El Control Automático : El Control Automático : INGENIERIA EN ENERGIAINGENIERIA EN ENERGIA

MODELOS DE SISTEMAS : MECANICOS, ELECTRICOS, FLUIDICOS,

TERMICOS, ELECTROMECANICOS, HIDROMECANICOS

RESPUESTAS DEL SISTEMA:SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

Ing. César López Aguilar

RESPUESTAS DE UN SISTEMA DE CONTROLRESPUESTAS DE UN SISTEMA DE CONTROL

La respuesta de un sistema de control o de un elemento del sistema, está formada por dos partes:• La Respuesta en estado estable, es la respuesta que permanece después de que desaparecen todos los transitorios• La Respuesta transitoria, es la parte de la respuesta de un sistema que se presenta cuando hay un cambio en la entrada y desaparece después de un breve intervalo.

RESPUESTAS DE UN SISTEMA DE CONTROLRESPUESTAS DE UN SISTEMA DE CONTROL

Para describir por completo el comportamiento de un sistema, el modelo debe considerar la relación de entradas y las salidas, los cuales son función del tiempo y, por lo tanto son capaces de describir los comportamientos tanto transitorio como en estado estable.

SISTEMA

RESPUESTAS DE UN SISTEMA DE CONTROLRESPUESTAS DE UN SISTEMA DE CONTROL

El tipo de modelo que con frecuencia se emplea para describir el comportamiento de un sistema de control o elemento del sistema de control, es una ecuación diferencial.Las ecuaciones diferenciales son las que involucran derivadas. Estas se pueden clasificar en: Primer Orden , dx/dt Segundo Orden, d(dx/dt)/dt = d²x/dt² Tercer Orden, d³x/dt³Los métodos de solución de estas ecuaciones son :Prueba solución, que satisfaceTransformaciones, es decir que se pueda manejar mediante álgebra convencional.

EJEMPLO DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDENEJEMPLO DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDENUn tanque de un agua controlado por un flotador, fig. 1.dh = k(H-h) donde dh/dt es la razón de cambiodt de la altura y k, una constante

Mientras sube el nivel del agua el valor de (H-h) es menor, y de esta forma es menor de cambio de la altura con el tiempo (dh/dt). Una gráfica de la altura de agua contra el tiempo se muestra en la fig. 2 La ecuación que describe esta gráfica es: h= H (1-e-kt)

En este sistema se puede considerar como entrada la atura requerida H y como salida h, ver fig. 3

SISTEMA

EJEMPLO DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDENEJEMPLO DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN

Un capacitor en serie con un resistordVc = 1 (V-Vc) donde dVc/dt es la razón de cambiodt RC de Vc y es proporcional a (V-Vc). Donde R es

la resistencia y C la capacitancia. La Fig. 2, muestra como varía Vc con el tiempo. La gráfica tiene la ecuación.

Vc= V (1-e-t/RC) Se puede considerar que este sistema, tiene la entrada el voltaje V y como salida la diferencia de potencial Vc (fig. 3)

SISTEMA

CONCLUSIONCONCLUSION

Todos los sistemas de primer orden tienen la característica que la razón de cambio de alguna variable es proporcional a la diferencia entre esta variable y algún valor de ajuste de la variable.

PRACTICA CALIFICADA 4PRACTICA CALIFICADA 4

1. Cuál será la forma de la ecuación diferencial cuando un termómetro se sumerge en un líquido caliente a una temperatura Th. Cuál será la ecuación de la gráfica de T contra el tiempo. Graficar el sistema de control.

2. Cuál será la forma de la ecuación diferencial para un circuito que consta de un resistor R en serie con un inductor L. Cuál será la ecuación de la gráfica de Vl contra el tiempo. Graficar el sistema de control.(Vl= tensión del inductor)

LA ECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN

Una ecuación diferencial de primer orden es en general de la forma a1 dΦo + ao Φo = bo Φi dt

Donde a1, ao, bo son constantes, Φi es la función de entrada al sistema y Φo la salida. dΦo/dt es la razón de cambio a la cual la salida cambia con el tiempo.

SEÑALES DE ENTRADA

Tiempo0

EntradaEntrada

0Tiempo

Entrada

0Tiempo

Entrada

0 Tiempo

Las señales de entrada al sistema pueden adoptar diferentes formas, la más común es la de escalón; ésta se presenta cuando la entrada cambia de valor de manera abrupta. Un ejemplo de este caso es cuando el voltaje se conecta a un circuito. Un impulso es una entrada de corta duración, una rampa es una señal que se incrementa en forma estable y una entrada senoidal es aquella que se describe por senwt.

SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN

a1 dΦo + ao Φo = bo Φi Esta es nuestra ecuación dt

Se hace la sustitución Φo = u +v

u =respuesta transitoria v = Respuesta forzada

Para una entrada Φi tipo escalón, la solución es:

Φo = (bo / ao ) Φi (1-e- ao t/ a1)La solución es diferente si la señal es tipo rampa o tipo senoidal.

Tiempo0

Entrada

Φi

PRACTICA CALIFICADA 5

1. Demostrar la solución de la ecuación diferencial de primer orden de un sistema eléctrico formado por resistor en serie con un capacitor. Considerar la forma de señal de entrada tipo escalón.

2. Demostrar la solución de la ecuación diferencial de primer orden de un sistema formado por un tanque de agua controlado por un flotador.

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

Una ecuación diferencial de segundo orden es en general de la forma

d²Φo +2ζ wn dΦo + w²n Φo = b1 w²n Φi dt² dtDonde wn es la frecuencia angular con la cual el sistema oscilará libre en ausencia de cualquier tipo de amortiguamiento y ζ es el factor de amortiguamiento relativo. Cuando ζ=0 se tiene oscilaciones libres(fig.) si ζ<1, la situación de la fig. 2, si ζ> 1, ver fig. 3.

Salida

0Tiempo

Salida

Tiempo0

Tiempo0

Salida

EJEMPLO DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

Un circuito RLC en serie presenta una ecuación de segundo orden cuando se aplica una entrada escalón de magnitud V.

d²i +R di + 1 i = V i dt² L dt LC LCDonde i es la corriente del circuito, es la señal de salida. R,L,C son constantes

TRANSFORMADAS DE LAPLACELa transformada de Laplace es un método que transforma una ecuación diferencial en una ecuación algebraica.Se dice que el comportamiento del circuito en el dominio del tiempo, se transforma en el dominio de s, en el cual se pueden realizar manipulaciones algebraicas.Así una funcion f(t) se representa en con la transformada de Laplace como.

F (s) = ∫ f (t) e –stdtEjemplo : v(t)=R i(t) , La tensión en el tiempo, aplicada en circuito de resistencia R, genera un corriente en función del tiempo.Si se toman las transformadas de Laplace de i y v , la ecuación se convierte en V (s) = R I (s)

∞0

TRANSFORMADAS DE LAPLACE PARA UNA FUNCION ESCALON

La función escalón se describe como un cambio abrupto en alguna cantidad, y con frecuencia se emplea para describir el cambio en la entrada al sistema cuando se hace un cambio en la entrada al sistema cuando se hace un cambio súbito en su valor; por ejemplo cuando éste se enciende de manera súbita.

La figura muestra la forma que tomaría una entrada escalón cuando tiene lugar un cambio abrupto en la entrada en el tiempo t=0 y la magnitud del escalón es 1. La ecuación para esta función es f(t)=1, para todos los valores t mayores que 0. Para los valores de t menores que 0 la ecuación es f(t)=0. La transformada de Laplace de esta función escalón, para valores mayores que 0, es : F(s) = 1 s

f(t)

1

0

Tiempo t

TRANSFORMADAS DE LAPLACE PARA UNA FUNCION ESCALON

Supongamos ahora que en lugar de una señal de entrada escalón de altura de 1 unidad, se tiene uno de una altura de a unidades, como se muestra en la figura.

•Para todos los valores t mayores que 0 se tiene f(t)=a. La transformada de Laplace de esta función escalón, para valores mayores que 0, es : F(s) = a• s

f(t)

a

0

Tiempo t

PRACTICA CALIFICADA 6

Determinar, con base a la tabla 4.1 de nuestra bibliografía, la transformada de Laplace para:

a) Un escalón de voltaje de magnitud de 4 v, que empieza en t=0.b) Un escalón de voltaje de magnitud de 4 v, que empieza en t=2 seg.c) Una rampa de voltaje que empieza en t=0 y se incrementa a razón

de 3 v/sd) Una rampa de voltaje que empieza en t=2 s y se incrementa a razón

de 3 v/s.e) Un impulso de voltaje de magnitud 4 V que empieza en t=3sf) Un voltaje senoidal de amplitud 2 V y frecuencia angular de 10

Hz.

Para ambos casos graficar la señal en función del tiempo.

PRACTICA CALIFICADA 7

Emplear la transformada de Laplace para resolver las siguientes ecuaciones

a) 3 dx/dt + 2x = 4

a) V = RC dVc/dt + Vc circuito eléctrico RC serie