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BACHILLERATOUnidad 3. Álgebra

29

Matemáticas I

Ejercicios y problemas propuestos

Página 94

Para practicar

Factorización

1 Descompón en factores estos polinomios y di cuáles son sus raíces:

a) 9x 4 – x 2 b) 4x 2 – 28x + 49 c) x 3 + 9x 2 + 27x + 27

d) 2x 3 – x 2 – x e) x 4 – 13x 2 + 36 f ) x 4 + 2x 2 + 1

a) 9x 4 – x 2 = x 2 (9x 2 – 1) = x 2 (3x – 1)(3x + 1)

Raíces: x = 0, x = 31 , x = –

31

b) 4x 2 – 28x + 49 = (2x –7)2

Raíz: x = 27

c)

x 3 + 9x 2 + 27x + 27 x + 3 x 2 + 6x + 9 x + 3 x + 3 x + 3 1

x 3 + 9x 2 + 27x + 27 = (x + 3)3

Raíz: x = –3

d)

2x 3 – x 2 – x x2x 2 – x – 1 x – 1

2x + 1 2x + 11

2x 3 – x 2 – x = x (x – 1)(2x + 1)

Raíces: x = 0, x = 1, x = – 21

e)

x 4 – 13x 2 + 36 x – 2x 3 + 2x 2 – 9x – 18 x + 2

x 2 – 9 x – 3x + 3 x + 3

1

x 4 – 13x 2 + 36 = (x – 2)(x – 3)(x + 3)(x + 2)

Raíces: x = 2, x = –2, x = 3, x = –3

f ) x 4 + 2x 2 + 1 = (x 2 + 1)2

Es un producto notable. No tiene raíces porque x 2 + 1 no se puede descomponer.


30

Matemáticas I

2 Halla, en cada uno de estos casos, el máx.c.d. [A(x ), B(x )] y el mín.c.m. [A(x ), B(x )]:

a) A(x ) = x 2 + x – 12; B(x ) = x 3 – 9x

b) A(x ) = x 3 + x 2 – x – 1; B(x ) = x 3 – x

c) A(x ) = x 6 – x 2; B(x ) = x 3 – x 2 + x – 1

a) A(x) = (x – 3) (x + 4); B(x) = x (x – 3) (x + 3)

máx.c.d. [A(x), B(x)] = (x – 3)

mín.c.m. [A(x), B(x)] = x (x – 3) (x + 3) (x + 4)

b) A(x) = (x – 1) (x + 1)2; B (x) = x (x – 1) (x + 1)

máx.c.d. [A(x), B(x)] = (x – 1) (x + 1)

mín.c.m. [A(x), B(x)] = x (x – 1) (x + 1)2

c) A(x) = x 2(x + 1) (x – 1) (x 2 + 1); B (x) = (x – 1) (x 2 + 1)

máx.c.d. [A(x), B(x)] = (x – 1) (x 2 + 1)

mín.c.m. [A(x), B(x)] = x 2(x + 1) (x – 1) (x 2 + 1)

3 Resuelve estas ecuaciones factorizando previamente:

a) 6x 3 + 7x 2 – 1 = 0

b) 16x 5 – 8x 3 + x = 0

c) x 3 + 6x 2 – 7x – 60 = 0

d) x 3 – 49x = 0

e) x 3 + 9x 2 + 15x – 25 = 0

f ) x 6 + 3x 2 = 0

a) 6x 3 + 7x 2 – 1 = 0

6x 3 + 7x 2 – 1 = 6(x + 1) x x21

31–+c cm m

Soluciones: x1 = –1, x2 = – 21 , x3 =

31

b) 16x 5 – 8x 3 + x = 0

16x 5 – 8x 3 + x = 16x x x21

21–

2 2+c cm m

Soluciones: x1 = 21 , x2 = 0, x3 = –

21

c) x 3 + 6x 2 – 7x – 60 = 0

x 3 + 6x 2 – 7x – 60 = (x – 3)(x + 5)(x + 4)

Soluciones: x1 = 3, x2 = –5, x3 = – 4

d) x 3 – 49x = 9

x 3 – 49x = x (x –7)(x + 7)

Soluciones: x1 = 0, x2 = 7, x3 = –7

e) x 3 + 9x 2 + 15x – 25 = 0

x 3 + 9x 2 + 15x – 25 = (x – 1)(x + 5)2

Soluciones: x1 = 1, x2 = –5

f ) x 6 + 3x 2 = 0

x 6 + 3x 2 = x 2(x 4 + 3)

Solución: x = 0


31

Matemáticas I

Fracciones algebraicas

4 Simplifica las siguientes fracciones:

a) x x x

x x3 2

–5 4 3

4 2

+ + b)

x xx x x

4 46 12 82

3 2

+ ++ + +

c) x x

x x x2 15

4 11 30–

– –2

3 2

++ + d)

x x xx x

4 44–

3 2

4 2

+ +

a) ( ) ( )( ) ( )

x x xx x

x x xx x x

x xx

3 2 2 11 1 1

21– – –

5 4 34 2

3

2

+ +=

+ ++ =

+

b) ( )( )

x xx x x

xx x

4 46 12 8

22 22

3 22

3

+ ++ + + =

++ = +

c) ( ) ( )

( ) ( ) ( )x x

x x xx x

x x x x2 15

4 11 305 3

5 3 2 2–

– ––

– – – –3 2

++ + =

++ + =

d) ( )

( ) ( )x x x

x xx x

x x x xxx

4 44

22 2

22– – –

3 24 2

2

2

+ +=

++ =

+

5 Opera y simplifica el resultado.

a) : ( )aa

aa

12 123 3

11

– –2

2+ + b) ( )

( )x

x xxx

22 3

12

–– ·

––

3

2

2

2+

c) x

xx

xx x

x2 1 3 2–

––

––2 +

d) :x

xx

xx

x12

12

–++

++

c bm l

e) :xx

xx

x1

21

23

21– ·

++

++

+c m

a) ( ) ( )

( ) ( ) ( )a a

a a a12 1 1

3 1 1 141

––2+

+ + = b) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )x x xx x x

x xx

2 1 13 1 2

2 13

– –– –

–3

2

++ =

++

c) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )x x

x x x x xx x

x x x x x2 1

1 22 1

2 0– –

– – – –– –

– – –2 2= + =

d) ( )

( ) ( ) :( ) ( ) ( )x x

x x xx

x xx x

xxx

x xx

x xx

21 2

22

23 2

2 22

2 23 2

2 13 2– ·

2+ ++

+ + =++

++ =

++ =

++

+

e) ( )

·( )x

x x x x xx2

4 4 4 3 22

1– – –2

2 2

++ + + =

+

6 Demuestra las siguientes identidades:

a) x x

xx x1

11

2 1 1 1–

–2++ =c cm m b) :

a aa

a aa a

3 21

22 1 1

––

– –2

2

2

2

++ + =

c) :xx

xx

x x32

23

31

21

–– –

––

––

–c cm m = 2x – 5

a) ·( ) ( )

· ·x

x xx

xx x

xx

xx x

xx1

1 2 11 1

1 11

1 1 1–

– ––

––

–2

+ =+

+ = =c c c c cm m m m m

b) ( ) ( )( ) ( ) :

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

a aa a

a aa

a aa a

2 11 1

2 11

2 11 2 1

– ––

– ––2+

++ =

++ =

c) ( ) ( )

( ) ( ) :( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) :( ) ( )x x

x xx x

x xx x

x x x xx xx x

3 22 3

3 22 3

3 22 3 2 3

3 22 3

– –– – –

– –– – –

– –– – – –

– –– –2 2

= + + + =f ep o

( ) ( )

( ) :( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )x x

xx x x x

x x x x3 2

2 53 2

13 2

2 5 3 2 2 5– –

–– – – –

– – – –= = =


32

Matemáticas I

Ecuaciones de primer y segundo grado

7 Resuelve, cuando sea posible, las siguientes ecuaciones:

a) ( ) ( )x x x x16

12

116

14

2– – –2 2+ + = +

b) 0,2x + 0,6 – 0,25(x – 1)2 = 1,25x – (0,5x + 2)2

c) (5x – 3)2 – 5x (4x – 5) = 5x (x – 1)

a) ( ) ( )x x x x16

12

116

14

2– – –2 2+ + = +

Reducimos a común denominador y multiplicamos por 16.

x 2 – 6x – 7 = x 2 – 6x – 7

Obtenemos una identidad, luego las soluciones son todos los números reales.

b) 0,2x + 0,6 – 0,25(x – 1)2 = 1,25x – (0,5x + 2)2

0,2x + 0,6 – 0,25(x 2 – 2x + 1) = 1,25x – (0,25x 2 + 2x + 4)

–0,25x 2 + 0,7x + 0,35 = –0,25x 2 – 0,75x – 4

0,7x + 0,75x = –0,35 – 4

1,45x = – 4,35

Solución: x = –3

c) (5x – 3)2 – 5x (4x – 5) = 5x (x – 1)

25x 2 – 30x + 9 + 25x – 20x 2 = 5x 2 – 5x

9 = 0

No tiene solución.

8 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) 0,5(x – 1)2 – 0,25(x + 1)2 = 4 – x b) x x x23

22

81

81

41– – – –2 + =b l

c) 0,3!

x 2 – x – 1,3!

= 0 d) (x + 1)2 – (x – 2)2 = (x + 3)2 + x 2 – 20

e) x x x x x x22 5

43

64 15– – –2 2 2+ + = + f ) x x x x

33 1

25 3

21

32– – –

2 2+ + = +

g) (x – a)2 + x (x + b ) = 8b 2 – x (2a – b ) + a 2

a) 0,5(x 2 + 1 – 2x) – 0,25(x 2 + 1 + 2x) = 4 – x

0,5x 2 + 0,5 – x – 0,25x 2 – 0,25 – 0,5x = 4 – x

0,25x 2 – 0,5x – 3,75 = 0

x 2 – 2x – 15 = 0

x = 22

8± = 53–

x1 = –3; x2 = 5

b) x x x x23

44 2

81

81

82 2– – – –2

+ + =c m

;x x x x x x3 48 24 1 1 2 2 3 23 44 0– – – – –2 2+ = + + =

x = 2 16

3 ± = /411 3

x1 = 4; x2 = 311


33

Matemáticas I

c) 8x x x x3 3

334 0 3 4 0– – – –

2 2= =

x = ± ±2

3 9 162

3 5+ = = 41–

x1 = 4, x2 = –1

d) x 2 + 1 + 2x – x 2 – 4 + 4x = x 2 + 9 + 6x + x 2 – 20

0 = 2x 2 – 8; x 2 = 4

x1 = –2; x 2 = 2

e) 6x 2 – 12x + 30 – 3x 2 – 9x = 2x 2 – 8x + 30

x 2 – 13x = 0

x1 = 0; x 2 = 13

f ) 6x + 2 – 15x 2 – 9 = 3x 2 – 3 – 2x – 4

0 = 18x 2 – 8x; 2x(9x – 4) = 0

x1 = 0; x2 = 94

g) x 2 + a 2 – 2ax + x 2 + bx = 8b 2 – 2ax + bx + a2

2x 2 = 8b 2; x 2 = 4b 2; x = ±2b

x1 = 2b; x2 = –2b

Ecuaciones bicuadradas

9 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x 4 – 5x 2 + 4 = 0 b) x 4 + 3x 2 – 4 = 0 c) x 4 + 3x 2 + 2 = 0 d) x 4 – 9x 2 + 8 = 0

a) ± ±x2

5 25 162

5 3–2 = = = 14

x1 = 2; x2 = –2; x3 = 1; x4 = –1

b) ± ±x2

3 9 162

3 5– –2 = + = = ( )1

4– no vale

x1 = 1; x2 = –1

c) ± ±x2

3 9 82

3 1– – –2 = = = 812 No tiene solución

––

d) ± ±x2

9 81 322

9 7–2 = = = 18

x1 = 1; x2 = –1; x3 = 2 2; x4 = –2 2

10 Resuelve:

a) (x 2 – 2)2 = 1 b) x x x x4

3 121 2

21

45– – – –4 4 2

2+ =c m

c) x 6 – 2x 3 + 1 = 0 d) x 8 – 15x 4 – 16 = 0

a) ( ) 8x x x2 1 4 4 1– –2 2 4 2= + =

x x4 3 0–4 2 + =

± ±x2

4 16 122

4 2–2 = = = 13

; ; ;x x x x3 3 1 1– –1 2 3 4= = = =


34

Matemáticas I

b) x x x x3 1 2 4 5– – – –4 4 2 4+ =

x x4 0–4 2 =

( )x x4 1 0–2 2 = xx

04 1 0–

2

2=

=

;x x x021

21–1 2 3= = =;

c) x x2 1 0–6 3 + =

Hacemos el cambio de variable x 3 = y.

y 2 – 2y + 1 = 0 → y = 1

x 1 13= =

d) x x15 16 0– –8 4 =

Hacemos el cambio de variable x 4 = y.

,8y y y y15 16 0 16 1– – –2 = = = que no es válida.

± ,8x x x16 2 2–41 2= = =

Ecuaciones con fracciones algebraicas

11 Resuelve estas ecuaciones y comprueba la validez de las soluciones:

a) x x

x1 1 0–2+ = b)

xx

xx3 71

8 5– –=+

c) x

xx

x x2 2

2– –

–+ = d) xx

xx x

93

31 2

––

2 +++ = +

e) xx

x xx x

17

2 17 1 4– –2+

++ +

+ = f ) x x x

xxx

5 630

2 32 1–2 + + +

=++

a) x x

x1 1 0–2+ =

Reducimos a común denominador y multiplicamos por x 2.

8 8xx x x2 1 0 2 1 0

21– –2 = = =

1–

211

21

21

02+ =c m

x = 21 es válida.

b) x

xx

x3 71

8 5– –=+

x

xx

x3 71

8 5 0– –+

+ =

Reducimos a común denominador y multiplicamos por x (x + 1).

( )

( ) 8 8x xx x x

17 0 7 0 7– – es válida.

+= = =

c) x

xx

x x2 2

2– –

–+ =

x

xx

x x2 2

2 0– –

+ + =


35

Matemáticas I

Reducimos a común denominador y multiplicamos por (x – 2).

( ) ( )8x

x x x x23 0 3 0

–– –= =

Soluciones: x1 = 3, x2 = 0. Son válidas.

d) xx

xx x

93

31 2

––

2 +++ = +

xx

xx x

93

31 2 0

–– – –2 +

++ =

Reducimos a común denominador, simplificamos y multiplicamos por (x + 3).

( ) 8xx

xx x

xx x

93

31 2

32 0 2 0

–– – – –2

2+

++ =

++ = + =

Solución: x = –2, es válida.

e) xx

x xx x

17

2 17 1 4– –2+

++ +

+ =

xx

x xx x

17

2 17 1 4 0– –2+

++ +

+ + =

Reducimos a común denominador y multiplicamos por (x + 1)2.

( )

8x

x x x x x x1

3 8 10 0 3 8 10 0– –23 2 3 2

++ + + = + + + =

Factorizamos: ( ) ( )x x x x x x3 8 10 5 2 2– – –3 2 2+ + + = + +

La solución es x = 5, que es válida.

f ) x x x

xxx

5 630

2 32 1–2 + + +

=++

x x x

xxx

5 630

2 32 1 0– –2 + + + +

+ =

Reducimos a común denominador y multiplicamos por x 2 + 5x + 6.

8x xx x x x

5 63 8 28 0 3 8 28 0– – –2

2 2+ ++ = + =

Soluciones: x1 = 2, x2 = 314– . Son válidas.

Página 95

Ecuaciones con radicales

12 Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones:

a) x5 6+ = 3 + 2x b) x + x7 3– = 1 c) x x2 5 3 0– + = d) x x2 3 5–+ + = 0

a) ;x x x x x5 6 9 4 12 0 4 7 32 2+ = + + = + +

± ±x8

7 49 488

7 1– – –= = = /13 4

––

x1 = –1; x2 = 43–

b) 7 – 3x = 1 + x 2 – 2x; 0 = x 2 + x – 6

x = 12

1 1 242

5– ± – ±= =+ ( )3

2–

no vale

x = –3


36

Matemáticas I

c) 2 – 5x = 3x 2; 0 = 3x 2 + 5x – 2

x66

5 25 24 5 7± – ±–= = =+ / ( )1 32–

no vale

x = –2

d) 2x + 3 = x – 5; x = –8 (no vale)

No tiene solución.

13 Resuelve:

a) x x2 5 6–+ = 4 b) x x2 1– + + = 3 c) x x4

7 16

5 7–+ = d) x

x18

=

a) 5x – 6 = 16 + 2x – 8 x2

3x – 22 = –8 x2

9x 2 + 484 – 132x = 64 · 2x; 9x 2 – 260x + 484 = 0

x = ±18

260 224 = / / ( )484 18 242 9

2no vale=

x = 2

b) Aislamos un radical: x x2 3 1– –= +

Elevamos al cuadrado los dos miembros:

x – 2 = 9 – 6 8 8x x x x1 1 6 1 12 1 2+ + + + = + =

Repetimos el proceso: x + 1 = 4 → x = 3

Comprobamos la solución, 3 2 3 1 3– + + = , vemos que es válida.

c) x x x4

7 136

25 49 70–2+ = +

;x x x x x63 9 25 49 70 0 25 133 40– –2 2+ = + = +

x = ±50

133 117 = / ( )58 25 no vale

x = 5

d) x

x18

=

Elevamos al cuadrado ambos miembros:

x

x18

2 2=c bm l 8 8 8 8

xx

xx

xx x1

641 1

641 0

6464 0 64 0– – – –2 2 3 3= = = = 8

8 x = 64 43 = , solución válida.

14 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x x3 2– – = 0 b) x x x5 7 4 7 6– – –+ + =

c) x4 1–3 = x – 4 d) x x x4 2 8 16– –23 6=

e) x x2 2 6 10– 4+ + = 0 f ) x x3 1 4 3 1–4 4+ = +

a) x x3 2 0– – =

x x3 2= +

( ) ( )x x3 22 2= +

3x = x x2 2 2+ +


37

Matemáticas I

x x2 2 2 2–=

( ) ( )x x2 2 2 2–2 2=

,8x x x x x8 4 8 4 3 2 2 3– –2= + = + = no es válida.

Solución: x = 3 2+

b) x x x5 7 4 7 6– – –+ + =

( ) ( ) 8x x x x x x x5 7 4 7 6 2 7 5 4 6 1 7 6– – – – – – – –2 2+ + = + =

( )8 8x x x x x x2 7 5 4 8 7 5 4 4 7 33 20 16– – – – – – –2 2 2+ = + = =

Soluciones: x1 = 712– , x2 = –3. Las dos son válidas.

c) x x4 1 4– –3 =

Elevamos al cubo ambos miembros:

( ) ( ) 8 8x x x x x x x x x x4 1 4 4 1 12 48 64 12 48 64 4 1 0– – – – – – – –3 3 3 3 2 3 2= = + + + =

Factorizamos:

x 3 – 12x 2 + 44x – 63 = (x – 7)(x 2 – 5x + 9)

Solución: x = 7 es válida.

d) x x x4 2 8 16– –3 26=

Elevamos a la sexta ambos miembros:

(4 – 2x)2 = 8x 2 – 16x → 4x 2 – 16x + 16 = 8x 2 – 16x → 4x 2 + 16 = 0

No tiene solución.

e) x x2 2 6 10 0– 4+ + =

Aislamos las raíces.

x x2 2 6 104+ = +

Elevamos a la cuarta ambos miembros:

(2x + 2)2 = 4x 2 + 8x + 4 = 6x + 10 → 4x 2 + 8x + 4 = 6x + 10 →

→ 4x 2 + 2x – 6 = 0 → x = 1, x = 23– no es válida.

Solución: x = 1

f ) x x3 1 4 3 14 4+ = + + → 0 = 4 → No tiene solución.

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

15 Resuelve expresando ambos miembros de la ecuación como potencias de la misma base:

a) 3x 2 + 1 = 91 b)

39

x

x2 = 27 c) 5 · 2x + 3 =

45 d) 5x 2 + 3x = 0,04

e) 32

278

x=c m f )

91

xc m = 81 g) (0,01)x = 100 h) 3x + 1 · 2x + 1 = 36

i) 2 x3 1– = 0,125 j) 3 2791x

x1

2 53 – =

+c m k) 3 · 9x · 27x = 1 l) 5x – 5 · 1252x = 25

a) 8 8 8x x391 3 3 1 2 3– –x x1 1 2 2 2–2 2= = + = =+ + → No tiene solución.

b) 8 8 8 x39 27

33 3 3 3 3 3

x

xx x x

x

2 4 3 4 3–= = = = → Solución: x = 1


38

Matemáticas I

c) · · ·8 8 x5 245 5 2 5 2 3 2–x x3 3 2–= = + =+ + → Solución: x = –5

d) , 8 8 8 8 x x5 0 04 51004

251 5

251 5 5 3 2–x x x x x x x x3 3 3 3 2 2–2 2 2 2= = = = = + =+ + + +

Soluciones: x1= –1, x2 = –2

e) 832

278

32

32x x 3

= =c c cm m m → Solución: x = 3

f ) 891 81

91

91x x 2–

= =c c cm m m → Solución: x = –2

g) (0,01)x = 100 → (0,01)x = 0,01–2 → Solución: x = –2

h) 3x + 1 · 2x + 1 = 36 → 3x + 1 · 2x + 1 = 62 → 6x + 1 = 62 → x + 1 = 2 → Solución: x = 1

i) , 8 82 0 125 21000125

81x x3 1 3 1– –= = =

8 8 8 x281 2 2

23 1 3– –x x3 1 2

3 1 3– – –= = = → Solución: x = 35–

j) 8 8 83 2791 3 3

31 3 3( ) ( ) ( )x

xx

x xx13

2 53 13

2

2 51 3

3 1 2 2 5– – ––= = =+ +

+ +c cm m

( ) ( ) ( )8 8x x x x13

3 1 2 2 5 2 2 5– – –+ = + = + → Solución: x = –2

k) 3 · 9x · 27x = 1 → 3 · 32x · 33x = 30 → 31 + 2x + 3x = 30 → 1 + 5x = 0 → Solución: x = 51–

l) 5x – 5 · 1252x = 25 → 5x – 5 · 53 · 2x = 52 → 5x – 5 + 6x = 52 → 7x – 5 = 2 → Solución: x = 1

16 Resuelve, tomando logaritmos, estas ecuaciones:

a) e1x = 27 b) e x – 9 = 73 c) 2x · 3x = 81

d) 3

2x

x

1+ = 1 e) 2x + 1 · 162x + 1 = 3 f ) 51

xc m · 125x + 1 = 4

a) 8 8 ln lne ee1 27

271

271x x

x = = = → ln ln ln lnx271 1 27 0 27– –= = = → x ≈ –3,296

b) 8 ln lne e73 73x x9 9– –= = → 8 8ln lnx x921 73 9

273– = = + x ≈ 11,145

c) 6 x = 81 → x log 6 = log 81 → loglogx

681= ≈ 2,453

d) 8 8 8log loglog log

logx x3 3

2 132 3

32 3

2 33

· –xx x

= = = =c m ≈ –2,710

e) 2 x + 1 · 162x + 1 = 3 8 2x + 1 · 24(2x + 1) = 3 8 29x + 5 = 3 8 log 29x + 5 = log 3 8

8 (9x + 5) log 2 = log 3 8 (9x + 5) = loglog

23

= 1,5850

Solución: x = ,9

1 5850 5– = –0,3794

f ) 51 xc m · 125x + 1 = 4 8 5–x · 53x + 3 = 4 8 52x + 3 = 4 8 log 52x + 3 = log 4 8

8 (2x + 3) log 5 = log 4 8 (2x + 3) = loglog

54

= 0,8613

Solución: x = ,2

0 8613 3– = –1,0693


39

Matemáticas I

17 Resuelve las siguientes ecuaciones mediante un cambio de variable:

a) 2x + 21 – x = 3 b) 2x + 1 + 2x – 1 = 25 c) 81 + x + 23x – 1 =

1617

d) 22x – 5 · 2x + 4 = 0 e) 9x – 3x – 6 = 0 f ) 71 + 2x – 50 · 7x + 7 = 0

g) 2x/2 + 2x = 6 h) 3 7x2 + = 3x + 1 i) 23x – 3 · 22x + 1 + 3 · 2x + 2 = 8

a) 222 3xx+ =

;8z xz

z z2 2 3 2 3x 2= + = + =

; ± ±z z z3 2 02

3 9 82

3 1– –2 + = = = = 8 88 8

xx

2 2 2 11 2 1 0

x

x1

2

= == =

b) ; · ;2 222

25 4 2 2 5 2 1· x x x x x+ = + = =

x = 0

c) 2 21617x x3 3 3 1–+ =+

·( ) ( ) 8 8z z z8 22

21617 2 128 8 17x

xx3

33 3+ = = + =

( ) ( ) ; ( ) 8 8z z z128 8 1713617

81

81

21 2

21x3 3+ = = = = = =

x = –1

d) (2x)2 – 5 · 2x + 4 = 0

± ±22

5 25 162

5 3–x = = = 14

x1 = 0; x2 = 2

e) ( ) ; ± ±3 3 6 0 32

1 1 242

1 5– –x x x2 = = + = = ( )32– no vale

x = 1

f ) ·( ) · ; ±7 7 50 7 7 0 714

50 48–x x x2 + = = = /71 7

x1 = –1; x2 = 1

g) · ·82 3 2 6 2 3 2 6– –/x x x x2 = = Hacemos el cambio de variable 2x = y : · · ( ) ( )8 8 8y y y y y y y y y3 6 3 6 3 6 9 36 36– 2 2 2= = + = + = + + 8

8 9y 2 + 35y + 36 = 0 8 y = ±18

35 71– –

No tiene solución.

h) 3 7 3 1x x2 + = + Hacemos el cambio de variable 3x = y : ( ) ( )8 8 8 8y y y y y y y y y7 1 7 1 7 2 1 7 2 1 32 2 2 2 2 2+ = + + = + + = + + = + = Solución: x = 1

i) 23x – 3 · 22x + 1 + 3 · 2x + 2 = 8 Hacemos el cambio de variable 2x = y : · · · ( )8 8 8 8y y y y y y y y y y y3 2 3 2 8 6 12 8 6 12 8 0 2 0 2– – – – –3 2 2 3 2 3 2 3+ = + = + = = = Solución: x = 1


40

Matemáticas I

18 Resuelve estas ecuaciones:

a) log (x 2 + 1) – log (x 2 – 1) = log 1213 b) ln (x – 3) + ln (x + 1) = ln 3 + ln (x – 1)

c) (x – 1) log (3x + 1) = 3 log 3 d) log (x + 3) – log (x – 6) = 1

a) log logxx

11

1213

–22 + =

;x x x12 12 13 13 25–2 2 2+ = =

x1 = –5; x2 = 5

b) ( ) ( )ln lnx x x2 3 3 3– – –2 =

;x x x x x2 3 3 3 5 0– – – –2 2= =

x = 5 (x = 0 no vale)

c) log (3(x + 1)(x – 1)) = log 33

3(x + 1)(x – 1) = 33; (x + 1)(x – 1) = 3

x = 2 (x = –2 no vale)

d)

logxx

63 1

–+ =

x + 3 = 10x – 60; 63 = 9x

x = 7

19 Resuelve las ecuaciones siguientes:

a) log5 (x 2 – 2x + 5) = 1 b) log x3 5+ + log x = 1

c) 2 (log x)2 + 7 log x – 9 = 0 d) 21 log11 (x + 5) = 1

e) log (x 2 + 3x + 36) = 1 + log (x + 3) f ) ln x + ln 2x + ln 4x = 3

a) ( )log logx x2 5 5–52

5+ =

; ( )x x x x2 5 5 2 0– –2 + = =

x1 = 0; x2 = 2

b) ( ( ;))log x x x x23 5 1 3 5 100 0–2+ = + =

±x6

5 35–= = ( )/540 6– no vale

x = 5

c) ± ±log x4

7 49 724

7 11– –= + = = ;

/ / ;x

x1 1018 4 9 2 10– – /

1

29 2–

== =

d) ( )log logx 5 11/11

1 211+ =

( ) ;x 5 11/1 2+ = ( )x 5 112+ =

x = 116

e) logx

x x3

3 36 12

++ + =

;x x x x x3 36 10 30 7 6 0–2 2+ + = + + =

± ±x2

7 49 242

7 5–= = = 61

x1 = 1; x2 = 6


41

Matemáticas I

f ) ln x + ln 2x + ln 4x = 3

ln (x · 2x · 4x) = 3

ln (8x 3) = 3 → 8x 3 = e 3 → x 3 = e83

8x e e x e8 2 233

= = =

Sistemas de ecuaciones

20 Resuelve:

a) =

x y

yx

15

35

· =* b)

+ =x yx y

1 165

2 3 2+ =* c) x y

y x10

2 7–

2 2+ ==

* d) x yx y

56

–2 2 ==

* e) x y x yx y x y

5 5 10 05 5 2 0

– –– –

2 2

2 2+ + =

+ + =*

a) x y35=

;y y3

5 15 92

2= = 88

y xy x

3 53 5– –

= == =

x1 = 5, y1 = 3; x2 = –5, y2 = –3

b) ( )x x x x4 4 63

5 2 2– –+ =

y x xy

y x6 6 5

32 2–

+ =

= 4 6x + 12 = 10x – 10x 2

10x 2 – 4x + 12 = 0

5x 2 – 2x + 6 = 0

No tiene solución.

c) ( )8 8

8x y y yy x x y

10 2 7 102 7 2 7

–– –

2 2 2 2+ = + == =

*

,8 8 8y y y y y y y4 28 49 10 5 28 49 10 3513– –2 2 2+ + = + = = =

y1 = 3, x1 = 1; y2 = , x513

59–2 =

d)

( )8 8 8 8

8

x yy

yy

yy

y y

xy xy

5 6 5 36 5 0 5 36 0

6 6

– – – – – – –2 22

22

4

2

4 2= = = + =

= =

e oZ

[

\

]]

]]

→ y 4 + 5y 2 – 36 = 0 → y = 2, y = –2

y1 = 2, x1 = 3; y2 = –2, x2 = –3

e) ;x x x x2 10 12 0 5 6 0– –2 2+ = + =

± ±x2

5 25 242

5 1–= = = 32

x 2 + y 2 – 5x – 5y + 10 = 0–x 2 + y 2 + 5x – 5y – 2 = 0

2y 2 – 10y + 8 = 0

y 2 – 5y + 4 = 0 → ± ±y2

5 25 162

5 3–= = = 14

x1 = 3, y1 = 4; x2 = 3, y2 = 1; x3 = 2, y3 = 4; x4 = 2, y4 = 1


42

Matemáticas I

21 Resuelve:

a) y y xx y

2 15

–2 + =+ =

* b) x yx y

2 1 12 3 1–

+ = +=

* c) ( )x y xx y3 12

2 6–+ + =

=* d) x y x

x y2 1

2 5–+ + = +

=*

a) x = (5 – y)2

y 2 – 2y + 1 = 25 + y 2 – 10y

8y = 24; y = 3; x = 4

x = 4; y = 3

b) 4x + 4 = y 2 + 1 + 2y; x = y y42 3–2 +

x = y y2

1 34

2 6+ = +

y 2 + 2y – 3 = 2 + 6y

y 2 – 4y – 5 = 0

y = ± ±2

4 16 202

4 6+ = = 88

xx

5 81 1– –

==

x1 = –1, y1 = –1; x2 = 8, y2 = 5

c) y = 2x – 6

( )x x3 3 6 12– –=

9x – 18 = 144 + x 2 – 24x

0 = x 2 – 33x + 162

x = ±2

33 21 = ( )8

8y

y27 486 6

no vale==

x = 6, y = 6 (x = 27, y = 48 no vale)

d) y = 2x – 5

x x3 5 1– –=

3x – 5 = x 2 + 1 – 2x

0 = x 2 – 5x + 6

x = ± ±2

5 25 242

5 1– = = 88

yy 1

3 12 –

==

x1 = 2, y1 = –1; x2 = 3, y2 = 1

22 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) y x 12 2 12

–x y

=+ =

) b) e ex y

11

–x y 1

2 2=

+ =

+* c) :

5 5 15 5 25

·x y

x y==

)

d) ,

,

10 10 0 1

22 0 25

·x y

y

x

1

1

2

–

–

2=

=* e) 3 3 43 3 12

x y

x y

2 1

1

–+ =+ =+* f )

2 2+ =21

2 4( )

x y

x y

2

2 – =*

a) y x

y1

2 2 12–x

=+ =

*

y = 1 + x → 2x + 21 + x = 12 → 2x + 2 · 2x = 12 → 3 · 2x = 12 →

→ 2x = 4 → x = 2 → y = 1 + 2 = 3

x = 2, y = 3


43

Matemáticas I

b)·

( ) ( ) ;8 88 8 8 8

e e e e x yx y y y y y y y y y

1 11 1 1 2 2 0 1 0 0 1

– –– – –

x y x y1 1 0

2 2 2 2 2= = =

+ = + = + = + = = =

+ + +*

x1 = –1, y1 = 0; x2 = 0, y2 = –1

c) ·

: 8 8x yx y

5 5 15 5 25

02

5 55 5 –

x y

x y

x y

x y

0

2–=

=+ =

===

+) **

x = 1, y = –1

d) ,

, 8 8 8x yx y

x yx y

10 10 0 1

22 0 25

10 102 2

1 12 1 2

02 3

· – –– – – –

x y

yx

x y

x y

1

12

1 1

2 1 2

2 2–

–

– –

– –

22=

==

=+ =

+ =+ =

=+

+* * * * →

→ ,8

x y

y y y y2 3 0 123

–

– – –

2

2

=

+ = = =*

x1 = –1, y1 = 1; x2 = – 49 , y2 = –

23

e) 3 3 43 3 12

x y

x y

2 1

1

–+ =+ =+*

Llamamos 3x = z y 3y = t ,8 8 8zz t

z tz t

z z z zt3

43 12

3 123 12

3 3 0 0 1–2 2

2+ =+ =

+ =+ =

= = =**

z = 0 (no vale)

z = 1 → t = 9 → x = 0, y = 2

f ) 2 221

2 4( )

x y

x y

2

2 –

+ =

=*

Llamamos 2x = z y 2y = t , ( )8 8

8

z t t t t t

z z tt

21 4

21

41

21

4 4

– no vale2 2

22

2 2

+ = + = = =

= =

Z

[

\

]]

]]

t = 41 → z =

21 , z = –

21 no es válida.

8t z41

21= = 8 x = –1, y = –2

Página 96

23 Resuelve:

a) log loglog log

x yx y

31– –

+ ==

* b) log log

log

x y

yx

3 5

3

2 2

22+ =

=* c) ( )loglog log

x yx y

26

2

2=

= +*

d) log logx y

x y11

1–

–

2 2 ==

* e) log logx y

y x25

1–

–==

* f ) ln lnln ln

x yx y

24

– =+ =

*

a) 2log x = 2

x = 10; y = 100


44

Matemáticas I

b) log2 x + 3log2 y = 5

2log2 x – log2 y = 3

log2 x + 3log2 y = 56log2 x – 3log2 y = 97log2 x = 14

x = 4, y = 2

c) 2log x + log y = 2

log x – 2log y = 6

4log x + 2log y = 4log x – 2log y = 6

5log x = 10 → log x = 2

xy

100

1001

== 4

d) log ; ;yx

yx x y1 10 10= = =

; ; ±8y y y y y100 11 99 1191

31–2 2 2 2= = = =

;x y310

31= =

y31– no vale=c m

e)

,y x0 1=

,log

x y

xy x

25

1 0 9 25–

= +

= =4

x = ; y9

250925=

f ) 8 8

ln lnln ln ln ln

x yx y x x x e

24 2 6 3

– Sumando las dos ecuaciones, queda:3

=+ = = = =

4

Restando a la 2.ª ecuación la 1.ª, queda:

2ln y = 2 → ln y = 1 → y = e

x = e 3; y = e

Método de Gauss

24 Resuelve por el método de Gauss:

a) xxx

yyy

zzz2

210

118

–

–

– –+ +

+

===

* b) xxx

yyy

zzz

234

36 2

000

–––

++

+ ===

* c) xxx

yyy

zzz

2321

–– –

+ ++

===

*

d) xxx

y

y

zzz2

1860–

–+ +

+

===

* e) xxx

yyy

zzz

2 35

56

21129–

++

+++

===

* f ) xxx

yyy

zzz

22

246

94

1––

–

–

+++

===

*

a)

xxx

yyy

zzz2

210118

–

–

– –+ +

+

===

4 (1.ª)

(2.ª) + (1.ª)

(3.ª) + (1.ª)

xxx

yyy

z23 2

1012

– – –

––+

===

4 (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + 2 · (2.ª)

xxx

yy

z xyz

xyz

27

1010

01

1 10 9

019

– – –

–+

===

=== + =

===

4 4


45

Matemáticas I

b) x

x

yyy

zzz

x3

32

000

2

46

–––

++

===

+4

(1.ª)

(2.ª) + 2 · (1.ª)

(3.ª) + (1.ª)

xxx

y

y

z xyz

276

3

2

000

000

–

–

+ ===

===

4

c) x

x

yyy

zzz

x2 2

1

3

–– +

+

===

+ +4

(1.ª)

(2.ª) + (1.ª)

(3.ª) + (1.ª)

xxx

y zzz

3 22

542

3++

===

+ +4

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (2.ª)

xxx

y zz

xz x

y x z

xyz

3 2351

1

25 3 13 1

111– –

–

– –

+ ++

===

== == =

===

_

`

a

bb

bb4

d)

xxx

y

y

zzz2

1860–

–+ +

+

===4

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + 2 · (1.ª)

xxx

y zzz3 3

186

36–

+ +

+

===4

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) : 3

xxx

y zzz

186

12–

+ +

+

===4

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + (2.ª)

xxx

y zz

xz xy x z

xyz2

186

18

96 3

18 6 3

96– –

– –

+ + ===

== == =

===

4 4

e)

xxx

yyy

zzz

2 35

56

21129–

++

+++

===4

(1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

x y

yy

zzz6

35

27

27–

+ +++

===4

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + 6 · (2.ª)

x y

yzzz

zy zx y z

xyz

323

27

69

2369 37 3 7 9 22 2 2 3 1

12

3– – –– – –

–+ +

+===

= == = == = + =

===

_

`

a

bb

bb4

f )

xxx

yyy

zzz

22

246

941

––

–

–

+++

===4

(1.ª)

(2.ª) + (1.ª)

(3.ª) + (1.ª)

xxx

y zzz

33

224

9138

–+++

===4

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (2.ª)

xx

y zzz

z

x z

y x z

xy

z

3222

9135

25

313 2 69 2 9 6 5 2

62

25

–

–

–

–

– – – –

––

++

===

=

= == + = =

==

=

_

`

a

bbb

bb

4

25 Resuelve:

a) x y z

x y zx z y

3 2 3 05

2 3

––

– –

+ + =+ ==

* b) x y z

x y zx y z

7 3 111

2 2 8

– ––

+ =+ =

+ = +* c)

z 6

10

–

– –

+ =

=

x y

x y z

x y z

2 3

25

0

43

3 2

– –

–

=

Z

[

\

]]]

]]]

d) 8=– +

( )x y z

x y z

x y z

52 1

64

2 4 3

24

1

– –+ =

+ + =

Z

[

\

]]]

]]]

a)

x y z

x y zx z y

3 2 3 05

2 3

––

– –

+ + =+ ==

4 → xxx

yyy

zzz

3 2

2

353

––

––

+++

+ ===4

(2.ª)

(1.ª)

(3.ª)

xxx

yyy

zzz

3 22

533

–

–

–

–

+++

+===4

(1.ª)

(2.ª) – 3 · (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

x y

yy

zz4

5182

–– –++

===4

xyz

225

–===


46

Matemáticas I

b)

xxx

yyy

zzz

7

2

3

2

1118

––

–

+

++=

==+

4 → xxx

yyy

zzz

7

2

3

2

1118

–– –

–

––

+

+ ===

4 (2.ª)

(1.ª)

(3.ª)

xxx

yyy

zzz

72

32

1118

––

–

–

––

++

===

4 (1.ª)

(2.ª) – 7 · (1.ª)

(3.ª) – 2 · (1.ª)

x y

yy

zzz

44

814

10

– – ––+

+

===4

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (2.ª)

x y

yzzz

4 87

14

14

– –

–

–+

===4

xyz

032–

===

c)

x y z

x y z

x y z

2 36

25

0

43

3 210

–

– –

– – –

+ =

=

=

_

`

a

bbb

bbb

→

z 6– –+ =x

xx

y

yy

z

z

22

43

3

3

5

2

0–

– – =

10–– – =

_

`

a

bbb

bb

→ xxx

yyy

zzz

3109

254

6

6

360

120–––

–––

–

–

+ ===

4 (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (1.ª)

xxx

yyy

zz

31012

256

6 360

84–––

––

–

–

+ ===

4 (1.ª) – 6 · (2.ª)

(2.ª)

1/6 · (3.ª)

xxx

yyy

z57102

325

360

14

–

–––

––

–

+ ===

_

`

a

bb

bb

(1.ª) + 32 · (3.ª)

(2.ª)

(3.ª)

xxx

yy

z121102

5484

014

–

–––

––

–

===

_

`

a

bb

bb

xyz

4610

===

d)

( )x y z

x y z

x y z

52 1

64

2 4 38

24

1

– –

–

+ =

+ =

+ + =

_

`

a

bbb

bbb

→

( )x y z

x y z

x y z

52 1

64

2 4 38

24

1

– –

–

–+ =

+ =

+ + =

_

`

a

bbb

bbb

→ xxx

yyy

zzz

1264

3038

54

12 120964

–– – –+

+++

===

4 →

→ xxx

yyy

zzz

1264

3038

54

108964

–– –+

+++

===

4 (1.ª) + 5 · (3.ª)

(2.ª) – 4 · (3.ª)

(3.ª)

xxx

yyy z

32104

70358

88804

– ––+

+ +

===

_

`

a

bb

bb

(1.ª) + 2 · (2.ª)

(2.ª)

(3.ª)

xxx

yy z

12104

358

72804

– –+ +

===

_

`

a

bb

bb

xyz

64

12–

===


47

Matemáticas I

26 Resuelve aplicando el método de Gauss:

a) xxx

yyy

zz

2 6 51

40

–––

–++

===

* b) xxx

yyy

zzz5

222

517

351

––

+ +++

===

* c) xxx

yyy

zzz

22

3348

21

7– – – –

++

++

===

*

d) xxx

yyy

zzz

235

23

25

22

1–

––

––

–+ +

===

* e) xxx

yyy

zzz

24 3

351

–+++

+++

===

* f ) xxx

yyy

zzz

23 2

4

102

–

––

+++

+

+

===

*

a)

xxx

yyy

zz

2 6 5140

––

––++

===

_

`

a

bb

bb

(1.ª)

(2.ª) – 5 · (3.ª)

(3.ª)

xxx

yyy z

3140

––

––+

+

===

_

`

a

bb

bb

(1.ª)

(2.ª) + 3 · (1.ª)

(3.ª)

x

x

yyy z

2110

––

––

+

===

_

`

a

bb

bb

y

x

z

21

121

23

23

21 2

=

= + =

= + =

_

`

a

bbb

bbb

x

y

z

23

21

2

=

=

=

b)

xxx

yyy

zzz5

222

517

351

––

+ +++

===4

(1.ª)

(2.ª) + (1.ª)

(3.ª) + (1.ª)

xxx

y zzz

26

26

18

384

+ +++

===4

(1.ª)

(2.ª) : 2

(3.ª) : 6

/

xxx

y zzz

233

34

4 6

+ +++

===

4 Las ecuaciones 2.ª y 3.ª dicen cosas contradictorias.

El sistema es incompatible, no tiene solución.

c)

xxx

yyy

zzz

22

3348

217– – – –

++

++

===4

(1.ª)

(2.ª) – 3 · (1.ª)

(3.ª) + (1.ª)

xxx

y zzz

355

255

––

––

––

+ + ===4

Hay dos ecuaciones iguales. El sistema es compatible indeterminado. Buscamos las soluciones en función de z :

( )8 8

8x y z

x zz y z y z

x z2 35 5

5 5 2 3 2 35 5

–– –

– – ––

+ == +

+ = ==

3

x = 5 – 5z, y = 2z – 3, z = z

d)

xxx

yyy

zzz

235

23

25

221–

––

––

–+ +

===4

(1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) + 5 (1.ª)

xxx

y

y

z2

5 92

22–

–

–

––

===4

xy x

z x y

2

25 9

21

2 223

–

– –

== =

= =

_

`

a

bb

bb

x = 2, y = 21 , z =

23

e)

xxx

yyy

zzz

24 3

351

–+++

+++

===4

(1.ª)

(2.ª) + (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

x y

yy

zzz

33

22

382–

+ +++

===4

Las ecuaciones 2.ª y 3.ª obtenidas dicen cosas contradictorias. Por tanto, el sistema es incompatible.


48

Matemáticas I

f )

xxx

yyy

zzz

23 2

4

102

–

––

+++

+

+

===4

(1.ª)

(2.ª) + (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

xxx

yyy

z233

111

– +++

+ ===4

Hay dos ecuaciones iguales. El sistema es compatible indeterminado. Buscamos las soluciones en función del parámetro y :

( )8 8x z y

x yy z y z y2 1

1 32 1 3 1 3 7– –

–– – – –+ =

=+ = =4

x = 1 – 3y, z = 3 – 7y

Inecuaciones. Sistemas de inecuaciones

27 Resuelve estas inecuaciones:

a) 5(2 + x) > –5x b) x2

1– > x – 1 c) x 2 + 5x < 0

d) 9x 2 – 4 > 0 e) x 2 + 6x + 8 ≥ 0 f ) x 2 – 2x – 15 ≤ 0

a) 10 + 5x > –5x; 10x > –10; x > –1 b) x – 1 > 2x – 2; 1 > x

(–1, +∞) (– ∞, 1)

c) x (x + 5) < 0 d) ∞,32– –c m ∪ , ∞

32 +c m

(–5, 0)

e) ± ±2

6 36 322

6 2– – –= = 42

––

f ) ± ±2

2 4 602

2 8+ = = 35–

(– ∞, – 4] ∪ [–2, +∞) [–3, 5]

28 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a) xx4 3 1

6 2– <

>+) b) x

x3 2 75 1

– ––

><

) c) xx x

5 1216 2 3 3

– –– –

<<

) d) xx

2 3 05 1 0

– ><+

)

a) b) ( , )

xx

14 4 1– –

<>3 ( , ∞)x

x35

44–>

>+4

c) d) ( , ∞)

xx

17

519 17

>> +4

x

x23

51–

>

<

_

`

a

bb

bb No tiene solución.

29 Resuelve:

a) (x + 1) x 2 (x – 3) > 0 b) x (x 2 + 3) < 0 c) x

x4

2

+ < 0 d)

xx

23–

+ < 0

a)

( , )1–∞ –

xx

xx

xx

xx

1 03 0

13

1 03 0

13

––

––

>>

>>

<<

<<

+

+

( , )3 ∞+_

`

a

bb

bb

3 3

3 3 (– ∞, –1) ∪ (3, +∞)

b) (– ∞, 0)


49

Matemáticas I

c) d)

(– ∞, – 4) (– 4, 0) (0, +∞)

x 2 + + +

x + 4 – + +

xx

42

+– + +

(– ∞, – 2) (–2, 3) (3, +∞)

x – 3 – – +

x + 2 – + +

xx 3

2–+ + – +

(– ∞, – 4) ∪ (– 4, 0) (–2, 3)

30 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a) x xx2 15

3 2 7–>

<

2 +* b) x xx x

5 45 1 4 2

– ≥– <

2

+* c) x

x x45 4 0

≤– ≤

2

2 +* d) x x

x x5 6 011 24 0

– – ≥– – ≥

2

2 +*

a) x x

x2 15

3 2 7–>

<

2 +* → Soluciones: (– ∞, –5) ∪ (3, ∞)→ Soluciones: (–2, ∞)

Las soluciones comunes son: ((–∞, –5) ∪ (3, ∞)) ∩ (–2, ∞) = (3, ∞)

b) ≥x x

x x5 45 1 4 2

–– <

2

+* → Soluciones: [1, 4]

→ Soluciones: (– ∞, 3)

Las soluciones comunes son: [1, 4] ∩ (– ∞ 3) = [1, 3)

c) ≤

≤xx x

45 4 0–

2

2 +*

→ Soluciones: [–2, 2]→ Soluciones: [1, 4]

Las soluciones comunes son: [–2, 2] ∩ [1, 4] = [1, 2]

d) ≥

≥x xx x

5 6 011 24 0

– –– –

2

2 +* → Soluciones: (– ∞, –1] ∪ [6, ∞)

→ Soluciones: [3, 8]

Las soluciones comunes son: ((–∞, –1] ∪ [6, ∞)) ∩ [3, 8] = [6, 8]

31 Resuelve gráficamente:

a) x + y – 2 ≥ 0 b) 2x – 3y ≤ 6 c) x y

23–

≤ 3 d) x2

– y3

≥ – 1

a) Dibujamos la recta r : x + y – 2 = 0.

Tomamos el punto O = (0, 0) ∉ r, sustituimos en la inecuación y comprobamos que no se verifica la desigualdad 0 + 0 – 2 ≥ 0.

La solución es el semiplano que no contiene a O.

2

2

4 6

4

Y

X

x + y – 2 ≥ 0

b) Dibujamos la recta r : 2x – 3y – 6 = 0.

Tomamos el punto O = (0, 0) ∉ r, sustituimos en la inecuación y comprobamos que se verifica la desigualdad 0 – 0 – 6 ≤ 0.

La solución es el semiplano que contiene a O.

2

2

4–2

–2

4Y

X

2x – 3y – 6 ≤ 0


50

Matemáticas I

c) ≤ ≤8x y x y2

3 3 3 6 0– – – . Dibujamos la recta r : x – 3y – 6 = 0.

Tomamos el punto O = (0, 0) ∉ r, sustituimos en la inecuación y comprobamos que se verifica la desigualdad 0 – 0 – 6 ≤ 0.


2

2

4 6

–2

Y

X

x – 3y – 6 ≤ 0

d) 8x y x y2

1 3 2 6 03

– ≥ – – ≥+ . Dibujamos la recta r : 3x – 2y + 6 = 0.

Tomamos el punto O = (0, 0) ∉ r, sustituimos en la inecuación y comprobamos que se verifica la desigualdad 0 – 0 + 6 ≥ 0.


3x – 2y – 6 ≥ 0

2

2

4–2

4

Y

X

32 Resuelve gráficamente:

a) x yx2 2

3≤>+) b) x y

y3

2– ≤≤

* c) x yx y

2 32 5

– ≤≤+

* d) x yx y3 2 5

8– ≤

≥+*

a) Resolvemos cada una de las inecuaciones. El recinto solución es la in-tersección de ambos semiplanos. La recta 2x + y = 2 no pertenece al recinto solución.

2x + y > 2

x ≤ 32

2

4–2

–2

–4

Y

X

b) Resolvemos cada una de las inecuaciones. El recinto solución es la in-tersección de ambos semiplanos.

x – y ≤ 3y ≤ 2

2

2

4 6

4

Y

X

c) Resolvemos cada una de las inecuaciones. El recinto solución es la in-tersección de ambos semiplanos.

2

2

4–2

4

Y

X

2x + y ≤ 5

2x – y ≤ 3

d) Resolvemos cada una de las inecuaciones. El recinto solución es la in-tersección de ambos semiplanos.

2

2

4 6

4

6

8Y

X

3x – 2y ≤ 5x + y ≥ 8

ejercicios y problemas propuestos€¦ · ejercicios y problemas propuestos página 94 para...

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