El Conjunto de Mandelbrot El Conjunto de Mandelbrot (𝕄) es un conjunto de números en el plano complejo, (𝕄⊂ℂ) que fue publicado por primera vez en 1982 en el libro “The Fractal Geometry of Nature” (La Geometría Fractal de la Naturaleza) de Benoît Mandelbrot.

Es necesario mencionar que la gráfica del Conjunto de Mandelbrot, aparte de ser una creación matemática, también es arte.

(𝕄⊂[ℂ∩Arte])De hecho, es una de las imágenes matemáticas más estéticas y más famosas de la historia y tiene un nivel de complejidad inalcanzable por un humano. En realidad, lo increíble del conjunto de Mandelbrot (y otros fractales) es su infinita complejidad. Por mucho que te acercas a una región de la frontera del conjunto, nunca se convierte en una línea recta o curva perfecta.

¿De dónde viene el Conjunto de Mandelbrot?

El conjunto de Mandelbrot es el producto infinitamente complejo de una ecuación increíblemente sencilla. Basicamente, tomas un punto c en el plano complejo, lo elevas al cuadrado y lo sumas el valor inicial (c), luego elevas eso al cuadrado y le sumas c otra vez, y repites el proceso mil veces. Si los valores se acercan al infinito, entonces el punto no está en el conjunto, pero si permanece dentro de un rango limitado, entonces si está dentro del conjunto.

¿De dónde viene el Conjunto de Mandelbrot?

En términos matemáticos:Toma un cϵℂ

1. Z=0 2. t3. Si

Algunos ejemplos:

Esta secuencia no está acotada. Cada iteración será mayor a la anterior ⇒ El punto c = 1 no está dentro del conjunto de Mandelbrot

Esta secuencia entra a un ciclo de -1, 0 , -1, 0, etc. Y por lo tanto esta acotado. ⇒ c = -1 es un elemento del conjunto de Mandelbrot

Esta secuencia tampoco está acotada. ⇒ El punto c = 1 – i no está dentro del conjunto de Mandelbrot

Después de haber hecho eso para unos 8 millones de puntos entre -2 - i y 1 + i, quedarás con una gráfica como ésta:

¿Qué significan los colores de la gráfica?

Podrías preguntarte (si entendiste mi explicación anterior) ¿porque hay tantos colores en la grafica? ¿No debería haber solo dos, uno si el punto está en el conjunto y otro si no? Pues, eso es cierto. Las partes negras de la grafica representan los puntos que pertenecen al conjunto, y los colores hacen el imagen más bonito, pero no solo fueron pintados allí por alguien con Paint o Photoshop, también tienen un significado matemático. Los colores representan el “tiempo de escape” del punto. Básicamente pones un límite (generalmente se ocupa Re(z) >4) y luego solo tienes que contar en cuantos pasos llega a ese límite. Por cada número de pasos (hasta 1000), hay un color correspondiente.

Arte Inspirado por el Conjunto de Mandelbrot

Como habia dicho antes, el conjunto de Mandelbrot es arte, y por lo tanto hay mucha arte inspirado por el, como:

TatuajesImágenes Tri-dimensionalesImpresiones Digitales

Este proyecto se llama el Catedral de Mandelbrot

Mandelbrot Setby Jonathan Coulton

Pathological monsters! cried the terrified mathematicianEvery one of them is a splinter in my eye

I hate the Peano Space and the Koch CurveI fear the Cantor Ternary Set

And the Sierpinski Gasket makes me want to cryAnd a million miles away a butterfly flapped its wings

On a cold November day a man named Benoît Mandelbrot was bornHis disdain for pure mathematics and his unique geometrical insights

Left him well equipped to face those demons downHe saw that infinite complexity could be described by simple rules

He used his giant brain to turn the game aroundAnd he looked below the storm and saw a vision in his head

A bulbous pointy formHe picked his pencil up and he wrote his secret down

Take a point called Z in the complex planeLet Z1 be Z squared plus CAnd Z2 is Z1 squared plus C

And Z3 is Z2 squared plus C and so onIf the series of Z's should always stay

Close to Z and never trend awayThat point is in the Mandelbrot Set

Mandelbrot Set you're a Rorschach Test on fireYou're a day-glo pterodactyl

You're a heart-shaped box of springs and wireYou're one badass fucking fractal

And you're just in time to save the daySweeping all our fears away

You can change the world in a tiny way

http://www.jonathancoulton.com/2007/09/02/mandelbrot-set-video-2/

Poesía