ejercicios metodos de elementos finitos
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Ejercicios Metodos de Elementos Finitosbasicos en sus diferentes metodosTRANSCRIPT
Prob.1
Facultad de Ingeniería U.M.S.ACarrera: MEC-ELMMétodos Numéricos MEC-130 Matemática Aplicada MEC-212
Docente: Pastor Leandro Barrón Leitón
Autor:Martin Laguna AltamiranoMÉTODOS VARIACIONALES DE APROXIMACIÓN
Para el siguiente problema de valor de frontera:
3
3
1
2 0 1 4
11 ; 4
4x
d dux xu x
dx dx
dux udx
Hallar una solución con seis parametros médiante los metodos estudiados: Galerkin, Petrov-Galerkin, Minimos Cuadrados y Colocación.
1. Introducir los siguientes datos extraidos del PVF: 1 0 2 0, , , , , , , ,x u x Q a x c x f x n incremento
x1u0x2Q0vavcvf
PARAMETROSINCREMENTO
=
41
4
1-1
x3
x26
0.2
2. Determinamos las funciones de aproximación: 0( ) , ( ) 1ix x i
«0=17
4- x
f1
f2
f3
f4
f5
f6
=
x2 - 2 x - 8
x3 - 3 x - 52
x4 - 4 x - 240
x5 - 5 x - 1004
x6 - 6 x - 4072
x7 - 7 x - 16 356
3. Escribimos la función de aproximación u(x):
u x =
-x + x 2-2 x -8 k1+ x 3-3 x -52 k2+ x 4-4 x -240 k3+ x 5-5 x -1004 k4+ x 6-6 x -4072 k5+ x 7-7 x -16356 k6+17
4
4. Determinamos la función Resto-Residuo: ; ; ; ;
du d du d dua x a x c x u f x R x a x c x u f x
dx dx dx dx dx
* dua xdx
* *d du
a xdx dx
*c x u
f x
=
x 3 2 x -2 k1 + 3 x 2 -3 k2 + 4 x 3 -4 k3 + 5 x 4 -5 k4 + 6 x 5 -6 k5 + 7 x 6 -7 k6 - 142 k6 x 5 +30 k5 x 4 +20 k4 x 3 + 12 k3 x 2 +6 k2 x +2 k1 x 3 +3 2 x -2 k1 + 3 x 2 -3 k2 + 4 x 3 -4 k3 + 5 x 4 -5 k4 + 6 x 5 -6 k5 + 7 x 6 -7 k6 - 1 x 2
-x -x + x 2 -2 x -8 k1 + x 3 -3 x -52 k2 + x 4 -4 x -240 k3 + x 5 -5 x - 1004 k4 + x 6 -6 x -4072 k5 + x 7 -7 x - 16356 k6 +17
4
2
Resto-Residuo=62 k6 x 8 +47 k5 x 7 +34 k4 x 6 +23 k3 x 5 -8 k3 x 2 - 10 k4 x 2 - 12 k5 x 2 -
14 k6 x 2 -2 x 2 + 7 x 2 -4 x +8 k1 x +2 7 x 3 -3 x +26 k2 x +240 k3 x + 1004 k4 x +4072 k5 x + 16356 k6 x -17 x
4+2
2 1Parcial.nb
Método Galerkin
1. Para el método de Galerkin se condiciona :
2
1
; 0
x
i i i
x
w x R x
Galerkin:residuo despues de realizar las integrales
15993 k1
10+
53514 k2
5+
14918229 k3
280+
3371481 k4
14+
10444437 k5
10+
243817722 k6
55-
24669
80 0
53514 k1
5+
1444797 k2
20+
2538540 k3
7+
231235209 k4
140+
793211373 k5
110+
153905427 k6
5-
20277
10 0
14918229 k1
280+
2538540 k2
7+
25700085 k3
14+
648689823 k4
77+
1036742571 k5
28+
2066572764 k6
13-
2778921
280 0
3371481 k1
14+
231235209 k2
140+
648689823 k3
77+
545071617 k4
14+
15668348697 k5
91+
20810462193 k6
28-
1237311
28 0
10444437 k1
10+
793211373 k2
110+
1036742571 k3
28+
15668348697 k4
91+
10719308259 k5
14+
33211850931 k6
10-
42382791
224 0
243817722 k1
55+
153905427 k2
5+
2066572764 k3
13+
20810462193 k4
28+
33211850931 k5
10+
115747454115 k6
8-
3177819
4 0
2. Acontinuación se muestra el sistema de ecuaciones en forma matricial:
15993
10
53514
5
14918229
280
3371481
14
10444437
10
243817722
5553514
5
1444797
20
2538540
7
231235209
140
793211373
110
153905427
514918229
280
2538540
7
25700085
14
648689823
77
1036742571
28
2066572764
133371481
14
231235209
140
648689823
77
545071617
14
15668348697
91
20810462193
2810444437
10
793211373
110
1036742571
28
15668348697
91
10719308259
14
33211850931
10243817722
55
153905427
5
2066572764
13
20810462193
28
33211850931
10
115747454115
8
.
k1
k2
k3
k4
k5
k6
==
24669
8020277
102778921
2801237311
2842382791
2243177819
4
3. Ahora podemos resolver el sistema matricial para determinar las constantes ik :
k1 Ø583527950844139216663
88977322913991904952, k2 Ø -
163530419701251620215
44488661456995952476, k3 Ø
8069390827621192355
6355523065285136068,
k4 Ø -3366788887462146575
12711046130570272136, k5 Ø
778229684962754453
25422092261140544272, k6 Ø -
33482069298701309
22244330728497976238
4. La solución aproximada se obtiene remplazando los coeficientes ik en u:
uGx =1
177954645827983809904-267856554389610472 x 7+5447607794739281171 x 6-
47135044424470052050 x 5+225942943173393385940 x 4-654121678805006480860 x 3+
1 167055901688278433326 x 2- 1248608614248452931208 x +729868433094676314524
5. Evaluamos la solución aproximada en un intervalo: 1 2,x x x incremento
1Parcial.nb 3
valor de x valor evaluado en uGalerkinx1. 1.001281.2 0.8334221.4 0.7137171.6 0.6247311.8 0.555722. 0.5002872.2 0.4546722.4 0.416582.6 0.3844482.8 0.3570573. 0.3333813.2 0.31263.4 0.2941463.6 0.2777173.8 0.2631414. 0.25
6. Graficamos la solución aproximada:
1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Galerkin
4 1Parcial.nb
Método Petrov-Galerkin
1. Para el método de Petrov-Galerkin se condiciona :
2
1
1 ; 0
x
i
i i
x
w x w R x
Petrov-Galerkin:residuo despues de realizar las integrales
-1689 k1
4-
15642 k2
5-
34659 k3
2-
608262 k4
7-
3322449 k5
8- 1928250 k6+
543
8 0
-6726 k1
5-
20529 k2
2-
408519 k3
7-
1 195881 k4
4- 1453716 k5-
13687497 k6
2+
807
4 0
-44691 k1
10-
174267 k2
5-
8083053 k3
40- 1052277 k4-
51854373 k5
10-
1357424613 k6
55+
51051
80 0
-76449 k1
5-
2424609 k2
20-713565 k3-
18818742 k4
5-
1031032971 k5
55-
900191601 k6
10+
42141
20 0
-2992719 k1
56-
3004578 k2
7-
35795187 k3
14-
1049204694 k4
77-
1916930781 k5
28-
4305442158 k6
13+
2008239
280 0
-2657829 k1
14-
43135569 k2
28-
713487708 k3
77-
1394492793 k4
28-
45874241775 k5
182-
34354626597 k6
28+
174759
7 0
2. Acontinuación se muestra el sistema de ecuaciones en forma matricial:
-1689
4-
15642
5-
34659
2-
608262
7-
3322449
8-1928250
-6726
5-
20529
2-
408519
7-
1 195881
4-1453716 -
13687497
2
-44691
10-
174267
5-
8083053
40-1052277 -
51854373
10-
1357424613
55
-76449
5-
2424609
20-713565 -
18818742
5-
1031032971
55-
900191601
10
-2992719
56-
3004578
7-
35795187
14-
1049204694
77-
1916930781
28-
4305442158
13
-2657829
14-
43135569
28-
713487708
77-
1394492793
28-
45874241775
182-
34354626597
28
.
k1
k2
k3
k4
k5
k6
==
-543
8
-807
4
-51051
80
-42141
20
-2008239
280
-174759
7
3. Ahora podemos resolver el sistema matricial para determinar las constantes ik :
k1 Ø156255447473206189
23341239508169753, k2 Ø -
87599484332391437
23341239508169753, k3 Ø
301409431202519563
233412395081697530,
k4 Ø -6240271663155761
23341239508169753, k5 Ø
3567483426462527
116706197540848765, k6 Ø -
173083456196794
116706197540848765
4. La solución aproximada se obtiene remplazando los coeficientes ik en u:
uPGx =1
466824790163395060
-692333824787176 x 7+14269933705850108 x 6- 124805433263115220 x 5+602818862405039126 x 4-
1751989686647828740 x 3+3125108949464123780 x 2-3329095177914327220 x +1931367475124234765
5. Evaluamos la solución aproximada en un intervalo: 1 2,x x x incremento
1Parcial.nb 5
valor de x valor evaluado en uPetrov-Galerkinx1. 1.000341.2 0.8327541.4 0.7135251.6 0.624911.8 0.5560532. 0.5005742.2 0.4547982.4 0.416532.6 0.3842912.8 0.3568963. 0.3333073.2 0.3126423.4 0.2942543.6 0.2777863.8 0.2631014. 0.25
6. Graficamos la solución aproximada:
1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Petrov-Galerkin
6 1Parcial.nb
Método Minimos-Cuadrados
1. Para el método de Minimos cuadrados se condiciona :
2
1
; 0
x
i i
i x
w R x w R xk
Minimos cuadrados:residuo despues de realizar las integrales
-499569 k1
5-
15826311 k2
20-
325746999 k3
70-
122644464 k4
5-
6716069631 k5
55-
64477855053 k6
110+
69054
5 0
-15826311 k1
20-
31668948 k2
5-
5266441827 k3
140-
2199970089 k4
11-
10029459987 k5
10-
3463761911076 k6
715+
856593
8 0
-325746999 k1
70-
5266441827 k2
140-
86821142139 k3
385-
33846704271 k4
28-
5555279394981 k5
910-
45683988977493 k6
1540+
43226613
70 0
-122644464 k1
5-
2199970089 k2
11-
33846704271 k3
28-
84849759966 k4
13-
232189518240 k5
7-
8913437860113 k6
55+
358555503
112 0
-6716069631 k1
55-
10029459987 k2
10-
5555279394981 k3
910-
232189518240 k4
7-
847494937881 k5
5-
366130317455217 k6
440+
314371107
20 0
-64477855053 k1
110-
3463761911076 k2
715-
45683988977493 k3
1540-
8913437860113 k4
55-
366130317455217 k5
440-
3835617313804236 k6
935+
32819743503
440 0
2. Acontinuación se muestra el sistema de ecuaciones en forma matricial:
-499569
5-
15826311
20-
325746999
70-
122644464
5-
6716069631
55-
64477855053
110
-15826311
20-
31668948
5-
5266441827
140-
2199970089
11-
10029459987
10-
3463761911076
715
-325746999
70-
5266441827
140-
86821142139
385-
33846704271
28-
5555279394981
910-
45683988977493
1540
-122644464
5-
2199970089
11-
33846704271
28-
84849759966
13-
232189518240
7-
8913437860113
55
-6716069631
55-
10029459987
10-
5555279394981
910-
232189518240
7-
847494937881
5-
366130317455217
440
-64477855053
110-
3463761911076
715-
45683988977493
1540-
8913437860113
55-
366130317455217
440-
3835617313804236
935
.
k1
k2
k3
k4
k5
k6
==
-69054
5
-856593
8
-43226613
70
-358555503
112
-314371107
20
-32819743503
440
3. Ahora podemos resolver el sistema matricial para determinar las constantes ik :
k1 Ø 223463064146982776903971579168989935047 42369919144591492119415606301629034564,k2 Ø -57900821461585260128754426286825947649 21184959572295746059707803150814517282,
k3 Ø 5291594317584199412373945598901676703 6052845592084498874202229471661290652,k4 Ø -256190550034094263354039411466512418 1513211398021124718550557367915322663,k5 Ø 55130525869886748062005399132313291 3026422796042249437101114735830645326,
k6 Ø -8859524272723377967784150226273959 10592479786147873029853901575407258641
4. La solución aproximada se obtiene remplazando los coeficientes ik en u:
uMCx =-35438097090893511871136600905095836 x 7+771827362178414472868075587852386074 x 6-
7173335400954639373913103521062347704 x 5+37041160223089395886617619192311736921 x 4-
115801642923170520257508852573651895298 x 3+223463064146982776903971579168989935047 x 2-
258571980050064104085847663403367073520 x + 162947861438672144932237806920514106081 42369919144591492119415606301629034564
5. Evaluamos la solución aproximada en un intervalo: 1 2,x x x incremento
1Parcial.nb 7
valor de x valor evaluado en uMinimos Cuadradosx1. 1.006411.2 0.837381.4 0.7158461.6 0.6256211.8 0.5561412. 0.5007262.2 0.4552552.4 0.4171932.6 0.3849182.8 0.3572953. 0.3334363.2 0.3126093.4 0.2942223.6 0.2778393.8 0.2631724. 0.25
6. Graficamos la solución aproximada:
1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Minimos-Cuadrados
8 1Parcial.nb
Método Colocación1. Para el método de Colocación se condiciona :
1 20 2.0,2.2,2.4,2.6,2.8,3.0i iR x donde x x x entonces evaluamos
Colocación :residuo despues de realizar las integrales
56. k1+304. k2+ 1184. k3+4144. k4+14112. k5+48528. k6-14.5 072.776 k1+413.318 k2+ 1674.62 k3+6015.32 k4+20623.8 k5+69938.5 k6-17.03 092.928 k1+554.726 k2+2361.32 k3+8849.5 k4+31260.1 k5+107420. k6-19.72 0116.792 k1+734.406 k2+3302.64 k3+ 13045.9 k4+48255.6 k5+ 171904. k6-22.57 0144.704 k1+959.078 k2+4567.66 k3+ 19117.1 k4+74724.3 k5+279924. k6-25.58 0177. k1+1236. k2+6237. k3+27708. k4+ 114897. k5+455724. k6-28.75 0
2. Acontinuación se muestra el sistema de ecuaciones en forma matricial:
56. 304. 1184. 4144. 14112. 48528.72.776 413.318 1674.62 6015.32 20623.8 69938.592.928 554.726 2361.32 8849.5 31260.1 107420.116.792 734.406 3302.64 13045.9 48255.6 171904.144.704 959.078 4567.66 19117.1 74724.3 279924.
177. 1236. 6237. 27708. 114897. 455724.
.
k1
k2
k3
k4
k5
k6
==
14.517.0319.7222.5725.5828.75
3. Ahora podemos resolver el sistema matricial para determinar las constantes ik :
k1 Ø 4.56519, k2 Ø -2.35041, k3 Ø 0.768121, k4 Ø -0.155891, k5 Ø 0.0179812, k6 Ø -0.000903004
4. La solución aproximada se obtiene remplazando los coeficientes ik en u:
uCx =-0.000903004 1. x -4.93556 1. x 2-8.43781 x +20.6083 1. x 2-4.98822 x +11.8157 1. x 2- 1.55105 x +3.37718
5. Evaluamos la solución aproximada en un intervalo: 1 2,x x x incremento
valor de x valor evaluado en uColocaciónx1. 1.035411.2 0.8642591.4 0.7383331.6 0.6434361.8 0.5700062. 0.5116952.2 0.46432.4 0.4250172.6 0.3919252.8 0.3636653. 0.3392513.2 0.3179443.4 0.299153.6 0.2822593.8 0.2663974. 0.25
6. Graficamos la solución aproximada:
1Parcial.nb 9
1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
0.4
0.6
0.8
1.0
Colocación
10 1Parcial.nb
Solución Analítica
1. Resolvemos la siguiente ecuación diferencial:
2
1 2
1 0 0
0
;x x
d dua x c x u f x x x x
dx dx
duu x u q
dx
uexacta= c1 x-1+ 2 + c2 x-1- 2 + 1
x
2. Determinamos las constantes: 1C y 2
C con las condiciones iniciales del problema:
c1 Ø 0, c2 Ø 0
3. Remplazando las constantes en la solución: u x
uExactax= 1
x
4. Evaluamos la solución Exacta en un intervalo: 1 2,x x x incremento
valor de x valor evaluado en uExactax1. 1.
1.2 0.833333
1.4 0.714286
1.6 0.625
1.8 0.555556
2. 0.5
2.2 0.454545
2.4 0.416667
2.6 0.384615
2.8 0.357143
3. 0.333333
3.2 0.3125
3.4 0.294118
3.6 0.277778
3.8 0.263158
4. 0.25
5. Graficamos la solución Exacta:
1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Exacta
1Parcial.nb 11