EL INTERVALO CERRADO Y LA QUINTA SOPLADA ANÁLISIS Y DOCUMENTOS EDUCATIVOS PABLO BENSAYA, bensaya@gmail.com, presencias@hotmail.com INTERNET, presencias.net, R. ARGENTINA, 1989 / OCT -2016 ORIGINAL Prólogo a la reedición de octubre 2016 A casi tres décadas de su primera versión, presento el resultado de intenso trabajo de producción. El original verdadero desapareció, tal vez porque puede haberme confundido al entregar documentación a cierta persona o, lo más probable, por los efectos del agua en una inundación. Solo había una fotocopiada algo amarillenta pero en buen estado. El material merodeaba mi mundo como un viejo trofeo absolutamente querible pero inactivo. Me dolía verlo cada tanto, ahí solitario, sin salida. Testigo de una época que ya no era, había pasado el tiempo de esas investigaciones, estaban acallados los raídos ecos de unos años de frenesí buscador. ¿No es tarde para difundirlo, qué sentido tiene el hacerlo? Es la primera pregunta que me hago cada vez que llego a similares encrucijadas. La respuesta ni siquiera es opinable. El trabajo tiene peso propio, abre un debate casi nunca iniciado, habla de cosas de rareza rayanas en lo insólito. La contestación es que resulta necesario publicarlo, de lo contrario seguiría con mis asuntos actuales mirando al lejano compañero con el debido respeto y dejando que la historia asuma la decisión. Pero hay otro respeto: a mí mismo. Y es al que francamente pretendo honrar. Eran días de locura, en los que se combinaban mil asuntos de diversa naturaleza, estaba fresca aún la pintura de mi trabajo más conocido y me encontraba listo para ingresar en la etapa informática. Para reeditar el trabajo se requería, por obviedad, hacer una lectura pormenorizada de sus contenidos y atreverse a transitar fantasmas que parecían diluidos. Además, los gráficos solo estaban en la copia y la caja general no es amigable, emplea, entre otras cosas, fórmulas que requieren programas externos. En fin, sé que se dirá que toda esta anotación es una exageración. Cada cual sabrá su situación. Ahora, a punto de subir el trabajo al servidor, siento una alegría especial. Nunca dejé de reconocer que era injusto que quedara en las sombras más allá de esporádicas presentaciones en pequeños círculos sociales, y aquí estoy, reparando una equivocación. Los medios actuales permiten semejante empresa. Tomé fotos de los gráficos, convertí la mayor parte de las fórmulas a texto llano, diseñé los programas para que tablas y algunos otros datos fueran seguros; los originales nacieron en un tiempo en que máquina de escribir y calculadora científica eran las herramientas básicas, un error implicaba sacar nuevas fotocopias, pegar papelitos, cubrir detalles diminutos con tinta blanca, etc. Hoy se elabora todo con la misma computadora y se suben los resultados a un sitio web a partir del cual llegamos a miles de personas. Mi madre participó como dactilógrafa y correctora para la realización del original, en tanto que las primeras versiones digitales fueron tipeadas por una de mis hermanas. Hasta siempre, y espero que sea de utilidad, se ha puesto mucho esfuerzo en él, antes y ahora.

Pablo Bensaya, Merlo, Buenos Aires, Argentina Trabajo : El intervalo cerrado y la quinta soplada Autor : Pablo Bensaya Lugar y fecha : Buenos Aires - Argentina - 1989 Págs. : Desde 1 hasta 32 Reedición : Agosto - Octubre de 2016 Contacto : web: presencias.net, correo: bensaya@gmail.com

EL INTERVALO CERRADO Y LA QUINTA SOPLADA Estudiar las relaciones longitudinales y frecuenciales de los tubos acarrean no pocas dificultades. Dejando de lado los problemas inherentes a toda investigación científica, surgen dos escollos muy concretos, 1º: la falta de bibliografía específica; 2º: profesores no preparados en acústica experimental, hechos que, en buena medida, están íntimamente vinculados. Desde luego que las excepciones son siempre bienvenidas; en todo caso el futuro musicólogo, con referencia a un tema de tanta importancia, no puede estar sujeto a lo excepcional. Nuestro objetivo es poner cierto orden respecto de cómo interactúan las relaciones longitudinales y frecuenciales de los tubos sonoros. Dentro de este marco se inscribe la quinta soplada. En cuanto a los diversos autores citados he optado por aquellos que, directa o indirectamente, inciden sobre la mayor parte del estudiantado -no solo local-, y sobre los mismos profesionales. CITAS CON RESPECTO A LOS TUBOS 1895.- Lavignac. "Cuanto más largo es el caño, tanto más grave es su sonido propio. Duplicando su longitud, se obtiene la octava inferior, lo que prueba que, aquí como en las cuerdas, el número de vibraciones es inversamente proporcional al largo del cuerpo vibrante." [6, pág. 21] 1939.- Fernández y Galloni. "Si el tubo es cerrado"..."Luego, para la nota fundamental, la longitud del tubo corresponde a 1/4 de longitud de onda o sea:

λ = 4L ... "Se observa entonces que, a igualdad de longitud, el tubo cerrado emite un sonido cuya longitud de onda es doble de la que corresponde al tubo abierto (frecuencia mitad)." [5, pág. 328] 1939.- Cattoi. "El sonido fundamental emitido por un tubo cerrado es el mismo que el sonido fundamental de un tubo abierto de doble longitud." [2, pág. 13]

1948.- Matras. "Se constata que el parcial nº 1 [fundamental] del oscilador así constituido [tubo cerrado] se encuentra a la octava grave del parcial nº 1 del tubo abierto. Esta vez tenemos:

n1 = 330/4L [8, pág. 139]. Aquí n1 es la frecuencia fundamental, y 330 m/s la velocidad del sonido. 1954.- Olazábal. "Correcciones de longitud en los tubos sonoros.- Las relaciones que dimos anteriormente entre frecuencia y longitud de un tubo, son teóricas; en la práctica la longitud de tubo necesaria para producir un sonido de frecuencia "n", es siempre algo menor que la teórica, debido a que los vientres se forman fuera del tubo y no exactamente en los extremos del mismo. Para un tubo cerrado la forma cilíndrica (excitado por su extremo abierto) la corrección será:

L’ = L + 2,7 x R donde "L'" será la longitud vibrante de la columna de aire, "L" la longitud real del tubo y "R" el radio de su sección circular" ... "Estas correcciones han sido calculadas para tubos cuyo diámetro (2R) es pequeño con respecto a la longitud de onda de los sonidos que producen." [9, págs. 113-114] 1957.- Efron. "La frecuencia de la forma de vibración en estudio (la fundamental) está dada por

f = V / 4L donde V es la velocidad del sonido en el aire." Refiriéndose a los tubos abiertos dice: "La frecuencia de la vibración es"..."exactamente el doble que la de un tubo cerrado de la misma longitud." Luego, en "Resonancia en columnas de aire" dice: "Por ello, la longitud efectiva del tubo, L, es algo mayor que la longitud existente entre un extremo y otro. Los ensayos demuestran que para obtener la longitud efectiva se debe hacer una corrección consistente en sumar a la longitud del tubo un valor aproximadamente igual al 30% del diámetro interno de un tubo cerrado." [4, págs. 56, 57 y 61] 1959.- Daniélou. Deberíamos citar extensamente el capítulo sobre la teoría musical de los chinos; para nuestro cometido basta decir que Daniélou, a través de ejemplos y una tabla de correspondencias longitud-frecuencia, entiende que la longitud es inversamente proporcional a la frecuencia. No ponemos en tela de juicio el que los chinos emplearan las relaciones de longitud que se indican en la obra; decimos que con dichas relaciones no se obtienen las relaciones de frecuencia que él consigna. [3, págs. 69-90] 1980.- Castiglioni y otros. "La longitud del tubo [cerrado] corresponde al cuarto de la longitud de onda del sonido emitido:

L = λ/4 que constituye el sonido fundamental" ... "De la observación de las leyes precedentes se deduce que el tubo cerrado emite un sonido cuya frecuencia resulta ser la mitad de la que corresponde a un tubo abierto de igual longitud." Más adelante, en "Determinación de la velocidad de propagación del sonido en el aire por el método de resonancia" dicen: "Tal discrepancia se debe a que el vientre de vibración no se produce en el borde superior del tubo, sino un poco más afuera. La diferencia expresada se conoce con el nombre de error de boca (ε ) y debe incluirse en las fórmulas anteriores. Puesto que

L= λ/4 - ε [1, págs. 481, 482 y 484] Cuando dicen "fórmulas anteriores" se refieren a las dudas para el método de la resonancia. CITAS CON RESPECTO A LA QUINTA SOPLADA En los primeros años del siglo XX el musicólogo austríaco Erich M. von Hornbostel (1877-1935) crea la denominación "quinta soplada". Curt Sachs, colega y amigo de Hornbostel, dice: "Un tubo cuya longitud correspondería al pie de la antigua China (230 mm) produce el sonido fa#. Von Hornbostel pudo comprobar la existencia de este fa como sonido principal, sonido inicial y diapasón, en escalas instrumentales de muchos lugares del mundo, desde África, siguiendo por Asia y el Océano Pacífico, hasta América del Sur. Los instrumentos aptos para servir de modelo -cuyas partes no habían sufrido modificaciones por influencia del uso, del descuido o de la temperatura-, sobre todo las flautas de Pan y los xilófonos, presentaban, además de esta coincidencia absoluta, otra relativa. En su llamada teoría de las quintas producidas por soplo, von Hornbostel trató de descifrar este hecho enigmático. A su manera de ver, todas las escalas de flautas de Pan y xilófonos, medibles según principios metódicos, se originaban en un círculo de quintas que no se basa en la quinta pura de 702 cents, sino en otra considerablemente más pequeña, de 678 cents. Ahora bien, esta misma demasiado corta aparece como armónico en la flauta de Pan. Varios investigadores han puesto en duda la legitimidad de esta deducción, y hoy en día la teoría de las quintas de soplo no puede ya considerarse como totalmente válida". [10, pág. 16] (es efectivamente un Fa#4 más unos 18 cents medido en el patrón de 435 c/s empleado en aquella época. Nota actual de PB) En 1934 Carlos Vega dice: "Es conocida la propiedad que los tubos abiertos en un extremo y sin lengüeta, tienen de producir por aumentos de la presión del soplo los armónicos superiores impares. El primero es el tercer sonido, la duodécima, esto es, la quinta de la octava superior del sonido fundamental (do4 - sol5). Para afinar un segundo tubo a la altura de la quinta que se obtiene del primero, basta con cortar el segundo a 2/3 del largo del primero. Repitiendo la operación con el segundo se obtiene un tercer tubo a una quinta del segundo, y así se forma una serie de quintas perfectas o sopladas según cierre la marcha a las 12 ó a las 23 quintas"..."Empezando por fa, por ejemplo: fa-do-sol-re-la-mi-si-fa#-do#, etc., al llegar a la doce quinta hallamos de nuevo el fa; pero ateniéndonos al número de vibraciones, este último difiere del primero en 24 cents, una coma pitagórica; ahora prolongando el círculo hasta 23 volvemos a

hallar de nuevo la nota inicial, pero tampoco exacta, sino con seis cents de diferencia. Teóricamente se establece el promedio de 702 para el de 12, y 678 para el de 23 quintas y entonces los círculos cierran matemáticamente". [11, pág. 353] Por último, en 1980 Ana M. Locatelli de Pérgamo, refiriéndose a la teoría musical china, dice: "La explicación acústica que sustenta este sistema musical es el de la quinta soplada. Si soplamos con fuerza en un tubo cerrado, correspondiente, por ejemplo, a Fa4, se obtendrá una quinta justa superior, es decir un Do5"... "Se llama tubo cerrado al que está obturado en el extremo inferior y que posee la característica de 'quintear' así como el tubo abierto posee la de 'octavear'. En realidad se trata de la quinta de la octava superior, pero, auditivamente, produce el efecto de una quinta justa" ... "Pero este Do5, también se puede obtener soplando normalmente en otro tubo que mida dos tercios de la longitud del primero (Fa4)". "Al cortarse un tercer tubo, que mida dos tercios de Do5, se obtendrá una quinta justa superior de Do5, es decir, Sol5. Como este sonido está muy alejado de huang-chung (*), se duplica su longitud y se obtiene Sol4, dado que la relación doble corresponde a la octava. Pero los teóricos chinos se dieron cuenta de que podían obtener ese mismo Sol4, cortando un tubo que midiera cuatro tercios de Do5". "Trabajando así, y siempre sucesivamente con las relaciones dos tercios y cuatro tercios, llegaron a la escala de los 12 lü, con la cual se alcanza la octava. No la octava justa, por cierto, ya que la razón 1:2 nunca equivale a la ecuación 122/3 (**). Obtuvieron entonces, una escala dodecafónica de temperamento desigual". [7, págs. 55-56] * (N. del A.) El "huang-chung" corresponde, en este caso, a Fa4. ** (N. del A.) Aparte del error de imprenta se desea explicar que: 2 / 1 + (3 / 2)12/ 26, para formar proporción decimos que 2 / 1 = x12 / 26, luego 1 · x12 = 2 · 26, despejando x nos queda: x = 12 √ 128 = 1,4983, es decir la quinta del temperamento igual. Pensamos que, a la luz de ambos grupos de citas, un estudiante, o un musicólogo no especializado, podría sacar, tal vez, las siguientes conclusiones: 1.1.- Para muchos autores la longitud de un tubo es inversamente proporcionar a su frecuencia; así un tubo que es la mitad de otro suena a la octava aguda. 1.2.- Algunos autores hablan de una corrección en la longitud de los tubos cuando se refieren al aire como cuerpo resonante. 1.3.- Un autor dice que para efectuar la corrección en la longitud de los tubos se debe multiplicar 2,7 . R. 2.1.- La quinta soplada es aquella que resulta de igualar las frecuencias, despreciando la octava, entre el tercer armónico de un tubo, con otro que resulta ser 2/3 más corto que el primero; dicha quinta es algo más grave que la quinta natural y que, según Hornbostel, origina un valor de 678 cents. En realidad, en vez de conclusiones podríamos decir confusiones. PARTE II

1º. Un decrecimiento constante en la longitud de los tubos no es inversamente proporcional al crecimiento de sus frecuencias. Este crecimiento, no basado en una constante, es siempre menor que el teórico. 2º. El tercer armónico que produce un tubo tiene una frecuencia que se corresponde con su número de orden; resulta de multiplicar por tres la frecuencia de su fundamental. Dicho de otro modo: el tercer armónico guarda con su fundamental una relación constante de 1902 cents. Nuestro trabajo posee abundante material como para demostrarlo experimentalmente. 3º. Reuniendo los puntos 1º y 2º deducimos: Si se resta una octava al tercer armónico se logra una quinta natural (702 cents) que no concuerda con la quinta que se obtiene derivando la longitud de un tubo a 2/3 de otro. La primera es más aguda que la segunda. Para hallar el valor de la disminución frecuencial arriba observada se debe conocer la longitud absoluta del tubo que se toma como referencia o punto de partida. A esta disminución la llamaremos "Desviación" (D), y la definimos así: "Es el cociente entre la frecuencia teórica que debe producir un tubo y la que en realidad produce al ser derivado longitudinalmente de otro". Como consecuencia de la desviación, la quinta resultará, obviamente, más grave que la quinta natural; tendremos entonces: Quinta natural / Desviación = Valor real de la quinta. A este valor real lo llamaremos "Intervalo cerrado" (Ic) y lo definimos así: "Es el cociente entre la relación frecuencial teórica que debe producir un intervalo dado y su correspondiente 'Desviación'". El nombre "Intervalo cerrado" es porque la relación se produce entre dos tubos cerrados y no por ser más pequeño el intervalo. Con el concepto de "Intervalo cerrado" se puede abarcar cualquier relación interválica: segunda cerrada, tercera cerrada, etcétera, que veremos más adelante. Por el momento insistiremos con la quinta. Para confeccionar la Tabla Nº 1 partimos de la siguiente pregunta: ¿Qué relación interválica real ("Intervalo cerrado") se produce entre un tubo de 21 cm de longitud y otro que es 2/3 más corto?

Relación buscada TUBO 1 TUBO 2 Cálculos realizados

Longitud real (Lr) 21 cm 14 cm 21 : 3/2 = 14

Longitud acústica (La) 21,7 cm 14,7 cm 21 + 0,7 = 21,7 ; 14 + 0,7 = 14,7

Frecuencia real (Fr) 391,705 c/s 578,231 c/s 8500 : 14,7 = 578,231

Frecuencia teórica (Ft) 587,558 c/s 391,705 . 3/2 = 587,558

Desviación (D) 28 cents 587,558 : 578,231 = 1,0161 = 28

Intervalo teórico (It) 702 cents 3/2 = 702

TABLA 1 - EJEMPLO DE LONGITUD-FRECUENCIA

Intervalo cerrado (Ic) 674 cents 702 - 28 = 674

Explicación: se ha partido de un tubo de 21 cm de longitud (1º tubo), luego se ha derivado otro a 2/3 (14 cm, 2º tubo). Para hallar sus respectivas frecuencias primero se deben sumar a sus longitudes el error de boca (0,7 cm), por eso 21,7 cm y 14,7 cm. La frecuencia del primer tubo es de 391,705 c/s (8500 : 21,7 = 391,705) la frecuencia del segundo es de 578,231 c/s (8500 : 14,7 = 578,231) La frecuencia teórica que debería poseer el tubo de 14 cm es de 587,558 c/s (391,705 · 3/2 = 587,558) Existe pues una diferencia entre la frecuencia teórica y la frecuencia real 578,558 : 578,231 = 1,0161 = 28 cents que es el valor de la desviación. En consecuencia la quinta natural 3/2 (702 cents) ha quedado reducida: 1,5 : 1,0161 = 1,4762 = 674 cents Es claro que 674 + 28 = 702 cents Diremos entonces que 674 cents es la relación frecuencial que se produce entre dos tubos de longitudes 21 cm y 14 cm respectivamente, conservando una relación longitudinal de 2/3 · Ic = 674 cents; D = 28 cents Relación buscada o Intervalo teórico = 702 cents

Fórmulas para hallar el Intervalo cerrado (Ic) y la Desviación (D)

Longitud real

( ) cents 6744762,17,14

7,21

7,05,1

21

7,021 1 ===

+

+=

+

+=

ε

ε

I

Lr

LrIc

( ) cents 6744762,17,14

7,21

7,014

7,05,1 14 1 ===

+

+⋅=

+

+⋅=

ε

ε

Lr

ILrIca

Longitud acústica

( ) cents 6744762,1700,14

700,21

0,71,5

0,721,700

21,700 2 ===

+−

=

+−

=

εε

I

La

LaIc

( ) cents 6744762,1700,14

700,21

700,14

5,1 5,1

7,07,0700,14

2 ===⋅+−

=⋅+−

=

La

II

La

Ica

εε

D = I : Ic = 1,5 : 1,4762 = 1,0161 = 28 cents Se han ejemplificado tomando los datos de la Tabla Nº 1, por eso los resultados de las cuatro fórmulas son iguales, porque conocemos de antemano las longitudes reales y las acústicas de ambos tubos; en la práctica resulta evidente que conocemos un solo dato. La fórmula (1) se aplica cuando se parte de una longitud real y el segundo tubo es más corto (intervalo ascendente); la (1a) es la inversa: se parte de una longitud real, pero el segundo tubo es más largo (intervalo descendente). La fórmula (2) se aplica cuando se parte de una frecuencia que expresamos como longitud acústica por ser lo mismo y más directo (8500 : 391,705 c/s = 21,700 cm) su empleo es para intervalos ascendentes; la (2a) es para intervalos descendentes. En el caso de las fórmulas (1) y (1a) los decimales de la longitud real son los que el investigador mide directamente, en general uno solo, si lo hay. En las fórmulas (2) y (2a), en el caso de haberlos, deben existir por lo menos tres decimales. Por eso hemos dejado el número 21,700 cm para recordar esta situación. La Tabla Nº 2 presenta valores, siempre en cents, para los intervalos cerrados comprendidos entre el DO1 y el DO9, es decir que abarcan longitudes de tubo que van

aproximadamente desde 260 cm hasta menos de 1 cm; bastante más de lo que puede soplar un hombre. Tabla Nº 2

Descripción: se ha construido sobre la frecuencia convencional de 440 c/s (LA4); en consecuencia el DO1, temperamento igual, tiene 32,703 c/s. A partir de este DO1 se han hallado los distintos valores conforme al ciclo de quintas (progresión geométrica, en el original decía: naturales) hasta la nº 12 (SI#) al ascender, y la nº 8 al descender (FAb). Luego se ha repetido la misma operación para el DO2 (32 · 2) y así sucesivamente hasta alcanzar el DO8. (el si# posee 1224 cents por ser convencional, el cálculo preciso da 1223,46) Encima del nombre de cada sonido encontramos la relación teórica que se produce entre ese sonido y otro de 0 cents que corresponde a los diversos DO. Sobre estos valores se encuentran números que representan el alejamiento en quintas (siempre con respecto a DO), las ascendentes son números positivos (ej.: FA# tiene el 6), y las descendentes son números negativos (ej.: SOLb tiene el -6). Por razones de comodidad los subíndices de la izquierda se encuentran a la izquierda del 0. Antes de pasar a los ejemplos digamos que todos los valores de la Tabla fueron hallados, como no podría ser de otra manera, con las fórmulas ya mencionadas. Exposición con ejemplos Nº 1 ¿Cuál es el Ic entre un tubo DO4 y otro SOL4?

En la línea del DO4 se ve que el SOL (que es SOL4) tiene anotado el valor de 683 cents y cuyo valor teórico es de 702 cents. La desviación es de 19 cents porque 702 - 683 = 19 cents Para comparar mejor el intervalo cerrado y el teórico, este último figura entre paréntesis en todos los ejemplos. Nº 2 ¿Cuál es el Ic entre un tubo MI5 y otro SI5?

En la línea del DO5 se ve el MI5 con 388 cents y el SI5 con 1044 cents. El intervalo cerrado es de 656 cents porque 1044 - 388 = 656 cents El intervalo teórico es de 702 cents porque 1110 - 408 = 702 cents

(obsérvese sobre el SI: 1110 y sobre el MI: 408). La desviación es de 46 cents porque 702 - 656 = 46 cents Nº 3 ¿Cuál es el Ic entre un tubo DO#3 y otro SOL#3?

En la línea del DO3 se ve el DO#3 con 112 cents y el SOL#3 con 804 cents. El intervalo cerrado es de 692 cents porque 804 - 112 = 692 cents El intervalo teórico es de 702 cents porque 816 - 114 = 702 cents La desviación es de 10 cents porque 702 - 692 = 10 cents Los ejemplos nºs. 1, 2 y 3 muestran el verdadero valor para una quinta natural (702 cents) dentro de alguna octava de DO. Veamos otros casos. Nº 4 ¿Cuál es el Ic entre un tubo RE4 y otro LA5?

En la línea de DO4 se ve el RE4 con 199 cents y en la línea del DO5 se ve el LA5 con 855 cents; pero como la extensión interválica supera la octava hay que considerar el valor de la octava DO4 DO5 es decir 1163 cents. Luego el intervalo cerrado es de 1819 cents porque 1163 - 199 + 855 = 1819 cents El intervalo teórico es de 1902 cents porque 1200 - 204 + 906 = 1902 cents La desviación será de 83 cents porque 1902 - 1819 = 83 cents Para una mejor captación del intervalo cerrado es bueno quitarle, es este caso, una octava: 1819 - 1200 = 619 cents le podemos restar una octava natural porque 1819 cents representa una relación real, la auditiva. Realizamos la misma quita al intervalo teórico: 1902 - 1200 = 702 cents La desviación es, desde luego, la misma, nada cambia: 702 - 619 = 83 cents Notamos con claridad que la desviación es casi un semitono temperado. El ejemplo nº 4 muestra en realidad la verdadera relación frecuencial cuando un tubo mide la tercera parte de otro: el LA5 mide 1/3 de RE4, su relación o intervalo cerrado, como

dijimos, es de 1819 cents que al quitarle una octava (1200 cents) arroja un valor de 619 cents: prácticamente queda una quinta disminuida. Nº 5 Pero veamos cuál es el intervalo cerrado entre el RE4 y el LA4 ya que tal vez podríamos suponer que su valor es de 619 cents.

En la línea del DO4 se ve el RE4 con 199 cents y el LA4 con 880 cents. El intervalo cerrado es de 681 cents porque 880 - 199 = 681 cents El intervalo teórico es de 702 cents porque 906 - 204 = 702 cents La desviación es de 21 cents porque 702 - 681 = 21 cents Esta diferencia se produce porque la octava no coincide con la mitad del tubo; en el primer caso el LA5 es 1/3 de RE4; en el segundo caso LA4 es 2/3 de RE4, lo cual lleva a pensar en esta posibilidad: si se verifica un valor de 619 cents entre un RE4 y un LA4 (valor que debe dar 681 cents) se puede deber a que, una vez cortado un tubo a la tercera parte de otro, se haya trasladado de oído ese LA5 a la octava inferior, con lo cual la relación longitudinal RE4 LA4 deja

de ser 2/3 para convertirse en una relación bastante más compleja, (723 / 500 aprox.), pero que ha partido de un procedimiento sencillo. Cuando hablamos de un traslado auditivo de octava nos estamos refiriendo a la relación de 1200 cents. Hasta aquí hemos visto relaciones de quinta y de quinta compuesta. Analicemos relaciones con mayores alejamientos en quintas.

Nº 6a ¿Cuál es el Ic entre un tubo DO4 y otro LA4?

En la línea del DO4 se ve el LA4 con 880 cents, la relación teórica indica 906 cents. El intervalo cerrado es de 880 cents porque 880 - 0 = 880 cents La desviación es de 26 cents porque 906 - 880 = 26 cents El alejamiento entre DO4 y LA4 es de tres quintas (DO - SOL - RE - LA) vale decir que el LA4 se obtuvo luego de tres disminuciones consecutivas de longitud en base a la constante 2/3 dentro de los límites de la octava, lo cual involucra a la relación 4/3 (2/3 · 2). Nº 6b ¿Cuál es el Ic entre un tubo DO4 y otro LA5?

En la línea del DO4 se ve el DO4 con 0 cent, y en la línea del DO5 se ve el LA5 con 855 cents. Debemos considerar los 1163 cents de la octava DO4 DO5. El intervalo cerrado es, en consecuencia, de 2018 cents porque 1163 - 0 + 855 = 2018 cents El intervalo teórico es de 2106 cents porque 1200 - 0 + 906 = 2106 cents La desviación es de 88 cents porque 2106 - 2018 = 88 cents Para un mejor análisis restamos octavas: 2018 - 1200 = 818 cents el intervalo teórico es de 906 cents porque 2106 - 1200 = 906 cents Nº 7 Como dijimos en el ejemplo nº 5, un traslado auditivo de octava implicaba partir de un procedimiento sencillo para arribar a una relación frecuencialmente semejante pero longitudinalmente compleja. Nos detendremos muy especialmente en este punto.

TRASLADOS AUDITIVOS DE OCTAVA Derivación frecuencial a la octava inferior:

(3) Lr · 2 + ε Si tenemos un tubo de longitud real de 12 cm -por ejemplo- entonces su octava grave corresponderá a un tubo de 24,7 cm (12 · 2 + 0,7). Derivación frecuencial a la octava superior: (4) Lr - ε / 2 Si tenemos un tubo de longitud real de 29 cm -por ejemplo- entonces su octava aguda corresponderá a un tubo de 14,15 cm (29 - 0,7 / 2).

Nº 7a ¿Cuál es la relación longitudinal y frecuencial entre un tubo FA4 y otro LA4 si este último sufrió un traslado auditivo desde LA5?

El FA4 tiene 348, 835 c/s (DO4 261,626 · /34), su longitud acústica es de 24,367 cm; la

relación longitudinal y la frecuencia teórica es igual a 2,53125 (34/ 25), es decir el intervalo teórico (I). 1º. Se aplica la fórmula (2) ya que se parte de longitud acústica con intervalo ascendente.

cents 15334246,205,10367,24

7,053125,2

7,0367,24367,24 ===

+−=cI

se capta más fácilmente: 1533 - 1200 = 333 cents 2º. Se convierten ambas longitudes en reales: 24,367 - 0,7 = 23,667 cm; 10,05 - 0,7 = 9,35 cm 3º. Se aplica la fórmula (3) al LA5: 9,35 · 2 + 0,7 = 19,4 cm 4º. Se realiza el cociente correspondiente:

2199,14,19

667,23 == relación longitudinal FA4 LA4 con traslado de octava

5º. Se verifica la relación frecuencial:

cents 3332123,11,20

367,247,04,197,0667,23 =

++ ==

Resumiendo: Relación longitudinal = 1,2199; Relación frecuencial = 1,2123 = 333 cents. Nº 7b ¿Cuál es la relación longitudinal y frecuencial entre un tubo FA4 y otro LA3 si este último sufrió un traslado auditivo desde LA5?

1º. Se traslada el LA4 obtenido a la octava inferior LA3 -fórmula (3)-: 194 2 0 7 395, , ,⋅ + = cm 2º. Se realiza el cociente correspondiente:

669,1667,235,39 = relación longitudinal FA4 LA3

(Es evidente que se inviertan numerador y denominador) 3º. Se verifica la relación frecuencial:

( )3331200 cents 8676498,17,0667,23

7,05,39 −==+

+

Nº 7c ¿Cuál es la relación longitudinal y frecuencial entre un tubo FA4 y otro LA4 si este último sufrió un traslado auditivo desde LA3?

1º. Se aplica la fórmula (2a) ya que se parte de longitud acústica con intervalo descendente:

cents 7745635,1367,24099,38

367,24

5802,1 5802,1

7,07,0367,24===

⋅+−=

Ic

2º. Se convierten ambas longitudes en reales: 24,367 - 0,7 = 23,667 cm; 38,099 - 0,7 = 37,399 cm 3º. Se aplica la fórmula (4) al LA3: 37,399 - 0,7 / 2 = 18,35 cm 4º. Se realiza el cociente correspondiente:

== 2898,135,18667,23 relación longitudinal FA4 LA4 con traslado de octava

5º. Se verifica la relación frecuencial:

( )7741200 cents 4262791,105,19367,24

7,035,187,0667,23 −===

++

Para una segunda derivación se repite lo dicho para el ejemplo Nº 7b, aplicando la fórmula (4). Nº 8 Surgen ahora con claridad estas relaciones frecuenciales entre FA4 y LA4:

Es interesante ver en este ejemplo, a modo de resumen, los distintos valores que ha adquirido el intervalo en estudio. El Ic es de 394 cents y la D es de 14 cents; por otro lado, con la derivación a la octava inferior desciende a 333 cents y con la derivación a la octava superior el valor asciende a 426 cents. Es realmente notoria la diferencia entre los valores extremos. Tengamos en cuenta que se logran aún más valores realizando los traslados con el FA. No resulta difícil darse cuenta que las derivaciones auditivas de octava, en cuanto a su relación frecuencial, pueden buscarse directamente en la Tabla Nº 2. Para el ejemplo Nº 9 empleamos solo la Tabla. Nº 9 Dada una relación se sumarán o se restarán 1200 cents; 2400 cents si las octavas son dos; 3600 cents si son tres, y así sucesivamente. 1º. Para el ejemplo Nº 6b, la relación DO4 LA5 es de 2018 cents; luego 2018 - 1200 = 818 cents es la relación DO4 LA4 (con derivación de octava de este último por supuesto). 2º. Para el ejemplo Nº 7a, la relación FA4 LA5 es de 1532 cents (en el ejemplo mismo da 1533 cents, diferencia que no cambia nada; lo veremos al final); 1532 - 1200 = 332 cents que es la relación FA4 LA4. 3º. Para el ejemplo Nº 7b, la relación FA4 LA5 es de 1532 cents y hay que quitarle dos octavas; 2400 - 1532 = 868 cents que es la relación FA4 LA3 (en el ejemplo mismo da 867 cents).

4º. Para el ejemplo Nº 7c, la relación FA4 LA3 es de 774; luego 1200 - 774 = 426 cents es la relación FA4 LA4. En cuanto a las relaciones longitudinales los cálculos son imprescindibles. Pasemos ahora a ejemplos que tienen que ver con la quinta nº 12 (para nosotros SI#). Hemos optado por ubicar los valores de la quinta nº 12 (SI#) de manera que quedara de manifiesto su relación con la octava teórica (1200 cents) y con la octava como mitad de un tubo, es decir, las distintas octavas cerradas de los diversos DO. Así, es SI#1, que no figura directamente en la Tabla, se obtiene muy fácilmente; el SI#2

tiene anotado un valor de 1219 cents; luego SI#2 menos DO2 =1219 - 1195 = 24 cents, valor para el SI#1. Nº 10 ¿Cuál es el Ic entre en tubo SI#4 y otro MI#3?

El SI#4 aparece con un valor de 1204 cents, y el MI#3 con un valor de 515 cents. El Ic es de 689 cents porque 1204 - 515 = 689 cents El intervalo teórico es de 702 cents porque 1224 - 522 = 702 cents La D es de 13 cents, porque

702 - 689 = 13 cents Nº 11 ¿Cuál es el Ic entre un tubo DO3 y otro SI#4?

El DO3 tiene 0 cent, el SI#4 tiene 1204 cents, entonces el Ic es de 1204 cents, porque 1204 - 0 = 1204 el intervalo teórico es de 1224 cents, porque 1224 - 0 = 1224 cents La desviación es de 20 cents, porque 1224 - 1204 = 20 cents Se han colocado en el ejemplo los valores para la octava DO3 DO4 a fin de comparar mejor la relación entre la octava teórica (1200 cents), la octava cerrada (1181 cents), la octava cíclica teórica (1224 cents), y la octava cíclica cerrada (1204 cents). Apreciamos que el alejamiento entre la octava cíclica cerrada y la octava teórica es de 4 cents, porque 1204 - 1200 = 4 cents lo cual, en términos prácticos, significa lisa y llanamente el unísono.

Nº 12 ¿Cuál es el Ic entre un tubo DO4 y otro SI#5?

El DO4 tiene 0 cent, el SI#5 tiene 1186 cents, entonces el Ic es igual a 1186 cents, porque 1186 - 0 = 1186 cents el intervalo teórico es de 1224 cents; la desviación es de 38 cents, porque 1224 - 1186 = 38 cents Por otro lado tenemos: octava teórica = 1200 cents; octava cerrada = 1163 cents; ahora el alejamiento entre la octava cíclica cerrada y la octava teórica es de -14 cents; porque 1186 - 1200 = -14 cents El empleo de los cents negativos es interesante puesto que nos indican que al intervalo en cuestión le faltaban tantos cents para alcanzar el intervalo teórico. Así es más simple saber en qué sentido ocurre el alejamiento. Vemos que en el ejemplo Nº 11 la quinta nº 12 excede ligeramente a la octava, 4 cents, en tanto que en el ejemplo Nº 12 la quinta nº 12 está por debajo de la octava en 14 cents. Nº 13 ¿Cuál es el Ic entre un tubo SOL4 y otro FAx5?

Este ejemplo es importante porque, 1º) el FAx5 no figura en el Tabla, y 2º) se aprende a derivar la quinta nº 12 a partir de cualquier sonido. 1º. Se halla el valor de la octava cerrada SOL4 SOL5: DO5 - SOL4 + SOL5 = 1163 - 683 + 665 = 1145 cents 2º. Se buscan los máximos y mínimos probables para la relación octava cerrada y octava cíclica cerrada. El máximo es de 23 cents, porque SI#5 - DO5 = 1186 - 1163 = 23 cents El mínimo es de 21 cents, porque SI#6 - DO6 = 1148 - 1127 = 21 cents Entonces realizamos una media aritmética: (23 + 21) / 2 = 22 cents que, insistimos, no solo será válida para la relación que nos ocupa. 3º. Luego se suma el valor obtenido para la octava SOL4 SOL5 y el promedio para una octava: 1145 + 22 = 1167 cents Entonces el Ic SOL4 FAx5 es de 1167 cents. El intervalo teórico entre un sonido y su quinta cíclica nº 12 es siempre de 1224 cents. La desviación es de 57 cents, porque 1224 - 1167 = 57 cents el alejamiento con respecto a la octava teórica es de -33 cents, porque

1167 - 1200 = -33 cents Al FAx5 le corresponde figurar en la Tabla con un valor de 687 cents porque SOL5 + 22 = 665 + 22 = 687 cents su intervalo teórico es de 726 cents, porque 1224 + 702 - 1200 = 726 cents Es así cómo pueden hallarse valores que no figuran explícitamente en la Tabla Nº 2. Nº 14 ¿Cuál es el Ic entre un tubo RE3 y otro DOx4?

Sin más explicación seguimos los mismos pasos del ejemplo Nº 13: 1º. Ic = RE3 RE4 = 1181 - 202 + 199 = 1178 cents 2º. Máximo 23 cents; mínimo 23 cents; obviamente (23 + 23) / 2 = 23 cents 3º. 1178 + 23 = 1201 cents Entonces el Ic RE3 DOx4 es de 1201 cents. El intervalo teórico es de 1224 cents. La desviación es de 23 cents, porque 1224 - 1201 = 23 cents el alejamiento con respecto a la octava teórica es de 1 cent, porque 1201 - 1200 = 1 cent Al DOx4 le corresponde figurar en la Tabla con un valor de 222 cents, porque

RE4 + 23 = 199 + 23 = 222 cents su intervalo teórico es de 228 cents porque 726 (FAx, quinta anterior) + 702 - 1200 = 228 cents En cuanto a los pequeños números que indican el alejamiento en quintas, al FAx le corresponde el 13 y al DOx el 14. Nº 15 En este último ejemplo, que cierra la exposición matemática, deseamos remarcar un aspecto que puede prestarse fácilmente a confusiones. ¿Cuál es Ic entre un tubo DO4 y otro MI4?

El Ic = 398 cents y la D = 10 cents. La distancia entre DO y MI es de cuatro quinta (DO SOL RE LA MI). La longitud DO genera SOL, la longitud SOL genera RE, la longitud RE genera LA, y la longitud LA genera MI. Esto parece muy claro, pero sin embargo pueden surgir errores si se suman los valores de los cuatro intervalos:

La suma es igual a 2330 cents; luego entendemos mejor quitando una octava: 2330 - 1200 = 1130 cents, valor por demás disparatado Una vez obtenida la longitud RE como 2/3 de SOL se la debe duplicar a fin de ubicarla dentro de los límites de la octava, hecho que vuelve a producirse entre el MI como 2/3 de LA; al MI hay que duplicarle su longitud. En consecuencia el cálculo resulta:

683 - 484 + 681 - 482 = 398 cents, que es lo correcto Si el caso se presenta de esta manera: ¿Cuál es el Ic entre un tubo DO4 y otro MI6?

Entonces los valores se sumarán: 683 + 675 + 660 + 641 = 2659 cents de Ic la D = 149 cents, porque 702 + 702 + 702 + 702 = 2808 cents luego 2808 - 2659 = 149 cents Para captar mejor la relación restamos al Ic dos octavas: 2659 - 2400 = 259 cents En este caso SOL es 2/3 de DO; RE es 2/3 de SOL; LA es 2/3 de RE, y MI es 2/3 de LA. Notemos, por otro lado, que 259 cents es la respuesta a la siguiente pregunta: ¿Cuál es la relación frecuencial entre un tubo DO4 y otro MI4 si este último sufrió un traslado auditivo desde MI6?

II PARTE CONCLUSIONES

Con respecto a los tubos 1º. El error de boca es siempre un valor experimental y se emplea, según los casos, el más

probable, en consecuencia: 'Valor absoluto para un intervalo dado' significa siempre valor más probable.

2º. "La longitud de un tubo no es inversamente proporcional a su frecuencia" por causa del error de boca.

3º. Toda relación longitudinal genera siempre valores frecuenciales más graves que los teóricos. 4º. Toda octava cíclica cerrada es siempre mayor que la octava cerrada, y casi siempre menor que

la octava teórica (de mantenerse un mismo ε). 5º. Es impreciso decir que una derivación longitudinal constante (2/3, 4/3), dentro de los límites

de la octava, acumula paulatinamente disminuciones frecuenciales; la quinta nº 1, por ejemplo, se desvía más que la quinta nº 4. Si la postulación fuese cierta debería ocurrir lo contrario. El planteo correcto es: si se ordenan los tubos en forma decreciente a su longitud, las frecuencias se desvían paulatinamente; así la frecuencia del tubo nº 7, por ejemplo, se desvía más que las de los nºs 6, 5, 4, etcétera. Si las frecuencias se desvían cada vez más, quiere decir que la corrección en la longitud de los tubos debe ser cada vez mayor, por más pequeña que la corrección pudiera resultar a los efectos prácticos. Deducimos: si un grupo de los tubos tiene el mismo diámetro, las condiciones de cambio se remiten solo a su longitud; en consecuencia al tubo más corto debe corresponderle un error de boca que al tubo más largo. Reiteramos: aunque esta corrección no resultase demasiado significativa prácticamente. Podemos decir entonces que "el error de boca no es directamente proporcional al diámetro"; el crecimiento del error de boca es siempre menor. Por este motivo es mal argumento deducir el error de boca a partir del diámetro o del radio con empleo de un factor experimental; es el caso ya citado de 2,7 · R (cita nº 5, con respecto a los tubos). Aquí, de todas maneras, el factor 2,7 es absolutamente equivocado ya que a un acústico no le puede constar esta barbaridad. Aun sin compartir este modo de operar, dicho factor no puede ir más allá de 1,3; quede claro: este factor genera igualmente errores. 6º. Las columnas aéreas excitadas por resonancia, siempre muy sensibles a los cambios de temperatura, se emplean para medir la velocidad del sonido en el aire. Los errores de boca, en estos casos, son de aproximadamente 1/3 del diámetro del tubo continente. No ocurre lo mismo cuando las columnas son excitadas por soplo, en este caso el aire no resuena; es el cuerpo sonoro mismo. Por otro lado, son poco sensibles a los cambios de temperatura debido, fundamentalmente, a la alta presión generada por el soplo y a que el aliento humano tiende a conservar la misma temperatura.

En principio no advertimos mala intención en ningún autor; vemos desconocimiento en unos, y desinterés en otros. El problema longitud - frecuencia ha importado siempre a los constructores de instrumentos de viento, pero no tanto a los físicos, que parecieran querer sacarse rápidamente la cuestión de encima. Con respecto a la quinta soplada La quinta soplada es una teoría que propone la concurrencia de tres fenómenos: físico, psicoacústico, e histórico. - Su parte física tiene que ver con una longitud específica tomada como punto fundamental de un sistema de afinación. Esta longitud es de 23 cm. Si a partir de allí comienzan a cortarse tubos en base a la constante 2/3, dentro de los límites de la octava, las quintas obtenidas pueden confiadamente promediarse en 678 cents (esto siempre y cuando el error, o errores, de boca

empleados surjan de la experimentación, no de la fantasía). En verdad, dado el margen de fluctuación de la frecuencia producida por un tubo y, por otro lado, que la frecuencia misma es una magnitud que se toma siempre indirectamente, podríamos obtener muchos promedios diferentes en más o en menos. Lo cierto es que la desviación ronda un valor muy conocido: la coma pitagórica (24 cents). Entonces, ¿por qué no dejar ese valor que forma parte de los más probables? - Por vía de la psicoacústica es posible explicar la contradicción física que surge entre la quinta derivada longitudinalmente a 2/3 de un tubo de 23 cm, y la quinta derivada de su tercer armónico. Apuntamos esta diferencia en el comienzo de la II Parte, punto 3º. Sin embargo, esta diferencia (en este caso, de 24 cents) objetiva, puede transformarse en igualdad en el plano netamente práctico. Como en el campo de la psicoacústica los juicios dependen del sujeto, ¿quién mejor que usted mismo para responder si se puede lograr la igualdad o no? Seguidamente pautamos un experimento para tal fin. En todos los casos se trabajará con un diámetro de 1,2 cm, aproximadamente, y todas las ponderaciones se realizarán solo con el oído. a) 1. Corte un tubo de 23 cm de longitud. 2. Corte otro tubo a 2/3 del primero - 15,3 cm-. 3. Produzca el tercer armónico del primer tubo. ¿Qué relación encuentra entre la fundamental del segundo tubo y el armónico del primero?

Estimativamente, ¿cuántos cents le pondría? b) 1. Produzca el armónico del primer tubo. 2. Afine otro tubo para dar la octava inferior del armónico del primer tubo. 3. Produzca las fundamentales de los dos tubos cortos. ¿Le resultó fácil derivar de un armónico un sonido fundamental una octava inferior? ¿Qué probabilidad le asigna a que se consideren al unísono a ambas quintas? - El aspecto histórico podríamos pensarlo así: Existió una medida patrón, empleada por una poderosa cultura, que progresivamente comenzó a dispersarse, hasta alcanzar lugares muy distantes a su epicentro; el patrón llevaría implícito su secreto. El patrón sería aquella coincidencia absoluta; su secreto, la relativa. Por último, se habrían trasladado, las relaciones obtenidas en los tubos, a los demás instrumentos. Hornbostel no equivoca el blanco en los dos primeros aspectos. Ambos puntos, aunque con alguna diferencia de orden físico, son plenamente respaldados por la experimentación. A nosotros no nos interesa saber si sus resultados fueron producto de la experimentación o de la especulación. Nos han importado, en grado sumo, los niveles de certeza alcanzados. Todo esto lo decimos quitando toda la connotación histórica, y solo en un marco de probabilidad acústica y psicoacústica. Con relación a lo histórico nuestra discrepancia es total, sobre todo si se tiene en cuenta que el supuesto pie chino de 23 cm, más allá de poder configurar una unidad de medida, es en promedio lo que mide un pie masculino en cualquier lugar, no es privativo de los chinos en cuanto a longitud.

Hornbostel no tiene el lugar que merece. ¡Por fin alguien había reparado en cosas tenidas por menos! Propuso una teoría por escrito y fundamentó. En verdad tuvo una idea genial. Luego vinieron los que, sacando de contexto a la quinta soplada, sin haber soplado nunca un tubo, pretendieron rechazar o adherir a la teoría; verdaderos responsables de numerosas confusiones. La quinta soplada es una teoría fundada sobre un tubo de 23 cm, no hay una ley de los tubos sonoros cerrados. Por este motivo, entre otros, hemos propuesto, formalmente, el Intervalo cerrado y la Desviación por entender que son herramientas específicas para un planteo científico de la relación longitud - frecuencia. Nuestro trabajo ha pretendido, en todo momento, alentar la investigación, porque en materia de tubos sonoros, en especial los de los instrumentos del pasado, queda mucho por descubrir, aprender, y asombrarse. NOTA. En todo el presente trabajo se ha colocado el acento en aspectos de importancia

musicológica, y con la mira siempre puesta en lo operativo hemos dejado de lado cuestiones de orden físico; entre otras: el comportamiento de la onda sonora dentro de un tubo, o fundamentar por qué el tercer armónico de un tubo guarda la relación que mencionamos oportunamente. Estos datos se encuentran en cualquier tratado de Física General o de Acústica.

FICHA TÉCNICA Nº 1 VALORES Y DEFINICIONES

Índice acústico: LA4 = 440 c/s Velocidad del sonido (c) = 340 m/s (para cálculos de longitudes y frecuencias). Unidad de longitud = cm Error de boca (ε) = 0,7 cm Unidad de medida interválica = cent Longitud acústica (La). Es la longitud teórica de un tubo que resulta de dividir por 4 una longitud de onda. Si deseamos saber cuál es la longitud acústica de un tubo para que produzca una frecuencia de 680 c/s, por ejemplo, procedemos así: longitud de onda

(λ) = c / f = 340 / 680 = 0,5 m; luego 0,5 / 4 = 0,125 cm por último convertimos metros en centímetros: 0,125 m · 100 = 12,5 cm

que es la longitud acústica de un tubo para dar 680 c/s. El cálculo corrido se sintetiza así: 340 : 4 · 100 / 680 = 12,5 cm y como el numerador permanecerá siempre constante quedará simplificado con el número 8500 (340 : 4 · 100) Entonces, la longitud acústica se obtiene (en centímetros) dividiendo 8500 por la frecuencia deseada, en este caso 8500 / 680 = 12,5 cm Es fácil advertir que, si partimos de una longitud acústica, obtendremos la frecuencia de emisión del tubo: 8500 / 12,5 = 680 c/s Error de boca (ε). Si soplamos en un tubo de 12,5 cm de longitud notaremos que su frecuencia es algo más baja que 680 c/s. Debemos entonces reducir un poco la longitud del tubo. A esta reducción se llama 'error de boca'. En general, teniendo en cuenta longitudes y diámetros, este error de boca varía aproximadamente entre un mínimo de 0,4 cm y un máximo de 0,9 cm. Nosotros tomamos siempre el valor de 0,7 cm (*). Longitud real (L r). Es la longitud efectiva del tubo luego de haber restado a su longitud acústica el error de boca. Así es que 12,5 cm - 0,7 = 11,8 cm de longitud real; ahora sí podemos decir que un tubo de 11,8 cm de longitud produce una frecuencia de 680 c/s. Queda, de esta manera, planteada una fórmula muy sencilla:

Lr = La - ε (longitud real = longitud acústica - error de boca). Si queremos saber cuál es la frecuencia que posee un tubo recién medido (longitud real), el procedimiento se invierte:

Lr + ε = La una vez hallada la longitud acústica bastará efectuar el cociente ya indicado: 8500 : La = f Entonces, para verlo en números,

11,8 cm + 0,7 cm = 12,5 cm de longitud acústica; luego 8500 : 12,5 = 680 c/s. * Experimentalmente hemos comprobado que este valor (0,7 cm) es muy operativo a los efectos de la investigación musicológica. Proponemos, en consecuencia, que 0,7 cm sea normalizado como error de boca musicológico, hecho que consideramos necesario ya que hay condiciones que muchas veces son desconocidas; si se nos dice que en el pasado existió un tubo patrón de 23 cm de longitud y desconocemos su diámetro, por ejemplo, nos vemos obligados, de todas maneras, a hipotetizar un error de boca para averiguar su frecuencia. A fin de aunar criterios insistimos en la necesidad de emplear 0,7 cm como error de boca musicológico para un patrón frecuencial de 440 c/s y una velocidad de 340 m/s.

FICHA TÉCNICA Nº 2 1º. Cent: sistema logarítmico de base 1200 2 (1,00057779). Deseamos saber cuántos cents le corresponden a los números 1,5 y 1,4382. Se busca el logaritmo común (base 10) del número deseado, se lo multiplica por 3986,3 (*) y

se redondea el resultado: log. 1,5 · 3986,3 = 0,17609 · 3986,3 = 702 cents log. 1,4382 · 3986,3 = 0,15782 · 3986,3 = 629 cents * El número 3986,3 es el recíproco del logaritmo de la base del sistema. Recomendamos

vivamente el libro Aprenda matemáticas en 15 días. Singer, Francisco L. ed. Neo Técnica. Buenos Aires, 1988. 7ma. edición. (Colección Christian Gellert).

En virtud de que los cents se expresan, por lo general, como valores enteros, la búsqueda de un resultado por diferentes caminos suele arrojar diferencias que en la práctica no cambian nada. Para cálculos de gran extensión interválica la diferencia es de unos ± 4 cents, según opere con la Tabla Nº 2 ó con las fórmulas (con varios decimales). La Tabla Nº 2 es también efectiva para realizar cálculos con frecuencias temperadas o de la escala natural; la diferencia con respecto a las fórmulas es de unos ± 3 cents, siempre que el error de boca sea 0,7 cm y el patrón frecuencial de 440 c/s. (Resulta evidente que con las fórmulas todos los resultados serán exactos con cualquier escala, con cualquier patrón frecuencial, y con cualquier error, o errores de boca). 2º. Cuando en la práctica se toma la frecuencia de emisión de un tubo, y se verifica, luego de medir su longitud, que el error de boca que debería corresponderle supera notoriamente los valores estadísticos, el comportamiento del tubo no es el del tubo cilíndrico. Nuestro cometido no es analizar el comportamiento de estos tubos, solo diremos que en la investigación el caso se presenta frecuentemente. Éste es uno de los motivos principales por el cual carece de valor

científico - en trabajos que pretendan estudiar sistemas de afinación - consignar la frecuencia de los tubos sin sus correspondientes longitudes. En verdad se debe consignar, siempre, la mayor cantidad de datos posibles, y no dejar ningún margen de dudas con respecto al índice acústico empleado, ni a los cálculos matemáticos realizados. BIBLIOGRAFÍA 1. Castiglioni; Peralta; Rela. "Física 1", ed. Troquel. Buenos Aires, 1981, 4ta. ed., 1985. 2. Cattoi, Blanca. "Apuntes de Acústica y Escalas exóticas", ed. Ricordi Americana. Buenos Aires, 1939. 3. Daniélou, Alain. "Traite de musicologie comparée", ed. Hermann. París, 1959. 4. Efron, Alexander. "Exploring Sound", Hayden Book Company, New York, 1957. Trad. Jorge Jauregui, "El Mundo del Sonido", ed. Bell. Buenos Aires. Impreso en 1971. 5. Fernández y Galloni, E. "Física Elemental", ed. Nigar. Buenos Aires, 6ta. ed., 1962. 1ra. edición en 1939. 6. Lavignac, Albert. "La Música y los Músicos", ed. El Ateneo. Buenos Aires, 1948. Trad. Julia B. de Martín. (1ra. edición en francés 1895). 7. Locatelli de Pérgamo, A. María. "La música tribal, oriental y de las antiguas culturas mediterráneas", ed. Ricordi Americana. Buenos Aires, 1980. 8. Matras, Jean - Jacques. "Le son", Presses Universitaires, París, 1948. Trad. Victor Boully. "El sonido", ed. Orbis. Buenos Aires. Impreso en 1988. 9. Olazábal, Tirso de. "Acústica musical y organología", ed. Ricordi Americana. Buenos Aires, 1954. 10. Sachs, Curt. "Musicología comparada", ed. Eudeba. Buenos Aires, 1967. Trad. E. Epstein. 11. Vega, Carlos. "Escalas con semitonos en la música de los antiguos peruanos". Separatas de Las Actas, Tomo I, págs. 349 - 381, del XXV Congreso Internacional de Americanistas, 1932.