el algebra diagrama y postulados

5/8/2018 EL ALGEBRA Diagrama y Postulados - slidepdf.com

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EL ALGEBRA

El Algebra es la rama de las matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo más general posible.

LA HISTORIA DEL ALGEBRA

La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuacioneslineales (ax = b) y cuadráticas (ax 2 + bx = c ), así como ecuaciones indeterminadas como x 2 + y 2 = z 2, con variasincógnitas. Los anticuados babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismosmétodos que hoy se enseñan. También fueron hábiles de solucionar ciertas ecuaciones indeterminadas.

Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Lasaritméticas de Diofante es de suficiente más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuacionesindeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en elmundo islámico, en donde se le llamó ³ciencia de reducción y equilibrio´. (La palabra árabe al- jabru que significa`reducción', es el origen de la palabra álgebra. En el siglo IX, el matemático al-Jwrizm; escribió uno de los primeroslibros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos ydemostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyesfundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar la x, y, z quecumplen x + y + z = 10, x 2 + y 2 = z 2, y xz = y 2.

En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente;sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la

incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Estaálgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema delbinomio. El matemático, poeta y astrónomo persa Omar Khayyam mostró cómo expresar las raíces de ecuacionescúbicas utilizando los segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces. La traducción al latín del Álgebra de al-Jwrizm fue publicada en el siglo XII. A principiosdel siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la soluciónde la ecuación cúbica x 3 + 2 x 2 + cx = d. Fibonacci había viajado a países árabes, por lo que con seguridad utilizó elmétodo arábigo de aproximaciones sucesivas.

Postulados matemáticos

Los postulados son fórmulas específicas de una teoría y se aceptan solamente por acuerdo. Razonando acerca de

dos estructuras diferentes, por ejemplo, los números naturales y losnúmeros enteros pueden poseer los mismos

axiomas, sin embargo, los postulados expresan lo que es esencial de una estructura, o un conjunto de estructuras.

Los postulados, a diferencia de los axiomas lógicos, no son tautologías.

Cualquier teoría matemática moderna se fundamenta en un conjunto de postulados y aunque se pensaba que, en

principio, cualquier teoría podía ser axiomatizada y formalizada, posteriormente esto se demostró imposible.

En matemática, son célebres los postulados de Euclides, expuestos en los Elementos, el tratado fundamental de

la geometría clásica. Siglos después, cuando fue cuestionado elquinto postulado de Euclides, surgió la

llamada geometría no euclidiana.

Existen otros, como el postulado de Bertrand referente a los números primos, o los postulados de Cauchy,

enunciados por el matemático Augustin Louis Cauchy referentes a vectores

Postulados del Algebra de Boole

1.- La suma lógica de una variable a y 1 es siempre 1.



f (a + 1) = 1

2.- La suma lógica de un 0 y una variable a, siempre da el valor de la variable a.

f (a + 0) = a

3.- La suma lógica de una variable consigo misma, siempre da en la salida el mismo valor de la variable.

f (a + a) = a

4.- La suma lógica de una variable y la inversa de ésta siempre da en la salida 1, ya que al menos uno de ellos vale1.

f (a + not a) = 1

5.- La multiplicación lógica de una variable a y un 1 siempre da como resultado el valor de la variable a.

f (a · 1) = a

6.- La multiplicación lógica de un cero y una variable a, da en la salida un 0.

f (a · 0) = 0

7.- La multiplicación lógica de una variable a consigo misma, da como resultado el valor de la variable a.

f (a · a) = a

8.- La multiplicación lógica de una variable a por la inversa de ésta, dará a la salida siempre 0.

f (a · not a) = 0

Diagrama de Venn mostrando la intersección de dos conjuntos.

Los de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática y Lógica de clases conocida como teoría de

conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosaselementos en conjuntos,

representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. La posición relativa en el plano de tales círculos

muestra la relación entre los conjuntos. Por ejemplo, si los círculos de los conjuntos A y B se solapan, se muestra un

área común a ambos conjuntos que contiene todos los elementos contenidos a la vez en A y en B. Si el círculo del

conjunto A aparece dentro del círculo de otro B, es que todos los elementos de A también están contenidos en B.

[Orígenes e Historia



Ventanal en el comedor del Gonville and Caius College, Cambridge, conmemorando la estancia de Venn y su

principal creación.

Los diagramas de Venn tienen el nombre de su creador,John Venn, matemático y filósofo británico. Estudiante y más

tarde profesor en elCaius College de la Universidad de Cambridge, desarrolló toda su producción intelectual entre

esas cuatro paredes.

Venn introdujo el sistema de representación que hoy conocemos en julio de1880 con la publicación de su trabajo

titulado « De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos»1 2 3 en el Philosophical

Magazine and Journal of Science, provocando un cierto revuelo en el mundo de la lógica formal. Aunque la primera

forma de representación geométrica de silogismos lógicos se atribuye comúnmente a Gottfried Leibniz, y fue luego

ampliada por George Boole y Augustus De Morgan, el método de Venn superaba en claridad y sencillez a los

sistemas de representación anteriores, hasta el punto de convertirse con el tiempo en un nuevo estándar. Venn fue el

primero en formalizar su uso y en ofrecer un mecanismo de generalización para los mismos.

Más adelante desarrolló algo más su nuevo método en su libroLógica simbólica, publicado en 1881 con el ánimo de

interpretar y corregir los trabajos de Boole en el campo de la lógica formal. Aunque no tuvo demasiado éxito en su

empeño, su libro se convirtió en una excelente plataforma de ejemplo para el nuevo sistema de representación.

Siguió usándolo en su siguiente libro sobre lógica (Los principios de la lógica empírica, publicado en 1889), con lo

que los diagramas de Venn fueron a partir de entonces cada vez más empleados como representación de relaciones

lógicas.

La primera referencia escrita al término "diagrama de Venn" de la que se tiene constancia es muy tardía (1918), en el

libro A Survey of Symbolic Logic , de Clarence Irving Lewis.4 5 6

Los diagramas de Venn se emplean hoy día para enseñar matemáticas elementales y para reducir la lógica y la

Teoría de conjuntos al cálculo simbólico puro. Se suelen usar también en el aula diagramas de Venn de dos o tresconjuntos como herramienta de síntesis, para ayudar a los estudiantes a comparar y contrastar dos o tres de

elementos; en este uso, se incluyen dentro de cada elemento las características exclusivas, y en las intersecciones,

las comunes con los otros.

Tipos de diagramas de Venn

Diagrama de dos conjuntos

Conjuntos A y B.

Considérese el ejemplo a la derecha: supóngase que el conjunto A (el círculo naranja) representa, por ejemplo, a

todas las criaturas vivas con solo dos piernas motrices y que el conjuntoB (el círculo azul) contiene a todas las

criaturas que pueden volar. El área donde ambos círculos se superponen (que recibe el nombre deintersección entre

A y B, o intersección A - B) contendría por tanto todas las criaturas que, al mismo tiempo, pueden volar y tienen sólo

dos piernas motrices.



usando elipses, así como indicaciones para la creación de diagramas con cualquier cantidad de curvas, par tiendo del

diagrama de tres círculos Ü Ý ace f alta mas inf ormación f altan dibu jos)

[editar ]Diagr amas Þ

e Venn Þ

e EÞ

wards

A. W.ß . Edwards diseñó representaciones para diagramas de Venn de más de tres con juntos,proyectando el

diagrama sobre una esf era. Se pueden representar f ácilmente tres con juntos tomando tres Ý

emisf er ios en ángulos

rectos Ü x =0, y =0 y z =0). à

n cuar to con junto se puede representar tomando una curva similar a la juntura de una

pelota de tenis que suba y ba je alrededor del ecuador . Los con juntos resultantes pueden proyectarse de nuevo sobre

el plano para mostrar diagramas de engranaje, con cantidades cada vez mayores de dientes. Edwards ideó estos

diagramas mientras diseñaba la ventana acr istalada en memor ia de Venn que á oy adorna el comedor de su colegio.

â

iagrama para tres con juntos.

â iagrama para cuatro con juntos.

â

iagrama para cinco con juntos.

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iagrama para seis con juntos.

Diagr ama de Venn.

Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de las matemáticas conocida como teor ía de con juntos.

Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la relación matemática o lógica entre dif erentes grupos de cosas

ã con juntos), representando cada con junto mediante un óvalo o círculo.

La f orma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones lógicas entre los

con juntos que representan. Por e jemplo, cuando los círculos se superponen, indican la existencia de subcon juntos

con algunas caracter ísticas comunes.

Orígenes e Histor ia.

Los diagramas de Venn reciben su nombre de su creador , ä ohn Venn, matemático y filósof o br itánico. Estudiante y más tarde prof esor en el

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å ollege de la

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å ambr idge, desarrolló toda su producción intelectual

entre esas cuatro paredes.

Venn introdu jo el sistema de representación que hoy conocemos con su nombre en julio de ç è è 0 con la publicación

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empeño, su libro se convir tió en una excelente plataf orma de e jemplo para el nuevo sistema de representación.

Los diagramas de Venn se emplean hoy día para enseñar matemáticas elementales y para reducir la lógica y la

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eor ía de con juntos al cálculo simbólico puro. Se suelen usar también en el aula diagramas de Venn de dos o tres

con juntos como herramienta de síntesis, para ayudar a los estudiantes a comparar y contrastar dos o tres de

elementos; en este uso, se incluyen dentro de cada elemento las caracter ísticas exclusivas, y en las intersecciones,

las comunes con los otros.

Tipos de diagr amas de venn



Diagrama de dos conjuntos

Observemos el ejemplo a la derecha: Supongamos que el conjunto A (el círculo naranja) representa, por ejemplo,

todas las criaturas vivas con solo dos piernas motrices, y el conjunto B (el círculo azul) contiene a todas las criaturas

que pueden volar. El area donde ambos círculos se sobreponen (que recibe el nombre de intersección entre A y B, o

intersección A - B) contendría por tanto todas las criaturas que, al mismo tiempo, pueden volar y tienen solo dos

piernas motrices.

Imaginemos ahora que cada tipo distinto de criatura viva está representado con un punto situado en alguna parte del

diagrama. Los humanos y los pingð

inos estarían dentro del círculo naranja (el conjunto A) en la parte en la que no se

sobrepone al círculo azul (el conjunto B), ya que ambos son bípedos y no pueden volar. Los mosquitos, que tienen

seis piernas motrices y pueden volar, estarían representados con un punto dentro del círculo azul fuera de la

intersección A - B. Los loros, que tienen dos piernas motrices y pueden volar, estarían representados por un punto

dentro de la intersección A - B. Cualquier tipo de criatura que no tuviera solo dos piernas ni pudiera volar (como por

ejemplo las ballenas o las serpientes), estaría representado mediante puntos fuera de ambos círculos.

El diagrama de Venn representado en el ejemplo 1 puede describirse como la relación entre el conjunto A y el

conjunto B. El área combinada de ambos conjuntos recibe el nombre de unión de los conjuntos A y B. La unión en

este caso contiene todos los tipos de criaturas que tienen dos piernas, pueden volar, o ambas cosas a la vez.

El área donde los conjuntos A y B se entrecruzan se define como la intersección de A y B. Contiene todos los tipos de

criaturas que pertenecen a la vez a A y a B, es decir, que tienen dos piernas Y pueden volar.

Un diagrama de Venn de dos conjuntos define 3 áreas diferentes, que pueden unirse en 6 posibles combinaciones:

A (dos patas)

A y B (dos patas y vuelan)

A y no B (dos patas y no vuelan)

no A y B (más o menos de dos patas, y vuelan)

no A y no B (ni tienen dos patas ni vuelan)

B (vuelan)

A veces se incluye un rectángulo alrededor del diagrama de Venn, que recibe el nombre de conjunto universal. Se

usa para representar el conjunto de todas las cosas posibles. La definición del universo, al igual que la de los

conjuntos, depende del diagrama sobre el que se representa. La idea de conjunto universal, aunque fue apuntada por

el propio Venn, se atribuye habitualmente a Charles Dodgson, más conocido como Lewis Carroll.

Diagramas de tres conjuntos. Los diagramas de tres conjuntos fueron los más corrientes elaborados por Venn en su presentación inicial. Las

distintas intersecciones de los tres conjuntos A, B y C definen ocho areas diferentes, cuyas posibles uniones suponen

256 combinaciones distintas de los tres conjuntos iniciales.

Más de tres conjuntos

La dificultad de representar más de tres conjuntos mediante diagramas de Venn (o cualquier otra representación

gráfica) es bien evidente. Venn sentía afición a la búsqueda de diagramas para más de tres conjuntos, a los que

definía como figuras simétricas, elegantes en sí mismas. A lo largo de su vida diseñó varias de estas

representaciones usando elipses, así como indicaciones para la creación de diagramas para cualquier cantidad de

curvas, partiendo del diagrama de tres círculos.

Una de las principales teorías dentro de la matemática actual es la Teoría de los Conjuntos. Podríamos decir que esuna teoría que nos explica el funcionamiento de una colección de elementos cuando realizamos alguna operacióncon ellos.

De la definición anterior observamos la primera dificultad que se encuentra un estudiante al estudiar esta teoría, puesse empieza sin ninguna definición válida. El concepto de conjunto se acepta sin definición.

La segunda dificultad a la que una persona se enfrenta cuando estudia la Teoría de Conjuntos es la de lasoperaciones con conjuntos. Una parte que sin lugar a dudas es muy importante ya que influirá en otras teoríasmatemáticas. Pues bien, los Diagramas de Venn intentan corregir, de alguna manera, dicha dificultad.

Los Diagramas de Venn se basan fundamentalmente en representar los conjuntos matemáticos con unas³circunferencias´. Con estas circunferencias el estudiante realiza una serie de operaciones como la unión, la



intersección, etc. Podríamos decir que el manejo de los Diagramas de Veen sirven para orientar al estudiante, sonuna herramienta metodológica que tiene el profesor para explicar la Teoría de Conjuntos.

Pues bien vamos a citar a continuación los ejemplos más importantes de los Diagramas de Veen.

Diagrama de la intersecciñ n de dos conjuntos.

En teoría la intersección de dos conjuntos podemosdefinirla como la parte común que tienen dos conjuntos, sies que existe(Ejemplo de inexistencia: la intersección delos números pares con los impares) . Pues el diagramaque viene a continuación representa dicha situación.

La intersección de los conjuntos A y B es la parte azulada, en efecto vemos que la parte común que comparte elconjunto A con el B es la parte azul.

En matemáticas la intersección se representa AB.

Diagrama de la intercesión vacía (no hay ningún elemento

común)

En efecto, se observa que ambos conjuntos no tienen ningunaparte común. Esto se le llama en Matemáticas conjunto vacío yse representa: Ø.

Diagrama de la uniò

n de dos conjuntos.

En teoría la unión de dos conjuntos podemos definirla comouna ³suma´ de un conjunto con otro. Pues el diagrama que semuestra a continuación representa la situación descritaanteriormente.

La unión de los conjuntos A y B es la parte colorada, podemos ver que se han sumado el conjunto A y el B. Enmatemáticas la unión se representa AUB.

Diagrama del complementar io de un conjunto.

En teoría el complementario de un conjunto se hace enreferencia a un conjunto universal y se define como loselementos que no pertenecen al conjunto. Tan raro se entiendemejor con el siguiente diagrama.

El conjunto U es el universal(parte amarilla y blanca) y elcomplementario de A es solo la parte amarilla del dibujo. Elcomplementario de un conjunto se representa Ac.

Diagrama de la dif erencia de conjuntos.



La diferencia B - A es la parte de B que no está en A.

La diferencia de conjuntos en matemáticas se expresa B\A,para este caso.

Diagrama de la inclusió

n de conjuntos.

En el diagrama se puede observar como el conjunto B estacontenido (o incluido) en el conjunto A. Esto matemáticamentese expresa BÌA.

Con estos diagramas se pueden representar la gran mayoría de las operaciones con conjuntos.Pero, las aquíexpuestas son las fundamentales a partir de ellas se obtienen las demás.

Notas biográficas

Jhon Venn nació el 4 de agosto de 1833 en Hull (Inglaterra) y murió el 4 de abril de 1923 en Cambridge

(Inglaterra).Este científico nace en una familia acomodada y evangélica y cristiana. Fue profesor en la Universidad deCambridge, impartía clases de lógica y probabilidad, estaba interesado en las teorías de De Morgan y Boole. Conrelación a este último se encargó de ampliar su teoría acerca de la lógica matemática con lo que elabora losdiagramas que hemos visto antes. Entre sus libros cabe destacar Symbolic Logic (Lógica Simbólica) en 1881 y ThePrinciples of Empirical Logic (Los Principios de la Lógica Empírica ) en 1889.

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