el mÉtodo de la secante y secante modificado
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EL MÉTODO DE LA EL MÉTODO DE LA SECANTE Y SECANTE SECANTE Y SECANTE
MODIFICADOMODIFICADO
Métodos abiertosMétodos abiertos
El Método de la SecanteEl Método de la Secante Se deriva del Se deriva del
método de método de Newton-RaphsonNewton-Raphson
Se aproxima la Se aproxima la derivada derivada mediante mediante diferencia finita diferencia finita dividida hacia dividida hacia atrásatrás
)()(
1i
iii xf
xfxx
ii
iii xx
xfxfxf
1
1 )()()(
Fórmula de la SecanteFórmula de la Secante Se obtiene la fórmula de la secanteSe obtiene la fórmula de la secante::
Se observa que este método requiere Se observa que este método requiere 2 valores iniciales de x. 2 valores iniciales de x.
Sin embargo, no se necesita que f(x) Sin embargo, no se necesita que f(x) cambie de signo, por lo que no es un cambie de signo, por lo que no es un método cerrado.método cerrado.
)()())((
1
11
ii
iiiii xfxf
xxxfxx
Algoritmo para la SecanteAlgoritmo para la Secante
1) Se dan 2 valores: X1) Se dan 2 valores: Xii y X y Xi-1i-1
2) Se calcula f(x2) Se calcula f(xii) y f(x) y f(xi-1i-1))3) Se obtiene X3) Se obtiene Xi+1i+1 mediante la fórmula mediante la fórmula
de la secantede la secante4) Se vuelve al paso 2 para encontrar 4) Se vuelve al paso 2 para encontrar
una nueva raízuna nueva raíz
Diferencia entre Secante y Diferencia entre Secante y Falsa PosiciónFalsa Posición
Si recordamos la Si recordamos la fórmula de la falsa fórmula de la falsa posición:posición:
Y vemos la fórmula Y vemos la fórmula de la secante:de la secante:
)()())((
ul
uluur xfxf
xxxfxx
)()())((
1
11
ii
iiiii xfxf
xxxfxx
Diferencia entre Secante y Diferencia entre Secante y Falsa PosiciónFalsa Posición
Se diferencian Se diferencian por la forma por la forma en que uno de en que uno de los valores los valores iniciales se iniciales se reemplaza con reemplaza con la la aproximación.aproximación.
Ejemplo del Método de Ejemplo del Método de SecanteSecante
Problema 6.5 (Chapra, Canale):Problema 6.5 (Chapra, Canale):Determine la menor raíz real de:Determine la menor raíz real de:
a) Gráficamentea) Gráficamenteb) Usando el método de la secante para un b) Usando el método de la secante para un
valor de Evalor de Ess con tres cifras significativas con tres cifras significativas
32 5.2172211)( xxxxf
Resolución Problema 6.5Resolución Problema 6.532 5.2172211)( xxxxf
xx yy-1-1 30.530.5
-0.5-0.5 4.564.5600 -11-1111 -18.5-18.522 -7-733 8.58.544 131355 -8.5-8.5
a) Gráficamentea) Gráficamente4.0x
Resolución Problema 6.5Resolución Problema 6.532 5.2172211)( xxxxf
b) Por el método de la secante (Eb) Por el método de la secante (Ess<0.05%)<0.05%)
IteraciónIteración xxi-1i-1 xxii xxi+1i+1 EEss(%)(%)11 -1-1 00 -0.2651-0.2651 --22 00 -0.2651-0.2651 -0.4123-0.4123 35.735.733 -0.2651-0.2651 -0.4123-0.4123 -0.3793-0.3793 8.78.744 -0.4123-0.4123 -0.3793-0.3793 -0.3813-0.3813 0.520.5255 -0.3793-0.3793 -0.3813-0.3813 -0.3813-0.3813 0.0040.004
Método de la Secante Método de la Secante ModificadoModificado
Se aproxima la Se aproxima la derivada de la derivada de la función con un función con un método de cambio método de cambio fraccionario de la fraccionario de la variable.variable.
Se reemplaza en la Se reemplaza en la ecuación de ecuación de Newton-RaphsonNewton-Raphson
i
iiii x
xfxxfxf )()()(
)()(
1i
iii xf
xfxx
Con lo que se obtiene la fórmula de la Con lo que se obtiene la fórmula de la secante modificada:secante modificada:
Nótese que ahora solo se requiere un valor Nótese que ahora solo se requiere un valor de x inicial y el valor del cambio fraccionario.de x inicial y el valor del cambio fraccionario.
Fórmula de la Secante Fórmula de la Secante ModificadaModificada
)()()(
1iii
iiii xfxxf
xfxxx
Ejemplo del Método de Ejemplo del Método de Secante ModificadoSecante Modificado
Problema 6.7 (Chapra, Canale):Problema 6.7 (Chapra, Canale):
Calcule la raíz real de xCalcule la raíz real de x3.33.3=79, con el =79, con el método de la secante modificado que método de la secante modificado que cumpla con Ecumpla con Ess=0.1%. Intente diferentes =0.1%. Intente diferentes valores de δ y analice los resultados. valores de δ y analice los resultados.
Resolución Problema 6.7Resolución Problema 6.7793.3 x
Para δ=0.01 x=3.758707344Para δ=0.01 x=3.758707344
IteraciónIteración xxii xxii+δx+δxii xxi+1i+1 EEss(%)(%)11 3.53.5 3.5353.535 3.78033.7803 --22 3.78033.7803 3.81813.8181 3.75893.7589 0.50.533 3.75893.7589 3.79643.7964 3.75873.7587 0.0050.005
Resolución Problema 6.7Resolución Problema 6.7793.3 x
Para δ=0.1 x=3.758707344Para δ=0.1 x=3.758707344
IteraciónIteración xxii xxii+δx+δxii xxi+1i+1 EEss(%)(%)11 3.53.5 3.853.85 3.77233.7723 --22 3.77233.7723 4.14954.1495 3.75923.7592 0.30.333 3.75923.7592 4.13514.1351 3.75873.7587 0.010.01
Ejemplo Programado en Ejemplo Programado en MatLab …MatLab …