ejercicios resueltos de programación lineal_clase_ii

7/29/2019 Ejercicios resueltos de programacin lineal_clase_II

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Ejercicios resueltos de programacin l ineal

1

Una compaa fabr ica y venden dos mode los de lmpara L 1 y L 2 .

Para su fabr icac in se neces i ta un t rabajo manua l de 20 minutos para

e l mode lo L 1 y de 30 minutos para e l L 2; y un t rabajo de mquina para

L 1 y de 10 minutos para L 2 . Se d ispone para e l t rabajo manua l de 100

horas a l mes y para la mquina 80 horas a l mes . Sab iendo que e l

bene f ic io por un idad es de 15 y 10 euros para L 1 y L 2 , respec t ivamente ,

p lan i f i car la producc in para obtener e l mximo bene f ic io .

1E lecc in de las incgnitas .

x = n de lmparas L 1

y = n de lmparas L 2

2Funcin objet ivo

f(x, y) = 15x + 10y

3Restr icc iones

Pasamos los t iempos a horas

20 min = 1/3 h

30 min = 1/2 h

10 min = 1/6 h

Para esc r ib i r las res t r i cc iones vamos a ayudarnos de una tab la:


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L1 L2 Tiempo

Manual 1/3 1/2 100

Mquina 1/3 1/6 80

1/3x + 1/2y 100

1/3x + 1/6y 80

Como e l nmero de lmparas son nmeros natura les , tendremos

dos res t r i cc iones ms:

x 0

y 0

4 Hal la r e l conjunto de soluciones fact ibles

Tenemos que representar gr f i camente las res t r i cc iones .

Al ser x 0 e y 0, t rabajaremos en e l pr imer cuadrante .

Representamos las rec tas , a part i r de sus puntos de corte con los

e jes .

Reso lvemos gr f i camente la inecuac in: 1/3 x + 1/2 y 100;

para e l lo tomamos un punto de l p lano, por e jemplo e l (0,0) .

1/30 + 1/20 100

1/30 + 1/60 80


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La zona de in te rsecc in de las so luc iones de las inecuac iones ser a

la so luc in a l s i s tema de inecuac iones , que cons t i tuye e l conjunto de

las so luc iones fac t ib les .

5 Calcu lar las coordenadas de los vrt i ces de l rec in to de las

so luc iones fac t ib les .

La so luc in pt ima s i es n ica se encuentra en un vrt i ce de l

rec in to. s tos son las so luc iones a los s is temas:

1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200)

1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0)

1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60)


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6 Calcu lar e l valor de la funcin objet ivo

En la func in obje t ivo sus t i tu imos cada uno de los vrt i ces .

f (x , y) = 15x + 10y

f (0 , 200) = 150 + 10200 = 2 000

f (240, 0 ) = 15240 + 100 = 3 600

f (210, 60) = 15210 + 1060 = 3 750 Mximo

La so luc in pt ima es fabr icar 210 del modelo L 1 y 60 del

modelo L 1 para obtener un bene f ic io de 3 750 .

2

Con e l comienzo de l curso se va a lanzar unas ofe r tas de mater ia l

esco lar . Unos a lmacenes qu ie ren of recer 600 cuadernos , 500 carpetas y


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400 bo l gra fos para la o fe r ta , empaquetndolo de dos formas d is t in tas;

en e l pr imer b loque pondr 2 cuadernos , 1 carpeta y 2 bo l gra fos; en e l

segundo, pondrn 3 cuadernos , 1 carpeta y 1 bo l gra fo. Los prec ios de

cada paquete sern 6.5 y 7 , respec t ivamente . Cuntos paquetes le

conv iene poner de cada t ipo para obtener e l mximo bene f ic io?


x = P1

y = P2

2Funcin objet ivo

f(x, y) = 6.5x + 7y

3Restr icc iones

P1 P2 Disponibles

Cuadernos 2 3 600

Carpetas 1 1 500

Bolgrafos 2 1 400

2x + 3y 600

x + y 500

2x + y 400

x 0


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y 0






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f (x ,y)= 6.5 200 + 7 0 = 1300

f (x ,y)= 6.5 0 + 7 200 = 1 400

f (x ,y)= 6.5 150 + 7 100 = 1 675 Mximo

La so luc in pt ima son 150 P1 y 100 P2 con la que se obt ienen 1

675

3

En una granja de po l los se da una d ie ta , para engordar , con una

compos ic in mn ima de 15 un idades de una sus tanc ia A y ot ras 15 de

una sus tanc ia B. En e l mercado s lo se encuentra dos c lases de

compuestos: e l t ipo X con una compos ic in de una un idad de A y 5 de

B, y e l ot ro t ipo, Y , con una compos ic in de c inco un idades de A y una

de B. E l prec io de l t ipo X es de 10 euros y de l t ipo Y es de 30 . Qu

cant idades se han de comprar de cada t ipo para cubr i r las neces idades

con un cos te mn imo?


x = X

y = Y

2Funcin objet ivo

f(x,y) = 10x + 30y

3Restr icc iones


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X Y Mnimo

A 1 5 15

B 5 1 15

x + 5y 15

5x + y 15

x 0

y 0



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f (0 , 15) = 10 0 + 30 15 = 450

f(15, 0) = 10 15 + 30 0 = 150

f(5/2, 5/2) = 10 5/2 + 30 5/2 = 100 Mnimo

El coste mnimo son 1 00 para X = 5/2 e Y = 5/2.

4

Se d ispone de 600 g de un determinado frmaco para e laborar

pas t i l las grandes y pequeas . Las grandes pesan 40 g y las pequeas


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30 g. Se neces i tan a l menos t res pas t i l las grandes , y a l menos e l dob le

de pequeas que de las grandes . Cada pas t i l la grande proporc iona un

benef ic io de 2 y la pequea de 1 . Cuntas pas t i l las se han de

e laborar de cada c lase para que e l bene f ic io sea mximo?


x = Pas t i l las grandes

y = Pas t i l las pequeas

2Funcin objet ivo

f(x, y) = 2x + y

3Restr icc iones

40x + 30y 600

x 3

y 2x

x 0

y 0



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f (x , y)= 2 3 + 16 = 22


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f (x , y)= 2 3 + 6 = 12

f (x , y)= 2 6 + 12 = 24 Mximo

El mximo bene f ic io es de 24 , y se obt iene fabr icando 6

pasti l las grandes y 12 pequeas .

5

Unos grandes a lmacenes desean l i qu idar 200 camisas y 100 panta lones

de l a temporada anter i or . Para e l l o l anzan , dos ofertas , A y B . La oferta A

cons i s te en un l ote de una cam isa y un panta ln , que se venden a 30 ; l a

oferta B cons iste en un lote de tres camisas y un panta ln , que se vende a

50 . No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A n i menos de 10

de l a B . Cuntos l otes ha de vender de cada t i po para max im izar l a

gananc i a?

1E lecc i n de l as i ncgnitas .

x = n de l otes de A

y = n de l otes de B

2Funcin objet ivo


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f(x, y) = 30x + 50y

3Restr i cc i ones

A B Mnimo

Camisas 1 3 200

Pantalones 1 1 100

x + 3y 200

x + y 100

x 20

y 10

4 Hal lar e l con junto de so luc i ones fact ib les


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5 Ca lcu lar l as coordenadas de l os vrt i ces de l rec i nto de l as

so luc i ones fact ib les .

6 Ca lcu lar e l valor de la funcin objet ivo

f (x , y ) = 30 20 + 50 10 = 1 100

f (x , y ) = 30 90 + 50 10 = 3200

f (x , y ) = 30 20 + 50 60 = 3600

f (x , y ) = 30 50 + 50 50 = 4000 Mximo

Con 50 lotes de cada t ipo se obtiene una ganancia mxima de 4000

.

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