Vamos a introducir la notacion de los probabilistas...X

f(x)(dx) en vez de

X

f(x)d(x)

1. Sea X una variable aleatoria real, definida sobre un espacio de proba-bilidad (,F ,P) y sea F su funcion de acumulacion. i.e.

F(x) = P ({X x}).

Diga por que F es creciente.

Que tipo de discontinuidades puede tener la funcion F?

Siendo F(x) = limyx F(y), que representa F(x) F(x).Muestre que F tiene a lo mucho un numero numerable de discon-tinuidades.

Diga por que F es continua a la derecha.

Suponiendo que F es continua, calcule la distribucion de probabilidadde la variable aleatoria F X.

2. Consideremos el espacio de medida (R2,B2, 2), siendo 2 la medida deLebesgue del plano (medida de area).

Definicion

Sea una medida sobre (R2,B2), el soporte de , denotado suppes el mas pequeno cerrado tal que su complementario tiene medidanula. i.e.

(a) (R2 \ supp) = 0(b) A R2, cerrado, tenemos

(R2 \ A

)= 0 A supp

Desde luego, esta definicion tiene sentido para cualquier espaciode medida (X,F, ), en donde X es ademas un espacio topoogico.

Explique por que supp existe.

3. Sea la medida 2, multiplicada por la densidad 2A, siendo

A ={

(x, y) R2; 0 x < y 1}.

i.e.

B B, (B) =B

2A (x, y)2 (dx, dy) .

1

Recordemos que A representa la funcion caracterstica de A. Es decir,

A (x, y) =

1, si (x, y) A (o sea 0 x < y 1)

0, si (x, y) / A.

Encuentre el soporte de .

Muestre que es una medida de probabilidad.

Encuentre la distribucion de probabilidad de cada una de las proyec-ciones sobre los ejes coordenados. Trace los graficos de las funciones deacumulacion respectivas.

Encuentre la esperanza y la varianza de las variables aleatorias sigu-ientes: x+ y, x y, xy, x/y, y/x, cuando estas existen.

4. Responda a todas las preguntas del ejercicio anterior, en el caso de lasdensidades:

3A, siendo A = {(x, y) R2; 0 y < x2 1} .

2x A, siendo A = [0, 1]2.

3x A, siendo A = {(x, y) R2; 0 y < x 1} .

5. Consideremos ahora el espacio de probabilidad ([0, 1] ,B, 1), siendo 1la medida de Lebesgue en dimension 1 (medida de longitud, restringidaal conjunto [0, 1]).

Encontrar la distribucion de la variable aleatoria

x [0, 1] ln(

1

x

)Dar un ejemplo de variable aleatoria definida sobre el espacio de proba-bilidad ([0, 1] ,B, 1), tomando sus valores en R, que tenga distribucionde Cauchy.

Ayuda

Usar la respuesta a la ultima pregunta del numeral 1, que es F Xtiene distribucion uniforme sobre el intervalo [0, 1].

2

Como en este caso

F X : ([0, 1] ,B1, 1) ([0, 1] ,B, 1) ,

entoncesF X(x) = x.

Conocemos F, buscamos X...

6. Sea X una variable aleatoria con distribucion dada por

A B1, P (X A) =1

sin2(x) dx.

Puede X tomar valores negativos? Cuales son los valores que puedetomar X?

Encontrar la funcion de acumulacion de X.

Sea Y otra variable aleatoria sobre el mismo espacio, con distribuciondada por

A B1, P (X A) =1

cos2(x) dx.

Diga si X y Y son independientes. Si la pregunta no tiene sentido,explique porque.

7. Escriba todas las algebras del conjunto {,,,}. Identifiquetodos los pares de algebras que son independientes con respecto ala medida uniforme sobre P ({,,,}).

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