion de
frontera tal como φ|∂Ω = 0. Para no ir tan lejos, siguiendo con este mismo ejemplo,
las partes real e imaginaria de la funcion de variable compleja f(z) =1
z, definidas por
Ref(z) =x
x2 + y2e Imf(z) =
−yx2 + y2
, satisfacen respectivamente la ecuacion
de Laplace en Ω, como se puede comprobar. No obstante, en el punto (0, 0) ∈ ∂Ω estas
funciones no estan definidas, mas aun, en las proximidades de este punto, Ref(z)por ejemplo crece (o decrece segun sea el camino por el cual se aproxime a dicho
punto) sin cota definida.
32
La discusion sostenida en los anteriores parrafos, sugiere entonces ‘flexibilizar’ el gra-
do de suavidad que se le pide a las soluciones de una ecuacion diferencial parcial.
Puesto que el grado de suavidad de una funcion esta relacionado con la existencia de
derivadas parciales, continuas hasta un orden determinado, es de sospechar que esta
flexibilizacion comience por definir un nuevo concepto de derivada, de tal manera que
este no resulte tan restrictivo.
Desde esta perspectiva, surge entonces el concepto de Derivada debil de una funcion,
el cual se introducira a continuacion. Para motivar la idea detras de este concepto,
hara falta sin embargo, la siguiente definicion:
Definicion 3.1.1. Sea C∞c (Ω) el espacio de las funciones infinitamente diferenciables
ψ : Ω −→ R, con soporte compacto en Ω. Usualmente, a las funciones de este espacio
se les denomina funciones test.
En la anterior definicion, cuando se afirma que una funcion ψ tiene soporte compacto
en Ω, quiere decir que en las proximidades de la frontera ∂Ω, la funcion se hace cero.
Sea entonces ψ ∈ C∞c (Ω) y u ∈ C1(Ω). Por el teorema de la divergencia y la regla del
producto para las derivadas, se tiene que:
∫Ω
∇(ψu) d3r =∫Ω
(u∇ψ + ψ∇u) d3r =∫∂Ω
n(ψu) d2r
En donde n es la normal exterior a ∂Ω. Puesto que ψ es de soporte compacto, la
ultima expresion de esta igualdad se hace nula, y de aquı:
∫Ω
u∇ψ d3r = −∫Ω
ψ∇u d3r
Ahora bien, el lado izquierdo de esta igualdad tiene sentido si tan solo se exige que la
funcion u sea integrable en cada subconjunto compacto K de Ω. A esta propiedad se
le llama integrabilidad local y el espacio de las funciones que la satisfacen se designa
por L1loc(Ω). El lado derecho de la igualdad es entonces el problematico, ya que si
u ∈ C1(Ω) la expresion cobra sentido, pero si u no es continuamente diferenciable,
no hay forma de atribuirle un significado preciso a esta expresion. Sin embargo, con
base en lo que se dijo anteriormente, si llegase a existir una funcion v ∈ L1loc(Ω) tal
que v reemplaze a ∇u en esta igualdad, se resolverıa la dificultad. Esto sugiere por
tanto la siguiente definicion:
33
Definicion 3.1.2. Derivadas debiles de una funcion. Supongase que u, vi ∈L1loc(Ω); i = 1, 2, ...,m. Entonces, se dice que vi es la derivada parcial debil de u
respecto a la i-esima variable, lo cual se escribira como vi =∂u
∂xi, siempre que sea
claro el contexto; si se cumple, para toda funcion test ψ ∈ C∞c (Ω), lo siguiente:
∫Ω
u∂ψ
∂xid3r = −
∫Ω
ψvi d3r
De acuerdo con esta definicion, si existen las funciones vi para toda ψ ∈ C∞c (Ω) que
satisfacen la anterior igualdad, entonces v = (v1, v2, ..., vm) se dice que es el gradiente,
en sentido debil, de la funcion u.
Razonando de un modo similar, se pueden definir las derivadas debiles de orden
superior de una funcion dada. Mas concretamente, si α1, α2, ...., αm es un conjunto
de ındices, y α = (α1, α2, ...., αm), se define la α-esima derivada parcial debil de
u ∈ L1loc(Ω), escrita como
Dαu :=∂α1
∂xα1
1
∂α2
∂xα2
2
....∂αm
∂xαmm
u = v
Como aquella funcion v ∈ L1loc(Ω), si existe , tal que para todo ψ ∈ C∞
c (Ω), se cumple
que:
∫Ω
uDαψ d3r = (−1)|α|∫Ω
ψv d3r
En donde |α| := α1 +α2 + ....+αm. Un hecho interesante es que en caso de existir v,
se puede demostrar que esta funcion es unica, salvo en aquellos conjuntos de medida
nula (Spiegel, 1969). Ademas, se pueden demostrar igualmente ciertas propiedades
como la del intercabio en el orden de las derivadas, las reglas para la derivada del
producto y suma de funciones, entre otras, similares a las propiedades de las derivadas
usuales.
En seguida se daran dos ejemplos de este concepto, empleando funciones definidas
sobre subconjuntos de la recta real.
(i) Sea Ω = (0, 2) y
u(x) =
x si 0 < x ≤ 11 si 1 ≤ x < 2
34
Se define:
v(x) =
1 si 0 < x ≤ 10 si 1 < x < 2
Y se afirma que v es la derivada debil de u en (0, 2). Para probar esto, escojase
cualquier ψ ∈ C∞c (0, 2), por las propiedades de la integral definida:
2∫0
uψ′dx =1∫0
uψ′dx+2∫1
uψ′dx =1∫0
xψ′dx+2∫1
ψ′dx
Integrando por partes:
1∫0
xψ′dx+2∫1
ψ′dx = [xψ(x)]10 −1∫0
ψ(x) dx+ [ψ(x)]21
Puesto que ψ es de soporte compacto, ψ(0) = ψ(2) = 0, de manera que:
1∫0
xψ′dx+2∫1
ψ′dx = −1∫0
ψ(x) dx+ ψ(1)− ψ(1) = −1∫0
1 ψ(x)dx−2∫1
0 ψ(x)dx =
−2∫0
v(x)ψ(x)dx
Ası pues, se cumple, para todo ψ ∈ C∞c (0, 2) que:
2∫0
u(x)ψ′(x)dx = −2∫0
v(x)ψ(x)dx
Por tanto, v(x) es la derivada debil de u(x) en (0, 2). Considerese ahora el siguiente
ejemplo:
(ii) Sea Ω = (0, 2) y
u(x) =
x si 0 < x ≤ 12 si 1 < x < 2
Se afirma que la funcion u(x) no posee una derivada debil en (0, 2). Supongase que
ası fuese el caso, entonces se tendrıa que:
−2∫0
v(x)ψ(x)dx =2∫0
u(x)ψ′(x)dx =1∫0
u(x)ψ′(x)dx+2∫1
u(x)ψ′(x)dx =
1∫0
xψ′(x)dx+2∫1
2ψ′(x)dx = −1∫0
ψ(x)dx− ψ(1)
De aquı por tanto:
35
ψ(1) =2∫0
v(x)ψ(x)dx−1∫0
ψ(x)dx
Escojase, entre los elementos de C∞c (0, 2), una sucesion ψk∞k=1 de tal manera que
0 ≤ ψk ≤ 1; ψk(1) = 1; y para todo x 6= 1, ψk(x) → 0 cuando k → ∞. Reemplazando
a ψ por ψk en la anterior igualdad y tomando el lımite cuando k → ∞, se tiene que:
1 = lımk→∞
ψk(1) = lımk→∞
[2∫0
v(x)ψk(x)dx−1∫0
ψk(x)dx]
No obstante, recurriendo al teorema de la convergencia acotada de Lebesgue (Spiegel,
1969), el cual afirma que dada una sucesion de funciones fk∞k=1 medibles en un
conjunto E (de medida no nula); que convergen puntualmente a la funcion f , esto es
lımk→∞
fk(x) = f(x) para todo x ∈ E; y verificando |fk(x)| ≤M para alguna constante
M y todo x ∈ E; k ∈ 1, 2, 3, ..., entonces:
lımk→∞
∫E
fk(x)dx =∫E
lımk→∞
fk(x)dx =∫E
f(x)dx
Puesto que el valor de las integrales que comprometen a fk(x) y f(x) no se ve afectado
por la ocurrencia de subconjuntos de medida nula de E, este teorema sigue siendo
valido salvo en dichos subconjuntos (Spiegel, 1969). En otras palabras, si N ⊂ E es
un subconjunto de medida nula de E, y se verifican las hipotesis del teorema salvo
en N , entonces se cumple que:
lımk→∞
∫E
fk(x)dx = lımk→∞
∫E−N
fk(x)dx;∫E
lımk→∞
fk(x)dx =∫
E−N
lımk→∞
fk(x)dx;
lımk→∞
∫E−N
fk(x)dx =∫
E−N
f(x)dx
Dado que la sucesion ψk∞k=1 del presente ejemplo satisface los anteriores requeri-
mientos, con |ψk(x)| ≤ 1; lımk→∞
ψk(x) = 0 para todo x ∈ [0, 2] − 1; y puesto que el
conjunto unipuntual N = 1 es de medida nula, entonces se cumple, de acuerdo a
la anterior discusion, que:
lımk→∞
∫[0,2]
v(x)ψk(x)dx = lımk→∞
∫[0,2]−1
v(x)ψk(x)dx;
∫[0,2]
v(x) lımk→∞
ψk(x)dx =∫
[0,2]−1
v(x) lımk→∞
ψk(x)dx = 0;
lımk→∞
∫[0,2]−1
v(x)ψk(x)dx =∫
[0,2]−1
v(x)0 dx = 0
De igual manera se cumple que:
36
lımk→∞
∫[0,1]
ψk(x)dx = lımk→∞
∫[0,1]−1
ψk(x)dx;
∫[0,1]
lımk→∞
ψk(x)dx =∫
[0,1]−1
lımk→∞
ψk(x)dx = 0;
lımk→∞
∫[0,1]−1
ψk(x)dx =∫
[0,1]−1
0 dx = 0
En consecuencia, se concluye que:
1 = lımk→∞
ψk(1) = lımk→∞
[2∫0
v(x)ψk(x)dx−1∫0
ψk(x)dx] = 0
Una contradiccion, por tanto, no existe la derivada debil de u(x) en (0, 2) en este
ejemplo.
Habiendo aclarado este concepto, se definiran ahora los espacios de funciones con
derivadas debiles hasta un orden k, siendo estas derivadas y la funcion misma a su
vez, elementos del siguiente espacio:
Definicion 3.1.3. Se define el espacio de Hilbert de las funciones cuadrado integrables
en Ω, L2(Ω) como:
L2(Ω) := u :∫Ω
|u|2d3r <∞
Recuerde el lector que un espacio de Hilbert real, es un espacio lineal H sobre los
reales, provisto de una aplicacion (·, ·)H : H × H −→ R, llamada producto interior,
tal que:
(i) (u, u)H ≥ 0 para todo u ∈ H
(ii) (u, u)H = 0 si y solo si u = 0
(iii) (u, v)H = (v, u)H para todo u, v ∈ H
(iv) (αu, v)H = α(u, v)H para todo u, v ∈ H y cualquier escalar α ∈ R
(v) (u+ w, v)H = (u, v)H + (w, v)H para todo u, v, w ∈ H.
Ademas de satisfacer los anteriores axiomas, toda sucesion de Cauchy en H, debe
converger a un elemento h del mismo espacio.
37
Mas precisamente, la aplicacion√(u− v, u− v)H , constituye una distancia en H,
es decir, se trata de una funcion que da una nocion de cercanıa entre elementos
u y v del espacio H, analoga a la distancia entre puntos del espacio euclideo n-
dimensional. Bajo esta distancia ‘inducida’ por el producto interno del espacio, se
puede definir una nocion de convergencia de sucesiones de elementos del espacio,
similar al concepto de convergencia en Rn. Entonces, si h es un elemento de H y si
hm es una sucesion en este espacio, se dice que hm converge a h y se escribe hm → h
si y solo si√
(hm − h, hm − h)H → 0 cuando m→ ∞.
En este sentido, pues, es que toda sucesion de Cauchy debe converger a un elemento
h del espacio para que este pueda llamarse de Hilbert. A esta propiedad de H, se le
llama completitud del espacio.
Tambien en un espacio de Hilbert, es posible establecer un concepto analogo al de
longitud de un vector en Rn. Esto se logra por medio de una aplicacion ‖ · ‖H : H −→
R, llamada norma, que satisface las siguientes propiedades:
(i) ‖ αx ‖H= |α| ‖ x ‖H para todo α ∈ F y todo x ∈ X
(ii) ‖ x+ y ‖H≤ ‖ x ‖H + ‖ y ‖H para todo x, y ∈ X
(iii) ‖ x ‖H= 0 si y solo si x = 0
Ahora bien, es facil ver que en un espacio de Hilbert H, se puede definir una norma
por medio ‖ x ‖H :=√
(x, x)H , para todo x ∈ H. A la norma ası definida, se le llama
norma inducida por el producto interno de H.
Como se vera en este trabajo, tener una nocion de distancia y una nocion de longitud
para los elementos de un espacio de Hilbert, resulta crucial ya que permite por ejemplo
establecer la existencia de soluciones a una ecuacion diferencial parcial, por lo menos
de manera indirecta, el poder realizarse ciertos estimados sobre las funciones que
hacen parte de dichos espacios.
Bajo estas nociones, se pasa a definir los espacios de Sobolev de orden entero positivo.
Definicion 3.1.4. Espacios de Sobolev de orden entero positivo. Se define el
espacio de Sobolev Hk(Ω) como el espacio de las funciones u ∈ L1loc(Ω) tales que la
funcion y sus derivadas parciales debiles hasta el orden k a lo sumo, son cuadrado
integrables en Ω. Es decir, u, Dαu ∈ L2(Ω), con |α| ≤ k. En particular, H0(Ω) =
L2(Ω).
38
Como lo demuestra Evans (Evans, 1998), estos espacios son a su vez espacios de
Hilbert, por lo cual resultan apropiados para trasladar cuestiones de la teorıa de las
ecuaciones diferenciales parciales al ambito del analisis funcional, donde las tecnicas
allı desarrolladas para estudiar las propiedades de los objetos definidos sobre espacios
de Hilbert se pueden aplicar fructıferamente a tales problemas.
En el espacio de sobolev Hk(Ω) se define una norma, por medio de la siguiente apli-
cacion:
‖ u ‖Hk(Ω):= (∑
|α|≤k
∫Ω|Dαu|2d3r)1/2
Por ejemplo, con H0(Ω) = L2(Ω), esta norma viene definida por:
‖ u ‖L2(Ω):= (∫Ω|u|2d3r)1/2
Para H1(Ω), la norma viene expresada por:
‖ u ‖H1(Ω):= (∫Ω|u|2d3r +
∫Ω|Du|2d3r)1/2 = (
∫Ω|u|2d3r +
∫Ω∇u · ∇u d3r)1/2,
y ası sucesivamente. Tambien mediante esta norma, es posible establecer una defini-
cion de convergencia en el espacio Hk(Ω), tal como se discutio mas arriba. Concreta-
mente, se dice que la sucesion uk∞k=1 converge a un elemento u ∈ Hk(Ω), lo cual se
escribe como um → u en Hk(Ω), si y solo si:
lımm→∞
‖ u− um ‖Hk(Ω)= 0
Con este concepto, se define el espacio de Sobolev H10 (Ω) como la clausura, en el
espacio H1(Ω), del espacio C∞c (Ω). Simbolicamente esto se escribe como H1
0 (Ω) :=
C∞c (Ω) en H1(Ω). Esto significa que un elemento u ∈ H1
0 (Ω) si existe una sucesion
uk∞k=1 ⊂ C∞c (Ω), de funciones infinitamente diferenciables, con soporte compacto
en Ω, tal que um → u en H1(Ω).
Los espacios de Sobolev que se han definido son de orden entero no negativo. Sin
embargo, en la practica se requieren otra clase de espacios adicionales a estos, de
orden no necesariamente entero positivo. Caracterizar por otra parte, de manera
sencilla estos espacios, ası como se hizo en el caso de los espacios de Sobolev de
orden entero positivo, no resulta facil, especialmente si se tiene en cuenta que en
la comunidad matematica no se tiene consenso acerca de la manera en que deben
definirse estos, al punto de que existe una pletora de literatura relacionada con este
particular (Di Nezza, Palatucci, y Valdinoci, 2012).
39
La forma en que aquı se definiran dichos espacios, sera a partir de la transformada
de Fourier, dado que es un concepto mucho mas familiar al profesional en fısica y
no requiere una maquinaria tan sofisticada y abstracta como si la necesitan otras
aproximaciones.
Antes de comenzar, conviene precisar la forma en que aquı se definira la transformada
de Fourier, F :
u(y) := Fu(y) =∫R3
u(x)e−2πix·y d3x
Ası como su correspondiente inversa:
u(x) := F−1u(x) =∫R3
u(y)e2πix·y d3y
Se motivara la definicion de los espacios de Sobolev de orden no entero positivo,
realizando la siguiente discusion sobre la recta real. Supongase entonces que u ∈H1(R) con soporte compacto en R. Entonces, su derivada en sentido debil u′(x) existe
y es un elemento de L1loc(R). Esto garantiza que la transformada de Fourier de u′(x)
esta bien definida, y por tanto:
Fu′(y) =∫R
u′(x)e−2πixy dx = [u(x)e−2πixy]∞−∞ + 2πiy∫R
u(x)e−2πixy dx = 2πi y u(y)
En donde se ha utilizado que u(∞) = u(−∞) = 0 al ser u(x) de soporte compacto
en R. Ahora bien, en virtud del teorema de Plancherel (Evans, 1998), se tiene que
‖ u ‖L2(R)=‖ u ‖L2(R) y por tanto que ‖ u′ ‖L2(R)=‖ u′ ‖L2(R). Usando estos dos
resultados entonces se deduce que:
‖ u′ ‖L2(R)=‖ 2πi y u ‖L2(R)= 2π ‖ y u ‖L2(R)
Recordando de otra parte que, por definicion: ‖ u ‖2H1(R)=‖ u ‖2L2(R) + ‖ u′ ‖2L2(R), de
aquı entonces:
‖ u ‖2H1(R)=‖ u ‖2L2(R) + ‖ u′ ‖2L2(R)=∫R
[ |u|2 + 4π2|y|2|u|2] dx =∫R
( 1 + 4π2|y|2)|u|2 dx
En otras palabras, esta condicion es equivalente a:
‖ u ‖H1(R)=‖ (1 + 4π2|y|2)1/2u ‖L2(R)
40
Este resultado sugiere, por tanto, considerar a H1(R) como aquel espacio de funciones
u, tales que (1+4π2|y|2)1/2u ∈ L2(R), con norma definida por ‖ (1+4π2|y|2)1/2u ‖L2(R).
Puesto que este hecho puede generalizarse facilmente a Rn, considerando derivadas
debiles de orden s, se tiene en consecuencia la siguiente definicion:
Definicion 3.1.5. Para s > 0, se define el espacio de Sobolev Hs(Rn) = u ∈L2(Rn) :‖ (1 + 4π2|y|2)s/2u ‖L2(Rn)<∞ con norma dada por:
‖ u ‖Hs(Rn)=‖ (1 + 4π2|y|2)s/2u ‖L2(Rn)
Como se puede apreciar de la definicion, el caso en que s = 1, n = 1 es el discutido
en los parrafos anteriores.
La definicion anterior resulta adecuada al caso en que se tienen problemas definidos en
todo el espacio, sin embargo, muchos problemas fısicos pretenden describir sistemas en
regiones acotadas del espacio. No obstante lo anterior, dado que todo elemento de los
espacios de Sobolev definidos sobre una region acotada del espacio Ω, cuya frontera
satisface una cierta condicion de regularidad, puede extenderse de este conjunto a
todo el espacio (Evans, 1998), se puede formular la siguiente definicion, util al caso
de problemas fısicos como el que se estudia en este trabajo:
Definicion 3.1.6. Espacios de Sobolev de orden fraccionario positivo. Sea
Ω ⊂ Rn acotado con frontera de clase C1 (ver la siguiente subseccion para una acla-
racion de este concepto). Para s ≥ 0, se define el espacio de Sobolev de orden fraccio-
nario Hs(Ω) := Hs(Rn)|Ω como el espacio de las funciones u ∈ Hs(Rn)|Ω restringidas
a Ω , u|Ω = u; y cuya norma viene dada por:
‖ u ‖Hs(Ω)= ınfu|Ω=u
‖ u ‖Hs(Rn)
De particular interes, con el proposito de definir los espacios de Sobolev de orden
negativo y no entero, resulta el siguiente subespacio de Hs(Ω):
Definicion 3.1.7. El espacio de Sobolev Hs0(Ω) := T (Ω) es la clausura en Hs(Ω),
del espacio de las distribuciones T (Ω), tal como la delta de Dirac, definidas sobre Ω.
La norma en este espacio, se toma como la de Hs(Ω) restringida a este subespacio.
Este espacio, por ser la clausura de un subespacio de Hs(Ω), consta entonces de
lımites de sucesiones de distribuciones que convergen a elementos de dicho espacio.
Tambien resulta claro, a partir de su definicion, que Hs0(Ω) ⊂ Hs(Ω).
41
Finalmente, los espacios de Sobolev de orden negativo y no entero, se definen como
espacios duales a los espacios de Sobolev Hs0(Ω). Con mas precision, dado un espacio
de Hilbert H, su espacio dual, denotado por H ′, es el espacio de todos los funciona-
les lineales acotados (ver la discusion de la siguiente seccion) definidos en H. Estos
funcionales lineales, que cumplen ciertos axiomas de definicion, toman un elemento
h ∈ H y bajo su imagen, que escribiremos para un f ∈ H ′, como f(h), producen
un numero real. Por tanto, la coleccion de todos los funcionales lineales acotados f ,
definidos sobre el espacio de Sobolev Hs0(Ω), se denominara espacio de Sobolev de
orden negativo, no entero, y se denotara por H−s(Ω) con s ≥ 0. En este espacio, se
define una norma por medio de:
‖ f ‖H−s(Ω)= sup|f(u)| : u ∈ Hs0(Ω); ‖ u ‖Hs(Ω)= 1
Puesto que el espacio dual de un espacio de distribuciones es otro espacio de distri-
buciones, y como Hs0(Ω) consta esencialmente de estos objetos, se puede decir que a
grosso modo, los espacios de Sobolev de orden negativo y no entero constan tambien
de distribuciones (Girault y Raviart, 1979).
Las mismas definiciones dadas anteriormente para los espacios de Sobolev de campos
escalares, se haran extensivas a los espacios de Sobolev de campos vectoriales, los
cuales seran necesarios mas adelante en este mismo capıtulo. Solo una importante
salvedad, un cuanto a la notacion debe hacerse. Los espacios de Sobolev de campos
vectoriales se designaran de manera similar a su contraparte escalar, solamente que
se escribiran con un exponente 3, luego de los parentesis.
Por ejemplo, sea u = (u1, u2, u3) : Ω → R3 un campo vectorial, el espacio de Sobolev
L2(Ω)3 se define como:
L2(Ω)3 := u : u1, u2, u3 ∈ L2(Ω)
Es decir, cada componente del vector u, es un elemento de L2(Ω). Similarmente, el
espacio de Sobolev:
Hs(Ω)3 := u : u1, u2, u3 ∈ Hs(Ω)
Esta conformado por campos vectoriales cuyas componentes, todas ellas, son elemen-
tos del espacio Hs(Ω) para un mismo s. Los restantes espacios de Sobolev poseen
definiciones analogas a estas y su notacion sigue este criterio.
Aquı concluye esta sucinta revision de la teorıa de espacios de Sobolev. En el siguiente
apartado se pasara a tratar el importante teorema de las trazas, el cual provee una
forma de asignar valores en la frontera de un dominio a funciones de H1(Ω).
42
3.1.0.2. Trazas de funciones en H1(Ω)
Las funciones que pertencen al espacio de Sobolev H1(Ω) antes descrito, no tienen
porque ser continuas, y lo que es peor aun, estan definidas casi en todas partes de la
region Ω. Esto quiere decir que si A es un subconjunto Lebesgue medible de Ω, con
medida de Lebesgue nula, i. e. el ‘area’ de este conjunto, entendida en un sentido mas
amplio y generalizado para abarcar el caso de conjuntos patologicos como el de Cantor
(ver por ejemplo la referencia (Spiegel, 1969) para una revision de este concepto), a los
cuales difıcilmente se pueda asociar el concepto intuitivo de area, longitud o volumen;
es nula, entonces las propiedades que se le adjudican a una funcion dada en Ω − A
dejan de ser validas allı.
Por ejemplo, una funcion f(x) que sea integrable (Lebesgue integrable para ser mas
precisos) en este conjunto y que sea distinta de cero para todo valor x ∈ A, posee una
integral sobre A igual a cero. Si la misma funcion en este ejemplo es diferenciable casi
en todas partes de Ω, podrıa dejar de serlo en A. Por ultimo, si dicha funcion esta
definida casi en todas partes, pues no hay forma razonable en que se pueda restringir
los valores de f al subconjunto A ya que estos podrıan ser cualquier cosa, en otras
palabras, f podrıa redefinirse en A.
Esto resulta problematico, especialmente si se desea resolver un problema de valores
en la frontera, en los cuales se especifica el valor de la funcion desconocida (o el de
su derivada) en la frontera del dominio; teniendo en cuenta que si Ω es acotado, su
frontera tiene medida nula.
Es en este contexto donde surge el concepto de traza de una funcion, como una
forma de asignarle valores en la frontera de un dominio a una funcion f ∈ H1(Ω).
A continuacion, se proveera un importante teorema en esta direccion, el cual afirma
la existencia de un operador lineal γ, el cual envıa elementos del espacio H1(Ω) en
elementos del espacio L2(∂Ω), de tal manera que si la funcion f es continua, γf :=
f |∂Ω. Antes se definira la clase de dominios sobre los cuales aplica dicho teorema:
Definicion 3.1.8. Sea Ω ⊂ Rn una region acotada del espacio. Se dice que su fron-
tera, ∂Ω, es de clase C1 si para cada x0 ∈ ∂Ω, existe un r > 0 y una funcion
Ψ : Rn−1 −→ R de clase C1 tal que, salvo que se renombren y/o reorienten los ejes
coordenados de ser necesario, se tiene que:
Ω ∩ B(x0, r) := x ∈ B(x0, r) : xn ≥ Ψ(x1, x2, ..., xn−1)
43
Teorema 3.1.2. Supongase que Ω es acotado con frontera de clase C1, entonces,
existe un operador lineal γ : H1(Ω) −→ L2(∂Ω), llamado operador traza, tal que:
(i) γu := u|∂Ω si u ∈ H1(Ω) ∩ C(Ω) y
(ii) ‖ γu ‖L2(∂Ω)≤ c ‖ u ‖H1(Ω), para cada u ∈ H1(Ω)
En la anterior desigualdad, c > 0 puede depender del dominio Ω, pero no de u. Ω es
la clausura de Ω.
Demostracion. La idea de la demostracion es suponer primero que u es una funcion
continuamente diferenciable en Ω de la manera usual, es decir, se presume primero que
u ∈ C1(Ω), para demostrar en primer lugar la desigualdad enunciada en el teorema.
Una vez probada esta desigualdad se define el operador traza, para cada u ∈ C1(Ω),
como γu := u|∂Ω. De esta manera, la desigualdad demuestra que el operador ası
definido es acotado, por tanto, este puede extenderse, en virtud del teorema 3.1.1, a
un operador definido sobre la clausura de C1(Ω) en H1(Ω). Luego, como C1(Ω) es un
subconjunto denso en H1(Ω), es decir su clausura en H1(Ω) es igual a H1(Ω) (Evans,
1998) queda entonces probado el teorema.
Ası pues supongase entonces que u ∈ C1(Ω). Puesto que se asume igualmente que ∂Ω
es C1, puede construirse un vector unitario normal a la superficie, denotado como n,
a partir de la funcion Ψ que describe localmente a ∂Ω. En otras palabras, se define
este vector unitario como
n :=∇Ψ
|∇Ψ|Supongase tambien que en Ω existe un campo vectorial suave, a , tal que sobre la
frontera a · n ≥ 1. Con esto, entonces se cumple que:
∫∂Ω
|u|2 d2r ≤∫∂Ω
|u|2a · n d2r
Utilizando el teorema de la divergencia sobre el lado derecho de esta desigualdad, se
tiene que:
∫∂Ω
|u|2 d2r ≤∫Ω
∇ · (|u|2a) d3r =∫Ω
[a · ∇|u|2 + |u|2∇ · a ] d3r
45
Por otra parte, por la desigualdad de Cauchy-Schwartz (Kreyszig, 1989), |a ·∇|u|2| ≤|a | |∇|u|2| = |a | |2 sgn(u) |u| ∇u| = 2|u||a ||∇u|. En donde la funcion sgn(u) esta
definida como:
sgn(u) =
−1 si u < 00 si u = 01 si u > 0
Usando la desigualdad de Young (Evans, 1998), la cual firma que, para cualesquiera
a, b se cumple que ab ≤ a2
2+b2
2, entonces |a ·∇u2| ≤ 2|u||a ||∇u| ≤ 2|a |2|u|2+1
2|∇u|2.
Reuniendo estos hechos y considerando que a · ∇|u|2 ≤ |a · ∇|u|2|, se obtiene:
∫∂Ω
|u|2 d2r ≤∫Ω
[2|a |2|u|2+ 1
2|∇u|2+ |u|2∇·a ] d3r =
∫Ω
[(2|a |2+∇·a)|u|2+ 1
2|∇u|2] d3r
Finalmente, definiendo la constante c := maxx∈Ω
2|a |2 +∇ · a , 1
2, se obtiene:
∫∂Ω
|u|2 d2r ≤ c∫Ω
[ |u|2 + |∇u|2] d3r
Que es equivalente, por definicion, a la desigualdad:
‖ u ‖2L2(∂Ω)≤ c ‖ u ‖2H1(Ω)
Una consecuencia notable de este teorema es que en el caso de que se tenga un
problema de valores en la frontera, donde se impone una condicion de frontera tal
como φ|∂Ω = 0, se dispone ahora de una herramienta para dar significado preciso a
tales condiciones, maxime si lo que se buscan son soluciones al problema en el espacio
de Sobolev H1(Ω). De hecho, en este caso concreto, Evans (Evans, 1998) demuestra
que aquellas funciones de H1(Ω) con traza o valor en la frontera nulo, son elementos
del espacio de Sobolev H10 (Ω) que se definio en la subseccion anterior. Esto quiere
decir que existe una sucesion de funciones infinitamente diferenciables, con soporte
compacto en Ω, tal que dicha sucesion converge en H1(Ω) a la funcion φ.
46
3.2. El teorema de representacion de Riesz
Existen varios teoremas en la literatura matematica con la denominacion de teore-
ma de Riesz; sin embargo, aquı se tratara del importante teorema que clasifica las
aplicaciones lineales acotadas de un espacio de Hilbert en el campo de los reales o
complejos. Con este fin se introducira en primer lugar la siguiente definicion:
Definicion 3.2.1. Un Funcional lineal es una aplicacion f : V → F del espacio lineal
V en el campo F, que en este caso sera el de los numeros reales R, tal que:
(i) f(αx) = αf(x)
(ii) f(x+ y) = f(x) + f(y)
Para todo x, y ∈ V y todo α ∈ F
Ejemplos de aplicaciones de este tipo se daran a continuacion.
Considerese V = Rn, tomese x0 ∈ R
n, fijo, y sea f : Rn → R definido por:
f(x) :=n∑
k=1
xkx0k = x1x
01 + x2x
02 + ...+ xnx
0n
Claramente f cumple las dos condiciones de la definicion 3.2.1.
Sea ahora V = C1[a, b] el espacio lineal de las funciones continuamente diferenciables
en el intervalo [a, b], con la definicion de suma de elementos de este espacio como
suma de funciones reales y correspondientemente el producto por escalar definido de
la manera habitual. Sea t ∈ [a, b] y defınase el funcional lineal dado por:
f(x) := x′(c); c =a+ b
2
Por las propiedades de la derivada, es claro que esta aplicacion tambien satisface
las dos condiciones en la definicion 3.2.1, pues en efecto, para todo α ∈ R, f(αx) =
(αx)′(c) = αx′(c) = αf(x). Para todos x, y ∈ C1[a, b] entonces f(x+y) = (x+y)′(c) =
x′(c) + y′(c) = f(x) + f(y).
De particular interes son aquellos funcionales lineales definidos sobre un espacio nor-
mado X, el cual es preciso recordar, es un par (X, ‖ · ‖), donde X es un espacio lineal
y ‖ · ‖ es una aplicacion ‖ · ‖: X → R llamada norma, tal que:
(i) ‖ αx ‖= |α| ‖ x ‖ para todo α ∈ F y todo x ∈ X
(ii) ‖ x+ y ‖≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ para todo x, y ∈ X
(iii) ‖ x ‖= 0 si y solo si x = 0
47
Estos espacios en cierta forma, son una generalizacion del espacio euclideo n−dimensional,
y el concepto de norma generaliza, de cierta manera, el concepto de longitud de un
vector en dicho espacio.
En el espacio normado X se consideraran aquellos funcionales lineales acotados, es
decir aquellos que satisfacen la siguiente definicion:
Definicion 3.2.2. Un funcional lineal acotado es un funcional lineal f : X → F
del espacio normado X en el campo F tal que, para todo x ∈ X, existe un C > 0
independiente de x, verificando |f(x)| ≤ C ‖ x ‖.
Mas aun, si se toma el supremo sobre el conjunto de todas las constantes C en la
anterior definicion, puede definirse la norma del funcional lineal f . Para ser mas
precisos, se tiene que (Kreyszig, 1989):
Definicion 3.2.3. La norma del funcional lineal acotado f se define como:
‖ f ‖:= supx∈D(f); x 6=0
|f(x)|‖ x ‖ = sup
x∈D(f); ‖x‖=1
|f(x)|
Con D(f) ⊂ X el dominio de f .
Como consecuencia de la anterior definicion, se tiene que:
|f(x)| ≤‖ f ‖‖ x ‖
En el primer ejemplo dado mas arriba, el espacio X = Rn es normado (Kreyszig,
1989), con norma definida por:
‖ x ‖:= (n∑
k=1
x2k)1/2 = (x21 + x22 + ...+ x2n)
1/2
En este espacio, se considera el mismo funcional lineal que antes (pag. 47) y se ve, en
virtud de la desiguadad de Cauchy-Schwartz (Kreyszig, 1989), que este es acotado:
|f(x)| = |n∑
k=1
xkx0k| = |x1x01 + x2x
02 + ...+ xnx
0n| ≤
[(x01)2 + (x02)
2 + ...+ (x0n)2]1/2(x21 + x22 + ...+ x2n)
1/2 = C ‖ x ‖
En este caso, se tiene que C := [(x01)2 + (x02)
2 + ... + (x0n)2]1/2 =‖ x0 ‖. Por tanto,
‖ f ‖≤‖ x0 ‖. A su vez, tomando x = x0 entonces, |f(x0)| = |∑k=1(x0k)
2| =‖ x0 ‖2,ası que |f(x0)|/ ‖ x0 ‖=‖ x0 ‖ de modo que ‖ x0 ‖≤‖ f ‖. En vista de lo anterior, se
concluye que ‖ f ‖=‖ x0 ‖.
48
En el segundo ejemplo antes dado (pag. 47), considerese el espacio X = C1[a, b], con
norma definida por:
‖ x ‖:= maxt∈[a,b]
|x(t)|+ maxt∈[a,b]
|x′(t)|
Esta norma esta bien definida puesto que, para todo α ∈ R, entonces:
‖ αx ‖:= maxt∈[a,b]
|αx(t)|+ maxt∈[a,b]
|αx′(t)| = |α| maxt∈[a,b]
|x(t)|+ |α| maxt∈[a,b]
|x′(t)| =|α|(max
t∈[a,b]|x(t)|+ max
t∈[a,b]|x′(t)|) = |α| ‖ x ‖
Por otra parte, para todo x, y ∈ C1[a, b] se cumple que:
‖ x+y ‖:= maxt∈[a,b]
|x(t)+y(t)|+maxt∈[a,b]
|x′(t)+y′(t)| ≤ maxt∈[a,b]
(|x(t)|+|y(t)|)+maxt∈[a,b]
(|x′(t)|+|y′(t)|) = max
t∈[a,b]|x(t)|+ max
t∈[a,b]|x′(t)|+ max
t∈[a,b]|y(t)|+ max
t∈[a,b]|y′(t)| =‖ x ‖ + ‖ y ‖
Finalmente, si x(t) = 0 para todo t ∈ [a, b], es claro que ‖ x ‖= 0. Por otro lado,
si ‖ x ‖:= maxt∈[a,b]
|x(t)| + maxt∈[a,b]
|x′(t)| = 0, entonces, necesariamente maxt∈[a,b]
|x(t)| = 0 y
maxt∈[a,b]
|x′(t)| = 0 pero esto a su vez implica que x(t) = 0 para todo t ∈ [a, b].
En este espacio se definio anteriormente (pag. 47) el funcional lineal dado por f(x) :=
x′(c), con c = (a+ b)/2. Este funcional es acotado, toda vez que:
|f(x)| := |x′(c)| ≤ maxt∈[a,b]
|x′(t)| ≤ maxt∈[a,b]
|x(t)|+ maxt∈[a,b]
|x′(t)| = C ‖ x ‖
En este caso C = 1 y, por tanto, ‖ f ‖≤ 1. Si de otra parte x0(t) es tal que |f(x0)| :=|(x0)′(c)| = 1, lo cual se cumple en virtud del teorema del valor intermedio dado que
x′(t) es continua en [a, b], entonces ‖ f ‖≥ 1. Se concluye por ultimo que ‖ f ‖= 1.
Es preciso notar que si se considera este mismo funcional lineal, definido sobre C1[a, b]
considerado como subespacio de C[a, b], el espacio lineal de las funciones continuas
en [a, b], con norma dada por:
‖ x ‖C[a,b]:= maxt∈[a,b]
|x(t)|
Es claro que en este espacio, dicho funcional ya no serıa acotado, puesto que no
necesariamente se cumple que |f(x)| := |x′(c)| ≤ C maxt∈[a,b]
|x(t)| = C ‖ x ‖ para todo
x ∈ C[a, b], con C > 0. Por ejemplo, tomese [a, b] = [0, π] y sea x(t) = cos(kt),
con k ≥ 1 constante, ası pues, |f(x)| = |x′(c)| = | − k sin(π/2)| = k; a su vez,
‖ x ‖:= maxt∈[0,π]
| cos(kt)| = 1. Por tanto, no habrıa una constante C > 0 tal que
|f(x)| ≤ C ‖ x ‖ para todo x en este espacio.
49
Dado que todo espacio de Hilbert es en particular un espacio normado, definiendo en
estos la norma a partir del producto interno, esto es, si H es un espacio de Hilbert,
puede comprobarse entonces que para todo x ∈ H, ‖ x ‖2:= (x, x)H define una norma
en H; seran estudiados ahora los funcionales lineales definidos sobre estos espacios.
En el primero de los dos ejemplos antes estudiados, se tiene que H = Rn con el
producto interno euclıdeo usual dado por:
(x, y) :=n∑
k=1
xkyk = x1y1 + ...+ xnyn
Como se demostro anteriormente, si se fija un x0 ∈ Rn, el funcional lineal dado por
f(x) = (x, x0) =n∑
k=1
xkx0k es acotado; mas aun, se demostro que ‖ f ‖=‖ x0 ‖. ¿Podrıa
invertirse esta situacion? Es decir, dado un funcional lineal acotado cualquiera en H,
¿existira siempre un x0 ∈ H, tal que f(x) = (x, x0) y aun mas ‖ f ‖=‖ x0 ‖?. Larespuesta a esta pregunta es el contenido del teorema de representacion de Riesz, el
cual afirma que en efecto esto es posible y que de hecho tal representacion es unica:
Teorema 3.2.1. Teorema de representacion de Riesz. Sea f : H → F un
funcional lineal acotado, entonces existe un unico x0 ∈ H tal que f(x) = (x, x0) para
todo x ∈ H. Mas aun ‖ f ‖=‖ x0 ‖.
Demostracion. La idea de la demostracion consiste en primer lugar en probar que
para todo x ∈ H existe una representacion unica x = αh0 + y, en donde α ∈ F,
h0 6= 0 ∈ H −N (f) es fijo e y ∈ N (f); siendo N (f) := y ∈ H : f(y) = 0 el espacio
nulo asociado a f .
Luego, sabiendo que N (f) es un subespacio cerrado de H, el teorema de descom-
posicion ortogonal (Kreyszig, 1989) permite expresar H = N (f)⊕N (f)⊥; es de-
cir, para todo x ∈ H entonces x = y + z en donde, y ∈ N (f) y z ∈ N (f)⊥ con
N (f)⊥ := z ∈ H : (z, y) = 0 para todo y ∈ N (f). Puesto que la representacion
es unica, se concluye que z = αh0 ∈ N (f)⊥. Con ayuda de este resultado entonces
(x, h0) = (αh0 + y, h0) = α(h0, h0) + (y, h0) = α ‖ h0 ‖2, de modo que:
α =(x, h0)
‖ h0 ‖2 .
De aquı, por tanto f(x) = f(αh0 + y) = αf(h0) + f(y) = αf(h0), y ası:
f(x) =(x, h0)
‖ h0 ‖2f(h0) = (x,
f(h0)
‖ h0 ‖2h0) = (x, x0); con x0 :=
f(h0)
‖ h0 ‖2h0.
50
Queda entonces demostrada la existencia de la representacion. En el segundo paso se
demuestra la unicidad de la misma y en el tercero que ‖ f ‖=‖ x0 ‖.
(i) Supongase en primer lugar que f = 0, es decir f(x) = 0 para todo x ∈ H. En tal
caso,N (f) = H y H−N (f) = ∅, de modo que la representacion x = αh0+y descrita
anteriormente serıa trivialmente satisfecha. Por tanto, supongase que f 6= 0 de tal
manera que N (f) es un subconjunto propio de H, mas aun, se trata de un subespacio
de H, pues para todo y1, y2 ∈ N (f) y todo α1, α2 ∈ F entonces f(α1y1 + α2y2) =
α1f(y1) + α2f(y2) = α10 + α20 = 0, ası pues α1y1 + α2y2 ∈ N (f).
El subespacio N (f) es no vacıo, pues f(0 − 0) = f(0) − f(0) = 0 ası que por lo
menos contiene a 0. Su complemento H − N (f) tampoco es vacıo pues si ası fuera,
N (f) = H−(H−N (f)) = H−∅ = H pero como se discutio anteriormenteH 6= N (f)
pues N (f) es subconjunto propio de H, ası que H −N (f) es no vacıo.
Formese ahora el “Coset” de un elemento z ∈ H respecto al subespacioN (f), definido
por z+N (f) = v : v = z+y; y ∈ N (f). Para cada z ∈ H, dichos Cosets constituyen
una coleccion de subconjuntos no vacıos de H, pues en efecto N (f) no es vacıo ya
que por lo menos contiene al 0. Ademas, para dos elementos distintos z1, z2 ∈ H es
claro que z1 +N (f) ∩ z2 +N (f) = ∅, pues de otra forma, suponiendo que exista un
v ∈ z1 +N (f) ∩ z2 +N (f) entonces v = z1 + y = z2 + y para todo y ∈ N (f), pero
de aquı se concluye que z1 = z2 contradiciendo la hipotesis inicial.
A partir de lo que se ha dicho anteriormente, se concluye que cada elemento x ∈ H
pertenece exactamente a uno de de estos subconjuntos, por tanto x ∈ ⋃z∈H
(z+N (f)),
es decir, se tiene que H =⋃z∈H
(z + N (f)); en consecuencia, los conjuntos z + N (f)
constituyen lo que se conoce como particion de H (Kreyszig, 1989) y, de esta manera,
todo elemento de este espacio se puede escribir como x = z + y. Fıjese un h0 ∈H−N (f), el cual existe ya que este conjunto no es vacıo. Entonces, haciendo z = αh0,
con α ∈ F, en la ultima expresion, se tiene finalmente la representacion x = αh0 + y,
donde y ∈ N (f), para todo x ∈ H.
La anterior representacion es unica, pues suponiendo que existiesen dos representacio-
nes de un mismo elemento x, es decir x = α1h0+y1 e x = α2h
0+y2, de aquı por tanto
f(x) = f(α1h0 + y1) = f(α2h
0 + y2), lo cual implica que α1f(h0) = α2f(h
0). Puesto
que f(h0) 6= 0 se concluye que α1 = α2. Ahora bien, dado que para cualesquiera tres
vectores u, v, w, si u+ v = u+w entonces v = w, se concluye finalmente que tambien
y1 = y2. Ası pues, la representacion es unica.
51
(ii) Como se discutio al comienzo de la demostracion, con la ayuda de la representacion
x = αh0 + y, es posible construir un elemento x0 :=f(h0)
‖ h0 ‖2h0, tal que f(x) = (x, x0)
para todo x ∈ H. Para demostrar que tal representacion de f es unica, supongase que
existen dos de tales elementos, x01 y x02, verificando f(x) = (x, x01) = (x, x02), para todo
x ∈ H. Esto implicarıa entonces que (x, x01) − (x, x02) = (x, x01 − x02) = 0. Escogiendo
en particular x = x01−x02, se tendrıa que ‖ x01−x02 ‖= 0, pero esto implicarıa a su vez
que x01 − x02 = 0, es decir x01 = x02. De tal suerte que la representacion de f es unica.
A partir de la construccion de x0, se advierte tambien que este elemento se encuentra
unıvocamente determinado por f .
(iii) Puesto que f es acotado, en virtud de la desigualdad de Cauchy-Schwartz se
observa que |f(x)| = |(x, x0)| ≤‖ x ‖‖ x0 ‖. Tomando entonces el supremo de |f(x)|sobre todos los x ∈ H tales que ‖ x ‖= 1, se concluye que ‖ f ‖≤‖ x0 ‖. Por su
parte, dado que |f(x)| ≤‖ f ‖‖ x ‖, entonces, haciendo x = x0 se tiene que |f(x0)| =|(x0, x0)| =‖ x0 ‖2≤‖ f ‖‖ x0 ‖. De aquı se obtiene por tanto que ‖ x0 ‖≤‖ f ‖. Asıpues, ‖ f ‖=‖ x0 ‖ y queda demostrado el teorema.
Nota. En toda la discusion precedente se ha asumido implıcitamente que F = R,
por lo que si se quiere obtener este mismo resultado con F = C, debe recordarse que
en la definicion de producto interno en un espacio de Hilbert complejo, se tienen la
propiedades (x, y) = (y, x) e (αx, y) = α(x, y) para todo x, y ∈ H, α ∈ C; siendo z
el complejo conjugado de z. Por tanto, se tiene que (x, αy) = α(x, y), por lo que en
la construccion de x0 deberıa hacerse x0 :=f(h0)
‖ h0 ‖2h0 para tener consistencia con los
axiomas del producto interno.
El teorema de representacion de Riesz admite, de cierto modo, una generalizacion al
caso en que la funcion f ya no toma valores unicamente en un espacio de Hilbert
H sino que en el producto cartesiano de dos de dichos espacios. En este orden de
ideas, se discutira a continuacion el teorema de representacion de las llamadas formas
bilineales, por lo cual se definiran estas a continuacion.
Definicion 3.2.4. Formas bilineales. Sean H1 y H2 espacios de Hilbert, una forma
bilineal es una aplicacion a : H1 ×H2 −→ R tal que:
(i) a(x1 + x2, y) = a(x1, y) + a(x2, y) para todo x1, x2 ∈ H1 y todo y ∈ H2
(ii) a(x, y1 + y2) = a(x, y1) + a(x, y2) para todo x ∈ H1 y todo y1, y2 ∈ H2
(iii) a(αx, y) = αa(x, y) para todo x ∈ H1, y ∈ H2, α ∈ R
(iv) a(x, βy) = βa(x, y) para todo x ∈ H1, y ∈ H2, β ∈ R
52
Analogamente, si existe una constante C > 0 verificando |a(x, y)| ≤ C ‖ x ‖H1‖ y ‖H2
para todo x ∈ H1, y ∈ H2, se dice entonces que la forma bilineal es acotada. De
manera similar, para una forma bilineal acotada, se define su norma ‖ a ‖ como:
‖ a ‖:= supH1−0; H2−0
|a(x, y)|‖ x ‖H1
‖ y ‖H2
= sup‖x‖H1
=1; ‖y‖H2=1
|a(x, y)|
En virtud de esta definicion, se concluye ası mismo que |a(x, y)| ≤‖ a ‖‖ x ‖H1‖ y ‖H2
.
El producto interno en un espacio de Hilbert es por ejemplo una forma bilineal aco-
tada. Surge naturalmente la pregunta ¿Toda forma bilineal acotada a su vez se puede
representar como un producto interno? La respuesta nuevamente es positiva y de
hecho se tiene lo siguiente:
Teorema 3.2.2. Teorema de representacion de Riesz II. Sea a : H1×H2 −→ R
una forma bilineal acotada, entonces existe una representacion
a(x, y) = (Tx, y)
En donde T : H1 −→ H2 es un operador lineal acotado. T esta unıvocamente deter-
minado por a y tiene norma ‖ T ‖=‖ a ‖.
Nota. Cabe recordar que la norma de un operador lineal acotado se define de manera
analoga a la manera en que se define la norma de un funcional lineal acotado. De
hecho, un funcional lineal es un caso especial de un operador lineal entre dos espacios
de Hilbert puesto que, como se puede demostrar, F es tambien un espacio de Hilbert.
No se ofrecera una demostracion rigurosa de este teorema, sin embargo, se dara una
indicacion de como procede. La misma consiste en definir un funcional lineal a partir
de a, escogiendo un x ∈ H1 fijo. En efecto, fx(y) := a(x, y), en vista de las propiedades
de a, para todo y ∈ H2, satisface las propiedades de un funcional lineal. Ademas,
puesto que a es acotado, a su vez f sera acotado. De esta manera se podra aplicar el
teorema de representacion antes demostrado, para hallar un z ∈ H2 tal que fx(y) =
(y, z). Para diversas escogencias de x ∈ H1 entonces se obtendran diversos z ∈ H2,
de modo que, a partir de este hecho, se define una aplicacion T : H1 −→ H2 tal que
Tx = z. Ası pues, se obtiene que fx(y) = (y, z) = (z, y) = (Tx, y) y de aquı resulta
la representacion a(x, y) = (Tx, y).
53
Una vez realizada esta construccion resulta facil demostrar la linealidad de T pues de
hecho, a(α1x1 + α2x2, y) = (T (α1x1 + α2x2), y) pero a partir de las propiedades de
a, entonces a(α1x1 + α2x2, y) = α1a(x1, y) + α2a(x2, y) = α1(Tx1, y) + α2(Tx2, y) =
(α1Tx1, y) + (α2Tx2, y) = (α1Tx1 + α2Tx2, y). Por tanto, (T (α1x1 + α2x2), y) =
(α1Tx1+α2Tx2, y) y de aca se deduce entonces que T (α1x1+α2x2) = α1Tx1+α2Tx2.
Queda demostrada de esta forma la linealidad de T .
Por ultimo, se demuestra que esta representacion es unica y que efectivamente se
cumple que ‖ T ‖=‖ a ‖, de manera similar a como se hizo en la demostracion del
primer teorema de representacion de Riesz.
3.3. Generalizaciones del teorema de descomposi-
cion de Helmholtz-Weyl
Con los teoremas de representacion de Riesz a la mano y la maquinaria de los espacios
de Sobolev, ası como la teorıa asociada a estos, es posible volver a la cuestion sobre
la generalizacion del teorema de descomposicion de Helmholtz-Weyl de un campo
vectorial u, la cual habıa sido pospuesta hasta ahora.
En este orden de ideas, volviendo a la ecuacion de Poisson, ∆φ = f(r), se buscara
determinar la existencia y unicidad de soluciones a la misma en el espacio de Sobolev
H1(Ω), imponiendo sobre φ una condicion de frontera de tipo Neumann junto con la
condicion de que su valor medio en Ω sea nulo, esto es, que φΩ :=1
|Ω|∫Ω
φ d3r′ = 0,
donde |Ω| es el volumen de la region. En lo que sigue se supondra que Ω ⊂ R3 es una
region acotada del espacio, simplemente conexa y cuya frontera ∂Ω es de clase C1.
Multiplıquese ası ambos lados de la ecuacion de Poisson por una funcion v ∈ H1(Ω)
e integrese ambos lados sobre Ω:
∫Ω
∆φ v d3r′ = −∫Ω
∇φ · ∇v d3r′ +∮∂Ω
vn′ · ∇φ d2r′ =∫Ω
f v d3r′
En donde se ha aplicado la primera identidad de Green en la segunda igualdad.
Ahora bien, la expresion n′ · ∇φ esta siendo evaluada en la frontera del dominio, por
lo que allı se esta haciendo uso, implıcitamente, del operador traza introducido en
la seccion 3.1.0.2. Mas precisamente, supongase que a φ se le impone una condicion
de frontera de Neumann, es decir que se especifica el valor de la derivada de φ en la
54
direccion de la normal exterior a ∂Ω como una funcion conocida g, de tal manera que
n′ · ∇φ :=∂φ
∂n′
∣∣∣∣∂Ω
= g. A partir de lo anterior, se tiene que:
∫
Ω
∇φ · ∇v d3r′ = −∫
Ω
f v d3r′ +
∮
∂Ω
g v d2r′ (3.4)
El lado derecho de la ultima igualdad puede interpretarse, conocidos f y g, como una
aplicacion l : H1(Ω) −→ R. De hecho, a causa de la linealidad de las integrales, se
trata de un funcional lineal, el cual se definira, para todo v ∈ H1(Ω), por medio de
la expresion:
l(v) := −∫Ω
f v d3r′+ < g, v >∂Ω
En donde < g, v >∂Ω:=∮∂Ω
g v d2r′ y se presume que f ∈ L2(Ω). Ahora bien, dado
que v ∈ H1(Ω), por el teorema de las trazas, teorema 3.1.2, existe un operador lineal
acotado γ : H1(Ω) −→ L2(∂Ω) tal que γv = v|∂Ω; por tanto, v en < g, v >∂Ω,
pertenece al rango de este operador, el cual, como se demuestra en el trabajo de
Girault y Raviart (Girault y Raviart, 1979), es el espacio de Sobolev H1/2(∂Ω) ⊂L2(∂Ω).
En dicho trabajo se demuestra ası mismo que g =∂φ
∂n′
∣∣∣∣∂Ω
pertenece al espacio de
Sobolev H−1/2(∂Ω), cuyos elementos fueron caracterizados en la seccion 3.1.0.1, par-
ticularmente en la discusion que sigue a la definicion 3.1.7. Este hecho tiene que ver
con que la cantidad < g, v >∂Ω, asumiendo que g ∈ L2(∂Ω), es una extension del
producto interno en L2(∂Ω) (Girault y Raviart, 1979), lo cual permite representar a
< g, v >∂Ω de la forma < g, v >∂Ω:=∮∂Ω
g v d2r′, tal como se hizo mas arriba.
Esto implica que para g fijo, y para todo v ∈ H1/2(∂Ω), f(v) :=∮∂Ω
g v d2r′ es un
funcional lineal acotado, y de acuerdo con el teorema de representacion de Riesz, este
puede ser representado por el producto interno en L2(∂Ω), del elemento v del espacio
de Hilbert H1/2(∂Ω), con el elemento g del espacio dual H ′ al espacio H1/2(∂Ω).
Sin embargo, dado que, como se establecio en la seccion 3.1.0.1, el espacio dual de
H1/2(∂Ω), es el espacio H−1/2(∂Ω), de aquı se sigue que g ∈ H−1/2(∂Ω).
Con arreglo a lo antes expuesto, la expresion < g, v >∂Ω constituye entonces una
aplicacion bilineal < ·, · >∂Ω: H−1/2(∂Ω) × H1/2(∂Ω) −→ R, acotada ademas, pues
de hecho (Girault y Raviart, 1979), | < g, v >∂Ω | = |∮∂Ω
g v d2r′| ≤∮∂Ω
|g v| d2r′ ≤‖ g ‖H−1/2(∂Ω) ‖ v ‖H1/2(∂Ω).
55
Lo dicho anteriormente sirve para demostrar que el funcional lineal l es acotado, pues
en vista de la desigualdad de Cauchy-Schwartz y de la anterior desigualdad, se observa
que;
|l(v)| := | −∫Ω
f v d3r′+ < g, v >∂Ω | ≤∫Ω
|f v| d3r′ + | < g, v >∂Ω | ≤‖ f ‖L2(Ω) ‖ v ‖L2(Ω) + ‖ g ‖H−1/2(∂Ω) ‖ v ‖H1/2(∂Ω)
De otra parte, la desigualdad de Poincare (Evans, 1998) establece que para todo
v ∈ H1(Ω) se cumple que ‖ v − vΩ ‖L2(Ω)≤ CΩ ‖ ∇v ‖L2(Ω), en donde vΩ es el
valor medio de v en Ω, CΩ es una constante positiva dependiente del dominio pe-
ro no de v. Particularmente, para aquellas funciones en H1(Ω) tales que vΩ = 0,
la desigualdad de poincare lleva a concluir que ‖ v ‖L2(Ω) ≤ CΩ ‖ ∇v ‖L2(Ω) ≤CΩ(‖ ∇v ‖L2(Ω) + ‖ v ‖L2(Ω)) = CΩ ‖ v ‖H1(Ω). Usando este hecho y recordando que
‖ v ‖H1/2(∂Ω)≤‖ v ‖H1(Ω), se tiene entonces que:
|l(v)| ≤ [CΩ ‖ f ‖L2(Ω) + ‖ g ‖H−1/2(∂Ω)] ‖ v ‖H1(Ω)
El funcional l es entonces acotado. Debido a esto ultimo, l sera un elemento del
espacio dual H−1(Ω) := (H(Ω))′ (Evans, 1998), por medio del cual se constituye una
aplicacion < ·, · >: H−1(Ω)×H1(Ω) −→ R, definida a traves de:
< l, v >:= l(v)
El teorema de representacion de Riesz puede usarse una vez mas para concluir que
existe un unico φ∗ ∈ H1(Ω) tal que l(v) = (v, φ∗)H1(Ω), para todo v ∈ H1(Ω). En
consecuencia, se tiene que:
< l, v >= (v, φ∗)H1(Ω)
En consonancia con la discusion llevada a cabo con relacion al segundo teorema
de representacion de Riesz, se deduce que existe un operador lineal acotado G :
H−1(Ω) −→ H1(Ω), tal que φ∗ = G l.
La expresion a(φ, v) :=∫Ω
∇φ ·∇v d3r′ en el lado izquierdo de la ecuacion (3.4), define
una forma bilineal acotada a(·, ·) : H1(Ω)×H1(Ω) → R, toda vez que la desigualdad
de Cauchy-Schwartz dicta que |∇φ · ∇v| ≤ |∇φ||∇v|. De aquı se obtiene el estimado:
|a(φ, v)| = |∫Ω
∇φ · ∇v d3r′| ≤∫Ω
|∇φ · ∇v| d3r′ ≤∫Ω
|∇φ||∇v| d3r′
56
Puesto que para cualesquiera dos funciones u, w ∈ L2(Ω) se cumple que∫Ω
|u||w| d3r′ ≤
(∫Ω
|u|2d3r′)1/2(∫Ω
|w|2d3r′)1/2 =‖ u ‖L2(Ω)‖ w ‖L2(Ω), entonces:
|a(φ, v)| = |∫Ω
∇φ · ∇v d3r′| ≤∫Ω
|∇φ||∇v| d3r′ ≤‖ ∇φ ‖L2(Ω)‖ ∇v ‖L2(Ω)
En donde se ha tenido en cuenta que ∇φ,∇v ∈ L2(Ω) debido a que φ, v ∈ H1(Ω).
De esta manera, se ha demostrado que la forma bilineal a es acotada. Mas aun, como
se demostrara en el capıtulo 5, a define un producto interior en H1(Ω), el cual sera
designado por (·, ·)0, de tal suerte que a(φ, v) = (φ, v)0 y la correspondiente norma
inducida sera√a(φ, φ) :=‖ φ ‖0. Notese ademas que a(φ− φΩ, v) = a(φ, v), de donde
‖ φ− φΩ ‖0=‖ φ ‖0.
Ahora bien, es claro que ‖ v ‖20 =∫Ω
|∇v|2 d3r′ ≤∫Ω
|∇v|2 d3r′+∫Ω
|v|2 d3r′ =‖ v ‖2H1(Ω).
Si se aplica tambien la desigualdad de Poincare resulta que ‖ v ‖2H1(Ω)=∫Ω
|∇v|2 d3r′+∫Ω
|v|2 d3r′ ≤∫Ω
|∇v|2 d3r′+CΩ
∫Ω
|∇v|2 d3r′ = (CΩ+1)∫Ω
|∇v|2 d3r′ = (CΩ+1) ‖ v ‖20,
es decir ‖ v ‖H1(Ω)≤ (CΩ + 1)1/2 ‖ v ‖0. De esta manera, se estima que:
‖ v ‖0≤‖ v ‖H1(Ω)≤ (CΩ + 1)1/2 ‖ v ‖0
Esto ultimo que se ha demostrado, constituye lo que se conoce como la equivalencia
de las normas ‖ · ‖0 y ‖ · ‖H1(Ω) en H1(Ω). Esto significa que en H1(Ω) podra
utilizarse cualquiera de dichas normas, segun resulte conveniente y lo mismo aplica
para los productos internos respectivos de los cuales provienen tales normas.
Lo elaborado hasta aquı conlleva entonces a establecer que la ecuacion (3.4) es equi-
valente a:
a(φ− φΩ, v) = (φ− φΩ, v)0 = (v, φ− φΩ)0 = (v, φ∗)0
De aquı se concluye en consecuencia que φ − φΩ = φ∗ y, por tanto, que la ecuacion
de Poisson, con condicion de frontera de Neumann, tiene solucion unica ademas si se
hace φΩ = 0, en el espacio H1(Ω), representada de manera abstracta por:
φ = G l (3.5)
57
Ahora bien, recordando que < ∆φ, v >= a(φ, v) :=∫Ω
∇φ · ∇v d3r′, haciendo v = φ
entonces, a(φ, φ) :=∫Ω
|∇φ|2 d3r′ =‖ φ ‖20. Por tanto, para algun 0 < c ≤ 1, se tiene
que a(φ, φ) =‖ φ ‖20≥ c ‖ φ ‖20. Con base en lo anterior, se concluye entonces que
< ∆φ, v >≥√c ‖ φ ‖0. Esta ultima desigualdad permite establecer (Kreyszig, 1989)
que el operador inverso (∆)−1 : H−1(Ω) −→ H1(Ω) existe y es acotado. Finalmente,
dado que la solucion a la ecuacion de Poisson se ha demostrado que existe y que es
unica, se concluye que (∆)−1 := G en la ecuacion (3.5).
Nota. El lector probablemente se encuentre perplejo en relacion con la unicidad de
la solucion a la ecuacion de Poisson que se ha demostrado aquı, ya que es un hecho
conocido que la solucion de este problema, con condicion de frontera de Neumann,
es unica salvo una constante arbitraria, en otras palabras, si se fija el valor de esta
constante, la solucion si que es unica. Esto se demuestra de la siguiente manera.
Supongase que existen dos soluciones a dicha ecuacion, φ1 y φ2 + c, para alguna
constante c, tales que ∆φ1 = f = ∆(φ2 + c), de modo que ∆(φ1 − φ2 − c) = 0.
Multiplicando esta igualdad por φ1 − φ2 − c e integrando sobre Ω, con la ayuda de la
primera identidad de Green, se obtiene:
0 =∫Ω
(φ1 − φ2 − c)∆(φ1 − φ2 − c) d3r′ =
−∫Ω
|∇(φ1 − φ2 − c)|2 d3r′ +∮∂Ω
(φ1 − φ2 − c)∂
∂n′(φ1 − φ2 − c) d2r′
Puesto que se asume que φ1 y φ2+c son soluciones del problema, ambas deben poseer
la misma condicion de frontera y por tanto∂
∂n′(φ1 − φ2 − c)
∣∣∣∣∂Ω
= 0 en la segunda
integral, con lo cual:
‖ φ1 − φ2 − c ‖20 =∫Ω
|∇(φ1 − φ2 − c)|2 d3r′ = 0
De aquı por tanto se obtiene que φ1 − φ2 − c = 0, es decir, dos soluciones a este
problema difieren en una constante arbitraria c.
Ahora bien, si en la ecuacion (3.3) se construye la funcion de Green G(r, r′) de tal
manera que ∆G = δ(r − r′) − 1
|Ω| y∂G
∂n′
∣∣∣∣∂Ω
= 0, lo cual es posible dada la indeter-
minacion de las soluciones a la ecuacion de Poisson con condicion de frontera de tipo
Neumann, entonces por la segunda identidad de Green se tiene lo siguiente:
58
∫Ω
[G∆φ− φ∆G]d3r′ =∮∂Ω
[G∂φ
∂n′− φ
∂G
∂n′]d2r′
∫Ω
[Gf − φ(δ(r− r′)− 1
|Ω|)]d3r′ =
∮∂Ω
G∂φ
∂n′d2r′
∫Ω
φδ(r− r′)d3r′ =1
|Ω|∫Ω
φ d3r′ +∫Ω
G f d3r′ −∮∂Ω
G∂φ
∂n′d2r′
De la ultima igualdad se obtiene la formula de representacion para la solucion a la
ecuacion de Poisson con condicion de frontera de Neumann, la cual difiere de (3.3)
por la aparicion de un termino constante correspondiente al valor medio de φ en Ω:
φ(r) =1
|Ω|
∫
Ω
φ(r′) d3r′ +
∫
Ω
G(r, r′) f(r′) d3r′ −∮
∂Ω
G(r,y′)∂φ
∂n′d2y′ (3.6)
Si se identifica la constante arbitraria c de la cual se hablo antes, con el valor medio
φΩ de φ en Ω, y si en particular se escoge que c = φΩ = 0, se tiene entonces que la
solucion hallada es unica. Pero esto fue justamente lo que se supuso cuando se estaba
demostrando la existencia de una solucion a la ecuacion de Poisson, por tanto, la
anterior demostracion de la existencia de soluciones unicas al problema de Poisson
con condicion de frontera de Neumann, es correcta y compatible con esto ultimo que
sa ha discutido en la presente nota.
Sabiendo ya que para todo u ∈ L2(Ω)3 existe un unico φ ∈ H1(Ω), con φΩ = 0, tal
que ∇· (u−∇φ) = 0, se concluye que existe un campo solenoidal w ∈ L2(Ω)3 tal que
u − ∇φ = w. Este campo sera ortogonal a ∇φ en L2(Ω)3 si se impone la condicion
de que su componente en la direccion de la normal exterior a ∂Ω sea nula. En efecto,
puesto que ∇ · (φ w) = ∇φ ·w+ φ ∇ ·w = ∇φ ·w, formando el producto interior en
L2(Ω)3, se tiene:
(∇φ,w)L2(Ω)3 =∫Ω
∇φ ·w d3r′ =∫Ω
∇ · (φ w) d3r′ =∮∂Ω
φ n′ ·w d2r′
En donde se ha utilizado el teorema de la divergencia en la ultima igualdad. Por tanto,
si se impone la condicion sobre la componente normal wn′ |∂Ω := (n′ ·w)|∂Ω = 0
se concluye que (∇φ,w)L2(Ω)3 = 0, y ası ∇φ y w seran ortogonales en L2(Ω)3. Sin
embargo, esta condicion debe examinarse con mas cuidado, por lo cual se introduciran
primero los siguientes sub-espacios de L2(Ω)3:
Definicion 3.3.1. Sea J (Ω) = w ∈ L2(Ω)3 : ∇ · w = 0 con producto interno
definido por:
(u, v)J (Ω) := (u, v)L2(Ω)3 (3.7)
59
Y sea el espacio G(Ω) = ∇φ ∈ L2(Ω)3 : φ ∈ H1(Ω); φΩ = 0
Bajo esta definicion se tiene el importante resultado cuya demostracion se omitira:
Teorema 3.3.1. El espacio J (Ω) bajo el producto interno (3.7) es un espacio de
Hilbert.
Considerando que wn′ |∂Ω es la restriccion del campo escalar n′ ·w a la frontera de Ω,
entonces la condicion wn′ |∂Ω = 0 antes mencionada debe ser entendida en un sentido
analogo al del operador traza en el caso de campos escalares. Con mas precision, se
define el operador γn′ : w → wn′ |∂Ω, el cual envıa un w ∈ J (Ω) en un elemento
del espacio H−1/2(∂Ω) (Girault y Raviart, 1979). Por tanto, la condicion wn′ |∂Ω = 0
implica que w pertenece al kernel de este operador, ker(γn′) = w ∈ J (Ω) : γn′(w) =
0. Este espacio como se demuestra en el trabajo de Duvaut y Lions (Duvant y
Lions, 2012), corresponde a la clausura del espacio de los campos vectoriales suaves
en Ω; respecto a la norma del espacio J (Ω). Ası pues este espacio, denotado por
J0(Ω), contiene lımites (en la norma de J (Ω)) de sucesiones de campos vectoriales
continuamente diferenciables a cualquier orden en Ω.
El espacio L2(Ω)3, por ser un espacio de Hilbert, es completo, queriendo con ello decir
que toda sucesion de Cauchy um en este espacio, converge a un elemento u de dicho
espacio. No obstante, no se puede decir lo mismo de un subespacio tal como G(Ω) yaque para que un subespacio Y de un espacio de Hilbert H sea completo, es condicion
necesaria y suficiente que dicho subespacio sea cerrado bajo la distancia heredada del
producto interno en H (Kreyszig, 1989). Por su parte, J0(Ω) al ser la clausura de un
subespacio del espacio de Hilbert L2(Ω)3, es un conjunto cerrado allı mismo.
Esto es importante, ya que podrıa darse el caso en que si gm y jm son sucesiones de
cauchy en G(Ω) y J0(Ω) respectivamente, con jm → j ∈ J0(Ω) pero no necesariamente
gm → g ∈ G(Ω) entonces tampoco se podrıa esperar que la sucesion um = gm + jm
converja a un elemento u = g + j tal que g ∈ G(Ω), j ∈ J0(Ω), respectivamente. En
otras palabras, existirıa un elemento u ∈ L2(Ω)3 que no se puede escribir como suma
de un elemento g ∈ G(Ω) mas otro elemento j ∈ J0(Ω), que es todo lo opuesto a lo
que se busca.
Una forma de solucionar este impase es hallar la forma de ‘completar’, por ası decirlo,
el subespacio G(Ω) que es el que no necesariamente es completo. Esto se puede lograr
tomando la clausura de dicho subespacio respecto a la distancia heredada del produc-
to interno en L2(Ω)3. En efecto, dado que la clausura de un subespacio de un espacio
60
de Hilbert es un conjunto cerrado en tal espacio, y, en vista de que todo subespacio
cerrado de un espacio de Hilbert es completo, como se menciono mas arriba, enton-
ces quedarıa resuelto el problema. En este orden de ideas, se definen los siguientes
subespacios de L2(Ω)3.
Definicion 3.3.2. Sea J (Ω) como en la definicion 3.3.1, entonces J0(Ω) = C∞(Ω)3
es la clausura del espacio de los campos vectoriales suaves en Ω, respecto a la distancia
inducida por el producto interno de J (Ω).
Similarmente, sea G(Ω) como en la definicion 4.3.1, entonces G0(Ω) := G(Ω) es la
clausura de G(Ω) respecto a la distancia inducida por el producto interno de L2(Ω)3.
Como resultado de la discusion sostenida en los parrafos anteriores, se puede ahora
establecer el teorema de descomposicion de Helmholtz-Weyl en L2(Ω)3:
Teorema 3.3.2. Teorema de descomposicion de Helmholtz-Weyl. Para todo
u ∈ L2(Ω)3 existen ∇φ ∈ G0(Ω) y w ∈ J0(Ω), tales que u = ∇φ + w; ademas
(∇φ,w)L2(Ω)3 = 0. En otras palabras, se tiene la siguiente descomposicion ortogonal:
L2(Ω)3 = G0(Ω)⊕J0(Ω)
En todo lo elaborado hasta aquı, no se ha hablado de la posibilidad de representar
a w como el rotacional de algun campo vectorial A. A la luz del metodo expuesto
aquı, supongase que esto es posible y que entonces se tiene, para todo u ∈ L2(Ω)3, la
descomposicion u = ∇φ+∇×A, en donde ∇φ ∈ G0(Ω)3 y ∇×A ∈ J0(Ω). Tomando
el rotacional de esta igualdad, entonces:
∇× u = ∇×∇φ+∇×∇×A = ∇(∇ ·A)−∆A
Si al campo vectorial A se le impone la condicion ∇ · A = 0, lo cual es posible en
principio dada la arbitrariedad del mismo, y suponiendo conocido el rotacional de u,
D(r) := ∇× u ∈ L2(Ω)3, entonces se llega al problema:
∆A = −D(r)
Por tanto, si una tal representacion w = ∇×A es posible, para todo w ∈ J0(Ω), se
reduce al problema de determinar la existencia y unicidad de soluciones a la ecuacion
de Poisson para A. Sin embargo, esta cuestion ya fue resuelta para φ, de modo que
si se emplea un razonamiento similar aquı, es posible concluir que existe un unico
A ∈ H10 (Ω)
3 solucion a la ecuacion de Poisson.
61
Antes de continuar con la discusion, conviene resaltar que el espacio H10 (Ω)
3, de
manera analoga al caso de campos escalares (pag. 35), es la clausura del espacio de
los campos vectoriales suaves en Ω, con soporte compacto en dicha region, denotado
por C∞c (Ω)3; respecto a la distancia heredada del producto interno enH1(Ω)3, definido
por:
(u,v)H1(Ω)3 :=∫Ω
∇u : ∇v d3r′
En donde la expresion ∇u : ∇v representa la doble contraccion de los tensores ∇u
y ∇v. Tomese entonces el producto interno de la ecuacion de Poisson en L2(Ω)3 con
alguna funcion v ∈ H10 (Ω)
3:
(∆A,v)L2(Ω)3 =∫Ω
∆A · v d3r′ = −∫Ω
∇×w · v d3r′ =
−∫Ω
w · ∇ × v+∇ · (w× v) d3r′ = −∫Ω
w · ∇ × v d3r′ −∮∂Ω
n′ · (w× v) d2r′
En la tercera igualdad se ha empleado la identidad vectorial ∇ × w · v = w · ∇ ×v +∇ · (w × v), y en la ultima el teorema de la divergencia. Por otro lado, usando
el hecho de que n′ · (w× v)|∂Ω = v · (n′ ×w)|∂Ω = 0 ya que v se anula ‘cerca’ de la
frontera ∂Ω; y que w = ∇×A, entonces se observa que:
(∆A,v)L2(Ω)3 = −∫Ω
(∇×A) · (∇× v) d3r′ = −∫Ω
D(r′) · v d3r′
De aquı, por tanto, se determina lo siguiente:
∫
Ω
(∇×A) · (∇× v) d3r′ =
∫
Ω
D(r′) · v d3r′ (3.8)
La ultima ecuacion guarda semejanza, salvo el termino en la frontera del dominio,
con la ecuacion (3.4), y en analogıa con ella puede pensarse en el lado derecho de esta
igualdad, para todo v ∈ H10 (Ω)
3, como un funcional lineal l : H10 (Ω)
3 −→ R, definido
por:
l(v) :=∫Ω
D(r′) · v d3r′
Bajo argumentos similares para el caso de φ, se puede llegar a demostrar que el
funcional l es acotado si se exige que D ∈ L2(Ω)3. Luego, invocando el teorema de
representacion de Riesz, se podrıa concluir la existencia de un unico A∗ ∈ H10 (Ω)
3 tal
que l(v) = (v,A∗)H10(Ω)3 para todo v ∈ H1
0 (Ω)3. Hara falta entonces demostrar que la
62
forma bilineal a(A,v) :=∫Ω
(∇×A) · (∇×v) d3r′ es acotada y que de hecho define un
producto interno en H10 (Ω)
3, mas aun, que la norma inducida ‖ A ‖20:= a(A,A) =∫Ω
|∇ ×A|2 d3r′, es equivalente a la norma ‖ A ‖2H1
0(Ω)3
:=∫Ω
∇A : ∇A d3r′.
Para ver que esto es ası, fıjese una base cartesiana, entonces, como puede comprobarse
facilmente:
∇A : ∇A =3∑
i,j=1
(∂Ai
∂xj)2 = |∇ ×A|2 + |∇ ·A|2 + [...]
En donde Ai (i = 1, 2, 3), son las componentes cartesianas de A, y:
[...] = 2[∂A1
∂x2
∂A2
∂x1+∂A1
∂x3
∂A3
∂x1+∂A2
∂x3
∂A3
∂x2− ∂A1
∂x1
∂A2
∂x2− ∂A1
∂x1
∂A3
∂x3− ∂A2
∂x2
∂A3
∂x3]
Ahora bien, puesto que ∇·A = 0, entonces ∇A : ∇A = |∇×A|2+[...]. Como puede
advertirse, a partir de su definicion, la cantidad [...] puede asumir valores positivos,
negativos e inclusive cero. Asumiendo por ejemplo que [...] ≥ 0, entonces es facil
ver que∫Ω
|∇ × A|2 d3r′ ≤∫Ω
|∇ × A|2 + [...] d3r′. De igual manera, si se asume
que [...] ≤ 0, entonces∫Ω
|∇ × A|2 d3r′ ≥∫Ω
|∇ × A|2 + [...] d3r′. De esta forma se
concluye que es posible hallar constantes positivas c y C, tales que c∫Ω
|∇×A|2 d3r′ ≤∫Ω
|∇ × A|2 + [...] d3r′ ≤ C∫Ω
|∇ × A|2 d3r′, para todo A ∈ H10 (Ω)
3. Esto en otras
palabras, significa que:
c ‖ A ‖20≤‖ A ‖2H1
0(Ω)3
≤ C ‖ A ‖20
Se concluye entonces que las normas ‖ A ‖0 y ‖ A ‖H10(Ω)3 son equivalentes. En funcion
de estos resultados, se concluye en ultimas que existe una solucion unica A ∈ H10 (Ω)
a la ecuacion de Poisson, ası como una formula de representacion A = Gl, en donde
G : H−1(Ω)3 −→ H10 (Ω)
3 es un operador lineal acotado.
Para terminar de establecer el paralelo con el caso de φ, se define el siguiente subes-
pacio de L2(Ω)3:
Definicion 3.3.3. Sea J0(Ω) = ∇ × A ∈ L2(Ω)3 : A ∈ H10 (Ω)
3; ∇ · A = 0 con
producto interno definido por:
(u, v)J0(Ω) := (u, v)L2(Ω)3 + (∇× u,∇× v)L2(Ω)3 (3.9)
Y sea D0(Ω) la clausura del subespacio J0(Ω) ∩ J0(Ω), en la norma de L2(Ω)3.
63
El espacio D0(Ω) consta entonces de campos vectoriales suaves en Ω, ası como lımites
en L2(Ω)3 de sucesiones de dichos campos, cuyo rotacional pertence a L2(Ω)3; y tales
que ∇ ·A = 0.
Puesto que, por definicion, entre los elementos de este espacio se cuentan lımites de
sucesiones del espacio J0(Ω), cuyos elementos satisfacen en la frontera del dominio la
condicion n′ · ∇ ×A|∂Ω = 0, tal cual fue establecido en las paginas 60 y 61 (recuerde el
lector que allı w := ∇×A), y dado que, de acuerdo con el teorema de descomposicion
ortogonal 3.3.2, ello implica la ortogonalidad entre ∇φ y w := ∇ × A en L2(Ω)3,
resulta entonces posible enunciar el siguiente teorema de descomposicion ortogonal:
Teorema 3.3.3. Teorema de descomposicion de Helmholtz-Weyl II. Para
todo u ∈ L2(Ω)3 existen ∇φ ∈ G0(Ω) y w := ∇ × A ∈ D0(Ω), donde A ∈ H10 (Ω)
3;
tales que u = ∇φ + ∇ × A. Ademas (∇φ,∇ × A)L2(Ω)3 = 0. En otras palabras, se
tiene la descomposicion ortogonal:
L2(Ω)3 = G0(Ω)⊕D0(Ω)
Los dos teoremas de descomposicion de Helmholtz-Weyl demostrados aquı, no cons-
tituyen la unica descomposicion posible de un campo vectorial u. De hecho, Kopa-
chevsky en otro trabajo (Kopachevsky, 1967), construyo una descomposicion orto-
gonal suponiendo que ∂Ω = Σ ∪ S, en donde Σ y S son subconjuntos cerrados de
∂Ω tales que Σ ∩ S tiene medida nula (i. e. el ‘area’ de la interseccion de estas dos
porciones de la frontera del dominio es nula).
Concretamente, este autor propone que, en el teorema 3.3.2 aquı demostrado, se
impongan las condiciones φ|Σ = 0 y n′ ·w|S = 0. La existencia de φ es entonces
demostrada bajo este requerimiento, ası como la de w; pasando luego a definir los
subespacios de L2(Ω)3, dados por:
Definicion 3.3.4. Sea GΣ(Ω) la clausura en la norma de L2(Ω)3, del espacio GΣ(Ω) =
∇φ ∈ L2(Ω)3 : φ ∈ H1(Ω); φ|Σ = 0.
Se define JS(Ω) como la clausura, en la norma de L2(Ω)3, del espacio JS(Ω) = w ∈L2(Ω)3 : ∇ ·w = 0; n′ ·w|S = 0.
Bajo esta construccion, concluye finalmente el teorema de descomposicion ortogonal:
Teorema 3.3.4. Teorema de descomposicion de Helmholtz-Weyl III. Para
todo u ∈ L2(Ω)3 existen ∇φ ∈ GΣ(Ω) y w ∈ JS(Ω), tales que u = ∇φ + w; ademas
(∇φ,w)L2(Ω)3 = 0. En otras palabras, se tiene la descomposicion ortogonal:
64
L2(Ω)3 = GΣ(Ω)⊕JS(Ω)
Este tipo de descomposicion resulta util cuando se esta estudiando el problema de las
pequenas oscilaciones de un lıquido viscoso e incompresible, el cual se halla contenido
en un recipiente parcialmente lleno del mismo, de tal manera que Σ puede ser por
ejemplo la superficie libre del fluido, y S es la superficie del recipiente; entonces, si
no hay penetracion del lıquido a traves de las paredes del recipiente, la componente
normal del campo de velocidades se especifica como nula en S y el valor del potencial
φ se especifica como nulo en Σ.
Puede decirse entonces para concluir, que el tipo de descomposicion obtenida de-
pendera en gran medida del grado de regularidad que se admita para los campos
vectoriales estudiados, del tipo de condiciones en la frontera que prevalezcan en una
situacion determinada, ası como del dominio mismo en cuestion. La construccion de
una tal descomposicion, bajo el metodo expuesto aquı, es guiada de esta manera por
el tipo de problema que se este tratando de resolver.
65
Capıtulo 4
Desarrollo del modelo
4.1. Ecuaciones de movimiento
Retomando la forma linealizada de las ecuaciones de Navier-Stokes, ecuacion (2.8),
en su version dimensionalizada, se substituira en ella ahora la descomposicion de
Helmholtz-Weyl, teorema 3.3.3, para el campo de velocidades u, la cual fue discutida
en el capıtulo anterior:
∂
∂t(∇φ+w) = −∇(
p
ρ− Π) + ν∆(∇φ+w)
Agrupando a un lado los terminos afectados por el operador Nabla en esta expresion
entonces:
∇(∂φ
∂t+p
ρ− Π− ν∆φ) = −(
∂w
∂t− ν∆w)
Ahora bien, por un conocido metodo de solucion de ecuaciones diferenciales parciales
lineales, denominado el metodo de variables separables (Hassani, 2013), la anterior
igualdad se puede argumentar, debe ser igual a una constante dado que el lado iz-
quierdo es independiente de w y el derecho de φ. En particular, si se escoge que dicha
constante sea cero, bajo este ansatz entonces:
∂w
∂t− ν∆w = 0
Y la ecuacion para el campo de presiones, bajo el mismo ansatz, se reducirıa a:
∇(∂φ
∂t+p
ρ− Π− ν∆φ) = 0
Al integrar esta ultima ecuacion a lo largo de una lınea de corriente arbitraria, se
obtiene una primera integral, dada por:
66
∂φ
∂t+p
ρ− Π− ν∆φ = C
Con C una constante arbitraria. Sin embargo, dicha primera integral es obtenida para
un instante de tiempo particular, por lo cual, para diversos instantes de tiempo la
constante que aparece en el miembro derecho de la anterior igualdad no necesaria-
mente es la misma; en otras palabras, para instantes de tiempo distintos, se obtienen
distintas constantes de integracion, en virtud de lo cual se puede decir, de manera
mas general, que dicha constante debe ser reemplazada por una funcion arbitraria del
tiempo, denotada por f(t). De manera que la ecuacion que describe la distribucion
de presiones en el fluido sera:
∂φ
∂t+p
ρ− Π− ν∆φ = f(t)
Ahora bien, a partir de la ecuacion de continuidad se tiene que ∇ · u = 0, ası que
si se sustituye la descomposicion de Helmholtz-Weyl en esta ecuacion tambien, se
obtendra:
∇ · u = ∇ · (∇φ+w) = ∆φ = 0
De suerte que las ecuaciones a que tienen lugar los potenciales, en la region Ω, seran
entonces:
∆φ = 0;∂w
∂t− ν∆w = 0 (4.1)
Por tanto, el potencial escalar sera una funcion armonica en la region de flujo, en vista
de que satisface la ecuacion de Laplace. Por su parte, el potencial vector satisfara a
su vez la ecuacion de calor en dicha region.
Ademas de las anteriores ecuaciones, se sigue que la distribucion de la presion en el
fluido en la region Ω, estara gobernada por la ecuacion de Bernoulli:
∂φ
∂t+p
ρ− Π = f(t) (4.2)
67
4.2. Condiciones de frontera referidas a la super-
ficie de equilibrio
Recordando que la condicion dinamica en la interfaz lıquido-gas, ecuacion (1.12) pudo
ser linealizada y llevada a la forma de la ecuacion (2.12), se analizara ahora la forma
dimensional de la misma, buscando expresar o referir dicha ecuacion a la superficie
en estado de equilibrio. Ello se debe primordialmente al hecho de que al estar osci-
lando dicha interfaz, la curvatura media H que aparece en la ecuacion mencionada,
evoluciona tambien bajo esta dinamica, convirtiendose en una funcion no solo de las
coordenadas sobre la superficie y del tiempo, sino tambien de la ‘funcion de onda’
que se desea describir.
En este orden de ideas, trayendo a colacion la forma dimensional de la ecuacion (2.12):
p− p0 = −σH
Se aplicara sobre esta el metodo de la primera variacion de un funcional, empleado
en mecanica analıtica y en muchas otras areas de la fısica (Sagan, 2012).
La idea del metodo consiste en considerar la expresion p − p0 + σH o mejor aun
la integral de esta funcion sobre la superficie libre del fluido, como una aplicacion
J [N ] definida sobre cierto espacio normado, con valores en un subconjunto de R.
Esta variacion, denotada por δ, se define a grosso modo, en caso de existir, como un
operador lineal, por medio de:
∫ δJ
δNΦdx :=
d
dtJ [N + Φt]|t=0
En donde Φ es una funcion test arbitraria, t es un numero real. A la cantidad, tΦ
se le denomina variacion de N y se denota por δN . Por ejemplo, supongase que el
funcional J , es de la siguiente manera:
J [N(x)] := exp(∫N(x)g(x)dx)
Calculando su variacion, aplicando la definicion anterior, y usando como funcion test
la distribucion delta de Dirac, es decir Φ(y) = δ(y), entonces:
∫ δJ
δN(y)Φdx =
d
dtexp(
∫[N(x) + tδ(x− y)]g(x)dx)|t=0 =
exp(∫[N(x)+ tδ(x−y)]g(x)dx)|t=0
d
dt
∫[N(x)+ tδ(x−y)]g(x)dx)|t=0 = exp(
∫[N(x)+
tδ(x− y)]g(x)dx)|t=0
∫[δ(x− y)]g(x)dx)|t=0 = exp(
∫N(x)g(x)dx)g(y) = g(y)J [N(x)]
68
Ası pues, la variacion de este funcional es δJ = g(y)J [N(x)]δN .
Este procedimiento es aplicado entonces sobre el funcional definido por:
J [N(ξ1, ξ2, t)] :=∫S
(p− p0 + σH)d2r
Y como se menciona en el artıculo de Kopachevsky (Kopachevsky, 1966), esta varia-
cion resulta ser:
∫S
[p′ − σ(− 1
σ
∂p
∂n− κ21 − κ22)N −∆SN ]d2r
En donde p′ = p|S − ρΠ; κ1 y κ2 son las curvaturas principales de la superficie
(Blaschke y Bol, 1938) (ver capıtulo 5) en su configuracion inicial, y ∆S es el lapla-
ciano de N definido sobre la superficie S en su posicion de equilibrio, conocido como
operador de Laplace-Beltrami (McConnel, 1957). De aquı por tanto, en la superficie
libre en su posicion de equilibrio, se verifica finalmente:
p′ = σ(− 1
σ
∂p
∂n
∣∣∣∣ξ3=0
− κ21 − κ22)N −∆SN (4.3)
Examinando esta expresion, se puede ver como la presion en la superficie libre del
lıquido en cada instante, p|S, queda expresada en terminos de la presion hidrostatica
ρΠ, el gradiente normal de la presion evaluado en la superficie de equilibrio∂p
∂n
∣∣∣∣ξ3=0
,
ası como de factores asociados con la geometrıa de la superficie antes de comenzar su
movimiento, tales como κ1, κ2; cantidades que por otra parte se asumen conocidas y
que dependen en principio de las coordenadas ξ1, ξ2.
Puede pensarse ası mismo en esta expresion, al menos de manera intuitiva, como si
se tratase de una expansion en serie de potencias (de N) alrededor de ξ3 = 0 de
la cantidad p − p0 + σH, truncada hasta el primer orden en N . Esto se hara mas
patente considerando la misma situacion fısica pero en dos dimensiones. En este caso
la superficie S se reduce a una curva, cuya curvatura media, expresada en coordenadas
cartesianas, esta dada por H = [1 + (∂N
∂x)2]−3/2∂
2N
∂x2.
En este caso y = 0 describe a la superficie en su posicion de equilibrio y y = N(x, t)
a la misma en movimiento. Se tiene ası mismo que p = p(x, y, t) y expandiendo esta
funcion en serie de Taylor alrededor de y = 0, se obtiene p = p(x, 0, t)+∂p
∂y
∣∣∣∣y=0
y+ ....
De esta manera, la presion evaluada en la ‘superficie’ y = N(x, t) estara dada, a primer
69
orden enN , por p|S = p(x,N, t) ≈ p(x, 0, t)+∂p
∂y
∣∣∣∣y=0
N . Por otra parte, si la pendiente
de la curva,∂N
∂x, es mucho menor que la unidad, la curvatura media podra expresarse
aproximadamente como H ≈ ∂2N
∂x2. Reuniendo estos hechos se tiene entonces que
p−p0+σH ≈ p(x, 0, t)+∂p
∂y
∣∣∣∣y=0
N+σ∂2N
∂x2= 0, en donde se ha absorbido a p0 dentro
de p(x, 0, t). De aquı se verifica entonces que p|S ≈ p(x, 0, t)+σ[− 1
σ
∂p
∂y
∣∣∣∣y=0
N− ∂2N
∂x2].
Comparando terminos con (4.3) se observa entonces que en este caso p(x, 0, t) =
p0 − ρΠ.
Ası pues, puede hacerse una lectura de la ecuacion (4.3), a la luz del ejemplo ilustrativo
antes dado, como representando la distribucion de la presion en la superficie libre del
fluido cuando se presentan ligeras desviaciones (en la direccion de la normal exterior
a esta) respecto de su posicion de equilibrio; esto es para N pequeno, pues de esta
manera es que se ha truncado la serie de Taylor de p(x, y, t) en el ejemplo senalado.
4.3. La transformada de Fourier-Laplace
En lo que sigue se procedera a aplicar la transformada de Fourier-Laplace, denotada
por F L, sobre las ecuaciones (4.1). Este procedimiento fue aplicado por primera
vez por Dutykh y Dias. (Dutykh y Dias, 2007) con el proposito de obtener una nueva
descripcion del flujo de la superficie libre de una capa de fluido viscoso, sin considerar
el efecto de la tension superficial.
Dicha transformacion es definida de tal suerte que solo afecta a las coordenadas ξ1, ξ2
sobre la superficie del lıquido, en tanto que la coordenada normal ξ3 queda desafectada
de la misma. Ası pues, la transformada de Fourier-Laplace se define como:
F Lu(k, ξ3, s) :=∞∫0
∫R2
u(r, ξ3, t)e−2πik·r−std2rdt
En donde k = (k1, k2) es la variable dual de la posicion, r = (ξ1, ξ2); y s es la
correspondiente variable dual del tiempo, t. Se asume que las funciones sobre las que
se aplicara esta transformacion satisfacen todos los requisitos para que ella exista i.
e. que decaen bastante rapido conforme r → ∞, etc. y de hecho debe ser ası puesto
que los elementos de los espacios de Sobolev, como lo son φ y A, pueden extenderse
de Ω a Rn y son tambien elementos de L2(Rn) (Evans, 1998).
70
Ahora bien, para operar la transformacion sobre las ecuaciones (4.1), se separara
el laplaciano de las funciones que allı aparecen en una parte que corresponde a las
coordenadas ξ1, ξ2, esto es aquella parte del laplaciano definida sobre la superficie
S ⊂ Ω y que recibe el nombre de operador de Laplace-Beltrami como ya se indico
antes; mas otra parte que corresponde a las derivadas de segundo orden respecto a
la coordenada normal ξ3. En otras palabras, se tiene que ∆φ := ∆Sφ +∂2φ
∂ξ23, y de
manera analoga ∆w := ∆Sw+∂2w
∂ξ23:
F L∆φ =
∞∫
0
∫
R2
∆φe−2πik·r−std2rdt =
−(2π)2|k|2∞∫
0
∫
R2
φe−2πik·r−std2rdt+∂2φ
∂ξ23=
−(2π)2|k|2φ+∂2φ
∂ξ23= 0
(4.4)
Siendo |k| la norma de k; φ la transformada de Fourier-Laplace de φ.
En la obtencion de la ultima igualdad se ha usado el hecho de que F L∆Sφ =
−(2π)2|k|2φ; y que F L∂2φ
∂ξ23 =
∂2
∂ξ23(F Lφ) = ∂2φ
∂ξ23.
Por otra parte, se tiene que:
F Lν∆w− ∂w
∂t =
∞∫
0
∫
R2
(ν∆w− ∂w
∂t)e−2πik·r−std2rdt =
−(2π)2ν|k|2∞∫
0
∫
R2
we−2πik·r−std2rdt+
ν∂2w
∂ξ23− s
∞∫
0
∫
R2
we−2πik·r−std2rdt =
−(2π)2ν|k|2w+ ν∂2w
∂ξ23− sw = 0
(4.5)
Sustituyendo en seguida la descomposicion de Helmholtz-Weyl en la forma dimensio-
nalizada de las ecuaciones (2.11) y (2.13), recordando de antemano que w = ∇×A,
se obtiene:
71
∂N
∂t− u3 =
∂N
∂t− ∂φ
∂ξ3− ∂A2
∂ξ1+∂A1
∂ξ2= 0 (4.6)
ui,3 + u3,i = (∂φ
∂ξi+ εijk
∂Aj
∂ξk),3 + (
∂φ
∂ξ3+∂A2
∂ξ1− ∂A1
∂ξ2),i = 0 (4.7)
O, desarrollando esta ultima expresion:
ui,3 + u3,i = 2∂φ
∂ξi∂ξ3+ εijk(
∂Aj
∂ξk),3 + (
∂A2
∂ξ1− ∂A1
∂ξ2),i = 0 (4.8)
En lo que sigue se expresaran las anteriores igualdades en coordenadas cartesianas
con el fin de fijar ideas y simplificar los calculos, toda vez que ello no supone una
perdida de generalidad. Ası las cosas se tiene que:
ux,z + uz,x = 2∂φ
∂x∂z− ∂2Ay
∂z2+∂2Az
∂y∂z+∂2Ay
∂x2− ∂2Ax
∂x∂y= 0 (4.9)
uy,z + uz,y = 2∂φ
∂y∂z+∂2Ax
∂z2− ∂2Az
∂x∂z− ∂2Ax
∂y2+∂2Ay
∂x∂y= 0 (4.10)
Y
∂N
∂t− uz =
∂N
∂t− ∂φ
∂z− ∂Ay
∂x+∂Ax
∂y= 0 (4.11)
Al aplicar la transformada de Fourier-Laplace sobre estas expresiones se encuentra
que:
F L2 ∂φ
∂x∂z− ∂2Ay
∂z2+∂2Az
∂y∂z+∂2Ay
∂x2− ∂2Ax
∂x∂y =
2πikx(2∂φ
∂z) + 2πiky(
∂Az
∂z)− ∂2Ay
∂z2+ (2πikx)
2Ay − (2πikx)(2πiky)Ax = 0
(4.12)
F L2 ∂φ
∂y∂z+∂2Ax
∂z2− ∂2Az
∂x∂z− ∂2Ax
∂y2+∂2Ay
∂x∂y =
2πiky(2∂φ
∂z)− 2πikx(
∂Az
∂z) +
∂2Ax
∂z2− (2πiky)
2Ax + (2πikx)(2πiky)Ay = 0
(4.13)
F L∂N∂t
− ∂φ
∂z− ∂Ay
∂x+∂Ax
∂y = sN − ∂φ
∂z− (2πikx)Ay + (2πiky)Ax = 0 (4.14)
72
Multiplicando la ecuacion (4.12) por (−ikx) y la ecuacion (4.13) por (−iky); y, su-mando las expresiones resultantes se obtiene:
2πk2x(2∂φ
∂z) + 2πkxky(
∂Az
∂z) + ikx
∂2Ay
∂z2+ (2π)2ik3xAy − (2π)2ik2xkyAx + 2πk2y(2
∂φ
∂z)−
2πkxky(∂Az
∂z)− iky
∂2Ax
∂z2− (2π)2ik3yAx + (2π)2ikxk
2yAy = 0
Agrupando terminos semejantes:
2π(k2x+k2y)(2
∂φ
∂z)+ikx
∂2Ay
∂z2+(2π)2ikx(k
2x+k
2y)Ay−(2π)2iky(k
2x+k
2y)Ax−iky
∂2Ax
∂z2= 0
Es decir:
2π|k|2(2∂φ∂z
) + [(2π)2|k|2 + ∂2
∂z2](ikxAy)− [(2π)2|k|2 + ∂2
∂z2](ikyAx) = 0
2πi|k|2(2∂φ∂z
) + [(2π)2|k|2 + ∂2
∂z2](kyAx − kxAy) = 0
Ahora bien, por la ecuacion (4.5) se tiene que:
∂2A
∂ξ23= [(2π)2|k|2 + s
ν]A
Por tanto:
∂2
∂z2(kyAx − kxAy) = [(2π)2|k|2 + s
ν](kyAx − kxAy)
Ası pues:
2πi|k|2(2∂φ∂z
) + [(2π)2|k|2 + (2π)2|k|2 + s
ν](kyAx − kxAy) = 0
De aquı entonces:
kyAx − kxAy = − 2(2π)i|k|2
[2(2π)2|k|2 + s
ν]
∂φ
∂z(4.15)
Sustituyendo por otra parte este resultado en la ecuacion (4.14), se encuentra lo
siguiente:
73
sN − ∂φ
∂z− (2πi)(AxAy − kyAx) = sN − ∂φ
∂z− (2πi)
2(2πi)|k|2
[2(2π)2|k|2 + s
ν]
∂φ
∂z=
sN − ∂φ
∂z+
2(2π)2|k|2
(2(2π)2|k|2 + s
ν)
∂φ
∂z= 0
De aquı por tanto se llega a la condicion:
ν[2(2π)2|k|2 + s
ν]N =
∂φ
∂z(4.16)
Reemplazando esta expresion en (4.15):
kyAx − kxAy = −2ν(2π)i|k|2N (4.17)
Al sustituir (4.17) en (4.14) se tiene que:
sN =∂φ
∂z+ (2πi)(kxAy − kyAx) =
∂φ
∂z+ (2πi)(2ν(2π)i|k|2N) =
∂φ
∂z− 2ν(2π)2|k|2N
(4.18)
Invirtiendo esta ecuacion, teniendo presente que:
(F L)−1sN =∂N
∂t; (F L)−1∂φ
∂z =
∂φ
∂z; (F L)−1−(2π)2|k|2N = ∆SN
Se obtiene finalmente la importante relacion:
∂N
∂t=∂φ
∂z+ 2ν∆SN
O, expresada en coordenadas curvilıneas, finalmente:
∂N
∂t=∂φ
∂ξ3+ 2ν∆SN (4.19)
La importancia de esta ecuacion, habiendose obtenido a partir de la condicion ci-
nematica (2.13), con la asistencia de las ecuaciones que expresan el balance tangen-
cial de esfuerzos en la superficie libre del fluido, ecuaciones (2.11), radica en el hecho,
mencionado al final de la seccion 1.2.2, de que ella expresa la evolucion temporal de
la interfaz lıquido-gas, una vez conocido el potencial escalar del campo de velocidades
φ. Sin embargo, la presencia del termino ∆SN , el cual por otra parte esta relacionado
74
con la distribucion de la presion en la superficie libre del lıquido a partir de la ecua-
cion (4.3), y que estarıa ausente si el fluido fuese inviscido, conlleva el hecho de que
el conocimiento de N como funcion del tiempo, esto es, la evolucion temporal de la
funcion de onda que se pretende describir, esta ademas supeditado al conocimiento
del campo de presiones en dicha region del espacio.
A su vez, el conocimiento del campo de presiones en cualquier posicion e instante de
tiempo sera posible, una vez mas, toda vez que se conozca el potencial escalar φ, con
la ayuda de la ecuacion de Bernoulli, ecuacion (4.2).
Ahora bien, puesto que φ es solucion a la ecuacion de Laplace, es cuando se hace
patente, una vez mas, la importancia de la maquinaria desarrollada en el capıtulo
anterior, donde una de las cuestiones resueltas allı tuvo que ver con la existencia y
unicidad de soluciones, en ciertos espacios de Sobolev, a ecuaciones tales como la
ecuacion de Laplace.
Justamente una de las cosas que se hara en el siguiente capıtulo sera la de aglutinar
este conjunto de ecuaciones, valiendose de la estructura matematica desarrollada en
el capıtulo 3, en una sola expresion que permita describir la funcion de onda N , con
independencia del conocimiento del campo de velocidades o de la distribucion de la
presion en el fluido. Este hecho resulta notable, en especial si se tiene en cuenta que
el camino habitualmente seguido no permite llegar a una ecuacion que describa el
flujo ondulatorio en una capa de fluido, unicamente en terminos de N , incorporando
ademas los efectos de la viscosidad y de la tension superficial en el modelo. Como
soporte de esta afirmacion se recomienda una vez mas al lector consultar la monografıa
de Johnson especializada en este particular (Johnson, 1997).
Por otra parte, el metodo aquı seguido, empleando elementos del analisis funcional y
de la teorıa de las ecuaciones diferenciales parciales en espacios de Sobolev, no cuenta
tampoco, hasta donde se conoce, con una solucion a este problema, si bien varios pro-
blemas lineales de la hidrodinamica han sido atacados por esta vıa por matematicos
destacados como Kopachevsky, Ladyzheskaya, Sobolev, entre otros. Basta solamente
dar un vistazo a la muy completa monografıa de Kopachevsky (Kopachevsky N. D.,
2001) o al excelente trabajo de Ibrahim (Ibrahim, 2005) que aborda cuestiones rela-
cionadas con esta, para dar cuenta de ello.
75
Capıtulo 5
El metodo de los operadores
lineales en espacios de Hilbert
5.1. Operadores lineales asociados a la energıa cineti-
ca y potencial del fluido
En esta seccion se introducen dos operadores lineales asociados respectivamente a las
energıas cinetica y potencial del fluido. El derrotero que guıa esta idea es obtener,
por medio de dichos operadores, un modelo que describa la evolucion de la superficie
libre del fluido en el regimen ondulatorio.
En atencion a lo antes mencionado, se daran en esta seccion las definiciones perti-
nentes, introduciendo los espacios sobre los cuales estaran definidos tales operadores.
Ası mismo, se discutiran en esta seccion ciertas propiedades de dichos operadores,
poniendo de relieve la ventaja metodologica que supone la presente estrategia.
El camino ya fue preparado. En los capıtulos anteriores, mediante la maquinaria de
los espacios de Sobolev y el teorema de descomposicion de Helmhotz-Weyl, fue posible
establecer que la ecuacion de Navier-Stokes, para el campo de velocidades, se redujo
a dos problemas independientes. Por un lado, la ecuacion Laplace para el potencial
escalar φ y por el otro la ecuacion de calor para el potencial vector A. Las condiciones
de frontera dinamicas y cinematicas condujeron a las importantes ecuaciones (4.3) y
(4.19) que describen la dinamica de la superficie libre del fluido.
Justamente uno de esos resultados cruciales, fue el de establecer la existencia de so-
luciones a la ecuacion de Poisson con condicion de frontera de tipo Neumann. Se
utilizara dicho resultado a continuacion para demostrar el siguiente teorema, supo-
niendo que el fluido objeto de estudio, de volumen Ω, se encuentra rodeado por las
76
paredes de un recipiente, de superficie Σ. A la superficie libre del lıquido se le llamara
S. Con esto pues, la frontera ∂Ω de la region Ω se podra escribir como ∂Ω = S ∪ Σ,
siendo Σ y S subconjuntos cerrados de ∂Ω cuya interseccion tiene medida nula. En di-
cha region, pues, el potencial φ del campo de velocidades, como se dijo antes, obedece
la ecuacion de Laplace, y sobre este, en Σ, se impone la condicion de frontera:
∂φ
∂n′
∣∣∣∣Σ
= 0
Entonces se afirma que:
Teorema 5.1.1. Sea ∆φ = 0 la ecuacion de Laplace. Entonces existe una solucion
unica a este problema, con condicion de frontera∂φ
∂n′
∣∣∣∣Σ
= 0, en el espacio de Sobolev
H1(Ω). Ademas, se tiene la representacion:
φ = Gq (5.1)
En donde G es un operador lineal compacto, y q :=∂φ
∂n′
∣∣∣∣S
.
Demostracion. La existencia de una solucion en H1(Ω) a la ecuacion de Poisson con
condicion de frontera de tipo Neumann fue demostrada en el capıtulo 3, seccion 3.3, en
donde se establecio la existencia del operador lineal acotado G : H−1(Ω) −→ H1(Ω), y
se obtuvo en particular una formula de representacion explıcita del mismo expresada
a traves de la ecuacion (3.6). Si en particular se hace allı f = 0 ∈ L2(Ω), queda
demostrada la primera parte. Basta solamente demostrar la compacidad de G pero
esto es realizado en el segundo apendice.
En la tarea de demostrar la existencia de soluciones a la ecuacion de Poisson, un
punto clave de la discusion, como recordara el lector, fue el hecho de que al formar el
producto interno en L2(Ω) con una funcion del espacio H1(Ω), surgıa una aplicacion
bilineal < ·, · >∂Ω: H−1/2(∂Ω)×H1/2(∂Ω) −→ R, dada en este caso por:
<∂φ
∂n′, v >∂Ω:=
∮∂Ω
∂φ
∂n′v d2r′ =
∮Σ ∪ S
∂φ
∂n′v d2r′ =
∮Σ
∂φ
∂n′v d2r′ +
∮S
∂φ
∂n′v d2r′ =
∮S
∂φ
∂n′v d2r′
Ahora bien, esta aplicacion bilineal es acotada puesto que, como se discutio tambien
en la seccion 3.3 del capıtulo 3, se cumple que:
| < ∂φ
∂n′, v >∂Ω | ≤‖ ∂φ
∂n′‖H−1/2(∂Ω) ‖ v ‖H1/2(∂Ω).
77
Ello implica, de acuerdo con el segundo teorema de representacion de Riesz, que existe
un operador lineal acotado A, el cual envıa elementos de H−1/2(∂Ω) en elementos de
H1/2(∂Ω). Tomando en particular v = φ, de lo anteriormente dicho se desprende
entonces que este operador envıa∂φ
∂n′
∣∣∣∣S
, en φ|S, esto es:
φ|S = A∂φ
∂n′
∣∣∣∣S
(5.2)
Este operador goza de ciertas propiedades que le hacen interesante desde el punto de
vista de la teorıa espectral de los operadores lineales en espacios de Hilbert. Ademas
de ser acotado, el operador A ciertamente posee las propiedades que se enuncian a
continuacion.
Teorema 5.1.2. El operador lineal A es autoadjunto, definido positivo y compacto.
Demostracion. (i) A es autoadjunto. Sean φ, ψ ∈ H1(Ω) armonicas en Ω, esto es
∆φ = ∆ψ = 0 en Ω. Tomense q =∂φ
∂n′
∣∣∣∣S
, q =∂ψ
∂n′
∣∣∣∣S
; usando la segunda identidad de
Green:
0 = (φ,∆ψ)L2(Ω) − (ψ,∆φ)L2(Ω) =< ψ,∂φ
∂n>S − < φ,
∂ψ
∂n>S=< Aq, q >S
− < Aq, q >S
De de aquı por tanto < Aq, q >S = < Aq, q >S=< q, A >S. Ya que la aplicacion
< ·, · >S, por ser acotada puede representarse, gracias al primer teorema de represen-
tacion de Riesz, por medio del producto interno en L2(S), entonces (Aq, q)L2(S) =
(q, A)L2(S), ası pues A es autoadjunto.
(ii) A es definido positivo. Recordando que en el capıtulo 3 se demostro el estimado:
‖ φ ‖2H1(Ω)≤ (CΩ + 1)a(φ, φ) = (CΩ + 1) <∂φ
∂n′, φ >S
Asumiendo desde luego que el valor medio φΩ = 0. Recordando tambien que por
el teorema de las trazas, teorema 3.1.2, el cual arroja el estimado1
c‖ φ ‖2L2(∂Ω)≤
‖ φ ‖2H1(Ω), entonces se deriva de aquı que:
1
c‖ φ ‖2L2(S)≤ (CΩ + 1)(Aq, q)L2(S)
Para algun c > 0, CΩ > 0 y todo φ ∈ H1(Ω). Por tanto, A es definido positivo.
78
(iii) A es compacto. Para ver que esto es ası, tomando la restriccion de φ ∈ H1(Ω) en
S, en la formula de representacion (5.1), esto es, aplicando el operador traza sobre φ;
se tiene que: φ|S = γφ = γGq = (γG)q, en donde γ es el operador traza. Pero γG es
el producto de un operador acotado γ, con un operador compacto G (la compacidad
de este operador se demuestra en el segundo apendice). Por tanto su producto es
compacto. Usando finalmente la ecuacion (5.2), entonces se concluye que A = γG es
compacto.
La importancia de este operador radica en que, ademas de satisfacer las propiedades
antes enunciadas, las cuales lo hacen bien comportado en cierto sentido, permite
transformar los valores de la derivada normal de φ en la frontera, en los valores de φ
allı mismo, lo cual es valioso en esta clase de problemas, pues siempre sera mejor tratar
con una funcion que con sus derivadas, las cuales ademas no tienen porque existir,
al menos no en el sentido usual. Por otra parte, dicho operador esta fısicamente
relacionado (y es lo que interesa primordialmente aquı) con una cantidad sumamente
importante, a saber, la energıa cinetica del fluido, T , la cual conviene recordar, esta
definida por:
T :=1
2
∫
Ω
ρ u · u d3r′ (5.3)
Con el proposito de hacer explıcita dicha relacion existente entre el operador A y la
energıa cinetica del fluido, se demuestra el resultado a continuacion:
Proposicion 5.1.1. La aplicacion ‖ · ‖1: H1(Ω) −→ R definida por:
‖ φ ‖21= ρ∫Ω
|∇φ|2 d3r′
Es una norma en H1(Ω). Mas aun T =ρ
2(Aq, q)L2(S)
Demostracion. (i) Sea α ∈ R un escalar cualquiera, entonces ‖ αφ ‖21= ρ∫Ω
|α∇φ|2 d3r′ =|α|2ρ
∫Ω
|∇φ|2 d3r′ = |α|2 ‖ φ ‖21.
(ii) Dado que, por la desigualdad triangular en Rn (Kreyszig, 1989), para cualesquiera
φ, ψ ∈ H1(Ω), se cumple que |∇(φ + ψ)|2 = |∇φ + ∇ψ|2 ≤ |∇φ|2 + |∇ψ|2 entonces
se concluye que ρ∫Ω
|∇(φ + ψ)|2 d3r′ ≤ ρ∫Ω
|∇φ|2 d3r′ + ρ∫Ω
|∇ψ|2 d3r′. Por tanto,
‖ φ+ ψ ‖21≤ ‖ φ ‖21 + ‖ ψ ‖21.
79
(iii) Si φ = 0 es evidente que ‖ φ ‖1= 0. Por otra parte, si ‖ φ ‖1= 0 entonces∫Ω
|∇ψ|2 d3r′ = 0 implica que |∇ψ|2 = 0, salvo en un conjunto de medida nula, que no
es el caso de Ω. De aquı se sigue que φ = c. Puesto que a esta constante se la puede
identificar con cualquier cosa dada su arbitrariedad, en particular se la identifica con
el valor medio de φ en Ω, φΩ, el cual se ha escogido igual a cero. Por tanto, φ = 0.
Aplicando la primera identidad de Green∫Ω
(φ∆φ + (∇φ)2)d3r′ =∫S
φ∂φ
∂n′d2r′, nueva-
mente con ∆φ = 0 en Ω, se tiene que 2T = ρ ‖ φ ‖21= ρ∫S
φ∂φ
∂n′d2r′ = ρ(Aq, q)L2(S).
Con base en esto, al operador A se le denominara operador energıa cinetica.
Habiendo introducido el operador lineal A, mostrando de paso que este se encuentra
estrechamente relacionado con la energıa cinetica del fluido, surge entonces la idea
de que quizas un vistaso a la energıa potencial del fluido arroje luz sobre la posible
existencia de otro operador asociado con esta cantidad. En atencion a ello, cabe
recordar que la energıa potencial de un fluido, designada por U , sometido a un campo
de fuerzas externo conservativo, tomando en consideracion las fuerzas de tension
superficial, viene expresada por:
U =
∫
S
σd2r′ +
∫
Ω
Π(r′) d3r′ (5.4)
Siendo Π(r′) el potencial del campo de fuerzas externo y σ el coeficiente de tension
superficial entre el lıquido objeto de estudio y el gas que se encuentra sobre este, tal
como se esclarecio en el primer capıtulo.
Ahora bien, el analisis de un sistema similar al que aquı se desea abordar, fue realizado
por Tyupsov (Tyupsov, 1966), en cuyo trabajo procedio a estudiar la estabilidad de
las formas de equilibrio de un lıquido ideal e incompresible, apelando a argumentos
variacionales.
En dicho trabajo, Tyupsov procede a estudiar la variacion de U en la direccion de la
normal exterior a la superficie de contacto entre dos fluidos. Dicha variacion, denotada
por δU como es costumbre en el calculo variacional, es calculada en su artıculo,
obteniendo la expresion:
δU =∫S
(p− p0 − 2σH)Nd2r′ +∮Γ
(σ cos(θ) + σ1
sin(θ)) N dr′
80
δ2U = σ
∫
S
[aN −∆SN ]Nd2r′ + σ
∮
Γ
[χ1 cos(θ)− χ2
sin(θ)N +
∂N
∂ν]N dr′ (5.5)
En donde χ1, χ2 son respectivamente las curvaturas de las secciones normales de las
superficies S y Σ, segun los vectores t y w que seran definidos mas adelante (Tyupsov,
1966). La funcion a(ξ1, ξ2) := − 1
σ
∂p
∂n′
∣∣∣∣S
−κ21−κ22, siendo κ1, κ2 las curvaturas princi-
pales de la superficie S (O'neill, 2006); (ξ1, ξ2) son un par de coordenadas definidas en
un entorno de S. La derivada∂N
∂νcorresponde a la derivada direccional de N tomada
segun un vector unitario tangente a la curva Γ. Por ultimo, ∆S es el operador de
Laplace-Beltrami el cual se menciono en la seccion 4.2 del capıtulo 4.
Las curvaturas principales κ1, κ2 de una superficie en R3, revisten un significado
geometrico importante, por lo cual resulta de interes dilucidar su significado, con
el fin de comprender mejor la ecuacion (5.5). En este orden de ideas, sea r(ξ1, ξ2) un
parche coordenado de la superficie S (O'neill, 2006), esto es, una parametrizacion de
la misma dada en virtud de la aplicacion r : S ⊂ R2 −→ R
3, (ξ1, ξ2) → r(ξ1, ξ2). En
otras palabras, a medida que el par ordenado (ξ1, ξ2) ∈ S recorre S, la funcion rmapea
dicho par en ternas de puntos de R3. El conjunto de estas ternas constituira entonces la
superficie inmersa en el espacio euclideo tridimensional. En terminos de coordenadas,
la anterior definicion adquiere la forma r(ξ1, ξ2) = (x(ξ1, ξ2), y(ξ1, ξ2), z(ξ1, ξ2)), con
|ξ1| ≤ a; |ξ2| ≤ b, y se asumira en lo que sigue que estas funciones son suaves.
Con ayuda de r(ξ1, ξ2), se forman las expresiones:
I := Edξ21 + 2Fdξ1dξ2 +Gdξ22
II := Ldξ21 + 2Mdξ1dξ2 +Ndξ22
Conocidas en geometrıa diferencial como primera y segunda formas fundamentales,
respectivamente (O'neill, 2006). Las cantidades E,F,G, L,M,N , se definen como:
E :=< rξ1 , rξ1 >; F :=< rξ1 , rξ2 >; H :=< rξ2 , rξ2 >
L :=< rξ1ξ1 ,n >; M :=< rξ1ξ2 ,n >; N :=< rξ2ξ2 ,n >
En donde rξ1 :=∂r
∂ξ1, rξ1ξ2 :=
∂2r
∂ξ1∂ξ2, y ası sucesivamente; < rξ1 , rξ1 > representa
en este contexto al producto interno euclideo de los vectores rξ1 y rξ1 . El campo de
vectores normales a la superficie, n, se define como:
82
n :=rξ1 × rξ2|rξ1 × rξ2 |
La primera y segunda formas fundamentales son usadas luego para hallar, en cada
punto P de la superficie parametrizada, y en la direccion de un vector v := rξ1dξ1 +
rξ2dξ2, lo que se conoce como curvatura normal de la superficie, κn, definida como:
κn(P,v) =II
I(P,v)
Ahora bien, ¿que es esta curvatura normal?. Para entenderla, imagine el lector que en
cada punto P de la superficie parametrizada, se hace pasar por ella un plano α que
contenga al vector normal a la superficie n en dicho punto. Al conjunto resultante de
esta interseccion se le llama seccion normal de la superficie, denotado por C, de tal
suerte que C := S∩α. La seccion normal C sera ası una curva cuyos puntos pertencen
tanto al plano α como a la superficie S. Por tratarse de una curva en R3, dicha seccion
normal puede ser descrita tambien por medio de una aplicacion β : [c, d] ⊂ R −→ R3,
de modo que esta quedara parametrizada a su vez, en terminos de un numero real
t ∈ [c, d].
Con relacion a la seccion normal C, puede llegar a demostrarse (O'neill, 2006) que
en cada punto β(t) de la misma, la aceleracion β′′(t), o bien es perpendicular a la
superficie dada o bien es nula allı, es decir, esta aceleracion sera paralela al vector
normal n. A las curvas que satisfacen tal propiedad se les denomina geodesicas, de
modo que la curva β sera una geodesica sobre la superficie en cuestion.
A partir de estas ideas, puede entonces pensarse en la curvatura normal κn antes
definida, como la curvatura de la seccion normal β, en otras palabras, κn viene a ser
la curvatura de la curva geodesica definida en la superficie S y como puede verse con
base en su definicion, se trata de una funcion de la posicion ası como del vector v.
Para tener una mejor idea de los conceptos introducidos en los parrafos anteriores,
en la siguiente imagen se muestra una seccion normal de la superficie de un toro,
indicando ası mismo la posicion de un punto r(ξ01 , ξ02) sobre la misma, ası como los
vectores β′′(t) y v en dicho punto. Para mayor claridad, la seccion normal se ha
resaltado con color negro.
83
Figura 5.2: Seccion normal de una superficie. En la imagen se visualiza la seccion normalde una superficie en R
3, representada por la curva resaltada en color negro. Allı mismose puede observar el vector v segun el cual se mide la curvatura normal κn en el puntor(ξ01 , ξ
02), de la superficie dada.
Bajo estos conceptos, se definen entonces las curvaturas principales de una superficie,
como los valores maximo y mınimo que toma la curvatura normal de una seccion
normal dada, esto es:
κ1 := mınκn(P,v) : v 6= 0; κ2 := maxκn(P,v) : v 6= 0
Las cuales seran por tanto, funciones de la posicion sobre la superficie. Para el toro
por ejemplo, escogiendo la siguiente parametrizacion:
r(ξ1, ξ2) = ((c+ a cos ξ2) cos ξ1, (c+ a cos ξ2) sin ξ1, a sin ξ2)
Siendo a el radio menor y c el radio mayor del toro (c > a), entonces, realizando los
calculos necesarios, se llega a demostrar que las curvaturas principales del toro son
respectivamente κ1 =cos ξ2
c+ a cos ξ2y κ2 =
1
a.
La seccion normal de una superficie, se definio como aquella curva formada por la
interseccion de una superficie con un plano α, de tal suerte que este fuera normal en
cada punto a aquella. Una idea similar se usara ahora para definir las curvaturas χ1
y χ2 que figuran en (5.5).
84
El proposito de Tyupsov en su artıculo, era el de determinar las posibles configuracio-
nes de la superficie de separacion entre dos fluidos, descrita por la funcion N(ξ1, ξ2, t),
que harıan que el sistema alcanzase una disposicion de equilibrio estable. Puesto que
un sistema mecanico alcanza el equilibrio estable cuando la energıa potencial U del
mismo alcanza a su vez un mınimo, esta es entonces la razon por la cual Tyupsov
procede a investigar la segunda variacion de U , bajo la condicion δ2U ≥ 0.
Ahora bien, el sistema estudiado por Tyupsov reune similares condiciones, como ya se
dijo, a aquellas del problema abordado en la presente monografıa. En ambos trabajos
se busca describir la superficie de saparacion entre dos fluidos, en nuestro caso un
lıquido y un gas, en terminos de cierta funcion N(ξ1, ξ2, t), incorporando los efectos
de la tension superficial y suponiendo que el sistema se encuentra en el seno de un
campo de fuerzas conservativo. La diferencia fundamental estriba en el hecho de que
en el presente escrito se busca incluir tambien los efectos de la viscosidad en el modelo.
Sin embargo, tales efectos son de tipo disipativo, ası que para efectos del desarrollo del
modelo, estos deben ser incorporados con independencia de los efectos de la tension
superficial o del potencial del campo de fuerzas externo. De esta manera, los resultados
obtenidos por Tyupsov resultan cruciales al servir de base para el desarrollo del modelo
que aquı se busca construir, como se vera mas adelante.
Observando por otra parte la expresion de δ2U , resulta claro que si α ∈ R es un escalar
cualquiera, entonces, para cualquier funcion N se tiene que δ2U(αN) = α2δ2U(N).
Esta condicion se define diciendo que δ2U(N) es un funcional homogeneo de segundo
grado en N . De hecho, se demuestra en el calculo variacional (Sagan, 2012) que si
N pertenece a un espacio normado X, y U : X −→ K ⊂ Y es una aplicacion de X
en un subconjunto abierto K del espacio normado Y , satisfaciendo dicha propiedad,
entonces para todo N ∈ X, se verifica que δ2U ≥ 0. Tambien se cumple que una
condicion necesaria para que U alcance un mınimo relativo en algun N0 ∈ A ⊂ X,
estando δ2U(N0 + tN) bien definido en t = 0 y en un entorno de t = 0, donde t ∈ R,
es que se cumpla que δU(N) = 0; δ2U(N) ≥ 0 para todo N ∈ X.
La observacion antes hecha va mas alla, pues considerando la conservacion del vo-
lumen de fluido contenido entre la superficie desplazada del lıquido y la misma en
su posicion de equilibrio, en cualquier instante t; expresada a traves de la ecuacion∫S
N d2r′ = 0 (Kopachevsky, 1966), se aprecia que al sustraer (o anadir) una funcion
arbitraria del tiempo, µ, a la expresion aN −∆SN en la ecuacion (5.5), entonces δ2U
no se ve afectada:
86
σ∫S
[aN −∆SN − µ]Nd2r′ + σ∮Γ
[χ1 cos(θ)− χ2
sin(θ)N +
∂N
∂ν]N dr′ =
σ∫S
[aN −∆SN ]Nd2r′ + σ∮Γ
[χ1 cos(θ)− χ2
sin(θ)N +
∂N
∂ν]N dr′ − µ
∫S
N d2r′ =
σ∫S
[aN −∆SN ]Nd2r′ + σ∮Γ
[χ1 cos(θ)− χ2
sin(θ)N +
∂N
∂ν]N dr′ = δ2U
Por otra parte, si la funcion a(ξ1, ξ2, t) esta acotada por abajo, esto es, si para todo
punto (ξ1, ξ2) y en cualquier instante t, se tiene que µ ≤ a(ξ1, ξ2, t) en donde µ es algu-
na constante, entonces es facil ver que∫S
[µ N −∆SN ]N d2r′ ≤∫S
[aN −∆SN ]N d2r′.
De aquı que si la funcion de onda N ademas esta normalizada a la unidad, es decir
si∫S
N2 d2r′ = 1 y se verifica(n) la(s) condicion(es) de frontera en Γ dada(s) por:
χ1 cos(θ)− χ2
sin(θ)N +
∂N
∂ν= 0 si θ 6= 0;
N |Γ = 0 si θ = 0,
(5.6)
se concluye en consecuencia que en tal caso δ2U estarıa acotada por abajo, mas aun
se cumplirıa que δ2U ≥ σµ, y el mınimo valor de δ2U serıa alcanzado para el mınimo
valor de µ, esto es, para ınfµ : µ ≥ 0; δ2U ≥ σµ. Ahora bien, dado que, como
se indico mas arriba, debe cumplirse que δ2U ≥ 0 para que el sistema alcance el
equilibrio estable, entonces, si fuese el caso que aN − ∆SN − µ = µN , esto llevarıa
junto con (5.6) a que δ2U = σµ∫S
N2d2r′ = σµ, cantidad que evidentemente es mayor
o igual que cero. De suerte entonces que el analisis de la estabilidad del sistema, es
equivalente como lo senala Tyupsov (Tyupsov, 1966), a la solucion del problema de
autovalores y autofunciones definido por:
aN −∆SN − µ = µN
Puede anadirse aun mas a la presente discusion y decir que si se integra esta igualdad
sobre S, se obtiene:
∫S
[aN −∆SN ] d2r′ − µ∫S
d2r′ = µ∫S
N d2r′ = 0
De aquı se desprende entonces que:
µ =1
|S|∫S
[aN −∆SN ]d2r′
87
Ası pues, la funcion arbitraria del tiempo µ queda fijada por la condicion anterior, la
cual se deriva a su vez de la conservacion del volumen de fluido comprendido entre la
superficie desplazada y la superficie en su posicion de equilibrio, expresada, como se
indico antes, por medio de∫S
N d2r′ = 0. De suerte pues, que el problema a resolverse
serıa:
aN −∆SN − 1
|S|∫S
[aN −∆SN ]d2r′ = µN
Acompanado de la condicion de frontera (5.6). Semejante problema podrıa ser inter-
pretado, una vez mas, en terminos de un problema de autovalores para cierto operador
lineal B, el cual actuarıa sobre la funcion N . De otro lado, los posibles valores de µ
serıan interpretados como autovalores de dicho operador, de tal manera que la co-
ta inferior maxima del conjunto de tales autovalores corresponderıa al mınimo de la
segunda variacion de la energıa potencial del sistema.
Siguiendo este orden de ideas, apelando ademas a los espacios de Sobolev estudiados
en el capıtulo 3, se introducira entonces, de manera rigurosa, el operador lineal B
definiendo tambien de manera precisa, el espacio de funciones que corresponde a su
dominio:
Definicion 5.1.1. Sea B el operador lineal, cuyo dominio D(B) es el espacio D(B) :=
G0(S) ∩H(S) ∩H2(S); definido por:
Bu := σa(ξ1, ξ2)u−∆Su−1
|S|
∫
S
[a(ξ1, ξ2)u−∆Su] d2r′ (5.7)
En la anterior definicion, el espacio G0(S) es analogo al espacio G0(Ω) introducido en
la definicion 3.3.2 del capıtulo 3. El espacio H2(S), recuerde el lector, es el espacio
de Sobolev de las funciones con derivadas debiles de segundo orden, en S. El espacio
H(S) es la clausura, en la norma de H1(S), del espacio de las funciones suaves en S,
que son acotadas en las proximidades de la curva Γ.
Siguiendo la anterior definicion, se estudiaran ahora ciertas propiedades que satisface
el operador lineal B, tal como se hizo con A. Multiplıquese para ello la ecuacion (5.7)
por algun v ∈ D(B) e integrese sobre S la igualdad resultante. Se tendra entonces
que:
(Bu, v)L2(S) =∫S
σ[auv − v∆u] d2r − 1
|S|∫S
v d2r∫S
(au−∆u) d2r′
88
De igual manera, es cierto que:
(Bv, u)L2(S) =∫S
σ[auv − u∆v] d2r − 1
|S|∫S
u d2r∫S
(av −∆v) d2r′
Puesto que los elementos de D(B) son tales que vS :=1
|S|∫S
v d2r′ = 0, entonces los
segundos terminos en las anteriores igualdades son nulos. Restando aquellas, se llega
a:
(Bu, v)L2(S) − (Bv, u)L2(S) = σ
∫
S
[u∆v − v∆u] d2r (5.8)
Aplicando la identidad de Green∫S
[v∆u− u∆v] d2r′ =∮Γ
[v∂u
∂ν− u
∂v
∂ν] dr′, la cual es
valida para funciones de D(B), entonces:
(Bu, v)L2(S) − (Bv, u)L2(S) = σ
∮
Γ
[v∂u
∂ν− u
∂v
∂ν] dr′ (5.9)
Ahora bien, si resultase ser que a los elementos de D(B) se les impone la condicion
de frontera (5.6) entonces, el miembro derecho de la igualdad (5.9) serıa nulo, lle-
gando a la conclusion de que (Bu, v)L2(S) − (Bv, u)L2(S) = 0, o mejor (Bu, v)L2(S) =
(Bv, u)L2(S) = (u, Bv)L2(S). Dicho de otra forma:
Proposicion 5.1.2. Sean u, v ∈ D(B), verificando la condicion de frontera (5.6),
entonces, el operador lineal B es autoadjunto.
Si en la expresion para δ2U ocurre que N ∈ D(B) satisface la condicion de frontera
(5.6), resulta entonces claro que:
(BN,N)L2(S) = σ
∫
S
[aN −∆SN ]Nd2r′ = δ2U (5.10)
Ası pues, quedarıa plenamente justificado el planteamiento de asociar la energıa po-
tencial del fluido, o mejor su energıa potencial respecto a la posicion de equilibrio,
toda vez que δ2U es calculado de esta manera; con el operador B. Mas aun, dado
que se cumple que δ2U ≥ 0, de la igualdad (5.10) entonces (BN,N)L2(S) ≥ 0 y esto
significarıa que el operador lineal B es definido positivo.
Mediante el operador B, es posible introducir una norma equivalente a la del espacio
H2(S), para ello se utiliza el siguiente hecho:
89
Proposicion 5.1.3. (u, v)B := (Bu, v)L2(S) define un producto interno en D(B).
Demostracion. (i) Puesto que B es definido positivo se tiene que (u, u)B := (Bu, u)L2(S) ≥0, por tanto (u, u)B ≥ 0.
(ii) Si u = 0, evidentemente (u, u)B = 0. Por otro lado, si (u, u)B = 0, esto es
(Bu, u)L2(S) =∫S
uσ[au−∆u] d2r′ = 0, de aquı se observa que necesariamente uσ[au−∆u] = 0 puesto que S no es un conjunto de medida nula. Se supone que σ 6= 0.
Considerese en primer lugar el caso en que au−∆u = 0, por tanto Bu = 0 para todo
u. Como se demuestra en el trabajo de Kopachevsky (Kopachevsky, 1966)
c ‖ u ‖2H1(S)≤ (Bu, u)L2(S)
Para algun c > 0. De aquı por tanto, c ‖ u ‖2H1(S)≤ 0, pero esto implica que necesaria-
mente u = 0 en todo S. Suponiendo ahora que au−∆u 6= 0, ello implicarıa entonces
que u = 0 en todo S. En cualquier caso, se tiene que u = 0 en todo punto de S.
Esta condicion serıa interpretada, desde el punto de vista fısico, como que la superficie
del lıquido permanecerıa en todo instante en su posicion de equilibrio; lo cual no es
razonable especialmente si la configuracion del sistema es vertical, como serıa el caso
de una capa de fluido descendiendo sobre una pared vertical, o aun si la pared tuviese
cierta inclinacion respecto a la horizontal.
(iii) Sea β ∈ R un escalar cualquiera, entonces (βu, v)B = (B(βu), v)L2(S) =∫S
vσ[a(βu)−∆(βu)]d2r′ =
∫S
(βv)σ[au−∆u]d2r′ = β∫S
vσ[au−∆u]d2r′ = β(u, v)B.
(iv) Puesto que B es auto-adjunto, entonces (u, v)B = (Bu, v)L2(S) = (u, Bv)L2(S) =
(Bv, u)L2(S). De esta manera (u, v)B = (v, u)B.
(iv) Por ultimo, para todo u, v, w ∈ D(B) se cumple que (u + w, v)B = (B(u +
w), v)L2(S) =∫S
vσ[a(u+w)−∆(u+w)]d2r′ =∫S
vσ[au−∆u]d2r′+∫S
vσ[aw−∆w]d2r′ =
(u, v)B + (w, v)B.
Definicion 5.1.2. El complemento del espacio D(B) en la norma ‖ · ‖B se denomina
espacio de energıa, y se denota por HB.
Se concluye este apartado con el importante resultado:
Teorema 5.1.3. El operador inverso B−1 : HB −→ D(B) existe y es compacto.
90
Demostracion. Puesto que B es un operador lineal acotado, y como todo operador
lineal acotado en un espacio de Hilbert X (en general en un espacio normado) posee
un operador inverso B−1, tambien acotado, siempre que exista una constante b > 0
tal que ‖ Bx ‖≥ b ‖ x ‖ para todo x ∈ X; y, como esta condicion es satisfecha por el
operador B, entonces B−1 existe y es acotado. La compacidad de B−1 es demostrada
en (Mikhlin, 1952).
5.2. Ecuacion de evolucion
Volcando nuevamente la atencion sobre la ecuacion (4.2), en particular sobre la funcion
f(t) que allı aparece, es posible afirmar que ademas de ser una funcion arbitraria del
tiempo, esta puede interpretarse fısicamente como una modificacion o desviacion en
el valor de la presion del fluido respecto a su valor en estado de equilibrio. Por otro
lado, puesto que el operador B esta asociado con la segunda variacion de la energıa
potencial del fluido, y esta a su vez representa un cambio, en la direccion de la
normal a la superficie S, tanto de la distribucion de la presion en la interfaz lıquido
gas, como de la tension en la interfaz solido-lıquido; como se infiere al observar la
ecuacion para δU , es razonable entonces escoger la funcion f(t) de tal suerte que
BN := σ[a(ξ, η)N −∆N ]− f(t)], es decir:
f(t) :=1
|S|∫S
[a(ξ1, ξ2)N −∆SN ] d2r′
Maxime si se tiene en cuenta que, a proposito de la discusion que precede a la definicion
5.1.1, en donde se establecio que cualquier funcion arbitraria del tiempo queda fijada
por una expresion como la anterior, y que este hecho se desprende de la conservacion
del volumen de fluido contenido entre la superficie desplazada y su nivel de referencia;
entonces cobra pleno sentido tal escogencia.
Aprovechando las anteriores circunstancias, sera posible entonces escribir la ecuacion
(4.3), con ayuda del operador B, en la forma:
p′ − 1
|S|
∫
S
[a(ξ1, ξ2)N −∆SN ]d2r′ = BN (5.11)
Este es entonces el sentido de haber introducido el operador B, el de poder transformar
una ecuacion que involucra el campo de presiones, en una que comprometa a la funcion
N . El operador A servira ası mismo a un proposito similar. Para ello, empleando la
91
ecuacion (4.13), aplıquese a ambos lados de esta igualdad el operador A, se tendra
por tanto:
A(∂N
∂t− 2ν∆SN) = A
∂φ
∂ξ3= φ|S (5.12)
En donde la ultima igualdad corresponde a lo enunciado en la ecuacion (5.2). Derivan-
do esta expresion respecto al tiempo, teniendo presente que esta operacion conmuta
con la accion del operador A y que este no depende del tiempo, se obtiene:
∂
∂tA(∂N
∂t− 2ν∆SN) = A(
∂2N
∂t2− 2ν
∂
∂t∆SN) = ρ
∂
∂t(φ|S) =
∂φ
∂t
∣∣∣∣S
(5.13)
La ecuacion (4.2) evaluada en S, es por su parte:
ρ∂φ
∂t
∣∣∣∣S
+ p|S − ρΠ = f(t)
Substituyendo en esta igualdad la ecuacion (5.11) y, haciendo uso de la expresion
para∂φ
∂t
∣∣∣∣S
contenida en la ecuacion (5.13), entonces:
ρA(∂2N
∂t2− 2ν
∂
∂t∆SN) +
1
|S|∫S
[a(ξ1, ξ2)N −∆SN ] d2r′ + BN = f(t)
En donde ası mismo se ha tomado en cuenta que p′ = p|S − ρΠ. De aquı, por tanto:
ρA(∂2N
∂t2− 2ν
∂
∂t∆SN) + BN = 0 (5.14)
Como se puede ver, la ecuacion (5.14) es una ecuacion de evolucion para N , a la
que de otra forma no hubiese sido posible llegar sin la ayuda de los operadores A
y B introducidos en la seccion anterior, ya que ellos han permitido desacoplar las
ecuaciones (4.2), (4.3) y (4.13) para obtener esta unica expresion. Sin embargo, es de
interes separar las derivadas cruzadas respecto a la posicion y al tiempo que figuran
en el segundo termino del miembro izquierdo de esta iguadad. Para ello, se propone
ahora una solucion a la ecuacion anterior, de la forma:
N(ξ1, ξ2, t) = eωtψ(λξ1, λξ2, λt)
En donde λ << 1 es un parametro adimensional que puede pensarse como un cierto
factor de escala que determinara el orden de magnitud de los terminos que figuran a
continuacion.
92
Lo anterior sugiere la idea de que el parametro λ juega un papel analogo al de ε
en la seccion 2.0.2. De hecho, un uso adecuado del analisis dimensional permitirıa
relacionar este parametro con la amplitud de las ondas que se buscan describir, con
su longitud de onda o posiblemente con el espesor medio de la capa de fluido. En
todo caso, habrıa libertad para fijar esta variable y, por lo mismo, una variedad de
circunstancias en las cuales el modelo podrıa, en principio, ser aplicado.
Por ejemplo, si se define a λ como λ := l/λ, en donde l es alguna longitud caracterıstica
del sistema y λ representa la longitud de onda, se tendrıa un modelo, con λ << 1, que
describirıa el regimen de ‘ondas largas’ en un recipiente. El parametro λ establecerıa
ası, una escala de longitud en la cual se verificarıan ciertos comportamientos del
movimiento ondulatorio del sistema estudiado; mas aun, indicarıa las condiciones
experimentales en las cuales podrıa buscarse sustento al modelo teorico mismo.
Substituyendo en (5.14) la forma de la solucion propuesta, resulta entonces:
ρA[eωt(λ2∂2ψ
∂(λt)2+ 2ωλ
∂ψ
∂(λt)+ ω2ψ− 2νeωt(ωλ2∆Sψ + λ3
∂
∂(λt)∆Sψ)] + B(eωtψ) = 0
Si se retienen unicamente terminos a O(λ2) en esta igualdad y se dividen todas las
expresiones que allı figuran entre eωt, se obtiene:
ρA(ω2ψ + 2λω∂ψ
∂τ+ λ2
∂2ψ
∂τ 2− 2νωλ2∆sψ) + Bψ = 0
Siendo τ = λt; s = (s1, s2) = (λξ1, λξ2)
En este punto, conviene introducir un conjunto de parametros los cuales haran mas
evidente el caracter ondulatario de la anterior ecuacion. Ası pues, sean los parametros
α y β dados por α := ρc2(λ/ν) y β := ρc2λ2, en donde c2 := 2νω. Por lo que respecta a
las dimensiones de c2, se advierte que este parametro posee dimensiones de cuadrado
de velocidad, ası que especulando un poco, este podrıa ser identificado con el cuadrado
de la velocidad de propagacion de las ondas en la superficie del lıquido en cuestion.
Si esto fuese ası, conociendo la frecuencia de oscilacion ω y la viscosidad del fluido
ν, podrıa aventurarse a tratar de determinar el valor teorico de dicha velocidad de
propagacion. Por otra parte, si como se establecio en la seccion 2.0.2, el modelo tiene
validez para Re << 1, lo cual puede darse, entre otras cosas, para pequenos valores
de la velocidad del fluido, de acuerdo con la definicion del numero de Reynolds,
entonces se esperarıa que para una frecuencia dada de oscilacion, dicha velocidad de
93
propagacion sea pequena; lo cual tiene sentido en relacion con algunos de los supuestos
que permitieron linealizar las ecuaciones de movimiento en el capıtulo 2, entre ellos,
justamente el de asumir pequenas velocidades de movimiento del medio. Por ejemplo,
para ondas en una capa de agua, con una frecuencia de 5 Hz, se tendrıa, usando
ν ∼ 10−6 m2/s, una velocidad de propagacion de c ∼ 3,2 × 10−3 m/s, lo cual es
razonable como se dijo mas arriba.
Junto con los parametros antes introducidos, se define ası mismo el operador energıa
total, dado por Eψ := (ρω2A + B)ψ. De manera pues que la ecuacion (5.14) queda
reducida a la ecuacion de operadores:
A[α∂ψ
∂τ+ β(
1
c2∂2ψ
∂τ 2−∆sψ)] + Eψ = 0 (5.15)
Ecuacion que describe el regimen ondulatorio en una capa de fluido incompresible y
viscoso, bajo el efecto de la tension superficial y de un campo de fuerzas conservativo.
Al comparar esta igualdad con la tıpica ecuacion de onda, como la de una membrana,
por ejemplo:
1
c2∂2η
∂τ 2−∆η = 0,
resultan evidentes la similitud, como tambien las discrepancias, entre ambas. Obvian-
do la aparicion de los operadores A y E en (5.15), una de estas discrepancias entre
ambas ecuaciones, es la presencia del termino α∂ψ
∂τ, el cual podrıa decirse que respon-
de a los efectos viscosos, dado que el parametro que lo acompana es α := ρc2(λ/ν).
Ası pues, este termino darıa cuenta de los efectos disipativos debidos a la viscosidad
del fluido y que comprometerıan un posible amortiguamiento de las ondas en la su-
perficie libre de aquel. La otra diferencia, como es evidente, estriba en la aparicion de
los operadores lineales A y E en (5.15) como ya se indico.
Dadas las propiedades de A y B que fueron demostradas en la seccion 5.1, por ejemplo
el acotamiento de ambos, el caracter autoadjunto de los mismos y en particular la
compacidad de A, se espera, de acuerdo con el teorema de descomposicion espectral
para esta clase de operadores, (Kreyszig, 1989) que estos posean un espectro bien
definido y que ademas las soluciones converjan por ejemplo al aplicar algun metodo
aproximado de solucion tal como el de Rayleigh-Ritz.
94
Otra de las posibles ventajas de emplear estos operadores, es que en caso de que la
viscosidad del fluido sea extremadamente baja, al punto de que sus efectos puedan
ser ignorados sin incurrir en errores considerables, se podrıa analizar la estabilidad
del sistema, como se discutio antes de la definicion 5.1.1, al resolver la ecuacion de
autovalores dada por:
Bψ = µψ
Sujeta a la condicion de frontera (5.6). Adicional a lo anterior, dado que el dominio
de estos operadores lo constituyen espacios de funciones que poseen derivadas en
un sentido no convencional, el conjunto de soluciones admisibles a este problema
sera mucho mas amplio que si se consideraran unicamente funciones continuamente
diferencables a un orden determinado. Ello posibilite quizas la descripcion de una
nueva fenomenologıa que el empleo de las funciones usuales no permitirıa, o por lo
menos permita describir situaciones complejas con un buen grado de aproximacion,
como serıa el caso de la descripcion de ondas en un recipiente con una geometrıa
bastante irregular.
5.3. El modelo de Kopachevsky
Para finalizar, se mostrara en esta seccion un hecho bastante notable, a saber, que
el modelo aquı obtenido generaliza de cierta forma y contiene a su vez, al modelo de
Kopachevsky, el cual valga la pena decir, sirvio de brujula en este proceso.
En este orden de ideas, se describira muy brevemente dicho modelo, estableciendo
unicamente las ideas en las que se basa, para luego evidenciar, comparandolo con el
que aquı se ha obtenido, el hecho de que el nuestro generaliza a aquel.
La idea de Kopachevsky en su artıculo de 1966, (Kopachevsky, 1966), publicado en
el Journal of fluid dynamics, siguiendo un camino similar al expuesto en las secciones
4.1, 4.2 y 5.2 precedentes; fue la de estudiar las oscilaciones normales de un fluido ideal
e incompresible, contenido en un recipiente de superficie Σ, considerando igualmente
el efecto de la tension superficial y el de un campo de fuerzas conservativo.
Siguiendo estas ideas, procedio a establecer las condiciones dinamicas y la condicion
cinematica que prevalecen en la interfaz lıquido-gas, obteniendo las ecuaciones (4.2),
(4.3) y (4.13). Luego, continua formulando la condicion de conservacion del volumen
de fluido durante las oscilaciones, expresada en virtud de la ecuacion∫S
N d2r′ = 0,
95
a partir de lo cual define el espacio de Hilbert, designado por H, de las funciones
ortogonales en L2(S) a 1, esto es, H := u ∈ L2(S) : (u, 1)L2(S) = (1, u)L2(S) =∫S
u d2r′ = 0.
Usando la teorıa de los espacios de Sobolev, establece la formula de representacion
(5.1) y con ella introduce el operador A, con dominio el espacio H; estudiando luego
algunas de sus propiedades. A partir del trabajo deTyupsov, introduce ası mismo el
operador B, estudiando luego algunas de sus propiedades, de forma parecida a como
se hizo aquı. Con la ayuda de las ecuaciones (4.2), (4.3) y (4.13), y aprovechando
estos operadores, arriba en esta empresa a la ecuacion:
A∂2N
∂t2+ BN = 0 (5.16)
Ecuacion que resulta similar a la de un oscilador armonico simple. Ahora bien, si se
compara con la ecuacion (5.14), salta a la vista el hecho de que en el lımite en el que
el fluido se considera inviscido, esto es cuando ν → 0, en la ecuacion mencionada, se
obtiene (5.16). Ası pues, en este sentido es que se afirma que el modelo de Kopachevsky
esta contenido en el nuestro.
Mas aun, Kopachevsy propone una solucion a (5.16), de la forma N(ξ1, ξ2, t) =
exp(iωt)u(ξ1, ξ2), por lo que esta ecuacion se transforma en:
(−ω2Au+ Bu) exp(iωt) = 0
O de otra forma:
Au = Bω−2u
Como se demostro en el teorema 5.1.3, el inverso del operador B, esto es B−1, existe
y es acotado, por lo que pre-multiplicando a ambos lados de la anterior igualdad por
este operador, se tiene que:
B−1Au = B−1Bω−2u = ω−2u
Dado que, como demuestra Mikhlin (Mikhlin, 1952), el operador B−1 es ademas
compacto y, puesto que el producto de un operador compacto con uno acotado en
un espacio de Hilbert; tales como B−1 y A respectivamente, es a su vez un operador
compacto y acotado, se sigue entonces que el operador C := B−1A goza tambien de
esta propiedad.
96
Ademas de lo anterior, el operador C es autoadjunto. En efecto, por definicion se
tiene que:
(Cu, v)B = (BB−1Au, v)L2(S) = (Au, v)L2(S) = (u, Av)L2(S) = (u, BB−1Av)L2(S) =
(u, BCv)L2(S) = (u, Cv)B
En consecuencia, C es auto-adjunto.
Ası pues, Kopachevsky reduce el problema de las oscilaciones normales de un fluido
ideal e incompresible, a un problema de autovalores y autofunciones sobre un espacio
de Hilbert; de la forma:
Cu = ω−2u (5.17)
97
Capıtulo 6
Conclusiones
Del trabajo realizado, es posible concluir varios aspectos importantes, entre ellos:
Los calculos conducentes a determinar las condiciones dinamicas que prevale-
cen en la superficie de separacion entre dos fluidos, fueron realizados con todo
rigor, partiendo de los fundamentos teoricos de la mecanica del medio continuo;
culminando con las ecuaciones (1.12), (1.13) y (1.14).
Se considera por un lado que este hecho representa una contribucion a la solucion
de problemas de frontera libre en mecanica de fluidos (Friedman, 1982), toda vez
que la especificacion de semejantes condiciones es uno de los ejes centrales de los
modelos teoricos relacionados con fenomenos ondulatorios en fluidos (Johnson,
1997).
Por otro lado, tal especificidad en el desarrollo de dichas ecuaciones, permitio
resolver la controversia mencionada en la introduccion, acerca de las condiciones
que describen de manera correcta el balance normal y tangencial de esfuerzos en
la interfaz de un lıquido que desciende sobre una pared por efecto de la gravedad.
En efecto, el marco general que condujo a las ecuaciones (1.12), (1.13) y (1.14),
en particular muestra que las ecuaciones (A.4) y (A.5) del apendice A, son las
correctas, y no las que propone Shkadov en su artıculo (Shkadov, 1967), dando
con ello la razon a Penev et al. (Penev et al., 1972), resolviendo la controversia
en su favor.
Por esta misma razon, puede decirse que otro de los aportes hechos en este
trabajo, es el de ofrecer una correccion al modelo de ondas no lineales propuesto
por Shkadov y Kapitza, lo cual es realizado en el apendice A, donde se comparan
las ecuaciones aquı obtenidas con las de dichos autores, particularmente en lo
que respecta a las ecuaciones (A.4) y (A.5) antes mencionadas, ası como a la
ecuacion (A.18).
98
Dada la necesidad de linealizar las ecuaciones de Navier-Stokes para posibilitar
el uso del aparato matematico del analisis funcional lineal al problema aquı
abordado, se destaca como otro merito alcanzado en la presente monografıa,
el hecho de haber construido una escala apropiada al problema, ganando con
ello una imagen mas intuitiva del fenomeno fısico de las ondas en un fluido
viscoso, sometido a la accion de la tension superficial y de un campo de fuerzas
conservativo.
En particular, se obtuvo el regimen bajo el cual es valida dicha linealizacion,
concluyendo que este viene determinado por un par de parametros adimensio-
nales, el numero de Reynolds Re, y el numero de Weber We, definidos en la
seccion 2.0.1. Allı se determino que el orden de magnitud de estos parametros
debe ser Re = O(ε) y We = O(ε−4), respectivamente, siendo a su vez ε << 1
un parametro de orden que puede definirse como el cociente entre el espesor
medio de la capa de fluido y alguna longitud relevante al problema, por ejemplo
la longitud de las ondas o su amplitud.
Esto ultimo se traduce, como se indica en la seccion 2.0.2 y en contraste con
el modelo del apendice A, en que Re << 1, lo cual significa que los efectos
viscosos son dominantes frente a los terminos inerciales (no lineales) en las
ecuaciones de Navier-Stokes, y ası el modelo podrıa describir una variedad de
circunstancias, entre ellas, una dinamica ondulatoria en la que el medio posee
una baja velocidad, se encuentra sometido a una alta tension superficial, dado
que de la anterior condicion se desprende tambien que We >> Re >> 1; ası
como un movimiento de la superficie libre del lıquido con pequenas oscilaciones
de dicha superficie, respecto al nivel de referencia.
Puesto que uno de los objetivos de la monografıa, era el de hacer uso y apropia-
cion de algunos elementos de la teorıa de los espacios de Sobolev, y en general del
analisis funcional, como estrategia metodologica que condujera a obtener una
formulacion alternativa del problema de la propagacion de ondas en la superficie
de un fluido viscoso; puede decirse que este fue logrado con exito.
Concretamente, esta afirmacion encuentra sustento en las demostraciones ori-
ginales que se ofrecieron a varios teoremas cruciales a lo largo del escrito, entre
ellos: el teorema de las trazas 3.1.2, el teorema de representacion de Riesz 3.2.1,
el teorema de descomposicion de Helmholtz-Weyl 3.3.3 y la demostracion de la
compacidad del operador lineal G que da la solucion, en el espacio de Sobolev
99
H1(Ω), a la ecuacion de Laplace con condicion de frontera de tipo Neumann y
que se expone en el apendice B.
Esto entrana un merito adicional, logrado durante el desarrollo del presente
trabajo, toda vez que los elementos necesarios para realizar dichas demostracio-
nes, y en general los elementos introducidos a lo largo del capıtulo 3, exceden
en grado sumo a los conocimientos adquiridos en el proceso de formacion del
licenciado en fısica de la Universidad Distrital F. J. C.
Se dio cumplimiento al objetivo principal trazado para esta monografıa, el de
obtener una formulacion teorica alternativa del problema del movimiento ondu-
latorio en una capa de fluido viscoso, sujeto a los efectos de la tension superficial;
hallandose el sistema en el seno de un campo de fuerzas conservativo.
Cabe enfatizar, en relacion con los otros objetivos alcanzados, que para el mode-
lo aquı obtenido fueron establecidas las circunstancias y condiciones de validez
del mismo, mostrando claramente en que casos podrıa aplicarse, esto es, para
pequenos desplazamientos de la superficie libre del lıquido, cuando el medio
posee una baja velocidad, y esta sometido a una alta tension superficial.
De igual manera, el problema fue formulado mostrando que el mismo se reduce
a una ecuacion de operadores lineales sobre espacios de Hilbert, concretamente
la ecuacion (5.15), la cual exhibe la forma de una ecuacion de ondas con un
termino de amortiguamiento que responde, como se indico al final de la seccion
5.2., a los efectos disipativos asociados con la viscosidad del fluido.
Para los operadores lineales A y E de la ecuacion (5.15), se dio la construccion
detallada de los espacios de Hilbert sobre los cuales estos actuan, mostrando su
relacion con el aparato matematico desarrollado en el capıtulo 3.
Mas importante aun, se establecio el contenido fısico presente en la definicion
de dichos operadores, mostrando en particular a traves de la proposicion 5.1.1
y de la discusion que precede a la definicion 5.1.1, que el operador lineal A
esta asociado con la energıa cinetica del fluido y que a su vez, el operador
lineal B guarda una estrecha relacion con la energıa potencial del lıquido; lo
cual refleja reminiscencias de ciertos operadores lineales usados en mecanica
cuantica (De La Pena, 2014).
En condiciones de muy baja viscosidad, como se discutio al final de la seccion 5.2,
es importante resaltar que la estabilidad del sistema estudiado en este trabajo,
podrıa investigarse a partir de un problema de autovalores para el operador B,
100
expresado en virtud de la ecuacion Bψ = µψ, en donde los posibles valores
de µ representan a los autovalores de B. La cota inferior maxima del conjunto
de tales autovalores, corresponderıa al mınimo valor de la energıa potencial del
fluido respecto a su configuracion de equilibrio. Esto significa, de acuerdo al
principio de estabilidad de los sistemas mecanicos, que el fluido estarıa en una
situacion de equilibrio estable.
Dentro de las perspectivas enmarcadas por los posteriores desarrollos y exten-
siones que pudieran hacerse al presente trabajo, se destaca la eventualidad de
describir otras posibles fenomenologıas relacionadas con procesos anomalos pre-
sentes en la propagacion de ondas en medios complejos.
La razon de ello es que, como se ha descubierto hace algunos anos, la propagacion
de ondas acusticas en medios complejos, comunmente se encuentra acompanada
de fenomenos de atenuacion que responden a una ley potencial de frecuencias
(Nasholm y Holm, 2013). Una alternativa para modelar estos fenomenos ha
sido la de emplear operadores lineales pseudodiferenciales que comprometen
otro tipo de derivadas conocidas como derivadas fraccionarias, ver por ejemplo
las referencias (Holm y Nasholm, 2011) y (Nasholm y Holm, 2011).
Ası pues, las derivadas debiles y los espacios de Sobolev introducidos en el
capıtulo 3, y que fueron utilizados para definir el dominio de los operadores li-
neales A y B, quizas permitan modelar fenomenos similares a estos. Inclusive, y
para no ir tan lejos, podrıa emplearse el modelo aquı obtenido para buscar solu-
ciones, con un grado menor de regularidad, al problema definido por la ecuacion
(5.15). Otra posibilidad serıa la de considerar el mismo problema pero definido
sobre un dominio irregular del espacio Ω, cuya frontera no sea regular, es decir,
una frontera que ya no sea posible ser descrita localmente por la grafica de una
funcion continuamente diferenciable, sino por una funcion Lipschitz continua,
en los terminos de la definicion 3.1.8 del capıtulo 3 (Ding, 1996).
Finalmente, se destaca como un hecho notable la observacion hecha en la sec-
cion 5.3, de que el modelo construido en esta monografıa contiene como caso
particular al modelo de Kopachevsky (Kopachevsky, 1966), el cual describe las
pequenas oscilaciones de un lıquido ideal e incompresible, considerando los efec-
tos de la tension superficial; cuando la viscocidad ν se hace nula en la ecuacion
(5.14).
101
Apendices
102
Apendice A
El modelo de Shkadov-Kapitza
A.1. Formulacion del problema
El modelo de Shkadov-Kapitza busca describir el flujo ondulatorio de una pelıcula
delgada de un lıquido que desciende sobre una pared solida por efecto de la gravedad.
Para fijar ideas se escogera un sistema de referencia cartesiano en el que el eje x esta
dirigido a lo largo de la pared y el eje y esta dirigido hacia el lıquido, tal y como se
ilustra en la figura A.1, a continuacion.
Figura A.1: Una capa de fluido que desciende sobre una pared por accion de la gravedad.
Se asume igualmente cierta simetrıa a lo largo de la direccion perpendicular al plano
de la figura, de modo que se puede considerar el problema como bidimensional. El
fluido en cuestion se considera incompresible y viscoso, estando en contacto con aire
o con otro fluido newtoniano, de viscosidad despreciable y presion constante p0. El
103
campo de fuerzas externo en este caso corresponde al gravitacional y se asumira que
apunta en la direccion del eje x del sistema de referencia adoptado.
Ası las cosas, las ecuaciones de Navier-Stokes (con u = (u, v, 0)) que describen el
movimiento del fluido como se dijo en la introduccion del capıtulo 1, adoptaran la
siguiente forma:
∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ v
∂u
∂y= −1
ρ
∂p
∂x+ ν (
∂2
∂x2+
∂2
∂y2)u+ g (A.1)
∂v
∂t+ u
∂v
∂x+ v
∂v
∂y= −1
ρ
∂p
∂y+ ν (
∂2
∂x2+
∂2
∂y2)v (A.2)
Y la ecuacion de continuidad, para un fluido incompresible sera:
∂u
∂x+∂v
∂y= 0 (A.3)
Siendo respectivamente, u, v las componentes del campo de velocidades, en la direc-
cion del flujo y perpendicular a este; g representa la aceleracion gravitacional, ρ la
densidad del lıquido, ν su viscosidad cinematica y p la distribucion de la presion en
el mismo. Se asume igualmente que la pared es isotermica y que no se presentan
gradientes de temperatura en la interfaz lıquido-gas. Tampoco se considerara el flujo
de calor ocasionado por el rozamiento interno del fluido. La condicion termodinamica
sera, pues, T = constante, con T la temperatura del fluido.
A.2. Condiciones de frontera dinamicas y cinemati-
cas
Siguiendo las mismas ideas que en el capıtulo 1, se continua formulando las condiciones
de frontera cinematicas y dinamicas del modelo de Shkadov-Kapitza. En la situacion
planteada, las componentes del tensor de esfuerzos del lıquido son:
Txx = −p+ 2µ∂u
∂x; Txy = Tyx = µ(
∂u
∂y+∂v
∂x); Tyy = −p+ 2µ
∂v
∂y
Y las componentes del tensor de esfuerzos para el gas seran:
Txx = −p0; Txy = Tyx = 0; Tyy = −p0
Ası mismo, se definen los vectores unitarios, normal a la interfaz lıquido-gas N1, y
tangencial a dicha superficie t , como:
104
N1 := (1 + b2)−1/2(−b, 1); t := (1 + b2)−1/2(1, b)
En donde b =∂h(x, t)
∂x, siendo y = h(x, t) el espesor de la capa de fluido en cada
punto de la superficie, en el instante t.
Utilizando estas definiciones se tiene, de manera similar a como se hizo en la seccion
1.2.1, que:
N1 · [T− T] ·N1 = −p+p0+µ−(1 + b2)−1/2b[−2(1 + b2)−1/2b∂u
∂x+(1 + b2)−1/2(
∂u
∂y+
∂v
∂x)] + (1 + b2)−1/2[−(1 + b2)−1/2b(
∂u
∂y+∂v
∂x) + 2(1 + b2)−1/2∂v
∂y] =
σ
R
En donde:
1
R:= ∇ ·N1 =
1
(1 + b2)3/2∂b
∂x
Corresponde a la curvatura media de la superficie.
Simplificando un poco el lado izquierdo de la ultima igualdad se llega a:
−p+ p0 +µ
1 + b22b2∂u
∂x− b(
∂u
∂y+∂v
∂x)− b(
∂u
∂y+∂v
∂x) + 2
∂v
∂y =
σ
R
Por la condicion de continuidad, es valido que∂u
∂x= −∂v
∂y, de manera que lo anterior
se convierte, luego de mas simplificaciones algebraicas en:
−p+ p0 +2µ
1 + b2(1− b2)
∂v
∂y− b(
∂u
∂y+∂v
∂x) =
σ
R
Reorganizando esta ultima igualdad se obtiene entonces que:
p+σ
R+
2µb
1 + b2(∂u
∂y+∂v
∂x)− 2µ(1− b2)
1 + b2∂v
∂y= p0 (A.4)
Por otro lado, el balance tangencial de esfuerzos adopta la forma:
N1 · [T− T] · t = µ(1 + b2)−1/2[−2(1 + b2)−1/2b∂u
∂x+ (1 + b2)−1/2(
∂u
∂y+∂v
∂x)] +
(1 + b2)−1/2b[−(1 + b2)−1/2b(∂u
∂y+∂v
∂x) + 2(1 + b2)−1/2∂v
∂y] = 0
En donde el lado derecho se ha igualado a cero puesto que se asume que la tension
superficial es constante. Simplificando terminos:
105
µ
1 + b2−2b
∂u
∂x+ (
∂u
∂y+∂v
∂x)− b2(
∂u
∂y+∂v
∂x) + 2b
∂v
∂y = 0
O finalmente al reorganizar un poco mas:
∂u
∂y+∂v
∂x+
2b
1− b2(∂v
∂y− ∂u
∂x) = 0 (A.5)
Es de resaltar que las condiciones (A.4) y (A.5) contrastan con las planteadas en el
trabajo de Shkadov, pues en efecto las correspondientes condiciones en su artıculo
son:
p+σ
R− µb(
∂u
∂y+∂v
∂x)− 2µ
∂v
∂y= p0; y
∂u
∂y+∂v
∂x+
2b
1− b2(∂u
∂x− ∂v
∂y) = 0
Tal discrepancia ha sido senalada por Krylov et. al (Penev et al., 1972) quienes de
hecho proponen las mismas condiciones aquı obtenidas.
El origen de semejantes diferencias puede estar relacionado con la desprolijidad con
la que Shkadov introduce estas expresiones en su artıculo, toda vez que en el mismo
no hay indicios de la manera en que dicho autor llega a tales resultados.
Por otra parte, en este trabajo se ha procurado obtener con todo detalle las ecuaciones
(A.4) y (A.5), que al decir de Pevev et al. son las correctas, como se menciono mas
arriba; partiendo de los fundamentos teoricos de la mecanica del medio continuo.
Ademas de ello, el resultado ha sido generalizado en el capıtulo 1, hecho que se
ve reflejado en la forma de las ecuaciones (1.12), (1.13) y (1.14); al caso en que
la superficie es tridimensional y el sistema no necesariamente esta descrito por un
sistema coordenado cartesiano. De hecho, dada su generalidad, dichas ecuaciones
podrıan describir otro tipo de configuraciones, como por ejemplo una situacion en la
cual la pared sobre la que resbala el fluido posea cierto grado de inclinacion respecto
a la horizontal, y el flujo se de en una region acotada del espacio.
De esta manera, puede decirse que no solo se han reproducido los resultados de otros
autores, sino que tambien se ha resuelto una controversia acerca del particular, dando
la razon a Penev et al., en relacion a la validez de las ecuaciones que expresan las
condiciones dinamicas que prevalecen en la superficie de separacion de dos fluidos.
106
A.2.1. Condicion cinematica en la interfaz
Se considera ahora la condicion cinematica que se verifica en la interfaz. En este orden
de ideas, aplicando el mismo razonamiento que en la seccion 1.2.2 del capıtulo 1., se
obtiene:
∂h
∂t+ u‖ · ∇h = un
En donde u‖ = (u, 0) es la componente del campo de velocidades paralela a la super-
ficie. Por otra parte, un = v es la componente, normal a la superficie, del campo de
velocidades.
Ahora bien, es sabido que en problemas bidimensionales como el estudiado aquı, es
posible hallar las componentes del campo de velocidades u y v a partir de cierta
funcion conocida como la funcion corriente (Kundu et al., 2008), la cual, para la
situacion abordada aquı, viene a ser igual al flujo volumetrico o caudal (por unidad
de profundidad en el eje z) que se designara por Q. Con ayuda de dicha funcion, se
tiene que u‖ = (∂Q
∂y, 0) y que un = −∂Q
∂x. A partir de esto ultimo, se llega finalmente
a la condicion cinematica:
∂h
∂t+∂Q
∂y
∂h
∂x+∂Q
∂x= 0 (A.6)
Y a la condicion que expresa el hecho de que la superficie estudiada consiste de lıneas
de corriente:
Q =
∫ h
0
udy (A.7)
Ecuacion que es obtenida integrando la igualdad u =∂Q
∂y, sobre la capa de fluido, es
decir, entre y = 0 e y = h(x, t).
A.3. Ecuaciones de la capa Lımite a primer orden
A.3.1. Adimensionalizacion de las ecuaciones de movimiento
El procedimiento seguido en el capıtulo 2 para estimar la contribucion de ciertos
terminos en la ecuaciones de movimiento, ası como en las condiciones cinematicas y
de frontera, sera usado en esta seccion.
107
Las ecuaciones ası obtenidas guardan cierta relacion con las ecuaciones de la capa
lımite de Prandtl, en el sentido de que al igual que en dicho modelo, aquı se presenta
una pequena region de flujo en la cual los efectos de la viscosidad son considerables,
ponderandose los efectos inerciales frente a los efectos viscosos, ası como frente a los
gradientes de presion en la direccion perpendicular a la corriente; con el resultado de
que al poder concluir que estos ultimos dominan sobre los efectos inerciales, es posible
integrar la componente perpendicular a la corriente, de la ecuacion de momentum y
de esta forma hallar la distribucion de presiones la cual sera reemplazada luego en la
componente x de la ecuacion de momentum.
Sin embargo, en el caso de una capa de fluido resbalando sobre una pared solida por
efecto de la gravedad, no se considera una region externa de flujo que modifique el
campo de presiones a lo largo de la capa, el cual estarıa relacionado a su vez con
el campo de velocidades externo, en el caso de la teorıa de Prandtl, en virtud de la
ecuacion de Bernoulli aplicada en dicha region. Antes bien, el campo de presiones en
este caso es modificado por la tension superficial ası como por la carga hidrostatica.
Con esto en mente, se procedera a adimensionalizar las ecuaciones (A.1) a (A.7), cons-
truyendo, como se hizo en la seccion 2.0.1 del capıtulo 2, una escala apropiada. Dicha
escala se constituye a partir de una consideracion intuitiva del fenomeno, a saber:
que la aceleracion gravitacional g, es causante del flujo, mientras que la viscosidad
cinematica ν es responsable de la resistencia a este. El balance entre estas dos fuerzas
produce un tipo de solucion del problema en el que la interfaz es plana, de espesor
hN , conocida como solucion de Nusselt (Kalliadasis, Ruyer-Quil, Scheid, y Velarde,
2011).
Si se piensa en el modelo que se busca desarrollar como una ligera modificacion a la
solucion de Nusselt, tiene entonces sentido construir una escala a partir de g y ν.
En virtud del analisis dimensional, se observa por otra parte que:
[g] =lνtν
2; [ν] =
lν2
tν
En donde lν y tν corresponden a las escalas de longitud y tiempo, respectivamente,
y que se dan en terminos de la aceleracion gravitacional g ası como de la viscocidad
cinematica ν, tal como se puede comprobar despejandolas en las anteriores relaciones
dimensionales. Ası pues, dichas escalas de longitud y tiempo vendran determinadas
respectivamente por:
108
lν = (ν2
g)1/3; tν = (
ν
g2)1/3
Podrıa pensarse entonces en una adimencionalizacion de las variables comprometidas
en terminos de esta escala, es decir podrian efectuarse las siguientes transformaciones:
(x, y) → lν(x?, y?); t→ tνt
?; (u, v) → lνtν(u?, v?); etc.
En donde x?, y?, t?, u?, v?, etc., representan las versiones adimensionalizadas de x, y,
t, u, v, etc., respectivamente.
Sin embargo, como lo senala Kalliadiasis en su monografıa (Kalliadasis et al., 2011),
dicha escala resulta conveniente desde el punto de vista experimental, puesto que fija-
do un sistema gas-lıquido-solido, todos lo grupos adimensionales comprometidos, salvo
el numero de Reynolds que depende de hN ; parametro que a su vez esta relacionado
con la razon de flujo, quedan tambien fijados. De esta manera, en los experimentos
bastara con cambiar la razon de flujo para estudiar el cambio en el espesor de la capa
de fluido.
Las observaciones antes hechas no obstante, sugieren una forma de proceder que
resulta util, como se vera mas adelante, desde el punto de vista teorico: introducir en
la escala el espesor de la capa en la solucion de Nusselt hN , empleando ası dos escalas
de longitud, hN y lν , en las transformaciones que se proponen a continuacion:
(x, y) → hN(x?, y?); h→ hNh
?; t→ (tνlν/hN)t?; (u, v) → (h2N/lνtν)(u
?, v?); p→p0 + (ρlνhN/t
2ν)p
∗; Q→ (h3N/tνlν)Q∗
Se definen a partir de esta escala dos parametros adimensionales de vital importancia
en el modelo, a saber:
El numero de Reynolds
Re =gh3N3ν2
Y el numero de Weber
We =σ
ρgh2N
Bajo estas transformaciones por ejemplo, se observa que:
109
∂u
∂t=
h3N(tνlν)2
∂u?
∂t?;∂u
∂x=
hNtνlν
∂u?
∂x?;∂u
∂y=
hNtνlν
∂u?
∂y?
∂2u
∂x2=
1
tνlν
∂2u?
∂x?2;∂2u
∂y2=
1
tνlν
∂2u?
∂y?2;∂p
∂x=ρlνt2ν
∂p?
∂x?
Reemplazando estas expresiones y terminos semejantes en las ecuaciones de Navier-
Stokes (A.1) y (A.2), ası como en la ecuacion de continuidad (A.3) y luego de algunos
pasos algebraicos se llega al sistema de ecuaciones adimensionalizadas:
3Re[∂u?
∂t?+ u?
∂u?
∂x?+ v?
∂u?
∂y?] = −∂p
?
∂x?+∂2u?
∂x?2+∂2u?
∂y?2+ 1 (A.8)
3Re[∂v?
∂t?+ u?
∂v?
∂x?+ v?
∂v?
∂y?] = −∂p
?
∂y?+∂2v?
∂x?2+∂2v?
∂y?2(A.9)
∂u?
∂x?+∂v?
∂y?= 0 (A.10)
A.3.2. Adimensionalizacion de las condiciones Dinamicas, Ci-
nematicas y de Frontera
El mismo proceso de adimensionalizacion puede llevarse a cabo sobre las condiciones
(A.4) y (A.5) pero antes se escribiran estas ecuaciones en una forma mas conveniente.
En el caso de (A.5), a partir de la condicion de continuidad∂v
∂y= −∂u
∂xse deduce
que:
∂u
∂y+∂v
∂x= − 4b
1− b2∂v
∂y
Al reemplazar esto ultimo en (A.4) entonces:
p+σ
R− 2µ
1 + b2
1− b2∂v
∂y= p0
La version adimensionalizada de (A.5) es, teniendo presente que b es adimensional,
similar a su contraparte dimensional:
∂u?
∂y?+∂v?
∂x?= − 4b
1− b2∂v?
∂y?(A.11)
Por otro lado, efectuando el cambio 1/R → 1/hNR? en (A.4), dado que 1/R tiene
dimensiones de inverso de longitud, entonces:
p0 + (ρlνhN/t2ν)p
∗ + (σ/hN)(1/R?) + 2ρν
1 + b2
1− b2hNtνlν
∂u?
∂x?= p0
110
Restando p0 a ambos lados de la igualdad, dividiendo en seguida cada uno de los
terminos de la igualdad resultante entre (ρlνhN/t2ν), y luego de algunos pasos alge-
braicos, recordando ademas las definiciones de lν y tν , se obtiene:
p∗ + (σ/ρgh2N)(1/R?)− 2
1 + b2
1− b2∂v?
∂y?= 0
Pero recordando que tambien We = σ/ρgh2N ; entonces:
p∗ +We1
R?− 2
1 + b2
1− b2∂v?
∂y?= 0 (A.12)
La adimensionalizacion de (A.6) y de la condicion de no deslizamiento en la pared,
no ofrecen mayor dificultad, de modo que se escribiran directamente:
∂h?
∂t?+∂Q?
∂y?∂h?
∂x?= −∂Q
?
∂x?(A.13)
u?|y?=0 = 0; v?|y?=0 = 0 (A.14)
A.3.3. Estimacion de los terminos en las ecuaciones de mo-
vimiento
Con la forma adimensionalizada de las ecuaciones, se pasara ahora a realizar los
estimados siguiendo un criterio similar al de la seccion 2.0.2 del capıtulo 2:
1) Se introduce un parametro de orden ε, indefinido al principio, que permita estable-
cer el orden de magnitud de los diversos terminos que aparecen en las ecuaciones de
movimiento y condiciones de frontera, de modo que se puedan descartar unos frente
a otros.
2) Dichos estimados se realizan luego en terminos de las potencias de ε que aparezcan
junto a las variables pertinentes al problema. Vale decir que se obtendra aquı el
modelo aprimer orden en ε, el cual historicamente fue desarrollado primeramente por
Kapitza, siendo posteriormente ampliado por Shkadov.
Como antes, el parametro ε es introducido mediante la transformacion:
(∂t, ∂x) → ε(∂t, ∂x); ∂xx → ε2∂xx
111
Intuitivamente se puede justificar esta transformacion en la hipotesis (confirmada
por los experimentos de Kapitza (P. L. Kapitza y Kapitza, 1949)) de que en cierto
regimen, el movimiento de la capa de fluido presenta un comportamiento de ondas
largas, es decir, su movimiento consite de ondas, de longitud λ, mucho mayor que
el espesor en estado plano de la capa, hN ; de modo que al parametro ε de alguna
manera se le puede asociar un orden de magnitud ε ≈ hN/λ << 1; y de esta manera
las pequenas modulaciones espacio-temporales de la solucion de Nusselt quedan ası
representadas.
Efectuando esta transformacion en la ecuacion de continuidad (A.10) entonces:
ε∂u?
∂x?+∂v?
∂y?= 0
De aquı se puede ver que v? es de orden O(ε); de manera que es justificable realizar
la tranformacion v? → εv?, y ası la ecuacion de continuadad seguirıa satisfaciendose.
Realizando ahora la transformacion en (A.8) y (A.9):
3Reε[∂u?
∂t?+ u?
∂u?
∂x?+ v?
∂u?
∂y?] = −ε∂p
?
∂x?+ ε2
∂2u?
∂x?2+∂2u?
∂y?2+ 1
3Reε2[∂v?
∂t?+ u?
∂v?
∂x?+ v?
∂v?
∂y?] = −∂p
?
∂y?+ ε3
∂2v?
∂x?2+ ε
∂2v?
∂y?2
Reteniendo unicamente terminos a O(ε) en la segunda igualdad, se observa que es
posible integrar directamente desde un punto arbitrario y en la capa de fluido, hasta
un punto y = h en la interfaz:
∫ h
y∂yp
?dy = ε∫ h
y∂yyv
?dy
p?|h − p? = ε(∂yv?|h − ∂yv
?)
Utilizando la condicion en la interfaz (A.12) se tiene que:
−We1
R?+ 2
1 + ε2b2
1− ε2b2ε∂v?
∂y?|h − p? = ε(∂yv
?|h − ∂yv?)
En donde se ha hecho el cambio b → εb puesto que b = ∂h?/∂x?. Despejando p? en
la anterior expresion:
p? = −We1
R?− ε(∂yv
?|h − ∂yv?) + 2
1 + ε2b2
1− ε2b2ε∂y?v
?|h
112
Ahora bien, expandiendo el factor1 + ε2b2
1− ε2b2en potencias de ε, alrededor de ε = 0,
tenemos que1 + ε2b2
1− ε2b2= 1 +O(ε2)
Por otra parte, 1/R? = ε2(∂b/∂x?)/(1 + ε2b2)3/2 y al expandir 1/(1 + ε2b2)3/2 en
potencias de ε, tambien alrededor de ε = 0, se concluye que 1/(1+ε2b2)3/2 = 1+O(ε2);
ası pues 1/R? = ε2∂x?x?h? +O(ε4).
Con estos estimados el campo de presiones pasa a ser:
p? = −We ε2∂x?x?h? − ε(∂yv?|h − ∂yv
?) + 2ε∂y?v?|h +O(ε3)
O reduciendo terminos semejantes:
p? = −We ε2∂x?x?h? + ε(∂yv?|h + ∂yv
?) +O(ε3)
Sustituyendo esta expresion para p? en (A.8) lo siguiente se verifica:
3Re ε[∂u?
∂t?+ u?
∂u?
∂x?+ v?
∂u?
∂y?] = ε3We
∂3h?
∂x?3+ ε2
∂2u?
∂x?2+∂2u?
∂y?2+ 1 +O(ε4)
Y nuevamente, reteniendo en esta ultima igualdad terminos a O(ε), finalmente:
3Re ε[∂u?
∂t?+ u?
∂u?
∂x?+ v?
∂u?
∂y?] = ε3We
∂3h?
∂x?3+∂2u?
∂y?2+ 1 (A.15)
Esta ecuacion, junto con las condiciones de frontera (A.14), la condicion cinematica
(A.13) y el balance tangencial de esfuerzos (A.11), el cual a proposito se reduce,
realizando un analisis similar a aquel realizado para obtener (A.15), a la forma:
∂u?
∂y?|h = 0 (A.16)
Constituye el modelo a O(ε) de la capa lımite . A partir de (A.15) se puede inferir los
ordenes de magnitud para los parametros adimensionales We y Re, encontrando que
si se quiere un modelo consistente a O(ε), es decir un modelo en el que se desprecian
terminos O(ε2) y superiores, entonces We = O(ε−3) a lo sumo. Otros posibles valores
son We = O(ε−2), We = O(ε−3/2). En todo caso, puesto que ε << 1 de lo anterior se
deduce que We debe ser relativamente grande. Esto implica a su vez que el modelo
sera valido en condiciones de alta tension superficial.
En este orden de ideas, tambien Re = O(ε−1), a lo sumo, de donde Re << We lo cual
permite despreciar los terminos inerciales frente a los efectos de la tension superficial
y se conluye ası que el modelo es valido para valores moderados de Re, como por
ejemplo Re = 10 en el caso de un espesor de 0.1 mm de la capa y una longitud de
onda de 1 mm.
113
A.4. El metodo de los residuos Nulos
Antes de comenzar, conviene aclarar que no se hara una discusion general de este
metodo, el lector interesado podra encontrar una buena discusion del mismo en la
monografıa de Kalliadiasis (Kalliadasis et al., 2011). Antes bien, lo que se hara es
dar una idea general de la manera en que el metodo procede, para luego aplicarlo a
(A.15).
Cabe mencionar ası mismo que los ingredientes de este metodo los proporciona el
analisis funcional. En efecto, el punto de partida es definir el espacio de funciones en
donde se buscaran posteriormente las soluciones a la ecuacion diferencial (A.15). Dicho
espacio debe ser un espacio de Hilbert y puesto que se buscan soluciones relajando los
criterios de suavidad, en concreto se buscaran soluciones en un espacio de Sobolev.
Por tratarse de un espacio de Hilbert, este contara con una estructura de producto
interno, ası como con una base completa de funciones que se designaran por wj. La
clave del metodo consiste en asumir la posibilidad de separar la dependencia de las
soluciones de la ecuacion diferencial con las variables de las cuales depende, mediante
una combinacion lineal de los elementos de la base del espacio, los cuales se presume,
dependen de una sola variable mientras que los coeficientes de esta combinacion lineal
dependen de las restantes variables.
Utilizando este hecho, se buscan soluciones aproximadas al problema proponiendo
una expansion de la funcion a hallar, por decir u, de la siguiente manera:
un(x, y, t) =n∑
j=0
aj(x, t)wj(y) (A.17)
Lo que proporciona la aproximacion de primer orden u1, de segundo orden u2..., hasta
el orden deseado un.
A las funciones wj se les conoce en este contexto como funciones test y a las aj como
amplitudes.
Supongase ahora que la ecuacion diferencial esta dada por:
F (x, y, t, u,Du,D2u, ..., Dαu) = 0
En donde D,D2, ..., Dα son operadores diferenciales.
114
Y desıgnese por (·, ·)H el producto interno en el espacio de Hilbert H. Lo que se hara
en seguida sera reemplazar la expansion (A.17) en la anterior igualdad para luego
formar el producto interno de la expresion obtenida con un conjunto completo de
funciones φk(y) llamadas funciones peso.
A las cantidades obtenidas se les designara por Rk y se les llamara residuos nulos de
orden k. Ası pues se obtienen las ecuaciones:
Rk := (φk,F (x, y, t, un, Dun, D2un, ..., D
αun))H = 0
Para cada k, con k = 0, 1, ..., n, ecuaciones que permitiran hallar las amplitudes aj.
Dependiendo de la escogencia de los pesos φj, se tendran metodos particulares; ası
por ejemplo, si los pesos se escogen como deltas de Dirac, se tendra el metodo de
colocacion; si se escogen como polinomios en y, se obtiene el metodo de momentos; si
se escogen que sean iguales a las funciones prueba, ello conduce al metodo de Galerkin,
etc. (Kalliadasis et al., 2011).
En lo que sigue se aplicara este metodo al modelo de Shkadov-Kapitza.
Como punto de partida, se identifica a F (x, y, t, u,Du,D2u, ..., Dαu) = 0 con la
ecuacion de momentum (A.15); el espacio de funciones sera L2[0, h], el espacio de
funciones cuadrado integrables en el intervalo [0, h].
La escogencia de las wj es el punto sustancial de la teorıa, pues tanto Shkadov como
Kapitza realizan una aproximacion de orden cero al campo de velocidades u?0, asu-
miendo w0 = (y?/h?)−1/2(y?/h?)2, dado que esta funcion satisface automaticamente
las condiciones de frontera (A.14). Ahora bien, esta escogencia entrana una suposicion
fuerte y es que la distribucion de velocidades paralela a la pared, u, tiene un com-
portamiento como si la interfaz fuese plana, de modo que esta escogencia reproduce
la idea de que el modelo de Shkadov-Kapitza representa una correccion a la solucion
de interfaz plana de Nusselt, para modulaciones espacio-temporales pequenas de la
interfaz.
Bajo esta hipotesis, la distribucion de velocidades planteada por ambos autores sera:
u?0 = 3Q?(x, t)/h?(x, t)[(y?/h?(x, t))− 1/2(y?/h?(x, t))2]
Tomando el producto interno de (A.15) con φ0 = 1 en L2[0, h], se tiene que:
115
R0 =∫ h?
o3Re ε[∂u
?0
∂t?+ u?0
∂u?0∂x?
+ v?∂u?0∂y?
]− ε3We∂3h?
∂x?3− ∂2u?0
∂y?2− 1dy?
Resulta conveniente, antes de reemplazar en la anterior igualdad la expresion para
u?0, escribir esta integral de una forma mas comoda, de la siguiente manera:
∫ h?
0
∂u?0∂t?
=∂
∂t?∫ h?
0u?0dy
? =∂Q?
∂t?
∫ h?
0u?0
∂u?0∂x?
=∫ h?
0
∂
∂x?(1
2u?0
2)dy? =1
2
∂
∂x?∫ h?
0u?0
2dy?
∫ h?
0v?0
∂u?0∂y?
dy? = [u?v?]h0 −∫ h?
0u?0
∂v?0∂y?
dy? = u?|h v?|h − u?|0 v?|0 +∫ h?
0u?0
∂u?0∂x?
dy?
Utilizando en el lado derecho de esta ultima igualdad las condiciones de frontera
(A.14) y recordando que de la condicion cinematica (A.13), v?|h = ∂t?h? + u?|h∂x?h?:
∫ h?
ov?0
∂u?0∂y?
dy? = u?|h? ∂t?h? + u?|h?
2 ∂x?h? +1
2
∂
∂x?∫ h?
ou?0
2dy?
Por otra parte, considerando que:
∫ h?
o
∂2u?0∂y?2
dy? =∂u?0∂y?
|h −∂u?0∂y?
|0
Y aprovechando que, a partir del balance tangencial de esfuerzos dado por∂u?0∂y?
|h = 0,
definiendo previamente el esfuerzo de corte adimensional en la pared τw =∂u?0∂y?
|0,entonces:
∫ h?
o
∂2u?0∂y?2
dy? = −τw
Reuniendo todos estos resultados, el residuo de orden cero sera pues:
R0 =
3Re ε[∂Q?
∂t?+u?0|h? ∂t?h
?+u?0|h?2 ∂x?h?+
∂
∂x?∫ h?
ou?0
2dy?]−ε3We∂3h?
∂x?3h?+τw−h? = 0
Ahora resulta mas facil reemplazar la expresion para u?0 en la anterior igualdad, puesto
que de esta manera:
u?0|h? = 3(Q?/h?)[(h?/h?)− 1/2(h?/h?)2] = (3/2)(Q?/h?)
∂
∂x?∫ h?
ou?0
2dy? =∂
∂x?(9(Q?/h?)2
∫ h?
o[(y?/h?)− 1/2(y?/h?)2]2dy?) =
(6/5)∂
∂x?(Q?2/h?)
116
τw =∂u?0∂y?
|0 = 3(Q?/h?2)
Con esto finalmente se obtiene:
R0 = 3Re ε[∂Q?
∂t?+ (3/2)(Q?/h?) ∂t?h
? + (9/4)(Q?/h?)2 ∂x?h? +
(6/5)∂
∂x?(Q?2/h?)]− ε3We
∂3h?
∂x?3h? + 3(Q?/h?2)− h? = 0
O similarmente, dividiendo por h? y expandiendo las derivadas:
3Re ε[1
h?∂Q?
∂t?+
12
5
Q?
h?2∂Q?
∂x?− 6
5
Q?2
h?3∂h?
∂x?+
3
2
Q?
h?2∂h?
∂t?+
9
4
Q?2
h?3∂h?
∂x?]− ε3We
∂3h?
∂x?3+
3Q?
h?3− 1 = 0
Dividiendo ambos lados de la igualdad por 3Reε y definiendo los parametros G =
ε2We/3Re; E = (Reε)−1; H = (3Reε)−1, finalmente:
1
h?∂Q?
∂t?+12
5
Q?
h?2∂Q?
∂x?− 6
5
Q?2
h?3∂h?
∂x?−G∂
3h?
∂x?3+E
Q?
h?3−H+
3
2
Q?
h?2∂h?
∂t?+9
4
Q?2
h?3∂h?
∂x?= 0
(A.18)
Junto con la condicion cinematica:
∂h?
∂t?+∂Q?
∂y?∂h?
∂x?= −∂Q
?
∂x?(A.19)
Este par de ecuaciones difiere significativamente del sistema obtenido por Shkadov,
debido a que ciertos terminos estimados en la condicion cinematica fueron hechos nu-
los por el autor sin que haya una justificacion razonable para ello. Como consecuencia
de ello, al integrar la ecuacion de movimiento y evaluar los terminos en la frontera,
aparecen los dos ultimos terminos del miembro izquierdo de (A.18). Ası mismo, com-
parando con (A.18), se advierte un error en el exponente de h? en el denominador
del segundo termino del lado izquierdo de la ecuacion, pues aquı se observa que es 2
mientras que en en el artıculo de Shkadov (Shkadov, 1967) aparece como 1.
117
Apendice B
Demostracion de la compacidad del
operador G
En este apendice se demostrara la compacidad del operador lineal G introducido en
el teorema 5.1.1 del capıtulo 5.
Para llevar a cabo esta empresa, se introducira en primer lugar toda la maquinaria que
se requiere para tal demostracion, comenzando con la nocion de operador compacto
en un espacio de Hilbert (en general en espacios normados). En este entendido, se
tiene la siguiente definicion
Definicion B.0.1. Sean X e Y espacios normados. Una aplicacion T : X −→ Y se
denomina operador lineal compacto si T es lineal y si para cada subconjunto acotado
M de X, la imagen del operador, T (M), es relativamente compacta, es decir, la
clausura T (M) es un conjunto compacto en Y .
No obstante, la anterior definicion no resulta util para establecer cuando un operador
lineal T es compacto. Afortunadamente, existe un criterio que si se deriva de esta
definicion y que se presenta en la forma del siguiente teorema.
Teorema B.0.1. Sean X e Y espacios normados, T : X −→ Y un operador lineal.
Entonces, T es compacto si y solo si este mapea cada sucesion acotada xj ⊂ X a
una sucesion Txj ⊂ Y la cual posee una subsucesion convergente en Y .
Demostracion. Sea xj ⊂ X una sucesion acotada y T compacto, entonces, por de-
finicion T (xj) es un subconjunto compacto de Y , pero todo subconjunto compacto
de un espacio metrico (con la metrica heredada en este caso de la norma) posee una
subsucesion convergente.
118
Inversamente, asumase que cada sucesion acotada xj contiene una subsucesion
xjk tal que T (xjk) converge en Y . Considerese cualquier subconjunto acotado B ⊂X, y sea yj cualquier sucesion en T (B). Entonces yj = Txj, para algun xj ∈ B y
xj, es acotado ya que B es acotado. Como se dijo antes, se asume que Txj con-
tiene una subsucesion convergente y como nuevamente un subconjunto de un espacio
metrico (con la metrica heredada de la norma en este caso) es compacto si toda su-
cesion contiene una subsucesion convergente, se tiene que T (xj) es un subconjunto
compacto puesto que la sucesion yj se ha escogido de manera arbitraria; por tanto,
de acuerdo con la definicion B.0.1., T es compacto.
Con esta herramienta de la cual se dispone ahora, es posible demostrar la compacidad
de G; sin embargo, sera preciso introducir antes una nocion auxiliar que conducira
a la demostracion deseada. Tal nocion es la de susesion equicontinua, y en relacion
con ella, se tiene un importantısimo resultado en topologıa conocido como teorema
de Ascoli, el cual relaciona la completitud de un espacio metrico con su compacidad.
Definicion B.0.2. Sean X e Y espacios metricos (o normados con la metrica indu-
cida por la norma) y F una familia de funciones de X en Y . Una sucesion xj ⊂ F
se dice que es equicontinua en el punto s0 ∈ X, si para cada ε > 0 existe un δ > 0,
el cual puede depender solo de ε, tal que para todo xj ∈ F y todo s ∈ X que satisface
d1(s0, s) < δ, entonces d2(x(s0), x(s)) < ε; en donde d1(·, ·) y d2(·, ·) son las metricas
en los espacios X e Y respectivamente. Se dice que la familia xj es equicontinua si
lo es en cada punto de X.
En relacion con este concepto, se tiene el importante teorema de Ascoli, cuya demos-
tracion se puede encontrar por ejemplo en el libro de Munkres (Munkres, 2000).
Teorema B.0.2. Teorema de Ascoli. Sea X un espacio compacto e Y un espacio
metrico. Sea tambien C(X, Y ) el conjunto de todas las funciones continuas de X en
Y . Entonces, F ⊂ C(X, Y ) tiene clausura compacta si, y solo si, F es equicontinuo y
esta puntualmente acotado respecto a la metrica d.
Acompanados de estos elementos, sera posible ahora proceder a demostrar la compa-
cidad del operdor G:
Teorema B.0.3. Sea el operador lineal G : L2(S) ⊂ H−1(Ω) −→ H1(Ω) definido
por:
φ = Gq :=∫S
G(r,y′)∂φ
∂n′d2y′
119
Siendo G(r, r′) cuadrado integrable en Ω× Ω, esto es:
∫Ω
d3r′∫Ω
|G(r, r′)|2 d3r <∞,
y q :=∂φ
∂n′. Entonces G es compacto.
Demostracion. Previamente se habıa demostrado que G es lineal y acotado.
Sea la sucesion de funciones wj∞j=1 definida por wj := Gj q =∫S
Gj(r,y′)∂φ
∂n′d2y′,
siendo Gj(r, r′) cuadrado integrable en Ω× Ω, para cada j. Probaremos que wj es
equicontinua en q0 ∈ L2(S). El cuadrado de la distancia, d2(·, ·), para un mismo j,
entre un elemento de esta sucesion de funciones, evaluado en q, y el mismo elemento
evaluado en q0 sera:
d2(wj, w0j )
2 =∫Ω
|wj − w0j |2 d3r +
∫Ω
|∇(wj − w0j )|2 d3r
En donde w0j = Gjq
0 =∫S
Gj(r,y′)∂φ0
∂n′d2y′.
Ahora bien, puesto que se asume que los elementos de la sucesion wj son elementos
del espacio de Sobolev H1(Ω), y que satisfacen tambien la ecuacion de Laplace, con
condicion de frontera de tipo Neumann, entonces, por la proposicion 5.1.1 del capıtulo
5, se tiene que:
∫Ω
|∇(wj − w0j )|2 d3r = (A(q − q0), q − q0)L2(S)
Teniendo presente que el operador A es acotado, de la anterior igualdad se desprende
que:
∫Ω
|∇(wj − w0j )|2 d3r ≤ c21 ‖ q − q0 ‖2L2(S)
Siendo c1 > 0 una constante que no depende de q o de q0, aunque posiblemente si
dependa de S. Por otra parte, se tiene que:
∫Ω
|wj − w0j |2 d3r =
∫Ω
d3r |∫S
Gj(r,y′) [
∂φ
∂n′− ∂φ0
∂n′] d2y′|2
Dado que se asume, para cada j, que Gj(r,y′) es cuadrado integrable en Ω × Ω, y
dado que las funciones q y q0, son elementos de L2(S), entonces, por la desigualdad
de Cauchy-Schwartz (Kreyszig, 1989), de esta igualdad se deduce la desigualdad:
120
∫Ω
|wj − w0j |2 d3r ≤
∫Ω
d3r[∫S
|Gj(r,y′)|2 d2y′
∫S
| ∂φ∂n′
− ∂φ0
∂n′|2 d2y′] =
∫Ω
∫S
|Gj(r,y′)|2 d2y′d3r ‖ q − q0 ‖2L2(S)
De esta manera, a partir de las anteriores desigualdades, se concluye que:
d2(wj, w0j )
2 ≤ c21 ‖ q − q0 ‖2L2(S) +∫Ω
∫S
|Gj(r,y′)|2 d2y′d3r ‖ q − q0 ‖2L2(S)=
c22 ‖ q − q0 ‖2L2(S)
En donde se ha hecho c22 = c21 +∫Ω
∫S
|Gj(r,y′)|2 d2y′d3r. Ası pues, si se asume que
d1(q, q0) :=‖ q − q0 ‖L2(S)< δ; entonces para cada ε = c2 δ > 0, existe δ > 0 tal que
para todo wj ∈ wj∞j=1, y para todo q ∈ L2(S) que verifica d1(q, q0) < δ, se cumple
que d2(wj, w0j ) < ε. Por tanto, la sucesion wj es equicontinua en q0 ∈ L2(S).
Como se ha escogido un q0 cualquiera, dicha familia sera equicontinua ademas, para
cualquier q ∈ L2(Ω).
Esto implica, de acuerdo con el teorema de Ascoli, que wj = Gj q posee clausura
compacta en H1(Ω). Finalmente, por el teorema B.0.1. se concluye que el operador
G es compacto.
121
Referencias
Blaschke, W., y Bol, G. (1938). Geometrie der gewebe. Berlin, Springer.De La Pena, L. (2014). Introduccion a la mecanica cuantica. Fondo de Cultura
economica.Di Nezza, E., Palatucci, G., y Valdinoci, E. (2012). Hitchhikers guide to the fractional
sobolev spaces. Bulletin des Sciences Mathematiques , 136 (5), 521–573.Ding, Z. (1996). A proof of the trace theorem of sobolev spaces on lipschitz domains.
Proceedings of the American Mathematical Society , 124 (2), 591–600.Dutykh, D., y Dias, F. (2007). Viscous potential free-surface flows in a fluid layer of
finite depth. Comptes Rendus Mathematique, 345 (2), 113–118.Duvant, G., y Lions, J. L. (2012). Inequalities in mechanics and physics (Vol. 219).
Springer Science & Business Media.Evans, L. C. (1998). Partial differential equations (Vol. 19). Graduate Studies in
Mathematics, A. M. S.Feynman, R. P., Leighton, R. B., y Sands, M. (1979). Feynman lectures on physics.
vol. 1: Mainly mechanics, radiation and heat. Addison-Wesley.Friedman, V. P. V., Avner. (1982). Free boundary problems. Wiley, New York.Girault, V., y Raviart, P.-A. (1979). Finite element approximation of the navier-stokes
equations(book). Berlin, Springer-Verlag(Lecture Notes in Mathematics., 749 .Griffiths, D. J. (1999). Introduction to electrodynamics (Vol. 3). prentice Hall Upper
Saddle River, NJ.Hassani, S. (2013). Mathematical physics: a modern introduction to its foundations.
Springer Science & Business Media.Holm, S., y Nasholm, S. P. (2011). A causal and fractional all-frequency wave equation
for lossy media. The Journal of the Acoustical Society of America, 130 (4), 2195–2202.
Ibrahim, R. A. (2005). Liquid sloshing dynamics: theory and applications. CambridgeUniversity Press.
Johnson, R. (1997). A modern introduction to the mathematical theory of water waves(Vol. 19). Cambridge university press.
Kalliadasis, S., Ruyer-Quil, C., Scheid, B., y Velarde, M. G. (2011). Falling liquidfilms (Vol. 176). Springer Science & Business Media.
Kapitza, P. (1948). Wave flow of thin layers of a viscous liquid. Journal of theoreticaland experimental physics , 18 .
Kapitza, P. L., y Kapitza, S. (1949). Wave flow of thin layers of viscous liquids. partiii. experimental research of a wave flow regime. Zhurnal Eksperimentalnoi i
122
Teoreticheskoi Fiziki , 19 , 105–120.Kopachevsky, N. D. (1966). Hydrodynamics in weak force fields. small oscillations of
an ideal liquid. Fluid Dynamics , 1 (2), 3.Kopachevsky, N. D. (1967). The cauchy problem for small oscillations of a viscous
liquid in a weak field of mass forces. USSR Computational Mathematics andMathematical Physics , 7 (1), 167–190.
Kopachevsky N. D., K. S. G. (2001). Operator approach to linear problems ofhydrodynamics. Operator Theory: Advances and Applications, Springer , 1 , 384.
Kreyszig, E. (1989). Introductory functional analysis with applications (Vol. 81).wiley New York.
Kundu, P., Cohen, I., y Hu, H. (2008). Fluid mechanics. two-and three-dimensionalself-sustained flow oscillations. Elsevier Academic Press, San Diego.
Ladyzhenskaya, O. A., y Silverman, R. A. (1969). The mathematical theory of viscousincompressible flow (Vol. 76). Gordon and Breach New York.
McConnel, A. (1957). Introduction to tensor analysis with applications to geometry,mechanics and physics. Dover, New York.
Mikhlin, S. (1952). The minimum problem of a quadratic functional. Gostekhizdat,Moscow-Leningrad .
Munkres, J. R. (2000). Topology. Prentice Hall.Nasholm, S. P., y Holm, S. (2011). Linking multiple relaxation, power-law attenuation,
and fractional wave equations. The Journal of the Acoustical Society of America,130 (5), 3038–3045.
Nasholm, S. P., y Holm, S. (2013). On a fractional zener elastic wave equation.Fractional Calculus and Applied Analysis , 16 (1), 26–50.
Neumann, J. V. (1955). Mathematical foundations of quantum mechanics (n.o 2).Princeton university press.
O'neill, B. (2006). Elementary differential geometry. Academic press.Penev, V., Krylov, V., Boyadjiev, C., y Vorotilin, V. (1972). Wavy flow of thin liquid
films. International Journal of Heat and Mass Transfer , 15 (7), 1395–1406.Sagan, H. (2012). Introduction to the calculus of variations. Dover Publications.Shkadov, Y. V. (1967). Wave flow regimes of a thin viscous liquid layer subjected to
gravity force. Fluid Dynamics , 19 (2), 12.Sobolev, S. (2008). Some applications of functional analysis in mathematical physics
(Vol. 90). American Mathematical Soc.Spiegel, M. R. (1959). Schaum’s outline of theory and problems of vector analysis
and an introduction to tensor analysis. McGraw-Hill.Spiegel, M. R. (1969). Lebesgue measure and integration. schaum’s outline series. Mc
Graw-Hill, New-York.Tyupsov, A. D. (1966). Hydrostatics in weak fields of force. Fluid Dynamics , 1 (2),
5.
123