ejercicios resueltos de control capitulos 2-3 (1)

Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Control Estadístico

EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 2

EJERCICO 1:

Con sus palabras y apoyándose en gráficas, conteste los siguientes incisos:

a) ¿qué es la tendencia central y qué es la variabilidad de un proceso o unos

datos?

La tendencia central es una característica descriptiva de una muestra de observaciones que son interpretados como valores que permiten resumir a un conjunto de datos dispersos, adopta un valor representativo para todo un conjunto de datos predeterminados. MEDIDAS TENDENCIA CENTRAL: PERMITEN OBSERVAR SI UN PROCESO SE ENCUENTRA CENTRADO La variabilidad son cambios que modifican un proceso o un conjunto de datos, que posteriormente afectan al producto o al análisis de los datos. MEDIDAS DE DISPERSIÓN: PERMITEN OBSERVAR LA VARIABILIDAD DE UN PROCESO

b) Represente de manera gráfica y mediante curvas de distribución, dos

procesos con la misma variabilidad pero diferente tendencia central.

310300290280270260250240

0.14

0.12

0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

X

De

nsi

da

d

250

300

Media

Gráfica de distribuciónNormal, Desv.Est.=3


c) Elabore la gráfica de dos procesos con la misma media pero diferente

dispersión.

320310300290280

0.14

0.12

0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

X

De

nsi

da

d

3

6

Desv.Est.

Gráfica de distribuciónNormal, Media=300

d) Represente dos procesos cuya forma de distribución sea diferente.

350325300275250

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

X

De

nsi

da

d

Poisson 300

Distribución Media

Normal 300 6

Distribución Media Desv.Est.

Gráfica de distribución

e) ¿qué significa que un proceso sea capaz?

Significa que los valores que obtuvieron han caído dentro de las

especificaciones inferiores y superiores. Un proceso es aquel que cumple las

especificaciones decimos que es un proceso de CALIDAD esta asociada al

cumplimiento de los requisitos del cliente….q cumplir las especificaciones que

señalamos….


Ejemplo:

Supongamos una botella de agua mineral de ½ litro contenido debe ser 500

ml±5 ml.

Entonces:

Especificación superior=505 ml

Especificación Inferior= 495 ml

Toda botella se encuentra en ese rango va cumplir con las especificaciones de

calidad del atributo: Contenido Volumen.

Nota.- La calidad de un producto la medimos en función de sus distintas

variables:

- Diámetro del envase de acuerdo al diseño

- Peso del envase

- Características físicas y químicas: color, sabor, ph, temperatura etc

- Material de la tapa

- Etc…

PROCESO ES CAPAZ SI CUMPLE LAS ESPECIFICACIONES

EN LOS SERVICIOS TODO DE CARACTERISTICAS….

EJERCICIO 2:

Si una característica de calidad debe estar entre 30 ± 2, y se sabe que su media es µ =

29.9; entonces, ¿se tiene buena calidad, se cumple con las especificaciones?

Si se tiene una buena calidad porque está entre la tolerancia permitida. No hay muchos

valores o casi nada de valores extremos que haga que pierda representatividad la

media. Para tener una mejor respuesta es necesario conocer la variabilidad.


3332313029282726

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsid

ad

28 32

0.5

1

Desv.Est.

Gráfica de distribuciónNormal, Media=29.9

Superior

Especificación

Inferior

Especificación

Cumple especificaciones

NO Cumple especificaciones

EJERCICIO 3:

¿De qué manera afectan los datos raros o atípicos a la media? Explique su respuesta.

Estos valores muy extremos hacen que la media pierda representatividad. Es decir; el

valor obtenido sea muy inferior o superior a lo real.

EJERCICIO 4:

Un grupo de 30 niños va de paseo en compañía de tres de sus maestras. La edad de

los niños varía entre 4 y 8 años, la mitad tiene 5 años o menos. La edad que se repite

más es la de 4. La edad de las tres maestras es de aproximadamente 30 años. Con

base en lo anterior, incluyendo a las tres maestras, proponga un valor aproximado para

la media, la moda y la mediana de la edad de los 33 paseantes. Argumente sus

propuestas.

Media = 11, esté valor estimado es porque al ver 3 valores muy extremos como 30

años con 4 y 8 años, esto condiciona a la media a perder representatividad.

Moda = 4, es el valor que más se repite.

Mediana = 5, es el valor medio. Es decir; que el 50% tiene un valor inferior a 5 años

y el otro 50% tiene un valor superior a 5 años a pesar que las 3 maestras tienen un

aproximado de 30 años. Esto es porque la mayor cantidad de paseantes son


menores de 5 años y las 3 maestras de 30 años aproximadamente no influyen en la

mediana.

EJERCICIO 5:

En una empresa se llevan los registros del número de fallas de equipos por mes; la

media es de 4 y la mediana de 6.

a) Si usted tiene que reportar la tendencia central de fallas, ¿qué número

reportaría? ¿por qué?

Reportaría el n° 6, porque me da el valor medio de fallas que ocurrieron en

cada mes. Es decir; que el 50% de fallas es inferior a 6 y el otro 50% es

superior a 6.

b) ¿la discrepancia entre las media y la mediana se debió a que durante

varios meses ocurrieron muchas fallas?

Si, por que al ver varias fallas en unos meses y en otros meses no. Esto

nos proporciona valores extremos que influyen en el análisis de los datos,

perdiendo representatividad el valor de la media.

EJERCICIO 9:

La desigualdad de Chebyshev y la regla empírica establece la relación entre la media y

la desviación estándar. Explique esta situación y explique si sr aplica para el caso

muestral, poblacional o para ambos.

Si una variable aleatoria tiene una desviación estándar pequeña, esperaríamos que

la mayoría de los valores se agrupen alrededor de la media. Por lo tanto, la

probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de cierto intervalo

alrededor de la media es mayor que para una variable aleatoria similar con una

desviación estándar mayor si pensamos en la probabilidad en términos de una

área, esperaríamos una distribución continua con un valor grande de σ que indique

una variabilidad mayor y, por lo tanto, esperaríamos que el área este extendida. Sin

embargo, una desviación estándar pequeña debería tener la mayor parte de su

área cercana a µ.

Esta desigualdad de chebyshev es aplicada para ambos casos (muestral y

poblacional).


EJERCICIO 10

Dos máquinas, cada una operada por una persona, son utilizadas para cortar tiras de

hule, cuya longitud ideal es de 200 mm, con una tolerancia de ± 3 mm. Al final del turno

un inspector toma una muestra e inspecciona que la longitud cumpla especificaciones.

A continuación se muestran las últimas 110 mediciones para ambas máquinas.

199.2 199.7 201.8 202.0 201.0 201.5 200.0 199.8

200.7 201.4 200.4 201.7 201.4 201.4 200.8 202.1

200.7 200.9 201.0 201.5 201.2 201.3 200.9 200.7

200.5 201.2 201.7 201.2 201.2 200.5 200.1 201.4

200.2 201.0 201.4 201.4 201.1 201.2 201.0 200.6

202.0 201.0 201.5 201.6 200.6 200.1 201.3 200.6

200.7 201.8 200.5 200.5 200.8 200.3 200.7 199.5

198.6 200.3 198.5 198.2 199.6 198.2 198.4 199

199.7 199.7 199.0 198.4 199.1 198.8 198.3 198.9

199.6 199.0 198.7 200.5 198.4 199.2 198.8 198.5

198.9 198.8 198.7 199.2 199.3 199.7 197.8 199.9

199.0 199.0 198.7 199.1 200.3 200.5 198.1 198.3

199.6 199.0 198.7 198.9 199.2 197.9 200.3 199.6

199.4 198.7 198.5 198.7 198.6 198.5

a) Obtenga las medidas de tendencia central y con base en ellas señale si la

tendencia central del proceso es adecuada.

Estadísticas descriptivas: C1 N para Variable Media Mediana Modo moda C1 200.00 200.10 199, 200.5, 201.4 6 Todas las medidas de tendencia central nos indica que latendencia es adecuada, porque esta dentro de los limites permitidos.

b) Calcule la desviación estándar y una aproximación de los límites reales, y a

partir de éstos decida si la variabilidad de los datos es aceptable.

Variable Desv.Est. Varianza C1 1.16 1.34

Limites Reales: µ±3 Desv.Estandar

c) Obtenga un histograma e interprételo (tendencia central, variabilidad,

acantilados, sesgos, etcétera).


203202201200199198197

12

10

8

6

4

2

0

C1

Fre

cu

en

cia

203.468196.532

Media 200.0

Desv.Est. 1.156

N 110

3

4

10

7

8

7

10

5

4

66

5

11

8

9

4

2

1

Histograma de C1Normal

la derecha

tendencia hacia

curva tiene una

indica que la

es negativo, nos

Como el sesgo

d) Con la evidencia obtenida antes, cuál es su opinión acerca de lo adecuado

o no de la longitud de las tiras que se cortaron en el periodo que

representan las mediciones.

Las longitudes de las tiras se encuentran en el rango permitido, así que

podemos decir que las tiras cumplen las especificaciones requeridas y el

lote es aceptado.

EJERCICIO 11:

En el caso del ejercicio anterior, considere que los primeros 55 datos (ordenados por

renglón) corresponden a una máquina, y los últimos 55 a otra. Ahora conteste lo

siguiente.

a) Evalúe las dos máquinas en cuanto a su centrado (tendencia central) y con

respecto a la longitud ideal (200).

Estadísticas descriptivas: Maquina 1, Maquina 2

N para

Variable Media Mediana Modo moda


Maquina 1 200.08 200.20 199 5 Maquina 2 199.91 200.10 200.3, 200.6, 201.2, 201.4 3 La máquina 2 es más exacta que la máquina 1.

b) Analice la dispersión de ambas máquinas utilizando la desviación estándar y

la regla empírica.

Estadísticas descriptivas: Maquina 1, Maquina 2

Variable Desv.Est. Varianza Q1 Q3 Sesgo Kurtosis Maquina 1 1.16 1.36 199.00 201.20 0.09 -1.43 Maquina 2 1.15 1.32 198.80 200.90 -0.17 -1.20 De acuerdo a las especificaciones ambas máquinas cumplen las tolerancias permitidas. Pero la máquina 2 es la más exacta a la media ideal de 200 mm, porque su desv. Est. es menor a la de la máquina

c) Haga un histograma para cada máquina e intérprete cada uno de ellos.

203202201200199198197

12

10

8

6

4

2

0

203202201200199198197

10

8

6

4

2

0

Maquina 1

Fre

cu

en

cia

203.595196.605

Maquina 2

196.45 203.35

Media 200.1

Desv.Est. 1.165

N 55

Maquina 1

Media 199.9

Desv.Est. 1.150

N 55

Maquina 2

Histograma de Maquina 1, Maquina 2Normal

hacia la derecha

negativo, tiende

Maquina2: Sesgo

acia la izquierda

positivo, tiende

Maquina1: Sesgo

d) De acuerdo a lo anterior, ¿cuál es el problema de cada máquina?

La máquina 1 tiene menor precisión, la mayoría de sus valores son

inferiores a la media ideal (200 mm).


La máquina 2 es más precisa, pero la mayoría de sus valores son

superiores e inferiores.

e) Considere que cada máquina es operada por una persona diferente, y

determine cuáles son las posibles causas de los problemas señalados en el

inciso anterior y señale qué haría para corroborar cuáles son las verdaderas

causas.

Causas:

Puede ser que la persona que está operando la máquina no esté

revisándola constantemente, ya que la máquina puede ser muy

antigua y se descontrole fácilmente.

El operario no ha sido capacitado correctamente.

Precauciones:

- Revisar constantemente la máquina.

- Evaluar al operario.

f) Vuelva a analizar el histograma realizado en el inciso c) del ejercicio anterior

y vea si de alguna forma se vislumbraba lo que detectó con los análisis

realizados en este ejercicio.


EJERCICIO 23: El volumen en un proceso de envasado debe estar entre 310 y 330 ml. De acuerdo con

los datos históricos se tiene que µ = 318 y σ = 4. ¿El proceso de envasado funciona bien

en cuanto al volumen? Argumente su respuesta.

0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

X

De

nsid

ad

310 326318

306 310 330

330

Gráfica de distribuciónNormal, Media=318, Desv.Est.=4

la izquierda.

una variabilidad hacia

especificaciones tiende

segun las

distribuidos, pero

correctamente

reales los datos esta

Respecto a los limites

EJERCICIO 16:

Una característica clave en la calidad de las pinturas es su densidad, y un

componente que influye en esta es la cantidad de arenas que se utilizan en su

elaboración. La cantidad de arena en la formulación de un lote se controla por

medio del número de costales, que según el proveedor contienen 20 kg. Sin

embargo, continuamente se tienen problemas en la densidad de la pintura que es

necesario corregir con retrabajo y reprocesos adicionales. En este contexto se

decide investigar cuanta arena contienen en realidad los costales. Para ello, se

toma una muestra aleatoria de 30 costales de cada lote o pedido (500 costales).


Los pesos obtenidos en las muestras de los últimos tres lotes se muestran

adelante. Las especificaciones iniciales que se establecen para el peso de los

costales de arena son de 20± 0.8 kg.

a) de acuerdo con los 90 datos, ¿el centrado del proceso es adecuado?

b) ¿la variabilidad es poca o mucha? Apóyese en los estadísticos adecuados.

c) obtenga un histograma para los 90 datos, inserte las especificaciones e

interprete con detalle.

d) de su conclusión general acerca de si los bultos cumplen con el peso

especificado.

e) haga un análisis de cada lote por separado y con apoyo de estadísticos y

gráficas, señale si hay diferencias grandes entre los lotes.

f) ¿las diferencias encontradas se podrían haber inferido a partir del histograma de

inciso c)?

g) obtenga un diagrama de caja para cada lote y compárelos.

Estadísticas descriptivas: Lote 1, Lote 2, Lote 3 Variable Media Desv.Est. Varianza Mediana Sesgo Kurtosis

Lote 1 19.350 0.555 0.308 19.250 1.01 1.39

Lote 2 19.297 0.690 0.476 19.350 0.06 -0.26

Lote 3 20.040 0.401 0.161 20.000 0.29 0.46

Histograma de Total de Lotes

LOTE PESO DE COSTALES DE LA MUESTRA

1 18.6 19.2 19.5 19.2 18.9 19.4 19.0 20.0 19.3 20.0

19.1 18.6 19.4 18.7 21.0 19.8 19.0 18.6 19.6 19.0

19.6 19.4 19.8 19.1 20.0 20.4 18.8 19.3 19.1 19.1

2 18.6 19.9 18.8 18.4 19.0 20.1 19.7 19.3 20.7 19.6

19.5 19.1 18.5 19.6 19.4 19.6 20.3 18.8 19.2 20.6

20.0 18.4 18.9 19.7 17.8 19.4 18.9 18.4 19.0 19.7

3 20.1 20.2 21.0 19.7 20.1 20.0 19.1 20.4 19.6 20.6

20.0 19.7 20.8 19.7 19.7 20.4 19.8 20.5 20.0 20.0

20.2 19.7 20.0 19.6 19.7 19.8 19.9 20.3 20.4 20.2

Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Control Estadístico Gráfica de caja de Lote 1, Lote 2, Lote 3

EJERCICIO 17:

En una empresa que fabrica y vende equipo para fotocopiado utilizan como un

indicador importante de la calidad en el servicio posventa, el tiempo de respuesta

a solicitudes de apoyo técnico debido a fallas en los equipos. Para problemas

mayores, en cierta zona del país se estableció como meta que la respuesta se de

21.521.020.520.019.519.018.518.0

14

12

10

8

6

4

2

0

Total de Lotes

Fre

cu

en

cia

21.51317.607

Media 19.56

Desv.Est. 0.6511

N 90

Histograma de Total de LotesNormal

Lote 3Lote 2Lote 1

21.0

20.5

20.0

19.5

19.0

18.5

18.0

Da

tos

Gráfica de caja de Lote 1, Lote 2, Lote 3


en un máximo de 6 horas hábiles; es decir, de que habla el cliente solicitando

apoyo, y que si el problema se clasifica como grave no deben pasar más de 6

horas hábiles para que un técnico acuda a resolver el problema. A continuación se

aprecian los tiempos de respuesta en horas para los primeros nueve meses del

año (65 datos).

Los 65 datos

5.0 5.4 7.1 7.0 5.5 4.4 5.4 6.6 7.1 4.2

4.1 3.0 5.7 6.7 6.8 4.7 7.1 3.2 5.7 4.1

5.5 7.9 2.0 5.4 2.9 5.3 7.4 5.1 6.9 7.5

3.2 3.9 5.9 3.6 4.0 2.3 8.9 5.8 5.8 6.4

7.7 3.9 5.8 5.9 1.7 3.2 6.8 7.0 5.4 5.6

4.5 6.5 4.1 7.5 6.8 4.3 5.9 3.1 8.3 5.4

4.7 6.3 6.0 3.1 4.8 - - - - -

a) Calcule las medidas de tendencia central y con base en estas, ¿cree que se

cumple con la meta?

b) Aplique la regla empírica, interprete y diga que tan bien se cumple la meta.

c) Haga un histograma e interprete sus aspectos más relevantes.

d) A partir del análisis que se ha realizado, ¿Qué recomendaciones daría para

ayudar a cumplir mejor la meta?

N para

Variable Media Mediana Modo moda

C1 5.366 5.500 5.4 5

9.07.56.04.53.01.5

12

10

8

6

4

2

0

C1

Fre

cu

en

cia

0.51 10.22

Media 5.366

Desv.Est. 1.618

N 65

Histograma de C1Normal

caso.

analisis de este

se toma en el

los tiempos que

ala variación de

esto es debido

multimodales,

caracteristicas

presenta

El histograma


EJERCICIO 18:

Los siguientes datos representan las horas caídas de equipos por semana en tres

líneas de producción.

a) analice los datos para cada línea y anote las principales características de la

distribución de los datos.

b) compare las tres líneas, ¿nota alguna diferencia importante?

SEMANA LINEA 1 LINEA 2 LINEA 3

1 7.7 6.6 7.5

2 6.8 5.2 8.1

3 8.5 7.2 6.2

4 8.6 9.2 7.4

5 5.7 6.7 8.2

6 7.9 6.2 6.0

7 8.1 7.1 8.2

8 7.6 8.1 8.1

9 7.1 6.4 6.7

10 7.3 6.3 8.0

11 7.8 8.2 8.1

12 6.1 8.4 8.1

13 6.3 7.4 7.0

14 6.3 6.5 8.5

15 7.8 7.7 8.0

16 6.7 7.4 7.7

17 7.3 6.1 7.5

18 5.7 6.2 8.2

19 6.2 7.3 7.7

20 7.3 6.9 7.0

21 5.0 6.1 6.5

22 5.0 6.9 6.2

23 5.4 8.4 6.0

24 7.5 5.0 6.1

25 6.0 7.4 5.8

Estadísticas descriptivas: Linea 1, Linea 2, Linea 3 N para

Variable Media Desv.Est. Varianza Q1 Mediana Q3 Modo moda

Linea 1 6.872 1.050 1.102 6.050 7.100 7.750 7.3 3

Linea 2 6.996 1.001 1.001 6.250 6.900 7.550 7.4 3

Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Control Estadístico Linea 3 7.312 0.878 0.770 6.350 7.500 8.100 8.1 4

Variable Sesgo Kurtosis

Linea 1 -0.23 -0.94

Linea 2 0.13 0.01

Linea 3 -0.46 -1.35

EJERCICIO 8:

De acuerdo con cierta norma, a una bomba de gasolina en cada 20L se le permitía

una discrepancia de 0.2L. En una gasolinera se hacen revisiones periódicas para

evitar infracciones y ver si se cumplen las especificaciones (EL = 19.8, ES = 20.2).

De acuerdo con los resultados de 15 inspecciones para una bomba en particular,

la media y la desviación estándar de los 15 datos son 19.9 y 0.1, respectivamente.

De acuerdo con esto, ¿se puede garantizar que la bomba cumple con la norma?

Argumente su respuesta.

4

3

2

1

0

X

De

nsid

ad

19.7 20.119.9

19.6 20.219.8

20.2

Gráfica de distribuciónNormal, Media=19.9, Desv.Est.=0.1

alas especificaciones

izquierda, respecto

inadecuado por la

el proceso es

on la norma porque

La bomba no cumple


12. En un área de servicios dentro de una empresa de manufactura se realiza una encuesta para evaluar la calidad del servicio proporcionado y el nivel de satisfacción de los clientes internos. La encuesta consiste en 10 preguntas, y cada una de ellas evalúa diferentes aspectos del servicio proporcionado. La respuesta para cada pregunta es un número entre 0 y 10. Para hacer un primer análisis de los resultados obtenidos se suma los puntos obtenidos de las 10 preguntas para cada cuestionario. A continuación se muestran los puntos obtenidos en 50 cuestionarios. Solución:

Puntos Obtenidos de los cuestionarios

Media 59.8

Error típico 2.987593394

Mediana 58.5

Moda 78

Desviación estándar 21.12547548

Varianza de la muestra 446.2857143

Curtosis -1.802931906

Coeficiente de asimetría -0.015244434

Rango 62

Mínimo 29

Máximo 91

Suma 2990

Cuenta 50

- Los puntos promedio obtenidos del cuestionario es 59.

- El 50% de los puntos obtenidos tiene una igualdad o inferior de 59.

- 78 puntos, es el puntaje que con mayor frecuencia se repite.


1089072543618

12

10

8

6

4

2

0

resultado de Encuestas

Fre

cu

en

cia

Media 59.8

Desv.Est. 21.13

N 50

Histograma (con curva normal) de resultado de Encuestas

Interpretación

Se nota que los 50 resultados de las encuestas están divididos en dos grupos, en un grupo donde conlleva la nota más baja esta entre 26.92 a 51.02 y el segundo grupo está entre 62.81 a la nota más alta que es 92.8 Lo que más resalta del histograma es que los resultados que mayor se repite esta con un puntaje inferior del 50 % Son muy poco lo que llegaron a la nota más alta

13. En una fábrica de piezas de asbesto de una característica importante de la calidad es el grosor de las laminas. Para cierto tipo de lamina el grosor óptimo es de 5mm y se tiene una discrepancia tolerancia de 0.8 mm, ya que si la lamina tiene un grosor menor que 4.2 mm se considera demasiado delgado y no reunirá las condicione de resistencia exigida por el cliente. Si la lamina tiene un grososr mayor que 5.8 mm, entonce se gastara demasiado m,aterial para su elaboración y elevaran lo costos del fabricante. Por lo tanto, es de suma importancia fabricar las laminas con el grosor óptimo, y en el peor de lo casos dentro de la tolerancia epecifica deacuerdo con los registro s de las medidas realizadas en los ultimo 3 meses se aprecia un proceso con una estabilidad aceptable , el grosor medio es µ

= 4.75, la mediana 4.7, y la desviación estándar = 0.45.


a) De acuerdo con la media y la mediana, ¿el centrado del proceso es

acuerdo? Argumente.

b) Si considera sólo la media y la mediana, ¿puede decir si el proceso cumple

con la especificaciones? Explique.

c) Calcule los limites reales, haga la grafica de capacidad y señale si el

proceso cumple con especificaciones. Argumente su respuesta.

14. En el problema anterior, con el propósito de mejorar la calidad que se tenía en cuanto al grosor de las láminas, se implementó un proyecto de mejora siguiendo la metodología Seis Sigma varios de los cambios implementados fueron relativos a mejora del proceso. Para verificar si el plan tuvo éxito, se eligieron láminas de manera aleatoria y se midió su grosor. Los 120 datos obtenidos durante tres días se muestran a continuación: Solución:

Grosor

Media 4.889166667


Mediana 4.9

Moda 5



Curtosis -0.121132286

Coeficiente de asimetría -0.209923329

Rango 1.6

Mínimo 4.1

Máximo 5.7

Suma 586.7

Cuenta 120


- La medición promedio para el grosor es de 4.8mm

- El 50% de las láminas tiene una igualdad o inferior de 4.9.

- 5mm es el dato que con mayor frecuencia se repite.

5.75.45.14.84.54.2

20

15

10

5

0

grosor de laminas

Fre

cu

en

cia

Media 4.889

Desv.Est. 0.3170

N 120

Histograma (con curva normal) de grosor de laminas


15. en la elaboración de envases de plástico primero se elabora la preforma, para la cual se tienen varios criterios de calidad, uno de ellos es el peso de ésta. Para cierto envase se tiene que el peso debe estar entre 28.00 +- 0.5g. a continuación se muestran los últimos 112 datos obtenidos mediante una carta de control para esta variable. Solución:

peso

Media 27.97482143


Mediana 27.955

Moda 27.94



Curtosis -0.24915051

Coeficiente de asimetría 0.203109269

Rango 0.76

Mínimo 27.63

Máximo 28.39

Suma 3133.18

Cuenta 112

- El peso promedio es de 28g.

- El 50% de los datos obtenidos mediante una carta de control tiene una

igualdad o inferior de 27.95.

- 27.94 es el dato que con mayor frecuencia se repite.


28.5028.3528.2028.0527.9027.7527.60

20

15

10

5

0

medicion

Fre

cu

en

cia

28.527.5

Media 27.97

Desv.Est. 0.1431

N 112

Histograma (con curva normal) de medicion

Media del Error Variable N N* Media estándar Desv.Est. Varianza CoefVar Mínimo Medición 112 0 27.975 0.0135 0.143 0.0205 0.51 27.630 N para Variable Q1 Mediana Q3 Máximo Rango Modo moda Sesgo Medición 27.872 27.955 28.080 28.390 0.760 27.94 7 0.20 Variable Kurtosis Medición -0.25

24. en la elaboración de una bebida se desea garantizar que el porcentaje de CO2 (gas) esté entre 2.5 y 3.0. En el monitoreo del proceso se obtuvieron los siguientes 115 datos.


Solución:

Porcentaje de CO2

Media 2.624956522


Mediana 2.6

Moda 2.61



Curtosis 105.8378446

Coeficiente de asimetría 10.08166048

Rango 3.04

Mínimo 2.48

Máximo 5.52

Suma 301.87

Cuenta 115

- El porcentaje promedio de CO2 para las bebidas es de 2.62%.

- El 50% de las bebidas tiene una igualdad o inferior es de 2.6% de CO2.

- El 2.61% de CO2 es el dato que con mayor frecuencia se repite.


5.55.04.54.03.53.02.52.0

80

70

60

50

40

30

20

10

0

% de Co2

Fre

cu

en

cia

2.5 3

Media 2.625

Desv.Est. 0.2779

N 115

Histograma (con curva normal) de % de Co2

Media del Error Variable N N* Media estándar Desv.Est. Varianza CoefVar Mínimo % de Co2 115 0 2.6250 0.0259 0.2779 0.0772 10.59 2.4800 N para Variable Q1 Mediana Q3 Máximo Rango Modo moda Sesgo % de Co2 2.5600 2.6000 2.6400 5.5200 3.0400 2.61 11 10.08 Variable Kurtosis % de Co2 105.84 Ay una cierta cantidad que no cumple con el rango de calidad (falta agregar más Co2


EJERCICIOS DEL CAPITULO 3

EJERCICIO 7: El departamento de compras inspecciona un pedido de 500 piezas eléctricas, para lo cuál toma una muestra aleatoria de 20 de ellas y se prueban. El vendedor asegura que el porcentaje de piezas defectuosas es sólo de 5%, así suponiendo el peor de los casos según el vendedor, p=0.05, responde lo siguiente:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje muestral de defectuosos sea mayor al 10%?

X distribución Hipergeométrica N=500 finita n=20 M=5%*500=25 10%20 = 2 Probabilidad ( X>2)=???? Variable discreta P(X>2)=P(X≥3)=???

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una o menos piezas defectuosas?

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

Pro

ba

bili

da

d

3

0.0716

0

Gráfica de distribuciónHipergeométrico, N=500, M=25, n=20


EJERCICIO 8: Un proceso de producción de partes trabaja con un porcentaje promedio de defectos de 5%. Cada hora se toma una muestra aleatoria de 18 artículos y se prueban. Si la muestra contiene más de un defecto el proceso deberá detenerse. a) Calcule la probabilidad de que el proceso se detenga debido al esquema de

muestreo. X: Número de artículos defectuosos Variable aleatoria discreta sigue una distribución Binomial ~ B( n, p) p=0.05 n=18 P(proceso se detenga)=P(X>1)=P(X>=2)=0,226

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

Pro

ba

bili

da

d

1

0.736

4



0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Pro

ba

bili

da

d

2

0,226

0

Gráfica de distribuciónBinomial. n=18. p=0,05

b) De acuerdo con lo contestado en a) ¿Considera que el esquema de muestreo

es adecuado o generara demasiadas interrupciones?

El tipo de muestreo ya que el nivel de calidad exigido en un lote de 18 artículos el 5% debe

ser 1 o menos


EJERCICIO 9: Un fabricante de calculadoras electrónicas desea estimar la proporción de unidades defectuosas producidas para ello toma una muestra aleatoria de 250 y encuentra 25 defectuosas. Con base en esto el fabricante afirma que el porcentaje de calculadoras defectuosas que se produce es de 10% ¿Es real esta afirmación? Argumente su respuesta.

EJERCICIO 10: Un fabricante de galletas que, con probabilidad de 0.95, cada galleta contenga al menos una pasa. ¿Cuántas pasas en promedio por galleta deberá agregar a la masa como mínimo? ¿Cuál es la probabilidad de que una galleta contenga mas de seis pasas? Apóyese en la distribución de Poisson.

0.30

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

X

Pro

ba

bili

da

d

0

0.0622

7


0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

Pro

ba

bili

da

d

1

0.632

0

Gráfica de distribuciónPoisson, Media=1


EJERCICIO 11: En un almacén se inspeccionan todos los lotes de cierta pieza que se recibe, para ello se emplean muestras de tamaño 100. Se sabe que el proceso genera 1% de piezas defectuosas y se tiene el criterio de rechazar el lote cuando se encuentran más de tres piezas defectuosas en la muestra. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote? ¿Cuál es la probabilidad de que se tengan que inspeccionar 10 lotes antes de rechazar el primero del día?

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

Pro

ba

bili

da

d

7

0.0000832

0

Gráfica de distribuciónPoisson, Media=1

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

Pro

ba

bili

da

d

0 9

Gráfica de distribuciónBinomial, n=100, p=0.01


EJERCICIO 12: Una caja contiene cuatro artículos defectuosos y ocho en buen estado. Se sacan dos artículos al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno sea bueno?

X: ARTICULOS EN BUEN ESTADO

SI CONOCE TAMAÑO POBLACION ES UNA DISTRIBUCION

HIPERGEOMETRICA

N=12

n=2

M: 8

P(X>=1)=0,909

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

Pro

ba

bili

da

d

4

0.0184

0



0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Pro

ba

bili

da

d

1

0,909

0

Gráfica de distribuciónHipergeométrico. N=12. M=8. n=2

b) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean del mismo tipo (buenos o malos)?

P(los dos sean del mismo tipo (buenos o malos)= P(X=2)+P(X=0)=1-P(X=1)=1-0.485=0,515

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Pro

ba

bili

da

d

1

0,485

0 2

Gráfica de distribuciónHipergeométrico. N=12. M=8. n=2


c) ¿Cuál es el valor esperado de los artículos buenos?

VALOR ESPERADO= np=n*M/N=2*8/12=0,833

EJERCICIO13: Un gerente de producción de cierta compañía esta interesado en probar los productos terminados que están disponibles en lotes de tamaño 50. Le gustaría retrabajar el lote si puede estar seguro de que 10% de los artículos están defectuosos en la muestra. Entonces decide tomar una muestra de tamaño 10 sin reemplazo y retrabajar el lote si encuentra uno o más defectuosos en la muestra. ¿Es este un procedimiento razonable? Argumente su respuesta.

EJERCICIO 15: En una compañía aérea 40% de las reservaciones que se hacen con más de un mes de anticipación son canceladas o modificadas. En una muestra de 20 reservaciones ¿Cuál es la probabilidad de que 10,11 ó 12 reservaciones no hayan cambiado?

a) Conteste usando la distribución binomial.

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

Pro

ba

bili

da

d

1

0.689

0



b) Resuelva con base en la distribución normal con la media y la varianza de la binomial considerando el rango de 9.5 a 12.5.

EJERCICIO 16: Se hace un estudio de la duración en horas de 20 focos y se obtienen los siguientes datos: 138.62, 37, 62,25.00, 59.36, 87.50, 75.49, 56.46, 33.86, 61.30, 323.52, 1.50, 186.34, 193.65, 11.34, 52.20, 381.41, 2.68.

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

X

Pro

ba

bili

da

d

12

0.0565

2


0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

X

Pro

ba

bili

da

d

11

0.128

2



a) Encuentre, mediante gráficas de probabilidad, una distribución continua que se ajuste de manera adecuada a los datos.

b) Considere una distribución exponencial con parámetro

x 1 y

obtenga la probabilidad de que los focos duren más de 300 horas.

5004003002001000-100-200-300

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

C1

Po

rce

nta

je

Media 101.6

Desv.Est. 110.6

N 17

AD 1.333

Valor P <0.005

Gráfica de probabilidad de C1Normal - 95% de IC

4003002001000-100-200

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

C1

Po

rce

nta

je

Media 101.6

Desv.Est. 110.6

N 17

KS 0.257

Valor P <0.010

Gráfica de probabilidad de C1Normal


EJERCICIO 17: Una máquina realiza cortes de manera automática de ciertas tiras metálicas con media µ=40,1 cm y una desv estándar 0,2 cm. La media óptima de tales tiras debe ser de 40 cm con un tolerancia de más o menos 0,5 cm. Suponiendo distribución normal estime el porcentaje de las tiras que cumple con las especificaciones X: medida de corte de las tiras metálicas (cm) ~ N( µ,σ2) Especificación inferior = 39,5 Especificación Superior = 40,5 Valor objetivo = 40 Z= (X-µ)/σ P( 39,5 < X <40,5)= P[( 39,5-40,1)/0,2 < Z < ( 40,5-40,1)/0,2]=??? P[-3< Z< 2]=0,976

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

De

nsid

ad

-3

0,976

20

Gráfica de distribuciónNormal. Media=0. Desv.Est.=1


EJERCICIO 18: Verifique si los siguientes datos se ajustan bien a una distribución normal.

2.51 2.29 2.31 2.19 2.09 2.48 2.65

2.50 2.48 2.27 2.26 2.86 3.73 2.98

1.08 2.25 2.10 3.30 3.15 2.27 2.23

2.61 2.11 5.70 2.31 2.00 2.35 1.76

2.91 1.84 2.09 2.78 2.32 2.59 1.87

2.59 2.07 3.10 2.32 2.59 2.42 2.04

2.13 1.98 2.02 2.18 2.26 2.10 2.69

2.60


654321

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

datos

Po

rce

nta

je

Media 2,446

Desv.Est. 0,6388

N 50

KS 0,179

Valor P <0,010

Prueba de bondad de ajuste curva normal

Ha: Los datos NO siguen una distribución normal

Ho: Los datos siguen una distribución normal

alfa=0,05

Es decir los datos no siguen una distribución normal

Rechaza Ho

alfa > valor p

ejercicios resueltos de control capitulos 2-3 (1)

Documents