El efecto Hall cuántico entero

El efecto Hall cuántico entero: (von Klitzing, Dorda y Pepper (1980))

Gas de electrones bidimensional

Baja concentración de impurezas

Campo magnético perpendicular fuerte

H

E

j

jE

0

0ˆ

2

2

ie

hie

h

nec

HH Resistividad Hall

0

0

ˆ

nec

Hnec

H

2ie

hH

El efecto Hall cuántico (entero)

0

0ˆ

2

2

ie

hie

h

2ie

hRHH Resistencia Hall

,.....3,2,1i

Inciso 1: magnetismo del gas de electrones libres

Paramagnetismo de Pauli

Diamagnetismo de Landau

Hmc

e

c

Aep

mH

2

1

2

1ˆ2

HNM FB )(2

)(2FBPauli N

PauliLandau 3

1

)(3

2 2FBTotal N

HBF

Caso H = 0

)(2

1)(

22*

2

yxk

rki

k

kkm

eS

r

kF

Esfera de Fermi

nkF 2

N()

F

Density of states 2D

2

*

)(

mN

Caso 0H

Hamiltoniano

2

*2

1ˆ

A

c

ei

mH

vector potential

H

E

j

Elección de gauge:

),(2

1

)0,(

xHyHA

yHA

gauge de Landau

gauge simétrico

Con cualquiera de los dos: zuHA

spinless electrons

Gauge de Landau. Niveles Landau

)0,( yHA

Elección de gauge adecuada a la geometría: (experimento real)

W

H

xx jE ,

2

*2

1ˆ

A

c

ei

mH

2

22

*

2

2ˆ

yy

c

eH

xi

mH

Gauge de Landau. Niveles Landau

W

H

2

22

*

2

2ˆ

yy

c

eH

xi

mH

)(),( yeyx ikx

k

)()()(2

1)(

222

02*

2

2

*

2

yEyklymyym c

cm

c

eH

l

*120

0l longitud

Quantum harmonic oscillator

Inciso 2: el oscilador armónico cuántico

)()(2

1

222

2

22

yEyymym

m

l

20

1

Quantum harmonic oscillator

)()()(2

1

22

02

2

22

yEyyymym

posición de equilibrio

2

1

)(200 2/)(

0

0

nE

el

yyHy

n

lyynn

Niveles Landau

)()()(2

1)(

222

02*

2

2

*

2

yEyklymyym c

020 ykl longitud Quantum harmonic oscillator

)()()(2

1)(

22

02*

2

2

*

2

yEyyymyym c

cn

lyyn

ikxnk

nE

el

yyHe

2

1

200 2/)(

0

0

c

eHm

lc

*120

kly 200

Landau levels

Niveles Landau

cn nE

2

1Landau levels

N()

F

Density of states 2D

2

*

2 m

N()

0H

0H

perpendicularc

(por spin)

Niveles Landau

cN()

F

Density of states 2D

2

*

2 m

N()

0H

0H

perpendicular

Si el número total de estados no cambia La degeneración de cada estado Landau debe ser muy grande

Degeneración de cada estado Landau: Shc

eHS

mN cL

2

*

2

cn

lyyn

ikxnk

nE

el

yyHe

2

1

200 2/)(

0

0

Niveles Landau

En efecto, la degeneración:

número de valores permitidos de k

Condiciones de contorno de Born-von Karman: ,....2,1,0,2

nnL

k

El sistema está confinado en la dirección y:

W

H

x

Wy 00

20l

Wk

20

20

2/2

/

l

S

L

lWNL

c

eH

l

20

1

Shc

eHN L

O.K.

Degeneración de los niveles Landau

202 l

SNL

c

eH

l

20

1

Shc

eHNL

HS

Interpretación cuasi-clásica

Interpretación cuántica flujo magnético total

0

LN e

hc0 cuanto de flujo magnético

hc

eHnL

LL N

N

n

n filling factor

270 1014.4 cmgauss

Cuantización de la resistencia Hall

¿Qué ocurre si el primer nivel Landau está totalmente ocupado? LNN

0

0

ˆ

nec

Hnec

H

nec

HH

Shc

eHNN L

hc

eHn

2e

h

eH

hc

ec

HH !!

Cuantización de la resistencia Hall

¿Qué ocurre si el primer nivel Landau está totalmente ocupado?

0

0

ˆ

nec

Hnec

H

nec

HH

Shc

eHNN L

hc

eHnn L

2e

h

eH

hc

ec

HH !!

1

En general si el factor de llenado es un número entero (un número entero de niveles Landau ocupados)

,...3,2,1

2e

hRHH

¿Esto explica los resultados experimentales ?

xy

H

nec

HH

La condición para = 1,2,3,.. 2e

h

nec

HH

¿Explica la curva experimental?

¿Explica los plateaus en xy?

2e

h

22e

h

24e

h 12

¿Explica el comportamiento de xx?

Quantum versus classical

xy

H

nec

HH

Efecto de las impurezas

2

F

N()

Efecto de las impurezas

Resolviendo la ecuación de Schrödinger con una distribución “random” de impurezas:

)(2

1ˆ2

*rVA

c

ei

mH imp

transport current

no current

2/1

F

2

F

1

F

Cuantización de la resistencia Hall

How to control experimentally the filling factor ?

LL n

n

N

N

hc

eHnL

Variando la densidad electrónica mediante la aplicación de un potencial de compuerta (gate voltage) al gas bidimensional

Variando el campo magnético externo H

Variación de n mediante un potencial de gate

Al

p-Si

SiO2

Silicon MOSFET

(Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor) 21311 1010 cmn

ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooF F

5000 A

conduction band

valence band

energy gap

situación de equilibrio

Variación de n mediante un potencial de gate

Al

p-Si

SiO2

valence band

conduction band

eVG

energy gap

F

gate

2D electron gas (inversion layer)

Metrology

Resistance standard since 1990 ohms.e

h806258122 precision 8102

Fine structure constant 036.137

12

c

e

uncertainty ppm3.0

Unit of resistance 2

1e

hklitzing

El efecto Hall cuántico fraccionario

2e

hRHH

Resistencia Hall

,.....3/2,5/1,3/1

D. C. Tsui, H. L. Störmer & A. C. Gossard (1982)

R. Laughlin (1983)

(experimento)

(teoría)

El efecto Hall cuántico fraccionario

2e

hRHH

Resistencia Hall

,.....3/2,5/1,3/1

R. Laughlin (1983)

ceecRHH *

00

ee *

Excitaciones de carga fraccionaria (quasiparticles)

El efecto Hall cuántico fraccionario

Detección experimental de la carga 3/* ee

En un experimento Hall con =1/3

Shot noise measurements

||2 IqS (W. Schottky 1918)

32

e

I

Sq

carriers charge

Sistemas cuasi-unidimensionales

Quantum point contacts (QPC) Atomic contacts

V

Cuantización de la conductancia

VR

GVI1

h

enG

22

22en

hR

Quantum point contacts (QPC)

Contactos atómicos: cuantización de la conductancia

Au MCB, 4 K Pt MCB, 4 K

Histograma de AuSTM, 300 K

Sistemas cero-dimensionales ?

Puntos cuánticos

Efectos muy fuertes de interacción electrón-electrón

Coulomb blockade effects