ejercicios macroeconomia avanzada

8/6/2019 Ejercicios MAcroeconomia Avanzada

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Ejercicios de Macroeconoma Avanzada

Jos L. Torres ChacnDepartamento de Teora e Historia Econmica

Universidad de Mlaga

Septiembre 2010


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ii


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Indice

I Sistemas dinmicos bsicos 5

1 Introduccin a la dinmica 7

2 Modelos dinmicos bsicos 29

II Introduccin al Equilibrio General 90

3 La eleccin intertemporal de los consumidores 91

4 Las empresas y la decisin de inversin 121

5 El gobierno y la poltica scal 133

6 El modelo simple de equilibrio general 163

III Crecimiento Econmico 171

7 Introduccin al crecimiento econmico 173


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Indice 1

8 El modelo de Ramsey 191

9 La tecnologa AK 205


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2 Indice


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Prefacio

El presente documento forma parte de un conjunto de tres manualesque se corresponden con la materias de la asignatura MacroeconomaAvanzada II, que imparte el Departamento de Teora e HistoriaEconmica en la Facultad de Ciencias Econmicas y Empresarialesde la Universidad de Mlaga, en el cuarto curso de la Licenciatura deEconoma. Se trata fundamentalmente de un curso de introduccina la macroeconoma dinmica con el cual se cierra el aprendizaje

de macroeconoma en la Licenciatura pero que al mismo tiemposienta las bases para que el alumno pueda seguir cursando estudiosde postgrado en economa con una slida base respecto a losfundamentos de la macroeconoma actual.

El material que se imparte en esta asignatura se ha divididoen un total de tres manuales: Uno terico, Apuntes deMacroeconoma Avanzada (AMA); otro de ejercicios resueltos,Ejercicio de Macroeconoma Avanzada (EMA); y un tercero deejercicios numricos y de computacin, Macroeconoma AvanzadaComputacional (MAC). En los tres manuales se ha intentadomantener una estructura similar, correspondiente al programa de

la asignatura, pero con unos objetivos y contenidos muy diferentesentre ellos, siendo totalmente complementarios.El presente manual, Ejercicios de Economa Avanzada (EMA)

contiene un conjunto de ejercicios y sus correspondientes propuestas


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4 Indice

de resolucin. El objetivo de esta recopilacin de ejercicios espermitir que los alumnos dispongan de una serie de ejercicios sobre

el temario de la asignatura con sus respectivas soluciones. Se tratade un conjunto de propuestas de resolucin como en todo manual deejercicios resueltos. Esto signica que la resolucin de cada ejerciciono tiene porqu ser exactamente la propuesta, si bien los resultadostienen que ser los mismos. La propuesta de resolucin es unagua para ser aplicada en la resolucin de otros ejercicios similares.Aunque el presente texto tiene un enfoque fundamentalmenteprctico, tambin resulta de gran utilidad a nivel terico, por cuantose analiza una gran variedad de problemas econmicos y permiteobservar cmo los desarrollos tericos realizados pueden ser aplicadospara responder a un conjunto muy amplio de cuestiones.

Mlaga, Septiembre de 2010

Jos L. Torres


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Parte I

Sistemas dinmicosbsicos

5


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1

Introduccin a la dinmica

Este tema tiene como objetivo bsico la introduccin al alumnoen una de las herramientas bsicas que vamos a utilizar parael anlisis econmico dinmico: los diagramas de fases. Losdiagramas de fases constituyen una herramienta grca que seusa profusamente en el anlisis macroeconmico dinmico ypermite estudiar la dinmica temporal de las principales variablesmacroeconmicas, siendo una forma de presentar la solucin de un

modelo terico as como la dinmica de las diferentes variables anteuna determinada perturbacin. Tal y como hemos estudiado en eltema correspondiente, la forma bsica que vamos a utilizar paradescribir la economa es un sistema de ecuaciones diferenciales, lascuales describen el comportamiento a lo largo del tiempo de lasvariables de inters en funcin de ellas mismas y de un conjunto devariables exgenas. Para ello los ejercicios propuestos consisten en laaplicacin de diferentes conceptos, tales como el estado estacionario,la estabilidad del sistema y su representacin grca, a un conjuntode sistemas de ecuaciones diferenciales que no tienen signicadoeconmico. El objetivo que se persigue es simplemente familiarizarse

con estos instrumentos y los conceptos asociados a los mismos, queposteriormente aplicaremos a modelos con contenido econmico.


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8 1. Introduccin a la dinmica

EJERCICIO 1.1: Considere el siguiente sistema deecuaciones dinmicas:

_x1;t_x2;t

=

x1;tx2;t

+

1 0 10 1

24 z1;tz2;tz3;t

35 (1.1)Calcule el valor de las variables en estado estacionario.

SOLUCIN:

El sistema de ecuaciones diferenciales planteado tiene la siguienteforma matricial en trminos generales:

_x1;t_x2;t

= A

x1;tx2;t

+ B

24 z1;tz2;tz3;t

35 (1.2)donde A es la matriz de coecientes asociados a las variables

endgenas (x1;t, x2;t)

A=

(1.3)

y B es la matriz de coecientes asociados a las variables exgenas(z1;t, z2;t, z3;t),

B =

1 0 10 1

Para calcular el Estado Estacionario partimos de su denicin. El

Estado Estacionario se dene como aquella situacin en la cual todas

las variables del sistema son constantes, es decir:_x1;t_x2;t

=

0

0

(1.4)


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1. Introduccin a la dinmica 9

para lo cual se hace necesario que se cumpla:

Ax1;tx2;t

= B 24 z1;tz2;tz3;t

35 (1.5)siendo en este caso x1;t = x1;t y x2;t = x2;t. Por tanto, para calcularel valor de las variables en estado estacionario tenemos que calcularel siguiente vector:

x1;tx2;t

= A1Bzt (1.6)

La inversa de matriz A, junto con la matriz B y el vector devariables exgenas es:

A1 = 1+

; B =

1 0 10 1

; zt =

24 z1;tz2;tz3;t

35(1.7)

por lo que sustituyendo obtendramos:

x1;tx2;t

= 1

+

1 0 10 1

24 z1;tz2;tz3;t

35 (1.8)y multiplicando ambas matrices obtenemos:

x1;tx2;t

=

1

+

+

24 z1;tz2;tz3;t

35 (1.9)Por tanto, el valor de las variables en estado estacionario sera:

x1;t =

+ z1;t +

+

z2;t (+ )+

z3;t (1.10)

x2;t =

+ z1;t +

+ z2;t +

( )+

z3;t (1.11)

Como podemos comprobar el valor de las dos variables endgenasen estado estacionario depende del valor de las tres variablesexgenas y de las constantes del sistema.


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EJERCICIO 1.2: Analice la estabilidad del siguientesistema de ecuaciones dinmicas:

_x1;t_x2;t

=

x1;tx2;t

+

1 00

z1;tz2;t

(1.12)

SOLUCIN:

Para realizar el anlisis de estabilidad del sistema y conocer cmo

van a ser las trayectorias de las variables en relacin al EstadoEstacionario, debemos de calcular las races asociadas a la matrizde las variables endgenas. Para ello lo que tenemos que haceres resolver una ecuacin de segundo grado que la obtenemos deigualar a cero el determinante de la matriz de coecientes asociadosa las variables endgenas menos la matriz identidad. De este modocalcularamos:

Det

A

00

= 0 (1.13)

de la cual obtendramos una ecuacin de segundo grado del tipo:

2 + b + c = 0 (1.14)

siendo sus races:

1; 2 =b pb2 4c

2(1.15)

El signo de las dos races va a depender, por un lado del signodel coeciente inmediatamente anterior a la raz cuadrada (b) y,por otro lado, del signo que aparece dentro de la raz cuadrada.As, podemos comprobar que el primer trmino dentro de la raz

cuadrada simplemente es el coeciente anterior a dicha raz peroelevado al cuadrado (b2). Por tanto, si el segundo trmino de la razcuadrada fuese cero (c = 0), entonces tendramos que al resolver laraz cuadrada nos quedara:


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1; 2 =b

pb2

2=

b b2

(1.16)

por lo que nos quedara que una de las races sera segativa y la otranula: 1 = b; 2 = 0: Por tanto, la clave est en el signo queaparece en la raz cuadrada, que es el que nos va a decir si al resolverla raz cuadrada, el resultado es mayor o menor que el coecienteanterior a la misma. Obviamente, si el signo es positivo, el resultadode resolver la raz cuadrada es superior al coeciente anterior a lamisma y lo contraro sucedera su el signo dentro de la raz cuadradafuese negativo. Con este sencillo truco ya podemos calcular el signode las races asociadas a la matriz A.

En el problema propuesto tendramos

Det

= 0 (1.17)

Calculando el determinante, agrupando trminos e igualando acero, llegamos a la siguiente ecuacin de segundo grado:

2 ( + ) + (+ ) = 0 (1.18)cuyas races van a ser las siguientes:

1; 2 =( + )

p( + )2 4(+ )

2

(1.19)

Resolviendo, obtenemos que las dos races son positivas:

1 > 0; 2 > 0 (1.20)

Como podemos comprobar, al resolver la raz cuadrada, elresultado que nos queda es un valor ms pequeo que el coecienteasociado a , dado que:p

( + )2 4(+ ) < ( + ) (1.21)Por otra parte, el primer trmino de la expresin (1.21), ( + )

es positivo. Por tanto tenemos que un valor positivo ms algo mspequeo, resulta en un valor positivo. Un valor positivo menos algoms pequeo, resulta en un valor positivo. Por tanto, las dos racesson positivas.


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EJERCICIO 1.3: Resuelva el siguiente sistema deecuaciones dinmicas:

_x1;t_x2;t

=

x1;tx2;t

+

1 0 10 1

24 z1;tz2;tz3;t

35 (1.22)y represente grcamente las condiciones de equilibriodinmicas y el diagrama de fases.

SOLUCIN:

A partir del sistema en notacin matricial, podemos obtener lassiguientes ecuaciones diferenciales, para cada una de las variablesendgenas, que nos dicen como stas varan en el tiempo:

_x1;t = x1;t + x2;t z1;t + z3;t (1.23)

_x2;t = x1;t x2;t + z2;t + z3;t (1.24)

La interpretacin de estas ecuaciones es sencilla, al tiempo quecontiene toda la informacin necesaria para describir el movimientode las variables endgenas a lo largo del tiempo. As, la ecuacin(1.23) nos indica que las variaciones en la variable 1 dependenpositivamente de dicha variable, positivamente de la variableendgena 2, negativamente de la variable exgena 1 y positivamentede la variable exgena 3. Esto es, un aumento en la variable exgena1 provocara una disminucin en la variable endgena 1, mientrasque un aumento en la variable exgena 3 provocara un aumentoen la variable endgena 1. De forma similar la ecuacin (1.24)nos indica que los cambios en la variable endgena 2 dependen

positivamente de la variable endgena 1, negativamente de dichavariable y positivamente de las variables exgenas 2 y 3.A continuacin representamos grcamente dichas ecuaciones. En

realidad lo que vamos a representar es una solucin particular de las


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mismas, de las innitas soluciones que tiene. En concreto vamos arepresentar dichas ecuaciones cuando su valor es cero, que es a lo

que vamos a denominar una ecuacin de equilibrio dinmico, ya queestamos representando la combinacin de valores de las variablesendgenas, dadas unas variables exgenas, tal que las variablesendgenas no cambien, es decir, sean constantes en el tiempo.Como son ecuaciones lineales, para realizar su respresentacin grcanicamente tenemos que calcular su pendiente.

Para calcular la pendiente de la ecuacin diferencial de la primeravariable endgena, bajo la restriccin de que la derivada con respectoal tiempo de esta variable es cero, partimos de la condicin deequilibrio parcial para dicha variable:

_x1;t = x1;t + x2;t z1;t + z3;t = 0 (1.25)esto es, igualamos a cero la primera ecuacin diferencial del sistema.Para hacer la derivada nicamente tenemos que despejar una variableendgena en trminos de otra, tal que:

x1;t = x2;t z1;t + z3;t (1.26)

Dado que vamos a representar a la variable endgena 1 en el ejehorizontal y a la varible endgena 2 en el eje vertical, para calcularla pendiente de la expresin (1.26), tenemos que despejar x2;t en

funcin de x1;t, de forma que:

x2;t =

x1;t +1

z1;t 1

z3;t (1.27)

por lo que la pendiente de esta condicin de equilibrio dinmicaparcial simplemente sera el coeciente que multiplica a la variablex1;t, y la expresamos de la siguiente forma:

dx2;tdx1;t

j _x1;t=0=

< 0 (1.28)

esto es, la pendiente de esta condicin de equilibrio dinmica esnegativa, por lo que su representacin grca es la que aparece en lagura 1.1.


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6

- x1;t

x2;t

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@ _x1;t = 0

dx2;tdx1;t

j _x1;t=0= < 0

Figura 1.1: Condicin de equilibrio dinmica parcial parala variable x1;t

Esta representacin grca nos indica la combinacin de valorespara las variables endgenas que tiene que existir en un momentodado del tiempo para que la variable endgena 1 permanezcaconstante, es decir, no cambie de valor. As, obtenemos que dicharelacin es negativa. Es decir, si el valor de x1;t es muy alto, para

que dicho valor permanezca constante en el tiempo, entonces el valorde x2;t tiene que ser muy bajo.A continuacin, repetimos el mismo procedimiento para la segunda

variable endgena. Igualando a cero la segunda ecuacin diferencialdel sistema:

_x2;t = x1;t x2;t + z2;t + z3;t = 0 (1.29)Despejando la segunda variable endgena en trminos de la

primera, obtenemos que:

x2;t =

x1;t +

z2;t +1

z3;t = 0 (1.30)

Por tanto, la pendiente de la ecuacin diferencial de la segundavariable endgena, bajo la restriccin de que la derivada con respectoal tiempo de esta variable es cero, sera la siguiente:


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dx2;t

dx1;t j_xz;t=0=

> 0 (1.31)

esto es, la pendiente de esta condicin de equilibrio dinmica espositiva, por lo que la representaramos tal y como aparece en lagura 1.2.

6

-x1;t

x2;t

_x2;t = 0

dx2;tdx1;t

j _x2;t=0= > 0

Figura 1.2: Condicin de equilibrio dinmica parcial parala variable x2;t

Una vez representadas la dos condiciones de equilibrio dinmicasparciales para nuestras varaibles endgenas, a continuacin vamos autilizar unas echitas para indicar el comportamiento de las variablesendgenas en situaciones de desequilibrio. Estas echas, que es lo quenos va a permitir construir lo que vamos a denominar diagrama defases, simplemente consisten en la representacin grca del signode la derivada de las variables respecto al tiempo, es decir, esuna representacin del signo (positivo o negativo) que toman lasecuaciones diferenciales del sistema.

La gura 1.3. muestra el diagrama de fases correspondiente a la

variable endgena 1. Estas fechitas nos indican como se comportaesta variable en los dos tipos de desequilibrios en los que puedeencontrarse. Como podemos observar las echitas son horizontales,dado que hemos representado a la variable endgena 1 en el eje


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horizontal. Una echita hacia la derecha nos indicara que la variableaumenta (su derivada respecto al tiempo sera positiva) mientras que

una echita hacia la izquierda nos indicara que la variable disminuye(su derivada respecto al tiempo sera negativa).Para construir este diagrama de fases procedemos de siguiente

modo. En primer lugar, jamos un punto de desequilibrio, porejemplo a la derecha de la condicin de equilibrio dinmica parcial.En todos estos puntos, o bien, la variable endgena 1 es muy elevadarespecto al valor que tendra que tener en equilibrio, o bien dado unvalor de la variable endgena 1, el valor de la variable engnena 2es muy elevado. Con esta informacin nos vamos a nuestra ecuacindiferencial, que sabemos es diferente de cero, dado que no estamossituados sobre ella:

_x1;t = x1;t + x2;t z1;t + z3;t 6= 0 (1.32)Ahora lo que tenemos que hacer es ver como sera el signo en

funcin de los valores de las variables endgenas en desequilibrio ydel signo de los coecientes asociados a los mismos. Por ejemplo,en esta zona, la variable x1;t sera muy elevada (dado un valor dex2;t) y lleva asociado un signo positivo, por lo que dicha ecuacinsera positiva, _x1;t > 0, es decir, en esta zona x1;t aumentara en eltiempo. Por tanto, la echita en esta zona la dibujamos hacia laderecha, indicando que en todas estas situaciones de desequilibrio laderivada de la variable endgena 1 respecto al tiempo es positiva,

por lo que su valor aumentara. El mismo anlisis lo podramoshacer usando la variable x2;t dado un valor de x1;t, y obtendramosel mismo resultado. Si repetimos este mismo anlisis en la zona dela izquierda, observamos que ahora la derivada sera negativa, por loque la echita ira hacia la izquierda.

La gura 1.3 muestra como sera el diagrama de fases parala variable x1;t. La lnea recta con pendiente negativa indica lacombinacin de valores de las variables endneas tal que la derivadade esta variable con respecto al tiempo es cero, es decir, su valorpermanece constante en el tiempo. Fuera de esta lnea con pendientenegativa, la derivada es distinta de cero (o positiva o negativa).

Como podemos comprobar, a la derecha de esta lnea, la derivada espositiva, lo que indicamos con una echa hacia la derecha, mientrasque a la izquierda su derivada es negativa, lo que viene indicado poruna echa hacia la izquierda.


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6

- x1;t

x2;t

-

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@ _x1;t = 0

dx2;tdx1;t

j _x1;t=0= < 0

Figura 1.3: Diagrama de fases de la variable x1;t

El mismo procedimiento lo aplicaramos a la variable endgena 2.La representacin grca del diagrama de fases correspondiente paraesta variable aparece en la gura 1.4.

6

- x1;t

x2;t

?

6

_x2;t = 0

dx2;tdx1;t

j _x1;t=0= > 0

Figura 1.4: Diagrama de fases de la variable x2;t


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Una vez que hemos representado la informacin contenida enlas ecuaciones diferenciales para nuestras variables endgenas, a

continuacin vamos a unir toda esa informacin en un nico grco.Este grco, combinacin de las guras 1.3 y 1.4, sera nuestrarepresentacin del sistema dinmico en su conjunto, tal y comoaparece en la gura 1.5.

Tal y como podemos observar, esta representacin grca nosmuestra las condiciones de equilibrio dinmicas parcial para cadavariable (que aparecen como dos lneas rectas dado que ambasecuaciones son lineales), la condicin de equilibrio conjunto delsistema, que viene dada por el estado estacionario y en trminosgrcos es el punto de corte de las condiciones anteriores, ascomo una serie de echitas que nos indican como se mueve cada

variable (si aumenta o disminuye) en cualquier situacin. Laechas verticales nos indicaran los movimientos de la variable x2;tmientras que las echas horizontales indicaran los movimientos dela variable x1;t. Partiendo de cualquier punto, podemos conocercmo es la trayectoria que siguen ambas variables. De este modo yatenemos representada en trminos grcos (casi) toda la informacinque contiene el sistema de ecuaciones estudiado, representacingrca que resulta muy til para su utilizacin en el anlisis deperturbaciones.

6

- x1;t

x2;t

6

-

?6

-

?

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@

_x1;t = 0

_x2;t = 0

EE0

x1

x2

Figura 1.5: Representacin del sistema dinmico


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EJERCICIO 1.4: Considere el siguiente sistema deecuaciones_x1;t_x2;t

=

x1;tx2;t

+

1 0

z1;tz2;t

(1.33)

Se pide:

1. Valor de las variables en estado estacionario.

2. Anlisis de estabilidad.

3. Representacin grca de las condiciones de equilibrio

dinmicas y diagrama de fases.

4. Anlisis de los efectos de un aumento en z1;t.

SOLUCIN:

1. Valor de las variables en Estado Estacionario: El sistemade cuaciones diferenciales planteado tiene la siguiente forma matricialen trminos generales: _x1;t

_x2;t

= A

x1;tx2;t

+ B

z1;tz2;t

(1.34)

donde A es la matriz de coecientes asociados a las variablesendgenas y B es la matriz de coecientes asociados a las variablesexgenas.

El Estado Estacionario se dene como aquella situacin en la cualtodas las variables del sistema son constantes, es decir:

_x1;t_x2;t

=

0

0

(1.35)

para lo cual se hace necesario que:

A

x1;tx2;t

= B

z1;tz2;t

(1.36)


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siendo en este caso x1;t = x1;t y x2;t = x2;t. Por tanto, para calcularel valor de las variables en estado estacionario tenemos que calcular

el siguiente vector: x1;tx2;t

= A1Bzt (1.37)

por lo que tendramos:x1;tx2;t

= 1

+

1 0

z1;tz2;t

(1.38)

y multiplicando ambas matrices obtenemos:

x1;t

x2;t = 1

+

z1;t

z2;t (1.39)Por tanto, el valor de las variables en estado estacionario sera:

x1;t =

+ z1;t

+ z2;t (1.40)

x2;t =

+ z1;t +

+

+ z2;t (1.41)

Como podemos comprobar el valor de las dos variables endgenasen estado estacionario depende del valor de las dos variablesexgenas.

2. Anlisis de estabilidad del sistema: Para analizar laestabilidad del sistema tenemos que calcular los valores propiosasociados al mismo y en concreto, es su signo (positivo o negativo)lo que nos interesa. Para calcular el signo de los valores propiosprocedemos como sigue. En primer lugar calculamos el siguientedeterminante y lo igualamos a cero:

Det [A I] = 0

Det 00 = Det = 0 (1.42)a partir del cual obtendramos la siguiente ecuacin de segundogrado:


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2 ( + ) + (+ ) = 0 (1.43)Resolviendo obtenemos:

1; 2 = +

p( + )2 4(+ )

2(1.44)

La clave est en ver como es el signo asociado al segundocomponente dentro de la raiz cuadrada. Si el segundo componente dela raiz cuadrada fuese cero, entonces al resolver dicha raiz cuadradael resultado sera igual que el coeciente asociado a . Por tanto sieste segundo componente de la raiz cuadrada tiene signo positivo, alresolver la raiz nos quedara un nmero mayor (en valor absoluto) queel coeciente asociado a . Por el contrario, si el signo fuese negativo,

entonces al resolver nos dara un nmero menor (en valor absoluto)al coeciente de . Como el signo que hay dentro de la raiz cuadradaes negativo, esto quiere decir que al resolver la raiz cuadrada lo quenos queda va a ser inferior al negativo del coeciente de . Por tanto,como el coeciente asociado a es negativo, el primer trmino dela expresin es positivo. Para la primera raz tendramos: positivoms algo ms pequeo, positivo. Para la segunda raz tendramos:positivo menos algo ms pequeo, positivo. Por tanto, las dos racesson positivas (1 > 0; 2 > 0), por lo que el sistema presentainestabilidad global, es decir, todas las trayectorias que siguen lasvariables nos alejan del estado estacionario. As, pues este sistema

de ecuaciones no tendra signicado econmico, ya que una vez seproduzca una perturbacin no se vuelve a alcanzar el nuevo estadoestacionario.

3. Representacin grca de las condiciones de equilibriodinmicas: Para realizar la representacin grca nicamentedebemos calcular la pendiente de cada condicin en equilibrio parcial,dado que las ecuaciones que estamos utilizando son lineales. Enconcreto, lo que representaramos sera una solucin particularcorrespondiente al equilibrio dinmico parcial, aquella para la cuallas derivadas temporales son cero, esto es:

_x1;t = x1;t x2;t + z1;t + z2;t = 0 (1.45)

_x2;t = x1;t + x2;t z2;t = 0 (1.46)


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Vamos a representar x2;t en el eje vertical y x1;t en el eje horizontal,por lo que tendramos que derivar x2;t respecto a x1;t. Calculamos

la pendiente de la primera ecuacin diferencial:

x1;t x2;t + z1;t + z2;t = 0 (1.47)

x2;t = x1;t z1;t z2;t (1.48)

x2;t =

x1;t 1

z1;t

z2;t (1.49)

Por tanto, obtenemos que:

dx2;tdx1;t j _x1;t=0=

> 0 (1.50)

por lo que la pendiente sera positiva. A continuacin realizamos elmismo procedimiento con la segunda ecuacin de equilibrio parcial:

x1;t + x2;t z2;t = 0 (1.51)

x2;t =

x1;t +

z2;t (1.52)

por lo que resulta

dx2;tdx1;tj _xz;t=0= < 0 (1.53)

es decir, la pendiente sera negativa.Esta lnea con pendiente positiva nos indica la combinacin de

valores que tienen que tomar las variables endgenas 1 y 2, paraque la variable endgena 1 sea constante en el tiempo, es decir,su derivada con respecto al tiempo sea nula. Por tanto, cualquiercombinacin de valores que se encuentre fuera de dicha recta nosindicara que la variable endgena 1 no es constante, y por tanto,o bien estara aumentando (su derivada respecto al tiempo serapositiva) o bien estara disminuyendo (su derivada respecto al tiempo

sera negativa). A la derecha de dicha condicin de equilibriodinmica nos encontramos con que o bien x1;t es muy grande(respecto al valor que tendra que tener para que existiese equilibrioparcial) o bien x2;t es muy pequeo (respecto al valor que tendra


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que tener para que existiese equilibrio parcial). Analizamos los signosque tienen dichas variable sen la ecuacin dinmica para la variable

x1;t. Como podemos comprobar, el signo asociado a x1;t es positivo,mientras que el signo asociado a x2;t es negativo. Por tanto, six1;t es muy grande y su signo es positivo, entonces la ecuacin esmayor que cero, es decir, la derivada con respecto al tiempo de lavaraible endgena x1;t es positiva, por lo que su valor aumentara.Alternativamente, podemos hacer el mismo anlisis en trminos dex2;t: As, a la derecha de esta condicin de equilibrio dinmica x2;t esmuy pequeo y dado que tiene un signo negativo, este valor negativosera inferior al que se requiere para que x1;t sea constante, por lo quela ecuacin sera positiva. Por tanto, x1;t aumentara a la derechade esta condicin dinmica mientras que disminuira en cualquier

combinacin de valores situados a su izquierda.

6

-x1;t

x2;t

-

_x1;t = 0

dx2;tdx1;t

j _x1;t=0= > 0

Figura 1.6: Representacin de la dinmica de la variable 1

A continuacin repetimos el mismo anlisis en trmino de laecuacin dinmica de equilibrio parcial para la variable endgena

2. En primer lugar representamos grcamente dicha condicin deequilibrio dinmica parcial, observando que tiene pendiente negativa.En este caso, para que x2;t sea constante en el tiempo, se requiereque la relacin entre las dos variables endgenas sea inversa, es decir


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si x1;t aumenta entonces x2;t tiene que ser inferior para que x2;tpermanezca constante.

De nuevo, realizamos el mismo anlisis anterior para conocer quele sucede a x2;t en situaciones de desequilibrio. Por ejemplo, ala derecha de esta condicin de equilibrio dinmico parcial x1;t esmuy elevado (respecto al valor que debera tener para que existieseequilibrio parcial, es decir, para que x2;t fuese constante). Como susigno es positivo en dicha ecuacin, esto quiere decir que este positivoes muy elevado, por lo que la ecuacin sera positiva, es decir, laderivada de x2;t respecto al tiempo sera positiva, por lo que x2;testara aumentando. A la izquierda de dicha condicin de equilibriodinmico parcial x1;t sera muy pequeo, por lo que la ecuacin seranegativa (dado que dicha variable tiene un signo positivo), es decir,

x2;t estara disminuyendo.

6

-x1;t

x2;t

?

6@

@@

@@

@@

@@

@@@

@_x2;t = 0

dx2;tdx1;t

j _x2;t=0= < 0

Figura 1.7: Representacin de la dinmica de la variable 2

4. Diagrama de fases: Una vez tenemos representadas las doscondiciones de equilibrio dinmico y el comportamiento de ambas

variables en situacin de desequilibrio, a continuacin representamosen un mismo grco los resultados anteriores, obteniendo larepresentacin grca de nuestro sistema de ecuaciones y dandolugar al denominado diagrama de fases del sistema, que nos indica


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el comportamiento de nuestras variables en cada situacin, a la vezque podemos denir el estado estacionario en trminos grcos.

6

-x1;t

x2;t

6-

?

6

-

?

@@

@@

@@

@@

@@

@@@

_x2;t = 0

_x1;t = 0

EE0

x1

x2

Figura 1.8: Representacin del diagrama de fases

5. Anlisis de los efectos de un aumento en z1;t: Paraanalizar los efectos temporales de una perturbacin, en primer lugar,tenemos que calcular el nuevo estado estacionario una vez que se haproducido dicha perturbacin, que correspondera con sus efectos enel largo plazo. El nuevo estado estacionario puede ser calculado

de dos formas. O bien derivamos el valor de las variables enestado estacionario respecto a la perturbacin y vemos cules son sussignos, o bien analizamos como cambian las condiciones de equilibriodinmicas, para representar su nueva solucin.

As, dados los valores de estado estacionario obtenemos que:

x1;t =

+ z1;t

+ z2;t (1.54)

x2;t =

+ z1;t +

+

+ z2;t (1.55)

Por tanto, derivando respecto a la perturbacin que se ha

producido obtenemos:

@x1;t@z1;t

=

+ < 0 (1.56)


29/216


@x2;t@z1;t =

+ > 0 (1.57)

Vemos como la derivada del valor de estado estacionario de x1;trespecto a la perturbacin es negativa, mientras que la derivada dex2;t es positiva. Esto signica que, a largo plazo, en el nuevo estadoestacionario esta perturbacin ha provocado una disminucin de x1;ty un aumento de x2;t, respecto al estado estacionario inicial. Portanto, el nuevo equilibrio se situara hacia arriba y hacia la izquierdadel punto de equilibrio inicial.

Otra forma de calcular el nuevo estado estacionario es a travsdel anlisis grco, analizando cmo cambia la solucin particularigual a cero de nuestras condiciones de equilibrio dinmicas. Taly como podemos observar, la variable exgena z1;t slo apareceen la ecuacin correspondiente a la variable endgena x1;t. Estosignica que la representacin grca para la ecuacin diferencialde la variable endgena x2;t no experimenta ninguna variacin, perosi cambia la correspondiente a x1;t, ya que cambia la constante dela misma (representada por las variables exgenas). Esto signicaque nicamente se va a producir una alteracin en la representacingrca de la condicin de equilibrio dinmica parcial de la variablex1;t, mientras que la correspondiente a la variable x2;t permanece sinalteracin.

Para conocer la nueva representacin grca de esta ecuacindiferencial, tenemos que observar el signo de la perturbacin y elsigno de una de las variables endgenas. As, vemos que el signo dez1;t es positivo. Por tanto, la ecuacin, que parta de un valor de cero,al aumentar su constante (que tiene signo positivo) se hace positiva.Para volver a representar su solucin para la cual la ecuacin escero, tenemos que volver a equilibrarla, es decir, o algo positivodentro de dicha ecuacin tiene que disminuir o algo negativo tieneque aumentar. Si observamos el signo asociado a x1;t vemos queeste es positivo, por lo que x1;t tendra que disminuir para que estaecuacin volviese a ser cero. Esto signica que ahora para cada valor

de x2;t, el valor de x1;t tiene que ser menor para que para que su valorse mantenga constante en el tiempo. En trminos grcos es comosi esta condicin de equilibrio dinmica se hubiese desplazado haciala izquierda.


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Alternativamente, podemos realizar dicho anlisis en trminos dela otra variable endgena. As, observamos que el signo asociado a

x2;t es negativo, por lo que para que esta ecuacin volviese a ser cero,esta variable tendra que aumentar (el negativo tendra que ser msgrande). Esto signica que para cada x2;t, x1;t tiene que ser menor,o alternativamente, para cada x1;t, x2;t tendra que ser mayor. Portanto, la nueva solucin la tenemos que representar a la izquierdade la que tenamos antes de que se produjese la perturbacin, tal ycomo aparece reejado en la gura 1.9.

Como podemos observar en esta gura, ahora el nuevo estadoestacionario est situado a la izquirda y arriba del estado estacionarioinicial, indicando que a largo plazo esta perturbacin va a provocarun aumento de x2;t y un adisminucin en x1;t.

6

-x1;t

x2;t

6-

?

6

-

?

@@

@@

@@

@@

@@

@@@

_x2;t = 0

_x1;t = 0

EE0EE1

x1

x2

Figura 1.9: Efecto a largo plazo de un aumento en z1;t

Una vez hemos representado grcamente el nuevo estadoestacionario, a continuacin describimos la dinmica de las variablesuna vez se ha producido la perturbacin. Esta dinmica nosva a indicar cmo se mueven las variables endgeneas a partir

de la situacin incial, es decir, del estado estacionario inicial,representando el corto y el medio plazo. Sin embargo, en este caso, ytal y como nos indica el diagrama de fases, el sistema no va a alcanzarel nuevo estado estacionario, sino que tanto x1;t como x2;t van a ir


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aumentando de forma idenida. Este resultado es consecuencia delobtenido anteriormente en trminos de la estabilidad del sistema,

segn el cual los valores propios de la matriz de coecientes asociadosa las variables endgenas eran positivos, por lo que el sistema eraglobalmente inestable, es decir, todas las trayectorias nos alejabandel estado estacionario.

6

-x1;t

x2;t

6

-

?

6

-

?

@@

@@

@

@@@

@@

@@

@

_x2;t = 0

_x1;t = 0

EE0EE1

x1

x2

Figura 1.20: Efectos a medio plazo de un aumento en z1;t


32/216

2

Modelos dinmicos bsicos

En este tema vamos a realizar una serie de ejercicios con modelosbsicos que tienen contenido econmico con el objetivo de aplicarlas tcnicas de anlisis dinmico que hemos ilustrado en el temaanterior. Los ejercicios que vamos a resolver son muy similares alos realizados en el tema 2 de AMA, pero introduciendo algunoselementos diferenciadores en las ecuaciones que denen la estructurade una economa. Se trata de ir adquiriendo prctica en la resolucin

de este tipo de modelos dinmicos, as como en la representacindel diagrama de fases para la economa resultante. El objetivoque se persigue es familiarizarse con este tipo de anlisis al tiempoque estudiar los efectos dinmicos de determinadas perturbacionesque pueden ser muy ilustrativas para conocer el comportamientode una economa y la interrelacin entre las diferentes variablesmacroeconmicas.

Tal y como veremos, los pasos a seguir y los instrumentos a utilizarson siempre los mismos en todos los casos. As, lo que importano es conocer estos modelos (pueden existir miles de variantesdistintas) sino aprender a resolverlos e interpretarlos en trminos

econmicos as como familiarizarse con el uso de los diagramas defases que constituye un elemento grco de gran utilidad a la hora deestudiar una gran variedad de problemas econmicos en un contextodinmico.


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30 2. Modelos dinmicos bsicos

EJERCICIO 2.1: Considere el siguiente sistema deecuaciones que denen una economa

mt pt = yt it (2.1)

ydt = 0 1it (2.2)

_pt = (yt yt) (2.3)

_yt = (yd

t yt) (2.4)donde m es el logaritmo de la cantidad de dinero, p ellogaritmo del nivel de precios, y el logaritmo del nivel deproduccin, y el logaritmo del nivel de produccin potencial,i el tipo de inters nominal e yd el logaritmo del nivel dedemanda.

Resuelva el modelo aplicando los 10 pasos enumeradosen el tema 2 de AMA y analice cules son los efectos de unaumento en el nivel de produccin potencial de la economa.

SOLUCIN:

Como podemos observar, el sistema de ecuaciones que denennuestra economa es muy similar al correspondiente al ejercicio 2.1del manual AMA. El modelo est compuesto de cuatro ecuaciones.La primera ecuacin determina el equilibrio en el mercado de dinero.La segunda ecuacin es la demanda agregada. La tercera ecuacindetermina la dinmica de los precios, es decir, la inacin. Porltimo, la cuarta ecuacin determina la dinmica del nivel deproduccin, es decir, del crecimiento econmico. En este caso, hemos

introducido un cambio respecto al modelo resuelto en AMA. Eneste ejercicio hemos simplicado la funcin de demanda agregada.En lugar de depender negativamente del tipo de inters real, va adepender del tipo de inters nominal. Este cambio no va a tener


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2. Modelos dinmicos bsicos 31

consecuencias sobre el comportamiento explicativo del modelo, yaque no suponemos la existencia de una tasa de crecimiento positiva

de la cantidad de dinero. En el caso en que la tasa de crecimiento dela cantidad de dinero fuese positiva, entonces no podramos realizaresta simplicacin.

En primer lugar, vamos a enumerar los 10 pasos que debemosaplicar para trabajar con este tipo de modelos y poder responder ala pregunta planteada, esto es, cules son los efectos de un aumentoen el nivel de produccin potencial. De forma esquemtica estospasos son los siguientes:

1. Variables endgenas y exgenas.

2. Denir variables endgenas de referencia

3. Obtencin de las ecuaciones diferenciales.

4. Modelo en notacin matricial.

5. Valor de las variables en estado estacionario.

6. Anlisis de estabilidad.

7. Representacin grca de las condiciones de equilibriodinmicas.

8. Diagrama de fases.

9. Senda estable.

10. Anlisis de perturbaciones.

Paso 1: Variables endgenas y exgenas: En primer lugartenemos que clasicar a las variables en funcin de si se trata devariables endgenas o bien son exgenas. Este procedimiento es,en principio, bastante sencillo. nicamente tenemos que pensarsi en nuestra economa dicha variable se determina "dentro" dela economa o bien se determina "fuera" de la economa. As,

las variables que se determinan dentro del mercado como frutode la interaccin de los distintos agentes econmicos son variablesendgenas, que son las que tenemos que determinar. Por el contrario,las variables que no se determinan dentro del funcionamiento de los


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mercados como resultado de la interaccin de los distintos agenteseconmiso o son determinadas por un slo agente econmico, son

variables exgenas. Esto es lo que sucede con las variables que sondeterminadas a travs de la poltica econmica.Las variables que aparecen en el modelo son las siguientes seis:

1. Cantidad de dinero (exgena)

2. Precios (endgenos)

3. Nivel de produccin potencial (exgeno)

4. Tipo de inters nominal (endgeno)

5. Nivel de demanda (endgeno)

6. Nivel de produccin (endgeno)

Tal y como podemos observar, tenemos cuatro variables endgenasy dos variables exgenas, por lo que podemos resolver el sistema.Tambin vamos a considerar como varaible exgena el componenteautnomo de la demanda agregada, 0, que lo vamos a identicarcomo el gasto pblico.

Paso 2: Variables endgenas de referencia: En segundolugar, denimos las variables endgenas de referencia, que son las

nicas variables en trminos de las cuales vamos a representarnuestra economa. Podemos elegir como variable endgenacualquiera de las variables endgenas de nuestra economa, u otrasvariables endgenas que sean funcin de alguna de las endgenas. Eneste caso, el enunciado del problema no nos especica que variablesendgenas vamos a usar para describir nuestra economa, por lo queescogemos directamente las dos variables endgenas para las cualestenemos una ecuacin dinmica. Esto es:

1. Nivel de precios

2. Nivel de produccin

Paso 3: Ecuaciones diferenciales: Para obtener las dosecuaciones dinmicas que van a representar nuestra economa,


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necesitamos comprimir la informacin de las cuatro ecuaciones denuestro sistema en slo dos. Para ello hemos de resolver para las

variables endgenas que no van a ser de referencia, esto es, el tipode inters nominal y el nivel de demanda agregada. As, tenemosque calcular el valor de estas variables en funcin de las variablesendgenas de referencia y de las exgenas. Una vez que tenemos susvalores, sustituimos dichos valores en las ecuaciones (2.3) y (2.4).

Despejamos el tipo de inters nominal de la ecuacin (2.1):

it = 1

(mt pt yt) (2.5)

Sustituimos (2.5) en (2.2):

ydt = 0 1 yt +1

(mt pt) (2.6)

Sustituyendo la expresin (2.6) en la ecuacin dinmica del nivelde produccin (expresin 2.4):

_yt =

0

1

yt +

1

(mt pt) yt

_yt =

0 (

1

+ 1)yt +

1

(mt pt)

Por tanto, ya tenemos nuestras dos ecuaciones diferenciales, ya

que la correspondiente al nivel de precios, no necesita ningunatransformacin al ser una funcin de las variables endgenas dereferencia y de variable exgenas.

Paso 4: Modelo en notacin matricial: Una vez quetenemos nuestra dos ecuaciones diferenciales, escribimos el modeloen notacin matricial con el objetivo de identicar la matriz decoecientes asociados a las variables endgenas, ya que vamos a tenerque trabajar con esta matriz. Las dos ecuaciones diferenciales denuestro modelo son:

_pt = (yt yt)

_yt =

0 +

1

(mt pt) ( 1

+ 1)yt


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Puestas en notacin matricial resultara:

_pt_yt

=

0

1 (1 + 1)

ptyt

+

0 0

1 0

24 0mtyt

35

Paso 5: Clculo de los valores de estado estacionario: Paracalcular el valor de las variables en Estado Estacionario, invertimosla matriz A, la multiplicamos por -1, multiplicamos por la matriz By multiplicamos por el vector de variables exgenas, es decir:

ptyt

= A1Bzt =

"( 1 + 1)

1 0

#1

0 0

1 0

24 0mtyt

35donde

A= 0 1 (1 + 1) B =

0 0

1 0

zt =

24 0mtyt

35Comenzamos invirtiendo la matriz A. Para ello, en primer lugar

calculamos la adjunta de la matriz A, siendo:

adj(A)= ( 1 + 1) 1

0

Su traspuesta es:


38/216


adj(A)0=" (1 + 1)

1 0 #

siendo su determinante:

j A j =1

por lo que el negativo de la inversa de A es:

A1=

1

"(1 + 1)

1 0

#o bien:

Por tanto obtenemos que:

ptyt

= A1Bzt =

1

"(1 + 1)

1 0

#

0 0 1 0

24 0mtyt

35y multiplicando las matrices A1B se obtiene:

ptyt = A1Bzt =

1" 1 (1 + 1)

0 0 1#24 0mt

yt

35Finalmente obtenemos los valores de las variables en estado

estacionario:

pt =01

+ mt ( + 1

)yt

yt = yt

Paso 6: Anlisis de estabilidad: A continuacin analizamosla estabilidad del sistema, calculando el signo de los valores propiosasociados a la matriz de coecientes de las variables endgenas. Paraello tenemos que calcular el siguiente determinante:


39/216


Det 0 1

(1 + 1) = 0

cuyo resultado es la siguiente ecuacin:

2 +

(

1

+ 1)

+

1

= 0

Resolviendo obtenemos que los valores propios son los siguientes:

1; 2 =(1 + 1)

rh(

1 + 1)

i2 41

2

Tal y como podemos observar el signo dentro de la raiz cuadradaes negativo, por lo que al resolver esta raz cuadrada lo que quedaes menor que el primer trmino. Dado que el primer trmino esnegativo, resulta que ambas araces seran negativas. En efecto:negativo ms algo ms pequeo, negativo y negativo menos algoms pequeo, negativo. Por tanto, existira estabilidad global, esdecir, todas las trayectorias nos conduciran al estado estacionario

Paso 7: Representacin grca: A continuacin,representamos grcamente las dos condiciones de equilibriodinmicas, o ms exactamente, aquella solucin para la cual lasecuaciones valen cero. Esto tambin nos va a permitir describir elcomportamiento de las variables endgenas fuera de su equilibriorespectivo. Dado que las ecuaciones diferenciales son lineales lonico que tenemos que hacer es calcular su pendiente. Para ellolo que hacemos es igualar a cero cada ecuacin (equilibrio dinmicoparcial) y despejar la variable que colocamos en el eje vertical enfuncin de la variable que colocamos en el eje horizontal. Vamos arepresentar al nivel de precios en el eje vertical, mientras que en eleje horizontal vamos a representar al nivel de produccin. Por tanto,despejaramos el nivel de precios en trminos del nivel de produccinen cada ecuacin. As por ejemplo, respecto a la primera ecuacintenemos:

_pt = (yt yt) = 0Despejando el nivel de precios obtenemos:


40/216


0pt = yt yt

pt =

0yt

0yt

Con respecto a la segunda ecuacin tendramos:

_yt =

0 +

1

(mt pt) ( 1

+ 1)yt

= 0

De nuevo, despejando el nivel de precios obtenemos:

1

pt =

0 +

1

mt ( 1

+ 1)yt

pt =h

0 +1 mt (1 + 1)yti

1

Por tanto, nicamente tendramos que derivar el nivel de preciosrespecto al nivel de produccin en cada ecuacin, por lo que lapendiente en este caso sera igual al coeciente que multiplica alnivel de produccin.

La pendiente de la ecuacin diferencial de la primera variableendgena (nivel de precios), bajo la restriccin de que la derivadacon respecto al tiempo de esta variable es cero, es:

dptdyt

j _pt=0= 0 = 1

La pendiente de la ecuacin diferencial de la segunda variableendgena (nivel de produccin), bajo la restriccin de que la derivadacon respecto al tiempo de esta variable es cero, sera:

dptdyt

j _yt=0=(1 + 1)

1

< 0

dado que por el anlisis de estabilidad sablemos que el numeradorde esta expresin es negativo.

Por tanto, la presentacin grca de la condicin de equilibrioparcial para el nivel de precios es una lnea vertical. Esto signicaque para que exista equilibrio parcial del nivel de precios, es decir,para que los precios sean constantes, lo nico que se requiere es que


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el nivel de produccin sea igual a su nivel potencial, sin importar elnivel de precios de la economa.

A continuacin, representamos grcamente el comportamientodel nivel de precios en situacin de desequilibrio. Tal y comopodemos observar a la derecha de esta condicin de equilibriodinmica, el nivel de produccin es superior al potencial, por lo queesta ecuacin sera positiva, indicando que los precios aumentan.Por el contrario, a la izquierda el nivel de produccin es inferioral potencial, por lo que los precios disminuiran. En efecto, ala derecha de esta condicin de equilibrio dinmica el nivel deproduccin de la economa es superior a su nivel potencial, por loque las empresas estaran produciendo por encima de su capacidadproductiva, lo que se traducira en tensiones inacionistas. Por el

contrario, a la izquierda de esta condicin de equilibrio dinmica, elnivel de produccin es inferior al potencial, es decir, las empresasestn produciendo por debajo de su capacidad productiva, lo que setraducira en disminuciones en los precios, tal y como viene descritopor la ecuacin (2.4).

La representacin grca de la condicin de equilibrio parcial parael nivel de produccin tiene pendiente negativa, indicando que paraque el nivel de produccin permanezca constante se requiere que si losprecios son muy altos el nivel de produccin sea muy bajo, mientrasque si el nivel de precios es muy bajo, el nivel de produccin deberaser muy alto.

De nuevo, calculamos el comportamiento de esta variable ensituacin de desequilibrio. As, a la derecha de esta condicinde equilibrio dinmica, dado un nivel de produccin, los preciosson muy elevados. Dado que el nivel de precios aparece en estaecuacin con signo negativo, esto quiere decir que dicha ecuacinsera negativa, por lo que disminuira el nivel de produccin. Porel contrario, a la izquierda, dado un nivel de produccin los preciosseran muy bajos, por lo que aumentara el nivel de produccin. Entrminos de desequilibrio entre la oferta y la demanda agregada, lospuntos situados a la derecha de esta condicin de equilibrio dinmicose corresponden con situaciones de exceso de oferta, mientras quelos puntos situados a la izquierda reejan situaciones de exceso de

demanda.


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6

-y

p

6

?

_pt = 0

dptdyt

j _pt=0= 0 = 1

y

Figura 2.1: Condicin de equilibrio dinmica parcial para el nivelde precios

6

-y

p

-

@@

@@

@@@

@@

@@

@@

_yt = 0

dpt

dyt j_yt=0=

11

1=< 0

Figura 2.2: Condicin de equilibrio dinmica parcial para el nivelde produccin


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Paso 8: Diagrama de fases: El diagrama de fases hacereferencia a la representacin grca de nuestra economa, tal y como

viene descrita por nuestro sistema de ecuaciones diferenciales. Paraello lo que hacemos es representar ambas condiciones de equilibriodinmicas de forma conjunta, junto con el comportamiento decada variable en situacin de desequilibro. De este modo tenemosrecogida en un mismo grco toda la informacin relevante denuestra economa. A partir de esta representacin grca podemosdeterminar el Estado Estacionario, es sera el punto de equilibrio denuestra economa en trminos de precios y de nivel de produccin,as como los diferentes tipos de desequilibrios que pueden existir entrminos de estas dos variables as como el comportamiento de estasdos variables en desequilibrio.

6

-y

p

6-

?6

-

?

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@_yt = 0

_pt = 0

EE0

y

p

Figura 2.3: Diagrama de fases del modelo

Tal y como podemos observar en la representacin grca denuestra economa (segn el modelo planteado) nos encontramoscon la existencia de cuatro diferentes situaciones de desequilibrio

posibles:

Exceso de demanda con sobreproduccin (los precios aumentany el nivel de produccin aumenta).


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Exceso de oferta con sobreproduccin (los precios aumentan yel nivel de produccin disminuye).

Exceso de oferta e infraproduccin (los precios disminuyen y elnivel de produccin disminuye).

Exceso de demanda e infraproduccin (los precios disminuyeny el nivel de produccin disminuye).

Paso 9: Senda Estable: La senda estable hace referencia aaquellas trayectorias que nos llevan al estado estacionario. En estecaso obtenemos que existe estabilidad global, por lo que todas lastrayectorias conducen al estado estacionario. Por tanto en estecaso no existira la senda estable, ya que como podemos comprobar,

todas las trayectorias del modelo son estables y nos llevan al estadoestacionario, bien de forma directa o bien de forma asinttica, esdecir, no nos conducen directamente al estado estacionario sino quevamos pasando de un tipo de desequilibrio a otro (ciclos econmicos)aunque cada vez ms cerca del estado estacionario.

Paso 10: Anlisis de perturbaciones: Finalmente,procedemos a utilizar nuestro modelo para el anlisis deperturbaciones. En particular, vamos a analizar cules son los efectosa lo largo del tiempo de un aumento en el nivel de produccinpotencial. Esto equivale a preguntarnos por las implicacioneseconmicas de un aumento en la tecnologa, que es el elemento

determinante del nivel de produccin potencial de una economa (almargen de la disposicin de recursos productivos)

Tal y como podemos comprobar, el nivel de produccinpotencial aparece en ambas ecuaciones diferenciales, por lo que surepresentacin grca va a cambiar, dado que se altera la constantede las mismas, indicando que ambas variables van a verse afectadasa largo plazo por esta perturbacin, por lo que la situacin actual yano la podemos considerar de equilibrio.

Vamos a suponer que el punto de partida de nuestra economaes el reejado en la gura 2.3, representado por el punto EE0. Alproducirse la perturbacin, la economa sigue estando situada en este

punto ya que ambas variables son rgidas a corto plazo, si bien dichopunto ya no es el estado estacionario de la economa. Por tanto, loprimero que tenemos que hacer es representar grcamente el nuevoestado estacionario.


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El nuevo estado estacionario lo podemos calcular nicamente entrminos grcos o bien tambin podemos calcularlo en trminos de

la variacin que experimentan las variables en estado estacionario.Tal y como podemos comprobar, la condicin de equilibriodinmica para el nivel de precios tenemos que dibujarla ms a laderecha, justo en aquel punto que corresponda al nuevo nivel deproduccin potencial de la economa. En efecto, al aumentar el nivelde produccin potencial esta ecuacin se hace negativa, por lo quepara que vuelva a ser cero tiene que aumentar el nivel de produccin.

Por otra parte, el nivel de produccin potencial tambin tienesigno negativo en la condicin de equilibrio dinmica para el nivelde produccin, por lo que tambin se hace negativa esta ecuacin.Dado que el signo asociado al nivel de precios en esta ecuacin es

negativo, esto quiere decir que el nivel de precios tiene que disminuirpara que esta ecuacin vuelva a ser cero. Es decir, para cada nivelde produccin el nivel de precios tiene que ser inferior, por lo queahora tendramos que representarla hacia la izquierda.

6

-y

p

6-

?

6

-

?

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@_yt = 0

_pt = 0

EE0

EE1

y

p

Figura 2.4: Efecto a largo plazo de un aumento del nivel de

produccin potencial

Otra forma de calcular el nuevo estado estacionario consiste enanalizar cmo cambian el valor de las variables en estado estacionario


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ante la perturbacin que se ha producido. Los valores de estadoestacionario del nivel de precios y del nivel de produccin son:

pt =01

+ mt yt

yt = yt

Derivando respecto al nivel de produccin potencial obtenemos:

dptdyt

= < 0

dytdyt

= 1

esto es, el nivel de produccin de estado estacionario aumentaen la misma proporcin que el nivel de produccin potencial,mientras que el nivel de precios disminuye. Por tanto, el nuevoestado estacionario debera estar a la derecha y abajo repecto alestado estacionario inicial. Una vez represetado el nuevo estadoestacionario, describimos la dinmica de la economa, es decir, cmopasa la economa del punto EE0 al nuevo estado estacionario EE1.Como podemos observar, en primer lugar se produce una disminucintanto de los precios como del nivel de produccin, por lo que iramosdesplazndonos hacia abajo y hacia la izquierda, hasta alcanzar lacondicin de equilibrio dinmica parcial del nivel de produccin. La

explicacin de que disminuyan los precios es que en esta situacinel nivel de produccin es inferior al potencial. La explicacin deque disminuya el nivel de produccin es que se ha producido unexceso de oferta, dado que con la nueva tecnologa los precios sonexcesivamente altos. A partir del momento en que alcancemosla condicin de equilibrio parcial para el nivel de produccin, losprecios continuaran disminuyendo (infraproduccin), pero el nivelde produccin aumentara, ya que pasaramos a una situacin deexceso de demanda. Este aumento en el nivel de produccin nosllevara a alcanzar el nivel de produccin potencial, momento enel cual los precios seran constantes, pero el nivel de produccin

continuara aumentando, por lo que pasaramos a una situacinen la cual el nivel de produccin sera superior al potencial(sobreproduccin), lo que a su vez provocara aumentos en el nivelde precios, mientras se mantiene el exceso de demanda.


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Esta situacin nos llevara a alcanzar de nuevo la condicinde equilibrio dinmica para el nivel de produccin (equilibrio en

el mercado de bienes). Sin embargo, en esta situacin existirasobreproduccin, por lo que los precios aumentaran, pasando denuevo a una situacin de desequilibrio en la cual continuaraexistiendo sobreproduccin al tiempo que un exceso de oferta. Estoprovocara que mientras los precios estn aumentando la produccinest disminuyendo hasta que de nuevo alcanzamos la condicin deequilibrio dinmica para los precios. En este momento, el nivelde produccin vuelve a ser el potencial, pero como seguimos enuna situacin de exceso de oferta, la produccin disminuye, por loque volveramos a una situacin similar a la inicial (mismo tipo dedesequilibrio: infraproduccin con exceso de oferta), pero en la cual

estamos ms cerca del nuevo estado estacionario. De nuevo volveraa comenzar todo el proceso descrito anteriormente.

6

-y

p

6-

?

6

-

?

@@

@@

@@

@

@@@

@@

@_yt = 0

_pt = 0

EE0

EE1

y

p

1B

BBBBM

J

JJJJ^

Figura 2.5: Efectos dinmicos de un aumento en el nivel deproduccin potencial

Tal y como podemos comprobar, estaramos movindonos

alrededor del nuevo estado estacionario, dado que las trayectoras delmodelo son estables, es decir, nos conducen al estado estacionario.La economa continuara pasando de un desequilibrio a otro, perocon desequilibrios cada vez ms pequeos.


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EJERCICIO 2.2: Considere el siguiente sistema deecuaciones

mt pt = yt it (2.7)

ydt = 0 1(it _pet ) (2.8)

_pt = (yt yt) + _mt (2.9)

_yt = (ydt yt) (2.10)donde m es el logaritmo de la cantidad de dinero, p ellogaritmo del nivel de precios, y el logaritmo del nivelde produccin, yd el logaritmo del nivel de demanda, yel logaritmo del nivel de produccin potencial e i el tipode inters nominal. Suponga que existe previsin perfecta.Resuelva el modelo, calculando las condiciones de equilibriodinmicas para las variables endgenas de referencia(salarios reales y nivel de produccin), estabilidad delsistema, representacin grca y anlisis de cules son los

efectos de un aumento en el nivel de produccin potencialde la economa.

SOLUCIN:

Como podemos observar, el sistema de ecuaciones que denennuestra economa es muy similar al correspondiente al ejercicio 2.3.del manual AMA. Tal y como hemos visto en AMA, este es el modeloms simple que podemos utilizar para describir una economa. En

este caso, hemos introducido un cambio respecto a la versin anterior.En la ecuacin de equilibrio del mercado de dinero, los saldos realesdependen positivamente del nivel de produccin potencial de laeconoma (cuando antes dependan del nivel de produccin). Por


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2. Precios (endgenos)3. Nivel de produccin potencial (exgeno)


5. Nivel de demanda (endgeno)


Tal y como podemos observar, tenemos cuatro variables endgenasy dos variables exgenas (al margen del componente autnomo de

la demanda agregada que representa el gasto pblico), por lo quepodemos resolver el sistema.

Paso 2: Variables endgenas de referencia: En segundolugar, denimos nuestras variables endgenas de referencia, queson las nicas variables en trminos de las cuales vamos arepresentar nuestra economa. Podemos elegir como variableendgena cualquiera de las variables endgenas de nuestra economa,u otras variables endgenas que sean funcin de alguna de lasendgenas de nuestra economa. En este caso, el enunciado delproblema no nos especica que variables endgenas vamos a usar

para describir nuestra economa, por lo que escogemos directamentelas dos variables endgenas para las cuales tenemos una ecuacindinmica. Esto es:

1. Nivel de precios

2. Nivel de produccin

Paso 3: Ecuaciones diferenciales: Para obtener las dosecuaciones dinmicas que van a representar nuestra economa,necesitamos comprimir la informacin de las cuatro ecuaciones de

nuestro sistema en slo dos. Para ello hemos de resolver para lasvariables endgenas que no van a ser de referencia, esto es, el tipode inters nominal y el nivel de demanda agregada. As, tenemosque calcular el valor de estas variables en funcin de las variables


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endgenas de referencia y de las exgenas. Una vez que tenemos susvalores, sustituimos dichos valores en las ecuaciones (2.9) y (2.10).

Despejamos el tipo de inters nominal de la ecuacin (2.7):

it = 1

(lt yt) (2.11)Sustituimos (2.11) en (2.8):

ydt = 0 1(

yt

1

lt _pet )

Aplicamos previsin perfecta ( _pt = _pet):

ydt = 0 1

yt +

1

lt + 1 _pt

Sustituyendo en la ecuacin dinmica del nivel de produccin(expresin 2.10):

_yt =

0

1

yt +

1

lt + 1 _pt yt

Sustituyendo en la expresin anterior la dinmica del nivel deprecios resulta:

_yt =

0

1

yt +

1

lt + 1 [(yt yt) + _mt] yt

y reordenando trminos obtenemos que las dos ecuacionesdiferenciales del modelo son:

_yt =

0 (1 +

1

)yt +

1

lt + (1 1)yt + 1 _mt

_lt = (yt yt)Por tanto, ya tenemos nuestras dos ecuaciones diferenciales, ya

que la correspondiente al nivel de precios, no necesita ningunatransformacin al ser una funcin de las variables endgenas de

referencia y de variable exgenas.

Paso 4: Modelo en notacin matricial: Una vez quetenemos nuestra dos ecuaciones diferenciales, escribimos el modelo


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en notacin matricial con el objetivo de identicar la matriz decoecientes asociados a las variables endgenas, ya que vamos a tener

que trabajar con esta matriz. Las dos ecuaciones diferenciales denuestro modelo son:

_lt = (yt yt)

_yt =

0 (1 +

1

)yt +

1

lt + (1 1)yt + 1 _mt

Puestas en notacin matricial resultara:

_lt_yt

=

0 1 (1 1)

ltyt

+

0 0

1 (1 + 1 )24 0_mt

yt

35

Paso 5: Clculo de los valores de estado estacionario: Paracalcular el valor de las variables en Estado Estacionario, invertimosla matriz A, la multiplicamos por -1, multiplicamos por la matriz By multiplicamos por el vector de variables exgenas, es decir:

ltyt

= A1Bzt =

0

1 (1 1)

1

0 0

1 (1 + 1 )24 0_mt

yt

35donde

A= 0

1 (1 1)

B =

0 0

1 (1 + 1 )


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zt = 240

_mtyt35

Comenzamos invirtiendo la matriz A. Para ello, en primer lugarcalculamos la adjunta de la matriz A, siendo:

adj(A)=

(1 1) 1

0

Su traspuesta es:

adj(A)0=

(1 1)

1 0

siendo su determinante:

j A j = 1

por lo que el negativo de la inversa de A es:

A1= 1

(1 1)

1 0

o bien:

A1="

(11)1

11 0 #

Por tanto obtenemos que:

ltyt

= A1Bzt =

"(11)

1 1

1 0

#

0 0

1 (1 + 1 )24 0_mt

yt

35y multiplicando las matrices

A1B se obtiene:

ltyt

= A1Bzt =

"1

( 1 + )0 0 1

#24 0_mtyt

35


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Finalmente obtenemos los valores de las variables en estadoestacionario:

lt =01

+ _mt ( 1

+ )yt

yt = yt

Paso 6: Anlisis de estabilidad: A continuacin analizamosla estabilidad del sistema, calculando el signo de los valores propiosasociados a la matriz de coecientes de las variables endgenas. Paraello tenemos que calcular el siguiente determinante:

Det 0 1 (1 1) = 0cuyo resultado es la siguiente ecuacin:

2 [(1 1)] +1

= 0

Resolviendo obtenemos que los valores propios son los siguientes:

1; 2 =(1 1)

q[(1 1)]2 41

2

Tal y como podemos observar el signo dentro de la raiz cuadrada

es negativo, por lo que al resolver esta raz cuadrada lo que quedaes menor que el primer trmino. Si (1 1) > 0 entonces tenemosque el primer trmino es positivo. Positivo ms algo ms pequeo,positivo. Positivo menos algo ms pequeo, positivo. Por tanto eneste caso ambas races seran positivas. Si (1 1) < 0 entoncestenemos que el primer trmino es negativo. Negativo ms algo mspequeo, negativo. Negativo menos algo ms pequeo, negativo. Portanto en este caso ambas races seran negativas.

Por tanto, nicamente sera posible el segundo caso, lo queimplicara que 1 < 1, por lo que existira estabilidad global, esdecir, todas las trayectorias nos conduciran al estado estacionario

Paso 7: Representacin grca: A continuacin,representamos grcamente las dos condiciones de equilibriodinmicas, o ms exactamente, aquella solucin para la cual las


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ecuaciones valen cero. Esto tambin nos va a permitir describir elcomportamiento de las variables endgenas fuera de su equilibrio

respectivo. Dado que las ecuaciones diferenciales son lineales lonico que tenemos que hacer es calcular su pendiente. Para ellolo que hacemos es igualar a cero cada ecuacin (equilibrio dinmicoparcial) y despejar la variable que colocamos en el eje vertical enfuncin de la variable que colocamos en el eje horizontal. Vamos arepresentar al nivel de saldos reales en el eje vertical, mientras queen el eje horizontal vamos a representar al nivel de produccin. Portanto, despejaramos el nivel de saldos reales en trminos del nivel deproduccin en cada ecuacin. As por ejemplo, respecto a la primeraecuacin tenemos:

lt = (yt yt) = 0Despejando el nivel de saldos reales obtenemos:

0lt = yt + yto equivalentemente:

lt = 0

yt +

0yt

Con respecto a la segunda ecuacin tendramos:

_yt = 0 + (1 1)yt + 1 lt (1 + 1 )yt + 1 _mt = 0De nuevo, despejando el nivel de saldos reales obtenemos:

1

lt = 0 + (1 1)yt (1 +1

)yt + 1 _mt

o equivalentemente:

lt = 01

(1 1)1

yt +(1 +

1 )

1yt _mt

Por tanto, nicamente tendramos que derivar el nivel de preciosrespecto al nivel de produccin en cada ecuacin, por lo que lapendiente en este caso sera igual al coeciente que multiplicaal nivelde produccin.


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La pendiente de la ecuacin diferencial de la primera variableendgena (nivel de saldos reales), bajo la restriccin de que la

derivada con respecto al tiempo de esta variable es cero, es innito:

dltdyt

j _lt=0=

0= 1

La pendiente de la ecuacin diferencial de la segunda variableendgena (nivel de produccin), bajo la restriccin de que la derivadacon respecto al tiempo de esta variable es cero, sera:

dltdyt

j _yt=0= (1 1)

1> 0

y dado que por el anlisis de estabilidad sablemos que el numeradorde esta expresin es negativo, la pendiente sera positiva.

Por tanto, la presentacin grca de la condicin de equilibrioparcial para los saldos reales es una lnea vertical. Esto signica quepara que exista equilibrio parcial de los saldos reales, es decir, paraque stos sean constantes, lo nico que se requiere es que el nivel deproduccin sea igual a su nivel potencial, sin importar el nivel desaldos reales de la economa.

A continuacin, representamos grcamente el comportamientode los saldos reales en situacin de desequilibrio (gura 2.6). Tal ycomo podemos observar a la derecha de esta condicin de equilibrio

dinmica, el nivel de produccin es superior al potencial, por loque esta ecuacin sera positiva, indicando que los precios aumentany, por tanto, los saldos reales disminuyen. Por el contrario, a laizquierda el nivel de produccin es inferior al potencial, por lo quelos precios disminuiran y los saldos reales aumentaran.

En efecto, a la derecha de esta condicin de equilibrio dinmica elnivel de produccin de la economa es superior a su nivel potencial,por lo que las empresas estaran produciendo por encima de sucapacidad productiva, lo que se traducira en tensiones inacionistasque reduciran la liquidez. Por el contrario, a la izquierda de estacondicin de equilibrio dinmica, el nivel de produccin es inferior alpotencial, es decir, las empresas estn produciendo por debajo de sucapacidad productiva, lo que se traducira en disminuciones en losprecios y, por tanto, aumentos en la liquidez.


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6

-y

l

?

6

_lt = 0

dltdyt

j _lt=0=0 = 1

y

Figura 2.6: Condicin de equilibrio dinmica parcial para los saldosreales

La representacin grca de la condicin de equilibrio parcial parael nivel de produccin tiene pendiente positiva, indicando que paraque el nivel de produccin permanezca constante se requiere que silos saldos reales son muy bajos el nivel de produccin tambin tieneque ser muy bajo, mientras que si el nivel de saldos reales es alto, elnivel de produccin debera ser tambin alto (gura 2.7).

De nuevo, calculamos el comportamiento de esta variable ensituacin de desequilibrio. As, a la derecha de esta condicinde equilibrio dinmica, dado un nivel de produccin, los saldosreales son muy bajos. Dado que los saldos reales aparecen en estaecuacin con signo positivo, esto quiere decir que dicha ecuacinsera negativa, por lo que disminuira el nivel de produccin. Por elcontrario, a la izquierda, dado un nivel de produccin los saldos realesseran muy altos, por lo que aumentara el nivel de produccin. Entrminos de desequilibrio entre la oferta y la demanda agregada, lospuntos situados a la derecha de esta condicin de equilibrio dinmicose corresponden con situaciones de exceso de oferta, mientras que

los puntos situados a la izquierda reejan situaciones de exceso dedemanda.


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6

-y

l

-

_yt = 0

dltdyt

j _yt=0= 111= > 0

Figura 2.7: Condicin de equilibrio dinmica parcial para el nivelde produccin

Paso 8: Diagrama de fases: El diagrama de fases hacereferencia a la representacin grca de nuestra economa, tal y comoviene descrita por nuestro sistema de ecuaciones diferenciales. Paraello lo que hacemos es representar ambas condiciones de equilibriodinmicas de forma conjunta, junto con el comportamiento de

cada variable en situacin de desequilibro. De este modo tenemosrecogida en un mismo grco toda la informacin relevante denuestra economa. A partir de esta representacin grca podemosdeterminar el Estado Estacionario, es sera el punto de equilibriode nuestra economa en trminos de los saldos reales y de nivel deproduccin, as como los diferentes tipos de desequilibrios que puedenexistir en trminos de estas dos variables as como el comportamientode estas dos variables en desequilibrio.

Tal y como podemos observar en la representacin grca denuestra economa (segn el modelo planteado) nos encontramoscon la existencia de cuatro diferentes situaciones de desequilibrio

posibles:

Exceso de demanda con sobreproduccin (los saldos realesdisminuyen y el nivel de produccin aumenta).


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Exceso de oferta con sobreproduccin (los saldos realesdisminuyen y el nivel de produccin disminuye).

Exceso de oferta e infraproduccin (los saldos reales aumentany el nivel de produccin disminuye).

Exceso de demanda e infraproduccin (los saldos realesaumentan y el nivel de produccin aumenta).

6

-y

l

6-

?6

-

?

_yt = 0

_lt = 0

EE0

y

l

Figura 2.8: Diagrama de fases del modelo

Paso 9: Senda Estable: La senda estable hace referencia aaquellas trayectorias que nos llevan al estado estacionario. En estecaso obtenemos que existe estabilidad global, por lo que todas lastrayectorias conducen al estado estacionario. Por tanto en este casono existira la senda estable, ya que como podemos comprobar, todaslas trayectorias del modelo nos llevan al estado estacionario.

Paso 10: Anlisis de perturbaciones: Finalmente,procedemos a utilizar nuestro modelo para el anlisis de

perturbaciones. En particular, vamos a analizar cules son los efectosa lo largo del tiempo de un aumento en el nivel de produccinpotencial. Esto equivale a preguntarnos por las implicacioneseconmicas de un aumento en la tecnologa, que es el elemento


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determinante del nivel de produccin potencial de una economa (almargen de la disposicin de recursos productivos)

Tal y como podemos comprobar, el nivel de produccinpotencial aparece en ambas ecuaciones diferenciales, por lo que surepresentacin grca va a cambiar, dado que se altera la constantede las mismas, indicando que ambas variables van a verse afectadasa largo plazo por esta perturbacin, por lo que la situacin actual yano la podemos considerar de equilibrio.

Vamos a suponer que el punto de partida de nuestra economa esel reejado en la siguiente gura, representado por el punto EE0.Al producirse la perturbacin, la economa sigue estando situada eneste punto ya que ambas variables son rgidas a corto plazo, si biendicho punto ya no es el estado estacionario de la economa.

El nuevo estado estacionario lo podemos calcular en trminosgrcos o bien tambin podemos calcularlo analticamente, entrminos de la variacin que experimentan las variables en estadoestacionario. No obstante, en este caso tenemos que calcularlo de lasdos formas, ya que como veremos ambas condiciones de equilibriodinmicas cambian en la misma direccin.

En primer lugar, la condicin de equilibrio dinmica para el nivelde saldos reales tenemos que dibujarla ms a la derecha, justo enaquel punto que corresponda al nuevo nivel de produccin potencialde la economa. En efecto, al aumentar el nivel de produccinpotencial esta ecuacin se hace positiva, por lo que para que vuelvaa ser cero tiene que aumentar el nivel de produccin.

Por otra parte, el nivel de produccin potencial tambin tienesigno negativo en la condicin de equilibrio dinmica para el nivel deproduccin, por lo que tambin se hace negativa esta ecuacin. Dadoque el signo asociado al nivel de precios en esta ecuacin es negativo,esto quiere decir que el nivel de precios tiene que disminucir paraque esta ecuacin vuelva a ser cero. Es decir, para cada nivel deproduccin el nivel de precios tiene que ser inferior, por lo que ahoratendramos que representarla hacia la izquierda.

Otra forma de calcular el nuevo estado estacionario consiste enanalizar cmo cambian el valor de las variables en estado estacionarioante la perturbacin que se ha producido. Los valores de estado

estacionario del nivel de precios y del nivel de produccin son:

lt =01

+ _mt + (

1+ )yt


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Como podemos observar, la economa se encuentra en unasituacin que est a la izquierda y hacia abajo del nuevo estado

estacionario. En esta zona el diagrama de fases nos indica que tantoel nivel de produccin como los saldos reales tienen que aumentar,como consecuencia del aumento en el nivel de produccin potencialde la economa

En primer lugar se produce un aumento tanto de los saldos realescomo del nivel de produccin, por lo que iramos desplazndonoshacia arriba y hacia la derecha, justo en la direccin hacia el nuevoestado estacionario. Por tanto, en ese caso podramos alcanzar elnuevo estado estacionario de forma directa, o bien, si los saldosreales aumentan mucho ms rapidamente de lo que hace el nivelde produccin entonces la convergencia sera asinttica.

En el caso de que la trayectorias fuesen asintticas, tendramosque nos desplaramos hacia la derecha y hacia arriba, hasta alcanzarla condicin de equilibrio dinmica parcial de los saldos reales. Enesta situacin continuara existiendo exceso de demanda, por lo queel nivel de produccin continuara aumentando. La explicacin deque aumenten los saldos reales (disminuyan los precios) es que enesta situacin el nivel de produccin es inferior al potencial. Laexplicacin de que aumente el nivel de produccin es que se haproducido un exceso de demanda, dado que con la nueva tecnologala liquidez de la economa ha aumentado. Seguidamente pasamosa una situacin en la cual la produccin sigue aumentando perocomienza a disminuir el nivel de saldos reales, ya que pasamos a unasituacin de sobreproduccin. As, nos movemos hacia abajo y ala derecha, hasta alcanzar la condicin de equilibrio dinmica parael nivel de produccin. A partir del momento en que alcancemosla condicin de equilibrio parcial para el nivel de produccin, losprecios continuaran aumentando (sobreproduccin), pero el nivelde produccin comenzara a disminuir, ya que pasaramos a unasituacin de exceso de oferta. Esta disminucin en el nivel deproduccin nos llevara a alcanzar el nivel de produccin potencial,momento en el cual los saldos reales seran constantes, pero el nivel deproduccin continuara disminuyendo, por lo que pasaramos a unasituacin en la cual el nivel de produccin sera inferior al potencial

(infraproduccin), lo que a su vez provocara disminucin en el nivelde precios y aumento en los saldos reales.


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Esta situacin nos llevara a alcanzar de nuevo la condicinde equilibrio dinmica para el nivel de produccin (equilibrio en

el mercado de bienes). Sin embargo, en esta situacin existirainfraproduccin, por lo que los saldos reales aumentaran, pasandode nuevo a una situacin de desequilibrio en la cual existirainfraproduccin al tiempo que un exceso de demanda. Estoprovocara que mientras los precios estn disminuyendo (saldos realesaumentando) la produccin est aumentando hasta que de nuevoalcanzamos la condicin de equilibrio dinmica para los saldos reales.En este momento, el nivel de produccin vuelve a ser el potencial,pero como seguimos en una situacin de exceso de demanda, laproduccin aumenta y de nuevo volvera a comenzar todo el procesodescrito anteriormente.

6

-y

l 6-

?6

-

?

_yt = 0

_lt = 0

EE0

EE1

y

l

I

@@R

Figura 2.10: Efectos dinmicos de un aumento en el nivel deproduccin potencial

Tal y como podemos comprobar, estaramos movindonosalrededor del nuevo estado estacionario, dado que las trayectoras delmodelo son estables, es decir, nos conducen al estado estacionario.

La economa continuara pasando de un desequilibrio a otro, perocon desequilibrios cada vez ms pequeos.


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EJERCICIO 2.3: Considere una economa determinadapor las siguientes ecuaciones:

mt pt = yt it (2.12)

yt = 0 + 1(st pt +pt ) + 2yt 3it (2.13)

_pt = (yt yt) (2.14)

_se = it it (2.15)donde m es el logaritmo de la cantidad de dinero, p ellogaritmo del nivel de precios, y el logaritmo del nivel deproduccin, y el logaritmo del nivel de produccin potencial,s el tipo de cambio nominal, i el tipo de inters nominalnacional e i el tipo de inters nominal del exterior.

Resuelva el modelo y analice cules son los efectos de unaumento en la cantidad de dinero. En qu se diferencianlos resultados de la versin resuelta en el ejercicio 2.4 deAMA (en dicho modelo el nivel de produccin relevante en

la demanda de dinero era el potencial, mientras que en estecaso es el nivel de produccin efectivo en cada momento deltiempo y es el nivel de demanda el que es siempre igual alnivel de produccin).

SOLUCIN:

Tal y como podemos observar se trata de un modelo de economaabierta muy similar al ya resuelto en el ejercicio 2.4 de AMA. En este

caso el supuesto que hemos introducido es que el nivel de demandaagregada es siempre igual al nivel de produccin de la economa.Vamos a resolver este ejercicio para ver las implicaciones que tienedicho supuesto.


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Paso 1: Variables endgenas y exgenas: En primer lugardeterminamos el nmero de variables endgenas y exgenas del

modelo. Las variables que componen el modelo son:


2. Nivel de precios nacionales (endgeno)



5. Tipo de cambio nominal (endgeno)

6. Nivel de precios del exterior (exgeno)

7. Nivel de produccin potencial (exgeno)

8. Tipo de inters del exterior (exgeno)

Tal y como podemos observar tenemos 4 variables endgenas y4 ecuaciones, por lo que podemos resolver el anterior sistema yreducirlo a un sistema de dos ecuaciones diferenciales. Este sistemade dos ecuaciones diferenciales contiene la misma informacin quelas cuatro ecuaciones iniciales y tiene la ventaja de que podemosrepresentarlo grcamente. En este caso, estamos representando auna economa en la cual el nivel de produccin es siempre igualal nivel de demanda agregada. Esto supone que en este caso no

pueden producirse desequilibrios en el mercado de bienes y serviciosen trminos de demanda y oferta agregada.

Paso 2: Variables endgenas de referencia: A continuacinprocedemos a identicar nuestras dos variables endgenas dereferencias, en trminos de las cuales vamos a representar a nuestraeconoma. Dado que el enunciado no nos indica las variables dereferencia, seleccionamos aquellas para las cuales disponemos de sudinmica, esto es, el nivel de precios y el tipo de cambio nominal.

Paso 3: Ecuaciones diferenciales: Para obtener las dosecuaciones diferenciales procedemos como sigue. En primer lugar,despejamos el tipo de inters nominal de la ecuacin (2.12):

it = 1

(mt pt yt) (2.16)


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Sustituimos (2.16) en (2.13):

yt = 0 + 1(st pt +p

t ) + 2yt +3 (mt pt yt)

yt +3

yt = 0 + 1(st pt +pt ) + 2yt +

3

(mt pt)

por lo que el nivel de produccin de la economa es:

yt =

+ 3

0 + 1(st pt +pt ) + 2yt +

3

(mt pt)

Podemos simplicar las variables exgenas: Por ejemplo podemos

normalizar a 1 el nivel de precios del exterior. Por tanto pt = 0: Eneste caso tendramos:

yt =

+ 3

0 + 1(st pt) + 2yt +

3

(mt pt)

yt =

+ 3

0 + 1st + 2yt +

3

mt (1 +3

)pt

(2.17)

Tambin podemos hacer lo mismo con el gasto pblico (0), y

con el nivel de produccin potencial (yt), pero ya no podramosutilizarlas para hacer anlisis sobre los efectos de una alternacinen estas variables. La nica exgena que no podemos simplicares la cantidad de dinero, ya que lo que pretendemos es analizarlos efectos dinmicos de una perturbacin monetaria. Por tanto,para que las expresiones no queden tan grandes vamos a realizaruna simplicacin adicional, por ejemplo, eliminamos el nivel deproduccin potencial (yt = 0).

Una vez que hemos obtenido el nivel de produccin (expresin2.17) sustituimos ste en la ecuacin (2.14):

_pt = + 3 0 + 1st + 3 mt (1 + 3 )pt_pt =

+ 3

0 + 1st +

3

mt (1 +3

)pt


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por lo que ya tenemos nuestra primera ecuacin dinmica que nosindica el comportamiento del nivel de precios. Ahora procedemos de

la misma forma con objeto de obtener la ecuacin dinmica para eltipo de cambio. Para ello, sustituimos el tipo de inters nominal enla ecuacin (2.15), obteniendo:

_st = 1

(mt pt yt) it (2.18)

Ahora tenemos que sustituir el nivel de produccin (expresion2.17) en la expresin (2.18), por lo que tendramos:

_st = 1

(mt pt

+ 3 0 + 1st +

3

mt (1 +3

)pt

it

Operando obtenemos la ecuacin dinmica correspondiente al tipode cambio nominal:

_st =

+ 30

1

+ 3mt +

1 + 3

st +1 1 + 3

pt it (2.19)

Otra forma alternativa es, una vez que hemos calculado el nivelde produccin (2.17), podemos sust

ejercicios macroeconomia avanzada

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