EL ANÁLISIS MATEMÁTICO DE LA LÓGICA

Por

GEORGE BOOLE

Traducción de

EMILIO MÉNDEZ PINTO

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Edición digital para la Biblioteca Digital del ILCE

Título original: The Mathematical Analysis of Logic

© De la traducción: Emilio Méndez Pinto

Primera edición: Cambridge, 1847

D. R. © Cambridge, 1847

Prohibida su reproducción por cualquier medio mecánico o

eléctrico sin la autorización por escrito de los coeditores.

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PREFACIO

Al presentar esta obra al público, no considero irrelevante hacer observar que

algunas especulaciones similares a las registradas aquí han ocupado mis pensamientos

en distintos periodos. En la primavera de este año mi atención se dirigió a la cuestión

entonces colocada entre el señor Hamilton y el profesor De Morgan, y el interés que

inspiraba me indujo a reanudar el hilo casi olvidado de las investigaciones anteriores.

Me parecía que, aunque la lógica puede ser vista con referencia a la idea de cantidad,

también tenía otro sistema de relaciones más profundo. Si era válido considerarla desde

el exterior, como conectándola con las intuiciones del espacio y del tiempo por medio

del número, también era válido considerarla desde el interior, como basada sobre

hechos de otro orden que tienen su morada en la constitución de la mente. Los

resultados de esta perspectiva, y de las indagaciones que sugería, están encarnadas en el

siguiente tratado.

A un autor no suele permitírsele prescribir el modo con el que debe juzgarse su

obra, pero hay dos condiciones que me aventuro a requerir de aquellos que se acometan

a estimar los méritos de esta realización. La primera es que no debe permitirse ninguna

noción preconcebida sobre la imposibilidad de sus objetos que interfiera con la

franqueza y la imparcialidad que demanda la investigación de la verdad; la segunda es

que el juicio del sistema como un todo no debe fundarse ni sobre el examen de sólo una

parte de él ni sobre la medida de su conformidad con cualquier otro sistema recibido

considerado como estándar de referencia y del que se niega la apelación. Es en los

teoremas generales que ocupan los últimos capítulos de este trabajo - resultados que no

tienen contraparte - que están más plenamente establecidas las reivindicaciones del

método como un cálculo del razonamiento deductivo.

Lo que pueda ser la apreciación final del valor del sistema, no tengo ni el deseo

ni el derecho de anticipar. La estimación de una teoría no está simplemente determinada

por su verdad. También depende de la importancia de su objeto y de la extensión de sus

aplicaciones, más allá de lo cual debe dejarse algo a la arbitrariedad de la opinión

humana. Si la utilidad de la aplicación de las formas matemáticas a la ciencia de la

lógica fuese únicamente una cuestión de notación, me contentaría con hacer reposar la

defensa de este intento sobre un principio establecido por un hábil escritor vivo:

“Siempre que la naturaleza del tema permita que el proceso de razonamiento no corra el

riesgo de llevarse a cabo mecánicamente, el lenguaje debe ser construido sobre

4

principios mecánicos tanto como sea posible, mientras que en el caso contrario debe ser

construido de tal forma que haya el mayor obstáculo posible a un mero uso mecánico de

él.”1 En un aspecto, la ciencia de la lógica difiere de todas las demás: la perfección de

su método es principalmente valioso como una evidencia de la verdad especulativa de

sus principios. Sustituir el empleo de la razón común, o someterla al rigor de formas

técnicas, sería el último deseo de alguien que conoce el valor de tal labor y guerra

intelectual, que imparte a la mente un vigor atlético y que le enseña a lidiar con

dificultades y a confiar en ella en las emergencias.

1 Mill. System of Logic, Ratiocinative and Inductive, Vol. II, p. 292.

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INTRODUCCIÓN

Aquellos que están familiarizados con el estado actual de la teoría del álgebra simbólica

son conscientes de que la validez de los procesos de análisis no depende de la

interpretación de los símbolos empleados, sino únicamente de las leyes de su

combinación. Todo sistema de interpretación que no afecte la verdad de las relaciones

supuestas es igualmente admisible, y es así que el mismo proceso puede representar,

bajo un esquema de interpretación, la solución de una cuestión sobre las propiedades de

los números, bajo otra, la de un problema geométrico, y bajo una tercera, la de un

problema de dinámica o de óptica. Este principio es, en realidad, de una importancia

fundamental, y puede afirmarse con seguridad que los recientes avances del análisis

puro se han visto muy asistidos por la influencia que aquél ha ejercido en la dirección de

la investigación.

Pero un reconocimiento pleno de las consecuencias de esta importante doctrina

se ha visto, en cierta medida, retrasado por circunstancias accidentales. Ha sucedido, en

toda forma conocida de análisis, que los elementos a ser determinados han sido

concebidos como mensurables por comparación con algún estándar fijo. La idea

predominante ha sido la de la magnitud, o más estrictamente, la de la relación numérica.

La expresión de magnitud, o de operaciones sobre la magnitud, ha sido el objeto

expreso para el cual se han inventado los símbolos del análisis y para el cual se han

investigado sus leyes. Así, las abstracciones del análisis moderno, no menos que los

ostensivos diagramas de la geometría antigua, han alentado la noción de que las

matemáticas son esencialmente, así como realmente, la ciencia de la magnitud.

La consideración de tal perspectiva, que ya ha sido establecida como encarnando

el verdadero principio del álgebra de los símbolos, nos llevaría, sin embargo, a inferir

que esta conclusión no es de ninguna manera necesaria. Si toda interpretación existente

muestra involucrar la idea de magnitud, es solamente por inducción que podemos

afirmar que ninguna otra interpretación es posible. Y podría ponerse en duda si nuestra

experiencia es suficiente para considerar legítima tal inducción. La historia del análisis

puro es, podría decirse, demasiado reciente como para permitirnos establecer límites

sobre la extensión de sus aplicaciones. Si concedemos a la inferencia un alto grado de

probabilidad aún podríamos, y con razón, sostener la suficiencia de la definición a la

cual nos llevaría el principio recién establecido. Igualmente podríamos asignarle el

carácter de un cálculo verdadero, que es un método que descansa sobre el empleo de

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símbolos cuyas leyes de combinación son conocidas y generales, y cuyos resultados

admiten una interpretación consistente. Que a las formas existentes del análisis se les

asigne una interpretación cuantitativa es el resultado de las circunstancias por las cuales

tales formas fueron determinadas, y esto no debe traducirse en una condición universal

del análisis. Es sobre el fundamento de este principio general que me propongo

establecer el cálculo de la lógica y que clamo por él un lugar entre las formas

reconocidas del análisis matemático, sin importar que en su objeto y en sus

instrumentos deba estar, en el estado actual de las cosas, solo.

Lo que hace posible a la lógica es la existencia, en nuestras mentes, de nociones

generales; nuestra capacidad para concebir una clase y para designar a sus miembros

individuales con un nombre común. La teoría de la lógica está, de esta forma,

íntimamente ligada con la del lenguaje. Un intento exitoso por expresar proposiciones

lógicas con símbolos, cuyas leyes de combinación deben fundarse sobre las leyes de los

procesos mentales que representan, sería, hasta aquí, un paso hacia un lenguaje

filosófico. Pero esta es una visión que no necesitamos seguir a detalle. Asumiendo la

noción de una clase, somos capaces, desde cualquier colección de objetos concebible,

de separar, a partir de un acto mental, aquellos [objetos] que pertenecen a la clase dada

y de contemplarlos aparte del resto. Podemos concebir que se repita tal acto de elección,

o uno similar, y el grupo de individuos tomado a consideración puede ser limitado

todavía más al elegir, mentalmente, a aquellos entre ellos que pertenecen a alguna otra

clase reconocida, así como también a la [clase] antes contemplada. Y este proceso

puede repetirse con otros elementos de distinción hasta que lleguemos a un individuo

poseyendo todos los caracteres distintivos que hemos tomado en cuenta, y a un

miembro, al mismo tiempo, de cada clase que hemos enumerado.2 En realidad, es un

método similar a éste el que empleamos siempre que, en el lenguaje común,

acumulamos epítetos descriptivos en la búsqueda de definiciones más precisas.

Ahora, las distintas operaciones mentales que, para el caso de arriba, hemos

supuesto que se realizan, están sujetas a leyes peculiares. Es posible asignar relaciones

2 Esta perspectiva está muy bien expuesta en una de las cartas de Blanco White: “La lógica es, en su mayor parte, una colección de reglas técnicas fundadas sobre la clasificación. El silogismo no es otra cosa que un resultado de la clasificación de las cosas, que la mente forma natural y necesariamente, al formar un lenguaje. Todos los términos abstractos son clasificaciones, o mejor dicho, las etiquetas de las clases que ha establecido la mente.” Memoirs of the Rev. Joseph Blanco White, vol. II., p. 163. También véase, para una introducción muy lúcida, la obra del Dr. Lathem First Outlines of Logic applied to Language, la obra German Grammar de Becker, etc. Los nominalistas más extremos hacen depender a la lógica enteramente del lenguaje. Para una perspectiva contraria, véase la obra de Cudworth Eternal and Immutable Morality, libro IV, cap. III.

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entre ellas, ya sea con respecto a la repetición de una operación dada o a la sucesión de

operaciones distintas, o a algún otro particular, que nunca son violadas. Es verdad, por

ejemplo, que el resultado de dos actos sucesivos no se ve afectado por el orden en el que

se realizan, y hay por lo menos otras dos leyes que consideraremos en el momento

apropiado. Estas últimas leyes quizá parezcan tan obvias como para ser clasificadas

entre las verdades necesarias y tan poco importantes como para no recibir una atención

especial. Y probablemente sean observadas por primera vez en este ensayo. Con todo,

puede afirmarse con seguridad que, si fuesen distintas a lo que son, todo el mecanismo

del razonamiento, y más aún, las mismas leyes y constitución del intelecto humano,

serían vitalmente cambiados. Podría existir, en efecto, una lógica, pero ya no sería la

lógica que poseemos.

Tales son las leyes elementales sobre cuya existencia, y sobre cuya capacidad de

una expresión simbólica exacta, está fundado el método de este ensayo, y se presume

que el objeto que busca alcanzar así lo habrá sido completamente. Toda proposición

lógica, ya sea categórica o hipotética, será capaz de ser expresada exacta y

rigurosamente, y no sólo desde allí serán deducibles las leyes de la conversión y del

silogismo, sino que también lo serán la resolución de los sistemas de proposiciones más

complejos, la separación de cualquier elemento propuesto, y la expresión de su valor en

términos de los elementos restantes, con toda relación subsidiaria involucrada. Todo

proceso representará deducción y toda consecuencia matemática expresará una

inferencia lógica. La generalidad del método incluso nos permitirá expresar

arbitrariamente operaciones del intelecto, y llevarnos así a la demostración de teoremas

generales en la lógica análogos, en ningún grado ligero, a los teoremas generales de las

matemáticas ordinarias. Ninguna parte insignificante del placer que derivamos de la

aplicación del análisis a la interpretación de la naturaleza externa surge de las

concepciones que nos permite formar sobre la universalidad del dominio de la ley. Las

fórmulas generales a las que nos vemos conducidos parecen dar a tal elemento una

presencia visible, y la multitud de casos particulares a los que se aplican demuestra la

extensión de su influencia. Incluso la simetría de su expresión analítica puede ser, en

ningún sentido fantasioso, indicativo de su armonía y de su consistencia.

Ahora bien, no pretendo decir hasta qué extensión están abiertas las mismas

fuentes de placer en este ensayo. La medida de tal extensión puede dejarse a la estima

de aquellos que piensen que el tema es digno de su estudio. Pero sí puedo aventurarme a

afirmar que tales ocasiones de gratificación intelectual no están ausentes aquí. Las leyes

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que tenemos que examinar son las leyes de una de las más importantes de nuestras

facultades mentales. Las matemáticas que tenemos que construir son las matemáticas

del intelecto humano. Ni la forma ni el carácter del método, más allá de su

interpretación, son indignos de ser notados. Incluso hay una ejemplificación notable, en

sus teoremas generales, de tal especie de excelencia, que consiste en la libertad de

excepción. Y esto se observa en donde, en los correspondientes casos de las

matemáticas heredadas, tal carácter no es de ninguna manera aparente. Aquellos pocos

que piensan que hay algo en el análisis que lo hace meritorio de atención por sí mismo,

podrán encontrar que vale la pena estudiarlo bajo una forma en la que toda ecuación

puede resolverse y toda solución puede interpretarse. Tampoco aminorará el interés de

este estudio el reflexionar que toda peculiaridad que notarán en la forma del cálculo

representa una característica correspondiente en la constitución de sus propias mentes.

Sería prematuro hablar del valor que este método puede poseer como

instrumento de investigación científica. Aquí hablo con referencia a la teoría del

razonamiento y al principio de una verdadera clasificación de las formas y de los casos

de la lógica considerada como una ciencia.3 El objetivo de estas investigaciones estuvo,

en un primer momento, confinado a la expresión de la lógica heredada y a las formas

del arreglo aristotélico, pero pronto se hizo evidente que de esta manera se introducían

ciertas restricciones puramente arbitrarias y que no tenían fundamento en la naturaleza

de las cosas. Éstas fueron notadas a medida que ocurrían, y serán discutidas en el lugar

apropiado. Cuando se volvió necesario considerar el tema de las proposiciones

hipotéticas (en donde, comparativamente, se ha hecho poco), y todavía más, cuando se

requería una interpretación para los teoremas generales del cálculo, encontré imperativo

descartar todo lo que se refiere a lo precedente y a la autoridad, e interrogar al método

por sí mismo en búsqueda de una expresión de los justos límites de su aplicación. Con

todo, no hubo un esfuerzo especial por llegar a resultados novedosos. Pero entre éstos,

que en el momento de su descubrimiento parecían ser tales, puede ser apropiado

observar lo siguiente.

Una proposición lógica es, de acuerdo con el método de este ensayo, expresable

por una ecuación cuya forma determina las reglas de conversión y de transformación, a

las cuales está sujeta la proposición dada. Así, la ley de lo que los lógicos llaman

3 “Estrictamente una ciencia”; también “un arte”. Elements of Logic de Whately. En realidad no debemos considerar todo arte como ciencia aplicada, a menos que estemos dispuestos a considerar, junto con “la multitud”, al arte como “adivinar y proponer bien”. Platón, Filebo.

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conversión simple está determinada por el hecho de que las ecuaciones correspondientes

son simétricas, que no se ven afectadas por un cambio de lugar mutuo en aquellos

símbolos que corresponden a las clases convertibles. Así fueron determinadas las leyes

de conversión heredadas, y después otro sistema que está pensado para ser más

elemental y más general. Véase el capítulo Sobre la conversión de proposiciones.

Siendo expresadas por ecuaciones las premisas de un silogismo, la eliminación

de un símbolo común entre aquellas conduce a una tercera ecuación que expresa la

conclusión, siendo ésta siempre lo más general posible, sin importar si es aristotélica o

no. Entre los casos en los que no fue posible ninguna inferencia, encontré que había dos

formas distintas de la ecuación final. Pasó un tiempo considerable antes de que

descubriera la explicación de este hecho, pero fue ampliamente visto que depende de la

presencia o ausencia de un verdadero medio de comparación entre las premisas. La

distinción, que se piensa como nueva, está ilustrada en el capítulo Sobre los silogismos.

El carácter no exclusivo de la conclusión disyuntiva de un silogismo hipotético

está claramente señalado en los ejemplos de este tipo de argumento.

La clase de los problemas lógicos ilustrados en el capítulo Sobre la solución de

ecuaciones electivas se concibe como nueva, y se cree que el método de tal capítulo

proporciona los medios para un perfecto análisis de cualquier sistema de proposiciones

concebible, un fin hacia el que las reglas para la conversión de una única proposición

categórica son sólo el primer paso.

Sin embargo, sobre la originalidad de estos puntos de vista o de cualesquiera

otros soy consciente de que poseo un conocimiento muy ligero de la literatura de la

ciencia lógica, y especialmente de la literatura antigua, como para poder hablar con

seguridad.

Puede que no sea inapropiado, antes de concluir estas observaciones, ofrecer

unas cuantas reflexiones sobre la cuestión general del uso del lenguaje simbólico en las

matemáticas. Últimamente se han lanzado fuertes objeciones contra esta práctica sobre

la base de que, al obviar la necesidad de pensamiento, y al sustituir una referencia a las

fórmulas generales en el lugar del esfuerzo personal, tiende a debilitar las facultades de

razonamiento.

Ahora bien, la cuestión del uso de los símbolos puede ser considerada desde dos

puntos de vista. Primero, puede ser considerada con referencia al progreso del

descubrimiento científico, y segundo, con referencia a su incidencia sobre la disciplina

del intelecto.

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Con respecto al primer punto de vista puede observarse que, así como es el fruto

de un trabajo realizado que nos pone en libertad de participar en afanes más peligrosos,

también es el resultado necesario de un avanzado estado de la ciencia que nos permite, e

incluso nos llama, a pasar a problemas más elevados que aquellos que contemplamos

antes. La inferencia práctica es obvia. Si a través de la potencia de avance de los

métodos científicos descubrimos que las búsquedas con las que alguna vez estuvimos

comprometidos ya no proporcionan un campo lo suficientemente amplio para el

esfuerzo intelectual, el remedio es proceder a investigaciones más elevadas y, en nuevas

trayectorias, buscar dificultades hasta entonces incontroladas. Y tal es, en efecto, la

verdadera ley del progreso científico. Debemos contentarnos, o bien con abandonar la

esperanza de conquistas futuras, o bien con emplear los auxilios del lenguaje simbólico,

como son propios al estado del progreso, al cual hemos llegado. Pero no debemos temer

el tener que comprometernos con tal curso. Aún no hemos llegado tan cerca de los

límites del conocimiento posible como para sugerir la aprehensión de que tal alcance

acabará por fallarle al ejercicio de las facultades inventivas.

Al discutir la segunda, y apenas menos trascendental, cuestión de la influencia

del uso de símbolos en la disciplina del intelecto, debe hacerse una distinción

importante. Es una consecuencia principalmente material si tales símbolos son

utilizados con un pleno entendimiento de su significado, con una plena comprensión de

aquello que hace lícito su uso, y con una habilidad para expandir las abreviadas formas

de razonamiento que inducen, en su desarrollo completamente silogístico, o si son

meros caracteres nada sugestivos cuyo uso descansa sobre la autoridad.

La respuesta que debe ofrecerse a la cuestión propuesta diferirá dependiendo de

si se admite una u otra de estas suposiciones. En el primer caso se proporciona una

disciplina intelectual de un orden mayor, un ejercicio no sólo de la razón, sino también

de la facultad de generalización. En el segundo caso no hay ninguna disciplina mental.

Quizá fue la mejor defensa en contra del peligro de una confianza irracional en los

símbolos, por un lado, y un abandono de sus justas reclamaciones, por el otro, el que

cada tema de las matemáticas aplicadas haya sido tratado bajo el espíritu de los métodos

conocidos en el tiempo en el que fue hecha la aplicación, aunque en la mejor forma que

tales métodos han asumido. El orden de los logros en la mente individual guardaría, de

esta forma, alguna relación con el orden real del descubrimiento científico, y los

métodos más abstractos del análisis superior únicamente serían ofrecidos a tales mentes,

preparadas para recibirlos.

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La relación en la que este ensayo se encuentra con la lógica y con las

matemáticas a la vez puede, además, justificar alguna atención a la cuestión

últimamente revivida del valor relativo de los dos estudios en una educación liberal.

Una de las principales objeciones que se han lanzado en contra del estudio de las

matemáticas en general no es sino otra forma de lo que ya hemos considerado con

respecto al uso de los símbolos en particular. Y no tenemos más que decir que, si [esta

objeción] vale algo, entonces se aplica con igual fuerza en contra del estudio de la

lógica. Las formas canónicas del silogismo aristotélico son realmente simbólicas;

únicamente sucede que los símbolos son menos perfectos de su especie que aquellos de

las matemáticas. Si son empleados para probar la validez de un argumento, ciertamente

sustituyen al ejercicio de la razón tanto como lo hace una referencia a una fórmula del

análisis. Si hoy en día los hombres hacen uso de los cánones aristotélicos, excepto como

una ilustración especial de las reglas de la lógica, puede ser puesto en duda, pero no

puede cuestionarse que, cuando la autoridad de Aristóteles fue dominante en las

escuelas de Europa, tales aplicaciones eran habituales. Y nuestro argumento solamente

requiere la admisión de que el caso es posible.

Pero la cuestión que tenemos ante nosotros se ha discutido en niveles más

elevados. Considerando a la lógica como una rama de la filosofía, y definiendo filosofía

como “la ciencia de una existencia real” y como “la búsqueda de causas”, y asignándole

como principal empresa la investigación del “porqué”, mientras que las matemáticas

muestran sólo el “que”, el señor W. Hamilton ha afirmado no sólo que la superioridad

descansa en el estudio de la lógica, sino que el estudio de las matemáticas es peligroso e

inútil a la vez.4 Las búsquedas del matemático “no sólo no lo han entrenado con ese

olfato agudo, con ese delicado, casi instintivo, tacto que, en el crepúsculo de la

probabilidad, demandan la búsqueda y la discriminación de sus hechos más finos; han

llegado a nublar su visión, a endurecer su tacto a todo excepto a la resplandeciente luz,

la cadena de hierro de la demostración, y lo han dejado fuera de los estrechos límites de

su ciencia, a una credulidad pasiva en cualesquiera premisas o a una absoluta

incredulidad en todas.” En apoyo de estos y de otros cargos, se aducen tanto

argumentos como autoridades copiosas.5 No pretendo una discusión completa de las

4 Edinburgh Review, vol. LXII, p. 409 y Letter to A. De Morgan, Esq. 5 Los argumentos son, por lo general, mejores que las autoridades. Muchos autores citados en la condena a las matemáticas (Aristón, Séneca, Jerome, Agustín, Cornelius Agrippa, etc.). han aportado testimonios no menos explícitos en contra de otras ciencias, entre ellas la lógica. El tratado del último autor nombrado, De Vanitate Scientiarum, seguramente fue referido por error - Vide cap. CII.

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cuestiones sugeridas por estos comentarios. Mi objeto no es la controversia, y las

observaciones que siguen no están ofrecidas bajo el espíritu del antagonismo, sino con

la esperanza de contribuir a la formación de perspectivas justas sobre un tema

importante. Del Sr. Hamilton no puede hablarse sino con aquel respeto debido al genio

y al saber.

La filosofía, entonces, es descrita como la ciencia de una existencia real y como

la búsqueda de causas. Y para que no quede duda del significado de la palabra causa,

además se dice que la filosofía “investiga principalmente el porqué”. Estas definiciones

son comunes entre los autores antiguos. Así, Séneca, una de las autoridades del Sr.

Hamilton, dice (Epístola LXXXVIII) que “El filósofo busca y conoce las causas de las

cosas naturales, sobre las cuales el matemático investiga y computa los números y sus

medidas.” Puede observarse, de paso, que en cualquier grado que haya prevalecido la

creencia de que la empresa de la filosofía es inmediatamente con las causas, en el

mismo grado ha sido ligeramente apreciada toda ciencia cuyo objeto sea la

investigación de leyes. Así, la Epístola recién referida dedica, en contraste con la

filosofía, una condena separada sobre la música y la gramática, sobre las matemáticas y

la astronomía, aunque haya sido sólo la condena a las matemáticas la que ha citado el

Sr. W. Hamilton.

Ahora podríamos tomar nuestra posición sobre la convicción de muchas mentes

pensantes y reflexivas de que, en la medida del significado establecido arriba, la

filosofía es imposible. La empresa de la verdadera ciencia, concluyen, tiene que ver con

leyes y fenómenos. La naturaleza del Ser, el modo de operación de la Causa, el porqué,

sostienen, está más allá del alcance de nuestra inteligencia. Pero no requerimos el

terreno ventajoso de esta postura, ni tampoco se duda que, sea o no alcanzable el

propósito de la filosofía, el deseo que nos impulsa a tal intento es un instinto de nuestra

naturaleza más elevada. Establezcamos que el problema que ha frustrado los esfuerzos

de siglos enteros no es desesperanzador, que “la ciencia de una existencia real” y de “la

búsqueda de causas”, “aquel meollo” por el cual “la filosofía sigue militando” no

trasciende los límites del intelecto humano. Es así que me veo obligado a afirmar que,

de acuerdo con esta perspectiva sobre la naturaleza de la filosofía, la lógica no forma

parte de ella. Sobre el principio de una verdadera clasificación, ya no debemos asociar

la lógica y la metafísica, sino la lógica y las matemáticas.

Si, después de todo lo dicho, alguien mantiene una duda sobre este punto, debo

referirlo a la evidencia proporcionada en el siguiente ensayo. Ahí verá que la lógica, al

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igual que la geometría, descansa sobre verdades axiomáticas, y verá sus teoremas

construidos sobre la doctrina general de los símbolos, que constituye el fundamento del

análisis reconocido. En la lógica de Aristóteles será conducido a ver una colección de

las fórmulas de la ciencia expresadas por otro esquema de símbolos (se piensa) menos

perfecto. Me siento obligado a impugnar la exactitud absoluta de este paralelismo. No

escapa a la conclusión a la que se apunta afirmar que la lógica no únicamente construye

una ciencia, sino que también indaga en el origen y en la naturaleza de sus propios

principios, una distinción negada a las matemáticas. “Está totalmente más allá del

dominio de las matemáticas,”, se dice, “indagar en el origen y en la naturaleza de sus

principios.” (Review, p. 415). Pero, ¿sobre qué base puede sostenerse tal distinción?

¿Qué definición del término “ciencia” será lo suficientemente arbitraria como para

permitir tales diferencias?

La aplicación de esta conclusión a la cuestión que tenemos ante nosotros es clara

y decisiva. La disciplina mental que proporciona el estudio de la lógica como una

ciencia exacta es, en especie, la misma que proporciona el estudio del análisis.

¿Se sostiene, entonces, que la lógica o las matemáticas pueden suministrar una

disciplina perfecta al intelecto? El examen más cuidadoso y sin prejuicios de esta

cuestión me lleva a dudar de si tal posición puede sostenerse. Las reivindicaciones

exclusivas de cualquiera de las dos deben ser, creo, abandonadas, pero tampoco pueden

[otras disciplinas], participando en un carácter exclusivo similar, ser admitidas en su

lugar. Constituye una observación importante, que ha sido hecha más de una vez, que

una cosa es llegar a premisas correctas y otra deducir conclusiones lógicas, y que la

empresa de la vida depende más de la primera que de la segunda. El estudio de las

ciencias exactas puede enseñarnos aquella y puede darnos alguna preparación general

del conocimiento y de la práctica para alcanzar ésta, pero es la unión del pensamiento

con la acción, en el campo de la lógica práctica, en la arena de la vida humana, la que

debemos buscar para su más completo y perfecto logro.

Me gustaría expresar mi convicción de que, con el avance de nuestro verdadero

conocimiento de toda ciencia verdadera, encontraremos una armonía cada vez mayor

entre sus diversas ramas. La visión que conduce al rechazo de una debe, si es

consistente, llevar al rechazo de otras. Y en realidad muchas de las ya citadas

autoridades que claman contra el estudio de las matemáticas son incluso más explícitas

en su condena a la lógica. “Las ciencias naturales”, dice Chian Aristo, “están por

encima de nosotros, y la ciencia lógica no nos concierne.” Cuando conclusiones así

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están fundadas sobre una convicción profunda del valor e importancia preeminentes del

estudio de la moral (como suelen estarlo), admitimos las premisas pero objetamos la

inferencia. Porque ha sido bien dicho por un antiguo autor que “es característico de las

ciencias liberales, no que nos conduzcan a la virtud, sino que nos preparen para la

virtud”, y el sentimiento de Melancthon “abeunt studia in mores” ha pasado a ser un

proverbio. Más aún, existe un terreno común sobre el cual pueden encontrarse todos los

devotos sinceros de la verdad, intercambiando entre ellos el lenguaje de la apelación de

Flamsteed a Newton: “Los trabajos de la Eterna Providencia serán mejor comprendidos

a través de sus trabajos y de los míos.”

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PRIMEROS PRINCIPIOS

Empleemos el símbolo 1, o la unidad, para representar al Universo, y

entendámoslo como comprendiendo toda clase de objetos concebible, ya sean existentes

o no, con la premisa de que el mismo individuo puede encontrarse en más de una clase

en la medida en que pueda poseer más de una cualidad en común con otros individuos.

Empleemos las letras X, Y, Z para representar los miembros individuales de las clases, X

aplicando a cada miembro de una clase, como miembros de tal clase particular, y Y a

cada miembro de otra clase como miembros de tal clase, y así sucesivamente de acuerdo

con el lenguaje heredado de los tratados de lógica.

Además de esto, concibamos una clase de símbolos x, y, z poseyendo el

siguiente carácter. El símbolo x, operando sobre cualquier sujeto comprendiendo

individuos o clases, debe suponerse que elige, de tal sujeto, todas las Xs que contiene.

Del mismo modo, el símbolo y, operando sobre cualquier sujeto, debe estar supuesto a

elegir, de él, todos los individuos de la clase Y que están comprendidos en él, y así

sucesivamente.

Cuando ningún sujeto está expresado, debemos suponer a 1 (el Universo) como

el sujeto entendido, así que tendremos

xx = (1),

siendo el sentido de cada término la selección, desde el Universo, de todas las Xs que

contiene, y siendo el resultado de la operación, en lenguaje común, la clase X, i. e., la

clase de la cual cada miembro es una X.

De estas premisas se sigue que el producto xy representará, en sucesión, la

selección de la clase Y y la selección, desde la clase Y, de los individuos de la clase X

contenidos en ella, siendo el resultado la clase cuyos miembros son tanto Xs como Ys. Y

de manera análoga el producto xyz representará una operación compuesta de la cual los

elementos sucesivos son la selección de la clase Z, la selección, desde ella, de los

individuos de la clase Y contenidos en ella, y la selección, del resultado así obtenido, de

todos los individuos de la clase X que contiene, siendo el resultado final la clase común

a X, Y, y Z.

Dada la naturaleza de la operación que los símbolos x, y, z están concebidos para

representar, los designaremos como símbolos electivos. A una expresión en la que estén

involucrados la llamaremos función electiva, y una ecuación cuyos miembros sean

funciones electivas será llamada ecuación electiva.

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No será necesario que entremos en el análisis de la operación mental que hemos

representado por el símbolo electivo. No es un acto de abstracción desde la aceptación

común de tal término porque nunca perdemos vista de lo concreto, sino que

probablemente se refiere a un ejercicio de las facultades de comparación y atención.

Nuestra preocupación actual más bien tiene que ver con las leyes de combinación y de

sucesión, por las cuales están gobernados sus resultados, y sobre éstas será suficiente

decir lo siguiente.

1) El resultado de un acto de elección es independiente del agrupamiento o de la

clasificación del sujeto.

Así, es indiferente si desde un grupo de objetos considerados como un todo

seleccionamos la clase X o dividimos al grupo en dos partes, seleccionamos las Xs de

ellas de forma separada, y después conectamos los resultados en una concepción

agregada.

Podemos expresar matemáticamente esta ley con la ecuación

,)( xvxuvux +=+

vu + representando al sujeto indiviso y u y v a sus partes componentes.

2) Es indiferente en qué orden se realizan dos actos sucesivos de elección.

Ya sea que desde la clase de animales seleccionemos las ovejas, y desde las

ovejas aquellas que tienen cuernos, o que desde la clase de animales seleccionemos los

cornudos y desde éstos a aquellos que son ovejas, el resultado no se ve afectado. En

cualquier caso llegamos a la clase ovejas con cuernos.

La expresión simbólica de esta ley es

yxxy = .

3) El resultado de un acto de elección dado realizado dos veces, o cualquier

número de veces en sucesión, es el resultado del mismo acto realizado una vez.

Si desde un grupo de objetos seleccionamos las Xs, obtenemos una clase de la

cual todos los miembros son Xs. Si repetimos la operación sobre esta clase no resultará

ningún cambio: al seleccionar las Xs tomamos el todo. Así, tenemos

xxx =

o

xx =2 ,

y suponiendo que la misma operación se realiza n veces, tenemos

xxn = ,

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que es la expresión matemática de la ley establecida arriba.6

Las leyes recién establecidas bajo las formas simbólicas

),1......()( xvxuvux +=+

),2......(yxxy =

),3......(xxn =

son suficientes para la base del cálculo. A partir de la primera de éstas, parece que los

símbolos electivos son distributivos, de la segunda que son conmutativos; propiedades

que poseen en común con los símbolos de la cantidad, y en virtud de las cuales son

aplicables todos los procesos del álgebra común al presente sistema. El único y

suficiente axioma involucrado en esta aplicación es que operaciones equivalentes

realizadas sobre sujetos equivalentes producen resultados equivalentes.7

A la tercera ley (3) la denominaremos la ley del índice. Es peculiar a símbolos

electivos, y nos será de gran importancia al permitirnos reducir nuestros resultados a

formas convenientes para la interpretación.

De la circunstancia de que el proceso del álgebra pueda aplicarse al presente

sistema no debe inferirse que la interpretación de una ecuación electiva no se verá

afectada por tales procesos. La expresión de una verdad no puede ser negada por una

operación legítima, pero sí puede ser limitada. La ecuación zy = implica que las clases

6 La función del símbolo electivo x es seleccionar individuos comprendidos en la clase X. Supongamos que la clase X abarca al Universo; entonces, sea cual sea la clase Y, tenemos que yxy = . La función que realiza x es ahora equivalente a la del símbolo +, por lo menos en una de sus interpretaciones, y la ley del índice (3) da +=+ n , que es la propiedad conocida de tal símbolo. 7 Es generalmente afirmado por los lógicos que todo el razonamiento depende, en última instancia, de una aplicación del dictum de Aristóteles de omni et nullo. “Cualquier cosa que se predique universalmente de cualquier clase de cosas, de igual forma puede ser predicada de cualquier cosa comprendida en tal clase.” Pero suele acordarse que este dictum no es inmediatamente aplicable en todos los casos, y que en una mayoría de instancias es necesario un cierto proceso de reducción anterior. ¿Cuáles son los elementos involucrados en tal proceso de reducción? Claramente son más parte del razonamiento general que el propio dictum. Otra manera de considerar la cuestión es resolviendo todo el razonamiento en una aplicación de uno o de otro de los siguientes cánones:

1. Si dos términos concuerdan con uno y el mismo tercero, concuerdan entre sí, 2. Si un término concuerda y otro no con uno y el mismo tercero, entonces aquellos no

concuerdan entre sí. Pero la aplicación de estos cánones depende de actos mentales equivalentes a aquellos que están

involucrados en el antes nombrado proceso de reducción. Debemos seleccionar individuos de clases, convertir proposiciones, etc., antes de poder aprovecharnos de su guía. Cualquier explicación del proceso de razonamiento es insuficiente si no representa las leyes de la operación que lleva a cabo la mente en tal proceso y las verdades primarias que reconoce y aplica.

Es de presumir que las leyes en cuestión están adecuadamente representadas por las ecuaciones fundamentales del cálculo actual. La prueba de esto se reconocerá en su capacidad para expresar proposiciones y para exhibir, en los resultados de sus procesos, todo resultado al que pueda llegarse por el razonamiento ordinario.

18

Y y Z son equivalentes miembro por miembro. Multipliquémosla por un factor x y

tendremos

xzxy = ,

que expresa que los individuos comunes a las clases X y Y también son comunes a X y

Z, y viceversa. Ésta es una inferencia perfectamente legítima, pero el hecho que declara

es menos general que el que se afirmó en la proposición original.

19

DE LA EXPRESIÓN Y DE LA INTERPRETACIÓN

Una proposición es una oración que afirma o niega, como “Todos los hombres

son mortales.”, “Ninguna criatura es independiente.”

Una proposición tiene, necesariamente, dos términos, como hombres, mortales;

al primero de ellos, o a aquel sobre el que se habla, se le llama sujeto y al segundo, o a

aquel que afirma o niega del sujeto, se le llama predicado. Estos términos están

conectados por la cópula es o no es, o por alguna otra modificación del verbo

sustantivo.

El verbo sustantivo es el único verbo reconocido en la lógica, siendo todos los

otros resolubles por medio del verbo ser y de un participio o adjetivo, por ejemplo, “Los

romanos conquistaron”; la palabra “conquistaron” es tanto cópula como predicado,

siendo equivalente a “fueron (cópula) victoriosos (predicado)”.

Una proposición debe ser afirmativa o negativa, y también universal o particular.

Así es que reconocemos en todas cuatro tipos de proposiciones puramente categóricas:

1) Universal-Afirmativa, usualmente representada por A

Ejemplo: Todas las Xs son Ys.

2) Universal-Negativa, usualmente representada por E

Ejemplo: Ninguna X es Y.

3) Particular-Afirmativa, usualmente representada por I

Ejemplo: Algunas Xs son Ys.

4) Particular-Negativa, usualmente representada por O8

Ejemplo: Algunas Xs no son Ys.

1. Expresar la clase no-X, esto es, la clase que incluye todos los individuos que

no son Xs.

La clase X y la clase no-X hacen juntas al Universo. Pero el Universo es 1, y la

clase X está determinada por el símbolo x; por lo tanto, la clase no-X estará determinada

por el símbolo x−1 .

Así pues, la función del símbolo x−1 , unido a un sujeto dado, será seleccionar

de él todas las no-Xs que contiene.

8 Esto está tomado, con algunas variaciones, de los tratados de Aldrich y Whately.

20

Y análogamente, como el producto xy expresa toda la clase cuyos miembros son

Xs y Ys, el símbolo )1( xy − representará la clase cuyos miembros son Ys pero no Xs, y

el símbolo )1)(1( yx −− [representará] toda la clase cuyos miembros no son ni Xs ni Ys.

2. Expresar la proposición “Todas las Xs son Ys.”

Como todas las Xs que existen se encuentran en la clase Y, es obvio que

seleccionar del Universo todas las Ys y de éstas seleccionar todas las Xs es lo mismo

que seleccionar, de una sola vez, todas las Xs del Universo.

Por lo tanto xxy =

o

0)1( =− yx (4).

3. Expresar la proposición “Ninguna X es Y.”

Afirmar que ninguna X es Y es lo mismo que afirmar que no hay elementos

comunes en las clases X y Y. Ahora bien, todos los individuos comunes a tales clases

están representados por xy. Por lo tanto, la proposición de que ninguna X es Y está

representada por la ecuación

0=xy (5).

4. Expresar la proposición “Algunas Xs son Ys.”

Si algunas Xs son Ys, entonces hay algunos elementos comunes a las clases X y

Y. Si tales términos constituyen una clase separada V, a la cual corresponde un símbolo

electivo separado v, entonces

xyv = (6).

Y como v incluye todos los términos comunes a las clases X y Y, podemos interpretarlo,

indiferentemente, como “Algunas Xs” o como “Algunas Ys”.

5. Expresar la proposición “Algunas Xs no son Ys.”

En la última ecuación, escribir y−1 en lugar de y, y tenemos

)1( yxv −= (7),

siendo la interpretación de v indiferentemente “Algunas Xs” o “Algunas no-Ys”.

Las ecuaciones anteriores involucran la teoría completa de las proposiciones

categóricas, y en cuanto respecta al empleo del análisis para la deducción de inferencias

lógicas, nada más debe desearse. Pero puede resultar satisfactorio notar algunas formas

particulares deducibles de las ecuaciones tercera y cuarta, susceptibles a una aplicación

similar.

21

Si multiplicamos la ecuación (6) por x, tenemos

xyyxvx == 2 (en virtud de (3)).

Comparando con (6), encontramos que

vxv =

o

0)1( =− xv (8).

Y multiplicando (6) por y, y haciendo una reducción similar, tenemos vyv =

o

0)1( =− yv (9).

Comparando (8) y (9),

vvyvx == (10).

Además, comparando (8) y (9) con (4) tenemos, como el equivalente de este

sistema de ecuaciones, las proposiciones

Todas las Vs son Xs.

Todas las Vs son Ys.

El sistema (10) puede utilizarse para remplazar a (6), o también la ecuación

simple

vyvx = (11)

puede ser utilizada si a vx le asignamos la interpretación “Algunas Xs” y a vy la

interpretación “Algunas Ys”. Pero se observará que este sistema no expresa tanto como

la ecuación simple (6), de la cual deriva. En efecto, ambas cosas [la ecuación simple (6)

y el sistema (10)] expresan la proposición “Algunas Xs son Ys”, pero el sistema (10) no

implica que la clase V incluya todos los términos comunes a X y Y.

Del mismo modo, de la ecuación (7), que expresa la proposición “Algunas Xs no

son Ys”, podemos deducir el sistema

vyvvx =−= )1( (12),

en donde la interpretación de )1( yv − es “Algunas no-Ys”. Como en este caso 0=vy ,

debemos tener cuidado para no interpretar vy como “Algunas Ys”.

Si multiplicamos la primera ecuación del sistema (12), a saber,

)1( yvvx −=

por y, tenemos

)1( yvyvxy −=

22

0=∴vxy (13),

una forma que se presentará ocasionalmente. No es necesario regresar a la ecuación

primitiva para interpretarla, porque la condición de que vx representa “Algunas Xs” nos

muestra, en virtud de (5), que su sentido será

Algunas Xs son no Ys,

el sujeto comprendiendo todas las Xs que se encuentran en la clase V.

Universalmente, en estos casos, la diferencia de forma implica una diferencia de

interpretación con respecto al símbolo auxiliar v, y cada forma es interpretable por sí

misma.

Además, estas diferencias no introducen una perplejidad innecesaria en el

cálculo. En lo sucesivo se verá que ofrecen una precisión y una definitud a sus

conclusiones, que de otra forma no podrían asegurarse.

Finalmente, podemos decir que todas las ecuaciones por las cuales se expresan

verdades particulares son deducibles de cualquier ecuación general que exprese

cualquier proposición desde la cual tales proposiciones particulares son deducciones

necesarias. Ya hemos mostrado parcialmente esto, pero se ejemplifica mucho más

plenamente en el siguiente esquema.

La ecuación general yx =

implica que las clases X y Y son equivalentes miembro por miembro, que cualquier

individuo perteneciente a una pertenece también a la otra. Multiplicando la ecuación por

x tenemos que

xyx =2

xyx =∴ ,

que implica, por (4), que todas las Xs son Ys. Multiplicando la misma ecuación por y,

del mismo modo tendremos que

xyy = ,

cuyo sentido es que todas las Ys son Xs. Tomemos cualquiera de estas ecuaciones, la

última por ejemplo, y escribiéndola bajo la forma

0)1( =− yx ,

podemos considerarla como una ecuación en la que se busca que y, una cantidad

desconocida, sea expresada en términos de x. Ahora bien, más adelante, cuando

lleguemos a la Solución de Ecuaciones Electivas (y el resultado puede ser verificado

aquí por sustitución), mostraremos que la solución más general de esta ecuación es

23

vxy = ,

que implica que todas las Ys son Xs y que algunas Xs son Ys. Multiplicando por x

tenemos

vxvy = ,

que indiferentemente implica que algunas Ys son Xs y que algunas Xs son Ys, siendo la

forma particular a la que ya llegamos antes.

En aras de la conveniencia de referencia, los resultados de arriba y otros más han

sido clasificados en la tabla anexada, cuya primera columna contiene proposiciones, la

segunda ecuaciones, y la tercera las condiciones de interpretación final. Ha de

observarse que las ecuaciones auxiliares ofrecidas en esta columna no son

independientes, sino que están implicadas, o bien en las ecuaciones de la segunda

columna, o bien en las condiciones para la interpretación de v. Pero he pensado que es

mejor, en aras de la facilidad y de la conveniencia, escribirlas separadamente. También

debe tenerse en mente que, aunque están ofrecidas tres formas distintas para la

expresión de cada una de las proposiciones particulares, en realidad todo está incluido

en la primera forma.

24

DE LA CONVERSIÓN DE PROPOSICIONES

Se dice que una proposición ha sido convertida cuando se han transpuesto sus

términos; cuando no se hace nada más, llamamos a esto una conversión simple. Por

ejemplo,

Ningún hombre virtuoso es tirano

se convierte en

Ningún tirano es un hombre virtuoso.

Los lógicos también contemplan la conversión per accidens, o por limitación,

por ejemplo,

Todos los pájaros son animales

se convierte en

Algunos animales son pájaros.

Y [también contemplan] la conversión por contraposición o negación, como

Todo poeta es un hombre de genio

se convierte en

Aquel que no es un hombre de genio no es poeta.

Consecuentemente, toda proposición puede ser convertida en alguna de estas tres

formas, a saber, E e I simplemente, A y O por negación, A y E por limitación.

Las formas canónicas primarias ya determinadas para la expresión de

proposiciones son:

Todas las Xs son Ys, ,0)1( =− yx A.

Ninguna X es Y, ,0=xy E.

Algunas Xs son Ys, ,xyv = I.

Algunas Xs no son Ys, ),1( yxv −= O.

Al examinar estas formas, percibimos que E e I son simétricas con respecto a x y

y, así que si x es cambiada en y, y y en x, las ecuaciones permanecen sin cambios. Por lo

tanto, E e I pueden interpretarse como

Ninguna Y es X,

Algunas Ys son Xs,

respectivamente. Es así que tenemos la conocida ley de los lógicos de que las

proposiciones particulares afirmativas y las universales negativas admiten la conversión

simple.

25

Las ecuaciones A y O pueden escribirse bajo las formas

,0)}1(1){1( =−−− xy

)}.1(1){1( xyv −−−=

Ahora bien, éstas son precisamente las formas que habríamos obtenido si

hubiésemos cambiado, en tales ecuaciones, x en y−1 y y en x−1 , que habrían

representado el cambio, en las proposiciones originales, de las Xs en no-Ys y de las Ys

en no-Xs, siendo las proposiciones resultantes

Todas las no-Ys son no-Xs,

Algunas no-Ys no son no-Xs (a).

O también podemos, al simplemente invertir el orden de los factores en el

segundo miembro de O, y escribiéndola bajo la forma

,)1( xyv −=

interpretarla, por I, como

Algunas no-Ys son Xs,

que en realidad es otra forma de (a). De aquí se sigue la regla de que las proposiciones

universales afirmativas y las particulares negativas admiten la conversión negativa o,

como también se le llama, la conversión por contraposición.

Las ecuaciones A y E, escritas bajo las formas

,0)1( =− xy

,0=yx

dan como solución las respectivas formas ,vyx =

),1( yvx −=

cuya exactitud puede mostrarse al sustituir estos valores de x en las ecuaciones a las

cuales pertenecen y al observar que tales ecuaciones son satisfechas independientemente

de la naturaleza del símbolo v. La primera solución puede interpretarse como

Algunas Ys son Xs

y la segunda como

Algunas no-Ys son Xs.

De esto parece ser que las proposiciones universales-afirmativas, y las

universales-negativas, son convertibles por limitación o, como se le ha llamado, per

accidens.

26

Las anteriores son las leyes de conversión reconocidas por el Arzobispo

Whately. Empero, los autores difieren en cuanto a la admisibilidad de la conversión

negativa. La cuestión depende de si nos permitimos el uso de términos como no-X, no-

Y. Concordando con aquellos que piensan que tales términos deben admitirse, aún

cuando cambien el tipo de proposición, me veo obligado a observar que su clasificación

actual es deficiente y defectuosa. Así, la conversión de “Ninguna X es Y” en “Todas las

Ys son no-Xs”, aunque perfectamente legítima, no está reconocida en el esquema

anterior. Será apropiado, pues, examinar el tema de forma más completa.

Si del sistema de ecuaciones que hemos obtenido procuramos deducir las leyes

no sólo de la conversión, sino también de la transformación general de proposiciones,

nos vemos guiados a reconocer los siguientes elementos distintos, cada uno conectado

con un proceso matemático distinto.

1) La negación de un término, i. e., el cambio de X en no-X o de no-X en X.

2) La traducción de una proposición desde un tipo a otro, como si cambiáramos

“Todas las Xs son Ys” en “Algunas Xs son Ys” A en I,

lo que sería legítimo, o

“Todas las Xs son Ys” en “Ninguna X es Y” A en E,

lo que sería ilegítimo.

3) La conversión simple de una proposición.

Las condiciones de obediencia a las cuales deben sujetarse estos procesos para

ser legítimos pueden deducirse de las ecuaciones por las cuales se expresan las

proposiciones.

Tenemos

Todas las Xs son Ys 0)1( =− yx A,

Ninguna X es Y 0=xy E.

Escribamos E bajo la forma

0)}1(1{ =−− yx

y entonces es interpretable, por A, como

Todas las Xs son no-Ys,

así que podemos cambiar

“Ninguna X es Y” en “Todas las Xs son no-Ys”.

Del mismo modo, A interpretada por E da

Ninguna X es no-Y,

27

así que podemos cambiar

“Todas las Xs son Ys” en “Ninguna X es no-Y”.

A partir de estos casos tenemos la siguiente regla: una proposición universal-

afirmativa es convertible en una universal-negativa, y viceversa, por la negación del

predicado.

De nuevo, tenemos

Algunas Xs son Ys ,xyv =

Algunas Xs son no-Ys )1( yxv −= .

Estas ecuaciones únicamente difieren de las antes consideradas por la presencia

del término v. Aplica, por tanto, el mismo razonamiento, y tenemos la regla: una

proposición particular-afirmativa es convertible en una particular-negativa, y viceversa,

por la negación del predicado.

Asumamos las proposiciones universales

Todas las Xs son Ys ,0)1( =− yx

Ninguna X es Y 0=xy .

Multiplicando por v encontramos que

,0)1( =− yvx

0=vxy ,

que son interpretables como

Algunas Xs son Ys I,

Algunas Xs no son Ys O.

Por consiguiente, una universal-afirmativa es convertible en una particular-

afirmativa, y una universal-negativa en una particular-negativa, sin negación del sujeto

o del predicado.

Combinando lo dicho arriba con la ya probada regla de conversión simple,

llegamos al siguiente sistema de leyes independientes de transformación.

1) Una proposición afirmativa puede cambiarse en su correspondiente negativa

(A en E o I en O) y viceversa, por negación del predicado.

2) Una proposición universal puede cambiarse en su correspondiente

proposición particular (A en I o E en O).

3) En una proposición particular-afirmativa, o universal-negativa, los términos

pueden ser convertidos mutuamente.

28

Donde la negación de un término es el cambio de X en no-X y viceversa, y no

debe entenderse como una afectación del tipo de proposición.

Toda transformación legítima es reducible a las reglas expuestas arriba. Así,

tenemos que

Todas las Xs son Ys,

Ninguna X es no-Y por la primera regla,

Ninguna no-Y es X por la tercera regla,

Todas las no-Ys son no-Xs por la primera regla,

que es un ejemplo de conversión negativa. De nuevo,

Ninguna X es Y,

Ninguna Y es X tercera regla,

Todas las Ys son no-Xs primera regla,

que es el caso ya deducido.

29

DE LOS SILOGISMOS

Un silogismo consiste en tres proposiciones, la última de las cuales, llamada

conclusión, es una consecuencia lógica de las dos primeras, llamadas premisas; por

ejemplo,

Todo silogismo tiene tres y sólo tres términos, de los cuales aquel que es el

sujeto de la conclusión es llamado el término menor, el predicado de la conclusión el

término mayor, y el término que queda, común a ambas premisas, el término medio. De

esta manera, en la fórmula de arriba Z es el término menor, X el término mayor, y Y el

término medio.

La figura de un silogismo consiste en la situación del término medio con

respecto a los términos de la conclusión. Las variedades de figura se muestran en el

siguiente esquema:

1ª Fig. 2ª Fig. 3ª Fig. 4ª Fig.

YX XY YX XY

ZY ZY YZ YZ

ZX ZX ZX ZX

Cuando designamos las tres proposiciones de un silogismo con sus símbolos

usuales (A, E, I, O) y en su orden real, se dice que determinamos el modo del silogismo.

Así, el silogismo establecido arriba a modo de ejemplo pertenece al modo AAA en la

primera figura.

Los modos de todos los silogismos comúnmente aceptados como válidos están

representados por las vocales en los siguientes versos mnemotécnicos:

Fig. 1 - bArbArA, cElArEnt, dArII, fErIO que prioris.

Fig. 2 - cEsArE, cAmEstrEs, fEstInO, bArOkO, secundae.

Fig. 3 - Tertia dArAptI, dIsAmIs, dAtIsI, fElAptOn, bOkArdO, fErIsO, habet:

quarta insuper addit.

Fig. 4 - brAmAntIp, cAmEnEs, dImArIs, fEsApO, frEsIsOn.

La ecuación por la cual expresamos cualquier proposición relativa a las clases X

y Y es una ecuación entre los símbolos x y y, y la ecuación por la cual expresamos

cualquier proposición relativa a las clases Y y Z es una ecuación entre los símbolos y y

z. Si de dos tales ecuaciones eliminamos y, el resultado, si es que no desaparece, será

30

una ecuación entre x y z, y será interpretable en una proposición relativa a las clases X y

Z. Y entonces constituirá el tercer miembro, o la conclusión, de un silogismo del cual

las dos proposiciones dadas son las premisas.

El resultado de eliminar y de las ecuaciones

0=+ bay

(14)

0'' =+ bya

es la ecuación 0'' =− baab (15).

Ahora bien, siendo del primer orden las ecuaciones de las proposiciones con

respecto a cada una de las variables involucradas, todos los casos de eliminación que

tendremos que considerar serán reducibles al caso de arriba, siendo las constantes

',',, baba remplazadas por funciones de x, z y el símbolo auxiliar v.

En cuanto a la elección de ecuaciones para la expresión de nuestras premisas, la

única restricción es que las ecuaciones no deben ser ambas de la forma 0=ay , porque

en tales casos la eliminación sería imposible. Cuando ambas ecuaciones son de esta

forma, es necesario resolver una de ellas, y no importa cuál elijamos para este propósito.

Si la que elegimos es de la forma 0=xy , su solución es

)1( xvy −= (16);

si es de la forma 0)1( =− yx , la solución será

vxy = (17),

y éstos son los únicos casos que pueden surgir. La razón de esta excepción se presentará

más adelante.

En aras de la uniformidad, en la expresión de proposiciones particulares nos

limitaremos a las formas

vyvx = Algunas Xs son Ys,

)1( yvvx −= Algunas Xs no son Ys.

Estas formas tienen una analogía más cercana con (16) y (17) que las otras

formas que pueden emplearse.

Entre las formas a ser desarrolladas y los cánones aristotélicos se observarán,

ocasionalmente, algunas diferencias sobre las cuales resulta apropiado advertir al lector.

Para un adecuado entendimiento de esto conviene señalar que la estructura

esencial de un silogismo es, en cierta medida, arbitraria. Suponiendo que el orden de las

premisas es fijo, y que la distinción del término mayor y del menor está, de este modo,

31

determinada, es puramente una cuestión de elección cuál de los dos tendrá precedencia

en la conclusión. Los lógicos han resuelto esta cuestión a favor del término menor, pero

es claro que esto es una convención. Si se hubiese acordado que sea el término mayor el

que tenga el primer lugar en la conclusión, podría haberse construido un esquema lógico

menos conveniente en algunos casos que el actualmente existente, pero superior en

otros. Lo que se perdió en barbara se habría ganado en bramantip. La conveniencia está

quizá a favor del arreglo adoptado,9 pero debe recordarse que es simplemente un

arreglo.

Ahora, el método que mostraremos, al no tener referencia con un esquema más

que con otro, siempre ofrecerá la conclusión más general, y únicamente debe observarse

su validez abstracta considerada como un resultado del razonamiento puro. Y por tanto

a veces veremos conclusiones que para un lógico serían informales pero nunca tales que

un razonamiento podría contar como falsas.

Pero los cánones aristotélicos, además de restringir el orden de los términos de

una conclusión, también limitan su naturaleza, y esta limitación es de mayor

consecuencia que lo primero. Por un cambio de figura podemos remplazar la conclusión

particular de bramantip por la conclusión general de barbara, pero de este modo no

podemos reducir a una regla inferencias como

Algunas no-Xs no son Ys.

Con todo, hay casos en los que tales inferencias pueden realizarse con

legitimidad, y suelen ocurrir en los argumentos no restringidos. Ahora, si una inferencia

de este tipo o de cualquier otro es legítima por sí misma, será exhibida en los resultados

de nuestro método.

Al restringir el canon de interpretación podemos confinar nuestros resultados

expresados dentro de los límites de la lógica escolástica, pero esto sólo nos restringiría

al uso de una parte de las conclusiones que nos permite nuestro análisis.

La clasificación que adoptaremos será puramente matemática, y más tarde

consideraremos el arreglo lógico al cual corresponde. Será suficiente, como referencia,

con nombrar las premisas y la figura en la que se basan.

1ª Clase - Formas en las que no entra v.

9 El punto de vista contrario fue sostenido por Hobbes. La cuestión está muy bien discutida en la Introduction to the Literature of Europe, vol. III, p. 309 de Hallam. En el uso retórico del silogismo, la ventaja parece descansar sobre la forma rechazada.

32

Aquellas que admiten una inferencia son AA, EA, Fig. 1; AE, EA, Fig. 2; AA, AE,

Fig. 4.

Ejemplo. AA, Fig. 1, y, por mutación de premisas (cambio de orden), AA, Fig. 4.

Todas las Ys son Xs, ,0)1( =− xy o 0)1( =− yx ,

Todas las Zs son Ys, ,0)1( =− yz o 0=− zzy .

Eliminando y por (15) tenemos

0)1( =− xz

∴Todas las Zs son Xs.

Un modo conveniente de llevar a cabo la eliminación consiste en escribir la

ecuación de las premisas de forma tal que y sólo aparezca como una factor de un

miembro en la primera ecuación y sólo como un factor del miembro opuesto en la

segunda ecuación, y después multiplicar las ecuaciones omitiendo a y. Éste es el método

que adoptaremos.

Ejemplo. AE, Fig. 2, y, por mutación de premisas, EA, Fig. 2.

Todas las Xs son Ys, ,0)1( =− yx o xyx = ,

Ninguna Z es Y, ,0=zy o 0=zy

0=zx

∴Ninguna Z es X.

El único caso en el que no hay inferencia es AA, Fig. 2,

Todas las Xs son Ys, ,0)1( =− yx ,xyx =

Todas las Zs son Ys, ,0)1( =− yz zzy =

xzxz =

00 =∴ .

2ª Clase - Cuando v es introducida por la solución de una ecuación.

Los casos legítimos directa o indirectamente10 determinables por las reglas

aristotélicas son AE, Fig. 1; AA, AE, EA, Fig. 3; EA, Fig. 4.

Los casos legítimos no determinables así son EE, Fig. 1; EE, Fig. 2; EE, Fig. 3;

EE, Fig. 4.

Ejemplo. AE, Fig. 1, y, por mutación de premisas, EA, Fig. 4.

Todas las Ys son Xs, ,0)1( =− xy vxy = (a)

10 Decimos directa o indirectamente porque en algunos casos se requiere la mutación o conversión de las premisas. Así, AE (Fig. 1) es resoluble por Fesapo (Fig. 4) o por Ferio (Fig. 1). Aristóteles y sus seguidores rechazaban la cuarta figura por considerarla solamente una modificación de la primera, pero siendo ésta una mera cuestión de forma, cualquier esquema puede llamarse aristotélico.

33

Ninguna Z es Y, ,0=zy zy=0

vzx=0

∴Algunas Xs no son Zs.

La razón por la cual no podemos interpretar 0=vzx como “Algunas Zs son no-

Xs” es que, por los propios términos de la primera ecuación (a), la interpretación de vx

está fijada, como “Algunas Xs”; v es considerada como representativa de “Algunos”

sólo con respecto a la clase X.

Para la razón de nuestro empleo de una solución de una de las ecuaciones

primitivas, véanse las observaciones en (16) y (17). Si hubiésemos resuelto la segunda

ecuación en lugar de la primera, habríamos tenido

,0)1( =− yx

yzv =− )1( , (a),

0)1)(1( =−− xzv , (b),

∴Algunas no-Zs son Xs.

Aquí debe observarse que la segunda ecuación (a) fija el sentido de )1( zv − ,

como “Algunas no-Zs”. El sentido completo del resultado (b) es que todas las no-Zs que

se encuentran en la clase Y se encuentran en la clase X, y es evidente que esto no podría

haberse expresado de otra manera.

Ejemplo 2. AA, Fig. 3.

Todas las Ys son Xs, ,0)1( =− xy ,vxy =

Todas las Ys son Zs, ,0)1( =− zy )1(0 zy −=

)1(0 zvx −=

∴Algunas Xs son Zs.

Si hubiésemos resuelto la segunda ecuación, habríamos tenido por resultado

“Algunas Zs son Xs”. La forma de la ecuación final particulariza a qué Xs o a qué Zs se

refieren, y esta observación es general.

Lo siguiente, EE, Fig. 1, y, por mutación, EE, Fig. 4, es un ejemplo de un caso

legítimo no determinable por las reglas aristotélicas.

Ninguna Y es X, ,0=xy ,0 xy=

Ninguna Z es Y, ,0=zy )1( zvy −=

xzv )1(0 −=

∴Algunas no-Zs no son Xs.

34

3ª Clase - Cuando v se encuentra en una de las ecuaciones pero no es introducida

por solución.

Los casos legítimos determinables directa o indirectamente por las reglas

aristotélicas son AI, EI, Fig. 1; AO, EI, OA, IE, Fig. 2; AI, AO, EI, EO, IA, IE, OA, OE,

Fig. 3; IA, IE, Fig. 4.

Aquellos no determinables son OE, Fig. 1; EO, Fig. 4.

Los casos en los que no es posible ninguna inferencia son AO, EO, IA, IE, OA,

Fig. 1; AI, EO, IA, OE, Fig. 2; OA, OE, AI, EI, AO, Fig. 4.

Ejemplo 1. AI, Fig. 1, y, por mutación, IA, Fig. 4.

Todas las Ys son Xs, ,0)1( =− xy

Algunas Zs son Ys, vyvz =

0)1( =− xvz

∴Algunas Zs son Xs.

Ejemplo 2. AO, Fig. 2, y, por mutación, OA, Fig. 2.

Todas las Xs son Ys, ,0)1( =− yx ,xyx =

Algunas Zs no son Ys, ),1( yvvz −= )1( zvvy −=

)1( zvxvx −=

0=vxz

∴Algunas Zs no son Xs.

La interpretación de vz como “Algunas Zs” está implicada, se observará, en la

ecuación )1( yvvz −= considerada como representando la proposición “Algunas Zs no

son Ys”.

Los casos no determinables por las reglas aristotélicas son OE, Fig. 1, y, por

mutación, EO, Fig. 4.

Algunas Ys no son Xs, )1( xvvy −=

Ninguna Z es Y, zy=0

zxv )1(0 −=

∴Algunas no-Xs no son Zs.

La ecuación de la primera premisa nos permite aquí interpretar )1( xv − , pero no

nos permite interpretar vz.

De los casos en los que ninguna inferencia es posible, tomamos como ejemplos

AO, Fig. 1, y, por mutación, OA, Fig. 4.

35

Todas las Ys son Xs, ,0)1( =− xy ,0)1( =− xy

Algunas Zs no son Ys, )1( yvvz −= (a) vyzv =− )1(

0)1)(1( =−− xzv (b)

00 = ,

ya que en este caso la ecuación auxiliar es 0)1( =− zv .

Prácticamente no es necesario llevar a cabo esta reducción, pero resulta

satisfactorio hacerlo. La ecuación (a), se ve, define vz como “Algunas Zs”, pero no

define )1( zv − , así que podríamos detenernos en el resultado de eliminación (b) y

contentarnos con decir que no es interpretable en una relación entre las clases X y Z.

Como segundo ejemplo tomemos AI, Fig. 2, y, por mutación, IA, Fig. 2.

Todas las Xs son Ys, ,0)1( =− yx ,xyx =

Algunas Zs son Ys, ,vyvz = vzvy =

vxzvx =

0)1( =− xzv

00 = ,

en este caso siendo 0)1( =− zv la ecuación auxiliar.

En realidad en cualquier caso en esta clase, en donde ninguna inferencia es

posible, el resultado de eliminación es reducible a la forma 00 = . Por lo tanto, no es

necesario multiplicar los ejemplos.

4ª Clase - Cuando v entra en ambas ecuaciones.

Ninguna inferencia es posible en cualquiera de los casos, pero entre los casos

ilegítimos existe una distinción que es peculiar a esta clase. Las dos divisiones son

1) Cuando el resultado de eliminación es reducible, por las ecuaciones

auxiliares, a la forma 00 = . Los casos son II, OI, Fig. 1; II, OO, Fig. 2; II, IO, OI, OO,

Fig. 3; II, IO, Fig. 4.

2) Cuando el resultado de eliminación no es reducible, por las ecuaciones

auxiliares, a la forma 00 = . Los casos son IO, OO, Fig. 1; IO, OI, Fig. 2; OI, OO, Fig.

4.

Como ejemplo del primer caso consideremos II, Fig. 3.

Algunas Xs son Ys, ,vyvx = ,vyvx =

Algunas Zs son Ys, ,'' yvzv = zvyv '' =

zvvxvv '' =

36

Ahora, las ecuaciones auxiliares ,0)1( =− xv 0)1(' =− zv , dan

,vvx = '' vzv = .

Sustituyendo tenemos

'' vvvv =

00 =∴ .

Como ejemplo del segundo caso consideremos IO, Fig. 1.

Algunas Ys son Xs, ,vxvy = ,vxvy =

Algunas Zs no son Ys, ),1('' yvzv −= yvzv ')1(' =−

xvvzvv ')1(' =−

Ahora, siendo 0)1( =− xv , 0)1(' =− zv las ecuaciones auxiliares, lo anterior se

reduce a 0'=vv . Es a ésta forma a la que son reducibles todos los casos similares. Su

interpretación es que las clases v y 'v no tienen ningún miembro común, como resulta

evidente.

Esta clasificación está basada puramente en distinciones matemáticas. Ahora

vamos a investigar cuál es la división lógica a la que corresponde.

Los casos legítimos de la primera clase comprenden todos aquellos en los que,

de dos premisas universales, puede sacarse una conclusión universal. Vemos que

incluyen las premisas de barbara y celarent en la primera figura, de cesare y camestres

en la segunda, y de bramantip y camenes en la cuarta.

Están incluidas las premisas de bramantip porque admiten una conclusión

universal, aunque no en la misma figura.

Los casos legítimos de la segunda clase son aquellos en los que una conclusión

particular sólo es deducible de dos premisas universales.

Los casos legítimos de la tercera clase son aquellos en los que una conclusión es

deducible de dos premisas, una de las cuales es universal y la otra particular.

La cuarta clase no tiene casos legítimos.

De entre los casos en los que no es posible ninguna inferencia de ningún tipo,

encontramos seis en la cuarta clase distinguibles de los otros por la circunstancia de que

el resultado de eliminación no asume la forma 00 = . Los casos son

,

y otros tres más que se obtienen por mutación de premisas.

37

Podría suponerse que habríamos de encontrar alguna peculiaridad lógica para

responder a la peculiaridad matemática que hemos notado, y en efecto existe una muy

notable. Si examinamos cada par de premisas en el esquema de arriba, encontraremos

que virtualmente no hay término medio, i. e., no hay ningún medio de comparación en

ninguno de ellos. De esta forma, en el primer ejemplo, los individuos sobre los que se

habla en la primera premisa se afirma que pertenecen a la clase Y, pero aquellos sobre

los que se habla en la segunda premisa se afirma virtualmente que pertenecen a la clase

no-Y, y no podemos, por medio de ninguna transformación o conversión legítima,

alterar este estado de cosas. La comparación, empero, sí podrá hacerse con la clase Y en

una premisa y con la clase no-Y en la otra.

Ahora, en cada caso además de los seis de arriba, encontraremos un término

medio, ya sea expresado o implicado. He seleccionado dos de los casos más difíciles.

En AO, Fig. 1, a saber,

Todas las Ys son Xs,

Algunas Zs no son Ys,

tenemos, por conversión negativa de la primera premisa,

Todas las no-Xs son no-Ys,

Algunas Zs no son Ys.

Y ahora se ve que el término medio es no-Y.

De nuevo, en EO, Fig. 1,

Ninguna Y es X,

Algunas Zs no son Ys.

Una conversión probada de la primera premisa (véase De la conversión de

proposiciones) da

Todas las Xs son no-Ys,

Algunas Zs son no-Ys.

Y el término medio, el verdadero medio de comparación, es claramente no-Y, aunque,

como las no-Ys en una premisa pueden ser distintas a las no-Ys en otra, no puede

sacarse ninguna conclusión.

La condición matemática en cuestión - la irreductibilidad de la ecuación final a

la forma 00 = - representa adecuadamente, por tanto, la condición lógica de que no

haya término medio, o medio de comparación común, en las premisas dadas.

No tengo conocimiento de que la distinción ocasionada por la presencia o

ausencia de un término medio, en el estricto sentido entendido aquí, haya sido señalada

38

por los lógicos. La distinción, aunque real y digna de atención, no es de ninguna manera

obvia, y aquí habría pasado desapercibida si no hubiese sido por la peculiaridad de su

expresión matemática.

Lo que parece ser novedoso en el caso anterior es la prueba de la existencia de

combinaciones de premisas en las que no hay ningún medio de comparación en

absoluto. Cuando tal medio de comparación, o verdadero término medio, existe, la

condición de que su cuantificación en ambas premisas debe sobrepasar su cuantificación

como un todo único ha sido hábil y claramente mostrada como necesaria para la

inferencia legítima por el profesor De Morgan (Cambridge Memoirs, Vol. VIII, parte

3). E indudablemente éste es el verdadero principio del silogismo considerado desde el

punto de vista de la aritmética.

He dicho antes que sería posible imponer condiciones de interpretación que

restrinjan los resultados de este cálculo a las formas aristotélicas. Tales condiciones

serían

1) Que convengamos en no interpretar las formas )1(),1( zvxv −− .

2) Que convengamos en rechazar toda interpretación en la que el orden de los

términos viole la regla aristotélica.

O, en lugar de la segunda condición, podríamos convenir en que, una vez

determinada la conclusión, el orden de las premisas sea cambiado, si es necesario, para

hacer formal al silogismo.

Del carácter general del sistema es realmente claro que podría hacerse para

representar cualquier esquema de lógica concebible al imponer las condiciones propias

al caso contemplado.

Hemos encontrado, en una cierta clase de casos, que es necesario remplazar las

dos ecuaciones expresivas de proposiciones universales por sus soluciones, y conviene

señalar que habría sido admisible hacer esto en todos los casos,11 de tal forma que cada

11 Puede resultar satisfactorio ilustrar esta declaración con un ejemplo. En Barbara tendríamos

Todas las Ys son Xs, vxy = Todas las Zs son Ys, yvz '= xvvz '= ∴Todas las Zs son Xs.

O podemos multiplicar la ecuación resultante por x−1 , lo que nos da 0)1( =− xz ,

por lo tanto la misma conclusión “Todas las Zs son Xs”. Pueden no resultar inapropiados algunos ejemplos adicionales de la aplicación del sistema de ecuaciones en el texto a la demostración de teoremas generales.

39

Sea y el término a ser eliminado y que x represente indiferentemente cualquiera de los otros símbolos. Entonces cada una de las ecuaciones de las premisas de cualquier silogismo dado puede ponerse bajo la forma

0=+ bxay )(α si la premisa es afirmativa, y bajo la forma

0)1( =−+ xbay )(β si es negativa, a y b siendo constantes o de la forma v± . Para probar esto a detalle, examinemos cada tipo de proposición haciendo que y sea, sucesivamente, sujeto y predicado. A, Todas las Ys son Xs, 0=− vxy )(γ , Todas las Xs son Ys, 0=− vyx )(δ , E, Ninguna Y es X, 0=xy Ninguna X es Y, 0)1( =−− xvy )(ε , I, Algunas Xs son Ys, Algunas Ys son Xs, 0=− vyvx )(ζ , O, Algunas Ys no son Xs, 0)1( =−− xvvy )(η , Algunas Xs no son Ys, )1( yvvx −= 0)1( =−−∴ xvvy )(θ . Las ecuaciones afirmativas ),(),( δγ y )(ζ pertenecen a )(α , y las ecuaciones negativas

),(),( ηε y )(θ a )(β . Puede verse que las dos últimas ecuaciones negativas son iguales, pero existe una diferencia de interpretación. En la primera

=− )1( xv Algunas no-Xs, mientras que en la segunda

0)1( =− xv . La utilidad de las dos formas generales de referencia )(α y )(β aparecerá de la siguiente aplicación. 1) Una conclusión sacada de dos proposiciones afirmativas es por sí misma afirmativa. Por )(α tenemos para las proposiciones dadas

,0=+ bxay 0'' =+ zbya ,

y eliminando 0'' =− bxazab ,

que es de la forma )(α . Por lo tanto, si hay una conclusión, es afirmativa. 2) Una conclusión sacada de una proposición afirmativa y de una proposición negativa es negativa. Por )(α y )(β tenemos para las proposiciones dadas

0=+ bxay 0)1('' =−+ zbya

0)1('' =−−∴ zabbxa , que es de la forma )(β . Por lo tanto la conclusión, si hay, es negativa. 3) Una conclusión sacada de dos premisas negativas involucrará una negación (no-X, no-Z) tanto en el sujeto como en el predicado, y por tanto será inadmisible en el sistema aristotélico, aunque justa por sí misma. Porque las premisas siendo

,0)1( =−+ xbay 0)1('' =−+ zbya ,

la conclusión será 0)1(')1(' =−−− xbazab ,

que sólo es interpretable en una proposición que tiene una negación en cada término.

40

caso de silogismo, sin excepción, pudiese haber sido tratado con ecuaciones

comprendidas en las formas generales

vxy = o 0=− vxy A,

)1( xvy −= o 0=−+ vvxy E,

vxvy = 0=− vxvy I,

)1( xvvy −= 0=−+ vvxvy O.

Quizá el sistema que hemos venido empleado es mejor, al distinguir los casos en

los que v sólo puede utilizarse, que aquellos en los que debe. Pero para la demostración

de ciertas propiedades generales del Silogismo el sistema anterior es, por su simplicidad

y por la mutua analogía de sus formas, muy conveniente. Lo aplicaremos al siguiente

teorema.12

4) Tomando en cuenta únicamente aquellos silogismos en los que la conclusión es la más general que puede deducirse de las premisas - si, en un silogismo aristotélico, la premisa menor es cambiada en calidad (de afirmativa a negativa o de negativa a afirmativa) sea o no cambiada en cantidad -, ninguna conclusión será deducible en la misma figura. Una proposición aristotélica no admite un término de la forma no-Z en el sujeto. Ahora, al cambiar la cantidad de la proposición menor de un silogismo, la transferimos de la forma general

0=+ bzay a la forma general

0)1('' =−+ zbya ; véase )(α y )(β o viceversa. Y por consiguiente, en la ecuación de la conclusión, habrá un cambio de z a z−1 , o viceversa. Pero esto es equivalente al cambio de Z en no-Z o de no-Z en Z. Ahora, el sujeto de la conclusión original debe haber involucrado una Z y no una no-Z, y por tanto el sujeto de la nueva conclusión involucrará una no-Z, y la conclusión no será admisible en las formas aristotélicas excepto por conversión, lo que haría necesario un cambio de Figura. Las conclusiones de este cálculo siempre son las más generales que puedan sacarse, y por tanto la demostración anterior no debe suponerse que puede extenderse a un silogismo en el que se deduce una conclusión particular cuando es posible una universal. Éste es el caso sólo de bramantip, entre las formas aristotélicas, y por lo tanto la transformación de bramantip en camenes, y viceversa, es el caso de restricción contemplado en la declaración preliminar del teorema. 5) Si por la premisa menor de un silogismo aristotélico sustituimos su contradictoria, ninguna conclusión es deducible en la misma figura. Aquí sólo es necesario examinar el caso de bramantip, estando todos los otros determinados por la última proposición. Al cambiar la menor de bramantip a su contradictoria, tenemos AO, Fig. 4, y esto no admite ninguna inferencia legítima. Por lo que el teorema es verdadero sin excepción. Muchos otros teoremas generales pueden probarse del mismo modo. 12 Este elegante teorema me fue comunicado por el Rev. Charles Graves, Fellow y profesor de matemáticas en Trinity College, Dublín, a quien deseo expresar mi agradecido reconocimiento por su juicioso examen de la primera parte de este trabajo y por algunas nuevas aplicaciones del método. El siguiente ejemplo de reducción ad impossibile se encuentra entre ellas: Modo a reducir: Baroko Todas las Xs son Ys, )1('1 xvy −=− Algunas Zs no son Ys, )1( yvvz −= Algunas Zs no son Xs, )1(' xvvvz −= Modo reducido: Barbara Todas las Xs son Ys, )1('1 xvy −=−

41

Dadas las tres proposiciones de un silogismo, probar que sólo hay un orden en el

que pueden ser legítimamente arregladas, y determinar tal orden.

Todas las formas dadas arriba para la expresión de proposiciones son casos

particulares de la forma general

0=++ cybxa .

Asumamos entonces, para las premisas del silogismo dado, las ecuaciones

0=++ cybxa (18),

0''' =++ yczba (19).

Entonces, eliminando y, para la conclusión tendremos

0'''' =−++ czbxbccaac (20).

Ahora, tomando ésta como una de nuestras premisas, y cualquiera de las

ecuaciones originales, supongamos (18), como la otra, si por eliminación de un término

común x entre ellas podemos obtener un resultado equivalente a la premisa restante

(19), se verá que hay más de un orden en el que las proposiciones pueden ser

legítimamente escritas; si es de otro modo, sólo un arreglo es legítimo.

Llevando a cabo, pues, la eliminación, tenemos

0)'''( =++ yczbabc (21),

que es equivalente a (19) multiplicada por un factor bc. Ahora, al examinar el valor de

este factor en las ecuaciones A, E, I, O, encontramos que en cada caso es v o v− . Pero

es evidente que si una ecuación expresando una proposición dada es multiplicada por un

factor extraño, derivado de otra ecuación, su interpretación estará limitada o será

imposible. Así, o bien no habrá resultado en absoluto, o bien el resultado será una

limitación de la proposición restante.

Si, no obstante, una de las ecuaciones originales fuese

,yx = o ,0=− yx

Todas las Zs son Xs, 0)1( =− xz Todas las Zs son Ys, .0)1( =− yz La conclusión del modo reducido se ve que es la contradictoria de la premisa menor suprimida. Por lo tanto, etc. Hay que observar que la prueba matemática de proposiciones contradictorias es que, al eliminar un símbolo electivo entre sus ecuaciones, el otro símbolo electivo desaparece. La reducción ostensiva de Baroko y Bokardo no supone dificultad alguna. El profesor Graves sugiere el empleo de la ecuación vyx = para la expresión primaria de la proposición “Todas las Xs son Ys”, y señala que, al multiplicar ambos miembros por y−1 , obtenemos

0)1( =− yx , la ecuación que establecimos en el texto y de la cual la [ecuación] anterior es una solución.

42

el factor bc sería 1− , y no limitaría la interpretación de la otra premisa. Por lo tanto, si

el primer miembro de un silogismo ha de entenderse para representar la proposición

doble “Todas las Xs son Ys” y “Todas las Ys son Xs”, sería indiferente en qué orden

estuviesen escritas las proposiciones restantes.

Una forma más general de la investigación precedente sería expresar las

premisas por las ecuaciones

0=+++ dxycybxa (22),

0'''' =+++ zydyczba (23).

Después de la doble eliminación de y y z encontraríamos que

0)'''')(( =+++− zydyczbaadbc ,

y se vería que, en cada caso, el factor adbc − debe, o bien desaparecer, o bien expresar

una limitación de significado.

La determinación del orden de las proposiciones resulta lo suficientemente

obvia.

43

DE LOS HIPOTÉTICOS

Una proposición hipotética se define como dos o más categóricas unidas por

una cópula (o conjunción), y los distintos tipos de proposiciones hipotéticas son

nombrados a partir de sus respectivas conjunciones, a saber, condicional (si), disyuntiva

(o), etcétera.

En las condicionales, la proposición categórica de la cual resulta la otra se llama

el antecedente, y aquella que resulta de ella el consecuente.

Del silogismo condicional hay dos, y sólo dos, fórmulas:

1) La constructiva

Si A es B, entonces C es D,

Pero A es B, por lo tanto C es D.

2) La destructiva

Si A es B, entonces C es D,

Pero C no es D, por lo tanto A no es B.

Un dilema es un silogismo condicional complejo con varios antecedentes en la

mayor y una menor disyuntiva.

Si examinamos cualquiera de las formas del silogismo condicional dado arriba,

veremos que la validez del argumento no depende de cualesquiera consideraciones que

tengan referencia con los términos A, B, C, D considerados como los representativos de

individuos o de clases. Bien podemos, de hecho, representar las proposiciones A es B, C

es D, por los símbolos arbitrarios X y Y respectivamente y expresar nuestro silogismo

bajo las formas que siguen:

Si X es verdadera, entonces Y es verdadera,

Pero X es verdadera, por lo tanto Y es verdadera.

Así, lo que hemos de considerar no son objetos y clases de objetos, sino las

verdades de las proposiciones, a saber, de aquellas proposiciones elementales que están

encarnadas en los términos de nuestras premisas hipotéticas.

A los símbolos X, Y, Z, representativos de proposiciones, podemos adecuar los

símbolos electivos x, y, z en el siguiente sentido.

El Universo hipotético 1 comprenderá todos los casos y coyunturas de

circunstancias concebibles.

44

El símbolo electivo x, unido a cualquier sujeto expresivo de tales casos,

seleccionará aquellos casos en los que la proposición X es verdadera, y de modo similar

para Y y Z.

Si nos limitamos a la contemplación de una proposición X dada, y dejamos en

suspenso toda otra consideración, entonces sólo dos casos son concebibles, a saber,

primero, que la proposición dada es verdadera, y, segundo, que es falsa.13 Como estos

casos juntos hacen el Universo de la Proposición, y como el primero está determinado

por el símbolo electivo x, el segundo está determinado por el símbolo x−1 .

Pero si se admiten otras consideraciones, cada uno de estos casos será resoluble

en otros, individualmente menos extensivos, cuyo número dependerá del número de

consideraciones ajenas admitidas. Así, si asociamos las proposiciones X y Y, se

encontrará que el número total de casos concebibles está exhibido en el siguiente

esquema.

Casos Expresiones electivas

1) X verdadera, Y verdadera xy

2) X verdadera, Y falsa )1( yx −

3) X falsa, Y verdadera yx)1( −

4) X falsa, Y falsa )1)(1( yx −− (24).

Si añadimos las expresiones electivas para los dos primeros de los casos

precedentes, la suma es x, que es el símbolo electivo adecuado al caso más general de X

siendo verdadera independientemente de cualquier consideración de Y; y si añadimos

las expresiones electivas en los dos últimos casos juntos, el resultado es x−1 , que es la

expresión electiva adecuada al caso más general de X siendo falsa.

13 Fue sobre el obvio principio de que una proposición es verdadera o falsa que los estoicos, aplicando tal principio a afirmaciones sobre eventos futuros, se empeñaron en establecer la doctrina del destino. En contra de su argumento se ha dicho que involucra “un abuso de la palabra verdadero, cuyo significado preciso es id quod res est. Una afirmación referente al futuro no es ni verdadera ni falsa.” (Copleston: Necessity and Predestination, p. 36). Sin embargo, si el axioma estoico fuese presentado bajo la forma “Es cierto que un evento dado tendrá lugar o no tendrá lugar”, la réplica anterior fallaría en dar con la dificultad. La respuesta apropiada sería que ninguna definición meramente verbal puede resolver la cuestión sobre cuáles son el curso y constitución reales de la naturaleza. Cuando afirmamos que, o bien es cierto que un evento tendrá lugar, o bien es cierto que no tendrá lugar, tácitamente asumimos que el orden de los eventos es necesario, que el futuro no es sino una evolución del presente, de tal forma que el estado de cosas que es determina por completo aquel que será. Pero ésta es (por lo menos en lo que respecta a la conducta de los agentes morales) la verdadera cuestión en disputa. Exhibida bajo su forma apropiada, el razonamiento estoico no involucra un abuso de términos, sino una petitio principii. Debe añadirse que los iluminados defensores de la doctrina de la Necesidad hoy en día, viendo el fin como señalado sólo en y a través de los medios, repudian con justicia tales consecuencias prácticas enfermizas que son el reproche del fatalismo.

45

De esta manera, la extensión del Universo hipotético no depende, en absoluto,

del número de circunstancias tomadas en cuenta. Y debe notarse que, sin importar qué

tan pocas o qué tan muchas puedan ser tales circunstancias, la suma de las expresiones

electivas representando todo caso concebible será siempre la unidad. Así, consideremos

las tres proposiciones X: llueve; Y: graniza; Z: hiela. Los posibles casos son los

siguientes:

Casos Expresiones electivas

1) Llueve, graniza, y hiela xyz

2) Llueve y graniza, pero no hiela )1( zxy −

3) Llueve y hiela, pero no graniza )1( yxz −

4) Hiela y graniza, pero no llueve )1( xyz −

5) Llueve, pero no graniza ni hiela )1)(1( zyx −−

6) Graniza, pero no llueve ni hiela )1)(1( zxy −−

7) Hiela, pero no graniza ni llueve )1)(1( yxz −−

8) Ni llueve ni graniza ni hiela )1)(1)(1( zyx −−−

1=suma

Expresión de proposiciones hipotéticas

Expresar que una proposición dada X es verdadera.

El símbolo x−1 selecciona aquellos casos en los que la proposición X es falsa.

Pero si la proposición es verdadera, no hay tales casos en su Universo hipotético, y por

tanto

,01 =− x

o 1=x (25).

Expresar que una proposición dada X es falsa.

El símbolo electivo x selecciona todos aquellos casos en los que la proposición

es verdadera, y por tanto, si la proposición es falsa,

0=x (26).

Y en cada caso, habiendo determinado la expresión electiva adecuada a una

proposición dada, afirmamos la verdad de tal proposición al igualar la expresión

electiva a la unidad, y su falsedad al igualar la misma expresión a 0.

Expresar que dos proposiciones, X y Y, son simultáneamente verdaderas.

El símbolo electivo adecuado para este caso es xy, y por tanto la ecuación

buscada es

46

1=xy (27).

Expresar que dos proposiciones, X y Y, son simultáneamente falsas.

La condición obviamente será

,1)1)(1( =−− yx

o 0=−+ xyyx (28).

Expresar que la proposición X es verdadera o que la proposición Y es verdadera.

Afirmar que una u otra de las dos proposiciones es verdadera es afirmar que no

es verdadero que ambas sean falsas. La expresión electiva adecuada para ambas siendo

falsas es )1)(1( yx −− , y por tanto la ecuación requerida es

,0)1)(1( =−− yx

o 1=−+ xyyx (29).

Y, por consideraciones indirectas de este tipo, puede ser expresada cualquier

proposición disyuntiva, sin importar el número de sus miembros. Pero la siguiente regla

general suele ser preferible.

REGLA. Considérese cuáles son los casos distintos y mutuamente excluyentes

en los cuales está implícito, en la declaración de la proposición dada, que algunos de

ellos son verdaderos, e iguálese la suma de sus expresiones electivas a la unidad. Esto

dará la ecuación de la proposición dada.

En efecto, la suma de las expresiones electivas, para todos los casos concebibles

distintos, será la unidad. Ahora, siendo todos estos casos mutuamente excluyentes, y

estando afirmado en la proposición dada que algún caso de un conjunto dado de ellos es

verdadero, se sigue que todos los que no están incluidos en tal conjunto son falsos, y

que sus expresiones electivas son, respectivamente, iguales a 0. Por lo tanto la suma de

las expresiones electivas para los casos restantes, a saber, aquellos incluidos en el

conjunto dado, será la unidad. Algunos de esos casos serán entonces verdaderos, y

como son mutuamente excluyentes, es imposible que más de uno sea verdadero. De

aquí la regla en cuestión.

En la aplicación de esta regla debe observarse que, si los casos contemplados en

la proposición disyuntiva dada no son mutuamente excluyentes, deben resolverse en una

equivalente serie de casos mutuamente excluyentes.

Así, si tomamos la proposición del ejemplo anterior, a saber, “X es verdadera o Y

es verdadera”, y asumimos que los dos miembros de esta proposición no son

excluyentes hasta el punto que en la enumeración de casos posibles debemos contar con

47

que las proposiciones X y Y son ambas verdaderas, entonces los casos mutuamente

excluyentes que colman el Universo de la proposición, con sus expresiones electivas,

son

1) X verdadera y Y falsa )1( yx −

2) Y verdadera y X falsa )1( xy −

3) X verdadera y Y verdadera xy ,

y la suma de estas expresiones electivas igualada a la unidad da

1=−+ xyyx (30),

tal como antes. Pero si suponemos que los miembros de la proposición disyuntiva son

excluyentes, entonces los únicos casos a ser considerados son

1) X verdadera, Y falsa )1( yx −

2) Y verdadera, X falsa )1( xy − ,

y la suma de estas expresiones electivas igualada a 0 da

12 =+− yxyx (31).

Los ejemplos adjuntos ilustrarán mejor este método.

Expresar la proposición “X no es verdadera o Y no es verdadera”, los miembros

siendo excluyentes.

Los casos mutuamente excluyentes son

1) X no verdadera, Y verdadera )1( xy −

2) Y no verdadera, X verdadera )1( yx − ,

y su suma igualada a la unidad da

12 =+− yxyx (32),

que es lo mismo que (31), y en efecto las proposiciones que representan son

equivalentes.

Expresar la proposición “X no es verdadera o Y no es verdadera”, los miembros

siendo no excluyentes.

A los casos contemplados en el último ejemplo debemos añadir el siguiente

X no verdadera, Y no verdadera )1)(1( yx −− .

La suma de las expresiones electivas da

1)1)(1()1()1( =−−+−+− yxxyyx

o 0=xy (33).

48

Expresar la proposición disyuntiva “X es verdadera o Y es verdadera o Z es

verdadera”, los miembros siendo excluyentes.

Aquí los casos mutuamente excluyentes son

1) X verdadera, Y falsa, Z falsa )1)(1( zyx −−

2) Y verdadera, Z falsa, X falsa )1)(1( xzy −−

3) Z verdadera, X falsa, Y falsa )1)(1( yxz −− ,

y la suma de las expresiones electivas igualada a 1 da, tras la reducción,

13)(2 =+++−++ xyzzxyzxyzyx (34).

La expresión de la misma proposición, cuando los miembros no son excluyentes

en ningún sentido, será

0)1)(1)(1( =−−− zyx (35).

Y es fácil ver que nuestro método es aplicable a la expresión de cualquier

proposición similar cuyos miembros estén sujetos a cualquier cantidad y carácter

especificado de exclusión.

Expresar la proposición condicional “Si X es verdadera, Y es verdadera”.

Aquí está implicado que todos los casos de X siendo verdaderos, son casos de Y

siendo verdaderos. Estando los primeros casos determinados por el símbolo electivo x, y

los últimos por y, tenemos, en virtud de (4), que

0)1( =− yx (36).

Expresar la proposición condicional “Si X es verdadera, Y no es verdadera”.

La ecuación es obviamente

0=xy (37);

esto es equivalente a (33), y en efecto la proposición disyuntiva “X es verdadera o Y es

verdadera” y la proposición condicional “Si X es verdadera, Y no es verdadera” son

equivalentes.

Expresar que “Si X no es verdadera, Y no es verdadera”.

En (36) escribamos x−1 en lugar de x y y en lugar de y−1 y tenemos

0)1( =− yx .

Los resultados que hemos obtenido admiten ser verificados de muchas maneras

distintas. Baste tomar, para un examen más particular, la ecuación

12 =+− yxyx (38),

que expresa la proposición condicional “X es verdadera o Y es verdadera”, en este caso

los miembros siendo excluyentes.

49

Primero, sea verdadera la proposición X; entonces 1=x , y sustituyendo tenemos

121 =+− yy 0=−∴ y o 0=y ,

que implica que Y no es verdadera.

Segundo, sea X no verdadera; entonces 0=x , y la ecuación da

1=y (39),

que implica que Y es verdadera. Podemos proceder del mismo modo con los supuestos

de que Y es verdadera o que Y es falsa.

De nuevo, en virtud de la propiedad yyxx == 22 , , podemos escribir la

ecuación bajo la forma

12 22 =+− yxyx ,

y extrayendo la raíz cuadrada tenemos

1±=− yx (40),

y esto representa el caso real, porque, como cuando X es verdadera o falsa, Y es

respectivamente falsa o verdadera, tenemos que

1=x o 0,

0=y o 1,

1=−∴ yx o 1− .

No habrá ninguna dificultad en el análisis de otros casos.

Ejemplos de silogismo hipotético

El tratamiento de toda forma de silogismo hipotético consistirá en formar las

ecuaciones de las premisas y en eliminar el símbolo o símbolos que se encuentren en

más de una de ellas. El resultado expresará la conclusión.

1) Silogismo disyuntivo.

X es verdadera o Y es verdadera (excluyente) 12 =−+ xyyx

Pero X es verdadera 1=x

Por lo tanto Y no es verdadera 0=∴ y

X es verdadera o Y es verdadera (no excluyente) 1=−+ xyyx

Pero X no es verdadera 0=x

Por lo tanto Y es verdadera 1=∴ y

2) Silogismo condicional constructivo

Si X es verdadera, Y es verdadera 0)1( =− yx

Pero X es verdadera 1=x

50

Por lo tanto Y es verdadera 1=∴ y

3) Silogismo condicional destructivo

Si X es verdadera, Y es verdadera 0)1( =− yx

Pero Y no es verdadera 0=y

Por lo tanto X no es verdadera 0=∴ x

4) Dilema constructivo simple, la premisa menor excluyente.

Si X es verdadera, Y es verdadera 0)1( =− yx (41)

Si Z es verdadera, Y es verdadera 0)1( =− yz (42)

Pero X es verdadera o Z es verdadera 12 =−+ xzzx (43).

De las ecuaciones (41), (42), (43) debemos eliminar x y z. Sea cual sea la forma

en que hacemos esto, el resultado es

1=y ,

de donde es evidente que Y es verdadera.

5) Dilema constructivo complejo, la premisa menor no excluyente.

Si X es verdadera, Y es verdadera 0)1( =− yx

Si W es verdadera, Z es verdadera 0)1( =− zw

X es verdadera o W es verdadera 1=−+ xwwx .

De estas ecuaciones, eliminando x, tenemos

1=−+ yzzy ,

que expresa la conclusión “Y es verdadera o Z es verdadera”, siendo los miembros no

excluyentes.

6) Dilema destructivo complejo, la premisa menor excluyente.

Si X es verdadera, Y es verdadera 0)1( =− yx

Si W es verdadera, Z es verdadera 0)1( =− zw

Y no es verdadera o Z no es verdadera 12 =−+ yzzy .

De estas ecuaciones debemos eliminar y y z. El resultado es

0=xw ,

que expresa la conclusión “X no es verdadera o Y no es verdadera”, siendo los miembros

no excluyentes.

7) Dilema destructivo complejo, la premisa menor no excluyente.

Si X es verdadera, Y es verdadera 0)1( =− yx

Si W es verdadera, Z es verdadera 0)1( =− zw

51

Y no es verdadera o Z no es verdadera 0=yz .

Tras la eliminación de y y z tenemos

0=xw ,

que indica la misma conclusión que el ejemplo anterior.

De estos casos y de otros similares parece que, ya sea que los miembros de la

premisa menor de un dilema sean excluyentes o no, los miembros de la conclusión

(disyuntiva) nunca son excluyentes. Este hecho quizá ha escapado a la atención de los

lógicos.

Las de arriba son las formas principales del silogismo hipotético reconocido por

los lógicos. Sin embargo sería fácil extender la lista, especialmente al mezclar los

caracteres disyuntivo y condicional en la misma proposición, de la cual lo siguiente es

un ejemplo.

Si X es verdadera, entonces Y es verdadera o Z es verdadera

0)1( =+−− yzzyx

Pero Y no es verdadera 0=y

Por lo tanto, si X es verdadera, Z es verdadera 0)1( =−∴ zx .

Aquello que los lógicos llaman proposición causal es propiamente un silogismo

condicional cuya premisa mayor ha sido suprimida.

La afirmación de que la proposición X es verdadera porque la proposición Y es

verdadera es equivalente a la afirmación

La proposición Y es verdadera,

Por lo tanto la proposición X es verdadera,

y éstas son la premisa menor y la conclusión del silogismo condicional

Si Y es verdadera, X es verdadera,

Pero Y es verdadera,

Por lo tanto X es verdadera.

Y así se ve que las proposiciones causales están incluidas en las aplicaciones de nuestro

método general.

Nótese que hay una familia de proposiciones disyuntivas y condicionales que no

pertenece, por derecho, a la clase considerada en este capítulo. Estas proposiciones son

aquellas en las que la fuerza de la partícula disyuntiva o condicional se gasta en el

predicado de la proposición, como si, hablando de los habitantes de una isla particular,

dijéramos que todos son europeos o asiáticos, queriendo decir que es verdadero de cada

52

individuo que es un europeo o un asiático. Si apropiamos el símbolo electivo x a los

habitantes, y a los europeos, y z a los asiáticos, entonces la ecuación de la proposición

anterior es

xzxyx += o 0)1( =−− zyx (a),

a la que podríamos añadir la condición 0=yz , ya que ningún europeo es asiático. La

naturaleza de los símbolos x, y, z indica que la proposición pertenece a aquellas

[proposiciones] que antes designamos como categóricas. Muy diferente a la anterior es

la proposición “Todos los habitantes son europeos o todos son asiáticos”. Aquí la

partícula disyuntiva separa proposiciones. El caso es aquel contemplado en (31) del

capítulo presente, y los símbolos por los cuales es expresado, aunque sujetos a las

mismas leyes que las de (a), tienen una interpretación completamente distinta.14

La distinción es real e importante. Toda proposición que puede expresar el

lenguaje puede ser representada por símbolos electivos, y las leyes de combinación de

tales símbolos son las mismas en todos los casos. Pero en una clase de instancias los

símbolos se refieren a colecciones de objetos, mientras que en la otra a las verdades de

las proposiciones constituyentes.

14 Algunos autores, entre los que se encuentra el Dr. Latham (First Outlines), consideran que la única función de una conjunción es conectar proposiciones, y no palabras. Con esta perspectiva no puedo estar de acuerdo. La proposición “Todo animal es racional o irracional” no puede resolverse en “Todo animal es racional o todo animal es irracional”. La primera pertenece a [las proposiciones] categóricas puras, mientras que la segunda a [las] hipotéticas. En proposiciones singulares, tales conversiones parecerían estar permitidas. “Este animal es racional o irracional” es equivalente a “O bien este animal es racional o es irracional”. Esta peculiaridad de las proposiciones singulares casi justificaría que las ubicásemos, aunque son realmente universales, en una clase separada, tal como hicieron Ramus y sus seguidores.

53

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES ELECTIVAS

Ya que los símbolos electivos se combinan de acuerdo con las leyes de cantidad,

podemos, a partir del teorema de Maclaurin, expandir una función dada )(xφ en

potencias ascendentes de x, exceptuando los casos malogrados ya conocidos. Así,

tenemos

+++= 2

2.1)0('')0(')0()( xxx φφφφ , etc. (44).

Ahora, ,, 32 xxxx == etc., y por lo tanto

+++= .,

2.1)0('')0(')0()( etcxx φφφφ (45).

Ahora, si en (44) hacemos que 1=x , tenemos

.,,2.1

)0('')0(')0()1( etc+++=φφφφ

por lo cual

)0()1(.,3.2.1)0('''

2.1)0('')0(' φφφφφ −=+++ etc .

Sustitúyase este valor para el coeficiente de x en el segundo miembro de (45) y

tenemos15

15 Aunque éste y los siguientes teoremas sólo han sido probados para aquellas formas de funciones que son expansibles por el teorema de Maclaurin, pueden considerarse como verdaderas para cualesquiera formas; esto será evidente por las aplicaciones. La razón parece ser que, como sólo a través de una forma de expansión se vuelven interpretables las funciones electivas, no es posible ninguna interpretación conflictiva. El desarrollo de )(xφ también puede determinarse así. Por la conocida fórmula para la expansión en factoriales,

.),1(2.1

)0()0()0()(2

etcxxxx −∆

+∆+=φφφφ

Ahora, siendo x un símbolo electivo, ,0)1( =−xx así que todos los términos después del segundo desaparecen. También )0()1()0( φφφ −=∆ , por consiguiente

{ } { }xx )0()1()0( φφφφ −+= . El matemático podría estar interesado en la observación de que éste no es el único caso en el que una expansión se detiene en el segundo término. Las expansiones de las funciones operativas compuestas

+ −1x

dxdφ y

+

−1

dxdxφ son, respectivamente, 1' −

+

x

dxd

dxd φφ y

1

)(')(−

+

dxdxx φφ .

Véase Cambridge Mathematical Journal, Vol. IV, p. 219.

54

{ }xx )0()1()0()( φφφφ −+= (46),

que también emplearemos bajo la forma

)1)(0()1()( xxx −+= φφφ (47).

Toda función de x en la que las potencias enteras de tal símbolo estén

involucradas solas es, por este teorema, reducible al primer orden. A las cantidades

)1(),0( φφ las llamaremos los módulos de la función )(xφ . Son de gran importancia en

la teoría de las funciones electivas, como será evidente por las siguientes proposiciones.

PROP. 1. Cualesquiera dos funciones )(),( xx ψφ son equivalentes si sus

correspondientes módulos son iguales.

Esta es una obvia consecuencia de la última proposición, porque como

{ }xx )0()1()0()( φφφφ −+= ,

{ }xx )0()1()0()( ψψψψ −+= ,

es evidente que si )1()1(),0()0( ψφψφ == , las dos expansiones serán equivalentes, y

por tanto las funciones que representan también serán equivalentes.

Lo inverso de esta proposición es igualmente verdadero: si dos funciones son

equivalentes, sus correspondientes módulos son iguales.

Entre las aplicaciones más importantes del teorema anterior podemos observar

las siguientes.

Supongamos que se requiere determinar para qué formas de la función )(xφ es

satisfecha la siguiente ecuación:

{ } )()( xx n φφ = .

Aquí inmediatamente obtenemos para la expresión de las condiciones en

cuestión,

{ } ).0()0( φφ =n { } )1()1( φφ =n (48).

De nuevo, supongamos que se requiere determinar las condiciones bajo las

cuales es satisfecha la ecuación

)()()( xxx χψφ = .

El teorema general inmediatamente da

).0()0()0( χψφ = )1()1()1( χψφ = (49).

Este resultado también puede probarse sustituyendo por )(),(),( xxx χψφ sus

formas expandidas, e igualando los coeficientes de la ecuación resultante propiamente

reducida.

55

Todos los teoremas de arriba pueden ser extendidos a funciones de más de un

símbolo. Esto porque, como los distintos símbolos electivos se combinan entre sí de

acuerdo con las mismas leyes de los símbolos para la cantidad, podemos primero

expandir una función dada con referencia a cualquier símbolo particular que contenga, y

después expandir el resultado con referencia a cualquier otro símbolo, y así

sucesivamente, siendo el orden de las expansiones completamente indiferente.

Así, siendo )(xyφ la función dada, tenemos

{ }yxxxxy )0()1()0()( φφφφ −+= ,

y expandiendo los coeficientes con referencia a x, y reduciendo,

{ } { }yxxy )00()01()00()10()00()( φφφφφφ −+−+=

{ }xy)00()01()10()11( φφφφ +−−+ (50),

a lo cual podemos dar la elegante forma simétrica

)1()01()1)(1)(00()( xyyxxy −+−−= φφφ

xyyx )11()1()10( φφ +−+ (51),

de donde, de acuerdo con el lenguaje empleado, designaremos )11(),10(),01(),00( φφφφ

como los módulos de la función )(xyφ .

Inspeccionando la forma general de arriba, es claro que cualesquiera funciones

de dos variables son equivalentes si sus correspondientes módulos son todos iguales.

De esta manera, las condiciones sobre las cuales depende la satisfacción de la

ecuación

{ } )()( xyxy n φφ =

se observa que son

{ } )00()00( φφ =n { } )01()01( φφ =n

(52).

{ } )10()10( φφ =n { } )11()11( φφ =n

Y las condiciones sobre las cuales depende la satisfacción de la ecuación

)()()( xyxyxy χψφ =

son

)00()00()00( χψφ = )01()01()01( χψφ =

(53).

)10()10()10( χψφ = )11()11()11( χψφ =

56

Es muy fácil asignar, por inducción de (47) y (51), la forma general de una

función electiva expandida. Es evidente que, si el número de símbolos electivos es m, el

número de los módulos será m2 , y que sus valores separados se obtendrán al

intercambiar, de toda forma posible, los valores 1 y 0 en los lugares de los símbolos

electivos de la función dada. Los diversos términos de la expansión de la cual los

módulos sirven como coeficientes se formarán al escribir, para cada 1 que aparezca bajo

el signo funcional, el símbolo electivo x, etc., que representa, y para cada 0 el

correspondiente x−1 , etc., y considerando éstos como factores, su producto,

multiplicado por el módulo del cual se obtienen, constituye un término de la expansión.

Así, si representamos los módulos de cualquier función electiva ...)(xyφ con

raaa ,...,, 21 , la propia función, cuando es expandida y arreglada con referencia a los

módulos, asumirá la forma

rr tatataxy +++= ...)( 2211φ (54),

en donde rttt ,...,, 21 son funciones de ,..., yx , resueltas en factores de las formas

.,...,1,1,...,, etcyxyx −− Estas funciones satisfacen individualmente las relaciones de

índice

.,, 2211 etctttt nn == (55)

y las demás relaciones

.,0...0 2121 etctttt == (56),

desapareciendo el producto de cualesquiera dos de ellas. Esto se inferirá de inmediato al

inspeccionar las formas particulares (47) y (51). Así, en la última tenemos, para los

valores de .,, 21 etctt , las formas

)1)(1(,)1(),1(, yxyxyxxy −−−− ,

y es evidente que éstas satisfacen la relación de índice y que todos sus productos

desaparecen. Designaremos por ,...,, 21 tt las funciones constituyentes de )(xyφ , y

definiremos la peculiaridad de la desaparición de los productos binarios al decir que

tales funciones son excluyentes. Y en efecto, las clases que representan son mutuamente

excluyentes.

La suma de todos los constituyentes de una función expandida es la unidad. Una

prueba elegante de esta proposición se obtendrá expandiendo 1 como una función de

cualesquiera símbolos electivos propuestos. Así, si en (51) asumimos que 1)( =xyφ ,

tenemos 1)00(,1)01(,1)10(,1)11( ==== φφφφ , y (51) da

57

)1)(1()1()1(1 yxyxyxxy −−+−+−+= (57).

Es obvio que sin importar qué tan numerosos sean los símbolos involucrados,

todos los módulos de la unidad son unidad, y por tanto la suma de los constituyentes es

la unidad.

Ahora estamos preparados para entrar en la cuestión de la interpretación general

de las ecuaciones electivas. Para este propósito nos será de gran ayuda la siguiente

proposición.

PROP. 2. Si el primer miembro de la ecuación general 0...)( =xyφ es expandido

en una serie de términos cada uno de los cuales es de la forma at, a siendo un módulo

de la función dada, entonces, para cada módulo numérico a que no desaparece,

tendremos la ecuación

0=at ,

y las interpretaciones combinadas de estas diversas ecuaciones expresarán la plena

significancia de la ecuación original.

En efecto, representando la ecuación bajo la forma

0...2211 =+++ rr tatata (58),

multiplicando por 1t tenemos, por (56),

011 =ta (59),

por lo cual, si 1a es una constante numérica que no desaparece,

01 =t ,

y de manera similar para todos los módulos que no desaparecen. Y en la medida en que

de estas ecuaciones constituyentes podamos formar la ecuación dada, sus

interpretaciones expresarán en conjunto su plena significancia.

Así, si la ecuación dada fuese

0=− yx X y Y son idénticas (60),

tendríamos 0)00(,1)01(,1)10(,0)11( =−=== φφφφ , así que la expansión (51) asumiría

la forma

0)1()1( =−−− xyyx ,

por lo cual, por el teorema de arriba,

0)1( =− yx Todas las Xs son Ys

0)1( =− xy Todas las Ys son Xs,

resultados que son en conjunto equivalentes a (60).

58

Podría suceder que la simultánea satisfacción de ecuaciones así deducida pueda

requerir que uno o más de los símbolos electivos desaparezca. Esto únicamente

implicaría la no existencia de una clase: incluso puede suceder que conduzca a un

resultado final de la forma

01 = ,

que indicaría la no existencia del Universo lógico. Tales casos sólo surgirán cuando

intentemos unir proposiciones contradictorias en una sola ecuación. La manera en la que

parece ser evadida la dificultad en el resultado es característica.

De esta proposición resulta que las diferencias en la interpretación de las

funciones electivas solamente dependen del número y posición del módulo que

desaparece. Ningún cambio en el valor de un módulo, excepto el que causa que

desaparezca, produce cambio alguno en la interpretación de la ecuación en la que se

encuentra. Si entre el número infinito de distintos valores que estamos permitidos a dar

a los módulos que no desaparecen en una ecuación propuesta ha de preferirse algún

valor, éste es la unidad, porque cuando los módulos de una función son todos 0 o 1, la

propia función satisface la condición

{ } ...)(...)( xyxy n φφ = ,

y esto introduce inmediatamente simetría en nuestro cálculo, y nos proporciona

estándares de referencia fijos.

PROP. 3. Si ...)(xyw φ= , w, x, y,…, siendo símbolos electivos, y si el segundo

miembro es expandido por completo y arreglado en una serie de términos de la forma

at, tenemos permitido igualar a 0, de forma separada, cada término en el que el módulo

a no satisface la condición

aa n = ,

y dejar, para el valor de w, la suma de los términos restantes.

Ya que la naturaleza de la demostración de esta proposición no se ve afectada

por el número de términos en el segundo miembro, por razones de simplicidad nos

conformaremos con que haya cuatro, y supondremos que solamente los módulos de los

primeros dos satisfacen la ley del índice.

Entonces tenemos

44332211 tatatataw +++= (61)

con las relaciones

2211 , aaaa nn ==

59

añadidas a los dos conjuntos de relaciones conectando 4321 ,,, tttt , en concordancia con

(55) y (56).

Elevando (61) al cuadrado tenemos

4243

232211 tatatataw +++= ,

y sustrayendo (61) de esto,

0)()( 442433

23 =−+− taataa ,

y siendo una hipótesis que los coeficientes de estos términos no desaparecen, tenemos,

por la PROP. 2,

0,0 43 == tt (62),

por lo cual (61) se vuelve

2211 tataz += .

La utilidad de esta proposición será evidente en lo sucesivo.

PROP. 4. Las funciones ,,...,, 21 rttt siendo mutuamente excluyentes, siempre

tendremos que

,)(...)()()...( 22112211 rrrr tatatatatata ψψψψ +++=+++ (63),

sean cuales sean los valores de ,,...,, 21 raaa o la forma de ψ .

Esté la función rr tatata +++ ...2211 representada por ...)(xyφ ; entonces los

módulos raaa ...21 estarán dados por las expresiones

...)00((...)...);10(...),11( φφφ .

También { }...)()...( 2211 xytatata rr φψψ =+++

{ } { } )...1()10(......)11( yxxy −+= φψφψ

{ } )...1)(1()00( yx −−+ φψ

)...1)(1)(()...1()(...)( 21 yxayxaxya r −−+−+= ψψψ

,)(...)()( 2211 rr tatata ψψψ ++= (64).

No sería difícil ampliar esta lista de interesantes propiedades, de las cuales lo

anterior son sólo ejemplos. Empero, aquellas que hemos hecho observar son suficientes

para nuestros propósitos presentes. La siguiente proposición puede servir como una

ilustración de su utilidad.

PROP. 5. Sea cual sea el proceso de razonamiento que apliquemos a una única

proposición dada, el resultado será, o bien la misma proposición, o una limitación de

ella.

60

Representemos la ecuación de la proposición dada bajo su forma más general,

0...2211 =+++ rr tatata (65),

resoluble en tantas ecuaciones de la forma 0=t como haya módulos que no

desaparecen.

Ahora, la transformación más general de esta ecuación es

)0()...( 2211 ψψ =++ rr tatata (66),

siempre que atribuyamos a ψ un carácter perfectamente arbitrario, permitiéndole

incluso que involucre nuevos símbolos electivos teniendo cualquier relación propuesta

con los originales.

El desarrollo de (66) da, por la última proposición,

)0()(...)()( 2211 ψψψψ =+++ rr tatata .

Para reducir esto a la forma general de referencia sólo es necesario observar que, como

1...21 =++ rttt ,

para )0(ψ podemos escribir

)...)(0( 21 rttt ++ψ ,

de donde, sustituyendo y transponiendo,

{ } { } { } 0)0()(...)0()()0()( 2211 =−++−+− rr tatata ψψψψψψ .

De esto resulta que, si a es cualquier módulo de la ecuación original, el

correspondiente módulo de la ecuación transformada será

)0()( ψψ −a .

Si 0=a , entonces 0)0()0()0()( =−=− ψψψψ a , por lo cual no hay nuevos

términos en la ecuación transformada, y por tanto no hay nuevas proposiciones dadas al

igualar a 0 sus miembros constituyentes.

De nuevo, ya que )0()( ψψ −a puede desaparecer sin que a desaparezca, puede

que falten términos en la ecuación transformada que sí existían en la [ecuación]

primitiva. Así, algunas de las verdades constituyentes de la proposición original pueden

desaparecer por completo de la interpretación del resultado final.

Por último, si )0()( ψψ −a no desaparece, entonces debe, o bien ser una

constante numérica, o bien involucrar nuevos símbolos electivos. En el primer caso, el

término en el que se encuentra dará

0=t ,

que es uno de los constituyentes de la ecuación original; en el segundo caso tendremos

61

{ } 0))0(( =− ta ψψ ,

en donde t tiene un factor limitante. La interpretación de esta ecuación, por

consiguiente, es una limitación de la interpretación de (65).

El sentido de la última investigación será más evidente para el matemático que

para el lógico. Ya que de cualquier ecuación matemática puede deducirse un número

infinito de otras [ecuaciones], parecía ser necesario mostrar que, cuando la ecuación

original expresa una proposición lógica, todo miembro de la serie derivada, incluso

cuando es obtenido por expansión bajo un signo funcional, admite una interpretación

exacta y consistente.

62

DE LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES ELECTIVAS

De cualquier forma que un símbolo electivo, considerado como desconocido,

esté involucrado en una ecuación propuesta, es posible asignar su valor completo en

términos de los símbolos electivos restantes, considerados como conocidos. Sobre tales

ecuaciones debe observarse que, por la propia naturaleza de los símbolos electivos,

necesariamente son lineales, y que sus soluciones tienen una analogía muy cercana con

las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales, los símbolos electivos arbitrarios

de una ocupando el lugar de las constantes arbitrarias en la otra. Primero ilustraremos el

método de solución con ejemplos, y después lo aplicaremos a la investigación de

teoremas generales.

Dado 0)1( =− yx (Todas las Ys son Xs), determinar y en términos de x.

Como y es una función de x, podemos asumir que )1(' xvvxy −+= (tal siendo la

expresión de una función arbitraria de x), quedando por ser determinados los módulos v

y 'v . Tenemos entonces que

{ } 0)1(')1( =−+− xvvxx

o, en la multiplicación real,

0)1(' =− xv .

Para que esto sea generalmente verdadero sin imponer ninguna restricción sobre x

debemos asumir que 0'=v , y no habiendo ninguna condición para limitar v, tenemos

vxy = (67).

Esta es la solución completa de la ecuación. La condición de que y es un símbolo

electivo requiere que v también sea un símbolo electivo (ya que debe satisfacer la ley

del índice), siendo arbitraria su interpretación en otros aspectos.

Similarmente, la solución de la ecuación 0=xy es

)1( xvy −= (68).

Dado 0)1( =− zyx (Todas las Ys que son Zs son Xs), determinar y.

Como y es una función de x y z, podemos asumir que

zxvzxvzxvzxvy ''')1('')1(')1)(1( +−+−+−−= .

Y sustituyendo tenemos

0)1(' =− zxv ,

y por tanto 0'=v . Entonces la solución completa es

63

xzvzxvzxvy ''')1('')1)(1( +−+−−= (69),

''','',' vvv siendo símbolos electivos arbitrarios, y la interpretación rigurosa de este

resultado es que toda Y es, o bien una no-X y no-Y, o una X y no-Z, o una X y Z.

Es digno de notar que la ecuación de arriba puede resolverse, como

consecuencia de su forma lineal, añadiendo las dos soluciones particulares con

referencia a x y z, y remplazando las constantes arbitrarias que cada una involucra por

una función arbitraria del otro símbolo, siendo el resultado

)()1()( xzzxy ψφ −+= (70).

Para mostrar que esta solución es equivalente a la otra, sólo basta con sustituir,

por las funciones arbitrarias )(),( xz ψφ , sus equivalentes

)1(' zwwz −+ y )1(''''' xwxw −+ ,

y así tenemos que )1)(1(''')1()'''( zxwzxwwwxzy −−+−++= .

Como consecuencia del carácter perfectamente arbitrario de 'w y ''w , podemos

remplazar su suma por un único símbolo 'w , por lo cual

)1)(1(''')1(' zxwzxwwxzy −−+−+= ,

que concuerda con (69).

La solución de la ecuación 0)1( =− zywx , expresada por funciones arbitrarias,

es

)()()1()()1( wxywyxxywz χψφ +−+−= (71).

Estos ejemplos pueden servir para mostrar la analogía que existe entre las

soluciones de ecuaciones electivas y las del orden correspondiente de las ecuaciones

diferenciales lineales. Así, la expresión de la integral de una ecuación diferencial

parcial, ya sea por funciones arbitrarias o por una serie con coeficientes arbitrarios, está

en estricta analogía con el caso presentado en los dos últimos ejemplos. Extender esta

comparación sería atender a la curiosidad más que a la utilidad. Preferimos contemplar

el problema de la solución de ecuaciones electivas bajo su aspecto más general, que es

el objeto de las investigaciones venideras.

Resolver la ecuación general 0)( =xyφ con referencia a y.

Si expandimos la ecuación dada con referencia a x y y, tenemos

0)11()1()10()1)(01()1)(1)(00( =+−+−+−− xyyxyxyx φφφφ (72),

los coeficientes .,),00( etcφ siendo constantes numéricas.

Ahora, la expresión general de y, como una función de x, es

64

)1(' xvvxy −+= ,

v y 'v siendo símbolos desconocidos a ser determinados. Sustituyendo este valor en

(72), obtenemos un resultado que puede escribirse bajo la forma

{ }[ ] { }[ ] 0)1(')00()00()00()10()11()10( =−−++−+ xvxv φφφφφφ ,

y para que esta ecuación pueda ser satisfecha sin restringir de ninguna manera la

generalidad de x, debemos tener

{ } ,0)10()11()10( =−+ vφφφ

{ } ,0')00()01()00( =−+ vφφφ

de donde deducimos

)11()10(

)10(φφ

φ−

=v , )00()01(

)00('φφ

φ−

=v ,

por lo cual

)1()01()00(

)00()11()10(

)10( xxy −−

+−

=φφ

φφφ

φ (73).

Habiendo expandido la ecuación original sólo con respecto a y, habríamos tenido

{ } 0)0()1()0( =−+ yxxx φφφ ;

pero puede haber sobresaltado a aquellos no acostumbrados a los procesos del álgebra

simbólica el que de esta ecuación hayamos deducido

)1()0()0(

xxxyφφ

φ−

= ,

debido al carácter aparentemente sin sentido del segundo miembro. Tal resultado, sin

embargo, habría sido perfectamente legítimo, y la expansión del segundo miembro nos

habría dado la solución obtenida arriba. En el siguiente ejemplo emplearé este método,

y sólo observaré que, para aquellos que pueda parecerles dudoso, pueden verificar sus

conclusiones recurriendo al método anterior.

Resolver la ecuación general 0)( =xyzφ o, en otras palabras, determinar el valor

de z como una función de x y y.

Expandiendo la ecuación dada con referencia a z tenemos

{ } 0)0()1()0( =−+ zxyxyxy φφφ

)1()0()0(xyxy

xyzφφ

φ−

=∴ (74),

y expandiendo el segundo miembro como una función de x y y con ayuda del teorema

general tenemos

65

)1()101()100(

)100()111()110(

)110( yxxyz −−

+−

=φφ

φφφ

φ

)1)(1()001()000(

)000()1()011()010(

)010( yxyx −−−

+−−

+φφ

φφφ

φ (75),

y ésta es la solución completa requerida. Por el mismo método podemos resolver una

ecuación que involucre cualquier número propuesto de símbolos electivos.

En la interpretación de cualquier solución general de esta naturaleza pueden

presentarse los siguientes casos.

Siendo constantes los valores de los módulos .,),01(),00( etcφφ uno o más de los

coeficientes de la solución puede asumir la forma 00 o

01 . En el primer caso, el símbolo

indefinido 00 debe ser remplazado por un símbolo electivo arbitrario v. En el segundo

caso, el término, que es multiplicado por un factor 01 (o por cualquier constante

numérica excepto 1), debe ser separadamente igualado a 0, e indicará la existencia de

una proposición subsidiaria. Esto es evidente por (62).

Ejemplo. Dado 0)1( =− yx , Todas las Xs son Ys, determinar y como función de

x.

Sea )1()( yxxy −=φ ; entonces 0)00(,0)01(,0)11(,1)10( ==== φφφφ , por lo

cual (por (73))

)1(00

001

1 xxy −−

+−

=

)1(00 xx −+=

)1( xvx −+= (76),

v siendo un símbolo electivo arbitrario. La interpretación de este resultado es que la

clase Y consiste en toda la clase X con un resto indefinido de no-Xs. Este resto es

indefinido en el sentido más alto, i. e., puede variar desde 0 hasta toda la clase de no-Xs.

Ejemplo. Dado yzzx =+− )1( (la clase Y consiste en toda la clase Z, con las

no-Zs en cuanto son Xs), encontrar Z.

Aquí zyzxxyz +−−= )1()(φ , por lo cual tenemos el siguiente conjunto de

valores para los módulos

,0)110( =φ ,0)111( =φ 1)100( =φ , ,1)101( =φ

66

,1)010( −=φ ,0)011( =φ ,0)000( =φ ,1)001( =φ

y sustituyendo éstos en la fórmula general (75) tenemos

yxyxxyz )1()1(01

00

−+−+= (77),

el coeficiente infinito del segundo término indica la ecuación

0)1( =− yx , Todas las Xs son Ys,

y el coeficiente indeterminado del primer término siendo remplazado por v (un símbolo

electivo arbitrario), tenemos

vxyyxz +−= )1( ,

cuya interpretación es que la clase Z consiste en todas las Ys que no son Xs y en un resto

indefinido de Ys que son Xs. Desde luego que este resto indefinido puede desaparecer.

Los dos resultados que hemos obtenido son inferencias lógicas (no muy obvias) de las

proposiciones originales, y nos dan toda la información que contienen con respecto a la

clase Z y a sus elementos constituyentes.

Ejemplo. Dado )1()1( yzzyx −+−= (la clase X consiste en todas las Ys que son

no-Zs y en todas las Zs que son no-Ys), se requiere la clase Z.

Tenemos

),1()1()( yzzyxxyz −−−−=φ

,0)110( =φ ,1)111( =φ ,1)100( =φ ,0)101( =φ

1)010( −=φ , 0)011( =φ , ,0)000( =φ ,1)001( −=φ

por lo cual, sustituyendo en (75),

)1()1( xyyxz −+−= (78),

cuya interpretación es que la clase Z consiste en todas las Xs que no son Ys y en todas

las Ys que no son Xs; una inferencia estrictamente lógica.

Ejemplo. Dado { } 0)1(1 =−− xzy , Todas las Ys son Zs y no-Xs.

Procediendo como antes para formar los módulos tenemos, sustituyendo en las

fórmulas generales,

)1)(1(00)1()1(

00

01 yxxyyxxyz −−+−+−+=

o )1)(1(')1()1( yxvyvxxyz −−+−+−=

)()1()1( xyxy φ−+−= (79)

con la relación 0=xy .

67

De esto es evidente que ninguna Y es X y que la clase Z consiste en todas las Ys

que no son Xs y en un resto indefinido de no-Ys.

Este método, en combinación con el método de Lagrange para multiplicadores

indeterminados, puede ser aplicado muy elegantemente al tratamiento de ecuaciones

simultáneas. Nuestros límites sólo nos permiten ofrecer un único ejemplo, pero el tema

bien merece una investigación posterior.

Dadas las ecuaciones 0)1(,0)1( =−=− yzzx , Todas las Xs son Zs, Todas las Zs

son Ys, determinar el valor completo de z con cualesquiera relaciones subsidiarias

conectando x y y.

Añadiendo la segunda ecuación, multiplicada por una constante indeterminada

λ , a la primera, tenemos

0)1()1( =−+− yzzx λ ,

por lo cual, determinando los módulos y sustituyendo en (75),

yxyxxyz )1(00)1(

11

−+−−

+=λ

(80),

de donde derivamos

yxvxyz )1( −+=

con la relación subsidiaria

0)1( =− yx .

La primera de estas expresiones significa que la clase Z consiste en todas las Xs

que son Ys, con un resto indefinido de no-Xs que son Ys. La última significa que todas

las Xs son Ys, siendo de hecho la conclusión del silogismo del cual las dos

proposiciones dadas son las premisas.

Al asignar un significado apropiado a nuestros símbolos, todas las ecuaciones

que hemos discutido admitirían ser interpretadas mediante [proposiciones] hipotéticas,

pero puede ser suficiente con haberlas considerado como ejemplos de [proposiciones]

categóricas.

Tal peculiaridad de los símbolos electivos, en virtud de la cual toda ecuación

electiva es reducible a un sistema de ecuaciones .,,0,0 21 etctt == constituidas de

forma tal que todos los productos binarios .,,, 3121 etctttt desaparecen, representa una

doctrina general en la lógica con referencia al análisis último de las proposiciones, sobre

la cual resulta deseable ofrecer alguna ilustración.

68

Cualquiera de estos constituyentes .,,, 21 etctt consiste únicamente en factores de

las formas .,1,1,...,, etczwyx −− En las [proposiciones] categóricas representa, por

tanto, una clase compuesta, i. e., una clase definida por la presencia de ciertas

cualidades y por la ausencia de otras cualidades.

Cada ecuación constituyente .,,01 etct = expresa una negación de la existencia

de alguna clase así definida, y las distintas clases son mutuamente excluyentes.

Así, todas las proposiciones categóricas son resolubles en una negación de la

existencia de ciertas clases compuestas, no siendo ningún miembro de tal clase

miembro de otra.

La proposición “Todas las Xs son Ys”, expresada por la ecuación 0)1( =− yx , se

resuelve en la negación de la existencia de una clase cuyos miembros sean Xs y no-Ys.

La proposición “Algunas Xs son Ys”, expresada por xyv = , es resoluble como

sigue. Expandiéndola,

)1()1)(1()1()1( vxyyxvxvyyvxxyv −−−−+−+−=−

0)1(,0)1)(1(,0)1(,0)1( =−=−−=−=−∴ xyvyxvxvyyvx .

Las tres primeras implican que no hay una clase cuyos miembros pertenezcan a

cierta “Algunas” desconocida, y son 1) Xs y no Ys; 2) Ys y no Xs; 3) no-Xs y no-Ys. La

cuarta implica que no hay una clase cuyos miembros sean Xs y Ys sin pertenecer a esta

desconocida “Algunas”.

Del mismo análisis es evidente que todas las proposiciones hipotéticas pueden

resolverse en negaciones de la coexistencia de la verdad o falsedad de ciertas

afirmaciones.

De esta manera, la proposición “Si X es verdadera, Y es verdadera” es resoluble,

por su ecuación 0)1( =− yx , en una negación de que la verdad de X y la falsedad de Y

coexisten.

Y la proposición “X es verdadera o Y es verdadera”, miembros excluyentes, es

resoluble en una negación, primero, de que X y Y son ambas verdadera, y segundo, de

que X y Y son ambas falsas.

Pero podría preguntarse si no es necesario algo más que un sistema de

negaciones para la constitución de una proposición afirmativa. Si no se requiere, pues,

un elemento positivo. Sin duda hay necesidad de uno, y este elemento positivo está

suministrado, en las [proposiciones] categóricas, por la suposición (que puede

considerarse como un prerrequisito de razonamiento en tales casos) de que hay un

69

Universo de concepciones, y que cada individuo que contiene pertenece a una clase

propuesta o no pertenece a ella, y en las [proposiciones] hipotéticas, por la suposición

(igualmente prerrequisita) de que hay un Universo de clases concebibles, y que

cualquier proposición es verdadera o falsa. En efecto, la cuestión de la existencia de

concepciones es preliminar a cualquier declaración sobre sus cualidades o relaciones

(Aristóteles, Anal. Post., lib. II, cap. 2).

Por lo anterior es claro que las proposiciones pueden considerarse como

descansando, a la vez, sobre un fundamento positivo y sobre uno negativo. Este punto

de vista no es extraño al espíritu del razonamiento deductivo ni inapropiado a su

método, este último procediendo siempre por limitaciones y el primero contemplando lo

particular como derivado de lo general.

Demostración del método de los multiplicadores indeterminados

aplicado a ecuaciones electivas simultáneas

Para evitar complejidades innecesarias, será suficiente con considerar el caso de

tres ecuaciones involucrando tres símbolos electivos, siendo aquellas las más generales

de su tipo. Se verá que el caso está marcado por cualquier característica que afecte el

carácter de la demostración, que se presentaría en la discusión del problema más general

en el que tanto el número de ecuaciones como el número de variables son ilimitados.

Sean las ecuaciones dadas

,0)( =xyzφ ,0)( =xyzψ .0)( =xyzχ (1).

Multiplicando la segunda y la tercera por las constantes arbitrarias h y k, y

añadiéndolas a la primera, tenemos

0)()()( =++ xyzkxyzhxyz χψφ (2),

y habremos de mostrar que, al resolver esta ecuación con referencia a cualquier variable

z por el teorema general (75), obtendremos no solamente el valor general de z

independiente de h y k, sino también cualesquiera relaciones subsidiarias que puedan

existir entre x y y independientemente de z.

Si representamos la ecuación general (2) bajo la forma 0)( =xyzF , su solución

puede ser escrita, por (75), bajo la forma

)000()001(1

)1)(1(

)010()011(1

)1(

)100()101(1

)1(

)110()111(1

FF

yx

FF

xy

FF

yx

FFxyz

−

−−+

−

−+

−

−+

−= ,

70

y hemos visto que cualquiera de estos cuatro términos ha de ser igualado a 0, cuyo

módulo, que podemos representar por M, no satisface la condición MM n = o, lo que

aquí es lo mismo, cuyo módulo tiene cualquier otro valor que 0 o 1.

Consideremos el módulo (supongamos )1M del primer término, a saber,

.

)110()111(1

1

FF

− Dándole al símbolo F su significado pleno, tenemos

)110()110()110()111()111()111(1

11

χψφχψφ

khkh

M

++++

−= .

Es evidente que la condición MM n =1 no puede ser satisfecha a menos que el

miembro que está a la derecha sea independiente de h y k, y para que esto sea el caso

debemos tener la función

)110()110()110()111()111()111(

χψφχψφ

khkh

++++ independiente de h y k.

Asumamos entonces que

ckhkh

=++++

)110()110()110()111()111()111(

χψφχψφ ,

c siendo independiente de h y k. Tenemos, depurando las fracciones e igualando los

coeficientes, que

),110()111( φφ c= ),110()111( ψψ c= ),110()111( χχ c=

por lo cual, al eliminar c,

,)110()111(

)110()111(

)110()111(

χχ

ψψ

φφ

==

siendo equivalente al sistema triple

0)111()110()110()111( =− ψφψφ

0)111()110()110()111( =− χψχψ (3),

0)111()110()110()111( =− ψχφχ

y es claro que, si cualquiera de estas ecuaciones no es satisfecha, el módulo 1M no

satisfará la condición 11 MM n = , por lo cual el primero término del valor de z debe ser

igualado a 0, y tendremos

0=xy ,

una relación entre x y y independiente de z.

71

Ahora, si en términos de z expandimos cada par de las ecuaciones primitivas (1),

tendremos

{ }{ }{ } ,0)0()1()0(

,0)0()1()0(,0)0()1()0(

=−+=−+

=−+

zxyxyxyzxyxyxy

zxyxyxy

χχχψψψφφφ

y eliminando sucesivamente z entre cada par de estas ecuaciones tenemos

,0)1()0()0()1(,0)1()0()0()1(

,0)1()0()0()1(

=−=−=−

xyxyxyxyxyxyxyxy

xyxyxyxy

φχφχχψχψψφψφ

que expresa todas las relaciones entre x y y que se forman al eliminar z. Expandiéndolas,

y escribiendo el primer término de forma completa, tenemos

{ }{ }{ } ,0.,)111()110()110()111(

,0.,)111()110()110()111(,0.,)111()110()110()111(

=+−=+−=+−

etcxyetcxy

etcxy

φχφχχψχψψφψφ

y es evidente, de la Prop. 2, que si el coeficiente de xy en cualquiera de estas ecuaciones

no desaparece, tendremos la ecuación

;0=xy

pero los coeficientes en cuestión son los mismos que los primeros miembros del sistema

(3), y los dos conjuntos de condiciones concuerdan exactamente. Así, en lo que respecta

al primer término de la expansión, el método de los coeficientes indeterminados

conduce al mismo resultado que la eliminación ordinaria, y es obvio que, por su

similitud de forma, aplicará el mismo razonamiento a todos los otros términos.

Supongamos, en segundo lugar, que las condiciones (3) están satisfechas, de tal

manera que 1M es independiente de h y k. Entonces asumirá indiferentemente las

formas equivalentes

.

)110()111(1

1

)110()111(1

1

)110()111(1

11

χχ

ψψ

φφ

−=

−=

−=M

Estas son las formas exactas del primer módulo en los valores expandidos de z,

deducidas individualmente de la solución de las tres ecuaciones primitivas. Si este valor

común de 1M es 1 o v=00 , el término estará retenido en z; si cualquier otro valor

constante (excepto 0), tenemos una relación 0=xy no dada por eliminación, sino

deducible individualmente de las ecuaciones primitivas, y similarmente para todos los

72

otros términos. Así, en cada caso la expresión de las relaciones subsidiarias es un

acompañamiento necesario del proceso de solución.

Es evidente, tras una consideración, que una prueba similar aplicará a la

discusión de un sistema indefinido en cuanto al número de sus símbolos y de sus

ecuaciones.

POST SCRIPTUM

Están agregadas algunas explicaciones y referencias adicionales que se me han

ocurrido durante la impresión de este trabajo.

Las observaciones sobre la conexión entre la lógica y el lenguaje son apenas lo

suficientemente explícitas. Sostengo que tanto una como el otro dependen, muy

materialmente, de nuestra habilidad para formar nociones generales por la facultad de

abstracción. El lenguaje es un instrumento de la lógica, pero no un instrumento

indispensable.

A las observaciones sobre la causa me gustaría añadir las siguientes.

Considerando la causa como un antecedente invariable en la naturaleza (que es la

perspectiva de Brown), ya sea asociada o no con la idea de poder, como ha sido

sugerido por Sir John Herschel, el conocimiento de su existencia es un conocimiento

propiamente expresado por la palabra que, no por porqué. Es muy notable que las dos

mayores autoridades en la lógica, moderna y antigua, concuerden en la última

interpretación y difieran ampliamente en su aplicación a las matemáticas. Sir W.

Hamilton dice que las matemáticas exhiben únicamente el que, mientras que Aristóteles

dice que “el porqué pertenece a los matemáticos, porque ellos tienen las demostraciones

de las causas” (Anal. Post. Lib. I, cap. XIV). Debe añadirse que el punto de vista de

Aristóteles es consistente con el sentido (aunque erróneo) que en varias partes de sus

escritos asigna virtualmente a la palabra causa, a saber, un antecedente en la lógica, un

sentido de acuerdo con el cual podría decirse que las premisas son la causa de la

conclusión. Me parece que esta perspectiva le da incluso a sus investigaciones físicas

mucho de su carácter peculiar.

Reconsiderando, pienso que el punto de vista de la p. 36, sobre la presencia o

ausencia de un medio de comparación, se sigue inmediatamente de la doctrina del

profesor De Morgan, y por tanto declino todo derecho de descubrimiento. El modo en el

que aparece en este tratado es, no obstante, destacable.

73

He encontrado razones suficientes para cambiar la opinión expresada en las pp.

37-39. El sistema de ecuaciones ofrecido ahí para la expresión de proposiciones en los

silogismos siempre es preferible al [sistema] empleado antes, tanto en generalidad como

en facilidad de interpretación.

En virtud del principio de que una proposición es verdadera o falsa, todo

símbolo electivo empleado en la expresión de las [proposiciones] hipotéticas admite

solamente los valores 0 y 1, que son las únicas formas cuantitativas de un símbolo

electivo. De hecho es posible, partiendo de la teoría de probabilidades (que es

puramente cuantitativa), llegar a un sistema de métodos y procesos para el tratamiento

de las [proposiciones] hipotéticas exactamente similar a aquellos que han sido dados.

Los dos sistemas de símbolos electivos y de cantidad contactan, si se me permite la

expresión, en los puntos 0 y 1. Me parece que por esto está implicado que la verdad

incondicional ([proposiciones] categóricas) y la verdad probable se reúnen en la

constitución de la verdad contingente ([proposiciones] hipotéticas). La doctrina general

de los símbolos electivos y todas las aplicaciones más características son totalmente

independientes de cualquier origen cuantitativo.

FIN