El constructivismo entra al aula (Boggino)

Cómo se construye el conocimiento lógico-matemático y se enseña matemática (cap. 1)

1. Preliminar

Se analizan los supuestos que sostiene la práctica de los docentes, los modos de enseñar y los obstáculos que se presentan y se concluye que sostienen el aprendizaje indirecto del conocimiento lógico matemático y la necesidad de la deconstrucción de los conocimientos lógicos matemáticos para proponer a los alumnos el camino inverso, la construcción del mismo.

2. Los supuestos del docente operan como obstáculos en el aprendizaje de la matemática

Respecto al objeto de conocimiento lógico-matemático, los supuestos teóricos y epistemológicos que sostienen la práctica de los docentes (concepción impregnada por el empirismo y el positivismo) son obstáculos y dificultan el aprendizaje de los conceptos. Los docentes:

- Tienen una concepción errónea de la matemática, reducen el objeto de conocimiento lógico-matemático a observables (lo comprobable positivamente) y a enseñar mecánicamente.

- Desconocen las relaciones y nociones lógicas y matemáticas de los conceptos, no respetando los niveles de conceptualización, la indagación de las teorías infantiles y los procedimientos de resolución de tareas.

- Reducen la enseñanza de la matemática a grafismos y algoritmos (observable) que se plantean aisladamente y descontextualizados con situaciones sin significado para el alumno. Creen que de esta forma se aprenden los conceptos lógicos- matemáticos.

Los docentes desconocen las cualidades del conocimiento lógico-matemático, desde la epistemología y que este está construido por relaciones que solo existen en la mente. Esto genera obstáculos en el aprendizaje al no poder considerar las relaciones y nociones lógicas y matemáticas contenidas en cada concepto. Los docentes deben diferenciar las relaciones psicológicas (que permiten caracterizar el conocimiento lógico-matemático) de las convenciones sociales (que permiten caracterizar el conocimiento social) y de las propiedades de las cosas (que permiten caracterizar el conocimiento físico), ya que no se aprende del mismo modo una propiedad de un objeto que una representación grafica o un concepto lógico matemático.Es necesario diferenciar:

- Contenidos conceptuales (números y multiplicación)- Procedimentales (algoritmos)- Representaciones graficas (numerales)

El conocimiento lógico matemático surge de las coordinaciones que realiza el sujeto sobre el objeto, que lleva a alejarse de lo real y se reencontrase en niveles formales que desbordan la realidad, conservando el pode de reunirse con ella.Así el pensamiento matemático es constructivo, agrega nueva relaciones y nociones que hace perceptible la realidad. Los contenidos conceptuales (número y multiplicación) no existen en el mundo físico, están constituidos por relaciones lógicas matemáticas creadas por la acción del sujeto.La concepción de la epistemología, es que la acción es constitutiva de todo conocimiento. El sujeto conoce aquello que su acción le permite conocer y la complejidad del objeto es correlativa con la complejización y organización del sujeto. La coordinación de los esquemas de acción permitirá dar unidad a los objetos. El sujeto estructura al objeto y este contribuye a la acción estructurante, transformándose mutuamente. De este modo, los objetos y los sistemas de conocimiento se reorganizan, dando lugar a adquisiciones cognoscitivas.

Al desconocer los docentes las cualidades del conocimiento lógico-matemático, no se enseñan conceptos, sino representaciones y algoritmos, que no comprenden porque no se adquirieron las relaciones, nociones y conceptos previos, solo se repiten, obturando la producción de conocimiento.Los numerales (representaciones graficas) se aprenden directamente representando gráficamente los números, pero los conceptos matemáticos, se apoyan en otros conceptos, nociones y relaciones que deben ser adquiridas, conllevando a una enseñanza indirecta.

3. La enseñanza y el aprendizaje indirecto de los conceptos lógico matemático

Los obstáculos en la construcción de los conceptos de número y multiplicación obedecen a supuestos que sustentan modos de enseñar. Estos poseen una errónea concepción del objeto de conocimiento y del conocimiento lógico matemático, creyendo en una enseñanza directa, por medio del aprendizaje de los numerales o el algoritmo de la multiplicación (en forma mecánica) y la enseñanza de la matemática en forma aislada y descontextualizada mediante situaciones de escaso significado para los alumnos. Se propone la enseñanza indirecta de los conceptos de número y multiplicación a través de las nociones y relaciones (previas) que las constituyen.El concepto de número puede enseñarse a través de las relaciones de enseñanza y diferencia, orden y pertinencia, inclusión e inclusión jerárquica, reciprocidad y transitividad, que en la construcción, posibilitan estructurar las nociones de clase, serie y cantidad.El aprendizaje del concepto de número y de las series numéricas implica una labor diferente al aprendizaje de los numerales. El concepto de número está estructurado por relaciones y nociones lógico matemáticas, en los numerales son conocimientos son sociales y arbitrarios razón por la cual no se aprenden del mismo modo ni se requieren mutuamente para hacer aprendidos. Esto supone estrategias y procesos diferentes.- Aprender la serie numérica implica establecer un orden entre los números y organizar una serie desde

el menor valor al mayor. Supone establecer diferencias y ordenarlas, establecer relaciones de reciprocidad para organizarlas y relaciones transitividad para intercalar un número en la serie, comprender y realizar estas relaciones implican adjudicar una cantidad a cada número, trabajar una clase de número y comprender que cada número pertenece a un conjunto de número, realizar inclusiones jerárquicas.

- La representación gráfica de los números se aprende directamente, escribiendo los numerales. Se trata de procesos que podrán realizar simultáneamente o en forma separada. Implica un proceso donde los alumnos van construyendo diferentes formas de representación gráfica hasta que logran la escritura. La representación gráfica de la cantidad supone realizar un camino que va desde la incapacidad de comunicar gráficamente la cantidad hasta la correcta utilización de las cifras.

- El aprendizaje del concepto de número puede realizarse sin que se conozca ningún modo de representación gráfica.

Los sistemas numéricos son construcciones recientes, mientras que el concepto de número existen desde siempre por la necesidad de ordenar, contar.El concepto de multiplicación se produce al operar con el concepto de número y otras nociones y relaciones previas que lo constituyen. Para construir el operador multiplicativo (que indica el número de veces que tiene que repetirse un conjunto y las relaciones de compensación entre el multiplicando y el multiplicador) los alumnos deberán establecer el número de elementos de cada conjunto X y operar multiplicativamente logrando compensaciones de x respecto al número de veces que tiene que repetirse, deben anticipar mentalmente algunas combinaciones posibles, comprender la necesidad de establecer una compensación entre el número de elementos x y el número de partes n, y realizar la cuantificación de la compensación entre los 2 términos.El aprendizaje de los procedimientos para resolver la multiplicación y el algoritmo implican procesos y estrategias de aprendizaje distintos.El resultado de la multiplicación puede lograrse a través de sumas reiteradas, un procedimiento que se presenta en el primer momento de la construcción del concepto de multiplicación. Pero la multiplicación es diferente a la adición y supone procedimientos específicos.El algoritmo de la multiplicación es una construcción social y, diferente al concepto de multiplicación.- Su aprendizaje comprende relaciones de orden y trabajar con operaciones como la adición, operar

multiplicativamente y conocer el valor posicional que adquieren los números según la posición respecto de los otros. Es necesario conocer la adicion para luego, comenzar con el aprendizaje del concepto de multiplicación, asi se trabaja significativamente con el algoritmo de la multiplicación.

Asi los algoritmos también se enseñan directamente y el aprendizaje del algoritmo de la multiplicación supone operar con diversos procedimientos hasta alcanzar resolver la multiplicación.

4. La deconstrucción de la matemática como requisito para la enseñanza del concepto.

Pensamiento matemático y abstracción reflexiva.

La deconstruccion es el polo opuesto a la construcción de conocimientos, que supone ubicarlo en el concepto más general e inclusivo y desentrañar los conceptos y relaciones que contiene según un orden de inclusividad decreciente.La enseñanza de los conocimientos lógicos matemáticos supone la deconstrucción de los conceptos, el docente debe conocer las relaciones y nociones que constituyen a cada concepto y asi posibilitar la construcción de las relaciones y nociones lógico matemáticas que permiten a los alumnos aprender los conceptos.Que los alumnos logren aprendizajes genuinos depende de los modos de enseñar del docente, que tendrán que sustentarse sobre supuestos que consideren las peculiaridades del objeto de conocimiento y la singularidad del sujeto que aprende.La construcción de los conocimientos lógicos matemáticos, se basa en las acciones que el sujeto realiza sobre el objeto empírico, pero su vez, se aleja del mismo ya que puede reunirse con él. Las operaciones matemáticas son una creación del sujeto, a partir de las acciones que éste ejerce sobre los objetos empíricos.El pensamiento matemático es fruto de la abstracción que el sujeto realiza de los objetos y agrega nuevos elementos a la realidad empírica, comenzando la construcción del conocimiento matemático.Es a partir la construcción del pensamiento matemático y la construcción de los conocimientos lógicos y matemáticos, que el sujeto puede volver sobre los objetos y agregar algo a ellos. Sin, embargo, en la medida que el conocimiento lógico matematico vuelve a la realidad, esta coincide con el conocimiento matematico, que lleva a concepciones erróneas que plantean que la matemática se abstrae de la realidad y a reducir el aporte del sujeto a la sintaxis del lenguaje destinado a expresar lo real, mientras que todo lo que supera la tautología consiste en una comprobación de la realidad.La naturaleza de los entes matemáticos no deviene, de una imposición de la realidad, ni se extrae de la segunda, es fruto de una interacción entre el sujeto y el objeto, que es interior al sujeto.La lógica y la matemática se construyen con la coordinación de las acciones del sujeto que lo vinculan a objetos empíricos. Las operaciones lógico matemáticas son acciones que no derivan de las propiedades de cosas, y no son sólo transformaciones, sino que corresponden a diversas reuniones discontinuas (lógico matemáticas) y continuas (espaciales) que se construyen con objetos. Las coordinaciones lógico matemáticas no proceden de las acciones físicas, y los conocimientos lógicos y matemáticos no derivan de la acción directa sobre las cosas y de la experiencia.Ni en el concepto de número ni el de multiplicación, están contenidos en el mundo físico. Lo propio del conocimiento lógico matemático son las relaciones mentales que el sujeto construye a través de la abstracción reflexiva o constructiva.Cada sujeto debe crear las relaciones de semejanza y diferencia, de inclusión y transitividad y construir las nociones de clase y serie y los conceptos de número y multiplicación. Pero no es la acción directa sobre los objetos empíricos lo genera el conocimiento. El conocimiento es acción significativa.

Deconstrucción de los conceptos lógicos matemáticos.

La deconstrucción de los conceptos lógico matemáticos es necesaria debido a la lógica de construcción de dichos conceptos.Los conceptos son fruto de un proceso de construcción de nociones y relaciones correspondientes con la estructuración cognoscitiva del sujeto.A partir del ingreso de los alumnos a la escuela se deberá sistematizar la enseñanza, prevenir obstáculos y lograr aprendizajes genuinos. De este modo, la noción de cantidad tendrá que trabajarse desde la educación inicial, donde los alumnos aún no tienen criterios para evaluar cuantitativamente la cantidad. Pero la noción de cantidad se relaciona con el concepto de número y este, con las nociones de clase y serie y con los numerales, que se relacionan con el sistema decimal y el valor posicional de los números. Así se van organizando conceptos, nociones y relaciones interrelacionados interrelaciones que deberá conocer docente para poder enseñar y que los alumnos irán construyendo significativamente.

Los numerales se aprenden directamente, escribiendo números, y el concepto de número se aprende indirectamente por añadidura a partir de la construcción de las nociones de clase, serie y cantidad y relaciones lógico matemáticas de reciprocidad, transitividad, inclusión, orden. No obstante la representación gráfica de la cantidad y las nociones pre numéricas, como se construyen a través de un proceso donde los alumnos elaboran diferentes hipótesis y realizan procedimientos singulares, que son producciones erróneas desde este punto de vista, pero posibles según las posibilidades de aprender de los alumnos. Estos errores deben removerse hasta lograr la representación de los números con cifras correctas y construir el concepto de numero.Para que los alumnos construyan genuinamente los conceptos lógicos matemáticos los docentes deberán conocer las relaciones, nociones y conceptos contenidos en ellas, de lo contrario, no podrán evaluar el proceso de construcción de los conocimientos de los alumnos y sus intervenciones pedagógicas eran guiadas por la experiencia.Proponemos la deconstrucción de los conceptos lógico matemáticos para conocer los conceptos, nociones y relaciones incluidos en aquellos y promover a que los alumnos realicen el camino inverso el de la construcción indirecta de los conceptos lógicos matemáticosPara lograr aprendizaje genuinos es necesario que los docentes realicen un plan previo y establezcan jerarquías y las relaciones entre las nociones y relaciones comprendidas en el concepto que pretenden enseñar y organicen los contenidos conceptuales a partir de secuencias lógicas que permita flexibilizar la curricular y ajustarla a las posibilidades de aprender de los alumnos.La deconstrucción de los conceptos lógico matemáticos para la enseñanza se debe a las cualidades del objeto de conocimiento lógico matemático y por la lógica del sujeto que aprende.Utilizar mapas conceptuales para planificar los contenidos conceptuales, y asi utilizarlos en la enseñanza, indagar saberes previos y evaluar el proceso de aprendizaje. Estos permiten establecer las diversas rutas para la enseñanza a partir de las nociones y relaciones que conocen los alumnos y brindar las ayudas pedagógicas y realizar las intervenciones necesarias para que éstos reconstruyan sus conocimientos previos y realicen la construcción de las relaciones y nociones lógicas y matemáticas que permita a los alumnos aprender los conceptos.La planificación partirá del concepto supraordenado que contiene otros conceptos subordinados y estos a otros conceptos y relaciones lógicas y matemáticas. Ejemplo, la planificación de la serie numérica supone partir del concepto de número, concepto de mayor generalidad que comprende a las nociones de clase, serie y cantidad y estas comprenden las relaciones de reciprocidad y transitividad, de inclusión e inclusión jerárquica, de pertinencia y de orden, de semejanza y diferencia.Se parte del concepto más general y se deconstruye, se establecen relaciones entre las nociones y relaciones numéricas. Cada una puede organizarse según la deconstrucción y planificarse según la lógica de construcción de las mismas. La misma tarea tendrá que realizarse con respecto a la enseñanza de los numerales. Tendrán que deconstruir y organizar lógicamente los niveles de representación gráfica de la cantidad, establecer las relaciones cruzadas, por medio de los conectores en los niveles de conceptualización de las nociones de clase, serie y cantidad, para saber qué conocimiento necesita tener aprendidos el alumno para construir otros más complejos y ajustar las intervenciones pedagógicas a las posibilidades de aprender.Esto permite respetar los tiempos de aprendizaje y los saberes previos de los alumnos y evitar los obstáculos en el proceso de aprendizaje.Los docentes tendrán que planificar los contenidos a enseñar durante el año lectivo y así realizar diversos mapas conceptuales que se relacionen y permitan construir, a partir de la reconstrucción de los conceptos una red donde se establezcan múltiples relaciones y jerarquías entre las relaciones, nociones y conceptos lógico matemáticos.