Ejercicios resueltosEjercicios resueltosFactorización y simplificación

de fracciones algebraicas

Federico Arregui

a) Igualdades notablesb) Fórmula de 2º gradoc) Ruffini

Modos posibles de factorizar:

x2 −y2

(x−y)=(x + y)(x−y)

(x−y)= (x + y)

a2 - b2 =(a + b)(a - b)

Ejercicio 1

x3 −8x−2

=(x−2)(x2 + 2x+ 4)

(x−2)=(x2 + 2x+ 4)

a3 - b3 =(a - b)(a2 + ab + b2)

x3 −23

x−2=

x3 −23

x−2=

¡NUNCA SE PUEDE SIMPLIFICAR MIENTRAS HAYA SUMAS O RESTAS!

Ejercicio 2

x3 + 27x+ 3

=(x + 3)(x2 −3x+ 9)

(x+ 3)=(x2 −3x+ 9)

a3 + b3 =(a + b)(a2 −ab + b2)

x3 + 33

x+ 3=

x3 + 33

x+ 3=

¡NUNCA SE PUEDE SIMPLIFICAR MIENTRAS HAYA SUMAS O RESTAS!

Ejercicio 3

x2 −6x+ 9x−3

=(x−3)2

(x−3)=(x−3)

a2 −2ab + b2 =(a −b)2

x2 −6x+ 93x−3

¡NUNCA SE PUEDE SIMPLIFICAR MIENTRAS HAYA SUMAS O RESTAS!

(x2 −2·3·x+ 32 )(x−3)

=

Ejercicio 4

x2 −6x+ 9x−3

=(x−3)(x−3)

(x−3)= (x−3)

x =

−b ± b2 −4·a·c

2a

x2 −6x+ 9x−3

¡NUNCA SE PUEDE SIMPLIFICAR MIENTRAS HAYA SUMAS O RESTAS!

x =6 ± 62 −4·1·9

2=

6 ± 02

=x

1=3

x2

=3

⎧⎨⎪

⎩⎪

Ejercicio 4 bis

x2 −y2

2x2 −2y2 =x2 −y2( )

2(x2 −y2 )=

2x2-2y2 =2 x2-y2( )

x2 −y2

2x2 −2y2 =¡NUNCA SE PUEDE SIMPLIFICAR MIENTRAS HAYA SUMAS O RESTAS!

Ejercicio 5

1

2

(x + y)(x−y)(x−y)2 (x+ y)

=1

(x−y)

x2 −y2

x−y( )2·

1x+ y

=¡NUNCA SE PUEDE SIMPLIFICAR MIENTRAS HAYA SUMAS O RESTAS!

Ejercicio 11

x2 −y2

(x−y)2⋅

1x+ y

=

No nos conviene desarrollar porque pasaríamos de producto a suma y no podríamos simplificar sus términos

Factorizamos por igualdad notable:“Diferencia de cuadrados”

NO se pueden simplificar términos

Ejercicio 12 Factorizamos por igualdad notable:“Diferencia de cuadrados”

=(x + y)(x − y)

x + y( )⋅x − y( )

48·24

x − y( )2 =

Factorizamos por igualdad notable:

“Trinomio cuadrado perfecto, cuadrado de una diferencia”

1

2

x2 −5x+ 6x2 −4x+ 4

=

x2 −5x+ 6x2 −4x+ 4

=NO se pueden simplificar términos

Ejercicio 13 No factorizamos por igualdad notable, por no haber cuadrados perfectos. Con la fórmula de segundo grado.

Podemos ver un trinomio cuadrado perfecto: un “cuadrado de una diferencia”.O también podemos utilizar la fórmula de segundo grado.

x =5 ± 52 −4·1·6

2=

5 ± 12

=5 ±12

=x

1=3

x2

=2

⎧⎨⎪

⎩⎪

(x−2)(x−3)=

(x−2)(x−3)(x−2)(x−2)

=(x−3)(x−2)

x2 −xyx2 −4x+ 4

·1x

+1y

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟·

yx−y

=

NO se pueden simplificar términos

Ejercicio 14

x2 −xyx2 −4x+ 4

·1x

+1y

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟·

yx−y

x(x−y)(x−2)(x−2)

·y+ xxy

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟·

yx−y

=

(x + y)(x−2)(x−2)