el ensayo de tracción 1.1 curva esfuerzo - deformación ... · en el punto de corte de ambas...

Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo I. El ensayo de tracción

Departamento de Ingeniería Metalúrgica – USACH. 1 - 1

El ensayo de tracción

1.1 Curva esfuerzo - deformación ingenieril

El Ensayo de tracción se realiza bajo la norma ASTM E-8, o bien la norma chilena NCH 200,

entre otras. Su importancia radica en que es válido y aceptado para especificación de

materiales en ingeniería.

La información básica que se puede extraer de un ensayo de tracción se resume en la figura

siguiente:

i = esfuerzo ingenieril = P/A0 en que P es la carga aplicada a A0 es el área inicial

i = deformación ingenieril = 0l

l siendo l = l – l0 el alargamiento de la probeta, l su

longitud instantánea y l0 su longitud inicial

El UTS (Ultimate Tensile Strength), se refiere al esfuerzo tensil en el punto de carga máxima.

Durante la deformación elástica el volumen no se mantiene constante.

Para esfuerzos comprendidos entre el esfuerzo de fluencia y el UTS se cumple que 00lAAl

Deformación elástica y plástica. Por sobre el límite elástico, coexisten la deformación elástica

y plástica. En la figura 2 se muestra un diagrama esfuerzo-deformación, en el cual pueden

verse las zonas elástica y plástica, para dos niveles de deformación.

Figura 1. Diagrama esfuerzo – deformación.

Esfuerzo de fractura

Deformación a fractura

Offset yield strength: Límite elástico convencional

Deformación uniforme

Resistencia tensil o UTS

0A

Pi

0l

li


1 - 2 Departamento de Ingeniería Metalúrgica – USACH.

En la figura, el segmento b viene dado por: E

bA

P

0

1

y el segmento d:

Ed A

P

0

2

Además d > b dado que 12 PP y por lo tanto, la deformación elástica es mayor en P2 que en

P1.

1.2 Ductilidad

La ductilidad se mide por la deformación ingenieril de fractura f y por la reducción de

área.

La deformación ingenieril a fractura se define como:

0

0

l

ll f

f

a su vez la reducción de área se define como:

0

0

A

AAq

f

qA

A

l

l

1

10

0

l0 y l son las longitudes inicial e instantánea; A0 y A son las áreas inicial e instantánea. Af y lf

son el área y la longitud finales.

Carga

Deformación

P1

P2

A' B'

dca b

Figura 2. Diagrama esfuerzo – deformación mostrando las deformaciones elástica y plástica.



1.3 Módulo de elasticidad (módulo de Young)

El módulo de elasticidad corresponde a la pendiente de la parte lineal de la curva .

Mide la rigidez del material y está relacionado con las fuerzas de enlace atómicas.

En general, se encuentra que el módulo de elasticidad es poco afectado por los elementos de

aleación, por tratamientos térmicos o por trabajo en frío. Al subir la temperatura, disminuye el

módulo de elasticidad, tal como se desprende de la tabla 1.

Tabla 1. Valores típicos del módulo de elasticidad a diversas temperaturas en GPa.

Material Tamb 477 K 700 K 810 K 922 K

Acero al Carbono 207 186 155 134 124

Acero inoxidable austenítico 193 176 159 155 145

Aleaciones de titanio 114 97 74 70

Aleaciones de aluminio 72 66 54

1.4 Resiliencia

Es la capacidad de un material para absorber energía cuando se deforma elásticamente.

1.5 Módulo de Resiliencia

Corresponde a la energía de deformación por unidad de volumen requerida para deformar el

material hasta el límite elástico 0 .

3

2

00000

2·

2

1

2

1

m

J

EEU R

De esta relación se deduce que el material ideal para construir un resorte debe poseer un alto

0 y un bajo módulo de elasticidad. En la figura 3, se muestra una comparación entre dos

aceros, uno de los cuales resulta apropiado para la construcción de resortes.

En la tabla 2 se muestran valores del módulo de resiliencia para varios materiales.

Tabla 2. Módulos de resiliencia de varios materiales.

Material E(GPa) 0 (MPa) UR(kPa)

Acero medio C 207 310 232

Acero alto C para resortes 207 965 2250

Duraluminio 72 124 107

Cobre 110 28 3.5

Goma 0.0010 2.1 2140

Acrílico 3.4 14 28



Acero alto C (Resortes)

Acero estructural

Resiliencia

Figura 3. Curva esfuerzo – deformación para dos tipos de aceros.

1.6 Tenacidad

Es la capacidad para absorber energía en el rango plástico.

Corresponde al área bajo la curva .

Esfuerzo y deformación verdaderos.

El esfuerzo y la deformación verdaderos se definen como

0

lnl

l

l

dld

A

P f

vvv

en que P es la carga aplicada, A el área instantánea y l la longitud instantánea

Se cumplen las siguientes relaciones

iiv

iv

1

1ln

En la figura 4 se muestran una comparación entre las curvas verdaderas e ingenieril.

Estas ecuaciones son válidas hasta la deformación uniforme. Más allá de este punto se cumple

que

D

D

A

Av

00 ln2ln

En que D0 y D son el diámetro inicial e instantáneo respectivamente.

Esfuerzo ingenieril a carga máxima. Se define como:



0

máx

A

Pu

i

El superíndice, a veces subíndice u, se utiliza para especificar el punto de carga máxima.

v-

v

i

i

El esfuerzo verdadero en la carga máxima uv se define como:

u

u

vA

Pmáx

A su vez, la deformación verdadera en la carga máxima corresponde a

u

u

vA

A0ln

en que Au es el área en la carga máxima

Eliminando Pmáx se obtiene

u

u

i

u

vA

A0

u

v

u

i

u

v exp

1.7 Esfuerzo de fractura verdadero. Se define como:

Fract

Fract

vA

P

PFract la carga de fractura y AFract es el área en la fractura.

Figura 4. Comparación entre curvas verdaderas e ingenieriles.



1.8 Deformación verdadera a fractura

Corresponde a

f

f

vA

A0ln

q

f

v

1

1ln

q corresponde a la reducción de área y Af es el área de la probeta fracturada, medida en el

cuello.

1.9 Deformación uniforme verdadera. Corresponde a la deformación verdadera en la carga

máxima y se calcula a partir de las áreas, a partir de.

u

u

vA

A0ln

en que Au es el área a carga máxima.

1.10 Deformación verdadera local en el cuello

Es la deformación necesaria para deformar la muestra desde la carga máxima hasta la fractura.

Se calcula a partir de

f

un

vA

Aln

1.11 Ajuste de Hollomon

Para la zona de deformación plástica uniforme se puede relacionar el esfuerzo verdadero con

la deformación verdadera por:

n

vv K

en que K es una constante y n corresponde a la pendiente de ln 0 vs ln v .n recibe el nombre

de índice de endurecimiento por deformación.

K es una constante.

n es el índice de endurecimiento por deformación.

Si n=0 el material es perfectamente plástico.

n=1 corresponde a un sólido elástico.

Normalmente para la mayoría de los materiales, 0.10 < n <0.50

En la tabla 3 se muestran valores típicos de n y K para diversos materiales.



Tabla 3. Valores para n y K para metales a temperatura ambiente.

Metal Condición n K (MPa)

Acero 0.05%C Recocido 0.26 530

SAE 4340 Recocido 0.15 640

Acero 0.6%C Templado y Revenido a

540ºC 0.10 1570

Acero 0.6%C Templado y Revenido a

705ºC 0.19 1230

Cobre Recocido 0.54 320

Latón 70/30 Recocido 0.49 900

La expresión

d

d corresponde a la velocidad de endurecimiento por deformación.

n se calcula graficando vv lnvsln hasta la deformación plástica uniforme. La pendiente de

la recta resultante corresponde a n.

n

d

d

d

d

d

dn

ln

ln

1.12 Otros ajustes

Otros ajustes, son los que se muestran a continuación:

Ecuación de Ludwik nK 0

en que 0 es el Esfuerzo de fluencia

Ecuación de Voce )1( nmec

En que c, m y n parámetros propios del material

Potencia generalizada nmc )(

c, m y n son parámetros del material

Ecuación de Ramberg-Osgood

1

0

1

m

E

nm

1

7

3

o, E y m dependen del material



Ecuación Prager

y

Ey

tgh

1.13 Inestabilidad en tensión. A continuación se estudia con algún detalle, el fenómeno de

formación de cuello.

El primer aspecto a tener en cuenta es que la formación de cuello ocurre en la carga máxima

En este punto, el incremento de esfuerzo debido a la disminución en la sección transversal

supera al incremento en la resistencia debida al endurecimiento por deformación.

Matemáticamente esto corresponde a 0dP

Dado que:

A

dAd

AddA

AP

v

v

vv

v

0

Pero dV=0, por lo tanto vdA

dA

l

dl

con lo que v

v

v dd

o bien: v

v

v

d

d

ecuación que caracteriza al punto de inestabilidad.

El punto de inestabilidad en la curva vv puede ser encontrado:

a) Por el punto sobre la curva con subtangente unidad.

b) Por el punto de la curva donde la velocidad de endurecimiento por

deformación iguala al esfuerzo.

En la figura 5(a) al trazar una tangente a la curva v - v de tal forma que la distancia

horizontal entre la proyección del punto de tangencia al eje horizontal (u) y el punto de corte

con el mismo eje de la tangente, sea uno, se cumple que la pendiente de la tangente es v/1.

Además la pendiente de dicha tangente es igual a la de la curva, por lo tanto dv/dv = v.

v

v

d

d



Figura 5. Determinación de la deformación uniforme. (a) Subtangente unidad (b) d/d = 0

En la figura 5(b) se muestra la relación se muestra la relación v

v

v

d

d

superpuesta a la v -

v. En el punto de corte de ambas curvas se encontrará el UTS, dado que v

v

v

d

d

para ese

punto.

1.13.1 Criterio de Considere

El criterio de Considere para la determinación del UTS, se basa en que en una gráfica iv ,

se cumple que i

v

i

v

d

d

1 (*).

La demostración de esta ecuación puede verse a continuación:

vi

i

v

i

v

i

v

v

i

i

v

v

v

d

d

l

l

d

d

l

dl

l

dl

d

d

d

d

d

d

d

d

)1(

0

0

A partir de i

v

i

v

d

d

1, se traza iv

Se marca el punto 1i y se traza desde este punto la tangente a la curva iv .

Así se determina u

v cumpliéndose la ecuación (*).

u

v

1

u

v

v

v

v

v

d

d



Figura 6. Esquema del criterio de Considere.

1.13.2 Relación entre la deformación verdadera uniforme y el índice de endurecimiento por

deformación.

Dado que n

vvv

v

v Kd

d

y

n

KKn

u

v

n

v

n

v

1

Es decir, la deformación uniforme es igual al índice de endurecimiento por deformación.

1

u

u

v

i

v



1.13.3 Distribución de esfuerzos en el cuello

Durante la formación de cuello aparece un estado triaxial de esfuerzos.

En la zona del cuello se producen esfuerzos radiales y transversales que elevan el valor del

esfuerzo para generar deformación plástica. Bridgman (Premio Nobel de Física en 1946),

demostró que:

R

a

a

R

AVGx

21ln

21

AVGx es el esfuerzo promedio en la dirección axial = carga/área transversal mínima

es esfuerzo uniaxial correspondiente a aquel que habría si el cuello no introdujera

esfuerzos triaxiales.

R es el radio de curvatura del cuello y a es el radio de la probeta en el cuello.

Figura 7. Triaxialidad de esfuerzos durante la formación de cuello.

2a R

x

x

x

r

t



1.13.4 Variación de la ductilidad local con la posición

La elongación a rotura depende de la distancia que se use como referencia para medir

deformación. En este sentido, la deformación no constituye una propiedad del material.

En la figura 8, se muestra la dependencia de la deformación con el tamaño de la zona elegida

para medir la deformación.

1.14 Efecto de la velocidad de deformación sobre las propiedades

Uno de los parámetros importantes en la determinación de las propiedades mecánicas, lo

constituye la velocidad de deformación , definida por:

1 sdt

d

En general se observa que al aumentar , se produce un aumento en el límite elástico del

material, tal como puede apreciarse en la figura 9. Dicho aumento es más significativo a alta

temperatura.

El UTS no es tan influenciado por como lo es el esfuerzo de fluencia. En la tabla 4 se

resumen los rangos de velocidad de deformación para varios tipos de ensayos.

Elongación

Local

Distancia

Figura 8. Deformación en función de la distancia.



298 K

620 K

720 K

820 K

870 K

100

10-210-310-410-5

101

102

1s

0 (Límite elástico) (MPa)

Tabla 4. Velocidades de deformación.

Rango (s-1) Tipo de Test

10-8 – 10 –5 Fluencia (creep) a = cte.

10-5 – 10-1 Ensayo de tracción estático

10-1 – 102 Ensayos de tracción o compresión dinámicos

102 – 104 Ensayos a alta velocidad usando barras de impacto

104 – 108 Ensayos a muy alta velocidad usando explosivos o propulsores de gas

1.15 Velocidad de la Cruceta. La velocidad a la que se desplaza la cruceta es usualmente una

forma de controlar el ensayo de tracción. Algunas máquinas de ensayos, poseen una cruceta

móvil en la parte superior, otras poseen la cruceta móvil en la parte superior. En cualquier

caso, dicha velocidad es: Ldt

dLv

La velocidad de deformación i es

ooo

o

o

i

iL

L

L

v

dt

dL

Ldt

L

LLd

dt

d

1

Figura 9. Esfuerzo de fluencia a 0.2% de deformación frente a velocidad de

deformación para aluminio 6063-0.



cruceta

probeta

cruceta

Figura 10. Esquema de la cruceta durante el ensayo de tracción.

por lo que la velocidad de deformación ingenieril es proporcional a la velocidad de

desplazamiento de la cruceta.

La velocidad de deformación verdadera v es:

L

L

L

v

dt

dL

Ldt

LLd

dt

d ovv

1

ln

Se pueden relacionar i con v a través de:

i

ii

i

iov

dt

d

dt

d

L

L

L

v

11

1

dado que L

vv , si la velocidad de la cruceta es constante, la velocidad de deformación

verdadera disminuirá a medida que se alarga la muestra.

1.16 Relación entre el esfuerzo de fluencia y la velocidad de deformación

A temperatura y deformación constantes, la relación entre el esfuerzo de fluencia y la

velocidad de deformación en que C es una constante.

mC

m = sensibilidad a la velocidad de deformación y se obtiene de la pendiente de lnvsln .

Otra forma de evaluar m es a través de un ensayo a variable tal como se muestra en la figura

11, de acuerdo a:

i

i

v

1



12

12

,, ln

/ln

ln

ln

ln

ln

TT

m

Figura 11. Dependencia del esfuerzo de fluencia con la velocidad de deformación.

En general, par metales a temperatura ambiente, m 0.1. Además, m crece con la

temperatura.

Para aceros, se puede escribir:

o

kk

ln21

k1, k2 y o constantes:

Ejemplo: Para aluminio puro, deformado un 25%, los valores de C y m se muestran en la

Tabla 5.

Tabla 5. Coeficientes C y m para aluminio puro con = 0,25.

294 K 713 K

C 70.3 MPa 14.5 MPa

m 0.066 0.211

Determinar el cambio en el esfuerzo de fluencia al cambiar en dos órdenes de magnitud.

294 K 2/1=1.35

713 K 2/1=2.64

1.17 Enfoque microscópico

El valor de m se relaciona con la movilidad de las dislocaciones.

1

1

2

2

1

12

Respuestas



La velocidad de movimiento de las dislocaciones depende del esfuerzo aplicado a través de:

´mAv

en que A es una constante.

A su vez la velocidad de deformación se relaciona con la movilidad de las dislocaciones por

bv

en que es la densidad de dislocaciones y b el vector de Burger asociado.

ln

ln

ln

ln

ln

ln1

ln

ln

,

v

m

mT

pero ,

ln

lnm

v

si no hay cambios en la densidad de las dislocaciones al cambiar el esfuerzo, 0ln

n, por

lo tanto:

mm

1,

parámetro microscópico parámetro macroscópico

Los valores de m para algunos materiales son:

Aleaciones Superplásticas m alto

Vidrio caliente m = 1

Sólido Newtoniano =

En un metal normal el ablandamiento geométrico que constituye la formación de cuello se

opone al endurecimiento por deformación y siempre que

d

d la muestra no forma cuello.

Para un material superplástico, la velocidad de endurecimiento por deformación es baja y

d

d no forma cuello.

ln

ln1,

mm



1.18 Influencia del índice m en la formación de cuello

Para evaluar la influencia del índice m en la formación de cuello, se considerará una barra de

un material superplástico de área A que se carga con una fuerza P.

mm

m

AC

P

CA

P

11

1

pero: dt

dA

Adt

dL

L

11

mm

C

PAA

dt

dA1

11

mm

m

AC

P

dt

dA/1

1

1

En la figura 11 puede observarse la dependencia de dA/dt con el área.

Si m < 1 cualquier disminución en el área produce una gran disminución en la

sección transversal. Esto significa que el cuello debería agudizarse, en el sentido de

acentuarse el estrechamiento.

Si m = 1 la deformación es viscoso Newtoniana y dA/dt es independiente de A;

cualquier cuello incipiente es preservado durante la elongación y no se propaga.

Si m 1 disminuye la velocidad del crecimiento del cuello.



Como consecuencia de este análisis, al crecer m, el valor de la elongación a rotura crece, tal

como se muestra en la figura 13, que resume resultados de las aleaciones: Zircalloy 4, Ti – 5

Al – 2.5 Sn y Ti – 6Al – 4V.

m = 1

m = 3/4

m = 1/2

m = 1/4

A

dt

dA

Figura 12. Dependencia de la velocidad de disminución de área con el área

transversal para diferentes valores de m.

.

....

.......

0.1m

0.70.60.50.40.30.2

% Elongación

103

102

Figura 13. Dependencia de la elongación con el índice m.



1.19 Efecto de la temperatura sobre las propiedades de flujo

La curva esfuerzo deformación depende fuertemente de la temperatura. Al aumentar la

temperatura disminuye la resistencia y aumenta la ductilidad, tal como se aprecia en la figura

14, para acero dulce.

i

i

-196ºC

25ºC

400ºC

En la figura 15 se muestra la dependencia entre el límite elástico y la temperatura para metales

BCC. El límite elástico de los metales FCC no es afectado por la temperatura.

Límite

Elástico (MPa)

T (ºC)

Ni (FCC) no es afectado

por la temperatura

Metales BCC

W

Mo

Ta

Ni

Fe

200 400 600 800 10000-200

200

400

600

800

En la figura 16 se muestra la influencia de la temperatura sobre el porcentaje de reducción de

área. Tal como se aprecia, no se produce un efecto importante en el porcentaje de reducción

de área en metales FCC, al subir la temperatura.

Figura 14. Efecto de la temperatura sobre la

curva esfuerzo deformación para acero dulce.

Figura 15. Efecto de la temperatura sobre el límite elástico para metales BCC.



% de reducción de

área

T (ºC)

WMo

Ta

Ni

F

e

200 400 600 800 10000-200

20

40

60

80

100

El W es frágil a 100 ºC

El Ni no cambia drásticamente su

ductilidad

La relación entre el esfuerzo y la temperatura a y constante es:

,

2exp

RT

QC

en que C2 es una constante

Q es la energía de activación para deformación plástica (J/mol).

R = 8,314 (J/molK).

T es la temperatura en K.

Un aspecto importante a tener en cuenta es que durante los procesos de deformación cerca del

90% de la energía de deformación se transforma en calor. Sin embargo, a altas velocidades de

deformación, no hay tiempo para la disipación de calor. Entonces, se puede considerar que el

proceso se realiza adiabáticamente.

A bajas temperaturas el proceso de deformación genera caídas en la curva / , tal como se

puede apreciar en la figura 17.

Figura 16. Efecto de la temperatura sobre el porcentaje de reducción de área.



De acuerdo al análisis propuesto por Backofen (1964)

AP

AddAdP

Dado que A

dAd

d

d

Ad

dP

1

Como ),,( Tf

T

Td

d

d

d

d

d

d

dT

TAddP

Para calentamiento adiabático cd

dT

Si T es baja 0

0

d

dT

T

Por lo tanto si cT

se producirá inestabilidad.

Figura 17. Efecto de bajas temperaturas sobre la curva esfuerzo –

deformación.



1.20 Fenómeno del punto de fluencia

El fenómeno de punto de fluencia se da en algunos materiales que contienen solutos

especialmente intersticiales como el acero de bajo contenido en carbono y consiste en la

aparición de una oscilación de la curva esfuerzo – deformación cerca del inicio de la

deformación plástica, tal como se muestra en la figura 18.

Figura 18. Oscilación en la curva esfuerzo – deformación en un acero de bajo contenido en carbono, utilizado en

barras de construcción denominado A 44.

Este fenómeno se debe a la interacción entre átomos de soluto (C y N en el caso de los aceros)

y las dislocaciones. En efecto, los átomos de soluto difunden hacia la zona de tracción de la

dislocación, generando una configuración de baja energía, conocida como atmósfera de

Cottrell. Esto hace que el límite elástico se incremente hasta uys (upper yield stress). A

medida que se incrementa el esfuerzo aplicado, se produce el destrabamiento de las

dislocaciones por los átomos de soluto, lo que se manifiesta en una caída del esfuerzo, ver

figura 18, hasta lys (low yield stress). Nuevamente se generan dislocaciones que se entraban

por los solutos, de tal manera que se requiere incrementar el esfuerzo para lograr deformación

plástica.

Este fenómeno también ha sido reportado en aleaciones Cu – Zn, Cu – 10% In y aleaciones de

Al.

La meseta (plateau) que caracteriza a este fenómeno está asociado en el acero a un avance de

la deformación a través de la probetas a carga constante, lo que se realiza mediante la

formación de bandas de Luders.



A medida que la temperatura aumenta, el uys se elimina gradualmente y en su lugar, la curva

esfuerzo deformación muestra pequeñas oscilaciones que no se observan a bajas temperaturas,

lo que se conoce como efecto Portevin – Le Chatelier. En este caso, al elevar la temperatura,

los átomos de soluto son suficientemente móviles como para difundir hacia las dislocaciones,

entrabándolas, después de lo cual ocurre el destrabamiento de las mismas, tal como se muestra

en la figura 19.

Figura 19. Efecto Portevin-Le Chatelier.



Estudio de la rotura a tracción por microscopía electrónica de barrido

En las siguientes figuras se muestra

cómo un material experimenta rotura

en tracción. El ensayo ha sido hecho

sobre una probeta de acero, en la

cámara de vacío de un microscopio

electrónico de barrido. Nótese cómo

la grieta se origina en el centro del

material y progresa hacia la periferia.



Figura 20. La secuencia de imágenes

muestra cómo se rompe un material

por crecimiento de una grieta desde el

interior del mismo.



Ejercicios propuestos

1.- Demostrar que para un material que tiene la siguiente ley constitutiva nK el valor de

la deformación uniforme es nu

Solución:

Esfuerzo de fractura verdadero

fractura

fractura

vA

P

Deformación uniforme verdadera

u

vA

A0ln

Ajuste de Hollomon

nk n: indica el endurecimiento por deformación.

La formación del cuello ocurre en la cara máxima y en este punto, el incremento de esfuerzo

debido a la variación en la sección transversal supera al incremento en la resistencia debido al

endurecimiento por deformación.

0 dP

)1(A

dA

dA

d

AddAdP

AP

v

vv

v

como )2(0 vdA

dA

L

dLdV

reemplazando (2) en (1)

)3(v

v

v

v

v

v

d

d

dd



como )4(n

vv K y si derivamos esta expresión

)5(·· 1 n

v

v

v nKd

d

si reemplazamos (4) y (5) en (3) se obtiene:

vun

v

n

v

n

v

n

v

n

KKn

1

1

la deformación verdadera uniforme es igual a n.

el valor de la deformación uniforme es nu

2.- Demostrar que i

v

i

v

d

d

1

3.- Demostrar que durante la deformación elástica el volumen no se conserva.

4.- Sea un material sometido a tracción. Demostrar que:

m

m

Ad

Ad 1

ln

ln

en que

ln

lnm

1

Solución



0

0

),(

·

dL

dA

dL

dA

dL

dP

f

AP

Pero: LLdL

d

1

ln

ln

m

0

LLA

dL

dA

Además, dL

dL

A

dALdAAdL 0

dL

dA

A

A

dL

Ad

AA

dL

dAA

dL

AdA

dL

d

A

A

dt

dA

Adt

d

22

1

1

011

2

dL

dA

A

A

dL

Ad

A

m

dL

dA

AdL

dA

A

dL

Ad

A

m

dL

dA

A

Am

AA

2

Pero, A

A

LnAd

ALnd

dL

dA

A

dL

Ad

A

m

m

dL

Ad

A

m

dL

dAm

1

1

11

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