El Ciclo Económico Real

Irán Apolinar Peredo Cortes

1 de enero de 2012

1. Introducción

La mayoría de los textos de macroeconomía intermedia concluyen general-mente que a corto plazo la política monetaria controla el tipo de interés, quela renta y el tipo de interés actuales y esperados afectan la demanda agregaday de igual manera enuncian el rol de la demanda en la determinación del nivelde producción y del desempleo el cual puede jarse fuera de su tasa natural.Estos planteamientos fueron mostrados en gran medida en el desarrollo delconvencional modelo IS-LM.

Durante la década de los 70's dicho modelo fue duramente criticado, enprimera instancia por el manejo de la oferta agregada la cual era determinadapor el nivel de exibilidad de precios y salario, a partir de ésta podría ser per-fectamente inelástica o viceversa, así como tener pendiente positiva (hipótesisde Phillips). Friedman en 19681 presenta una fuerte crítica a dicha hipótesisestableciendo que el trade-o entre inación y desempleo era dinámicamenteinconsistente en el tiempo así como aseguró que dicho trade-o era causado porpor inación no esperada y que en el tiempo la producción tendia a situarseen su tasa natural.

A partir de dichas críticas la teoría macroeconómica necesitaba de otroinstrumento teórico, uno de carácter intertemporal, de equilibrio general queaglutinara en su acervo el papel de las expectativas racionales, es entoncesdonde inician los trabajos desarrollados por Samuelson con los modelos deGeneraciones Translapadas y los modelos de Crecimiento óptimo en contex-tos estocásticos. En el presente capitulo desarrollaremos la teoría del CicloEconómico Real (RBC por sus siglas en ingles),el cual como veremos más ade-lante parte de la hipótesis de Ramsey. En la primera parte analizaremos lasuctuaciones a corto plazo así como mencionaremos elementos necesarios deseries de tiempo para capítulos subsecuentes, posteriormente desarrollaremosel modelo Estocástico de Crecimiento Óptimo y a partir de ahí brindaremos

1M. Friedman(1968)The Role of Monetary Policy American Economic Review. No 58, pp1-17

1

las bases teóricas para justicar las casas de las uctuaciones cíclicas según lateoría de RBC, así como el desarrollo de alguna evidencia empírica para el casomexicano. Al nal del capítulo enunciaremos una serie de críticas a los mod-elos de RBC las cuales son necesarias para ampliar nuestra nuestra aloraciónen dicha teoría.

2

2. Fluctuaciones Económicas, conceptos básicos

Desde principios de siglo pasado se ha producido entre los economistas unaextraña fascinación por el análisis de la producción tanto sus uctuaciones acorto plazo como su crecimiento a largo plazo. Los ciclos económicos se encar-ga del estudios de estas uctuaciones a corto plazo. Entre las concepciones dealgunos economistas es posible la existencia de ciclos deterministicos, la liter-atura los clasico en Kitchin (3 años), Juglar (10 años), Kuznets (20 años) yKondratiev (50 años), estos ciclos quedaros ya que la evidencia empirica desta-ca la existencia de uctuaciones a corto plazo, además surge la necesidad deexplicar las causas de diferentes uctuaciones las cuales tenian una naturalezaaleatória.

El Ciclos Económico Real, por su parte explica sus uctuaciones a corto plazoen su mayoría por shocks tecnólogicos , es decir perturbaciones en la produc-ción. Por otra parte la teoría Keynesiana y Neokeynesiana en su mayoría siguesupuestos de rigideces que provocan las uctuaciones antes mencionadas. Unade las primeras explicaciones de las uctuaciones de la producción fue propues-ta por R. Solow en 19572, Solow armaba que las expansiones y contraccionesdel producto estaba altamente ligado a la productividad de la mano de obra,para analizarlo éste propuso la siguiente descomposición: bajo los supuestos deretornos constantes a escala y mercados competitivos la tasa del crecimientodel producto puede ser expresada como:

Y (t) = AKαL1−α

log Y (t) = α logK(t) + (1− α) logL+ logA

∂ log Y (t)

∂t= α

∂ logK(t)

∂t+ (1− α)

∂ logL(t)

∂t+∂ logA(t)

∂tgy = αgn + (1− α)gk + q

Donde gy, gn y gk son las tasas de crecimiento de la producción, mano deobra y capital respectivamente, α es la participación de la mano de obra y qreeja aquellos factores que no están explicados por el modelo, a este termino sele ha llamado multifactor de productividad del crecimiento o más comúnmente,el el residuo de Solow La ecuación anterior puede ser reescrita como:

(gy − gn) =

(1− α

α

)(gk − gy) +

(1

α

)q

El residuo de Solow, tambien denominado Total-Factor Productivity (TFP) harecibido duras críticas ya que no es claro que dicho factor siempre sea de tipoaditivo en el sentido que puede que las fuentes del crecimiento esten implicitas

2Solow, Robert (1957)Technical Change and the Aggregate Production Function Reviewof Economics Studies, 39 pp.312-330.

3

en variables como el trabajo (subutilizacion) o cuestiones relacionadas con lacalidad.

2.1. Concepto básicos de series temporales

Al analizar una serie temporal con el n de lograr su modelación, es decir,descubrir la forma en la cual esta evoluciona en el tiempo es necesario que éstaesté dotada de Estacionareidad en Covarianza la cual implica que la serietiene una cierta regularidad en su comportamiento.Llamemos Yt a una variablealeatoria o a un vector de variables aleatorias, después Yt es estacionaria encovarianza si:

EYt = µ ∀t

E(Yt − µ)(Yt−k − µ) = gk ∀k

Luego entonces es posible observar el proceso estocástico y analizar los momen-tos entre otras cosas. Podemos cuestionarnos sobre la veracidad de de dichoargumento, por una parte se ha observado situaciones sui generis con hiper-inaciones o de amplios periodos de desempleo, en otras ocasiones se ha ob-servado casos donde disminuye la varianza de las series, periodos de estabilidad.

Si la Serie de tiempo es estacionaria en covarianza esta puede representarsemediante una descomposición de Wold o MA innitos.

Yt =∑j

ψjξt−j + k(t)

Donde ξ ∼ IID(0, σ2), donde a pesar de no ser éste el verdadero proceso quecausa movimientos en Yt, esto es medianamente aceptable. Si es verdad quelos procesos MA innitos es compleja su estimación, pueden ser aproximadospor modelos ARMA o modelos AR(n). En la actualidad los Ciclos Económicoscuentan con una grán cantidad de herramientas para su análisis, entre ellas seencuentran los modelos VAR y SVAR por sus interesantes post-estimacionescomo son las funciones impulso respuesta y la descomposición de varianza.Dentro de la metodología más recurrente se encuentra la desarrollada porRobert J. Hodrick y Edward C. Prescott3 el cual es un método que permiteextraer el componente secular o tendencia de una serie temporal aislando elcomponente cíclico mediante el siguiente ejercicio.

mın

t1∑10

((Yt − Tt)2 + λ[Tt − Tt−1)− (Tt1 − Tt−2)]

2)

3Hodrick, Robert J. and E.C. Prescott (1980) Postwar U.S. Business Cycles: an Em-

pirical Investigation; mss. Pittsburgh: Carnegie-Mellon University; Discussion Papers 451,Northwestern University.

4

En donde el residual (Yt − Tt) es conocido como el componente cíclico de laserie, por otra parte el parámetro λ penaliza el aceleramiento tendencial conrespecto al componente cíclico. Es muy común dar un valor a λ = 1600 paradatos trimestrales tomando como base la duración de los componentes del cicloeconómico , los movimientos de los datos son considerados de naturaleza cíclicasi el ltro puede atribuírselos al componente (Yt − Tt) más el componente delargo plazo Tt. Dicha metodología realiza una comparación de la correlacióncruzada del componente cíclico de ferentes series con el sin de analizar suciclicidad, es decir encontrar los comovimientos. el coeciente de correlación escalculado de la sihuiente manera.

ρ(Xct, Yct+k) =Cov(Xct, Yct+k)

[(VarXct)(VarYct+k)]12

Al respecto Cuadra (2008)4 encuentra evidencia empirica con dicha metodologíapara México tomando diferentes componentes de la demanda, a saber el con-sumo privado, consumo público, y las importaciones son proclíticas, mientrasque las exportaciones son suavemente anticíclicas. En lo referente a factoresproductivos encuentra que el stock de capital es procíclico y sigue al produc-to. de lo anterior Mejia (2003)5 respalda parte de la evidencia encontrada porcuadra, es decir encuentra que la formación de capital es procíclica y va acordecon el ciclo, con una correlación de 0.849, por otra parte la tasa general dedesempleo abierto es anticíclica y sigue al ciclo con una correlación de 0.655.

4Gabriel Cuadra (2008) Hechos Estilizados del Ciclo Económico en México Documentosde investigación, Banco de México

5Mejia R. Pablo (2003) Regularidades empíricas en los ciclos económicos de México: pro-

ducción, inversión, inación y balanza comercial economía mexicana. NUEVA ÉPOCA, vol.XII, núm. 2 pp 231-274

5

3. Espectativas Racionales

En el estudio de la teoría económica en muchas ocasiones damos por sentadala racionalidad de los agentes económicos las cuales cumplen con los supuestosbásicos de un juego de la forma estratégica en un contexto de información per-fecta y completa, sin embargo es necesario establecer en todo modelo un marcode análisis que te permita modelar las expectativas de los agentes económicos.R. Lucas (1972)6 fue el primero en poner las espectativas racionales como unanecesidad fundamental para entender la teoria Macroeconomia. La teoría delas expectativas racionales establece que las variables aleatorias no son pura-mente aleatorias sino que siguen un cierto patrón y es gracias a esto que esposible su predicción, o al menos tener una expectativa de un futuro probable.Para que su predicción de acerque a la probabilidad promedio de ocurrenciadel evento (esperanza matemática) asumimos que que los agentes económicosutilizan toda la información disponible de manera eciente. Aprovechar toda lainformación disponible signica que los agentes económicos no cometen erroressistemáticos, es decir, no cometen un mismo error de manera subsecuente en eltiempo. A continuación desarrollaremos la teoría utilizada para el análisis delas espectivas racionales para esto tomaremos en esta sección algunos elementosde ecuaciones en diferencias estocásticas así como elementos de programaciónestocástica.

3.1. Iteración hacia adelante

Sea xt una sucesión de variables de la siguiente ecuación:

xt = αxt+1 + β

La ecuación anterior implica que en muchas ocasiones las variables económicaspueden estar explicadas por por las mismas variables pero en una temporalidadfutura como puede ser el precio o la tasa de un bono. La solución se puedeobtener iterando hacia el futuro, a sabiendas que xt+1 = αxt+2 + β tenemos:

xt = α(αxt+2 + β) + β

= α(α(αxt+3 + β) + β) + β

...

= αnxt+n + β

n−1∑k=0

αk

En el límite cuando n→ ∞ tenemos que:

xt = lımn→∞

αnxt+n +β

1− α6Lucas R. Jr.(1972)Espectations and the Neutrality of MoneyJournal of Economic Theory,

vol 4 pp.103-124

6

Donde el termino

β

k=0∑∞αk =

β

1− α

se le conoce como parte fundamental de la solución y el termino

lımn→∞

αnxt+n

Se le conoce como la parte burbuja, cuando este termino 6= 0 decimos queexisten burbujas especulativas.

Pensar que los agentes económicos tienen información perfecta sobre el fu-turo resulta irreal, es por eso que podemos decir que la secuencia xt es unavariable aleatoria, en este sentido los agentes económicos toman toda la infor-mación hasta el periodo t denotada como Ωt para realizar expectativas acercade la distribución de probabilidad de la variable aleatoria xt, la espectativa sedice que es racional cuando el valor seleccionado es la media de la distribu-ción, es decir el agente toma el valor esperado (media condicional) dada lainformación, denotada como E(· | Ωt)

3.2. Ley de Esperanzas Iteradas

Sean Ψ y Ω dos conjuntos de información tales que Ψ ⊂ Ω, entonces dadauna variable aleatoria x se cumple

E(E(x | Ψ) | Ω) = E(x | Ω)

E(E(x | Ω) | Ψ) = E(x | Ω)

La proposición anterior implica que si Ωt denota la información disponible enel periodo t y k ≥ 0 entonces se cumple:

Et(Et+k(·)) = Et(·)

Et+k(Et(·)) = Et(·)

Es de utilidad suponer el caso de una relación lineal entre variables aleatorias,sean x y y dos variables aleatorias cualquiera, entonces se cumple que:

E(ax+ by | Ω) = aE(x | Ω) + bE(y | Ω)

re ordenando variables es fácil demostrar que la varianza y covarianza estándados por:

Cov(x, y) = E[(x− E(x))(y − E(y))]

Var(x) = Cov(x, x) = E[(x− E(x))2]

Decimos que x y y no están correlacionadas si Cov(x, y) = 0; en particular six y y son independientes (su distribución conjunta es igual al producto de sus

7

distribuciones)puede verse que Cov(x, y) = 0. A continuación nos dedicaremosa resolver la siguiente ecuación en deferencias estocásticas.Sea una ecuacióndel tipo:

xt = αEt(xt+1) + βy

Ahora realizamos una iteración hacia el futuro,posteriormente tomemos lasesperanzas condicionadas hasta el momento t, obtenemos:

Et(xt+1) = αEt(Et+1(xt+2)) + βEt(yt+1)

aplicando la ley de esperanzas iteradas tenemos que:

Et(xt+1) = αEt(xt+2) + βEt(yt+1)

Sustituyendo en la primera ecuación tenemos

xt = α[αEt(xt+2) + βEt(yt+1)] + βy

xt = α[αEt(xt+2) + βEt(yt+1)] + βy

xt = α2Et(xt+2) + αβEt(yt+1)] + βy

Después de n iteraciones obtenemos

xt = αnEt(xt+n) + β

n−1∑k=0

αkEt(yt+k)

3.3. Programación Estocástica

El Principio de Optimalidad de Bellman dice Dada una secuencia óptima

de decisiones, toda subsecuencia de ella es, a su vez óptima . Es decir el prob-lema se basa en un particionamiento del problema enfocándoce en encontrarla secuencia óptima. El problema a considerar es el siguiente:

maxE

[ ∞∑t=0

βtf(xt, ut) | Ωt

]

Sujeto a una ecuación xt+1 = g(xt, ut, εt), con x0 dado y εt dado, el cuales una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente dis-tribuidas (IID). La versión estocástica de la ecuación de Bellman es la sigu-iente:

V (xt) = max[f(xt, ut) + βEt(V (xt+1))]

Las condiciones de primer orden están dadas por:

∂f

∂ut+ βEt

[V ′(xt+1)

∂g

∂ut

]= 0,

8

V ′(xt) =∂f

∂xt+ βEt

[V ′(xt+1)

∂g

∂xt

],

xt+1 = g(xt, ut, εt)

La solución del sistema de ecuaciones conlleva a maximizar la función de valor7.

7Un tratamiento adecuado de la programación estocástica puede encontrarse en Stokey,Nancy (1989)Recursive Methods in Economic Dynamics Harvard Press.

9

4. El Modelo de Crecimiento Estocástico

A partir de la década de los 80's el modelo de crecimiento estocásticose ha convertido en la principal herramienta en el análisis macroeconómico,Prescott(1986)8 lo describe como un paradigma del análisis macroeconómicosimilar a la oferta y demanda en la construcción de la teoría del precio y sereere incluso a las predicciones del modelo como teoría económica estándar.Al igual que Prescott podemos partir que son shock's tecnológicos la princi-pal causa que origina ciclos económicos el cual puede ser modelado como unaperturbación aleatoria en la producción, entre otras causas resientes que se lehan atribuido a los ciclos económicos son shock's en el consumo, gasto guber-namental, distorsión impositiva, y variaciones en los precios y en salarios. Lasprimeras ideas de Ciclos surgen con Hicks(1939)9el cual se encargo de desar-rollar un marco conceptual para analizar los desequilibrios producidos en unacierta economía. Dentro de este contexto Hicks ve a los desequilibrios comoperturbaciones inherentes al sistema económico competitivo el cual se basa enun conjunto de decisiones intertemporales en un contexto de información im-perfecta. A continuación desarrollaremos la estructura general de análisis delmodelo estocástico de crecimiento optimo y como a partir de este es posibleanalizar las uctuaciones a corto plazo.

4.1. El modelo básico

Al igual que el modelo básico de Ramsey asumimos una economía compet-itiva en un horizonte innito, el problema de maximización es el siguiente:

maxE

[ ∞∑i=1

βtU(Ct) | Ωt

]

Sujeto a:Ct + St = ZtF (Kt)

Kt+1 = (1− δ)Kt + St

Donde U(Ct) es la función de utilidad la cual depende del consumo, βt es elfactor de descuento,Zt es un factor que causa incrementos en la producción Stes el monto ahorrado, δ es la depreciación del capital, E es el operador de valoresperado y Ωt es la información disponible en el periodo t.

8Prescott, E. C. Theory Ahead of Business Cycle Measurement, Federal Reserve Bank ofMinneapolis Quarterly Review 10, no. 4: 9-22.

9Hicks J. R. (1939)Value and Capital, an inquiry into some fundamental principle of

economics theory, Oxford University Press

10

El problema puede resolverse utilizando programación estocástica utilizan-do el Principio de Optimalidad de Bellman (POB). El problema puede desar-rollarse optimizando la función de valor V (Kt), es decir:

V (Kt) = max U(Ct) + βEt[Vt+1(Kt+1)] (1)

Sujeto a:Kt+1 = (1− δ)Kt + ZtF (Kt)− Ct, Zt dado. (2)

Según el POB las condiciones de primer orden están dadas por:

U ′(Ct)− βEt[V′(Kt+1)] = 0 (3)

V ′(Kt) = [(1− δ) + ZtF′K(Kt)]βEt[V

′(Kt+1)] (4)

despejando βEt[V′(Kt+1)] de las condiciones de primer orden obtenemos:

RtU′(Ct) = V ′(Kt) (5)

Rt+1U′(Ct+1) = V ′(Kt+1) (6)

Donde Rt = [1 − δ + ZtF′K(Kt)] es la tasa de rendimiento del capital. La

ecuación (6) no es más que una iteración de la ecuación (5), sustituyendo laecuación (6) en (3) obtenemos:

U ′(Ct) = βEt[Rt+1U′(Ct+1) | Ωt] (7)

La condición de Keynes-Ramsey, ecuación (7) establece que a lo largo de lasenda de crecimiento óptimo las variaciones en el consumo presente son expli-cadas por las expectativas en valor presente de las variaciones en el consumofuturo. La ecuación también implica que las variaciones en el consumo presentetérminos de ahorro deberían explicar incrementos en la inversión futura dadacierto nivel de rentabilidad del capital.

4.2. Casos especiales

Función CES Sea Ct una función de tipo CES tenemos lo siguiente:

U(Ct) =σ

σ − 1C

σ−1σ

la ecuación de Euler queda expresada como:

C− 1

σt = E

[βRt+1C

− 1σ

t+1 | Ωt

]

1 = E

[Ct+1

Ct

]− 1σ

βRt+1 | Ωt

11

La ecuación anterior nos da un gran arma para conocer el funcionamiento dela economía, ademas de tener fuertes implicaciones dentro del análisis de val-uación de activos, nos brinda una herramienta para el análisis del crecimientodel consumo en el tiempo (cuando R es no estocástica),etc.Si ignoramos laincertidumbre tenemos lo siguiente:

Ct+1

Ct= (βR)σ

En el límite cuando sigma tiende a 0, el ratio Ct+1/Ct tiende a 1, de formaanáloga cuando σ tiende a ∞, el ratio Ct+1/Ct tiende a +∞. A continuaciónanalizaremos los los shock's utilizando la condiciones de primer orden, en elestado estacionario tenemos que:

Ct = Ct+1 ⇒ R = 1− δ + ZFK(K) =1

β⇒ K

Esta es la regla de oro modicada, se puede apreciar más claramente asumiendoque β = 1/(1− θ), después la formula se convierte en:

ZFK(K)− δ = θ

Por otra parte también implica que:

ZFK(K)− δK = Ct

Consideremos un shock aditivo en la función F (·) algo que no es realista peroes útil, observamos que no hay cambio en el estado estacionario y que el con-sumo incrementa de a par con el shock de forma proporcional. Por otra parteconsideremos un shock multiplicativo causado por Z, después hay nuevo es-tado estacionario ya que K es mayor, la inversión es positiva, C incrementapero menos que ZF (K), C podría bajar syss σ es lo sucientemente alta.Si el shock de Z es transitorio la inversión aumenta pero por poco tiempo aligual que el consumo, en resumen un shock tecnológico incrementa la inversión,probablemente el consumo pero no es una condición suciente.

Función Logarítmica Como un segundo caso especial supondremos que lafunción de utilidad es logarítmica U(Ct) = logCt, después la ecuación de euleres del tipo:

1

Ct= βEt

[Rt+1 ·

1

Ct+1| Ωt

](8)

Lo anterior implica que la relación de intercambio entre consumo presente yfuturo depende no solamente de las expectativas entre la utilidad marginalfutura y de la tasa de retorno del capital sino también de la interacción en-tre ambos, en otras palabras El valor esperado de dos variables es igual a su

producto más su covarianza.

1

Ct= β

Et

[1

Ct+1

]Et[Rt+1] + Cov

(1

Ct+1, Rt+1

)(9)

12

Supongamos que Rt+1 aumenta cuando Ct+1 también lo hace, entonces el valorde la covarianza es negativo, es decir, el valor de la rentabilidad es elevadacuando la utilidad marginal del consumo es alta, en esta situación, ahorrares menos atractivo qye si no existiera correlación entre 1/Ct+1 y Rt+1, por lotanto el consumo actual tiende a elevarse.

4.3. Shocks Tecnológicos Aditivos

El problema formal para este caso esta determinado por:

maxE

[ ∞∑i=1

βtU(Ct) | Ωt

]

Donde U(Ct) = Ct − θC2t , para θ > 0

Sujeto a:Yt = AKt + εt

Kt+1 = Kt + Yt − Ct

AR(1) : εt = ρεεt−1 + ξt | ξt ∼ IID(0, σ2)

Dotemos que la función de utilidad para este caso será de tipo cuadrática,en este caso la variación aleatoria es aditiva en la producción, dicha variablealeatoria sigue un proceso autorregresivo de primer orden, además esta IID conmedia cero. La ecuación de Bellman para este caso esta dada por:

Vt = maxCt − θC2

t + βEt[Vt+1(Kt+1)]

Sujeto a:Kt+1 = (1−A)Kt + ε+ Ct (10)

Las condiciones de primer orden están dadas por:

1− θ2Ct + βEt

[V ′(Kt+1)

]= 0

V ′(Kt) = βEt

[V ′(Kt+1)

](1−A)

Despejando βEt [V′(Kt+1)] igualando ambas condiciones he iterando un peri-

odo tenemos:V ′(Kt) = 1− θ2Ct(1−A)

V ′(Kt+1) = 1− θ2Ct+1(1−A)

Insertando esta ecuación en la primera condición encontramos la Ecuación deEuler:

1− θ2Ct = βEt [1− θ2Ct+1(1−A)]

13

Sabemos que β = (1−A)−1, si se extraen los términos repetidos de la esperanzaobtenemos que:

Ct = E(Ct+1) (11)

Lo cual es una Martingala, podemos decir que el consumo sigue un Randon

Walk. El primero en desarrollar esta hipótesis fue Robert Hall (1978) el cualmodico la teoría del ingreso permanente al modicar el supuesto de expec-tativas adaptativas por racionales. La interpretación de (20) es sencilla: Si unindividuo prevé cambios en su nivel de consumo intentara mitigar sus uctua-ciones. Supongamos un aumento en el consumo, esto implicaría que la utilidadmarginal del consumo presente es superior a lo que se espera que tenga en elfuturo, de modo que el individuo puede elevar su bienestar incrementando suconsumo actual. En otras palabras, el individuo ajustará su consumo actualhasta que desaparezca toda expectativa de cambio futuro en el nivel de con-sumo.

Para encontrar el valor de Kt+1 en función de Kt y de εt utilizaremoscoecientes indeterminados, sea el guess Ct = α + βKt + γεt sustituyendo en(10) tenemos:

Kt+1 = (1 +A)Kt + εt − (α+ βKt + γεt)

= (1 +A− β)Kt + (1− γ)εt − α

Ahora bien, sabiendo que Ct = Et(Ct) sustituyendo el guess de consumo en-contramos los valores tanto de Kt como de εt que se deben cumplir en todomomento en la ecuación de Euler.

α+ βKt + γεt = α+ βKt + γεt = Et(α+ βKt+1 + γεt+1)

= α+ βEt(Kt+1) + γEt(εt+1)

= α+ β[(1 +A− β)Kt + (1− γ)εt − α] + γρεεt

= α(1− β) + β(1 + a− β)Kt + [β(1− γ) + γρε]εt

de esta manera tenemos el siguiente sistema:

α = α(1− β) (12)

β = β(1 + a− β) (13)

γ = β(1− γ) + γρε (14)

La solución del sistema implica que α = 0 y β = A y por ende

γ =A

1 +A− ρ

Una ves obtenido ésto el problema se resume a encontrar los efectos de unshock en solo periodo ξ sobre los senderos de K, Y y C, consideremos que

14

ξ > 0 para t = 1 y ξ = 0 para t > 0. Sustituyendo los valores de α, β y γ enCt y Kt+1 tenemos.

Ct = AKt +A

1 +A− ρεεt (15)

Kt+1 = Kt +1− ρε

1 +A− ρεεt (16)

Para simplicar nuestro análisis supondremos que en el periodo t hay un shockpositivo ξ = 1− ρε+A10; a partir de t+1, ξ = 0 . A partir de ahora usaremos∆Xt para denotar a la diferencia entre la variable en su estado estacionario ysu estado posterior al shock.

Sabemos que en el momento t, Kt esta dado y no es afectada por el Shock,es decir ∆Kt = 0. Dado que la función de producción es igual a Yt = AKt + εttenemos

∆Yt = A∆Kt +∆εt = 1− ρε +A

Donde ∆εt = ∆ξt. Ahora de la ecuación (15) tenemos

∆Ct = A∆Kt +A

1− ρε +A∆εt

Lo anterior implica que el consumo incrementa en una proporción igual a A.Sabemos que en el periodo t+1 aun cuando ξt+1 = 0, εt+1 es diferente al estadoestacionario del cual parte debido a la forma autoregresiva de los Shocks ε.

∆εt+1 = ρε∆εt = ρε(1− ρε +A)

De la ecuación (16) el cambio en el stock de capital esta dado por

∆Kt+1 = ∆Kt +1− ρε

1 +A− ρε∆εt = 1− ρε

La función de producción en el siguiente periodo Yt+1 = AKt+1 + εt+1 estadada por

∆Yt+1 = A∆Kt+1 +∆εt+1 = A(1− ρε) + ρε(1− ρε +A) = A+ ρε(1− ρε)

De la ecuación (15) iterando un periodo tenemos que

∆Ct+1 = A∆Kt+1 +A

1− ρε +A∆εt+1

= A(1− ρε) +A

1− ρε +Aρε(1− ρε +A)

= A(1− ρε) +Aρε = A

10que el schock sea igual al denominador es para simplicar la ecuación, bastaría con quesea positivo.

15

Lo anterior demuestra que el Shock en el consumo es permanente igual a unaproporción A. Podemos concluir al iterar n veces cada ecuación, las trayectoriasdespués de un shock aditivo del tipo ξ = 1− ρε +A son las siguientes:

∆Ct+n = A

∆Yt+n = A+ ρnε (1− ρε)

∆Kt+n = 1− ρnε

Notemos que es el parámetro ρε el que determina la dinámica de Y y de K,cuando ρε = 0 no existe dinámica después de t + 1, cuando 0 < ρε < 1 lasvariables convergen monótonamente a un nivel superior del estado estacionario.Si −1 < ρε < 0 entonces las variables oscilan de arriba hacia abajo ( alrededordel estado estacionario) hasta llegar a sus nuevos niveles.

4.4. Elección Óptima de consumo y ocio

En los modelos desarrollados anteriormente estibulamos que el factor tra-bajo era constante y fue normalizado a 1. En esta subsection desarrollaremosel modelo introduciendo la oferta de trabajo en el modelo. Segun la teoria deRBC los tanto el consumo como el empleo y la inversión son procíclicos y lossalarios suelen ser anticíclicos pero como veremos posteriormente esto no siem-pre se cumple, a continuación desarrollaremos la versión general del modelopara posteriormente desarrollar su solución bajo los supuestos establecidos porCampbell(1994)11 mediante metodos numéricos los cuales serán expuestos enla siguiente sección.

El modelo general a desarrollar puede ser expresado como

maxE

[ ∞∑t=1

βtU(Ct, Ot) | Ωt

]sujeto a

Ot + Lt = 1

Ct + St = ZtF (Kt, Lt)

Kt+1 = (1− δ)Kt + St

Donde Ot y Lt es el ocio y el trabajo respectivamente. Por ahora ignoraremosel progreso tecnico aumentador en el sentido de Harrod es decir ZrF (Kt, AtLt)con At = At es la tasa de crecimiento del porgreso técnico el cual en el periodoinicial con t = 0 implica que At = 1. Dada su mejor ilustración aremos uso

11Campbell, J.(1994) Inspecting the Mechanism: An Analytical Approach to the Stochastic

Growth Model.Journal of Monetary Economics 33, no. 3: 463-506.

16

del lagrangeano estocástico en este ejemplo, dada la restricción Kt+1 = (1 −δ)Kt + ZtF (Kt, Lt)− Ct el lagrangeano estócastico esta dado por:

£ =E[U(Ct, Ot) + βU(Ct+1, Ot+1)− λt(Kt+1 − (1− δ)Kt−ZtF (Kt, 1−Ot) + Ct)− βλt+1((Kt+2 − (1− δ)Kt+1 − Zt+1F (Kt+1, 1−Ot+1)+

Ct+1) + ... | Ωt]

Las codiciones de primer orden respecto a Ct,Lt y Kt+1 estan dadas por

UC(Ct, Ot) = λt (17)

UO(Ct, Ot) = λtFL(Kt, 1−Ot) (18)

λt = E[1− δ − Zt+1FK(Kt+1, 1−Ot+1) | Ωt] (19)

Denamos ahora a Rt+1 = 1− δ−Zt+1FK(Kt+1, 1−Ot+1) y Wt = FL(Kt, 1−Ot), despues sabemos que la condición intratemporal de equilibrio esta dadapor

UO(Ct, Ot) =WtUC(Ct, Ot) (20)

y la condición de equilibrio intertemporal

UC(Ct, Ot) = E[βRt+1UC(Ct+1, Ot+1) | Ωt]

Sabemos que en estado estacionario tanto el ocio permanece constante, sinembargo el consumo y el salario crecen a una tasa igual al progreso tecnológicoA:

UL(CtAt, Ot)

UC(CtAt, Ot)=WAt

Luego utilizando la ecuación (20) tenemos

UL(CtAt, Ot)

UC(CtAt, Ot)= AtUL(Ct, Ot)

UC(Ct, Ot)

Es decir, la tasa marginal de sustitución crece a una tasa A. Supongamos quela tasa de crecimiento del progreso técnico At > 0 = 1/C luego podemosespesicar la ecuación anterior como

UL(Ct, Ot)

UC(Ct, Ot)= C

[UL(1, Ot)

UC(1, Ot)

]Es decir, a tasa marginal de sustitución aumenta debido a un aumento en Cveces el término entre conrchetes que es solo función de L. De lo anterior sededuce que la función de utilidad tiene es de la forma

U [Ctv(Ot)]

17

introduciendo la ecuación anterior en la condición de equilibrio intertemporale ignorando la incertidumbre tenemos

U ′(CtAtv(Ot))

U ′(CtAt+1v(Ot))= Rt+1β

Ahora, dicha condición se cumple solo si tiene elasticidad de sustitución con-stante

U [Ctv(Ot)] =σ

1− σ[Ctv(Ot)]

1−σ/σ

o en el caso de σ = 1

U [Ctv(Ot)] = logCt + v(O)

Donde v(O) = log(v(O)), ademas asumimos que v esdo veces diferenciable yconcava. Luego la condición de equilibrio intratemporal puede expresarce como

v′(Ot) =WtC−1t

y la condición intertemporal

1 = E

[βRt+1

Ct

Ct+1| Ωt

]Las condiciones anteriores nos muestran que ante un shock tanto en W y R elconsumo tiene un aumento en el consumo del primer periodo dado el incremen-to en los salarios , sin embargo el incremento en Rt fomenta que el consumoen el primer periodo decresca para incrementar el consumo futuro devido alas espectativas positivas de aumento en los tipos de interes E[Rt] > 0, sinembargo en terminos netos el saldo puede ser positivo. Algo similar sucedecon la oferta de trabajo a medida que incrementa el salario existen incentivospara incrementar la oferta laboral (efecto sustitución), sin embargo a medidaque incrementa el salario tambien lo hace el consumo y por ende el ocio (paradisfrutar de dicho salario) el cual es un efecto inverso (efecto riqueza) estodependera de la elasticidad de sustitución. Si el shock es permanente el efectoriqueza aumentara a una mayor proporción que el efecto sustitución lo cualderiva e desempleo.

Este resultado fue apreciado por Lucas y Rapping (1983)12 para encontrarlosupongamos que v(O) = φ logOt, dado que v′(Ot) = φ/Ot tenemos que

φCt =WtOt

Remplazando el la ecuación intertemporal tenemos lo siguiente

1 = E

[β

(Rt+1

Wt

Wt+1

)Ot

Ot+1| Ωt

](21)

12Lucas, Robert J. y Rapping, Leonard (1983)Real Wages, Employment and Ination Jour-nal of Political Economic 77, pp 721-754

18

Supongamos un shock trancitorio en Wt el cual no afecta Wt+1, esto implicaque el ratio Ot/Ot+1 decrece, dependeindo cual sea el factor que causa la caidaen el ratio podremos enunciar que el empleo es procíclico y si sigue al cíclo,si el shock es permanente el ratio Wt/Wt+1 pemanece constante y no haycomovimiento con el empleo (ignorando los efectos de R)

19

5. Solución de un Modelo General

El problema formal es el siguiente:

maxEt

∞∑t=1

U [logCt +A(1− L) | Ωt]

sujeto a:

Ct + St = ZtKαL1−α

Kt+1 = (1− δ)Kt + St

logZt+1 = ρ logZt + ξt+1 | ξt+1 ∼ IID(0, σ2)

La ecuación de Bellman asociada a este problema esta dada por:

V (Kt) = max U [logCt +A(1− L)] + βEt[Vt+1(Kt+1)]

sujeto a:Kt+1 = (1− δ)Kt + ZtK

αt L

1−αt − Ct

Las condiciones de primer orden (con dos variables de control) estan dadaspor:

1

Ct− βE[V ′(Kt+1)] = 0 (22)

−A+ βE[V ′(Kt+1)] · [(1− α)ZtKαt L

−αt ] = 0 (23)

V ′(Kt) = βE[V ′(Kt+1)] · [(1− δ) + (αZtKα−1t L1−α

t )] (24)

Kt+1 = (1− δ)Kt + ZtKαt L

1−αt − Ct (25)

De la ecuación (17) y (19) mediante el procedimiento usual obtenemos laecuación de Euler

1

Ct= βE

1

Ct+1

[(1− δ) + αZt+1K

α−1t+1 L

1−αt+1

](26)

De la ecuación (17) y (18) tenemos

Ct = (1− α)ZtKαt L

−αt A−1 (27)

lo anterior implica que la solución del problema implica resolver el siguientesistema de ecuaciones (condiciones de equilibrio)

Ct = (1− α)ZtKαt L

−αt A−1

C−1t = βE

C−1t+1

[(1− δ) + αZt+1K

α−1t+1 L

1−αt+1

]Kt+1 = (1− δ)Kt + ZtK

αt L

1−αt − Ct

Sabemos que en el estado estacionaio en la economía el stock tecnológico esconstante, ademas n existe incertidumbre. Normalicemos Zt = 1 y los valores

20

del consumo, capital y trabajo son constantes, es decir C = C, K = C y L = Lpara toda t. Aplicando lo anterior al estado estacionario nuestro sistema deequilibrio puede ser expresado como sigue:

C = [(1− α)A−1]KαL−α

β−1 − 1 + δ = αKα−1L1−α = α

[Y

K

]δK = KαL1−α − C = Y − C

Donde Y denota la producción de estado estacionario.

5.1. Linealización del Sistema

La solución del sistema del planicador es característica de la Policy Func-tion para el capital, consumo y trabajo, más aun la solución existe y es únicaPrescott(1986)13. Tomemos una aproximación mediante una serie de Taylor deprimer orden. Sabemos que la elección óptima entre trabajo y ocio satisface lasiguiente condición intertemporal

Ct = (1− α)ZtKαt L

−αt A−1

Expresaremos ahora la ecuación anterior como una aproximación lineal alrede-dor del estado estacionario

(Ct − C) =α[(1− α)A−1]Kα−1L−α(Kt − K)− α[(1− α)A−1]KαL−α−1

· (Lt − L) + [(1− α)A−1]KαL−α(Zt − Z)

=α[(1− α)A−1]KαL−α

[Kt − K

K

]− α[(1− α)A−1]KαL−α[

Lt − L

L

]+ α[(1− α)A−1]KαL−α

[Zt − Z

Z

]donde las variables son expresadas como variaciones porcentuales alrededordel estado estacionario. Sabemos que en el estado estacionario Z = 1. si expre-samos el consumo de estado estacionario como C = α[(1−α)A−1]Kα−1L−α ydividimos la ecuación anterior por ambos lados tenemos:[

Ct − C

C

]= α

[Kt − K

K

]− α

[Lt − L

L

]+

[Zt − Z

Z

]ct = αkt − αlt + zt (28)

donde x denota la variación porcentual de la variable respecto al estado esta-cionario, recordaremos que la eciación de Euler esta dada porcentual

C−1t = βE

C−1t+1

[(1− δ) + αZt+1K

α−1t+1 L

1−αt+1

]13Opus Cit

21

Realizando el mismo procedimiento y aplicando el valor esperado tenemos

−C−1ct =− βC−1[αKα−1L1−α + 1− δ

]Et(ct+1) + βC−1·

α(α− 1)Kα−1L1−αEt(kt+1) + βC−1α(1− α)Kα−1L1−α·Et(lt+1) + βC−1αKα−1L1−αEt(zt+1)

ahora multiplicando ambos lados de la ecuación por C y aplicando la condiciónde etado estacionario β−1 − 1 + δ = αKα−1H1−α tenemos

−ct =−Et(ct+1) + β(1− α)αKα−1L1−αEt(kt+1)

β(1− α)αKα−1L1−αEt(lt+1)

βαKα−1L1−αEt(zt+1)

aplicando el prodedimiento usual a la restricción de recursos obtenemos

kt+1 =[αKα−1L1−α + 1− δ]kt + (1− α)Kα−1L1−α lt+

Kα−1L1−αzt − CK−1ct

en el caso del shock tecnológico su linealización esta dada por

zt+1 = ρzt + εt+1 εt+1 ∼ IID(0, σ2)

aplicando el valor esperado tenemos que

Et(zt+1) = ρzt

5.2. Solución matricial

El modelo anterior será solucionado de manera matricial debido a que puedeser expresado como:

xtA = BEt(xt+1) (29)

tal que

xt =

ctktltzt

Las matrices A,B estan dadas por

A =

1 −α α −1−1 0 0 0

−C/K αKα−1L1−α + 1− δ (1− α)Kα−1L1−α Kα−1L1−α

0 0 0 ρ

22

B =

0 0 0 0−1 β(α− 1)αKα−1L1−α β(1− α)αKα−1L1−α βαKα−1L1−α

0 1 0 00 0 0 1

La solución de (24) puede ser expresada como

xt = A−1BEt(xt+1) (30)

La matriz A−1B puede ser expresada por descomposición espectral comoCΛC−1, la ecuación (25) puede se expresada como

C−1xt = C−1ΛEtxt+1 (31)

la matriz C−1 contiene un conjunto de eigenvectores asociados a la matrizA−1B la cual da la solución de del sistema de ecuaciones en diferencias es-tacásticas, por otra parte la matriz Λ es una matriz diagonal formada porlos eigenvalores de la matriz A−1B los cuales nos brindan las condiciones deestabilidad del sistema derivado de C−1 y xt.

23

6. Concluciones del Modelo RBC

Comparando las predicciones del modelo con la evidencia empírica nosmuestran que realmente variables como el consumo, la inversión, las horas detrabajo son altamente procíclicas por otra parte la productividad del trabajotiene en su mayoria una correlación positiva con el output pero no tan marcada,se ha observado que la volatilidad de la inversión es muy similar con la de losdatos14.En un sentido amplio, los resultados del modelo sugieren ciertamenteque las uctuaciones pueden explicarse a través de shocks a la productividad.sin embargo existen ciertos margenes que se le escapan al modelo por ejemplola extrema simplicación del mercado de trabajo. Por otra parte el modelo re-quiere de una alta elaticidad de la oferta de trabajo donde se ha estimado queen su mayoría oscila entre 0.1 y 3. Summers15 critica fuertemente la falta deevidencia microeconómica que justique una elasticidad intertemporal unitariaen el consumo de ocio. Al respecto de los factores de sustitución intertemporalMankiw16 penaliza fuertemente estos suuestos, mientras la economia tradi-cional17un ncremento en el gasto gubernamental se traduce en un incrementotanto en el nivel de empleo como de output para los modelos de RBC ésto noes tan claro ademas de materializarse en incrementos en el tipo de interes ycaidas en el consumo de ocio, para Mankiw18

While economists can easily convince laymen and students thatthe quantity of apples demanded depends on the price of apples, itis much harder to convince them that labor supply depends on thereal interest rate.

Con esta conjetura Mankiw establece que una elasticidad intertemporal delconsumo de ocio tan baja anula la teoría del RBC. Falta por mencionar siestos supuestos shocks de productividad son realmente eso o solo reconversionesde productividad, es decir que el aparente shock no sea solo un cambio enla subutilización de recursos. En la actualidad el modelo de RBC introducesupuestos no walrasianos dentro del modelo ademas de rigideses nominales enprecios y salario o externalidades, podriamos decir que el principal retos de lateoría del ciclo económico real versa más en su modelación que el causante delas uctuaciones a corto plazo.

♣

14Datos obtenidos para EEUU de 1980 al 200715Summers L. (1986)Some Skeptical Observation On Real Business Cycle Theory Federal

Reserve Bank of Monneapolis . Quarterly Review pp.23-2716Mankiw, N. Gregory (1989), Real Business Cycles: a New Keynesian,Perspective pp.79-

90.17Fundamentada en el modelo IS-LM18Opus Cit pp. 86

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