UniversidaddelNorte

Barranquilla, 7 de octubre de 2015

Universidad del Norte

Division de Ingenierıas

Analisis Matricial - Taller 04

Ejercicios E1

1. Dada A ∈ Rn×n y v ∈ Rn, modifique el Algoritmo de Arnoldi (visto en clase) de manera que determine

el subespacio maximal Km(A;v) tal que Kj(A;v) ⊆ Km(A;v) para todo m < j ≤ n. Explique sumodificacion y ejecute dos ejemplos en los cuales m < n.

2. Considere las siguientes matrices

A1 = tridiag100(−0,5, 2,−1) A2 = tridiag100(−1, 2,−5)

resuelva el sistema lineal Aix = b con b de manera que admita al vector 1 como solucion exacta.Determine

a) Determine la dimension del subespacio de Krylov maximal asociado a cada matriz Ai y a r0.

b) Iniciando con m = 1 y x0 = 0, tol = 1e-14, resuelva los sistemas lineales usando FOM y GMRESy realice una grafica para cada matriz Ai que contenga

iteraciones vs. e = ‖x− x‖2

iteraciones vs. residuo FOM

iteraciones vs. residuo GMRES

3. La flexion transversal de una barra asumiendo pequenos desplazamientos es gobernada mediante laecuacion diferencial de 4to orden

(EJu′′)′′(x) = P (x), 0 < x < L

donde u denota el desplazamiento vertical. Asumiendo que la barra tiene seccion rectangular de anchow y profundidad s, J corresponde al momento de inercia J = ws3/12 (m4) y E es el modulo de Young(Kg/m2) y asumiendo las siguientes condiciones de frontera

u(0) = u(L) = 0, u′(0) = u′(L) = 0

Al resolver numericamente el problema de valores de frontera mediante diferencias finitas, se introducelos nodos de discretizacion

xj = jh, con h = L/N y j = 0, 1, . . . , N

y se sustituye en cada nodo xj la derivada de orden cuatro mediante la aproximacion por diferenciascentrales. Tomando

f(x) = P (x)/(EJ), fj = f(xj)

y denotando uhj la aproximacion al desplazamiento nodal de la barra en el nodo xj se obtiene el sistema

de ecuaciones{

uhj−2 − 4uh

j−1 + 6uhj − 4uh

j+1 + uhj+2 = h4fj ∀j = 2, . . . , N − 2

uh0 = uh

1 = uhN−1 = uh

N = 0(1)

Observe que las condiciones de frontera han sido impuestas en los primeros y ultimos dos nodos de ladiscretizacion, de ahı que N ≥ 4. A partir de las (N − 3) ecuaciones en (1) se obtiene un sistema linealde la forma Ax = b con A ∈ R

(N−3)×(N−3), x = (uh2 , u

h3 , . . . , u

hN−2)

T y b = (f2, f3, . . . , fN−2)T

a) Muestre que A es pentadiagonal, y muestre numericamente que es simetrica definida positiva .

NRC: 1117Prof. Catalina Domınguez

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b) Usando una carga de P = 2,5kN , sobre una barra de acero de seccion cuadrada de 20mm de anchoy 60cm de largo, compare el tiempo de computo usando el comando tic y toc de los siguientesalgoritmos (vistos en clase)

Metodo del gradiente conjugado (GC).

FOM

GMRES

y complete la siguiente tabla para h = (1/2)i con i = 1, . . . , 6, m = 1 (para los metodos de FOMy GMRES), tol=1e-12

(CG) (FOM) (GMRES)

h t it res t it res t it res

donde t se refiere al tiempo de ejecucion del programa, ’it’ se refiere al numero de iteracionesdel metodo y res se refiere al residuo del metodo. ¿Cual metodo es mas rapido? Coinciden losresultados con la teorıa. Explique.

Tarea 4

Puntos a entregar: 1,2,3. Debe entregar o colocar dentro de su documento los progra-mas usados en la resolucion de los ıtems.

Fecha de entrega: Sabado, 17 de Octubre de 2015 hasta el medio dıa.

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