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PRÁCTICA 6

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIO 1

El tiempo que se tarda en realizar una tarea se distribuye normalmente con media 45

minutos y desvío estándar 4 minutos. Para disminuir este tiempo medio se establece

un programa de entrenamiento. Lo realizaron 25 personas seleccionadas al azar.

Completado el entrenamiento, se observó que el tiempo medio muestral para realizar

dicha tarea fue de 43 minutos. ¿Se puede considerar que el tiempo medio que

emplean las personas en hacer la tarea disminuye luego de realizar el programa de

entrenamiento? Use un nivel de significación del 5%.

Resolución:

Este problema corresponde a una prueba para la media de una población normal con

varianza conocida. Para la resolución se presentan tres posibles abordajes. En los tres

se tienen en cuenta siete acciones (ver documento Acerca de la Resolución de una

Prueba de Hipótesis en la ficha de la cátedra Materiales para la Cursada).

Abordaje 1 1) Nombrar la/s variable/s La variable X del problema es: “Tiempo en minutos que una persona emplea en

realizar la tarea habiendo completado el programa de entrenamiento”. Esta variable se

observa sobre la población de todas las personas entrenadas, que en esta etapa de la

investigación es una población hipotética. La muestra de 25 personas elegidas al azar

que completaron el entrenamiento pertenece a dicha población. La media poblacional

de X se designa con µ.

2) Plantear las hipótesis: Hipótesis nula e Hipótesis alternativa

45:0 H (la hipótesis nula sostiene que el método de entrenamiento no produce

ninguna modificación en el tiempo medio de realización de la tarea, o sea que el

entrenamiento no es eficaz)

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45:1 H (la hipótesis alternativa sostiene que el entrenamiento provoca una

disminución en el tiempo medio de realización de la tarea, o sea que el entrenamiento

es eficaz)

Bajo 𝐻0 el entrenamiento no es eficaz. Luego, bajo 𝐻0 la variable X se distribuye como

la variable dada sobre las personas no entrenadas, o sea normalmente con la misma

media µ= 45 y el mismo desvío estándar = 4.

3) Indicar el nivel de significación:

α = 0,05

4) Especificar el estadístico de prueba y su distribución bajo H0

Para este problema hay dos posibles estadísticos de prueba, uno es la variable Media

Muestral X y el otro es la versión estandarizada de X . Con el primero se desarrolla

el Abordaje 1 y con el otro el Abordaje 2.

Para el caso que se considere a la variable Media Muestral X como estadístico de

prueba. Su distribución resulta, por el Teorema Central del Límite y bajo 0H , normal

con media = 45 y desvío estándar 25/4/ n = 0,8.

5) Realizar cálculos: (1) obtener el valor observado del estadístico de prueba, (2)

precisar la zona de rechazo o calcular el valor p.

(1) En este caso el valor observado del estadístico de prueba es obsX = 43

(2) Se opta por precisar la zona de rechazo (en el Abordaje 3 se calcula el valor p).

Esta zona se construye bajo la consideración de que la hipótesis nula es verdadera, es

decir que, efectivamente 45 . Para la construcción de la zona de rechazo son

necesarios tres elementos: la hipótesis alternativa, el nivel de significación y la

distribución del estadístico de prueba.

Como la hipótesis alternativa es 45 , la prueba es unilateral a izquierda, cuanto

menor sea el tiempo promedio obtenido en la muestra menos se creerá en 0H . Luego

la región crítica está en el lado de los valores menores del estadístico de prueba de

manera que le corresponde probabilidad 0,05 (el nivel de significación).

Para obtener el punto crítico es necesario considerar la distribución del estadístico de

prueba, bajo 0H . En este caso X es normal con media 45 y desvío estándar 0,8. El

valor, o punto, crítico Cx se obtiene, como en práctica 4, con la función del Excel

nombrada DIST.NORM.INV proporcionándole 45 como media, 0,8 como desvío y 0,05

como probabilidad. El valor obtenido es Cx = 43,684. Luego, la Zona de Rechazo o

Región crítica, son los valores del estadístico de prueba X menores que 43,684

X

Zona de rechazo Cx = 43,684 45

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6) Establecer la Regla de Decisión y formular la Decisión en base a la

información muestral (según la pertenencia del valor observado del estadístico de

prueba a la zona de rechazo o bien de la comparación del valor p con el nivel de

significación).

Regla de Decisión: se rechaza 0H si el valor observado del estadístico de prueba

pertenece a la zona de rechazo, o sea si es menor que 43,684, y no se rechaza 0H

en caso contrario.

Decisión: El valor observado del estadístico de prueba obsX = 43 pertenece a la zona

de rechazo porque obsX = 43 < 43,684, luego se rechaza 0H .

7) Expresar la Conclusión en términos del problema

Conclusión: Se rechaza 0H . Sí, efectivamente, con un nivel del 5% puede

considerarse que el tiempo medio que las personas emplean en hacer la tarea

disminuye si éstas realizan el programa de entrenamiento. La media de la muestra de

las personas entrenadas es significativamente menor que 45 al nivel del 5%. La

conclusión puede ampliarse acotando que el tiempo medio 43 obtenido en la muestra

no puede ser atribuido a fuentes fortuitas de variación, sino que es atribuible al

entrenamiento. Por esta razón, y con un nivel de significación del 5%, puede afirmarse

que el entrenamiento ha resultado ser una fuente sistemática de variación para el

tiempo necesario que las personas emplean para realizar la tarea.

Abordaje 2

Se trabaja con la versión estandarizada de X como estadístico de prueba:

n

XZ

0 , el cual tiene, bajo 0H , distribución normal estándar. Las respuestas

para las acciones 1 a 3 y la conclusión (acción 7) son idénticas a las del Abordaje 1.

Se presentan a continuación las acciones 4), 5) y 6).


El estadístico de prueba es 254

45

XZ el cual tiene, bajo 0H , distribución normal

estándar.



(1) En este caso el valor observado del estadístico de prueba es:

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𝑍𝑜𝑏𝑠 = 43−45

4 √25⁄ = -2,5

(2) Se opta por precisar la zona de rechazo (en el Abordaje 3 se calcula el valor p).

Se reitera el camino planteado en el Abordaje 1. Son necesarios tres elementos para

construir la zona de rechazo: la hipótesis alternativa, el nivel de significación y la

distribución del estadístico de prueba. Es una prueba unilateral a izquierda, luego la

región crítica está en el lado de los valores menores del estadístico de prueba de

manera que le corresponde probabilidad 0,05 (el nivel de significación). En este caso

la distribución del estadístico de prueba es normal estándar. Por tanto, con Excel

resulta -1,645 = DISTR.NORM.INV(0,05;0;1), o sea ZC = -1,645. Statistix también

permite encontrar el valor crítico mediante la función inversa de la Función de

Distribución en: Statistics Probability Functions Z Inverse (p) donde p es la

probabilidad a izquierda. En este caso 0,05. Así se obtiene el punto crítico ZC = -1,645.

Luego la Zona de Rechazo son los valores Z menores que -1,645.

Zona de rechazo ZC = -1,645 0 Z




significación).


pertenece a la zona de rechazo, o sea si es menor que -1,645, y no se rechaza 0H en

caso contrario.

Decisión: El valor observado del estadístico de prueba obsZ = -2,5 pertenece a la zona

de rechazo porque obsZ = -2,5< -1,645, luego se rechaza 0H .

Abordaje 3

Se utiliza el cálculo del valor p en lugar de construir la zona de rechazo. Para las acciones 1 a 5-1) y 7, las respuestas son idénticas a las de los otros dos abordajes.

A continuación se presentan las acciones 5-2) y 6) 5 - 2) calcular el valor p.

La prueba de hipótesis de este problema es una prueba unilateral a izquierda. Luego el valor p es la probabilidad de los valores del estadístico de prueba menores que el valor observado en la muestra (ver documento Acerca del valor p en la ficha de la cátedra para la Cursada).

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O sea, si se usó el estadístico de prueba X , el valor p = P( X <43), es decir, valor p = 0,006. De la misma manera si se usó el estadístico de prueba Z, el valor p = P(Z<-2,5) = 0,006. 6) Establecer la Regla de Decisión y formular la Decisión en base a la



significación).

Regla de Decisión: se rechaza 0H si valor p < 0,05 y no se rechaza 0H en caso

contrario.

Decisión: Como el valor p = 0,006 < 0,05 se rechaza 0H

EJERCICIO 2 Para medir la Actitud hacia la justicia en la Argentina, se construyó una escala de

actitudes Tipo Thurstone. Lo que se obtuvo fue una escala de desfavorabilidad

(Puntajes altos indican alta desfavorabilidad hacia la justicia en la Argentina). Según

este estudio, en 20 estudiantes de Derecho, se obtuvieron los siguientes resultados:

82 87 79 89 90 92 98 80 82 75 90 87 75 80 86 69 87 81 79 85

Suponiendo que la variable sigue una distribución normal ¿Son estos datos

consistentes con la hipótesis de que la media es igual a 80? Use un nivel de

significación del 5%. (Este problema está basado en: Granero, Gómez, y Carabajal,

1998).

Resolución:

Este problema corresponde a una prueba para la media de una población normal con

varianza desconocida. Para resolverlo se proponen dos caminos posibles. Abordaje I

haciendo cálculos, similar a los Abordajes 1 y 2 presentados en el Ejercicio anterior, y

Abordaje II usando Statistix, similar al Abordaje 3.

Abordaje I

1) Nombrar la/s variable/s

La variable X del problema es: “Puntaje en desfavorabilidad hacia la justicia en la

Argentina de un estudiante de Derecho”. En este caso la población de individuos bajo

estudio no es hipotética, es la de todos los estudiantes de Derecho. La población de

observaciones sí lo es, pues la prueba solo fue administrada a 20 estudiantes. La

media poblacional de X es µ.


80:0 H (la hipótesis nula sostiene que el puntaje medio en desfavorabilidad hacia

la justicia en Argentina de todos los estudiantes de Derecho es 80)

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80:1 H (la hipótesis alternativa sostiene que el puntaje medio en desfavorabilidad

hacia la justicia en Argentina de todos los estudiantes de Derecho es distinto de 80)

Bajo 𝐻0 la variable X se distribuye normalmente con media µ=80 y desvío estándar

desconocido. El desvío estándar poblacional σ se estima con el desvío muestral s.

Para aplicar el procedimiento de prueba de hipótesis es necesario suponer que la

muestra de 20 estudiantes de Derecho fue elegida al azar.


α = 0,05


Para las hipótesis planteadas y dado que no se conoce el desvío poblacional, el

estadístico de prueba es: 𝑡 = �̅�− 𝜇0𝑠 √𝑛⁄

, el cual bajo 𝐻0, tiene distribución t de Student

con n-1 grados de libertad.

Para los datos de este problema el estadístico de prueba es

𝑡 =�̅�− 80

𝑠 √20⁄, el cual bajo 𝐻0, tiene distribución t de Student con 19 grados de libertad.

El cociente 𝑠 √20⁄ es el Error Típico estimado (Error Standard, SE), es una estimación

del desvío estándar de la variable Media Muestral �̅�.



(1) Para obtener el valor observado de t para los valores muestrales es necesario

calcular �̅� y s. Los datos de este problema están cargados en el archivo ‘Práctica 6 –

Ejercicio Resuelto 2.sx’ disponible en la Web. Desde el Menú Statistics Summary

Statistics Descriptive Statistics pueden obtenerse la media, el desvío estándar y el

error típico estimado también.

Descriptive Statistics

Variable Mean SD SE Mean

Desfav 83.650 6.7767 1.5153

Luego el valor observado del estadístico de prueba es

𝑡𝑜𝑏𝑠 =83,65− 80

1,5153 = 2,41

(2) Precisar la zona de rechazo

Para construir la zona de rechazo son necesarios tres elementos: la hipótesis

alternativa, el nivel de significación y la distribución del estadístico de prueba. Dado

80

que la prueba es bilateral, la región crítica está partida en dos, de tal forma que a

cada subconjunto de valores del estadístico de prueba le corresponde una

probabilidad igual a la mitad del nivel de significación, o sea en este caso 0,025. Por

tanto hay dos puntos críticos, uno para delimitar la zona de los valores menores y otro

para delimitar la zona de los valores mayores.

* Statistix permite encontrar los valores críticos mediante la función inversa de la

Función de Distribución en: Statistics Probability Functions T Inverse (p, df)

donde p es la probabilidad a izquierda y df son los grados de libertad de la distribución

t de Student.

Para encontrar el punto crítico que delimita los valores menores hay que indicar p =

0.025 y df=19, así se obtiene tc1=t 0.025;19 = -2.09

Para delimitar los valores mayores hay que indicar p = 0.975 y df=19, así resulta tc2 =

t 0.975;19 = 2.09

* Excel también proporciona los puntos críticos. Mediante la función

INV.T.2C(probabilidad; grados de libertad) devuelve la abscisa positiva para dos colas

de una distribución t de Student. En este caso INV.T.2C(0,05;19)=2,09

Luego la Zona de Rechazo está partida en dos, son los valores de t:

menores que -2,09 o mayores que 2,09.




significación).


pertenece a la zona de rechazo, o sea si es menor que -2,09 o mayor que 2,09, y no

se rechaza 0H .en caso contrario.

Decisión: El valor observado del estadístico de prueba obst = 2,41 pertenece a la zona

de rechazo porque obst = 2,41 > 2,09, luego se rechaza 0H .


Conclusión: Se rechaza 0H . Luego, al 5%, los datos no son consistentes con la

hipótesis de que el puntaje medio en desfavorabilidad hacia la justicia en la Argentina

de los estudiantes de Derecho es igual a 80. Según la evidencia muestral, que condujo

a rechazar la hipótesis nula, puede afirmarse que el puntaje medio obtenido en la

muestra, no solo es significativamente diferente de 80, sino que resultó

significativamente mayor que 80.

Nota: Dado un nivel de significación α, cuando se rechaza 0H en una prueba bilateral también

se rechaza 0H , con el mismo nivel α, en la prueba unilateral del lado correspondiente al signo

del valor observado del estadístico de prueba.

81

Abordaje II

Usando el Statistix. Desde el archivo con los datos ir a StatisticsOne, Two, Multi-

Sample Tests One-Sample T Test

Hay que especificar la variable de interés (Desfav), el valor que se sostiene para la

media en la hipótesis nula (80), y el tipo de hipótesis alternativa (distinto o sea ‘not

equal’).

La salida correspondiente es

One-Sample T Test

Null Hypothesis: mu = 80

Alternative Hyp: mu <> 80

95% Conf Interval

Variable Mean SE Lower Upper T DF P

Desfav 83.650 1.5153 80.478 86.822 2.41 19 0.0263

Cases Included 20 Missing Cases 0

Para la resolución basta repetir las acciones 1 a 4 del Abordaje I, aunque sin hacer cálculos porque en la salida computacional se presenta el valor del SE (1,5153), necesario para dar la expresión del estadístico de prueba. Se detallan a continuación las acciones 5 y 6.



En realidad sin realizar cálculos puede afirmarse que

(1) el valor observado del estadístico de prueba es 2,41, o sea obst = 2,41

(2) el valor p = 0,0263.




significación).

Regla de Decisión: se rechaza 0H si el valor p < 0,05 y no se rechaza 0H en caso

contrario.


La Conclusión coincide con lo expresado en la acción 7) del Abordaje I. Nota: En la salida también figuran la media de la muestra (�̅� = 83,65) y los grados de libertad (degrees of freedom, df = 19). El análisis basado en el intervalo de confianza no se desarrollará en este curso. Solo nótese que el valor propuesto para la media, µ=80, no pertenece al

intervalo [80,478; 86,822] y que según el valor p se rechazó 0H .

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EJERCICIO 3 Un equipo de estudiosos sostiene que el entrenamiento basado en la resolución

creativa de problemas favorece el rendimiento. Se asignaron al azar nueve

adolescentes a cada uno de dos grupos. Un grupo fue entrenado en la resolución

creativa de problemas y el otro no. Luego se les dio una serie de problemas para

resolver. El número de problemas para los cuales cada adolescente presentó una

solución posible fue:

Grupo entrenado: 12 16 19 8 10 13 9 15 14

Grupo no entrenado: 15 5 11 8 9 5 6 11 10

Suponga que la "cantidad de problemas resueltos por un adolescente" se distribuye normalmente con igual varianza para ambos casos. Formule las hipótesis

convenientes. Contrástelas al nivel de significación = 0,05. ¿Al 1% cuál sería la decisión? Resolución: 1) Nombrar la/s variable/s Las variables del problema son X1: Cantidad de problemas resueltos por un adolescente entrenado. X2: Cantidad de problemas resueltos por un adolescente no entrenado. La variable X1 alude a la población hipotética de todos los adolescentes entrenados. La variable X2 alude a la población real de adolescentes. Las dos poblaciones de observaciones involucradas son hipotéticas. La media de X1 es µ1 y la media de X2 es µ2 Según el enunciado las variables X1 y X2 se distribuyen normalmente con igual varianza. 2) Plantear las hipótesis: Hipótesis nula e Hipótesis alternativa

𝑯𝟎 : µ1 = µ2 o sea 𝑯𝟎 : µ1 - µ2 = 0 (la hipótesis nula afirma que la cantidad media problemas resueltos por los adolescentes entrenados es igual a la de los adolescentes no entrenados, o sea sostiene que el entrenamiento no es eficaz)

𝑯𝟏 : µ1 > µ2 o sea 𝑯𝟏 : µ1 - µ2 > 0 (la hipótesis alternativa conveniente es que la

cantidad media problemas resueltos por los adolescentes entrenados es mayor que la de los adolescentes no entrenados, o sea sostiene que el entrenamiento es eficaz)


α = 0,05


El estadístico de prueba para las hipótesis y las condiciones dadas (igual varianza de las dos poblaciones independientes normalmente distribuidas) es:

83

21

21

11

nnS

XXt

C

el cual bajo H0 tiene distribución t de Student con n1+n2-2 grados de libertad. Sc, es la raíz de la varianza combinada que se calcula a partir de la varianza y el tamaño

muestral de cada uno de los dos grupos. La varianza combinada, 𝑆𝑐2, es un estimador

de la varianza poblacional que se supone igual para las dos variables. O sea para los datos de este problema:

9

1

9

1

21

CS

XXt , bajo H0, se distribuye t de Student con n1+n2-2= 9+9-2=16 grados de

libertad En este ejercicio se presenta la resolución de la prueba de hipótesis de comparación de medias usando Statistix, o sea, no se construye la zona de rechazo. En el ejercicio resuelto 4 c) sí se construye. Los datos del presente ejercicio están cargados en el archivo ‘Práctica 6 – Ejercicio Resuelto 3.sx’ disponible en la Web. Figuran cargados en forma de tabla.

Entrenados noEntrenados

12 15

16 5

19 11

8 8

10 9

13 5

9 6

15 11

14 10

Desde el archivo con los datos ir a StatisticsOne, Two, Multi-Sample TestsTwo-

Sample T Test. Señalar que los datos están cargados en forma de tabla (en Model

Especification, clickear en Table), en el recuadro que pide las variables colocar las dos

del caso (las que corresponden a los registros de los Entrenados y de los no

Entrenados), dejar ‘0’ para la hipótesis nula (µ1 - µ2 = 0) y para la hipótesis alternativa

clickear en ‘mayor que’ (Greater Than). Clickear OK y se obtiene:

Statistix 8.0

Cantidad de problemas resueltos por adolescentes entrenados y no entrenados

Two-Sample T Tests for Entrenad vs nEntrenad

Variable Mean N SD SE

Entrenad 12.889 9 3.5512 1.1837

nEntrenad 8.8889 9 3.2956 1.0985

Difference 4.0000

84

Null Hypothesis: difference = 0

Alternative Hyp: difference > 0

95% CI for Difference

Assumption T DF P Lower Upper

Equal Variances 2.48 16 0.0124 0.5765 7.4235

Unequal Variances 2.48 15.9 0.0124 0.5749 7.4251

Test for Equality F DF P

of Variances 1.16 8,8 0.4189


En la salida se visualiza información estadística de los dos grupos: media, tamaño de muestra, desvío estándar y error típico. La diferencia de medias muestrales da 4 a favor del grupo de los adolescentes entrenados. Se verá si esta diferencia puede considerarse significativamente mayor que 0, y por tanto atribuible al entrenamiento o si debe ser atribuida al azar. En primer lugar hay que chequear la igualdad de varianzas de las variables X1 y X2. Efectivamente en el Test de Igualdad de Varianzas el valor p = 0,4189 > 0,05. Luego, la evidencia muestral no conduce a rechazar la igualdad de varianzas. En la línea de ’varianza iguales’ figuran el valor observado del estadístico de prueba tobs = 2,48, los grados de libertad de la distribución t de Student (n1+n2-2=16) y el valor p = 0,0124, con lo cual se cumplimenta la acción 5). 6) Establecer la Regla de Decisión y formular la Decisión en base a la



significación).


contrario.

Decisión: Como el valor p = 0,0124 < 0,05 se rechaza 0H .


Conclusión: Se rechaza H0. Con un nivel del 5%, se concluye que la cantidad media

de problemas resueltos por los adolescentes entrenados es significativamente mayor

que la de los adolescentes no entrenados. Es decir al 5%, la diferencia de medias de

la cantidad de problemas resueltos por los dos grupos (la diferencia 4) es atribuible al

entrenamiento como fuente sistemática de variación.

* Con el nivel de significación del 1%, cambia la decisión del problema. Pues como el

valor p = 0,0124 > 0,01 no se rechaza 0H .

En este caso se arriba a la siguiente conclusión:

Conclusión: No se rechaza H0. Con un nivel del 1%, se concluye que la cantidad

media de problemas resueltos de los entrenados no es significativamente mayor que la

85

de los no entrenados, esto es que el entrenamiento no es eficaz. Al 1%, la diferencia

de medias de la cantidad de problemas resueltos (la diferencia 4) no puede ser

atribuida al entrenamiento y solo es atribuible a fuentes fortuitas de variación.

EJERCICIO 4 Dos grupos, uno de n1 niños y otro de n2 niños, de escuela primaria, aprendieron a leer

por dos métodos diferentes. Una vez terminada la instrucción los niños rindieron una

prueba de lectura. Considere las variables:

X1: puntaje en la prueba de lectura de un niño que aprendió a leer con el método 1.

X2: puntaje en la prueba de lectura de un niño que aprendió a leer con el método 2.

Con los puntajes de estas pruebas se calculó el valor del estadístico:

21

21

11

nnS

xxt

C

donde

1x es la media de los puntajes para el grupo de n1 niños.

2x es la media de los puntajes para el grupo de n2 niños.

1S es el desvío estándar para el grupo de n1 niños.

2S es el desvío estándar para el grupo de n2 niños.

2

.1.1

21

2

22

2

112

nn

SnSnSC es la varianza combinada

Se ponen a prueba las siguientes hipótesis

0 : :

0 : :

211211

210210

HoH

HoH

y para un nivel de significación se concluye que el valor observado de t es tal que

tα/2; n1+n2-2< tobservado < t1-α/2; n1+n2-2

a) Interprete las hipótesis y exprese la conclusión del problema en términos de la

situación planteada.

b) Realice la prueba de hipótesis usando Statistix, sabiendo que los valores

observados son los siguientes y que el nivel de significación del 5%:

86

X1: 18 19 16 18 14 19 15 20 20 19 19 17 19 21 22

X2: 18 19 17 19 16 18 17 17 21 19 20 17 20 19 21 23 24 20 21 19

c) Realice la prueba al 5% calculando el valor del estadístico t a partir de la

información proporcionada.

Resolución:

a) La hipótesis nula afirma que: el puntaje medio de todos los niños que aprenden

con un método es igual al puntaje medio de todos los niños que aprenden con el otro

método. Esto puede interpretarse como que ambos métodos son igualmente efectivos.

La hipótesis alternativa sostiene que: el puntaje medio de todos los niños que

aprenden con un método no es igual al puntaje medio de todos los niños que aprenden

con el otro método. O sea ambos métodos no son igualmente efectivos.

El valor observado de t no pertenece a la Zona de Rechazo, luego la decisión ha de

ser no rechazar la hipótesis nula.

Conclusión: El no rechazo de la hipótesis nula con un nivel de significación α debe

interpretarse como que la información muestral no proporcionó suficiente evidencia

que nos permita afirmar que los métodos son diferentes en cuanto a su efectividad.

b) Las muestras de niños pueden considerarse pertenecientes a dos poblaciones

hipotéticas: la de todos los niños entrenados con un método y, la de todos los niños

entrenados por el otro método.

Nombrar las variables (acción 1) y plantear las hipótesis (acción 2) fueron presentadas

en el enunciado y expresadas de manera coloquial en el inciso a)

El nivel de significación es α=0,05 (acción 3).


El estadístico de prueba presentado en el enunciado corresponde a la prueba de

comparación de medias de dos poblaciones independientes normalmente distribuidas

con varianzas desconocidas pero iguales

Es decir:

21

21

11

nnS

XXt

C

el cual bajo H0 tiene distribución t de Student con n1+n2-2

grados de libertad.

Para los datos de este problema

20

1

15

1

21

CS

XXt , bajo H0, tiene distribución t de Student con n1+n2-2=15+20-2=33

grados de libertad.

87

El problema se resuelve en Statistix. Los datos están cargados en el archivo ‘Práctica

6 – Ejercicio Resuelto 4.sx’ disponible en la Web. Allí los datos figuran cargados en

forma de tabla.

Desde el archivo con los datos ir a StatisticsOne, Two, Multi-Sample TestsTwo-

Sample T Test. Señalar que los datos están cargados en forma de tabla (en Model

Especification, clickear en Table), en el recuadro que pide las variables colocar las dos

del caso (X1 y X2), dejar ‘0’ para la hipótesis nula (µ1 - µ2 = 0) y para la hipótesis

alternativa clickear en ‘diferente’ (‘Not Equal’). Clickear OK y se obtiene:

Two-Sample T Tests for X1 vs X2

Variable Mean N SD SE

X1 18.400 15 2.1647 0.5589

X2 19.250 20 2.0743 0.4638

Difference -0.8500


Alternative Hyp: difference <> 0



Equal Variances -1.18 33 0.2473 -2.3184 0.6184

Unequal Variances -1.17 29.6 0.2512 -2.3342 0.6342


of Variances 1.09 14,19 0.4230


El valor p = 0,4230 de la prueba de igualdad de varianzas indica que éstas no pueden

considerarse diferentes.

En la línea de ’varianza iguales’ figuran el valor observado del estadístico de prueba

tobs = -1,18, los grados de libertad de la distribución t de Student (n1+n2-2=33) y el valor

p = 0,2473, con lo cual se cumplimenta la acción 5)

Nota: en la salida computacional figuran 5 casos perdidos (Missing Cases) que en este caso no son tales. El origen de los mismos es que los 35 datos (15 para el método 1 y 20 para el método 2) están cargados en forma de tabla por eso ‘parece’ que en la primera columna, donde están los 15 datos de los que aprendieron con el método 1, faltan cinco casos.




significación).


contrario.

Decisión: Como el valor p = 0,24734 > 0,05 no se rechaza 0H .


88

Conclusión: No se rechaza H0. La información muestral no proporcionó suficiente

evidencia que permita afirmar que los métodos son diferentes en cuanto a su

efectividad. La diferencia de medias de los puntajes en la prueba de lectura para los

que aprendieron con los distintos métodos (-0,85) no puede ser atribuida al método y

solo es atribuible a fuentes fortuitas de variación.

c) Se puede realizar la prueba al 5% haciendo cálculos de la siguiente forma:

Las acciones 1 a 4 son las mismas del inciso b). A continuación se muestran las acciones 5 y 6. Es necesario conocer tamaño de muestra, media y varianza de los puntajes en la prueba de lectura de los niños que aprendieron con los distintos métodos.

Descriptive Statistics

Variable N Mean Variance

X1 15 18.400 4.6857

X2 20 19.250 4.3026

El estadístico de prueba es 𝑡 =�̅�1−�̅�2

𝑆𝑐√1

15+

1

20

el cual bajo H0 tiene distribución t de

Student con n1+n2-2=15+20-2=33 grados de libertad.

El valor observado del estadístico de prueba para los datos muestrales es

𝑡𝑜𝑏𝑠 =18,4 − 19,25

2,1131. √ 115

+1

20

= −1,18

La zona de rechazo o región crítica se construye considerando que la hipótesis

alternativa es 12 o sea la prueba es bilateral. Cuanto más alejado de cero sea el

valor del estadístico de prueba menos se creerá en H0. Luego la región crítica se

compone de dos partes: la de los valores menores que tα/2; n1+n2-2 y la de los valores

mayores que t1-α/2; n1+n2-2.

En Statistix, desde el Menú Statistics Probability Functions T Inverse (p, df) con

p = 0.025 y df =33 y p = 0.975 y df = 33, se obtiene que t 0.025; 33 = - 2,03 y t0.975; 33 = 2,03

t0.025; 33 = - 2,03 0 2,03 = t0.975; 33

La zona de rechazo son los valores de t menores que -2,03 o mayores que 2,03.

El valor observado del estadístico de prueba no pertenece a la zona de rechazo, luego

se decide no rechazar H0.

89

La Conclusión coincide con lo expresado en la acción 7 del inciso b) del presente ejercicio.

EJERCICIO 5

La empresa A aplicó una técnica para hacer uso del sentido del humor como

reforzador motivacional. Pasados seis meses, decide evaluar los resultados obtenidos.

Se propone mantener el uso de la técnica si más del 75% de los empleados considera

que ha sido beneficiosa para motivarlos en su tarea. Para tomar la decisión,

seleccionó al azar una muestra de 80 empleados y les administró una encuesta que,

entre otras cosas, preguntaba: ¿considera que esta técnica lo motiva

significativamente para realizar su labor diaria? Sesenta y ocho empleados

respondieron afirmativamente. A la luz de este resultado ¿aconsejaría usted a la

empresa que continúe con la aplicación de la técnica? Utilice una prueba con un nivel

de significación 0,10 para responder al interrogante.

Resolución 1) Nombrar la/s variable/s La variable X, “Respuesta a la pregunta ¿considera que esta técnica lo motiva

significativamente para realizar su labor diaria? dada por un empleado de la empresa

A”, responde al modelo Bernoulli. X vale 1 si el empleado considera que la técnica fue

beneficiosa para motivarlo en su tarea (éxito) y vale 0 si no la considera beneficiosa

(fracaso). π es la probabilidad de éxito, es decir la proporción de éxitos en la población

o, lo que es lo mismo, la media poblacional.


75,0:0 H (la hipótesis nula sostiene que la técnica no es eficaz)

75,0:1 H (la hipótesis alternativa sostiene que la técnica es eficaz)

Luego, bajo 𝐻0 la variable X se distribuye como la variable Bernoulli con parámetro

0,75.


α = 0,10


Estadístico de prueba

n

pZ

)1( 00

0

, bajo H0 se distribuye aproximadamente como

una normal estándar. Donde p designa a la media muestral o, lo que es lo mismo, la

proporción de éxitos en la muestra.

Para este problema el estadístico de prueba es 𝑍 =𝑝−0,75

√0,75∗(1−0,75)/80, bajo H0

se distribuye aproximadamente como una normal estándar. Pues se verifica que n=80

es grande y que n.π0=80.0,75 =60>5 y n.(1-π0) =80.0,25 =20>5.

90

El valor observado del estadístico de prueba y el valor p pueden leerse directamente

de la salida del Statistix. Directamente desde el Menú StatisticsOne, Two, Multi-

Sample TestsProportion Test. Allí especificar que se cuenta con una muestra de

tamaño 80 en la cual hubo 68 éxitos, que en la hipótesis nula se sostiene la proporción

de éxitos 0,75 y que la hipótesis alternativa es de ‘mayor’. La salida es:

Statistix 8.0

One-Sample Proportion Test

Sample Size 80

Successes 68

Proportion 0.85000

Null Hypothesis: P = 0.75

Alternative Hyp: P > 0.75

Difference 0.10000

Standard Error 0.03992

Z (uncorrected) 2.07 P 0.0194

Z (corrected) 1.94 P 0.0264

95% Confidence Interval

Uncorrected (0.77175, 0.92825)

Corrected (0.76550, 0.93450)

En la salida se lee que la proporción muestral es 0,85, el valor observado del

estadístico de prueba está en la línea de Z (uncorrected) es Zobs = 2,07 y el valor p =

0,0194




significación).


contrario.



Conclusión:

Se rechaza 0H . Con un nivel de significación del 10% puede considerarse que la

técnica implementada es eficaz y por tanto se aconsejaría a la empresa continuar con

la aplicación de dicha técnica.

EJERCICIO 6

La empresa B llevó a cabo una experiencia similar a la de la empresa A del ejercicio

anterior. Pasados seis meses administró la misma encuesta a una muestra de 150

empleados elegidos al azar, 120 de los cuales respondieron afirmativamente. ¿Puede

considerarse que los resultados de la técnica fueron similares en las dos empresas?

Utilice una prueba con un nivel de significación 0,10 para responder al interrogante.

91

Resolución 1) Nombrar la/s variable/s La variable X1, “Respuesta a la pregunta ¿considera que esta técnica lo motiva

significativamente para realizar su labor diaria? dada por un empleado de la empresa

A”, responde al modelo Bernoulli. X1 vale 1 si el empleado considera que la técnica fue

beneficiosa para motivarlo en su tarea (éxito) y vale 0 si no la considera beneficiosa

(fracaso). π1 es la probabilidad de éxito, es decir la proporción de éxitos en la empresa

A o, lo que es lo mismo, la media poblacional para la empresa A.

La variable X2 es la análoga de X1 pero en la empresa B. O sea:

La variable X2 se observa en los empleados de la empresa B y responde al modelo

Bernoulli. X2 vale 1 si el empleado considera que la técnica fue beneficiosa para

motivarlo en su tarea (éxito) y vale 0 si no la considera beneficiosa (fracaso). π2 es la

probabilidad de éxito, es decir la proporción de éxitos en la empresa B o, lo que es lo

mismo, la media poblacional para la empresa B.


210 : H (la hipótesis nula sostiene que los resultados de la técnica son los

mismos en las dos empresas)

211 : H ( (la hipótesis alternativa sostiene que los resultados de la técnica no son

los mismos en las dos empresas)

Luego, bajo 𝐻0 las variables X1 y X2 se distribuyen como una variable Bernoulli con

igual proporción de éxitos.


α = 0,10


El estadístico de prueba

)11

(*)1(*21

21

nnpp

ppZ

cc

, bajo H0 se distribuye

aproximadamente como una normal estándar pues las muestras, con n1=80 y n2=150,

son grandes.

Donde 21

2211 **

nn

pnpnpc

, con n1 y n2 los tamaños muestrales y p1 y p2 las

respectivas proporciones muestrales para X1 y X2.

El valor observado del estadístico de prueba y el valor p pueden leerse directamente

de la salida del Statistix. Directamente desde el Menú StatisticsOne, Two, Multi-

Sample TestsProportion Test. Allí especificar que se cuenta con dos muestras, una

de tamaño 80 en la cual hubo 68 éxitos y la otra de tamaño 150 en la que hubo 120

éxitos, y que la hipótesis alternativa es de ‘diferente’. La salida es:

92

Statistix 8.0

Two-Sample Proportion Test

Sample 1 Sample 2

Sample Size 80 150

Successes 68 120

Proportion 0.85000 0.80000

Null Hypothesis: P1 = P2

Alternative Hyp: P1 <> P2

Difference 0.05000

SE (diff) 0.05349

Z (uncorrected) 0.93 P 0.3499

Z (corrected) 0.76 P 0.4499

Fisher's Exact 0.3768

95% Confidence Interval of Difference

Lower Limit -0.05483

Upper Limit 0.15483

En la salida se lee que la proporción muestral es 0,85 en la empresa A y 0,80 en la

empresa B, el valor observado del estadístico de prueba (está en la línea de Z

(uncorrected) es Zobs = 0,93 y el valor p = 0,3499




significación).


contrario.

Decisión: Como el valor p = 0,3499 > 0,10 no se rechaza 0H


Conclusión:

No se rechaza 0H . Según la evidencia muestral los resultados de la técnica en las

dos empresas pueden considerarse similares. La diferencia observada en los

resultados de las dos empresas es atribuible a fuentes fortuitas de variación.

EJERCICIOS PROPUESTOS

(Las respuestas se pueden encontrar en la página Web de la Cátedra)

EJERCICIO 1

En una muestra de 25 adultos de la ciudad de Buenos Aires se obtuvo, este año, una

media de 42 en una prueba de memoria espacial. Estudios anteriores afirman que

esas puntuaciones, a nivel poblacional, estaban normalmente distribuidas con media

40 y desvío típico 2. ¿Es la media de la muestra de este año significativamente

93

diferente de 40 al nivel del 1%. Suponga que el desvío poblacional actual se mantuvo

igual al histórico.

EJERCICIO 2

Las experiencias relatadas en el ejercicio 9 de la práctica 3 formaron parte de una

investigación interesada en un tiempo de reacción medio poblacional de 30 ds. ¿Es la

media del grupo 2 de observaciones significativamente diferente de 30 al nivel del 3%?

¿Considera que el grupo 2 fue correctamente incluido en la investigación mencionada?

EJERCICIO 3

Supongamos que todos los años a los alumnos que ingresan a la Facultad de

Ingeniería se les administra una prueba normalizada de aptitud matemática. Este año

238 aspirantes resolvieron la prueba y obtuvieron un puntaje medio de 475. Se perdió

la información sobre el desvío estándar correspondiente.

a) ¿Es este resultado consistente con las normas que indican para la prueba un

puntaje medio de 500 y una desviación estándar de 100?

b) Enuncie las suposiciones que tuvo que hacer para responder la pregunta a).

c) ¿Muestran los resultados de este año una disminución significativa de la aptitud con respecto a la norma?

EJERCICIO 4

Sobre la base de incrementar la capacidad creativa, se llevó a cabo un programa de

entrenamiento a 30 individuos. Para la evaluación se utilizó un Test que mide el

pensamiento creativo (Test de Pensamiento Creativo de Torrance). Luego del

entrenamiento se evaluó a los individuos entrenados, obteniéndose las siguientes

observaciones:

93 86 89 87 69 80 101 91 98 82 73 107 94 85 94 70 105

65 83 129 87 88 56 82 95 108 103 82 81 79

Si los datos históricos informan que los puntajes para esta evaluación de la capacidad

creativa, se distribuyen normalmente con una media de 82, ¿puede considerarse

efectivo el entrenamiento? Use un nivel de significación 0,05.

(Este problema está basado en el artículo de Mettifogo, Medina, y Stephan,1997)

A continuación se presenta la salida de la prueba de hipótesis realizada con Statistix.

One-Sample T Test


Alternative Hyp: mu > 82

95% Conf Interval


Puntaje 88.067 2.6665 82.613 93.520 2.28 29 0.0152


94

EJERCICIO 5

La duración media de una prueba de estímulos visuales es de 17 segundos. Después

de un entrenamiento especial para reducir el tiempo necesario para realizar la prueba,

un grupo de 12 personas proporcionan los siguientes datos en segundos:

17 16.7 16.8 17.1 16.5 17.1 16.8 17 16.7 16.9 17 16.8

Con un nivel de significación del 1%, ¿afirmaría usted que el entrenamiento es eficaz?

EJERCICIO 6

Los encargados de tutoría de los alumnos de quinto año afirman que la participación

de los alumnos en actividades de convivencia mejoran los resultados en

Descalificación Personal.

Según estudios anteriores las puntuaciones en el estilo de humor Descalificación

Personal se distribuyen normalmente con media 26. Este año se seleccionó una

muestra de alumnos de quinto año para que participen en actividades de convivencia y

luego se registraron sus puntuaciones en Descalificación Personal.

A continuación se presenta la salida de la prueba de hipótesis realizada con Statistix.

One-Sample T Test


Alternative Hyp: mu < 26

95% Conf Interval


DP 22.500 1.3271 19.498 25.502 -2.64 9 0.0135


a) Enuncie coloquialmente las hipótesis planteadas. ¿Está de acuerdo con ese

planteo? Justifique

b) Indique qué tipo de prueba es la exhibida y por qué se utilizó en este caso.

c) ¿Es consistente el resultado obtenido con lo afirmado por los tutores con un nivel

de significación del 2%? ¿Por qué?

d) Indique un nivel de significación para el cual no habría evidencia suficiente para

aceptar la propuesta de los tutores.

EJERCICIO 7

Un equipo de asesores de un candidato político sostiene que menos del 30% de los

electores tendrá una imagen negativa del mismo después de realizar ciertos cambios

en la campaña electoral. Estudios realizados en una muestra de 500 electores luego

de implementar los cambios, encuentra 130 que manifiestan tener una imagen

negativa del candidato. Con un nivel de significación del 1%, ¿la información muestral

permite sostener la hipótesis del equipo de asesores?

EJERCICIO 8

La droga que se utiliza habitualmente para curar cierta enfermedad es efectiva en el

80% de los casos. Un médico quiere poner a prueba otra droga, la administra a 120

enfermos y obtiene que se curan 108. Desea saber si la nueva droga es más efectiva

95

que la tradicional. Realice la prueba de hipótesis conveniente con un nivel de

significación del 5% para concluir al respecto.

EJERCICIO 9 En el ejercicio 9 de la práctica 3 usted tuvo que responder a dos interrogantes sobre

los tiempos de reacción de dos grupos de personas. Ahora, con una prueba de

hipótesis adecuada, evalúe si al 5% puede sostener la significancia de las respuestas

dadas en esa oportunidad. Para ello, tenga en cuenta que los tiempos, en décimas de

segundo, del grupo 1 fueron: 33 26 30 32 28 29 27 31 23 27 35.

EJERCICIO 10

En el ejercicio resuelto 3 de la práctica 1 se presentan datos registrados por los

investigadores de un Laboratorio del Humor. Mediante una prueba de hipótesis

adecuada decida, a partir de dichos datos, si existe efecto de la Autoestima en el Estilo

del Humor de Mejoramiento Personal de jóvenes universitarios de la Universidad de

Córdoba. Se supone que el puntaje en el Estilo de Humor Mejoramiento Personal se

distribuye normalmente y que la variabilidad es la misma en las dos poblaciones

hipotéticas de las que las muestras de observaciones provienen. Usar un nivel de

significación del 5%.

EJERCICIO 11

Se han tomado dos muestras aleatorias de jóvenes de entre 16 y 25 años de la ciudad de Salta; una, de mujeres y, la otra, de varones. A cada uno de los jóvenes de ambas muestras se le administró la Escala sobre el Sentido del Humor. Se presenta, a continuación, la información que arroja el programa Statistix al realizar una prueba de hipótesis a partir de los puntajes del factor Afiliativo de los jóvenes de las dos muestras.

Two-Sample T Tests for Afiliativ by Muestra

Muestra Mean N SD SE

Mujeres 39.000 30 4.6088 0.8415

Varones 35.080 25 4.1725 0.8345

Difference 3.9200


Alternative Hyp: difference <> 0



Equal Variances 3.28 53 0.0019 1.5211 6.3189

Unequal Variances 3.31 52.6 0.0017 1.5426 6.2974


of Variances 1.22 29,24 0.3119


a) ¿Cuál es el tamaño de las muestras consideradas?

b) Desarrolle en términos psicológicos las hipótesis que se están considerando

y plantéelas simbólicamente (estadísticamente).

c) ¿Cuáles son los supuestos necesarios para llevar a cabo la prueba de hipótesis

correspondiente a la salida?

96

d) Lleve adelante la prueba de hipótesis utilizando un nivel de significación del 5%.

Especifique el valor del estadístico de prueba que debe considerarse y la probabilidad

que tiene asociada. Tome la decisión que corresponda y saque la conclusión que se

desprende de ella.

EJERCICIO 12

Un equipo de psicólogos de la Cruz Roja desea conocer qué tipo de tratamiento

resulta más eficaz para prevenir la aparición de síntomas de estrés postraumático

luego de una catástrofe natural. Así, toman una muestra aleatoria de individuos de un

poblado de la provincia de Buenos Aires que han sido víctimas de inundaciones y se

los asigna al azar a dos grupos: el grupo A (50 sujetos) es tratado con actividades

tradicionales y el grupo B (60 sujetos) con técnicas psicodramáticas. Luego de 3

meses se mide la cantidad de sujetos que presentan síntomas de estrés postraumático

producto de la catástrofe. Se halló que en el grupo A había 21 sujetos con

sintomatología mientras que en grupo B se encontraron 16 sujetos con estas

características. Con un nivel de significación del 1% ¿puede decirse que la proporción

de sujetos con síntomas de estrés postraumático en el grupo A es distinta de la

proporción análoga en el grupo B? ¿Qué puede decirse de la eficacia de los dos tipos

de tratamiento? Con el mismo nivel de significación ¿hay evidencia para considerar

que la proporción de sujetos con sintomatología es mayor en el grupo A?

EJERCICIO 13

Sólo una de las cuatro opciones siguientes es verdadera. Indíquela. De la experiencia de muchos años respecto de un examen de inglés para la admisión a una beca de estudio, se sabe que dicha calificación sigue una distribución normal con media 64 y desviación típica 8. Una muestra de tamaño 14 representativa de los estudiantes de cierta ciudad produjo una calificación promedio de 68. Al nivel de significación del 5%: a) Hay evidencia suficiente para suponer que la calificación media en esa ciudad es distinta de 64. b) Hay evidencia suficiente para suponer que la calificación media es menor a 64 en esa ciudad. c) Hay evidencia suficiente para suponer que la calificación media es mayor a 64 en esa ciudad. d) No hay evidencia suficiente para suponer que la calificación media es mayor a 64 en esa ciudad.

EJERCICIO 14

Sólo una de las cuatro opciones siguientes es verdadera. Indíquela.

La duración media de una prueba de estímulos visuales sigue una distribución normal

con media μ0. Un grupo de 36 personas fueron entrenadas para reducir el tiempo

necesario para realizar esta prueba. Con la media x y el desvío estándar s de los

tiempos empleados por estas personas para realizarla después del entrenamiento se

obtuvo el valor del estadístico 36

0

s

xobst

Con un nivel de significación del 1%, diría usted que:

97

a) Como tobs < 01.0z = -2,33, entonces se puede decir que la media X es

significativamente menor que 0

y por lo tanto el entrenamiento es efectivo.

b) Como tobs < 35;01.0t = -2,44, entonces se puede decir que la media X es


y por lo tanto el entrenamiento es efectivo.

c) Como tobs < 01.0z = -2,33, entonces se puede decir que la media X no es


y por lo tanto el entrenamiento no es efectivo.

d) Como tobs < 35;01.0t = -2,44, entonces se puede decir que la media X no es


y por lo tanto el entrenamiento no es efectivo.

Nota: Con 01.0z se designa el percentil 1 de la distribución normal estándar.

Con 35;01.0t se designa el percentil 1 de la distribución t de Student.

EJERCICIO 15


Si se estima un parámetro a partir de una muestra, el error aleatorio de muestreo es la diferencia entre la estimación y el parámetro debida a...... a) la imprecisión del instrumento de medición. b) la obtención de una muestra atípica c) causas ajenas a la muestra que producen sesgos. d) fuentes fortuitas de variación.

EJERCICIO 16

Llene los dos espacios en blanco con el par de palabras de la única opción correcta.

Los incrementos en el tamaño de la muestra repercuten en una ...................precisión

en la estimación de los parámetros poblacionales .......................... el error muestral.

a) mayor disminuyendo

b) menor disminuyendo

c) mayor aumentando

d) menor aumentando

EJERCICIO 17


En un muestreo probabilístico simple cada unidad de la muestra:

a) es elegida dependiendo de la elección de las otras unidades. b) tiene igual probabilidad de ser elegida para integrar la muestra. c) tiene una probabilidad diferente a otra de ser elegida para integrar la muestra. d) es elegida según el criterio de quien hace el muestreo.

EJERCICIO 18


Un estadístico es:

98

a) una variable con distribución conocida. b) un valor promedio de observaciones muestrales. c) una variable que depende de los valores muestrales. d) un valor constante de la población.

EJERCICIO 19


El uso de la expresión “significación estadística” indica que: a) se encontraron diferencias en los valores muestrales calculados. b) se ha rechazado la hipótesis nula en una prueba de hipótesis. c) se le ha atribuido un significado a un parámetro poblacional. d) se ha aceptado la hipótesis nula de una prueba de hipótesis.

EJERCICIO FINAL

Continúe con la construcción del glosario de los términos estadísticos contenidos en el

cuento “Como transformarse en un estudiante de Psicología y no desencadenarse en

el intento” (Fridman, 2015), tal como se explica en el Ejercicio Final de la Práctica 1.

Puntos Críticos obtenidos con Statistix

Z Inverse (p)

Z Inverse (0.005)= -2,58 Z Inverse (0.995)= 2,58

Z Inverse (0.01 )= -2,33 Z Inverse (0.99)= 2,33

Z Inverse (0.025)= -1,96 Z Inverse (0.975)= 1,96



T Inverse (p, df)

T Inverse (0.01,11) = -2,72 T Inverse (0.025,53) = -2,01

T Inverse (0.01,20) = -2,53 T Inverse (0.05,24) = -1,71

T Inverse (0.01,30) = -2,46 T Inverse (0.95,16) = 1,75

T Inverse (0.01,35) = -2,44 T inverse (0.95,20) = 1,72



T Inverse (0.02, 9) = -2,40 T Inverse (0.975,19) = 2,09

T Inverse (0.025,9 ) = -2,26 T Inverse (0.975,53) = 2,01

T Inverse (0.025,10) = -2,23 T inverse (0.985,10) = 2,53

T Inverse (0.025,18) = -2,10 T Inverse (0.99, 9 ) = 2,82

T Inverse (0.025,19) = -2,09 T Inverse (0.99,11 ) = 2,72


99

Referencias Bibliográficas

Cátedra I de Estadística. (2015). Acerca de la resolución de una prueba de hipótesis.

En Materiales para la Cursada. Documento interno de la Cátedra I de

Estadística. Facultad de Psicología, Universidad de Buenos Aires.

Cátedra I de Estadística. (2015). Acerca del valor p. En Materiales para la Cursada.

Documento interno de la Cátedra I de Estadística. Facultad de Psicología,

Universidad de Buenos Aires.

Fridman, C. A. (2015). Como transformarse en un estudiante de Psicología y no

desencadenarse en el intento. En Materiales para la Cursada. Documento

interno de la Cátedra I de Estadística. Facultad de Psicología, Universidad de

Buenos Aires.

Granero, M., Gómez, R. E., y Carabajal, J.J. (1998). La Justicia en la Argentina.

Revista de la Facultad de Psicología – Universidad Nacional de Rosario –– Nº 1,

41–45.

Mettifogo, D., Medina, P., y Stephan M. (1997). Desarrollo de la capacidad creativa en

jóvenes. Revista de Psicología de la Universidad de Chile Departamento de

Psicología. Vol. VI. 83-92.

ejercicios resueltos - facultad de psicología · ejercicios resueltos ejercicio 1 el tiempo que se...

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