Dada las funciones siguientes: 1. sin

2.

3. cos

4.

Analizar la continuidad de f en el punto (0,0) Ejercicio 1. sin

Para que esta funcin sea continua, planteamos el estudio del lmite en el origen y que este tienda a cero. Para esto realizamos un cambio a coordenadas polares: cos sin De esta forma obtenemos que: cos sin sin sin Estudiamos la existencia del Lmite doble en el origen: lim lim sin sin cos sin lim sin sin Ya que por el mtodo del sndwich tenemos: Como y sin sin ,staultimafuncinesacotadaes decir que: .Y el lim Por tanto,limsin De lo que se concluye que esta Funcin es Continua en el punto (0,0). Paraverificarloobtenidosegraficalafuncin sin,obteniendolo siguiente: Observando claramente que en el punto (x,y) = (0,0) la funcin vale 0. Ejercicio 2.

Para que esta funcin sea continua, planteamos el estudio del lmite en el origen y que este tienda a 1 (uno).Primero recordemos que por las propiedades de Lmites tenemos que: lim lim lim lim lim lim Entonces realizamos un cambio a coordenadas polares: cos sin As tenemos que: cos sin Estudiamos la existencia del Lmite doble en el origen: lim limcos sincos sin lim cos sin Ya que por el mtodo del sndwich tenemos: Como y cos sin , sta ultima funcin es acotada, es decir que .Y el lim Por tanto,lim lim De lo que se concluye que esta Funcin es Continua en el punto (0,0). Puesto que el limite doble de la funcin tiende a 1. Y f(x,y) en ese punto est definida en 1. Se observa en la figura que en el punto (x,y) = (0,0) la funcin vale 1. Ejercicio 3. cos

Para que esta funcin sea continua, planteamos el estudio del lmite en el origen y que este tienda a 1 (uno).Primero recordemos que por las propiedades de Lmites tenemos que: limcos cos lim cos lim Entonces realizamos un cambio a coordenadas polares: cos sin As tenemos que: cos sin Estudiamos la existencia del Lmite doble en el origen: lim lim sin coscos sin limsin cos Ya que por el mtodo del sndwich tenemos: Como y sin cos ,staultimafuncinesacotada,es decir que .Y el lim Por tanto,lim limcos cos lim cos De lo que se concluye que esta Funcin es Continua en el punto (0,0). Puesto que el limite doble de la funcin tiende a 1. Y f(x,y) en ese punto est definida en 1. Se observa en la figura que en el punto (x,y) = (0,0) la funcin vale 1. Ejercicio 4.

Para que esta funcin sea continua, planteamos el estudio del lmite en el origen y que este tienda a cero. Para esto realizamos un cambio a coordenadas polares: cos sin De esta forma obtenemos que: cos sin Estudiamos la existencia del Lmite doble en el origen: lim limcossin cos sincos sin limcossin cos sin Por propiedades de los limites tenemos: limcossin limcos sin Ya que por el mtodo del sndwich tenemos: Como , cos sin y cos sin , observamos son acotadas es decir que: .Adems, lim y lim Por tanto,lim De lo que se concluye que esta Funcin es Continua en el punto (0,0). Para verificar lo obtenido se grafica la funcin , obteniendo lo siguiente: Se observa en la figura que en el punto (x,y) = (0,0) la funcin vale 0.