EL CUENTO DE LOS TESELADOS

1. Orientaciones Generales

Para teselar un plano debemos tener muy en cuenta que el ángulo formado por las piezas

que concurren a un mismo vértice suma 360 grados. Por esta razón las figuras

geométricas con las cuales es más sencillo teselar un plano son: triángulos equiláteros,

cuadrados y hexágonos regulares. Además debes considerar lo siguiente:

La diversidad de las formas de las piezas teselantes es infinita, los matemáticos y en

particular los geómetras se han interesado especialmente por las teselaciones poligonales;

incluso las más sencillas de estas plantean problemas grandiosos.

Las propiedades de las figuras con que se pueden trabajar las teselaciones, son

primordiales para llevarlos a cabo, además permiten desarrollar la visión espacial.

Los teselados por su gran número de características, se hacen fascinantes, aparentando

ser una invención de la mente, cuando en realidad las figuras con que están construidos

en su mayoría los teselados, ya existían tiempo atrás antes de ser objetos de estudio.

2. El Mundo de los teselados

Introducción: Vamos a explorar un mundo encantador: EL

DE LOS TESELADOS. Como invitado tendremos a Maurits

Cornelis Escher, un artista como muy pocos, con su

interesantísima obra. Él se destacó por crear juegos

visuales a partir de la observación y el estudio de las

formas en la realidad, trasladándolas al papel de una

manera sorprendente. Escher nació el 17 de junio de 1898

en Leeuwarden (Países Bajos) y dejó ver su talento desde

muy joven, cuando apenas era un estudiante. El trabajo

con la simetría y la repetición lo obsesionó constantemente y

precisamente esto hizo que algunas de sus obras sean

clasificadas en algo que él nombró “partición regular del

plano”. Al parecer, sus viajes a la Alambra (en España)

lograron inspirarlo y marcaron una fuerte influencia en él, lo

que se observa en el hecho de usar patrones que rellenan el

espacio sin dejar ningún hueco. Esto precisamente se conoce como Teselar el Plano.

Algunas de sus pinturas más conocidas presentan motivos en las que hace encajar

perfectamente reptiles, peces, ranas, hormigas, etc. Puedes encontrar su fantástica obra

en muchos sitios de Internet. Te invitamos a que la conozcas. Puedes visitar

http://www.mcescher.com y encontrar diseños como los siguientes:

Uno de los retos es lograr reproducir algunas de sus creaciones como la que se muestra a

continuación con ayuda del software de Geometría Dinámica Cabri II plus.

3. Conceptos básicos

TESELADO: Esta palabra proviene de “tessellae”. Así llamaban los romanos a las

construcciones y pavimentos de su ciudad.

Las antiguas civilizaciones utilizaban teselados para la construcción de casas y templos

cerca del año 4000 A.C. Por ese tiempo los sumerios realizaban decoraciones con

mosaicos que formaban modelos geométricos. El material usado era arcilla cocida que

coloreaban y esmaltaban. Posteriormente otros grupos demostraron maestría en este tipo

de trabajo. Ellos fueron los persas, los moros y los musulmanes.

Se denomina Isometría o transformación isométrica de una figura en el plano aquella

transformación que no cambia ni la forma ni el tamaño de la misma y que solo implica una

alteración de su posición (en la orientación o en el sentido), resultando que la figura inicial

y la final son geométricamente congruentes. “Iso” significa "igual" y “metría” significa

"medida.

Las transformaciones isométricas tienen una estrecha relación con el arte, por esta razón

las isometrías se pueden desarrollar en el aula de clase en torno a dos aspectos temáticos:

1.- Actividades en las que se plantea embaldosar superficies planas con figuras

geométricas (teselaciones).

2.- Actividades asociadas al diseño, descripción y reconocimiento de transformaciones

isométricas

Se pueden describir tres tipos de transformaciones: por traslación, por rotación y por

simetría (o reflexión).

Traslación: Isometría en que todos los puntos se desplazan una distancia fija hacia sus

imágenes a lo largo de trayectorias paralelas.

Rotación: Isometría en que todos los puntos giran un ángulo constante con respecto a un

punto fijo. El punto fijo se denomina centro de rotación y la cantidad de giro se denomina

ángulo de rotación.

La simetría central, es una transformación en la que a cada punto se le asocia otro punto,

que debe cumplir las siguientes condiciones:

El punto y su imagen estén a igual distancia de un punto llamado centro de simetría.

El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.

Según estas definiciones, con una simetría central se obtiene la misma figura con una

rotación de 180 grados.

Simetría axial es una transformación respecto de un eje de simetría, en la cual, a cada

punto de una figura se asocia otro punto llamado imagen, que cumple con las siguientes

condiciones:

La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría, es la misma.

El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría.

Simetría con deslizamiento. Se trata de una reflexión seguida de una traslación en la

dirección del eje de reflexión.

Estas transformaciones se combinan entre ellas dando lugar a estructuras algebraicas que

se denominan grupos de simetrías, en este caso Grupos cristalográficos planos. Pues bien,

Fedorov demostró en 1891 que no hay más de 17 estructuras básicas para las infinitas

decoraciones posibles del plano formado mosaicos periódicos. Son los 17 grupos

cristalográficos planos. Cada uno de ellos recibe una denominación que procede de la

cristalografía, y se pueden clasificar según la naturaleza de sus giros.

Los 17 grupos de simetría del plano se pueden agrupar en los cinco apartados, según el

orden máximo de los giros:

Grupos de simetría sin giros: 4 grupos de simetrías.

Grupos de simetría con giros de 180º: 5 grupos de simetrías.

Grupos de simetría con giros de 120°: 3 grupos de simetrías

Grupos de simetría con giros 90°: 3 grupos de simetrías

Grupos de simetría con giros de 60°: 2 grupos de simetrías

Los árabes fueron unos excelentes creadores de mosaicos geométricos. Dado que su

religión les impedía dibujar personas o animales; su creatividad se decantó hacia la

caligrafía y los dibujos geométricos, en los que alcanzaron cotas de belleza y complejidad

difícilmente superables. Los creadores de los mosaicos de la Alhambra no podían conocer

el teorema de clasificación de Fedorov, y por lo tanto no conocían cuántos grupos de

simetrías podían usarse para rellenar el plano con losetas (teselación del plano), por eso

resulta impactante que conocieran todos y cada uno de los 17 existentes.

Efectivamente, todos ellos están representados en los variados y bellísimos mosaicos de la

Alhambra. Abundan los que tienen giros de 90º mientras que algunos grupos aparecen

escasamente, pero absolutamente todos están representados.

4. Los primeros pasos

Las actividades que realizaremos a continuación tienen como propósito que aprendas a

teselar el plano a partir de triángulos equiláteros, por tanto empezaremos con una

actividad muy sencilla. Sigue paso a paso las indicaciones dadas y da rienda suelta a tu

creatividad. Los resultados pueden superar lo que te imaginas.

1º Con la herramienta Rectas - Polígono

regular dibuja un triángulo equilátero,

enseguida con la herramienta Ver –

edición numérica (o número) escribe el

número 60, que representa los grados que

rotarás el triángulo.

Luego, con la opción Transformar –

rotación, rota el triángulo las veces que

sean necesarias hasta cubrir el plano y

obtendrás una malla de triángulos

equiláteros o teselado regular.

Puedes obtener el mismo resultado con la opción Transformar – simetría axial

encontrando triángulos simétricos al primero con respecto a uno de sus lados.

2º Usando estas mallas puedes dejar volar tu imaginación creando formas geométricas

muy interesantes que en combinación también cubren el plano. Con la opcion Dibujo –

rellenar puedes obtener diferentes diseños con figuras geometricas diversas.

60

ACTIVIDAD: Realiza y describe las características de los polígonos observados en los

siguientes dibujos. Realiza nuevos modelos y explica en cuales de ellos se aplican

traslaciones, rotaciones y simetrías.

5. Construcción de teselas usando rotación

1º Construye un triángulo equilátero utilizando la herramienta

Rectas – polígono regular.

2º Traza el punto medio de uno de los

lados del triángulo con la opción

Construir – punto medio y luego, con

la opción rectas – polígono construye un polígono como el de la

imagen en el lado donde has puesto el

punto medio.

3º Con la opción ver - edición numérica escribe el numero 300 y

con la opción transformar – rotación

procede a rotar el polígono construido

por cada vértice del triángulo y así

obtendrás la siguiente tesela. También puedes utilizar el número

60, dependiendo del sentido en que vayas a realizar la rotación.

4º Une todos los puntos con la opcion rectas –

poligono y oculta los tres polígonos y los puntos

con Dibujo: Ocultar / Mostrar. Solamente

debe quedar la loseta creada y un punto.

Luego, para obtener el teselado final se rota 60

grados la tesela alrededor del punto que dejaste.

Con la herramienta Dibujo: rellenar puedes utilizar colores para darle vida a tu mosaico.

60

180

60

6. Teselados inspirados en la Alhambra de Granada (España)

En este caso el propósito es recrear el teselado “La Nazarita” formada por la loseta

“Pajarita” que se obtiene a partir de un triángulo.

1º Construye un triángulo equilátero utilizando la herramienta Rectas –

polígono regular.

2º Traza el punto medio de uno de los lados del triángulo con la opción Construir – punto

medio y luego, con la opción Curvas - arco realiza un diseño como el que se ilustra en el

dibujo.

3º Construye un polígono ubicando muchos puntos sobre los arcos como en la imagen en

el lado donde has puesto el punto medio y luego une los puntos con la herramienta rectas

– polígono.

4º Con la opción ver - edición numérica escribe el número 300 y

con la opción transformar – rotación procede a rotar el polígono

construido por cada vértice del triángulo y así obtendrás la tesela.

5º Para obtener la loza de la tesela se deben rotar los polígonos elaborados 180 grados, y

luego trasladar la loza para así, obtener el teselado deseado.

Este mosaico fue recreado por Escher a

partir de los que observó en la Alambra

de Granada.

Concluyamos: ¿Qué es rotación?

Escribe las palabras que hacen falta para completar el concepto de Rotación.

En geometría una rotación es un movimiento de cambio en la orientación de un cuerpo;

de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia

constante de un punto fijo, y tiene las siguientes características:

Un punto denominado centro de rotación, un ángulo . y un sentido de rotación.

Las transformaciones por rotación pueden ser positivas o negativas dependiendo del

sentido de giro. Para el primer caso debe haber un giro en sentido contrario a las

manecillas del reloj, y será negativo, cuando el giro se haga en sentido de las manecillas.

Palabras claves: negativo, ángulo, sentido, positivo, orientación, constante.

7. Los pétalos

Vamos a construir un pentágono convexo

ABCDE en el que se verifique las restricciones

siguientes: el ángulo en A es A=60°, el ángulo

en C es C =120°, AB=AE, CB=CD. Estas

restricciones no determinan un pentágono

único sino una familia de Pentágonos

Con este pentágono irregular podemos formar una flor, rotando esta figura 600 seis veces

y luego por medio de vectores podemos trasladar cada una de las flores para así formar

un teselado y por último le damos color con la opción rellenar.

8. los fantasmas:

Primero realizamos un hexágono regular como se muestra

en la figura, luego hacemos un arco en la parte superior del

hexágono que vaya hacia afuera y otros dos arcos en la

parte inferior del hexágono

los cuales deben ir en el

interior, como se muestra

en la figura.

Luego por medio de vectores trasladamos los arcos a los

lados opuestos del hexágono, así le damos forma al

fantasma.

Cuando ya tenemos la silueta del fantasma, con la opción Rectas – polígono volvemos a

darle contorno a la figura, para que al momento de reubicarla solo trasladamos un solo

polígono y ocultamos el

hexágono.

Por último con la opción

circunferencia se realizan los

ojos y con polígono la boca, ya

que estos detalles le dan más

realismo a la figura.

9. Piezas de un rompecabezas

Se realiza un hexágono

regular con la opción rectas –

polígono, luego localizamos

los puntos medios de cada

uno de los lados del

hexágono, con estos puntos

como centro realizamos las seis circunferencias, teniendo

las circunferencias como base, ubicamos arcos de media circunferencia intercalados entre

sí como se muestra en la figura.

Con la opción rectas – polígono le damos el contorno a la figura, es decir unimos todos los

arcos en un solo polígono teniendo como resultado la figura que observamos, luego por

medio de vectores empezamos a trasladar la figura obteniendo el siguiente teselado:

10. Teselado con impacto 3D

Partimos de un hexágono regular, luego con la opción rectas –

polígono unimos los puntos formando triángulos equiláteros

intercalados entre sí, de esta manera se forman tres triángulos

exactamente iguales como se muestran en la figura. Por medio

de vectores trasladamos estos triángulos, de tal manera que

estos vectores queden desde el centro de la base de cada uno

de los triángulos y se dirijan hasta el otro extremo de tal

manera que quede en línea recta y este vector debe tocar el

punto centro del hexágono.

Teniendo la figura formada con la opción

recta – polígono unimos todos los

triángulos de tal manera que quede la figura

que se muestra en la gráfica. Por medio de

vectores trasladamos la figura para así tener

el teselado conformado y con el color

damos la apariencia en tercera dimensión.

11. Migración de pájaros

Lo primero que hacemos es construir un rombo con la

ayuda de una recta y un segmento: con centro en los

puntos extremos del segmento construimos dos

circunferencias con radio igual a la longitud del

segmento. Luego unimos los puntos de intersección

entre las circunferencias y finalmente con la opción

recta -polígono trazamos el rombo.

Para darle la forma al pájaro se requiere construir dos

triángulos en la parte superior, para poder trasladar estos dos

triángulos colocamos sobre dos de los lados superiores del

rombo los vectores que nos permitirán realizar esta función.

Ya con los triángulos trasladados, que son los que nos dan la

forma del ave, utilizamos la herramienta Polígono para así

unir lo que es el contorno del pájaro.

Colocamos dos nuevos vectores los cuales a su vez pasan por los dos ejes de simetría que

posee el rombo. Con estos vectores trasladaremos nuestra ave al resto del plano.

Con nuestro contorno definido sobre la ave, nos queda darle

una apariencia a todo la que conforma el plano de la misma,

esto lo logramos con la ayuda de una circunferencia, y

segmentos.

Todo esto para ser trasladado a su vez con la estructura del ave, para obtener como

resultado una migración de aves.

12. Vilma Picapiedra

Lo primero que requiere este teselado es un

cuadrado, al cual le realizaremos dos

construcciones básicas: un polígono y un triángulo. El polígono lo

rotamos 90º en el vértice inferior izquierdo y a su vez el polígono base,

lo rotamos 270º sobre el vértice inferior derecho, con estos tres

polígonos rotados conformamos la cara.

Para el cabello recortamos un triángulo sobre la parte superior del cuadrado y lo rotamos

90º sobre el vértice superior derecho.

Con la cara de Vilma constituida por los polígonos y triángulos tanto recortados y

trasladados, nuevamente usamos polígonos para unir lo que es la cara y aparte lo que es

el cabello, y todo lo que va dentro de la cabeza, lo

construimos con segmentos cónicas, y polígonos.

Para rotar los dos polígonos que forman la cara de Vilma y sus

accesorios rotamos todo 90º en sentido del vértice inferior

izquierdo del cuadrado, así sucesivamente hasta formar

cuatro caras en total sobre dicho vértice.

Las demás caras rotadas utilizan 180º en sus rotaciones para salir del primer conjunto y así

poder formar más caras basándose en el vértice inferior izquierdo con rotaciones de 90º.

13. La dama elegante

Este teselado se basa en un hexágono al cual le componemos tres partes con la ayuda de

polígono, las cuales van una desde la punta del sombrero hasta la punta de la nariz, la

segunda va desde la punta de la nariz hasta el final del labio y la otra parte va conformada

lo que la parte del maxilar y parte del cabello.

Estos tres polígonos los rotamos en sentido de tres vectores (ilustrados en la imagen) lo

que es el sombrero lo construimos con ayuda de arcos, el cabello con polígono y el ojo con

cónica.

14. Delfín ballena o ballena blanca

Para que puedas obtener una familia de ballenas blancas

debes seguir las instrucciones a continuación:

Construimos un cuadrado y lo dividimos internamente de la siguiente forma:

Esta construcción la hacemos teniendo en cuenta mediatrices, perpendiculares y puntos

medios entre puntos.

A continuación, con la ayuda de puntos de intersección, de puntos medios, de arcos y

segmentos construimos sobre la anterior cuadrícula la siguiente figura:

Con la ayuda de puntos medios, arcos y

rotación según un ángulo de 90 grados,

rotamos tres arcos alrededor del punto m

(arcos color negro en la figura) y

obtenemos la siguiente figura

Se ha resaltado de color rojo algunos arcos y segmentos que forman la cola de la ballena,

ya que son estos los que se rotan 90 grados alrededor del punto a, de forman que

construyen la cola de color azul.

En la opción edición numérica o número

creamos el número 270, con este ángulo

rotamos la parte de color rojo en la figura

alrededor del punto “a” obteniendo así la

figura ilustrada.

Por otra parte también se puede

empezar a construir un polígono y

empezar a rotar y trasladar, el polígono

queda tal como se ilustra:

De esta forma con la ayuda de la rotación alrededor del punto “a” y del punto “m” y con

los ángulos ya propuestos, construimos unos vectores a lo largo de los lados del polígono

regular (cuadrado) y trasladamos la figura hasta obtener una imagen más o menos así:

15. La pecera

Construimos un cuadrado regular y por medio de

mediatrices, puntos medios, perpendiculares

realizamos la siguiente cuadrícula en el cuadrado,

luego aplicamos

simetría axial al punto

“a” con respecto a la

recta t y obtenemos el

punto a*:

A continuación con la ayuda de arcos y aplicando simetría axial

sobre la recta t al arco ya construido obtenemos al siguiente

figura

Con los puntos ya hallados y con la opción curvas y segmento, construimos la figura tal

como se ilustra:

Aplicamos simetría a la construcción anterior con respecto

a la recta t y tenemos:

Construimos un vector en la base del cuadrilátero y

trasladamos la figura resaltada de forma que se obtenga

la traslación vista; luego con la opción puntos medios

localizamos los puntos mostrados de forma que se pueda

construir el ojo del pez

Con la opción polígono, construir el pez y luego

trasladamos la circunferencia (ojo del pez) con el vector

ya hecho.

Construimos otros dos vectores sobre los lados del polígono, de forma que todos apunten

en diferentes direcciones tal como se ilustra

Nuevamente volvemos a trasladar el polígono del pez según el vector que apunta hacia la

cola del pez

Con la opción Polígono y los puntos de los

polígonos anteriores construimos otro pez

tal como se ilustra y luego hacemos el ojo de

este pez tal como se muestra en la figura,

esto se debe hacer con la ayuda de puntos

medios y puntos de intersección y, desde

luego, con circunferencia.

Por último ocultamos los puntos y las rectas de forma que solo queden los polígonos y los

vectores, luego empezamos a trasladar estas figuras con los vectores tal como se observa.

Luego de repetir este procedimiento y con los colores que desee se debe obtener un

resultado más o menos como el siguiente:

16. Alhambra de comores

Para realizar la tesela debes comenzar con la opción [Polígono regular] realizas un

hexágono ABCDEF luego en la opción [Vector] trazas uno desde el punto A hasta el

centro del polígono, enseguida en la opción [Traslación] trasladas el polígono de acuerdo

al vector, quedándote una figura de la siguiente forma:

Con la opción [Círculo] trazas una circunferencia desde el

centro de cada uno de los hexágonos y otras desde el

punto F del primer hexágono y desde el punto E´ del

otro.

Después de esto deberás hacer 4 arcos hasta obtener “una figura curva” que será la base

de la tesela.

Finalmente, con la herramienta [Polígono] trazas el polígono sobre los arcos

anteriormente dibujados de tal forma que podamos colorear la figura resultante. Luego

con la opción [Ocultar-mostrar] ocultamos los hexágonos el vector los textos y los puntos

de la figura de tal manera que nos quede como la siguiente:

Luego trazamos un vector desde cada uno de los extremos y vamos a la opción

[TRASLACION] y trasladamos el polígono de acuerdo a la dirección del vector por último

en la opción [RELLENAR] rellenamos las figuras de la tesela del color deseado. Quedando

un teselado como este: