UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DEHUAMANGA

FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGIA Y CIVIL

Escuela de Formacion Profesional de Ingenierıa de Sistemas

“Ejercicios Resueltos de Investigacion de Operaciones”

Curso:Investigacion de Operaciones

Sigla: IS-262

Alumno:

- HUAMAN PINEDA, Isac

Ayacucho - Peru2015

1. Ejercicios Resueltos

Ejemplo 3.1:

Una firma industrial elabora dos productos, en los cuales entran cuatro componentes encada uno. Hay una determinada disponibilidad de cada componente y un beneficio por cadaproducto. Se desea hallar la cantidad de cada articulo que debe fabricarse, con el fin de ma-ximizar los beneficios. El siguiente cuadro resume los coeficientes de transformacion o sea lacantidad de cada componente que entra en cada producto.

Cuadro (3.1)

Solucion:X1 =Nro. de Unidad de Producto P1

X2 =Nro. de Unidad de Producto P2

Dado que X1 y X2 pueden tomar distintos valores reciben el nombre de ((variables)). Anali-zando ahora el componente A del cuadro de coeficientes de transformacion se tiene:

Si en 1 Unidad del Producto P1 entra 1kg. del componente Aj en X1 unidades de P1 entraran.

[1][kg. de componente A

1 Unidad de P1

]X1 (Unidades de P1)

Y para el producto P2:

[3][kg. de componente A

1 Unidad de P2

]X2 (Unidades de P2)

Dado que la restriccion impuesta dice que la disponibilidad del componente A es de 15000kg.es evidente que la suma de las expresiones anteriores debera ser menor a la suma igual a 15000.Es decir, 15000kg constituye el maximo disponible del componente A.

Entonces eliminando las unidades de medida, se expresan en forma matematica de la si-guiente forma:

1X1 + 3X2 ≤ 15000

Aplicando el mismo analisis a los componente B,C y D, se tendran las siguientes inecua-ciones:

1

2X1 + 1X2 ≤ 100002X1 + 2X2 ≤ 120001X1 + 1X2 ≤ 10000

Ahora bien, si el producto P1 genera un beneficio de S/.4 por unidad, X1 unidades produciraun beneficio de S/.4X1 y para el producto P2, seran 3X2 soles del beneficio.

El beneficio total puede expresarse entonces como suma de los beneficios que deja cadaproducto.

Entonces:

Z = 4X1 + 3X2

Pero lo que nosotros queremos es que este beneficio no solo sea grande, sino que sea el mayorde todos; en una palabra, que sea maximo.

Sujeto a:

1X1 + 3X2 ≤ 150002X1 + 1X2 ≤ 100002X1 + 2X2 ≤ 120001X1 + 2X2 ≤ 10000

X1, X2 ≥ 0

Ejemplo 3.2:

La Cıa XY Z produce tornillos y clavos. La materia prima para los tornillos cuesta S/.2 porunidad, mientras que la materia prima para cada clavo cuesta S/.2.50. Un clavo requiere doshoras de mano de obra en el departamento #1 y tres horas en el departamento #2, mientrasque un tornillo requiere cuatro horas en el departamento #1 y dos horas en el departamento#2. El jornal por hora en ambos departamentos es de S/.2. Si ambos productos se venden aS/.18 y el numero de horas de mano de obra disponibles por semana en los departamentos esde 160 y 180 respectivamente, expresar el problema propuesto como un programa lineal, talque se maximicen las utilidades.

Solucion:

X1 = tornillo/semanaX2 = clavos/semana

Utilidad = venta− costo

Costo de los tornillos =S/.12/Unid.+S/.2/Unid. =S/.14/Unid.

Utilidad = 18− 14 =S/.4/Unid.

Costo de los clavos = 5× 2 + 2.5 =S/.12.5/Unid.

2

Utilidad = 18− 12.5 =S/.5.50/Unid.

Por lo tanto el programa lineal es:

(Max) = 4X1 = 5.50X2

Sujeto a:

4X1 + 2X2 ≤ 1602X1 + 3X2 ≤ 180

X1, X2 ≥ 0

Ejemplo 3.3:

A un joven matematico se le pidio que entretuviese a un visitante de su empresa durante90 minutos. El penso que serıa una excelente idea que el huesped se emborrache. Se le dioal matematico S/.50. El joven sabia que al visitante le gustaba meezclar sus tragos, pero quesiempre bebıa mas de 8 vasos de cerveza, 10 ginebras, 12 wiskys y 24 martinis. El tiempo queempleaba para beber era 15’ por cada vaso de cerveza, 6’ por vasode Ginebra, 7’ y 4’ por cadavaso de whisky y martini.

Los precios de las bebidas eran:

Cerveza S/.1, el vaso; Ginebra S/.2, el vaso; Whisky S/.2, el vaso; Martini S/.4, el vaso

El matematico pensaba que el objetivo era maximizar el consumo alcoholico durante los90’ que tenia para entretener al huesped. Logro que un amigo quımico le diese el contenidoalcoholico de las bebidas en forma cuantitativa, siendo las unidades alcoholicas por un vaso de17, 15, 16 y 7 por vaso. El visitante siempre bebıa un mınimo de 2 Whiskys. ¿Como resolvio elmatematico el problema?.

Solucion:

Xj: Nro de vasos de tipo (1:Cerveza; 2:Ginebra; 3:Whisky; 4:Martini)(Max)Z = 17X1 + 15X2 + 16X3 + 7X4

Sujeto a:

1X1 + 2X2 + 2X3 + 4X4 ≤ 50X1 ≤ 8X2 ≤ 10

2 ≤ X3 ≤ 1215X1 + 6X2 + 7X3 + 4X4 ≤ 90

Xj ≥ 0; j = 1, 2, 3, 4

3

Ejemplo 3.4:

Un barco tiene 3 bodegas: En la proa, en la popa y en el centro, las capacidades limites son:

Se han recibido las siguientes ofertas de carga, las que se pueden aceptar total o parcialmente.

Como se debe distribuir la carga para maximizar la ganancia, si la preservacion del equilibrioobliga a que el peso de cada bodega sea proporcional a la capacidad de toneladas.

Solucion:

El problema consiste en distribuir los artıculos en las 3 bodegas; es decir, se trata de deter-minar que fraccion de cada artıculo ira en cada bodega.

Xj =(# de ton. de cada artıculo que ira en cada bodega, j = 1, 2, 3, . . . , 9)

Redisponemos los datos en la siguiente tabla:

Por lo tanto el programa lineal es:

(Max)Z = 6(X1 + X2 + X3) + 8(X4 + X5 + X6) + 9(X7 + X8 + X9)

4

a) Restricciones debidas al tonelaje de la bodega.

X1 + X4 + X7 ≤ 2000X2 + X5 + X8 ≤ 3000X3 + X6 + X9 ≤ 15000

b) Restricciones debidas al volumen de la bodega.

60X1 + 50X4 + 25X7 ≤ 10000060X2 + 50X5 + 25X8 ≤ 13500060X3 + 50X6 + 25X9 ≤ 30000

c) Restricciones debidas a la oferta de los artıculos.

X1 + X2 + X3 ≤ 6000X4 + X5 + X6 ≤ 4000X7 + X3 + X9 ≤ 2000

c) Por la preservacion del equilibrio.X1+X4+X7

2000= X2+X5+X8

3000= X3+X6+X9

1500

Notese que de las igualdades solo se obtienen 2 ecuaciones independientes.

Xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , 9

Ejemplo 3.5:

Se hace un pedido a una papelerıa de 800 rollos de papel corrugado de 30 pulgadas de ancho,500 rollos de 45 pulgadas de ancho y 1000 de 50 pulgadas. Si la papelerıa tiene solamente rollode 108 pulgadas de ancho. Como deben cortarse los rollos para surtir el pedido con el mınimodesperdicio de papel, sabiendo que el maximo desperdicio aceptable de papel por rollo es de 22pulgadas.

Solucion:

Xj =(# de rollos cortados de diferentes maneras, j = 1, 2, . . . , 5)

Las posibilidades logicas de corte son:

5

Por lo tanto el programa lineal es:

(Min)Z = 18X1 + 3X2 + 8X3 + 18X4 + 13X5

Sujeto a:

3X1 + 2X2 = 800X3 + 2X4 + X5 = 600

2X3 + X5 = 1000Xj ≥ 0; j = 1, . . . , 5

Ejemplo 3.6:

Una planta fabrica los productos A y B que tienen que pasar por algunos o todos los entrosde proceso, 1, 2, 3 y 4 como se indica en la Fig. (3.1).

Figura (3.1)

En los casos en que hay capacidad disponible en el centro 3, es posible enviar el producto atravez de 3 en lugar de hacerlo pasar dos veces por el centro 2.

A continuacion se da la informacion posible:

6

Los centros 1 y 4 trabajan hasta 16 horas al dıa y los centros 2 y 3 hasta 12 horas al dıa.Esta Cıa, efectua la distribucion de sus productos con sus propios recursos, los que permitenen transporte de un maximo de 2500 galones.

Los dos tipos de materias primas, que se evaporan con facilidad, pueden conseguirse en cua-lesquiera cantidades en el mercado; pero no hay forma de almacenarlos; es decir, la totalidadde las materias primas compradas debe usarse el dıa que se reciben. Los pedidos son satisfechosel mismo dıa que se piden y a tiempo para su uso.

Expresar el problema propuesto como un programa lineal, que permita decidir cuantos ga-lones de materia prima deben dedicarse diariamente a cada curso posible, dado que cada centropuede manejar solamente el paso de un producto en proceso a la vez y se desea maximizar lasutilidades.

Ignorese el tiempo que podrıa requerir para cambiar de un producto a otra en cualquierade los centros.

% de merma = 100− % de recuperacion

Solucion:

XAN=# de galones de materia prima A para el curso normal.XAA=# de galones de materia prima A para el curso alternativo.XB=# de galones de materia prima B.

Utilidad=Ingreso Total-Costp mp-Costo Operacion

Ingreso Total=200(0.90)(0.75)(0.85)XAN+(0.90)(0.95)(0.85)(0.75)XAA+180(0.90)(0.85)(0.80)XB

Costo mp=50(XAN + XAA) + 60XB

Costo Operacion=1500[XAN

300

]+2000

[0,90XAN

450

]+1800

[0,90×0,95XAN

250

]+2200

[0,90×0,95×0,85XAN

400

]1500

[XAA

500

]+2000

[0,90XAA

450

]+1800

[0,90×0,95XAA

250

]+2200

[0,90×0,95×0,85XAA

350

]3000

[XB

500

]+ 2500

[0,90XB

480

]+ 2400

[0,90×0,95XB

400

]Por lo tanto el programa lineal y simplificando la funcion objetiva es:

7

(Max)Z = 47XAN + 38,6XAA + 34,7XB

Sujeta a:

a) Restricciones debido al transporte.

(0,90)(0,95)(0,85)(0,80)XAN +(0,90)(0,95)(0,85)(0,75)XAA+(0,90)(0,85)(0,80)XB ≤ 2500

b) Restricciones debido a las horas disponibles en cada centro.

Centro 1:

XAN+XAA

300+ XB

500≤ 16

Centro 2:

0,90(XAN+XAA)450

+ (0,90)(0,95)(0,85)XAN

400≤ 12

Centro 3:

(0,90)(0,95)(0,85)XAA

400+ 0,90XB

480≤ 12

Centro 4:

(0,90)(0,95)XAN+(0,90)(0,95)XAA

250+ (0,90)(0,85)XB

400≤ 16

c) Restricciones debido a ventas.

(0,90)(0,95)(0,85)(0,80)XAN + (0,90)(0,95)(0,85)(0,75)XAA ≤ 1700(0,90)(0,85)(0,80)XB ≤ 1500XAN , XAA, XB ≥ 0

Luego de realizar algunas simplificaciones algebraicas, el programa lineal es el siguiente:

(Max)Z = 47XAN + 38,6XAA + 34,7XB

Sujeta a:

0,58XAN + 0,54XAA + 0,61XB ≤ 25000,003(XAN + XAA) + 0,002XB ≤ 160,002(XAN + XAA) + 0,001XAN ≤ 12

0,002XAA + 0,001XB ≤ 120,003(XAN + XAA) + 0,001XB ≤ 16

0,58XAN + 0,54XAA ≤ 17000,612XB ≤ 1500

XAN , XAA, XB ≥ 0

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Ejemplo 3.10:

La Cıa. de Aerolineas Faucett tiene que decidir cuantas azafatas nuevas tiene que emplear,entrenar, despedir en los 6 meses que vienen. Los requisitos en hora de vuelo de azafata son lossiguientes:

Una chica necesita un mes de entrenamiento antes de que puedan usarla en un vuelo regular,por lo tanto, hay que emplearla una mes antes de que sus servicios sean necesarios.

Tambien el entrenamiento de una nueva chica requiere el tiempo de una azafata regular en-trenada. Dicho entrenamiendto toma aproximadamente 100 horas de la azafata con experienciadurante el mes de entrenamiento. Entonces por cada chica en entrenamiento hay 100 horasmenos disponibles para servicio de las azafatas regulares.

Cada azafata regular puede trabajar un maximo de 150 horas cada mes, hay 60 azafatasdisponibles el primer dıa de Enero. Si el tiempo maximo disponible de la azafata requeridoes mayor que la demanda, las regulares pueden trabajar menos de 150 horas o la Cıa. puededespedirlas a un costo de $1000 por cada azafata despedida. Cada mes el 10 % de las azafatasregulares al trabajo para casarse o por otras razones. una azafata regular cuesta $800 al mes yuna chica en entrenamiento recibe $400.

Formule el problema en Programacion Lineal para minimizar el costo de servicio de azafatas.

Solucion:

Xij =# de azafatas que durante el mes i se encuentran en situacion j.

i =Enero(1), Febrero(2), Marzo(3), Abril(4), Mayo(5), Junio(6)j =Empleadas(1), en entrenamiento(2), a despedir(3)

A comienzo de enro hay: (69 Azafatas)(150hrs. azafatas)=9000 hrs.

9

Azafata regula=150 horasAzafata en entren.=-100 horasAzafata despedida=-150 horas

Costo: $3000 azafata regular; $400 en entrenamiento; $1000 azafata despedida.

Sujeto a:

En cuanto a la demanda:

Enero: 900 + 150X11 − 100X12 − 150X13 ≥ 8000Febrero:0,90(9000 + 150X11 − 100X12 − 150X13) + 150X21 − 100X22 − 150X23 ≥ 9000Marzo:0,9(Feb.) + 150X31 − 100X32 − 150X33 ≥ 8000Abril:0,9(Mar.) + 150X41 − 100X42 − 150X43 ≥ 10000Mayo:0,9(Abr.) + 150X51 − 100X52 − 150X53 ≥ 9000Junio:0,9(May.) + 150X61 − 100X62 − 150X63 ≥ 12000X21 ≤ X12

Xij ≥ 0

Ejemplo 3.11:

(Destilacion de crudos). Una companıa de petroleos produce en sus refinerias gasoleo (G),gasolina sin plomo (P) y gasolina supero (S) a partir de dos tipos de crudos, C1 y C2. Lasrefinerıas estan dotadas de dos tipos de tecnologıas. La tecnologıa nueva Tn utiliza en cadasesion de destilacion 7 unidades de C1 y 12 C2 para producir 8 unidades de G, 6 de P y 5 de S.Con la tecnologıa antigua Ta, se obtienen en cada destilacion 10 unidades de G, 7 de P y 4 deS, con un gasto de 10 unidades de C1 y 8 de C2.

Estudios de demanda permiten estimar que para el proximo mes se deben producir al menos900 unidades de G, 300 de P y entre 800 y 1700 de S. La disponibilidad de crudo C1 es de 1400unidades y de C2 de 2000 unidades. Los beneficios por unidad producida son:

Gasolina G P SBeneficio/u 4 6 7

La compania desea conocer como utilizar ambos procesos de destilacion, que se pueden rea-lizar total o parcialmente, y los crudos disponibles para que el beneficio sea maximo.

Solucion:

Observemos que las actividades en que esta interesada la compania son el numero de des-tilaciones con cada tecnologıa. Por tanto, definimos las variables de desicion.

X1 =Numero de destilaciones con Tn

X2 =Numero de destilaciones con Ta

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El objetivo es maximizar el beneficio del producto destilado. Esto es:

Z =(Beneficio por unidad de Gx unidades producidas de G)+(beneficio de Px produccionde P )+(beneficio de Sx produccion de S)

Z = 4(3X1 + 10X2) + 6(6X1 + 7X2) + 7(5X1 + 4X2)Z = 103X1 + 110X2

Tenemos restricciones a las limitaciones en la disponibilidad de ambos tipos de crudos. ParaC1:

(7 unids. de C1 ×X1 destilaciones)+(10 unids. de C1 ×X2)≤disponibilidad de C1

Es decir:

7X1 + 10X2 ≤ 14000

Analogamente, para C2:

12X1 + 8X2 ≤ 2000

Ademas, sabemos que si se producen X1 destilaciones con Tn y X2 destilaciones con Ta losproductos obtenidos son:

8X1 + 10X2 unidades de G6X1 + 7X2 unidades de P5X1 + 4X2 unidades de S

De los estudios de demanda, podemos establecer las restricciones:

8X1 + 10X2 ≥ 900 (Demanda de G)6X1 + 7X2 ≥ 300 (Demanda de P)

{5X1 + 4X2 ≤ 17005X1 + 4X2 ≥ 800} (Demanda de S)

Por tanto, el programa lineal es:

(Max)Z = 103X1 + 110X2

Sujeto a:

7X1 + 10X2 ≤ 1400012X1 + 8X2 ≤ 20008X1 + 10X2 ≥ 9006X1 + 7X2 ≥ 3005X1 + 4X2 ≤ 17005X1 + 4X2 ≥ 800X1, X2 ≥ 0

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Ejemplo 3.19:

Un granjero puede criar ovejas, cerdos y ganado vacuno. Tiene espacio para 30 ovejas, o 50cerdos, o 20 cabezas de ganado vacuno, o cualquier combinacion de estas (con la siguiente re-lacion), 3 ovejas, 5 cerdos o 2 vacas usan el mismo espacio.

Los beneficios (utilidades) dadas por animal son 500, 500 y 100 soles por ovejas, cerdos yvacas respectivamente. El granjero debe criar por ley, al menos tantos cerdos como ovejas yvacas juntas.

Solucion:

Definicion de variables:

X1=numero de ovejas a criar.X2=numero de cerdos a criar.X3=numero de vacas a criar.

(Min)Z = 500X1 + 500X2 + 100X3

Sujeto a:

X1 ≤ 30X2 ≤ 50X3 ≤ 20X2 ≥ X1 + X3

X1 + 35X2 + 3

2X3 ≤ 30

Xj ≥ 0; j = 1, 2, 3

Ejemplo 3.20:

Una refinerıa de petroleo quiere encontrar el programa optimo de combinar cautro como-ponentes para producir gasolina.

Los cuatro componentes son butano, SR gasolina cruda, CC gasolina cruda y reformado.El programa de produccion tiene que tomar en cuenta las variaciones de temperatura en lademanda, para gasolina y tiene que ser optimo para todo el ano. La demanda estacional y lasespecificaciones para gasolina tipo super y tipo corriente son las siguientes:

Las cantidades disponibles y propiedades de los componentes que se combinan en las gasli-nas son los siguientes:

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Las cantidades disponibles y propiedades de los componentes que se combinan en las gasolinas-son los siguientes:

Los costos para cada componente son los siguientes:

Ademas se sabe que:

a) Hay que cumplir exactamente con la demanda para gasolina tipo super.

b) Se puede guardar las gasolinas producidas sin lımite y sin costo.

c) Se puede comprar gasolina corriente o, si se produce en exceso, venderia a $4.50/barril.

d) Se puede combinar octano y presion de vapor linealmente.

e) Asuma que el numero de dıa en cada estacion es igual.

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Solucion:

Sea:

S1 =Cantidad de gasolina regular almacenada en verano en m barriles/dıaS2 =Cantidad de gasolina regular almacenada en invierno en m barriles/dıaZ1 =Cantidad de gasolina regular comprada en verano en m barriles/dıaZ2 =Cantidad de gasolina regular comprada en invierno en m barriles/dıa

(Min)Z = 1,50(X11 + X12 + Y11 + Y12) + 2,00(X21 + X22 + Y21 + Y22) + 2,50(X31 + X32 +Y3 + Y32) + 3,00(X41 + X42 + Y41 + Y42) + 4,50(Z1 + +Z2 − S2)

Sujeto a:

Por requisitos de octanaje:

105X11 + 80X21 + 95X31 + 102X41 ≥ 99(X11 + X21 + X31 + X41)105X12 + 80X22 + 95X32 + 102X42 ≥ 95(X12 + X22 + X32 + X42)105X11 + 80X21 + 95X31 + 102X41 ≥ 99(Y11 + Y21 + Y31 + Y41)105X12 + 80X22 + 95X32 + 102X42 ≥ 95(Y12 + Y22 + Y32 + Y42)

Por requisitos de presion de vapor:

65X11 + 8X21 + 5X31 + 4X41 ≤ 8(X11 + X21 + X31 + X41)65X12 + 8X22 + 5X32 + 4X42 ≤ 8(X11 + X21 + X31 + X41)65Y11 + 8Y21 + 5Y31 + 4Y41 ≤ 13(Y11 + Y21 + Y31 + Y41)65Y12 + 8Y22 + 5Y32 + 4Y42 ≤ 13(Y12 + Y22 + Y32 + Y42)

Por demanda de gasolina super:

X11 + X21 + X31 + X41 = 10Y11 + Y21 + Y31 + Y41 = 8

Por balance de gasolina regular:

14

X12 + X22 + X32 + X42 + Z1 − S1 = 12Y12 + Y22 + Y32 + Y42 + S1 − S2 − Z2 = 9

Por su disponibilidad de componentes:

X11 + X12 ≤ 3X21 + X22 ≤ 7X31 + X32 ≤ 5X41 + X42 ≤ 4X11 + X12 ≤ 4X21 + X22 ≤ 8X31 + X32 ≤ 65X41 + X42 ≤ 5Xij, Yij, S1, S2, Z1, Z2 ≥ 0

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