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EL COMPORTAMIENTO DE MOND ENEL SISTEMA SOLAR

LAURA NATALY HERNANDEZ CALVO

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias, Observatorio Astronomico Nacional

Bogota, Colombia2013

EL COMPORTAMIENTO DE MOND ENEL SISTEMA SOLAR

LAURA NATALY HERNANDEZ CALVO

Tesis o trabajo de grado presentada como requisito parcial para optar al tıtulo de:MAGISTER EN CIENCIAS- ASTRONOMIA

Director(a):(Ph.D. en Fısica) JOSE ROBEL ARENAS SALAZAR

Lınea de Investigacion:Termodinamica de Agujeros NegrosUniversidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Observatorio Astronomico NacionalBogota, Colombia

2013

Una vez que se ha reconocido la validez de estemodo de pensamiento, los resultados finales parecencasi sencillos; todo estudiante inteligente puedecomprenderlos sin dificultad. Pero los anos debusqueda en la oscuridad de una verdad que unointuye pero no puede expresar, el intenso deseoy las alternancias de confianza en sı mismo y deduda, hasta que uno llega a la comprension, sololos conoce quien los ha experimentado por sı mismo.

Albert Einstein

Agradezco a Dios por darme la fuerza de culminar este trabajo, a mi madre y mis hermanas por suapoyo, a mi esposo, por su afectuosa y generosa paciencia y mi hijo Pablo Samuel por darme cadadıa una razon para seguir.Y un agradecimiento muy especial al profesor Jose Robel Arenas por tenerme fe, por acompanar-me en esta lucha que a veces se convirtio en tortuosa pero al final satisfactoria, por no dejarmeabandonar, por su inmenso amor a la ciencia y sus grandes charlas que hace que uno se enamorecada dıa mas de ella. Por ser un excelente docente, amigo y persona.En fin agradezco a todos por el apoyo en estos anos.

IX

ResumenM. Milgrom y J.Bekenstein crearon en 1983 una propuesta alternativa a la hipotesis de la materiaoscura, para dar solucion al problema de las curvas de rotacin galacticas. La formulacin alternati-va, que se ha denominado MOND (Dinamica Modificada de Newton), se estructuro teoricamentecon una version relativista llamada TeVeS (Tensor Vector Escalar), la cual introdujo tres campos:uno de caracter tensorial, otro vectorial y uno de naturaleza escalar. esta pretende ser una teorıagravitacional que obtenga los mismos aciertos que la Teorıa de la Relatividad.Se analizo como la teorıa MOND y TeVeS concuerda con fenomenos observados en el Sistema So-lar, tales como el problema de los dos cuerpos y el corrimiento del perihelio planetario. Hecho esteplanteamiento se realizo un analisis del comportamiento de MOND con un potencial modificadoen la ecuacion de movimiento en un sistema de dos masas. Se desarrollo una descripcion de lateorıa TeVeS y una de sus antecesoras Teorıa de Brans-Dicke, reduciendolas a una teorıa de campodebil, y encontrando el corrimiento del perihelio del planeta Mercurio, el cual para la Teorıa deBrans-Dicke, supera al correspondiente de la Relatividad General por un valor de ±0,08rad/orby para TeVeS el valor adicional es del orden de 10−20rad/orb.

Palabras clave: (Teorıa de Brans-Dicke, Dinamica Modificada, teorıas TeVeS, campo debil, corrimien-to del perihelio planetario).

AbstractM. Milgrom and J.Bekenstein created in 1983 as an alternative to the hypothesis of dark mat-ter proposed to solve the problem of galactic rotation curves . The alternative formulation, whichhas been called MOND (Modified Newtonian Dynamics), was structured theory with a relativisticversion called TeVeS ( Tensor Vector Scalar) , which introduced three fields: one of tensorial cha-racter , one vector and one scalar nature . This is intended as a gravitational theory for the samesuccesses that the Theory of Relativity.We analyzed how MOND and TeVeS theory is consistent with phenomena observed in the solarsystem, such as the problem of two bodies and the shifting of the planetary perihelion. Made thisapproach an analysis of the behavior of MOND with a modified equation of motion in a two- masspotential is realized. A description of the TeVeS theory and one of its predecessors Brans-Dicketheory, reducing them to a theory of weak field was developed, and finding the shift of the perihe-lion of Mercury, which for the Brans-Dicke theory, exceeds the corresponding General Relativityworth 0,08rad/orb and TeVeS additional value is the order of 10−20rad/orb . .

Keywords: Brans-Dicke theory, Modification Dynamics, TeVeS theory, weak field, planetary perihe-lion shift

Contenido

Agradecimientos VII

Resumen IX

Lista de Figuras XI

Introducion 1

1. Fundamentacion 4

1.1. Antecedentes teoricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Teorıa de Brans Dicke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Fundamentos de TeVeS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Anomalıa Pioneer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5. Dinamica de los dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.1. Potencial modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.2. Problema de los dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2. Ecuaciones de campo debil 29

2.1. El principio de equivalencia fuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2. Aproximacion de campo debil en Teorıa de Brans-Dicke . . . . . . . . . . . . . . 302.3. Corrimiento del perihelio del planeta Mercurio en Teorıa de Brans-Dicke . . . . . 322.4. Ecuaciones de campo debil en TeVeS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5. Corrimiento del perihelio planetario con TeVeS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3. Conclusiones 54

Bibliografıa 57

Lista de Figuras

1.1. Foto de la NASA 72HC94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2. Sistema de dos masas afectados por un campo externo y un campo newtoniano . . 211.3. Ubicacion de masas m1 y m2, y su centro de masa R . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4. Consideraciones geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5. Graficas V(r) vs r de potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Introduccion

Las primeras ideas relacionadas con teorıas alternativas a la gravitacion se desarrollaron principal-mente a partir de los conceptos de movimiento relativo de los cuerpos y del espacio fısico absoluto.En la mecanica clasica las teorıas newtonianas incorporan estos dos conceptos como fundamentopara la generacion de sus principios y leyes. Sin embargo, objeciones filosoficas surgieron sobreestos conceptos. Mach fue el primero en intentar dar una nueva interpretacion fısica a estas ideas,postulando que las fuerzas inerciales de cualquier sistema son el resultado de las interacciones dela partıcula o el sistema con el resto del Universo, es decir las partıculas existentes en el universogenera algun tipo de interaccion con todas las demas partıculas.

Aunque Einstein reconoce el principio de Mach, en su teorıa, este no es relacionado exactamentecomo principio en los postulados de la teorıa, aun ası el principio de Mach ha estado presente enotras teorıas, una de ellas, es la Teorıa de Dirac en donde se trata de anexar este principio en fun-cion del cambio de la constante gravitacional newtoniana a una constante gravitacional dinamica.Otras teorıas como las disenadas por Fierz, Sciama, Whitrow y Randall, entre otros, trataron deincorporar las teorıas gravitacionales a campos escalares pero en general, cuando son comparadascon la elegancia matematica y el poder predictivo de la Relatividad General, estos formalismos notienen la acogida cientıfica necesaria.

Algunas otras opciones fueron desarrolladas con la idea de unificar el campo escalar con el elec-tromagnetismo, asociadas a los nombres de Kaluza y Klein. Poco tiempo despues, Robert Dicke yCarl Brans describieron la primera teorıa relativista de campo basada en la existencia de un campoescalar en un espacio-tiempo Riemanniano. Esta teorıa a podido resistir mas de cuarenta anos deexperimentos y observaciones, convirtiendose en una teorıa de gravitacion acorde con el principiode Mach que cumple con muchos de los requerimientos y descripciones de la Teorıa de la Relati-vidad General,[1].

Por otra parte en la decada de los 80, Rubin et al, encuentran que existen algunos sistemas en loscuales las leyes gravitacionales no concuerdan con las observaciones, esto se deduce a partir delestudio de las curvas de rotacion, que surgen al generar graficas de velocidad de rotacion contradistancia desde el centro de la galaxia, en esos sistemas. Ya que estas graficas no decrecen conla dependencia al inverso al cuadrado de la distancia, que se deduce del Teorema del Virial de

2 Introduccion

la teorıa clasica. Para dar solucion a esta discrepancia los astronomos y fısicos crearon algunassoluciones, una de ellas consiste en considerar una nueva materia llamada Materia Oscura que noemite radiacion en ninguna longitud de onda, a diferencia de la masa barionica, [2].

Otra alternativa para dar solucion a la discrepancia de masas fue propuesta por M. Milgrom, estaexplicacion presume una variacion de la segunda ley de Newton en sistemas en donde las acele-raciones son muy pequenas comparadas con un valor constante denominado a0. Esta propuestarecibe el nombre de Dinamica de Newton Modificada y es fenomenologicamente consistente en laexplicacion de las curvas de rotacion galacticas y concuerda con la relacion de Tully Fisher, [3],[4].

A partir de MOND (por las siglas en ingles de Dinamica MOdificada de Newton), y la explica-cion de esta a las curvas de rotacion se busco que la modificacion fuera mas que una explicacionfenomenologica, y se creo una teorıa de principios basada en un lagrangiano a-cuadratico llamadoAQUAL. Con base en AQUAL se crea una teorıa llamada TeVes (Tensor, Vector, Escalar) la cualbusca explicar todos los fenomenos cosmologicos.

TeVeS, creada por Jacob Bekenstein en 2004, se crea en una forma capaz de llevar a AQUAL auna teorıa relativista que se redujera a MOND en sistemas con velocidades pequenas comparadascon la velocidad de la luz, ademas TeVeS busco recrear exitosamente los fenomenos cosmologicosa gran escala (lensing gravitacional, agujeros negros, etc.), pero es necesario que esta nueva pro-puesta recree los aciertos que tiene la teorıa de la relatividad en el Sistema Solar, [5].

Con relacion a estas pruebas dentro del Sistema Solar que debe cumplir cualquier teorıa gravitacio-nal, el presente trabajo se plantea el siguiente objetivo: Determinar la compatibilidad de la teorıarelativista de MOND, con los fenomenos encontrados en el Sistema Solar, tales como corrimientosde perihelios planetarios y anomalıas descubiertas en las sondas espaciales Pioneer 10 y 11.Como objetivos especificos se senalan los siguientes:

? Realizar una descripcion del problema de los dos cuerpos con la Dinamica de Newton Mo-dificada.

? Mostrar la prediccion que realiza una teorıa relativista de MOND en el corrimiento del pla-neta Mercurio.

El desarrollo de los objetivos especıficos se presenta de la siguiente manera: En el primer capıtulose realizara una revision de las teorıas precedentes a TeVeS, Teorıa de Brans Dicke y la anomalıa

Introduccion 3

de las sondas Pioneer 10 y 11 en la cual se discutira en que consiste la anomalıa y sus nuevasexplicaciones. Ademas se describe el problema de los dos cuerpos con un potencial modificado.

En el segundo capıtulo se trabajaro con la aproximacion de campo debil, primero haciendo unadescripcion de la Teorıa de Brans-Dicke y su prediccion del corrimiento planetario. En la segundaparte se realizo la descripcion de campo debil de la teorıa TeVeS, consideraciones, reduccion yfinalmente la prediccion que esta realiza del corrimiento planetario y se encontro el valor de corri-miento del perihelio del planeta Mercurio.

Finalmente, en el capıtulo tercer, se escribiran las conclusiones del trabajo.

1 Fundamentacion

1.1. Antecedentes teoricos

En 1983 Mordehai Milgrom y Jacob Bekenstein crearon una alternativa para explicar las curvasde rotacion y algunas correlaciones entre sistemas galacticos [3]. Esta alternativa realiza una mo-dificacion en la segunda ley de Newton que consiste en introducir un nuevo termino en la relacionentre fuerza y aceleracion; el termino, denominado µ , permite saber en que regimen especial aplicaMOND. Esta formulacion puede ser escrita como:

F = mµ

(|a|a0

)a, (1.1)

donde a0 es una constante con dimensiones de aceleracion, su valor oscila entre 2−8×10−8cms−2;la funcion µ se evalua entre dos condiciones maximas: cuando el argumento x 1 la funcion esµ(x) = x; y cuando x 1 la funcion es µ(x) = 1. La ecuacion (1.1) es muy exitosa en la ex-plicacion de las curvas de rotacion de gran numero de galaxias [3]. MOND tambien satisface lacorrelacion entre la luminosidad del disco galactico Lk y la velocidad rotacional v4

a (conocida co-mo la ley de Tully-Fisher Lk ∝ v4

a). Sin embargo, MOND no es una teorıa de primeros principios.Cuando se trata de resolver sistemas donde estan ligados dos cuerpos inmersos uno en el campodel otro, MOND no conserva el momento (en general no cumple con los principios de conserva-cion)[6].

Para dar solucion a estas inconsistencias, en 1984 Bekenstein y Milgrom [6], reformularon MONDcon base en teorıas lagrangianas, como una teorıa gravitacional alternativa a la newtoniana. Estateorıa, denominada AQUAL (por sus siglas en Ingles Aquadratic Lagrangian theory), soluciono losproblemas de conservacion de MOND; su formulacion trabaja con una nueva densidad lagrangianade forma

L=−a2

08πG

F

(|∇φ |2

a20

)−ρφ , (1.2)

donde ρ es la densidad de masa, F es una funcion relacionada con µ y a0 es la constante yamencionada. De (1.2) podemos encontrar una ecuacion de Poisson modificada [6]:

1.1 Antecedentes teoricos 5

∇ ·[

µ

(|∇φ) |

a20

)∇φ

]= 4πGρ, (1.3)

donde φ es el potencial fısico gravitacional (a =−∇φ). La ventaja de llevar (1.3) a un sistema consimetrıa (que cumpla condiciones de isotropıa y homogeneidad), es que se recobran los principiosde conservacion y los aciertos observacionales y fenomenologicos obtenidos con MOND.

Al querer llevar esta formulacion a una forma relativista se crea RAQUAL (primera forma re-lativista de AQUAL) que, con base a teorıas de campos escalares, especialmente Teorıa de Brans-Dicke, introduce un campo escalar que junto con la metrica describen sistemas gravitantes. Es-ta primera version de 1984 [6], resulta de realizar una modificacion de la accion gravitacional ycontemplar una metrica gαβ que es conforme a la metrica de Einsten gαβ de la forma

gαβ = e2ψgαβ ,

donde ψ es un campo escalar real.

A lo anterior se le puede asociar una densidad lagrangiana de la forma

Lψ =− 18πGL2 F

(L2gαβ

ψ,αψ,β

), (1.4)

donde F es una funcion no conocida y L es una constante con dimensiones de longitud, introdu-cida para lograr una consistencia dimensional. Al hacer la funcion F(y) = y, Lψ es una densidadlagrangiana para un campo escalar real pero en general Lψ no contiene terminos cuadraticos.

Sin embargo, esta primera aproximacion relativista tiene problemas. Uno de ellos aparece al calcu-lar la velocidad con las cuales las ondas se propagan en el campo ψ (ondas superluminales) ; otrose encuentra al calcular en las ecuaciones de Einstein el tensor momento-energıa con el campo ψ ,pues este contribuye en una forma muy pequena al tensor, y ası no se pueden ver efectos gravita-cionales. La aproximacion Relativista AQUAL, falla al describir deflexiones de luz en situacionesdonde la Teorıa de la Relatividad sı lo hace [5].

En 1994 J. Bekenstein y R. Sander [7], describen una nueva version de la teorıa relativista MOND,basada en una metrica que presenta un acople entre dos funciones dependientes de la metrica deEinstein gαβ ; ademas se considera un campo escalar ψ , donde su forma es

gαβ = e2ψ[A(I)gαβ +L2B(I)ψ,αψ,β

], (1.5)

6 1 Fundamentacion

con A y B que son funciones del invariante,

I ≡ L2gαβψ,αψ,β . (1.6)

Se busca que la relacion (1.5) sea una generalizacion entre gαβ y gαβ , basada en un campo es-calar que solamente involucre primeras derivadas de ψ; de esta forma se plantea una densidadlagrangiana para esta teorıa de acople llamada PCG (The Phase coupled Gravity), de la forma

Lψ,A =−12[A,α A,β +η

−2A2ψ,αψ,β

], (1.7)

donde η es un parametro real. Este acople entre A y ψ vuelve a AQUAL para η muy pequeno,pero en general la conexion con teorıas clasicas de MOND no esta clara. Esta nueva formulacioninvolucra solo primeras derivadas de ψ , ası los problemas superluminares desaparecen en PCG [5].

A pesar de esto, la teorıa aun tiene problemas, uno de ellos es que la conexion con AQUAL noes clara; otro, tal vez el mas grave, se encuentra al querer estudiar el Sistema Solar: en donde apa-rece una diferencia entre los datos observados y el resultado de PCG en la precesion del periheliode los planetas (una fuerza anomala genera una precesion extra), pues en el caso de Mercurio laprecesion del perihelio es 0,35% mayor que el valor encontrado con la teorıa de la relatividad [5].

En el ano 2004, Jacob Bekenstein [5] describio la teorıa gravitacional covariante que busca des-cribir fenomenos cosmologicos; esta propuesta debe recrear la fenomenologıa MOND en sistemasnewtonianos donde la aceleracion sea mucho mas pequena que la constante a0. TeVeS quita losproblemas de PCG como la propagacion superluminar integrando las ecuaciones de Einstein en laparte geometrica.

1.2 Teorıa de Brans Dicke 7

1.2. Teorıa de Brans Dicke

Las teorıas gravitacionales han intentado involucrar el campo escalar desde la epoca de Newton,pero este ha sido un poco esquivo en la introduccion de teorıas de principio, aunque fue una herra-mienta util para marcar el camino a la Relatividad General de Einstein.

Las teorıas tensoriales escalares tienen su origen en los anos 60 de la mano de teorıas de multi-ples dimensiones estudiadas por Fierz, Jordan entre otros. Posiblemente una de las teorıas masreconocidas en este campo se construyo en 1961 por Brans y Dicke, esta teorıa de la gravitacionalternativa a la einsteniana incluıa la existencia de un campo escalar adicional al tensor metrico.Esta teorıa involucra un cambio en la accion al agregar el campo escalar y fue introducida porJordan-Brans en 1961 a traves del principio de Mach.

El filosofo Ersnt Mach fue el primero en atacar de forma constructiva el espacio absoluto de New-ton, el planteo que la inercia se debe a las aceleraciones con respecto a la distribucion de masas delUniverso. Las masas inerciales de las partıculas se deberıan a la accion del resto de las partıculasdel universo, como una interaccion en un campo cosmico. Las masas inerciales de las partıculas sepueden determinan midiendo la aceleracion gravitacional, pero esta teorıa se realizarıa con ayudade la constante de gravitacion Universal G la que deberıa estar relacionada con el valor del campoescalar en acople con densidad de masa del Universo.

Aunque en algunas partes de la literatura la Teorıa de la Relatividad de Einstein no cumple conel principio de Mach en el sentido que la constante gravitacional G no es dinamica y satisface elprincipio de equivalencia fuerte (PEF), en ella se encuentran algunos rasgos de estos principios.La teorıa de Brans- Dicke no satisface el principio de equivalencia fuerte y considera la constantegravitacional una constante dinamica.

En 1961 Brans y Dicke introdujeron la siguiente accion,

SJBD =1

16π

∫d4x√

g(

φR− ω

φgµν

∂µφ∂νφ

)+Sm, (1.8)

En donde se encuentra la accion de la metrica, la accion del campo tensorial y la accion de ma-teria. En las primeras versiones de la teorıa, Jordan introdujo el campo escalar en el lagrangianode materia, Brans y Dicke no lo hicieron para poder preservar el principio de equivalencia debil(PED). Para encontrar las ecuaciones para este tipo de accion partiremos por partes la integral,encontrando primero

∫d4x√

gφR, teniendo en cuenta:

R = Rµνgµν

dg = ggµνdgµν

8 1 Fundamentacion

δ√

g = 12√

ggµνδgµν

∫d4x√

gφRµνgµν =∫

d4x√

gφ

(Rµν −

12

gµνR)

+∫

d4x√

gφ (δRµν)gµν .

(1.9)

El primer termino es identico al que aparece en las ecuaciones de Einstein, El segundo se anula enla Relatividad General al integrar sobre la frontera, en esta teorıa contribuye debido a la presenciadel campo escalar. Escribiendo el escalar de curvatura por componentes

R = gµνRµν = gµν

(Γ

γ

µγ,ν −Γγ

µν ,γ +Γγ

µδΓ

δγν −Γ

γ

µνΓδ

γδ

),

encontrando la variacion

δRµν = δΓγ

µγ,ν −δΓγ

µν ,γ +δΓγ

µδΓ

δγν +Γ

γ

µδδΓ

δγν −δΓ

γ

µνΓδ

γδ−Γ

γ

µνδΓδ

γδ,

trabajando con la funcion afın

Γγ

µν =12

gγδ(∂µgνδ +∂νgµδ −∂δ gµν

)Γ

γ

µν ,ε =12

gγδ∂ε

(∂µgνδ +∂νgµδ −∂δ gµν

)+

12

(∂εgγδ

)(∂µgνδ +∂νgµδ −∂δ gµν

)Γ

γ

µν ,ε =12

gγδ∂ε

(∂µgνδ +∂νgµδ −∂δ gµν

)+(

∂εgγδ

)gδγΓ

γ

µν . (1.10)

Al trabajar en un sistema de Riemann en el cual los simbolos de christoffel se anulan y solosobreviven las segundas derivadas de la metrica, se encuentra

δR[∂∂g]µν =

12

gγδ∂ν

(∂µδgγδ +∂γδgµν −∂δ δgµγ

)− 1

2gγδ

∂γ

(∂µδgµν +∂νδgµδ −∂δ δgµν

),

δR[∂∂g]µν =

12

gγδ(∂ν∂µδgγδ +∂γ∂δ δgµν −∂ν∂δ δgµν −∂γ∂µδgνδ

)(1.11)

y

gµνδR[∂∂g]

µν = gγδ(∂

2δgγδ −∂

µ∂δ δgµγ

). (1.12)

Puesto que se han omitido las conexiones afines a lo largo del desarrollo, se puede reemplazar lasderivadas covariantes por derivadas ordinarias, por otra parte las variaciones del campo escalar se


pueden escribir:∫φ[(gµν

δgµν

)−DµDγ

(gγν

δgµν

)]√gd4x =∫ [

gµνφ −DµDγφ]

δgµν

√gd4x,

(1.13)

la densidad lagrangiana asociada a la materia y la parte cinetica son partes que contribuyen altensor materia energıa

δSm =∫

δ (√

gLm)d4x =∫ 1√

g∂(√

gLm)∂gµν

δgµνd4x.

Considerando ∂Lm

∂gµν ,γ= 0 se define el tensor momento energıa

T µν =−−2√

g∂(√

gLm)∂gµν

. (1.14)

Agrupando se obtienen las ecuaciones de evolucion para la teorıa de Brans-Dicke

Rµν − 12

gµνR =8π

φ

(T µν

m +T µν

φ

)+

1φ(DµDν

φ −gµνφ) . (1.15)

De la parte cinetica de la accion de Dicke podemos obtener:

T µν

φ=

ω

8πφ

(Dµ

φDνφ − 1

2gµνφ

).

Encontrando finalmente la ecuacion para la accion de Brans-Dicke

Rµν − 12

gµνR =8π

φT µν

m +ω

φ 2

(Dµ

φDνφ − 1

2gµνφ

)+

1φ(DµDν

φ −gµνφ) .

(1.16)

Para la ecuacion para el campo φ , se realiza la variacion con respecto a φ en SJBD

δSJBD =∫ [

R(δφ)+ωDµφDµφ

φ 2 δφ − 2ω

φDµ (δφ)Dµ

φ

]√

gd4x

=

[R+ω

DµφDµφ

φ 2 +2ωDµ

(Dµφ

φ

)](δφ)d4x,

10 1 Fundamentacion

=∫ [

R+ωDµφDµφ

φ 2 +2ω

(φ

φ−

DµφDµφ

φ 2

)](δφ)

√gd4x

δSJBD =∫ [

R−ωDµφDµφ

φ 2 +2ω

(φ

φ

)](δφ)

√gd4x. (1.17)

Igualando la variacion a cero y teniendo en cuenta que δφ es arbitraria, tenemos:

R−ωDµφDµφ

φ 2 +2ω

(φ

φ

)= 0

−R = 2ω

(φ

φ

)−

ωDµφDµφ

φ 2 . (1.18)

Partiendo ahora de la ecuacion (1.16), multiplicando el termino de la izquierda por gµν , obtenemos

gµν

(Rµν − 1

2gµνR

)= gµνRµν − 1

2Rgµνgµν

Rµ

µ −2R =−R, (1.19)

al lado derecho de la ecuacion podemos escribir

gµν

(8π

φ

)T µν =

8π

φgµνT µν

=8π

φT µ

µ =8π

φT, (1.20)

gµν

(ω

φ 2

(φ,µφ,ν −

12

gµνφ,δ φ,δ

))=

ω

φ 2

(gµν

φ,µφ,ν −12

gµνgµνφ,δ φ,δ

)=

ω

φ 2

(φ,µ

φ,µ −2φ,µφ,µ)

=− ω

φ 2

(φ,µφ

,µ), (1.21)


trabajando con el ultimo termino

gµν

(1φ

(φ,µν −gµνφ

))=

1φ

(gµν

φ,µ,ν −gµνgµνφ)

=1φ(φ −4φ)

=−3φ

φ. (1.22)

Reuniendo (1.45),(1.21),(1.22) y (1.19)

−R =− ω

φ 2

(φ,µφ

,µ)− 3φ

φ+

8π

φT

−R =8π

φT − ω

φ 2

(φ,µφ

,µ)− 3

φφ ,

reemplazandolo en (1.18)

2ω

φφ − ω

φ 2 φ,µ

φ,µ −8π

φT +

ω

φ 2 φ,µφ,µ +

3φφ = 0

φ

φ(2ω +3) =

8π

φT

y encontramos la ecuacion de onda para la Teorıa de Brans-Dicke

φ =8πT

2ω +3. (1.23)

Es decir, el campo escalar solo depende de la traza del tensor momento-energıa asociado a la ma-teria, y por tanto en la distribucion espacial de materia, de acuerdo con el principio de Mach.

Las teorıas escalar-tensor son una alternativa a la Relatividad General, ya que a pesar de ser reali-zadas en los anos 60 han cumplido con todos los requerimientos y test observacionales que cumplela RG. Entre sus ventajas puden ser destacada la presencia de un parametro de acople ω que consti-tuye el lımite a bajas energıas de la teorıa y el punto de partida para el desarrollo de nuevos acoplesentre teorıas como la teorıa de cuerdas o TeVeS.

12 1 Fundamentacion

1.3. Fundamentos de TeVeS

En busca de llevar a MOND a una verdadera formulacion, Jacob Bekenstein, en 2004, [5] creauna nueva teorıa conocida como TeVeS (por su siglas en “ingles ”TEnsor VEctor Scalar) que con-siste en el estudio de tres campos gravitacionales dinamicos: un campo tensorial gαβ , un campovectorial Uα y un campo escalar φ con un adicional campo escalar no dinamico σ . Esta teorıatambien utiliza una funcion F, una escala de longitud `, dos constantes definidas positivas k, K yuna constante G que en funcion de las teorıas Brans-Dicke es dinamica [1]. La metrica fısica gαβ

se relaciona con la metrica de Einstein gαβ de la forma

gαβ = e−2φ(gαβ +UαUβ

)− e2φUαUβ

= e−2φ gαβ −2UαUβ sinh(2φ)(1.24)

o

gαβ = e2φ gαβ +2UαUβ sinh(2φ) (1.25)

con una bien definida inversa gαβ y un campo 4-vectorial Uµ que cumple

gαβUαUβ =−1. (1.26)

La accion total en TeVeS es la suma de cuatro terminos: la accion geometrica Sg que es identicaa la accion de Hilbert-Einstein, la del campo escalar Ss, la del campo vectorial Sv y la accion demateria Sm. Las ecuaciones basicas de TeVeS se encuentran al realizar la variacion de la acciontotal S con respecto a gαβ , φ , σ y Uα

ECUACIONES BASICAS

Para encontrar las ecuaciones de campo de la teorıa TeVeS, primero se deducira la inversa a lametrica, posteriormente se realizara las variaciones de la metrica, del campo escalar y campo vec-torial, de este modo hallar las ecuaciones de campo descritas por TeVeS.

Inversa de la metrica

gαβ gαβ =(

e−2φ gαβ −2UαUβ sinh(2φ))(

e2φ gαβ +2UαUβ sinh(2φ))

= gαβ gαβ +2e−2φUαUβ gαβ sinh(2φ)−2e2φ gαβUαUβ sinh(2φ)−4UαUβUαUβ sinh2(2φ)

= δβ

α +UβUβ

(1− e−4φ

)−UβUβ

(e4φ −1

)−(

e4φ −2+ e−4φ

)

1.3 Fundamentos de TeVeS 13

= δβ

α −(

1− e−4φ

)+(

e4φ −1)−(

e4φ −2+ e−4φ

)gαβ gαβ = δ

β

α . (1.27)

Usando el hecho que UβUβ =−1.

Variacion de la metrica fısica

La relacion de la metrica fısica con la metrica de Einstein se escribe a traves de:

gαβ = e2φ gαβ +2UαUβ sinh(2φ).

Calculando ahora la variacion con respecto a gαβ , tenemos

δ gαβ =(

2e2φ gαβ −4UαUβ cosh(2φ))

δφ + e2φδgαβ +2Uβ sinh(2φ)δUα

+2Uα sinh(2φ)δUβ ,(1.28)

dado que Uα = gαµUµ

δUα = Uµδgαµ +gαµδUµ , (1.29)

δUβ = Uµδgµβ +gµβδUµ . (1.30)

Usando (1.29) y (1.30) en δ gαβ

δ gαβ =[2e2φ gαβ −4UαUβ cosh(2φ)

]δφ + e2φ

δgαβ +2Uβ sinh(2φ)(Uµδgαµ +gαµ

δUµ

)+2Uα sinh(2φ)

(Uµδgµβ +gµβ

δUµ

).

Trabajando con los dos ultimos terminos de (1.28)

δ gαβ = 2Uβ sinh(2φ)(Uµδgαµ +gαµ

δUµ

)+2Uα sinh(2φ)

(Uµδgµβ +gµβ

δUµ

)δ gαβ = 2sinh(2φ)

[UβUµδgαµ +gαµUβ

δUµ +UαUµδgµβ +gµβUαδUµ

]

14 1 Fundamentacion

= sinh(2φ)Uµδgµ(αUβ )+ sinh(2φ)U(αgβ )µδUµ . (1.31)

De esta forma se encuentra

δ gαβ =[2e2φ gαβ −4UαUβ cosh(2φ)

]δφ + e2φ

δgαβ

+sinh(2φ)Uµδgµ(αUβ )+ sinh(2φ)U(αgβ )µδUµ .

(1.32)

ECUACIONES PARA LA METRICA

La variacion para la accion total en TeVeS se encuentra con la suma de las variaciones de lasacciones de cada uno de sus componetes S = Sg +Ss +Sv +Sm, con respecto a la metrica gαβ ,variacion de Sm

δSm =−12

Tαβ (−g)1/2δ gαβ

δSm =−12

Tαβ e−2φ (−g)1/2δ gαβ (1.33)

ya que (−g)1/2 = e−2φ (−g)1/2.

variacion de Ss

La accion para el campo escalar esta descrita por

Ls =−12

[σ

2gµνφ,µφ,ν −σ

2gµτUτgσνUσ φ,µφ,ν +G

2`2 σ4F(kGσ

2)] .Al realizar la variacion de Ss con respecto a gαβ tenemos

= σ2 [

φ,αφ,β −Uβ gσνUσ φ,αφ,ν −gµτUτUαφ,µφ,β

]−1

2

[σ

2gµνφ,µφ,ν −σ

2gµτUτgσνUσ φ,µφ,ν +G

2`2 σ4F(kGσ

2)]gαβ

= σ2[

φ,αφ,β −12

gµνφ,µφ,νgαβ −Uµ

φ,µ

(12Uβ φ,α +

12Uαφ,β −

12Uν

φ,νgαβ

)]− G

4`2 σ4F(kGσ

2)gαβ

1.3 Fundamentos de TeVeS 15

= σ2[

φ,αφ,β −12


φ,µ

(U(αφ,β )−

12Uν

φ,νgαβ

)]− G

4`2 σ4F(kGσ

2)gαβ

y se encuentra

ταβ = σ2[

φ,αφ,β −12


φ,µ

(U(αφ,β )−

12Uν

φ,νgαβ

)]− G

4`2 σ4F(kGσ

2)gαβ .

(1.34)

variacion de Sv

La accion para el campo vectorial esta descrita por

Lv =−K

32πG

[gστgµνU[σ ,µ]U[τ,ν ]−

2λ

K

(gµνUµUν +1

)]K

16πG

[gµνU[α,µ]U[β ,ν ]+gστU[σ ,α]U[τ,β ]−

2λ

K

(UαUβ

)]− K

32πG

[gστgµνU[σ ,µ]U[τ,ν ]gαβ

].

Aplicando gαβUαUβ =−1 y realizando las siguientes permutaciones:

µ α

ν β para el primer sumando

σ µ

τ ν para el segundo sumando

K16πG

[gµνU[µ,α]U[ν ,β ]+gµνU[µ,α]U[ν ,τ]−

2λ

K

(UαUβ

)]− K

32πG

[gστgµνU[µ,σ ]U[ν ,τ]gαβ

]K

16πG

[2gµνU[µ,α]U[ν ,β ]−

12

gστgµνU[σ ,µ]U[τ,ν ]gαβ

]− λ

8πG

(UαUβ

).

Finalmente se encuentra

8πGΘαβ = K[

gµνU[µ,α]U[ν ,β ]−14


]−λ

(UαUβ

). (1.35)

Por ultimo tomando las ecuaciones (1.28),(1.31) y δSm

−12

Tαβ exp−2φ (−g)1/2

exp2φδgαβ +2sinh(2φ)

[Uµ

(Uβ

δgµα +Uαδgµβ

)]

16 1 Fundamentacion

=

−1

2Tαβ δgαβ −

(1− exp−4φ

)Uµ[TµαUβ + TµβUα

](−g)1/2

δgαβ

=

−1

2Tαβ δgαβ −

(1− exp−4φ

)Uµ Tµ(αUβ )

(−g)1/2

δgαβ .

Reuniendo todas las ecuaciones para escribir las ecuaciones de Einstein con las correciones quebrinda TeVeS, se encuentra

Gαβ = 8πG[Tαβ +

(1− exp−4φ

)Uµ Tµ(αUβ )+ ταβ

]+Θαβ . (1.36)

La ecuacion de campo de TeVeS involucra en sı misma la accion geometrica de Einstein, ya que, ellado izquierdo de la ecuacion se desarrolla a partir de la metrica de Einstein gµν , por el contrarioal lado derecho aparece la relacion de los campos escalares y vectoriales con la metrica fısica quees introducida a traves de sus acciones.

1.4 Anomalıa Pioneer 17

1.4. Anomalıa Pioneer

Anomalıa Pioneer 10 y 11

En marzo de 1972 fue lanzado al espacio el Pioneer 10, para la exploracion de los planetas ex-teriores, despues de Jupiter (y para Saturno, el Pioneer 11, lanzado en abril del ano siguiente), lasnaves espaciales siguieron trayectorias hiperbolicas cercanas al plano de la Eclıptica dirigiendosea las afueras del Sistema Solar. Esta mision se terminarıa oficialmente el 31 de Marzo del 1997,pero se encontro que despues de una distancia de 67 UA (1UA = 150 millones de kilometros) y 30UA, para el Pioneer 11 los sistemas de senales Doppler reportaron un fallo en los datos [8].

Dichos datos tomados por los laboratorios de la Nasa JPL (Jet Propulsion Laboratory) y DSN(Deep Space Network) se usaron principalmente para determinar posiciones iniciales, velocidadesy magnitudes de orientacion para los Pioneer 10/11. Este analisis se modelo para incluir los efectosde perturbaciones planetarias, presion de radiacion, relatividad general, Bias y Doppler, tambienpara tener en cuenta todos los movimientos terrestres.

En el ano 1980, a una distancia de 20 UA, el laboratorio JPL por medio del programa de analisisde determinacion de orbitas, se encontro una aceleracion anomala del Pioneer 10, descrita por elsistema como una aceleracion residual de ap ≈ (8± 3)× 10−8cm/s2 dirigida hacia el Sol. Comoexplicacion el laboratorio se refirio a una fuerza perturbativa que deberıa ser descrita en el Bias,pero los datos no eran concordantes; se dieron diferentes alternativas despues de esta, como danosinternos en las naves o errores en las efemerides planetarias, inclusive se analizaron datos de va-lores de orientacion de la Tierra tales como nutacion y precesion, pero ninguna de estas aparentessoluciones describieron con exito el valor de dicha aceleracion, [8].

Despues de algunos estudio de los datos, en 1998 Anderson et al. concluyeron que la anoma-la aceleracion dirigida hacia el sol es de (8,09± 0,20)× 10−8cm/s2 para el Pioneer 10 y de(8,56± 0,15)× 10−8cm/s2 para el Pioneer 11 y la variacion de ap con la distancia tiene unasensibilidad de 2×10−8cm/s2 sobre un rango de 40 a 60 UA, [9].

Si la anomalıa Pioneer es de origen gravitacional, se podrıa pensar que el principio de equivalen-cia no se cumple en lugares alejados del Sistema Solar, aunque esto esta probado hasta un nivelde 10−12. Otra consecuencia de esta aceleracion anomala ap puede incidir en el movimiento decualquier otro objeto que se encuentre en el rango donde se hallaban los Pioneer 10/11 y presentaruna anomalıa similar [10].

18 1 Fundamentacion

Figura 1.1 Foto de la NASA 72HC94

Para dar una explicacion a la aceleracion anomala ap descritas por las sondas se han creado di-ferentes alternativas, algunas de ellas se enuncian a continuacion:

Anderson et al., trabajaron en la posibilidad de utilizar una nueva forma de fısica para darexplicacion a este fenomeno, obviamente la primera viene de la Materia Oscura. Para estasolucion serıa necesaria una cantidad de esta extrana materia mayor a 3×10−4M, pero estoentrarıa en contradiccion con los datos conocidos en el interior del Sistema Solar. Otra alter-nativa que menciona Anderson es la realizacion de un cambio en la gravitacion Newtoniana,adicionando un potencial que corresponda a fuerzas de Yukawa [8].

Anderson (1998) describieron una alternativa en la cual no interpretaban la anomalıa Pioneerpor efectos gravitacionales sino analizaban la posibles explicaciones que podrıan brindar lassondas Ulisses y Voyager 2 [9] .

Jaekel y Reynaud (2005) presentan otra alternativa al realizar una extension de la metrica dela Relatividad General que produce una aceleracion efectiva en la componente radial de unapartıcula de prueba.

Brownstein y Moffat (2006) usan un modelo de prueba para encontrar la aceleracion anomalade los Pioneer 10/11, [11].

Iorio y Giudice (2006) presentan una alternativa basada en un cambio en el movimientoangular de las partıculas al irse alejando del Sistema Solar [10].

Turyshed et al., (2011). De los datos Doppler enviados desde las sondas Pioneer 10 y 11construyeron un modelo termico en donde la causa mas probable de la anomalıa de las Pio-neer es la emision anisotropica de calor a bordo. Esto fue concluido despues de revisar ladocumentacion del proyecto y registros de telemetrıa. Un resultado que ante la aceleracion

1.4 Anomalıa Pioneer 19

anomala solo puede alcanzarse mediante la incorporacion de la fuerza de retroceso termica,calculada en funcion del tiempo, en el modelo construido a partir de las fuerzas termicas denaves espaciales. Al final queda un interrogante, en donde una senal de aceleracion anomalaestadısticamente significativa podrıa quedar en los residuos despues la fuerza de retrocesotermica de los datos enviados por los Pioneer 10 y 11. Solucion que fue descrita por el mismoautor al ano siguiente en donde, en el artıculo se concluye que las medidas de las acelera-ciones anomalas de los Pioneer 10 y 11 se deben a mediciones de intensidad de senal de lared o caracterısticas termicas de las propias naves. La conclusion principal es: la aceleracionanomala de las naves espaciales es consistente con la fısica conocida [12], [13].

20 1 Fundamentacion

1.5. Dinamica de los dos cuerpos

Para realizar una descripcion del Sistema Solar, es importante revisar como TeVeS realiza unadeducion de los problemas clasicos de la mecanica, como es el problema de los dos cuerpos. Estose realizara con base en su formulacion variacional clasica AQUAL.

1.5.1. Potencial modificado

En 1984, Bekenstein [6] describio una formula efectiva en la cual la relacion entre F y a variabade su forma clasica. Esto sucederıa en ciertos casos, el regimen se da por el valor de la constantea0, en donde, si la aceleracion del sistema es mayor a la constante, se trabajarıa con formulacionnewtoniano, pero en los sistemas en donde la aceleracion es menor a a0 se considera la ecuacionmodificada [14].

Al describir el potencial φ de la forma modificada se encuentra una ecuacion semejante a la ecua-cion de Poissson:

∇ ·[

µ

(|∇φ) |

a20

)∇φ

]= 4πGρ, (1.37)

en donde G y ρ se describieron anteriormente [14]. En los sistemas en donde ∇φ es mucho menorque a0, la funcion µ(x) ≈ 1 y se recobra la ecuacion de Poisson de la forma clasica; por otrolado, cuando se esta en el regimen de MOND, el potencial se puede relacionar con la aceleraciondel sistema −∇φ = a y la funcion µ(x) que es una funcion indeterminada. Para casos con simetrıa(esferica, cilındrica o plana) se podrıa encontrar la funcion µ(x) como una funcion de interpolacion[15].Trabajando con esta funcion

µ

(a+U

a0

)a≈ N, (1.38)

en donde U es un campo externo aplicado al sistema y N es la aceleracion newtoniana interna delsistema [14]. Se puede notar que la direccion de a debe ser la misma de N, es decir

aϕ

=NN,

mientras que la magnitud de a definida aquı como ϕ , difiere de N por una cantidad no mas grandeque a0. A partir de esto, la interpolacion en su forma mas simple de la funcion µ(x) se propone[16] como:

µ(x) =x

1+ x, (1.39)

1.5 Dinamica de los dos cuerpos 21

Figura 1.2 Sistema de dos masas afectados por un campo externo y un camponewtoniano

usando

x≡ |a+U |a0

=

√a2 +U2 +2aUcosα

a0,

donde α es el angulo entre a y U. Al expresar el argumento de la funcion como

x≡ a+Ua0

(1.40)

con (1.38),(1.39) y (1.40)

N ≈ aµ

(|a+U |

a0

)N =

a2 +Uaa0 +a+U

,

a2−N(

1−UN

)a−Na0

(1+

Ua0

)= 0

a =

N(1− U

N

)±√

N2(1− U

N

)2+4Na0

(1+ U

a0

)2

(1.41)

a =N2

(1−UN

)±

√(1−U

N

)2

+4a0

N

(1+

Ua0

) . (1.42)

22 1 Fundamentacion

Para esta aceleracion se pueden trabajar varios casos, el de nuestro interes [10]:

Ua0 1 y

UN≈ 1, (1.43)

encontramos una aceleracion de la forma

a≈√

4a0

NN2

4≈√

Na0 =(GMao)

1/2

r,

de aquı el potencial por unidad de masa, descrito por MOND:

−φ = (GMa0)1/2 lnr (1.44)

que es consistente con la aceleracion de una partıcula de prueba en un campo gravitacional. Se debeaclarar que este potencial es valido segun la Dinamica Modificada en aquellos sistemas donde laaceleracion es mucho mas pequena que la constante a0, [6].


1.5.2. Problema de los dos cuerpos

Se considera un sistema de dos masas puntuales m1 y m2 sometidas a una fuerza derivada de unpotencial φ , que es funcion del radio vector que une a las dos masas.

Figura 1.3 Ubicacion de masas m1 y m2, y su centro de masa R

en donde r = r2− r1 y R es el vector posicion centro de masas. La funcion lagrangiana de estesistema se describe como la energıa cinetica del sistema menos el potencial φ ,

L= T −φ

L=12

m1 |r1|2 +12

m2 |r2|2−φ(r). (1.45)

Por definicion de centro de masa

R =m1r1 +m2r2

m1 +m2donde M = m1 +m2

MR−m1r1 = m2 (r1 + r)M (R− r1) = m2r

R− m2

Mr = r1

R+m1

Mr = r2.

(1.46)

Reemplazando en (1.45)

L=12

m1

[R2− 2m2

MrR+

m22

M2 r2]+

12

m2

[R2

+2m1

MrR+

m21

M2 r2]−φ(r)

L=12

MR2+

12

m1m2

M|r|2−φ(r). (1.47)

24 1 Fundamentacion

Las coordenadas del centro de masa R son cıclicas, ası este tiene un movimiento uniforme conrespecto al origen del sistema. De esta forma se puede reubicar el origen en R y r1 = −m2

M r,r2 =

m1M r. Escribiendo ası el lagrangiano,

L=12

m1m2

Mr2−φ(r), (1.48)

en donde se reescribe η como la masa reducida de la forma m1m2M , aquı se puede ver que el proble-

ma de los dos cuerpos se puede simplificar en un solo cuerpo con una masa η .

Trabajando con un potencial φ dependiente de r y con lo encontrado anteriormente, podemosconsiderar un sistema de una sola masa moviendose por accion de una fuerza central, sin considerarrotaciones con respecto a ejes fijos, ası el momento angular total L = r× p se puede plantear como:

L = r×mdrdt

,

y su derivada

dLdt

=ddt

(r×m

drdt

)=

drdt× dr

dt+ r×m

(drdt

)2

= r×F.

Por consideracion de la fuerza los vectores r y F son paralelos, de esta forma la derivada del mo-mento angular es igual a cero, por lo tanto el momento angular es constante, se puede deducir deesto que el movimiento se encuentra en un plano.

Realizando un cambio de coordenadas a coordenadas polares y derivando.

r = rr+ rθ θ

r2 = r2 + r2θ

2.

El lagrangiano por unidad de masa se escribe en el sistema polar como:

L=12(r2 + r2

θ2)−φ(r). (1.49)

Al escribir las ecuaciones de Euler-Lagrange en este sistema de coordenadas,

ddt

(∂L

∂ θ

)− ∂L

∂θ= 0,

pθ =∂L

∂ θ= r2

θ , (1.50)


pθ =ddt

(∂L

∂ θ

)=

ddt

(r2

θ)= 0, (1.51)

como la derivada es nula se puede asociar con una constante denominada H

r2θ = H.

Podemos relacionar este resultado con algunas consideraciones geometricas. En un intervalo detiempo dt el radio vector de la figura barre un area dA dado por:

Figura 1.4 Consideraciones geometricas

A =12

r2θ

dA =12

r2dθ ⇒ dAdt

=12

r2 dθ

dt=

12

r2θ . (1.52)

Si H = r2θ podemos decir que

dθ

dt=

Hr2 .

Relacionando (1.51) con (1.52), trabajando con masa constante e insertando 1/2 en la ecuacion

ddt

(12

r2θ

)= 0.

Se concluye que la velocidad tangencial es constante, probando que el radio vector barre areasiguales en tiempos iguales. De esta forma se puede decir que la conservacion del momento angulartotal es propio del movimiento de una fuerza central y no depende del potencial. En el caso deMOND al variar el potencial no afecta el momento angular del sistema, de allı que se conserve.

26 1 Fundamentacion

Trabajando ahora en la coordenada radial, con la ecuacion de Euler-Lagrange

ddt

(∂L

∂ r

)− ∂L

∂ r= 0

y utilizando el lagrangiano y el potencial φ definido en la seccion anterior

L=12(r2 + r2

θ2)− (GMa0)

1/2 lnr (1.53)

∂L

∂ r= rθ

2− (GMa0)1/2

r

∂L

∂ r= r,

encontramos que

ddt

(r)− rθ2 =−(GMa0)

1/2

r. (1.54)

Entonces, al solucionar para encontrar la integral de movimiento,

r− rθ2 =−(GMa0)

1/2

r

llamando k = (GMa0)1/2 y reemplazando el termino de H, tenemos

d2rdt2 −

H2

r3 =−kr.

Multiplicando por 2drdt

2drdt

d2rdt2 −2

drdt

H2

r3 =−2kr

drdt

,

conociendo que ddr (r

2) = dr2

drdrdt = 2r dr

dt y expresandolo en la ecuacion anterior

d(r2)

dt−2r

H2

r3 =−2rkr. (1.55)


r2 +H2

r2 = 2k lnr+b (1.56)

donde b es una constante de integracion.Ahora se necesita encontrar la ecuacion de la trayectoria con el potencial modificado, para ello sepuede realizar una analisis de como puede ser la trayectoria descrita por la ecuacion anterior. Alanalizar la ecuacion anterior y encontrar la integral podemos analizar que esta no es una integralanalıtica, por lo tanto la unica forma de encontrar un valor es realizando una integracion numerica.

Antes de realizar la integracion se puede averiguar sobre el movimiento en un caso general, conbase a la ecuacion de movimiento y los teoremas de conservacion. Se conoce que el modulo de lavelocidad puede ser encontrado desde la conservacion de la energıa:

v =

√2m[E−φ(r)].

Analizando el potencial φ(r) y comparandolo con el potencial newtoniano y un potencial r−2.

Figura 1.5 Graficas V(r) vs r de potenciales

Segun el teorema de Bertrand los unicos potenciales que dan curvas cerradas son los potencia-les dependientes del inverso al cuadrado de la distancia y del inverso de la distancia, por lo tantoaunque la grafica del potencial logarıtmico φ no es tan diferente a la del potencial 1/r, podemosya analizar que para nuestro problema la ecuacion del movimiento no va a resultar en una formaconica.

Se puede concluir que con un potencial modificado segun la teorıa MOND las orbitas descritasno corresponden a una conica para la ecuacion de posicion del problema de los dos cuerpos, al

28 1 Fundamentacion

considerar la expansion por series de potencias para que el sistema de una ecuacion con una orbitacerrada, aunque esto no serıa valido para un sistema fısico real y mas aun para un cuerpo planetariodentro del Sistema Solar. El problema de MOND al realizar una descripcion de la trayectoriaplanetaria aun no es descrito y dejado como un problema a tratar de la teorıa para Bekenstein [17].

2 Ecuaciones de campo debil

2.1. El principio de equivalencia fuerte

La teorıa Brans-Dicke y la Relatividad General son teorıas dinamicas en las cuales las ecuacionesde campo estan determinadas por las primeras derivadas de los campos, por su parte la Teorıa dela Relatividad involucra un solo campo contenido en el tensor metrico y su evolucion depende delas ecuaciones de campo de Einstein. La Teorıa de Brans-Dicke involucra ademas de la metrica uncampo escalar el cual adiciona un termino correspondiente al campo escalar a las ecuaciones decampo.

El principio de equivalencia fuerte (PEF) puede expresarse de la siguiente forma: El movimientogravitacional de un cuerpo de prueba depende unicamente de su posicion inicial en el espacio-tiempo y no de su constitucion o el resultado de cualquier experimento local o gravitacional, en unlaboratorio moviendose en un sistema de referencia inercial es independiente de la velocidad dellaboratorio y de su localizacion en el espacio-tiempo.

Ahora, si estamos trabajando con teorıas alternativas a la relatividad que incluyen campos extras,las ecuaciones de la metrica estaran influenciadas por estos campos, particularmente en la fronte-ra lejos del sistema local, por lo tanto el entorno gravitacional en el cual el sistema reside puedeinfluenciar la metrica interna a traves de los efectos que producen los campos gravitacionales au-xiliares fuera de este.

Se puede concluir que teorıas que contengan metricas, campos escalares o vectoriales, como esel caso de la Teorıa de Brans-Dicke o TeVeS, dan lugar a una fısica gravitacional que pueden de-pender de la localizacion del sistema, pero es independiente de la velocidad del mismo, graciasa la invarianza de Lorenzt de la metrica de Minkowiski y los campos escalares en los valores defrontera, salvo que los campos escalares dependen de la localizacion del sistema. En el caso de lateorıa Brans-Dicke la variacion del campo escalar depende de la variacion de la constante gravita-cional que para el caso es dinamica. Claramente cualquier teorıa que incluya mas que la metrica ensus ecuaciones de campo, el principio de equivalencia fuerte es violado, tal es el caso de la teorıaBrans-Dicke y la teorıa TeVeS.

30 2 Ecuaciones de campo debil

2.2. Aproximacion de campo debil en Teorıa de

Brans-Dicke

La Teorıa de Brans-Dicke plantea un grupo de ecuaciones (1.16) en las cuales los campos estanacoplados, en el lado izquierdo se encuentra la parte geometrica y en el lado derecho la accion demateria mas la accion de campo. Para poder solucionar este conjunto de ecuaciones es necesario re-ducir el planteamiento y considerar campos estaticos y debiles, y que la velocidad de las partıculassean mucho menores que la velocidad de la luz. De esta forma el tensor metrico puede escribirseen terminos de una metrica minkowskiana mas una pequena aproximacion o perturbacion.

gi j = ηi j +hi j,

en donde ηi j es la metrica minkowskiana y hi j es la perturbacion. De modo similar se puede escribirel campo escalar como la suma de dos terminos

φ = φ0 +ξ .

La ecuacion de onda descrita por la teorıa Brans-Dicke:

φ =8π

3+2wT,

en la ecuacion (1.23) primero se reemplaza gi j por ηi j,

φ = (−g)−1/2[(−g)1/2

φ,i],i

φ =ξ =1

(−g)1/2

[gi j

ξi j],i

= ∇2ξ − ∂ 2ξ

∂ t2 =8π

3+2wT

se puede escribir, una solucion como

2.2 Aproximacion de campo debil en Teorıa de Brans-Dicke 31

ξ =− 23+2w

∫ T d3xr

,

donde T se evalua en un tiempo dado.Las ecuaciones de campo son trabajadas en forma similar a la de la Relatividad General, introdu-ciendo una condicion que simplifica la ecuacion.

γi j = hi j−12

ηi j

σi = γi j,kηjk.

(2.1)

Trabajando con las ecuaciones de campo para la teorıa Brans-Dicke (1.16), la ecuacion puede serescrita en primeros ordenes de hi j y ξ como

−12

γi j−σi, j−σ j,i +ηi jσk,lη

kl=[ξ,i, j−ηi jξ

]φ−10 +

8π

c4 φ−10 +

8π

c4 φ−10 Ti j.

Esta ecuacion se puede simplificar introduciendo como condicion que pueda ser escrita comoσi = ξ,iφ

−10 y la notacion

αi j = γi j−ηi jξ φ−10 (2.2)

−12

γi j−ξ,i, jφ

−10 +ηi jξ,k,lη

kl= η,i, jφ

−10 −ηi jξ φ

−10 +

8π

c4 φ−10 Ti j,

−12(γi j +ηi jξ φ

−10)=

8π

c4 Ti j

αi j =−16π

c4 φ−10 Ti j, (2.3)

con una solucion

αi j =4φ−10

c4

∫ Ti j

rd3x. (2.4)


Ahora con las ecuaciones (2.1) y (2.2) podemos escribir

hi j = γi j +12

ηi jh,

αi j = γi j−ηi jξ φ−10 ,

hi j =4φ−10

c4

∫ Ti j

rd3x−

4φ−10

c4

(1+w

3+2w

)ηi j

∫ Tr

d3x.

Para un punto de masa estacionaria M, esta ecuacion se puede escribir en la forma:

φ = φ0 +ξ = φ0 +

(2M

3+2w

)1

rc2 (2.5)

g00 = η00 +h00 = φ0 +2M

(3+2w)c2r, (2.6)

gαα = 1+

(2Mφ

−10

rc2

)[1− 1

(3+2w)

],α = 1,2,3 (2.7)

gi j = 0, i 6= j.

Las soluciones de campo debil son suficientemente exactas para realizar una discusion del corri-miento del perihelio planetario y deflexion de la luz para esta teorıa.

2.3. Corrimiento del perihelio del planeta Mercurio en

Teorıa de Brans-Dicke

La explicacion de la precesion de los astros, especialmente el corrimiento de la orbita del planetaMercurio, fue uno de los logros mas grandes de la Relatividad General. Su descubrimiento por elastronomo frances Urbain Le Verrier, en el siglo XIX, demostro que el movimiento de la orbitade este planeta no era el predicho por la Ley de la Gravitacion Universal y tenıa una discrepanciacercana a 43′′ de arco por siglo. Soluciones a estas discrepancia se dieron muchas, inclusive la pre-

2.3 Corrimiento del perihelio del planeta Mercurio en Teorıa de Brans-Dicke 33

diccion de un nuevo planeta llamado Vulcano que perturbaba la orbita de Mercurio. Con la Teorıade la Relatividad General se dedujo el valor exacto del corrimiento del perihelio del planeta y serechazo la existencia de planetas adicionales a los conocidos en el Sistema Solar y condujo a lacorreccion que debe hacerse a la Ley de Gravitacion Universal newtoniana.La explicacion exitosa de la Relatividad General, limita las nuevas teorıas, las cuales deben expli-car con igual o mayor precision el valor predicho por esta. A continuacion se puede encontrar elvalor de que predice la teorıa de Brans-Dicke.

Tomando el elemento de lınea en coordenadas isotropicas descrita en la teorıa Brans-Dicke

ds2 =−exp2α dt2 + exp2β[dr2 + r2 (dθ

2 + sin2θdϕ

2)] ,donde α y β son funciones de r. Para w > 3

2 en donde las soluciones a las ecuaciones se hacendistintas a la Relatividad General, la solucion en el vacıo y con aproximacion de campo debil puedeser escrita de la forma:

ds2 =−(

1− 2Mφ0r

(4+2w3+2w

))dt2 +

(1− 2M

φ0r

(2w+23+2w

))−1

dr2 + r2dΩ2, (2.8)

en donde dΩ2 = θ 2 + sin2θϕ2, se puede definir para campo debil φ0

φ0 =4+2w3+2w

G−10 . (2.9)

Reemplazando el diferencial de lınea

ds2 =−(

1− 2MG0

r

)dt2 +

(1− 2MG0

r

(2+2w4+2w

))−1

dr2 + r2dΩ2,

ds2 =−(

1− 2MG0

r

)dt2 +

(1− 2MG0

r

(2+2w4+2w

))−1

dr2 + r2 (θ

2 + sin2θϕ

2) . (2.10)

Para encontrar las ecuaciones de movimiento para orbitas planetarias es necesario trabajar con lasecuaciones de Euler-Lagrange para las coordenadas r,θ y ϕ

Empezando con la coordenada θ

dds

(r2

θ)= r2 sinθ cosθϕ

2,


con la coordenada ϕ

dds

(r2sin2

θϕ)= 0.

Para t

dds

(1− 2MG0

r

)t = 0,

reemplazando en la ecuacion (2.10), encontramos,

1 =−(

1− 2MG0

r

)t2 +

(1− 2MG0

r

(2+2w4+2w

))−1

θ2 + r2sin2

θϕ2. (2.11)

La coordenada θ se puede definir como un valor fijo, para el trabajo especıfico que se va a realizar,este valor es de θ = π

2 , entonces θ = 0. Por lo tanto:

de ϕ

dds

(r2

ϕ = 0),

r2ϕ = h = constante→ ϕ =

hr2 , (2.12)

de t

dds

(1− 2MG0

rt)= l = constante→ t =

l(1− 2MG0

r

) .Reemplazando estas constantes en la ecuacion (2.11), encontramos:

1 =−(

1− 2MG0

r

)t2 +

(1− 2MG0

r

(2+2w4+2w

))−1

r2 +h2

r2 .

Para simplificar los calculos, se considera r como una funcion de ϕ y esta en funcion de s,


r′ =drdϕ

=rϕ,

desde el cual se obtiene:

r = ϕr′⇒ r =hr2 r′.

La ecuacion diferencial de r(ϕ) es

1 =

(1− 2MG0

r

)t2 +

(1− 2MG0

r

(2+2w4+2w

))−1 h2

r4 (r′)2 +

h2

r2 ,

(1− 2MG0

r

(2+2w4+2w

))=

−

(1− 2MG0

r

(2+2w4+2w

))(1− 2MG0

r

) l2 +h2

r4 (r′)2 +

h2

r2

(1− 2MG0

r

(2+2w4+2w

)).

(2.13)

Realizando una expansion para w tendiendo a un valor grande

(1− 2MG0

r

(2+2w4+2w

))=(

1+2MG0

r

(1

2+w

))l2 +

h2

r4 (r′)2 +

h2

r2

(1− 2MG0

r

(2+2w4+2w

)),

(2.14)

Haciendo un cambio de variable a r = 1u , en donde implica r′ = − u′

u2 , reemplazando este cambiode variable en la ecuacion anterior (

1−2MG0u(

2+2w4+2w

))=(

1+2MG0u(

12+2w

))l2 +h2(u′)2 +h2u2

(1−2MG0

(2+2w4+2w

)),

(2.15)

1−2MG0u(

2+2w4+2w

)= l2−2MG0u

(1

2+2w

)l2 +h2(u′)2 +h2u2−2MG0h2u3

(2+2w4+2w

),

agrupando terminos,


(1+ l2

h2

)+

2MG0uh2

(2+2w4+2w

+l2

2+2w

)−u2 +2MG0u3

(2+2w4+2w

)= (u′)2

(1+ l2

h2

)+

(2+2w+2l2

4+2w

)2MG0u

h2 −u2 +2MG0u3

(2+2w4+2w

)= (u′)2.

Por completes del problema podemos definir para el momento lineal una constante fija tendiendoa cero al infinito y tenemos

(u′)2 =

(1h2

)+

(2+2w4+2w

)2MG0u

h2 −u2 +

(2+2w4+2w

)2MG0u3. (2.16)

Para que la solucion de las ecuaciones sean completas y se establezca una conexion con la mecanicaclasica (las cuales son ecuaciones de segundo orden), encontramos una ecuacion de segundo ordenrealizando la derivada con respecto a ϕ

2u′u′′ =(

2+2w4+2w

)2MG0u′

h2 −2uu′+(

2+2w4+2w

)6MG0u2u′,

dividiendo por 2u′

u′′ =(

2+2w4+2w

)MG0

h2 −u+(

2+2w4+2w

)3MG0u2

u′′+u =

(2+2w4+2w

)MG0

h2 +

(2+2w4+2w

)3MG0u2. (2.17)

Donde se encuentra una solucion para el movimiento circular. Para investigar el resultado dela ecuacion anterior para el calculo del corrimiento del perihelio planetario, suponemos que eltermino

(2+2w4+2w

)3MG0u2 representa una pequena adicion a la ecuacion clasica, este termino se tra-

tara como una pequena perturbacion.

Definimos:

A≡(2+2w

4+2w

) MG0h2∼= kM

H2

y una pequena cantidad ε ≡(2+2w

4+2w

)3MG0A∼= 3k2M2

H2 .


La ecuacion de la orbita toma la forma

u′′+u = A+ε

Au2, (2.18)

se asume una solucion de la forma

u(ϕ) = u0(ϕ)+ εv(ϕ)+O(ε2),

sustituyendo en (2.18)

u′′0 + εv′′+u0 + εv = A+εu2

0A

+O(ε2),

igualando a cero los terminos de primer orden, se obtiene

u′′0 +u0 = A. (2.19)

De esta forma encontramos la solucion clasica de una orbita:

u0 = A+Bcos(ϕ +δ ) (2.20)

donde B y δ son constantes arbitrarias. Por orientacion de los ejes se puede escoger que δ sea iguala cero, en este caso se obtiene la ecuacion de una elipse u0 = A+Bcosϕ .Para la ecuacion de primer orden para ε ,

v′′+ v =u2

0A

= A+2Bcosϕ +B2

Acos2

ϕ

=

(A+

B2

2A

)+2Bcosϕ +

B2 cos2ϕ

2A

Para solucionar esta ecuacion, escribiremos v en forma de sumas lineales de soluciones en v,v = va + vb + vc. Donde va,vb y vc, son soluciones a las ecuaciones: v′′a + va = A+ B2

2A ;v′′b + vb =

2Bcosϕ;v′′c + vc =B2 cos2ϕ

2A , encontrando:


va = A+B2

2A(2.21)

vb = Bϕ sinϕ (2.22)

vc =−B2

6Acos2ϕ. (2.23)

Ası la forma de la ecuacion no homogenea es:

v = va + vb + vc =

(A+

B2

2A

)+Bϕ sinϕ− B2

6Acos2ϕ. (2.24)

Combinando las soluciones de orden cero con las de primer orden, se obtiene la solucion completapara la ecuacion de la orbita,

u =

(A+ εA+

B2

2A

)+

(Bcosϕ− εB2

6Acos2ϕ

)+ εBϕ sinϕ. (2.25)

Para calcular el corrimiento del perihelio planetario, se utiliza solamente los terminos no-periodi-cos, ya que en ellos son los causantes de las irregularidades en la posicion del perihelio. Trabajandocon la identidad trigonometrica cos(ϕ− εϕ) = cosϕ− εϕ sinϕ , la solucion puede ser escrita co-mo:

u = A+Bcos(ϕ− εϕ)+ ε

(A+

B2

2A− B2

6Acos2ϕ

).

La base de la forma elıptica de una orbita es A+Bcosϕ . El efecto de los ultimos terminos son in-troducidos por una pequena variacion periodica de la orbita con relacion a la distancia del planeta.Sin embargo el termino εϕ aparece en el argumento del coseno que introduce la no periodicidadde la orbita, en este caso su efecto ya no es despreciable,

u = A+Bcos(ϕ− εϕ)+terminos periodicos de orden ε .

El corrimiento del perihelio de un planeta ocurre cuando r es un mınimo o es un maximo, entonces

(ϕ− εϕ) = 2πn,

2.4 Ecuaciones de campo debil en TeVeS 39

ϕ = 2πn(1+ ε)

para n=1

∆ϕ = 2π (1+ ε) . (2.26)

En sı mismo 2π es una cantidad periodica, el corrimiento del perihelio por revolucion esta dadapor

δϕ = 2πε = 6MG0A (2.27)

=6πM2G2

0H2

(2+2w4+2w

)2

,

donde encontramos que en la Teorıa de Brans Dicke se reproduce el mismo valor dado por laRelatividad General multiplicado por un valor en terminos de w, que en la literatura es tomadocomo ω ≥ 6. En nuestro caso el valor del corrimiento en el planeta Mercurio se encuentra en42,6”±0,9s/siglo tomando un valor de ω = 6 .

2.4. Ecuaciones de campo debil en TeVeS

Trabajaremos ahora en sistemas quasi-estaticos de la teorıa TeVeS, situaciones con potencialesdebiles y movimientos lentos, tales como galaxias, el Sistema Solar y estrellas de neutrones, endonde sistemas quasi-estaticos significan que podemos despreciar las derivadas temporales encomparacion con las espaciales, de esta forma podemos asumir una metrica gαβ , asintoticamenteplana y |φ | 1

gαβ dxαdxβ = gttdt2 +gi jdxidx j

y en la cual no hay flujo de energıa. Las ecuaciones vectoriales y escalares de la teorıa TeVeStienen una gran variedad de soluciones, de las cuales podemos elegir condiciones lımites con unsentido fısico en el cual se requiera que φ → φc como condicion de frontera en el espacio infinito.El valor de φ es trabajado desde el modelo cosmologico en el cual el sistema este descrito.

Ası mismo para tener una simetrıa en el espacio-tiempo, podemos elegir el campo vectorial sola-mente dependiente de su componente temporal y para no tener direcciones espaciales preferentes


Uα debe apuntar en direccion del tiempo cosmologico: Uα = δ αt .

Ya que Uα solamente tiene una componente temporal, Uαφ,α = 0 y de forma similar a U[i,β ];β = 0,con estas condiciones podemos encontrar como son las contribuciones de los campo vectoriales yescalares a una ecuacion de campo debil de la teorıa TeVeS. Partiendo de la ecuacion (1.36),

Gαβ = 8π

[Tαβ +

(1− exp−4φ

)Uµ Tµ(αUβ )+ ταβ

]+Θαβ (2.28)

en donde

ταβ ≡ σ2[

φ,αφ,β −12


φ,µ

(U(αφ,β )−

12Uν

φ,νgαβ

)]

−14

Gl−2σ

4F(kGσ

2)gαβ

y

Θαβ ≡ k(

gµνU[µ,α]U[ν ,β ]−14


)−λUαUβ .

Ahora trabajando con las condiciones de frontera y teniendo en cuenta las tres condiciones: Uα =

δ αt , Uαφ,α = 0 y U

i;β;β = 0, podemos empezar a trabajar con la variacion de la accion del campo

vectorial de la ecuacion (2.28)

Θαβ ≡ k[

gµν(Uµ,α −Uα,µ

)(Uν ,β −Uβ ,ν

)− 1

4gστgµν

(Uσ ,µ −Uµ,σ

)(Uτ,ν −Uν ,τ)gαβ

]−λUαUβ ,

(2.29)

realizando la aproximacion de las componentes del campo vectorial (Uα = δ αt ) llegamos al termino

Θαβ ≡−λUαUβ .

Para encontrar como contribuye la Θαβ a la ecuacion de campo de Einstein, podemos trabajar conla variacion de la accion de campo vectorial

kU[α;β ];β +λUα +8πGσ

2Uβφ,β gαγ

φ,γ = 8πG(

1− exp−4φ

)gαµUβ Tµβ

λUα = 8πG(

1− exp−4φ

)gαµUβ Tµβ ,

λδαt = 8πG

(1− exp−4φ

)gtµ

δαt Ttβ

solamente la variacion del campo queda en terminos del multiplicador de Lagrange y el tensormomento energıa, del cual podemos decir que sin flujo de energıa este no contribuye a la ecuacion,


por lo tanto

λ = 0. (2.30)

Finalmente podemos concluir que la accion del campo vectorial en sistemas casi-estaticos es cero,de esta forma no hay contribucion en la ecuacion de campo.

Trabajando con la parte escalar, se encuentra

ταβ ≡ σ2[

φ,αφ,β −12

gµνφ,µφ,νgαβ

]− 1

4Gl−2

σ4F(kGσ

2)gαβ ,

nombrando, para tener una equivalencia con AQUAL kGσ2 = µ , tenemos el aporte del campoescalar a la ecuacion de campo

ταβ ≡ σ2[

φ,αφ,β −12


]− 1

4Gl−2

σ4F(µ)gαβ (2.31)

ταβ ≡µ

kG

[φ,αφ,β −

12


]− 1

4µ2

l2k2GF(µ)gαβ , (2.32)

de esta forma la accion de campo se puede escribir para la teorıa TeVeS en un sistema quasi-estatico

Gαβ = 8πG[

Tαβ +σ2[

φ,αφ,β −12


]− 1

4Gσ4

l2 F(µ)

](2.33)

Por otra parte se encontrara la variacion de la accion geometrica

∂Lg =√−gR

∂Lg

∂λ=√−g(δRµν

)gµν +

√−gRµνδgµν +Rδ

(√−g),

gµνδRµν = ∇

µvµ

gµνδRµν = ∇

µ∇

ν(δgµν

)−∇

µgαδ∇µ (δgαδ ) .


Sı

δ(√−g)=

12√−ggµν

δgµν

=−12√−ggµνδgµν

∂Lg

∂λ=∫

∂Lg

∂λ=∫

∇νvµ

√−gδgµνd4x+

∫ (Rµν −

12

Rgµν

)δgµνd4x. (2.34)

El primer termino de la integral es una divergencia con respecto al elemento de volumen d4x, porel teorema de Stokes esta integral contribuye solamente en condiciones de frontera, por efecto estetermino puede ser despreciado ante las primeras derivadas de gµν .

δLg

δgµν=√−g(

Rµν −12

Rgµν

), (2.35)

que es equivalente a la ecuacion de Einstein en el vacıo.

El trabajo con la accion de campo escalar, inicia con la accion del mismo

Ss =−12

∫d4x√−g[

σ2gµν

φ,µφ,ν +G

2l2 σ4F(kGσ

2)] , (2.36)

Ls =−12

(σ

2gµνφ,µφ,ν +

G2l2 σ

4F(kGσ

2)) , (2.37)

∂Ls =−12

[σ

2gµνφ,µφ,ν +

Gσ4

2l2 F(kGσ

2)]

∂Ls =−12

σ2[

∂µ

φ∂νφδφ +2φδφ +

Gσ2

2l2 F(kGσ

2)δφ

]


∂Ls

∂φ=−1

2σ

2[

∂µ

φ∂νφ +2φ +

Gσ2

2l2 F′(kGσ

2)] . (2.38)

Por propiedades del campo escalar podemos escribir las derivadas covariantes como derivadas par-ciales,

DµφDν

φ +2φ +Gσ2

2l2 F′(kGσ2) = 0

φ =−12

σ2Dµ

φDνφ − Gσ2

4l2 (2.39)

Rµν − 12

Rgµν =8π

GT µν +

σ2

8πGDµ

φDνφ − 1

16πgµνφ − µ

′. (2.40)

Los campos gravitacionales clasicos tienen validez cuando los campos gravitacionales son debilesy producen velocidades menores a la velocidad de la luz: |φ | 1, |v| 1.Para hallar una relacion entre el campo gravitacional de la teorıa newtoniana y la ecuacion deaccion de la teorıa TeVeS en campos debiles, se trabaja en el lado izquierdo de la ecuacion (2.40),en la cual podemos aplicar una expansion del tensor metrico gµν , como sigue:

gµν = ηµν +hµν ,

donde |η | h.En sistemas donde es debil el campo , uno puede expandir las ecuaciones de campo en potenciasde hµν . Sin perder precision se pueden escribir las ecuaciones con solo terminos lineales,

Γµ

αβ=

12

ηµν(hαν ,β +hβν ,α −hαβ ,ν

),

≡ 12

(hµ

α,β +hµ

β ,α −h,µαβ

),

trabajando con los simbolos de Christoffel con hµν y ηµν en cambio de gµν . De la misma formael tensor de Ricci puede linealizarse


Rµν = Γαµν ,α −Γ

αµα,ν

=12

(hα

µ,να +hαν ,µα −hα

µν ,α −h,µν

),

donde h = hαα = ηαβ hαβ .

Ası el escalar de curvatura tambien puede linealizarse

R≡ gµνRµν ≈ ηµνRµν .

Escribiendo el tensor de Einstein de la parte izquierda de la ecuacion (2.40), encontramos

Rµν −12

Rgµν

=12

(hα


µν ,α −h,µν

)− ηµν

2

(hα


µν ,α −h,µν

), (2.41)

podemos definir

hαβ = hαβ − 12

ηαβ h

de esta forma podemos escribir

Rµν −12

ηµνR =−1

2

[hµ

αβ ,µ +ηαβ h,µν

µν − h,µαµ,β − hµ

β µ,α +O(h2αβ

)]

(2.42)

Gαβ =−12

[hµ

αβ ,µ +ηαβ h,µν

µν − h,µαµ,β − hµ

β µ,α +O(h2αβ

)]. (2.43)

Esta ecuacion puede ser simplificada, se requiere que

hµν

,ν = 0.

Estas ecuaciones se pueden asociar con cuatro funciones gauges libres ξ α , debemos encontrarun gauge que cumpla la condicion anterior. Se asume un gauge arbitrario tal que hp

µν (donde pdenota una h anterior) que sea escrito en terminos de un nuevo notado con un superindice r, el cualhpµν

,ν 6= 0,y se crea uno que


hrµν

,ν = hpµν −ξµ,ν −ξν ,µ +η

ν,ν ,

entonces su divergencia es:

hrµν

,ν = hpµν

,ν −ξµ,νµ,ν

se desea que el gauge de hrµν

,ν = 0, entonces ξ µ es determinado por la ecuacion

ξµ = ξ

µ,ν,ν = hpµν

,ν , (2.44)

donde es el operador DAlambertiano

f = f ,µ,µ = ηµν f,µν =

(− ∂ 2

∂ t2 +∇2).

Para nuestro problema existe algun ξ µ que tenga cualquier transformacion hµν para que corres-ponda a un gauge de Lorentz.Pero se encuentra que ξ µ no es unico ya que solo existe un ηµ que satisface la ecuacion de onda

ηµ = 0,

entonces,

(ξ µ +ηµ) = hpµν

,ν

Rµν − 12

ηµνR =−1

2hµν , (2.45)

la ecuacion de campo debil para la teorıa TeVeS puede ser escrita como

hµν =8π

GT µν +

σ2

8πGDµ

φDνφ − 1

16πGη

µνφ − µ. (2.46)

Para el trabajo a desarrollar podemos encontrar la relacion existente entre la teorıa clasica y TeVeSen campo debil. Cuando los campos gravitacionales son debiles, y producen velocidades menores


a la velocidad de la luz: |φ | 1, |v| 1.

En estas velocidades se cumple que, para el tensor momento energıa T αβ , obedece T 00 T 0iT i j, ası en la ecuacion (2.46) el termino dominante es h00, escribiendo el lado izquierdo de laecuacion

T 00 = ρ +O(ρv2)

= ∇2 +O

(v2

∇2)

∇h00 =8π

GT µν +

σ2

8πGDµ

φDνφ − 1

16πGη

µνφ − µ (2.47)

De acuerdo a las ecuaciones de campo debil para la teorıa TeVeS ([5]) la ecuacion de Poissonpuede ser escrita

h00 =−4V =−4ΞφN , (2.48)

en donde Ξ = 1+ k2 −2φc.

En el lado derecho de la ecuacion (2.46) podemos notar que T i j es del orden O(v2) por debajo de

T 00 y existe un termino cuadratico para φ,i y uno para el factor µ ′ que puede ser muy pequeno,ası podemos despreciar estos factores y concluir que hi j ≈ 0.Podemos escribir un diferencial de lınea de la forma:

gµνdxµdxν =−(1+2Φ)dt2 +(1−2Φ)δi jdxidx j, (2.49)

con Φ =V +φ o Φ = ΞφN +φ ,

ds2 =−(

1+2(

ΞGmr

+φ

))dt2 +

(1−2

(ΞGm

r+φ

))dr2 +dΩ

2, (2.50)

escribiendo en coordenadas esfericas, en donde dΩ2 = r2dθ 2 + r2 sin2 dϕ2

2.5 Corrimiento del perihelio planetario con TeVeS 47

2.5. Corrimiento del perihelio planetario con TeVeS

Un objetivo de este trabajo era encontrar la explicacion que realiza la teorıa TeVeS al corrimientodel perihelio planetario. Para tal fin se redujo la teorıa a un problema de campo debil el cual puedeaplicarse a sistemas tales como el Sistema Solar.Trabajando con el diferencial de lınea

ds2 =−(

1+2ΞGm

r+φ

)dt2 +

(1+2

ΞGmr

+φ

)−1

dr2 +dΩ2

para tener concordancia con AQUAL que es relativamente una ampliacion de MOND a bajasescalas, se trabajo con el campo escalar de la teorıa clasica.

φ = (a0mG)1/2 lnr (2.51)

realizando una expansion para (2.51), podemos escribir nuevamente el diferencial de lınea corres-pondiente a TeVeS en campo debil.

ds2 =−

(1+2

(ΞGm

r+

(a0Gm)1/2

r

))dt2 +

(1+2

(ΞGm

r+

(a0Gm)1/2

r

))−1

dr2 +dΩ2

Para facilitar el calculo podemos renombrar a las constantes como β = ΞGm+(a0Gm)1/2, pode-mos escribir

ds2 =−(

1+2β

r

)dt2 +

(1+

2β

r

)−1

dr2 +dΩ2,

escribiendo el funcional del diferencial de lınea para trabajar con las ecuaciones de Euler-Lagrange

δ

∫−(

1+2β

r

)dt2 +

(1+

2β

r

)−1

dr2− r2 (θ

2 + sin2θϕ

2)ds = 0.

Escribiendo este funcional en las ecuaciones de Euler dds

(∂F∂ xα = ∂F

∂xα

)y trabajando por compo-

nentes encontramos:

Para θ :


dds

(2r2

θ)= 2r2 sinθ cosθϕ

2

dds

(r2

θ)= r2 sinθ cosθϕ

2. (2.52)

Para ϕ :

dds

(2r2 sin2

θϕ)= 0

dds

(r2 sin2

θϕ)= 0. (2.53)

Y para t :

dds

(−2(

1+2β

r

)t)= 0

dds

((1+

2β

r

)t)= 0 (2.54)

para trabajar con la componente r podemos escribir el funcional de la siguiente forma:

1 =−(

1+2β

r

)t2 +

(1+

2β

r

)−1

r2− r2θ

2 + r2 sin2θϕ

2. (2.55)

Para una apropiada orientacion se puede elegir un eje fijo en donde θ = π/2 y θ = 0 en algunpunto inicial.

r2ϕ = h = cte⇒ ϕ =

hr2 ,

t(

1+2β

r

)= cte = l⇒ t =

l

1+ 2β

r

.


Sustituyendo en (2.55), encontramos,

1 =−(

1+2β

r

)l2(

1+ 2β

r

)2 +

(1+

2β

r

)−1

r2 + r2 h2

r4 ,

1 =−(

1+2β

r

)−1

l2 +

(1+

2β

r

)−1

r2 +h2

r2 . (2.56)

Como en el problema clasico de las orbitas de Kepler, uno puede simplificar las ecuaciones consi-derando r en funcion de ϕ y esta de s. Denotando la derivada con respecto a ϕ como (′); tenemos

r′ =drdϕ

=rϕ→ r =

r′hr2

de esta forma la ecuacion (2.56) puede ser escrita como:

(1+

2β

r

)=−l2 +

(r′)2h2

r4 +h2

r2

(1+

2β

r

), (2.57)

realizando una sustitucion de la variable r por r = 1u , lo que implica que r′ =− u′

u2 . Reemplazandoen (2.57)

(1+2βu) =−l2 +(u′)2h2 +h2u2 +2βu3h2

(1+ l2

h2

)+

2βuh2 −u2−2βu3 = (u′)2. (2.58)

Para resolver esta ecuacion y que tenga una correspondencia con la ecuacion clasica de Kepler,escribimos (2.58) en funcion de sus segunda derivadas respecto a ϕ ,

2u′u′′ =2βu′

h2 −2uu′−6βu2u′

u′′ =β

h2 −u−3βu2.


Resolviendo esta ecuacion por el metodo de perturbaciones, en la cual definimos un A≡ β

h2 , y unapequena cantidad ε =−3βA. Ası

u′′+u = A+εu2

A,

para solucionar, escribimos

u(ϕ) = u0(ϕ)+ εv(ϕ)+O(ε2).

Al ser sustituido en la ecuacion diferencial

u′′0 + εv′′+u0 + εv = A+εu2

0A

+O(ε2),

separando el tipo de soluciones, empezando con el orden cero

u′′0 +u0 = A,

que es la solucion de una orbita clasica

u0 = A+Bcos(ϕ +δ ) ,

donde B y δ son constantes arbitrarias, que por orientacion de los ejes se pueden hacer δ = 0 y seobtiene la solucion de una elipse:

u0 = A+Bcosϕ. (2.59)

Similarmente, la ecuacion de primer orden en ε

v′′+ v =u2

0A

= A+2Bcosϕ +B2

Acos2

ϕ (2.60)

=

(a+

B2

2A

)+2Bcosϕ +

B2

2Acos2ϕ,


para solucionar podemos reescribir v en terminos de la suma de v = va + vb + vc, donde va,vb y vc

son soluciones a las ecuaciones

v′′a + va = A+B2

2A;v′′b + vb = 2Bcosϕ;v′′c + vc =

B2

2Acos2ϕ.

Se puede chequear que

va = A+B2

2A,

vb = Bϕ sinϕ

y

vc =−B2

6Acos2ϕ.

Ası, las ecuaciones se pueden escribir en forma de solucion no homogenea

v = va + vb + vc = A+B2

2A+Bϕ sinϕ− B2

6Acos2ϕ, (2.61)

combinando las soluciones para la orbita de primer orden en ε

u = u0 + εv,

=

(A+ εA+

εB2

2A

)+

(Bcosϕ− εB2

6Acos2ϕ

)+ εBϕ sinϕ. (2.62)

Usando estas soluciones podemos encontrar la prediccion del corrimiento del perihelio, ya quesolamente los ultimos terminos son no periodicos, ya que los corrimientos son irregularidades queocurren con el cambio de posicion del cuerpo celeste,

cos(ϕ− εϕ) = cosϕ + ε sinϕ

y la solucion puede escribirse


u = A+Bcos(ϕ− εϕ)+ ε

(A+

B2

2A− B2

6Acos2ϕ

). (2.63)

De esta manera se puede hacer una comparacion de la forma basica de una elipse con los primerosterminos de la ecuacion A+Bcosϕ . El efecto de los ultimos terminos de la ecuacion son los querealmente producen una pequena variacion en la distancia radial del planeta, acondicionando laecuacion, nos interesa el termino sobrante de la ecuacion

u = A+B(cosϕ− εϕ)+ terminos periodicos.

El perihelio de un planeta ocurre cuando r es mınimo o es maximo, este punto ocurre cuando

ϕ (1− ε) = 2πn

ϕ ≈ 2πn(1+ ε)

para n=1

∆ϕ = 2π (1+ ε) . (2.64)

En sı mismo 2π es un movimiento periodico, por lo tanto el corrimiento ocurre cuando

δϕ = 2πε =−2π (3βA)

=−6π

h2 β2

δϕ =−6π

h2

(ΞGm+(a0Gm)1/2

)2. (2.65)

A diferencia de la Relatividad General, TeVeS ademas del valor de ∆δϕR adiciona terminos propiosde la teorıa en funcion de a0,k y el valor de φc. Encontrando en la literatura los valores mas usadospara k,φc y ao,tenemos que el valor de k es aproximadamente de ±0,003, el valor de a0 es ±1×


10−10m/s2, [5], [3], [18]. El valor de φc depende del valor cosmologico de la epoca en cuestion yvaria muy lentamente en el Sistema Solar. Se puede considerar para nuestro calculo que el valorde φc es muy pequena en una era cosmologica en particular, y puede ser muy cercana a 0. Paraencontrar el valor descrito por la teorıa necesitamos los siguientes datos para el planeta Mercurio:

r 5,8×1010mV⊥ 4,7875×104m/sM 1,99×1030kg

G 6,67×10−11N.m2/kg2

Realizando el calculo, encontramos

δϕ =6πG2M2

h2 +12πGM(a0MG)1/2

h2 +6πa0MG

h2 ,

con los valores antes mencionados, encontramos el valor predicho por TeVeS

δϕ =(4,9655×10−7 +3,36×10−20)rad/orbita (2.66)

Finalmente se encontro la prediccion que realiza la teorıa TeVeS en la precesion del perihelioplanetario con un orden de magnitud de ∆δϕr +O

(10−20), que nos indica que el valor predi-

cho concuerda con la Teorıa de la Relatividad mas un valor muy pequeno que es agregado comocorreccion a la teorıa.

3 Conclusiones

En el primer capıtulo se realizo la descripcion del problema a tratar, objetivos y lineamientos aseguir. Se hizo un acercamiento a MOND, describiendo su nacimiento en el ano 1983, sus logrosen la descripcion de curvas de rotacion galacticas, su formulacion lagrangiana (AQUAL) y se hizouna revision de sus avances teoricos incluyendo el artıculo de Jacob Bekestein del 2004 [5]. Serealizo una descripcion de la Teorıa de Brans-, en donde se desarrollaron los criterios basicos dela teorıa encontrando su ecuacion de campo y la ecuacion de onda. Por ultimo, se describio enque consiste la anomalıa Pionner 10/11.

Se explico como se puede obtener un potencial modificado, segun los parametros mejor documen-tados de la expansion de la funcion µ (1.39), obteniendo como resultado un potencial logarıtmicoen r, (ln(r)). Al trabajar con este potencial, en el problema de los dos cuerpos, se encuentra quelas ecuaciones de movimiento no siguen trayectoria definidas o cerradas, lo que esta de acuerdocon el teorema de Bertrand, encontrando que las orbitas descritas por este potencial son espiralesdesplazadas hacia valores mayores de r.

En el segundo capıtulo se realizo una descripcion de la Teorıa de Brans-Dicke en sistemas quasi-estaticos en donde se encontro como esta teorıa reproduce una metrica esferica, de la cual sehallo el valor que predice la Teorıa de Brans-Dicke al problema del corrimiento del perihelio pla-netario, este valor es 4,97× 10−7± 0,08rad/orb, que concuerda con los datos obtenidos en laRelatividad General.

En la segunda parte del tercer capıtulo se realizaron las consideraciones correspondientes a unsistema inmerso en un campo debil, en donde se describio que argumentos debe tener la teorıaTeVeS para la consideracion de un sistema en situaciones quasi-estaticas, como en el caso delcampo escalar, cuya condicion lımite debe tender a φc, ademas el campo vectorial, por escogenciade modelo cosmologico se considero como un δ , dependiente unicamente de la componente tem-poral Uα = δ α

t (seccion 3.5). A partir de estas consideraciones iniciales se encontro la ecuacion decampo para la teorıa TeVeS con un campo debil .

Finalmente, con la ecuacion de campo debil de TeVeS, se describio una metrica con la que se

55

realizo el proceso de perturbaciones para encontrar la prediccion que realiza TeVeS al problema dela orbita del planeta Mercurio, en el cual se encontro un valor similar al de la Teorıa de la Relati-vidad mas una cantidad de orden ×10−20. A continuacion se presenta una tabla con los valores delas tres teorıas; Relatividad General, Brans-Dicke y TeVeS:

TEORıA DE LA RELATIVIDAD TEORıA BRANS-DICKE TEORıA TeVeS4,97×10−7rad/orb 4,97×10−7 +0,08×10−7rad/orb 4,97×10−7 +3,36×10−20rad/orb

Con la comparacion de estos tres datos, y dado que los calculos de la Teorıa de la Relatividad deEinstein tienen muy buena precision con la observacion de la precesion del planeta Mercurio y losnumerosos experimentos que se han realizado para validar la teorıa desde hace muchos anos, loscuales utilizaron telescopios de radar y metodos numericos para medir la orbita de Mercurio conextrema precision, las teorıas Brans-Dicke y mas aun TeVeS presentan correcciones a la teorıa dela Relatividad General con ordenes demasiado pequenos comparados con los datos observaciona-les encontrados a la fecha. En este sentido podemos esperar las proximas pruebas de la teorıa dela Relatividad General, una de ellas se hara con la mision de la BepiColombo a Mercurio. estaes la primera mision a Mercurio desde Europa y se pondra en marcha en 2015 y se espera quellegue al planeta en enero 2022. Si bien esta mision enviara dos naves espaciales alrededor de laorbita de Mercurio, principalmente para estudiar muchos aspectos diferentes del planeta, tambienllevara a cabo una prueba de RG mediante la observacion de su orbita con todo detalle. Esperandoque aquellos estudios generen mayor precision en la medicion del comportamiento de la orbita yası generar nuevas contribuciones a la fısica conocida.

Por ultimo, la anomalıa de las Pioneer es una observacion empırica que muestra que las posicionesentre las sondas espaciales Pioneer 10 y Pioneer 11 difieren ligeramente con respecto a las quese esperaban de las observaciones. En general y despues del artıculo de Turyshed et al. (2011) sedemostro que segun los datos Doppler producidos por las mismas maquinas en los anos 80’s, quemostraban una aceleracion extra dirigida hacia el Sol, que tal efecto no era un fenomeno gravita-cional, sino una alteracion de fenomenos termicos de los sistemas internos de las sondas. De estaforma las supuestas anomalıas han sido explicadas con la fısica conocida hasta hoy.[12].

Para dar una posible solucion desde TeVeS podemos encontra la aceleracion descrita por el poten-cial de la ecuacion de lıa

φ =2β

r

56 3 Conclusiones

y su derivada corresponde a

∇φ =−2β

r2

en donde β =ΞGM+(a0GM)1/2 de para la sonda Pioneer a 60 UA se encuentra que la aceleraciondel sistema es ap = 3,3×10−4cms−2, que es en orden de magnitud mas grande que la encontradaen las sondas. Podemos concluir que para los valores que se consideraron en el trabajo TeVeS fallaal reproducir la aceleracion anomala de los Pioneer.

Bibliografıa

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