ejercitacion algebra

EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOSActividades de ampliacion

1 2 3 4 5 6

Saca dos veces factor comun en las expresiones: a) ac ad bc bd b) 2a2 4ac 3ab 6bc c) 2x4 2x2y2 x2z y2z Escribe los siguientes trinomios en la forma a(x a) x2 2x 7 b) 2x2 4x 7 c) 3x2 5x 1 b)2 c:

A ambos margenes de un r de tres metros de anchura, existen dos arboles de alturas 2 m y 5 m. Escribe, mediante una expresion o, algebraica, la distancia que debe recorrer un pajaro para ir de la copa de un arbol a la del otro pasando por el r para beber o agua. Un pintor pinta una pared de 15 metros cuadrados en 2 horas. Otro realiza el mismo trabajo en 3 horas. Escribe, mediante una expresion algebraica, la cantidad de metros cuadrados que seran capaces de pintar juntos en x horas. Escribe mediante una expresion algebraica el area de un rectangulo inscrito en un triangulo isosceles de base 2b metros y de altura a metros. Sabiendo que un lado del rectangulo se apoya sobre el lado desigual. Recortando un cuadrado en cada una de las cuatro esquinas de una plancha de hojalata rectangular, de dimensiones a y b metros, se quiere construir una caja sin tapa. Escribe, mediante expresiones algebraicas, la superficie total de la caja as como su volumen.

Solucionario

1 2

a) a(c d) b(c d) (a b) (c d) b) 2a(a 2c) 3b(a 2c) (2a 3b) (a 2c) c) 2x2(x2 y2) z(x2 y2) (2x2 z) (x2 y2) a) (x 1)2 1 7 (x 2x] 7 2 [(x b) 2[x2 5 c) 3 x2 1 3 x x 3 2 5 25 3 x 1 6 12 1)2 6 1)2 1] 7 2(x 5 2 25 6 36 5 2 13 3 x 6 12

4 51)2

El primer pintor hace en una hora 7,5 metros cuadrados. El segundo pintor hace en una hora 5 metros cuadrados. Juntos hacen en una hora 12,5 metros cuadrados. En x horas haran juntos 12,5 x metros cuadrados. Suponiendo que las dimensiones del rectangulo son 2x e y res pectivamente y aplicando el teorema de Tales a los dos trian a y gulos rectangulos semejantes, se tendr a . Sustitub b x b x yendo, S 2xy 2xa b Suponiendo que el lado de los cuadrados mide x metros, el area total sera el resultado de restar cuatro veces el area del cuadra do al area del rectangulo, y por tanto: S ab 4x2. Por otra parte y dado que las dimensiones del ortoedro formado son a 2x, b 2x y x respectivamente, se tiene: V (a 2x) (b 2x)x, que es el volumen de la caja.

5

3

Suponiendo que toma agua a x metros de una orilla, y por tanto a 3 x de la otra, y aplicando dos veces el teorema de Pita goras se obtiene: x2 22 (3 x)2 52 x2 4 x2 6x 34

6

EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOSActividades de refuerzo

1

Calcula el valor numerico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores que se indican: a) 4x2 y2 4xy para x 3, y 4 b) (2x y)2 para x 3, y 4 4 3 1 c) r , para r 2, r 3 2 Dados los polinomios P(x) a) P(x) Q(x) R(x) b) P(x) Q(x) R(x) c) P(x) Q(x) d) P(x) Q(x) R(x) 3x3 2x 3, Q(x) 2x2 3x 2, R(x) x3, calcula:

2

3 4 5 6 7

Realiza las siguientes operaciones: a) (2a b) (a b) (3b a) (b 2a) b) (a b) (b c) (a b c) a2 (b c) Realiza las siguientes operaciones: a) (2x2 3y2)2 (2x2 3y2)2 b) (2x 1)2 (2x 2)2 (2x 3)2 3 3 c) (2x 3y) (2x 3y)

b3

Saca factor comun en las siguientes operaciones algebraicas: a) 4y3 8y5 b) 12x2y3 8x3y2 c) 3a2 6ab 9ac Calcula el valor de la expresion algebraica a) a 1, b 5, c 6 b) a 1, b 1, c 12 c) a 2, b 20, c 50 El a) b) c) b2 4ac para los siguientes valores:

numero 625 se divide en dos partes (sumandos). Escribe, mediante una expresion algebraica, el resultado de: Multiplicar dichos sumandos. Sumar los cuadrados de los sumandos. Sumar el cociente de los sumandos con el doble de su producto.

Solucionario

1 2 3 4

a) 4; a) b) c) d) 4x3 2x3 6x5 6x8

b) 4; 2x2 2x2 9x4 9x7 4b2 ac2

c)

32 , 3 6

56 6x3

a) 4y3(1 2y2) 2 2 b) 4x y (3y 2x) c) 3a(a 2b 3c)

x 1 5x 5 10x3 13x 10x6 13x4

6 7

a) 6ab b) abc

a) b) c)

25 24 1 1 48 7 400 400 0

bc2 3y2))((2x2 3y2) (2x2 3y2)) a) x(625 x) b) x2 (625 x)2 x c) 2x(625 625 x

a) ((2x2 3y2) (2x2 24x2y2 4x2 6y2 b) 12x2 24x 14 c) 72x2y 54y3

x)

DIVISION DE POLINOMIOS. RAICESActividades de refuerzo

1

Efectua las siguientes divisiones: a) (6x4 16x3 11x2 6x 4) : (3x2 5x 1) b) (4x5 24x4 37x3 16x2 16x 4) : (x3 4x2 6x6 10x5 23x4 11x3 9x2 7x 4 c) 2x3 2x2 3x 1

2x

3)

2 3 4 5 6

Utiliza la regla de Ruffini para realizar las siguientes divisiones: a) (x4 x3 10x2 3x 3) : (x 3) 5 4 b) (6x 4x 21x3 16x2 8x 8) : (x 2) c) ( 3x4 17x3 15x2 21x 2) : (x 5) Utilizando el valor numerico, halla el resto de las siguientes divisiones: a) (3x6 12x5 2x4 8x3 x2 6x 5) : (x 4) b) ( 5x5 62x4 27x3 36x2 7x 74) : (x 12) c) (2x5 7x4 16x3 7x2 41x 96) : (x 5) Calcula el valor a) El polinomio b) El polinomio c) El polinomio de m (3x5 (2x5 (5x6 en los siguientes casos: 6x4 2x3 x2 3mx 2m) es divisible por (x 2) 4 3 9x 9x 2x2 mx m) tiene al numero 3 como ra entera. z 10x5 2x4 4x3 mx2 x 5m) es divisible por (x 2).

Calcula las ra ces enteras de los siguientes polinomios: a) 2x3 4x2 22x 24 b) 3x3 54x2 321x 630 c) 2x4 20x2 18 Factoriza los siguientes polinomios: a) 2x3 4x2 22x 24 b) 3x3 9x2 219x 945 c) 2x4 20x2 18

Solucionario

1 2 3

a) Cociente b) Cociente c) Cociente

2x2 2x 1. Resto 3x 5 4x2 8x 3. Resto 2x 5 3x3 2x2 5x 4. Resto 0

4

a) Hallando el obtiene m b) Hallando el obtiene m c) Hallando el obtiene m

valor numerico en x 3. valor numerico en x 9. valor numerico en x 2.

2 e igualando a 0, se 3 e igualando a 0, se 2 e igualando a 0, se

a) Cociente b) Cociente c) Cociente

x3 4x2 2x 3. Resto 12 6x4 16x3 11x2 6x 4. Resto 3x3 2x2 5x 4. Resto 18

0.

5 6

a) Ra ces: 1, 3, 4 b) Ra ces: 5, 6, 7 c) Ra ces: 1, 1, 3, 3 a) 2(x 1) (x 3) (x 4) b) 3(x 5) (x 7) (x 9) c) 2(x 1) (x 1) (x 3) (x

a) Resto b) Resto c) Resto

13 10 1

3)

DIVISION DE POLINOMIOS. RAICESActividades de ampliacion

1 2 3 4 5 6

Determina el polinomio P(x) tal que verifica las siguientes condiciones (todas a la vez): a) El divisible por (x 2)2 y el cociente que se obtiene es de la forma ax b. b) El resto al dividirlo por x 1 es 18. c) El resto al dividirlo por x es 4. Considera los polinomios P(x) para cualquier k. 3x3 (k 1)x2 kx 2 para cualquier valor real k. Prueba que P(x) 6 es divisible por x 1

Factoriza los siguientes polinomios: a) x3 x 2. b) 5x4 5x3 25x2 35x 70 c) x4 8x2 16 Estudia en que casos el polinomio xn an es divisible por x (x a. 3)2n (x 2)n 1 es siempre divisible por x2 5x 6.

Demuestra que para cualquier valor de n el polinomio P(x)

Considera un cuadrado con 16 casillas en las que se colocan, en el orden natural, los numeros comprendidos entre el 1 y el 16. Invierte el orden en cada una de las diagonales, que obtienes?

Solucionario

1 2 3

P(x) (ax b) (x 2)2. Pero: 9(b a) 18 P( 1) 18 P(0) 4 4b 4 b 1 Por tanto, P(x) ( x 1) (x 2)2 P( 1) 6 3 k 1 P(x) 6 es divisible por (x que se de a k.

4a 1

k 2 6 0, y por tanto 1) independientemente del valor

Ya que P(a) an an 0, P(x) xn an es divisible por x a. Ya que P( a) ( a)n an, P(x) xn an sera divisible por x a cuando n sea par pero no cuando n sea impar. n n n n n a 2a 0, P(x) x a no es divisible Ya que P(a) a por x-a. an, P(x) xn an sera divisible por Ya que P( a) ( a)n x a cuando n sea impar pero no cuando n sea par. x2 5x 6 (x 2) (x 3) P(2) (2 3)2n 1 [( 1)2]n 1 1n 1 1 1 0, por tanto P(x) es divisible por x 2. 1 0, por tanto P(x) es divisible por x-3. Ademas, P(3) 1n En consecuencia, el polinomio es divisible por x2 5x 6 Un cuadrado magico de orden 4, en el que los numeros quedan ordenados de la siguiente forma (de izquierda a derecha y de arriba a abajo): 16, 2, 3, 13, 5, 11, 10, 8, 9, 7, 6, 12, 4, 14, 15 y 1.

a) P( 1) 0 x3 x 2 (x 1) (x2 x 2) es la descomposicion factorial, pues: 1 2 1 1 2 7 x2 x 2 x 2 x 2 4 2 4 que nunca puede anularse y por tanto es irreducible. b) 5(x 1) (x 2) (x2 7) 4 2 c) x 8x 16 [(x2 4)2 16] 16 (x2 4)2

5 6

EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALESActividades de ampliacion

1 2

Calcula y simplifica: a2 (b c)2 a) a b c b) b c 2 bc b c 2 bc

Racionaliza los denominadores: 1 a) x y 1 b) 3 1 x Demuestra que las expresiones u2 v2, 2uv y u2 v2 verifican que la suma de los cuadrados de las dos primeras es igual al cuadrado de la tercera. Observa que dando valores a u y v (u v) obtendras todas las ternas pitagoricas que quieras. Calcula el per metro de un rombo si sus diagonales miden d y 2d cm. Calcula la diagonal de un ortoedro de dimensiones 2, 3 y 4 cm. Cual sera su superficie total? Una hormiga se encuentra situada en el vertice de un cubo de lado 2 m. En el vertice opuesto hay una miga de pan. Que distancia debera recorrer como m nimo la hormiga para comerse el pan si no puede salirse de la superficie del cubo?

3 4 5 6

Solucionario

1

a)

(a b b ( (

b a

c) (a b b c c)2 c)2

c) c c ( b 2 2 b

a

b bc

c

4

b) ( (

b b c) c) (2

bc. Por tanto, c)2

Suponiendo que el lado del rombo vale x: d 2 5d2 x2 d2 2 4 d 5 P 4 2 5 d cm 2 Hallando primero la diagonal de la base: 32 22 13 d Aplicando otra vez el teorema de Pitagoras: D ( 13)2 42 2(2 4) 13 16 29 cm 52 cm2

b b x

c) x y y) (x x

b

c y y y) x2

5

2

a) x x (x3

y x y (x y) (x

y

x y x)2 x

y

ST

2(4 3)

2(3 2)

y) x)23

6x)

b)

(1 x3

(1 1

Si suponemos la tapa del cubo abierta, nos damos cuenta que el camino m nimo, la l nea recta, es igual a la diagonal de un triangulo rectangulo de catetos 2 y